cinetica plana de los cuerpos rÍgidos

Cuerpos Rgidos en el Plano. Acercamiento La segunda ley de newton Palabras claves

Dinmica

CINETICA PLANA DE LOS CUERPOS RGIDOS

Trabajo-energa Impulso-y cantidad de movimiento

Fuerza, aceleraciones, (la velocidad y tiempo pueden ser considerados en algunos casos) Fuerza, distancia, velocidad Fuerza, tiempo, velocidad,

INTRODUCCION: La Cintica de los cuerpos rgidos trata de las relaciones existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslacin y rotacin de dichos cuerpos. En el caso de movimiento plano de un cuerpo rgido se necesita una ecuacin ms para especificar el estado de rotacin del cuerpo. As pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rgido se necesitar dos ecuaciones de fuerza y una de momentos, o sus equivalentes. Es decir se estudiara las relaciones existentes entre las fuerzas que actan en un cuerpo rgido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido.

Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido y F1Go

F4 F3

F2 o z(Fig.16.1)

x

Cuarto semestre

Escuela de Ingeniera de Mantenimiento

C

R i

en el Pl no.

Dinmi

C i un cuerpo r i o en el que act an varias fuerzas externas F1, F2, F3, (Fi 16.1). Se puede suponer que el cuerpo se compone de un gran numero n de partculas de masa mi (i = 1, 2,, n) y que los resultados obtenidos son validos para un sistema de partculas (Fig. 16.2). Si se considera en primer lugar el movimiento del cuerpo de masa del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano O xyz, entonces escribimos; F = m(16.1)

donde m es la masa del cuerpo y es la aceleraci n del centro de masa G. Volviendo ahora al movimiento del cuerpo con respecto al sistema de referencia centroidal Gxyz, y escribimos; MG = HG y y mi Gx(16.2)

z o x

z

(Fig. 16.2)

donde HG representa la razn cambio de H G, la cantidad de movimiento angular con respecto a G del sistema de partculas que forman el cuerpo rgido. En lo que sigue. Se har referencia a H G simplemente como la cantidad de movimiento angular del cuerpo rgido con r especto a su centro

C

to semest e

Escuel de Ingenier de Mantenimiento

Cuerpos Rgidos en el Plano.

Dinmica

de masa G. Juntas, las ecuaciones (16.1) y (16.2) expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema compuesto por el vector m fijo en G y del par de momento H G (Fig. 16.3).G

F4 F1 Go F2(Fig.16.3)

m F3

=

Go

Las ecuaciones (16.1) y (16.2) son validos en el caso ms general del movimiento de un cuerpo rgido.

Canti ad de movimiento angular de un cuerpo rgido en movimiento planoy y vi mi r G x

y(Fig. 16.4)

x

Considrese una placa rgida en movimiento plano. Si se supone que la placa se compone de un gran numero n de partculas Pi de masa mi, se observa que la cantidad de movimiento angular HG de la placa alrededor de su centro de masa G se puede calcular considerando los momentos con respecto a G de las cantidades de movimiento de las partculas de la placa en su movimiento con respecto a cualquiera de los sistemas de referencia Oxyz o Gxy (Fig. 16.4). Si elegimos este ultimo, escribimos:n

Cuarto semestre



Dinmica

HG = (ri vi mi)i=l

(16.3)

donde ri y vi mi denotan, respectivamente, el vector de posicin y la cantidad de movimiento lineal de la particula P i con respecto al sistema de referencia centroidal Gxy.Pero como la particula pertenece a la placa, se tiene vi = ri, donde es la velocidad angular de la placa en el instante considerado. Escribimos:n

HG = [ri ( ri) mi]i=l

(16.4)

Si se recurre a la figura 16.4, fcilmente se verifica que la expresin obtenida representa un vector de la misma direccin que (es decir, perpendicular a la placa) y de magnitud igual a ri mi. Recordando que La suma ri mi representa el momento de inercia de la placa con respecto a un eje centroidal perpendicular a la placa, se concluye que la cantidad de movimiento angular HG de la placa con respecto a su centro de masa es:HG =

(16.4)

Al diferenciar ambos miembros de la ecuacin (16.4) se obtiene:G=

=

(16.5)

As pues, la razn de cambio de la cantidad de movimiento angular de la placa esta representado por un vector de la misma direccin que (esto es, perpendicular a la placa) y de magnitud . Se debe tener presente que los resultados obtenidos en esta seccin se dedujeron para una placa rgida en movimiento plano.

MOVIMIE TO PL O DE UN CUE PO RGIDO. PRINCIPIO DE DALEMBERTy F1 F2 Go

Cuarto semestre



Dinmica

F3 F4 o(Fig. 16.5)

x

Considrese una placa rgida de masa m que se mueve bajo la accin de varias fuerzas externas F1, F2, F3,.., contenidas en el plano de la placa (Fig. 16.5). Con la sustitucin de G de la ecuacin (16.5) en la ecuacin (16.2), y escribiendo las ecuaciones fundamentales de movimiento (16.1) y (16.2) en forma escalar, tenemos: Fx = m x ; Fy = m y ; MG = (16.6) Las ecuaciones (16.6) demuestran que la aceleracin del centro de masa G de la placa y su aceleracin angular se obtiene con facilidad una vez que se determinan la resultante de las fuerzas externas que act an sobre la placa y su momento resultante con respecto a G. Dadas las condiciones iniciales apropiadas; se obtiene entonces las coordenadas X y Y del centro de masa y la coordenada angular de la placa, mediante integracin en cualquier instante t. Por tanto, el movimiento de la placa queda definido por completo por la resultante y la resultante de momentos con respecto a G de las fuerzas externas que act an sobre ella. Considrese, en particular, el sistema de fuerzas externas que act an sobre un cuerpo rgido (Fig. 16.6a) y el sistema de las fuerzas efectivas asociadas con las partculas que forma el cuerpo rgido (Fig. 16.6b) F2 Go F3 F4(Fig. 16.6a) (Fig. 16.6b)

F1

( mi)ai

=

oG

De este modo se, puede establecer que las fuerzas que las fuerzas externas que act an sobre un cuerpo rgido equivalen a las fuerzas efectivas de las diversas partculas que forman el cuerpo.Cuarto semestre Escuela de Ingeniera de Mantenimiento


Dinmica

Este enunciado se conoce como principio de DAlembert, en honor al matemtico francs Jean le Rond dAlembert (1717-1783), aun cuando el enunciado original de dAlembert fue escrito en una forma un poco diferente. El echo de que el sistema de fuerzas externas es equivalente al sistema de fuerzas efectivas se ha recalcado con el uso de un signo igual en la figura 16.6 y tambin en la figura 16.7, donde al utilizar los resultados obtenidos con anterioridad en esta seccin, se remplazaron las fuerzas efectivas con un vector m vinculado al centro de masa G de la placa y un par de momento . F1 m F2 Go = G . F3 F4(Fig. 16.7a) (Fig.16.7b)

TRASLACION:

F1 F2 Go F3a(Fig. 16.8)

m

=F4

G

b

En el caso de un cuerpo en traslacin, la aceleracin angular de este es idntica a cero, y sus fuerzas efectivas se reducen al vector m fijo en G (fig16.8). De este modo, la resultante de las fuerzas externas que act an sobre un cuerpo rgido en traslacin pasa por el centro de masa del cuerpo, y es igual a m .ROTACIN CENTROIDAL

Cuarto semestre



Dinmica

F2 F1 Go F3 F4a (Fig. 16.9 ) Rotacion centroidal b

. = Go

Cuando una placa o, ms generalmente, un cuerpo simtrico con respecto al plano de referencia, gira alrededor de un eje fi jo perpendicular al plano de referencia y que pasa por su centro de masa G, se dice que el cuerpo se encuentra en rotacin centroidal. Como la aceleracin es idntica a cero, las fuerzas efectivas del cuerpo se reducen al par (Fig.16.9). Por lo tanto, las fuerzas externas que act an sobre un cuerpo en rotacin centroidal equivalen a un par de momentos . MOVIMIENTO PLANO GENERAL Al comparar la Fig. 16.7 con las figuras 16.8 y 16.9, se observa que desde el punto de vista de la cintica, el movimiento plano ms general de un cuerpo rgido simtrico con respecto al plano de referencia puede ser reemplazado por la suma de una traslacin y una rotacin c entroidal. Se debe sealar que este enunciado es ms restrictivo que el enunciado similar planteado con anterioridad desde el punto de vista de la cinemtica, puesto que ahora se requiere que se seleccione el centro de masa del cuerpo como punto de referencia. En las ecuaciones (16.6), se observan que las dos primeras ecuaciones son idnticas a las ecuaciones de movimiento de una particula de masa m en la que act an las fuerzas dadas F1, F2, F3,, de este modo, se comprueba que el centro de masa G de un cuerpo rgido en movimiento plano se mueve como si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en dicho punto, y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre el. Se recuerda que este resultado ya se obtuvo en el caso general de un sistema de partculas no necesariamente conectadas entre si, tambin se observa que el sistema, de las fuerzas externas, en general, no se reducen a un solo vector m con origen en G. Por consiguiente, en el caso general del movimiento

Cuarto semestre



Dinmica

plano de un cuerpo rgido, la resultante de las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo no pasan por el centro de masa de este. Por ultimo, se ve que la ltima de las ecuaciones (16.6) seguira siendo valida si el cuerpo rgido, al estar sometido a las mismas fuerzas aplicadas, no pudiera girar alrededor de un eje fijo que pasa por G. As pues, un cuerpo rgido en movimiento plano gira alrededor de su centro de masa como si este punto estuviera fijo.

EJERCICIOS

1. Los collarines B y D se conectan por medio de pasadores a la barra ABD y pueden deslizarse a lo largo de varillas fijas. En el instante que se muestra, la velocidad angular de la barra es cero y la aceleracin del punto D es igual a 24 ft 2 hacia la derecha. Determine a) la aceleracin s angular de la barra, b) la aceleracin del punto B, c) la aceleracin del punto A.

Datos:Wbarra ! 0 a 24 ftD

a) E barra b) a B ! c) a A !

s2 !?

p

Cuarto semestre



Dinmica

Solucin:

aB ! aD a B / D aB ! aD a B / D t aB / D n2 a B ! a D E BD v rB / D Wbarra .rB / D

a B Cos 60ri a B Sen60 j ! 24i E BD k v 1.5Cos 30ri 1.5Sen30r j a B Cos 60ri a B Sen60 j ! 24i 1.3E BD j 0.75E BD i

i a B Cos 60r ! 24 0.75E BD j a B Sen60 ! 1.3E BD p E BD ! aB 1.5

VB VB VB

VD V B / D V

eriv ndoB

24 ft s2

s2

B

24 ft

240 r

E BD ! E BD

a B 24 ! 1.5 1.5 ! 16 rad 2 s

Cuarto semestre


VD Wbarra rB /

Cuerpos Rgidos en el Plano. aD a aD a aD E

Dinmica

a a a

i0 0 41.6 ft

a

2 Si la manivela AB rota alrededor del punto A con una velocidad angular de 9000 rpm en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, determinar la aceleracin del pistn P cuando =120.Datos: W=900 rpm=120 a=?

Solucin:

Cuarto semestre

j a

a j

24i 41.6 j 24i41.6

s2

q

a j

/D /D D

tavr/D

/D

n/D

2 Wbarra .r

24i 16k v 3 os30ri 3Sen30r j



Dinmica

900

rpm 1m 2Trad * ! 94.2477 rad / s * min 60s rev

a B ! a A E AB xrB / A [ 2 * rB / A a B ! [ 2 * rB / A ! 2 * (94.2477) 2 ! 17765.25in / s 2

Biela BD ad ! a B a D / B 2 6 2 * sen60 ! senF ! 6 senF sen60 F ! 16.778VD ! VB VD / B V D ! V B W BD v rD / B

Cuarto semestre



Dinmica

D

sen 46.78 sen 73.22 sen 60 B * sen 46 .78 D ! sen 73.22 188.50 * sen 46.78 D ! sen 73.22 ! 143.28in / s DD/B

!

B

!

[ BD

sen60 143.28 D ! ! [ BD ! 32.77rad / s 2 sen46.78 sen46.78 rB / D 6

! [ BD xrB / D [ BD !

Cuarto semestre

"

!

!

"

!

!

D/B

"

! ! !

BD


Cuerpos Rgidos en el Plano. aD ! a B aD / B a D / B t ! E BD v rD / B ! 6E BD in / s 22 a D / B n ! [ BD .rB / D ! 6 * (32.77) 2 ! 6443.23in / s 2 2 a D ! a B E BD v rD / B [ BD .rB / D

Dinmica

177765.25;60 6E BD ;73.22 64443.23;16.77 aD ! i a D ! 17765.25 cos 60 6E BD cos 73.22 6443.23 cos16.77 a D ! 7057.328 6E BD cos 73.22

j 0 ! 17765.25sen60 6E BD sen73.22 6443.23sen16.77 13526.089 ! 6E BD sen73.22E BD ! 2354.60rad / s a D ! 7057.328 6 * 2354.6 * cos 73.22 a D ! 11135.93in / s 2 ! 927.99 ft / s 2

3.- Si en el instante que se muestra la barra AB tiene unavelocidad angular constante de 4 rad/s en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, determinar la aceleracin angular a) de la barra BD, b)de la barra DE. Datos: WAB = 4 rad/s

Cuarto semestre



Dinmica

W AB ! W AB k ! 4 rad k s WBD ! WBD k WDE ! WDE k VD ! VB VD / B W DE k * rD ! W B k * rB W B k * rD / B W DE k * 0.06i 0.12 j ! 4k * 0.2 j W B " D k * 0.16i 0.6W DE j 0.12W DE i ! 0.8i 0.26W BD j i : 0.12W DE ! 0.8 j : 1 0.06W DE ! 0.16W BD W BD ! W BD 0.06(6.66) 0.16 ! 2.5rad / s ! 2.5rad / s

E AB ! 0 E BD ! E BD k E DE ! E DE k

aD ! aB aD / B2 a D ! E DE k v rD [ DE .rD

a D ! E DE k v (0.06i 0.12 j ) 6.66 2 * (0.06i 0.12 j ) a D ! 0.06E DE j 0.12E DE i 2.66i 5.32 j a B ! E AB k v rB [ 2 .rB a B ! 0 4 2 0.2 j a B ! 3.2 j

Cuarto semestre

#

#


Cuerpos Rgidos en el Plano. 2 a D / B ! E DB k v rD / B [ DB .rD / B a D / B ! E DB k v (0.16) 2.5 * (0.16i )2

Dinmica

a D / B ! 0.16E DB i 0.06E DE i 0.12E DE 2.66i 5.32 j ! 3.2 j 0.16E Db j i

i : 0.12E DE 2.66 ! 1 E DE ! 30.5rad / s 2 j : 0.06E DE 5.32 ! 3.2 0.16E DB 0.16E DB ! 2.12 0.06 30.5E DE ! 24.7

4. Si en el instante que se muestra la varilla AB tiene unavelocidad angular constante de 6rad/s en el sentido de movimiento de las manecillas del reloj, determine la aceleracin del punto D.

Datos:W AB ! 6 rad (cte) s aD ! ?

Cuarto semestre

%$

D/ S2



Dinmica

Solucin:

W AB ! W AB k ! 4 rad k s WBD ! WBD k WDC ! WDC kD B

WDC k * rD ! W AB k * rB W BD k * rD / B WDC k * 0.75 j ! 6k * 0.375 j W BD k * 0.9375i 0.375 j 0.75W DC i ! 2.25i 0.9375WBD j 0.375WBD i

i : 0.75WDC ! 2.25 0.375WBD j : 0 ! 0.9375W BD WBD ! 0 WDC ! 3rad / s E B !0E BD ! E BD k E DC ! E DC k

aD ! a B aD / B2 a D ! E DC k v rD WDC .rD

a D ! E DC k v (0.75 j ) 3 2 * (0.75 j ) a D ! 0.75E DC i 6.75 ja B ! E B k v rB W 2B .rB a B ! 0 6 2 0.375 j a B ! 13.5 j

Cuarto semestre

(

&

(

&

!

'

&

D/B


Cuerpos Rgidos en el Plano. 2 a D / B ! E DB k v rD / B WDB .rD / B a D / B ! E DB k v (0.9375i 0.375 j ) a D / B ! 0.9375E DB j 0.375E DB i0.75E DC i 6.75 j ! 13.5 j 0.9375E DB j 0.375E DB i i : 0.75E DC ! 0.375E DB j : 6.75 ! 13.5 0.9375E DB E DB ! 7.2 rad E DC ! 3.6 rad s2

Dinmica

s2 a D ! 0.75E DC i 6.75 j a D ! 0.75(3.6i ) 6.75 j a D ! 2.7i 6.75 j a D ! 7.26 ft s2 a D ! 87.12 in 2 s

Un cilindro de 75 mm de radio es solidario de un cilindro de 125 mm de radio como se muestra. Uno de ellos rueda sin deslizar sobre la superficie que se representa y el otro tiene una cuerda arrollada en su torno. Sabiendo que del extremo E de la cuerda se tira hacia la izquierda con una velocidad de 150 mm/seg. Hallar: a) Velocidad angular de los cilindros b) Velocidad de su centro

5.

DATOSRA= 75 mm RB= 125 mm VE = 150 mm/seg WA = ? WB = ? SOLUCION:

Cuarto semestre


Cuerpos Rgidos en el Plano. V WA ! E RA 50 mm seg WA ! 75mm rad WA ! seg V WB ! E RB 50 mm seg WB ! 5 mm rad WB ! seg

Dinmica

6.

km/h. Si el Un automvil viaja hacia la derecha a la velocidad constante de 8 dimetro de las ruedas es 6 mm. Hallar la aceleracin. a) del punto B, b) del punto C, c) del punto D.

DATOS: VA ! 80 km ! 22.22 m s h

aD ! a A aD ! aa aD aDA A

A

W !

r

W ! 79. 5 r

aC ! aC ! m

s

Cuarto semestre


2

2

! 22.22i 22.22i ! 44.44i

aC ! a A EkrB w rBA A

o

2

! 22.22i

))!

V W r

0)22.22 m . s 0q! 79. 5k r

V !V V

aD ! w a D aD ! 1763 m s

2

) 0

0

)

)

0 1 1

)

A

s2

?

s aC ! aB aC ! aa aC aBA A A

.3 k .28

m

Cuerpos Rgidos en el Plano. VC ! VA VC ! VA W.rCVC ! 22.22i 79.35 VC ! 0A

Dinmica

0.28 jaD ! a aD ! aa aD aD

A

VD ! VA VD ! VA W.rDA

VD ! 42.9 m

aD ! 1763

s

15

7.

El movimiento de una manivela oscilante est definido por U ! US sen Tt / T 0.5US sen 2Tt / T , donde U en radianes y t en segundos.

Sabiendo que U 0 = 6 rad y T = 4 s, hallar la coordenada, la velocidad y la aceleracin angulares de la manivela cuando (a) t = 0, (b) t = 2s. DATOS:U ! US sen Tt

T 0.5US sen2Tt T SOLUCIN:EC DEL MOVIMIENTO

U en radt en seg . si US ! 6 rad

1)

U ! US sen t T 0.5 US sen2Tt T T [ ! U ! US cos t T T T

T 0.5US cos2Tt T 2T T

T=4s 2) T T [ ! US cos Tt T US cos 2Tt T T T T T g ! U ! US sen Tt T T T US sen 2Tt T 2T T T TU ! T2 2T 2 US sen t T 2 US sen 2Tt T T T2 T

w! g! a) t = 0.5 b) t = 25

3) g !

Cuarto semestre


3

VD ! 22.22i ? 79.35 A 0.28Cos60Q 0.28Sen 60Qj i

?

A

s

42

A

aD ! w 2 aD

60

4

4

4

4

Cuerpos Rgidos en el Plano. a) t = 0 s

Dinmica

1) U ! 6 sen * 0 4 0.5 * 6 * sen 2T * 0 4 ! 0 rad T T T * 6 cos 0 * 6 cos 0 ! 1.5T 1.5T ! 0 rad s 4 4 2T 2 T2 3) g ! 2 * 6 sen 0 2 * 6 sen 0 ! 0 rad 2 s 4 4 2) [ !

b) t = 2 s

U ! 6 * sen T 2 4 0.5 * 6 * sen 2T * 2

4 T 180r 180r U ! 6 * sen * 3 sen T * ! 6 0 ! 6 rad T 2 T T 2 180r T 2 180r [ ! * 6 cos T * * * b cos 2T * 4 4 T 4 4 T T [ ! 0 6 1 ! 4.71 rad s 4 T2 2 180 2 2T 2 2 180r g ! 2 * 6 sen T * * * 6 sen 2T * * 4 4 T 42 4 T 2 2 T 2T g! * 6 * 0 ! 3,70 rad s 2 * 6 1 16 16

Cuando se arranca un motor elctrico, ste alcanza su velocidad nominal de 3300 rpm en 6 seg, y cuando se apaga el motor, ste tarda en detenerse 80 seg. Suponiendo un movimiento uniformemente acelerado, hallar:

8.

El nmero de vueltas que da el motora) Hasta alcanzar su velocidad nominal b) Hasta detenerse

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Dinmica

DATOS: [n = 33 rpm a) nrev = b) U = c) U =

p p p p

t = 6 seg (arranca) t = 8 seg (apaga) [n = 33 [= rpm

se

LITERAL bE! [ [o t rev / s E! seg

s

Cuerpo rgidoUn cuerpo rgido no es ms que un sistema de partculas donde las distancias entre ellas permanecen invariable, por lo tanto aplica todo lo de un sistema de partculas que ya se estudi. La descripcin del movimiento de un

Cuarto semestre

7

E!

rev

1 U ! Uo E t2 2 2 0.68 rev / s 2 80 seg U ! 2 U ! 220 rev


6

E ! .16 rev

2

6

6

SOLUCION LI ERALa ) 1 U ! U0 E t2 p U0 ! 0 2 1 2 U ! 9.16 rev / s 6 seg 2 U ! 165 vueltas

5

[ [ o t 1 rev 1min t * E ! 3300 * min t 6 se 60 se E !

Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica cuerpo r i o en el espacio, es ateria de otro curso (Mecnica racional). Por ahora nos limitaremos a la descripci n del movimiento plano de un cuerpo r ido, es decir cuando todas las velocidades son paralelas a un plano fijo. Como se explicar, la novedad respecto a un sistema de partculas, es la forma especfica como se calculan el momentum angular la energa cintica del cuerpo, no habiendo ms cambios de fondo. a cinemtica del cuerpo rgido es una cuesti n previa ue debe ser explicada. a rigidez del cuerpo introduce simplificaciones a la descripci n del movimiento de ese sistema de partcula pues no es necesario conocer las posiciones ni el movimiento de cada una de ellas, sino ue el movimiento de unas pocas determina el de todas.

9.2. Cuerpo rgido continuoEste es un concepto idealizado donde nos olvidamos de las partculas reales ue componen el cuerpo, los tomos o molculas, el cuerpo es reemplazado por un continuo de masa donde las part culas son elementos infinitsimos de volumen dV ue tiene alguna cantidad de masa tambin infinitesimal ue llamaremos dm. a rigidez se establece aqu manteniendo constantes las 284 Dinmica del cuerpo rgido distancias entre los puntos de este cuerpo. Esta es otra idealizaci n porque en la vida real no existen cuerpos rgidos. Todos loscuerpos son deformables en alguna medida.

9.3. Cinemtica de un cuerpo rgido en el espacion cambio arbitrario de posici n de un cuerp o rgido en el espacio puede siempre ser reducido a una traslaci n paralela seguida de una rotaci n en torno a un eje fijo. Sin embargo este hecho no es tan simples entender. a cinemtica dinmica de un cuerpo rgido en el espacio es normalmente un tema dificil de comprender por los alumnos. Por esa razn en este curso nos limitaremos a analizar la dinmica cinemtica de un cuerpo rgido en dos dimensiones. Cuando un cuerpo tal como una lmina se mueve sobre un plano fijo, el ngulo que el cuerpo gira se define entre alguna lnea fija en el cuerpo con alguna lnea fija en el plano.

9.4. Cinemtica plana de un cuerpo rgido9.4.1. Desplazamientos de un cuerpo rgidoPara desplazamientos de un cuerpo rgido en un plano, las cuestiones son ms simples pues es bastante evidente que un cambio de posicin de un cuerpo rgido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslacin paralela A A0 seguida de una rotacin en torno a un eje fijo, perpendicular al plano del movimiento, punto fijo, o bien la rotacin primero seguida de la traslacin. o mismo es cierto en tres dimensiones, pero su demostracin es ms engorrosa. a figura siguiente muestra lo que acontece cuando en la traslacin paralela A A0 un punto, digamos A pasa a ocupar su posicin final A0 mediante esa traslacin paralela. os otros puntos no estn an en su posicin final. Basta entonces rotar el cuerpo en un cierto ngulo en torno al punto A0 para que el cuerpo quede en su posicin final. Es decir hay que girar A0 P 0 en un ngulo . Si el tiempo transcurrido es infinitsimo dt entonces todos los desplaza9.4

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Cuerpos Rgidos en el Plano. Cinemtica plana de un cuerpo rgido 285Y X A P P' P'' A' O

Dinmica

Figura 9.1: Desplazamiento plano de un cuerpo mientos sealados son infinitsimos. lamemos rP (t) = O P , rP (t + dt) = OP 00, rA(t) = O A, rA(t + dt) = O A0. Para relacionar las cosas necesitamos evaluar P 0P 00. Pero ese desplazamiento es circunferencial con centro en A0 luego puede evaluarse mutiplicando la velocidad tangencial po r dt. Adems el vector unitario tangencial es T= k A P AP , luegp P 0P 00 = A0P 0 T dt = AP T dt = k A P dt. Considere ahora que OP 00 = O P + PP 0 + P0P 00, 286 Dinmica del cuerpo r gido y considerando que PP 0 = A A0 = vAdt obtendremos rP (t + dt) = rP (t) + vAdt k A P dt, de manera que rP (t + dt) rP (t) dt = vA k A P , y se obtiene la relacin fundamental de la cinemtica de un cuerpo r gido vP = vA + A P , (9.1) donde se ha definido = d dt k, (9.2) la llamada velocidad angular del cuerpo. El signo colocado frente a est de acuerdo a la definicin del ngulo y a la regla de la mano derecha. o que la relacin (9.1) establece es qu e la velocidad de un punto P es la velocidad de

Cuarto semestre


Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica traslacin del cuerpo con la velocidad del punto A ms lo que resulta de la rotacin de P en torno de A. Para el movimiento plano la velocidad angular tiene como magnitud la derivada del ngulo que gira el cu erpo, direccin perpendicular al plano de movimiento y sentido de acuerdo a la regla de la mano derecha de acuerdo al crecimiento del ngulo definido.

9.4.2. Condicin de rigidezDe la relacin (9.1) se deduce que vP A P = vA A P (9.3) que se conoce como condicin de rigidez pues establece que ambos puntos tienen las mismas componentes de velocidad en la lnea que une los dos puntos. En otras palabras eso significa que la distancia entre los dos puntos no vara.

9.4.3. EjemplosAlgunas figuras ayudarn a entender lo explicado. 9.4 Cinemtica plana de un cuerpo rgido 287 a) Disco que rueda sin deslizar. Por definicin de "no deslizamiento", el punto de contacto I con el suelo tiene velocidad nula y en la figura se muestran como resultan las velocidades de puntos del disco que estn sobre las rectas IP e IQ. Para este caso la relacin anterior con vI = 0 se reduce a v= I PP QI

o sea velocidades perpendiculares a I P y de magnitudes proporcionales a la distancia IP . El punto del disco en contacto con el suelo tiene velocidad instantnea nula, pero acelera hacia arriba y luego se mover en una curva que se denomina cicloide. b) Disco que avanza girando y su punto de contacto resbala con velocidad vI 6= 0. Ahora ser v = vI + I P , de modo que ahora todos los vectores velocidad de la figura anterior es necesario agregarles vI . Si hacemos vI = Q I, donde Q es un cierto punto cuya ubicacin se muestra en la figura que sigue. Entonces ser v = vI + I P = Q I + I P = Q P , lo cual significa que los puntos del disco tienen velocidades tal como si el disco rodara sin resbalar sobre una lnea ubicada ms abajo del suelo a distancia d = | vI | | | , 288 Dinmica del cuerpo rgido cuestin que se ilustra en la figura que sigueP Q I

En el espacio la demostracin es ms complicada pero sigue siendo cierto

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Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica que todo cambio de posicin de un cuerpo puede ser logrado equivalentemente mediante una traslacin paralela seguida de una rotacin en torno a un eje fijo. Ese punto Q se denomina centro instantneo de rotacin y en la seccin que sigue, se generaliza.

9.4.4. Centro instantneo de rotacinEn el movimiento plano de un cuerpo rgido se tiene el siguie nte teorema: I Teorema 9.1 En el movimiento plano de un cuerpo rgido, siempre existe un punto de l (o de una extensin rgida de l) que tiene velocidad instantnea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacin instantnea del cuerpo en torno de ese punto. Tal punto se conoce como centro instantneo de rotacin. Demostracion 1 Como vP = vA + A P entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser vP = I P (9.4) entonces vP es perpendicular a I P , o bien I P est sobre una recta en el plano de movimiento que es perpendicular a vP . En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo vA y vB, el 9.4 Cinemtica plana de un cuerpo r gido 289 centro instantneo estar donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades. a excepcin la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras, es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces = 0. En estos casos se podr decir que el centro instantneo est en el infinito. a a posicin del centro instantneo tambin puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo. En efecto de (9.4) se puede despejar P I. para ello multiplique y desarrolle vP =( I P ) , = 2I P (I P ) , pero (I P ) = 0 porque son vectores perpendiculares. Entonces si 2 6= 0 se deduce que P _________I = vP 2 . (9.5)

9.4.5. Algunas relaciones entre velocidades y aceleracionesEn diversas aplicaciones existen relaciones debidas a la presencia de cuerdas inextensibles, cuerdas apoyadas o enrolladas en poleas, cuerpos que no resbalan y otras. En las siguiente figura se ilustra una situacin donde hay diversas velocidades lineales (v), velocidades angulares ( ), aceleraciones lineales (a) y angulares ( ) que estn relacionadas de alguna manera entre s . Esas relaciones son necesarias cuando deben determinarse las aceleraciones de los sistemas.CD EF

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Cuerpos Rgidos en el Plano.1 2 3

Dinmica

R1 R2 R31 2

no desliza no desliza se desenrrolla

Hay un disco que rueda sin deslizar, una cuerda que pasa por una polea sin 290 Dinmica del cuerpo rgido deslizarse y otro disco baja desenrrollando la cuerda. Primero, la velocidad de C estar dada por vC = 1R1. Adems por pertenecer a una cuerda, la velocidad de C y D son iguales de donde se deduce que 1R1 = vC = vD = R2 2. Por la misma razn el punto D tiene la misma velocidad (en magnitud) que el punto E, de modo que vE = vD = vC. El punto F tiene una velocidad adicional debida a la rotacin de ese disco respecto al punto E, 3 de modo que vF = vE + R3 3 = R2 2 + R3 3. Si usted necesita relacionar aceleraciones, derive las relaciones anteriores respecto al tiempo obteniendo las siguientes relaciones aC = 1R1, 1R1 = 2R2, aF = R2 2 + R3 3. Existen muchsimas posibilidades ms de modo que trate de comprender cabalmente este ejemplo. Ejemplo 9.4.1 a figura ilustra una barra que se desliza apoyada en el suelo y sobre una semicircunferencia y en ella se muestra la ubicacin del centro instantneo I.Por las condiciones de apoyo, hay dos puntos de la barra que tienen direcciones conocidas y eso determina la posicin de I. Como usted puede comprender, las velocidade s de todos los puntos de la barra son, en el instante mostrado, perpendiculares a la lnea que va desde I al punto que sea. 9.4 Cinemtica plana de un cuerpo rgido 291X Y X' Y' I R

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Dinmica

9.4.10. Ejemplos de clculo de momentos de inerciaos momentos de inercia sern dados pero es conveniente entender como se calculan. Para una barra de largo y de masa M en un extremo. Si se elige el eje OX a lo largo de la barra entonces como la densidad lineal de masa es Mz

9.4. Cinemtica plana de un cuerpo rgido9.4.1. Desplazamientos de un cuerpo rgidoPara desplazamientos de un cuerpo rgido en un plano, las cuestiones son ms simples pues es bastante evidente que un cambio de posicin de un cuerpo rgido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslacin paralela A A0 seguida de una rotacin en torno a un eje fijo, perpendicular al plano del movimiento, punto fijo, o bien la rotacin primero seguida de la traslacin. o mismo es cierto en tres dimensiones, pero su demostracin es ms engorrosa. a figura siguiente muestra lo que acontece

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8


Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica cuando en la traslacin paralela A A0 un punto, digamos A pasa a ocupar su posicin final A0 mediante esa traslacin paralela. os otros puntos no estn an en su posicin final. Bast a entonces rotar el cuerpo en un cierto ngulo en torno al punto A0 para que el cuerpo quede en su posicin final. Es decir hay que girar A0 P 0 en un ngulo .

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Dinmica

Movimiento rotacional Si el cuerpo puede moverse manteniendo un punto O fijo, entonces el movimiento del cuerpo es se llama rotacional. Si plano de movimiento es el plano OXY entonces el eje de rotacin es el eje OZ. Si el ngulo que describe la rotacin del cuerpo lo llamamos , y su aumento corresponde segn la regla de la mano derecha al eje OZ, entonces = k, dado que vO = 0 las velocidades de los otros puntos del cuerpo sern v= O P , (9.6) = r. con esto evaluaremos el momentum angular y la energa cintica.

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Dinmica

9.4.13. Movimiento de rotacin y traslacinSi el cuerpo se mueve en el plano OXY sin restricciones, entonces el cuerpo tiene simultneamente movimiento de traslacin y de rotacin. El cuerpo se desplaza y adems gira un ngulo , por lo tanto nuevamente = k. Entonces el momentum angular respecto al centro de masa G resultarG

= IG k, (9.14) y el teorema de Koenig determina el momentum angular respecto a O que resulta ser = M r vG + IG k. (9.15) a energa cintica ser, de acuerdo al teorema de Koenig, la suma de las energas cinticas traslacional y rotacional

O

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Cuerpos Rgidos en el Plano. K= 1 2 Mv2G + 1 2 IG2

Dinmica

. (9.16) El trmino IG se denomina momento de inercia del cuerpo en el centro de masa respecto al eje GZ y est dado por IG = Z (x02 + y02)dm. (9.17) donde x0, y0 son coordenadas de los elementos de masa respecto al centro de masa G. a expresin (9.16) muestra que la energa cintica es la suma de la parte traslacional 1 2Mv2G ms la parte rotacional en torno al centro de masa1 2 IG 2

aceleracin angular = .

9.5.3. Momentos de InerciaEl clculo de momentos de Inercia requiere realizar integraciones. Adems el clculo debe ser en algn origen especfico del cuerpo y para ejes determinados. Normalmente se encuentran los momentos de Inercia para orgenes coincidiendo con el centro de masa y para ejes que coinciden con ejes de simetra, cuando los hay. Se darn algunos ejemplos de clculo, pero ahora daremos los resultados para los cuerpos de formas ms simples.

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Dinmica

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Dinmica

1. Los collarines B y D se conectan por medio de pasadores a la barraABD y pueden deslizarse a lo largo de varillas fijas. En el instante que se muestra, la velocidad angular de la barra es cero y la aceleracin del punto D es igual a 24 ft 2 hacia la derecha. Determine a) la aceleracin s angular de la barra, b) la aceleracin del punto B, c) la aceleracin del punto A.

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Dinmica

Datos:Wbarra ! 0 a 24 ftD

a) E barra

s2 !?

p

Sol

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A @

b) c)

9A

B

! !

i

:


Cuerpos Rgidos en el Plano. aB ! aD a B / D aB ! aD a B / D t aB / D n2 a B ! a D E BD v rB / D Wbarra .rB / D

Dinmica

a B Cos 60ri a B Sen60 j ! 24i E BD k v 1.5Cos 30ri 1.5Sen30r j a B Cos 60ri a B Sen60 j ! 24i 1.3E BD j 0.75E BD i

i a B Cos 60r ! 24 0.75E BD j a B Sen60 ! 1.3E BD p E BD ! aB 1.5

VB ! VD V B / D VB ! VD Wbarra v rB / D VB ! VD derivando a B ! a D ! 24 ft a B ! 24 ft s2 s2

240 r

E BD ! E BD

a B 24 ! 1.5 1.5 ! 16 rad 2 s

/D D

/D

a j ! 24i 16k v 3Cos30ri 3Sen30r j a j ! 24i 41.6 j 24i

i0!0 j a ! 41.6 a ! 41.6 ft

s2

q

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B

B

B

a ! aD E

vr

B

B

a ! aD a

B

a ! aD a

B

B

B

B B B B

/D

ta

/D

n/D

2 Wbarra .r



Dinmica

2. Si la manivela AB rota alrededor del punto A con una velocidadangular de 9000 rpm en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, determinar la aceleracin del pistn P cuando =120.

Datos: W=900 rpm=120 a=?

Solucin:

900

rpm 1m 2Trad * ! 94.2477 rad / s * min 60s rev

a B ! a A E AB xrB / A [ 2 * rB / A a B ! [ 2 * rB / A ! 2 * (94.2477) 2 ! 17765.25in / s 2

Biela BD

ad ! a B a D / B

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Cuerpos Rgidos en el Plano. 2 6 2 * sen60 ! senF ! 6 senF sen60 F ! 16.778D D B B

Dinmica

D B ! ! D/B sen 46.78 sen 73.22 sen 60 B * sen 46 .78 D ! sen 73.22 188.50 * sen 46.78 D ! sen 73.22 D ! 143 .28in / s

VD / B ! [ BD xrB / D [ BD ![ BD

VBD sen60 VD 143.28 ! ! [ BD ! 32.77rad / s 2 sen46.78 sen46.78 6 rB / D

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D

D

C

!

W BD v rD / B

C

C

!

D

D

C C D D D

D/B



Dinmica

aD ! a B aD / B a D / B t ! E BD v rD / B ! 6E BD in / s 22 a D / B n ! [ BD .rB / D ! 6 * (32.77) 2 ! 6443.23in / s 2 2 a D ! a B E BD v rD / B [ BD .rB / D

177765.25;60 6E BD ;73.22 64443.23;16.77 aD ! i a D ! 17765.25 cos 60 6E BD cos 73.22 6443.23 cos16.77 a D ! 7057.328 6E BD cos 73.22

j 0 ! 17765.25sen60 6E BD sen73.22 6443.23sen16.77 13526.089 ! 6E BD sen73.22E BD ! 2354.60rad / s a D ! 7057.328 6 * 2354.6 * cos 73.22 a D ! 11135.93in / s 2 ! 927.99 ft / s 2

3.- Si en el instante que se muestra la barra AB tiene unavelocidad angular constante de 4 rad/s en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, determinar la aceleracin angular a) de la barra BD, b)de la barra DE. Datos: WAB = 4 rad/s

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Dinmica

! W B k ! 4 rad k s WBD ! WBD k W DE ! W DE k VD ! VB VD / BB

W DE k * rD ! W B k * rB W B k * rD / B W DE k * 0.06i 0.12 j ! 4k * 0.2 j W B " D k * 0.16i 0.6W DE j 0.12W DE i ! 0.8i 0.26W BD j i : 0.12W DE ! 0.8 j : 1 0.06W DE ! 0.16W BD W BD ! W BD 0.06(6.66) 0.16 ! 2.5rad / s ! 2.5rad / s

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F

F

E

E

W


Cuerpos Rgidos en el Plano. E B !0E BD ! E BD k E DE ! E DE k

Dinmica

aD ! aB aD / B2 a D ! E DE k v rD [ DE .rD

a D ! E DE k v (0.06i 0.12 j ) 6.66 2 * (0.06i 0.12 j ) a D ! 0.06E DE j 0.12E DE i 2.66i 5.32 j a B ! E AB k v rB [ 2 .rB a B ! 0 4 2 0.2 j a B ! 3.2 j2 a D / B ! E DB k v rD / B [ DB .rD / B

a D / B ! E DB k v (0.16) 2.5 * (0.16i )2

a D / B ! 0.16E DB i 0.06E DE i 0.12E DE 2.66i 5.32 j ! 3.2 j 0.16E Db j i i : 0.12E DE 2.66 ! 1 E DE ! 30.5rad / s 2 j : 0.06E DE 5.32 ! 3.2 0.16E DB 0.16E DB ! 2.12 0.06 30.5 E DE ! 24.7

4. Si en el instante que se muestra la varilla AB tiene unavelocidad angular constante de 6rad/s en el sentido de movimiento de las manecillas del reloj, determine la aceleracin del punto D.

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IH

G

D/S2



Dinmica

Datos:P QW ! 6 rad (cte) s aD !B

Solucin:

B

WBD WDC

VD ! VB VD / B

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Q

W

! W B k ! 4 rad k s ! WBD k ! WDC k


Cuerpos Rgidos en el Plano. WDC k * rD ! W AB k * rB W BD k * rD / B WDC k * 0.75 j ! 6k * 0.375 j W BD k * 0.9375i 0.375 j 0.75W DC i ! 2.25i 0.9375WBD j 0.375WBD i

Dinmica

i : 0.75WDC ! 2.25 0.375WBD j : 0 ! 0.9375W BD WBD ! 0 WDC ! 3rad / s E AB ! 0E BD ! E BD k E DC ! E DC k

aD ! a B aD / B2 a D ! E DC k v rD WDC .rD

a D ! E DC k v (0.75 j ) 3 2 * (0.75 j ) a D ! 0.75E DC i 6.75 j a B ! E B k v rB W 2B .rB a B ! 0 6 2 0.375 j a B ! 13.5 j2 a D / B ! E DB k v rD / B WDB .rD / B

a D / B ! E DB k v (0.9375i 0.375 j ) a D / B ! 0.9375E DB j 0.375E DB i 0.75E DC i 6.75 j ! 13.5 j 0.9375E DB j 0.375E DB i i : 0.75E DC ! 0.375E DB j : 6.75 ! 13.5 0.9375E DBE DB ! 7.2 rad E DC ! 3.6 rad

s2

s2 a D ! 0.75E DC i 6.75 ja D ! 0.75(3.6i ) 6.75 j a D ! 2.7i 6.75 j a D ! 7.26 ft s2 a D ! 87.12 in 2 s

15.39) Collarn Ase desplaza hacia arri a a una velocidad constante de 1.2m/s. en el instante mostrado, cuando = 25, determine a) la velocidad Cuarto semestre Escuela de Ingeniera de Mantenimiento

R

R

Cuerpos Rgidos en el Plano. angular de la varilla AB b) la velocidad del collarn B

Dinmica

Diagrama cinemtica:

V B ! V A W AB * rB / A

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Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica VB Sen60 i VB Cos 60 j ! 1.2 j W B K (0.5 Sen25 i 0.5Cos 25 j ) VB Sen60 i VB Cos 60 j ! 1.2 j 0.5Sen25 W B J 0.5Cos 25 W Bi

VB !

VB !

0.5Cos 25 (2.5 ) Sen 60 VB ! 1.328 m 30 S

1 .41) Los pasadores insertados en A y B que se deslizan en las ranuras mostradas, guan el movimiento de la varilla AB. En el instante mostrado, = 4 y el pasador de B sube hacia la izquierda a una velocidad constante de 6 in/s. Determine a) la velocidad angular de la varilla, b) la velocidad del pasador del extremo A

DATOS:

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S

W

B

! 2.5 rad

S

. 72W

B

! .2

s


S

0.5Cos 25 W B Sen60 0.5 s 25W B Cos 60 ! 1.2 0.5Sen60 W Sen60 0.2616W B ! 1.2 0.21130W B

S

j : VB Cos 60 ! 1.2 0.5Sen25 W

S

S

i : V B Sen60 ! 0.5Cos 25 W

B

1

B

2

B

S

S

S

S

S

S

Cuerpos Rgidos en el Plano. V B ! 6 in s W AB !VA !

Dinmica

Diagrama cinemtico:

B

i : 6Cos15 ! 20Cos 40 W AB 6Cos15 20Cos 40 W AB ! 0.378 rad s A ! 6 Sen15 20 Sen 40 (0.378)

W AB !

A

! 6.41 m o s

15.42) Los pasadores insertados en A y B que se deslizan en las ranuras mostradas, guian el movimiento de la varilla AB. En el instante mostrado, =30 y el pasador de A baja a una velocidad constante de 9 in/s.Determine Cuarto semestre Escuela de Ingeniera de Mantenimiento

T

j : 6 Sen15 !

A

20Sen40 W AB

T

6Cos15 i 6 Sen15 j !

T

6Cos15 i 6 Sen15 j !

T

!

A

W AB * rA / BA A

T T T

j W AB k * (20Sen40 i 20Cos 40 j ) J 20 Sen40 W AB j 20Cos 40 W AB i

Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica a) la velocidad angular de la varilla, b)la velocidad del pasador del extremo B.

DATOS: V A ! in W AB ! VB ! s

Diagrama cinemtica:

Cuarto semestre



Dinmica

V B ! V A W AB * rB / A V B Cos15 i V B Sen15 j ! 9 j W AB k * ( 20 Sen30 i 20Cos 30 j ) V Cos15 i V B Sen15 j ! 9 J 20 Sen 30 W AB j 20Cos 30 W AB i 1 i : V B Cos15 ! 20Cos 30 W AB VB ! 20Cos 30 W AB Cos15 j : V B Sen15 ! 9 20 Sen30 W AB 2

3

3en2

! 9 20 se30 W AB Cos15 4.6410W AB ! 9 10W AB . 14.641W AB ! 9 W AB ! 0.614 rad o 4

20Cos 30 W AB Sen15

4 en3VB !

s

20Cos 30 (0.614) Cos15 15 V B ! 11.02 in s

Cuarto semestre


Cuerpos Rgidos en el Plano. Dinmica 1 .4 ) El collarn B desciende hacia la izquierda a una velocidad constante de 1.6m/s. En el instante mostrado, cuando = 4 , determine a) la velocidad angular de la varilla AB, b) la velocidad del collarn A

DATOS: V ! 1 .6 mB

s

W AB ! VA !

Diagrama cinemtico:

Cuarto semestre



Dinmica

V B ! V A W AB * rA / B 1.6Cos 30 i 1.6 Sen30 j ! V A j W AB k * ( 0.5Sen 30 i 0.5Cos 40 j ) i : 1.6Cos 30 ! 0.5Cos 40 W AB 1 W AB ! 1.6Cos 30 0.5Cos 40 W AB ! 3.617 rad s rad o . W AB ! 3.617 s V A 1.6 Sen 30 ! 0.5Sen 40 W AB V A ! 1.6 Sen 30 0.5 Sen 40 ( 3.167 ) V A ! 1.817 1.6Cos 30 i 1.6 Sen30 j ! V A J 0.5 Sen 40 W AB j 0.5Cos 40 W AB i j : 1.6 Sen 30 ! V A 0.5Sen 40 W AB 2

Cuarto semestre

U

s

q


cinetica plana de los cuerpos rÍgidos

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