capítulo 11. rotación de cuerpos rígidos

144 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

Capítulo 11. Rotación de cuerpos rígidos

Aceleración angular

11-1. Un cable está enrollado en torno de un carrete de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones

de este carrete se requieren para que un objeto atado al cable recorra una distancia

rectilínea de 2 m? ¿Cuál es el desplazamiento angular? [R = 0.04 m, s = 2 m, θ = ?]

2 m

0.400 m

s

R! = = = 5 rad

1 rev(5 rad)

2 rad!

"

# $= % &

' (

θ = 0.796 rev

11-2. La rueda de una bicicleta tiene 26 in de diámetro. Si esa rueda describe 60 revoluciones,

¿qué distancia rectilínea recorrerá? [D = 26 in; R = 13 in = 1.083 ft]

2 rad60 rev 377 rad

1 rev

!"

# $= =% &

' (; s = θR = (377 rad)(1.083 ft);

s = 408 ft

11-3. Un punto localizado en el borde de una gran rueda cuyo radio es 3 m se mueve en un

ángulo de 37º. Halle la longitud del arco descrito por ese punto.

0

0

2 rad37 0.646 rad

360

!"

# $= =% &

' (; s = θR = (0.646 rad)(3 m);

s = 1.94 m

R

s


11-4. Una persona sentada en el borde de una plataforma de 6 ft de diámetro recorre una distancia

de 2 ft. Exprese el desplazamiento angular de esa persona en radianes, grados y

revoluciones. [R = 3 ft]

2 ft

3 ft

s

R! = = ; θ = 0.667 rad

1 rev(0.667 rad)

2 rad!

"

# $= % &

' (; θ = 0.106 rad

0360(0.667 rad)

2 rad!

"

# $= % &

' (; θ = 38.2

0

11-5. Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es el

desplazamiento angular después de 6 s?

rev 2 rad 1 min600

min 1 rev 60 sf

!" #" #= $ %$ %

& '& '; f = 62.8 rad/s

(62.8 rad/s)(6 s)t! "= = ; θ = 377 rad

11-6. Una polea giratoria completa 12 revoluciones en 4 s. Calcule la velocidad angular promedio

en revoluciones por segundo, revoluciones por minuto y radianes por segundo.

12 rev

4 sf = ; f = 3.00 rev/s

rev 1 rev 60 s3.00

s 2 rad 1 minf

!

" #" #= $ %$ %

& '& '; f = 28.6 rpm

rev 2 rad2 3.00

s 1 revf

!" !

# $= = % &

' (; ω = 18.8 rad/s


11-7. Un cubo cuelga de una cuerda enrollada con varias vueltas en un carrete circular cuyo radio

es de 60 cm. El cubo parte del reposo y asciende hasta una altura de 20 m en 5 s. (a)

¿Cuántas revoluciones giró el carrete? (b) ¿Cuál fue la velocidad angular promedio del

carrete al girar?

20 m

0.600 m

s

R! = = = 33.3 rad

1 rev(33.3 rad)

2 rad!

"

# $= % &

' (

θ = 5.31 rev

20 m

5 s

sv

t= = ; v = 4.00 m/s

4 m/s

0.6 m

v

R! = = ;

ω = 6.67 rad/s

11-8. Una rueda de 15.0 cm de radio parte del reposo y completa 2.00 revoluciones en 3.00 s. (a)

¿Cuál es la velocidad angular promedio en radianes por segundo? (b) ¿Cuál es la velocidad

lineal final de un punto situado en el borde de la rueda?

2 rev(2 rad/rev)

3 st

! "# = = ; ω = 4.19 rad/s

La velocidad angular final es dos veces la promedio, dado que ω0 = 0; ωf = 8.38 rad/s

vf = ωfR = (8.38 rad/s)(0.15 m);

vf = 1.26 m/s

11-9. Un trozo cilíndrico de material de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm. ¿Cuál es la

velocidad lineal en la superficie del cilindro? [R = D/2 = 3 in = 0.250 ft.]

rev 1 min2 ; 2 800 (0.25 ft)

min 60 sv R fR v! " "

# $# $= = = % &% &

' (' (;

v = 20.9 ft/s

R


11-10. La velocidad tangencial adecuada para fabricar material de acero es de 70 cm/s. ¿A

cuántas rpm deberá girar en un torno un cilindro de acero cuyo diámetro es de 8 cm? [R =

(0.08 m/2) = 0.04 m]

0.70 m/s; 17.5 rad/s

0.04 m

vv R

R! != = = = ;

17.5 rad/s2.75 rev/s

2f

!= = ;

rev 60 s rev2.75 167

s 1 min minf

! "= =# $

% &;

f = 167 rpm

11-11. ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda descrita en el problema 11-8? ¿Cuál es la

aceleración lineal de un punto localizado en el borde de esa rueda? [ωf = 8.38 rad/s; ωo =

0, t = 3 s]

0 8.38 rad/s 0

3 s

f

t

! !"

# #= = ;

α = 2.79 rad/s2

a = αR = (2.79 rad/s2)(0.15 m);

a = 0.419 m/s2

11-12. Un carrete circular de 40 cm de radio gira al inicio a 400 rev/min. Luego se detiene por

completo después de 50 revoluciones. ¿Cuáles fueron la aceleración angular y el tiempo

de detención?

2αθ = ωf2 – ωo

2; θ = 50 rev(2π rad/rev) = 314 rad;

f = 400 rpm = 41.9 rad/s

2 2 2 20 (0) (41.9 rad/s)

2 2(314 rad)

f! !"

#

$ $= = ; α = 2.79 rad/s

2

0 2 2(314 rad);

2 41.9 rad/s

f

f

t t! ! "

"!

+= = = ;

t = 15.0 s


11-13. Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo diámetro es de 40 cm. La polea gira con

una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2. La rapidez rotacional es de 2 rad/s en el t

= 0. ¿Cuáles son el desplazamiento angular y la velocidad angular de la polea 2 s más

tarde?

θ = ω0t + ½αt2; R = 0.40 m/2 = 0.20 m; ωo = 0, t = 2 s, α = 3.5 rad/s

θ = ω0t + ½αt2 = (2 rad/s)(2 s) + ½(3.5 rad/s

2)(2 s)

2; θ = 11.00 rad

ωf = ωo + αt = 2 rad/s + (3.5 rad/s2)(2 s); ωf = 9.00 rad/s

11-14. En el problema 11-13, ¿cuáles son la rapidez lineal final y la aceleración lineal final de la

correa cuando se mueve sobre la ranura de la polea? (Se debe usar el radio R = 0.20 m)

v = ωf R = (9.00 rad/s)(0.200 m); v = 1.80 m/s

a = αR = (3.50 rad/s2)(0.200 m) ; a = 0.750 m/s

2

*11-15. Una rueda gira al inicio a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular

constante de 4 rad/s2. ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? ¿Cuántas

revoluciones completará la rueda?

ωο = 2πfR = 2π(6 rev/s) = 37.7 rad/s; α = 4 rad/s2; t = 5 s

ωf = ωo + αt; ωf = 37.7 rad/s + (4 rad/s2)(5 s); ωf = 57.7 rad/s

θ = ω0t + ½αt2; θ = (37.7 rad/s)(5 s) + ½(4 rad/s

2)(5 s)

2;

θ = 238 rad

1 rev238 rad

2 rad!

"

# $= % &

' (;

θ = 38.0 rev

*11-16. Un disco rectificador detiene su movimiento en 40 revoluciones. Si la aceleración de

frenado fue de −6 rad/s2, ¿cuál fue la frecuencia inicial de giro en revoluciones por

segundo? [θ = 40 rev (2π) = 251 rad]

2αθ = ωf2 – ωo

2; 2

0 2 2( 6 rad/s )(251 rad)! "#= $ = $ $ ; ωo = 54.9 rad/s

1 rev54.9 rad/s

2 radf

!

" #= $ %

& '; f = 8.74 rev/s


*11-17. Una polea de 320 mm de diámetro gira inicialmente a 4 rev/s y luego recibe una

aceleración angular constante de 2 rad/s2. ¿Cuál es la velocidad lineal de una correa

montada en dicha polea, al cabo de 8 s? ¿Cuál es la aceleración tangencial de la correa?

[R = 0.320/2 = 0.160 m]

ωo = 4 rev/s (2π rad/rev) = 25.1 rad/s; α = 2 rad/s2; t = 8 s

ωf = ωo + αt = 25.1 rad/s + (2 rad/s2)(8 s); ωf = 41.1 rad/s

v = ωf R = (41.1 rad/s)(0.160 m) ; v = 6.58 m/s

a = αR = (2 rad/s2)(0.160 m); a = 0.320 m/s

2

*11-18. Una persona que al inicio se encontraba en reposo, colocada a 4 m del centro de una

plataforma giratoria, recorre una distancia de 100 m en 20 s. ¿Cuál es la aceleración

angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular al cabo de 4 s?

Primero encuentre la aceleración lineal:

2 2

0 2 2

2 2(100 m)? ; 0.500 m/s

(20 s)

ss v t at a

t= + = = =

20.500 rad/s

; 4 m

aa R

R! != = = ;

α = 0.125 rad/s2

ωf = ωo + αt; ωf = (0.125 rad/s2)(4 s);

ωf = 0.500 rad/s

Energía cinética rotacional; momento de inercia

11-19. Una masa de 2 kg y otra de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. El sistema

gira en la horizontal a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg.

¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética

rotacional?

I = ΣmR2 = (2 kg)(0.2 m)

2 + (6 kg)(0.1 m)

2

I = 0.140 kg m2 ω = 300 rpm = 31.4 rad/s

Ek = ½Iω2 = ½(0.140 kg m

2)(31.4 rad/s)

2; Ek = 69.1 J

0

6 kg 2 kg

20 cm 10 cm

0


11-20. Una masa de 2 kg y otra de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. El sistema

gira en la horizontal a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg.

¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética

rotacional?

α = 3.00 rad/s2; I = mR

2 = (1.2 kg)(0.70 m)

2; I = 0.588 kg m

2

ωf = ωo + αt = (0) + (3 rad/s2)(4 s); ωf = 12.0 rad/s

Ek = ½Iωf2 = ½(0.588 kg m

2)(12.0 rad/s)

2; Ek = 42.3 J

*11-21. Un disco esmeril de 16 lb gira a 400 rev/min. ¿Cuál es el radio del disco si su energía

cinética es de 54.8 ft lb? ¿Cuál es el momento de inercia? [400 rpm = 41.89 rad/s]

m = (16 lb/32 ft/s2) = 0.500 slugs; Ek = ½Ιω2 = 54.8 ft lb; I = ½mR

2

2 2

2 2(54.8 ft lb)

(41.89 rad/s)

kE

I!

= = ;

I = 0.0625 slug ft2

I = ½mR2;

22 2(0.0625 slug ft )

0.50 kg

IR

m= = ;

R = 0.500 ft o 6.00 in

*11-22. ¿Cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg si se requiere que su momento de

inercia sea igual al de una varilla de 1 kg de peso y 1 m de peso y longitud que oscila

apoyada en su punto medio? [ID = ½mR2; IR = (1/12)mL

2]

2 2 22 (1 kg)(1 m)

? ; R=12 6 6(4 kg)

r r

d

d

m L m Lm R

m= = ;

R = 0.204 m


*11-23. La rueda de una carreta mide 60 cm de diámetro y está montada en un eje central sobre el

cual gira a 200 rev/min. Se puede considerar que la rueda es un aro circular de 2 kg de

masa y cada uno de sus 12 rayos de madera de 500 g puede considerarse una varilla

delgada que gira sobre sus extremos. Calcule el momento de inercia de toda la rueda.

¿Cuál es su energía cinética rotacional?

mw = 2 kg, Rw = 0.30 m; ms = 0.5 kg; Ls = 0.30 m, 12T w sI I I= +

2 2 2 21312( ); (2 kg)(0.3 m) 4(0.5 kg)(0.3)

T w TI m R mL I= + = + ;

I = 0.360 kg m2; ω = 200 rpm = 20.94 rad/s

2 2 2? ? (0.360 kg m )(20.94 rad/s)kE I!= = ;

Ek = 78.9 J

*11-24. Compare la energía cinética rotacional de tres objetos que tienen radios y masas iguales:

un aro circular, un disco circular y una esfera sólida.

Las inercias de rotación son: 2 2 225 ; ? ;

H D SI mR I mR I mR= = =

Para fines de comparación, suponga que ajusta m = 1 kg y R = 1 m

Así que: 2 2 2 1 kg m ; 0.5 kg m ; 0.4 kg mH D SI I I= = =

Ahora, Ek = ½Iω2, tal que a una velocidad de rotación dada, el aro tiene la energía

cinética mayor; le sigue el disco y después la esfera.

Segunda ley de Newton y rotación

11-25. Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con

una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su

eje central, ¿cuál es la aceleración angular?

τ = FR = Iα; I = ½mR2

2 2 2(400 N)(? ) ;

(5 kg)(0.20 m)

FFR mR

mR! != = = ;

α = 800 rad/s2 F = 400 N

R


11-26. Un volante de motor tiene un momento de inercia de 24 slug · ft2. ¿Qué momento angular

se requiere para acelerar el volante desde el reposo hasta una velocidad angular de 400

rpm en 10 s?

ωf = 400 rpm = 41.9 rad/s; ωo = 0; t = 10 s, I = 24 slug ft2

241.9 rad/s - 04.19 rad/s

10 s

f o

t

! !"

#= = = ;

τ = Iα = (24 slug ft2)(4.19 rad/s

2); τ = 1010 N m

*11-27. Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué

momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones al tiempo

que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min?

θ = 20 rev(2π rad) = 126 rad; ωo = 200 rpm = 20.94 rad/s

ωf = 600 rpm = 62.8 rad/s; m = 3 kg; L = 0.40 m

2αθ = ωf2 - ωo

2; 2α(126 rad) = (62.8 rad/s)

2 – (20.94 rad/s)

2; α = 13.9 rad/s

2

2112I mL= 2 2 21 1

12 12 (3 kg)(0.40 m) (13.9 rad/s )I mL! " "= = = ;

τ = 0.558 N m

*11-28. Una rueda grande de turbina pesa 120 kg y tiene un radio de giro de 1 m. Un momento

de torsión friccional de 80 N ⋅ m se opone a la rotación del eje. ¿Qué momento de torsión

se deberá aplicar para acelerar la rueda desde el reposo hasta 300 rev/min en 10 s?

ωo = 0, ωf = 300 rpm = 31.4 rad/s, t = 2 s

0 231.4 rad/s - 015.7 rad/s

2 s

f

t

! !"

#= = = ; I = mk

2 = (120 kg)(1 m)

2

I = 120 kg m2; τ = Iα = (120 kg m

2)(15.7 rad/s

2);

τ = 1885 N m

m = 3 kg

L = 0.40 m


11-29. Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera, describiendo un círculo

de 50 cm de radio. ¿Qué momento de torsión resultante se requiere para impartir a esa

masa una aceleración angular de 2.5 rad/s2?

I = mR2 = (2 kg)(0.5 m)

2 = 0.5 kg m

2;

τ = Iα = (0.5 kg m2)(2.5 rad/s

2);

τ = 1.25 N m

*11-30. Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un cilindro de 0.2 m de radio y 30 kg de

masa. ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene una tensión de 40 N

y gira sin fricción alguna?

2 2 2(40 N); FR = (? mR ) ;

(30 kg)(0.20 m)

FFR I

mR! " " "= = = = ;

α = 13.3 rad/s2

*11-31. Un disco rectificador de 8 kg tiene 60 cm de diámetro y gira a 600 rev/min. ¿Qué fuerza

de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de

rotación en 5 s?

ω0 = 600 rpm = 62.8 rad/s, ωf = 0, 0 262.8 rad/s - 0

12.6 rad/s5 s

f

t

! !"

#= = =

2; FR = (? mR ) ;FR I! " "= =

2 ? mR ? (8 kg)(0.30 m)(12.6 rad/s )F != = ;

F = 15.1 N

11-32. Un momento de torsión no balanceado de 150 N · m le imparte una aceleración angular de

12 rad/s2 al rotor de un generador. ¿Cuál es el momento de inercia?

τ = Iα ; 2

150 N m

12 rad/sI

!

"= = ;

I = 12.5 kg m2

capítulo 11. rotación de cuerpos rígidos

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