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CUERPOS RÍGIDOS
Sistemas Equivalentes
de Fuerzas
INTRODUCCIÓN
Un Cuerpo Rígido es aquel que no se deforma.
Vamos a ver cómo reemplazar un Sistema de Fuerzas dado por un sistema equivalente más simple. El análisis se basa en el Principio de Transmisibilidad, donde el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción.
Dos conceptos fundamentales a estudiar:
Momento de una Fuerza con respecto a un punto.
Momento de una Fuerza con respecto a un eje.
Par es un concepto que hace referencia a la combinación de dos fuerzas que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos.
FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS
Las Fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden dividir en dos grupos:
Fuerzas externas.
Fuerzas internas.
Las fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido bajo consideración. Son las que causan que el cuerpo se mueva o asegura que permanezca en reposo.
Ejemplo de fuerzas externas:
Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido.
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Establece que las condiciones
de equilibrio o de movimiento
de un cuerpo rígido
permanecerán inalteradas si
una fuerza F que actúa en un
punto dado se reemplaza por
una fuerza F’ que tiene la
misma magnitud, dirección y la
misma línea de acción de la
fuerza F.
RESTRICCIONES
De acuerdo a la siguiente figura, se presentan situaciones
de transmisibilidad, sin embargo, desde el punto de vista de
mecánica de materiales existe tensión y compresión.
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Momento de una fuerza con respecto a un punto:
Producto Vectorial de dos vectores.
El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones:
La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y a Q.
La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q con el seno del ángulo θ (≤180º) formado por P y Q.
V = PQ sen θ
La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Cierre su mano derecha y manténgala de tal forma que sus dedos estén doblados en el mismo sentido que la rotación a través del ángulo θ que haría el vector P colineal con el vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector.
El producto vectorial de dos vectores P y Q se le conoce
también como producto cruz.
V = P x Q
Ejemplo #1:
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Calcúlese el producto vectorial V = P
x Q cuando un vector P tiene una
magnitud de 6 y se encuentra en el
plano zx formando un ángulo de 30º
con el eje x y el vector Q tiene una
magnitud de 4 y se encuentra a lo
largo del eje x.
x
z
y
PRODUCTOS VECTORIALES EN TÉRMINOS
DE COMPONENTES RECTANGULARES
i x i = 0 j x i = -k k x i = j
i x j = k j x j = 0 k x j = -i
i x k = -j j x k = i k x k = 0
Si se ordenan las tres letras que representan a
los vectores unitarios en un círculo en sentido
contrario al de las manecillas del reloj, el
producto será positivo si se siguen uno a otro
en esa dirección.
z
x
y
j
k
j x k = i
z
x
y
j
k k x j = - i
V = P x Q = (Pxi + Pyj+ Pzk) x (Qxi + Qyj+ Qzk)
V = (PyQz - PzQy)i + (PzQx - PxQz)j + (PxQy - PyQx)k
Vx = PyQz – PzQy
Vy = PzQx – PxQz
Vz = PxQy – PyQx
i j k
V= Px Py Pz
Qx Qy Qz
PRODUCTOS VECTORIALES EN TÉRMINOS
DE COMPONENTES RECTANGULARES
MOMENTO DE UNA FUERZA CON
RESPECTO A UN PUNTO
Mo = r x F
El momento Mo debe ser perpendicular
al plano que contiene el punto O y a la
fuerza F.
El sentido se determina por la regla de
la mano derecha.
Mo = r F sen ɵ = F d
Donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea
de acción de F.
La magnitud de Mo mide la tendencia
de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo
rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de Mo .
La propiedad distributiva de los productos vectoriales se
puede emplear para determinar el momento de la
resultante de varias fuerzas concurrentes. Si las fuerzas
F1, F2, … se aplican en el mismo punto A, se puede
concluir que:
TEOREMA DE VARIGNON
r x (F1 + F2 + …) = r x F1 + r x F2 + …
El momento con respecto a un punto dado de
la resultante de varias fuerzas concurrentes, es
igual a la suma de los momentos de las
distintas fuerzas en ese punto.
COMPONENTES RECTANGULARES DEL
MOMENTO DE UNA FUERZA
La determinación del momento de una fuerza en el espacio
se simplifica si el vector de fuerza y el vector de posición a
partir del punto de aplicación, se descomponen en sus
componentes rectangulares.
r = xi + yj + zk
F = Fxi + Fyj + Fzk
Mo = r x F
Mo = Mxi + Myj + Mzk
Mx = yFz - zFy
My = zFx - xFz
Mz = yFy - yFx
i j k
Mo = x y z
Fx Fy Fz
z
x
y
Fy j
Fx i
Fz k
x i y j
z k
COMPONENTES RECTANGULARES DEL
MOMENTO DE UNA FUERZA
i j k
MB = xA/B yA/B z A/B
Fx Fy Fz
Viendo la figura, podríamos decir que
MB = rA/B x F = (rA – rB) x F
En el caso de dos dimensiones, por ejemplo si z = 0 y Fz = 0,
la ecuación quedaría:
Mo = (xFy – yFx)k
Mo = Mz = xFy – yFx (magnitud)
MB = (xA – xB)Fy – (yA – yB)Fx
EJEMPLO # 2
EJEMPLO # 3
EJEMPLO # 4
TAREA
Problema #1. Problema #2.
Determine el momento total con respecto al punto A debido
a las fuerzas que actúan en la viga.
Determine la dirección θ de la fuerza mostrada que
produzca el máximo momento con respecto al punto A, en
el sentido de las manecillas del reloj y la dirección θ de la
fuerza que produzca el mínimo momento con respecto al
punto A. Encuentre además los momentos.
R:
MA = 5 220.6 N.m
R:
Mmin = 0
ϴmin = 11.3°
Mmáx = 2 040 lb.pie
ϴmáx = 78.7°
TAREA
Problema #3. Problema #4.
Dos jóvenes empujan la puerta como se muestra. Si el
joven situado en B ejerce una fuerza de 60 lb, determine
la magnitud de la fuerza que el joven ubicado en A debe
ejercer para impedir que la reja gire.
Determine el ángulo θ a que la fuerza mostrada debe
actuar en A para que el momento de esa fuerza con
respecto al punto B sea igual a 800 N.m. horario.
R:
FA = 61.9 lb
R:
ϴmin = 60.8°