DOCENTE:ING. Guido Elias Farfn Escalante.Integrantes: Fernndez Quinteros, Raiza Marcela. 012200296-HYbar Valencia, Katherine Maritza. 012200541-B

AVISO:

Advenimiento de la Revolucin Industrial. Tendencia de los componentes de una organizacin (autonoma). Asignacin de los recursos disponibles de la manera ms eficaz (IO).El desarrollo de la IO es debido a: Tcnicas disponibles en esta reaAdvenimiento de las computadoras

QU ES INVESTIGACIN DE OPERACIONES ?Es la aplicacin de grupos interdisciplinarios del mtodo cientfico a sistemas a fin de que produzcan soluciones que mejoren los objetivos de la organizacin.Una organizacin se puede interpretar como un sistema.Todo sistema es una estructura que funciona.El objetivo es el control yo modificacin que se hace a los componentes en forma eficiente.

Sistema

CLASIFICACION DE LOS MODELOSSegn la forma de su PresentacinSegn su Estructura (Simblicos)

Modelos DescriptivosModelos Iconos o FsicosModelos SimblicosExpresados en forma concisa a travs de smbolos matemticos, en forma analtica o grfica va en conj. de funciones en la forma de ecuaciones e inecuacionesModelos Tipo Procedimiento (Simulacin)

Modelos DeterminsticosSon aquellos que NO incluyen propiedades relacionadas con fenmenos aleatoriosModelos EstocsticosModelos LinealesSon aquellos que incluyen slo funciones linealesEjemplo: y= f(x1, x2)Modelos No Linealese)Modelos EstticoSon aquellos que incluyen slo funciones no linealesEjemplo: Z= g(x, y)= x2 + x y + y2

f)Modelos DinmicoSon aquellos que rpta un sistema en que el tiempo es importanteModelos Continuo en el Tiempoh)Modelos Discreto en el TiempoEs aquel que incluyen solo variables y func discretas en el tiempo

Anlisis de las Componentes de un Proyecto de I.O.BENEFICIOSIncrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones.Mejora la coordinacin entre las mltiples componentes de la organizacin.Mejora el control de sistema al instituir procedimientos sistemticos.Lograr un mejor sistema, operar con costos bajos.

ETAPAS POR LA QUE PASA UN PROYECTOFormulacin de los Problemas de la Organizacin.Construccin de Modelos.Derivar las soluciones de modelo.Prueba del Modelo y de las Soluciones.

1.5 INFLUJO DE LA I.O La P.L. se ha usado con xito en la sol. de problemas referentes a la asignacin de personal, la mezcla de materiales, la distribucin y el transporte y las carteras de inversin. La P.D. se ha aplicado con buenos resultados en reas tales como la planeacin de los gastos de comercializacin, la estrategia de ventas y la planeacin de la produccin.

1.6 LA I.O EN EL PERU Desde los 1ros aos de la dcada del 60 diversas Empresas y Entidades han aplicado la P.L. para la toma de decisiones en probl. especficos. La utilizacin de esta tcnica ha sido sistematizada en unos casos y puntual en otros.

Dentro de las aplicaciones conocidas en nuestro medio, mencionaremos las siguientes: Petroperu Nicolini Hnos S.A. Unileche S.A. Ministerio de Agricultura Ministerio de TransportePOR MENCIONAR ALGUNOS Modelos Matematicos de Centromin- Peru Modelo Matemtico de Transporte de crudos y refinados para la asignacin ptima de la flota nacional. Modelo de refineras para la obtencin de gasolina del octanaje adecuado al mnimo costo.Modelo de mezcla de insumos para la fabricacin de alimentos balanceados para aves.Modelo de Transporte para las asignaciones de rutas y vehculos de reparto de leche en Lima Metropolitano Modelo de Rotacin de Cultivos para los valles de la Costa Norte del Per.Modelo de evaluacin de Proyectos de Construccin Vial considerando los efectos regionales de centros de produccin y consumoModelo de Minas de Casapalca Modelo de Cobre y Plomo Modelo para la comercializacin de concentrados de Zinc nacional

1.7 ENTRENAMIENTO PARA HACER CARRERA EN IO Debido al intenso crecimiento de la IO, parece que las oportunidades para hacer carrera en este campo son excelentes.CAMINO POR ANDAR La puesta en prctica de los modelos de IO para analizar problemas de sistemas complejos en la industria o el sector pblico.

1.8 PROCESOS EN LA SOLUCIN DE UN PROBLEMA MEDIANTE IODefinicin del Sistema del Mundo RealDefinicin del sistema a ser modeladoDefinicin del Problema Formulacin del Modelo Solucin del Modelo Validacin de Resultados Validacin del Modelo Presentacin de ResultadosImplementacin del Modelo

PROCESOS EN LA MODELACION DE UN PROBLEMA PRACTICO1. Inicios: Formulacin del problema2. Existe un modelo apropiado3. Es factible construir un modelo analtico apropiado4. Permite experimentar con modelos numricos5. Desea cierta sofisticacin y acepta costos de valor medios altos6. Formular un modelo de simulacin7. Identificar alternativas8. Buscar la mejor alternativa

PROCESOS EN LA MODELACION DE UN PROBLEMA PRACTICO9. No use modelos: tome decisiones basadas en el sentido comn10. Formular un modelo Heurstico (intuitivo)11. Enumerar las alternativas12. Experimentar y seleccionar una alternativa aceptable14. Resolver el modelo13. Especificar el problema en el formato del modelo15. Comprobar los resultados con experimentos16. La solucin es aceptable17. Implementar y usar el modelo

DIAGRAMA DE FLUJO DE PROCESOS EN LA MODELACIN

EJERCICIOSFORMULACION DE PROGRAMAS LINEALES0102030405060708091011121314151617181920

Una firma elabora 2 productos, en las cuales entran 4 componentes en c/u. Hay una determinada disponibilidad de c/ componente y un beneficio por c/ producto. Se desea hallar la cantidad de c/ artculo que deba fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformacin, (cantidad de c/componente que entra en cada producto)

Solucin:x1 = N de unidades del Producto P1x2 = N de unidades del Producto P2Con respecto a la disponibilidadAnalizando cada componente (A):1x1 + 3x2 15 000 2x1 + 1x2 10 000

Aplicando el mismo anlisis, a los dems componentes:1x1 + 3x2 15 000 2x1 + 1x2 10 000 2x1 + 2x2 12 000 1x1 + 1x2 10 000Con respecto a los Bfs de cada producto, se puede obtener el total, as:

Entonces el programa lineal correspondiente es:Max Z = 4x1 + 3x2Sujeto a:1x1 + 3x2 15,0002x1 + 1x2 10,0002x1 + 2x2 12,0001x1 + 1x2 10,000x1, x2 0

La Ca "PROLANSA" produce tornillos y clavos. La M.P. para los tornillos cuesta S/. 2.00 c/u, mientras que la M.P. para c/clavo cuesta S/. 2.50. un clavo requiere dos hrs de M.O. en el dpto #1 y tres hrs. en el dpto #2, mientras q un tornillo requiere cuatro hrs. en el dpto #1 y dos hrs. en el dpto #2. El jornal por hora en c/dpto es de S/. 2.00. Si ambos productos se venden a S/. 18.00, y el nmero de hrs. de M.O. disponibles por semana en los dptos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el probl. propuesto como un P.L., tal que maximicen las utilidades.Solucin

x1 = N de tornillos/semanax2 = N de clavos/semana

Costo de los clavos = 5 x 2 + 2.5 = S/. 12.5/Unid. = S/. 12.5/Unid.Utilidad = 18 - 12.5 = S/. 5.50/Unid.

Por lo tanto el P.l. es :

Max Z = 4x1 + 5.50x2s. a. :4x1 + 2x2 1602x1 + 3x2 180x1, x2 0El jornal por hora en c/dpto es de S/. 2.00, ambos productos se venden a S/.18.00Utilidad = venta - costo

Un fabricante produce 3 modelos (I, II y III) de un cierto prod., y usa 2 tipos de MP. (A y B), de los cuales se tienen disponibles 2,000 y 3,000 unidades respectivamente.Los requisitos de MP por unidad de los 3 modelos son: El tiempo de M.O por c/unid. del modelo I es 2 veces el modelo II y 3 veces el modelo III. La fuerza laboral completa de la fb. puede producir el equiv. de 700 unid. del modelo I. Una encuesta indica que la demanda mn de los 3 modelos es 200, 250 y 150 unid respectiv. Sin embargo, las relaciones del nmero de unid producidas deben ser igual a 3:2:5. Supongamos que los beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 unidades monetarias.

Formule el problema como un modelo de PL a fin de det el nmero de unid de c/producto que maximizarn el beneficio.Solucin:x1 = Cantidad de Producc del Modelo Ix2 = Cantidad de Producc del Modelo IIx3 = Cantidad de Producc del Modelo IIIlos beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 unidades monetariasFuncin ObjetivoMax Z = 30x1 + 20x2 + 50x3

Sujeto a: {Restricciones}

Con respecto a MP2x1 + 3x2 + 5x3 2000 4x1 + 2x2 + 7x3 3000

2x1 + 3x2 + 5x3 20002.Con respecto a la demanda mnimaUna encuesta indica que la demanda mn de los 3 modelos es 200, 250 y 150 unid respectiv.x1 200x2 250x3 150 3.Relacin a las unid. producidasSin embargo, las relaciones del nmero de unid producidas deben ser igual a 3:2:5.

4.Condicin LaboralEl tiempo de M.O por c/unid. del modelo I es 2 veces el modelo II y 3 veces el modelo III. La fuerza laboral completa de la fb. puede producir el equiv. de 700 unid. del modelo I5.Condiciones de no negatividadx1 0, x2 0, x3 0

Para una cafetera que trabaja 24 hrs se requiere las siguientes meseras: Cada mesera trabaja 8 hrs consecutivas por da. Encontrar el nmero ms pequeo requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule el probl. como un modelo de P. L.

4 8 10 7 12 4Nro mn. de meserasCantidad de meseras q ingresan en el turno 1x1 + x6 4

Solucin

xi = Cantidad de meseras que ingresan en el turno i. (i= 1,6)F.O. : Min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6S. a:x1 + x6 4x1 + x2 8x2 + x3 10x3 + x4 7x4 + x5 12x5 + x6 4 xj 0 j = 1,..,6

Una Ca debe elaborar 2 productos en det perodo (un trimestre) la Ca puede pagar por materiales y MO, con dinero obtenido de 2 fuentes: Fondos de la Ca (propio), y prstamos. La Compaa enfrenta tres decisiones. Cuntas unid debe producir del producto 1 Cuntas unid debe producir del producto 2? Cunto dinero debe obtener prestado para apoyar la produccin de los 2 modelos?

Del cuadro anterior, se obtiene:U1 = (14 - 10)x1U2 = (11 - 8)x2U3 = -1.05x3 Donde U,sera la utilidad del producto. As se obtiene la F.O.:Max Z = 4x1 + 3x2 - 0.05x3 s.a:0.5x1 + 0.3x2 5000.3x1 + 0.4x2 4000.2x1 + 0.1x2 200

Se sabe que Kapital= 30000 y prstamo es x3:10x1 + 8x2 30,000 + x3 (Fondos de la compaa) x3 20,000 (Prstamo)

Un agricultor requiere cultivar maz y trigo en un terreno de 70 Ha, sabe que una Ha puede rendir 30 quintales de maz o 25 quintales de trigo c/Ha, requiere un cap. de $ 30 si se cultiva con maz y de $ 40 si se cultiva con trigo, el cap. total disponible es de $ 2,500, las necesidades de agua de riego son de 900 m3/Ha de maz y de 650 m3/Ha de trigo en octubre, y de 1200 m3/Ha y 850 m3/Ha de maz y trigo respectivamente en noviembre.La disponibilidad de agua en octubre es de 57,000 m3 y en noviembre de 115,200 m3, si los beneficios por venta de maz y del trigo son $ 4.50 y de $ 6 por quintal respectivamente, hay que determinar la cantidad de maz y trigo que se debe producir para obtener el beneficio mximo Solucin

X1 = nmero de hectreas (Ha) cultivadas de mazX2 = nmero de hectreas (Ha) cultivadas de trigo

Cuadro obtenido del enunciadouna Ha puede rendir 30 quintales de maz o 25 quintales de trigoF.O :Max Z = (4,50)(30) x1 + 6 (25) x2= 135 x1 + 150 x2

S.A : x1 + x2 70 30x1 + 40x2 2,500 900x1 + 650 x2 57,0001,200x1 + 850x2 115,200x1 0, x2 0maz y trigo en un terreno de 70 Ha

Un barco tiene tres bodegas en la proa, en la popa y en el centro. Las capacidades limites son Se tiene una oferta de carga, que se puede aceptar total o parcialmenteCmo se puede distribuir la carga para Max la ganancia, si la preservacin del equilibrio obliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas?

Solucin:xj = (# de ton. de c/artculo que ira en c/ bodega, j= 1,2,...,9) Por lo tanto el PL, es:Max Z = 6(x1 + x2 + x3) + 8 (x4 + x5 + x6) + 9 (x7 + x8 + x9)

SUJETO A:a) Restricciones debidas al ton. de bodegax1 + x4 + x72,000 x2 + x5 + x83,000 x3 + x6 + x91,500 x1 + x4 + x72,000 x2 + x5 + x83,000 x3 + x6 + x91,500

b) Restricciones debidas al volumen de bodega

60x1 + 50x4 + 25x7100,000 60x2 + 50x5 + 25x8135,000 60x3 + 50x6 + 25x9 30,000

c) Restricciones debidas a la oferta de los artculos

x1 + x2 + x36,000 x4 + x5 + x64,000 x7 + x8 + x92,000 d) Restricciones x Preservac del equilibrio

Se hace un pedido a una papelera de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulg. de ancho, 500 rollos de 45 pulg. de ancho y 1000 de 56 pulg. Si la papelera tiene solamente rollos de 108 pulg. de ancho, Cmo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mnimo desperdicio de papel.?

Solucin

xj = (# de rollos cortados de diferentes maneras, j = 1,2,...,5)

Por lo tanto el PL es:

Min Z = 18x1 + 3x2 + 8x3 + 18x4 + 13x5S.a:3x1 + 2x2 =800 x2 + 2x4 + 1x5 =500 1x3 + 1x5 =1,000xj 0; j = 1,2,...,5

xj = (# de rollos cortados de diferentes maneras)DesperdicioLos cortes tienen que ser exactos

Una planta fabrica prod. A y B, que pasan por procesos (1,2,3 y 4):Cuando hay capac disponible en el Centro 3, es posible enviar el prod. A por 3 en lugar de hacerlo pasar 2 veces por el Centro 2

Los centros 1 y 4 trabajan hasta 16 hrs al da; los centros 2 y 3 trabajan hasta 12 hrs al da. Esta Ca efecta la distribucin de sus productos con sus propios Rs, los que permiten el transp de un mximo de 2,500 gal. Los 2 tipos de MPs, que se evaporan con facilidad pueden conseguirse en cualesquiera cantd en el mcado; pero no hay forma de almacenarlos, e.d. la totalidad de las MPs compradas debe usarse al da que se reciben. Los pedidos son satisfechos el mismo da que se piden y a un tiempo para su uso. Expresar el prob propuesto co un PL, que permite decidir cuantos galones de MP deben dedicarse diariamente a c/curso posible, dado que c/centro pueda manejar el paso de un prod en proceso a la vez y se desea maximizar las utilidades. Ignrese el tiempo que podra requerir para cambiar de un producto a otro en cualquier de los Centros.

NOTA: % de Merma = 100 - % de recuperacin Solucin:XAN = # de gal de MP de A (curso normal)XAA = # de gal de MP de A (curso alternativo)XB = # de gal de MP de B. Utilidad = Ingreso total - Costo MP - Costo Operacin Ingreso Total =200[(0.90) (0.75) (0.85) (0.80)] XAN + 200[(0.90) (0.95) (0.85) (0.75)] XAA + 180 [(0.90) (0.85) (0.80)]XB Costo MP = 50(XAN + XAA) + 60XB

Por lo tanto el PL, y simplificando la FO, es:Max Z = 47XAN = 38.6 XAA + 34.7 XB

a) Restricciones debido al transporte (0.90) (0.8) (0.95) (0.85)XAN + (0.90) (0.95) (0.85) (0.75) XAA + (0.90) (0.8) (0.85)XB 2,500 b) Restricciones debido a las horas disponibles en c/centro

Centro 3Centro 4c)Restricciones debido a Ventas

Luego de realizar algunas simplificaciones algebraicas, el PL es el siguiente : Max = 47xAN + 0.38xAA + 34.7xBS.a:0.58 xAN + 0.54 xAA + 0.61 xB 1,5000.003 (xAN + xAA) + 0.002xB 160.002(xAN + xAA) + 0.001xB 120.002xAA + 0.001xB 120.003(xAN + xAA) + 0.001xB 160.58xAN + 0.54 xA 1,7000.612xB 1,500XAN, XAA, XB 0

Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos activid. A y B, siendo el horizonte econmico de 5 aos. c/u econmica invertida es A en el comienzo de cualquier ao, produce una utilidad de $. 0,40, dos aos ms tarde. c/u monetaria invertida en B, en el comienzo de cualquier ao produce una utilidad de $. 0,70 tres aos ms tarde. Adems tiene otras dos perspectivas C y D para el futuro.C/u monetaria invertida en C en el comienzo del segundo ao permite una utilidad de $. 1,00 al final de los 5 aos, c/u monetaria invertida en D en el comienzo del quinto ao produce una utilidad de $. 0,30. El inversionista dispone de $. 10,000 y desea conocer el plan de inversiones que maximice sus utilidades. Solucin:

Xij = Unidades monetarias invertidas en el i-simo perodo y la j-sima actividad, (i = 1, 2, 3, 4, 5; j = A, B, C, D.)

Esquemticamentedos aos ms tardetres aos ms tardecomienzo del segundo aocomienzo del quinto ao

F.O. :Max Z = 0.40 (x1A + x2A + x3A + x4A) + 0.70(x1B + x2B +x3B) + x2C + 0.30x5D S.A: Debido a la disponibilidad del capital para el primer ao.x1A + x1B10,000 Para el segundo aox2C + x1A + x1B + x2A + x2B 10,000El inversionista dispone de $. 10,000

Para el tercer ao x1B + x2A + x2B + x2C + x3A - 0.40x1A 10,000

Para el cuarto ao x2B + x2C + x3A + x3B + x4A 10,000 +1.7x1B +1.4x2A+ 1.4x1A Para el quinto ao x2C + x3B + x4A +x5D 10,000+ 1.4x3A +1.7x2B + 1.7x2B +1.7x1B + 1.4x2A + 1.4x1A xij 0 ;i = 1... 5 , j = A. ..D

Un joven tena que entretener a un visitante durante 90 minutos. Pens que seria una buena idea que el husped se emborrachase. Se le dio al joven S/.50. El joven saba que la visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre beba menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whisky y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15' por c/ vaso de cerveza, 6' por ginebra, 7' y 4' por whisky y martini. Los precios de las bebidas eran (en vaso):Cerveza S/. 1, Ginebra S/. 2, Whisky S/. 2, Martini S/. 4El obj era Max. el consumo alcohlico durante los 90' que tena para entretener al husped. Un qumico le dio el contenido alcohlico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades por un vaso de 17, 15, 16 y 7 por vaso. El visitante siempre beba un mnimo de 2 whiskys.

Solucin:xj = N de vaso de tipo (1:Cerveza , 2:Ginegra, 3: Whisky, 4: Martini) Un qumico le dio el cont alcoh de las bebidas por vaso de 17, 15, 16 y 7MaxZ = 17 x1 + 15 x2 + 16 x3 + 7 x4 Los precios de las bebidas eran por vaso de 1, 2, 2, 4 solesSujeto a:1 x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 50 El tiempo en beber c/vaso de bebida es de: 15, 6, 7, 410x1 + 6x2 + 7x3 + 4x4 90 X1 8; x2 10 2

El costo del avin A es de $6.7 millones, el avin B en $5 millones y el avin C de $ 3.5 millones. El directorio autoriza la compra de aviones por valor de 150 millones.El tipo A de mayor capacid. proporcionar una utilidad de $. 420,000 anuales, el avin B una utilidad de $.300,000 y el avin C una utilidad de $. 230,000 anuales.La Fuerza Area Peruana slo le podra proporcionar 30 pilotos debidamente entrenados. Aero-Per podra mantener un mximo de 40 unid.Mantener un avin B requiere 1/3 ms que el avin C y que el avin A requiere 1 2/3 ms que el C. Solucin

Variables de Desicin :x1 = N de aviones A x2 = N de aviones B x3 = N de aviones C

S.a:6.7x1 + 5x2 + 3.5 x3 150 x1 + x2 + x3 30F.O. :Max Z = 420x1 + 300x2 + 230x3 B = 1 1 C + C = 2 1 C 3 32 2 x1 + 2 1 x2 + x3 40 3 3

xj 0; j = 1, 2, 3 A = 1 2 C + C = 2 2 C 3 3Mantener un avin B requiere 1/3 ms que el avin C y que el avin A requiere 1 2/3 ms que el C. costo del avin A es de $6.7 mills, el avin B en $5 mills y el avin C de $ 3.5 millsutilidad de $. 420,000 anuales, el avin B una utilidad de $.300,000 y el avin C una utilidad de $. 230,000 anuales.

Una Ca de art electrnicos produce 3 lneas de prodque son: Transistores, Micromdulos y Circuitos Armados y el centro de produccin tiene 4 reas de proceso: Area1Produccin de TransistoresArea2Armadura de circuitosArea3Control de transistoresArea4Prueba de circuitos y Embalaje La produccin de transistor requiere: 0.1hrs - hombre en Area 1 0.5hrs - hombre en Area 3 S/. 70.0 en costos directos

La construccin de un micromdulo requiere: 0.4hrs - hombre en Area 20.5hrs - hombre en Area 33.0TransistoresS/. 50.0en costos directosLa produccin de un circuito armado requiere:0.1hrs - hombre en Area 20.5hrs - hombre en Area 41.0Transistor3.0MicromdulosS/. 200.0en costos directos C/prodse vende a S/ 200, 800 y 2,500 (transistores, micromdul y circuitos armados). La cantidad de venta es ilimitada; si hay 200 horas-hombre disponible en c/rea de trabajo. Formule el PL para obtener una mx ganancia.

Solucin:x1 = Nmero de transistores a producirx2 = Nmero de micromdulos a producirx3 = Nmero de circuitos armados a producirEl nmero de horas que se necesita de cada Area para fabricar cada producto, se muestra Por lo tanto el programa lineal es: Venta - CostoMax z= (200 - 70)x1 + (800 - 3 x 70 - 50)x2 + (2500 - 1x 70 - 3(3 x 70+50) - 200 )x3

Del cuadro obtenemos las restricciones:MaxZ = 130x1 + 540x2 + 1450x3S.a:0.1x1 + 0.30x2 + 1x3 200 0.4x2 + 1.3x3 2000.5x1 + 2x2 + 6.5x3 200 0.5x3 200xj 0; j = 1, 2, 3

El Plan A garantiza que c/dlar invertido retornar 70 cent. por ao, el plan B garantiza que c/dlar invertido retornar $2.00 en dos aos. En el plan B se invierte perodos mltiplos de dos aos. Cmo se invertir $ 100,000 para maximizar los retornos al final de los 3 aos? Formule el P.L.Solucin

Xi,j = Inversin del i-simo plan en el j-simo ao ( i = A,B ; j = 1,2, 3)

Lo que nos permite plantear el siguiente cuadro:

En el plan B se invierte perodos mltiplos de dos aosF.O

F.O :Max Z = 1.7 XA3 + 3 XB2S.a: Cantidad que ingresa cantidad que sale100,000 XA1 + XB11.7 XA1 XA2 + XB21.7 XA2 + 3 XB1 XA3

XA1, XA2, XA3, XB1, XB2 0maximizar los retornos al final de los 3 aos

Faucett tiene que decidir cuantas azafatas nuevas tiene que emplear, entrenar, despedir en los 6 meses que vienen. Los requisitos en hora de vuelo de azafata son los siguientes: Una chica necesita un mes de entrenamiento, hay que emplearla un mes antes de que sus servicios sean necesarios. El entrenam de una chica nueva requiere el tiempo de una azafata con experiencia regular entrenada (100 hrs. aprox)Una azafata trabaja un mx de 150 horas c/ mes, hay 60 azafatas disponibles el primer da de Enero. Si la demanda es menor la Ca. puede despedirlas

Despedir un azafata cuesta $1000Una azafata regular cuesta $ 800Una con entrenamiento $ 400Si el 10% (azafatas regulares) renuncian por casamiento, formular un PL para Minimizar costos.Solucin:Xij = N de azafatas que en el mes I (Ene(1)-Feb(2)...Jun(6)) se encuentran en la situacin J (1:regular- 2:entrenamiento 3:despedir)

Comienzo de Ene hay: (60 azaf)(150 hrs. Azaf) = 9,000 hrs.Azafata regular = 150 horasAzafata en entren. = -100 horasAzafata despedida = -150 horas COSTO: $800 azafata regular / $400 en entrenam / $1,000 despedida Obs: las decisiones de despido, entren se toma al inicio de c/mesEn cuanto a las restricciones, vendran a ser las demandas en c/ mes como veremos:

Enero : 9000 + 150x11 - 100 x12 - 150x13 8,000 Febrero : 0.90(Enero) + 150x21 - 100x22 - 150x23 9,000 Marzo : 0.9(Feb.) + 150 x31 - 100x32 - 150x33 8,000 Abril : 0.9(Mar) + 150 x41 - 100x42 - 150x43 10,000 Mayo : 0.9(Abr) + 150 x51 - 100x52 - 150x53 9,000 Junio : 0.9(May) + 150 x61 - 100x62 - 150x63 12,000 xij 0 S.a

Un vendedor tiene 2 productos A y B. El espera ser capaz de vender a lo ms 20 unid. de A y a lo menos 78 unid. De B. El debe vender al menos 48 unids de B para satisfacer su cuota mnima de ventas, l recibe una comisin del 10% sobre la venta total que realiza. Pero el debe pagar sus propios costos (que son estimados en 30 soles x hr. en hacer llamadas) de su comisin. El esta dispuesto a emplear no ms de 160 hrs x mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos estn disponibles. maximice la cantidad de ganancia

Solucin :

xi = N de llamadas para vender el producto i, (i= 1..2)S.a: - Cantidad de productos A y B vendidos0.5x1 20 48 0.60x2 78 - Tiempo empleado en hacer llamadas 3x1 + x2 160 x1, x2 0F.O. :

Max z = 0.1(3,000(0.5)x1 + 1400(0.6)x2) - 30(3x1 + x2)

Un contratista considera una propuesta pa la pavimentac de un camino. Las especificaciones requieren un espesor mn 12'' y un mxde 48''. El camino debe ser pavimentado en concreto, asfalto o gravilla, o combinacin de los tres. Sin embargo, las especificaciones requieren una consistencia final = o > que la correspondiente a una superficie de concreto de 9'' de espesor. Se sabe que:3'' de su asfalto son tan resistentes como 1'' de concreto, 6'' de gravilla son tan resistentes como 1'' de concreto.C/ pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto=S/ 1,000, el asfalto S/3,800 y la gravilla S/1,500

Det la combinacin de materiales que usara para Min costos. Solucin:x1 = N de pulg de espesor de concretox2 = N de pulg de espesor de asfaltox3 = N de pulg de espesor de gravilla Dependiendo del costo de espesor, tenemos:Min Z = 1,000x1 + 3,800x2 + 1,500x3 S.a:x1 + x2 + x3 12x1 + x2 + x3 48x1 + x2/3 + x3/6 9xj 0; j = 1,...,3

18. Una refinera mezcla 5 crudos para producir 2 grados de gasolina "A" y "B". Ver Separata ...Cul debe ser la produccin de gasolina "A" y "B"?Cmo debemos mezclar los crudos?

Solucin :

xij = N de barriles de i-simo crudo dedicados al j-simo grado de gasolina y al crudo que no se utiliza(C).Utilidad =Ventas - Costos F.O :

Max Z = 195x1A + 285x2A + 280x3A + 260x4A + 175 x5A + 205x1B + 190x3B + 170x4B + 85x5B + 45x1C + 35x2C + 30x3C + 160x4C + 174x5C

Ventas = 375(x1A + x2A + x3A + x4A + x5A) + 285 (x1B + x2B + x3B + x4B + x5B) + 275(x4C + x5C) + 1250 (x3C + x2C + x1C)Costos

= 80 (x1A + x1B + x1C) + 900 (x2A + x2B + x2C) + 95(x3A + x3B + x3C ) + 115 (x4A + x4B + x4C) + 2000 (x5A + x5B + x5C)

Restricciones debido al octanaje de gasolina "A" Restricciones debido al octanaje de gasolina "B" Se debe producir al menos 8000 barriles diarios de gasolina tipo "B" Restricciones debido a la disponibilidad de los crudos S.A :

a) Restricciones debido al octanaje de gasolina "A"

70x1A +80x2A + 85x3A + 90x4A + 99x5A 95X1A + x2A + x3A + x4A + x5A

Simplificando

x5A + 5x4A -15x1B - 5x2B 0

Restricciones debido al octanaje de gasolina "B"70x1B +80x2B + 85x3B + 90x4B + 99x5B 8x1B + x2B + x3B + x4B + x5B

Simplificando14x5B + 5x4B +x4B + x5B 0

Se debe producir al menos 8000 barriles diarios de gasolina tipo "B"x1B + x2B + x3B + x4B + x5B 8000 Restricciones debido a la disponibilidad de los crudosx1A + x1B + x1C = 2000x2A + x2B + x2C = 4000x3A + x3B + x3C = 4000x4A + x4B + x4C = 5000x5A + x5B + x5C = 3000xij 0, i = 1,2,3,4,5; j = A, B, C

Los almacenes Howard han de reabastecerse de 5 productos populares. Como se ve en la siguiente tabla:Se quiere maximizar las ventas bajo las sgtes. condiciones:La empresa comprar al menos la venta de un mes, pero ms de lo necesario para dos meses de cada producto. El vendedor da dscto del 10% sobre todas las mercancas que se compren x encima de las necesidades mensuales.

El almacn tiene un total de: S/. 10,000 para comprar, 2,500 pies3 de espacio para guardarlos. Suponemos que todos los productos comprados se suministrarn inmediatamente. Cul debe ser la compra a realizar por el director de los almacenes? Solucin:xi = N de prod comprados sin descuento.(i = A,..., E)yj = N de prod comprados con descuento (j= A,..., E)VENTA - COMPRALa funcin objetiva se obtiene de:

Max Z = 1.40(xA + yA) + 2(xB + yB) + 1.85(xC + yC) + 3.50(xD + yD) + 0.75(xE + yE) - [0.90xA + 1.50xB + 1.30xC + 2.70xD + 0.40xE + 0.90(0.90yA + 1.50yB + 1.30yC + 2.70yD + 0.40yE)]

Existen tres tipos de restricciones:Por Ventas Mensuales 1,000 xA + yA 2,000 800 xB + yB 1,600 750 xC + yC 1,500 1,000 xD + yD 2,000 2,000 xE + yE 4,100 Por Disponibilidad de dinero0.90xA + 1.50xB + 1.30xC + 2.70xD + 0.40xE + 0.90(0.90yA + 1.50yB +1.30yC + 2.70yD + 0.40yE) 10,000

Por Espacio disponible0.20(xA + yA) + 0.25(xB + yB) + 0.40(xC + yC) +0.11(xD + yD) +0.50(xE + yE) 2,500

20. Una compaa extrae tres tipos de mineral en tres pozos distintos, para ello cuenta con tres equipos de las siguientes caractersticas: Se necesita un 4 to equipo ,que est disponible los 30 das del mes, pero no se arrienda por menos de 10 das/mes.

Equipos

P1

P2

P3

Das de mantencin

Por mes (30 das)

E1

E2

E3

90

65

50

70

80

70

78

65

85

5

2

2

Equipos

P1

P2

P3

E4

90

70

78

Ton/da

La empresa que recibe el material admite las capacidades siguientes:Los costos de operacin que tiene cada equipo estn en el cuadro adjunto (S/. por da)Los gastos en salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son: Suponiendo que los pozos deben explotarse los 30 das del mes plantee en forma normal el P.L. de manera que el programa de explotacin produzca mximas utilidades. Si el precio de cada tonelada es de S/. 3,500

Mineral Pozo P1 .......... 2,500 ton/mes

Mineral Pozo P2 .......... 2,300 ton/mes

Mineral Pozo P3 .......... 2,500 ton/mes

Los costos de operacin que tiene cada equipo estn en el cuadro adjunto (S/. por da)

Equipos

P1

P2

P3

E1

E2

E3

E4

120

40

90

150

250

170

100

300

220

200

210

250

Los gastos en salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son:

Equipos

E1

E2

E3

E4

S/. da

220

350

300

400

xij = N de das del equipo i dedicados a la mina j por mesSolucin :

Definicin de variables

Utilidad =Ingresos -C. de Operacin -C. de Mano de ObraF.O. :Sujeto a: Por capacidad disponible Por nmero de das que trabaja cada equipo Por nmero de das que trabaja la mina

Ingresos = 3,500(90x11 + 65x21 + 50x31 + 90x41 + 65x12 + 80x22 + 70x32 + 72x42 + 78x13 + 65x23 + 85x33 + 58x43)Costo de Operacin= 120x11 + 40x21 + 90x31 + 150x41 + 250x12 + 170x22 + 100x32 + 300x42 + 220x13 + 200x23 + 210x33 + 2,500x34Costo de mano de Obra = 200(x11 + x12 + x13) + 350 (x21 + x22 + x23) + 300(x31 + x32 + x33) + 400 (x41 + x42 + x43)

Por capacidad disponible

90x11 + 65x21 + 50x31 + 90x41 2,500

65x12 + 80x22 + 70x32 + 72x42 2,300

78x13 + 65x23 + 85x33 + 58x43 2,250

Por nmero de das que trabaja cada equipo:

x11 + x12 + x13 25

x21 + x22 + x23 28

x31 + x32 + x33 28

10 x41 + x42 + x43 30

Por nmero de das que trabaja la mina:

x11 + x12 + x13 + x41 = 30

x12 + x22 + x32 + x42 = 30

x13 + x23 + x33 + x43 = 30

xij 0