oficina de capacitaciÓn, producciÓn de...
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OFICINA DE CAPACITACIÓN, PRODUCCIÓN DE TECNOLOGÍA Y COOPERACIÓN TÉCNICA
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BIENVENIDOS(AS)
CURSO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
IH: 30 HORAS
DURACIÓN: 5 SEMANAS MODALIDAD: PRESENCIAL
INICIO Grupo 01: INICIO Grupo 02:
martes 4 de noviembre /2014 miércoles 5 de noviembre /2014 HORARIO: 3:00 A 6:00 pm
FINAL Grupo 01: final Grupo 02:
jueves 4 de diciembre/2014 viernes 5 de diciembre/2014 LUGAR: AULA 503; PISO 05
DOCENTE: OSCAR VEGA GARCÍA PBX-EXT: 1720; CELULAR: 310-4231236
CORREO: [email protected]
TEXTO DE APOYO http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/
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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Bienvenido al curso de Fundamentos de Matemáticas Financieras, la más importante asignatura en las Finanzas. Debes estar preparado(a) para reconocer oportunidades y riesgos y tomar decisiones de gran
importancia que afectarán tu capital.
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La mejor forma de permanecer bien formado consiste, entre otras, en repasar continuamente el material y asistir a las clases que
enriquecerán tu vida y la participación en debates que aportarán experiencias enriquecedoras.
¿POR QUÉ DEBEMOS APRENDER MATEMÁTICAS FINANCIERAS?
• Constituyen el núcleo de las Finanzas. • Su propósito es aportar técnicas, métodos y herramientas. • Son de uso y aplicación diaria en transacciones comerciales, laborales, bancarias y bursátiles. • Para tomar decisiones acertadas en negocios relacionados con inversión, financiación ó rentabilidad. • Contribuyen a la planeación, organización, dirección, coordinación, control y evaluación de cualquier proyecto de inversión.
• Liquidación de sentencias judiciales y en lo contencioso administrativo. • Mercado de valores. • Financiamiento de vivienda. • Evaluación del riesgo de inversión. • Reconocer oportunidades y riesgos en los negocios. • Conocer las técnicas del cálculo financiero para evitar el fraude. • Manejo racional del dinero. • Afrontar imprevistos.
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“insumo” principal de las MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Capital (Dinero) FUNCIONES: • Medio de cambio: facilita realizar transacciones • Medida de valor: para controlar el poder adquisitivo • Unidad de cuenta: para hacer comparaciones de valor • Sin la existencia del DINERO no se concibe la existencia de las MATEMÁTICAS FINANCIERAS.
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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
CULTURA FINANCIERA
PROGRAMA ACADÉMICO DEL CURSO
OBJETIVOS
• Fortalecer las competencias en el área de conocimiento, permitiéndole al asistente una mayor capacidad y oportunidad en su desarrollo personal y profesional
• Aprender las técnicas de cálculo financiero en las operaciones de interés simple y compuesto
• Saber interpretar los resultados obtenidos en diferentes situaciones que se presentan en el mundo de los negocios
• Evaluar alternativas de inversión aplicando métodos de análisis de información financiera para determinar las mejores alternativas de inversión y financiamiento
CONTENIDOS
• Conceptos fundamentales: Línea de tiempo valor, variables financieras, valor del dinero en el tiempo
• Interés simple • Interés compuesto • Equivalencia de tasas • Series uniformes: anualidades • Series variables: gradientes, • Amortización y capitalización • Evaluación de alternativas • Liquidación de CDT • Operaciones de Descuento
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EVALUACIÓN - ASISTENCIA MÍNIMA -CERTIFICACIÓN -
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
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8
VARIABLES DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
VALOR PRESENTE O CAPITAL INICIAL (VP, CI, VI, P, VA) = dinero recibido (u otorgado) al inicio de una transacción.
TIEMPO (t ) = duración total de la operación. ( n ) periodos en que se divide el “t ”
TASA DE INTERÉS ( i ): porcentaje que se le aplicará al capital que recibimos en préstamo ó que se invierte, porcentaje de crecimiento , tasa de rentabilidad: (diaria, quincenal, mensual, trimestral, semestral, anual) 5% anual = 5/100 = 0,05 anual
VALOR FUTURO, FINAL, MONTO ( VF, S, CF, F) = dinero que conforma la suma del Valor Presente y los Intereses, utilidades o rendimientos.
INTERÉS ( I ) = pago ($) que se hace por el dinero en calidad de préstamo. Renta, utilidad, ganancia.
CUOTA ( C ) = pago o cuota e incorpora el Interés y el Abono a la deuda. (Algunos autores utilizan la “C” para indicar el Capital inicial.)
Observación: cuando trabajemos en matemáticas financieras debemos saber las abreviaturas a utilizar
EJERCICIO
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Represente gráficamente en un Diagrama de Flujo de Caja La siguiente transacción. Usted invierte $1.000.000, con plazo de un año, en una opción que le promete una rentabilidad del 20% EA, al final le entregarán $1.200.000.
Teorema del Valor del Dinero en el Tiempo
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En cualquier operación de tipo financiero, sin importar la fórmula, SIEMPRE se aplican
dos variables importantes: Tasa de Interés y Tiempo.
Además, se demuestra que $1 hoy tiene más valor que $1 del mañana
Conforme al ejercicio anterior:
$1.000.000 del día de hoy es EQUIVALENTE (no igual) a $1.200.000 dentro de un año:
Por tanto es INDIFERENTE en escoger una de estas opciones:
• Recibir $1.000.000 en el día de hoy ó
• Recibir $1.200.000 dentro de un año siempre que …(discusión)…..
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Los supuestos son los siguientes: a) No existe riesgo de pérdida en la operación financiera. b) En el mercado existe alguien dispuesto a recibir el dinero y pagar una tasa de interés del 20 por ciento. c) $1.000.000 del día de hoy, tiene mayor poder adquisitivo que $1.000.000 dentro de un año, por cuanto durante ese año de duración de la inversión, se ha registrado incremento en el nivel general de precios (inflación). d) El nivel de riesgo de recibir $1.000.000 dentro de un año es mucho más alto debido a factores personales, empresariales, económicos, sociales, políticos, etc.
Esta es la clave de mi éxito
En TODAS las fórmulas debes aplicar SIEMPRE el Principio Fundamental de las Matemáticas Financieras que radica en Saber expresar las variables (i), (n) en las Mismas magnitudes de tiempo.
RESUMIENDO:
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Las MATEMÁTICAS FINANCIERAS son el eje principal
sobre el cual gira todo el conocimiento financiero que
se aplica a diario en negocios jurídicos, de oficina, de
banca, de bolsa de valores, comerciales, de auditoría y
control, de administración de empresas, de asuntos
oficiales y no oficiales
2. INTERÉS SIMPLE
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• El capital inicial (VP) no varía, es decir, no crece durante el lapso que dura la operación. • La Tasa de Interés (i) se aplica únicamente sobre el capital inicial (VP) ó sobre el valor de la inversión inicial. • El Interés (I) que se liquida y paga por el uso del dinero ajeno, tiene el mismo valor por periodo de liquidación. • No existe re-inversión de intereses, lo cual significa que no hay capitalización de intereses.
CARACTERÍSTICAS:
2. INTERÉS SIMPLE: DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA
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0 1 2 3 4
10 10 10 10
100
100
%.10=ip
Intereses: no se capitalizan
140$4321=++++= IIIIVF VP
T
I
VP
VP
∑IVF
Fórmulas de interés simple (Completar las igualdades de acuerdo a la explicación
• I = VF - VP • VF = • VP =
• I = VP * i * t • VP =
• i = ---------------
• t = --------------
15
• VF = VP (1 + it) • VP =
2. INTERÉS SIMPLE – VALOR FINAL: EJEMPLO
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Enunciado: ¿Cuánto dinero se logra acumular en el mes 30, en una cuenta de ahorro que reconoce una tasa de rendimiento del 1% mensual simple, si se depositan $10.000, $20.000 y $30.000 en los meses 3, 10 y 15, respectivamente?
Listado de variables VF=? •i=1% mensual simple •Depósitos: mes 3 $10.000 → VP1 mes 10 $20.000 → VP2 mes 15 $30.000 → VP3
3 10
VP1=10000
15 0 30
VP2=20000 VP3=30000
t1=27
t2=20
t3=15
VF1
VF2
VF3
VFT =?
( )( )tiVPVF *1+=
2. INTERÉS SIMPLE – VALOR PRESENTE: EJEMPLO
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Enunciado: Un activo se vendió a crédito y se acordó efectuar tres pagos de $40.000, $50.000 y $60.000 en los meses 12, 24 y 36, respectivamente. Con una tasa de interés del 2% mensual simple ¿cuál es el valor de contado del activo?
Listado de variables •Pagos: mes 12 $40.000 → VF1 mes 24 $50.000 → VF2 mes 36 $60.000 → VF3 • i= 2% mensual simple • VP=?
12 24
VF1=40000
0 36
VF2=50000 VF3=60000
t1=12
t2=24
t3=36
VP1
VP2
VP3 VPT =?
( )( )tiVFVP
*1+=
2. INTERÉS SIMPLE – INTERÉS Y VALOR FUTURO: EJEMPLO
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Enunciado: Una persona invirtió la suma de $300.000, durante 2 años, en una institución financiera que le paga una tasa del 1,5% mensual simple. a)¿Cuánto dinero ganó por concepto de intereses? b)¿Cuánto dinero recibió en total al final de la operación?
Listado de variables •VP=$300.000 •T=2 años → n=24 meses • i= 1,5% mensual simple • I=? • VF=?
0 T=24 meses
VF=?
VP =300000
I=?
i=1,5% mensual simple
2. INTERÉS SIMPLE – TASA DE INTERÉS: EJEMPLO
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Enunciado: Un capital de $ 500.000 se transformó en $ 1.100.000 al cabo de 4 años. ¿Qué tasa de interés mensual simple ganó esa inversión?
Listado de variables •VP=$ 500.000 •VF=$ 1.100.000 •T= 4 años → t= 48 meses •i=? mensual simple
0 n=
VF=
VP =
i= ? mensual simple
2. INTERÉS SIMPLE – TIEMPO: EJEMPLO
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Enunciado: ¿Cuánto tiempo es necesario para que un capital de US$400.000 se duplique a una tasa de interés del 5% anual simple?
Listado de variables •t=? •VP = US$ 400.000 •VF = US$ ___________ • i = 5% anual simple
0 n= ?
VF=
VP =
i=
EJERCICIOS
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1. Se pacta un crédito Extra-Bancario por $3.000.000, a dos meses y al 10% mensual simple. Al final, ¿cuánto dinero es necesario cancelar por el préstamo?
2. Una persona cumple hoy 20 años y deposita $500.000 en una cuenta de ahorro que paga el 6% bimestral simple. Cuánto dinero tendrá ahorrado cuando cumpla 50 años?
EJERCICIOS
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3. Usted piensa invertir la suma de $100.000,00 en una cuenta de ahorros, que le ofrece una tasa de interés del 2% mensual simple. ¿Cuánto dinero recibirá al final de 3 meses? Verificar el cumplimiento del principio de la matemáticas financiera que el dinero cambia de valor a través del tiempo con la siguiente tabla:
Periodo - Mes Capital inicial Tasa de interés (i)
Interés Valor final
EJERCICIOS
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4. El Banco Ganadero le concede al señor Pérez un crédito por valor de $10.000.000 con plazo de un año. La tasa de interés es del 9% trimestral vencida. El banco le exige al señor Pérez la restitución del capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses. Construir el flujo de caja para el señor Pérez y la tabla de amortización.
5. Una inversión inicial de $235.000 produce después de 6 meses un monto de $389.560. Calcular. a) Valor de los intereses ganados. b) Tasa de interés de la operación.
6. Un inversionista requiere para dentro de 6 meses un capital de $1.250.000 y dispone hoy de $1.000.000. A qué tasa de interés mínimo debe colocar su dinero para cumplir con esta meta?.
EJERCICIOS – Cálculo del tiempo
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7. Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $10.000.000 se duplique, si la operación se realiza al 1.2% mensual simple?
8. Cuánto tiempo debo esperar para triplicar un capital si mi tasa de interés es del 2% mensual simple.
CASO ESPECIAL 9. Un activo tiene precio de contado de $ 2.000.000 (no incluye IVA). Con IVA, el precio de ese mismo artículo es de $2.320.000. ¿Cuál es la tarifa (%) del IVA que tiene ese producto? Análisis: El IVA se calcula sobre el precio de venta del artículo. Este caso es especial y la variable tiempo corresponde a 1.
TIPOS DE INTERÉS SIMPLE DE ACUERDO AL MANEJO DEL TIEMPO
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De acuerdo a la estimación de tiempo para la liquidación de intereses, el Interés Simple se clasifica así:
TIPO DE INTERÉS SIMPLE
COMERCIAL: (30 ~ 360)
ORDINARIO (360)
BANCARIO: (31 ~ 360)
N.N: (30 ~ 365)
EXACTO (365)
RACIONAL: (31 ~ 365)
De mayor uso (más costoso)
Real o exacto
EJERCICIO
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1. Hallar los distintos tipos de Interés Simple de un préstamo de $100.000, durante el mes de agosto, a la tasa del 20% anual simple.
Interés Bancario =
Interés Racional =
Interés Comercial =
Interés N.N. =
I = VP*i*t
TABLA DE DÍAS: se utiliza para el cálculo de tiempos. Ver internet - Tabla para calcular los días entre dos fechas
EJERCICIOS
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2. Un trabajador laboró en una empresa desde el día 12 de febrero de 2011 hasta el día 25 de noviembre de 2011. Sabiendo que el valor de la cesantía fue de $500.000 y que el Régimen Laboral reconoce una Tasa de Interés del 12% anual simple por concepto de Intereses sobre las Cesantías. Hallar el valor que se debe pagar por concepto de Intereses sobre las Cesantías. Análisis: Los días laborados por el trabajador fueron: _286 (en tabla)_ i = 12% anual simple = 1% mensual simple. Año laboral = 360 días; mes laboral = 30 días. Solución 1: I = 500.000 * 0,12 * 286/360 = 47.667 Solución 2: I = 500.000 * 0,01 * 286/30 = 47.667
I = VP * i * t`
EJERCICIOS
28
3. ¿Cuál es el interés simple bancario producido por un capital de $2.000.000, en un año, dos meses y 10 días, a la tasa del 1,5% mensual simple?
4. Hallar el valor a su vencimiento, de un certificado de ahorro a término –CDAT, el cual tiene una fecha de apertura el 25 de febrero de 2011 y vence el 25 de mayo de 2011; acordado con una tasa del 6% anual simple y una inversión inicial de $3.000.000.
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5. Una compañía negoció los siguientes documentos: a) Factura por $2.000.000 a cobrar el día 28-julio-2011. b) Factura por $4.000.000 a cobrar el día 12 – dic-2011. Si el negocio se realizó el 20 de abril de 2011, a la tasa del 10% anual simple bancario, ¿cuánto dinero recibió la compañía?
30
110 209 346
20-abr-2011 28-jul-2011 12-dic-2011
$2.000.000
$4.000.000
Fecha focal
Solución Ejercicio 5
t´ = 236 días
t` = 99 días
34,382.700.5$
360236*1,01
000.000.4
36099*1,01
000.000.2
*1*112
12
28
28 =
+
+
+
=
+
+
+
=
tiVF
tiVFVPTff
i = 10% anual simple bancario
Total a pagar por las dos facturas
EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS
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1. Un inversionista se encuentra ante la opción de elegir una de las siguientes alternativas: A. Comprar hoy una bodega por $20.500.000, con la posibilidad de venderla por $40.500.000 dentro de 2,5 años. B.. Prestar este dinero a una tasa de interés del 2,3% mensual simple. Qué le recomendaría usted al inversionista?
VP =$20.500.000
VF = $40.500.000
0
t = 2,5 años
1.b) i = 2,3% mes simple
1.b) i = ? mes simple
n = ? meses
32
0
0
0
a
b
c
2. El señor Pablo recibe en el día de hoy tres ofertas por un bien que tiene para la venta. Cuál es la mejor oferta a. $6.500.000 hoy y un pagaré para dentro de 167 días por valor de $3.500.600. b. $3.000.000 a 120 días y $6.300.500 a 180 días. c. $2.000.000 hoy y un pagaré por $7.500.000 a 4 meses.
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TASAS DE INTERÉS1. NOMINAL: Son aparentes, engañosas. No demuestran el verdadero costo financiero. Magnitud = anual Unidad: según frecuencia de capitalización 28% C.M (Convertible Mensualmente) → f = 12 capitalizaciones 28% N.S (Nominal Semestral) → f = 2 capitalizaciones 28% C.T (Capitalizable Trimestralmente) → f = 4 capitalizaciones 28% C.A (Capitalizable Anualmente) → f = 1 capitalización Se identifican porque contienen o se expresan con el término: capitalizable, convertible o nominal; sea anual, semestral, trimestral, mensual… También se dice que son indicativas porque no se aplican directamente a la fórmula.
iN
2. PERIÓDICA: Es real. Se identifica porque lleva los términos: mensual, diaria, trimestral, semestral Magnitud = corresponde a la Unidad de capitalización 2% mensual 5% trimestral = 12% semestral 21% anual
ip
3. EFECTIVA: Es real. Es una periódica pero anual Magnitud = corresponde a la Unidad de capitalización 21% anual o EA 30% anual o EA ief
i pf f
iN
EQUIVALENCIA DE TASAS DE INTERÉS VENCIDAS
TIPO DE TASA FACTOR DE EQUIVALENCIA
Efectiva (1+i ef)^1
Periódica (1+i pf)^f
Nominal
TASAS COMBINADAS (1 + i1)^f1 (1 + i2)^f2 …. (1 + in)^fn
ANTICIPADAS
Periódica Anticipada
Nominal Anticipada 34
f
i pa
−11
+
fN
fi1
−f
iNa
f
1
1
( )ief+1 1
+i p f1
f,o,
,o,
EJERCICIOS CONVERSIÓN DE TASAS
35
f
i pa
−11
+
fiN
f
1
−faiN
f
1
1( )ief+1 1
+i p f1
f
1. Qué tasa mensual y anual se debe plantear a un prestamista que trabaja con una tasa del 33% C.M?
2. Despeje las ecuaciones equivalentes entre tasas periódicas anticipadas y vencidas.
3. Convertir una tasa del 4,1616% mensual a efectiva anual.
4. Convertir una tasa del 4,1616% trimestral a efectiva anual.
5. Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa del 35% C.T.
6. Conocida la tasa nominal del 45% con capitalización mensual, calcular la tasa efectiva trimestral y la tasa efectiva semestral.
7. Conocida la tasa nominal del 45% con capitalización semestral, calcular la tasa efectiva trimestral y la tasa efectiva semestral.
SOLUCIÓN EJERCICIOS CONVERSIÓN DE TASAS
36
iii
pa
pa
pv −=
1Tasa periódica vencida Tasa periódica anticipada i
iipv
pvpa +
=1
INTERÉS COMPUESTO
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Se entiende por Interés Compuesto la integración periódica del interés al capital. El Interés Compuesto también es conocido como: • Liquidación de intereses sobre intereses (anatocismo) • Reinversión • Capitalización de intereses CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO • La característica fundamental del Interés Compuesto es el proceso de capitalización de intereses, el cual consiste en adicionar al capital inicial los intereses ganados, para así formar un monto (Valor Final) y sobre éste volver a liquidar intereses y repetir este proceso. • El capital inicial se va incrementando periodo tras periodo, precisamente por la adición de los intereses. • La tasa periódica se aplica sobre el capital acumulado. • El valor de los intereses no es constante. Estos cambian conforme se va incrementando el capital
DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
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En el siguiente diagrama de flujo de caja se puede observar la diferencia entre estos dos tipos de interés.
$100
$100
$20 $20 $20 $20
VF = $100+$20+$20+$20+$20=$180
2011 2012 2013 2014 2015
Interés Simple: I=$100*0,2*1 I=$20 cada año
Supóngase que en el 2011 se invierten $100 al 20% anual, durante 4 años.
DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
39
Interés Compuesto
$100
2011 2012 2013 2014 2015
VP $100 $120 $144 $172,80
+I $20 $24 $28,80 $34,56
VF $120 $144 $172,80 $207,36
VF = $207,36
VF
Proceso de capitalización o de integración del Interés al Capital
DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
40
El mismo proceso de capitalización se muestra en la siguiente tabla
Tabla de Capitalización de intereses
Año Valor Presente Interés Periódico Valor Futuro
2012 $100 $100*0,2=$20 $100+$20=$120
2013 $120 $120*0,2=$24 $120+$24=$144
2014 $144 $144*0,2=$28,80 $144+$28,80=$172,80
2015 $172,80 $172,80*0,2=$34,56 $172,80+$34,56=$207,36
ii
papa
pvi −=1
FORMULACIÓN
41
( )( )i pn
VPVF += 1
( )( )i p
VFVP n+=
1( )( )i p
nVFVP +
−= 1
11
−
=
VPVF
pn
i
+=
in
plnVPVFln
1
Tasa periódica vencida Tasa periódica anticipada
iii
pvpv
pa +=
1
EJERCICIOS
42
1. Una persona dispone de $1 millón y desea invertirlo a un año. Las opciones son: • 12% NMV (Nominal Mensual Vencida) • 12% NBV (Nominal Bimensual Vencida) • 12% NTV (Nominal Trimestral Vencida) • 12% NSV (Nominal Semestre Vencida) • 12% NAV (Nominal Anual Vencida) ¿Cuál es la mejor alternativa? ¿Por qué?
Tasa Nominal VF=VP(1+ip)^n
• 12%NMV 12%/12=1% p.m. VF=$1.000.000(1+0,01)^12 = $1.126.825
• 12% NBV 12% / 6 = 2% p.b. VF=$1.000.000(1+0,02)^6 = $1.126.162
• 12% NTV 12% / 4 = 3% p.t. VF=$1.000.000(1+0,03)^4 = $1.125.509
• 12% NSV 12% / 2 = 6% p.s VF=$1.000.000(1+0,06)^2 = $1.123.600
• 12% NAV 12% / 1 = 12% EA VF=$1.000.000(1+0,12)^1 = $1.120.000
fii N
p=
EJERCICIOS
43
2. Una persona tiene las siguientes deudas: • Al banco A le debe $5.000, con plazo de 6 meses • Al banco B le debe $10.000 con plazo de 12 meses Por problemas de liquidez, la persona acuerda hacer un solo pago en el mes 20, reconociendo un rendimiento del 2% p.m. ¿Cuál es el valor del pago?
Diagrama del Flujo de Caja (para el cliente)
Hoy 12 6 20 meses
Fecha focal
$5000 $10.000
VF = $X n=20-6=14 meses
n=20-12=8 meses
VF = VP(1+ip)^n
Solución ejercicio 2
44
Se fija la fecha focal al final (mes 20)
La suma de las deudas en la fecha focal = La suma de los pagos en la fecha focal
Deuda 1: VF = 5.000(1+0,02)^14 = $6.597,39 => pesos del mes 20
Deuda 2: VF = 10.000(1+0,02)^8 = $11.716,59 => pesos del mes 20 ____________
Total a pagar $18.313,98 => pesos del mes 20
VF = = 5.000(1+0,02)^14 + 10.000(1+0,02)^8 = $ 18.313,98 => pesos del mes 20
VF = VP(1+ip)^n
Cálculo de la Tasa de Interés
45
En Finanzas es muy común tomar decisiones de inversión, ahorro y crédito, tomando como referente la tasa de interés. Así por ejemplo, un inversionista no estaría interesado en colocar su capital en una opción que le rente menos del 20% efectivo anual, por cuanto en todos sus negocios él está acostumbrado a ganar una tasa del 20% ó más. Supóngase que le invitan a invertir $1.000.000 en un negocio y le prometen que recibirá $800.000 dentro de 6 meses y $900.000 dentro de 12 meses. ¿Le convendrá al inversionista depositar su dinero? ¿Qué tasa de rentabilidad tiene ese negocio? El tema es entonces determinar la tasa de interés a fin de tomar la mejor decisión.
Ejemplo Una inversión hoy de $10.000 devuelve $5.000 dentro de 5 meses y $10.000 dentro de un año. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad?
Solución
46
Diagrama del Flujo de Caja
Hoy 12 meses
Fecha focal
$5000
$10.000 Inversión inicial
n=5 meses
n=12 meses
5 meses
$10000
Se determina la fecha focal. (en este caso en el día de Hoy)
( )( )i pn
VFVP+
=1
( )( )i pn
VFVP +−
= 1
t= 1 año
Ingresos
Egresos
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se plantea la ecuación fundamental: La suma de las inversiones en la fecha focal = La suma de los ingresos en la fecha focal
$10.000 = $5.000(i+ip)^(-5) + $10.000(1+ip)^(-12)
Pesos de hoy Pesos de hoy Pesos de hoy
La ecuación se iguala a cero
0 = $5.000(1+ip)^(-5) + $10.000(1+ip)^(-12) - $10.000
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Con ello se indica que:
0 = VP ingresos – VP egresos
Es decir: El Valor Presente Neto (VPN) = 0 El Valor Presente significa que el flujo de caja se expresa en pesos hoy. Neto indica que de los ingresos se restan los egresos y el resultado es una cifra neta (positiva o negativa) La Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés que permite hacer (VPN) = 0
48
TEOREMA: VPN (TIR) = 0 El Valor Presente Neto calculado con la Tasa Interna de Retorno siempre es igual a cero.
Para determinar la TIR se hacen hipótesis, toda vez que no se sabe cuál es el valor.
Hipótesis: se suponen valores para ip y se calcula el VPN
ip VPN = $5.000(1+ip)^(-5) + $10.000(1+ip)^(-12) - 10.000
1% $5.000(1+0,01)^(-5) + $10.000(1+0,01)^(-12) - $10.000 = +3631,82
ip1 4% $5.000(1+0,04)^(-5) + $10.000(1+0,04)^(-12) - $10.000 = +355,60 VPN1
ip2 5% $5.000(1+0,05)^(-5) + $10.000(1+0,05)^(-12) - $10.000 = -514 VPN2
Con las ip supuestas, el VPN no es igual a cero, luego la TIR no corresponde a ninguna de ellas. Cuando el VPN cambia de positivo a negativo, se entiende que la TIR se encuentra entre estas dos ip. En este momento se suspenden los supuestos y se aplica la siguiente fórmula que permite determinar el verdadero valor de la TIR.
( )( )12
12*11VPNVPN
ppVPNpTIR iii−
−−=
49
Reemplazando los valores respectivos obtenidos en la tabla anterior
VPN = $5.000/(1+0,044089)^5 + $10.000/(1+0,044089)^12 - 10.000
( )( )60,355514
04,005,0*60,35504,0−−
−−=TIR
TIR = 4,408923643% pm (aprox) COMPROBANDO TENEMOS:
VPN = 0 Por el manejo de los decimales no necesariamente da exacto. Con calculadoras financieras el cálculo si es exacto
50
EJERCICIO (TIR)
El señor Pedro Picapiedra LE compró a ORBEL LTDA un lote por valor de $20.000.000 y se comprometió a pagarlo de la siguiente forma: Una cuota inicial de $5.000.000; un pago de $3.500.000 dentro de 4 meses; un pago de $5.500.000 dentro de 6 meses; y un pago de $10.000.000 dentro de 12 meses. Calcular la TIR que le cobraron en la operación.
51
ANUALIDADES o SERIES UNIFORMES
Una anualidad es una serie uniforme de pagos con las características: • TODOS los pagos son iguales • Los pagos son hechos en iguales intervalo de tiempo: mensual, trimestral, semestral, anual, etc. • La tasa de interés es la misma por periodo de pago. • El número de pagos es igual al número de períodos.
Su importancia en finanzas radica, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.
Renta o pago: es el pago periódico y de igual valor. Período de renta: es el tiempo que transcurre entre dos pagos.
CLASES DE ANUALIDADES: dependiendo en qué momento se realice el primer pago -Vencidas– Anticipada – Diferida - Perpetua
52
Flujos de Caja de Anualidades
VP
A A A A
0
Vencida
VP
A A A A
0
Anticipada
n
n
i pn
i pn
53
Flujos de Caja de Anualidades
VP
A A A
0
Diferida
VP
A A A A
0
Perpetua
n i p
i p
∝
Período de gracia -PG
54
FÓRMULAS de Anualidades
( )( )
−=
++
ii
n
n
iAVP
11 1 ( )
( )
−=
++
111
iin
niVPA
( )
=+− −
ii n
AVP 11
( )
−=
+ 11*
i niVFA( )
−=
+ii n
AVF 11
( )
−=
+ −ii
nVPA1
*1
( )( )
=+−−i
iVPAAn1log
*loglog
+−
=i
AiVPn
1loglog*log
(A=anualidad. También se puede representar por C)
=⋅ iAVPperpetuaAnualidad :
( ) ( )ii PG
in
AVPdiferidaAnualidad ++− −
=
−
111:_ PG= periodo de gracia
i = ip
n= número de flujos
55
Anualidades
VP
A A A A
0
Vencida
VP
A A A A
0
Anticipada
n
n
i pn
i pn
( )
=+− −
ii n
AVP 11
( ) ( )iii
nAVP ++−
−
= 111 1*
t
56
Anualidades
VP
A A A A
0
Vencida
VP
A A A A
0
Anticipada
n
n
i pn
i pn
VF
VF
( ) ( )iii
nAVF ++
−= 11 1
*1
( )
−=
+ii n
AVF 11
57
Flujos de Caja de Anualidades
VP
A A A
0
Diferida
VP
A A A A
0
Perpetua
n i p
i p
∝
Período de gracia -PG
( ) ( )ii PGn
iAVP ++− −
−
= 111*
= iAVP
Ejercicios de Anualidades Se suministra a los participantes un documento con ejercicios resueltos para su verificación y análisis.
58
TABLAS DE AMORTIZACIÓN
Una Tabla de Amortización enseña la forma como evoluciona una obligación, desde cuando se crea hasta cuando el compromiso se cancela en su totalidad. Se debe tener en cuenta que cuando se realiza un pago para cancelar la cuota de un periodo, ese valor se descompone en dos partes: intereses que se pagan por el crédito y el abono a la deuda, o sea, el dinero que se devuelve a capital. Variables a tener en cuenta: El valor de la Cuota –Ordinaria: es lo primero a calcular y ésta depende del sistema de amortización que se haya acordado. La tasa de interés se debe conocer desde un comienzo. Cuota = interés + Abono Luego Abono = Cuota – Interés A su vez, el interés que se causa se determina aplicando la tasa de interés al saldo pendiente aún por pagar Interés = Saldo Insoluto * tasa periódica El Saldo insoluto disminuye en la medida que se realizan abonos a la deuda. Saldo actual = Saldo anterior – Abono
59
TABLA DE AMORTIZACIÓN
MES CUOTA
EXTRAORDINARIA
CUOTA
ORDINARIA
(1)
INTERESES
(2)
ABONO A
DEUDA
(3)
SALDO DE
LA DEUDA
(4)
i p
(5)
0
1
2
3
…..
n
60
Ejemplo - TABLAS DE AMORTIZACIÓN
Elaborar una Tabla de Amortización para un préstamo de $1.000, con plazo de 3 meses y tasa de financiación del 1% periódica mensual. El sistema de amortización acordado es cuota fija (anualidad)
SOLUCIÓN:
Primero que todo debemos Identificar las variables
( )
+− −
= ii n
AVP 11valoresosreemplazam .
( )
+− −
= 01,001,011 3
000.1 A
02,340$.. =→ ADespejamos
Segundo: calcular el valor de la cuota. Represéntese por A o por C
VP=$1.000 n= 3 meses i p = 1% p.m.v A= ?
61
Ejemplo - TABLAS DE AMORTIZACIÓN -Continuación
MES CUOTA EXTRA CUOTA
ORDINARIA
(1)
INTERESES
(2)
ABONO A
DEUDA
(3)
SALDO DE
LA DEUDA
(4)
i p
(5)
(4) X (5) (1) – (2) (4) – (3)
0 $1.000 1%
1 $340 $10 $330 $670
2 $340
3 $340
Tercero: se elabora la tabla y se hacen los registros fila por fila con los valores conocidos y calculados.
62
TABLAS DE CAPITALIZACIÓN
Capitalizar significa acumular, ahorrar. Como tal, el propósito es mostrar la forma como el dinero crece y permite cumplir el objetivo de alcanzar determinado monto.
Variables a tener en cuenta: El valor de la Cuota ó valor del Depósito (ahorro) es lo primero a calcular y éste depende del sistema de amortización que se haya acordado.
La tasa de interés se debe conocer desde un comienzo. (ip)
Interés Ganado = Saldo acumulado * tasa periódica.
Crecimiento de la cuenta de ahorro = Depósito + Interés.
La cuenta reconoce intereses los cuales sumados con el depósito, permite que la
cuenta vaya creciendo.
Saldo Acumulado = Saldo acumulado anterior + Crecimiento cuenta de
ahorro.
El Saldo Acumulado aumenta en la medida que se crece la cuenta al efectuar
depósitos y ganar intereses.
63
TABLA DE CAPITALIZACIÓN
MES DEPÓSITO
EXTRA
DEPÓSITO
FIJO
(1)
INTERESES
GANADOS
(2)
CRECIMIENTO
CUENTA
(3)
SALDO
ACUMULADO
(4)
i p
(5)
0
1
2
3
… n
64
Ejemplo - TABLA DE CAPITALIZACIÓN
Elaborar una Tabla para Capitalizar $5.000 en tres meses, en una cuenta de ahorro que reconoce el 1% periódico mensual. El sistema de capitalización es depósitos fijos (anualidad)
SOLUCIÓN: Primero: identificamos variables. VF = $5.000 n = 3 meses
ip = 1%p.m. A = ? Segundo: calculamos el valor de la anualidad (llámese A o C)
( )
−=
+ii n
AVF 11 valoresemplazamos.Re( )
−
=+
01,0101,01 3
000.5$ A
650.1$. =⇒ AtenemosDespejando
65
Ejemplo - TABLA DE CAPITALIZACIÓN -Continuación
MES DEPÓSITO
EXTRA
DEPÓSITO
FIJO
(1)
INTERESES
GANADOS
(2)
CRECIMIENTO
CUENTA
(3)
SALDO
ACUMULADO
(4)
i p
(5)
0 (4) X (5) (1) + (2) (4) + (3)
1 $1.650 $0 $1.650 $1.650 1%
2 $1.650 $17 $1.667
3
Tercero: se elabora la tabla y se ingresan los valores conocidos y calculados fila por fila. (Ejercicio: completar la tabla)
66
GRADIENTES - SERIES VARIABLES
Un GRADIENTE es una serie de pagos no constante, es decir, pagos que se caracterizan por ser VARIABLES (crecientes o decrecientes). Son características de un Gradiente: • TODOS los pagos o son crecientes o son decrecientes. • Los pagos crecen o decrecen en una misma cantidad monetaria ò en un mismo porcentaje con respecto a la anterior. • Los pagos son hechos en iguales intervalo de tiempo. • La tasa de interés es la misma por periodo de pago. Los Gradientes se clasifican en: • Gradiente Lineal o Aritmético=> si la variación (L) es en PESOS. • Gradiente Geométrico => si la variación (G) en un PORCENTAJE.
67
GRADIENTES LINEAL CRECIENTE
Diagrama de flujo de caja Gradiente Lineal Creciente
1 2 3 12
0
HOY
L i p(%)
A1
A1
68
GRADIENTES LINEAL CRECIENTE
Formulación
( ) ( ) ( )
−
−
+
−
= +++ −
−−
iii
iii
A pn
p
pn
pp
pn
nLVP 111 11
1
A1 = Primer flujo L = Variación del flujo
LnAAn
−+= 11
( ) ( )
−
−
+
−
=++
nii
iii
Ap
pn
pp
pn
LVF11 11
1
An = Para determinar el valor del enésimo pago
iiA
pp
LVP2
1 += Si el gradiente es infinito
69
GRADIENTES GEOMÉTRICO CRECIENTE
Diagrama de flujo de caja Gradiente Geométrico Creciente
1 2 3 12
0
HOY
G(%)
i p(%)
A1( )GA +1 1
1
( )GA +1 21
( )G nA +
−1 1
1
VP
70
GRADIENTES GEOMÉTRICO CRECIENTE
Formulación
( ) ( )( )
−
−++
−
=iG
iGAVP
p
pn n
1111
Si (G) diferente de (i)
+ −= i pnnAVF 1 1**1
( ) ( )
−
−++=
iGiGVF
p
pnn
A11
1
+
=
iAVP
p
n1
1Si (G) = (i)
Si (G) diferente de (i)
Si (G) = (i)
71
LIQUIDACIÓN DE UN “CDT” A TASA FIJA
CONDICIONES DE INVERSIÓN Capital: $1.000.000 DTF = 5% EA → 0.05 EA Plazo = 1 año → n = 1
CONCEPTO FORMULA OPERACIÓN RESULTADO
Valor Final: VF $ 1.050.000
I (ganado) I = VF - VP 1.050.000 - 1.000.000 $ 50.000
RETEFUENTE (7%) Rfte = I * 7% 50.000 * 0.07 $ 3.500
VF (neto) a pagar VF neto = VF - Rfte 1.050.000 - 3.500 $ 1.046.500
( )05.011
*000.000.1 +=VF( )i pn
VPVF += 1*
72
LIQUIDACIÓN DE UN “CDT” A TASA VARIABLE CON “IPC”
CONDICIONES DE INVERSIÓN Capital : $1.000.000 IPC = 5% EA → 0.05 EA Tasa de interés real = 6% Plazo = 1 año → n = 1
CONCEPTO FORMULA OPERACIÓN RESULTADO
Valor Final: VF $ 1.113.000
I (ganado) I = VF - VP 1.113.000 - 1.000.000 $ 113.000
RETEFUENTE (7%) Rfte = I * 7% 113.000* 0.07 $ 7.910
VF (neto) a pagar VF neto = VF - Rfte 1.113.000 - 7.910 $ 1.105.090
TASA COMBINADA Calculamos la tasa combinada así:
i = (1 + IPC)*(1 + tasa real) – 1
i = (1 + 0.05)*(1 + 0.06) – 1 = 11.3%EA → 0.113 EA.
( )113.01 1*000.000.1 +=VF( )i pn
VPVF += 1 .*
73
Operación financiera que consiste en cobrar sobre el valor de un título o documento el valor de los intereses en forma anticipada. Es frecuente cuando se tienen cuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. Descuento (D): corresponde a los Intereses cobrados por anticipado. Valor efectivo del pagaré o Valor de la Transacción (VT): cantidad de dinero que se entrega. Valor nominal o Valor Final del documento (VN o VF): es el monto que aparece en el pagaré. Se presentan dos situaciones con el VF: -Cuando en el pagaré aparece el valor del título y se indica que ganará unos intereses a una tasa determinada. Para este caso, se le aplicará al valor del título los intereses simples durante todo el tiempo hasta la fecha de vencimiento. -Cuando se indica que el VF es el valor a pagar en la fecha de vencimiento. Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuento (d) sobre el VF, resultan dos tipos de descuento simple: -Descuento Comercial -Descuento Bancario
74
- Descuento comercial simple
1. Por pronto pago: su propósito de este descuento es constituirse en un estímulo para que se cancele de manera inmediata. Los proveedores ofrecen descuentos atractivos a fin de recuperar rápidamente el valor facturado. Se aplica sobre el valor presente o Valor Nominal D = VP*d VT = VP – VP*d (t = 1)
2. En cadena: es una serie de descuentos sucesivos no acumulativos que son atractivos para estimular las ventas. dt = 1 – (1-d1) (1-d2) (1-d3) …… (1-de) dt = tasa de descuento total d1….e = tasas de descuento adicional
75
- Ejercicios Descuento comercial simple1. Se adquieren los siguientes artículos: -10 máquinas a $3.000.000 cada una -5 accesorios a $2.000.000 cada uno. -3 repuestos por valor total de $80.000.000 Al momento de pagar se obtiene un descuento del 15% a) Cuál es el valor del descuento. b) Cuánto se debe pagar
76
2. Un bien cuyo valor comercial es de $100.000.000. tiene los siguientes descuentos: -5% por feria. -3% por monto de compra. -2% por pago de contado. Calcular el valor de la transacción
- Ejercicios Descuento comercial simple
77
- Descuento Bancario simple
1. Sobre Documento: Se aplica sobre el valor final de un documento D = VF*d *t D = VF - VT VT = VF (1 – (d*t)
2. Sobre Préstamos (Descuento Racional): se aplica sobre el Valor Presente (VP) de un préstamo.
D = VP*d *t VL = VP – D
D = Valor del Descuento VT = Valor de la Transacción VF = Valor Final del documento d = tasa de descuento
D = Valor del Descuento D* = Otros descuentos VL = Valor Líquido VP = Valor del Préstamo que se solicita d = tasa de descuento
VLDDicobrada
*+=
78
- EJERCICIOS DE DESCUENTO BANCARIO
1. Si una deuda por $4.000.000 a un año y al 29% N.M es cancelada 3 meses antes de su vencimiento utilizando una tasa del 36% N.M, ¡Cuál es el descuento racional?
2. Si una deuda cuyo monto es de $25.000.000 es cancelada dos meses antes de su vencimiento , cuál es el descuento racional si se utiliza una tasa del 26%C.M.?
3. Una entidad bancaria negocia un título de $2.580.000 tres meses antes de su vencimiento. Si se utiliza una tasa de descuento (d) del 36%, cuál es el descuento hecho por la entidad?