no line ales

5/12/2018 No Line Ales - slidepdf.com

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Solución de ecuaciones no

lineales

Curso de Programación numérica



TemarioMétodos cerrados:

Métodos gráficos

Método de bisección

Método de la posición falsaMétodos abiertos

Iteración simple de punto fijo

Método de Newton-Raphson

Método de la secante

Raíces de polinomios

Método de Müller

Método de Bairstow



Métodos gráficos

Los métodos gráficos consisten en graficar la función f ( x) y

observar donde la función cruza el eje x.



Ejemplo 1 0401

38.667 146843.0 xe

x x f

x f(x)

4 34.114889388 17.65345264

12 6.066949963

16 -2.268754208

20 -8.400624408

Encontrar la raíz de:

-15

-10

-5

05

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25



Ejemplo 2

x f(x)

0.00 1.00

0.25 1.33

0.50 -0.89

0.75 0.31

1.00 -1.53

1.25 -0.89

1.50 0.44

1.75 -0.46

2.00 1.87

2.25 0.41

2.50 0.21

2.75 0.31

3.00 -1.903.25 -0.06

3.50 -0.90

3.75 0.05

4.00 1.59

4.25 -0.01

4.50 1.45

4.75 -0.48

5.00 -1.02

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Grafica de: f ( x) = sen 10 x + cos 3 x



Ejemplo 2 (cont.)

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

4.18 4.20 4.22 4.24 4.26 4.28 4.30 4.32

Grafica de: f ( x) = sen 10 x + cos 3 x

x f(x)

4.20 0.08

4.21 0.054.22 0.02

4.23 0.00

4.24 -0.01

4.25 -0.01

4.26 -0.01

4.27 0.014.28 0.04

4.29 0.07

4.30 0.11



Tarea

Utilice Excel para los siguientes problemas.

Determine las raíces reales de: f ( x) = – 0.5 x2 + 2.5 x + 4.5

Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática.

Determine las raíces reales de: f ( x) = 5 x3 – 5 x2 + 6 x – 2

Gráficamente.



Método de la bisecciónSe trata de encontrar los ceros de

f ( x) = 0

Donde f es una función continua en [a,b] con f (a) y f (b) con

signos diferentes.

y = f ( x)

x

y

a

b

f (b)

f (a)



Método de la bisección

De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p [a,b] tal

que f ( p) = 0.

El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar

la mitad que contiene a p.

El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.




y = f ( x)

x

y

a b

f (b)

f (a)

p1=(a+b)/ 2

f ( p1)

p

Mitad del intervalo que

contiene a p

Primera iteración del algoritmo




y = f ( x)

x

y

a =p1

b

f (b)

f (a)

p2=(a+b)/ 2

f ( p2) p

Mitad del intervalo que

contiene a p

Segunda iteración del algoritmo




Algoritmo bisección

Entradas: extremos a,b; número de iteraciones ni; tolerancia tol

1. p=a; i=1; eps=1;

2. mientras f(p)0 y i ni eps>tol2.1. pa = p;

2.2. p = (a+b)/2

2.3. si f(p)*f(a)>0 entonces a=p;2.4. sino

2.5. si f(p)*f(b)>0 entonces b=p;

2.6. i = i + 1; eps = |p-pa|/p;



Bisección en C

double biseccion(double a, double b, double error, int ni){

double p,pa,eps;int i; p = a;i = 1;eps = 1; while(f(p) != 0 && i<ni && eps > error){

pa = p; p = (a+b)/2;if(f(p)*f(a)>0)

a = p;else

if(f(p)*f(b)>0) b = p;

i++;eps = fabs(p-pa)/p;

}return p;

}



Ejemplo

Función de ejemplo

Función en C:

double f(x){

return sqrt(x*x + 1) - tan(x);

}

)tan(12

x x



Tarea

Haga funciones en C para encontrar la solución de las

siguientes ecuaciones utilizando la función biseccion():

1. e x – x2 + 3 x – 2 = 0 para 0 <= x <= 1

2.

040138.667 146843.0 x

e

x

x f



Error en el método de bisecciónPara el método de bisección se sabe que la raíz esta dentro del intervalo, laraíz debe situarse dentro de Dx / 2, donde Dx = x b – x a .

La solución en este caso es igual al punto medio del intervalo

xr = ( xb + xa) / 2

Deberá expresarse por

xr = ( xb + xa) / 2 D x / 2

Error aproximado

2

abanterior

r

nuevo

r

x x x x 2

abnuevo

r x x x

%100ab

ab

a x x

x x

%100nuevo

r

anterior

r

nuevo

r

a x

x x

sustituyedo



Número de iteraciones

El error absoluto en la primera iteración es:

0000 x x x E aba D

El error absoluto en la iteración n-ésima es:

n

n

a

x E

2

0D

Si el error deseado es E ad ,El número de iteraciones

será:

D

D

ad

ad

E

x E xn

0

2

0

log2log

/ log



Volumen del abrevadero

h

r

L

r

ha

b

r

hsen b

a 2sectorarea r

r

hsen

1

22

b

a

r hsenr r /

2sectorarea 122

a

2212 / 2

triangularareasectorareaA hr hr hsenr

22

2

alturabase

2triangulararea hr h

2212

/ 2

hr hr hsenr L LAV



Tarea17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal

en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se

llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el

volumen V de agua es

V = L [ 0.5 r 2 – r 2 arcsen(h / r ) – h(r 2 – h2)1/2 ]

Escriba un programa en C amigable para el usuario que lea los

datos de este problema y encuentre la profundidad h del

abrevadero. Utilice el método de bisección para encontrar lasolución.

h

r

L



Resumen

Requiere que se conozca el intervalo en donde está la raíz.

Los valores de la función en los extremos deben tener signos

diferentes.

Converge lentamente, a cada paso el intervalo se divide en 2.



Método de falsa posición

xl

xu

f ( xl)

f ( xu)

xr

Este método considera cual límite del

intervalo está más próximo a la raíz.

De la figura

ur

u

lr

l

x x

x f

x x

x f

ul

uluur

x f x f

x x x f x x

Despejando

f ( xr )



Ejemplo en Excel

xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr)

12.0000000 16.0000000 14.9113077 6.0669500 -2.2687542 -0.2542775

12.0000000 14.9113077 14.7941976 6.0669500 -0.2542775 -0.027257212.0000000 14.7941976 14.7817001 6.0669500 -0.0272572 -0.0029076

12.0000000 14.7817001 14.7803676 6.0669500 -0.0029076 -0.0003100

12.0000000 14.7803676 14.7802255 6.0669500 -0.0003100 -0.0000330

040138.667 146843.0 x

e x

x f Encontrar la raíz de:



TareaEncuentre la raíz real de f ( x) = (0.8 – 0.3 x)/ x, por el método de

falsa posición. Utilice valores iniciales de 1 y 3, calcule el error

porcentual verdadero en cada iteración. Encuentre la raíz

analiticamente.



Falsa posición en C

double falsaPosicion(double xl,double xu, double ee, int imax){double error,fl,fu,fr,xr,xrOld;int iter=0,il=0,iu=0;fl = f(xl);

fu = f(xu);do{

xrOld = xr;xr = xu - fu*(xl-xu)/(fl-fu);fr = f(xr);iter++;if(xr!= 0)error=fabs((xr-xrOld)/xr*100);

if(fl*fr<0){xu = xr;

fu = f(xu);iu = 0;il++;if(il>=2)

fl/=2;}

else{xl = xr;fl = f(xl);il = 0;iu++;if(iu>=2)

fu/=2;

else;error = 0;

}}while(error>ee && iter<=imax);return xr;

}



Iteración de punto fijo

Un punto fijo de una función g( x) es un número p tal que g( p) =

p.

Dado un problema f ( x) = 0, se puede definir una función g( x)con un punto fijo en p de diferentes maneras. Por ejemplo g( x)

= x – f ( x).



TeoremaSi g C [a, b] y g( x) C [a, b] para toda x C [a, b], entonces g tiene un

punto fijo en [a, b].

Si además g’( x) existe en (a, b) y una constante positiva k <1 existe con

|g’( x)| <= k , pata toda x (a, b),

Entonces el punto fijo en [a, b] es único.

y = g( x)

y

a b

a

b

p

p=g( p)

x

y = x

y = g( x)

y

a b

a

b

p

p=g( p)

x

y = x

|g’( x)>1|g’( x)<=1



Algoritmo de punto fijo

Obtener una solución a p = g ( p) dada un

aproxiamción inicial p0.

ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia TOL;

número máximo de iteraciones N 0.

1. Tome i = 1.

2. Mientras i <= N 0 hacer3. p = g ( p0)

4. Si | p – p0| < TOL entonces

5. Regresar p

6. i = i +1

7. p0 = p8. Fin mientras

9. Imprime ‘El procedimiento fracasó después de N 0

iteraciones’



Gráfica del algoritmo de punto

fijo

y = g( x)

y

x

y = x

p0

p1= g( p0)

p3 p2 p1

p2= g( p1)

p3= g( p2)

y = g( x)

y

x

y = x

p0

p1= g( p0)

p2 p1

p2= g( p1)

p3= g( p2)



Casos de no convergencia

y = g( x)

y

x

y = x

y = g( x)

y

x

y = x



Ejemplo

Sea la función: x3 + 4 x2 – 10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]

Puede despejarse en:

a. x = g1( x) = x – x3 – 4 x2 +10

b. x = g2( x) = ½(10 – x3)½

c. x = g3( x) = (10/(4 + x))½

d. x = g4( x) = x – ( x3 + 4 x2 – 10)/(3 x2 + 8 x)



Iteraciones de punto fijo

(b)1.5

1.286953767

1.402540803

1.345458374

1.375170252

1.3600941921.367846967

1.363887003

1.365916733

1.364878217

1.365410061

1.365137820

1.3652772081.365205850

1.365242383

1.365229578

1.365230028

1.365230012

(c)1.5

1.348399724

1.367376371

1.364957015

1.365264748

1.3652255941.365230575

1.365229941

1.365230022

1.365230012

1.365230013

1.365230013

(a)1 1.5

2 -0.875

3 6.732421875

4 -469.72001200

5 1.02754555E8

6 -1.084933870E247 1.277055591E72

8 -2.082712908E216

9 NaN

10

11

12

1314

15

20

25

30

(d)1.5

1.373333333

1.365262014

1.365230013

1.365230013



Funciones graficadas en MathLab

a) b)

c) d)



Teorema de punto fijo

Si g C [a, b] y g( x) C [a, b] para toda x C [a, b], además supongamos

que existe g’( x) en (a, b) y una constante positiva k <1 cuando

|g

’( x

)| <= k, pata toda x

(a

,b

),Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por

pn = g( pn – 1), n >=1

Converge en el único punto fijo p en [a, b].



Corolario

Si g satisface las hipótesis de teorema del punto fijo, las cotas

de error que supone utilizar pn para aproximar a p están dadas

por

| pn – p| <= k n max( p0 – a, b – p0)

Y por

| pn

– p| <= k n | p1

– p0

|/ (1 – k ), para toda n>=1



Análisis del ejemplo

Caso (a)

g1( x) = x – x3 – 4 x2 +10

g1’( x) = 1 – 3 x2 – 8 x

g1’(1) = – 11, g1’(2) = – 28

No se cumple |g1’(x)| <1

Caso (b)

g2( x) = ½(10 – x3)½

g2’( x) = – 3/4 x2(10 – x3) – ½

g2’(1) = – 0.25, g1’(2) = – 2.1213

No se cumple |g1’(x)| <1

Caso (c)

g3( x) = (10/(4 + x))½

g3’( x) = ( – 5/3.16)(4 + x) – 1.5

<= ( – 5/3.16)(5) – 1.5 <= 0.15

Para toda x en [1, 2]

Caso (d)

g4( x) = x – ( x3 + 4 x2 – 10)/(3 x2 + 8 x)

Se cumple |g4’(x)| es aún menor queen el caso (c) para toda x en [1, 2]



Programa en Matlabfunction y = PuntoFijo(f_name, p0, tol, ni)

%f_name - nombre de la funcion%p0 - valor inicial de la raiz%tol – tolerancia%ni – número de iteracionesi = 1;

while i<=ni

p = feval(f_name,p0);if(abs(p0-p)<tol)y = p;

break;end i = i + 1;

p0 = p;end fprintf('No se encontro solucion.');



Función en Cdouble PuntoFijo(double p0, double tol, int ni){

int i = 1;double p;

while(i<=ni){ p = f(p0);

if(fabs((p0-p)/p)<tol)return p;

i++; p0 = p;}

std::cout << "NO solucion en :" << ni << “ iteraciones.

\n";return p;}



Método de Newton-Raphson

f ( xn) Pendiente = f ’ ( xn)

xn xn+1

La ecuación de la recta

tangente es:

y – f ( xn) = f ’ ( xn)( x – xn)

Cuando y = 0, x = xn+1 o sea

0 – f ( xn) = f ’ ( xn)( xn+1 – xn)

o

x x f x

f xn n n

n

1

( )

'( )

f ( x)



Algoritmo NewtonPara obtener una solución a f(x) = 0 dada una

aproximación p0.

ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia tol;

número máximo de iteraciones N0.

1. i = 1

2. Mientras i<=N0 hacer

2.1. p = p0 – f(p0)/f’(p0)

2.2. Si |p – p0|< tol entonces regrese p

2.3. i = i + 1

2.4. p0 = p

3. fracaso en encontrar la raíz en N0 iteraciones



Ejemplo

f(x) = x – cos(x) f’(x) = 1 + sen(x)

Tomando p0 = 0, se obtiene

pn f(pn) f’(pn) pn+1

0 -1 1 1

1 0.459698 1.8414 0.7503639

0.7503639 0.0189 1.6819 0.73911280.7391128 0.00005 1.6736 0.7390851

0.7390851 3E-10 1.6736 0.7390851

pn+1 = pn – (pn – cos(pn))/(1 + sen(pn))



Ejercicio

Encontrar la solución de

x3 + 4x2 – 10 = 0

En el intervalo [1, 2] con el método de Newton



Código en C

double Newton(double x0, double ee, int ni){int i = 0;double x,fx,dfx;

while(i<ni){fx = f(x0);

dfx = df(x0);x = x0-fx/dfx;if(fabs((x-x0)/x)<ee)return x;

i++;x0 = x;

}std::cout << "No solución en "<< i << " pasos\n";return x;

}



Ejemplo: cuenta de ahorros

El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de

anualidad vencida

A = P[(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita

periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A

un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750,000

dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares

mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede

invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual?

Escriba un programa en C para este problema, el programa deberá pedir todos los

datos necesarios y utilizar el método de Newton para calcular el interés a que debe

invertirse el dinero.



SoluciónPara estimar el valor inicial de i podemos desarrollar el

binomio (1 + i)n

para aproximarlo a la segunda potencia. Elresultado es Pnn

nP Ai

1

20

Se sugiere validar los datos de entrada. El capital a obtenerdebe ser mayor que el depósito por el número de abonos, es

decir

A > nP



Ejemplos resuelto en ExcelA = $750,000.00 i f(i) f'(i) i n+1

P = $1,500.00 0.009065551 4784.893234 2361961.89 0.00703974

n = 240 0.007039738 1297.701361 1175049.3 0.00593536

0.005935357 255.8695592 730982.881 0.00558532

A(calculado) $750,000.00 0.005585323 20.97312565 612780.041 0.0055511

0.005551096 0.18919948 601739.117 0.00555078

0.005550782 1.58807E-05 601638.103 0.005550780.005550782 -1.99179E-10 601638.094 0.00555078

i = 0.56%

A = $350,000.00 i f(i) f'(i) i n+1

P = $20,000.00 0.166666667 15099.14998 450849.857 0.133176249

n = 10 0.133176249 3212.297411 266179.3865 0.1211080820.121108082 346.4384394 209573.7649 0.11945502

A(calculado $350,000.00 0.11945502 6.113559001 202191.6408 0.119424783

0.119424783 0.002029206 202057.4231 0.119424773

0.119424773 2.47383E-10 202057.3785 0.119424773

0.119424773 6.54836E-11 202057.3785 0.119424773

i = 11.94%



Método alternativo para evaluar la

derivada (método de la secante)Es posible calcular la derivada en xn usando:

h

x f h x f x f nnn '

O utilizando

h

h x f x f x f nn

n'



Algoritmo Newton2Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una

aproximación p0.

ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia tol;

número máximo de iteraciones N0.

1. i = 1

2. h = 0.001

3. Mientras i<=N0 hacer

2.1. y = f(p0)

2.2. y_deriv =(f(p0+h)-y)/h

2.3. p = p0 – y/y_deriv2.4. Si |p – p0|< tol entonces regrese p

2.5. i = i + 1

2.6. p0 = p

3. fracaso en encontrar la raíz en N0 iteraciones



Código en C

double Newton(double x0, double ee, int ni){int i = 0;double x,fx,dfx,h;h = 0.0001;

while(i<ni){

fx = f(x0);dfx = (f(x0+h)-fx)/h;x = x0-fx/dfx;if(fabs((x-x0)/x)<ee)return x;

i++;

x0 = x;}std::cout << "No solución en "<< i << " pasos\n";return x;

}



Programa en Matlab

function x = Newt_n(f_name, xO)% Iteración de Newton sin gráficosx = xO; xb = x-999;n=0; del_x = 0.01;

while abs(x-xb)>0.000001n=n+1; xb=x ;if n>300 break; end y=feval(f_name, x) ;y_driv=(feval(f_name, x+del_x) - y)/del_x;x = xb - y/y_driv ;

fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ', n,x,y)fprintf(' yd = %12.5e \n', y_driv)

end fprintf('\n Respuesta final = %12.6e\n', x) ;

Calcula derivada conincrementos



Raíz cuadrada con NewtonPara extraer la raíz cuadrada de un número se puede resolver la ecuación

f ( x) = x2 – c = 0

La derivada es

f’ ( x) = 2 x La fórmula de recurrencia de Newton es

xn+1 = xn – ( xn2 – c)/(2 xn)

= xn /2 + c /(2 xn)

= ( xn + c / xn)/2

Ejemplo: raíz cuadrada de 5 con x0 = 1.

xn xn+11 3.000000

3.000000 2.333333

2.333333 2.238095

2.238095 2.236069

2.236069 2.236068



DesventajasEn algunos casos la convergencia es muy lenta, considere

f ( x) = xn – 1

Se obtiene la siguiente secuencia empezando en x = 0.5

iteración x

0 0.5

1 51.65

2 46.485

3 41.83654 37,65285

..

-- 1.000000

D j ( )



Desventajas (cont.)

x0 x1

x2 x

f ( x)

x0 x1 x2 x

f ( x)

x0

x1

x

f ( x)

raíz cerca de punto de inflexiónmínimo local

varias raíces

x

f ( x)

la iteración en un mínimo

x0 x1



Ejemplo

Resolver utilizando Excel

sen x - e-x = 0 para 0<= x <= 1 y 3<= x <= 4 y 6<= x <= 7



Resultados

h= 0.1

xn f(xn) f'(xn) xn+1

0.00000000 -1.00000000 1.94995999 0.51283104

0.51283104 -0.10815190 1.41522716 0.58925121

0.58925121 0.00099615 1.33011566 0.58850229 0.58850229 -0.00004224 1.33095756 0.58853402

0.58853402 0.00000178 1.33092188 0.58853269

h= 0.01

xn f(xn) f'(xn) xn+1 0.00000000 -1.00000000 1.99499996 0.50125314

0.50125314 -0.12524617 1.47731614 0.58603267

0.58603267 -0.00347081 1.38411969 0.58854027

0.58854027 0.00001043 1.38133294 0.58853271

0.58853271 -0.00000004 1.38134134 0.58853274



Tarea #14

La carga en un circuito RLC serie esta dada por

t

L

R

LC eqt q L Rt

2

)2 /(

02

1cos

suponga q0 / q = 0.01 , t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.

Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de

Newton. Haga un programa en C para este problema.



Convergencia en el punto fijo

El algoritmo de punto fijo es de tipo lineal. Se puede demostrar

que el error verdadero en la iteración i+1 es:

E t ,i+1

= g’(x) E t ,i

donde

E t ,i = xr - xi



Convergencia en Newton Raphson

El algoritmo de Newton es de tipo cuadrático. Se puede

demostrar que el error verdadero en la iteración i+1 es:

E t ,i+1

= (- f ’’( xr )/2 f ’( x

r )) E 2

t ,i

Esto significa que el número de decimales exactos se duplica

con cada iteración.



Raíces múltiples

En el caso de que un polinomio tenga raíces múltiples, la

función tendrá pendiente igual a cero cuando cruce el eje x.

Tales casos no pueden detectarse en el método de bisección

si la multiplicidad es par.

En el método de Newton la derivada en la raíz es cero.

Generalmente el valor de la función tiende a cero más rápido

que la derivada y puede utilizarse el método de Newton



Ejemplo

n xn f(xn) f'(xn) xn+1

0 0.50000000 -0.62500000 2.75000000 0.72727273

1 0.72727273 -0.16904583 1.31404959 0.85591767

2 0.85591767 -0.04451055 0.63860849 0.92561694

3 0.92561694 -0.01147723 0.31413077 0.96215341

4 0.96215341 -0.00291894 0.15568346 0.98090260

5 0.98090260 -0.00073639 0.07748373 0.99040636

6 0.99040636 -0.00018496 0.03865069 0.99519176

7 0.99519176 -0.00004635 0.01930234 0.997593008 0.99759300 -0.00001160 0.00964539 0.99879578

9 0.99879578 -0.00000290 0.00482125 0.99939771

10 0.99939771 -0.00000073 0.00241026 0.99969881

Polinomio: f ( x) = ( x – 3) ( x – 1) ( x – 1)

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