movimiento oscilatorio

Cap. 11. Movimiento oscilatorio.

299

CAPITULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO.

Los principales objetivos de los captulos anteriores estaban orientados a des-cribir el movimiento de un cuerpo que se puede predecir si se conocen las condiciones iniciales del movimiento y las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo. Si una fuerza cambia en el tiempo, la velocidad y la aceleracin del cuerpo tambin cambiarn en el tiempo. Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo acta una fuerza que es directamente propor-cional al desplazamiento del cuerpo desde su posicin de equilibrio. Si dicha fuerza siempre acta en la direccin de la posicin de equilibrio del cuerpo, se producir un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posicin, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitucin, porque tratan siem-pre de restituir o llevar al cuerpo a su posicin original de equilibrio. El mo-vimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento peri-dico u oscilatorio. Ejemplos de movimientos peridicos son la oscilacin de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un pndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotacin de la Tierra, las ondas electromagnticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente elctrica en los circuitos de corrien-te alterna y muchsimos otros ms. Un tipo particular es el movimiento armnico simple. En este tipo de movi-miento, un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energa mecnica. Pero en los sistemas mecnicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energa mec-nica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la prdida de energa se equilibre con la energa de entrada, el movimiento se llama oscilacin forzada. 11.1 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. Una partcula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x desde la posicin de equilibrio, vara en el tiempo de acuerdo con la relacin


300

)cos( += tAx (11.1)

donde A, , y son constantes del movimiento. Esta es una ecuacin peridi-ca y se repite cuando t se incrementa en 2 radianes. Para dar un significado fsico a estas constantes, es conveniente graficar x en funcin de t, como se muestra en la figura 11.1. La constante A se llama amplitud del movimiento, es simplemente el mximo desplazamiento de la partcula, ya sea en la direc-cin positiva o negativa de x. La constante se llama frecuencia angular, el ngulo se llama ngulo o constante de fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el desplazamiento y velocidad inicial de la partcula. Las constantes A y nos dicen cual era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad (t + ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la com-paracin del movimiento de dos sistemas de partculas.

Figura 11.1 Esquema del grafico posicin tiempo de la ecuacin 11.1.

El periodo T es el tiempo que demora la partcula en completar un ciclo de su movimiento, esto es, es el valor de x en el instante t + T. Se puede demostrar que el periodo del movimiento esta dado por T = 2/, sabiendo que la fase aumenta 2 radianes en un tiempo T:

t + + 2 =(t+T) + Comparando, se concluye que T = 2, o

2=T


301

Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el nmero de oscilaciones que hace la partcula en un periodo de tiempo, se escribe como:

2

1 ==T

f

Las unidades de medida de f en el SI son 1/s o ciclos/s, llamados Hertz, Hz. Reacomodando la ecuacin de la frecuencia, se obtiene la frecuencia angular , que se mide en rad/s, de valor:

Tf 22 ==

La velocidad de una partcula que tiene un movimiento armnico simple se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuacin 11.1:

)sin( +== tAdtdxv

(11.2) La aceleracin de la partcula est dada por dv/dt:

)cos(2 +== tAdtdva

(11.3) Como )cos( += tAx , se puede expresar la aceleracin en la forma:

a = -2x De las ecuaciones de velocidad y de aceleracin, teniendo en cuenta que los valores extremos de las funciones seno o coseno son 1, sus valores extremos mximos o mnimos son:

v = A


302

a = 2A Las curvas de posicin, velocidad y aceleracin con el tiempo se muestran en la figura 11.2. En estas curvas se ve, (figura 11.2 b), como la fase de la veloci-dad difiere en /2 rad o 90 con la fase del desplazamiento. Esto es, cuando x es un mximo o un mnimo, la velocidad es cero. De igual forma, cuando x es cero, la rapidez es un mximo o un mnimo. Del mismo modo, como la fase de la aceleracin difiere en rad o 180 con la fase del desplazamiento, (figura 11.2 c), cuando x es un mximo o un mnimo, la aceleracin es un mnimo o un mximo.

Figura 11.2. Grficos de posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.

La ecuacin )cos( += tAx es una solucin general de la ecuacin diferen-cial que describe el movimiento armnico simple, donde la constante de fase y la amplitud A se deben elegir para satisfacer las condiciones iniciales del movimiento. La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o ms partculas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posicin inicial y la velocidad inicial de un oscilador, esto es, en t = 0, x = xo y v = vo. Con esas condiciones, las ecuaciones 11.1 y 11.2 se reducen a:

xo = A cos y vo = -A sen


303

que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constan-te de fase y la amplitud A. Dividindolas, se obtiene:

o

o

o

o

xv

xv

=

=

tan

tan

Si ahora las ecuaciones para xo y vo se elevan al cuadrado y se suman, se ob-tiene:

22

2222

2 )(cos

+=

+=

+

oo

oo

vxA

senAvx

Entonces se observa que y A se pueden conocer si se especifican las condi-ciones iniciales xo, y vo. Para concluir esta descripcin, podemos resumir algunas propiedades de una partcula que se mueve con un movimiento armnico simple: 1. El desplazamiento, la velocidad y la aceleracin varan senoidalmente con

el tiempo, pero no se encuentran en fase. 2. La aceleracin de la partcula es proporcional al desplazamiento, pero en

direccin opuesta. 3. El periodo y la frecuencia son independientes de la amplitud. Ejemplo 11.1. Una partcula oscila con un movimiento armnico simple a lo largo del eje x. Su desplazamiento vara con el tiempo de acuerdo con la ecua-cin:


304

+=4

cos4 tx

donde x se mide en m, t en s y los ngulos en radianes. Calcular: a) la ampli-tud, frecuencia y periodo del movimiento, b) la velocidad y la aceleracin de la partcula en cualquier instante t, c) la posicin, la velocidad y la aceleracin en el instante t = 1s, d) la velocidad y la aceleracin mximas de la partcula, e) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s, f) la fase del movimiento en t = 2s. Solucin: a) comparando la ecuacin dada con la ecuacin general del movimiento, se encuentra que A = 4m, = rad, la frecuencia y el periodo son:

Hz 5.022

1 ====

Tf

, s

fT 2

5.011 ===

b)

+==4

4 tsendtdxv

+==4

cos4 2 tdtdva

c) para t = 1 s,

mx 83.2)707.0(44

5cos44

cos4 ===

+=

smsenv 9.8)707.0(4

454 ==

=

29.27)707.0(44

5cos4 22 sma ==

=

d) los valores mximos se obtienen cuando seno y coseno valen uno:

vmax = 4 =12.6 m/s


305

amax = 42 = 39.5 m/s2

e) para t = 0 y t = 1s,

mxo 83.2)707.0(44cos4

40cos4 ===

+=

x1 = -2.83 m

x = x1 xo = -2.83 - 2.83 = -5.66 m f) la fase se define como:

fase = t + , para t = 2s y =/4:

fase =2 + /4 =9/4 rad.

11.2 MASA SUJETA A UN RESORTE. Una masa sujeta al extremo de un resorte, con la masa movindose libremente sobre una superficie horizontal sin friccin o verticalmente en el aire, oscilar si se la aparta de su posicin de equilibrio x = 0 donde el resorte se encuentra sin deformar, con un movimiento armnico simple. En la figura 11.3 se obser-va un esquema para una masa que oscila sobre una superficie horizontal sin friccin. Cuando la masa se desplaza una pequea distancia x desde su posi-cin de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dada por la Ley de Hooke,

F = -kx

Sabemos que esta fuerza siempre es opuesta al movimiento. Aplicando la se-gunda ley de Newton, suponiendo que esta es la nica fuerza que acta sobre la masa m, se obtiene:

== makxF


306

xmka =

esto es, la aceleracin de m es proporcional al desplazamiento desde su posi-cin de equilibrio y en direccin opuesta. Como la aceleracin es la segunda derivada de la posicin, y definiendo el cuociente k/m = 2, se puede escribir:

xdt

xd 22

2

= (11.4)

Figura 11.3 Masa unida a un resorte oscilando sobre una superficie horizontal sin roce.

La solucin de la ecuacin diferencial 11.4 es la que describe el movimiento armnico simple, tiene la misma forma que la ecuacin 11.1:

)cos( += tAx Esto se puede generalizar para afirmar que cualquier fuerza que acte sobre una partcula, que sea linealmente proporcional al desplazamiento y de direc-cin opuesta, le producir a la partcula un movimiento armnico simple. Para la masa sujeta al resorte, el perodo y la frecuencia del sistema es:


307

mk

Tf

kmT

211

22

==

==

Ejemplo 11.2. Una masa de 200 g se conecta a un resorte de constante 5 N/m, que es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin roce. Si la masa se desplaza 5 cm del equilibrio y se suelta desde el reposo, como en la figura 11.3, calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la rapidez y la aceleracin mxima de la masa, c) el desplazamiento, la rapidez y la acelera-cin para t = 2 s. Solucin: los datos son: m = 0.2 kg, k = 5 N/m, A = 0.05 m, vo = 0, a)

srad

kgmN

mk 5

2.0/ 5 ===

sT 26.15

22 ===

b) vmax = A = (5 rad/s)(0.05 m) = 0.25 m/s

amax = 2A=(5 rad/s)2 (0.05 m) = 1.25 m/s2

c) para t = 2 s:

x = A cost = 0.05 cos(10) = 0.05 m

v = - A sent = -(5)(0.05) sen(10) = 0

a = -2A cost = -(5)2 (0.05) cos(10) = 1.25 m/s2


308

11.3 ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. De la definicin de energa cintica, reemplazando la ecuacin de la rapidez de una partcula con movimiento armnico simple, se obtiene:

( ) +== tsenAmmvEc 2222 21

21

(11.5) La energa potencial elstica almacenada en un resorte, para cualquier defor-macin x es:

( ) +== tkAkxEE 222 cos21

21

(11.6) La energa mecnica total en el movimiento armnico simple, considerando que 2 = k/m o bien m2 = k, se puede escribir como:

( ) ( )[ ] +++=+= ttsenkAEEE Ec 222 cos21

2

21 kAE =

(11.7) De donde se deduce que la energa mecnica total en el movimiento armnico simple es una constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la ampli-tud. Este valor es igual a la mxima energa potencial elstica almacenada en un resorte cuando x = A, ya que en esos puntos v = 0 y no hay energa cin-tica. Por otro lado, en la posicin de equilibrio, x = 0 y por lo tanto EE= 0, adems en este punto la rapidez es la mxima, de tal manera que toda la energa es energa cintica, es decir en x = 0:

222max 2

121 AmvEE c ==


309

Como la superficie sobre la cual oscila el resorte es sin friccin, la energa se conserva, usando la ecuacin de conservacin de la energa, se puede escribir:

E = Ec + EE = cte

222

21

21

21 kAkxmv =+

(11.8) De esta expresin se puede calcular la rapidez para un desplazamiento arbitra-rio x:

( ) 2222 xAxAmkv ==

(11.9) encontrndose nuevamente que la rapidez es mxima en x = 0 y es cero en los puntos de regreso del oscilador x = A. Ejemplo 11.3. Una masa de 0.5 kg conectada a un resorte de constante 20 N/m, oscila sobre una superficie horizontal sin roce, con una amplitud de 3 cm. Calcular a) la energa total del sistema y la rapidez mxima de la masa, b) la rapidez de la masa cuando el desplazamiento es 2 cm, c) la energa cintica y potencial del sistema cuando el desplazamiento es 2 cm, d) el valor de x cuando la rapidez es 0.1 m/s. Solucin: los datos son m = 0.5 kg, k = 20 N/m, A = 3 cm = 0.03 m, a) la energa total es:

JkAE 322 109)03.0)(20(21

21 ===

y la rapidez mxima se puede calcular con la ecuacin:

JmvE 32max 10921 ==


310

smv 19.0

5.01092 3

max ==

b) Ahora se puede usar la ecuacin:

( ) smxAmkv 14.0)02.003.0(5.020 2222 === los signos positivo y negativo indican que la masa podra estarse moviendo hacia la derecha o hacia la izquierda en ese instante. c) la energa cintica es:

JmvEc322 105)14.0)(5.0(

21

21 ===

y la energa potencial:

JkxEE322 104)02.0)(20(

21

21 ===

d) de la ecuacin:

( )

cmmx

vkmAxxA

mkv

5.2025.0)1.0(20

5.003.0 22

2222

==

=

==

11.4 EL PENDULO. 11.4.1. Pndulo simple. El pndulo simple es otro sistema mecnico que tiene un movimiento peridi-co oscilatorio, si se mueve en un medio sin friccin. Un pndulo es un sistema


311

formado por una masa puntual m suspendida en el aire por una cuerda de lon-gitud L, de masa muy pequea comparada con la masa m, por lo que se des-precia; la parte superior de la cuerda se encuentra fija, como se muestra en la figura 11.4. El movimiento del pndulo producido por la fuerza de gravedad se realiza en un plano vertical, y es un movimiento armnico simple si el n-gulo que forma la cuerda del pndulo con la vertical es pequeo, como se puede demostrar a continuacin.

Figura 11.4 Pndulo simple.

Las fuerzas que actan sobre la masa m son la tensin T de la cuerda y el peso mg de la masa, se muestran en la figura 11.4. La componente tangencial del peso, mg sen, siempre apunta hacia = 0, en direccin opuesta la desplaza-miento. Esta es la fuerza de restitucin, entonces puede escribirse la ecuacin de movimiento en la direccin tangencial de la forma:

mgsendt

sdmmgsenFt == 22

donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco de trayectoria y el signo menos indica que Ft acta opuesta al movimiento. Como s = L y L es constante, la ecuacin se transforma en:


312

senLg

dtd =2

2

Como el lado derecho es proporcional a sen, y no solo a , se concluye que el movimiento no es armnico simple. Esa es una ecuacin diferencial difcil de resolver, por lo que se supone que el pndulo se mueve en pequeos despla-zamientos, tal que es pequeo, en este caso se puede usar la aproximacin sen y la ecuacin diferencial del movimiento se reduce a:

Lg

dtd =2

2

(11.10) que tiene la misma forma que la ecuacin que describe al movimiento armni-co simple, por lo que solo en esas condiciones el movimiento del pndulo es un movimiento armnico simple. Su solucin es entonces:

)cos( += t (11.11) donde es la amplitud que corresponde al mximo desplazamiento angular y es la frecuencia angular, de valor:

Lg=

El periodo del movimiento es:

gLT

22 ==

El periodo y la frecuencia de un pndulo simple dependen solo de la longitud de la cuerda y la aceleracin de gravedad, y son independiente de la masa m del pndulo. Esto significa que todos los pndulos simples de igual longitud en el mismo lugar, oscilarn con el mismo periodo.


313

Comnmente se usa el pndulo simple como un medidor de tiempo. Tambin es un dispositivo adecuado para hacer mediciones precisas de la aceleracin de gravedad, que son importantes por ejemplo cuando las variaciones locales de g pueden dar informacin sobre las fuentes subterrneas de petrleo u otros recursos minerales. Ejemplo 11.4. Una persona que anda trayendo un cronmetro, pero no una huincha para medir la altura de un edificio, quiere saber su altura. Entonces instala un pndulo que se extiende desde el techo hasta el piso y mide que tie-ne un periodo de 15 s. a) Calcular la altura de ese edificio. b) Si el mismo pndulo estuviera en la Luna, donde g =1.7 m/s2, calcular el periodo. Solucin: se conoce T = 15 s, entonces: a)

mgTLgLT 57

4)15)(10(

42 2

2

2

2

==== b) en la Luna g =1.7 m/s2,

sgLT 4.36

7.15722 ===

11.4.2. Pndulo fsico. Un pndulo fsico consta de cualquier cuerpo rgido suspendido de un eje fijo que no pasa por su centro de masa. El cuerpo rgido oscilar cuando se despla-za de su posicin de equilibrio. Si el cuerpo rgido se sujeta en un eje que pasa por un punto O a una distancia d del centro de masa, como se muestra en la figura 11.5, la fuerza debido a la gravedad produce un torque respecto de O, de magnitud mgd sen. Como el torque se escribe = I, donde I es el mo-mento de inercia respecto al eje que pasa por O y es la segunda derivada de la rapidez angular, se obtiene:


314

senmgddtdI 2

2

=

Figura 11.5 Pndulo fsico.

El signo menos indica que la fuerza de gravedad es una fuerza de restitucin que produce un torque que hace disminuir el ngulo . Para resolver esta ecua-cin, nuevamente se supone que el pndulo fsico se mueve en pequeos desplazamientos, tal que es pequeo, en este caso se puede usar la aproxi-macin sen y la ecuacin diferencial del movimiento se reduce a:

222

==I

mgddtd

(11.12) que tiene la misma forma que la ecuacin que describe al movimiento armni-co simple, por lo que en esas condiciones as es el movimiento del pndulo. Su solucin es entonces:

)cos( += t donde es la amplitud que corresponde al mximo desplazamiento angular y es la frecuencia angular, de valor:

Imgd=


315

El periodo del movimiento es:

mgdIT

22 ==

Se pueden usar estos resultados para medir el momento de inercia de cuerpos rgidos planos. Si se ubica el centro de masa y se mide d, se puede obtener el momento de inercia midiendo el periodo del pndulo fsico. El periodo del pndulo fsico se reduce al del pndulo simple, cuando toda la masa del cuer-po rgido se concentra en su centro de masa, ya que en este caso I = md2. Ejemplo 11.5. Una barra uniforme de masa M y largo L tiene un pivote en uno de sus extremos, como se muestra en la figura 11.6, y oscila en un plano verti-cal con una pequea amplitud. Calcular el periodo de la oscilacin.

Figura 11.6 Ejemplo 11.5

Solucin: la barra oscila como un pndulo fsico, su periodo es:

gL

MgML

mgdIT

L 32222

2

231 ===


316

11.4.3. Pndulo de torsin. Un pndulo de torsin, es un sistema construido de la siguiente forma. Consta de una varilla vertical que por el extremo superior se fija a un soporte y en el extremo opuesto se encuentra unida a un cuerpo rgido, como se muestra en la figura 11.7. Cuando a la varilla se la retuerce y luego se la deja girar, ejerce un torque de restitucin sobre el cuerpo rgido, proporcional al desplazamiento angular , que se puede escribir como:

Figura 11.7 Pndulo de torsin.

= - donde es la constante de torsin de la varilla de soporte. Por la segunda ley de Newton, se obtiene:

= 22

dtdI

Idt

d =22

(11.13) que es la ecuacin de un movimiento armnico simple, de frecuencia y perio-do, respectivamente:


317

I =

IT 22 ==

Para este pndulo no se tiene la restriccin de un ngulo pequeo, slo se debe tener cuidado que no se exceda el lmite elstico de la varilla. Este pndulo es comn en los relojes mecnicos, que produce el tictac, tictac, tictac, tictac... 11.5. OSCILACIONES AMORTIGUADAS. Los movimientos oscilatorios hasta aqu considerados se refieren a sistemas ideales, que oscilan indefinidamente por la accin de una fuerza lineal de res-titucin, de la forma F = -kx. Pero en los sistemas reales estn presentes fuer-zas disipativas, como la friccin, las cuales retardan el movimiento del siste-ma. Por lo tanto la energa mecnica del sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, lo que hace que la amplitud del sistema disminuya con el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado. Un tipo comn de fuerza de friccin es proporcional a la rapidez y acta en direccin opuesta al movimiento. Estas fuerzas se producen frecuentemente en los fluidos, principalmente en lquidos y gases, aqu se llaman fuerzas de vis-cosidad, donde actan cuando un cuerpo se mueve, por ejemplo en el agua o en el aire. Se expresan en la forma F = - bv, donde b es una constante que mi-de el grado de viscosidad del fluido. Aplicando la segunda ley de Newton a un sistema amortiguado, donde sobre el cuerpo en movimiento oscilatorio actan las fuerzas de restitucin y de amortiguamiento o de viscosidad, se obtiene:

= mabvkx

2

2

dtxdm

dtdxbkx =

(11.14)


318

La solucin de esta ecuacin esta fuera del alcance de este libro, por lo que se da sin demostracin. Cuando la fuerza de viscosidad es pequea comparada con kx, es decir, cuando b es pequea, la solucin es:

)cos(2 += tAex tmb

(11.15)

donde la frecuencia del movimiento es:

2

2

=mb

mk

(11.16) En la figura 11.8 se grafica la posicin x en funcin del tiempo t para este mo-vimiento amortiguado. Se observa que cuando la fuerza disipativa es pequea comparada con la fuerza de restitucin, el carcter oscilatorio del movimiento se mantiene, pero la amplitud de la oscilacin disminuye con el tiempo, hasta que finalmente el movimiento se amortigua y detiene. La lnea de trazos en la figura 11.8 que es la envolvente de la curva de oscilacin, representa el factor exponencial en la ecuacin 11.15, corresponde a la amplitud decreciente en el tiempo.

Figura 11.8 Grfico posicin tiempo en las oscilaciones amortiguadas.

De la ecuacin de la frecuencia se observa que si b = 0, se tiene la frecuencia natural de vibracin del oscilador no amortiguado, o2 = k/m. Cuando la mag-


319

nitud de la fuerza de friccin se aproxima ms a la magnitud de la fuerza de restitucin, las oscilaciones se amortiguan ms rpidamente. Cuando b alcanza un valor crtico tal que b/2m = o, el sistema no oscila y se dice que est crti-camente amortiguado, por lo que el sistema regresa al equilibrio en forma ex-ponencial con el tiempo. Si el medio es tan viscoso que la fuerza de friccin es mayor que la de restitucin, con lo cual b/2m > o, el sistema est sobreamor-tiguado. En este caso tampoco oscila, sino que simplemente regresa a su posi-cin de equilibrio. En todos los casos, cuando hay friccin presente, la energa del oscilador disminuye hasta cero; la energa mecnica que se pierde se trans-forma en el medio en energa trmica. 11.6. OSCILACIONES FORZADAS. Para el caso de un oscilador amortiguado, la energa disminuye en el tiempo por efecto de la fuerza disipativa. Se puede compensar esta prdida y entregar energa al sistema aplicando una fuerza externa que en cualquier instante acte en la direccin del movimiento del oscilador, que debe hacer un trabajo posi-tivo sobre el sistema. La amplitud del movimiento permanecer constante si la energa de entrada al sistema en cada ciclo del movimiento es igual a la ener-ga que se pierde por la friccin. Un oscilador forzado se puede obtener cuando un oscilador amortiguado es impulsado por una fuerza externa que varia armnicamente en el tiempo, de la forma F = Fo cos t, donde es la frecuencia angular de la fuerza y Fo es una constante. Agregando esta fuerza a la ecuacin diferencial del oscilador amor-tiguado, se obtiene:

2

2

cosdt

xdmdtdxbkxtFo = (11.17)

Ya sabemos que la solucin de esta ecuacin es complicada, por lo que damos su resultado sin demostracin; en un curso mas avanzado de Mecnica Clsica ustedes van a tener amplias posibilidades de entretenerse resolviendo ecuacio-nes como esta. Despus de un tiempo suficientemente largo, cuando la energa de entrada en cada ciclo es igual a la energa perdida en cada ciclo, se alcanza la condicin de estado estacionario, donde las oscilaciones se producen con


320

amplitud constante. En esas condiciones, la solucin de la ecuacin diferencial 11.17 es:

)cos( += tAx donde la amplitud es:

2222 )(

+

=m

b

mFA

o

o

(11.18)

con o2 = k/m, la frecuencia del oscilador no amortiguado (b = 0). Estas solu-ciones se justifican, pues fsicamente en estado estacionario el oscilador debe tener la misma frecuencia de la fuerza externa aplicada. Se puede comprobar que x es solucin si se reemplaza en la ecuacin diferencial 11.17, esta se sa-tisface cuando la amplitud es la ecuacin 11.18. En la ecuacin 11.18 se observa que el movimiento del oscilador forzado no es amortiguado, ya que se est impulsando por una fuerza externa, pues la condicin es que el agente externo entregue la energa necesaria para compen-sar la energa que se pierde por friccin. Observar que la masa oscila con la frecuencia de la fuerza impulsora. Para un amortiguamiento pequeo, la amplitud aumenta cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la frecuencia natural de la oscilacin, o cuando o. El aumento tan signi-ficativo de la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce como reso-nancia, y la frecuencia o se llama frecuencia de resonancia del sistema. En la figura 11.9 se muestra una grfica de la amplitud como funcin de la frecuencia para un oscilador forzado con y sin fuerza de friccin. Notar que la amplitud aumenta cuando disminuye el amortiguamiento (b 0). Adems la curva de resonancia se ensancha al aumentar el amortiguamiento. En condi-ciones de estado estacionario, y a cualquier frecuencia de impulso, la energa transferida es igual a la energa que se pierde por la fuerza de amortiguamien-to, por eso la energa total promedio del oscilador permanece constante. En ausencia de fuerzas de amortiguamiento (b = 0), de la ecuacin 11.18 se ob-serva que, en estado estacionario, A aumenta hasta el infinito cuando o. Es decir, si no hay prdidas en el sistema, y se continua impulsando un oscila-


321

dor que se encontraba inicialmente en reposo, con una fuerza senoidal que se encuentra en fase con la velocidad, la amplitud crecer sin lmite. Esto no se produce en la realidad ya que siempre estn presentes las fuerzas de friccin, aunque sean pequeas, por lo tanto, en la resonancia la amplitud ser grande, pero finita para pequeos amortiguamientos.

Figura 11.9 Grfico de la amplitud en funcin de la frecuencia para un oscilador forzado

con y sin fuerza de friccin.


322

PROBLEMAS.

11.1 El desplazamiento de una partcula est dado por la ecuacin

)3cos(4 += tx , donde x esta en m y t en s. Calcular: a) la frecuen-cia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la constante de fase, d) la posicin de la partcula en t = 0 y 5s, e) la ra-pidez y aceleracin en cualquier instante, f) la rapidez y aceleracin mximas, g) la rapidez y aceleracin en t = 0 y 5 s. R: a) 1.5 Hz, 0.667 s, b) 4 m, c) rad, d) -4 m.

11.2 Una partcula oscila con un movimiento armnico simple de tal forma

que su desplazamiento varia de acuerdo con la expresin )6/2cos(5 += tx , donde x esta en cm y t en s. Calcular: a) la fre-

cuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la posicin de la partcula en t = 0, d) la rapidez y aceleracin en t = 0. R: a) s, b) 5 cm, c) 4.33 cm, d) -5 cm/s, -17.3 cm/s2.

11.3 Una partcula que se mueve con movimiento armnico simple recorre

una distancia total de 20 cm en cada ciclo, y su mxima aceleracin es de 50 m/s2. Calcular: a) la frecuencia angular, b) su mxima rapidez.

11.4 El desplazamiento de una partcula est dado por la ecuacin

)3/2cos(8 += tx , donde x esta en cm y t en s. Calcular: a) la fre-cuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la constante de fase, d) la posicin, la rapidez y aceleracin de la partcula en t = /2 s, e) la mxima rapidez y el tiempo mas corto en alcanzarla, f) la mxima aceleracin y el tiempo mas corto en alcanzar-la. R: d) 13.9 cm/s, 16 cm/s2, e) 16 cm/s, 0.263 s, f) 32 cm/s2, 1.05 s.

11.5 Una partcula que se mueve con movimiento armnico simple, en t = 0

se encuentra en xo = 2 cm, con rapidez vo = -24 cm/s. Si el periodo del movimiento es 0.5 s, calcular: a) la constante de fase, b) la amplitud, c) la posicin, la rapidez y aceleracin en funcin del tiempo, d) la rapi-dez y aceleracin mximas.

11.6 Una partcula que se mueve con movimiento armnico simple a lo lar-

go del eje x, empieza desde el origen en t = 0 y se mueve hacia la de-


323

recha. Si la amplitud de su movimiento es de 2 cm y la frecuencia 1.5 Hz, calcular: a) la posicin en funcin del tiempo, b) la mxima rapi-dez y el tiempo mas corto en alcanzarla, c) la mxima aceleracin y el tiempo mas corto en alcanzarla, d) la distancia total recorrida entre t=0 y t=1s. R: a) 2 sen(3t), b) 6cm/s, 0.33s, c) 182cm/s2, 0.5s, d) 12cm.

11.7 Un pistn, de masa 2kg, en un motor de automvil tiene un movimien-

to armnico simple, con una amplitud de 5 cm. Calcular la rapidez y la aceleracin mximas del pistn cuando se mueve a 3600 rev/min.

11.8 Un peso de 0.2 N se suspende de un resorte de constante 6 N/m. Cal-

cular el desplazamiento del resorte. R: 3.33 cm. 11.9 Un resorte se alarga 4 cm cuando se le cuelga una masa de 10 gramos.

Si se le cuelga una masa de 25 gramos, oscila con un movimiento ar-mnico simple. Calcular el periodo del movimiento.

11.10 La frecuencia de vibracin de un sistema masa-resorte es de 5 Hz

cuando se le cuelga una masa de 4 gramos. Calcular la constante del resorte. R: 3.95 N/m.

11.11 Una masa de 1 kg sujeta a un resorte de constante 25 N/m, oscila en

una superficie horizontal sin friccin. La masa se suelta desde el repo-so en el instante t = 0, donde el resorte se encuentra comprimido en la posicin en x = -3cm. Calcular: a) el periodo, b) la rapidez y acelera-cin mxima, c) la posicin, la rapidez y aceleracin en funcin del tiempo.

11.12 A un oscilador armnico simple le toma 12 s completar 5 vibraciones.

Calcular a): el periodo, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular. R: a) 2.4 s, b) 0.417 Hz, c) 2.62 rad/s.

11.13 Un sistema masa-resorte oscila de tal forma que su posicin est dada

por x = 0.25cos(2t), donde x esta en m y t en s. Calcular: a) la rapidez y aceleracin de la masa cuando x = -0.1 m, b) la rapidez y aceleracin mximas.

11.14 Una masa de 0.5 kg sujeta a un resorte de constante 8 N/m, oscila con

movimiento armnico simple, con una amplitud de 10 cm. Calcular a)


324

la rapidez y aceleracin mximas, b) la rapidez y aceleracin cuando la masa se encuentra en x = 6 cm de la posicin de equilibrio, c) el tiem-po que demora la masa en moverse entre x = 0 y x = 8 cm. R: a) 0.4 m/s, 1.6 m/s2, b) 0.32 m/s, -9.6 m/s2, c) 0.232 s.

11.15 Una partcula sujeta a un resorte vertical, se estira hacia abajo una dis-

tancia de 4 cm desde su posicin de equilibrio y se suelta desde el re-poso. La aceleracin inicial hacia arriba de la partcula es 0.3 m/s2. Calcular a) el periodo de las oscilaciones siguientes, b) la rapidez cuando pasa por la posicin de equilibrio. c) Escribir la ecuacin de movimiento de la partcula.

11.16 Una masa de 0.2 kg sujeta a un resorte oscila con movimiento armni-

co simple, con un periodo de 0.25s. Si la energa total del sistema es 2 J, calcular a) la constante del resorte, b) la amplitud del movimiento.

11.17 Un sistema masa-resorte oscila con una amplitud de 3.5 cm. Si la cons-

tante del resorte es 250 N/m, y la masa de 0.5 kg, calcular a) la energa mecnica del sistema, b) la rapidez mxima de la masa, c) la acelera-cin mxima. R: a)0.153 J, b) 0.783 m/s, c) 17.5 m/s2.

11.18 La amplitud de un sistema movindose con un movimiento armnico

simple se duplica. Calcular la variacin en: a) la energa total, b) la ra-pidez mxima, c) la aceleracin mxima, d) el periodo. R: a) cuadru-plica, b) duplica, c) duplica, d) no cambia.

11.19 Un sistema masa-resorte tiene un movimiento armnico simple en una

superficie horizontal sin friccin, con una amplitud de 12 cm. Si la constante del resorte es 50 N/m, calcular: a) la energa total del siste-ma, b) la energa cintica del sistema cuando la masa est a 9 cm de la posicin de equilibrio, c) la energa potencial cuando la posicin es x=9 cm.

11.20 Una partcula tiene un movimiento armnico simple con una amplitud

de 3 cm. Calcular la posicin respecto al punto medio de su movimien-to donde la rapidez ser igual a la mitad de la rapidez mxima. R: 2.6cm.


325

11.21 Un bloque de 50 g se sujeta al extremo libre de un resorte ideal que tiene una fuerza de restitucin de 40 N por cada metro de extensin. El bloque se puede deslizar libre sobre una superficie horizontal sin fric-cin, se pone en movimiento dndole una energa potencial inicial de 2 J y una energa cintica inicial de 1.5 J. a) Dibujar la grfica de la ener-ga potencial del sistema para valores en el rango 0.5m x +5m. b) Calcular la amplitud de la oscilacin del grfico y en forma analtica. c) Calcular la rapidez del bloque cuando pasa por la posicin de equili-brio. d) Calcular la posicin donde la energa cintica es igual a la energa potencial. e) Calcular la frecuencia angular y el periodo. f) Si el desplazamiento inicial fue x > 0 y la rapidez inicial fue v < 0, calcular el ngulo de fase. g) Escribir la ecuacin de movimiento x(t).

11.22 Un pndulo simple tiene un periodo de 2.5 s. Calcular: a) su longitud,

su periodo si estuviera en la Luna, donde g = 1.67 m/s2. R: a) 1.55 m, b) 6.1 s.

11.23 Calcular la frecuencia y el periodo de un pndulo simple de 10 m de

longitud. 11.24 Si la longitud de un pndulo simple se cuadruplica, que sucede con la

frecuencia y el periodo? R: se divide en partes iguales, se duplica. 11.25 Un pndulo simple de longitud 2 m oscila de ac para all y de all

para ac. Calcular el nmero de oscilaciones que har en 5 minutos. 11.26 Un pndulo simple que tiene una masa de 0.25 kg y una longitud 1 m,

se desva un ngulo de 15 y se suelta. Calcular: a) la rapidez mxima, b) la aceleracin angular mxima, c) la mxima fuerza de restitucin. R: a) 0.82 m/s, b) 2.57 rad/s2, c) 0.64 N.

11.27 Una barra uniforme se encuentra pivoteada en un extremo como se

muestra en la figura 11.6. Si la barra oscila con un movimiento arm-nico simple, calcular su longitud para que su periodo sea igual al de un pndulo simple de 1 m de longitud.

11.28 Un aro circular de radio R oscila sobre el filo de un cuchillo. Demues-

tre que su periodo de oscilacin es el mismo que el de un pndulo sim-ple de longitud 2R.


326

11.29 Un pndulo fsico en forma de cuerpo plano tiene un movimiento

armnico simple con una frecuencia de 1.5 Hz. Si tiene una masa de 2.2 kg y el pivote se encuentra a 0.35 m del centro de masa, calcular el momento de inercia del pndulo. R: 0.085 kgm2.

11.30 Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud de 1.6 m. Uno de

los extremos de la varilla se sujeta en un pivote fijo, en torno al cual oscila la varilla. a) Calcular la frecuencia de estas oscilaciones. Si se agrega una partcula de masa M al extremo final de la varilla, b) calcu-lar el factor en el que cambiar el periodo.

11.31 Un volante de un reloj tiene un periodo de oscilacin de 0.25 s. El vo-

lante se construyo de tal manera que 20 g de masa estn concentrados alrededor de un aro de 0.5cm de radio. Calcular: a) el momento de inercia del volante, b) la constante de torsin del resorte sujeto al vo-lante. R: a) 5x10-7 kgm2, b) 3.16x10-4 Nm/rad.

11.32 Un pndulo de 1 m de longitud se suelta desde un ngulo inicial de

15. Despus de 1000 s su amplitud se reduce por la friccin a 5. Cal-cular el valor de b/2m. R: 1x10-3 s

11.33 Demuestre que la constante de amortiguamiento b tiene unidades kg/s. 11.34 Demuestre que la ecuacin 11.15 es una solucin de la ecuacin 11.14,

siempre y cuando b2 < 4mk. 11.35 Demuestre que la rapidez de cambio de la energa mecnica para un

oscilador amortiguado, no impulsado, esta dada por dE/dt = -bv2 y por lo tanto siempre es negativa.

11.36 Una masa de 2 kg sujeta a un resorte de constante 20 N/m, se impulsa

por una fuerza externa de la forma F = 3cos(2t), donde F esta en N y t en s. Calcular: a) el periodo del movimiento, b) la amplitud. Suponga que no hay amortiguamiento, es decir que b = 0.

11.37 Calcular la frecuencia de resonancia de los siguientes sistemas: a) una

masa de 3 kg sujeta a un resorte de constante 240 N/m, b) un pndulo simple de 1.5 m de longitud. R: a) 1.42 Hz, b) 0.41 Hz.


327

11.38 Considere un oscilador forzado no amortiguado (b = 0), y demuestre

que la ecuacin 11.1 es solucin de la ecuacin 11.17 con una ampli-tud dada por la ecuacin 11.18.

11.39 Un peso de 40 N se suspende de un resorte de constante 200 N/m. El

sistema no est amortiguado y se impulsa por una fuerza armnica de frecuencia 10 Hz, dando por resultado un movimiento armnico de amplitud 2 cm. Calcular el valor mximo de la fuerza aplicada. R: 318 N.

11.40 Un pndulo de longitud L y masa M, tiene conectado un resorte de

constante k a una distancia h por debajo del punto de suspensin, como se muestra en la figura 11.10. Calcular la frecuencia de vibracin del sistema para valores pequeos de la amplitud. Suponga que tanto el soporte vertical como el resorte son rgidos de masa despreciable. R:

2

2

21

MLkhMgLf += .

Figura 11.10. Problema 11.40.

movimiento oscilatorio

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