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Modelos mentales y modelos numéricos:

un estudio descriptivo en la enseñanza media

María Rita Otero1

Luci Banks-Leite2

RESUMEN

En este trabajo se realiza un estudio exploratorio transversal (N=25) a estudiantes deenseñanza media (12 a 18 años de edad), con el fin de analizar las estrategias utilizadasy los modelos mentales subyacentes cuando enfrentan una situación matemáticaproblemática, en la medida en que no disponen de esquemas eficientes. Se adoptan lasnociones de representación mental y de modelo mental propuestas por Johnson-Laird(1983, 1990, 1996), así como la idea de modelo mental numérico, elaborada por Schwartz& Moore (1998). Los datos muestran que cuando estos estudiantes conciben la situacióncomo un problema y/o no pueden utilizar eficientemente herramientas algebraicas paraexpresarla, desarrollan estrategias relacionadas con modelos mentales que se basanen manipulaciones numéricas para reducir la complejidad. También se analizan losmodelos mentales que subyacen en las resoluciones algebraicas, se discuten sus posiblesrelaciones con los modelos numéricos, al igual que se indaga cómo los modelos mentales–construidos en la memoria de trabajo– sirven como puente para extraer conocimientode orden más alto, permitiendo la elaboración de representaciones más estables quepodrían incidir en los esquemas del sujeto (Schwartz & Moore, 1998; Moreira 2002;Greca y Moreira, 2002). Además, se discuten algunas implicaciones para la enseñanzay la investigación en Educación Matemática.

PALABRAS CLAVE : Modelo mental, modelo mental numérico, enseñanza dela matemática.

ABSTRACT

In this work a cross exploratory study is carried out (N=25) to students of middle education(12 to 18 years old), in order to analyzing the strategies utilized and the underlyingmental models when face a problematic mathematical situation, considering that they donot have efficient plans. The notions of mental representation and mental model proposedby Johnson-Laird (1983, 1990, and 1996) are adopted, as well as the idea of numericalmental model, elaborated by Schwartz & Moore (1998). The data show that when thesestudents conceive the situation as a problem and/or cannot utilize efficient algebraic

151Relime Vol. 9, Núm. 1, marzo, 2006, pp. 151-178.

Fecha de recepción: Octubre de 2003 /Fecha de aceptación: Septiembre de 2005.

Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional del Centro. Provincia de Buenos Aires, Argentina.

Departamento de Psicología Educacional/Facultadde de Educação-Unicamp, Brasil.

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tools to express it, they develop strategies related to mental models that are based onnumerical manipulations to reduce the complexity. Also the mental models that underliein the algebraic resolutions are analyzed, their possible relations with the numericalmodels are discussed, it is investigated how the mental models –built in the work memory–serve as a bridge to extract knowledge of higher order, permitting the elaboration ofmost stable representations than would be able to impact in the plans of the subject(Schwartz & Moore, 1998; Moreira 2002; Border and Moreira, 2002). Besides, someimplications for the teaching and research in mathematics education are discussed.

KEY WORDS: Mental model, numerical mental model, mathematics teaching.

RESUMO

Neste trabalho é realizado um estudo exploratório transversal (N=25) com estudantesde ensino fundamental e médio (12 a 18 anos de idade), com a finalidade de analisar asestratégias utilizadas e os modelos mentais subjacentes quando eles enfrentam umasituação matemática problemática, na medida em que não possuem esquemas eficientes.São adotadas as noções de representação mental e de modelo mental propostas porJohnson-Laird (1983, 1990, 1996), assim como a idéia de modelo mental numérico,elaborada por Schwartz & Moore (1998). Os dados mostram que quando estes estudantesconcebem a situação como um problema e não podem utilizar eficientemente ferramentasalgébricas para expressá-la, desenvolvem estratégias relacionadas com modelos mentaisque se baseiam em manipulações numéricas para reduzir a complexidade. Tambémsão analisados os modelos mentais que estão implícitos nas resoluções algébricas, esão discutidas suas possíveis relações com os modelos numéricos e é questionadocomo os modelos mentais –construídos na memória de trabalho– servem como pontepara extrair conhecimento de ordem maior, permitindo a elaboração de representaçõesmais estáveis que poderiam incidir nos esquemas do sujeito (Schwartz & Moore, 1998;Moreira 2002; Greca y Moreira, 2002). Além disso são analisadas algumas implicaçõespara o ensino e a investigação em Educação Matemática.

PALAVRAS CHAVE : Modelo mental, modelo mental numérico, ensino dematemática.

RÉSUMÉ

Dans ce travail, une étude exploratoire transversale (N=25) se réalise à des étudiantsde l’enseignement moyen (12 à 18 ans ) afin d’analyser les stratégies utilisées et lesmodèles mentaux sous-jacents lorsqu’ils se trouvent face à une situation mathématiqueproblématique, dans la mesure qu’ils ne disposent pas de schémas efficaces. Les notionsde représentation mentale et de modèle mental proposés par Johnson-Laird (1983-1990-1996) sont adoptées, ainsi que l’idée de modèle mental numérique, élaboré par Schwartz& Moore (1998). Les données montrent que lorsque ces étudiants conçoivent la situation

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comme un problème et/ou ne peuvent pas utiliser de façon efficace les outils algébriquespour l’exprimer, ils développent des stratégies en rapport avec des modèles mentauxqui sont fondé dans les manipulations numériques ayant pour objectif de réduire lacomplexité. Les modèles mentaux sous-jacents des résolutions algébriques sont aussianalysés, et leurs possibles relations avec les modèles numériques, discutées ; ainsiqu’un approfondissement est effectué sur la façon dont les modèles mentaux –construitsdans la mémoire du travail- fonctionnent comme liaison pour obtenir de représentationsplus stables qui pourraient avoir une incidence dans les schémas du sujet (Schwartz &Moore, 1998 ; Moreira, 2002 ; Greca et Moreira, 2002). De plus, quelques implicationspour l’enseignement et la recherche dans l’Éducation Mathématique sont discutées.

MOTS CLÉS: Modèle mental, Modèle mental numérique, enseignement de la mathématique.

I. Modelos mentales y modelosnuméricos

¿Cómo enfrentan los alumnos de la escuelamedia una situación problemática enmatemática que -entre otras formas posibles-admite un planteo y solución algebraica?¿Qué técnicas de resolución ponen en juegoy cómo deciden acerca de su utilización?¿Guardan tales estrategias alguna relacióncon su edad o con la escolarización? Durantemucho tiempo se ha considerado que,cuando las personas se enfrentan a unasituación matemática, primero entienden suestructura y luego eligen qué herramientasusar, como si la situación se interpretaraprimero idealmente con un esquemacualitativo, el cual a su vez determina losprocedimientos que aplican (Schwartz &Moore, 1998). Aunque tal forma de ejecuciónes una alternativa posible, nonecesariamente sucede así, sobre todocuando el sujeto no dispone de un esquemaeficiente para resolver una situaciónproblemática que percibe como nueva. Elpropósito de este trabajo es describir cómose usan ciertos conocimientos matemáticospara comprender y cómo se les emplea paraconstruir modelos mentales que ayudan atornar cognitivamente manejable unasituación compleja.

¿Qué son los modelos mentales? ¿Cuándoy para qué se utilizan? ¿Cuál es su papelen el funcionamiento cognitivo? Enprincipio, cabe señalar que el términomodelo mental es polisémico, de ahí quevarias posturas cognitivas aludan a él. Eneste trabajo se adoptan las concepcionesrepresentación mental y modelo mental,formuladas por Johnson-Laird (1983),quien establece que los modelos mentalesson representaciones internas de carácteranalógico construidas en la memoria detrabajo y juegan un papel decisivo en losprocesos de comprensión, inferencia ypredicción. Johnson-Laird dice que el puntocentral de la comprensión es la existenciade un working model en la mente de quiencomprende; por tanto, todo nuestroconocimiento del mundo dependería denuestra capacidad para construir modelosmentales, que nos permiten interpretar yevaluar el discurso de otros y las propiasproposiciones como verdaderas o falsas.

Los modelos mentales se pueden elaborarcomo producto de la percepción, deldiscurso, de la interacción social o de laexperiencia interna del sujeto. Debido a

Modelos mentales y modelos numéricos: un estudio descriptivo en la enseñanza media

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que disponemos de una capacidad limitadade almacenamiento y de que, por sucarácter finito, el funcionamiento cognitivose rige por un principio de economía,construimos modelos mentales que derivande un número pequeño de elementos,propiedades y operaciones recursivassobre tales componentes. Ahora bien, lasrestricciones para la construcción de esosmodelos dependen de cómo concebimosla estructura del mundo, de las relacionesconceptuales que gobiernan la ontologíade lo real y de la necesidad de mantenerel sistema libre de contradicciones. Losmodelos no sólo representan al mundo,sino también situaciones verdaderas parael sujeto, ya sean reales o imaginarias(Johnson-Laird, 1983, p. 430).

Johnson-Laird (1983,1996) establece yfundamenta la existencia de un triplecódigo representacional, conformado porproposiciones, imágenes y modelosmentales. Estas tres clases tienendiferencias estructurales y funcionales,pero los modelos mentales serían unconstructo intermedio entre larepresentación proposicional y laanalógica, ya que poseen propiedadescomunes con los otros dos tipos derepresentación, de modo que un modelomental puede contener proposiciones eimágenes.

Una proposición mental es unarepresentación interna que puede serexpresada verbalmente. Comprender unaproposición es saber cómo sería el mundosi fuese verdadera, mientras que suinterpretación y evaluación se realizan através de los modelos mentales. Lasrepresentaciones proposicionales sonindeterminadas, abstractas y generales, esdecir, equivalentes para diferentes estadosde un mismo suceso. Por ejemplo, una querefiera la expresión «un hombre repartióuna suma de dinero entre sus hijos» será

independiente de que sean muchos opocos hijos, de que se trate de dólares oeuros, de billetes o monedas, de que elhombre sea viejo o joven, etc. Talesrepresentaciones tienen alguna estructurade argumento de predicados, en algúnléxico sintáctico desconocido, que capturala información explícita de asercionesverbales y otras elocuciones (JohnsonLaird, 1996, p 93).

Según Johnson-Laird, el razonamiento yel proceso de inferencia no pueden serexplicados sólo con representacionesproposicionales, ya que se necesitanadoptar tanto teorías de reglas deinferencia como una cantidad ilimitada depostulados de significado. Empero, dichasteorías no pueden aclarar los erroreslógicos que las personas cometen cuandorazonan; además, el número de reglas yproposiciones necesarias para dar cuentade un razonamiento silogístico simpleresultaría tan grande, que sería precisotener una capacidad ilimitada de memoria,la cual no poseemos. La teoría deJohnson-Laird señala que los modelosmentales de naturaleza analógica son labase de nuestros razonamientos lógicos,y permiten hacer inferencias y representarrelaciones generales de una maneraespecífica y económica para el sistemacognitivo porque, aunque son limitados yfinitos, ofrecen una capacidad ilimitada derepresentación debido a que puedenrevisarse recursivamente (Otero y Banks,1998 y Otero, 1999).

A diferencia de las proposiciones, losmodelos mentales son altamenteespecíficos. Por ejemplo, no se puedegenerar un modelo mental de un triánguloen general, sólo de uno específico. Comorepresentan entidades específicas, notienen una determinada estructurasintáctica, pero sí una que desempeña unpapel representacional directo, ya que es

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análoga al correspondiente estado decosas del mundo. De este modo, losmodelos mentales son análogosestructurales del estado de cosas delmundo, según su constructor lo percibe oconcibe (Johnson Laird, 1983, p 156);asimismo, guardan cierto grado dehomomorfismo con las situaciones que lesdan origen, pudiendo incluir varios gradosde estructura analógica y sercompletamente analógicos, o parcialmenteanalógicos y parcialmente proposicionales.Aunque los modelos y las imágenesmentales son representaciones de tipoanalógico altamente específicas, unadiferencia sustantiva entre ambos es queno se puede razonar sólo con imágenesni es posible representar mediante ellasrelaciones abstractas como la causalidady la negación, lo cual conduce a lanecesidad de la existencia de los tres tiposde representación mental.

Cuando alguien comprende un problemase basa en informaciones, percepcionesy representaciones vinculadas al hecho ensí, al contexto o situación en la que tienelugar y a lo que se denominaríapresupuestos cognitivos personales conrelación al problema, los cuales orientanla recuperación de representaciones de lamemoria para construir un modelo mentalde la situación (Van Dijk, 1992). Así, elproceso de comprensión resultaestratégico porque no tiene ningunagarantía de éxito; en este sentido, no esposible hablar de la comprensión«correcta». Los modelos mentales y lasrepresentaciones que se construyen comoparte del proceso de comprensión nonecesariamente son adecuados desde elpunto de vista científico; más bien resultanincompletos, dependiendo cuáleselementos, relaciones y propiedades seanconsiderados relevantes por el constructory cuáles funcionales a la manera en queconcibe o percibe la situación. Esto revela

parcialmente porqué es tan difícil lograr quelos estudiantes elaboren representacionesmentales adecuadas para comprender losconceptos científicos.

La investigación cognitiva ha refinado ladescripción de ciertos tipos de modelo,haciendo énfasis, por ejemplo, en lapropiedad de especificidad. Tal es el casode los modelos cuantitativos o numéricospropuestos por Schwartz & Black (1996),quienes establecen que un modelo mentalse construye on-line para representar unestado de situación especifico. Ellosafirman que, si bien los modelos incluyeninformación relacional, también requierende instancias específicas que permitenmodelizar un problema numéricamentepara contribuir a la extracción deconclusiones generales. Además,consideran que la construcción de modelosespecíficos provee la base para haceresquemas más abstractos, que sealmacenan en la memoria de largo plazo;como los modelos mentales se construyenen la memoria de trabajo, cuando en unasituación se formulan restricciones demanera específica se alivia la demanda dela memoria y, en consecuencia, lasherramientas numéricas pueden ayudar enla elaboración del modelo.

II. Diseño de la investigación y contexto

La mayor parte de las investigaciones queemplean como marco teórico a los modelosmentales en educación utilizan protocolosverbales o documentos como diseños,esquemas, soluciones de problemas ymapas conceptuales que producen lossujetos investigados mediante entrevistaso tareas instruccionales. Esto resultaconsistente con el hecho de que losmodelos mentales están en la cabeza delas personas y la única manera deinvestigarlos es a través de lo que ellas


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exteriorizan verbalmente, simbólicamenteo pictóricamente (Moreira, 1997). Sinembargo, como los modelos se ejecutan yevalúan recursivamente, son imperfectos,incompletos y difusos, de ahí que sean unobjeto complicado para el investigador.

Este trabajo asume un enfoque deindagación cualitativo, donde la técnicaprincipal es la entrevista cl ínica,precedida por una prueba de lápiz ypapel. Con anterioridad se hizo unestudio exploratorio (Otero, Papini yElichiribehety, 1998), a partir del cualobtuvimos información para estructurarlas entrevistas y orientar el análisis ycategorización posterior. Un aspectometodológico importante fue la adopciónde una perspectiva genética porque nosinteresaba analizar el funcionamientocognitivo en diferentes momentos de laescolaridad con respecto a un mismoproblema, razón por la cual seimplementó un estudio transversal quepermitiera explorar las modificaciones, encaso de que las hubiera. Como el estudiose circunscribía a las representacionesmentales que un estudiante emplea pararesolver un problema y que soninobservables, sólo tuvimos acceso aellas de manera indirecta.

Las preguntas que or ientaron laindagación fueron las siguientes:

a)¿Cuáles son las características de losmodelos mentales que subyacen enlas diferentes formas de resolución delproblema?

b)¿Se encuentran diferencias en losmodelos mentales según el año escolaral que pertenece el sujeto?

c)¿Qué implicaciones pueden realizarsepara la enseñanza y la investigaciónen educación matemática?

Se llevó a cabo un estudio transversalque abarcó toda la escolar idadsecundaria3, analizando la manera enque un grupo de alumnos resolvía unamisma si tuación matemática queadmitía, entre otras soluciones, lasbasadas en técnicas algebraicas. Cadaestudiante resolvió la tarea en formaindividual (en un tiempo máximo de unahora) y luego se hizo una entrevista(cuya duración máxima fue de 30minutos) en la que el sujeto explicó susolución y visión del problema, mientrasse obtenían registros grabados en cintasde audio de cada una.

Los alumnos con quienes se hizo elestudio asisten a una escuela secundariapública de la ciudad de Tandil, quecuenta con seis divisiones en cada añode escolaridad y atiende a una poblaciónde sectores sociales medios. Seintegraron cinco grupos con estudiantesque estuvieran aprobando la asignaturade Matemáticas (cuya calificación fuesede siete o más); a partir de cada uno deesos cinco subconjuntos se obtuvieronal azar cinco estudiantes, con lo cualsurgió un conjunto de 25 sujetos. Cadauno recibió el problema de la siguienteforma:

3 En el momento en que se tomaron los datos todavía no se había implementado la Reforma Educativa, razón por la

cual adoptamos la denominación de los años escolares previa a dicha situación: Primero, Segundo, Tercero, Cuarto y

Quinto Año de Enseñanza Media. En la actualidad, dichos años corresponderían a Octavo y Noveno de Educación

General Básica, y Primero, Segundo y Tercero Polimodal, respectivamente.

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Un hombre distribuyó una suma dedinero entre sus hijos de la siguientemanera: al mayor le dio 1000 pesosmás 1/10 de lo que le restaba, luegole dio 2000 al segundo más 1/10 delrestante, al tercero le dio 3000 más1/10 de lo que en ese momentoquedaba y así siguiendo hasta llegaral último hijo. Hecho esto, cada hijorecibió la misma cantidad de dinero.¿Cuántos hijos tiene el hombre ycuánto dinero repartió?

Se solicitó a los estudiantes queescribieran la resolución completa en lahoja (aun los cálculos), insistiendo en quenuestro interés era conocer cómo seenfrentaban al problema, más allá delresultado. En la instancia escrita no huboninguna otra interacción entre los sujetosy el investigador.

III. Análisis de algunas solucionesposibles al problema

Este problema aparece en el libro 3500ejercicios de álgebra. Primer Curso,editado en 1960 para el ciclo básico comúndel Bachillerato, Magisterio y Escuelas deComercio. Dicho volumen, que tipifica losejercicios y problemas, se refiere a éste ya otros de estructura similar en el capítuloProblemas de primer grado con unaincógnita como «Problemas que seresuelven haciendo sucesivamente lasoperaciones indicadas en él» (1960, p.126). Esta clase de problema no seencuentra en los textos para la educación

media correspondientes a la década 1990-2000, tampoco en los de la décadaprecedente ni en los libros escolaresactuales, originados a partir de la ReformaEducativa. La forma en que el problemaes clasificado resulta funcional para unapostura epistemológica que sustenta laconcepción dominante del álgebra escolar,de la cual deriva una técnica de resoluciónbasada en la traducción del lenguaje verbalal algebraico, en la medida en que losproblemas parecen formulados para laadquisición de tal procedimiento. Estamanera de proceder instala un saber hacerque enfatiza las prácticas de traducciónliteral propias de la concepción del álgebraescolar4 como generalización aritmética.

¿Por qué decidimos presentar estasituación a los estudiantes? En primerlugar, debido a que nuestra investigaciónsobre las actividades escolares y losproblemas que se suelen abordar indicóque los sujetos no la encontrarían familiar,aunque una solución «típica»suponga eluso de conocimientos de álgebra escolar(Bolea, Bosch y Gascón, 2001). Ensegundo, considerábamos que laconstrucción de un modelo mentaladecuado podía ser inhibida por el númeroimportante de elementos y relaciones atomar en cuenta, sobre todo cuando no sedisponen de técnicas algebraicas queproveen instrumentos poderosos y unaganancia muy grande en simplicidad ymemoria. Fundamentalmente, anticipábamosque los sujetos más pequeños tendríanserias dificultades para resolver, inclusivea partir de soluciones numéricas, como lasque hicieron durante el estudio exploratoriolos alumnos de Quinto Año de EnseñanzaMedia. En tercero, el problema permite

En este trabajo, la noción de álgebra escolar debe interpretarse como «aritmética generalizada” en el sentido formulado

por los trabajos de Bolea, Gascón y Bosch, donde se considera la forma actualmente instalada en las prácticas docentes

y la necesidad de elaborar una concepción alternativa a partir de la cual se redefina lo que se denomina la enseñanza y

el aprendizaje del álgebra.

4


Relime

H2 = 2000+1

10R2 = 2000+

110

(x − 2000− H1)

158

investigar el papel de los modelos mentales en las actividades de modelización y laforma en que vinculan el conocimiento esquemático y el situacional.

Una resolución algebraica típica del problema –en el sentido escolar–, se presentaríaasí:

Resolución Algebraica Típica (RAT)

;

como ,resolviendo adecuadamente se obtiene que

y .

H1 =1000+110

(x −1000) H2 = 2000+1

10x − 2000− 1000+

110

(x −100)

H1 = H2

x = 81000 H1 = H2 = 9000 h =xH1

= 9

Es decir, el hombre repartió 81 000 pesos, tenía nueve hijos y cada uno de ellos recibió9000 pesos.

Esta forma se centra en la cantidad total de dinero e identifica la resolución con laobtención de ciertas cantidades numéricas, como lo que recibe cada hijo y el total deellos. Por otro lado, se acepta (sin verbalizar y luego sin escribir ni explorar) que si elreparto es equitativo y si se distribuye totalmente el dinero hasta terminar con todos loshijos, entonces el total es divisible por el monto que recibe cada uno. Dichas asuncionespodrían derivarse de las condiciones iniciales o generar otras formas de reparto, variandoesas condiciones.

Otra posible solución, más interesante en términos del uso de técnicas algebraicas y desu potencial modelizador, puede presentarse como sigue:

Resolución Algebraica basada en los Restos (RAR)

(1) , siendo (2)

(3) con (4)

igualando se obtiene (5)

a partir de (2) (4) y (5)

y reemplazando en (1) y por (2) y (4) y ; como se

reparte en partes iguales el total, se tiene que son nueve hijos.

H1 =1000+110

R1 =1000+110

(x −1000) R1 = x −1000

R2 = x − 2000− H1

H1 = H2 1000+110

R1 = 2000+110

R2 ⇒ R1 − R2 =1000

x −1000− x + 2000+ H1 =10000⇒ H1 = 9000

x = 81000 R1 = 80000 R2 = 70000

Al adoptar como incógnita la cantidad que recibe el primer hijo se obtienen ecuacionesmás sencillas. Además, al trabajar primero con los restos en lugar de la cantidad total arepartir se economizan operaciones y se evidencian aspectos de la situación que no

(1) , siendo (2)

(3) con (4)

(5) con (6)

(7)

igualando se obtiene que y con (6) y (4)

a partir de (1) , de donde se obtiene que

por (7) entonces

si se considera el k-ésimo hijo

Es decir, el dinero se reparte totalmente cuando se llegó al último hijo, a partir de lo cualse tiene que y también que . Tal procedimiento destacaque la solución puede ser obtenida a partir de igualar las expresiones para cualquier parde hijos consecutivos y plantea una generalidad mayor, restringida a las condiciones delproblema, desde las cuales se deriva el comportamiento de la sucesión de los restos.Esta forma de abordar la solución no estaría íntegramente al alcance de los medios delos estudiantes, de acuerdo con las características que asume el tratamiento escolar delos problemas que admiten un planteo algebraico.

Finalmente, al solo efecto de considerar la potencialidad que ofrece el problema,consideremos que si se llama x al dinero a repartir y a es una cantidad positiva, puedeescribirse de manera más general esta situación, instaurando la condición de que todoslos hijos reciben lo mismo como una de las posibles alternativas de reparto.

Si , , , entonces puede plantearse una forma de reparto como la

siguiente: con y también (1)

con y que puede expresarse como (2)

para (3)

H2 = 2000+1

10R2 = 2000+

110

(x − 2000− H1)

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surgen directamente en la resolución típica. Por otro lado, los valores de los restossucesivos conducen a que el dinero disponible al cabo de cada nuevo reparto sería81000, 72000, 63000, 54000, etc.

Otra forma posible de plantear la situación para tres o más hijos sería:

Resolución Algebraica formulando más de dos Hijos (RAH)

H1 =1000+110

R1 =1000+110

(x −1000) R1 = x −1000

R2 = x − 2000− H1

H3 = 3000+110

R3 = 3000+110

(x − 3000− 2H1) R3 = x − 3000− 2H1

H1 = H2 = H 3 = .........= HK −1 = H K ⇒ x = kHk

H3 = H 2 R2 − R3 =10000

10000= x − 2000− H1 − x + 3000+ 2H1 ⇒ H1 = 9000⇒ HK = 9000

9000=1000+110

(x −1000) x = 81000

x = kHk k =x

H k

= 9

Hk = 1000k +1

10Rk ⇒ 9000=1000× 9 +

110

Rk ⇒ Rk = 0

Hk = 1000k x = kHk = k21000

n⟩1 n ∈N ∧ x c ∈R+

H1 = a+1n

(x − a) k = 1 H1 =x + (n−1)a

n

H2 = 2a+1n

(x − 2a− H1) k = 2 H2 =2an2 + (n −1)x − a(3n−1)

n2

Hk−1 = (k −1)a +1n

x − (k −1)a− (k − 2)H1[ ] k −1


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(4),siendo k el

número total de hijos.

Como

(5), si k es el total de hijos, igualando (3) y

(4), se obtiene que (6) , y como

, entonces lo que recibe cada hijo es

múltiplo de a y (6);

como en particular por (5) igualando

se obtiene que (7).

A partir de (6) y (7), se obtiene que ,es decir, el número de hijos quedadeterminado por las partes que se tomen alrepartir según las condiciones asumidas.

Además, si en (4) llamamosy sustituimos , obtenemos que parael último hijo resulta ,y enconsecuencia .

Se advierte que, si se acepta la regla dereparto equitativo, las fracciones de losrestos fijan el número de hijos y también eltotal del dinero (dado por un cierto valorde a), de lo cual también se deriva que eldinero se reparte íntegramente. Tambiénse aprecia que es suficiente plantear laigualdad para el primer y el segundo hijopara obtener la solución –aúngeneralizada–, y lo mismo ocurre con doshijos consecutivos cualesquiera. Además,resulta evidente que hay otras formasde reparto que podrían explorarse, asícomo sus condiciones de posibilidad; tal

actividad podría realizarsetanto con técnicas algebraicas como conaritméticas.

El problema elegido no sería rutinario paralos alumnos; de acuerdo con su añoescolar, disponen de medios diferentespara hallar la solución y estudiar o no suscondiciones de posibilidad y existencia.

Hk = ka+1n

x − ka− (k −1)H1[ ]

H1 = H2 = H 3 = ............HK −1 = Hk ⇒ x = kHk

H1 = a(n−1)

n ∈N

x = kHk = ka(n −1)

H1 = Hk

x = a(n−1)2

k = n −1

Rk = x − ka− (k −1)H1[ ]k = n −1

Rk = 0Hk = ka

x = kHk = ka(n −1)

Para nuestra investigación, es relevanteque el problema presente un númeroimportante de elementos desconocidos,los cuales parecen complicar seriamentela posibilidad de obtener una soluciónnumérica, y mucho más compleja aúnresulta una solución verbal, es decir, unaestrategia que no utilice registros escritos.Por otro lado, tanto desde nuestro marcoteórico como desde los resultados de losestudios exploratorios previos,anticipábamos que los alumnos buscaríanpor lo menos formas numéricas deresolución.

Desde las investigaciones didácticas,aunque relativas a problemas mucho mássencillos (Coulange, 2001), las estrategiasnuméricas o aritmético-numéricas suelencalificarse como formas de aproximaciónpor “tanteo”. Desde una visión cognitiva,son indicadores de la construcción demodelos mentales numéricos, altamenteespecíficos, que se generan para reducirla complejidad del problema mediante unaheurística basada en operacioneselementales y en ciertas relaciones departida, desde las que se evalúan losresultados. Algunas resolucionesnuméricas completas se parecen a ciertastécnicas de modelización de la aritméticatradicional que encontró Bosch (1994) enlos antiguos manuales para la formaciónde maestros, las cuales pueden adoptaruna forma enteramente verbal, razón porla que se las suele llamar pre-algebraicas.

El análisis de las características de laenseñanza de la aritmética y del álgebraescolar recibida por nuestros sujetos nopresenta ni acepta como válidos a losprocedimientos analíticos de la aritmética,en la resolución de problemas que admitenun planteo algebraico. Pero cabepreguntarse: ¿cómo surgen las estrategiasnuméricas? Al parecer, derivan de los

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intentos por resolver y comprender unasituación problemática, y están basados enla capacidad estructural de nuestrofuncionamiento cognitivo para construirmodelos mentales específicos; en estecaso, a partir del conocimiento matemáticoelemental y del situacional disponible.

A continuación, presentamos algunosprotocolos que corresponden a losprocedimientos numéricos identificados enun estudio exploratorio anterior (Otero,Papini y Elichiribehety, 1998), los cualesse interpretan como evidencia indirecta dela ejecución de un modelo mentalnumérico.

De acuerdo con el punto de partida del sujeto,se han hallado dos tipos de heurísticas. Una

NUM 2 NUM 1

parte de la pregunta ¿cuál es el total deldinero a repartir?, y comienza por unacantidad que se aproxima, empleando lacondición referida al monto que recibe cadahijo –1000, 2000, etc, más la décima partede lo que queda–; una vez comprendidas lasoperaciones involucradas se ajustarecursivamente el valor inicial, buscando quecoincidan las cantidades para los dosprimeros hijos. Con relación a esta heurística–a la que denominaremos NUM 1–, algunossujetos emplean ciertas relaciones que lessirve como apoyo para aproximarse a lacantidad buscada (por ejemplo, argumentanque los cuatro últimos dígitos del total tienenque ser mil para que el primer resto seamúltiplo de diez mil, y de manera similaraplican esta idea al segundo resto, luegode restarle dos mil, y así continúan).


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La segunda heurística numérica –a la quellamaremos NUM 2– está centrada en labúsqueda de la cantidad que recibe cadahijo. Si se usa la condición invariante dedicha cantidad y su expresión como sumade un número que aumenta de mil en mil,se infiere que el otro debe decrecer en milpara conservar la igualdad. Además, comotodos los hijos reciben lo mismo y sesupone que queda repartido íntegramenteel total, para el último hijo la segundacantidad tendrá que valer cero; cuandoesto sucede, el sujeto infiere el número dehijos según las veces que ha repetido elprocedimiento.

Como las anteriores son sólo condicionesnecesarias, todavía resta considerar quese verifique la relación mil más un décimode lo que queda. Los sujetos parecenresolver a partir de modelos mentales quecontienen relaciones específicamenterepresentadas con números (tomar restoscuya diferencia es diez mil) y proposicionestales como que los dos primeros hijostienen que recibir lo mismo. A continuación,presentamos un extracto del protocolo deJosé, de 17 años (que tambiénobtuvimos en el estudio exploratorio). Suresolución ha sido formulada en undiscurso verbal, diferente de las dosanteriores –en las que se empleansímbolos aritméticos y números–; deigual manera, presentar un carácter másanalítico y justificado que guarda ciertasimil i tud con las estrategias de laaritmética tradicional mencionadasanteriormente.

“Si la diferencia de lo que le da a surespectivo hijo es de 1000, ladiferencia entre la 1/10 parte de loque resta también será mil. O sea,Juan recibe 1000 y Daniel 2000,pero Juan además recibe 1000 másque Daniel, por lo que lecorresponde de 1/10 del resto.

Para que el reparto sea justo, debotener en cuenta que cuando se [...]1/10 del resto; ese resto deberíatener por los menos las últimas 4cifras cero.

Tengo que probar con númerosterminados en 1000 porque alprimero le doy 1000; entonces en elresto me quedan las últimas cuatrocifras con cero.

Probé con 31 000 y me da unadiferencia de 500. Probé con 41 000y me da una diferencia de 400. Porlo tanto con 51 000 la diferencia será300, con 61 000 será 200, con71000 será 100; por lo tanto lacantidad de dinero a repartir es81000. Al pagarle al primero 1000más 1/10 del resto, le paga en total9000.

Así que si tiene 81 000, y a cadahijo le corresponde 9000; tiene 9hijos.”

La resolución de José muestra que tieneuna comprensión adecuada y profunda delproblema. Interpretamos que ha construidoun modelo mental numérico porque,aunque ha enunciado las relacionesverbalmente, también las ha especificadonuméricamente mediante cálculos. En elsegundo párrafo de su discurso utiliza laigualdad entre las cantidades que recibecada hijo sin simbolizarla, lo cual evidenciaque el modelo captó la estructura de lasituación y los aspectos esenciales parahallar una solución, que fueroncomentados. La especificidad del modelomental subyacente se evidencia tambiénen el empleo de nombres propios paradenotar al primer y al segundo hijo, asícomo en los cálculos numéricos quebuscan cómo reducir a cero las diferenciasentre ellos.

163

IV. Las resoluciones en cada añoescolar y los modelos mentales que

subyacen en ellas

Primer Año

Según nuestro marco teór ico, laspersonas construyen modelos mentalescuando enfrentan un problema porque lespermiten comprender y obtener unarepresentación cognitivamente manejable dela situación que enfrentan. Una situación esproblemática para cierta persona cuandono dispone de esquemas eficientes conlos que pueda obtener una respuesta demanera relativamente inmediata (elsentido de disponible está relacionadocon el de cierto grado de automaticidady familiaridad).

Por tanto, el hecho de que los sujetosestudiados manifiesten, durante lasentrevistas, la necesidad de reducir elnúmero de incógnitas del problema escoherente con la visión teórica asumidaen nuestra investigación. Sin embargo,también hemos señalado que, cuantomayor es la complejidad y el número derelaciones que se requieren sostener enla memoria de trabajo, o cuando haydemasiados elementos indeterminados oambiguos para el sujeto, mayores seránlas dificultades para que construya unmodelo mental y, sobre todo, aun cuandoalguna construcción tenga lugar, másdifícil será que resulte adecuada.

El protocolo de Jonás (1 : 14) muestralos rasgos centrales de las resolucionesencontradas en Primer Año y de losmodelos mentales numéricossubyacentes. Para reducir el número decantidades desconocidas, Jonás intenta

“fijar” inicialmente el total de dinero quehay que repartir y ejecuta un modelonumérico del t ipo NUM1. Comoaproximación inicial, supone que laherencia es de seis mil pesos -resultadoque obtiene al sumar los tres númerosmencionados en el enunciado- y asíestablece indirectamente que son treshijos. Los números que hace intervenirse relacionan con el hecho de que losmodelos mentales se construyen por lapercepción, dentro de la cual se incluyetambién la que concierne al discurso.

Tras varias revisiones recursivas, comolos resultados no satisfacen a Jonás,modifica el modelo y supone que sonseis mil pesos, pero que el padre teníacinco hijos. Calcula nuevamente cuántole toca a cada uno, usando la relación1000 + 1/10 de lo que queda como unamanera de comprender las implicacionesde esa relación. De este modo prosiguesu revisión, desest imando lassuposiciones efectuadas inicialmente yreemplazándolas por otras, hasta quedecide terminar, sin que esto impliqueque logre respuestas correctas.

Según Johnson-Laird, la revisión recursivase detiene cuando el sujeto estáinferencialmente satisfecho, lo cual setraduce en que no encuentra ningún modeloalternativo que pueda dar cuenta de lasituación como él la percibe o concibe. Jonásinterpreta la cantidad que queda siempre conrelación a seis mil; así, obtendrá unosmontos para los hijos que cumplen sólo enparte las relaciones del problema. Debido asu dificultad para considerar más relacionesy para tomar en cuenta lo que ya habíaentregado al hacer el cálculo, recorta elenunciado y trabaja con una parte de lainformación, ejecutando un modelo mentalincompleto.


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6000 -1000= 5000 , esto es lo que le queda

500500010

1= , es to es l a déc im a p a r t e

1000+500=1500, es to l e da a l pr im e r h ij o

6000 - 2000= 4000 , es to l e queda

400400010

1= , es to es l a déc im a p a r t e

2000+400=2400, es to l e da a l segu n d o h ij o .

Jonás (1 : 14)

Juan (1 : 14)

165

El protocolo de Juan (1 : 14) da una versiónmás completa de la estrategia NUM 1, ya quecompara entre una y otra ejecución recursiva ytoma en cuenta los restos de manera correcta.Juan parece capaz de controlar al mismo tiempomás relaciones. Empieza con un número (elcual surge de sumar todos los valores quecomponen la primera parte de lo que le toca acada hijo) y sabe que son más de tres hijos.Para aproximar el total, se observa en elprotocolo que prueba hasta con 10 hijos, de locual surge un total de $55 000, que divide entreel correspondiente número de hijos y verifica larelación 1000+1/10 de lo que queda, esperandoque coincidan el resultado de la división y el deaplicar la condición.

En síntesis, en los casos analizados en PrimerAño los modelos mentales numéricossubyacentes son incompletos y no conducen ala solución correcta. De acuerdo con nuestromarco teórico, al percibir una situación comonueva, los estudiantes no establecen a priorilas características cualitativas del problema yluego definen las herramientas que van aemplear. Por el contrario, desarrollan unaheurística de resolución numérica e inductivaque les va proporcionando una comprensióndel enunciado –a la cual podríamos denominara posteriori– y la ajustan en función de losresultados. Los modelos mentales sonrepresentaciones muy inestables que seconstruyen en la memoria de trabajo ypermanecen activadas por tiempos muy cortos.Su función sería mediar o enlazar los conceptosincluidos en los esquemas del sujeto con lainformación situacional.

Los modelos mentales cuantitativos permitiríanrepresentar las relaciones del problema de unmodo económico para el sistema cognitivo,estableciendo una manera particular de manejarlo general. Así, se ha visto cómo a partir de unconjunto finito y específico de números serepresentan los vínculos del problema que sonrelevantes para el sujeto; cada nueva ejecuciónparticular del modelo permite representar unconjunto infinito de estados posibles por revisiónrecursiva. Luego de sucesivas revisiones,parece que Juan consigue extraer relacionesencapsuladas en el modelo numérico, ya quecuando en la entrevista se le proporcionó elresultado 81 000, escribió inmediatamente lasrelaciones que se encuentran en el recuadropequeño.

Segundo Año

Las estrategias utilizadas por los sujetos deSegundo Año son similares a las queacabamos de describir para Primer Año,aunque parece que ellos dependen menosde los valores numéricos mencionados en elenunciado. Las entrevistas indican que estánpreocupados por comprender porqué todoslos hijos reciben lo mismo, ya que desde suconcepción la manera en que se constituyenlos montos asignados es incapaz degarantizar la igualdad del reparto. Porejemplo, insisten en señalar que, si bien elenunciado habla de tres hijos, en realidad sonmás; adoptan una actitud más reflexiva queinterfiere en sus intentos de solución, lo cualgenera protocolos con poco nivel de claridad.


Mariano (2 : 15)

Guadalupe (2 : 15)

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A continuación, se presenta parte de laentrevista que se le hizo a Mariano (2 : 15).

-E: ¿Qué otra cosa pensaste?-M: Que el hombre no teníasolamente tres hijos; tenía más...

-E: ¿Cómo te diste cuenta?-M: Porque el problema dice: “y asísiguiendo hasta llegar al último hijo”.O sea, el tercero no era el último...

-E: ¿Y se te ocurrió cuántos podríanser... o aproximadamente quécantidad habría?

-M: No.-E: Pusiste que lo que repartió esmayor a la suma que se dio a lostres primeros hijos… léeme esto queno entiendo... El dinero que repartióes mayor al que le dio a los tres hijos.¿Qué quiere decir?

-M: Que el dinero que repartió entotal, con toda la cantidad de hijos,es más de lo de la suma de los tresprimeros...

Esta es una parte de la entrevista que setuvo con Guadalupe (2 : 15) con respectoa su protocolo.

-E: ¿No entendiste el enunciado delproblema?

-G: No entiendo porqué le da a unomás que al otro...

-Y encima te dice que...-G: ¡Le tiene que dar a cada uno lamisma cantidad de dinero!

Los protocolos de Segundo Año muestranindicios de una mayor riqueza de ideas yposibles anticipaciones; paradójicamente,esto parece inhibir la acción, lo cualconcuerda con el descenso en la maestríaconductual –propio de la redescripciónrepresentacional– que encontró Karmiloff-Smith (1994). El proceso de construcciónde modelos mentales está influido por las

creencias y representaciones previas delsujeto con relación a la situación (“son másde tres hijos”, “el dinero es más que seismil”, “parece que le da uno más que alotro”). Como ello incrementa el ya elevadogrado de indeterminación de la situación,es posible que no se puedan construirmodelos más articulados y completos quelos identificados en el nivel anterior.

Tercer Año

En este nivel se produce un afianzamientode las técnicas numéricas, queposiblemente tenga origen en la solvenciapara el cálculo y en la capacidad parasostener varias relaciones simultáneas enla memoria de trabajo, lo cual permitiríaejecuciones más eficientes que propicienla aproximación correcta al resultado.

Los sujetos de este nivel ya no piensan queel total de dinero para repartir se relacionacon la suma de los números 1000, 2000 y3000 porque se mencionan en elenunciado; ellos comienzan con cualquiernúmero. De forma paralela a una mejorcompetencia numérica, los estudiantescuestionan su propia forma numérica deresolver y aspiran a utilizar fórmulas oecuaciones, a las que califican como másmatemáticas. Se advierte una mejora quepodría relacionarse con una evolución delsistema cognitivo en general, vinculada conla escolarización.

El caso de María Luz (3 : 16) ejemplificauna resolución numérica del tipo NUM 1,donde se ha dejado de lado la idea tancomún en Primer y Segundo Año de sumarlos valores iniciales correspondientes alprimero, segundo y tercer hijo. María Luz(3:16) trabaja con números naturales“grandes” y efectúa varias revisionesrecursivas buscando aproximar porcomparación entre un procedimiento y otro,aunque no obtiene la solución correcta.

una ecuación de pintar una mesa ydividirla en partes, sí la puedesllegar a imaginar...

-E: ¿Y qué descubriste delproblema?

-L: Que los números respetaban losvalores de la tabla del 9: 81 000, 72000... Que los montos que ibanquedando…

-E: ¿Eran múltiplos de 9?-L: Eran múltiplos de 9, o sea es 81000 el primero, 72 000 el segundo,63 000, 54 000, 45 000, después36 000, 27 000, 18 000 y 9000.

-E: Eso lo descubriste en medio delproblema...

-L: Ya cuando vi que me dio elprimero, era cierto, pero no teníapara comparar. Entonces, cuando

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María Luz (3 : 16)

Otro caso de interés corresponde al deLuciano (3 : 16), quien logra el resultadocorrecto en una resolución numéricacompleta del tipo NUM1. La entrevistapermite apreciar cómo los modelosmentales numéricos se usan para reducirla complejidad y extraer propiedades yrelaciones subyacentes –véanse las líneasresaltadas–, en concordancia con lo queestablecimos en nuestro marco teórico.

-E: ¿Te imaginabas al hombre y a loshijos en algún momento?

-L: No, empecé directo con lasposibilidades. Cuando vi que no erauna ecuación, empecé con losnúmeros. No me imagino unasituación, a menos que vea ungráfico. Si el problema hubiese sido


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me dio el segundo, probé cuánto medaba el tercero y ahí me di cuenta ylo terminé de hacer...

Luciano utiliza varias alternativas paracontrolar la solución y confirmar losresultados:

-E: ¿Encontraste algún otrodescubrimiento o regularidad?

-L: Que si sumabas te daba 9siempre, 7000 más 2000 es 9000;6000 más 3000 es 9000; entoncesera más fácil hacer el porcentajeporque era una confirmación de queme iba saliendo bien el problema.

Asimismo, Luciano busca formas parasaber si su procedimiento es correcto y sila solución es única. Según manifiesta enla entrevista, intentó utilizar técnicasalgebraicas (a las cuales considera máseficientes y rigurosas), pero al no teneréxito usó el procedimiento numérico, apesar de la insatisfacción que le produceporque lo considera poco confiable.

-E: ¿Algo más?-L: Yo estaba intrigado si el problemaestaba bien o mal hecho porque lacantidad de dinero y de hijos mehabía dado. Los resultados estabanbien, pero no el proceso.

-E: ¿Para ti no está verificado elproblema con lo que hiciste y con lacomprobación?

-L: Porque puede ser ese el resultadodel problema, pero no sé si tiene unsolo resultado. Eso no me puse acomprobarlo.

-E: ¿Cómo se podría hacer eso o quéherramienta habría que usar pararealizarlo?

-L: No se me ocurre. Yo lo que queríasaber es si por otra manera sepuede resolver o habría que esperarla prueba de los otros chicos.

-E: ¿Con este procedimiento notasque las cuentas te dieron, pero nosabes si es el único resultado?

-L: Primero, no sé si es el únicoresultado y segundo, no sé si es elúnico proceso por el cual se puedehacer. A mí se me ocurrió ese opodría haber sido otro.

-E: Habitualmente, ¿cuándo tequedas satisfecho cuandoresuelves un problema? ¿Cómo tedas cuenta si lo que hiciste está bieno no?

-L: Cuando hago un proceso másconfiado que ese.

-E: ¿Cuál sería un proceso másconfiable?

-L: Con una ecuación o un gráficoque sé que es exacto, porque yoperdía el tiempo y cuando llegabaal último resultado no me daba. Encambio, con una ecuación, cuandoveo que no me va dando… o sea,me resulta más confiable...

A continuación se presenta el caso deJorgelina (3 : 16), quien intentó unasolución relacionada con el álgebraescolar. Como se advierte en el protocoloescrito, la entrevista demostró que ella nocomprendió adecuadamente cómo secalculaban los montos de los hijos porqueverbalizó y escribió incorrectamente lasoperaciones. Respecto a lascaracterísticas de su resolución, seobserva que Jorgelina buscó expresaralgebraicamente las operacionesindicadas en el enunciado, haciendo unaResolución Algebraica Típica (RAT), quedescribimos en el tercer apartado. Dichaforma de resolver corresponde a lascaracterísticas del álgebra escolarconcebida como una aritméticageneralizada (Bolea, Bosch y Gascón,2001). Las técnicas basadas enactividades de traducción literal sesustentan en una concepción que presenta

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al álgebra escolar como un “lenguajealgebraico” y al aprendizaje del álgebracomo una adquisición de técnicas detraducción. Esos procedimientos seencuentran tanto en los textos escolares(Otero, Elichiribehety y Roa, 2001) comoen las prácticas docentes habituales.

El modelo mental que subyace en laresolución de Jorgelina parece incluir larelación de reparto equitativo entre loshijos y ciertos rasgos de especificidad, ya

Jorgelina (3 : 15)

que llama Gastón al primer hijo, formulaecuaciones para tres hijos –encorrespondencia con los que menciona elenunciado– e infiere condiciones nodichas, como “el hombre estaba bieneconómicamente, o sea, tenía bastantedinero y una familia numerosa”. Debido aque incluye información relacional yconceptos abstractos -incógnita yoperaciones algebraicas– podría tratarsede un modelo mental parcialmenteproposicional.

Cuarto Año

En este año, tres protocolos muestran intentos de resolución con herramientasalgebraicas. Sólo uno permite inferir un modelo numérico subyacente del tipo NUM 1,mientras en los dos casos restantes se obtienen producciones muy pobres, que sugierenuna situación similar a la de Segundo Año. No obstante, en este caso las dificultadesque inhiben la acción de los estudiantes residen en que ellos consideran que “tienenque resolver mediante una ecuación y no logran encontrarla”. La preocupación de lossujetos se enfoca en cómo expresar la situación en lenguaje algebraico y parece estar


Relime170

relacionada con las características queasume el álgebra escolar comogeneralización aritmética y comoreemplazo de números por letras.

El caso de Yesica (4 : 16), que puedeapreciarse en el protocolo siguiente, es muyinteresante porque escribe expresiones paratres hijos (a los que designa como a, b, c) yconsidera tres incógnitas para los restos (z,w, x). Tal solución es similar a la que en eltercer apartado denominamos comoResolución Algebraica formulando más dedos Hijos (RAH). A partir de su exploración,Yesica llega a la conclusión de que ladiferencia entre dos restos sucesivos es diezmil pesos, mas no puede utilizar esteresultado, ya que no planteó ningún resto enfunción a la cantidad total de dinero.

La entrevista dejó en claro que el objetivode Yesica es reducir las incógnitasmediante la técnica de igualación, sin tenerdemasiada conciencia de la informaciónque proporcionan las relaciones obtenidas.De todos modos, su estrategia esinteresante porque no se enfoca en lasprácticas de traducción que hemoscomentado anteriormente. El modelomental subyacente sería parcialmenteproposicional y, como en los casosanteriores, el hecho de que se trata de unreparto igualitario para todos los hijos fueincorporado y manifestado en laformulación. Sin embargo, con base en laentrevista y el protocolo escrito, el modelode Yesica carece de una relación queexprese lo que recibe cada hijo en funcióndel total a repartir.

Yesica (4 : 16)

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El caso de María Elisa (4 : 17) puedeinterpretarse desde la idea de contratodidáctico (Brousseau, 1986), debido aque ut i l iza la noción de sucesiónaritmética, propia del programa paraCuarto Año. Durante la entrevista,justifica su elección con la frase “era elúltimo tema que habíamos visto”.

A partir del protocolo escrito y de laentrevista, se observa que María Elisautiliza fórmulas como la del términoenésimo de una sucesión aritmética y laexpresión para la suma de ene términos.Sin embargo, el protocolo escrito y laentrevista sugieren que las expresionesmatemáticas se emplearonmecánicamente y en forma aislada, sinconsiderar relaciones del problema muyrelevantes, como la equidad del reparto.En consecuencia, la utilización de lasfórmulas como proposiciones aisladas yla ausencia de relaciones con lasituación planteada indican que no se haconstruido un modelo mental . Porejemplo, según se aprecia en latrascripción siguiente, María El isaconsidera que la razón de la sucesiónaritmética es un décimo.

-E: ¿Qué te dio la pista paraplantear 1000 más 1/10?

-ME: El primer valor era 1000,entonces era a

1 y la suma no se

sabía, el número de hijos tampocoy la razón era 1/10 porque erasiempre lo que se sumaba.

Después, a2 es 2000, que era el

otro hijo, el tercer hijo era 3000 ysaqué que a

n podía ser el mayor

número y de ahí hice el otro, perono dio.

Quinto Año

Todos los sujetos en este año parece queconstruyeron un modelo mental ehicieron la mayor cant idad deresoluciones correctas. Aquí, losresultados del estudio transversalcoinciden con los del exploratorio. Losprotocolos muestran desde las versionesmás sofisticadas y correctas de losmodelos mentales numéricos hastamodelos mentales parcialmenteproposicionales, que subyacen en lautilización de instrumentos propios delálgebra escolar.

El mejor desempeño de los sujetos deQuinto Año cuando resuelven elproblema se debería al número derelaciones que pueden manejar, a laeficiencia con que pueden operar y a sucapacidad de efectuar relacionesadicionales para la val idación delresultado. El caso de Alejandra (5 : 18)permite apreciar un proceso quecomienza con una exploración algebraicay finaliza con una resolución algebraicacorrecta, muy di ferente a losprocedimientos que se basan en traducirlas operaciones expresadas en elenunciado.


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Alejandra (5 : 18)

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En los primeros ensayos Alejandraescribió tres ecuaciones, una para cadahijo (como mencionaba el enunciado) yseñaló que había más de tres hijos.Designó al primero de ellos como “elmayor” –asumiendo que el reparto deldinero se hizo según el orden de edad delos hijos–; tal relación no se menciona enel enunciado y parece ser una inferenciaderivada del modelo mental que ellaconstruyó sobre la situación.

Las primeras ecuaciones de Alejandratienen dos incógnitas: una se refiere altotal de dinero; la otra representa al primerresto. Tras esta exploración sólo trabajacon el primer resto y obtiene una expresiónalgebraica más sencilla a la que surge conla solución del tipo RAT. La resolución deAlejandra es similar a la RAR y muestraaspectos del problema que no emergenen el caso de la RAT, lo cual señala queesta estudiante halló otras relaciones yamplió el campo de preguntas a partir desu exploración algebraica.

El análisis del protocolo indica que durantela resolución hubo al menos tresrevisiones recursivas del modelo mental.En la primera –aunque inconclusa–Alejandra escribe una relación correctaentre el total del dinero y el primer resto(que será el eje de su estrategia), pero noexpone la igualdad para los hijos. En lasegunda redefine y completa elplanteamiento inicial; además, cambia ladenominación de las incógnitas y centrala formulación en lo que ella denominaprimer resto; sin embargo, como ya seafirmó, construir una expresión en funciónde dicha variable puede dificultar laexpresión para el segundo hijo. Debido aque Alejandra no reconoció como válidoel resultado –en la entrevista dijo queesperaba que le diera 80 000– efectuó eltercer intento, re-escribiendo la ecuacióncorrectamente y la verificó después de

manera muy detallada, sustituyendo en lasexpresiones originales.

Todo el camino de resolución indica unacompresión profunda de la situación y untrabajo de búsqueda de relaciones a partirde las condiciones asumidas. El modelomental que subyace en esta resolución nosería numérico, sino parcialmenteproposicional, con muchas relacionesentre elementos específicos, conceptos yproposiciones. Sin embargo, la entrevistadeja en claro que Alejandra conocía elresultado y que lo utilizó para desechar unarespuesta, razón por la cual suponemosque quizás construyó primero un modelomental numérico, del cual extrajo elresultado y la información relacional, ydespués lo integró al modelo que empleópara resolver algebraicamente.

La última corrección que hizo Alejandra ala ecuación parece haber sido reformuladaprecisamente a partir del número buscado,no de las relaciones en abstracto. Si lasinterpretaciones anteriores son correctas,se sostiene la idea de que los modelosnuméricos interactúan (afectan, favorecen,inhiben) con el desarrollo de lasformulaciones vinculadas al álgebraelemental. Esta interferencia parece tenerraíces cognitivas profundas que sepresentarán de manera recurrente en lassituaciones de aprendizaje, hasta que losestudiantes logren desarrollar esquemascomplejos y eficientes para resolversituaciones con técnicas de modelizaciónalgebraica, como sucede con un experto.

Entre los sujetos de Quinto Año tambiénse encontraron resoluciones correctasdonde subyace un modelo mentalnumérico con la heurística NUM1. Alicia(5 : 17) señaló en la entrevista que primerointentó “escribir una ecuación” perodespués “empezó a hacer cuentas”. Sibien su procedimiento se parece al de los


Relime

Alicia (5 : 18)

174

sujetos más pequeños, tiene un sistema de aproximación del resultado e incluso hainferido que los restos deben ser números terminados en cero.

V. Discusión y conclusiones

Los resultados de esta investigaciónconstatan la relevancia que adquieren losmodelos mentales numéricos, en todos losaños de la enseñanza media, cuando sebuscan soluciones a un problema nofamiliar. Con relación a los dos primerosaños, los procedimientos numéricosparecen ser los únicos que los sujetos

tienen a disposición; posiblemente esto sedeba a que sus conocimientos se refierena lo que se denomina aritmética escolar,o a nociones muy elementales de álgebra.

A partir de Tercer Año, los estudiantesconsideran que el problema deberíaresolverse con instrumentos algebraicos.Empero, cuando no pueden utilizar dichasherramientas recurren a estrategias

175

numéricas que derivan de un modelo mentalnumérico cuya especificidad les permitecomprender y manejar cognitivamente lasituación. Si dicho modelo mental numéricoo sus revisiones recursivas logranespecificar un ejemplo adecuado, los sujetosobtienen una comprensión matemática delproblema que, según señalan algunosteóricos cognitivos, podría derivar aposteriori en representaciones mentales másestables, como los esquemas (Moreira 2002,Greca y Moreira, 2002), o en reglas de ordenmás alto (Schwartz & Moore, 1998).

Varios de los casos que se analizaron en elestudio sugieren lo probable de la afirmaciónanterior y ofrecen un sendero para próximasinvestigaciones sobre cómo las resolucionesdonde subyacen modelos mentalesnuméricos pueden utilizarse como punto departida para generar representacionesesquemáticas superadoras de varios tiposde problemas, eficientes para el aprendizajede técnicas de modelización algebraica.

Otro punto importante es que los sujetos,en toda la escolaridad media, usanestrategias en las que subyacen modelosmentales numéricos o de otro tipo, lascuales poseen una riqueza matemáticaque es preciso capitalizar, incluso cuandopor la naturaleza misma de los modelosmentales no se trate de procedimientosenteramente correctos. La construcción deestos modelos internos es estructural alfuncionamiento cognitivo, ya que se generancuando enfrentamos situaciones concebidascomo problemáticas y durante los procesosde comprensión, predicción e inferencia,usando tanto los elementos presentes en lasituación como los conceptos einformaciones previas que pueden o no tenerun componente perceptivo.

Los diversos casos analizados muestran quelos sujetos elaboran una representaciónespecífica de la situación, infiriendo

relaciones no mencionadas. Por ejemplo,que son muchos hijos, que el padre tienemucho dinero, que el primer hijo es el mayory los demás siguen en orden descendente,que son tres hijos, etc. Además, la presenciade ciertas relaciones en detrimento de otrastrazan caminos de resolución diferentes;unos procedimientos se enfocan en el dineroa repartir, otros en lo que va quedando yotros más en lo que recibe cada hijo.También, a medida que el modelo se revisa,las resoluciones numéricas conducen arelaciones inicialmente no percibidas, comoinferir que los restos deben ser múltiplos de9 y de 1000.

Las consideraciones anteriores, y el hechode que los modelos subyacentes en lasestrategias numéricas se presentan tanto enlos protocolos de los pequeños como de losmayores –con diferencias sólo operativas–,reafirman que la capacidad de construirmodelos mentales es una característicageneral del pensamiento, como se estableceen el marco teórico. En consecuencia, lossujetos tienen siempre a su disposición laposibilidad de hacer modelos mentales deuna u otra clase. Si se basan en lasoperaciones elementales y en los datoscuantitativos frecuentemente recurrirán amodelos numéricos para comprender elproblema y tornarlo cognitivamentemanejable, incluso frente a una situacióncomo la que se ha presentado, que a prioriparecería inhibir intentos numéricos en favorde estrategias más elaboradas. Tal carácteremergente de los modelos numéricossugiere una vía parcial de respuesta a ciertasdificultades para la adquisición deinstrumentos de modelización algebraica,que señalan la persistencia deprocedimientos aritméticos (en el sentidoescolar).

En este trabajo también se han encontradoy analizado procedimientos en los quesubyacen modelos mentales con menor


Relime176

especificidad que los numéricos, los cualesparecen ser muy funcionales para lautilización de técnicas algebraicas. Los casosde Alejandra, Yesica y Luciano indican quelos modelos mentales numéricos puedeninterferir en la formulación de relaciones delproblema en un nivel de mayor abstraccióny generalización; en consecuencia, nopueden ser superados desde su negación,sino desde su aceptación.

Posiblemente está ausente en la escuelaun trabajo sistemático de modelización, quetrascienda el ámbito de lo mental y de loverbal e ingrese progresivamente aprácticas de argumentación escrita y quepodría admitir, entre otras etapas, unaaritmética (no en el sentido escolar actual).Esto resulta particularmente claro conrelación al problema que nos ocupa, el cual,a partir de un trabajo didáctico adecuado,permitiría plantear caminos alternativos,interesantes tanto desde un abordajearitmético como algebraico. La relación entrelas estrategias numéricas “espontáneas”, laaritmética y el álgebra escolar es un campomuy vasto para investigar.

Como han señalado Bosch y Chevallard(1999), el álgebra escolar está restringida

por la concepción logocéntrica de la culturaoccidental, que subestima al lenguajecientífico en general y al algebraico enparticular, pues lo considera como unsubproducto del pensamiento y de lapalabra. Esta visión impregna las prácticasdocentes en deméritode manipulaciones y exploracionesalgebraicas necesariamente escritas.

Una restricción importante para lageneración de modelos mentalesadecuados reside en que tenemos unacapacidad de memoria restringida; porende, los sistemas notacionales queacompañan a la aritmética y al álgebraliberan al sistema cognitivo de sosteneresas relaciones y constituyen uninstrumento muy poderoso al servicio dela modelización. Las entrevistas yprotocolos muestran que la exploraciónescrita numérica y algebraica permite alsujeto cuestionar su proceso de resolucióny modificarlo; a la vez, sustentan laposibilidad de realizar nuevas inferencias.Los casos analizados indican un conjuntode caminos a investigar y constatan lanecesidad de asumir una perspectiva quecontemple conjuntamente la dimensióndidáctica y la cognitiva.

x = kHk = ka(n −1)

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María Rita OteroFacultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional del CentroProvincia de Buenos Aires, Argentina

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Luci Banks-LeiteDepartamento de Psicología EducacionalFaculdade de Educação-Universidade Estadual deCampinasBrasil

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