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Modelos de Crecimiento
Ronald Cuela
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Contenido
Modelo de Solow-Swan1
Modelo de RCK2
Modelos de Crecimiento Endógeno3
Modelos de Corte Transversal4
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
SupuestosEconomía cerrada y sin gobierno.
..(1)Familias propietarias de las empresas.
..(2)Tres factores de producción:• Capital (K)• Trabajo (L)• Tecnología (A)
..(3)
ttt ICY +=
ttt SCY +=
( )tttt ALKFY ,,=
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
SupuestosFunción de producción con propiedades neoclásicas.• Rendimientos constantes a escala.• Productividad marginal positiva, pero decreciente• Condiciones de Inada
Tasa de ahorro constante..(4)
Tasa de depreciación constante
..(5)
ttt ISsY ==
ttttt KKDKI δ+=+=oo
ttt KsYK δ−=o
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
SupuestosTasa de crecimiento de la población constante
Tasa de crecimiento de la tecnología constante
La tecnología es trabajo-aumentativa
reemplazando en la ecuación (5)
..(6)
tt nLL =o
tt gAA =o
( ) ttttt KLAKsFK δ−= )(,o
( ) ( ))(,,, tttttt LAKFLAKF =
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
Movimiento de capital per cápita efectivoTeniendo en cuenta:
Reemplazando en la ecuación (6), obtenemos:
..(7)
tt
tt LA
Kk =
( ) ( ) ttt kgnksfk ++−= δo
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
f(k)
(n+d+g)k
sf(k)
k
f(k)
k* k 0
k
k/k O
γ(k0) > 0
>>>>><<<<<
k 1
k* k 0 k 1
Estabilidad y estado estacionario
Transición a k*
( ) ( ) ** kgnksf δ++=
( ) ( )gnkkfs
kkk
t
t
t
tt ++−== δγ
o
)(
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
f(k) (n+d+g)k
sf(k)
k
f(k)
k* k GR
k
c
k* k GR
La regla de oro
Ineficiencia Dinámica
kgnkfcMaxk
)()( ++−= δ
kkfsgnkf )()(' =++= δ
( )( ) ( )kkfkkfs α== '
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
ConclusionesEl capital, el consumo y la producción en términos de trabajo efectivo (k, c, y) se mantienen constantes.Las variables per cápita (K/L, C/L, Y/L) crecen a la tasa g.El Capital, el Consumo y la Producción agregados (K, C, Y) crecen a la misma tasa (n+g).La tasa de crecimiento de la renta per cápita es menor cuando mayor es el nivel de renta.Los salarios reales deben ser mayores en países con mayor nivel de renta.
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
ConclusionesEl tipo de interés real es menor en países con mayor nivel de renta.Países con similares variables exógenas tienden al mismo nivel de renta per cápita.El nivel de renta de un país está correlacionado positivamente con la tasa de ahorro (inversión).La tasa de crecimiento de la renta per cápita estádirectamente relacionada con la tasa de inversión de un país.
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Solow-Swan
CríticasLa evidencia empírica rechaza la convergencia a un estado de estado estacionario común de todas las economías.• Convergencia Absoluta• Convergencia Condicional
La posibilidad de ineficiencia dinámica en el modelo.• Restringir las soluciones de k• Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Contenido
Modelo de Solow-Swan1
Modelo de RCK2
Modelos de Crecimiento Endógeno3
Modelos de Corte Transversal4
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
IdeaIncluir microfundamentos al modelo de Solow.Endogenizar la tasa de ahorro.Similares supuestos al modelo de Solow.
( ) ( )dtcue ttn∫
∞−−
0
Max ρ
( ) ( ) ttt kgnckfk ++−−= δo
:s.a
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Solución del problemaMercados competitivos.Dictador benevolente.
Se reduce en:
( ) ( ) tttt kgnckfk ++−−= δo
( )( ) ( ) ( )[ ]gkfcuccu
cc
ttt
t
t
t ++−= δρ'''
'o
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Estado Estacionario
Condiciones de Segundo Orden
( ) ( ) 0*** =++−− kgnckf δ
( ) ( ) 0*' =++− gkf δρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−−
*)(''*00*)(''
)*,*,*,)(()(
kfcue
tkcHamHestn
λλ
ρ
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Dinámica del Modelo
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
∂∂=
0*)(''*)(*
1
),(),(
*)*,( kfcc
n
ckckJ
ck
oo
σ
ρ
2
*)(''*)(*4)()( 2
2,1
kfccnn
vσ
ρρ −−±−=
k GR k
c
k*
0=toc
0=tok
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Ineficiencia Dinámica
Convergencia Absoluta y Convergencia Condicional.
GRkk <*
)('*)(' GRkfkf >
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
ImplicacionesCapital (k)• El capital per cápita efectivo en estado estacionario depende
de las variables(ρ, d, g).• k* disminuye cuando cualquiera de estas variables aumenta.
Consumo (c)• Relación negativa entre el consumo per cápita y, la tasa de
descuento, la tasa de crecimiento de la población, la tasa de depreciación y la tasa de crecimiento de la tecnología.
Ingreso (y)• y* disminuye cuando cualquiera de estas variables aumenta.
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
ImplicacionesRetorno del capital: f’(k)• Relación positiva con el factor de descuento de la utilidad,
depreciación y el crecimiento de la tecnología.
Salarios: f(k)-kf’(k)• Relación inversa con utilidad, depreciación y el crecimiento de
la tecnología.
Participación del capital (α)• Afecta positivamente al capital, producto, consumo y salario.
Tiene Relación nula con el retorno de capital.
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Contraste Empírico (Kaldor)Producto per cápita crece a través del tiempo y este ratio de crecimiento no tiende a disminuir.
Capital per cápita crece a través del tiempo.
El ratio de retorno de capital es casi constante.
tt gtAALn ε+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
gKK =o
gnkf ++= δ*)('
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Contraste Empírico (Kaldor)El ratio de K – Y es cercano a un valor constante.
Las participaciones de trabajo y capital físico en el ingreso nacional son casi constantes. Función Cobb-Douglas
El ratio de crecimiento de producto por trabajador difiere a través de los países.
( ) ( )kfk
ALALKF
ALK
YK == ,
( )( ) α=LKFALKKFK
,,
( )( ) α−= 1
,,.LKFALKFL L
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Contraste Empírico (Romer)La tasa de crecimiento no varía con el nivel inicial de renta per cápita.El crecimiento económico esta correlacionado con el del volumen del comercio.Las tasas de crecimiento de la población están correlacionadas negativamente con el nivel de renta.La tasa de crecimiento de los factores productivos no es suficiente para explicar el crecimiento del producto per cápita.Los trabajadores, cualificados o no, tienden a emigrar de los países de renta baja a los que tienen renta alta.
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
ConclusionesEl modelo de crecimiento neoclásico es una herramienta teórica muy importante.Inclusión de la tecnología.Superación del problema de ineficiencia dinámica y convergencia absoluta.Relaciones coherentes con las variables exógenas del modelo. Teóricamente correctas bajo supuestos de un ambiente neoclásico.Simplicidad del modelo
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
ConclusionesEl modelo es criticado por reducir bastante la realidad.Este modelo no puede explicar todos los hechos estilizados del crecimiento económico.No es aplicable para todas las realidades.Sin embargo es el modelo más estudiado en cursos de crecimiento económico en el pregrado y postgrado de muchas universidades.Modelos de crecimiento endógeno.
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Contenido
Modelo de Solow-Swan1
Modelo de RCK2
Modelos de Crecimiento Endógeno3
Modelos de Corte Transversal4
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Diferencias con modelos de crecimiento exógeno
La tasa de crecimiento del producto puede ser positiva.La tasa de crecimiento viene dada por factores visibles.La economía carece de estado estacionario, la economía está en constante crecimiento.No existe relación entre la tasa de crecimiento y el nivel alcanzado por la renta nacional.El modelo AK predice que los efectos de recesión temporal serán permanentes.No puede haber demasiada inversión, la economía no puede encontrarse en la zona dinámicamente ineficiente.
Modelos de Crecimiento Endógeno
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo Ak (Rebelo, 1991)
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
( ) ( )dtcue ttn∫
∞−−
0
Max. ρ
( ) tttt kncAkk δ+−−=& s.a
( ) ( ) ( )[ ]ttttttn kncAkcueH δλρ +−−+= −−
HMaxc
( )[ ]o
ttt
nAkH λδλ −=+−=
∂∂
( ) ttttt
kkncAkH &=+−−=∂∂ δλ
( ) 0Lim =∞→ ttt k λ
Hamiltoniano:
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Interpretación:
Consumo:
Modelo Ak
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
( )δρθ
−−= Acc
t
t 1&
δρθγ −=+ Ac
( )δρθ
γγγγ −−==== Acyk1***
Estado Estacionario:
Beneficio del consumo = beneficio de la inversión.
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo Ak - ConclusionesEn estado estacionario, todas las variables per capita crecen a una tasa constante.El consumo siempre crece a la misma tasa. El consumo siempre se encuentra EE.El capital y el producto también crecen a la misma tasa. El modelo no presenta transición alguna hacia el EE.Todas las variables crecen permanentemente a una tasa constante.A diferencia del modelo neoclásico, este modelo no predice la convergencia entre economías, ni absoluta ni condicional.
Modelos de Crecimiento Endógeno
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Bien sujeto a congestión: Parcialmente excluible
Como bien público: No rival y no excluible
Modelo con gasto público (Barro, 1990)
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Bien privado: Rival y excluible
αα −= 1GAky jj
αα
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1
KGAky jj
αα −= 1jjj gAky
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo con gasto público
Familias productoras
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
( ) ( )dtcue ttn∫
∞−−
0
Max. ρ
( ) tttttt kncgAkk δτ αα +−−−= −1)1( s.a &
( ) ( ) ( )[ ]ttttttttn kncgAkcueH δτλ ααρ +−−−+= −−− 1)1(
Hamiltoniano:
HMaxc
( )[ ] o
tttttt
ngAkkH λδατλ αα −=+−−=
∂∂ −− 11)1(
( ) ttttttt
kkncgAkH &=+−−−=∂∂ − δτλ
αα 1)1(
( ) 0Lim =∞→ ttt k λ
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El gobierno financia su gasto con impuestos
Resolviendo
Modelo con gasto público
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Tamaño óptimo del estado
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
δρατθ
α1
)1(1
t
tt
t
t
kgA
cc&
ttt gy =τ
ατ −=1*
( )δρτατθ
γ ααα −−−== − /)1(/1)1(1 Acc
tt
tc
&
( )δρααθ
γ ααα −−−= − /)1(/12 )1(1 Ac
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelo con gasto público
Planificador Social
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
( ) ( )dtcue ttn∫
∞−−
0
Max. ρ
( ) tttttt gkncgAkk −+−−= − δαα 1 s.a &
( ) ( ) ( )[ ]ttttttttn gkncgAkcueH −+−−+= −−− δλ ααρ 1
Hamiltoniano:
HMaxc
( )[ ] o
ttttt
ngAkkH λδαλ αα −=+−=
∂∂ −− 11
( ) ttttttt
kgkncgAkH &=−+−−=∂∂ − δλ
αα 1
( ) 0Lim =∞→ ttt k λ
HMaxg
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Otros modelos de crecimiento
•Modelo de crecimiento con capital Humano (Lucas)
•Modelo de crecimiento con externalidades (Romer)
•Modelo de crecimiento de una economía de las ideas (Romer)
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Resolviendo
Modelo con gasto público
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Tasa de crecimiento del PS
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
δραθ
α11
t
t
t
t
kgA
cc&
1)1( =− −ααα tt gkA
( )δρααθ
γ ααα −−−= − /)1(/1 )1(1 Ac
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Contenido
Modelo de Solow-Swan1
Modelo de RCK2
Modelos de Crecimiento Endógeno3
Modelos de Corte Transversal4
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Modelo de Corte Transversal
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelos de Corte Transversal
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
1: Más democracia0:Menos democracia
1: Más favorable0: Más corrupción
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Modelos de Corte Transversal
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica – Ronald Cuela
Modelos de Corte Transversal
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
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Lecturas
•Barro, Robert. Cantidad y Calidad del crecimiento económico. Revista Economía Chilena Vol Nº 5, Agosto 2002.
•Sala-i-Martin, Xavier. La nueva economía del crecimiento: ¿Qué hemos aprendido en 15 años? Revista Economía Chilena Vol Nº 5, Agosto 2002.
Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans
Macroeconomía Dinámica
Ronald Cuela