Modelo Probabilístico de la Curva de Duración de Caudales

para el Diseño de una Central Hidroeléctricap

Edwin Ney Ayros ChumpitaziDepartamento de Centrales Hidroeléctricas

Fichtner GmbH, Stuttgart – Alemaniae-mail: Edwin.Ayros@fichtner.de

Julio Jesús SalazarUniversidad Nacional Agraria La Molina

La Molina – Perú

III Congreso Nacional del Agua

Dokumentnummer

III Congreso Nacional del AguaLima - Perú, 8-10 Marzo 2011

ObjetivosObjetivos

Presentamos una metodología para la estimación de la curva de duración probabilística decaudales diarios que puede utilizarse como un enfoque alternativo a la evaluación deldiseño y el funcionamiento de plantas hidroeléctricas pequeñas (sin embalse o reservorio).

La curva de duración de caudales representa la magnitud del caudal igualado o superadocon diversos porcentajes de tiempo. Se describen dos conceptos, uno de la curva deduración (caso tradicional) y el otro la curva de duración anual.

El enfoque probabilístico de la curva de duración tiene como objetivo cuantificar laincertidumbre que influye en el diseño y las perspectivas económicas de los proyectos decentrales hidroeléctricas peq eñas s perando así las limitaciones de la metodología delcentrales hidroeléctricas pequeñas superando así las limitaciones de la metodología deldiseño estándar, que se basa en un enfoque determinista a través de la curva de duración decaudales históricos elaborada con la serie histórica completa en la zona de interés delproyecto hidroeléctrico en esta caso la bocatomaproyecto hidroeléctrico, en esta caso la bocatoma.

Dokumentnummer2

HistoriaHistoriaEvaluación técnica de Centrales Hidroeléctricas sin embalses en:

Dokumentnummer3

Conceptos sobre la curva de duración de caudalesConceptos sobre la curva de duración de caudales

La interpretación física de la curva de caudales es muy sencilla, pues t l d l Q á i l d b d d t trepresenta el caudal Q que será igualado o sobrepasado durante t

días al año y por lo tanto la probabilidad de ser igualado o sobrepasado será:

D d l l it d t t l d l i hi tó i d d l di i

1+=

ntP

Donde n es la longitud total de la serie histórica de caudales diarios (semanales, mensuales ó anuales, etc).A continuación procedemos a ilustrar dos conceptos, uno antiguo y p p , g yel otro moderno, sobre como construir la curva de duración de caudales:

• Curva de duración de caudales FDC• Curva de duración de caudales FDC• Curva de duración anual de caudales AFDC

Dokumentnummer4

Curva de duración de caudales FDCCurva de duración de caudales FDCEsto se define como la curva de duración de caudales elaborada usando los registros históricos completos. Es decir si existen 78 años de registros diarios de caudales diarios, es decir 28470 caudales diarios, el producto final es solo una curva de duración de caudales diarios con los 28470 valores registrados. Este es el caso tradicional, es decir, enfoque tradicional.

 

16

18

20Courbe des débits classés

Débit annuel moyen

10

12

14

16

[m3 /

s]

Q95

4

6

8

10

Déb

its

0

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100Probabilité de dépassement [%]

Dokumentnummer5

Curva de duración de caudales FDC (1950-2003)

Probabilité de dépassement [%]

Curva de duración anual de caudales AFDCCurva de duración anual de caudales AFDCEn este caso para cada año calendario ó hidrológico se elabora una curva de duración de caudales. Es decir si existen 78 años de registros diarios de caudales diarios, el producto final son 78 curvas de duración de caudales diarios. Esto es nuevo concepto presentado por Vogel y Fennesey (1994). Esta metodología es mas flexible porque por ejemplo permite definir intervalos de confianza de una curva de duración, lo cual no es posible en el método FDCmétodo FDC.

 1000

Median 1991 19921993 1994 19951996 1997 19981999 2000 20012002 2003 2004

100

ge [

m³/s

]

2002 2003 20042005

10

Dis

char

g

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Percentage of time discharge equaled or exceeded [%]

Dokumentnummer6

Curva de duración de caudales anuales AFDC

g g q [ ]

Curva de Duración Probabilística de Caudales DiariosCurva de Duración Probabilística de Caudales DiariosLa curva de duración Probabilística hace uso de las curvas de duración anuales AFDC, de la distribución probabilística log-normal así como de la distribución normal estandarizada (Niadas (2008), Claps (1997)).

El modelo asume que los caudales diarios estas representados por la distribución log-l L li bilid d d t di t ib ió id f d t d dinormal. La aplicabilidad de esta distribución ya sido a fundamentada por diversos

investigaciones realizadas. La formulación de la distribución probabilística log-normal con tres parámetros puede ser representada por la siguiente manera (Niadas (2008), Claps(1997)):(1997)):

 uzbaQQ ⋅+=− )ln( 0

Donde Q es el caudal diario en m³/s, Qo es el parámetro de ubicación (locación) en m³/s, el cual representa él limite inferior del caudal, a y b llamados también ALPHA y BETA, representan los parámetros de la distribución y es el percentil de la distribución normal estandarizada. En la practica es considera igual a cero.

Dokumentnummer7

Curva de Duración Probabilística de Caudales DiariosCurva de Duración Probabilística de Caudales Diarios

Los parámetros de la distribución log-normal pueden ser estimado por medio de las p g p psiguientes formulas (Kottegoda and Rosso 1998)

3651)ln( == iQa 365,...,1,)ln( == iQa i

3651)][l ( iQb

Donde s es la desviación estándar de los caudales transformados a logaritmos, así de

365,...,1)],[ln( == iQsb i

g ,esta manera los parámetros a y b pueden ser estimados

Dokumentnummer8

Curva de Duración Probabilística de Caudales DiariosCurva de Duración Probabilística de Caudales Diarios

La curva de duración probabilística de caudales es:   )()( Fufff zbaFY ⋅+=p )(Fufff

  Nizasaa fuiaif ,...,1,)( )( =⋅+= fuiaif , ,,)( )(

  Nizbsbb fuibif ,...,1,)( )( =⋅+=

Donde: z es la llamada función de densidad de la distribución normal estándar f es la

fuibif , ,,)( )(

Donde: z es la llamada función de densidad de la distribución normal estándar, f es la probabilidad de no-excedencia

Para la aplicación de este método se parte además que los a y b parámetros no son a a a ap cac ó de es e é odo se pa e ade ás que os a y b pa á e os o socorrelativos con el caudal medio anual. En caso de que exista una correlación muy alta, (Ionnis, 2008, Claps,1997) recomienda estimar los parámetros mediante el método de mínimos cuadrados, esto reduce la dependencia correlativa.

Dokumentnummer9

Aplicación - PlochingenAplicación - PlochingenLa serie cubre los caudales diarios desde 1921 hasta 1998, es decir la serie tiene una longitud de 78 años. Se realizo un análisis de plausibilidad resultando que los caudales son estacionarios, por lo tanto pueden ser utilizados.

Dokumentnummer10

Parámetro – ALPHA: Distribución Log-Normal 2PParámetro – ALPHA: Distribución Log-Normal 2PText4.000

4.500

2.500

3.000

3.500

2.000

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010Year  [‐]

  Histogram of ALPHA

18

20

22

24Normal Probability Plot of ALPHA

Plochingen Station

2

3

12

14

16

18

o of

obs

0

1

Nor

mal

Val

ue

4

6

8

10No

-2

-1Exp

ecte

d N

Dokumentnummer11

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4

ALPHA

0

2

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2

Observed Value

-3

Parámetro – BETA: Distribución Log-Normal 2PParámetro – BETA: Distribución Log-Normal 2PText0 8000

1.0000

1.2000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

N l P b bilit Pl t f BETA

0.0000

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Year  [‐]

Histogram of BETA

35

40

Normal Probability Plot of BETAPlochingen Station

2

3

20

25

30

of o

bs

0

1

Nor

mal

Val

ue

10

15

No

-2

-1Exp

ecte

d N

Dokumentnummer120.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

BETA

0

5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Observed Value

-3

-2

DefinicionesDefinicionesParámetro  ALPHA  BETA 

Valor Medio 3 50542298 0 67983705Valor Medio 3.50542298 0.67983705

Desv. Estandard  0.36205415  0.10305705 

•Año Seco (dry year) es cual es representado por periodos de extrema sequía, es este caso representado por la probabilidad de 5%, esto es también conocido como el “worsecase” en idioma ingles.•Año Normal es cual representa un año normal, es decir un año cualquiera sin influencia de periodos extremos lluviosos o de sequía, esto es representado por la probabilidad 50% y corresponde a la mediana.Añ ll i ( t ) l l t ñ hú d t ll i•Año lluvioso (wet year) el cual representa un año muy húmedo con extremas lluvias, cuya

probabilidad es de 95 %.

F )(Fuz fa fb

0.05  ‐1.645  2.910  0.510 0.95  1.645  4.101  0.849 0.50  0.000  3.505  0.680 

Dokumentnummer13

Curva de duración probabilísticaCurva de duración probabilística

Historical  and Probabilistic  Flow  Duration Curve

1000.00

Probabilistic "wet" FDC (T=20 years, f=95%)

Probabilistic median FDC (T =2 years, f= 50%)

Probabilistic "dry" FDC (T=1 05 years f=5%)

100.00

ge [m

³/s]

Probabilistic  dry  FDC (T=1.05 years, f=5%)

Historical median annual FDC

10.00

Discharg

1.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Percentage of time discharge equaled or exceeded [%]    f= probabilidad of non‐exceedanceT= return period

Dokumentnummer14

Producción de EnergíaProducción de Energía

Basado en la Curva de Duración Histórico Probabilístico Histórico Probabilístico

Mediana Año seco (P=5%)

Año Normal (P=50 %)

Año lluvioso (P=95%)

Energía GWh 331.07 215.30 335.90 407.79

 

50,000

60,000

Historical and Probabilistic Power Generation Duration CurveQT = 45 m³/sH =45 mTurbine FrancisP H = 0 m

40,000

n KW

P.H. = 0 mQeco= 0 m³/s

20,000

30,000

Power  i

Based on Historical Median FDC

0

10,000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Based on Probabilistic Dry FDC  (prob=5%) 

Based ob Probabilistic Median FDC (prob=50%) 

Based on Probabilistic Wet FDC (prob=95%) 

Dokumentnummer15

percent of time energy equaled or exceeded

Variación de la Energía AnualVariación de la Energía Anual

500

400

450

500

300

350

GW

h]

200

250

Ener

gia

[G

50

100

150

Año Seco: Probabilistic dry FDC ( f=5%)

Año Humedo: Probabilistic wet FDC (f=95%)

01920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Año [-]

Dokumentnummer16

Variación anual de la EnergíaVariación anual de la Energía

•6 años muestra una energía menor a la del año seco 215 30 GWh•6 años muestra una energía menor a la del año seco 215.30 GWh (p=5%, worse case), entre 1921 y 1950. Desde 1950 hasta 1998 no se ha presentado una energía inferior a la del año seco (worse case), lo

l f blcual es favorable.

•8 veces la energía fue mayor que la energía de año lluvioso 407.798 veces la energía fue mayor que la energía de año lluvioso 407.79 GWh (p=95%) y es distribuida sobre todo el periodo de 1931 a 1998, con una frecuencia de 7-10 años. Lo cual es muy favorable.

Dokumentnummer17

DependenciaDependencia

4.000

4.500

3.000

3.500

Aplha

2.000

2.500

0 10 20 30 40 50 60 70 80

MQ [m³/s]

1.0000

1.2000

MQ [m /s]

0.4000

0.6000

0.8000

Beta

0.0000

0.2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

MQ [m³/s]

Dokumentnummer18

Función Probabilística limitadaFunción Probabilística limitada

1000.01000.0

100 0rio  [m

³/s]

100.0

Caud

al dia

Caudal de diseno

MTF= 10%,40%

10.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Probabilidad de Excedencia

Dokumentnummer19

ConclucionesConcluciones•Se ha presentado aquí una metodología sencilla, rápida para determinar curvas de duración probabilística de caudales diarios considerando diversas pprobabilidades que representan años normales como extremos.

•Mediante un ejemplo se ha podido comprobar que es un método efectivo y queMediante un ejemplo se ha podido comprobar que es un método efectivo y que permite cuantificar la incertidumbre de la producción de energía durante la evaluación financiera de un proyecto hidroeléctrico.

•Condición para la aplicación de este modelo es que las parámetros de la distribución log-normal no deben ser correlativos con el caudal medio anual.

•Otra posibilidad ser considerada es usar directamente una curva de duración limitada por el caudal máximo de la turbina y el caudal mínimo requerido de

bi E l d l l iturbina. Estamos evaluando actualmente esta alternativa

Dokumentnummer20