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UN MODELO PARA UN PROBLEMA DE CARGA Y DESCARGA CON MÚLTIPLES ALMACENES (BUSCAR UN TITULO)Lic. Andrés Castrillón Escobar

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Introducción• El problema básicamente consiste en la recolección y entrega

de productos a los clientes atreves de una red de distribución, sabiendo que se tienen varios almacenes y también varios vehículos para realizar la tareas.

• A los clientes solo se les puedes atender a cierta hora del día y también los vehículos solo se pueden usar para realizar la tarea en un periodo de tiempo definido.

• La meta es encontrar la mejor configuración de rutas posible que minimice el costo asociado al ruteo (puede ser distancia o tiempo ) y el costo asociado por el uso de los vehículos. 2

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Introducción• De igual forma se pide que los vehículos no lleguen todos al

mismo tiempo sino que vayan llegando en tiempos diferidos para así no saturar la llegada de los camiones a las plantas.

• Finalmente los vehículos no tienen por que tener la misma capacidad incluso se sabe que existen dos tipos de vehículos que maneja la empresa y cada tipo de vehículo tarda tiempos diferentes en viajar de un punto a otro y por consiguiente el costo también esta en función al tipo de vehículo que se este usando.

3

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Introducción• Por políticas de la empresa los vehículos inician su recorrido

en una de las plantas disponibles y deben de regresar de nuevo a la misma planta al final del día.

• No existe ninguna limitante de como se debe de hacer las entregas, como en los casos de PDP-LIFO o Dial-A-Ride.

• Los pedidos se pueden particionar y varios vehículos pueden visitar a un cliente si esto es necesario.

4

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n

,ik ikD D

i

j

0 1

0 1

,

,

ij ij

ij ij

T T

C C

iN

iN

5

Introducción

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Supuestos1. Todos los vehículos deben de regresar a su lugar de origen al final

del recorrido.

2. Un cliente puede ser atendido por cualquier planta y por cualquier vehículo.

3. Debido a que se puede particionar la orden. No hay restricción alguna de la cantidad de producto que un vehículo le puede entregar a un cliente. (no hay una limitante en cuanto se debe de entregar al menos cierta cantidad de producto incluso esta cantidad puede ser fraccionaria).

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n

Formulación del problema• Nodos

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Tipo carga descarga Ventana de Tiempo

Planta

Cliente

ikD

ikD

0

0 0

0 [ , ]i iN N

, 1i N N n

[ , ]i iN N

: cajas del producto k que se debe de recoger del cliente i.: cajas del producto k que se debe de entregar al cliente i.: Tiempo en que apenas se le puede atender al cliente i.: Tiempo que a mas tardar se le debe de atender al cliente i.

ikD

ikD

iN

iN

La carga de una planta es la capacidad de la planta para atender a los clientes, se puede retirar ese producto de la planta, para entregárselo a algún cliente.

ikD

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Formulación del problema

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• Vehículos

Tipo Capacidad Sitio de Origen Ventana de Tiempo

Tipo (costo fijo x uso)

Sencillo 0

Doble 1

mQ imP

0

0

0,1 [ , ]m mV V

, 1m M M v

mT mC

0

0 0,1 [ , ]m mV V

: Capacidad máxima del vehículo m.(en m3 de volumen): Ubicación inicial del vehículo m.: Tiempo en donde apenas puede ser usado el vehículo m.: Tiempo en donde a mas tardar debe regresar el vehículo m.: El tipo del vehículo m. (sencillo o doble): Costo fijo por el uso del vehículo m.

mQ

imP

mV

mT

mC

mV

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Formulación del problema• Vehículos

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Cabe resaltar que el parámetro cumple con la propiedad:

0

1n

imi

P m M

imP

(Cada vehículo esta asignado a una sola planta)

, 1m M M v

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• Arcos

Formulación del problema

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Origen Destino Costo T0 Costo T1Tiempo de Transito T0

Tiempo de Transito T1

i j0ijC

( , ) ,i j A i j N

0ijS1ijC 1ijS

(Los tiempos de transito incluyen el tiempo que se toma en llegar a j estando en i y además el tiempo en atender a j)

: Costo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 0.: Costo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 1. : Tiempo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 0.: Tiempo por viajar del nodo i al nodo j usando un vehículo tipo 1.

0ijC

1ijC

0ijS

1ijS

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n

• Productos

• Restricciones adicionales• Los camiones no pueden llegar todos al mismo tiempo por lo que

limita las llegadas a la planta i

Formulación del problema

11

Cantidad de Cajas x m3

, 1k K K u

kH

0

: Cantidad de cajas del producto k que caben en un m3.kH

, 24ihF i N h Z h

: Cantidad máxima de vehículos que pueden llegar a la hora h en la planta i.

ihF

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• Decisiones• Que vehículos se van a usar.

• Ruta que va a tomar el vehículo

• Instante en que el vehículo m empieza a atender al nodo i

• Horario en que termina la jornada el vehículo.

• Carga del producto k que tiene el vehículo m en el momento que visita al nodo i

• Porcentaje de la demanda del producto k que entregara el vehículo m al cliente i

• Porcentaje de la demanda del producto k que recogerá el vehículo m al cliente i

Variables de Decisión

12

0,1mV

0,1ijmX

0imS

0,1mhy

0imkQ

00 1imkL

10 1imkL

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Modelo• Objetivo• Minimizar el costo asociado al ruteo de vehículos (que esta en

función al tipo de vehículo) aunado al costo asociado al costo fijo por el uso del vehículo(1)

13

0 10 0 0 0

1n n v v

m ij ijm m ij ijm m mi j m m

T C X T C X C V

Min (1)

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Modelo• Restricciones:• De Ventanas de Tiempo

• Cumplir las ventanas de tiempo de los clientes• Cumplir las ventanas de tiempo de los vehículos• Cumplir el criterio de llegadas de los camiones de manera espaciada

• De Ruteo• Conservación de flujo• Restringir sub-tours• Solo se puede usar vehículos habilitados.

• De Demanda• Cumplir con la demanda del cliente

• De Capacidad• No exceder la capacidad de la planta• No exceder la capacidad del vehículo

• De no negatividad y variables binarias

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n

Modelo• Ventanas de tiempo• Cumplir con las horas de llegada al nodo i. (2)

• Cumplir con los horarios del vehículo m.(3)

• Los camiones no pueden llegar todos al mismo tiempo. (el vehículo solo puede regresar a la hora que le fue asignada)(4)

15

,m im mV S V i N m M

,i im iN S N i N m M

24 24

1 1

1 ,60im im

im mh mhh h

P SP y h y h m M i N

(2)

(3)

(4)

En la ecuación (4) se multiplica por el termino para que la ecuación siempre se cumpla cuando

, es decir que esta ecuación solo restringirá a las cuando la i sea el nodo con el que inicio el

vehículo m. por otro lado las unidades de son en minutos por lo que se divide entre 60.

imP

0imP imS

imS

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Modelo• Ventanas de tiempo• Cumplir el máximo numero de llegadas en la hora h.(5)

• El vehículo m solo puede llegar a lo mas en un horario (puede darse el caso de no usar el vehículo)(6)

16

24

1

1mhh

y m M

(6)0

,v

mh im ihm

y P F i h

(5)

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Modelo• Ventanas de tiempo

• El vehículo m no puede comenzar el servicio en el cliente j antes de si proviene del cliente i.(7)

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0 11im m ij m ijS T T T T

K es un valor lo suficientemente grande para que en caso de que sea , siempre cumpla con la restricción. El termino sirve para que no exista restricción cuando se viaja de i a j , e i es la planta inicial.

Para esta restricción se presenta un ejemplo a continuación.

se refiere al tiempo de llegada al nodo i con el vehículo m mas el tiempo asociado a la transportación y (realización de la actividad) del nodo i

0 11im m ij m ijS T T T T

0ijmX imP

(7) 0 11 1 1 ,im im m ij m ij ijm jmP S T T T T K X S i j N m M

13/0

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rsid

ad A

utón

oma

de N

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n

Con este ejemplo también se busca explicar que el termino cuando significa el tiempo en llegar a la planta de inicio es decir el final de la jornada.

Modelo• Ventanas de tiempo

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0 11 1 1 ,im im m ij m ij ijm jmP S T T T T K X S i j N m M

Casos donde Xijm = 0 , siempre se cumple

Caso XABm:

Caso XBCm:

Caso XCAm:

0 11 m AB m AB BmT T T T S

0 11Bm m BC m BC CmS T T T T S

0 11Cm m CA m CA AmS T T T T S

1imP imS

B

A

C

13

2SBm= 1

SCm= 3

SAm= 60

1AmP

13/0

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ad A

utón

oma

de N

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n

Modelo• Ruteo de vehículos• Solo se pueden asignar rutas a vehículos que están habilitados.(8)

• Respetar la conservación de flujo.(9)

• No formar sub-tours.(10)

19

0 0

0n n

m ijmi j

V X m M

(9)

0 0

0 ,n n

ijm jimi i

X X m M j N

(8)

(10), :( , )

1 , : 2n

ijmi Q j Q i j A

X Q m M Q N Q

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Modelo• Demanda• Un cliente debe de ser visitado al menos por un vehículo.(11)

• Cumplir la demanda de los cliente.(12)

• Un vehículo solo puede cumplir la demanda del cliente i , si visito al cliente i.(13)

20

0 0

1n v

ijmi m

X j N

(11)

0

, , , 0,1n

imkw jimj

L X i m k w

0

1 , , 0,1v

imkwm

L i k w

(12)

(13)

13/0

4/20

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rsid

ad A

utón

oma

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n

Es conveniente aclarar que esta restricción (14) siempre se cumplirá si , es decir solo se

restringe a la carga con la que sale el vehículo m al inicio de su jornada.

En la restricción (15) se multiplica por ambos lados por el factor para que solo tome en

cuenta a los clientes, a continuación se ve un ejemplo.

Modelo

21

• Capacidad• No exceder la capacidad de la planta.(14)

• La carga del vehículo en el nodo j depende de la carga que tenia en el nodo i. si el vehículo m viajo de i a j(15)

• No exceder la capacidad del vehículo.(16)

0

,v

imk im ikm

Q P D i N k

0imP

(14)

1 01 1 , , ,jm jmk imk jmk jk jmk jk ijm jmP Q Q L D L D X P i j m k

0

,u

imkm

k k

QQ i N m M

H

(15)

(16)

1 jmP

13/0

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uevo

Leó

n

Con este ejemplo también se busca explicar que el termino cuando significa la cantidad de producto k con el que el vehículo m va salir de la planta.Nota que podría tomar cualquier valor pero con la restricción (14) no debe de ser superior a la capacidad de la planta.

Modelo• Capacidad

22

Caso XABm:

Caso XBCm:

Caso XCAm:

1imP imkQ

B

A

C

QAmk= 14

1AmP

1 01 1 , , ,jm jmk imk jmk jk jmk jk ijm jmP Q Q L D L D X P i j m k

QAmk= 10 QAmk= 0

50AkD

4BkD 10CkD

0 0

imkQ

1 0Bmk Amk Bmk Bk Bmk BkQ Q L D L D

1 0Cmk Bmk Cmk Ck Cmk CkQ Q L D L D