Métodos Combinatorios en la Teoría de la Ruina

Trabajo presentado para el III Premio de Investigación sobre

Seguros y Fianzas, 1996.

Diego Hernández Rangel

III Premio de Investigación sobre Seguros y Fianzas 1996

Segundo Lugar

ÍNDICE Página:

Reseña .................................................................................................................. 1 Presentación ......................................................................................................... 2

La Teoría de Riesgo ............................................................................................. 2 Teoría Clásica de Riesgo ....................................................................................... 3 Teoría Colectiva de Riesgo .................................................................................... 4 Teoría Moderna de Riesgo ..................................................................................... 5

Capítulo 1 Definiciones .......................................................................................... 7

1 Siniestros agregados ......................................................................................... 7 2 Tiempo operacional ........................................................................................... 8 3 Modelo Colectivo de la Reserva ........................................................................... 9 4 Sumas negativas de riesgo ................................................................................. 10 5 El evento de ruina ............................................................................................. 11 6 Probabilidad de ruina antes del momento t ........................................................... 11 7 Probabilidad de ruina eventual ............................................................................ 11 8 Cambio de unidad monetaria .............................................................................. 12

Capítulo 2 Revisión de la Literatura de Ruina ......................................................... 13

1 Teoría Clásica de Ruina ...................................................................................... 13 2 Teoría Colectiva de Ruina ................................................................................... 14

2.1 Probabilidad de ruina en tiempo finito ............................................................. 14

2.2 Probabilidad de ruina eventual ....................................................................... 16 2.3 Aproximaciones ........................................................................................... 18

Capítulo 3 Teoremas de la Urna ............................................................................. 23

1 Teorema clásico de la urna ................................................................................. 23 2 Generalización del teorema clásico ...................................................................... 25

2.1 Caso de parámetro discreto .......................................................................... 25 2.2 Caso de parámetro continuo .......................................................................... 31

Página:

Capítulo 4 Fluctuaciones de Sumas de Variables Aleatorias.................................... 36

1 Variables aleatorias cíclicamente intercambiables .................................................. 36

1.1 Sucesión finita de v.a. cíclicamente intercambiables ......................................... 36 1.2 Ley Débil de los Grandes Números ................................................................. 37 1.3 Sucesión infinita de v.a. independientes e idénticamente Distribuidas.................. 38

2 La distribución del máximo de {Nr-r} .................................................................. 38 3 El valor esperado del máximo de {Nr-r} ............................................................... 40 4 Distribución del supremo de {N r - r} .................................................................. 42

4.1 Una expresión explícita para su distribución..................................................... 42 4.2 La función generatriz de la distribución del supremo ......................................... 44

Capítulo 5 Fluctuaciones de Realizaciones de Procesos Estocásticos y Probabilidad

de Ruina Eventual .................................................................................. 47

1 Procesos con incrementos cíclicamente intercambiables .......................................... 47

1.1 Procesos en tiempo finito con incrementos cíclicamente intercambiables y procesos con incrementos estacionarios independientes .................................... 47

1.2 Ley Débil de los Grandes Números ................................................................. 48 1.3 Procesos en tiempo finito con incrementos estacionarios e Independientes ........... 49

2 La distribución del supremo de {R(u)-u ) y su valor esperado ................................. 50 3 Características de las Transformadas de Laplace sobre los procesos utilizados ........... 52 4 Probabilidad de Ruina Eventual ........................................................................... 57

Capítulo 6 Aplicaciones al Problema de Ruina ........................................................ 61 1 Fórmula de ruina para distribución de montos discreta ........................................... 61 2 Ejemplos ......................................................................................................... 62 3 Observaciones finales ........................................................................................ 66

Apéndice A Diseño del algoritmo para las probabilidades de ruina en el caso de montos discretos ............................................................................................... 67

Apéndice B Cálculo de convoluciones mediante la Transformada Rápida de Fourier ........... 72

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RESEÑA En un entorno económico de creciente competitividad, que requiere un mejor aprovechamiento de los recursos financieros, el Mercado Asegurador Mexicano dependerá con mayor insistencia en productos que ofrezcan sus coberturas a precios competitivos nacional e internacionalmente. Esta situación implica una revisión integral de la forma en que se diseñan los productos: Por un lado la determinación de primas de riesgo que se ajusten con precisión a la siniestralidad, por otro lado, una asignación adecuada de los costos en que incurre la industria aseguradora. Todo ello enmarcado en un diseño que garantice minimizar los efectos adversos en las fluctuaciones de la solvencia de las empresas aseguradoras. De esta forma se puede lograr una asignación más eficiente de recursos financieros de nuestro país hacia las entidades económicas que demandan sus servicios, al garantizar un nivel de reservas óptimo para la cobertura de riesgos. El presente trabajo expone una rama de las Ciencias Actuariales cuya finalidad es precisamente analizar las fluctuaciones de las reservas por riesgos, ya sea de un riesgo en particular o de carteras de riesgos asumidos por empresas de seguros, con el objetivo de establecer mecanismos que permitan suficiencia en primas y la solvencia de las instituciones. Esta rama es conocida como Teoría de la Ruina y aunque tiene sus orígenes en el siglo pasado, es en los últimos años que se ha logrado aplicarla exitosamente en varios países para el diseño de productos, control financiero de las reservas, valuación de estabilidad financiera de las aseguradoras y por supuesto, en la reglamentación por parte de organismos controladores del sistema asegurador. El resultado de este análisis es una fórmula para la probabilidad de ruina (indicador del grado de suficiencia de primas) aplicable inmediatamente por aquellos encargados del diseño de seguros, análisis de la evolución de reservas y por supuesto, establecimiento de criterios de solvencia en las compañías. Esta fórmula es presentada junto con su respectivo algoritmo y una revisión de su desempeño.

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Presentación Esta tesis busca exponer el problema de Ruina a través de la asombrosa herramienta matemática desarrollada por Takács(1967), de la que se obtienen los principales resultados de la llamada "Teoría de Ruina" a partir de tina generalización del conocido "Teorema de la Urna". Durante esta exposición se completarán demostraciones parcialmente mostradas en dicho texto, se realizará una corrección a una demostración del mismo, así como una demostración adicional no incluida en el libro. Al recorrer el camino entre hipótesis y conclusiones, descubriendo el razonamiento seguido por muchas de las mentes más brillantes de la Historia Matemática, se establecen las condiciones para un análisis sobre su aplicabilidad y significado en los seguros, constituyéndose en una base para futuras investigaciones. La obtención de probabilidades de ruina sobre el Modelo Colectivo de Riesgo, ha sido tratada abundantemente en la literatura actuarial a partir de los años treinta, y seriamente cuestionada en cuanto a su aplicabilidad y significado. En esta tesis se mostrará una fórmula de ruina eventual para el caso de montos discretos y será utilizada para resolver tres problemas que aparecen frecuentemente en la literatura. Aunque no es un objetivo de este trabajo realizar un estudio critico sobre la Teoría Colectiva de Lundberg, se busca que el lector obtenga la herramienta intelectual para juzgarla en sus virtudes y limitaciones y utilizarla en la forma más conveniente. Una vez definidos en el primer capitulo los conceptos básicos de la Teoría Colectiva de Riesgo, en el capitulo 2 se presentará una relación histórica de la Literatura de Ruina, introduciendo al lector en esta importante rama de las matemáticas actuariales. En el capítulo 3 se exponen los teoremas fundamentales en que se basa el método de Takács, para establecer los teoremas sobre fluctuaciones de sumas de variables aleatorias del capítulo 4, mismos que serán generalizados a fluctuaciones de realizaciones de procesos estocásticos en el capítulo 5, Finalmente el capitulo 6 contiene una muestra de la capacidad de esta metodología para obtener expresiones útiles ante problemas concretos de la Teoría de Ruina. El Problema de Ruina cobra significado en un entorno bien definido: "La Teoría de Riesgo", razón por la cual se presentará a continuación una breve semblanza sobre esta rama de las ciencias actuariales. La Teoría de Riesgo

"Most of the insurance world seems, with some justification, to consider the theory of risk as a harmless hobby cultivated by actuaries in Continental Europe and particularly in Scandinavian countries". Borch, K.. The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books, London, 1974 p73.

La Ciencia Actuarial puede entenderse como el conocimiento detallado de los "sistemas de seguridad financiera"1 en cuanto a su razón de existir, sus matemáticas y la forma en que funcionan y se aplican a la vida económica de la sociedad. Estos sistemas evolucionan

1 Medios que reducen las consecuencias financieras de eventos desfavorables.

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conceptualmente del Utilitarismo como filosofía y de la noción de "aversión al riesgo" como una característica del comportamiento humano2. Gerber (1979) define a la Teoría de Riesgo como aquella rama de la Ciencia Actuarial que modela al negocio asegurador utilizando variables aleatorias para el número y monto de los siniestros durante los periodos contractuales. - definición tan simple y tan extensa - Esta teoría busca superar las técnicas actuariales convencionales basadas en frecuencias y montos promedio de reclamaciones, las cuales en ocasiones simplifican excesivamente los hechos, al sustituir los riesgos únicamente por sus valores esperados3. Cramér (1930) nos da una definición que aclara su finalidad "El objeto de la Teoría de Riesgo es proporcionar un análisis matemático de las fluctuaciones aleatorias en los seguros y discutir los medios de protección contra sus efectos desfavorables". Se distinguen tres etapas en su evolución: 1. La Teoría Clásica de Riesgo

Esta teoría, orgullo de las matemáticas actuariales por mas de un siglo, tiene entre sus precursores a Edmund Halley, al desarrollar el modelo Tabla de Mortalidad en 1693 y a Daniel Bernoulli, quien en 1738 presenta en "Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis", una hipótesis sobre la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre y su aplicación a seguros, también tratados en su momento por Laplace4. Este documento, origen directo de la Teoría de Riesgo y de la Teoría de Juegos, permitió en 1834 a Barrois la construcción de una teoría muy completa y moderna sobre el seguro de incendio, pero que desgraciadamente fue ignorada por muchas generaciones de actuarios hasta la segunda mitad de nuestro siglo, lo que posiblemente impidió el desarrollo oportuno de una Teoría de Riesgo que considerara al seguro como una mercancía que pudiera ser comprada y vendida a un precio (prima) determinado por la oferta y demanda del Mercado.5

Es un hecho interesante que la Teoría de Riesgo en gran parte fue desarrollándose ajena a los descubrimientos de la Teoría de Probabilidades y la Estadística Matemática. Borch explica esta situación observando que durante muchos años las únicas aplicaciones de la Teoría de Probabilidades eran los juegos de azar y los seguros. En consecuencia, los actuarios formularon sus resultados como solución a problemas de seguros, sin tomarse la molestia de explicar el problema en forma general. Así, conforme la Teoría de Probabilidades fue encontrando otras aplicaciones, resultó más sencillo redescubrir esos resultados que buscarlos en la literatura existente, donde permanecían encubiertos en el argot actuarial. Es hasta 1909 cuando Bohlmann realiza una recopilación de los resultados más importantes de la Teoría de Riesgo, encaminados a determinar las desviaciones producidas por las

2 Trowbridge(1989) 3 Considérese un seguro con un millón de suma asegurada pagadera en su totalidad al ocurrir un evento con probabilidad 0.000001. La prima neta es obviamente 1 peso. ¿No resulta muy cuestionable cobrar una prima por riesgo tan insignificante para cubrir un riesgo "catastrófico"?. Una alternativa razonable su obtiene al observar que la desviación estándar de la indemnización bajo este contrato es de N$1000; y cobrar una prima por riesgo igual a dos o tres desviaciones estándar. Ver Beard et. al. (1984) p.1. 4 Borch(1974) pp.202.205 265 5 lbidem.

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fluctuaciones aleatorias de las pólizas individuales. Hasta ese momento el comportamiento del portafolio de pólizas se consideraba como la suma de los resultados de cada póliza en forma individual6. La teoría así planteada asumía que la situación financiera de una aseguradora podía describirse completamente por una distribución de probabilidades F(x-p) donde x representa los pagos por reclamaciones y p las reservas disponibles para esos pagos. En el mundo real esta distribución cambia día a día: las primas son pagadas, igualmente las reclamaciones, los contratos expiran y nuevos negocios se contratan. Esto implicaría una revisión diaria de la situación de la aseguradora para adaptar la distribución F a las nuevas condiciones, lo cual en la practica no es posible - menos aún deseable - surgiendo una necesidad de modelos alternativos. Este problema de adecuación a los fines prácticos puede explicar la escasa atención que recibió la Teoría de Riesgo, agravada también por la insistencia de aplicar esta metodología al Seguro de Vida, desdeñando otros tipos de seguro sobre los cuales pudiera mostrar cierta aplicabilidad. Como se podría esperar, la sólida estructura del Calculo Actuarial de Vida no hizo sino evidenciar los puntos débiles de esta teoría. La necesidad de una teoría "dinámica" del seguro dio origen a una nueva fase:

2. La Teoría Colectiva de Riesgo

Su creador fue Filip Lundberg, quien en 1903 presento en la Universidad de Uppsala los elementos de su modelo. El planteamiento completo de su teoría se presentó en el Congreso Internacional de Actuarios de Viena en 1909 y partir de entonces fue desarrollada por un grupo relativamente pequeño de actuarios, principalmente escandinavos. Para la formulación de su teoría, Lundberg empleó procesos estocásticos en tiempo continuo unos treinta años antes de que este concepto fuera rigurosamente definido, razón por la que Borch lo compara con Bachelier7, sobre todo por el hecho de que ambos fueron prácticamente ignorados por sus contemporáneos. Su terminología, estrictamente actuarial, impidió a los matemáticos no familiarizados con los seguros reconocer en su obra teoremas de validez general. Lejos de lo que se pudiera esperar, los seguidores de Lundberg no intentaron presentar un panorama claro de sus descubrimientos, con excepciones notables como H. Cramér y C.O. Segerdahl. Bajo esta nueva perspectiva, la compañía aseguradora se considera una "presa", hacia la cual "fluyen" continuamente las primas, mientras de ésta se extrae una serie de pagos por reclamaciones. Se le conoce como el "Modelo Colectivo de Riesgo". El modelo de Lundberg es elegante y poderoso: bajo su propuesta no es necesario considerar cada póliza en el portafolio para determinar la distribución de probabilidades del monto total de las reclamaciones. Por el contrario, esta distribución se construye a partir de la distribución del número de reclamaciones en un periodo determinado y de la distribución del monto de las reclamaciones efectuadas en ese periodo, ambas estimables a partir de los registros de las compañías. Su principal virtud radica en su aspecto dinámico, al incorporar el tiempo al modelo.

6 Este enfoque es conocido actualmente como Modelo Individual de Riesgo. 7 Ob.cit. p.268.

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Es sobre este modelo que surge la "Probabilidad de Ruina", como una medida sobre el grado de fluctuación de la solvencia de la aseguradora: indica la factibilidad de que las reservas que constituye la compañía sean insuficientes para afrontar las obligaciones derivadas de sus contratos. Esta prometedora teoría, prácticamente olvidada por veinte años, fue explotada intensivamente por las actuarios escandinavos entre los años treinta y cincuenta, concentrando sus investigaciones a las distribuciones de la frecuencia y monto de las reclamaciones, así como a la obtención de la "probabilidad de ruina eventual". Sin embargo, los impresionantes resultados obtenidos con este enfoque no han tenido la aplicabilidad que se esperaba, pese al análisis profundo de los fundamentos del seguro a que motivó. La cantidad de cálculos necesarios para obtener parámetros de riesgo como la Probabilidad de Ruina, la Pérdida Máxima Probable, determinación de contratos óptimos de reaseguro, entre otros procedimientos, se presentaron en una época en la que no existían los medios para realizarlos. La alternativa de las aproximaciones carecía en ocasiones tanto de límites de confianza bien definidos como de supuestos que pudieran verificarse en la práctica8. Por otro lado, era evidente que el uso de un sólo número (como la probabilidad de ruina) no podría dar una descripción completa de la situación real de la compañía, más aún si la estimación de los parámetros del modelo presentaba gran sensibilidad ante el uso de información proveniente de los archivos de la empresa. Las Ciencias Físicas y la Investigación de Operaciones resultaron más favorecidas por estos descubrimientos que la misma práctica actuarial9.

3. La Teoría Moderna de Riesgo

Ejemplos de esta etapa son los trabajos de De Finetti, Borch, Beard, Pentikäinen, entre otros, dirigidos a resolver los problemas prácticos enfrentados por las compañías aseguradoras: 1) La determinación de tarifas. 2) El cálculo de reservas. 3) La evaluación de la "solidez" financiera del asegurador. 4) La caracterización del contrato de reaseguro más adecuado. Podemos señalar que esta fase se inicia con un artículo de De Finetti presentado en el Congreso Internacional de Actuarios en 1957, donde se evalúa la validez de los supuestos del modelo colectivo y se establecen las bases para una Teoría de Riesgo que efectivamente logre modelar a la empresa aseguradora. Esta discusión continúa hoy en día, pero bajo un entorno muy diferente al de los años de Lundberg: Los actuarios ya no tienen exclusividad en el campo de la Teoría de Probabilidad, e incluso sus modelos son considerados casos particulares de las matemáticas puras y aplicadas, creadas sin referencias directas al seguro. El actuario busca ahora la formulación adecuada a sus necesidades para aplicar las herramientas que ya se encuentran a la mano y son utilizadas en Hidráulica, Teoría Electrónica y de Comunicaciones,

8 Cramér (1930). 9 Para mayores referencias se puede consultar Feller. W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. 1,

Wiley, NewYork, 1968. Caps. MI XIII y XIV.

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Investigación de Operaciones, Teoría Moderna de Finanzas, Teoría de Juegos... Más aún, Borch(1974) observa que si los actuarios e ingenieros hubieran planteado sus problemas de estudio con la suficiente propiedad matemática, habrían unido fuerzas desde hace 50 años. Sin embargo, múltiples aspectos de la teoría se encuentran todavía en la actualidad en el campo estrictamente teórico. Las publicaciones muestran pocos artículos sobre casos prácticos y el número de estos que utilizan datos empíricos disminuye10 En consecuencia, no son motivo de interés para el actuario practicante al no resolver los problemas a los que se enfrenta cotidianamente. A raíz del Primer Congreso Internacional sobre Solvencia Aseguradora en 1986, se ha puesto de manifiesto que la brecha entre los enfoques financieros y actuariales del seguro se está cerrando11 Las publicaciones subsiguientes reflejan la búsqueda de alternativas a los enfoques tradicionales del seguro. Asimismo la Teoría General de Control de Procesos, se revela como una herramienta ideal para su tratamiento dinámico12. Esta es la situación actual de uno de los desarrollos matemáticos más fascinantes: una especialización continua y a la vez una creciente afinidad con disciplinas antes lejanas.

Al presentar la Teoría de Ruina desde el enfoque de Lajos Takács, se trata de manifestar precisamente esa afinidad_ resultando un tema para el investigador interesado en los problemas de su tiempo.

Referencias

Borch, K., The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books. London, 1974, Bühlmann. H., The Future of Astin, Astin Bulletin. vol. 13-2, 1982. Cramér, H. On the Mathematical Theory of Risk. Skandia Jubilee Volume, Stockholm. 1930. Cummins. J D. and Derrig, R.A. Classical Insurance Solvency Theory, Kluwer Academic Publishers. Boston. 1988. Cummins. J D. and Derring, R.A. Financial Models of lnsurance Solvency Theory, Kluwer Academic Publishers. Boston. 1989. Gerber. H., An Introduction to Mathematical Risk Theory. S.S. Huebner Foundation. University of Pennsylvania. Philadelphia, 1979. Goovaerts M.J. et al. (eds.). Insurance and Risk Theory. Reidel Publishing Company. Dordrecht, 1986. Takács. L., Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes. Robert Krieger. Publishing Ca. Huntington. New York. 1977. Trowbridge. C. L., Fundamental Concepts in Actuarial Science, Actuarial Education and Research Fund. 1989.

10 Buhlmann (1982). 11 Las finanzas económicas convencionales insisten as que los precios de los activos (incluyendo pólizas de seguro)

dependan únicamente del riesgo sistemático o no diversificadle y que la estructura de capitales es irrelevante. La ciencia actuarial asume que las probabilidades de ruina, exógenamente determinadas son relevantes y que las compañías tienen un control casi absoluto sobre los precios y las utilidades. Ver Cummins y Derrig (1989) p. XVIII.

12 Borch ob.cit. Un ejemplo de textos que manejan esta teoría aplicada a seguros es Cummins y Derrig (1989). o artículos relacionados con los nombres de Rantala y Pentikäinen.

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Capítulo 1 Definiciones El modelo colectivo busca representar en términos probabilisticos el comportamiento de la reserva por riesgo de una compañía de seguros, manteniendo un equilibrio entre simplicidad y explicabilidad de los factores que interactúan con este fondo. Al mismo tiempo es un punto de partida para el desarrollo de modelos más completos y dirigidos a un mayor conocimiento del negocio asegurador, que giran en torno al concepto de solvencia, más amplio que el de reserva en riesgo.

Siguiendo los mismos supuestos simplificadores utilizados por Lundberg, para obtener un modelo accesible se considerará que el portafolio de contratos de seguro se mantiene en un grado de balance que permite modelar el flujo de primas como un monto constante por unidad de tiempo o al menos variable en forma deterministica. Además se utilizara la misma distribución para el monto de las reclamaciones durante todo el periodo considerado. No serán considerados tanto los gastos no directamente relacionados al pago de los siniestros como aquellos ingresos distintos al pago de prima (sin recargos por gastos)13. Para una discusión sobre la inclusión de estos factores véase Cummins y Derrig (1989). Comenzaremos exponiendo el caso de seguros "ordinarios", entendiendo por estos los que consisten en el pago de la aseguradora al beneficiario de una suma asegurada en caso de presentarse la eventualidad prevista en el contrato, mediante el pago de la prima. A este tipo de contratos se les denomina "de sumas positivas", para distinguirlos de otros seguros de diferente comportamiento y que se expondrán posteriormente.

1. Siniestros Agregados El Modelo Colectivo de Riesgo propuesto por Lundberg supone que en el intervalo de tiempo

las reclamaciones provenientes de un portafolio de pólizas ocurren de acuerdo con un

proceso de Poisson { N(u)} de intensidad y la sumas pagadas por la compañía

hasta el momento son variables aleatorias mutuamente independientes e idénticamente distribuidas, así como independientes del tiempo en el que ocurren las reclamaciones, con una función de distribución tal que es decir, el monto acumulado de las reclamaciones al tiempo u es una suma aleatoria:

La distribución Poisson para el número de reclamaciones, resultado del estudio de Lundberg sobre los supuestos de estacionariedad e independencia del tiempo14 es de uso generalizado en los textos y artículos sobre Teoría de Riesgo. Gerber(1979) considera como alternativas las distribuciones binomial, binomial negativa y geométrica, y se puede encontrar en Seal(1969, cap.2) una discusión sobre la distribución a utilizar en función de los datos históricos. El motivo esencial para considerar alternativas al Poisson surge de la variabilidad de la intensidad del proceso en el tiempo. Beard et. al.(1969) sugiere además el uso de un proceso doblemente

13 Entre ellos, los dividendos y productos financieros. 14 Una revisión de los argumentos originales utilizados por Lundberg se encuentra en Seal (1969).

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estocástico, donde la intensidad del proceso es a su vez un proceso aleatorio. Sin embargo, el propio Lundberg propone una solución elegante para tratar la variabilidad en el tiempo: 2. Tiempo Operacional Al modelo formulado en (1) se le denomina un Proceso de Poisson Compuesto no Homogéneo

(es decir, de intensidad variable), donde el número de reclamaciones en un intervalo

tiene una distribución Poisson de parámetro y de los incrementos sobre intervalos disjuntos son variables aleatorias independientes.

De acuerdo con esto, la probabilidad de que al tiempo existan exactamente n reclamaciones es:

Este proceso puede, bajo la siguiente transformación en la escala de tiempo t = t(u) , tomar la forma de un proceso de intensidad constante:

La expresión (2) toma la forma:

Así el proceso sobre el tiempo operacional t, denotado por S'(t) será un proceso Poisson

Compuesto Homogéneo de intensidad lo que significa que el monto total de las sumas pagadas por concepto de reclamaciones será un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independientes, y cuya función de distribución se deduce de la ley de Probabilidades Totales de la siguiente forma:

Donde Fx

*n(x) denota a la enésima convolución de Fx(x). El tiempo operacional permite presentar la teoría en forma más elegante, pero esencialmente es una herramienta muy poderosa en la estimación de la distribución de S, pues remplaza el

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conocimiento detallado de la constitución y prospectos del portafolio de pólizas, con una estimación del número esperado de reclamaciones durante el periodo futuro en consideración15.

En lo sucesivo y por sencillez en la notación, se entenderá que los procesos {S(t)} y {N (t)} se desarrollan en la escala de tiempo operacional 3. El Modelo Colectivo de la Reserva por Riesgo En el caso en que16

exista, entonces el monto esperado total de siniestros pagados por la compañía en (0, t] será:

Que es precisamente la prima por riesgo calculada con el principio del valor esperado. En el caso de aplicar un recargo de seguridad b, la prima por riesgo acumulada será:

Si además:

entonces la varianza del monto total de siniestros pagados por la compañía será:

Y la reserva por riesgo al tiempo t:

Una realización de este proceso se puede ilustrar gráficamente de la siguiente forma:

15 Ver Seal(1969) p.15 16 Recordando la notación actuarial pi = E[X-i]

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Donde la reserva se incrementa a la tasa c y disminuye por los montos de las reclamaciones. Al aplicar este modelo (como cualquier otro), se requiere asignar valores numéricos a sus parámetros y determinar valores iniciales para sus variables a analizar. Su obtención a partir de estadísticas y experiencia disponibles se realiza mediante procedimientos de estimación que no son abordados en esta tesis y son presentados por ejemplo en Basawa y Prakasa (1980), Los problemas causados por el desconocimiento cierto de los parámetros deben ser, si no considerados en el modelo explícitamente, sí tomados en cuenta como un factor subyacente de gran importancia: No será útil aplicar técnicas muy avanzadas para lograr resultados precisos si los datos originales no son adecuados o suficientes. La elección de los enfoques y aproximaciones consistentes con el problema a tratar es una labor cotidiana de la profesión actuarial. 4. Sumas Negativas de Riesgo Existen contratos de seguro con comportamientos diferentes en la reserva por riesgo. Para modelarlos basta cambiar el significado de las variables consideradas en el modelo original como en el siguiente ejemplo: Considérese un negocio de pensiones en el cual la compañía paga. al asegurado una renta vitalicia a cambio del pago de la prima. Sea un portafolio de pólizas como las arriba descritas y cuyas sumas asegurarlas contratadas (valor de las anualidades) tienen una distribución en cualquier momento igual a una muestra aleatoria de una distribución F(•).

La institución paga a los asegurados a una tasa donde es el valor esperado de F(•) y b es un recargo a favor de la institución. La cuenta que reúne las primas netas pagadas también registrará una distribución F(.) para dichas primas y en caso de fallecer uno de los asegurados, la prima neta de su contrato ingresará a la reserva. Denótese por S(t) las primas acumuladas hasta el momento t que ingresaron mediante este mecanismo a R(t). Con estas consideraciones podemos construir la fórmula de la reserva de este seguro

que es el modelo original con e intensidad unitaria. La consiguiente realización de este proceso tiene como representación gráfica:

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5. El evento de Ruina Se entenderá por ruina el evento en el cual la reserva por riesgo toma un valor negativo.

el tiempo en que ocurre la ruina. En el caso en que R(t)>= 0, para toda t , la ruina nunca ocurre y se denota Tw = ∞.

6. Probabilidad de ruina antes del momento t

Denótese por la probabilidad de que R(•) tome un valor negativo antes del tiempo t, es decir:

ó también

Sea la probabilidad del evento complementario:

llamada simplemente la probabilidad de no ruina. 7. Probabilidad de ruina eventual A la probabilidad de que R(t) tome en alguna ocasión un valor negativo, se le llama probabilidad de ruina eventual y es una cota superior para

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ó también

Y el evento complementario será:

Es importante señalar que c>λp1, implica que cualquier realización del proceso {R(t)} tendrá una tendencia que crece sin cota para t ∞, pero la pregunta es si lo hace sin tomar jamás un valor negativo. 8. Cambio de unidad monetaria En lo que sigue de esta exposición será conveniente escoger una unidad monetaria tal que c = 1. Las fórmulas de probabilidad de ruina resultantes serán:

Tanto la probabilidad de ruina como la probabilidad de ruina eventual son medidas sobre los efectos desfavorables de la fluctuación de la reserva por riesgo, suponiendo al igual que el modelo sobre el que se define, una estabilidad de condiciones sobre los riesgos cubiertos en cuanto al monto de las reclamaciones y sobre todo que el negocio de seguro continuará durante el periodo de interés. Es evidente que en cualquier momento la administración de la compañía puede tomar control de este proceso. Esta situación debe dejar claro que se trata de una idealización matemática no equivalente a la insolvencia de la aseguradora en la vida real, pero que permite al actuario una noción del grado de riesgo al que se expone. Referencias Basawa L V. y Prakasa R. Statistical Inference for Stochastic Processes. Academic Press, London. 1980. Beard R.E. et. al., Risk Theory, Methuen & Co. Ltd.. London. 1969. Cummins ID. y R.A. Derrig. eds., Classical Insurance Solvency Theory. Kluwer Academic Publishers. Boston, 1989. Gerber. H.U. An Introduction to Mathematical Risk Theory, S.S. Huebner Foundation Monograph Series No. 8. Homewood, Irwin. 1979. Seal, IL Stochastic Theory of a Risk Business, John Wiley & Sons. New York. 1969.

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Capítulo 2 Revisión de la Literatura de Ruina La Literatura de Ruina, con más de un siglo de antigüedad, se ha acumulado rápidamente, con énfasis en diferentes aspectos de la teoría, dependiendo del grado de evolución de los conceptos actuariales, la tecnología y las teorías matemáticas involucradas. En este capitulo se presentarán únicamente las contribuciones más importantes, para una mejor apreciación de la metodología de Takács. I. La Teoría Clásica de Ruina La noción de "riesgo" Los efectos negativos de las fluctuaciones de la reserva en riesgo deben ser enfrentados por las compañías de seguros y resulta natural que en la literatura actuarial se encuentren numerosos intentos por definirlas. medirlas y tomar previsiones adecuadas para su control. La mayor parte de los artículos y textos en lengua inglesa, entre ellos Borch (1974) p263, atribuyen a Tetens la primer definición matemática del riesgo inherente a estas fluctuaciones en su artículo: “Einleitung zur Berechung der Leibrenten and Anwartzchafen” de 1786. Tetens define este concepto de la siguiente manera: Si el contrato cubre una perdida aleatoria

X con función de distribución F(x), cuya prima por riesgo es , entonces el riesgo

motivo de este contrato por parte de la aseguradora será Más adelante, Hausdorff en 1897 realiza un estudio detallado de la

desviación estándar como medida alternativa17.

La probabilidad de ruina en el modelo clásico Con el enfoque de Hausdorff, el riesgo de un portafolio de n pólizas independientes con primas p11,p12. … p1n y riesgos σ1, σ2, … , σn, resulta de la suma de los riesgos de las pólizas individuales: σ1

2,σ22,…,σn

2. La primera expresión de la probabilidad de ruina se obtiene de esta definición. Sea el valor de la reserva por riesgo una vez pagadas todas las indemnizaciones del portafolio y w la reserva inicial constituida por la empresa previa al pago de primas. Por el principio de equivalencia utilizado en el cálculo de la prima de cada contrato, su valor esperado sea cero: Con n grande y las hipótesis usuales, z tendrá una distribución aproximadamente normal con varianza y la expresión18

17 Borah(1974) 18 N(x) denota la distribución normal estándar en x

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Denotará la probabilidad de que la reserva sea insuficiente para hacer frente a las obligaciones contraídas. Es decir, la probabilidad de ruina. Con este nivel de la teoría (previa a Lundberg) ya es posible dar un tratamiento más riguroso a operaciones cotidianas en la práctica actuarial: La primer consideración usualmente es suponer que la probabilidad de ruina debe mantenerse debajo de cierto nivel, que representa el máximo aceptable. Si el valor de w es tan pequeño que la probabilidad de ruina excede este nivel, la compañía debe obtener capital adicional o establecer un contrato de reaseguro que garantice la viabilidad del negocio, es decir, que reduzca el riesgo y por ende la probabilidad de ruina. Otra opción resulta de recargar la prima por riesgo, por ejemplo, por un monto proporcional a la prima neta, así la prima por riesgo

para el contrato i será y el valor esperado de la reserva por riesgo donde

con la siguiente expresión para la probabilidad de ruina (con n grande):

El nivel máximo aceptable para la probabilidad de ruina es considerado una variable exógena: Una condición de solvencia que la compañía debe satisfacer para continuar con las operaciones de seguro. Un ejemplo de esta situación lo proporciona el sistema de márgenes de solvencia de la Comunidad Económica Europea19.

Al asumir el valor de como dado, y con w constante (al menos durante un periodo corto) el

problema se puede concretar a determinar el valor óptimo de . Para ello es necesario formular los objetivos de la compañía y las condiciones del contrato de reaseguro que podría obtenerse.

De manera similar, se puede suponer constante (determinado posiblemente en un mercado competitivo o por la regulación Estatal) más adecuado para la empresa. Ejemplos de esas aplicaciones pueden encontrarse en Bowers et al. (1986) y Borch (1974). 2. Teoría Colectiva de Ruina El comportamiento de la probabilidad de ruina tanto en tiempo finito como infinito ha sido ampliamente investigado no solamente por su interés práctico, sino también por la dificultad que involucra el cálculo explícito de las expresiones desarrolladas.

2.1 Probabilidad de ruina en tiempo finito. Taylor y Buchanan (1989) presentan una expresión atribuida a Arfwedson en 1950 para

como la solución a la ecuación diferencial.

19 Filosofa de Garantía Real y un Nuevo Sistema de Seguridad paro la apertura del Seguro Mexicano, Asociación Mexicana de

Instituciones de Seguros A.C. 1959. pp.80-82.

15

La solución fue dada por el mismo Arfwedson en 1954, en términos de transformadas de

Laplace suponiendo que de la siguiente forma: Sea la transformada de Laplace- Stieltjes:

y la doble transformada de Laplace:

La solución para v(r,s) es:

donde

es la única raíz real positiva de la ecuación: (7) s+1—cr— M(r)= 0, s> 0 Así la obtención de las probabilidades de no ruina requieren la inversión de la doble transformada de Laplace (5), que implica problemas de cómputo discutidos por Seal(1969). Seal (1969) presenta una fórmula alternativa para U(w, t) que evita las transformadas de Laplace y son atribuidas a Benes (1960) en la literatura de teoría de Colas. La probabilidad de no ruina en el caso de reserva inicial cero es:

Este resultado es utilizado para evaluar la probabilidad de no ruina en el caso de reserva inicial positiva:

donde fs (x, t) es la densidad de los siniestros agregados al momento t.

16

El uso de las formulas (8) y (9) esta limitado por su complejidad y su dependencia en una forma funcional especifica para Fx(x). 2.2 Probabilidad de ruina eventual La probabilidad de ruina en tiempo infinito es más tratable matemáticamente y la literatura es especialmente abundante sobre este tema. Cuando t ---> ∞, la ecuación (3) toma la forma:

donde denota diferenciación. Y puede tomar la forma alternativa Seal (1969):

Y la transformada de Laplace análoga a (5):

Una fórmula más accesible es la siguiente, atribuida a Beekman y cuya deducción se puede encontrar por ejemplo en Bowers et al. (1986).

Sea el proceso de pérdida el cual mide el exceso de reclamaciones agregadas sobre las primas cobradas. Como hemos visto en el capitulo anterior, la función de no ruina es la

distribución de este proceso es decir, , donde Considerando los tiempos en que L registra pérdidas acumuladas mayores a las anteriores (pérdidas récord), podemos descomponer L como: L = L1+L2+...+LN , donde N es el numero de veces que se registra una pérdida record y Li, es la diferencia en términos de perdida agregada entre los records (i — 1) e i . Basado en que N tiene una distribución geométrica y las L, son variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas e independientes de N, se obtiene la Formula de Convolución de Beelunan:

17

Aunque la ecuación (14) parece ofrecer un calculo directo de v(w) , en la practica su evaluación es extremadamente difícil salvo los casos en que la distribución del monto de las reclamaciones es exponencial o una mezcla de exponenciales (véase Bowers et al. 1986). Cuando (x) esta completamente determinada, ψ(w) puede obtenerse mediante integración numérica múltiple para obtener H*n(w) Shiu (1988) provee un estudio cuando los montos de las reclamaciones son enteros no negativos. Sin embargo es importante recalcar que en la práctica no se tiene perfecto conocimiento de la distribución de montos, dejando en varias ocasiones fuera del campo de aplicaciones a esta fórmula. Mediante la teoría de Martingalas, Gerber(1979) presenta la siguiente fórmula para la probabilidad de ruina eventual:

Donde R es el Coeficiente de Ajuste (ver expresión 20). En general no es posible realizar la evaluación del denominador de esta fórmula. Este autor obtiene la probabilidad de ruina en los casos en que la distribución de montos es exponencial y en el caso w=0, En Bowers et al. (1986) p.363, se presenta una expresión implícita:

Se requiere entonces de una inversión para obtener la probabilidad de ruina, lo cual únicamente funciona para ciertas familias de distribuciones del monto de las reclamaciones como la mezcla de exponenciales.

Basado en los trabajos de Takács, Shiu(1988) presenta dos fórmulas para para el caso

en que las toman valores en los enteros positivos:

18

donde:

Se puede encontrar en Seah (1990) un análisis sobre la aplicación de estas fórmulas mediante programas ejecutables en una computadora personal, resultando una guía útil para considerar los problemas de redondeo, desbordamientos de memoria y velocidad de convergencia de series infinitas. 2.3 Aproximaciones En vista de las dificultades para evaluar en forma exacta las probabilidades de ruina, gran parte de las investigaciones se han dedicado a la obtención de aproximaciones prácticas. La más sencilla y conocida de las aproximaciones para la probabilidad eventual de ruina es:

Donde R es llamado el Coeficiente de Ajuste (o Coeficiente de Lundberg) y es la única raíz positiva de la ecuación:

Obsérvese que la reserva en el momento de ruina, R(T) es obviamente negativa y en

consecuencia . Utilizando la fórmula (15) concluimos que aunque esta

aproximación es en general poco precisa, sirve como cota superior de . Bajo un argumento similar Bowers et al. (1986) muestra una cota inferior para la probabilidad

de ruina: , donde m es la suma asegurada máxima a pagar. La fórmula (19) puede mejorarse, obteniéndose la aproximación Cramér Lundberg:20

20 Ver Ramsay (1992

19

Utilizando una distribución gamma para aproximar la distribución del monto de reclamaciones se obtiene la aproximación Beekman-Bowers de 1969:

Donde es la distribución Gamma con parámetros:

Recordando que: Basado en los estudios de Grandell, Segerdahl y Seal, Ramsay(1992) indica que la aproximación (22) parece dar resultados precisos únicamente en el caso de reclamaciones exponenciales y que no es tan precisa como la Cramér-Lundberg. El mismo Ramsay presenta otra aproximación práctica atribuida a De Vylder. Esta consiste en

aproximar todo el proceso de la reserva por riesgo mediante un proceso más simple

tal que

Donde es el nuevo parámetro Poisson es el proceso de siniestros agregados generados

por montos de reclamaciones exponenciales i.i.d. con media y el nuevo recargo de

seguridad es Estos nuevos parámetros se obtienen igualando los tres primeros momentos:

20

Obteniéndose:

Y la aproximación resultante es, como cabe esperar, la probabilidad de ruina en el caso exponencial:

Para la probabilidad de ruina en tiempo finito, se puede utilizar la aproximación de Cramér que se puede encontrar en Taylor y Buchanan (1989):

cuando y y donde son constantes definidas en forma implícita en términos de la distribución del monto de las reclamaciones. Ninguna de estas fórmulas es fácil de evaluar: incluso la aproximación (19) requiere de resolver la ecuación (20): además es evidente a partir de esa ecuación que la aproximación (19) es valida solamente si existe. Embrechts y Veraverbeke (1982) presentan un desarrollo alternativo cuando esta transformada de Laplace-Stieltjes no converge. En cualquiera de estas circunstancias se requiere el completo conocimiento de la distribución de montos. Un enfoque relativamente reciente y que ofrece mayores posibilidades es el presentado en Goovaerts et al. (1990), donde se establecen cotas para esta probabilidad mediante el Ordenamiento de Riesgos. Información importante sobre la relación entre la probabilidad de ruina y la distribución del monto de la reclamación puede apreciarse reexpresando al coeficiente de ajuste:21

21 Taylor y Buchanan(1989)

21

Donde y se aplica un cambio de escala tal que . De esta expresión Taylor afirma en forma no rigurosa resultados interesantes relativos a la aproximación (19): a) Debido a que R depende de los momentos alrededor del origen después del cambio de escala

tal que entonces cada puede reemplazarse por antes de dicho cambio de escala. Esto implica que la aproximación (19) depende de la forma de la distribución de la reclamación y no de su localización. b) Un incremento en rl causa un incremento en R y la probabilidad de ruina decrece exponencialmente. c) El parámetro de la distribución de la reclamación que más influye en la probabilidad de ruina es el coeficiente de variación (p2-1)1/2. Esto establece cierto orden de las distribuciones de reclamación: una cola más pesada de la distribución implica una probabilidad eventual de ruina mayor. d) Si η=0 entonces R=0 y ocurre ruina con probabilidad 1. Otro tipo de aproximaciones surge del use de técnicas no paramétricas como el remuestreo para aproximar la probabilidad de ruina eventual. El lector interesado puede consultar Frees(1986). Una técnica prometedora pero sorprendentemente poco utilizada es la de Monte Carlo. Sobre este tema una exposición muy completa se encuentra en Beard et al. (1984) e importantes recomendaciones para su aplicación se exponen en Dufresne y Gerber (1989). Referencias Beard R.E. Pentikdinen. T. y Ptonen E.. Risk Theory, 3a. Ed., Chapman & Hall, London, 1984. Borth, K., The Mathematical Theory of Insurance, D.C. Heath and Company, Lexington. 1974. Bowers. N., Gerber, H.. Hickman. J, et. al. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries. Itasca, 1986. Dufresne, F. y Gerber. H.. Three Methods To Calculate the Probability of Ruin, ASTIN Bulletin 19 (1989): 71-91. Embrechts, P. y Veraverbeke, N., Estimates for the Probability of Ruin with Special Emphasis on the Possibility of Large Claims, Insurance: Mathematics and Economics 1(1): 55-72 Frees, E. W Nonparametric Estimation of the Probability of Ruin, ASTIN Bulletin 16 (1986): 81-90.

22

Gerber, H.U. An Introduction to Mathematical Risk Theory, S.S. Huébner Foundation Monograph Series No. 8, Homewood, Irwin, 1979. Goovaerts, M.J.. et. al. Effective Actuarial Methods, Elsevier Science Publishers B. V., Amsterdam, 1990. Ramsay C. M., A Practical Algorithm for Approximating the Probability of Ruin, Transactions of the Society of Actuaries, Vol. XLIV, 1992. Seah E. S. Computing the Probability of Eventual Ruin. Transactions of the Society of Actuaries. Vol. XLII. 1990. Seal. H. Stochastic Theory of a Risk Business, John Wiley & Sons. New York. 1969. Shia, E. S. W. Calculation of the Probability of Eventual Ruin by Beekman's Convolution Series, Insurance: Mathematics and Economics 7 (1988): 41-47. Taylor G. y Buchanan R. The Management of solvency, En Classical Insurance Solvency Theory, Cummins J.D. y R. Derrig, eds.. Kluwer Academic Publishers, Hostal. 1989.

23

Capítulo 3 Teoremas de la Urna Las definiciones (16) y (17) del primer capítulo, indican que obtener la distribución del supremo del proceso estocástico {S(t) — t} conduce directamente a la probabilidad de ruina. Takács(1966) resuelve el problema de obtención de la distribución del supremo en una amplia gama de procesos estocásticos mediante una generalización del Teorema Clásico de la Urna. La influencia de este autor se extiende a numerosos textos y artículos sobre la Teoría de Ruina, siendo la exposición más completa del problema y su solución. En esta sección se presenta el teorema clásico de la urna, así como su generalización e implicaciones a las variables aleatorias intercambiables; material indispensable para presentar formalmente la solución al problema de ruina. 1. Teorema clásico de la urna.

Teorema 1. Si en una urna existen a votos para el candidato A y b votos para el candidato B, siendo a >= μb y μ un entero no negativo, entonces la probabilidad de que durante el proceso de conteo el número de votos registrados para A sea siempre mayor a μ veces el número de votos registrados para B es:

siempre que todas las formas en que se puede dar el registro sean igualmente probables.

Este resultado, para μ=1 se atribuye a J. Bertrand y data de 1887, también en ese año E. Barbier encuentra la expresión para μ >=1. En el mismo año D. Andre demuestra el caso μ =1 y hasta 1924 A. Aeppli lo hace para μ >= 1. La demostración de este teorema para μ =1 es como sigue: Sean dos jugadores, A y B, que participan en una serie de juegos de azar. En cada juego, independiente de los demás sucede solo uno de los siguientes eventos: A gana una moneda de B con probabilidad p ó B gana una moneda de A con probabilidad (1-p). Supongamos que A tiene un capital inicial de (a-b) monedas y B tiene un capital infinito. ¿Cuál es la probabilidad de que A se arruine en el (a+b) ésimo juego? Para resolver esto, observemos que la probabilidad de que en el (a-b) ésimo juego A haya perdido a juegos y B haya perdido b juegos es:

24

Además la probabilidad condicional de que A se arruine en el (a-b) ésimo juego, dado que en el (a+b) ésimo juego A pierda a juegos y B pierda b juegos es

Por tanto, la probabilidad buscada es:

Este resultado fue obtenido en 1775 por Lagrange y Laplace, aunque ya en 1708 De Moivre había planteado el problema y su solución pero sin proveer una demostración. Veamos una posible realización de este juego en donde (a-b)=5 y (a+ b)=15:

Consideremos ahora los juegos en el orden contrario, es decir, tomando el juego (a+b), luego el (a+b+1), el (a+b-2), .......................... E interpretemos una pérdida para A en el juego original como un voto a su favor y lo mismo para B. La gráfica invertida horizontalmente muestra entonces los votos que el candidato A lleva de ventaja con respecto a B.

25

Entonces podemos observer que también es la probabilidad de que durante todo este proceso de conteo, el candidato A tenga siempre más votos que B. La herramienta matemática de Takács se basa en las siguientes generalizaciones del teorema de la urna: 2. Generalización del Teorema clásico de la urna 2.1 Caso discreto: Teorema 2.

Sean k1,k2,...,kn enteros no negativos tales que k1+k2+...+kn = k<= n. Entre las n permutaciones cíclicas* de (k1+k2+...+kn) existen exactamente n— k para las cuales la suma de los primeros r elementos es menor que r, para toda r=1,2,...,n.

Demostración: Esta demostración se basa en Farah (1994)1. Es importante señalar que el texto original de Takacs presenta una incorrección, por lo que aquí se muestra la versión corregida y completa de dicha demostración, fundamental para entender la metodología de Takacs. * Las permutaciones cíclicas de (k1,k2,...,kn ) son: (k1,k2,...,kn, k1), … , (k1,k2,...,kn, k1, k2), … ,

(k1,k2,...,kn, k1, k2, kn-1 ) 1Farah J.L., Una Nota de Corrección de una Demostración de L. Taktics, comunicación personal, 1994. Sea kr+n =kr para r= 1,2,…. y Фr= k1+k2+…+kr, r=1,2,… con, r = 1,2,... con Ф0 = 0 Defínase las siguientes funciones:

26

Obsérvese que las funciones son no decrecientes. La primera parte de la demostración consistirá en dos afirmaciones respecto de las funciones

: Por la monotonía de Ф se sigue que para toda j> i.

Obsérvese que en el caso particular j = i +1, la afirmación j > r +1 es equivalente a i > r . Bajo esta elección la desigualdad (1) toma la forma:

Con esta desigualdad se puede afirmar:

Es decir:

Si el lado derecho de (2) es verdadero para toda I>r en particular lo será para ψ r:

Por (3) la monotonía de ψ obtenemos la primera de las afirmaciones:

La segunda afirmación es la siguiente:

Como solamente se tienen que probar los siguientes casos: Caso I:

Si δr =1 entonces, por definición y en particular

Además , por lo que

Si suponemos ahora entonces obviamente lo cual sucede sí y solo sí

27

Lo cual significa que Caso II:

Si entonces existe una S > r tal que lo cual

Implica que pues de lo contrario

ocurriendo una contradicción. Esto afirma que implica que

y viceversa. Quedando así demostrada la (5)

Para terminar con la demostración, distinguimos dos casos respecto de

Caso 1: Para cualquier r = 0,1,2,... se tiene que

la cual implica que para todo r existe s tal que y por tanto

Caso 2:

Por lo que la función δ es una indicadora del evento en que las sumas parciales de la

permutación cíclica de las se encuentren por debajo del número de sumandos de dicha suma parcial. Por ejemplo r=1 indica el evento:

28

El caso r=n indica el evento correspondiente a la permutación cíclica que comienza con

De esta forma la suma denota el número de veces que las sumas parciales de esas permutaciones están por debajo del número de sus sumandos. Obsérvese ahora que

Es decir Por lo que la sumatoria se traduce en:

Con lo que queda demostrado el teorema. La fórmula general para los dos casos es:

Donde (x)+ = x si x <=0 y cero de otra forma. Un ejemplo ilustrativo de esta situación es la siguiente:

29

La representación gráfica de estas funciones se muestra en la siguiente página.

30

31

2.2 Caso de Parámetro Continuo:

Teorema 3.

Sea una función escalonada no decreciente tal que .

Defínase mendiante la expresión . Y la función δ como:

Entonces

Debido a que esta demostración se ve notablemente simplificada suponiendo que existe un número finito de saltos en (0, t) , se presentará primero este caso y a continuación la situación más general. Cabe señalar que la siguiente demostración no aparece en la Literatura, ya que es un ejercicio para el lector, sin embargo nos permite reconocer los argumentos de Tacáks en una forma muy accesible. Demostración cuando existe un número finito de saltos en (0, t):

El caso trivialmente se cumple.

El caso se apreciará la simplificación:

Sabemos que es una función continua y no decreciente, y además

Como tiene un número finito de saltos, se puede separar el

intervalo (0, t) en subintervalos ajenos en los cuales la función tome los valores 1 y 0 en forma alternada como se muestra en el esquema, que presenta los intervalos de un ejemplo numerados del 1 al 7.

32

Si en uno de esos subintervalos, digamos en entonces para

todo por lo que:

no presenta brincos en esta función es constante en Como ese intervalo, entonces:

Si en entonces Ahora podemos calcular la integral deseada:

Y todo se reduce a encontrar la longitud de los intervalos en los cuales

pero (8) nos indica que dicha longitud es igual a la diferencia y por ello:

Con lo que termina la demostración.

33

Demostración del caso general:

Si Ф(t) >t, entonces y entonces el teorema es verdadero. Si Ф(t) ≤t, definimos:

Como

Se tiene que

Y entonces

La primer afirmación análoga a (4) es:

Esto porque ψ es creciente y para v≥u:

Y en particular

Esto indica que ψ(u) es monótona no decreciente y absolutamente continua por lo que ψ’(u) existe en todo su dominio, salvo en un conjunto a lo más numerable. Además 0≤ψ’(u) ≤1 y

El siguiente paso será demostrar que para toda u salvo por un conjunto a lo más

34

numerable: Nótese que:

I) Comenzamos demostrando que para casi toda u: Ia) Si ψ’(u) existe, y si ψ’(u)=0, entonces 0≤δ(u) y queda demostrado

Ib) Si ψ’(u) existe, , entonces:

Si entonces para v>u y por tanto:

Entonces y en particular

Como entonces es decir

y por definición se tiene que y queda demostrado

II) Ahora demostraremos que para casi toda u

IIa) Si existe, entonces y queda demostrado.

IIb) Si existe y u es punto de acumulación del conjunto

entonces demostraremos que

35

Supongamos tal que Por definición del conjunto D:

Si existe y entonces

Y como {un} es un conjunto numerable, queda demostrada la desigualdad.

Las dos desigualdades presentadas en I) y II) implican que para toda u salvo por un conjunto a lo más numerable. Esto termina la demostración del teorema. Referencias Takacs, L., Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes. Robert Krieger, Publishing Co., Htmtingtcn, New York. 1977. pp. 2-7.

36

Capítulo 4 Fluctuaciones de Sumas de Variables Aleatorias En este capítulo se obtienen nuevos resultados a partir de los teoremas 2 y 3 del capitulo anterior, con la finalidad de encontrar expresiones para la distribución del máximo de variables aleatorias, descubriendo la capacidad del método de Takács para su obtención y preparando el camino para la generalización de estos resultados a las fluctuaciones de realizaciones de los procesos estocásticos que nos interesan. Nótese que tanto los teoremas como las demostraciones no son sino analogías de los resultados básicos ya presentados: tal es la elegancia del método de Takács. 1 Variables aleatorias cíclicamente intercambiables 1.1 Sucesión finita de v.a. cíclicamente intercambiables

Se dice que las variables aleatorias son cíclicamente intercambiables si todas sus

permutaciones cíclicas tienen la misma distribución conjunta. Obsérvese que si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas son también cíclicamente intercambiables.

Supóngase que pueden tomar valores en los enteros no negativos, y

Sean las funciones

Al ser cíclicamente intercambiables, será una variable aleatoria con la misma

distribución para toda entonces , para , por lo que tenemos una variable indicadora de este evento y podemos calcular su probabilidad:

Por el resultado (6) del capitulo 3 podemos simplificar esta última expresión como:

37

Resumiremos este análisis en el siguiente teorema:

Teorema 4.

Sean variables aleatorias cíclicamente intercambiables que toman valores en los

enteros negativos. Sea para r = 1,2,...,n. Entonces

Para generalizar esta expresión a una sucesión infinita de variables aleatorias recurriremos al concepto de distribución límite y a la Ley Débil de los Grandes Números. 1.2 Ley Débil de los Grandes Números:

Si es una sucesión infinita de variables aleatorias intercambiables, existe una función de distribución G(x) tal que

Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media γ, entonces la distribución límite toma la forma:

donde

22

22 Esto es

38

1.3 Sucesión infinita de v.a. independientes idénticamente distribuidas Ahora bien, gracias al teorema de continuidad para probabilidades23:

Por definición, para toda n finita, son variables aleatorias cíclicamente intercambiables, así que por el teorema 4 de este capitulo:

Por (1): en probabilidad y al estar acotado

se afirma que

Podemos resumir este resultado de la siguiente manera:

Teorema 5.

Sean variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con

media γ y que toman valores en los enteros no negativos. Sea para r=1, 2, … Entonces:

2. La Distribución del Máximo {Nr-r}

Teorema 6.

Sean variables aleatorias intercambiables que toman valores en los enteros no negativos. Entonces:

23 Ver Feller Cap.XI, pp. 280,281.

39

Para entonces ambos lados son cero.

Si en particular son independientes e idénticamente distribuidas:

Demostración El lado izquierdo de (2) es: Demostración El lado izquierdo de (2) es:

Para obtener el sustrayendo de (4) definimos:

Entonces para Es decir

40

Por el teorema 4 sabemos que:

Y mediante la Ley de Probabilidades Totales se obtiene el sustrayendo de (4) obsérvese que

por tanto, los posibles valores (j,l) son

Esto termina la demostración de (2).

Cuando son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

Pero tiene la misma distribución que pues las son

intercambiables, entonces y el sustrayendo del lado derecho de (2) es:

y (3) queda demostrado. Una vez especificada la distribución del máximo del proceso {Nr-r} encontraremos su valor esperado para el caso de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. 3. El valor Esperado del máximo de {Nr-r}

Teorema 7.

Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media g, que toman valores en los enteros no negativos. Entonces

41

Demostración24 Como

El lado derecho de (6) es. por el teorema 6

Por el teorema 6, sabemos que para k<0 los dos lados de la ecuación (2) son cero, así que "sumamos cero" a (7) para obtener:

Y término a término se obtiene:

Nótese que

Aplicando (9) a (8) y juntando el segundo y cuarto términos:

24 Agradezco al Dr. Alberto Tubilla su ayuda en !a realización de esta demostración

42

Que es el lado derecho de (5), con lo que queda demostrado. 4. Distribución del Supremo de {Nr —r} 4.1 Una expresión explicita para la distribución En esta sección se busca generalizar el teorema 6 a una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Esto se logra mediante el siguiente teorema: Teorema 8. Sean V1, V2 , Vr,... variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con media γ y que toman valores en los enteros no negativos.

Demostración: Nuevamente por el teorema de continuidad para probabilidades:

43

Y por (4)

Y queda por determinar este limite, para lo cual se distinguen tres casos: Caso I:

Cuando sabemos por la Ley débil de los Grandes Números que en probabilidad.

y por lo visto en 1.3

por lo que (12) es igual a

Siempre que este valor esté bien definido, lo cual se verifica en seguida:

por lo que

y (13) está bien definido. Caso II:

Cuando γ>1 se tiene que para toda Además por el teorema 6 la desigualdad

44

es siempre verdadera y cuando

Caso III:

Por el teorema 5 sabemos que y (15) se mantiene para

Ciando k>0 y , entonces y la desigualdad:

Indica que (15) es verdadero.

Si entonces para todo R=1,2,… y obviamente

Con esto termina la demostración. 4.2 La función generatriz de la distribución del supremo

Teorema 9. Sean los mismos supuestos que en el teorema 8. con y < 1, entonces:

45

Demostración Evidenternente para k < 0 se tiene Qk = 0

Condicionando sobre el valor de vn+1, y aplicando la Ley de Probabilidades Totales:

Cuando

Es decir, obtenemos una fórmula recursiva para las probabilidades donde por el

teorema 5

Multiplicando (16) por

sumando sobre todos los valores de k:

y reescribiendo la doble sumatoria:

se obtiene:

y despejando:

con lo que termina la demostración.

46

Debe recalcarse la importancia de este teorema Permite obtener la función generadora de las

a partir de la función generadora de probabilidades de las variables aleatorias Estas

probabilidades son precisamente las probabilidades de no ruina para el modelo de la reserva en tiempo discreto. En el siguiente capítulo se presentará la versión de este teorema para el Modelo de Lundberg definido en el capítulo 2. Referencias Takács, L.. Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes, Roben Krieger, Publishing Ca, Huntington, New York. 1977. pp. 10-18, 24 y 25.

47

Capítulo 5 Fluctuaciones de Realizaciones de Procesos Estocásticos y Probabilidad de Ruina Eventual

En este capitulo se obtienen resultados análogos al capitulo anterior para encontrar la distribución del supremo de procesos estocásticos y por consiguiente, de la probabilidad de ruina eventual. 1. Procesos con incrementos cíclicamente intercambiables. 1.1 Procesos en tiempo finito con incrementos cíclicamente intercambiables y

procesos con incrementos estacionarios independientes.

Un proceso tiene incrementos cíclicamente intercambiables si para toda n= 2,3,... las variables aleatorias

son cíclicamente intercambiables. Nótese que si las variables aleatorias (1) son mutuamente independientes e idénticamente distribuidas, son también cíclicamente intercambiables.

Teorema 10.

Sea un proceso estocástico separable que toma valores reales con incrementos cíclicamente intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes conR(0), 0 entonces:

y en consecuencia:

Demostración

Defínase R(u) para mediante y sea

48

Entonces es una variable aleatoria con la misma distribución para toda Y

nuevamente es una función indicadora del evento por lo que podemos calcular su probabilidad de manera totalmente análoga a la presentada en el teorema 4:

Y por el teorema 3

Y queda demostrado.

Se dice que un proceso estocástico tiene incrementos intercambiables si para

toda finita las variables aleatorias (1) son mutuamente independientes e idénticamente distribuidas, se dice que el proceso estocástico tiene incrementos estacionarios

independientes. Obsérvese que cualquier proceso con incrementos

intercambiables o incrementos estacionarios independientes tal que

tendrá incrementos cíclicamente intercambiables para toda finita. Además para

estos dos tipos de procesos y cuando se tiene que

, caso que excluiremos de aquí en adelante. Para generalizar el teorema 10 a un proceso en tiempo infinito, presentaremos la versión correspondiente de la Ley Débil de los Grandes Números: 1.2 Ley Débil de los Grandes Números

Sea el proceso estocástico en tiempo infinito con incrementos intercambiables. Entonces existe una función de distribución G(x) tal que

49

Si en particular tiene incrementos estacionarios independientes y

toma la forma:

donde

1.3 Procesos en tiempo infinito con incrementos estacionarios e independientes

La generalización del teorema 10 es la siguiente: Teorema 11.

Sea un proceso estocástico separable que toma valores reales con incrementos estacionarios independientes y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes con R(0) = 0 entonces:

Demostración Nuevamente por el teorema de continuidad para probabilidades:

Por definición, para toda t finita, tiene incrementos intercambiables, así que por el teorema 10:

Por (2): en probabilidad y al estar acotado se

50

afirma que Con lo que termina la demostración. 2. La distribución del supremo de {R(u)— u} y su valor esperado En esta sección presentaremos los resultados análogos a los teoremas de la sección 1, por lo que solamente se muestra la demostración del teorema 12, remitiéndose al lector a dicha sección para la prueba del teorema 13.

Teorema 12.

Sea un proceso estocástico separable que toma valores reales con incrementos intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes con R(0) = 0 entonces:

para toda finita.

Demostración

El sustraendo del lado derecho de (3) es la probabilidad de que para

algún .

Sea , entonces

por lo que

Ahora bajo la condición de que podemos aplicar el teorema 10

para el proceso y obtenemos la probabilidad de (4) es:

51

Como

Podemos integrar (5) con respecto a (6) en y obtener el sustraendo del lado derecho de (3). Para el caso x = 0 se tiene, mediante el teorema

con lo que termina la demostración.

Teorema 13.

Sea un proceso estocástico separable que toma valores reales con incrementos intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes con R(0) = 0 entonces:

para .

Si en particular el proceso tiene incrementos estacionarios independientes, entonces podemos aplicar (3) la siguiente sustitución:

Resultando la siguiente expresión

52

3. Características de las Transformadas de Laplace sobre los procesos

utilizados. Una vez presentados los teoremas anteriores, será necesario conocer ciertas propiedades de los procesos con los que hemos trabajado, de los cuales el proceso Poisson Compuesto es un caso muy importante:

Si suponemos que , un proceso estocástico separable que toma valores reales con incrementos intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes con R(0) = 0 , podemos afirmar25:

donde

con una función no decreciente, continua a la derecha, tal que y

Con la siguiente interpretación: El número esperado de saltos de magnitud mayor que x que

ocurren en el intervalo (0,t) es

Defínase no necesariamente finito, para afirmar:

y cuando se tiene el caso trivial

Por tanto, el número de ocurrencias en el intervalo cero a t es y

25 Ver Feller II. Section XIII.7, teoremas 1 v 2.

53

Además

Cuando finito, nos referimos a un proceso Poisson Compuesto y la función

es la función de distribución de una variable aleatoria no negativa, con transformada de Laplace-Stieltjes

Despejando de (12) obtenemos que

Y por definición de (expresión 10):

es decir, la expresión (13) resulta ser:

y para este tipo de procesos tenemos por (5) del capitulo I

54

Sea

Si Re(s) ≥ 0 entonces existe y por propiedades de las transformadas de Laplace26 sabemos que

Y se tiene

Además si

entonces

y si esta cantidad es positiva y finita la función

26 Ob. Cit. Cap. XIII.2

55

es la función de distribución de una variable aleatoria no negativa cuya transformada de Laplace-Stieltjes es:

o también

Lo cual se verifica enseguida: Aplicando a cada lado de (20) la transformada de Laplace-Stieltjes correspondiente obtenemos para el lado izquierdo:

y para el lado derecho:

es decir

que es precisamente (22); o bien aplicando (14)

que es precisamente (21).

Ahora bien, para obtener conclusiones útiles que conduzcan a la distribución del supremo de

estos procesos, requerimos mostrar las siguientes propiedades de la función

56

Propiedades de

Propiedad 1: Si Re(s)> O entonces

Esto se debe a que cuando x >= 0. Entonces por (10):

para toda siempre que . Y por tanto

para toda

Cuando se obtiene la propiedad 1,pues esta última integral tiende a cero.

Propiedad 2: Si la mayor raíz real no negativa de , entonces

Además no existe otra raíz en

Esto resulta de observar que es monótona creciente y monótona decreciente

Además , por lo que

, es decir, no existe otra raíz en

Propiedad 3: es la única raíz no negativa de

57

Esto se debe a la propiedad 2 y al hecho de que es no decreciente y

Con estas propiedades es posible encontrar una expresión para la distribución del supremo y por consiguiente para la probabilidad de ruina eventual: 4 Probabilidad de Ruina Eventual Esta sección utiliza la siguiente generalización del teorema 9 al caso continuo. Obsérvese que se refiere precisamente a la probabilidad eventual de no ruina U(x): Teorema 14

Sea un proceso estocástico separable con incrementos estacionarios independientes y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes con R(0) = O y p < 1, entonces:

donde U(x) = O para x < 0 , U(0) = 1— p y

Demostración Por el teorema 11 se obtiene U(x) para x < 0 . Si y > 0 y x + y >0 se tiene:

El primer término del lado derecho es la probabilidad de que R(y) =

El Segundo termino es la probabilidad de que no se cumpla para alguna en el

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intervalo para

entonces y el evento tiene la misma probabilidad que el

evento es decir, W(0). Con esto se obtiene el segundo

término. Cuando este termino es cero al ser el evento imposible.

Defínase para Ahora bien, tomando la transformada de Laplace-Stieltjes de U(x) obtenemos para Re(s) > 0 :

Pero para obteniéndose

para con lo que queda demostrado. Nótese nuevamente que el razonamiento es similar al de los teoremas anteriores. Esto indica que el método de Takacs es efectivo no solo por sus resultados, sino por proveer una forma de razonamiento adecuada para analizar el comportamiento de múltiples procesos estocásticos.

Aplicando la propiedad 2 de en el caso y por expansión de Lagrange27 se

obtiene que la mayor raíz no negativa de es:

Por lo que existe para . Y por inversión se obtienen diferentes expresiones para U(x).

Al ser un número positivo finito se tiene por (14) y (22) que Además

27 Ibidem p. 209.

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por lo que podemos escribir:

Y por inversión Takács obtiene una primer expresión28:

Si se puede obtener una segunda expresión29

Finalmente, una tercer expresión se obtiene de manera muy simple: Mediante integración por partes se verifica30 que

entonces podemos aplicar (14) y (25):

factorizando:

Se obtiene la siguiente suma infinita: 28 Takács(1977) p.60 29 Ob, Cit. Teorema 2. sección 16. 30 Feller II. XIII.2. propiedad iii)

60

Con Re(s) suficientemente grande: Finalmente por inversión se obtiene la probabilidad eventual de no ruina para el Modelo de Lunderberg:

Referencias Takács, I.., Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes. Robert Krieger. Publishing Co„ Huntington. New York. 1977, pp. 37-61. Feller. W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. H. Wiley, New York, 1971..

61

Capítulo 6 Aplicaciones al Problema de Ruina En este capitulo se utilizan los resultados de Takács con el fin de obtener una expresión útil para la probabilidad de ruina eventual en el caso en que la distribución de montos de las reclamaciones tome valores únicamente en los enteros positivos. Este problema, motivo de numerosos artículos de investigación (ver capitulo 2), representa la posibilidad de aplicar la Teoría de Riesgo en un problema frecuente al que se enfrentan los actuarios en el diseña y monitoreo del comportamiento de los productos. De esta situación resulta muy importante contar con un algoritmo que permita obtener las probabilidades de ruina en forma rápida y sin requerir equipos de cómputo costosos. Para mostrar la capacidad de este algoritmo, se utilizará en algunos ejemplos bien conocidos en la literatura. En el apéndice del capítulo, el algoritmo es plasmado en un programa que puede ser ejecutado en una PC y se incluyen las consideraciones utilizadas en su construcción. 1. Fórmula de ruina para distribución de montos discreta.

Dado31 que y en el caso en que sea discreta, la fórmula 32 del capítulo anterior se traduce en:

Donde para j= 1, 2, 3, … y [W] es el mayor entero menor o igual a w Nótese que la unidad monetaria es la original del problema, esto es para facilidad de uso de la fórmula y evitar confusiones al aplicarla. Shiu(1988) obtiene esta fórmula a partir de la fórmula de convolución de Beekman de 1968. Pero ésta a su vez proviene (como lo reconocen Beekman y Shiu) de resultados más generales publicados por Takács en 1965. También en el articulo de Shiu(1988) se incluye una demostración desarrollada por Willmot. Sin embargo, una demostración sin referencias directas a los teoremas de Takacs se encuentra en Seah(1990), sin embargo esta carece de argumentos que permitan mostrar los conceptos

31 Bowers et. al. p. 359.

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realmente involucrados y puede ser una referencia para evaluar la importancia del método de Takacs así Como su rigor y contundencia de argumentos. Cabe señalar que para valores grandes de la reserva inicial w , un método eficiente para evaluar es el uso de la formula asintótica de Cramer-Lundberg32 presentada en el capitulo 2. Sin embargo, estos casos son de menor interés, porque implican valores en general muy pequeños para . En la práctica las aseguradoras se encuentran limitadas en dicho capital inicial y por ello el uso de valores pequeños de w es más relevante. La importancia de la formula (1) se hace entonces evidente. 2. Ejemplos Una vez establecido el algoritmo, se procederá a utilizarlo en la obtención de probabilidades de ruina para ciertos ejemplos bien conocidos en la literatura de ruina. El primer ejemplo considera que todas las reclamaciones son de monto unitario. Este caso es presentado prácticamente en todos los textos de Teoría de Riesgo obteniéndose expresiones explicitas para la probabilidad de ruina. Véase por ejemplo Seal (1969) pagina 92. El segundo ejemplo es tornado de Mereu(1972) tabla 3. En este artículo se muestra un método para calcular la perdida esperada en un grupo de pólizas de seguro de vida utilizando el supuesto de fuerza de mortalidad constante, lo que permite el empleo de la Teoría Colectiva de Riesgo Clásica tal y como se expuso en el primer capitulo. La distribución de montos resultante esta denominada en unidades de 1,000 dolares y es utilizada posteriormente en diferentes artículos de la Sociedad de Actuarios. Por este motivo, obtener las probabilidades de ruina para esta distribución resulta interesante y de consideración en futuros artículos que retomen este ejemplo ilustrativo. El tercer ejemplo proviene de un estudio comparativo basado en la Teoría Colectiva de Riesgo de Beekman y Fuelling (1987). Es en este ejemplo donde ocurren las mayores dificultades de calculo mostradas en el apéndice de este capitulo, especialmente los errores de redondeo y perdida de dígitos significativos al evaluar la función ew para valores grandes de la reserva inicial. El tiempo de procesamiento y la cantidad de archivos necesarios para almacenar las convoluciones se incrementa notablemente por lo que es recomendable realizar este almacenamiento directamente en la memoria del ordenador mediante el siguiente comando en el archivo "config.sys": DEVICEHIGH=C: \DOS \RAMDRIVE.SYS 2048. 512 512/E Esta instrucción permite simular un disco duro de 2 Megabytes en la memoria extendida del sistema, incrementando notablemente la velocidad de proceso. El programa en Turbo Pascal 6.0 mostrado en el apéndice A ya considera la existencia del disco RAM, como puede apreciarse en las instrucciones de creación y lectura de archivos, las cuales hacen referencia a la unidad de disco "e:" que es precisamente la unidad RAM creada en el ordenador donde se realizaron las operaciones.

32 Shui (1988)

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A continuación se presenta para cada ejemplo su distribución de montos y las probabilidades de ruina para ciertos valores tanto de la reserva inicial w como del recargo de seguridad θ. Cabe señalar que estas operaciones fueron realizadas en una computadora personal con procesador 386SX a 33 Mhz con coprocesador matemático y una memoria extendida suficiente para la creación del disco RAM. Al utilizar este programa en ordenadores con procesadores de mayor velocidad y con menores tiempos de acceso a la memoria extendida, pudo reducirse el tiempo de proceso hasta en un factor de 20 (Procesador 586 a 90 Mhz). DISTRIBUCIÓN DE MONTOS DEL EJEMPLO

PROBABILIDADES DE RUINA

PROBABILIDADES DE RUINA

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DISTRIBUCIÓN DE MONTOS DEL EJEMPLO 2

PROBABILIDADES DE RUINA

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DISTRIBUCIÓN DE MONTOS DEL EJEMPLO 3

PROBABILIDADES DE RUINA

PROBABILIDADES DE RUINA

66

3. Observaciones Finales El algoritmo desarrollado y los ejemplos anteriores muestran que la fórmula (1) puede ser utilizada en la práctica con éxito. Esta fórmula exacta implica la evaluación de una suma finita, lo cual tiene ventaja sobre fórmulas infinitas también exactas, que son por su naturaleza aproximaciones y cuya convergencia puede ser lenta33. Las distribuciones de montos discretas son un caso particular en la Teoría de Riesgo, sin embargo en la práctica se observan este tipo de distribuciones con notable frecuencia e incluso existen procedimientos bien conocidos en la práctica actuarial para la discretización de distribuciones continuas, como los propuestos por De Vylder y Goovaerts (1988). La fórmula (1) permite entonces una manera eficiente para obtener probabilidades de ruina34 en muy diversas situaciones prácticas o estrictamente teóricas de acuerdo con el interés del investigador. Esta aplicación es un ejemplo de cómo el enfoque de Takács provee expresiones útiles, pero debe considerarse que tos teoremas de los capitules 3 y 4 comprenden a una amplia gama de procesos estocásticos, por lo que siguiendo un procedimiento similar al del caso de Poisson, se pueden obtener probabilidades de ruina de otros procesos, incluyendo aquéllos propios de modelos más completos, necesarios en la Teoría de Riesgo Contemporánea. Referencias Beekman. J.A., Fuelling, C.P. A Collective Risk Comparative Study, Insurance: Mathematics and Economics 6 (1987):57-62. Mereu, J.A. An Algorithm for Computing Expected Stop-Loss Claims under a Group Life Contract, TSA 24 (1972): 311-20. Seah E. S. Computing the Probability of Eventual Ruin. Transactions of the Socidy of Actuaries, Vol. XLIE, 1990. Seal, H. Stochastic Theory of a Risk Business. John Wiley & Sons.. New York, 1969. De Vvlder, F., Goovaerts. MJ. Recursive Calculation of Finite-Time Ruin Probabilities. Insurance: Mathematics and Economics 7, 1-7.

33 Ver Seach(1990) formula 2.4 y su discusión en la página 426. 34 O aproximaciones en el caso de discretización

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Apéndice A: Diseño del algoritmo para las probabilidades de ruina en el caso de montos discretos

Para el desarrollo del algoritmo, se consideró indispensable su uso en una computadora personal, pues de lo contrario su utilidad estaría restringida a la disponibilidad de equipos más poderosos, que aunque pueden encontrarse en las compañías aseguradoras, su uso intensivo durante el proceso de diseño de productos o análisis de suficiencia de primas en cartera (aplicaciones directas de esta fórmula) resultará en costos elevados e innecesarios, sobre todo si existe la posibilidad de llevarlos a cabo en PC. La expresión (1) del capítulo 5 involucra la suma de series alternantes finitas, razón que motiva su uso al menos para valores relativamente pequeños de w. Sin embargo, conforme esta reserva inicial se incrementa, se presentan cuatro problemas: a) Errores de redondeo en la fórmula de ruina:

Causados por la presencia de la función la cual se incrementa rápidamente, implicando la pérdida de un número creciente de dígitos en el ordenador. Este problema puede ser al menos retrasado mediante el uso de más dígitos en el formato numérico, pero debe reconocerse su inevitabilidad. Aunque existen lenguajes de programación (p. ej. Mathematica) que permiten manejar un número arbitrario de dígitos de precisión, esto se realiza a costa de tiempo de procesador y capacidad de almacenamiento/transmisión de la información, obstáculos que al menos con los ordenadores actuales disponibles no permiten eliminar definitivamente este problema. b) Errores de redondeo en el cálculo de b convolución:

Los coeficientes pueden ser evaluados mediante la fórmula que

implica un total de operaciones de convolución para obtener la j-ésima convolución

Esto puede causar errores de redondeo notables, sobre todo en el caso de valores grandes de la reserva inicial. Seah (1990) propone un método heurístico para reducir estos errores, basado en el cálculo de las convoluciones mediante la fórmula más general:

Donde g+h=j

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Sin embargo este enfoque requiere de obtener los valores de g y h que minimicen el número de operaciones de convolución y nos remite al problema nada trivial de la "cadena de adición", estudiado ampliamente en la literatura de sistemas digitales. Para evaluar este método se programa el algoritmo aplicándolo a los ejemplos del capítulo 6, sin encontrar diferencias numéricas con el método finalmente utilizada. Otro método que también busca minimizar los errores de redondeo se encuentra en Shiti(1988) fórmula 4.8), y se basa en los métodos utilizados en sistemas digitales para minimizar el número de operaciones en el cálculo de la "transformación Z", conocida en la Teoría de Probabilidad como la función generadora de probabilidades. c) Desbordamientos de memoria: Debidos al hecho de que cada escalar es almacenado utilizando una cantidad determinada de memoria del ordenador, implicando un límite para el número de valores que pueden manipularse35. Ante esta situación se presentan dos opciones: La primera consiste en realizar las operaciones de convolución en el momento en que son requeridas por la función de ruina, eliminando los valores de la convolución en cada iteración. Esta opción es viable cuando se dispone de procesadores de alta velocidad en cuanto a la realización de las operaciones y tiempo de acceso a la memoria física del sistema, lo cual no es siempre posible en computadoras personales. La segunda opción, utilizada en el algoritmo finalmente propuesto, consiste en el uso de los dispositivos de almacenamiento externos (disco duro) para almacenar como archivos los valores de cada convolución. d) Tiempo de Procesamiento Adicional a los incrementos en el tiempo de procesamiento ocasionados por los problemas arriba mencionados, el cálculo de las operaciones de convolución es en si mismo un proceso intensivo en cuanto al número de operaciones aritméticas necesarias. Debido a su frecuente uso en numerosas disciplinas, principalmente la Física y la Electrónica, se han estudiado algoritmos eficientes para su obtención. La rama de la ingeniería que requiere en mayor medida de estos algoritmos es el Procesamiento de Sistemas Digitales y es precisamente la que aporta los mejores resultados. En el Apéndice B se describe la técnica que puede utilizarse para reducir el número de operaciones, especialmente el de multiplicaciones. Finalmente, se presenta el programa en Turbo Pascal 6.0 resultado de estas consideraciones:

35 Este limite, además de presentarse en lumia definitiva por la capacidad tísica de la memoria de los ordenadores. se

presenta en muchos lenguajes de programación al manejar estructuras de información estáticas (arreglas) y aunque el manejo de estructuras dinámicas (apuntadores) puede ser una solución, ésta se encuentra nuevamente limitada en cuanto a la velocidad de los procesos de búsqueda de la información

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Apéndice B: Cálculo de convoluciones mediante la Transformada Rápida de Fourier

Esta breve exposición se basa en Oppenheim(1975) y Myers(1990). En términos de la Teoría de Sistemas Digitales, la "salida" de un procesador digital está dada por la expresión:

la cual considera como caso particular la convolución cíclica de dos secuencias infinitas x y h periódicas con periodo ¡Y donde :

describe un periodo de la señal digital infinita. Un periodo de esta señal describe precisamente una convolución lineal, que es precisamente el tipo de convolución que necesitamos calcular eficientemente en nuestro problema. Estas convoluciones cíclicas tienen una propiedad interesante: Sea una serial digital x(n) periódica con periodo N, defínase la Transformada Discreta de Fourier como:

donde y cuya transformación inversa es:

Entonces la convolución cíclica de dos señales periódicas x y h tiene una Transformada Discreta de Fourier Y (k) tal que

donde H(k) y X(k) son las Transformadas Discretas de Fourier de h(n) y x(n) respectivamente. Bajo este resultado es posible obtener una convolución cíclica (y por ende una lineal) siguiendo este procedimiento:

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1. Aplicar la transformación arriba descrita a las secuencias h(n) y x(n) . 2. Multiplicar término a término las dos secuencias H(k) y X(k) , obteniendo Y(k) . 3. Aplicar la transformación inversa a Y(k) .

Obviamente el número de operaciones involucradas es mucho mayor bajo este procedimiento: Para el cálculo de una convolución cíclica (lineal) son necesarias N2 multiplicaciones de números reales y N(N-1) sumas de números reales. Por el contrario, cada Transformación requiere (N2 - 2N + 1) multiplicaciones de números complejos y N(N-1) sumas de números complejos lo que aproximadamente36 resulta en (4N2 - 8N + 4) multiplicaciones de reales y (4N2 - 6N + 2) sumas de reales. Esto implica que el número de operaciones requeridos para la convolución mediante la Transformada es de (16N2 -20N + 16) multiplicaciones y (16N2 -24N + 8)237 sumas. Sin embargo, en 1965 Cooley y Tukey38 publican un algoritmo para la Transformada Discreta de Fourier aplicable cuando N es el producto de dos o más enteros, el cual reduce drásticamente el número de operaciones, explotando tanto la simetría como la periodicidad de la secuencia

originando una revolución en el campo de aplicación de la teoría de sistemas digitales basada en el empleo de algoritmos que serán denominados “Transformada rápida de Fourier” y cuya idea básica es la siguiente: Para obtener la Transformada Discreta de Fourier

Salvo el caso en que N sea primo, siempre podrá factorizarse como: N=ML Ahora hágase un mapeo de x(n) en un arreglo x(u,v) de renglones y L columnas de la siguiente manera:

Es decir, el trapeo se logra transformando el indice n tal que

36 Dependiendo del algoritmo utilizado 37 Por supuesto el número de operaciones se reduce cuando las secuencias son de números reales, como es el caso de

la convolución que nos interesa. 38 Oppenheim(1975) p.286

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Por otro lado se puede realizar un mapeo similar de X(k) en un arreglo X(s,r) mediante: k = rM+s

Donde Entonces la Transformada Discreta de Fourier toma la forma

Como WN, es periódica en N se tiene:

Y por tanto:

que se puede reexpresar como:

Implicando (M+ L)N-3N + 1 multiplicaciones complejas y N(M+L-2) adiciones complejas, que es claramente un número menor de operaciones. De hecho, conforme N se incrementa este algoritmo requiere tanto para las multiplicaciones como para las

adiciones del número original de operaciones,

que es aproximadamente Un caso particular de este tipo de algoritmos considera potencias de 2 como longitud de la secuencia. A continuación se muestra el código de un programa que permite realizar la Transformada Rápida de Fourier (FFT) y su inversa (IFFT), que aunque todavía es factible de optimar, puede incluirse fácilmente en el programa del apéndice A:

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Referencias Myers D.G.. Digital Signal Processing: Efficient Convolution and Fourier Transform Techniques. Prentice Hall, Australia. 1990. Oppenheim. A. V. y Schafer R, W., Digital Signal Processing, Prentice Hall, New Jersey. 1975.