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ObjetivosIntroduccion

EjerciciosResumen

Logica Digital - Circuitos Combinatorios

Expositor: Esteban PontnauPrimer Cuatrimestre de 2012

Departamento de Computacion, FCEyN,Universidad de Buenos Aires.

3 de abril de 2012

Practica 2


EjerciciosResumen

Objetivos de la clase de hoy

I Repasar los operadores y propiedades del algebra de boolevistas en la teorica y utilizarlas para implementar circuitoscombinatorios simples.

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PropiedadesSuma de productosProducto de sumasCompuertas logicas

Repasemos. . .

I Operadores logicos: Pueden ser completamente descriptosusando su tabla de verdad.

I AND, OR, NOT −→ Operadores basicosI NAND, NOR −→ Operadores universales

I Expresiones booleanas:I Combinacion de operadores logicos y variables booleanas. Ej.

F (X ,Y ,Z ) = X + YZ .I Orden de precedencia en la evaluacion NOT > AND > OR.I Dos expresiones son iguales sii tienen la misma tabla de verdad.I Identidades booleanas: Reducciones utilizando propiedades o

leyes.

XYZ + XYZ + XZ == XY + XZ

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Propiedades

Identidad 1.A = A 0 + A = ANulo 0.A = 0 1 + A = 1

Idempotencia A.A = A A + A = A

Inverso A.A = 0 A + A = 1Conmutatividad A.B = B.A A + B = B + A

Asociatividad (A.B).C = A.(B.C) (A + B) + C = A + (B + C)Distributividad A + B.C = (A + B).(A + C) A.(B + C) = A.B + A.C

Absorcion A.(A + B) = A A + A.B = A

De Morgan (A.B) = A + B (A + B) = A.B

I No existe una forma mecanica y facil para reducir unafuncion, hay que practicar.

I De esto se deduce que no hay una unica forma de escribir unafuncion logica, surge la necesidad de las formas canonicas.

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Formas Canonicas

I La idea es, dada una tabla de verdad escribir una expresionbooleana que la represente.

I Las dos tecnicas que vamos a ver son Suma de Productos yProducto de Sumas.

I No necesariamente vamos a obtener la expresion ”Optima” (osea la que use menos operadores).

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Suma de productos

I Por cada valor de la funcion que sea 1 escribimos un terminoutilizando todas las variables unidas por operadores AND, deforma tal que el termino tambien valga 1. Luego combinamostodo con operadores OR.

I Probemos con un ejemplo sencillo:

A B F(A,B)0 0 00 1 11 0 11 1 0

F (A,B) = AB + AB

(Es el operador OR-Excusivo o XOR)

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Producto de sumas

I Por cada valor de la funcion que sea 0 escribimos un terminoutilizando todas las variables unidas por operadores OR, deforma tal que el termino tambien valga 0. Luego combinamostodo con operadores AND.

I Usando el ejemplo anterior:

A B F(A,B)0 0 00 1 11 0 11 1 0

F (A,B) = (A + B)(A + B)

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Compuertas logicas

I Una compuerta es un dispositivo electronico que produce unresultado en base a un conjunto de valores de entrada.

I Se corresponden exactamente con los operadores que vimosantes.

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Compuerta NOT

A NOT A

0 11 0

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Compuerta AND

A B A AND B

0 0 00 1 01 0 01 1 1

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Compuerta OR

A B A OR B

0 0 00 1 11 0 11 1 1

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Compuerta XOR u OR-EXCLUSIVA

A B A XOR B

0 0 00 1 11 0 11 1 0

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Compuerta NOR

A B A NOR B

0 0 10 1 01 0 01 1 0

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Compuerta NAND

A B A NAND B

0 0 10 1 11 0 11 1 0

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CEDAR Logic Simulator

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Ejercicio 1

Demostrar si la siguiente igualdad entre expresiones booleanas esverdadera o falsa:

(X + Y ) = (X .Y ).Z + X .Z + (Y + Z )

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Recordemos las propiedades







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Una solucion:

(X .Y ).Z + X .Z + (Y + Z ) ←− De Morgan

(X .Y ).Z + X .Z + Y .Z ←− Distributiva

(X .Y ).Z + (X + Y ).Z ←− De Morgan(X + Y ).Z + (X + Y ).Z ←− Distributiva(X + Y ).(Z + Z ) ←− Inverso(X + Y ).1 ←− IdentidadX + Y ←− Listo!, probamos que es igual

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Ejercicio 2Dada la siguiente tabla de verdad:

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

I Escribir una expresion booleana que la represente.

I Implementarla utilizando a lo sumo una compuerta AND, unacompuerta OR y una compuerta NOT.

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Recordemos las propiedades







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I Expresamos como una suma de productos:

(A.B.C ) + (A.B.C ) + (A.B.C )

I Como nos restringen la cantidad de compuertas tenemos quesimplificar.(A.B.C ) + (A.B.C ) + (A.B.C ) −→ Distributiva((A.B) + (A.B) + (A.B)).C −→ Distributiva((A.B) + (A + A).B).C −→ Inverso((A.B) + 1.B).C −→ Identidad((A.B) + B).C −→ Distributiva((A + B).(B + B)).C −→ Inverso((A + B),1).C −→ Identidad(A + B).C −→ Bingo!

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¿Para que nos sirvio esto?

Implementacion de la primer expresion.

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¿Para que nos sirvio esto?

Implementacion de la segunda expresion.

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Ejercicio 3

Armar un inversor de 3 bits. Este circuito invierte o no tresentradas de acuerdo al valor de una cuarta que actua comocontrol. En otras palabras, un inversor de k-bits es un circuito dek+1 entradas (e1, ..., ek , ek+1) y k salidas (s1, ..., sk) que funcionadel siguiente modo:

I Si ek+1 = 1, entonces si = not(ei ) para todo i < k + 1

I Si ek+1 = 0, entonces si = ei para todo i < k + 1

Ejemplo:inversor(0110)=011inversor(1001)=011

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Solucion: Tabla de verdad

e1 e2 e3 e4 s1 s2 s3

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 1 1 1

(Continua)

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Solucion: Tabla de verdad (Continuacion)

e1 e2 e3 e4 s1 s2 s3

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

1 1 1 1 0 0 0

¿Como quedarıan las ecuaciones?

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Ecuaciones para S1, S2 y S3

s1 = (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3e4) +(e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4)



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Primero pensar como invertir un solo bit

ei e(k+1) si0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Hay que usar (P.Q) + (P.Q) que es una XOR (⊕)P ⊕ Q = (P.Q) + (P.Q)

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Comparemos con la ecuacion de S1

(e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3e4) +(e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4) + (e1.e2.e3.e4)

e1((e2.e3.e4) + (e2.e3.e4) + (e2.e3.e4) + (e2.e3.e4)) +e1((e2.e3.e4) + (e2.e3.e4) + (e2.e3.e4) + (e2.e3.e4)

e1(((e2.e3) + (e2.e3) + (e2.e3) + (e2.e3))e4) +e1(((e2.e3) + (e2.e3) + (e2.e3) + (e2.e3))e4)

e1((e2(e3 + e3) + e2(e3 + e3))e4) +e1((e2(e3 + e3) + e2(e3 + e3))e4)

e1((e2 + e2)e4) +e1((e2 + e2)e4)

(e1.e4) + (e1.e4)

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Solucion:

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Ejercicio 4

Armar un circuito de 3 bits. Este debera mover a izquierda o aderecha los bits de entrada de acuerdo al valor de una de ellas queactua como control. En otras palabras, un shift izq-der de k-bits esun circuito de k+1 entradas (ek , ..., e0) y k salidas (sk−1, ..., s0)que funciona del siguiente modo:

I Si ek = 1, entonces si = ei−1 para todo 0 < i < k y s0 = 0

I Si ek = 0, entonces si = ei+1 para todo 0 ≤ i < k − 1 ysk−1 = 0

Ejemplo:shift lr(1,011)=110shift lr(0,011)=001shift lr(1,100)=000shift lr(1,101)=010

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Ejercicio 4Solucion:

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Ejercicio 5

Armar un sumador de un solo bit utilizando solo una compuertaAND y una compuerta XOR.

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Solucion:

X Y Cout Sum

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

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Ejercicio 6

Teniendo dos sumadores simples y solo una compuerta a eleccion,arme un sumador completo de un bit.(Recordar que un sumador completo tambien tiene entrada decarry)

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X Y Cin Sum Cout

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

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Solucion:

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Ejercicio 7

Usando sumadores completos y un tipo de compuerta a eleccionarmar un circuito que convierta un entero en su inverso aditivo (elinverso aditivo de un numero n es el numero x tal que x + n = 0).Los enteros se representan con notacion complemento a 2 de 4bits. En esta reprepresentacion el -8 no tiene inverso aditivo, nohace falta contemplar el caso aparte.

Ejemplo:inversoAd(1001)=0111inversoAd(0110)=1010

(HINT: Para los que NO HICIERON el ejercicio 24 de la practica 1, elinverso aditivo de un numero en complemento a 2 se obtiene invirtiendobit a bit y sumando 1)

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Solucion:

(Pensar como serıa la solucion usando sumadores simples.)

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Cosas que tendrıamos que haber entendido y tips

I Operadores y expresiones booleanas, reducciones utilizandopropiedades.

I Dada una tabla de verdad escribir una expresion booleana quela represente.

I Implementar las expresiones utilizando compuertas logicas.

RECOMENDACIONES Sean cuidadosos cuando dibujan circuitos:

I Que quede claro cuando un cable esta conectado a otro ycuando lo saltea (pongan un circulito en la union o una curvacuando no quieren que lo toque).

Con todo esto pueden hacer la primera parte de la practica 2.

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