Matriz Inversa

Contenido

• Matriz Inversa• Operaciones Elementales de Renglón (o Columna)• Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de Renglón• Fórmulas Recursivas para la Inversión de Matrices

Matriz Inversa

• Para toda matriz cuadrada 𝑨𝑨 cuyo determinante es diferente de cero, existe una matriz llamada inversa de A, denotada por 𝑨𝑨−𝟏𝟏 tal que:

𝑨𝑨𝑨𝑨−𝟏𝟏 = 𝑨𝑨−𝟏𝟏𝑨𝑨 = 𝑰𝑰

donde 𝑰𝑰 es la matriz identidad (matriz diagonal con 𝑎𝑎11 = 1).

Matriz Inversa

• Matriz Singular. Es aquella cuyo determinante es igual a cero • Matriz No Singular. Es aquella cuyo determinante es diferente de cero. • Una matriz singular no tiene inversa. • La matriz inversa se puede representar de la siguiente manera:

𝑨𝑨−1 =1𝑨𝑨𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑨𝑨)

donde:𝑨𝑨 es la determinante de la matriz 𝑨𝑨𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑨𝑨) es la adjunta de la matriz 𝑨𝑨

Matriz Inversa

• La Adjunta es la matriz transpuesta de los cofactores de A.• Ejemplo, usando una matriz 3 x 3:

𝑨𝑨 =𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33

⇒ 𝑨𝑨𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝐴𝐴11 𝐴𝐴12 𝐴𝐴13𝐴𝐴21 𝐴𝐴22 𝐴𝐴23𝐴𝐴31 𝐴𝐴32 𝐴𝐴33

∴ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇 =𝐴𝐴11 𝐴𝐴21 𝐴𝐴31𝐴𝐴12 𝐴𝐴22 𝐴𝐴32𝐴𝐴13 𝐴𝐴23 𝐴𝐴33

donde los cofactores se obtienen de: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = (−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖𝐴𝐴11 = 𝑎𝑎22𝑎𝑎33 − 𝑎𝑎32𝑎𝑎23; 𝐴𝐴12 = −𝑎𝑎21𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎31𝑎𝑎23; 𝐴𝐴13= 𝑎𝑎21𝑎𝑎32 − 𝑎𝑎31𝑎𝑎22;

𝐴𝐴21 = −𝑎𝑎12𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎32𝑎𝑎13; 𝐴𝐴12 = 𝑎𝑎11𝑎𝑎33 − 𝑎𝑎31𝑎𝑎13; 𝐴𝐴23= −𝑎𝑎11𝑎𝑎32 + 𝑎𝑎31𝑎𝑎12;𝐴𝐴31 = 𝑎𝑎12𝑎𝑎23 − 𝑎𝑎22𝑎𝑎13; 𝐴𝐴32 = −𝑎𝑎11𝑎𝑎23 + 𝑎𝑎21𝑎𝑎13; 𝐴𝐴33= 𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12

Matriz Inversa

• Ejemplo: Calcular la matriz inversa de 𝑨𝑨:

𝑨𝑨 =2 4 30 1 −13 5 7

Matriz Inversa

• Solución:Primero hay que determinar si la matriz es No Singular (determinante de 𝑨𝑨 diferente de cero)𝑨𝑨 = 2 1 7 − 5 −1 − 4[ 0 7 − 3 −1 + 3[ 0 5 − 3 1 ]𝑨𝑨 = 3 ≠ 0 ⇒ Non-singular

Determinar los cofactores de 𝑨𝑨: 𝐴𝐴11 = 1 7 − 5 −1 = 12; 𝐴𝐴12 = −0 7 + 3 −1 = −3; 𝐴𝐴13 = 0 5 − 3 1 = −3;𝐴𝐴21 = −4 7 + 5 3 = −13; 𝐴𝐴22 = 2 7 − 3 3 = 5; 𝐴𝐴23 = −2 5 + 3 4 = 2;𝐴𝐴31 = 4 −1 − 1 3 = −7; 𝐴𝐴32 = −2 −1 + 0 3 = 2; 𝐴𝐴13 = 2 1 − 0 4 = 2

⇒ 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =12 −3 −3−13 5 2−7 2 2

Matriz Inversa

• Determinar la Adjunta (transpuesta de los cofactores de 𝑨𝑨):

⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇 =12 −13 −7−3 5 2−3 2 2

• Entonces la Matriz Inversa es:

⇒ 𝑨𝑨−1 =1𝑨𝑨𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑨𝑨 =

13

12 −13 −7−3 5 2−3 2 2

=

4 −133

−73

−153

23

−123

23

Operaciones Elementales de Renglón (o Columna)• Matrices elementales:

a) 𝑬𝑬𝒊𝒊 𝒄𝒄 = matriz identidad con el renglón 𝒊𝒊 multiplicado por el escalar 𝒄𝒄b) 𝑬𝑬𝒊𝒊𝒊𝒊 = matriz identidad con los renglones 𝒊𝒊 y 𝒊𝒊 intercambiados c) 𝑬𝑬𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒄𝒄 = matriz identidad con el renglón 𝒊𝒊 remplazado por la suma del

renglón 𝒊𝒊 y 𝒄𝒄 veces el renglón 𝒊𝒊

Operaciones Elementales de Renglón (o Columna)• Ejemplo utilizando matrices elementales 3 x 3:

𝑬𝑬2 3 =1 0 00 3 00 0 1

; 𝑬𝑬23 =1 0 00 0 10 1 0

; 𝑬𝑬12 5 =1 5 00 1 00 0 1

Operaciones Elementales de Renglón (o Columna)• Multiplicando las matrices elementales a la matriz 𝑨𝑨 obtenemos:

a) 𝑨𝑨′ = 𝑬𝑬𝒊𝒊 𝒄𝒄 𝑨𝑨 = matriz 𝑨𝑨 con renglón 𝒊𝒊 multiplicado por el escalar 𝒄𝒄b) 𝑨𝑨′ = 𝑬𝑬𝒊𝒊𝒊𝒊𝑨𝑨 = matriz 𝑨𝑨 con renglones 𝒊𝒊 y 𝒊𝒊 intercambiadosc) 𝑨𝑨′ = 𝑬𝑬𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒄𝒄 𝑨𝑨 = matriz 𝑨𝑨 con el renglón 𝒊𝒊 remplazado por la suma del

renglón i y c veces el renglón 𝒊𝒊

Operaciones Elementales de Renglón (o Columna)• Ejemplo usando matrices 3 x 3:

𝑨𝑨 =1 3 40 2 52 3 1

𝑨𝑨′ = 𝑬𝑬2 3 𝑨𝑨 =1 3 40 6 152 3 1

; 𝑨𝑨′ = 𝑬𝑬23𝑨𝑨 =1 3 42 3 10 2 5

;

𝑨𝑨′ = 𝑬𝑬12 5 𝑨𝑨 =1 13 290 2 52 3 1

Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de Renglón• Si 𝑨𝑨 es una matriz invertible de 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏, formar la matriz de 𝒏𝒏 × (𝟐𝟐𝒏𝒏),

[𝑨𝑨|𝑰𝑰]. Después realizar operaciones elementales sobre renglones hasta que las primeras 𝒏𝒏 columnas formen un matriz reducida igual a 𝑰𝑰. Las últimas 𝒏𝒏 columnas serán

𝑨𝑨−1

• Entonces:𝑨𝑨 𝑰𝑰 → ⋯ → [𝑰𝑰|𝑨𝑨−𝟏𝟏]

• Si una matriz 𝑨𝑨 no se reduce a 𝑰𝑰, entonces no tiene inversa.

Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de Renglón• Ejemplo:

Encontrar la matriz inversa de 𝑨𝑨 usando operaciones elementales de renglón.

𝐴𝐴 =1 0 −24 −2 11 2 −10

Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de Renglón• Solución:

Fórmulas Recursivas para la Inversión de MatricesPaso 1. Normalizar el elemento 𝒊𝒊𝒊𝒊 multiplicando el renglón 𝒊𝒊 de la matriz

aumentada por el recíproco del elemento 𝒊𝒊𝒊𝒊. Si el elemento 𝒊𝒊𝒊𝒊 es cero, entonces su recíproco no está definido. En este caso, el renglón 𝒊𝒊 debe ser intercambiado por algún renglón 𝒊𝒊 el cual no tenga un elemento 𝒊𝒊𝒊𝒊 igual a cero. En la práctica, se reemplaza el renglón 𝒊𝒊 por el renglón 𝒊𝒊𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎, donde 𝒊𝒊𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒊𝒊, es el elemento de máxima magnitud en la columna 𝒊𝒊, sobre o bajo la columna principal.

𝑎𝑎𝑘𝑘𝑖𝑖𝑘𝑘 =𝑎𝑎𝑘𝑘𝑖𝑖𝑘𝑘−1

𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘−1(𝐴𝐴 = 1, … ,𝑀𝑀)

Paso 2. Hacer ceros los elementos de la columna 𝒊𝒊 de la matriz aumentada, reemplazando el renglón 𝒊𝒊 (𝒊𝒊 ≠ 𝒊𝒊) por la combinación más adecuada del renglón 𝒊𝒊 y el renglón 𝒊𝒊.

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑘𝑘−1 − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑎𝑎𝑘𝑘𝑖𝑖𝑘𝑘 (𝑀𝑀 ≠ 𝑘𝑘; 𝐴𝐴 = 1, … ,𝑀𝑀)

Fórmulas Recursivas para la Inversión de Matrices• Repetir el procedimiento anterior en la matriz aumentada de tal

forma que del lado izquierdo quede una matriz identidad. La matriz del lado derecho será la matriz inversa.

Matriz Inversa