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INDICE

INTRODUCCIN .............................................................................................................................. 2

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA .................................................................................. 3

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ ................................................................................................. 8

CONCLUSIN ................................................................................................................................ 12

RESUMEN ....................................................................................................................................... 13

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 14

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INTRODUCCIN

La gran diversidad de necesidades del ser humano, en cada uno de los mbitos

requiere emplear tcnicas y mtodos matemticos que den una solucin rpida y

exacta. Una de las herramientas que ha tenido gran aplicacin son las matrices, las

cuales nos dan una solucin ptima a un sistema de ecuaciones lineales

previamente obtenidas de un planteamiento del problema, no slo para su uso en

diferentes modelos matemticos sino tambin para diversos mtodos estadsticos.

El objeto de este trabajo es el desarrollo y estudio de un tema bsico de lgebra

lineal como es la inversa de una matriz cuadrada y traspuesta de una matriz, los

ejemplos dentro de este campo de investigacin es muy amplio sin embargo lo se

hizo un recopilacin de lo ms importante.

El objetivo principal es aprender a averiguar cundo existe la inversa y traspuesta

de una matriz dada, aprender a calcular cada una de ellas, conocer las propiedades

de cada matriz, as como mtodos importantes para poder encontrar la solucin que

amerita.

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INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Primera Definicin

Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su

diagonal principal son iguales a uno y todos los dems componentes que no estn

en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con

la letra I (la letra i mayscula).

Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si

satisface A B = I y B A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

Ejemplo para discusin:

Nota

La inversa de A se representa por A-1. As que A A-1 = A-1 A = I.

No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.

Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es nica.

Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. Entonces AB es invertible y (AB)-

1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde

I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Efectuamos

operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en

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la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha

de la lnea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.

Ejemplo (para discusin): Halla A-1 si existe para cada una de las siguientes

matrices:

Teorema:

Sea A una matriz de orden 2 x 2, definida de la forma:

. Entonces:

A es invertible si y slo si detA 0.

Si detA 0, entonces

Ejemplo (para discusin): Halla A-1 si existe para cada una de las matrices:

Ejemplo: Resuelve el sistema a continuacin con la ecuacin x = A-1b:

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Ejercicio: Resuelve el sistema a continuacin con la ecuacin x = A-1b:

Segunda Definicin

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A A-1 = A-1A = I

Se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que

con I notamos la matriz identidad de orden n.

Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso

contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es

distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las

regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de

matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre

ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresin:

Si bien, esta expresin, para matrices de ordenes elevados y valores pequeos,

lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de mtodos.

Nota: Existen otros mtodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser,

por ejemplo, mediante el mtodo de Gauss.

Ejemplo

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

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Solucin:

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de

cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

Calculemos todos los adjuntos:

, , ,

, , ,

, ,

Por lo que la inversa resulta:

Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin ms

que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio

y comprobar que el resultado es la matriz identidad. En nuestro caso:

Ejemplo

Comprobar si las siguientes matrices son singulares o regulares, y en caso de ser

regular obtener su matriz inversa:

Solucin:

1) Calculemos su determinante para ver si es regular: Det(A1) = -12

Al ser el determinante distinto de cero, afirmamos que A es regular y por lo tanto

inversible. Su inversa resulta:

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2) Calculemos el valor de su determinante: Det(A2) = 0

Al resultar el determinante de la matriz igual a cero, tenemos que la matriz es

singular por lo que no posee matriz inversa.

Observamos que al ser singular, el rango nunca podr ser completo (tres en nuestro

caso). De hecho, para esta matriz, resulta: rango(A2) = 2 pues, por ejemplo,

Propiedades de una matriz inversa

A igual que en las operaciones que hemos estudiado anteriormente, la matriz inversa posee

una serie de propiedades interesantes de conocer, que nos pueden ayudar a la hora de su

clculo.

La inversa de la matriz inversa vuelve a ser la matriz A, esto es: (A-1)-1 = A

La traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta: (At)-1 = (A-1) t

La inversa de un producto es el producto de las inversas cambiando el orden: (AB)-1 = B-

1A-1

La inversa de la potencia k-sima es la potencia k-sima de la inversa: (Ak ) -1 = (A-1) k

En una matriz A cuadrada de orden n se tiene que:

A es inversible si y solo si: det(A) 0 o lo que es lo mismo: rango(A) = n

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TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

Primera Definicin

Transpuesta . De una matriz m x n, es la matriz n x m cuyas columnas son los

renglones de A en el mismo orden.

Debemos tener en cuenta la trasposicin de un vector, que se puede expresar de la

siguiente manera;

a=

Con lo cual lo podemos trasponer de la siguiente manera:

La traspuesta de una matriz se puede expresar como la matriz de los vectores

traspuestos:

Un ejemplo de trasposicin es el siguiente:

Los vectores traspuestos quedaran de la siguiente manera:

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La matriz traspuesta seria de la siguiente manera

Estos son otros ejemplos de matrices traspuestas:

Esta operacin utilizada para determinar la traspuesta de una matriz se llama

trasposicin.

Una matriz que es igual a su traspuesta se denomina SIMETRICA. Algunas

operaciones matriciales bsicas afectan a la trasposicin:

1.

2.

3.

4.

5. si A es invertible, tambin lo es . En este caso

Segunda Definicin

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La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y

se denota por AT.

As, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m n, entonces AT = es la

matriz n m. La trasposicin de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

Matrices simtricas

Se dice que una matriz real es simtrica, si AT = A; y que es antisimtrica,

si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simtricos de A son iguales, o que AT = A.

Siendo as, A es simtrica.

Para B los elementos simtricos son opuestos entre s, de este modo B es

antisimtrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simtrica ni

antisimtrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una

matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

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Consideremos una matriz 3 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA.

Obviamente, si A es simtrica, antisimtrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal

Propiedades de una matriz traspuesta

1. (AT) T = A, la transpuesta de una transpuesta es igual a la matriz.

2. (A + B) T = AT + BT, la transpuesta de una suma, es la suma de las transpuestas.

3. (AB) T = BT AT, la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas

conmutado.

4. (rA) T = rAT, la transpuesta de un producto escalar es el producto escalar de la

transpuesta.

5. Si A = AT, la matriz se llama simtrica.

6. Si AT = A, la matriz se llama antisimtrica.

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CONCLUSIN

Mediante el uso de las matrices se resolvi un sistema de ecuaciones lineales,

adems se encontr la importancia que tienen en la resolucin de problemas de la

vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solucin exacta para dar mejores

resultados en un determinado proceso.

En las operaciones resueltas se llega a la conclusin que se puede trabajar sobre

la matriz a obtener el determinante para que la resolucin sea mucho ms rpida y

haciendo que el resultado de la misma no sea alterado de ninguna manera, esto

lleva a un enfoque ms amplio para resolver estos tipos de problemas de matrices

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RESUMEN

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BIBLIOGRAFIA

ESCRITA

Computarizado Digital http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/La%20Inversa%20de%20una%20Matriz%20Cuadrada.htm http://eco-mat.ccee.uma.es/Libro/MATRICES/Matrices4.htm http://www.sectormatematica.cl/contenidos/mattras.htm http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Transpuesta_de_una_matriz