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Matriz traspuesta"se llama matriz traspuesta ( PT ) otra matriz obtenida mediante la trasposición de

los papeles entre las filas y las columnas de determinada matriz original (P )"."Las matrices compuestas por una sola fila o una sola columna, reciben el nombre

de vector fila o vector columna". "Un vector traspuesto puede obtenerse mediantela multiplicación de los vectores columna de la matriz original (P), o de los vectores

fila de la matriz original, por un vector fila o columna (U) compuesto de "unos""

(Calafell, 1!1)..n consecuencia, conocida la matriz P, podemos convertirlo en un vector fila

mediante#

esto es, el vector n$mero total PT de unidades realmente entregadas se obtiene

seg$n#

Por lo tanto, el valor de las ventas en dinero de las unidades vendidas esta dado

seg$n#

lo cual es susceptible de sumar, para conocer el valor total de los ingresos por 

ventas#%&'1.. *'!.. +.11. 1&..- / 1.*+.+1.

• c) Para conocer el valor de la nomina por las ventas del trimestre por 

categor0as de cargos, simplemente triplicamos el valor de la nomina total mensual.n primer lugar, sumamos las nóminas mensuales por ciudades, as0#

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Cantidad escalar  2ora, recordamos 3ue "en la aritm4tica matricial, un numero simple o constante

recibe el nombre de "escalar"."El producto de un escalar por una matriz es similar al producto de una matriz 

cuadrada (a la izquierda) cuyo número de columnas es igual al número de filas de

la matriz (a la derecha) y en la que todos sus elementos son cero excepto los de

la diagonal principal en la que todos los elementos son iguales al escalar ". 5i "2"

es un escalar 6 H es una matriz, el producto 2.H es otra matriz dada seg$n 2.%2i7-.n estas condiciones, tenemos 3ue el valor en dinero de la nómina del trimestre

es#

 3u0, para efectos de comparación con los otros rubros, se 2ace necesario

convertir la matriz 8 en un vector fila mediante la e9presión#

:e la 3ue resulta el vector gasto total Gt correspondiente a la nómina de ventas#

lo cual es susceptible de sumar para conocer el valor total nacional de la nomina

de ventas.% &.. 1.. 11.. - / &''..

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• d) Para conocer el costo de producción  de las unidades vendidas,

tendremos 3ue establecer el vector columna :o(19*) de cuatro componentes para

representar el total de los costos directos operacionales de cada departamento

operativo 6, similarmente, el vector columna ;s(19&) de tres componentes para

representar el total de los costos indirectos de los departamentos de servicio.La comple7idad de la situación surge del 2ec2o de tener 3ue 2acer un prorrateo

primario de los costos indirectos entre los departamentos operativos 6 de servicios

antes de poder  conocer los vectores :o e ;s, lo cual se muestra en el siguiente

cuadro.

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<bs4rvese 3ue para poder formar matrices de tres columnas, como tres son los

departamentos de servicio (calderas, mantenimiento 6 calidad), 2emos tenido 3ue

integrar las pare7as de columnas al3uiler de ma3uinaria=energ0a 6 lubricante=

depreciación, como si en cada caso se tratase una sola clase de costo. >ambi4n,

debe resaltarse 3ue ba7o el m4todo  del prorrateo secundario, en una etapa

subsiguiente, la sumatoria (2orizontal) de los costos pertenecientes a cada

departamento de servicio, tendr0a 3ue 2aber sido distribuida entre los

departamentos operativos. Por lo tanto, al proseguir ba7o el m4todo de la partición

basada en una consideración vertical de las clases de costos en procura de

construir una matriz ?9&, se estar0a denotando una transposición de las clases de

costo pertenecientes a los departamentos de servicio.Partición matricialUna partición es una de las partes resultante al dividir una matriz en submatrices

mediante el trazado de l0neas 2orizontales o verticales entre las filas o columnas

(@ronson, 11). <bviamente es posible partir una matriz de muc2as formas

diferentes seg$n los lugares escogidos para trazar las l0neas separadoras. n el

siguiente e7emplo, la matriz ? 2a sido partida entre las matrices *9& 6 A&9&

El artificio de la partición es de gran ayuda en el tratamiento de matrices muy 

grandes. En primer lugar al tener que multiplicar las matrices x! podemos

 partirlas en submatrices C  D E  F  G  H  J  K  que se comportan como si ellos

fuesen los elementos mismos. Por e7emplo#

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En segundo lugar si y ! ocupan demasiadas posiciones de memoria por ser 

demasiado grandes mientras que desde # hasta $ quiz%s no lo sean entonces se

localizan # y & en las memorias externas y se realiza el primer producto el cual se

almacena nue'amente en memoria externa seguidamente y * son localizadas y 

se efectúa su producto. +uego se localiza el producto #& y se suma con * y el 

resultado que es la primera partición de ! se 'uel'e a almacenar en la memoria

externa y el proceso continúa hasta su terminación.

esto es# "El costo de producción de los productos realmente entregados

corresponde a la suma de los costos directos () y los costos indirectos aplicados

singularmente a cada uno de los departamentos operati'os" 6 tambi4n, de 3ue# "+os costos indirectos aplicados a los departamentos

operati'os son el resultado de una asignación de los costos absorbidos del 

 presupuesto  (*) de costos indirectos desde los distintos departamentos de

ser'icio".

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o sea, en palabras# "los costos indirectos equi'alen a una cualquiera de las clases

de costo m%s el resto compuesto del producto de la fracción restante ( 9s ) por la

totalidad de dichos costos indirectos aplicados ( Bs)".lo 3ue tambi4n puede escribirse como#

lo cual significa 3ue la diferencia entre la matriz identidad 6 la matriz transpuesta

e3uivale a la fracción de una cual3uiera clase de costo indirecto respecto del total,

o tambi4n al cociente entre las fracciones de una cual3uiera clase de costo

asignado a uno cual3uiera de los departamentos operativos 6 la correspondiente

del costo asignado a uno cual3uiera de los departamentos operativos

perteneciente a departamentos de servicio, ambas respecto a los costos indirectos

totales asignados. (<bs4rvese 3ue la asignación fraccional 2orizontal "9s" de

costos asignados pertenecientes a los departamentos de servicio corresponde a

una asignación vertical traspuesta "6>" de las correspondientes clases de costo).l escalar unidad e9presado en forma de matriz tambi4n recibe el nombre de

matriz ;dentidad. Por lo tanto, en n$meros, podemos escribir#

Matriz inversa5in embargo, ms bien nos interesa la e9presión de la matriz inversa#

n t4rminos aritm4ticos el inverso de una fracción propia significa# el tamaDo de la

unidad ob7eto de anlisis. >ambi4n, suele interpretase como el n$mero de veces

3ue el denominador del denominador contiene al numerador del denominador.n algebra de matrices# "+a matriz I  llamada matriz identidad es una matriz 

cuadrada que tiene números uno ocupando cada posición sobre la diagonal 

 principal (de arriba hacia aba,o) y al cero en todas las otras posiciones".

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"-na matriz cuadrada tiene una matriz in'ersa si y solo si su reducción a la forma

de "fila reducida" mediante operaciones elementales de sus filas conduce a una

matriz que tenga unos en todos los elementos de su matriz principal " (@ronson,

11).

Las matrices reducidas a la forma de fila reducida, son indispensables para lasolución de ecuaciones  lineales simultaneas 6 tambi4n para elaborar algoritmos

eficientes utilizados en la e7ecución de todas las operaciones con matrices."+a reducción de una matriz cuadrada a la forma de fila reducida consiste en

adicionar a una fila de la matriz otra fila de la misma matriz multiplicada por un

escalar hasta que todos los elementos por deba,o de la diagonal principal sean

cero y despus comenzando con la última columna y desplaz%ndose

secuencialmente hacia la primera columna obteniendo ceros en todas las

 posiciones por encima de la diagonal de los elementos unitarios"."Una matriz reducida a la forma de fila reducida debe satisfacer las siguientes

cuatro condiciones#• >odas las filas "cero" aparecen por deba7o de las filas "distintas de cero"

cuanto ambos tipos 2acen parte de la matriz• l primer elemento distinto de cero en cual3uier fila distinta de cero es la

unidad• l primer elemento distinto de cero perteneciente a una fila distinta de cero,

situado directamente por deba7o (es decir, en la misma columna pero a partir de

filas sucesivas) es cero• l primer elemento distinto de cero perteneciente a una fila distinta de cero

aparece en una columna posterior a la derec2a del primer elemento distinto de

cero de cual3uier fila precedente.ntonces, para invertir la matriz (1=6>), nos valemos del siguiente procedimiento#

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• Construimos una matriz aumentada, anotando una matriz identidad en

partición 2orizontal al lado derec2o de la matriz original

• 5umamos a la segunda fila la primera multiplicada por (,1)

• 5umamos a la tercera fila la primera multiplicada por (,1)

• :ividimos la segunda fila por (,!+)

• 5umamos a la primera fila la segunda multiplicada por (,1+)

• 5umamos a la tercera fila la segunda multiplicada por (,1'+)

• :ividimos la tercera fila por (,&)

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Easta a3u0, la matriz original 2a ad3uirido la forma de fila reducida, por lo tantosabemos 3ue se trata de una matriz inversible, pues presenta una diagonal

principal de solos unos como elementos. Continuando entonces con el proceso de

inversión, tendremos#• 5umamos a la segunda fila la tercera multiplicada por (,&1!)

• 5umamos a la primera fila la tercera multiplicada por (,1!)

Por lo tanto, la matriz invertida es#

 2ora, para obtener la distribución de cada clase de costo en la formación del

costo departamental, nos valemos del producto#

3ue en n$meros esto es#

:e tal modo 3ue la contribución monetaria de cada clase de costo a la

acumulación del costo departamental estar dado seg$n#

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esto es#

n ocasiones, se 2ace necesario introducir factores de corrección o a7ustes para

compensar los efectos de las apro9imaciones en traba7o  con operaciones

fraccionarias. ?inalmente, el costo total de producción vendr dado por la suma de

los costos :irectos ms los Costos ;ndirectos departamentales, esto es#

a3u0, para efectos de comparación con los otros rubros, se 2ace necesario

convertir la matriz F en un vector fila mediante la e9presión#

lo cual es susceptible de sumar para conocer el valor del costo de producción

total#% 1'..'1 '1.+*.** 1!.&!.& 1.1.+' - / !*.'.

 2ora, siguiendo como ven0amos#• e) Para conocer el valor de las Utilidades, primero 2allamos la Utilidad @ruta

6 posteriormente la Utilidad <peracional, as0GumlH#U>;L;:: @IU> ;B8I5<5 = C<5>< : PI<:UCC;<B

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U>;L;:: @IU> = 85><5  <PIC;<BL5 U>;L;:: B>5 :

;FPU5><5+'*.1. = &''.. / 1!.1.