Matriz Inversa
Contenido
β’ Matriz Inversaβ’ Operaciones Elementales de RenglΓ³n (o Columna)β’ Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de RenglΓ³nβ’ FΓ³rmulas Recursivas para la InversiΓ³n de Matrices
Matriz Inversa
β’ Para toda matriz cuadrada π¨π¨ cuyo determinante es diferente de cero, existe una matriz llamada inversa de A, denotada por π¨π¨βππ tal que:
π¨π¨π¨π¨βππ = π¨π¨βπππ¨π¨ = π°π°
donde π°π° es la matriz identidad (matriz diagonal con ππ11 = 1).
Matriz Inversa
β’ Matriz Singular. Es aquella cuyo determinante es igual a cero β’ Matriz No Singular. Es aquella cuyo determinante es diferente de cero. β’ Una matriz singular no tiene inversa. β’ La matriz inversa se puede representar de la siguiente manera:
π¨π¨β1 =1π¨π¨π΄π΄π΄π΄π΄π΄(π¨π¨)
donde:π¨π¨ es la determinante de la matriz π¨π¨π΄π΄π΄π΄π΄π΄(π¨π¨) es la adjunta de la matriz π¨π¨
Matriz Inversa
β’ La Adjunta es la matriz transpuesta de los cofactores de A.β’ Ejemplo, usando una matriz 3 x 3:
π¨π¨ =ππ11 ππ12 ππ13ππ21 ππ22 ππ23ππ31 ππ32 ππ33
β π¨π¨ππππππππππππππππππ =π΄π΄11 π΄π΄12 π΄π΄13π΄π΄21 π΄π΄22 π΄π΄23π΄π΄31 π΄π΄32 π΄π΄33
β΄ π΄π΄π΄π΄π΄π΄ π¨π¨ = π¨π¨ππππππππ =π΄π΄11 π΄π΄21 π΄π΄31π΄π΄12 π΄π΄22 π΄π΄32π΄π΄13 π΄π΄23 π΄π΄33
donde los cofactores se obtienen de: ππππππππππ = (β1)ππ+πππππππππππππππππ΄π΄11 = ππ22ππ33 β ππ32ππ23; π΄π΄12 = βππ21ππ33 + ππ31ππ23; π΄π΄13= ππ21ππ32 β ππ31ππ22;
π΄π΄21 = βππ12ππ33 + ππ32ππ13; π΄π΄12 = ππ11ππ33 β ππ31ππ13; π΄π΄23= βππ11ππ32 + ππ31ππ12;π΄π΄31 = ππ12ππ23 β ππ22ππ13; π΄π΄32 = βππ11ππ23 + ππ21ππ13; π΄π΄33= ππ11ππ22 β ππ21ππ12
Matriz Inversa
β’ Ejemplo: Calcular la matriz inversa de π¨π¨:
π¨π¨ =2 4 30 1 β13 5 7
Matriz Inversa
β’ SoluciΓ³n:Primero hay que determinar si la matriz es No Singular (determinante de π¨π¨ diferente de cero)π¨π¨ = 2 1 7 β 5 β1 β 4[ 0 7 β 3 β1 + 3[ 0 5 β 3 1 ]π¨π¨ = 3 β 0 β Non-singular
Determinar los cofactores de π¨π¨: π΄π΄11 = 1 7 β 5 β1 = 12; π΄π΄12 = β0 7 + 3 β1 = β3; π΄π΄13 = 0 5 β 3 1 = β3;π΄π΄21 = β4 7 + 5 3 = β13; π΄π΄22 = 2 7 β 3 3 = 5; π΄π΄23 = β2 5 + 3 4 = 2;π΄π΄31 = 4 β1 β 1 3 = β7; π΄π΄32 = β2 β1 + 0 3 = 2; π΄π΄13 = 2 1 β 0 4 = 2
β π΄π΄ππππππ =12 β3 β3β13 5 2β7 2 2
Matriz Inversa
β’ Determinar la Adjunta (transpuesta de los cofactores de π¨π¨):
β π΄π΄π΄π΄π΄π΄ π¨π¨ = π¨π¨ππππππππ =12 β13 β7β3 5 2β3 2 2
β’ Entonces la Matriz Inversa es:
β π¨π¨β1 =1π¨π¨π΄π΄π΄π΄π΄π΄ π¨π¨ =
13
12 β13 β7β3 5 2β3 2 2
=
4 β133
β73
β153
23
β123
23
Operaciones Elementales de RenglΓ³n (o Columna)β’ Matrices elementales:
a) π¬π¬ππ ππ = matriz identidad con el renglΓ³n ππ multiplicado por el escalar ππb) π¬π¬ππππ = matriz identidad con los renglones ππ y ππ intercambiados c) π¬π¬ππππ ππ = matriz identidad con el renglΓ³n ππ remplazado por la suma del
renglΓ³n ππ y ππ veces el renglΓ³n ππ
Operaciones Elementales de RenglΓ³n (o Columna)β’ Ejemplo utilizando matrices elementales 3 x 3:
π¬π¬2 3 =1 0 00 3 00 0 1
; π¬π¬23 =1 0 00 0 10 1 0
; π¬π¬12 5 =1 5 00 1 00 0 1
Operaciones Elementales de RenglΓ³n (o Columna)β’ Multiplicando las matrices elementales a la matriz π¨π¨ obtenemos:
a) π¨π¨β² = π¬π¬ππ ππ π¨π¨ = matriz π¨π¨ con renglΓ³n ππ multiplicado por el escalar ππb) π¨π¨β² = π¬π¬πππππ¨π¨ = matriz π¨π¨ con renglones ππ y ππ intercambiadosc) π¨π¨β² = π¬π¬ππππ ππ π¨π¨ = matriz π¨π¨ con el renglΓ³n ππ remplazado por la suma del
renglΓ³n i y c veces el renglΓ³n ππ
Operaciones Elementales de RenglΓ³n (o Columna)β’ Ejemplo usando matrices 3 x 3:
π¨π¨ =1 3 40 2 52 3 1
π¨π¨β² = π¬π¬2 3 π¨π¨ =1 3 40 6 152 3 1
; π¨π¨β² = π¬π¬23π¨π¨ =1 3 42 3 10 2 5
;
π¨π¨β² = π¬π¬12 5 π¨π¨ =1 13 290 2 52 3 1
Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de RenglΓ³nβ’ Si π¨π¨ es una matriz invertible de ππ Γ ππ, formar la matriz de ππ Γ (ππππ),
[π¨π¨|π°π°]. DespuΓ©s realizar operaciones elementales sobre renglones hasta que las primeras ππ columnas formen un matriz reducida igual a π°π°. Las ΓΊltimas ππ columnas serΓ‘n
π¨π¨β1
β’ Entonces:π¨π¨ π°π° β β― β [π°π°|π¨π¨βππ]
β’ Si una matriz π¨π¨ no se reduce a π°π°, entonces no tiene inversa.
Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de RenglΓ³nβ’ Ejemplo:
Encontrar la matriz inversa de π¨π¨ usando operaciones elementales de renglΓ³n.
π΄π΄ =1 0 β24 β2 11 2 β10
Matriz Inversa a partir de Operaciones Elementales de RenglΓ³nβ’ SoluciΓ³n:
FΓ³rmulas Recursivas para la InversiΓ³n de MatricesPaso 1. Normalizar el elemento ππππ multiplicando el renglΓ³n ππ de la matriz
aumentada por el recΓproco del elemento ππππ. Si el elemento ππππ es cero, entonces su recΓproco no estΓ‘ definido. En este caso, el renglΓ³n ππ debe ser intercambiado por algΓΊn renglΓ³n ππ el cual no tenga un elemento ππππ igual a cero. En la prΓ‘ctica, se reemplaza el renglΓ³n ππ por el renglΓ³n ππππππππ, donde ππππππππππ, es el elemento de mΓ‘xima magnitud en la columna ππ, sobre o bajo la columna principal.
ππππππππ =ππππππππβ1
ππππππππβ1(π΄π΄ = 1, β¦ ,ππ)
Paso 2. Hacer ceros los elementos de la columna ππ de la matriz aumentada, reemplazando el renglΓ³n ππ (ππ β ππ) por la combinaciΓ³n mΓ‘s adecuada del renglΓ³n ππ y el renglΓ³n ππ.
ππππππππ = ππππππππβ1 β ππππππππβ1ππππππππ (ππ β ππ; π΄π΄ = 1, β¦ ,ππ)
FΓ³rmulas Recursivas para la InversiΓ³n de Matricesβ’ Repetir el procedimiento anterior en la matriz aumentada de tal
forma que del lado izquierdo quede una matriz identidad. La matriz del lado derecho serΓ‘ la matriz inversa.
Matriz Inversa