algebra matriz inversa
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TEMAS
*Método de Gauss Jordan*Matriz Transpuesta*Matriz Simétrica*Matriz Inversa
Gauss Johann Carl Friedrich* Johann Carl Friedrich Gauss . (30 de abril de 1777,
Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Sustento del Método*El método de Gauss Jordan esta sustentado en las siguientes operaciones entre renglones.*Fila(Renglón ) por un escalar
Donde β es un escalar (Numero real).*Suma entre Filas (Renglones)
1 2 3 1 2 3*( , , ) , ,a a a a a a
1
1 2 3
1
2 3
1 2 31 1
, ,, ,
, ,
a a a
ab b ba ab b b
Matriz aumentada*Teniendo como base un sistema de ecuaciones 3x3 de la forma:
Se construye la matriz aumentada como sigue:
11 12 13
21 22 23
31 32 3
1 2 3
1 2 3
1
2
31 332
* * ** * ** * *
a a aa a a
x x xx x xx x xa a
b
bab
CoeficientesVariablesresultados
11 12 13
21 22 23
31
1
2
33 332
a a aa a aa a
bbba
Resultado esperado*A partir de la aplicación de operaciones entre Filas, el método de eliminación de Gauss Jordán busca la transformación de la matriz aumentada a la forma:
Donde X1=R1; X2=R2; y X3=R3
1
2
3
111
0 00 00 0
RRR
Diagonal Principal con unosFuera de la diagonal principal con cerosResultados para cada variable Xn
Pasos para aplicar el Método*Para la consecución del resultado esperado el método de
Gauss Jordan plantea los siguientes pasos para su aplicación.*Primero debemos hacer garantizar el primer uno como valor para el
coeficiente a11.
*Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los valores de los elementos restantes de la primera columna (a21, a31). *Después debemos transformar el valor del coeficiente a22 a el valor
de 1 .*Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los
valores de los elementos restantes de la segunda columna (a12, a32).
El proceso se repite para los demás términos de la matriz hasta obtener la matriz deseada.
Ejemplo de Aplicación*Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 , empleando el método de eliminación de Gauss Jordan:
Primero construimos la matriz aumentada como sigue:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
* * ** * *2 4 64 5 63 1 2
182
* * *44
x x xx x xx x x
CoeficientesVariablesresultados
18244
2 4 64 5 63 1 2
Ejemplo de Aplicación*Para garantizar el primer uno para el coeficiente a11 multiplicamos la primera fila por 1/2.
11*2
2 18 924 2
4 6 1 2 344 5 6 4 5 6
3 1 2 3 1 24 4
F
En esta operación se ve afectada la fila uno F1, las demás permanecen sin
modificación.
Ejemplo de Aplicación*Ahora debemos transformar en ceros los
coeficientes restantes de la columna a21, a31 , para tal efecto operamos la fila 1 (F1) por -4 y sumamos el resultado a la fila 2 (F2). De manera similar operamos la fila 1 (F1) por -3 y sumamos el resultado a la fila 3 (F3).
1 2
31
4*3*
1 2 3 1 2 34 5 6 0 3 63 1 2 0 5 11
9 924 124 23
FF
FF
En esta operación se ven afectada la fila
dos F2 y la fila 3 F3, la fila 1 F1 permanece sin modificación.
Ejemplo de Aplicación*Con base en lo expuesto anteriormente seguimos operando la matriz obtenemos el uno en la posición a22.
21*3
1 2 3 1 2 30 3 6 0 1 20 5 11 0 5 1
9 912 423 1 23
F
Ejemplo de Aplicación*Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 2.
1
3
2
2
2*5*
1 2 3 1 0 10 1 2 0 1 2
9 14
0 5 11 0 0 14
23 3
FF
FF
Ejemplo de Aplicación*Transformamos a uno el valor de la posición a33
31*
1 11 0 1 1 0 10 1 2 0 1 20 0 1 0 0 1
4 43 3
F
Ejemplo de Aplicación*Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 3.
*De esta manera tenemos la solución del sistema como sigue:
1
3 2
31*2*
1 0 1 1 0 00 1 2 0 1 00 0 1 0 0 31
1 44 23
FFFF
X1=4; X2=-2; y X3=3
Lección #2*Calcular el determinante de:
*Forme matrices triangulares superiores y calcule los determinantes de:
Lección #2*Forme matrices triangulares superiores y calcule los determinantes de:
MATRIZ TRANSPUESTASea una matriz A=(aij) una matriz de mxn . Entonces su matriz
transpuesta será At=(aji) es de nxm y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz AT y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz At.
32321112
A
23312112
tA
MATRIZ SIMÉTRICAUna matriz Anxn es simétrica si y sólo si At = A. Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que aij = aji .
1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.
MATRIZ INVERSASea A una matriz de nxn . Si existe una matriz Anxn
-1 tal que AA-1 = A-1 A = I, se dice que A es inversible. En este caso la matriz Anxn
-1 se llama la matriz inversa de A.Si A-1 existe entonces A es una matriz no singular, pero si
A-1 no existe entonces A es una matriz singular.TEOREMAA-1 Existe si y sólo si Para calcular matrices inversas, usaremos la siguiente formula:
0A
MATRIZ INVERSA*Ejercicio # 1
MATRIZ INVERSAEJERCICIO # 2
PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
TALLER # 31
2
TALLER # 33
4
TALLER # 41
72352332
yxyxyx
Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan2
16356223532
zyxzyxzyx
TALLER# 3
1