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Algebra Lineal Aplicada

MATLAB Demos (Yousef Saad)

Julio César Sánchez Ríos 98.762.199Universidad Nacional

30 de Mayo 2018

IntroduccionPrecondicionamiento

Resolucion De Sistemas LinealesEjemplos

Contenido

1 Introduccion

2 PrecondicionamientoDefinicionSistemas de ecuaciones linealesPrecondicionadores

3 Resolucion De Sistemas Linealessistemas linealesMatrices dispersas

4 EjemplosEjemplos (MATLAB)

Julio César Sánchez Ríos 98.762.199 Universidad Nacional MATLAB Demos (Yousef Saad)



Introduccion

Se presentan los conceptos de precondicionamiento dematrices para la resolucion de sistemas lineales, usandomatlab demos. Pero primero se debe entender que es elprecondicionamiento de un sistema lineal y cuales son susventajas.De igual manera entender que es una matriz dispersatodo esto enfocado a la resolucion de sistemas lineales loscuales son de gran importancia en el mundo actual.




DefinicionSistemas de ecuaciones linealesPrecondicionadores

Contenido

1 Introduccion








PrecondicionamientoEs simplemente la manera de transformar el sistemalineal original en otro de tal manera que tenga lamisma solucion, pero esta sea mas facil de hallar. elprimer paso en precondicionamiento es encontraruna matriz precondicionada, esta matriz se puededefinir de muchas maneras pero debe cumplirciertas condiciones: debe ser similar a al matriz delsistema original y debe ser una matriz no singular.





Definicion

DefinicionSea Ax = b un sistema lineal al cual vamos aprecondicionar, ahora al tener disponible una matizP que cumple con no ser singular, el sistema linealoriginal lo podemos modificar de dos maneras:





Definicion

DefiniciónAplicando el precondicionador por la izquierdaP−1Ax = P−1b o precondicionando por la derechaAM−1u = b, donde x ≡M−1u





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1 Introduccion








Sistemas de ecuaciones lineales

DefiniciónConsideremos un sistema de necuaciones lineales con n incognitasAx = b con A ∈ Rnxn inversible





Sistemas mal y bien condicionados

Definiciónun sistema de ecuaciones linealesAx = b esta mal condicionado si alperturbar minimamente A o b, la soluciondel sistema se ve gravemente alterada(ejemplo)





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Precondicionadores

DefinicionUn precondicionador de una matriz A es otra matriz M tal queMA tiene un número de condición menor

K(MA) ≤ K(A)

En los métodos iterativos estacionarios (ej. Gauss-Seidel) y losmás generales métodos del subespacio de Krylov (ej. gradienteconjugado), el precondicionador, al reducir el número decondición, buscar reducir el número de pasos necesarios paraconverger a la solución de un sistema lineal de ecuaciones.





DefinicionEn vez de resolver el problema Ax− b = 0, seresuelve el problema

M(Ax− b) = 0.

En otras palabras, un precondicionador ideal seríauna matriz M tal que MA ≈ 1, es decir M ≈ A−1.





iluFactorizacion incompleta iLU : se considera el sistemalineal Ax = b donde A es una matriz dispersa, el cual sepuede resolver factorizando A = LU , donde L y U sonmatrices triangular inferior y triangular superiorrespectivamente, luego se soluciona Ly = b y Ux = y, locual es facil ya que ambas son matrices triangulares. perotratar de solucionar de manera directa puede resultar sermenos eficiente por esto se usa una factorizacionincompleta que busca matrices triagulares L,U A ≈ LU deigual manera se soluciona LUx = b pero la solucion noseria la misma que la de Ax = b asi que usamos M = LUcomo precondicionador en otro metodo iterativo ya sea elmetodo de gradiente conjugado o GMRES.




sistemas linealesMatrices dispersas

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sistemas lineales

DefiniciónEn general, los metodos de resolucion de sistemas lineales sepueden separar en dos grandes grupos: directos e iterativos Lometodos directos se valen de la manipulacion algebraica de lasecuaciones para calcular eventualmente el valor de cadacomponente de la incognita x en un paso. La factorizacion LUes un ejemplo de esta categoria. Por otro lado, los metodositerativos toman una estimacion de la solucion y la mejoran a lolargo de una serie de iteraciones, hasta que se considera queuna aproximacion es suficientemente buena. Cada grupo tienesus propias ventajas y desventajas, y la eleccion de un metodode uno u otro depende en gran medida de las caracteristicasdel problema y de la matriz.





Contenido

1 Introduccion








Dispersas

DefinicionEs aquella que está compuesta por muchoselementos de valor = 0 de tal forma que los que sondistintos de 0 se encuentran muy dispersos en lamatriz y sin relación entre sí

.





Tipos de matrices dispersas

ESTRUCTURADA: Los elementos que no son ceroforman un patron regular.NO ESTRUCTURADA: Los elementos no cero sedistribuyen de forma irregular.

.




Ejemplos (MATLAB)

Contenido

1 Introduccion







Ejemplos (MATLAB)

DefiniciónObtenemos una matriz asociada a un problema de poissonprimero comparamos la velocidad de convergencia de variosmetodos iterativosluego usamos los demos de matlab, mas precisamenteprecond DemoILU




Ejemplos (MATLAB)

Referencia Bibliografica

-Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems. Y. Saad,segunda edición, 2000.-Algebra Lineal y sus Aplicaciones 3ra Edición David C. Lay-M. Benzi. Preconditioning Techniques for Large LinearSystems: A Survey. Journal of Computational Physics 182,pp418?477. Elsevier Science, 2002.


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