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WIKI-DEMOS-COMPUTA

ContenidosArtculos

Teora de la demostracin 1Teora de modelos 3Demostracin 6Teora de la computabilidad 6Teora de conjuntos 10Semntica 12Axioma 13Regla de inferencia 16Lgica matemtica 17Demostracin matemtica 23Fundamentos de la matemtica 34Entscheidungsproblem 47Lenguaje formal 48Teoremas de incompletitud de Gdel 51Gerhard Gentzen 60Contrarrecproco 61Demostracin invlida 63Demostracin por casos 66Descenso infinito 67Induccin fuerte 68Induccin matemtica 69Lgica combinatoria 71Ordinal de Feferman-Schtte 78Problema indecidible 79Prueba por contradiccin 79Teorema de existencia 83ACL2 84Clculo de Construcciones 85Coq 85Demostracin automtica de teoremas 86Demostracin interactiva de teoremas 90Isabelle 91LCF 92PhoX 93

Probador de teoremas lgicos 93Resolucin (lgica) 93Mquina de Turing 95Teora de la complejidad computacional 107Teora de la computacin 113Problema de decisin 116Algoritmo 117Emil Leon Post 124Alan Turing 125Alonzo Church 133Kurt Gdel 134Stephen Kleene 141Problemas de Hilbert 142Sistema formal 148Recursin 152Consistencia (lgica) 155Completitud 156Problema de la parada 156Nmero computable 160Constante de Chaitin 163Tesis de Church-Turing 164Lgica de primer orden 167Arquitectura de von Neumann 177Autmata finito 182Gramtica formal 191Mquina de Post 196Clculo lambda 196Funcin recursiva 206Lenguaje de programacin 207Turmite 216Turing completo 217Computacin cuntica 218John Conway 225Juego de la vida 226Mquina de Turing probabilstica 231Autmata celular 232Ajedrez por computadora 236Cadena de Ehrenfest 249

Cadena de Mrkov 250Competicin de factorizacin RSA 256Conjunto recursivamente enumerable 258Conjunto recursivo 258Funcin computable 259Funcin de Ackermann 261Numeracin de Gdel 267Problema computacional 269Recursin primitiva 271Reduccin de conjuntos 273Algoritmo de aproximacin 273Algoritmo de Christofides 275Complejidad 276Cota ajustada asinttica 282Cota inferior asinttica 283Cota superior asinttica 284Crecimiento exponencial 286Eficiencia Algortmica 290El nio y el Lenguaje LOGO 296Funcin de espacio constructivo 297Funcin lineartmica 297LogoWriter 298Notacin de Landau 298Transformacin polinmica 300Test de primalidad 300Criba de Atkin 309Criba de Sundaram 313Divisin por tentativa 315Criba de Eratstenes 316Teorema de Proth 318Teorema de Wilson 319Test de Lucas 323Test de Lucas-Lehmer 324Test de Pocklington 325Test de primalidad AKS 326Test de primalidad de Fermat 329Test de primalidad de Miller-Rabin 330Test de Ppin 331

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo 332Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 337

Licencias de artculosLicencia 340

Teora de la demostracin 1

Teora de la demostracinLa teora de la demostracin o teora de la prueba es una rama de la lgica matemtica que trata a lasdemostraciones como objetos matemticos, facilitando su anlisis mediante tcnicas matemticas. Lasdemostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdocon los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lgicos. En este sentido, la teora de la demostracin se ocupade la sintaxis, en contraste con la teora de modelos, que trata con la semntica. Junto con la teora de modelos, lateora de conjuntos axiomtica y la teora de la recursin, la teora de la demostracin es uno de los "cuatro pilares"de los fundamentos de las matemticas[citarequerida].

Demostraciones formales e informalesDentro de la teora de la demostracin es muy importante distinguir entre las demostraciones informalesencontradas en la prctica cotidiana de los matemticos y en los libros comunes sobre matemticas, de lasdemostraciones puramente formales de la teora de la demostracin formal. Las primeras tienen el objetivo demostrar rigurosamente un resultado matemtico de manera clara, pero al mismo tiempo intuitiva e inteligible, lassegundas de estas demostraciones son como una especie de de esquemas de alto-nivel escritos en lenguaje formal,que en principio, pueden permitir a un experto o un lgico construir una demostracin puramente formal del mismoresultado, dado el suficiente tiempo y paciencia. Para la mayora de matemticos, escribir una demostracincompletamente formal es demasiado pedante y un gasto de tiempo innecesario como para ser prctica comn.Las demostraciones formales pueden ser construidas con ayuda de ordenadores mediante mtodos de demostracinde teoremas interactivos u otras tcnicas. Es significativo, que estas demostraciones puramente formales basadas enla manipulacin de signos puden ser verificadas automticamente, tambin por ordenador. Verificar unademostracin puramente formal es simple, mientras que encontrar demostraciones es generalmente mucho msdifcil. Una demostracin informal en en artculo matemtico, por el contrario, requiere semanas de revisin porpares para ser verificada, y frecuentemente puede contener errores que pasen inadvertidos incluso para matemticosprofesionales en temas de investigacin suficientemente complejos.La teora de la demostracin formal se ocupa de las propiedades de los sistemas deductivos, su complejidad, el poderexpresivo de dichos sistemas y est ntimamente conectada a la lgica matemtica, la teora de modelos y lafundamentacin de las matemticas. Por el contrario el desarrollo de demostraciones informales es un terrenoaltamente creativo y si bien existen familias enteras de esquemas de demostracin en diferentes reas, son unejercicio bsicamente humano en el que no existen algoritmos generales para construir demostraciones.

Historia de la teora de la demostracin formal

OrgenesLa teora de la demostracin formal comenz con la crisis sobre los fundamentos de las matemticas de las primerasdcadas del siglo XX. A principios de ese siglo, y como reaccin a la explosin del conocimiento matemtico,comenzaron esfuerzos para proporcionar al creciente cuerpo de conocimientos un fundamento formal firme. Si bienen las aplicaciones de las matemticas esta fundamentacin no era importante, en otras reas de la matemtica comola filosofa de la matemtica se estaba haciendo necesaria una clarificacin de los conceptos fundamentales, ya queestaban apareciendo problemas lgicos como los identificados por B. Russell y A. N. Whitehead en el trabajo deGottlob Frege y otras personas que haban tratado de fundamentar slidamente las matemticas.Entre los problemas de fundamentacin por ejemplo estaba el uso de los "infinitesimales"[1] que vagamente relacionados con algo "infinitamente pequeo" (lo cual era una nocin demasiado imprecisa). La eliminiacin de los infinitesimales mediante el uso de lmites signific un gran progreso para establecer las matemticas existentes sobre


un fundamente ms firme y claro. Otro problema sin fudamentar era lo "infinitamente grande". Las investigacionessobre unicidad de representacin de Georg Cantor forzaron a este matemtico a desarrollar una nueva teora de loinfinitamente grande. Uno de los puntos centrales de la teora de Cantor era la posibilidad de considerar incluso unacoleccin no finita de bojetos y formar un "objeto matemtico" con esta coleccin. Estos "objetos" fuerondenominados por Cantor en alemn como Mengen y el trmino se tradujo como 'conjunto' en espaol. Debido a esoCantor denomin a su teora Mengenlehre que es el origen de la teora de conjuntos. La posibilidad de formarconjuntos sin restricciones, produca ciertas contradicciones u antinomias. Un ejemplo notable de estas antinomias esla paradoja de Russell sobre el conjunto de conjuntos que no son miembros de s mismos. As si se pudiera definir elconjunto:

sera una contradaccin ya que por construccin se tendra:

Estas paradojas y probalemente tambin el hecho aparentemente paradjico de que el axioma de eleccin ofreca laposibilidad de que cualquier conjunto pudiera ser un conjunto bien ordenado, crearon la sensacin de incertidumbreentre la comunidad matemtica. Hermann Weyl en su artculo "ber die neue Grundlagenkrise der Mathematik"[2]

apunt que la circularidad de las definiciones causaban paradojas y antinomias tambin en la teora de conjuntos quese usaba en anlisis matemtico. Este matemtico introdujo el trmino "nueva crisis de fundamentos" en la discusinde la poca. En su libro Das Kontinuum ya haba propuesto desarrollar matemticas libres de definicionescirculares.[3]

El programa de HilbertLas diversas paradojas surgidas en la teora de conjuntos y los problemas de fundamentacin del concepto deinfinito, llevaron a la llamada crisis fundacional de las matemticas a principios del siglo XX. Frente a este debateentre los matemticos, David Hilbert y algunos de sus colaboradores consideraron elaborar un programa deformalizacin completo, para demostrar la consistencia de numerosas ramas de la matemtica. Esta propuesta deformalizacin se conoci como programa de Hilbert.Este efoque formalista pretenda en axiomatizar de manera explcita los supuestos usados en diversas ramas de lasmatemticas mediante un conjunto de axiomas expresables en un lenguaje formal bien definido y de manera que sepuediera probar la consistencia de las matemticas as formalizadas. Hilbert y muchos otros matemticos tenanconfianza en que este programa tendra xito para cualquier rea de las matemticas y siempre sera posible construirun conjunto de reglas que permitieran demostrar en un nmero finito de pasos si una proposicin era una proposicinvlida (Entscheidungsproblem). Sin embargo, K. Gdel pudo demostrar en 1931 que este enfoque tena limitacionesesenciales, incluso en un sistema tan central para las matemticas como era la aritmtica de los nmeros naturales.

Los teoremas de incompletitud de GdelEl teorema de incompletitud de Gdel establece que ninguna teora consistente, con un nmero finito de axiomasrecursivamente enumerable (en un lenguaje por lo menos tan potente como la aritmtica), puede incluir todos lasproposiciones verdaderas. Sin embargo, la aritmtica es una teora completable aadiendo un conjunto de aximasinfinito y no recursivo. En otras palabras el teorema de Gdel slo establece que si es un tipo de teoraaritmtica:

O equivalentemente:


El Hauptsatz de GentzenEn 1934 Gerhard Gentzen introdujo las nociones bsicas que llevaron al desarrollo de la moderna teora de lademostracin.

Detalles formales

Referencias[1][1] W. Pohlers, 2009, pp. 1-8[2] H. Weyl. "ber die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematishche Zeitschrift, 10, pp. 39-79, 1921.[3] H. Weyl: Das Kontinuum, Veit & Co. Leipzig, 1918.

Bibiliografa Pohlers, Wolfram (2009). Proof Theory: The first setp into impredicatibility. Berln: Springer-Verlag. pp.17-42.

ISBN 978-3-540-69319-2.

Teora de modelosEn matemtica, teora de modelos es el estudio de (clases de) estructuras matemticas tales como grupos, cuerpos,grafos, o incluso universos de teora de conjuntos, en relacin con las teoras axiomticas y la lgica matemtica.

IntroduccinInformalmente una teora matemtica est formada por un conjunto de teoremas y axiomas. Los teoremas sonproposiciones lgicamente deducibles de los axiomas. En el enfoque moderno, las teoras se conciben como unconjunto de proposiciones expresables en un cierto lenguaje formal que recoge explcitamente el conjunto desmbolos de la teora, los axiomas y las reglas de deduccin. El aparataje anterior define la sintaxis de la teora.En ese punto, la teora de modelos permite definir la semntica de una teora. As un modelo es una L-estructura

donde una cadena de signos o sentencia del lenguaje formal de la teora correctamente formada puedeser interpretada y verificada (es decir, o bien la proposicin o su negacin se satisfacen en el modelo). Un modelo para una teora es una estructura donde los axiomas y teoremas de la teora se satisfacen. Porejemplo, el conjunto de nmeros naturales constituyen un modelo para los axiomas de Peano. Un grupo matemticoes un modelo de la teora de grupos (aunque en este caso existe ms de un modelo posible, cada grupo de hecho esun modelo de la teora).Por tanto, un modelo es una estructura donde las oraciones formales de la teora (es decir, una cadena de signosmatemticos) son interpretables y por tanto las oraciones pueden considerarse como afirmaciones sobre el modelo.Existe un paralelo con el lenguaje comn y la realidad, una realidad fsica o un objeto fsico real son anlogos a unmodelo matemtico, mientras que una descripcin descripcin verbal de esa realidad fsica es una teora para dichomodelo. Si un modelo para un lenguaje formal satisface adems una oracin o una teora (conjunto de oraciones), sellama modelo de una oracin o teora. La teora de modelos tiene fuertes lazos con el lgebra y el lgebra universal.

Teora de modelos 4

Teora de modelos finitosLa teora de modelos finitos es la parte de la teora de modelos ms cercanas al lgebra universal. Al igual que otraspartesl del lgebra universal, y a diferencia con otras reas de la teora de modelos, est relacionada principalmentecon lgebras finitas, o ms generalmente, con una -estructura finita para signaturas que pueden contener smbolosrelacionales como en el siguiente ejemplo:

La signatura estndar para grafos es grph={E}, donde E es un smbolo de relacin binaria.

Un grafo es una grph-estructura que satisface las proposiciones y .Un -homomorfismo es una aplicacin que conmuta con las operaciones y preserva relaciones de . Esta definicinlleva a la nocin usual de homomorfismo de grafos, que tiene la propiedad interesante que un homomorfismobiyectivo no necesita tener inverso. Las estructuras tambin forman parte del lgebra universal, despus de todo,algunas estructuras algebraicas tales como grupos ordenados admiten una relacin binaria del tipo < "menor que". Loque distingue a un modelo finito de un gebra universal es el uso de proposiciones lgicas ms generales (como elejemplo anterior) en lugar de identidades (en un contexto de teora de modelos la identidad t=t' se escribe como unaproposicin .)La lgica empleada en una teora de modelos finitos generalmente es ms expresiva que una lgica de pirmer orden,o la lgica estndar para la teora de modelos ms general o las estructuras infinitas.

Modelos para teoras lgicas de primer ordenEste artculo se enfoca en teora finitaria de modelos de primer orden de estructuras infinitas. La teora de modelosfinitos, la cual se concentra en estructuras finitas, diverge significativamente del estudio de estructuras infinitas tantoen los problemas estudiados como en las tcnicas usadas. La teora de modelos en lgicas de orden superior o lgicasinfinitarias est obstaculizada por el hecho de que la completitud no se cumple para estas lgicas. Actualmente existeun nmero importante de resultados sobre las propiedades de los sistemas lgicos tanto de primer orden como desegundo orden.Debe tenerse presente que dadoa una teora lgica de primer orden generalmente existe ms de un modelo para dichateora, y dichos modelos usualmente no son isomorfos. Eso significa que los axiomas de una determinada teoracaracterizan en realidad aspectos de diferentes tipos de estructuras. Muchas veces esto es un resultado buscado. Porejemplo, la teora de grupos y sus axiomas definitorios admiten diversos modelos (cada grupo matemtico de hechoes un modelo es un modelo de dicha teora). En otras ocasiones como en el intento de formalizar los nmeros realesmediante una teora de primer orden se buscaba que esencialmente existiera un modelo nico, sin embargo, elteorema de Lwenheim-Skolem permite ver que existen diversos modelos no isomorfos, entre ellos los nmerosreales convencionales, pero tambin los nmeros hiperreales constituyen otro modelo no isomorfo al anterior quetambin satisface los mismos axiomas y teoremas que los nmeros reales.La existencia de un modelo permite establecer la consistencia de una teora. La existencia de diferentes modelospuede permitir establecer la independencia de algunos axiomas. Esencialmente eso es lo que puede establecer lateora de modelos aplicada a la teora de conjuntos axiomtica, por ejemplo.

Teora de modelos 5

Modelos de ZFCLa existencia de diferentes modelos posibles para los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZFC) ha permitido establecer laindependencia del axioma de eleccin y de la hiptesis del continuo de otros axiomas de la teora de conjuntos (losprincipales resultados se deben a Paul Cohen (1963) y Kurt Gdel (1938)).Se ha probado que tanto el axioma de eleccin como su negacin son consistentes con los axiomas deZermelo-Fraenkel de la teora de conjuntos. Y la hiptesis del continuo, es lgicamente independiente, de losaxiomas de Zermelo-Fraenkel y el axioma de eleccin. Estos resultados son ejemplos de aplicaciones de la teora demodelos a la teora axiomtica de conjuntos.

Modelos para la teora de los nmeros realesUn ejemplo de los conceptos de la teora de modelos es la teora de los nmeros reales. Comenzamos con unconjunto de individuos, donde cada individuo es un nmero real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ,+, , ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta " y (y y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces est claro que la sentencia esverdadera para reales, ya que existe tal nmero real y, a saber la raz cuadrada de 2. Para los nmeros racionales, sinembargo, la sentencia es falsa. Una proposicin similar, " y (y y = 0 1)", es falsa en los reales, pero esverdadera en los nmeros complejos, donde i i = 0 1.

Teora de la demostracinLa teora de modelos puede emplearse como herramienta en la teora de la demostracin que se ocupa preocupa de loque se puede probar con sistemas matemticos dados, y cmo estos sistemas se relacionan entre s. En principio lateora de la demostracin se ocupa de la complejidad sintctica de las teoras a diferencia de la teora de modelos quese ocupa principalmente de las posibilidade semnticas de la teora.

Referencias Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1 Wilfrid Hodges, Model theory (1993) Cambridge University Press. C. C. Chang, H. J. Keisler Model theory (1977) ISBN 0-7204-0692-7 David Marker Model Theory: An Introduction (2002) Springer-Verlag, ISBN 0-387-98760-6 Mara Manzano, Teora de Modelos, (1989), Madrid, Alianza, ISBN 84-206-8126-1 Mara Manzano, Model Theory, (1999), Oxford, Oxford University Press, ISBN 0-19-853851-0

Demostracin 6

DemostracinDemostracin puede referirse a: Demostracin matemtica Demostracin automtica Demostracin invlida Demostracin por induccin Demostracin por contraposicin Demostracin por contraejemplo Demostracin (merchandising) Teora de la demostracin Demo (msica)__DISAMBIG__

Teora de la computabilidad

VEB Robotron Elektronik Dresden.

La Teora de la computabilidad es la parte de la computacin queestudia los problemas de decisin que pueden ser resueltos con unalgoritmo o equivalentemente con una mquina de Turing. La teora dela computabilidad se interesa a cuatro preguntas:

Qu problemas puede resolver una mquina de Turing? Qu otros formalismos equivalen a las mquinas de Turing? Qu problemas requieren mquinas ms poderosas? Qu problemas requieren mquinas menos poderosas?La teora de la complejidad computacional clasifica las funcionescomputables segn el uso que hacen de diversos recursos en diversostipos de mquina.

AntecedentesEl origen de los modelos abstractos de computacin se encuadra en los aos '30 (antes de que existieran losordenadores modernos), para el trabajo de los lgicos Alonzo Church, Kurt Gdel, Stephen Kleene, Emil Leon Post,y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo terico como enabundantes aspectos de la prctica de la computacin; previendo incluso la existencia de ordenadores de propsitogeneral, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la representacin delenguajes por estructuras formales basados en reglas de produccin.El punto inicial de estos primeros trabajos fueron las cuestiones fundamentales que David Hilbert formul en 1900,durante el transcurso de un congreso internacional.Lo que Hilbert pretenda era crear un sistema matemtico formal completo y consistente en el cual, todas lasaseveraciones fueran planteadas con precisin. Su intencin era encontrar un algoritmo que determinara la verdad ofalsedad de cualquier proposicin en el sistema formal. Al problema en cuestin se le denominEntscheidungsproblem. En caso de que Hilbert hubiese cumplido su objetivo, cualquier problema bien definido seresolvera simplemente al ejecutar dicho algoritmo.

Teora de la computabilidad 7

Pero no fueron otros los que mediante una serie de investigaciones mostraron que esto no era posible. En contra deesta idea K. Gdel sac a la luz su conocido Primer Teorema de Incompletitud. Este viene a expresar que todosistema de primer orden consistente que contenga los teoremas de la aritmtica y cuyo conjunto de axiomas searecursivo no es completo. Gdel construy una frmula que es satisfactoria pero que no puede ser probada en elsistema. Como consecuencia, no es posible encontrar el sistema formal deseado por Hilbert en el marco de la lgicade primer orden, a no ser que se tome un conjunto no recursivo de axiomas.Una posterior versin, que resulta ms general, del teorema de incompletitud de Gdel, indica que ningn sistemadeductivo que contenga los teoremas de la aritmtica, y con los axiomas recursivamente enumerables puede serconsistente y completo a la vez. Esto hace pensar, a nivel intuitivo, que no va a ser posible definir un sistema formal.

Qu problemas puede resolver una mquina de Turing?No todos los problemas pueden ser resueltos. Un problema indecidible es uno que no puede ser resuelto con unalgoritmo an si se dispone de espacio y tiempo ilimitado. Actualmente se conocen muchos problemas indecidibles,como por ejemplo: El Entscheidungsproblem (problema de decisin en alemn) que se define como: Dada una frase del clculo de

predicados de primer orden, decidir si ella es un teorema. Church y Turing demostraron independientemente queeste problema es indecidible (ver Tesis de Church-Turing).

El Problema de la parada, que se define as: Dado un programa y su entrada, decidir si ese programa terminarpara esa entrada o si correr indefinidamente. Turing demostr que se trata de un problema indecidible.

Un nmero computable es un nmero real que puede ser aproximado por un algoritmo con un nivel de exactitudarbitrario. Turing demostr que casi todos los nmeros no son computables. Por ejemplo, la Constante de Chaitinno es computable aunque s que est bien definido.

Qu otros formalismos equivalen a las mquinas de Turing?Los lenguajes formales que son aceptados por una mquina de Turing son exactamente aquellos que pueden sergenerados por una gramtica formal. El clculo Lambda es una forma de definir funciones. Las funciones quepueden ser computadas con el clculo Lambda son exactamente aquellas que pueden ser computadas con unamquina de Turing. Estos tres formalismos, las mquinas de Turing, los lenguajes formales y el clculo Lambda sonformalismos muy dismiles y fueron desarrollados por diferentes personas. Sin embargo, todos ellos son equivalentesy tienen el mismo poder de expresin. Generalmente se toma esta notable coincidencia como evidencia de que latesis de Church-Turing es cierta, que la afirmacin de que la nocin intuitiva de algoritmo o procedimiento efectivode cmputo corresponde a la nocin de cmputo en una mquina de Turing.Los computadores electrnicos, basados en la arquitectura de von Neumann as como las mquinas cunticastendran exactamente el mismo poder de expresin que el de una mquina de Turing si dispusieran de recursosilimitados de tiempo y espacio. Como consecuencia, los lenguajes de programacin tienen a lo sumo el mismo poderde expresin que el de los programas para una mquina de Turing y en la prctica no todos lo alcanzan. Loslenguajes con poder de expresin equivalente al de una mquina de Turing se denominan Turing completos.Entre los formalismos equivalentes a una mquina de Turing estn: Mquinas de Turing con varias cintas Mquinas de Turing con cintas bidimensionales, Turmite (o una infinidad de cintas lineales) Mquinas de Turing con nmero limitado de estados y smbolos para la cinta Mquinas de Turing con solo dos estados Autmatas finitos con dos pilas Autmatas finitos con dos contadores Gramticas formales


Mquina de Post Clculo Lambda Funciones recursivas parciales Casi todos los lenguajes de programacin modernos si dispusieran de memoria ilimitada Autmatas celulares El Juego de la vida de John Conway Mquinas de Turing no determinsticas Mquinas de Turing probabilsticas Computador cunticoLos ltimos tres ejemplos utilizan una definicin ligeramente diferente de aceptacin de un lenguaje. Ellas aceptanuna palabra si cualquiera, cmputo acepta (en el caso de no determinismo), o la mayora de los cmputos aceptan(para las versiones probabilstica y cuntica). Con estas definiciones, estas mquinas tienen el mismo poder deexpresin que una mquina de Turing.

Qu problemas requieren mquinas ms poderosas?Se considera que algunas mquinas tienen mayor poder que las mquinas de Turing. Por ejemplo, una mquinaorculo que utiliza una caja negra que puede calcular una funcin particular que no es calculable con una mquina deTuring. La fuerza de cmputo de una mquina orculo viene descrita por su grado de Turing. La teora de cmputosreales estudia mquinas con precisin absoluta en los nmeros reales. Dentro de esta teora, es posible demostrarafirmaciones interesantes, tales como el complemento de un conjunto de Mandelbrot es solo parcialmentedecidible.

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Referencias[1] http:/ / www. cs. umb. edu/ ~fejer/ articles/ History_of_Degrees. pdf[2] http:/ / www. math. cornell. edu/ ~shore/ papers/ pdf/ jumpmrl. pdf[3] http:/ / worldcat. org/ issn/ 1073-2780[4] http:/ / citeseer. ist. psu. edu/ cache/ papers/ cs/ 11492/ http:zSzzSzwww. math. berkeley. eduzSz~slamanzSzpaperszSzslaman-woodin. pdf/

slaman86definability. pdf[5] http:/ / web. comlab. ox. ac. uk/ oucl/ research/ areas/ ieg/ e-library/ sources/ tp2-ie. pdf

Teora de conjuntos

Hiptesis del continuo. La coleccin de todos los conjuntos de nmeros naturales P(N)tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en

una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teora de conjuntos.

La teora de conjuntos es una rama delas matemticas que estudia laspropiedades de los conjuntos:colecciones abstractas de objetos,consideradas como objetos en smismas. Los conjuntos y susoperaciones ms elementales son unaherramienta bsica en la formulacin decualquier teora matemtica.[1]

Sin embargo, la teora de los conjuntoses lo suficientemente rica como paraconstruir el resto de objetos yestructuras de inters en matemticas:nmeros, funciones, figurasgeomtricas, ...; y junto con la lgicapermite estudiar los fundamentos deesta. En la actualidad se acepta que elconjunto de axiomas de la teora deZermelo-Fraenkel es suficiente paradesarrollar toda la matemtica.

Adems, la propia teora de conjuntoses objeto de estudio per se, no slocomo herramienta auxiliar, en particularlas propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos depropiedades indemostrables o contradictorias, como la hiptesis del continuo o la existencia de un cardinalinaccesible. Por esta razn, sus razonamientos y tcnicas se apoyan en gran medida en la lgica matemtica.

El desarrollo histrico de la teora de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenz a investigar cuestionesconjuntistas puras del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de BernhardBolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teora cantoriana, deconjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propici los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, AbrahamFraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teora de conjuntos 11

Teora bsica de conjuntosLa teora de conjuntos ms elemental es una de las herramientas bsicas del lenguaje matemtico. Dados unoselementos, unos objetos matemticos como nmeros o polgonos por ejemplo, puede imaginarse una coleccindeterminada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta nocin depertenencia es la relacin relativa a conjuntos ms bsica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez comoelementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a A.Una relacin entre conjuntos derivada de la relacin de pertenencia es la relacin de inclusin. Una subcoleccin deelementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B A.Ejemplos. Los conjuntos numricos usuales en matemticas son: el conjunto de los nmeros naturales N, el de los nmeros

enteros Z, el de los nmeros racionales Q, el de los nmeros reales R y el de los nmeros complejos C. Cada unoes subconjunto del siguiente:

El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p E3. Las rectas r yplanos son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r E3 y E3.

lgebra de conjuntosExisten unas operaciones bsicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operacionesaritmticas, constituyendo el lgebra de conjuntos: Unin. La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene cada elemento que est por lo menos

en uno de ellos. Interseccin. La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos

comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A

que no pertenecen a B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos (respecto de

algn conjunto referencial) que no pertenecen a A. Diferencia simtrica La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A B con todos los

elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los

pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

Teora axiomtica de conjuntosLa teora informal de conjuntos apela a la intuicin para determinar cmo se comportan los conjuntos. Sin embargo,es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de stos que llevan a contradiccin si se razona de estamanera, como la famosa paradoja de Russell. Histricamente sta fue una de las razones para el desarrollo de lasteoras axiomticas de conjuntos, siendo otra el inters en determinar exactamente qu enunciados acerca de losconjuntos necesitan que se asuma el polmico axioma de eleccin para ser demostrados.Las teoras axiomticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas laspropiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemtico. Algunos ejemplos conocidos son: La teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel La teora de conjuntos de Neumann-Bernays-Gdel La teora de conjuntos de Morse-Kelley

Teora de conjuntos 12

Referencias[1][1] Vase o

Bibliografa Ivorra, Carlos, Lgica y teora de conjuntos (http:/ / www. uv. es/ ivorra/ Libros/ Logica. pdf), consultado el

18-10-2010. Jech, Thomas. Set Theory (http:/ / stanford. library. usyd. edu. au/ entries/ set-theory/ ) (en ingls). Stanford

Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado el 16-12-2011.

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teora de conjuntosCommons.

SemnticaEl trmino semntica (del griego semantikos, "lo que tiene significado") se refiere a los aspectos del significado,sentido o interpretacin de signos lingsticos como smbolos, palabras, expresiones o representaciones formales. Enprincipio cualquier medio de expresin (lenguaje formal o natural) admite una correspondencia entre expresiones desmbolos o palabras y situaciones o conjuntos de cosas que se encuentran en el mundo fsico o abstracto que puedeser descrito por dicho medio de expresin.La semntica puede estudiarse desde diferentes puntos de vista: Semntica lingstica, trata de la codificacin y decodificacin de los contenidos semnticos en las estructuras

lingsticas. Semntica lgica, desarrolla una serie de problemas lgicos de significacin, estudia la relacin entre el signo

lingstico y la realidad. Las condiciones necesarias para que un signo pueda aplicarse a un objeto, y las reglasque aseguran una significacin exacta.

Semntica en ciencias cognitivas, intenta explicar por qu nos comunicamos, y cul es el mecanismo psquicoque se establece entre hablante y oyente durante este proceso.

Semntica lingsticaLa lingstica es la disciplina donde originalmente se introdujo el concepto de semntica. La semntica lingstica esel estudio del significado de las palabras del lenguaje. La semntica lingstica contrasta con otros dos aspectos queintervienen en una expresin con significado: la sintaxis y la pragmtica.La semntica es el estudio del significado atribuible a expresiones sintcticamente bien formadas. La sintaxis estudiasolo las reglas y principios sobre cmo construir expresiones interpretables semnticamente a partir de expresionesms simples, pero en s misma no permite atribuir significados. La semntica examina el modo en que lossignificados se atribuan a las palabras, sus modificaciones a travs del tiempo y an sus cambios por nuevossignificados. La lexicografa es otra parte de la semntica que trata de describir el significado de las palabras de unidioma en un momento dado, y suele exhibir su resultado en la confeccin de diccionarios.Por otro lado, la pragmtica se refiere a cmo las circunstancias y el contexto ayudan a decidir entre alternativas deuso o interpretacin; gracias a la pragmtica el lenguaje puede ser usado con fines humorsticos o irnicos. Ademsla pragmtica reduce la ambigedad de las expresiones, seleccionando solo un conjunto adecuado de interpretacionesen un determinado contexto.

Semntica 13

Semntica en ciencias cognitivasLa semntica en ciencias cognitivas tiene que ver con la combinacin de signos y la manera en que la mente atribuyerelaciones permanentes entre estas combinaciones de signos y otros hechos no relacionados por naturaleza con estossmbolos. Tambin es muy especial, ya que es la manera de introducir significados dados de uno mismo. Por ejemplola nocin que existe de silla en la que la misma tiene 4 patas, respaldo, etc. Las hay de ms o menos patas pero setrata de deslizamiento de sentidos, que se construye en la mente a partir del caso central o prototipo.

Referencia Lyons, J. (1995). Linguistic semantics: An introduction. Cambridge University Press.

Axioma

A veces se compara a los axiomas consemillas, porque de ellos surge toda la

teora de la cual son axiomas.

Un axioma es una proposicin que se considera evidente y se acepta sinrequerir demostracin previa. En un sistema hipottico-deductivo es todaproposicin no deducida (de otras), sino que constituye una regla general depensamiento lgico (por oposicin a los postulados).[1]

En lgica y matemticas, un axioma es una premisa que, por considerarseevidente, se acepta sin demostracin, como punto de partida para demostrarotras frmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradasafirmaciones evidentes, porque permiten deducir las dems frmulas.

En lgica un postulado es una proposicin no necesariamente evidente: unafrmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en unadeduccin para llegar a una conclusin.

En matemtica se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lgicos ypostulados.

Etimologa

La palabra axioma proviene del sustantivo griego , que significa loque parece justo o, que se le considera evidente, sin necesidad dedemostracin. El trmino viene del verbo griego (axioein), que significa valorar, que a su vez procede de (axios): valioso o digno. Entre los filsofos griegos antiguos, un axioma era lo que pareca verdadero sinnecesidad de prueba alguna.

LgicaLa lgica del axioma es partir de una premisa calificada de verdadera por s misma (el axioma), y de sta inferirotras proposiciones por medio del mtodo deductivo, de lo cual se obtienen conclusiones coherentes con el axioma.A partir de los axiomas, y de reglas de inferencia, han de deducirse todas las dems proposiciones de una teora dada.

Axioma lgicoLos axiomas son ciertas frmulas en un lenguaje formal que son universalmente vlidas, esto es frmulas satisfechaspor cualquier estructura y por cualquier funcin variable. En trminos coloquiales son enunciados verdaderos encualquier mundo posible, bajo cualquier interpretacin posible, con cualquier asignacin de valores. Comnmente setoma como axioma un conjunto mnimo de tautologas suficientes para probar una teora.

Axioma 14

Ejemplo 1

En clculo proposicional es comn tomar como axiomas lgicos todas las frmulas siguientes:

1.2.3. ,donde , , y pueden ser cualquier frmula en el lenguaje.Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un nmero infinito de axiomas. Porejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces y son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas lastautologas del clculo proposicional son demostrables. Tambin se puede probar que ningn par de estos esquemases suficiente para demostrar todas las tautologas utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomticostambin se utiliza en el clculo de predicados, pero son necesarios ms axiomas lgicos.

Ejemplo 2

Sea un lenguaje de primer orden. Para cada variable la frmula es universalmente vlida.Esto significa que, para cualquier smbolo variable , la frmula puede considerarse axioma. Para noincurrir en vaguedad o en una serie infinita de nociones primitivas, primero se necesita una idea de lo que se deseaexpresar mediante , o definir un uso puramente formal y sintctico del smbolo . De hecho sucede esto enLgica matemtica.Otro ejemplo interesante es el de instanciacin universal , mediante el cuantificador universal. Para una frmula

en un lenguaje de primer orden , una variable y un trmino sustituible por en , la frmulaes vlida universalmente.

En trminos informales este ejemplo permite afirmar que si se sabe que cierta propiedad se cumple para toda yque si es un objeto particular en la estructura, se estara en capacidad de afirmar .

De nuevo se afirma que la frmula es vlida. Esto es, se debe ser capaz de aportar una prueba de estehecho, o -mejor expresado- una metaprueba. En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teora de lgicamatemtica, ya que la referencia es meramente al concepto demostrativo en s. Adems se puede extender a unageneralizacin existencial utilizando el cuantificador existencial.Esquema axiomtico. Para una frmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un trmino sustituible por en , la es universalmente vlida.

MatemticasPara que todos los procedimientos matemticos usados sean vlidos se debe partir de una base que respalde cadaprocedimiento, cada paso lgico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmacin no trivial. Son estasdemostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda laveracidad de cualquier afirmacin.Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Sern, por lo tanto, afirmaciones que se aceptancomo verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: afirmacin no trivial, son los teoremas, que sonya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usandolos axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamar corolario.Muchas partes de la matemtica estn axiomatizadas, lo que significa que existe un conjunto de axiomas de los cuales es posible deducir todas las verdades de esa parte de la matemtica. Por ejemplo, de los axiomas de Peano es

Axioma 15

posible deducir todas las verdades de la aritmtica (y por extensin, de otras partes de la matemtica).El formalismo surgido como consecuencia de la crisis fundacional de principios del siglo XX dio lugar al llamadoprograma de Hilbert. Dicho programa abogaba por la formalizacin de diferentes ramas de las matemticas medianteun conjunto de axiomas explcitos, en general formulados en lenguajes formales de primer orden. Eso significa quejunto con los axiomas lgicos ordinarios de una teora de primer orden se introducan smbolos extralgicos (paraconstantes, funciones y predicados) y ciertos axiomas matemticos que usaban dichos signos que restringan sucomportamiento. Cada teora matemtica necesita un conjunto diferente de signos extralgicos, por ejemplo laaritmtica de primer orden requiere la funcin siguiente y una constante que designe al primer de los nmerosnaturales (a partir de esos dos signos nuevos una constante y una funcin, son definibles la suma, la multiplicacin,la relacin de orden menor o igual y todas las nociones necesarias para la aritmtica).El programa de Hilbert hizo concebir la posibilidad de unas matemticas en que la propia consistencia de axiomasescogidos fuera verificable de manera relativamente simple. Sin embargo, el teorema de incompletitud de Gdel yotros resultados mostraron la inviabilidad del programa de Hilbert para los fines con los que fue propuesto.

Limitaciones de los sistemas axiomticosA mediados del siglo XX, Kurt Gdel demostr sus famosos teoremas de incompletitud. Estos teoremas mostrabanque aunque un sistema de axiomas recursivos estuvieran bien definidos y fueran consistentes, los sistemasaxiomticos con esos sistemas de axiomas adolecen de limitaciones graves. Es importante, notar aqu la restriccinde que el sistema de axiomas sea recursivamente enumerable, es decir, que el conjunto de axiomas forme unconjunto recursivamente enumerable dada una codificacin o gdelizacin de los mismos. Esa condicin tcnica serequiere ya que si el conjunto de axiomas no es recursivo entonces la teora ni siquiera ser decidible.Con esa restriccin Gdel demostr, que si la teora admite un modelo de cierta complejidad siempre hay unaproposicin P verdadera pero no demostrable. Gdel prueba que en cualquier sistema formal que incluya aritmticapuede generarse una proposicin P mediante la cual se afirme que este enunciado no es demostrable.

Referencias[1] Definicin de axioma en Symploke. (http:/ / symploke. trujaman. org/ index. php?title=Axiomas)

Bibliografa Sagan, Carl (1997). El mundo y sus demonios. Barcelona: Planeta. ISBN 84-08-02043-9.

Enlaces externos

Wikcionario tiene definiciones para axioma.Wikcionario Axioma (http:/ / www. ucm. es/ info/ eurotheo/ diccionario/ A/ axioma. pdf) Axioma, en el Diccionario sovitico de filosofa (http:/ / www. filosofia. org/ enc/ ros/ axioma. htm) Axioma, en Diccionario enciclopdico hispanoamericano (http:/ / www. e-torredebabel. com/

Enciclopedia-Hispano-Americana/ V2/ axioma-filosofia-D-E-H-A. htm)

Regla de inferencia 16

Regla de inferenciaEn lgica, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias vlidas. Estos esquemas establecenrelaciones sintcticas entre un conjunto de frmulas llamados premisas y una asercin llamada conclusin.Estas relaciones sintcticas son usadas en el proceso de inferencia, por el que se llega a nuevas aserciones verdaderasa partir de otras ya conocidas. Las reglas tambin se aplican a la lgica informal y a las discusiones, pero laformulacin es mucho ms difcil y polmica.Como se mencion, la aplicacin de una regla de inferencia es un procedimiento puramente sintctico. Sin embargo,debe tambin ser vlido, o mejor dicho, preservar la validez. Para que el requisito de preservacin de la validez tengasentido, es necesaria una cierta forma semntica para las aserciones de las reglas de inferencia y las reglas deinferencia en s mismas.

Reglas de inferencia clsicasAlgunas de las reglas de inferencia ms conocidas son:En la lgica proposicional: Modus ponendo ponens Modus ponendo tollens Modus tollendo ponens Modus tollendo tollens Silogismo hipottico Silogismo disyuntivoEn la lgica de primer orden: Regla de Generalizacin universalEn la lgica modal: Regla de Necesitacin

Lgica matemtica 17

Lgica matemticaLa lgica matemtica es una parte de la lgica y las matemticas, que consiste en el estudio matemtico de la lgicay en la aplicacin de este estudio a otras reas de las matemticas. La lgica matemtica tiene estrechas conexionescon las ciencias de la computacin y la lgica filosfica.La lgica matemtica estudia los sistemas formales en relacin con el modo en el que codifican o definen nocionesintuitivas de objetos matemticos como conjuntos, nmeros, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguajeformal.La lgica matemtica suele dividirse en cuatro subcampos: teora de modelos, teora de la demostracin, teora deconjuntos y teora de la recursin. La investigacin en lgica matemtica ha jugado un papel fundamental en elestudio de los fundamentos de las matemticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinnimos lasexpresiones: lgica simblica (o logstica), lgica matemtica, lgica teortica y lgica formal.[1]

La lgica matemtica no es la lgica de las matemticas sino la matemtica de la lgica. Incluye aquellas partesde la lgica que pueden ser modeladas y estudiadas matemticamente.

Historia

Siglo XIXPreviamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lgicas formales de una manera simblica porparte de algunos filsofos matemticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneci desconocida y aislada.A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lgica sera revolucionada profundamente. En 1847, George Boolepublic un breve tratado titulado El anlisis matemtico de la lgica, y en 1854 otro ms importante titulado Lasleyes del pensamiento. La idea de Boole fue construir a la lgica como un clculo en el que los valores de verdad serepresentan mediante el 0 (falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones matemticas como lasuma y la multiplicacin.Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra Lgica formal, donde introduce las leyes de DeMorgan e intenta generalizar la nocin de silogismo. Otro importante contribuyente ingls fue John Venn, quien en1881 public su libro Lgica Simblica, donde introdujo los famosos diagramas de Venn.Charles Sanders Peirce y Ernst Schrder tambin hicieron importantes contribuciones.Sin embargo, la verdadera revolucin de la lgica vino de la mano de Gottlob Frege, quien frecuentemente esconsiderado como el lgico ms importante de la historia, junto con Aristteles. En su trabajo de 1879, laConceptografa, Frege ofrece por primera vez un sistema completo de lgica de predicados y clculo proposicional.Tambin desarrolla la idea de un lenguaje formal y define la nocin de prueba. Estas ideas constituyeron una baseterica fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias de la computacin, entre otras cosas. Pese aesto, los contemporneos de Frege pasaron por alto sus contribuciones, probablemente a causa de la complicadanotacin que desarroll el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volmenes Las leyes de la aritmtica, dondeintenta deducir toda la matemtica a partir de la lgica, en lo que se conoce como el proyecto logicista. Su sistema ysu aplicacin a la teora de conjuntos, sin embargo, contena una contradiccin (la paradoja de Russell).Lgica matemtica fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lgica deAristteles, pero desde el punto de vista de una nueva notacin, ms abstracta, tomada del lgebra.

Lgica matemtica 18

Siglo XXEl siglo XX sera uno de enormes desarrollos en lgica. A partir del siglo XX, la lgica pas a estudiarse por suinters intrnseco, y no slo por sus virtudes como propedutica, por lo que estudi a niveles mucho ms abstractos.En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un trabajo monumental en elque logran gran parte de la matemtica a partir de la lgica, evitando caer en las paradojas en las que cay Frege. Losautores reconocen el mrito de Frege en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematicatuvo un xito rotundo, y lleg a considerarse uno de los trabajos de no ficcin ms importantes e influyentes de todoel siglo XX. Principia mathematica utiliza una notacin inspirada en la de Giuseppe Peano, parte de la cual todavaes muy utilizada hoy en da.En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo despus de los Principia Mathematica deRussell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde propone un nuevo condicional msadecuado para recoger el significado de la expresin "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicacinestricta. El nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relacin ms fuerte entre el antecedente y elconsecuente que el condicional clsico.En 1920 David Hilbert propuso de forma explcita un proyecto de investigacin (en metamatemtica, como se llamentonces) que acab siendo conocido como programa de Hilbert. Quera que la matemtica fuese formulada sobreunas bases slidas y completamente lgicas.El origen de los modelos abstractos de computacin se encuadra en los aos '30 (antes de que existieran losordenadores modernos), en el trabajo de los lgicos Alonzo Church, Kurt Gdel, Stephen Kleene, Emil Leon Post,Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrolloterico como en abundantes aspectos de la prctica de la computacin; previendo incluso la existencia deordenadores de propsito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, yla representacin de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de produccin.La deduccin natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lgica(Untersuchungen ber das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.En los aos 40 Alfred Tarski comenz a desarrollar junto a sus discpulos el lgebra relacional, en la que puedenexpresarse tanto la teora axiomtica de conjuntos como la aritmtica de Peano. Tambin desarroll junto a susdiscpulos las lgebras cilndricas, que son a la lgica de primer orden lo que el lgebra booleana a la lgicaproposicional. En 1941 public en ingls uno de los manuales de lgica ms acreditados, Introduction to Logic andto the Methodology of Deductive Sciences.Noam Chomsky en 1956 propone una clasificacin jerrquica de distintos tipos de gramticas formales que generanlenguajes formales llamada jerarqua de Chomsky.Si bien a la luz de los sistemas contemporneos la lgica aristotlica puede parecer equivocada e incompleta, Janukasiewicz mostr que, a pesar de sus grandes dificultades, la lgica aristotlica era consistente, si bien haba queinterpretarse como lgica de clases, lo cual no es pequea modificacin. Por ello la silogstica prcticamente no tieneuso actualmente.Adems de la lgica proposicional y la lgica de predicados, el siglo XX vio el desarrollo de muchos otros sistemaslgicos; entre los que destacan las muchas lgicas modales.

Lgica matemtica 19

Concepto de lgica matemticaLa lgica matemtica estudia los sistemas formales en relacin con el modo en el que codifican conceptos intuitivosde objetos matemticos como conjuntos, nmeros, demostraciones y computacin. La lgica estudia las reglas dededuccin formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalgicasde los mismos.En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no vlido un argumento dadodentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lgica matemtica se ocupa de la posibilidad deaxiomatizar las teoras matemticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar mtodos computacionalestiles en sistemas formales. La teora de la demostracin y la matemtica inversa son dos de los razonamientos msrecientes de la lgica matemtica abstracta. Debe sealarse que la lgica matemtica se ocupa de sistemas formalesque pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lgica matemtica no es mtodo de descubrirverdades del mundo fsico real, sino slo una fuente posible de modelos lgicos aplicables a teoras cientficas, muyespecialmente a la matemtica convencional.La lgica matemtica no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del procesocreativo de construccin de demostraciones matemticas mediante argumentos rigurosos pero hechas usandolenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino slo de demostraciones y razonamientos que pueden sercompletamente formalizados en todos sus aspectos.

Sistemas lgicosLa lgica matemtica se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lgicos: La sintaxis de las lenguajes formales, es decir, las reglas de formacin de smbolos interpretables construidos a

partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles deun conjunto de axiomas.

La semntica de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, as como elvalor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formalinterpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo essiempre consistente.

Los aspectos metalgicos de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud semntica, la consistencia, lacompacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.

Los diferentes tipos de sistemas lgicos pueden ser clasificados en: Lgica proposicional (Lgica de orden cero): En ella existe smbolos para variables proposicionales (que

pueden ser interpretados informalmente como enunciados que puden ser ciertos o falsos) adems de smbolospara diversas conectivas. Estas conectivas permiten formar expresiones complejas a partir de variablesproposicionales simples. Un sistema lgico puede incluir diversos tipos de conectivas, entre ellos, la lgica clsicasuele hacer uso de los siguientes:

se lee no se lee y se lee o se lee implica o si,entonces, se lee equivalente con o "si, slo s"

Dentro de la lgica proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo restringiendo las posibilidadesde interpretacin semntica se obtiene la lgica intuicionista y ampliando la complejidad de lasinterpretaciones semnticas se obtienen las lgicas modales.

Lgica matemtica 20

Lgica de predicados: Esta no incluye smbolos para variables proposicionales sino que las proposiciones mselementales son predicados atmicos (formados a partir de variables interpretables como objetos singulares,relaciones (entre estas frecuentemente se usan = , , etc), funciones matemticas. Adems smbolos pararepresentar variables, relaciones y funciones este tipo de lgicas incluyen cuantificadores. Dentro de la lgica depredicados se pueden distinguir ciertos tipos: Lgica de primer orden que usualmente es finitaria (slo se admiten proposiciones formadas mediante un

nmero finito de pasos) aunque tambin existen lgicas infinitarias. Lgica de segundo orden que a su vez pueden ser de diferentes subtipos.

Teoras axiomticasUna teora axiomtica est formada por un conjunto de proposiciones expresables en un determinado lenguaje formaly todas las proposiciones deducibles de dichas expresiones mediante las reglas de inferencia posibles en dichosistema lgico.El objetivo de las teoras axiomticas es construir sistemas lgicos que representen las caractersticas esenciales deramas enteras de las matemticas. Si se selecciona un conjunto ms amplio o menos amplio de axiomas el conjuntode teoremas deducibles cambian. El inters de la teora de modelos es que en un modelo que satisfagan los axiomasde determinada teora tambin se satisfacen los teoremas deducibles de dicha teora. Es decir, si un teorema esdeducible en una cierta teora, entonces ese teorema es universalmente vlido en todos los modelos que satisfacen losaxiomas. Esto es interesante porque en principio la clase de modelos que satisface una cierta teora es difcil deconocer, ya que las teoras matemticas interesantes en general admiten toda clase infinita de modelos no isomorfos,por lo que su clasificacin en general resulta difcilmente abordable sin no existe un sistema lgico y un conjunto deaxiomas que caracterice los diferentes tipos de modelos.

reasLa Mathematics Subject Classification divide la lgica matemtica en las siguientes reas: Filosfica y crtica Lgica general (que incluye campos como la lgica modal y la lgica borrosa) Teora de modelos Teora de la computabilidad Teora de conjuntos Teora de la demostracin y matemtica constructiva algebraica]] Modelos no estndarEn algunos casos hay conjuncin de intereses con la Informtica terica, pues muchos pioneros de la informtica,como Alan Turing, fueron matemticos y lgicos. As, el estudio de la semntica de los lenguajes de programacinprocede de la teora de modelos, as como tambin la verificacin de programas, y el caso particular de la tcnica delmodel checking. Tambin el isomorfismo de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teorade pruebas, donde la lgica intuicionista y la lgica lineal son especialmente significativas.Algunos sistemas lgicos como el clculo lambda, y la lgica combinatoria entre otras han devenido, incluso,autnticos lenguajes de programacin, creando nuevos paradigmas como son la programacin funcional y laprogramacin lgica.

Lgica matemtica 21

Tipos de sistemas lgicos

Lgica proposicionalLa lgica proposicional (o lgica de orden cero) es un lenguaje formal en el que no existen variables nicuantificacin, eso implica que cualquier secuencia de signos que constituya una frmula bien formada de la lgicaproposicional admite una valoracin en la proposicin es cierta o falsa dependiendo del valor de verdad asignado alas proposiciones que la compongan. En otras palabras en la lgica proposicional cualquier frmula bien formadadefine una funcin proposicional. Por tanto, cualquier sistema lgico basado en la lgica proposicional es decidible yen un nmero finito de pasos puede determinarse la verdad o falsedad semntica de una proposicin. Esto hace quela lgica proposicional sea completa y muy sencilla de caracterizar semnticamente.

Lgica de predicadosLa lgica de predicados (o lgica de primer orden) es un lenguaje formal en el que las sentencias bien formadas sonproducidas por las reglas enunciadas a continuacin.Vocabulario

Un vocabulario es una tupla: que consta de: smbolos relacionales , cada uno de ellos con un nmero entero asociado, el cual se conoce como la

aridad de smbolos funcionales , cada uno de aridad smbolos constantes Una frmula de primer orden en el vocabulario , es una frmula de primer orden donde los nicos predicados,funciones y constantes empleados son los especificados por .

Lenguajes y estructuras de primer ordenUn lenguaje de primer orden es una coleccin de distintos smbolos clasificados como sigue:

El smbolo de igualdad ; las conectivas , ; el cuantificador universal y el parntesis , . Un conjunto contable de smbolos de variable . Un conjunto de smbolos de constante . Un conjunto de smbolos de funcin . Un conjunto de smbolos de relacin .As, para especificar un orden, generalmente slo hace falta especificar la coleccin de smbolos constantes,smbolos de funcin y smbolos relacionales, dado que el primer conjunto de smbolos es estndar. Los parntesistienen como nico propsito de agrupar smbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.Los smbolos carecen de significado por s solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semnticaapropiada.Una -estructura sobre el lenguaje , es una tupla consistente en un conjunto no vaco , el universo deldiscurso, junto a:

1. Para cada smbolo constante de , tenemos un elemento .2. Para cada smbolo de function -aria de , una function -aria .3. Para cada smbolo de relacin -aria de , una relacin -aria sobre , esto es, un subconjunto

.A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

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Aspectos metalgicos y algortimicos

MetalgicaLeopold Lwenheim (1915) y Thoralf Skolem (1920) formularon el llamado teorema de Lwenheim-Skolem, queafirma que cualquier sistema axiomtico basado en la lgica de primer orden no puede controlar la cardinalidad de laestructuras no finitas que satisfacen los axiomas de dicho sistema. Skolem comprendi que este teorema podraaplicarse para las formalizaciones de primer orden de la teora de conjuntos, siendo dicha formalizacin numerable,existira un modelo numerable para dicha teora aun cuando la teora afirma que existen conjuntos no contables. Esteresultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem.En su tesis doctoral, Kurt Gdel (1929) demostr el teorema de completitud de Gdel, que establece unacorrespondencia entre la sintaxis y la semntica de la lgica de primer orden. Gdel us dicho teorema decompletitud para probar el llamado teorema de compacidad, demonstrando la naturaleza fintiaria del operador deconsecuencia lgica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lgica de primer orden como el tipo de lgicadominante en las matemticas actual.En 1931, Gdel public On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, quedemostraba la incompletitud (en un sentido diferente del trmino) de cualquier sistema axiomtico suficientementeexpresivo, cuyo sistema de axiomas fuera recursivamente enumerable. Este tipo de resultados, conocidos comoteorema de incompletitud de Gdel, implica que los sistemas axiomticos de primer orden tienen severaslimitaciones para fundamentar las matemticas, y supusieron un duro golpe para el llamado programa de Hilbert parala fundamentacin de las matemticas. Uno de los resultados de Gdel estableci que es imposible que puedaformalizarse la consistencia de la aritmtica en una teora formal en la que se pueda formalizar la propia aritmtica.Por otra parte, durante algn tiempo ni Hilbert ni otros de sus colaboradores fueron conscientes de la importancia deltrabajo de Gdel para su pretensin de fundamentar las matemticas mediante el citado "programa de Hilbert".

Teora de modelosLa teora de modelos introducida anteriormente permite atribuir una interpretacin semntica a las expresionespurmente formales de los lenguajes formales. Pero adems, permiten estudiar en s mismos los conjuntos deaxiomas, su completitud, su consistencia, la independencia de unos de otros y permiten introducir un importantenmero de cuestiones metalgicas.

Teora de la computabilidadLa Teora de la computabilidad es la parte de la Teora de la computacin que estudia los problemas de decisin quepueden ser resueltos con un algoritmo o equivalentemente con una mquina de Turing.

Teora de la demostracinLa teora de la demostracin es la rama de la lgica matemtica que trata a las demostraciones como objetosmatemticos, facilitando su anlisis mediante tcnicas matemticas. Las demostraciones suelen presentarse comoestructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia delos sistemas lgicos. En este sentido, la teora de la demostracin se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teora demodelos, que trata con la semntica. Junto con la teora de modelos, la teora de conjuntos axiomtica y la teora dela recursin, la teora de la demostracin es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemticas.

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Referencias[1][1] Evandro Agazzi, 1986.

Bibliografa adicional Agazzi, Evandro (1986). Lgica simblica. Herder. ISBN 9788425401305. Enderton, Herbert (2001). A mathematical introduction to logic (2nd edicin). Boston, MA: Academic Press. ISBN

978-0-12-238452-3. Hamilton, A.G. (1988), Logic for Mathematicians (2nd edicin), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN

978-0-521-36865-0. Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W. (1994), Mathematical Logic (http:/ / www. springer. com/ mathematics/

book/ 978-0-387-94258-2) (2nd edicin), New York: Springer, ISBN 0-387-94258-0.

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Demostracin matemticaEn matemticas, una demostracin matemtica o prueba es un argumento deductivo para una afirmacinmatemtica. En la argumentacin se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas.En principio una prueba se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas. [1][2]

Las pruebas son ejemplos de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empricos; unaprueba debe demostrar que una afirmacin es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles ymostrar que es vlida en cada uno), ms que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmacin no probada quese cree verdadera se conoce como conjetura.Las pruebas emplean lgica pero normalmente incluyen una buena parte de lenguaje natural, el cual usualmenteadmite alguna ambigedad. De hecho, la gran mayora de las pruebas en las matemticas escritas puede serconsiderada como aplicaciones de lgica informal rigurosa. Las pruebas puramente formales, escritas en lenguajesimblico en lugar de lenguaje natural, se consideran en teora de la prueba. La distincin entre pruebas formales einformales ha llevado a examinar la lgica matemtica histrica y actual, el cuasi-empirismo matemtico y elformalismo matemtico. La filosofa de las matemticas concierne al rol del lenguaje y la lgica en las pruebas, y enlas matemticas como lenguaje.El hecho de no conocer ninguna demostracin de un teorema no implica su no veracidad; slo la demostracin de lanegacin de este resultado implica que es falso.

Etimologa e historiaLa palabra prueba viene del latn probare, que significa probar. Palabras modernas relacionadas son las palabrasespaolas probar (degustar, oler o ensayar), probidad, probo (o proba) y probabilidad,[3] la palabraalemana probieren (intentar), la italiana probare (intentar) y las palabras inglesas probe y probation. El usotemprano del trmino ingls probity (probidad) significaba presentacin de evidencia legal. Una persona deautoridad que en general era cualquier persona con mucho dinero se deca que era una persona proba, y suevidencia pesaba ms que cualquier otro testimonio o prueba emprica.[4]

Los argumentos de plausibilidad que usaban recursos heursticos tales como imgenes y analogas precedieron a la prueba matemtica estricta. Es probable que la idea de demostrar una conclusin se mostrara primero en conexin con la geometra, la cual originalmente significaba medida de la tierra o agrimensura.[5] El desarrollo de la prueba

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matemtica es el producto primario de la matemtica Griega antigua, y uno de sus ms grandes logros. Tales deMileto (624-546a.C.) demostr algunos teoremas en geometra. Eudoxo (408-355a.C.) y Teeteto (417-369a.C.)formularon teoremas pero no los demostraron. Aristteles (384-322a.C.) dijo que las definiciones deban describirel concepto a definir en trminos de otros conceptos ya conocidos. Las pruebas en matemticas fueronrevolucionadas por Euclides (300a.C.), quien introdujo el mtodo axiomtico que aun se usa en la actualidad,empezando con trminos indefinidos y axiomas (proposiciones concernientes a los trminos indefinidos asumidascomo evidentemente ciertas, vienen del griego axios, que significa valioso), y usaba estos para probar teoremasusando lgica deductiva. Su libro, los elementos, fue ledo por cualquiera que se considerara educado en el occidentehasta mediados del siglo XX.[6] En adicin a los teoremas familiares en geometra, tales como el teorema dePitgoras, los elementos incluyen una prueba de que la raz cuadrada de dos es irracional y de que hay infinitosnmeros primos.Avances posteriores tomaron lugar en las matemticas medievales Islmicas. Mientras que las demostracionesGriegas tempranas eran sobre todo pruebas geomtricas, el desarrollo del aritmtica y el lgebra por los matemticosIslmicos permiti pruebas ms generales que no dependan de la geometra. En el sigloXd.C., el matemticoiraqu Al-Hashim dio a proveer pruebas generales para nmeros (ms que demostraciones geomtricas) al considerarmultiplicacin y divisin entre otros por lneas. Usaba este mtodo para proveer una prueba de la existencia denmeros irracionales.Una prueba inductiva para secuencias aritmticas fue introducida en el Al-Fakhri (1000 d. C.) por Al-Karaji, quien laus para probar el teorema del binomio y propiedades del tringulo de Pascal. Alhazen tambin desarroll el mtodode prueba por contradiccin, como el primer intento de probar el postulado euclidiano de las paralelas.La teora moderna de pruebas trata a las pruebas como estructuras de datos definidas inductivamente. Ya no se tienese asume que los axiomas son ciertos en ningn sentido; esto permite que se creen teoras matemticas paralelas enconjuntos alternos de axiomas (vase Teora axiomtica de conjuntos y geometra no euclidiana como ejemplos).

Naturaleza y PropsitoComo se haba dicho, una prueba se escribe en lenguaje natural, siendo esta un argumento riguroso con propsito deconvencer a la audiencia de la veracidad de una afirmacin o definicin. El rigor estndar no es absoluto y havariado a travs de la historia. Una prueba puede ser presentada en formas diferentes dependiendo de la audienciaesperada. En orden de ganar aceptacin, una prueba tiene que cumplir parmetros comunes de rigor; un argumentoconsiderado vago o incompleto ha de ser rechazado.El concepto de una prueba se formaliza en el campo de la lgica matemtica.[7] Una prueba formal se escribe enlenguaje formal en vez de lenguaje natural. Una prueba formal se define como una secuencia de formulas en unlenguaje formal en la cual cada frmula es una consecuencia lgica de las precedentes. Tener una definicin deprueba formal hace el concepto de prueba ameno de estudiar. De hecho, el campo de teora de pruebas estudia laspruebas formales y sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de una afirmacin de tener una prueba formal. Unaaplicacin de la teora de pruebas es la de mostrar que ciertas afirmaciones indecidibles no pueden tener prueba.Se supone que la definicin de prueba formal est para capturar el concepto de la prueba tal como se escribe en laprctica de la matemtica. La sonoridad de esta definicin descansa en la creencia de que una prueba publicadapuede, en principio, ser convertida en una prueba formal. De todos modos, fuera del campo de los asistentesautomticos para pruebas, esto se hace raramente en la prctica. Una pregunta clsica de la filosofa pregunta si laspruebas matemticas son analticas o sintticas. Kant, quien introdujo la distincin entre analticos y sintticos, creaque las pruebas en matemticas son sintticas.Las pruebas pueden ser vistas como objetos estticos, admiradas por su belleza matemtica. El matemtico PaulErds describi las pruebas que consideraba particularmente elegantes como venidas de El Libro, un texto hipotticoque supuestamente contiene los mtodos ms hermosos de probar cada teorema. El ensayo Las pruebas de Ellibro, publicado en 2009, presenta 32pruebas que sus editores encuentran particularmente satisfactorias.


Mtodos de pruebaAunque en general no existe un procedimiento nico de demostracin de tesis, si existen diferentes tipos dedemostraciones que son utilizados comnmente en matemticas: Demostracin por contraposicin (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristteles). Demostracin por reduccin al absurdo (formalizado y utilizado por Aristteles) y, como caso particular,

descenso infinito Induccin matemtica Induccin fuertePor otra parte, a pesar del alto grado de intervencin humana necesario para hacer una demostracin, tambin existentcnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automticas, notablemente en el campo de lageometra euclidiana.

Prueba directaEn la prueba directa, la conclusin se establece al combinar lgicamente los axiomas, definiciones, y teoremasprevios. [8] Por ejemplo, la prueba directa puede ser usada para establecer que la suma de dos enteros pares essiempre par:

Considere dos enteros pares x e y. Como son pares, pueden ser escritos como x=2a e y=2b, respectivamente,para enteros a y b. Luego la suma x+y= 2a+2b= 2(a+b). Por lo tanto x+y tiene un factor de 2 y, pordefinicin, es par. Por lo tanto la suma de dos enteros pares es par.

Esta prueba usa la definicin de enteros pares, las propiedades de los enteros para la clausura bajo la adicin y lamultiplicacin, y la distributividad.

Prueba por induccin matemticaLa induccin matemtica no es una forma de razonamiento inductivo. En una prueba por induccin matemtica seprueba un nico caso base y tambin una regla de induccin, la cual establece que un cierto caso implica elsiguiente. Aplicando la regla de induccin repetidamente, empezando del caso base independientemente probado,prueba muchos, a veces infinitos en nmero, otros casos.[9] Como el caso base es verdadero, el infinito de los otroscasos debe tambin serlo, incluso si todos ellos no pueden ser probados directamente dada su infinitud. Unsubconjunto de induccin es infinitamente descendiente. El descenso infinito puede ser usado para probar lairracionalidad de la raz cuadrada de dos.Una aplicacin comn de la induccin matemtica es la de probar que una propiedad conocida por mantenerse paraun nmero se mantiene se mantiene para todos los naturales:[10]

Sea N = {1,2,3,4,...} el conjunto de los nmeros naturales,y P(n) la afirmacin matemtica que involucra alnmero natural n que pertenece a N tal que:

(i) P(1) es verdadero, p.e., P(n) es verdadero para n = 1. (ii) P(n+1) es verdadero donde sea que P(n) sea verdadero, p.e., P(n) es verdadero implica que P(n+1) es

verdadero. Por lo tanto P(n) es verdadero para todos los nmeros naturales n.

Por ejemplo, podemos probar por induccin que todos los enteros de la forma 2n + 1 son impares: (i) Para n = 1, 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3, y 3 es impar. Luego P(1) es verdadero. (ii) Para 2n + 1 para algn n, 2(n+1) + 1 = (2n+1) + 2. Si 2n + 1 es impar, luego (2n+1) + 2 debe ser impar,

porque aadir 2 a un nmero impar da un nmero impar. As que P(n+1) es verdadero si P(n) es verdadero.Por lo tanto 2n + 1 es impar, para todos los nmeros naturales n.


Es comn decir prueba por induccin en vez de prueba por induccin matemtica.[11]

Prueba por contraposicinLa prueba por contraposicin infiere la conclusin "si p entonces q" de la premisa "si no q entonces no p". Laafirmacin "si no q entonces no p" se llama el contrapuesto de la afirmacin de "si p entonces q".Por ejemplo, la contraposicin se puede usar para establecer que dado un entero a, si a es par, entonces a es par:

Supongase que a no es par. Luego a es impar, el producto de dos impares es impar, luego a = aa es impar.Por tanto a no es par.

Prueba por contradiccinEn la prueba por contradiccin (tambin conocida como reductio ad absurdum, que significa por reduccin alabsurdo en latn), se muestra que si cierta afirmacin es verdadera, ocurre una contradiccin lgica, por tanto esaafirmacin es falsa. Un ejemplo famoso de prueba por contradiccin muestra que es un nmero irracional:

Supongase que es un nmero racional, as por definicin donde a y b son dos enteros

diferentes de cero sin factores comunes. Por tanto, . Elevando al cuadrado ambos lados se tieneque . Como 2 divide el lado izquierdo, 2 debe dividir al lado derecho (pues son iguales ambosenteros). as es par, lo cual implica que a debe ser tambin par. As que podemos escribir , dondec tambin es entero. Substituyendo en la ecuacin original tenemos . Dividiendo aambos lados por 2 tenemos . Pero entonces, por el mismo argumento de antes, 2 divide a ,entonces b debe ser par. De todas maneras, si a y b son ambos enteros, comparten un factor, que es 2. Estocontradice nuestra asuncin, as que nos vemos forzados a concluir que es un nmero irracional.

Prueba constructiva o por construccinLa Prueba por construccin, o prueba por ejemplo, es la construccin de un ejemplo concreto con una propiedadespecfica para mostrar que algo que posea esa propiedad existe. Joseph Liouville, por ejemplo, prob la existenciade los nmeros trascendentes construyendo un ejemplo explicito. Tambin puede ser usado para construir uncontraejemplo para probar negativamente una proposicin de que todos los elementos tienen una cierta propiedad.

Prueba por exhaustividadEn la prueba por exhaustividad, la conclusin se establece al dividirla en un nmero finito de casos y probarlos cadauno por separado. El nmero de casos a veces puede ser muy grande. Por ejemplo, la primera prueba del teorema delos cuatro colores fue una prueba por exhaustividad con 1936casos. Esta prueba fue controvertida pues la mayorade los casos fueron verificados con un programa de computador y no a mano. La prueba conocida ms corta delteorema de los cuatro colores fue de 2011 y todava tiene ms de 600casos.

Prueba probabilsticaUna prueba probabilstica es una en la cual se muestra que un ejemplo existe, con certeza, usando mtodos de lateora de probabilidad. Esto no se debe confundir con un argumento de que un teorema es 'probablemente' cierto.Este tipo de razonamiento puede ser llamado un argumento de plausibilidad y no conlleva una prueba. En el casode la conjetura de Collatz est claro que tan lejos est eso de ser una prueba genuina.[12] La prueba probabilstica,como la prueba por construccin, es una de las muchas formas de demostrar teoremas de existencia.


Prueba por combinatoriaUna prueba por combinatoria establece la equivalencia de expresiones diferentes al mostrar que cuentan para elmismo objeto en formas diferentes. A menudo se usa una biyeccin entre dos conjuntos para mostrar que lasexpresiones para sus dos tamaos son iguales. Alternativamente, un argumento de doble conteo provee dosexpresiones diferentes para el tamao de un solo conjunto, mostrando nuevamente que las dos expresiones soniguales.

Prueba no constructivaUna prueba no constructiva establece que un objeto matemtico con una cierta propiedad existe sin explicar como talobjeto se puede encontrar. A menudo, estas toman la forma de una prueba por contradiccin en la cual la noexistencia de el objeto se prueba imposible. En contraste, una prueba constructiva establece que un objeto particularexiste al proveer un mtodo para encontrarlo.Un ejemplo famoso de prueba no-constructiva muestra que existen dos nmeros irracionales a y b tal que es unnmero racional:

O bien es un nmero racional y acabamos (tomese ), o es irracional por lo que

podemos escribir y . Esto produce , lo cual es un por tanto

racional de la forma .

Pruebas estadsticas en matemticas purasLa expresin prueba estadstica puede ser usada tcnica o coloquialmente en reas de matemticas puras, talescomo las que involucran criptografa, series caticas y teora de nmeros probabilstica o analtica.[13][14][15] No estan comnmente usada para referirse a una prueba matemtica en el rea de las matemticas conocida comoestadstica matemtica. Vase tambin la seccin inferior de prueba estadstica con el uso de datos.

Pruebas asistidas por computadorHasta el siglo XX se asuma que cualquier prueba deba, en principio, ser revisada por un matemtico competentepara confirmar su validez.[] De todas formas, los ordenadores se usan ahora para probar teoremas y para hacerclculos que para un humano o grupo de ellos seran muy largos de revisar; La primera prueba del teorema de loscuatro colores es un ejemplo de una prueba asistida por ordenador. Algunos matemticos estn preocupados de quela posibilidad de un error en un programa de computador o un error de ejecucin en sus clculos pueda afectar lavalidez de tales pruebas asistidas por computador. En la prctica las posibilidades de un error que invalide unaprueba asistida por computador pueden reducirse al incorporar redundancia y auto-revisiones en los clculos, y aldesarrollar enfoques y programas mltiples e independientes. Los errores tampoco podrn ser totalmente superadosen caso de la verificacin humana de una prueba, especialmente si la prueba contiene lenguaje natural y requiere untrasfondo matemtico profundo.


Afirmaciones indecidiblesUna sentencia que no es demostrable ni positiva ni negativamente dese un conjunto de axiomas de llama indecidible(desde esos axiomas). Un ejemplo es el postulado de las paralelas, el cual no es ni demostrable ni refutable desde losdems axiomas de la geometra euclidiana.Los matemticos han mostrado que hay muchas sentencias que no son ni demostrables ni refutables en la teora deconjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de eleccin (ZFC), el sistema estndar de la teora de conjuntos enmatemticas (asumiendo que ZFC es consistente); vase la lista de sentencias indecidibles en ZFC.El primer teorema de la incompletitud de Gdel muestra que muchos sistemas axiomticos de inters matemticotendrn sentencias indecidibles.

Matemtica heurstica y experimentalMientras que los matemticos tempranos como Eudoxo de Cnidus no usaban pruebas, a partir de Euclides hasta losdesarrollos fundacionales de las matemticas del tardo siglo XIX y XX, las pruebas se convirtieron en una parteesencial de las matemticas.[16] Con el incremento del poder computacional en los aos sesenta, en la matemticaexperimental se empez a realizar un trabajo significativo investigando objetos matemticos fuera del marco deprueba-teorema.[17] Los pioneros tempranos de esos mtodos pretendan que el trabajo finalmente se tradujera alclsico marco de trabajo prueba-teorema, por ejemplo, el desarrollo temprano de la geometra fractal,[18] el cual fuefinalmente muy apreciado.

Conceptos relacionados

Prueba visualA pesar de no ser una prueba formal, una demostracin visual de un teorema matemtico es a veces llamada unaprueba sin palabras. La imagen de la izquierda mostrada abajo es un ejemplo de la histrica prueba visual delTeorema de Pitgoras en el caso del tringulo de lados con medidas (3,4,5).

Prueba visual para el tringulo de lados (3, 4,5) tal como aparece en el Chou Pei Suan

Ching 500200BC.

Prueba visual animadadel teorema de Pitgoras

por reacomodacin.

Una segunda pruebaanimada del teorema de

Pitgoras.

Prueba elementalUna prueba elemental es una prueba que solo usa tcnicas bsicas. El trmino se usa ms especficamente en la teorade nmeros para referirse a las pruebas que no hacen uso del anlisis complejo. Por algn tiempo se pensaba queciertos teoremas, como el teorema de los nmeros primos, solo podra ser probado usando matemticas superiores.De todas formas, al pasar al tiempo, muchos de esos resultados pudieron ser nuevamente probados usando solotcnicas elementales.


Prueba de dos columnas

Una prueba de dos columnas publicada en 1913

Una forma particular de organizar una prueba, que usa dos columnasparalelas, se usa a menudo en las clases de geometra elemental en losEEUU.[19] La prueba se escribe como una serie de lneas en doscolumnas. En cada lnea, la columna izquierda contiene unaproposicin, mientras que la columna derecha contiene una cortaexplicacin de como la proposicin correspondiente de la columnaizquierda es o bien un axioma, una hiptesis, o puede ser derivadalgicamente de las preposiciones anteriores. La columna izquierda estpicamente llamada Afirmaciones y la derecha, Razones.[20]

Uso coloquial de "prueba matemtica"

La expresin prueba matemtica es usada popularmente parareferirse a usar mtodos matemtic

wiki demos computa

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