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Material de Lectura de la Unidad VI: Cantidad de movimiento y choques
2 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
Material de Lectura de la Unidad VI: Cantidad de movimiento y choques
3 Emma K. Encarnación E., Javier De Jesús Paulino
INDICE DEL CONTENIDO
Introduccion .......................................................................................... 4
Cantidad de movimiento .......................................................................... 4
Impulso ................................................................................................. 4
Unidades de cantidad de movimiento ......................................................... 4
Conservación de la cantidad de movimiento ................................................ 4
Choque elástico ...................................................................................... 4
Choque inelástico ................................................................................... 4
Centro de masa ...................................................................................... 4
Problemas resueltos ................................................................................ 4
Problemas propuestos ............................................................................. 4
Bibliografia ............................................................................................ 4
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Introducción
En mecánica clásica la forma más usual de introducir la cantidad de
movimiento es mediante definición como el producto de la masa de un cuerpo
material por su velocidad, para luego analizar su relación con la ley de Newton
a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento.
Para luego analizar los diferentes tipos de choque tanto elástico como
inelástico.
Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es
una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se
define como el producto de la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad en
un instante determinado. En cuanto al nombre Galileo Galilei en sus Discursos
sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano ímpeto, mientras que Isaac
Newton usa en Principia Mathematica el término latino motus y vis.
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa
que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que
no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son
disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.
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Se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación
de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:
Siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del
intervalo.
Cantidad de movimiento en mecánica clásica
Mecánica newtoniana
Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de
la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el
de masa. En mecánica newtoniana se define el momento lineal como el
producto de la masa por la velocidad:
La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento"
dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un
camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la
mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los
dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud
que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.
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Impulso
En física, se denomina impulso a la magnitud física, generalmente
representada como (I), definida como la variación en la cantidad de
movimiento que experimenta un objeto en un sistema cerrado. El término
difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue acuñado por
Isaac Newton en su segunda ley, donde la llamó vi motrici refiriéndose a una
especie de fuerza del movimiento.
En la mecánica clásica, a partir de la segunda ley de Newton sobre la fuerza
tenemos que:
si multiplicamos a ambos lados por un :
lo que nos dice que el cambio en la cantidad de movimiento es proporcional a
una fuerza aplicada sobre la partícula durante algún intervalo de tiempo:
A lo que llamamos impulso es ese valor de la integral de la fuerza en el
tiempo:
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En el caso de que la fuerza no varié con el tiempo usamos la
siguiente fórmula
Esta fórmula nos dice que el área bajo el gráfico F=f(t) es igual al impulso
El concepto de impulso se puede introducir mucho antes del conocimiento
sobre el cálculo diferencial e integral con algunas consideraciones. Si la masa
no varía en el tiempo, la cantidad de movimiento se puede tomar como el
simple producto entre la velocidad ( ) y la masa ( ). Según la segunda ley de
Newton, si a una masa se le aplica una fuerza aquélla adquiere una
aceleración , de acuerdo con la expresión:
F
t t1 t2
F=f(t)
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Multiplicando ambos miembros por el tiempo t en que se aplica la fuerza F:
Como , tenemos:
y finalmente:
que es el equivalente cuando la fuerza no depende del tiempo.
Unidades
Un impulso cambia el momento lineal de un objeto, y tiene las mismas
unidades y dimensiones que el momento lineal. Las unidades del impulso en el
Sistema Internacional son kg·m/s.
Para deducir las unidades podemos utilizar la definición más simple, donde
tenemos:
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Considerando que , y sustituyendo, resulta
y efectivamente,
con lo que hemos comprobado que , por lo que el impulso de la fuerza
aplicada es igual a la cantidad de movimiento que provoca, o dicho de otro
modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual
al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él.
Unidades de cantidad de movimiento e impulso
UNIDADES S I CGS INGLES
P o I Kg m/s = N
s
Gr cm/s = D s Lb s
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Conservación de la cantidad de movimiento.
Cuando dos cuerpos interactúan ejerciendo una fuerza entre ellos ya sea a
distancia (gravitación) o por contacto directo (coalición), al aplicarse en estos
casos la tercera ley de Newton, quedaría lo cual significa: la fuerza
que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo2 , es igual y opuesta a la fuerza que
ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 . Por lo cual y de acuerdo a la ecuación 5):
6) que significa que la fuerza que ejerce el cuerpo 1, sobre el cuerpo 2
es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo 2. La
ecuación 7) significa que la fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el
cuerpo 1 es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del
cuerpo 1. Sumando ambas ecuaciones
Sustituyendo ; ; o sea, ;
Lo cual significa que si la suma de la rapidez de cambio de las cantidades de
movimiento es cero, entonces la suma de las cantidades de movimiento es
constante (la derivada de una constante es cero) significando también que las
fuerza externas son cero, y que .
De lo anterior se puede decir: la suma de las cantidades de movimiento de un
sistema aislado de dos cuerpos que ejercen fuerzas ante sí, es constante,
independientemente de la forma en que se sumen las fuerzas. A esto se le
llama el principio de la conservación de la cantidad de movimiento.
Para dos cuerpos que se mueven con cierta velocidad antes y después de una
colisión:
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Y esto significa que la cantidad de movimiento total antes del choque es igual
a la cantidad de movimiento total después del choque; es decir la cantidad de
movimiento permanece constante. Un caso semejante se tiene en el caso de
una colisión entre 3 o más cuerpos sin la intervención de fuerzas externas.
Choques o colisiones
Choque elástico
En física, en el caso ideal, una colisión perfectamente elástica es un choque
entre dos o más cuerpos que no sufren deformaciones debido al impacto. En
una colisión perfectamente elástica se conservan tanto el momento lineal y la
energía cinética del sistema. Claro está que durante una colisión, aunque sean
de dos sólidos, no se puede considerar perfectamente elástico ya que siempre
hay una deformación. Se cumple para dos cuerpos que tienen un choque
frontal en línea recta esta ecuación es como consecuencia de la conservación
de la cantidad de movimiento.
Y como también se conserva la energía cinética tenemos
Después
Choque
antes
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Estas dos ecuaciones son ecuaciones simultáneas donde las incógnitas son ,
y si encontramos la solución tendremos
Donde con esta fórmula se encuentran las velocidades después del choque de
ambos carritos.
Choque inelástico
En un choque inelástico los cuerpos presentan deformaciones luego de su
separación; esto es una consecuencia del trabajo realizado. En el caso ideal de
un choque perfectamente inelástico, los objetos en colisión permanecen
pegados entre sí. El marco de referencia del centro de masas permite
presentar una definición más precisa. En los choques inelásticos la energía
cinética no se conserva, ya que está es "usada" para deformar el cuerpo. Aquí
solo se conserva la cantidad de movimiento para un choque entre dos
partícula.
Siendo y la velocidad de los móvil antes del choque y y la
velocidad después del choque.
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Centro de Masa
Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar
concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las
partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de
cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.
En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el
cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un
sistema.
Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la
fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este
último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se
considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos
cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de
gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es
constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de
masa.
Si el objeto está en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera una
partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en
el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un
metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está
localizado directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar
concentrada allí.
La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de
masa en donde F es la fuerza externa neta, M es la masa total del sistema o
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la suma de las masas de las partículas del sistema, y ACM es la aceleración
del centro de masa.
La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se
mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada allí, y
recibiera la acción de la resultante de todas las fuerzas externas.
Asimismo, si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas
es cero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se
conserva (permanece constante) dado que
Como para una partícula. Esto significa que el centro de masa se mueve con
una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque se pueda visualizar
con más facilidad el centro de masa de un objeto sólido, el concepto del
centro de masa se aplica a cualquier sistema de partículas u objetos, aunque
esté en estado gaseoso.
Para un sistema de n partículas dispuestas en una dimensión, a lo largo del
eje x, la posición del centro de masa está dado por:
Esto es, XCM es la coordenada de x del centro de masa de un sistema de
partículas. En una notación corta:
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En donde S i indica la suma de los productos mixi para i partículas
(i=1,2,3,…,n).
Si S mixi = 0, entonces XCM = 0, y el centro de masa del sistema
unidimensional está localizado en el origen.
Otras coordenadas del centro de masas para el sistema de partículas se
definen en forma similar. Para una distribución tridimensional de masas, la
posición del centro de masas es
PROBLEMAS RESUELTOS
1
Se mueve un ladrillo de 2 kg con una
velocidad de 6 m/s.
¿Cuál es la magnitud de la fuerza F
necesaria, si se desea detener el
ladrillo en un tiempo de
7x10-4s?
Solución: usando la formula
𝐼=𝑚 y despejando F tenemos
Dándole valores tenemos.
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2
Una pelota de 0.20 kg se mueve a
una velocidad de 12 m/s choca
contra una pared y rebota a la
misma velocidad pero en sentido
contrario.
Halla el impulso total que actúa
sobre la pelota.
Solución: usando .
Dándole valores esto es:
3
La fuerza que actúa sobre un cuerpo
está dada por F= 4 t2-2t N.
Halla el impulso que esta trasmite al
cuerpo, cuando el tiempo va de 0 a 2
segundo.
Solución: usando
𝐼= , sustituyendo la fuerza
tenemos:
= 4(2)3/3 -
22
4
Dos partículas de 4 y 8 Kg se
mueven hacia la derecha con
velocidades de 3 y 2 m/s
Solución: hallamos la cantidad de
movimiento de cada partícula y luego la
sumamos.
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respectivamente.
Halla la cantidad de movimientos
total del sistema.
P= P1+P2
P1 = m1 v1; P2 = m2 v2:
Dándoles valores tenemos:
P1 = m1 v1= (4kg ) (3 m/s)= 12 N s
P2 = m2 v2= (8kg ) (2 m/s)= 16 N s
P= 28 N s
5
Un cuerpo que tiene una masa de 4
Kg posee una cantidad de
movimiento de 16 N s
Halla el cambio de velocidad.
Solución: usando la formula
despejando tenemos.
= 4 m/s
Que es el cambio de velocidad
6
Un rifle que pesa 6 kg dispara una
bala de 20 gr a una velocidad de 600
m/s.
Encuentre la velocidad con la que
retrocede el rifle.
Solución: aplicando el principio de la
conservación de la cantidad de
movimiento antes y después de que
dispara el rifle tenemos:
Pi=0, Pf = m vi + MV, como la cantidad
de movimiento se conserva tenemos:
Pi= Pf
Esto es 0= m vi + MV , despejando V
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Nos da V= -m vi/M dándoles valores
V= -m vi/M = (0.02kg)(600 m/s)/(6
kg)=- 2 m/s
Que sería la velocidad del retroceso del
rifle
7
Una partícula de 3 kg se mueve a lo
largo del eje x con una velocidad
inicial de 4 m/s . Se ejerce una
fuerza F = - 6 N ( es decir, en la
dirección negativa de x) durante un
período de 4 s.
Halla la velocidad final de la partícula
Solución: usando la fórmula
que también la podemos escribir como :
despejando la velocidad
final tenemos:
Dándole valores tenemos:
= (4 s)/3Kg + 4 m/s
8
Halla el impulso en el siguiente
gráfico.
Solución: el área bajo el gráficos F= f(t)
me da el impulso, por lo tanto hallamos el
área bajo el gráfico.
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En este caso es un trapecio
I= A= (b+B) h /2 dándole valores
tenemos:
Observando la figura tenemos:
b= 0.8 – 0.4 = 0.4 s
B= 1.0 -0.2 = 0.8 s
h= 80 N
sustituyendo tenemos
I= (b + B) h/2 = (0.4s + 0.8s) 80N/2 =
48 N s
9
Un cuerpo 2 Kg se mueve a una
velocidad de 6 m/s sobre el actúa
un impulso dado por el siguiente
gráfico.
Halla la velocidad final
Solución: usando la fórmula
donde la podemos escribir
como
Despejando la velocidad final
Aquí el I es el área bajo el gráfico que es
A=I= b h/2 =( 0.4 s)(160 N)/2 = 32 N s
Dándole valor a la formula, tenemos:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t(s)
F(N)
80
40
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= (32N s)/2kg + 6 m/s
10
Una bala que tienen una masa de
0.030 kg se mueve horizontal con
una velocidad vo, choca con un
trozo de madera que tiene masa de
4.0 kg que está en reposo, si
después del choque la bala queda
dentro de la madera y se mueve a
una velocidad de 8 m/s.
Halla la velocidad inicial de la bala.
Siendo m masa de la bala y M masa
de la madera.
Solución : igualando la cantidad de
movimiento antes, con la cantidad de
movimiento después tenemos:
Pi = m vo que es la cantidad de
movimiento antes como la M esta en
reposo la cantidad de movimiento es cero
La cantidad de movimiento final es
Pf = m vo + MV
Pi= Pf esto es:
m vo = m V+ MV= (m + M) V
despejando vo tenemos
= (4.030 kg/0.030 kg) 8
m/s
M vO Antes
m
0 0.2 0.4 0.6 t(s)
F(N)
160
80
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11
Tres masas m1=2kg, m2=3 kg,
m3=4 kg se encuentran en la
posiciones (0,0), (2, 3), (4,1).
Respectivamente.
Halla la coordenada de centro de
masa.
Solución: usando en x tenemos:
Donde M= 9 kg dándole valores tenemos
m = 2.44 m
En y tenemos: dándole
valores
m = 1.44 m
M+m
Despué
s
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12
Un cuerpo M1= 1.5 Kg aptado a un
hilo que tiene una longitud de un
metro, se deja caer desde la
horizontal y choca con otro cuerpo
M2= 2.0 kg ver figura,
Halla la velocidad de M1 después del
choque.
Solución : como M1 cae en caída libre
para hallar la velocidad con que choca con
M2, la hacemos igualando energía
mecánica entre esto dos punto esto es
despejando la velocidad
tenemos siendo h= 1m por lo
tanto ,ahora tenemos un
choque frontal para hallar usamos
aquí , nos queda
dándole valores
= -0.63 m/s
13
Dos cuerpos chocan en un choque
elástico y frontal m1=2.0 kg y m2=
3 .0 kg siendo las velocidades de
dichas masas 6 y 4 m/s
respectivamente.
Halla las velocidades de ambas
masa después del choque.
Solución: sustituyendo directamente en la
ecuaciones.
Dándole valores tenemos:
1 m
M2
M1
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=
14
La figura muestra un péndulo
balístico para medir la rapidez de
una bala. Una bala de masa m, se
dispara contra un bloque de madera
de masa M que cuelga como un
péndulo, y tiene un choque
totalmente inelástico con él.
Después del impacto el bloque oscila
hasta una altura máxima. Si
m=0.005kg, M=2.5 kg, h= 3 cm.
Halla la velocidad de la bala vo.
Solución: en la primera etapa se conserva
la cantidad de movimiento que esto es:
Donde es la velocidad de la bala y V es
la velocidad de la madera y de la bala
Despejando la velocidad de la bala
tenemos:
En la segunda etapa la energía cinética
de la bala madera se convierte a energía
potencial esto es:
despejando la V tenemos:
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sustituyendo en la ecuación arriba
tenemos
Dándole valores encontramos:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1
Un cuerpo tiene una masa de 2.5 Kg
y se mueve a una velocidad de 8 m/s
.Halla la cantidad de movimiento.
M m vO
Antes m+M
h
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2
Se cree que el meteoro cráter en
Arizona se formó por el impacto de
un meteorito con la tierra hace unos
20,000 años. La masa del meteorito
se calcula que fue de 5 x 1010 kg, y
su rapidez en 7.2 km/s
¿Qué rapidez impartiría a la tierra tal
meteorito en una colisión frontal?
3
Un rifle que pesa 5 kg dispara una
bala de 15 gr a una velocidad de 700
m/s.
Encuentre la velocidad con la que
retrocede el rifle.
4
Dos partículas de masas de 3 kg y 4
kg se mueven como indica la
figura
a) Halla la cantidad de movimiento
de cada partícula
b) la cantidad de movimiento total
del sistema
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5
Una bala de 8gr se dispara
horizontalmente hacia el interior de
un bloque de madera de 9 kg y se
clava en él. El bloque, que puede
moverse libremente, adquiere una
velocidad de 40cm/s después del
impacto.
Determine la velocidad inicial de la
bala.
6
5 m/s
8 m/s
3 Kg
4 Kg
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Una pelota de 0.20 kg choca con una
pared con una velocidad de 12 m/s
Y rebota con una velocidad de 10
m/s
Halla el cambio de la cantidad de
movimiento que tiene la pelota
7
Una masa de 16g se mueve hacia la
derecha a 30cm/s, mientras una
masa de 4g se mueve hacia la
izquierda a 50cm/s, chocan y quedan
unidas
Encuentre la velocidad después de la
10 m/s
0.20 Kg 12 m/s
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colisión.
8
Una pelota de 0.25kg se mueve a
13m/s hacia la derecha cuando es
golpeada por un bate Su velocidad
final es de 19m/s hacia la izquierda.
El bate actúa sobre la pelota por
0.10s.
Determine la fuerza promedio F que
ejerce el bate sobre la pelota
9
Un cuerpo 4 Kg se mueve a una
velocidad de 10 m/s sobre el actúa
un impulso dado por el siguiente
grafico.
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Halla la velocidad final
10
Localizar el centro de masas de tres
partículas de masas m1 = 2,0 kg,
m2 = 4,0 kg y m3 = 6,0 kg situadas
en los vértices de un triangulo
equilátero que tiene 1,0 m de lado.
11
Sobre un cuerpo de 2 Kg que se
mueve a una velocidad de 12 m/s
actúas una fuerza en contra del
movimiento dadas por el siguiente
grafico,
a) Halla la cantidad de movimiento
0 2 4 6 t(s)
F(N)
40
20
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final,
b) la energía final de la partícula.
12
Halla el impulso según el grafico
13
0 2 4 6 8 10 12 t(s)
F(N)
60
20
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t(s)
F(N)
100
50
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Tres masas m1=3kg, m2=5 kg,
m3=4 kg se encuentran en la
posiciones (0.5,1)m, (3, 3)m,
(4,5)m. Respectivamente.
Halla la coordenada de centro de
masa.
14
Una bala que tienen una masa de
0.040 kg se mueve horizontal con
una velocidad 1200 m/s, choca con
un trozo de madera que tiene masa
de 6.0 kg que está en reposo, si
después del choque la bala queda
dentro de la madera
Halla la velocidad final del pedazo
de madera y la bala.
M vO Antes
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15
La fuera que actúa sobre un cuerpo
está dada por F= (6 t2 +4t -8 ) N.
Halla el impulso que ésta le trasmite
al cuerpo cuando el tiempo va de 0 a
3 segundo.
16
Dos cuerpos chocan en un choque
elástico y frontal m1=3.0 kg y m2=
1.5 .0 kg siendo las velocidades de
dicha masa 4 m/s y -3 m/s
respectivamente.
Halla las velocidades de ambas
masa después del choque.
17
M+m
Despué
s
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Un cuerpo M1= 1.5 Kg atado a un
hilo que tiene una longitud de un
metro, se deja caer desde la
horizontal y choca con otro cuerpo
M2= 3.0 kg ver figura,
Halla que altura sube M1 después
del choque.
18
Deducir la solución para choque
elástico para dos móvil que tienen
un choque frontal donde se cumple
la cantidad de movimiento y la
energía cinética.
1 m
M2
M1
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Consultar cualquier libro de Física.
(recordar que son dos ecuaciones
simultáneas)
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Bibliografía
Sears, F., Zemansky, M., Young, H., Freedman, R, and Ford L. (2009). Física
universitaria. Editor: Pearson Educación, Addison-Wesley. Volumen 1, Edición
12.
Serway, R and Jewett, J. (2008). Física para ciencias e ingenierías. Editor:
CENGAGE Learning. Volumen 1, 7ma. Edición.