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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

JUNIO 2018/2019

OPCIÓN A

a) En primer lugar haremos la operación

Para saber el valor de k obtenemos el determinante e igualamos a cero:

Por tanto para el determinante es nulo.

b) Para que una matriz acepte inversa, esta ha de ser cuadrada (mismo número de filas

y columnas) y su determinante tiene que ser otro número que no sea cero.

Por ello, la matriz no puede tener inversa debido a que que tiene distinto número

de filas y columnas.

El producto resultante de será una matriz 2x2 (puesto que es un producto

de una 2x3 y una 3x2), por tanto es posible que tenga inversa, y entonces haremos la

operación y comprobamos que el determinante es diferente de cero.

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Para hallar la inversa de la matriz usamos la fórmula

En este caso 𝐷 = 𝐷𝑡 por ser una matriz simétrica y su matriz de adjuntos será:

a) Primero identificamos cada variable: X representará el valor de litros de helado

necesarios e Y el valor de litros de horchata. Según el enunciado las restricciones son

las siguientes:

𝑥 + 2𝑦 ≤ 20

𝑥 ≤ 15 , además de 𝑥, 𝑦 ≥ 0. La región del plano será la siguiente:

𝑥 + 𝑦 ≥ 10

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𝑓 ( 𝑥 ) ( 0 , 3 ) .

𝑓 ( 𝑥 ) ( ⋃ )

( ⋂ )

b) La función que pretendemos maximizar (función objetivo) es

Para hacerlo cambiamos los puntos A,B,C y D del recinto en dicha función y el punto de

mayor valor será donde se obtenga el mayor beneficio.

Los puntos son:

Por lo que, sacamos el máximo beneficio con 15 litros de helado y 2.5 litros de horchata

donde el beneficio en sí será de 405 euros.

𝑓 ( 𝑥 )

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a) Para sacar la función original tenemos que integrar la derivada.

b) Para calcular los extremos relativos igualamos la derivada a cero y sacamos los

posibles máximos y mínimos. Y para poder averiguar si se trata de un máximo o un

mínimo realizamos la segunda derivada y comprobamos el signo del punto

sustituyendo en ella.

Para estudiar la curvatura vemos que puntos anulan la segunda derivada.

es un posible punto de inflexión. Ahora usando

valores entre y sustituyendo en la segunda derivada tenemos:

- +

Convexa Cóncava

Entonces, la función es convexa en el intervalo y cóncava en el intervalo .

Hay un punto de inflexión en .

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a) Como entonces

Por el teorema de Bayes se tiene que:

Dos sucesos son independientes si en este caso sabemos

que y por otro lado , por

lo que no son independientes.

Así,

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a) Tenemos una normal ya que la desviación típica es la raíz cuadrada de la

varianza.

Al ser un intervalo al 99.2% sabemos que 0,

Por lo que nuestro intervalo será:

b) El error se define como Al ser al 95% tiene que , por lo que

𝜇 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 2

𝜇

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OPCIÓN B

a) Dado que es un sistema homogéneo, el rango de la matriz de coeficientes y el rango

de la matriz ampliada debe ser el mismo, porque todos los elementos de la última

columna de la matriz de expansión son cero, por lo que el rango no cambiará. Comprobemos el rango de la matriz de coeficientes, para ello hallamos el

determinante y lo ponemos a cero para obtener el valor de m que lo compensa.

Si por tanto el rango es 3 y al ser un sistema homogéneo

se trata de un sistema no compatible (solución trivial 0).

Algunos expertos consideran que es un sistema compatible determinado.

• Si, :

Por tanto el rango será menor que 3. por lo que rg(A)=rg(A*)< número de

incógnitas por tanto es un sistema compatible indeterminado y admite solución

distinta a la trivial.

𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0

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b) Para , veamos si tiene algún menor de orden 2 distinto de cero.

Por lo que rg(A)=rg(A*)=2< número de incógnitas por lo que es un sistema compatible

indeterminado, para hallarlo necesitamos dos ecuaciones, porque el rango es dos, y

dependerá de un parámetro. Número de incógnitas – rango = número de

indeterminaciones (3-2=1)

por reducción tenemos,

Así , y la solución es .

a) Calculemos primero las asíntotas:

• A.V. No hay ya que no existe x tal que (es decir, no hay número que

anule el denominador).

𝑓 ( 𝑥 )

𝑥 = 2

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• A.H.

Hay una asíntota horizontal:

• A.O. No hay ya que existe asíntota horizontal.

Para el crecimiento obtenemos la derivada e igualamos a cero.

+ -

Creciente Decreciente

Por tanto, la función es creciente en el intervalo y la función es decreciente

en el intervalo . (nota: se puede ver que además tendrá un máximo en (0,2))

b) La función de la recta tangente es:

por tanto la recta tangente queda así

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a) Si queremos que la función sea continua en un punto “a”, ha de cumplirse:

Una vez calculada la continuidad de cada trozo en su dominio de definición, vamos a

hallar la continuidad en los puntos de cambio de dominio.

Si

Si

En resumen, si es continua en y si es continua en

𝑘 = 0 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 = − 1 𝑦 𝑥 = 1

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b) Si , la función es de la forma

Para obtener la integral debemos dividirla en dos, ya que en dicho intervalo

tenemos dos funciones distintas.

denominamos por P(J) a la probabilidad de que un niño de primaria juegue con consolas

más tiempo del recomendado ( su complementario) y la probabilidad de

fracaso escolar ( su complementario). El árbol del problema es el siguiente:

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a) Hallamos la probabilidad total.

b) Es probabilidad condicionada, por el teorema de Bayes se tiene que

Tenemos una normal

a) La amplitud del intervalo de confianza se define como (es decir, el doble

del error permitido). Al ser al 95% será

𝜇 𝜎 = 1 . 5

𝜇 = 6

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Por tanto:

b)