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PAU Junio 2016 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)

Examen PAU Murcia Junio 2016 – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

Cuestión A.1

En una empresa trabajan empleados de las categorías A, B y C. El salario mensual

de cada trabajador es de 1200, 1700 y 2200 €, según que pertenezca a la categoría

A, B o C, respectivamente. Todos los trabajadores destinan el 5% de su salario a

un plan de pensiones, lo que asciende en un mes a un total de 4930 €. El número

de trabajadores de la categoría A es el 150% de los de la categoría B. El número de

trabajadores de la categoría B más el de la C supera en 3 el número de

trabajadores de la categoría A. Halla el número de trabajadores de cada categoría.

(2’5 puntos)

Solución:

El problema se resuelve con un sistema de ecuaciones lineales. Para ello, identificamos

las incógnitas: a = nº de empleados de categoría A

b = nº de empleados de categoría B

c = nº de empleados de categoría C

La frase del enunciado “El número de trabajadores de la categoría A es el 150% de

los de la categoría B” se traduce en la ecuación:

a = 1’5·b

La frase del enunciado “El número de trabajadores de la categoría B más el de la C

supera en 3 el número de trabajadores de la categoría A” se traduce en la ecuación:

b + c = a + 3

Nos falta una tercera ecuación, dado que tenemos 3 incógnitas. Utilizaremos la

información referente al plan de pensiones y los sueldos:

La suma del 5% del sueldo total pagado a todos los empleados de las categorías A, B y

C obtendremos los 4930 € de aporte total al plan de pensiones.

5% de 1200·a + 5% de 1700·b + 5% de 2200·c hace un aporte total al plan de pensiones

de 4930 €

1200·a·0’05 + 1700·b·0’05 + 2200·c·0’05 = 4930 simplificando

60a+85b+110c=4930

Así el sistema queda:

60 85 110 4930

1'5

3

a b c

a b

b c a


Lo resolvemos:

60 85 110 4930Sustituyendo a en la 1ª y 3ª ecuación 60·1'5 85 110 4930

1'5por lo que aparece en la 2ª ecuación 1'5 3

3

90 85 110 4930 175 110 4930

1'5 3 0

a b cb b c

a bb c b

b c a

b b c b c

c b b c

Sustituyendo c en la 1ª ecuación

'5 3 por la expresión de c de la 2ª ecuación

175 110 0 '5 3 4930 175 55 330 4930

4600230 4600 20 empleados de categoria B

230

b

b b b b

b b

Sustituyendo en las ecuaciones del principio:

a = 1’5·20 a = 30 empleados de la categoría A

c = 0’5b – 3 c = 0’5·20 + 3 = 13 empleados de la categoría C


Cuestión A.2

Dada la función

2

2

2( )

1

ax bf x

x

, donde a, b ∈

a. Hallar el dominio de f(x). (0’5 puntos)

b. Hallar a y b para que la función tenga una asíntota horizontal en y = 2 y

pase por el punto (0,4). (0’75 puntos)

c. Para a = 1 y b = 1 hallar f ’(x). (0’75 puntos)

Solución:

a. Para hallar el dominio, averiguamos que valores de x anulan el denominador:

2 21 0 1 1 No existex x x

No hay que excluir ningún valor del dominio. El dominio de la función es

b. La asíntota horizontal es y = b, siendo b el valor del límite de la función cuando x

se aproxima al +∞. Lo calculamos:

2 2 2

2 2

2 ·lim lim lim

1x x x

ax b ax a x

x x

2xa

La asíntota horizontal tiene de ecuación y = a. Como debe ser y = 2, el parámetro a = 2.

La función pasa por (0, 4) sustituyendo en la expresión de la función x por 0 e y por 4

nos queda la igualdad:

2

2

2·0 2 24 4 4 2 2

0 1 1

b bb b

c. Si a = 1 y b = 1 la función queda:

2

2

2( )

1

xf x

x

. Calculemos su derivada:

2 2 3 3

2 22 2

22

2 1 2 2 2 2 2 4'( )

1 1

2 '( )

1

x x x x x x x xf x

x x

xf x

x


Cuestión A.3

Se considera la función definida por:

2

3 0( )

2 3 0

x si xf x

x x si x

a. Representa gráficamente la función f. (0’75 puntos)

b. Calcular el área del recinto acotado por la gráfica de f y el eje OX. (1’25

puntos)

Solución:

a. Para los valores de x menores que 0 la función es una recta, hacemos una tabla:

X<0 x

y = x+3

0 3

-1 2

-2 1

El punto (0, 3) no se incluye en la gráfica, se dibuja con un círculo vacio.

Para los valores mayores o iguales a cero es una parábola, determinamos el vértice:

2

21

2 2

1 2·1 3 1 2 3 4

v

v

bx

a

y

El vértice tiene las coordenadas V(1,4), hagamos una tabla de valores:

x≥0 x

y=–x2+2x+3

0 3

1 4

2 -4+4+3=3

3 -9+6+3=0

Quedando la gráfica:


b. El área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX es el área del recinto

rayado:

Dicha área se calcula separándola en 2 zonas:

Área zona roja es el área de un triángulo rectángulo de base 3 y altura 3

·altura 3·34 '5

2 2

baseÁrea

Área zona verde es una integral definida:

33

32 2

00

3 32 2

2 3 33

3 0 273 3·3 0 3·0 9 9 9

3 3 3

xx x dx x x

El área total=Rojo + Verde= 4’5 + 9 = 13’5 unidades cuadradas


Cuestión A.4

En una universidad el 65% de sus miembros son estudiantes, el 25% profesores y

el 10% personal de administración y servicios. Son mujeres el 60% de los

estudiantes, el 47% de los profesores y el 52% del personal de administración y

servicio. Si elegimos al azar un miembro integrante de esta universidad:

a. Determinar la probabilidad de que sea mujer. (1 punto)

b. Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser un hombre, hallar la

probabilidad de que sea estudiante. (1 punto)

Solución:

Realicemos un árbol para aclarar la situación planteada:

a. P(Elegir mujer) = 0’65 · 0’60 + 0’25 · 0’47 + 0’1 · 0’52 = 0’5595

b. P(Estudiante/Hombre) =

( ) 0'65·0'4 0'260'59

( ) 1 0'5595 0'4405

P Estudiante Hombre

P Hombre

Estudiante

Profesor

Personal

administración

y servicios

Hombre

Hombre

Hombre

Mujer

Mujer

Mujer

0’65

0’25

0’10

0’40

0’60

0’47

0’53

0’48

0’52


Cuestión A.5

En una población el tiempo de desplazamiento de los trabajadores al lugar de

trabajo sigue una distribución normal con desviación típica de 15 minutos.

Tras realizar una muestra aleatoria de 60 trabajadores se ha encontrado que el

tiempo medio de desplazamiento es de 45 minutos. Halla el intervalo de confianza

al 90% para el tiempo medio de desplazamiento al lugar de trabajo de los

individuos de la población. (1’5 puntos)

Solución:

Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo empleado en desplazarse al lugar de

trabajo. Sabemos que sigue una N(𝛍, 15).

Utilizamos la fórmula /2 /2· , ·x z x zn n

para establecer el intervalo de

confianza.

n = 60, x =45, =15

y como 1 – ∝ = 0’9 ∝ = 0’1 ∝/2 = 0’05 1 – ∝/2 = 0’95 /2z = 1’645

El intervalo de confianza para la media de la población es:

/2 /2

15 15· , · 45 1'645· , 45 1'645·

60 60

Intervalo de confianza 41'81, 48'18

x z x zn n


Cuestión B.1

Un supermercado necesita, al menos, 80 docenas de huevos de tamaño pequeño,

120 docenas de huevos de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande. Se

abastece de dos granjas A y B. La granja A suministra lotes de 4 docenas de

huevos pequeños, 12 docenas de medianos y 2 docenas de grandes, y el coste de

cada lote es de 6 €. La granja B proporciona lotes de 2 docenas de huevos

pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes, con un coste de 4 €

por lote.

Además, la granja A puede suministrar como máximo, 50 lotes y la granja B, puede

suministrar, como máximo, 60 lotes. Hallar el número de lotes que debe comprar a

cada granja para satisfacer sus necesidades con el mínimo coste. (3 puntos)

Solución:

Este es un problema de programación lineal que persigue minimizar el coste de la

compra de los huevos.

La granja A suministra x lotes a 6 € cada uno y la granja B y lotes a 4 € cada uno. El

coste total de la compra es f(x,y) = 6x + 4y.

Las restricciones que hay que tener en cuenta para la compra son:

La granja A suministra “x” lotes de 4 docenas de huevos pequeños, 12 docenas de

medianos y 2 docenas de grandes. La granja B proporciona “y” lotes de 2 docenas de

huevos pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes. El supermercado

necesita un mínimo de 80 docenas de huevos de tamaño pequeño, 120 docenas de

huevos de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande

4 2 80;12 2 120; 2 6 90x y x y x y

La granja A puede suministrar como máximo, 50 lotes y la granja B, puede suministrar,

como máximo, 60 lotes 60; 50y x

Además ese número de lotes debe ser positivo 0; 0x y

Resumimos todas las restricciones:

0

50

4 2 80

12 2 120

2 6 90

0

60

x

x

x y

x y

x y

y

y

Trasladamos estas restricciones a una región del plano dibujando las rectas asociadas a

cada desigualdad y localizando la zona válida.


Los puntos candidatos a tener un coste mínimo son los puntos frontera de la región

situados en las esquinas. Valoremos la función coste en cada uno de ellos y decidamos

cual presenta un coste mínimo:

A(5,30) f(5,30) = 6·5+4·30=30+120 = 150 €

B(0,60) f(0,60) = 6·0+4·60=0+240 = 240 €

C(50,60) f(50,60) = 6·50+4·60=300+240 = 540 €

D(45,0) f(45,0) = 6·45+4·0=270+0 = 270 €

E(50,0) f(50,0) = 6·50+4·0=300+0 = 300 €

F(15,10) f(15,10) = 6·15+4·10=90+40 = 130 €

El coste mínimo se consigue en F(15,10).

Hay que comprar 15 lotes en la granja A y 10 lotes en la granja B para

satisfacer las restricciones con el menor gasto posible.


Cuestión B.2

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

a. 2 2( ) · 1xf x e x (1 punto)

b.

3

2( )

2

x xf x

x

(0’75 puntos)

Solución:

a.

2 2

2 2

2

2

2 2

2 22 2

1/22 2

1/2 1/22 2

22

2 2

2 2 22 2

( ) · 1 · 1

1'( ) ·2 · 1 · 1

2

·2 12 1

·2 1·2 1

2 1

· 4 4·4 1'( )

2 1 2 1

x x

x x

xx

x x

x xx x

f x e x e x

f x e x x e x

ee x x

x

e x x x e

x

e x x ee x x ef x

x x

2 2 2· 4 4 1 '( )

2 1

xe x xf x

x

b.

2 2 33

22 2

4 2 2 4 2 4 2 2 4 2

2 22 2

4 2 4 2

2 22 2

3 1 2 2( ) '( )

2 2

3 6 2 2 2 3 6 2 2 2

2 2

7 2 7 2'( )

2 2

x x x x xx xf x f x

x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x xf x

x x


Cuestión B.3

La siguiente gráfica corresponde a la función 2( )f x x x a donde a 𝛜

Sabiendo que el área encerrada por el recinto asociado que limita la curva con el

eje OX vale 9

2 , utilizar esta información para hallar el valor del parámetro a. (1’25

puntos)

Solución:

El área que vale 9

2es la rayada:


Vamos a calcularla con la integral definida de la función 2( )f x x x a entre –1 y 2:

2 3 22 3 2 3 22

1 1

1 12 2·2 1

3 2 3 2 3 2

8 1 1 8 1 1 32 2 2 2 3

3 3 2 3 3 2 2

x xx x a dx ax a a

a a a a a

Igualamos este área a 9

2:

3 93

2 2

12 3

2

3 6

2

Área a

a

a

a


Cuestión B.4

Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es 0’3, la de que no llueva

en la ciudad B es 0’6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es

0’5.

a. Calcular la probabilidad de no llueva en ninguna de las dos ciudades (0’5

puntos)

b. Calcular la probabilidad de que llueva en las dos. ¿Son independientes los

sucesos “llueve en la ciudad A” y “llueve en la ciudad B”?

Solución:

Lo haremos de 2 formas distintas:

1. Con tabla de contingencia:

Llueve en A No llueve en A

Llueve en B

No llueve en B 0’6

0’3 1

Para terminar de completar la tabla usaremos el dato de que llueva, al menos, en una de

las dos ciudades es 0’5. Como es el suceso contrario de que no llueva en ninguna de las

ciudades sabemos que la probabilidad de que no llueva en A ni en B es 1 – 0’5 = 0’5.

Colocándolo en la tabla:


Llueve en B

No llueve en B 0’5 0’6

0’3 1

Y ya completamos el resto de huecos


Llueve en B 0’2 0’2 0’4

No llueve en B 0’1 0’5 0’6

0’3 0’7 1

a. Lo hemos calculado por el suceso contrario y hemos obtenido.

ninguna ( )

1 Llueva en alguna d 0e las dos ciudades 1 0́ 5 '5

P No llueva en de las dos ciudades P No llueve en A ni llueve en B

P

b.

(llueva en A y llueva en B) '20P llueva en las dos ciudades P

Para que sea independiente el suceso A del B, debe cumplirse que P(A∩B) = P(A)·P(B)


Como P(A∩B) = 0’2, recién calculado, solo falta calcular P(A)·P(B) = 0’3·0’6 = 0’18

No son independientes A y B ya que ( ) ·P A B P A P B

2. Haciendo un cálculo directo:

Si llamamos A = {llueve en la ciudad A} y B = {llueve en la ciudad B} el suceso

A∪B = {Llueve en A o en B} = {Llueve en, al menos, una de las dos ciudades}

Tendremos entonces que los datos del problema son:

0’3, 0’6 ( ) 0’5P A P B y P A B

a.

Llueva en algu

No llueva e

na de las dos c

n ninguna de las dos c

iudades

P 1 ( ) 1 0 '5 0

iu

'5

dades

A

P

P

P

B A B

b.

(A B)

P(A) P(B) ( ) 0 '3 0 '

4 0 '5 0 '2

P llueva en las

P A B

dos ciudades P

Para que sea independiente el suceso A del B, debe cumplirse que P(A∩B) = P(A)·P(B)

Como P(A∩B) = 0’2, recién calculado, solo falta calcular P(A)·P(B) = 0’3·0’6 = 0’18

No son independientes A y B ya que 0’2≠0’18


Cuestión B.5

Según un estudio, el porcentaje de adultos de la Unión Europea que hablan una

lengua extranjera es del 64%. En una muestra aleatoria tomada en España de 250

adultos se ha obtenido que 128 hablan una lengua extranjera. A partir de estos

datos, plantear un contraste para determinar si se puede aceptar que el porcentaje

de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la Unión

Europea frente a la alternativa de que es menor, como parecen indicar los datos.

¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación de 0’01? (2 puntos)

Solución:

Contraste de hipótesis unilateral para la proporción: H0: p = 0′64 se acepta que se mantiene la proporción. H1: p < 0′64 cabe pensar que la proporción ha bajado. Para el nivel de significación 0′01, ese área a la derecha bajo la normal corresponde

z =2′33.

0'01 1 0'99 2'33buscando en la tab zla

La región de aceptación tiene como extremo:

(1 ) 0 '64·0 '36· 0 '64 2'33· 0 '569

250

p pp z

n

Luego la región de aceptación es el intervalo (0’569, +∞).

Como la proporción de la muestra 128

0 '512250

p está fuera del intervalo de

aceptación, se rechaza H0 y se acepta H1

Los resultados muestrales llevan a mantener que:

En España, con un nivel de significación de 0’01, disminuye la proporción

de personas que hablan una lengua extranjera.

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