matemÁtica bÁsica

APUNTES DOCENTES

MATEMÁTICA BÁSICA

UNIDAD 1 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Para hacer un postre de limón, Ana dispone de una tabla en la que se indican las cantidades necesarias de leche

condensada y de limón. Tenemos dos magnitudes: el número de botes de leche y el número de limones. En la tabla

siguiente se muestran algunas de estas cantidades:

Podemos observar que:

a) El cociente o razón entre el número de limones y el número de botes de leche es siempre 3:

Por eso: N.º de limones = N.º de botes de leche multiplicado por 3.

N.º de botes de leche = N.º de limones dividido por 3.

b) También vemos que, al duplicar, triplicar, etc., el número de limones, se duplica, triplica, etc., el número de botes de

leche. Por cumplir estas dos condiciones equivalentes se dice que las magnitudes número de botes de leche y número de

limones son magnitudes directamente proporcionales (o simplemente, magnitudes proporcionales). · En una revista de

tráfico aparece la siguiente tabla, en la que se muestra la velocidad de un coche y el número de metros necesarios para

pararse:

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

Al aumentar la velocidad, también aumenta la longitud necesaria para pararse. Sin embargo, estas magnitudes no son

proporcionales, ya que, por ejemplo:

Generalizando, si los valores o cantidades entre dos magnitudes directamente proporcionales M y M’ son los que se

indican en la siguiente tabla:

entonces se cumple que el cociente o razón de dos cantidades correspondientes es constante:

Esta constante se llama razón o constante de proporcionalidad.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando las fracciones determinadas por las cantidades

correspondientes son iguales. Una proporcionalidad queda determinada cuando se conoce una fracción o su cociente,

llamado razón o constante de proporcionalidad.

Ejemplo. En un puesto de un mercado se vende bolsas de 4 kg de naranjas a 1’32 euros y en otro, de 6 kg a 2’04 euros.

¿Es el coste de las naranjas proporcional a los kilos?

Estas magnitudes serán proporcionales si se cumple la igualdad


Operando

Puesto que los productos son distintos, las magnitudes indicadas no son proporcionales.

Ejemplo. Sabiendo que la razón de proporcionalidad vale 2, halla los valores desconocidos de esta tabla.

Multiplicando y dividiendo por 2 queda:

1.1 Regla de tres simple directa

Llamamos regla de tres simple directa al procedimiento que se utiliza para resolver problemas en los que aparecen

relacionadas dos magnitudes directamente proporcionales.

Veamos con el siguiente ejemplo cómo resolveremos problemas de estas características.

Ejemplo. Si 3 camisetas de deporte cuestan 14’43 euros, ¿cuánto costarán 7 camisetas? Intervienen aquí dos magnitudes

directamente proporcionales, el número de camisetas y el precio. Del número de camisetas se conocen dos cantidades, 3 y

7, y del precio se conoce una cantidad, 14’43, que corresponde a 3 camisetas.

El problema puede plantearse de dos formas distintas.

Método de reducción a la unidad o de determinación de la constante de proporcionalidad.

Si 3 camisetas cuestan 14’43 €, 1 camiseta cuesta 14'43/3 = 4'81€ (constante de proporcionalidad); luego 7 camisetas

costarán 7 × 4’81 = 33’67 €

Método de las proporciones.


Como se trata de magnitudes directamente proporcionales, se escribe

de donde resolviendo obtenemos

1.2 Porcentajes

La proporcionalidad directa se expresa a menudo en porcentajes o tantos por ciento. Para ello, basta determinar la razón

de proporcionalidad (k) entre ambas magnitudes.

Por ejemplo, si en un instituto decimos que 3 de cada 5 alumnos aprueban en un examen, la razón de proporcionalidad es

3/5. El porcentaje de alumnos que aprueban es el 3/5 × 100 = 0’6 × 100 = 60 %.

Los porcentajes o tantos por ciento expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e indican la

cantidad o valor de una de ellas que corresponde a 100 de la otra

En la siguiente tabla se muestra ésta y otras formas también frecuentes de expresar una proporcionalidad.

En la siguiente tabla se muestra ésta y otras formas también frecuentes de expresar una proporcionalidad.


Conviene recordar que:

Ejemplo. La relación de aciertos en un partido de baloncesto de máxima rivalidad es:

Real Madrid: 20 encestes de 25 lanzamientos.

F. C. Barcelona: 15 encestes de 20 lanzamientos.

¿Cuál de los dos equipos tiene mayor efectividad?

Por tanto, el equipo del Real Madrid tiene una mayor efectividad

Aumentos y disminuciones porcentuales

En los siguientes ejemplos se muestran algunas situaciones comerciales muy frecuentes para nosotros. Los cálculos

necesarios para resolverlas se agilizan mucho si se utilizan los tantos por 1.


Ejemplo. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del 20 % sobre el precio indicado. Una señora compra un

vestido etiquetado con 60’10 euros.

¿Cuál es el descuento?

¿Cuánto tiene que pagar?

Ejemplo. A la mayoría de los productos que se venden, además del precio de fábrica hay que añadir un 16 % por el

impuesto sobre el valor añadido (IVA). Un cliente compra un coche cuyo precio de fábrica es 7.512’75 euros.

¿Cuánto pagará de impuestos?

¿Qué precio final tendrá el coche?

IVA = 16 % = 0’16.

Impuesto sobre el valor añadido, IVA: 7.512’75 × 0’16 = 1.202’04 euros.

El coste total es, por tanto, 7.512’75 + 1.202’04 = 8.714’79 euros. No obstante, esta operación se puede hacer

directamente: ten en cuenta que por cada euro paga 1 + 0’16 = 1’16, luego el coste total es de 7.512’75 × 1’16 = 8.714’79

euros.

A continuación, se muestran ejemplos donde aparecen situaciones inversas a los anteriores.

Ejemplo. Para una biblioteca se compró una enciclopedia por 753’72 € cuando su precio de venta era de 856’50 €. ¿Qué

descuento se aplicó en el precio?

Este problema lo podemos resolver de dos formas:

Primera forma:

Importe de la rebaja: 856’50 - 753’72 = 102’78 euros

Segunda forma:


Se pagó el 88 % del precio de venta, luego el descuento fue del 100 - 88 = 12 %

Ejemplo. Elena pagó por una bicicleta 184’73 euros incluido el importe del IVA, un 16 % sobre el precio de la bicicleta.

¿Cuál es el precio de fábrica de la bicicleta?

Por cada euro se pagan 1’16 euros; por tanto: Precio IVA incluido = 1’16 × Precio de fábrica

Por tanto,

2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ·

En la tabla siguiente se muestran las velocidades y tiempos empleados por los distintos trenes que hacen un trayecto de

900 km. ¿Cuánto tiempo emplearía un tren que circulase a 300 km/h?

Podemos observar que:

a) 50 × 18 = 100 × 9 = 150 × 6 = … = 900, es decir, el producto de la velocidad por el tiempo es constante.

Por tanto, para el tren que circula a 300 km/h, el tiempo empleado será de 900/300 = 3 horas

b) También vemos que al duplicar, triplicar, etc., la velocidad, se reduce a la mitad, a la tercera parte, etc., el tiempo

empleado en recorrer el trayecto.

Por cumplir estas dos condiciones equivalentes se dice que, en este caso, las magnitudes velocidad y tiempo son

magnitudes inversamente proporcionales.

En general, si los valores o cantidades entre dos magnitudes inversamente proporcionales M y M’ son los que se indican

en la siguiente tabla:


entonces se cumple que el producto de dos valores correspondientes es constante:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando los productos determinados por las cantidades

correspondientes son iguales.

2.1. Regla de tres simple inversa

Llamamos regla de tres simple inversa al procedimiento que se utiliza para resolver problemas en los que aparecen

relacionadas dos magnitudes inversamente proporcionales.

Ejemplo. Con el agua de un depósito se llenan 60 bidones de 5 litros cada uno. ¿Cuántas botellas de 0’75 litros se

llenarían con el agua de ese depósito?

En el problema intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales, la capacidad y el número de recipientes, y

puede plantearse de dos formas.

Método de reducción a la unidad.

60 bidones de 5 litros cada uno hacen un total de 60 × 5 = 300 litros.

Estos 300 litros distribuidos en botellas de 0’75 litros nos dan 300 : 0’75 = 400 botellas. ·

Método de las proporciones.


3. REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de tres compuesta es un procedimiento que se utiliza, para resolver problemas en los que aparecen tres o más

magnitudes, relacionadas dos a dos, directa o inversamente proporcionales.

En la resolución de problemas sobre regla de tres compuesta seguiremos los siguientes pasos:

1º) Se ordenan las magnitudes y los datos y se averigua el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud con la

magnitud que lleva la incógnita (magnitud problema).

2º) Se resuelve el problema utilizando el siguiente procedimiento: la razón entre dos cantidades de la magnitud

problema es igual al producto de las razones de las correspondientes cantidades de las otras magnitudes si éstas son

directamente proporcionales o de sus inversas si son inversamente proporcionales a la magnitud problema.

Ejemplo. La piscina de adultos de un polideportivo tiene una capacidad de 168 m3 y 6 grifos, que abiertos

simultáneamente, la llenan en 12 horas. La piscina infantil tiene una capacidad de 28 m 3 y 2 únicos grifos. ¿Cuánto

tiempo tardarán éstos en llenarla abiertos simultáneamente?

Las magnitudes que intervienen en este problema son: tiempo de llenado (magnitud problema), capacidad de las piscinas

y número de grifos.

El tipo de proporcionalidad que existe entre la magnitud problema y las otras es:

El tiempo de llenado es directamente proporcional a la capacidad.

El tiempo de llenado es inversamente proporcional al número de grifos.

Resolvemos el problema:

Dependiendo del tipo de proporcionalidad, tenemos que:


4. REPARTOS PROPORCIONALES

Recordemos que dos fracciones son iguales (equivalentes) cuando el producto de los extremos es igual al producto de los

medios.

Si dos fracciones son iguales, también lo es a éstas la fracción que se obtiene sumando los numeradores y dividiendo por

la suma de los denominadores.

Para comprobarlo basta utilizar la regla de los productos cruzados:

Por tanto, las tres fracciones son iguales.

Este resultado se extiende a tres o más fracciones y se enuncia en la siguiente regla.

4.1 Repartos directamente proporcionales

La suma de los numeradores de varias fracciones iguales dividido por la suma de los denominadores de estas es una fracción igual a cualquiera de las dadas.


Las obras de un estadio deportivo han costado 3.150.000 euros, y la deben pagar los ayuntamientos A, B y C de manera

proporcional a su número de habitantes, que son 800, 625 y 575. ¿Cuánto le corresponde pagar a cada uno?

Llamemos x a la parte que debe pagar el ayuntamiento A, y la parte de B y z lo que le corresponde al ayuntamiento C.

Como estas cantidades deben ser directamente proporcionales al número de habitantes, planteamos entonces la siguiente

serie de razones iguales y, teniendo en cuenta el resultado visto anteriormente, tenemos:

Por tanto:

Al ayuntamiento A le corresponde pagar:

Al ayuntamiento B le corresponde pagar:

Al ayuntamiento C le corresponde pagar:

Otra forma de plantear el problema es la siguiente:

La población conjunta de los tres ayuntamientos es de 2.000 habitantes. De esta forma, el coste por habitante es de

El ayuntamiento A debe pagar: 1.575 × 800 = 1.260.000 euros

El ayuntamiento B debe pagar: 1.575 × 625 = 984.375 euros

El ayuntamiento C debe pagar: 1.575 × 575 = 905.625 euros


4.2 Repartos inversamente proporcionales

En una determinada carrera se destina 330 euros para repartir entre los tres corredores que acaban en los tres primeros

puestos de manera proporcional al puesto que ocupan. ¿Cuánto dinero debe recibir cada uno de los tres clasificados?

Debemos repartir el dinero del premio en partes inversamente proporcionales a los números 1, 2 y 3; para ello hacemos el

reparto en partes directamente proporcionales a sus inversos, esto es, a 1/1, 1/2 y 1/3.

Llamando x, y, z a las cantidades de dinero que recibe cada uno, procedemos de igual forma que en el problema anterior.

Por tanto: Al 1er clasificado le corresponde:

Al 2o clasificado le corresponde:

Al 3er clasificado le corresponde:

5. INTERÉS SIMPLE

Cuando depositamos una cantidad de dinero en una entidad bancaria, lo que hacemos es prestar dinero a la citada

entidad y ella a cambio nos da cada año un tanto por ciento de la cantidad prestada.

La cantidad C depositada se llama capital, el dinero que este capital produce, i, se llama interés y el interés que producen

100 euros, r, se llama rédito.

Se nos plantea el problema de resolver la regla de tres compuesta en la que intervienen las magnitudes capitales prestado,

dinero producido (magnitud problema) y tiempo durante el cual prestamos el capital.

Seguimos los pasos de resolución de la regla de tres compuesta. El dinero producido es:


directamente proporcional al capital prestado; directamente

proporcional al tiempo.

Resolvemos el problema

Y operando obtenemos:

Si el tiempo t viene expresado en meses, como t meses = t /12 años, al sustituir en la fórmula resulta

donde obtenemos:

Análogamente, si el tiempo t viene expresado en días, y teniendo en cuenta que el año comercial tiene 360 días,

Ejemplo. Una persona deposita 2.500 € en un banco que le ofrece un rédito del 3’5 % durante 5 años.


a) ¿Qué interés simple se obtiene al final del periodo?

b) ¿Cuál es el capital final? Ejemplo. Una persona deposita 2.500 € en un banco que le ofrece un rédito del 3’5 %

durante 5 años.

a) ¿Qué interés simple se obtiene al final del periodo?

b) ¿Cuál es el capital final?

EXPRESIONES ALGEBRAICAS En álgebra se emplean letras para representar números. Mediante letras y símbolos matemáticos las proposiciones verbales

se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Ejemplo: Siete veces un numero restado del mismo número es igual a

seis veces dicho número 7n n n− =6 , es decir, 7n equivale a “siete veces un número”. Pasar las proposiciones verbales a algebraicas es de suma importancia en la modelación matemática, a continuación se

enuncian algunas palabras que denotan operaciones.

ADICIÓN: suma, mas, ganar, aumentar, elevar, expansionar, más que, mayor que, más grande que, agrandar,

crecer e incrementar.

SUSTRACCIÓN: diferencia, menos, perder, disminuir, bajar, más bajo que, menos que, menor que, más

pequeño que, acortar, depreciar y decrecer

MULTIPLICACIÓN: multiplicado por, veces, producto, dos veces, doble, triple, cuádruple y quíntuplo.

DIVISIÓN: divido por, razón, cociente y mitad.

Expresiones algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones de suma, resta,

multiplicación, división y a veces también por medio de potenciación, radicación, y logaritmación.

2x2 −4xy; 7a b b2 + ; (2x y− )2; c b3

Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Dos o más expresiones

algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores.

Ejemplo:

3 ab − ( a +b )( a −3 ab )


Primer término segundo término

Tres factores dos factores

Todo término presenta las siguientes partes:

Coeficiente: El que precede a la parte literal.

Parte Literal: Está representada por una o varias letras.

Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor la parte literal.

Exponente

−3x5

Parte literal

Coeficiente

De acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser:

2 4 x2 − y2

POLINOMIO: tiene más de dos términos Ej. 3x3 −2x2 + x−12

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el

signo positivo (+) o el negativo (−).

Grado de un término

Es la suma de los exponentes del factor literal

Ejemplo:

En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x)

En el término 4x2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

Grado de una expresión

Es el grado mayor de sus distintos términos.

Ejemplo:

En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)

En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)

MONOMIO: tiene un término Ej. 5x yz ; a+b

BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 xy + y5 ; p q+

TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2 +3x−5


Términos semejantes: Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente, por ejemplo los

términos

2x3 y 5x3 son semejantes, este concepto se puede extender a términos que tienen más de una variable, como por

ejemplo: ½ x2 y3 ; 6x2 y3 ; 3 x2 y3 ; x2 y3 son términos semejantes

Reducción de términos semejantes.

Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes numéricos de todos los términos semejantes y a continuación

se escribe la parte literal común.

3x2 + 2xy xy+ 2 − x2 + 4xy2 −6xy −21

Ejemplo: (3 1− )x2 +(2−6)xy +(1+ 4)xy2 −21

Reduciendo: 2x2 −4xy +5xy2 −21

Se llama término independiente a aquel que no contiene la variable. En el ejemplo anterior −21 es el término

independiente

Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando

ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior.

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción,

multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.

1. Suma y Resta

En Álgebra, a la hora de efectuar las operaciones de adición y sustracción es de particular importancia la identificación

de

los llamados términos semejantes.

Cuando es una suma de monomios

Ejemplo: Sumar: −5x2 y 7x

Solución: −5x2 + 7x =

−5x2 + 7x Observa que, como

los términos no son semejantes la suma se

deja indicada

Cuando es una suma de polinomios

Ejemplo: Sumar: 3 2 1 7 x2 +3x

x − y

4 3 8


Solución: 3 2 1 7x2 +3x = x

− +

4 3 8

3 2 1 7 x2 +3x = x − +

4 3 8

3 2 7x2 −1+3x = x +

4 8 3

3 7 23x − 13 =

4 + 8 x +

Luego el polinomio resultante es:

13 x2 +3x −

8

Cuando es una resta de polinomios

Ejemplo

Sea A = 3 x2 +6x − 7 y B = x3 − 1 x2 + 1 x + 5 determinar: A – B

5 4 5 2 6

A−B = 3x2 +6x− 7 − x3 −1x2 + 1x+ 5

5 4 5 2 6

Si eliminamos el paréntesis:

3 2 6x− 7 − x3 + 1 x2 − 1 x− 5

A− B = x +

Indicamos la operación de los dos binomios agrupando cada uno entre paréntesis

Eliminamos los paréntesis, como el signo que los precede es positivo, no se afecta ningún término

Agrupamos los términos semejantes

Extraemos la variable con su respectivo exponente como factor dejando los coeficientes dentro del paréntesis. Observe que estos nos indican una suma de fracciones con diferente denominador


5 4 5 2 6

Agrupamos los términos semejantes:

A B− = 53x2 +15x2 + 6x− 12x −x3 + − − 7 54 6

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes y ordenando el polinomio en forma descendente, tenemos:

3 4 x2 +11x− 31

A− B = −x +

5 2 12

2. Multiplicación

Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos:

monomios por polinomios y polinomios por polinomios

Ejemplos:

1 º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación ) 2 º Multiplicar los coeficientes numéricos. 3 º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicac ión en álgebra; esto es, monomios por monomios,


=

3. División

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números

enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Los polinomios se disponen como en la división de números

y ordenados por sus potencias de mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a

la división numérica.

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad

llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo: Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a5b4)•(

12ab2)=

7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=

14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

(2a−3b)(3a−7b)=

6a2 –14ab –9ab + 21b2 =

6a2 –23ab +21b2

( 6 m5n-3p -4) • ( 5

mn-1p2)=

(x−2)(x2 +2x+4)=

x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3

–8

34a b4

23ab3 = 12a b5 4

( a x + b y – c z ) • (− x y )=

– ax2y – bxy2 + cxyz

(m2 −2mn−8n2)(m3 −3m2 +2) ¡Hazlo tú!

30 m 6 n – 4 p – 2

=

+ −

−

− − a a a m m m

5 1 3 2

2

5

4

5

5

2

3 7 4 3

2

1 − −

− a a

m m

– 48 a 6 b 6


2x3 −5x2 − x + 6

− 2x3 + 4x2 − 2x

− x2 −3x + 6

x2 − 2x +1

−5x+7

El cociente de la división es : 4x3 +8x2 + 2x −1

Y el residuo: −5x+7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo

por lo que la división es inexacta)

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las

operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:

Hallar el valor numérico de la expresión: 5x y2 −8xy2 −9y3 considerando x = 2; y = –1

Veamos el ejemplo propuesto: 5x y2 −8xy2 −9y3

5x2y −8xy2 −9y3 =5 22 (−1)−8 2 (−1)2 −9 (−1)3

No olvidar:

1 º Reemplazar cada variable por el valor asignado. º 2 Calcular las potencias indicadas

3 º Efectuar las multiplicaciones y divisiones 4 º Realizar las adiciones y sustracciones

= = − − − − ) 1 ( 9 1 2 8 ) 1 ( 4 5

= 27 9 16 20 − = + − − Es el valor numérico


UNIDAD 2

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin

embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado.

Estos productos reciben el nombre de productos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.

Los productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resulta muy conveniente

conocer su resultado de memoria para poder operar con rapidez.

Algunos de ellos son los siguientes:

1. Cuadrado de un Binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El producto de un binomio por

sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomios siempre tiene la misma

estructura.

Tenemos dos casos.

• El cuadrado de la suma de dos cantidades

• El cuadrado de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la

fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer

término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

(a b)2 = a2 2ab + b2

Algunos ejemplos:

(p b+2 )2 = p2 +2( )(2 )p b +(2b)2 = p2 +4pb b+4 2


(5x y− )2 = (5x)2 +2(5 )( )x y +(y)2 = 25x2 +10xy y+ 2

2. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a+b ” por su diferencia “ a−b ”. Al desarrollar el producto

podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

(a + b a b)( − ) = a2 − b2

Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La

fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:

“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado

del segundo”

Algunos ejemplos:

(2p5 + 6q4)( 2p5 − 6q4) = (2p5 2) − (6q4 2) = 4p10 − 36q8

14 − 3x2 14 + 3x2 = 14 2 −

(3x2)2 = 16 1 − 9x4

3. Cubo de un binomio

Consideramos también dos casos:

• Cubo de la suma de dos cantidades

• Cubo de la diferencia de dos cantidades

En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la

fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio:

“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer

término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo más(o menos) el cubo

del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

(a b)3 = a3 3a b2 +3ab2 + b3


Algunos ejemplos:

(5a b2 +3a3)3 = (5a b2 )3 +3(5a b2 ) (3 ) 3(52 a3 +a b a2 ) 3(3)2 +(3 )a3 3

= 125a b6 3 + 225a b7 2 +135a b8 +27a9

(2x y− 2)3 = (2x)3 −3(2 ) (x y2 2) 3(2 )+x y( )2 −(y2 3)

= 8x3 −12x y2 2 +6xy2 − y6

4. Multiplicación de Binomios con un Término Común

Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a+b ” por “a+c”. Al desarrollar el

producto se observa que la estructura es la siguiente:

(a +b) (a +c)= a2 +(b+c)a +bc

La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue:

“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el

producto de los términos distintos”

Ejemplos:

2 3+2)x +3(2) = x2 +5x+6, observa que 3+2 =5

• (x+3) (x+2) = x +(

3 2 = 6

• (a+8) (a−7) = a2 + (8 7− )a + 8( 7)− = a2 +a−56, observa que 8+ −( 7) =1

8 ( 7) −=−56

COCIENTES NOTABLES

Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus respuestas son conocidas

Definición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección.

Los cocientes notables son cocientes exactos.


a. Primer caso: (an +bn) (a+b)

En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x5-1 = x4 A partir de ahí

bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). En el segundo término debe seguir bajando el

grado del primer término (ahora será x3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y.

Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se irá

incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4

b. Segundo caso: (an −bn) (a−b)

En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número par o impar.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)

La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se

estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

c. Tercer caso: (an −bn) (a+b)

En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x4-1 = x3 A partir de ahí

bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). En el segundo término debe seguir bajando el

grado del primer término (ahora será x2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2y

Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se

ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2y + xy2 -y3

UNIDAD 3

FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones:


1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x

2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la

factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

CASOS DE FACTORIZACIÓN

1. FACTOR COMÚN

1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno de los términos del

monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas y se presenta un término

común; se debe sacar como factor común.

Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z)

Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac?

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de menor

grado), por lo tanto

5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c)

Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ?

El factor común es “6xy “porque

6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)

1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.

En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el resultado será otro

polinomio.

Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y)

- Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7) Entonces

se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7)

Ejemplo 2:

Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) =

Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)

1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos

anteriores.

Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:

Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:

1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y)


2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y)

Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:

5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.

Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)

2. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

2.1 Trinomio cuadrado perfecto Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y el segundo término debe

ser el doble producto de las bases de los dichos términos.

Ejemplo:

Factorizar 9x2 −30x+25

1 Halla la raíz principal del primer término 9x2 ; 3x · 3x

2 Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término; −5 · −5

luego la factorización de 9x2 −30x+25 = (3x−5 3)( x−5) = (3x−5)2

2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio

cuadrado perfecto.

Ejemplo: m4 −10m2n2 +9n4

Resolviéndolo queda:

m4 −10m2n2 +9n4 + 4m2n2 − 4m2n2 m4

−6m2n2 +9n4 − 4m2n2

(m2 −3n2 )2 −(2mn)2

Aplicamos diferencia de cuadrados:

(m2 −3n2)+(2mn) (m2 −3n2)−(2mn)


2.3 Trinomio de la forma: x2n +bxn +c

El trinomio de la forma x2n +bxn +c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso:

Ejemplo 1:

Descomponer x2 +6x+5

1 Hallar dos factores que den el primer término x · x

2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”

1 y 5 ó -1 y - 5

Pero la suma debe ser +6 luego serán (x+5)(x+1)

x2 +6x+5 = (x+5)(x+1)

Ejemplo 2:

Factorizar x4 + 4x y2 −12y2

1º Hallar dos factores del primer término, o sea x4: x2 · x2

2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y

4y · −3y ó −4y · 3y

12y · −y ó −12y · y

Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:

x4 +4x y2 −12y2 = (x2 +6y x)( 2 −2y)

2.4 Trinomio de la forma ax2n +bxn +c

Ejemplo:

Factorizar 2x2 −11x+5

1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x

2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1

3º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1)

Pero no sirve pues da: 2x2 + 7x + 5

Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5)

y en este caso nos da: 2x2 - 11x + 5


Por lo tanto, 2x2 −11x+5 = (x−5)(2x−1)

Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere Baldor.

3. FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS

3.1 Diferencia de dos cuadrados:

Ejemplo:

Factorizar 9x2 −16y2

Raíz cuadrada del primer término 9x2 = 3x

Y raíz cuadrada del segundo término 16y2 = 4y

Luego la factorización de 9x2 −16y2 = (3x+4)(3x−4)

3.2 Cubo perfecto de un binomio

Ejemplo:

Factorizar a3 +3a2 + +3 1a

Todos los signos de los términos son positivos

3 a3 = a : Raíz cubica del primer término del cuatrinomio.

3 1 = 1: Raíz cubica del cuarto término del cuatrinomio.

3(a2)(1) = 3a2 Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto:

Igual al segundo término del cuatrinomio.

3(a)(1)= 3a Triplo de la raíz cubica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz cubica

del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por

lo tanto:

a3 +3a2 +3a +1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.

a3 +3a2 +3a+1= (a+1)3

3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos

3.3.1 Diferencia de cubos: a b3 − 3 = (a b a ab b− )( 2 + + 2)


Ejemplo: 8− x3 = (2− x)(4 2+ x x+ 2)

3.3. 2 Suma de cubos: a b3 + 3 = (a b a ab b+ )( 2 − + 2)

Ejemplo: 27a3 + =1 (3a+1 9)( a2 −3a+1)

FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES

Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma donde el

polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con q(x) ≠0.

Ejemplos:

( )a +5 (x

3) x

x−3

2x

( )c −3y

7

( )b 3

x − 32

8

2x+

3x

( )d 22+x4−8 (x 4, x −2)

x −

Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, o sea,

una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un

mismo factor.

Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.

• Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus

factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.

• Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se

suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:


24a b3 3 8a2 3ab3 8a2

(a) 21ab5 = 7b2 3ab3 = 7b2

x2 −7x+12

(b) 2 x −16

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

x2 −7x +12 = (x −4)(x −3)

x2 −16 = (x + 4)(x −4)

Luego:

x2 −7x+12 (x−4)(x−3) x−3

x2 −16 = (x+4)(x−4) = x+4

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones

equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible.

Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego

obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente

Ejemplo:

Reducir al mínimo común denominador

x 3 2x x+3

, , ,

x2 +5x+6 x2 +6x+9 x2 +3x+2 x+2 Al factorizar los denominadores obtenemos:

(x+ 2)(x+3), (x+3)2 , (x+2)(x+1), (x+2) ; m.c.m. = (x + 2)(x +3) (2 x +1)

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de

fracciones numéricas.

1. Suma y Resta

Reglas:

• Se simplifican las fracciones, si es posible.

• Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador

• Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su

respectivo numerador.


) b 3 a 2 (

) b 3 a 2 ( 2

−

−

• Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común.

• Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.

• Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo:

5a−9b 7a −2b 8a −5b (5a −9 )b +(7a −2 )b −(8a −5 )b 4a −6b

+ − = =

2a−3b 2a−3b 2a−3b 2a−3b 2a−3b

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

= 2

5a−9b 7a−2b 8a−5b

Entonces: + + = 2

2a−3b 2a−3b 2a−3b

2. Multiplicación

Reglas:

• Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

• Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el

producto de las expresiones que queden en los denominadores.

Ejemplo:

m2 −5m+6 m3 −m 7m+ 21

m2 −9 m3 + 2m2 −8m 7m2 −7

Factoricemos y simplifiquemos

(m−3)(m−2) m m( 2 −1) 7(m+3)

(m+3)(m−3) m m( 2 + 2m−8) 7(m2 −1) =

(m−3)(m−2) m m( +1)(m−1) 7(m+3) 1

=

(m+3)(m−3) m m( + 4)(m−2) 7(m+1)(m−1) m+ 4 Entonces:

m2 −5m+6 m3 −m 7m+ 21 1

2 9 m3 + 2m2 −8m 7m2 −7 = m+ 4

m −


3. División

Reglas:

• Se multiplica el dividendo por el divisor invertido

• Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:

2x−4y 6xy−12y2 2x−4y 15x+45y

5x+15y 15x+45y = 5x+15y•6xy−12y2


2(x −2 )y 15(x +3 )y 1

• =

5(x +3 )y 6 (y x −2 )y y

2x−4y 6xy−12y2 1

Entonces: =

5x+15y 15x+45y y

4. Operaciones combinadas

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de

los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad.

Ejemplo:

3x−3y 6x−6y x2 − y2

x2 +2xy y+ 2 2x+2y • x xy y2 − + 2

Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

3(x − y) 2(x + y) x2 − y2

2 • • 2 2

(x + y) 6(x − y) x − xy + y


3(x y− ) 2(x y+ ) (x y x y− )( + ) x y−

• • =

(x y+ )2 6(x y− ) x2 − +xy y2 x2 − +xy y2

Entonces:

3x−3y

x2 +2xy y+ 2


6x−6y x2 − y2 x y−

2x+2y • x xy y2 − + 2 = x xy y2 − + 2

UNIDAD 4

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

ECUACIONES

Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica

o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan con las últimas letras del

alfabeto: x, y, z, u, v. La ecuación no es una identidad.

Identidad: Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las letras que se encuentran en ella.

Ej.: (a b )n =a bn n ; (a b+ )2 =a2 +2ab b+ 2

Miembros: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo

de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.

Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + ó -, o la cantidad que está sola en

un miembro.

Raíces o Soluciones: Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos

en el lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en una identidad. Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raíz.

Resolver una ecuación es encontrar su conjunto solución.

La transposición de términos: consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro.

Verificación: Es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo la

incógnita de la ecuación por el valor obtenido, y si este es correcto, la expresión se convertirá en una identidad.

TIPOS DE ECUACIONES

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias

incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas,

logarítmicas, entre otras.


Las ecuaciones polinómicas son de la forma P x( ) = 0, donde P x( ) es un polinomio en x, que al trasponer términos y

simplificar adoptan esa expresión.

A continuación estudiaremos las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.

1. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Cualquier ecuación que se puede escribir en la forma: ax b+ =0, donde a y b son constantes reales, con a≠0,

y x es una variable, se denomina ecuación lineal o de primer grado con una variable. La gráfica de una ecuación

lineal es una Línea Recta

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

1. Quitar paréntesis, si los hay.

2. Quitar denominadores, si los hay. (Hallar m.c.m)

3. Pasar los términos que contienen la incógnita a un miembro y los números al otro miembro.

4. Simplificar cada miembro.

5. Despejar la incógnita. Se obtiene, así, la solución.

6. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.

Ejemplo:

3x (x−2)

• Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva: 9x+12

=14x−28 • Se trasponen términos (los términos en x a un miembro y los términos

independientes al otro) 9x−14x = −28 12−

• Se reducen términos semejantes:

−5x =−40

• Se despeja la incógnita:

La solución es: x = 8

3(8) (8−2) 42

• Comprobación: +1 = 7 6+ =1 7 = 7

4 6 6

Resolver 1 7 6 4 + =

• Se reduce a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores


2. ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación cuadrática en la variable x es cualquier ecuación que pueda escribirse en la forma:

ax2 +bx c+ =0, donde a y b son constantes reales y a≠0

Ecuaciones completas: Cuando b≠0 y c≠0, se resuelve por factorización o aplicando la fórmula cuadrática:

−b b2 −4ac

x=

2a

La expresión b2 −4ac , se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de éste.

Si b2 −4ac 0 la raíz es un número real y se obtienen, por tanto, dos raíces reales distintas, x1 x2

Si b2 −4ac = 0 la raíz es cero, luego, obtenemos dos raíces iguales, es decir, diremos que la raíz es doble, x1=x2

Si b2 −4ac 0 la raíz es un número imaginario o complejo (no real), por lo tanto, se obtienen dos raíces imaginarias

A las soluciones de una ecuación cuadrática se le llama comúnmente raíces y respecto a las constantes a, b, y c tienen las

siguientes propiedades:

b

• r1 +r2 = −

a

c

• r r1 2 =

a

Ecuaciones incompletas: Si b = 0 ó c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la fórmula anterior.

2 0 = −x c

Si b = 0, se despeja la variable y tomando raíces cuadradas si es posible ax c+ =

a

Si c = 0, se saca factor común la incógnita ax bx2 + =0

x= 0

x ax b( + =) 0 −b


ax b+ = 0 x= a

La gráfica de la ecuación cuadrática es una curva llamada parábola

Reglas para resolver ecuaciones de 2º grado

1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula o por factorización si es posible.

2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando factor común o despejando.

3. Si tiene una fisonomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos

al primer miembro... Sólo cuando esté simplificada, aplica uno de los métodos anteriores.

4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el

enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real

Ejemplo:

2x2 −1 x −1 1− x

Resolver: − =

2 3 6

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m = 6

3 2( x2 −1)−2(x−1) = −1 x 6x2 − −3 2x+ = −2 1 x

6x2 − x−2=0

Primer método:

1

x=

Aplicando la formula cuadrática

( 1)− 2 −4(6)( 2)−

2(6)

x=

2 −1

Las soluciones son: x1 = y x2 =

3 2

Segundo método:

Factorizando

2 x− =2 0

(6x−4)(6x+3) = 0 x = 2 x

= − 1

8 2

3 12

6 1

12 2

1 148 17

12 12

=

− − =

+ = =


6x −

3 2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe

con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es útil dar estos pasos:

1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita.

2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido.

3. Resolver la ecuación

4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado.

En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que

o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad.

A continuación damos unos ejemplos de cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.

Expresión verbal Expresión algebraica Dos números cualesquiera… x, y El doble de un número… 2x La suma del doble de un número con uno… 2x+1 Un número más su consecutivo… x+(x+1) El triple de la suma de un número con 7… 3(x+7) Un número disminuido en 9… x−9 El cuadrado de la diferencia de un número con 5… (x−5)2

Un número par… 2x Un número impar… 2x+1 La suma de tres números impares consecutivos… (2x+1)+(2x+3)+(2x+5) La mitad de un número menos 3… x 3

− 2

La semisuma de dos números… x+ y

2

Un número más su tercera parte más su quinta parte… x x x+ +

3 5

Cuádruple de la diferencia de un número y 2, aumentado en 6… 4(x−2)+6 El triple de un número menos su doble… 3x − 2x Cinco veces la diferencia de un número con 7 es igual a cuatro veces la

suma del mismo número con 3… 5(x − 7) = 4(x + 3)

Ejemplo: La base de un rectángulo mide el doble que su altura, si su perímetro es 30 cm. ¿cuánto miden la base y la

altura? Solución 2x


1.

x x

2x

2x

2. 2x+2x x x+ + = 30

30

3. 6x=30 x= 6 x=5 Luego la altura mide 5 cm. y la base 10 cm.

4. comprobación: 10 + 10 + 5 + 5 = 30

SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o

soluciones comunes a todas ellas.

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las

soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como

rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o

en el espacio).

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparece una o varias

incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by +

cz +… = k, donde a, b, c.…, son los coeficientes de la ecuación; x, y, z.…, las incógnitas o variables, y k el término

independiente (también un valor constante).

Un sistema se caracteriza por su dimensión. La dimensión de un sistema se determina según el número de

ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.

Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensión 2x2. Un sistema de dos ecuaciones en tres

variables se dice que es de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensión

3x3.

Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso

particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2)

Ejemplo 1

2x+ y= 4

x− 2y= 8

Dimensión 2x2; hay dos ecuaciones y dos variables


TIPOS DE SISTEMAS

LINEALES

Atendiendo al número de

soluciones de un sistema, estos

pueden clasificarse en:

1. Si el sistema tiene solución, y ésta es

única, se denomina compatible

determinado.

2x+3y =15

Ejemplo: x y+

= −1

2. Cuando presenta infinitas soluciones posibles, es compatible indeterminado.

2x+3y =15

Ejemplo:

4x+6y = 30

3. Si no tiene solución, es decir, al intentar resolverlo llegamos a una contradicción, se denomina imposible o incompatible.

2x+3y =15

Ejemplo:

2x+3y = −1

Ejemplo 2

x+ y+

x− 2y−

Ejemplo 3

2a+ b+

a− b+ a+

2b−

z=

z=

c=

c=

c=

−1

2 Dimensión 2x3; hay dos ecuaciones y tres variables

0

10

−1 Dimensión 3x3; hay tres ecuaciones y tres variables


Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan

las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea

más sencilla y que se estudiarán a continuación.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de

dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo

gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y

determinantes.

1. Método gráfico

En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.

El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = 7.

Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores (x y, )que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar

que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones.

Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.

Para obtener las soluciones de las incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos

ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se

cortan) es la solución al sistema (el sistema seria compatible determinado).

x + y = 5 y =5− x

Ejemplo: 2x y 7 Despejando y de las dos ecuaciones: y =2x−7 −

=

Tabla de la 1ª Ecuación


Tabla de la 2ª Ecuación

Representación gráfica de ambas ecuaciones.

Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1

Interpretación geométrica de las soluciones

a. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Cada una de las ecuaciones del sistema determina una recta.

Si el sistema es compatible determinado, todas las rectas pertenecientes al sistema se cortan en un único punto.

Si el sistema es compatible indeterminado, las rectas definidas en el sistema coinciden.

Si el sistema es incompatible, las rectas no se cortan en un único punto. O bien son paralelas o bien, si en el sistema

hay más de dos ecuaciones, las rectas se cortan dos a dos en distintos puntos.

b. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Cada una de las ecuaciones del sistema determina un plano.

Si el sistema es compatible determinado, todos los planos pertenecientes al sistema se cortan en un único punto.

Si el sistema es compatible indeterminado, los planos definidos en el sistema se cortan en una recta (infinitos puntos).

Si el sistema es incompatible, los planos no se cortan en un único punto. O bien son paralelos o bien se cortan en

rectas distintas formando un prisma o bien, si en el sistema hay más de tres ecuaciones, los planos se cortan tres a tres en

distintos puntos.


2. Método algebraico

¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

a. Método de igualación

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de

igualación.

Pasos

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Se igualan las expresiones obtenidas.

Se resuelve la ecuación lineal que resulta.

Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

Ejemplo:

2x y+ = 3

− +x 3y = −5

y=3−2x

Despejando la misma variable de las dos ecuaciones y=−5+x

3

Igualándolas 3− 2x = −5+ x

3

Resolviendo y despejando la variable x 9 - 6x = -5 + x

-7x = -14

x = 2

Reemplazando el valor de x en cualquiera de las otras dos ecuaciones, se tiene

y = 3 - 2 (2) = -1.

La solución es: x = 2, y = -1

b. Método de sustitución

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

consta de los siguientes pasos:

Pasos


Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

Se sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.

Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta.

Se sustituye la solución obtenida en la expresión en la que estaba despejada la otra incógnita.

Ejemplo

2x y+ = 3

Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones .

− +x 3y = −5

Si se despeja y de la primera ecuación y = 3−2x , y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

− +x 3 3( −2x) =−5 − + − =−x 9 6x 5

−7x =−14 x

= 2

Reemplazando este valor en la ecuación despejada, y = 3 - 2 (2) = -1

y = −1


c. Método de eliminación o reducción

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de eliminación, consta de los siguientes

pasos:

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las

incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales

para calcular la segunda.

2x y+ = 3

Por ejemplo, para el mismo sistema de ecuaciones:

− +x 3y = −5

Conviene multiplicar la segunda ecuación por 2 y la segunda se deja igual y restar ambas ecuaciones:

2x y+ = 3

− + =−2x 6y10


7y = −7

y = −1

Reemplazando el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos

2x+ −( 1) = 3 2x = 4 x = 2


Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados para resolver cualquier sistema de

ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte

más sencillo de utilizar.

Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente

reducir las fracciones a común denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los tres

métodos.

Nota 3: Para resolver sistemas de ecuaciones, lo primero que hay que hacer es transformar las dos ecuaciones hasta

llegar a escribir ambas de la forma ax + by = c

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se deben seguir varios pasos:

1. Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtiéndolo en ecuaciones con coeficientes, constantes y variables o

incógnitas.

2. Analizar el tipo de sistema que se obtiene.

3. Elegir un método de resolución (algebraico o gráfico) y aplicarlo.

4. Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema.

5. Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas.

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES


1º Ejemplo: En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 y de tortilla

a 2 . En una mañana se vendieron 52 bocadillos y se recaudaron 149

¿Cuántos se vendieron de

cada clase?

Llamamos: x= bocadillos vendidos de

jamón. y= bocadillos vendidos de

tortilla. Tenemos el sistema:

x y+ = 52

3.5x+2y =149

Multiplicando por -2 la primera

ecuación:

−2x−2y = −104

3.5x+2y =149

Sumando:

1.5x = 45

45 x = = 30

1.5

Reemplazando x: y=52−x y

= 52 30− y = 22

Es decir, se han vendido 30

bocadillos de jamón y 22 de

tortilla. Veamos si la recaudación

coincide:

30 3.5()+22 2( ) =149

2º Ejemplo: María ha comprado un abrigo que estaba

rebajado un 15 %. Marta ha comprado otro

abrigo 25 más caro, pero ha conseguido

una rebaja del 20%, con lo que sólo ha pagado

8 más que María ¿Cuál era el precio de

cada abrigo? Llamamos: x= precio inicial del abrigo de María y=

precio inicial del abrigo de Marta.

x−15x = −y

20y −8

100 100

y x= +25

Simplificando y ordenando:

100x−15x =100y −20y −800

− −x y = 25

85x−80y = −800

− +x y = 25

Multiplicando por 85 la segunda ecuación:

85x−80y = −800

−85x+85y = 2125

Sumando:

5y

= 1325 y == 265

Reemplazando y:

x = y−25 x = 265−25 = 240 Es decir, el abrigo de maría valía 240 y el de Marta 265 .

Comprobemos: Si al de María le descontamos el 15 % nos

queda:

3º Ejemplo: En una granja hay conejos y

gallinas. Contamos en total 50

cabezas y 160 patas ¿Cuántos

animales hay de cada clase? Llamamos: x=

nº de gallinas. y=

nº de conejos

x y+ = 50

2x+4y =160

Multiplicando por -2 la primera

ecuación:

−2x−2 y = −100

2x+4y =160

Sumando:

2y =60 y

= =30

Reemplazando y: x

y+ =50 x

= 50 30− x = 20

Es decir, hay 20 gallinas y 30

conejos. Veamos si coinciden las patas:

20 2( )+30 4( ) =40 120+

=160


240

−=204

Y al de Marta le descontamos el 20%

265

−=212

Y, efectivamente Marta ha pagado 8 más.

UNIDAD 5


DESIGUALDADES

En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones

lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una

cantidad, interesa más que su valor exacto.

La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los

símbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que.

<: Menor que. : Menor o igual que.

Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de desigualdad:

“>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c

2. Si a > b, entonces (a c) > (b c) Si a < b, entonces (a c) < (b c).

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

a b

4. Si a > b y c > 0, entonces

c c

a b

Si a > b y c < 0, entonces

c c

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)

6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd

7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn

1 1

8. Si a > b, entonces

a b

a 0 b 0 a 0 b 0


9. a b 0, si a b 0, si

a 0 b 0 a 0 b 0

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Ejemplo 3 6 6 3

Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales

a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades.

Son satisfechas por todos los números Reales

2ab

Ejemplo: ab

a +b

Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).

b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son

desigualdades que poseen términos desconocidos

Ejemplo: 2x+6 0

INTERVALOS

Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan

geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos

también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y

luego algunos ejemplos.

CLASES DE INTERVALOS


Ejemplo

Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (– , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:

1. A C 2. B C 3. (A C) B

Solución:

1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C = x x/ −5 Notación de conjunto

2. B C = ( 2, 8 Notación intervalo B C = x/ 2 x 8 Notación de conjunto

3. (A C) B= ( 2, 5 (− , 8 = (− , 8 Notación intervalo (A C) B= x x/ 8

Notación de conjunto

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo

se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen

como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.

La desigualdad 2 x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una

igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.


La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas

y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un

intervalo).

Solución de inecuaciones

Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar

un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de

conjunto solución y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de

conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos”)

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece

en ellas.

Ejemplo:

INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita

xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita

INECUACIONES DE UNA VARIABLE

1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas:

ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0

En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

1. Quitar los paréntesis, si los hay.

2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m.

de los denominadores.

3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.

4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.

5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6. Despejar la x (la incógnita).

7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.

x − 2 5(x −7) 7 − x


Ejemplo 1: Resolver −

3 4 2

4(x − 2) −3(5x −35) 6(7 − x)

12 12

4x− −8 15x+105 42−6x −5x −55

5x 55 x 11 S= x (- , 11)

Ejemplo 2: Resolver 2x−3 x+5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x−x 3 5+

Reduciendo términos: x 8

S= (8,+ ) = x R/ x 8

− ( 8 +

x 5x

Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación 7 − 2 3 −6 . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42−3x 10x−36

Trasponiendo términos: −3x −10x −36−36

−13x −78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x 78

Dividiendo por 13: < x o sea, < x 6

S= (− ,6) = x R/ x<6

− )

+

6


Ejemplo 4: Resolver (x 3 x 1+ )( − ) (x 1− +)2 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

x2 + 2x−3 x2 −2x+ +1 3x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y

transponiendo:

2x+2x−3x 1+3 x 4

S= −( ,4) = x R/ x<4

− )

4

x −2 2x2 −1 1 2

Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación − − x . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

3 2 4

Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:

4(x−2)−6 2( x2 −1) 3 12− x2

4x− −8 12x2 +6 3 12− x2

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:

4x+6 3 8+

Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:

5

x S = − , = x R x /

4

− +

5/4

+

5 5

4 4


Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado

Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a x < b,

es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución: S = x/ x a x/ x b

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 6 4x − 2 7

Separando en dos desigualdades:

9 9

x 2 x 4 Sol: x

2, 4

2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE

SEGUNDO GRADO

Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas

básicas:

ax2 +bx c+ 0, ax2 +bx c+ 0, ax2 +bx c+ 0, ax2 +bx c+ 0

Procedimiento

Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de

segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.

Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuación x2 +5x+6 0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado x2 +5x+6=(x+3)(x+2), quedando una inecuación de la forma:

(x+3)(x+2) 0

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

(x+3) 0 y (x+2) 0

4x−2 6

4x−2 7

4x 6+2

x

4x 7+ 2

x

2


Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

(x+3) 0 y (x+2) 0

Solución Caso I:

Sea SA el conjunto solución de la inecuación (x+3) 0 y SB al conjunto solución de la inecuación

(x+2) 0, la solución del Caso I viene dada por: SI = SA SB

Solución para SA

x +3 0

SA = − + =( 3,) x R x/ −3

x −3

Solución para SB

x + 2 0

SB = −( 2,+ ) = x R x/ −2

x −2

La solución paraSI es entonces:

SI =SA SB = − +( 3, ) (−2,+ ) = −( 2,+ )

SI = −( 2,+ ) = x R/x −2

− ( ( + –3 –2

Solución Caso II:

Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación (x+3) 0 y SD al conjunto solución de la inecuación

(x+2) 0, la solución del Caso II viene dada por:SII = SC SD

Solución para SC :

x +3 0

Sc = −( , 3− ) = x R/x −3

x −3

Solución para SD :

3


x + 2 0

Sd = −( , 2− ) = x R/x −2

x −2

La solución paraSII es entonces:

SII =Sc Sd = −( , 3− ) − −(, 2) = −( , 3− )

SII = −( , 3− ) = x R/x −3

) )

-3 -2

Solución General:

La solución general será la unión de SI y SII , es decir:

SG =SI SII = −( 2,+ − ) (, 3− )

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe

un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método

de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste

igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real,

dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio

para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada

intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se

cumple la desigualdad.

Ejemplo 1

Dada la siguiente inecuación x2 +5x+6 0 , halle el conjunto solución y grafique.

Se factoriza el polinomio x2 +5x+6=(x+3)(x+2), quedando la inecuación de la forma:

(x+3)(x+2) 0

Las raíces que anulan (x+3)(x+2) son x = −3 y x =−2. (Valores críticos) Se ubican sobre la recta real (ver

cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

+ −

4


Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los

dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:

SG = −( , 3− ) −( 2,+ )

Ejemplo 2

(x−1)2 (x−1)2 8

Dada la siguiente inecuación − , halle el conjunto solución y grafique.

2 3 3

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen

términos semejantes, obteniendo:

x2 −2x−15 0

Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2 −2x−15=(x−5)(x+3) , resultando una inecuación de la

forma:

(x−5)(x+3) 0

Las raíces de (x−5)(x+3) son x =5 y x = −3(valores críticos), las cuales se ubican sobre la recta real. Se le

asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

5


Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los

dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:

SG = (−3,5) = x R/ 3− x 5

Gráficamente:

) ) -3 5

Casos especiales

1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:

Solución

x2 2x+1 = 0 Usando la fórmula cuadrática: x = −2 22 42 − = −2 02 =−1

+

(x+1)2 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:

• El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio). Solución

x2 + x+1 0

x2 + x+1 0

x2 + x+1 0

x2 + x+1 0

+ −

) ax + b ( 2 ≥ 0

( ) ax + b 2 > 0 valor critico

) ax + b ( 2 ≤ 0 x = − b/a

( ax + b ) 2 < 0

Ejemplo:

2

2 1 0 x x + +

6


INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Pasos:

1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.

2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.

3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.

4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.

5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

Ejemplo:

Resolver la inecuación x3 −4x 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo (<0).

El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)

x x 4 0( 2 − ) , o lo que es lo mismo x x( −2)(x+2) 0

Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán

que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo.

El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto

y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa

la gráfica:

Los valores de la x que hacen negativo el producto

son (− ,−2) (0,2).

3. INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones

polinómicas.

Expresión general: son del tipo ax + b 0 , o todas sus equivalentes ax + b 0, o ax

+ b 0, etc.… y de

cx + d cx + d cx + d

grados mayores que uno.

- 2 2

_ +

0

_ +

7


Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no

puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico.

Pasos:

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador,

independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción

polinómica.

Ejemplo:

x2 +3x −10

1. Dada la siguiente inecuación x2x −2 0 halle el conjunto solución y grafique.

+

Factorizando los polinomios dados:

x2 +3x−10=(x+5)(x−2), x2 + x−2=(x+2)(x−1)

Resultando una inecuación de la forma: 0

Las raíces que anulan el numerador son x = −5 y x = 2, y las que anulan el denominador son x = −2 y x =1

, las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan

los signos de la desigualdad.

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es

negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:

8


SG = − −( 5, 2) (1,2)

Gráficamente:

+

− ( ) ( )

-5 -2 1 2

x +1

2. Resolver

1 x −1 x +1

− 1 0 , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos cometiendo un x

−1

error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x +1 x −1 y compara los resultados. Para nuestro caso,

operando x +1 −1 0 x + −1 x +1 = 2 0 , y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del x −1

x −1 x −1

denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en (− ,1).

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS:

El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición

formal es:

a para a 0

a = , a R

−a para a 0

y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

Ejemplo: −5 = 5 = 5 Propiedades del valor absoluto

La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas

propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas

en el tema en cuestión.

Sean a b R, .

1. a 0

2. a2 = a

3. a = −a

9


4. a 2 = a2

5. a b = a b a a

6. = , si b 0 b b

7. a b+ a + b Desigualdad triangular

8. a = b b 0 a =b a =−b

Desigualdades con valor absoluto Sea

x y a R, , . Se tiene entonces:

1. x a sii a 0 x a x −a ó −a x a

− [ ]

-a a

2. x a sii x a x −a

− ] [

-a a

+

+

3. x y sii x2 y2

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma.

Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas

antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones.

Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:

Sean x a b c R, , , .

ax b c+

1) ax+b c y ó −c ax b c +

ax b+ −c

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5x+10 15y grafique.

10


Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:

− − 15 10−15 + − + 55xx 1010 1015 15 10− −

[

]

+

−25 5x 5 -5 1

−25 5x 5

5 5 5 S= − = − 5,1 x R/ 5 x 1

−5 x 1

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: + 2 < 1 y grafique. 3

x

−1 < + 2< 1

3x − ( ) +

−3 < < − 1 -9 -3 3

x

−3 3 < 3< − 1 3

3 S= − − = −( 9, 3) x R/ 9 < <x −3

−9 < < x −3

ax b c+

2) ax+b c ó ó ax b c+ ax b+ −c

ax b+ −c

Ejemplos:

11


2

+

4 5 −

) (

a) Encuentre el conjunto de

3x+8 soluciones que satisface:

2y grafique.

3x+8 2 3x +8 −2 3x

−2 8 3x − −2

8

3x −6 3 x −10

x x x −2

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5x−3 < 7 y grafique.

5 3>7x− 5x −3< −7

5 >7+3x 5 <x −7+3

5 >10x

x>10 5 x>2 5 <x

−4 x<

4 5−

− ,− 54 (2,+ )

Otro ejemplo Resolvamos la

desigualdad 2x−1 3 x+3

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

2 1x−

3

x+3

2x−1 3 x+3

(2 1x− )2 (3 9x+ )2

(2 1x− −)2(3 9x+ )2 0

(2x−1)−(3x+9) (2x−1)+ (3x+9) 0

(− −x 10) (5x+8) 0

Elaborando un diagrama de signos tenemos

( ) 10 , 2 ,

3 − −+ −

-

+

103 − - 2

12


Signo de (− −x 10) + ─ ─

Signo de (5x+8) ─ ─ +

Signo de (− −x 10)(5x+8) ─ + ─

Vemos que la solución de la desigualdad es −10,− 85

Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la

camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que

415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos

para poder llevarlos en ella?

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos

la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 − 4. X 415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

4. x 415 - 875 Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad -

Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por −

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad)

Hacemos el cálculo

1

x − (− 460)

4

13


x 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x >

0.

Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115].

Graficamos la solución en la recta real:

FUNCIONES REALES Y APLICACIONES

1.1 PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto (A x B) formado

por pares ordenados (x,y) tal que la primera componente “x” pertenece al

conjunto A ( x A ) ; y la segunda componente “y” pertenece al conjunto B ( y

A ).

Este conjunto se nota por A x B y se lee: “A cruz B”.

A x B = (x, y) / x A y B

Representación gráfica del par ordenado (x,y) en el plano cartesiano:

Y

X

Ejemplo 1:

A= {1 , 2, 3} ( 3 elementos)

14


B = { 2 , 3 } ( 2 elementos)

A x B= {(1,2), (1,3) , (2,2) ,(2,3), (3,2), (3,3)} ( 6 elementos)

Cartesian

2,5

15


B x A= {(2,1);(2,2); (2,3); (3,1);(3,2) );(3,3)}

B A

16


4

Ejemplo 2:

Determinar AxA Si: A= {1, 2, 3}

A= {1, 2, 3} x A= {1, 2, 3}

AxA= {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (3, 3)}

Ejemplo 3:

Si A= {-1, 2, -3} y B= {3, 4, 5, 6}, Determinar AxB y BxA

AxB= {(-1, 3); (-1, 4); (-1, 5); (-1, 6); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (-3, 3); (-3, 4); (-3, 5); (-3, 6)}

BxA= {(3, -1); (3, 2); (3,-3); (4, -1); (4, 2); (4, -3); (5,- 1); (5, 2); (5, -3); (6, -1); (6, 2); (6, -3)}

Ejemplo 4:

Si A= {b, c,

d} Hallar:

AxA.

AxA= {(b, b); (b, c); (b, d); (c, b); (c, c); (c, d); (d, b); (d, c); (d, d)}

Propiedades:

6 A, B conjuntos finitos, se cumple que:

1.- A x B ≠ B x A (El producto cartesiano no es conmutativo)

2.- A x ( B x C) ≠ ( A x B ) x C (El producto cartesiano no cumple la

propiedad Asociativa)

17


3. — A = Ø v B = Ø ‹ A x B = Ø

Ejercicios

1. Sean los conjuntos:

Hallar:

A = 1,,3,4,5, B = 7,8,9

a) A x B

b) B x A

c) B x B

d) A x A

1.2 RELACIÓN

Es un subconjunto no vacío del producto cartesiano A x B,

Ejemplo: Sean los conjunto A= {1 , 2 } y B = { 2 , 3, -1 }

La relación R1 formada por los pares ordenados ( x, y ), subconjunto del

producto cartesiano A x B, donde x es menor que y, es la siguiente:

R1= {(x, y) ϵ A x B/ x < y]

R1=[(1, 2); (1, 3); (2, 3)]

A B

-1

18


y = f(x)

1.3 FUNCIÓN

Es un subconjunto del producto cartesiano A x B (relación), tal que se

cumplen las siguientes condiciones.

1.- 6 x C A, E y C B tal que (x, y) C f

2.- Si (x, y) y (x, z) C f → y = z

Es decir que :

• Todo elemento del conjunto de salida, debe tener una imagen en

elemento del conjunto de llegada.

• No puede existir dos pares ordenados con la misma primera

componente y la segunda componente distinta.

Notación:

ƒ: A ‹ B

x ‹ y = ƒ(x)

f

x es la variable

independiente y es la

variable dependiente

y es la imagen de x por la ley f

19


1.3.1. DOMINIO

Sea la función: ƒ: A ‹ B

x ‹ y = ƒ(x)

El dominio de una función f, es el conjunto formado por todos los x C A, tal que

existe un y C B, donde y = f(x)

Df= { x C A / (x ,y) C f }

1.3.2 RECORRIDO O RANGO

Es el conjunto formado por todos los y C B, que son imágenes de x C A, por la

ley f.

Rf= { y Є B / y= f(x) ^ x Є A }

Ejemplo de funciones:

a)

A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 }

f = { ( 1, -1) , (- 2, -1) , (3 ,0 ) , ( - 4 , 2), ( 5, 3) , }

A B

Df= { 1, -2, 3,

Rf= { -1, 0, 2, 3}

-1

-2

- 4

20


b) A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 }

f = { ( 1, 0) , (- 2, 0) , (3 ,0 ) , ( - 4 , 3), ( 5, 3) , }

A B

Df= { 1, -2, 3, -4, 5}

Rf= { 0, 3}

Ejemplo de relaciones que no son funciones:

a) Dados los siguientes conjuntos:

A= {1, - 2, 3, - 4, 5}

A B B = {-1 , 0, 2 , 3 }

f = {(1, -1); (-2, 3); (3, 2)} -1

- 2

- 4

-1

-2

-4 3

21


f no es función.

No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe una

imagen y elemento del conjunto de llegada B”

b) Dados los siguientes conjuntos:

A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 }

f = { ( 1, 0) , (1, 2) , (- 2 1 ) , ( 3 , 2), ( -4, 3), ( 5, 3) }

A B

La relación f no es función, ya que no cumple que la siguiente condición:

(x, y) = (x, z) ‹ y = z

Ya que existen 2 pares ordenados donde la primera componente es

igual, pero las segundas componentes son diferentes :

(1, 0) = (1, 2) ‹ 0 G 2

c) Dados los siguientes conjuntos:

A= {1, - 2, 3, - 4, 5} y B = {-1 , 0, 2 , 3 }

La relación f = {(- 2, 3); (3, 0); (- 4, 0); (- 4, 3); (5, 3)} ¿es una función?

-1

-2

-4

22


Solución:

La relación f no es función. No cumple con ninguna de las dos condiciones

para ser una función.

1.- No cumple que “para todo x elemento del conjunto de salida A, existe

una imagen y elemento del conjunto de llegada B”

Al elemento “1” que pertenece al conjunto de salida no le corresponde

una imagen elemento del conjunto de llegada

f(1)= ?

2.- No cumple que la siguiente condición:

(x, y) = (x, z) ‹ y = z

Al elemento “-4” le corresponde dos imágenes del conjunto de llegada

(- 4, 0) y (-4, 3)

0≠3

A B

-1

-2

-4

23


d) ¿ La siguiente gráfica, representa una función?

Solución:

No es función ya que existe un infinito número de pares ordenados donde a la primera

componente “x” le corresponde 2 imágenes diferentes “y”.

Ejemplo ( 4, 2) y (4, -2)

2 ≠ -2

1.3.3 TIPOS DE FUNCIONES

1.3.3.1 FUNCION CONSTANTE

Se define como:

f = {(x,y) Rx R / y = k } donde k R

ó

ƒ: R ‹ R

x ‹ y = k donde k R

24


x Gráficamente: y

x

La función constante es aquella función en la que, para todos los valores de la

variable independiente “x” que pertenecen al dominio de la función, la variable

dependiente “y” es igual a k, donde k es un número real.

Y

Ejemplo:

ƒ: R ‹ R

x ‹ y = ƒ(x) = 1

x

Df : 6 x C R

Rf:

y = 1

ó y C {1}

a) Sea la función:

ƒ: ] — 5, 3] ‹ R

x ‹ y = — 2

x Y

-5 -2

-4 -2

25


Df : 6 x C [—7 4]

-3 -2

-2 -2

-1 -2

0 -2

1 -2

2 -2

3 -2

b) Sea la función:

Df : 6 x C ] — 5 , 3]

Rf: y = —2

ƒ: [—7, 4] ‹ R

x ‹ y = ƒ(x) = {

4 si — 7 ≤ x € —3

2 si — 3 ≤ x ≤ 0

—3 si 0 € x ≤ 4

Y

x

Rf: y C { 4, 2, —3 }

x y

-7 4

-6 4

-5 4

-4 4

-3 2

-2 2

-1 2

0 2

1 -3

2 -3

3 -3

4 -3

26


d) La compañía A, ofrece a sus clientes el servicio de internet ilimitado por un pago

mensual de $25. ¿ Cuál es la ecuación de la oferta?

Solución:

El bien que está en oferta es el tiempo de conexión a internet “x”

El precio se mantiene constante a cualquier valor del tiempo de conexión a internet. “y”

La oferta se representa como una línea horizontal con la función:

Y = 25

y

x

x Y

5 25

10 25

15 25

20 25

25 25

25 25

30 25

35 25

40 25

27


1.3.3.2 FUNCIÓN LINEAL

Se define como:

Ejemplos:

y = x + 1

y = 2x + 1

y = —5x + 4

y = —3x

ƒ: % ‹ %

x ‹ y = ƒ(x) = ax + b

con a, b C %, a ≠ 0

a es la pendiente

I) Si a > 0 la función es creciente. Y

b

X

- b/a

Df : 6 x C %

Rf: 6 y C %

Ejemplos:

a) Sea la función: ƒ: % ‹ %

28


x ‹ y = 2x + 8

a = 2

b = 8

El valor de la variable x, donde la variable y = 0 es la siguiente:

–b

= – 8

= - 4

a 2

Entonces tenemos el par ordenado (-4, 0)

El valor de la variable y, donde la variable x = 0, es y=b:

Entonces tenemos el par ordenado (0, 8)

Gráficamente: y

y = 2x + 8

29


Dƒ: 6x C %

Para hallar el recorrido de f

x C %

2x C %

2x + 8 C %

y C %

Rƒ: 6y C %

b) Sea la función: ƒ: % ‹ %

x ‹ y = x + 3

a = 1 b = 3


–b

= – 3

= - 3

a 1

Entonces tenemos el par ordenado (-3, 0)



Gráficamente:

y

x

30


c) Sea la función:

f: ]-2,2] → %

x → y = 4x-8

a = 4

b = - 8


–b

= 8

= 2

a 4



Entonces tenemos el par ordenado (0, - 8)

Df: 6 x C ]-2,2]


— 8 € 4x ≤ 8

—16 € 4x — 8 ≤ 0

Rƒ: 6 y C ] — 16, 0]

—2 € x ≤ 2

X Y

-2 -16

2 0

31


Gráficamente:

x

d) Sea la función:

f: ]-4,1[ → %

x → y = 2 x + 3

a = 2

b = 3


X Y

-4 -5

1 5

32


–b =

–3

a 2

Entonces tenemos el par ordenado ( — 3, 0) 2



Df: 6 x C ]-4, 1[


—4 € x € 1

— 8 € 2x € 2

—5 € 2x + 3 € 5

Rƒ: 6 y C ] — 5, 5[

Gráficamente: y

x

33


II) Si a € 0 la función es decreciente.

Y

b

X

- b/a

Df : 6 x C %

Rf: 6 y C %

Ejemplos:

a) Sea la función:

f: % ‹ %

x ‹ y=f(x) = - 2 x + 6

a= -2

b= 6

El valor de x donde la variable y=0 es la siguiente:

–b

= –6

= 3

a 2




34


Dƒ: 6x C %


x C %

— 2x C %

— 2x + 6 C %

y C %

Rƒ: 6y C % y

x

a) Sea la función:

ƒ: [—4, 3[ ‹ %

35


x ‹ y = —2x — 1

36


a= - 2

b= - 1


–b

= – (–1)

= — 1

a – 2 2

Entonces tenemos el par ordenado (— 1 , 0) 2


Entonces tenemos el par ordenado (0, - 1) y

Gráficamente

x

37


Dƒ: 6x C [—4, 3[

Rf:

—4 ≤ x € 3

—8 ≤ 2x € 6

8 ≤ 2x ≤ — 6

7 ≤ —2x — 1 Σ —7

7 ≤ y Σ —7

—7 € y ≤ 7

Rƒ: 6y C] — 7, 7]

b) Sea la función:

ƒ: [—3, 2[ ‹ %

x ‹ y = —x + 5

a= - 1

b= 5


–b

= – 5

= 5

a 1




38


D†: 6x C [—3, 2[

Rf:

—3 ≤ x € 2

3 ≤ — x Σ —2

8 ≤ —x + 5 Σ 3

8 ≤ y Σ 3

R†: 6y C] 3, 8]

y

39


X

40


1.3.3.2.1.- Ecuación de recta a partir de 2 puntos

Se puede determinar la ecuación de una recta, si se conoce dos coordenadas

( x1, y1) y ( x2, y2)a través de la siguiente fórmula.

( y — y1)

= ( y2 — y1)

( x — x1)

Siendo la pendiente N = ( y2 – y1)

(s2– s1)

(x2 — x1)

entonces:

( y — y ) = ( y2 — y1)

( x — x )

1 (x2 — x1) 1

( y — y1) = m ( x — x1)

donde m es la pendiente.

Ejemplo:

a) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

A= (2, 1) y B= (4, 5)

41


b) Un fábrica de pantalones tiene una demanda semanal de 500

pantalones cuando el precio es de $60, y de 300 pantalones cuando el

precio es de 80. Determine la ecuación de la demanda de pantalones,

suponiendo que es una función lineal.

1.3.3.2.2.- Ecuación de recta a partir la pendiente “m” y un punto.

( y — y1) = m ( x — x1)

a) Ejemplo:

Si se conoce que la pendiente m = 4 y el punto p=(2 , 3), determinar la ecuación

de la recta.

( y — y1) = N ( x — x1)

( y — 3) = 4 ( x — 2)

y — 3 = 4x — 8

y = 4x — 5

42


b) La empresa eléctrica cobra $0.08 el kilowatio-hora (Kw-h) más un costo fijo

mensual por comercialización. La factura mensual de María es $ 18.33 por 173

Kw-h.

i) Determine la función que modele el cobro de la planilla mensual de luz.

ii) Cuánto debe pagar María si el consuno de luz es de

200 KW-h Solución:

i)

x = la cantidad de kw-h

consumidos y= costo mensual de

luz

Se conoce el par ordenado: (173, 18.33)

( y — y1) = N ( x — x1)

( y — 18.33) = 0.08 ( x — 173)

y — 18.33 = 0.08x — 13.84

y = 0.08x — 13.84 + 18.33

y = 0.08x + 4.49

ii) Si el consumo de luz es de x= 200, María debe pagar: y = 0.08(200)+4.49

y = $ 20,49

43


2a

1.3.3.3 FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática de define de la siguiente manera:

f: % %

x y = f (x) = ax2 + bx + c =

b 2 b2– 4ac

donde a ≠ 0

I) a > 0

Punto mínimo (x min, y min)

x min = –b

a (x + 2a

) — 4a

y min = 4ac–b2

4a

Dƒ: 6x C %

Rƒ: 6y C [ yNin , +œ[

Si b2 — 4ac Σ 0

x

X =

c

44


X

y Si b2 — 4ac = 0

x

y Si b2 — 4ac € 0

x

c

c

45


(Xmax, ymax) (Xmax, ymax)

II) a < 0

Punto máximo (xmax,

ymax)

x max

= –b

2a

y max

= 4ac–b2

4a

Dƒ: 6x C R

Rƒ: 6y C] — œ, yNas] y Si b2 — 4ac Σ 0

x

46


(Xmin, ymin)

y Si b2 — 4ac = 0

x

y Si b2 — 4ac € 0

x

47


Ejemplos:

a) Sea la función:

f: % ‹ %

x ‹ y=f(x) = 3x2 + 6x - 2

y

a = 3

b = 6

c = - 2

x min = –b

= –6 = —1

2a 2(3)

y = 4ac–b2

= 4(3)(–2)–62

= –60

= —5

min 4a 4(3) 12

Punto mínimo (—1, —5)

DoNinio de la ƒunción ƒ

Dƒ: 6x C %

Para hallar el recorrido de y = 3x2 +

y = 3(x + 1)2 — 5

x C %

x + 1 C %

(x + 1)2 ≤ 0

(x + 1)2 ≤ 0

(x + 1)2 — 5 ≤ —5

y ≤ —5

Rƒ: 6y C [—5, +œ[

48


b)

y

ƒ: ]—2, 3] ‹ %

x ‹ y = x2 — 2x + 1 = (x — 1 )2

a = 1

b = -2

c = 1

x min =

–b =

–(–2) = 1

2a 2(1)

y = 4ac–b2

= 4(1)(1)–(–2)2

= 0

= 0

min 4a 4(1) 4

Punto mínimo (—1,0)

Dominio de la función f

Dƒ: 6x C ]—2, 3]

Para hallar el recorrido de la función

y = x2 — 2x + 1

y = (x — 1 )2 x

Rf:

— 2 € x ≤ 3

— 3 € x — 1 ≤ 2

0 ≤ (x — 1)2 € 9

0 ≤ y € 9

Rƒ: 6y C [0, 9[

49


d) Sea la función: y

ƒ: [—3, 2 [ ‹ %

x ‹ y = x2 + 2x + 3 = (x + 1 )2 + 2

a = 1

b = 2

c = 3

x min =

–b =

–2

= —1

2a 2(1)

y = 4ac–b2

= 4(1)(3)–22

= 12–4

= 8 = 2

min 4a 4(1) 4 4

Punto mínimo (—1,2)

Dominio de la función f

Dƒ: 6x C [—3, 2[

Para hallar el recorrido de la función

y = x2 + 2x + 2

y = (x + 1 )2 + 2

Rf:

— 3 ≤ x € 2

— 2 ≤ x + 1 € 3

0 ≤ (x + 1)2 € 9

2 ≤ y € 11

Rƒ: 6y C [2, 11[

50


2

)

e) Sea la función:

f: % ‹ %

x ‹ y=f(x) = - 3x2 + 7x+2 y

a = -3

b = 7

c = 2

x max = –b

= –7

= 7

2a 2(–3) 6

y = 4ac–b2

= 4(–3)(2)–72

= –73

= 73

max 4a 4(–3) –12 12

x

Punto máximo (7 , 73) 6 12

Dominio de la función f, Df: 6x C %

Para hallar el recorrido de y = — 3x2 + 7x + 2

7 2 73 y = —3 (x —

6)

x C %

x — 7

C % 6

+ 12

(x —

7 ≤ 0

6

7 2

—3 (x — ) ≤ 0 6 7 2 73 73

—3 (x — ) 6

y ≤ 73

12

+ 12

≤ 12

51


Rƒ: 6y C ]—œ, 73

] 12

52


f) Sea la función:

ƒ: ]0, 2[ ‹ %

x ‹ y=f(x) = - 2x2 + 6x - 4

a = -2

b = 6

c = -4

y

(Xmax, ymax)

x

x max = –b

= –6

= 6 =

3

2a 2(–2) 4 2

y = 4ac–b2

= 4(–2)(–4)– 62

= –4

= 1

max 4a 4(–2) –8 2

Punto máximo (3 , 1)

2 2

Dominio de la función f, Dƒ: 6x C ]0, 2[

Para hallar el recorrido de y = — 2x2 + 6x — 4

3 2 1 y = —2 (x —

2) +

2

x C ]0, 2[

0 € x < 2

— 3 € x — 3 < 1

2 2 2

— 3 € x — 3 < 0 v 0 ≤ x — 3 < 1 2 2

3 2 9

2 2

3 2 1

0 € (x — ) < 2 4

v 0 ≤ (x — 2) <

4

53


0 ≤ (x — 3 )2< 9 2 4

0 ≤ —2(x — 3 )2 Σ — 9 2 2

1 ≤ —2(x — 3 )2 + 1 Σ — 8 2 2 2 2

54


2

)

—4 € y ≤ 1 2

Rf: 6y C ]—4, 1]

2

g) Sea la función:

ƒ: [2, 4] ‹ %

y x ‹ y=f(x) = - x2 + 5x - 9

x a = - 1

b = 5

c = - 9

x max =

–b =

–5 =

5

2a 2(–1) 2

y = 4ac–b2

= 4(–1)(–9)– 52

= — 11

max 4a 4(–1) 4

Punto máximo (5 , — 11)

2 4

Dominio de la función f, Df: 6x C [2, 4]

Para hallar el recorrido de y = - x2 + 5x - 9

y = — (x — 5 11

2 4

x C [2, 4]

2 ≤ x ≤ 4

— 1 ≤ x — 5 ≤ 3 2 2 2

55


0 ≤ (x — 5

)2 ≤ 9

2 4

0 ≤ —(x — 5 )2 ≤ — 9 2 4

56


— 11

≤ —(x — 3

)2 — 11

≤ —5

4 2 4

—5 ≤ y ≤ — 11 4

Rƒ: 6y C [—5, — 11

] 4

h) Se dispone de un alambre de 85 metros para cercar con los 3 lados un

terreno de tal manera de se obtenga el área máxima. ¿Cuáles son las

dimensiones del terreno.?

Solución:

85-2x

largo

El área del rectángulo es: base x altura (largo x ancho)

A= b x h

A= (85 – 2x ) x

A= 85x – 2x2

Se necesita encontrar para que valor de x

el área es máxima.

x max = –b

= –85 = 85= 21,25

2a 2(–2) 4

A = 4ac–b2

= 4(–1)(0)– 852

= 7225

= 903,125

max 4a 4(–2) 8

Punto máximo (85 , 7225) 4 8

Las dimensiones del terreno son:

ancho x= 21,25 m

largo = 85 – 2x

57


largo = 85 – 2(21,25)

largo = 42.5

Área máxima= 903.12

58


i) Se lanza un proyectil desde el suelo hacia arriba, describiendo un

movimiento parabólico. Si se conoce que la altura máxima media en metros

que alcanza el proyectil se calcula a través de la función:

H(t) = -4t2 + 15t.

Calcular:

a) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? b) ¿ Cuál es la altura máxima?

Solución:

H(t) = - 4t2 + 15t

a= -4

b=15

c=0

(Xmax, ymax)

t max = –b

= –15

= –15

= 1,85

2a 2(–4) 8

H max = 4ac–b2

= 4(–4)(0)– 152

= –225

= 14,06

4a 4(–4) 8

Punto máximo (15 , 225) 8 8

a) La altura máxima es alcanzada

a un tiempo t=1,85s

b) La altura máxima es H= 14,06m

59


j) Una compañía que vende agua embotellada vende semanalmente x número

de botellas de agua a p dólares cada una, la relación entre p (precio) y x

(número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de

demanda:

P = x - 246

¿Cuántos botellas de agua debe vender la compañía para obtener un ingreso

semanal de $1.000?

Solución:

Ingreso requerido I =1000

Precio de venta P= x -246

Número de artículos vendidos= x

Ingreso= precio de venta x número de artículos vendidos

I = P x

1000= (x-246) x

1000= x2 - 246x

x2 - 246x -1000=0

x2 - 246x - 1000=0

x = —b ± √b2 — 4ac

2a

x = —(—246) ± ƒ(—246)2 — 4(1)(—1000)

2(1)

x = 246 ± ƒ60516 + 4000)

2(1)

x = 246 ± √64516

2

X = 250 v x = - 4

Consideramos solamente el valor entero positivo que es x = 250.

Por lo tanto la compañía debe vender 250 botellas de agua semanalmente.

60


1.3.3.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto se define de la siguiente manera:

f % → %

x → y = f (x) = |x| y

Dƒ: 6x C %

Rƒ: 6y C [ 0, +œ[

Ejemplos:

a) Sea la función

ƒ: % ‹ %

x ‹ y=f(x) = |2x — 4|

Dominio de f:

Dƒ: 6x C %

Recorrido de f:

x C %

2x C %

2x — 4 C %

|2x — 4| ≤ 0

Rƒ: 6y C [ 0, +∞[

61


b) Sea la función

ƒ: ]0, 3] ‹ %

x ‹ y=f(x) = |—3x + 5| y

Dominio de f:

Dƒ: 6x]0, 3]

Recorrido de f:

x C ]0, 3]

0 € x ≤ 3

0 Σ —3x ≤ —9

5 Σ —3x + 5 ≤ —4 x

0 ≤ |—3x + 5| € 5

0 ≤ y € 5 x

Rƒ: 6y C [0, 5]

c) Sea la función

ƒ: ]—1, 4] ‹ % y

x ‹ y=f(x) = |—4x + 8| — 2

Dominio de f:

x C ]—1, 4]

Recorrido de f:

— 1 € x ≤ 4

4 Σ —4x ≤ —16

12 Σ —4x + 8 ≤ —8

0 ≤ |—4x + 8| € 12

—2 ≤ |—4x + 8| — 2 € 10 x

—2 ≤ y € 10C [—2, 10[

62


d) Sea la función y

ƒ: ]—2,3] ‹ %

x ‹ y=f(x) = - |3x — 3| + 1 x

Dominio de f:

x C ]—2,3]

Recorrido de f:

— 2 € x ≤ 3

— 6 € 3x ≤ 9

— 9 € 3x — 3 ≤ 6

0 ≤ |3x — 3| € 9

0 ≤ — |3x — 3| Σ —9

1 ≤ — |3x — 3| + 1 Σ —8

—8 € y ≤ 1

Rƒ: 6y C ]—8, 1] y

e) Sea la función

ƒ: ]0, 3[ ‹ %

x ‹ y=f(x) = - |—4x + 4| — 1 x

Dominio de f:

x C ]—0, 3[

Recorrido de f:

0 € x € 3

0 Σ —4x Σ —12

4 Σ —4x + 4 Σ —8

0 ≤ |—4x + 4| € 8

0 ≤ —|—4x + 4| Σ —8

0 ≤ —|—4x + 4| — 1 Σ —9

63


0 ≤ y Σ —9

—9 € y ≤ —1

Rƒ: 6y C ]—9, —1]

1.3.3.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

La raíz cuadrada se define de la siguiente manera:

f: [0, +œ[ ‹ [0, +œ[

x → y = f (x) = √x

Dominio de f:

Dƒ: 6x C [0, +œ[ x

Recorrido de f:

Rƒ: 6y C [ 0, +œ[

Ejemplos:

a) Sea la función

y = f (x) = √2x — 1

Dominio de f:

2x — 1 ≤ 0

x ≤ 1

2

1 Dƒ: 6x C [

2 , +œ

Recorrido de f:

x ≤ 1

2

2x ≤ 1

2x — 1 ≤ 0

√2x — 1 ≤ 0

64


y ≤ 0

Rƒ: 6y C [ 0, +œ[

b) Determinar el dominio y recorrido de la siguiente relación para que sea

función

y = f (x) = √3x + 4 +2

Dominio de f:

3x + 4 ≤ 0

3x ≤ —4

x ≤ — 4 3

Dƒ: 6x C [— 4 , +œ[

3 x

Recorrido de f:

x ≤ — 4

3

3x ≤ —4

3x + 4 ≤ 0

√3x + 4 ≤ 0

√3x + 4 + 2 ≤ 2

y ≤ 2

Rƒ: 6y C [ 2, +œ[ c) Dada la función

†: ]—3, 2] ‹ %

x ‹ y = f (x) = √—x + 3 - 1

Determinar el recorrido de f

65


y

Dominio de f:

6x C ]—3, 2]

Recorrido de f:

—3 € x ≤ 2

3 Σ —x ≤ —2

6 Σ —x + 3 ≤ 1

√6 Σ √—x + 3 ≤ 1

√6 — 1 Σ √—x + 3 — 1 ≤ 0

0≤ y € √6 — 1

Rƒ: 6y C [ 0, √6 — 1[

d) Dada la función

†: ]—1, 2] ‹ %

x ‹ y = f (x) = √2x + 3 - 3

Determinar el recorrido de f y

Dominio de f: x

6x C ]—3, 2]

Recorrido de f:

—1 € x ≤ 2

—2 € 2x ≤ 4

1 Σ 2x + 3 ≤ 7

—2 Σ √2x + 3 — 3 ≤ √7 — 3

—2 Σ y ≤ √7 — 3

Rƒ: 6y C [ √7 — 3, —2[

66


J

J

e) Un objeto es soltado en caída libre desde un edificio de 800 m de altura.

Determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo.

Solución:

La fórmula que permite calcular el tiempo es: T = 2h, donde g=9.8 m/s2, g

corresponde a la aceleración de la gravedad que es

Datos:

H=700 m

g = 9.8 m/s2

Aplicando la fórmula T = 2h g

Se tiene:

2(800 N)

T = J 9.8 s2

T = J1600 N/s

9.8 s2

T = ƒ163.26 s2

T = 12.77 s

El tiempo que se demora el objeto es llegar al suelo es T=11.95 s

67


1.3.3.6 FUNCIÓN RACIONAL

La función racional puede estar expresada de la siguiente manera:

y = ƒ(x) = N(x)

M(x)

Donde N y M son polinomios y M(x) G 0

y y

x x

Ejemplo:

a) Dada la función

y = f (x) = x–2

x+1

Determinar el dominio y recorrido de f

Dominio de f:

x + 1 G 0

x G —1

Dƒ: 6x C % — {—1}

68


Recorrido de f:

y = f (x) = x–2 = 1 — 3

x G —1

x + 1 G 0

x+1 x+1

1

x + 1 G 0

3

x + 1 G 0

— 3 G 0 s+1

1 — 3 G 1 s+1

y G —1

Rƒ: 6y C % — {—1}

b) Dada la función

y = 2x–4

x–3

Determinar el dominio y recorrido de f

Dominio de f:

x — 3 G 0

x G 3

Dƒ: 6x C R — {3}

x

69


Recorrido de f:

y = 2x–4

= 2 + 2

x–3 x–3

x G 3

x — 3 G 0

1

x — 3 G 0

2 G 0 s–3

2 + 2 G 2 s–3

y G 2

c) Determinar el recorrido de la función f:

y

†: [—5, 2] — {—2} ‹ %

x ‹ y = 3x

2x+4

Dominio de f:

6x C [—5, 2] — {—2}

Recorrido de f:

x

y = 3x

= 3 —

6 =

3 —

3

2x+4 2 2x+4 2 x+2

—5 ≤ x ≤ —2 v —2 ≤ x ≤ 2

x

70


—3 ≤ x + 2 ≤ 0 v 0 ≤ x + 2 ≤ 4

— 1 ≤

1 v

1 ≤

1

3 x+2 x+2 4

71


1 ≤ — 3 x+2

v — 3

x+2

≤ — 3 4

5 ≤

3 —

3 v

3 —

3 ≤

3

2 2 x+2 2 x+2 4

5 ≤ y v y ≤ 3 2 4

3 5 R†: 6y C ]—œ,

4] U [

2 , +œ[

d) Una empresa que produce vasos tiene unos costos mensuales de

producción igual a los costos fijos más los costos variables.

Los costos fijos son de $825 mensuales y los Costos variables son de

2.9 por cada vaso.

Determinar la función que describa el costo unitario de los vasos en

función de la producción mensual y su gráfico.

Solución:

CT : Cf + Cv

donde CT= costo total

Cf : Costos fijos

Cv : Costos variables

Por lo tanto CT= 825 + 2.9 x

x : número de vasos

La función que describe el costo unitario es:

Cu = CT

x

Cu : costo unitario

72


Cu = 8

2

5

+

2

.

9

x

x

Y

73


X

1.3.4 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS

a) Sea la función:

ƒ: [—4, 3] ‹ %

x ‹ y = ƒ(x) = {

—3 si — 4 ≤ x € —2

x — 1 si — 2 ≤ x ≤ 0

x2 — 2x — 1 si 0 € x ≤ 3

74


Determinar el recorrido de la función f y

x

i) —4 ≤ x € —2 y = —3

ii) —2 ≤ x ≤ 0

—3 ≤ x — 1 ≤ —1

y c [—3, —1]

iii) y = x2 — 2x — 1 = (x — 1)2 — 2

0 € x ≤ 3

—1 € x — 1 ≤ 2

0 ≤ (x — 1)2 ≤ 4

—2 ≤ (x — 1)2 — 2 ≤ 2

—2 ≤ y ≤ 2

Rf = {—3} U [—3, —1] U [—2, 2]

Rf = 6 y C [—3, 2]

b) Dada la función

75


y = f (x) = J2x–3

x+4

Determinar el dominio y recorrido de la función f

76


Dominio:

2x — 3

≤ 0

x + 4

2x — 3 ≤ 0

2x ≤ 3

x ≤ 3

2

x + 4 Σ 0

x Σ —4

—œ — 4 3 + œ 2

2x-3 - - +

x+4 - + +

+ - +

x € —4 v x ≤ 3

2

y = f (x) = J2x–3 = J2 — 11

x+4 x+4

x € —4 v x ≤ 3

2

x + 4 € 0 v x + 4 ≤ 11

2

1

x + 4 € 0 v 0 € 1

≤ 2

x + 4 11

— 1

x + 4

— 11

x + 4

Σ 0 v 0 Σ — 1

x + 4

Σ 2 v 0 Σ — 11

x + 4

≤ — 2

11

≤ —2

2 — 1

x + 4 Σ 2 v 2 Σ 2 —

1 ≤ 0

x + 4

Df: 6xc ]—œ, —4[ U [3 +œ[

Recorrido:

77


y Σ 2 v 0 ≤ y € 2

78


Rf = 6y C ]2, +œ[ U [0, 2[

Rf = 6 y C [0, +œ[ — {2}

y

c) Dada la función

y = f (x) = | 2–x |

2x+5

Determinar el dominio y recorrido de la función f Dominio:

| 2 — x

| ≤ 0 2x + 5

2x + 5 G 0

2x G —5

x G — 5

2

D†: 6 x C %

Recorrido:

5 — {—

2}

79


y = f (x) = | 2–x | = |— 1 + 9 |

2x+5 2 4x+10

4x + 10 G 0

1

4x + 10 G 0

1 9 1

— 2

+ 4x + 10

G — 2

x 1 9

|— 2

+ 4x + 10

| ≤ 0

y ≤ 0

Rf = 6 y C [0, +œ[

d) Dada la función

y = f (x) = √2x2 + 3x + 1

Determinar el dominio y recorrido de la función f Dominio:

2x2 + 3x + 1 ≤ 0

3 2 1 2 (x +

4) —

8 ≤ 0

3 2 1 2 (x +

4) ≤

8

3 2 1 (x +

4) ≤

16

80


2

J(x + 3)

4

≤ J 1

16

3 1

|(x + 4)| ≤

4

x + 3 ≤ - 1

v 3 1

x + ≤

4 4 4 4

x ≤ - 1 v 3 1

x + ≤ — 4 2

x ≤ —1 v x ≤ — 1

2

Df: 6xc ]—œ, —1] U [— 1 , +œ[

2

Recorrido:

y = f (x) = √ 2

J 3 1

2x + 3x + 1 = 2 (x + ) — 4 8

x ≤ —1 v x ≤ — 1

2

3 —1 3 1 x +

4 ≤

4 v x +

4 ≤

4

3 2 1 3 2 1 (x + )

4 ≤ 16

v (x + ) 4

≤ 16

(x + 3

4

2

2

)

81


2

)

1

≤ 16

2 (x + 3

≤ 1

4 8

82


2

) 2 (x + 3

— 1

≤ 0 4 8

y ≤ 0

y

x

e) Determinar el recorrido de la siguiente función

2s+4

y = ƒ(x) = {2s–2

si — 4 ≤ x € 1

3x + 1 si 1 ≤ x € 3

y = 2s+4

= 1 + 6 y = 3x + 1

2s–2 2s–2

—4 ≤ x € 1 v 1 ≤ x € 3

—8 ≤ 2x € 2 v 3 ≤ 3x € 9

—10 ≤ 2x — 2 € 0 v 4 ≤ 3x + 1 € 10

83


Rf =

x

f) Determinar el recorrido de la siguiente función

x2 + 4x — 1 si |x| € 2

y = ƒ(x) = {

—4 si |x| ≤ 2

84


x

y = x2 + 4x — 1 = (x + 2)2 — 5

i)

|x| € 2

—2 € x € 2

0 € x + 2 € 4

0 € (x + 2)2 € 16

—5 € (x + 2)2 — 5 € 11

—5 € y € 11

ii) |x| ≤ 2

x ≤ —2 v x ≤ 2

y = - 4

Rf = 6y C ]—5, 11[ U {—4}

Rf = 6y C ]—5, 11[

85


2 4

2

2

g) Determinar el recorrido de la siguiente función

— √—x + 4 si — 4 € x ≤ —1 y = ƒ(x) = {

|— x2 + x + 2| si x Σ —1

i)

—4 € x ≤ —1

4 Σ —x ≤ 1

8 Σ —x + 4 ≤ 5

√8 Σ √—x + 4 ≤ √5

—2√2 € —√—x + 4 ≤ —√5

—2√2 € y ≤ —√5

ii) y = |— x2 + x + 2| = |

x Σ —1

—( x — 1)2

+ 9|

1 3 x —

2 Σ —

2

(x — 1) ≤ 0

2

— (x — 1) ≤ 0

2

86


1 2 9 9

— (x — 2) +

4 ≤

4

|— (x — 1)

2

+ 9| ≤ 0

4

2

87


y ≤ 0

Rf = 6y C ]—2√2, —√5] U [0, +œ[

y

x 2.- BIBLIOGRAFÍA

1. Nuñez J., (2015). Fundamentos de la Matemática, Quito.

2. Lara, J.; Arroba, J.; (2012). Análisis Matemático. Quinta edición, corregida y

aumentada. Julio. Tercera reimpresión. Centro de Matemáticas. Universidad

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3. Castillo C., Navas F. & Toro J.,( 2010). Ejercicios de matemática básica, Quito.

4. Thomas, G; (2010). Cálculo en una variable. Décima segunda edición,

Pearson Addison Wesley. México.

5. Swokowski E. & Cole J. (2007). Algebra y trigonometría con geometría

88


analítica” Grupo Editorial Ibero América, México.

6. Arya, Lander, Ibarra (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la

Economía. Quinta edición. Pearson Educación. México

7. Galindo E. & Gortaire D. (2006). Matemáticas Superiores, teoría y

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8. DemidovichB.(2000), Problemas y ejercicios de análisis matemático. Editorial

Mir. Addison Wesley. México.

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• Budnick, Frank. (2007). Matemáticas Aplicadas para Administración Economía y

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• Gustafson, R. (2008). David. Algebra Intermedia. México. Editorial Thomson.

• Leithold, Louis. (2010). Algebra y trigonometría con geometría analítica. Inglaterra.

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• Zill, Dennis. (2012) Algebra y Trigonometría. México. McGraw Hill.

• J. Aurelio Baldor, (1983). Álgebra. México. Publicaciones Cultural.

matemÁtica bÁsica

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