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Matemática BásicaUnidad 1: Preparación para el cálculo

Clase 2

Luis González Alcaino

Magister en Matemática

Universidad Santo TomasDepartamento Ciencias Básicas - Talca

Marzo de 2013

[email protected] (UST) Matemática Básica: Clase 2 Marzo de 2013 1 / 12

Contenidos de la clase

Notación exponencial

Leyes de los exponentes

Exponentes racionales

Notación científica

Ejercicios

Lecturas

Notación exponencial

Si a es un número real cualquiera y n es un entero positivo, entonces la

potencia n-ésima de a es

an = a · a · · · · · a︸︷︷︸n factores

El número a se denomina base y n es el exponente.

Si a 6= 0 es un número real y n es un entero positivo, entonces

a0 = 1 y a−n =1

Ejemplos

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

(−2)6 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 64

−53 = −(5 · 5 · 5) = −125

−4−2 = − 142 = − 1

4·4 = −116

70 = 1

Ley Ejemplo Descripción

1. am · an = an+m 32 · 35 = 32+5 = 37 Para multiplicar dos potencias del

mismo número, sume los exponentes

an= am−n 45

42= 45−2 = 43 Para dividir dos potencias del

mismo número, reste los exponentes

3. (am)n = am·n (52)3 = 52·3 = 56 Para elevar una potencia a una nueva

potencia, multiplique los exponentes

4. (a · b)n = an · bn (3 · 4)2 = 32 · 42 Para elevar un producto a una potencia

eleve cada factor a la potencia.

Ley Ejemplo Descripción

24Para elevar un cociente a una potencia

eleve tanto el numerador y denominador

a la potencia.

Para elevar una fracción a una potencia

negativa, invierta la fracción y cambie

el signo del exponente.

7.a−n

b−m=

2−5=

32Para pasar un número elevado a una

potencia desde el numerador al

denominador o desde el denominador

al numerador, cambie el signo del

exponente

Raiz n-ésima

Si n es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de a se define

como sigue:n√

a = b quiere decir bn = a

Si n es par, a ≥ 0 y b ≥ 0 . En particular√

a = b⇐⇒ b2 = a

Propiedades de las ríces n-ésimas

ab = n√

b. Ejemplo 3√−8 · 27 = 3

√−8

27 = (−2)(3) = −6

b. Ejemplo

164√

3 m√

a = m·n√a Ejemplo√

729 = 6√

729 = 3

an = a si n impar Ejemplo3√

53 = 5 ,3

√(−7)3 = −7

5 n√

an = |a| si n es par Ejemplo 4√(−3)4 = | − 3| = 3

Para cualquier exponente racional mn

, donde m y n son números enteros y

n > 0 , se define:

amn = n√

am o de forma equivalente amn =

En particular a1n = n√

Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.

Con esta definición las Leyes de los exponentes son válidas también para los

exponentes racionales

Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si está

expresado como sigue:

x = a× 10n donde 1 ≤ a ≤ 10 y n es un entero

Ejemplos

1 La distancia a la estrella Alfa Centauro es de 4× 1013 km, el exponente

positivo 13 indica que la coma decimal debe desplazarse 13 lugares a la

derecha:

4× 1013 = 40.000.000.000.000Mover la coma decimal 13 lugares a la derecha

2 La masa de un átomo de hidrógeno es 1.66× 10−24 g, el exponente −24

indica que la coma decimal debe desplazarse 24 lugares a la izquierda:

1.66× 10−24 = 0, 00000000000000000000000166Mover la coma decimal 24 lugares a la izquierda

Ejemplo

Si a = 0, 00046 ; b = 1, 697× 1022 y c = 2, 91× 10−18

Obtener un valor aproximado del cocienteab

Solución: Usando las leyes de los exponentes tenemos:

(4.6× 10−4

) (1.697× 1022

)2.91× 10−18

=(4.6) (1.697)

2.91× 10−4+22+18

≈ 2, 7× 1036

Ejercicios

1 Simplificar las siguientes expresiones algebraicas

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

2 Determine el valor de n en los siguientes enunciados

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

3 Exprese los siguientes resultados en notación científica

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Ejercicios

(−a3bc

) (2ab−1c2

)(ab2) (−a−2b3c3) (−a)

(r−2s3pq

(r3s2)−2(pq3)

√3√

x√y÷

3√√

x√xy

16= 2n

2106 × 10−5

10−3= 10n

10.00025 · 0.000006

0.00005

c, donde a = 0.0009 , b = 0, 0000002 y c = 0.00015

Solución a los jercicios

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

2 −2a4

3q3r12

1 n = −4

2 n = 4

1 3× 10−5

c= 1. 2× 10−6

Lecturas

Páginas 27-34 del libro Introducción al Cálculo con aplicaciones en el área de

la salud.

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