conferencias matemática básica contaduríauvalle 2016

7/26/2019 Conferencias Matemtica Bsica Contadurauvalle 2016

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MATERIAL DE USO INCLUSIVO. UNIVERSIDAD DEL VALLE. DANIEL TRUJILLO LEDEZMA. 2016

CREACIONES DE APOYO DIDCTICO. DE USO INCLUSIVO. CONFERENCIAS DE CLASE.

FEBRERO DE 2016

DANIEL TRUJILLO LEDE


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****** UNIVERSIDAD DEL VALLE ******SEDE NORTE DEL CAUCA

ADMINISTRACIN DE EMPRESAS Y CONTADURA PBLICAMATEMTICA BSICA

PRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASETALLER NMERO UNO: TEORA DE CONJUNTOS

1-. DADOS LOS CONJUNTOS:

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

U 1,2,3,...,9,10

A 1,2, 4,6,8

B 3,5,7,8,9,10

C 2,4,6,8

D 1,2,4,6,7,9,10

=

=

=

=

=

Determine:

A) A U B B) B U A C) A BD) B A E) A C F) C DG) A H) B I) C J) DK) A B L) B A M) B D N) C A) (A B) (C D) O) (A B) U (D A)P) {(C D) U (A U B U C)}

Q) {(C

D) U (A U C)} (A D C)2-. DADOS LOS CONJUNTOS:

{ }

{ }

M Daniel,Juan,Martha,Esteban

N lunes,martes,miercoles

=

=

Determine todos sus subconjuntos

3-. RESUELVA EL PROBLEMA:

Doa Bonifacia tiene moras, lulos, guayabas ynaranjas. Cuntos sabores diferentes de jugos puedehacer?

4-. APLICACIONES DE LOS CONJUNTOS:

A) Se pregunt a 1100 personas sobre sus gustosdeportivos referidos al ftbol, la natacin y el ciclismo,y se encontr lo siguiente:* 390 practican el ftbol* 360 practican la natacin* 300 practican el ciclismo* 30 practican ftbol y ciclismo* 30 practican ftbol y natacin pero no ciclismo* 20 practican los tres deportes

* 750 practican solamente uno de estos tres deportes

Hallar:A) Cuntas de estas personas no practican ningunode estos tres deportes?B) Cuntos de los encuestados practican cualquierade estos tres deportes?C) Cuntos practican al menos dos de estosdeportes?D) Cuntos practican solo el ftbol?E) Cuntos practican solo el ciclismo?F) Cuntos practican solo la natacin?G) Cuntos practican el ftbol o natacin?H) Cuntos practican exactamente dos de estosdeportes?I) Cuntos practican el ftbol y natacin pero nociclismo?J) Cuntos practican el ftbol o natacin pero nociclismo?K) Cuntos practican como mximo dos deportes?

L) Cuntos practican o solo el ftbol o solo natacin?M) Cuntos practican el ftbol, el ciclismo y lanatacin?N) Cuntos practican el ftbol o el ciclismo y lanatacin pero no los tres deportes?) Cuntos practican el ftbol o la natacin, pero nola natacin y el ciclismo?

5-.

E C

250

UEl diagrama anterior se refiere a una encuestarealizada a 1200 profesores, sobre el nivel educativoen el que orientan su ctedra, siendo E= escuela, C= colegio, U = Universidad.Segn lo anterior y basndose en los siguientes datos:

Consulta sobrelas relaciones depertenencia y de

contenencia

ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA


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3(U C) - E = 100(E C) - U = 70(U U C U E) = 165(C U E) = 250(U E) C = 10(U E C) = 250

Complete el diagrama dado al inicio.

6-. Represente con diagramas de Venn:

A) (A B) C dado que los conjuntos A, B y Cson secantes.B) (A U B) C dado que los conjuntos A, B y Cson disyuntos.

7-. Dados los conjuntos A, B y C que son secantes,representar con diagramas de Venn:

A) ( ) ( )A ' B B' A '

B) ( ) ( )A B C A B C

8-.

F A

C

El anterior diagrama se refiere a una encuestaaplicada a 800 personas, sobre el deporte quepractican, Ftbol (F), atletismo (A), ciclismo (C).Atendiendo a los datos que se dan a continuacin,completar el diagrama:

420; ( F A) = 600 ; (C - F - A) = 70(F A) - C = 90; (F - C - A) = 180

(A - F - C) = 120 ; (F C) - A = 50

F =

9-. Un estudio realizado en el Liceo PedaggicoNueva Generacin, respecto a la fruta preferida de losnios arroj los siguientes resultados:* A 260 nios les gusta la pia* A 400 les gusta el mango* A 480 les gusta el banano* 90 gustan de la pia y el banano* 130 gustan del mango y el banano

* 110 gustan de la pia y el mango* 100 nios gustan solo de la pia.A) Cuntos nios gustan de las tres frutas?B) Cuntos nios gustan exactamente de dos deestas tres frutas?C) Cuntos gustan de pia y mango, o, mango y

banano?

10-. Una investigacin adelantada con todos losestudiantes en el colegio Mis Valores, sobre sushbitos de lectura arroj el siguiente resultado:* El 48% leen textos cientficos* El 50% leen la revista Macho* El 30% leen la prensa* El 20% leen libros cientficos y la revista Macho* El 10% leen la prensa y la revista Macho* El 3% leen libros cientficos, la prensa y la revistaMacho* El 18% leen libros cientficos y la prensa

Segn la informacin anterior, halle:A) Qu porcentaje tienen hbitos de estas lecturas?B) Qu porcentaje lee como mnimo uno de estostipos de material escrito?C) Qu porcentaje lee solo la revista Macho?D) Qu porcentaje lee exactamente uno de estostipos de escrito?

11-. En la poblacin escolar de cierto municipio, seinvestig sobre los problemas de dentadura, nutricin yrendimiento acadmico. El resultado de talinvestigacin se concret en las siguientes cifras:* 25 nios tienen los tres tipos de problemas* 18 tienen problema de dentadura y rendimientoacadmico nicamente* 60 tienen nicamente problemas de dentadura* 24 tienen problemas de dentadura y de nutricin* 100 tienen exclusivamente problemas de nutricin* 90 tienen solo problemas de rendimiento acadmico* 50 tienen problemas de nutricin y de rendimientoacadmico* 150 no tienen ninguno de estos problemas.

En funcin de los datos anteriores interpretar lainformacin que de ellos se deriva.

12-. Se encuest a mil personas sobre el vehculo delque hacen usos para viajar, y se obtuvo que: 405 deavin; 425 de helicptero; 540 de carro; 715 demotocicleta, 10, los cuatro vehculos; 20 avin,helicptero y carro; 15 avin, helicptero y motocicleta;130 helicptero y motocicleta; 100 Helicptero,motocicleta y carro; 200 helicptero y carro; 200 aviny carro; 255 motocicleta y avin; 120 carro, motocicletay avin, 80 solo carro; 140 slo motocicleta; 40 sloavin; 50 slo helicptero. Realice un diagrama conestos datos y analice la informacin que se deriva deellos.


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PRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASE

TALLER NMERO DOS: LGICA PROPOSICIONAL

ESTUDIANTE: __________________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

1-. Frente a cada expresin coloque PA sise trata de una proposicin atmica, PM sise trata de una proposicin molecular yNP si no es proposicin:

A) Oh gloria inmarcesible!B) Ojala venga MirillaC) Braza talco perro esquD) Mi mam me mi mo muE) 3 + 4 = 2x3F) Si 5x2 = 100 entonces Cifuentes es altoG) Ser factible que apruebe matemtica bsica?H) Llmame a mi colega CristinaI) Detente Satans!J) Basta ya, que le duele a la nia!K) La relacin (X - 3)2+ (Y + 2)2= R2es una funcinL) Todos los docentes son muy humanosM) Padre, padre, por qu me has abandonado?N) No vuelvan a tumbar las torres.

2-. Halle el valor veritativo de cada una delas siguientes proposiciones:

A) Y = ax representa la funcin exponencial ( )B) Log31 = 0 ( )C) Si ln3 es irracional, entonces Mario es alto ( )D) Logab + logba = 1 ( )E) 3 4 3 4+ = + ( )

F) a b a bc d c d c d

+= +

( )

G) Si 2,xxX =

entonces X es irracional ( )

H) Si 2 2 2 2 ... ,x + + + = entonces X = 1 ( )

3-. Establezca el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

[ ] [ ]

[ ]

)

B) (p q) V p

C) ( p q) (p q)

D) p ( q r)

E) r (r q)

F) (p q) (r q)

G) (r q) ( q p)

H) ( q) (p q) (p q) (r p)

) ( p r) r) (q p

A p q

r

I

[ ]) q)

4-. Dadas las proposiciones:

p = hace mucho fro q = est lloviendo

Identificar con un enunciado verbal cada una de lassiguientes aserciones:

A) ~ p B) p ~ q C) ~ (~ p) D) ~ (~ (~ p))) q F) (p q) p G) p q

H) p q I) p ( p q) J) p q

K) ( p q) ( p q)

E p

( ~ es igual a , es decir, la negacin)

5-. Consultar sobre las reglas deinferencia y demostracin:A) Modus Ponendo PonensB) Modus Tollendo TollensB) Modus Tollendo ponensC) Doble negacinD) Regla de simplificacinE) Regla de adjuncinF) Ley del silogismo hipotticoG) Ley de la adicinH) Leyes de Morgan(Bibliografa: Introduccin a la lgica matemtica de P.Suples y S Hill).


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TALLER NMERO TRES: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ESTUDIANTE: __________________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

1-. REDUCIR:

A) x2 (5x + 8 + x2+ 3x) 5x + 11 7x2 4 + 8x 3x2

B) 3ax (x + 6 7ax) + 5(-2ax + 7 + x) + ax -10x + 1

C)

[ ]

4 5 3

5 3( 3 ) 2( 5 4 2 3 )

7 11

ax bx

ax ax bx ax bx a b

bx ax

+

+ +

+ +

D)[ ]

2 ( 3 3 )2

3( 3 1) 2( 5 4 3) 5 11

a b c a b c

a b a b a b

+ + +

+ +

E)

[ ]

4(1 3 ) 4 33 2 5

7 3 5

a b c a b ca b c

a b c

+ + + +

+

2-. EFECTE EL PRODUCTO QUE SEINDICA EN CADA LITERAL:

A)

2

(3 5)(2 3 4 )x x x

B)23 2

( 5 7)(2 3 )x x +

C)2 3

5( ) ( )

5 4 3 2 3

x x x x + +

D)

2 3 44

( )( )( )2 3 5 3 3 3

x x x x x +

E)

3 2

( )( )( 1)( 1)x x x x x x + +

F)2 6 43 1

3 5 54 2( )( 3 )x x x x x x

+ + +

G)

2 6 43 1

3 5 54 23 5 3 2 3( )( )2 4 7 5 4

x x x x x

+ +

H)3(4 1) 11 4 2(3 5 ) 10 15( 2)

2( 3) 2 5(5 3 ) 15 7( 1) 18

+ + +

+ + + +

x x x x x

x x x x x x

3-. SIMPLIFIQUE:

A) 20 108 17 27 21 48 5 3 2 75 + +

B) 5 98 7 45 4 135 9 3 6 32 243 4 125 + + +

C) 5 8 7 27 4 125 9 5 6 3 2 4 128 + + + +

D) 343 3 416 6 27 4 128 9 3 6 512 2 4 2 + + + +

E) 5 160 8 405 7 243 11 2187 3125 + +

4-. EFECTE:

A) 2. 3 B)33

3. 4 C) 3 . 1 2

D)33. 4 E) .ab ab ab

F) 2. 3. 4. 5. 2. 20

G)3 32 4

.x x I) 2 2 3 53 4. .x y x y x y

J)1 2 3 5 5 3 3 53 4. .x y x y x y x y


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MATERIAL DE USO EXCLUSIVO. UNIVERSIDAD DEL VALLE. DANIEL TRUJILLO LEDEZMA. 2004

CREACIONES DE APOYO DIDCTICO. DE USO EXCLUSIVO. TALLER ACTIVO Y COMPLEMENTARIO

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K)1 2 2 1 2 4 3 3 4 23 3 3 3 3( )( )x y x y x y x y x y

+ +

5-. SIMPLIFIQUE:

A)

1 4 2 5

3 5 5 3. . .y x y

B)

2 2 5 113 5

1 3 3 5 3 34 21

64 .32.( ) . . . . .4

x y z y x z

C)

32

1

21 33 32 2

75 1

5 34 2

4

2

x y z

x y z

D)

4

3 31 2

53 22 332

2

3 2 13

6

4

x y z

x y z

E) 2 2 1 1 1 1 1(( )( ) 2( ) )X Y X Y X Y + +

6-. Prepare y consigne con mucho sentido y cuidadolo concerniente a las leyes de los exponentes, tanto deenteros como de racionales, e incluya el exponentecero.

7-. Prepare a conciencia el tema de los productos ylos cocientes notables.

8-. Prepare el tema de la racionalizacin,particularmente cuando se trate de denominadormonomio, binomio y trinomio.

9-. Evale cada uno de los nmeros dados:

A) (-2) 4 B) -24 C) (1/4)-2 D)72

2

E) 0,1(1024) F)1 1

2 43 .9 G)3

23 H)

2

5( 32)

I)

3 41 5 21 16 16 1+ + + +

J) 91 78 3 31 25 1+ + + + +

K) Calcule el valor de:12 2 1 1

1 1 2 2

a b a b E

a b a b

=

+

L) Calcule el valor de:35 15 3

3 5

( 25) ( 5)( 25)

5 125E

=

M) Si a + b + c = 0 halle el valor de:2 2 2( ) ( ) ( )ab c a b bc a b c ac b c a + + + + + + + +

N) Evale31 2 1,75 28

63 716 15,75

+

++

) Simplifique:

I)3

286 2 24 543a

ab a a +

II)

2 2 2 2

2 ( )

2( ) 2( )

b a b a b

a b a a b a b a a b

+

+ + +

III)2

2

2

x

1 x

x1

1 x

+

IV)1 1 1

6 54 2

(a b )(a b)

a a

+ +

V) Calcular:

( )

2 21

1

1 a x1 (a x) 11 para x=2ax a-11 (a x)

++ + +

VI) Simplifique:

3 32 2

2 2 2 2

( ) ( )

(2 )( )

x y x y

x x y x x y

+

+

NO IMPORTA QUE TAN HUMILDE SE

SEA AL!UNA VEZ DEBE EL HOMBRE

ACEPTAR QUE ES UN SER SUPERIOR


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ADMINISTRACIN DE EMPRESAS Y CONTADURA PBLICA

MATEMTICA BSICAPRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASETALLER NMERO CUATRO:

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

ESTUDIANTE: _______________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

NOTA: Cierto tipo de productos y decocientes se presentan con tanta frecuencia

en la matemtica bsica, en especial en ellgebra, que es una buena prctica tenerlosen mente, para su aplicacin inmediata, esdecir, se deben memorizar. Los siguientes solos productos notables que aparecen conmayor regularidad en nuestro curso y en losposteriores:

I) (A + B) (A B) = A2 - B2

II) (A + B )2 = A2 + 2AB + B2

III) (A - B )2 = A2 - 2AB + B2

IV) (A + B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3

V) (A - B)3 = A3- 3A2B + 3AB2 - B3

VI) A3- B3 = (A B) ( A2+ AB + B2)

Escriba por simple inspeccin el resultado decada una de las expresiones propuestas:

1-. (x 1)(x + 1) 2-. (x2+ 1)(x2+ 2)

3-. (x +51)2 4-. (9 + 4m2)2

5-. (1 x)(x + 1) 6-. (x3+ 5)(x3+ 3)

7-. (x5 1)(x5+ 1) 8-. (x y)2

9-. (7x 3)2 10-. (x-11 x11)2

11-. (6ma

5nb

)2

12-. (2abx3

+ 3aby2

)2

13-. (x2a 1)(x2a+ 1) 14-. (5x 10)(5x + 11)

15-. (5x 10)(5x + 10)16-. (5abx + 7aby)(5abx 7aby)

17-. (x3 - 2m yw)(x3 2m+ yw)

18-. (x7+ 20)(x7- 19)

19-. (a 1)(a + 1) (a 1)(a + 1)

20-. (p2 p-2)2

21-. (x-1+ x)3

22-. ( )( )x y x y+

23-.3 2 23 3 33 3( )( . )x y x x y y + +

24-.4

( 1)

1

x

x

25-.

664

2

x

x

26-.6

64 1

2 1

p

p

+ 27-.

7 7m n

m n

28-.3

( ) 1

1

ax b

ax b

+

+ 29-.

6 6x p

x p

30-.2

(3 ) 1

3 1

q

q

31-.

4

1

( ) 1

1

q

q


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ADMINISTRACIN DE EMPRESAS Y CONTADURA PBLICA

MATEMTICA BSICAPRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASE

TALLER NMERO CINCO: FACTORIZACIN

ESTUDIANTE: _______________________ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

MOTIVACIN:

Trabajar en matemticas puede convertirse en unaverdadera aventura cuando se realiza con voluntad y

verdadero deseo de aprender o de conocer. En estaaventura conocers personajes, trucos, sorpresas,ideas interesantes, en fin una innumerable cantidad desituaciones que pondrn a prueba tu pensamientocrtico, tu capacidad de anlisis y hasta su originalidady creatividad. Si verdaderamente hay motivacin por elestudio, la matemtica es el rea especial paraproporcionarte gratos momentos, pues cada ejercicio,cada problema resuelto es una pequea victoria enesta aventura, y cada contratiempo, cada error, seconvierte en un acicate para iniciar con ms ganas,con ms bravura, con ms PASIN.Uno de los temas dignos de explorar es el que tiene

que ver con el proceso de la factorizacin ofacturacin, pues es un espacio donde podrs poner aprueba tu potencial y en particular tu creatividad ysagacidad. Este tema en verdad, aun cuandoinicialmente parece abstruso, difcil y muy abstracto, ala postre se tornar atractivo y engomador, si loasumes con seriedad, dedicacin y empeo. Si lohacer, logrars desarrollar tu pensamiento lgico-matemtico, avanzando hasta el pensamiento msformal, as que: vulvete un poceto de lafactorizacin, BUEN TIEMPO Y BUENA MAR!

ORIENTACIN.

En esta conferencia o gua, encontraras algunasayudas en este tema, pero pronto vers que todo noest hecho, pues t sers el (la) que hagas las cosas,tu sers el (la) constructor de tu propio conocimiento,en otras palabras, la educacin cambi, y ahora es elestudiante el que juega el papel protagnico en elproceso de enseanza y aprendizaje, y dichoprotagonismo tambin va en la consulta de los temas yla solucin de los problemas, pues solo as, dejaras desolo aprender, y aprenders a prender y a aprender ahacer con el saber.

OBJETIVOS:

Finiquitado el trabajo comprometido con esta gua, elestudiante estar en capacidad de:

Identificar cuando una expresin es o nofactorizable segn el sistema numrico que setrabaje.

Reconocer que tcnica, mecanismo oestrategia se debe utilizar para factorizar unaexpresin algebraica. (factor comn,agrupacin, trinomios diferencias decuadrados o cubos, etc.)

Aplicar excelentemente el proceso defactorizacin a las diversas expresionesalgebraicas que lo posibiliten.

PRIMER CASO DE FACTORIZACIN

Se presenta cuando cada trmino de la expresin tienepor lo menos un factor comn.

Observa cuidadosamente las siguientes expresiones:

A) 4 24 + 36 8

B) a 2ab + 5a2b 7a3xy + 21abcd

C) x2y 3axy2 + 5bxyz 34abcxy3 + 17mnx4y3

D) 20mn

2

+ 15m

2

n

2

30abcdmn 50a

3

b

3

c

7

m

10

n12

mn

E) 3ax + 4by 5cz + 6dw 7mn

Si analizaste con cuidado, sabrs que en (A), 2 es unfactor comn de los cuatro trminos, pero 4 tambin esfactor comn de dichos trminos, y debemos saberque siempre se debe tomar el mayor factor comn ( encaso de letras sera la de mayor exponente), ennuestro caso el 4.

En (B) el nico factor comn a todos los trminos es laa , pero hay que notar que dicha letra aparece con


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CREACIONES DE APOYO DIDCTICO. DE USO EXCLUSIVO. TALLER ACTIVO Y COMPLEMENTARIO.

9diferente exponente en estos trminos, en estasituacin se toma como factor comn la letra afectadacon el menor exponente, que en este caso es uno,luego el factor comn es a.

En (C), todos los trminos tienes dos factores en

comn, que son la x y la y, y segn la explicacinanterior, sabemos que debemos tomar lasa letrasafectadas con el menor exponente, lo que nos de lacomo factor comn a xy.

Ejercicio1: Cul es el factor o factores comunes enD?

Rta: ____________

Ejercicio2: Cul es el factor o factores comunes enE?

Rta: ____________

EJERCICIOS RESUELTOS

Factorizar completamente:

A) 3ax + 2ay 5abz

B) -4a2bx 2ab2y 12a2b2c 30 a3bc4xy5

C) 24mn3 - 6m2n5 + 30abcm2n4 - 60a2b2c2

D) x

2

y

3

+ 4x

3

y

2

- 6ax

3

y

4

- 5x

5

y

5

SOLUCIN

Para aplicar el primer caso de factorizacin, seidentifican los factores comunes tanto numricos comoliterales, se sacan aparte y seguidamente se abre unparntesis, luego se procede a la divisin de cadatrmino entre el factor comn y el cociente de cadauna de estas divisiones se va colocando dentro delparntesis en su respectivo orden y teniendo en cuentala ley de los signos), as:

A) 3 2 5 (3 2 5 )ax ay abz a x y bz+ = +

B)2 2 2 2 3 4 5

2 3 5

4 2 12 30

2 (2 6 15 )

a bx ab y a b c a bc xy

ab ax by abc a c xy

=

+ + +

C)3 2 5 2 4 2 2 2

3 2 5 2 4 2 2 2

24 6 30 60

6(4 5 10 )

mn m n abcm n a b c

mn m n abcm n a b c

+ =

+

D)2 3 3 2 3 4 5 5

2 2 2 3 3

4 6 5

( 4 6 5 )

x y x y ax y x y

x y y x axy x y

+ =

+

Antes de continuar con nuestro trabajo de lafactorizacin hagamos memoria sobre los trminossemejantes, pues ello es bsico para poder identificarlos factores comunes:

Trminos semejantes: son aquellos que tienenexactamente la misma parte literal a manera de base,y estas bases tienen los mismos exponentes:

Ejemplos

Ejemplos1:

Son semejantes 9x2 y x2 porque ambos son x2

Ejemplo2:

x, 2x, 125x todos son x, luego son semejantes

Ejemplos3:

No son semejantes a y a2 porque tienen exponentesdiferentes.

RECUERDA QUE:

Se denomina una expresin algebraica aquellaformada por trminos algebraicos los cuales seclasifican en monomios y polinomios.

Monomio es un trmino algebraico formado por uncoeficiente numrico y variables elevadas aexponentes as:

Polinomioes una expresin formada por la unin demonomios as:

3x + 2a2 es un polinomio formado por la suma de 3x y2a2

NOTA: estamos en construccin de estasconferencias, por ello la temtica faltante la iremoscolocando ms adelante, por ahora vamos a continuarcon una miscelnea de problemas y en la clasedaremos la ilustracin necesaria a las situaciones quepresenten cierta clase de duda.

MISCELNEA

Factoriza en los enteros, en caso de ser factible, cadauna de las siguientes expresiones:

1-. 10abc + 20 a2

bc3

- 30 axy


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102-. 3xy + 12x2y3z4 24abcx - 6x

3-. 4x2 a4

4-. (x y)2 (m n)2

5-. X5+ x3+ x

6-.X5x - x3xy2x

7-. 9x2 6x + 1

8-. 32k 3k - 20

9-. X3 9y2 27y3+ x2

10-. M13 M

11-.2

3 2 3

3 3

8 8ny n yx x

+

12-. 6m2+ 7m 3

13-. 6m6 17m3 45

14-. H6 1

15-. 15q4 17q2 4

16-. Z2+ 3z 18

17-. 8(a 1)3 27

18-. 22 1

3 9

xx +

19-. R6+ 4R3 - 77

20-. 6x2+ 7x 3

21-. 8 (3 + x)3

22-. Ax + A x 1

23-. M4 - 64N4

24-. X4+ X2Y2+ Y4

25-. 1 9f2+ 24fg 16g2

26-. A6 - 4A3 480

27-. M4 + M2+ 25

28-. Q2+ Q 42

29-. T

4

- 8T

2

240

30-. X2 Y2+ X3 Y3

31-. E4+ E2 + 1

32-. 1 W12

33-. X2 WX + XY WY + XZ WZ

34-. X(A + B) A B + 3A + 3B

35-. (W X)4 15 (W X)0 (CON W X)

36-. 22X 2X + 1 3 37-. 2L2 15L + 22

38-. X4 7X3+ 13X2+ 3X 18

39-. A3X+ 7A2X 8AX 40-. 4X 1- 2X + 1+ 4

41-. 32X 4+ 2. 32 X+ 9 4 2X

42-. 49X 3 7X 3 12

43-. 252N + 1 5. 52N 12

44-. 15. 22M 2+ 14. 2M 1 8

45-. X2+ 7X + Y2 7Y 2XY 8

46-. 1 + Z10 2Z5

47-. 9 N2 25 10N

48-. (7A

2

)

2

+ 24(7A

2

) + 12849-. AM 6BN 3AN + 2BM

50-. ABD + ABE + ACD + ACE + B2D +B2E + BCD +BCE

51-.

6 10 12144

49 900

X A B

52-. 4A2 9X2+ 49B2 30 XY 25Y2-28AB

53-.8 1 2 2 0 2 4 8 m

8 16 2 m 18 m n p q

1 9 6 x y z 4 0 0 m n2 2 5 a b 1 0 0 0 0h k

54-. En la miscelnea de la Matemtica Progresivapara el grado octavo, en el ejercicio 63, aparece:

4 4 4 2 2 2 2 2 2X B C 2B X 2C X 2B C+ + + + + + + +

Demuestre que la factorizacin completa queda:

(X B C)(X B C)(X B C)(X B C) + + + + + + + + + + + + + + + +

PILAS CON LA REGLA DE RUFFINI!


11/64



11




TALLER NMERO SEIS: FRACCIONES ALGEBRAICAS

ESTUDIANTE: _____________________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

MOTIVACIN:

Trabajar en matemticas puede convertirse en unaverdadera aventura cuando se realiza con voluntad yverdadero deseo de aprender o de conocer. En estaaventura conocers personajes, trucos, sorpresas,ideas interesantes, en fin una innumerable cantidad desituaciones que pondrn a prueba tu pensamientocrtico, tu capacidad de anlisis y hasta su originalidady creatividad. Si verdaderamente hay motivacin por elestudio, la matemtica es el rea especial paraproporcionarte gratos momentos, pues cada ejercicio,cada problema resuelto es una pequea victoria enesta aventura, y cada contratiempo, cada error, seconvierte en un acicate para iniciar con ms ganas,con ms bravura, con ms PASIN.La simplificacin de fracciones algebraicas es uno de

los temas ms que pueden poner a prueba tucapacidad de anlisis y de sntesis a la par que tucreatividad. Este tema en verdad, aun cuandoinicialmente parece abstruso, difcil y muy abstracto, ala postre se tornar atractivo y engomador, si loasumes con seriedad, dedicacin y empeo. Si lohacer, logrars desarrollar tu pensamiento lgico-matemtico, avanzando hasta el pensamiento msformal, as que: vulvete un poceto de lasimplificacin de fracciones algebraicas ysonre: ests haciendo matemticas!

ORIENTACIN.

En esta conferencia o gua, encontraras algunasayudas en este tema, pero pronto vers que todo noest hecho, pues t sers el (la) que hagas las cosas,tu sers el (la) constructor de tu propio conocimiento,en otras palabras, la educacin cambi, y ahora es elestudiante el que juega el papel protagnico en elproceso de enseanza y aprendizaje, y dichoprotagonismo tambin va en la consulta de los temas yla solucin de los problemas, pues solo as, dejaras desolo aprender, y aprenders a prender y a aprender a

hacer con el saber.

OBJETIVOS:

Finiquitado el trabajo comprometido con esta gua, el

estudiante estar en capacidad de:

Reconocer las fracciones algebraicasreducibles e irreducibles.

Aplicar de forma excelente los casos defactorizacin para simplificar fraccionesalgebraicas.

Operar las fracciones algebraicas con sumaresta multiplicacin y divisin.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Son expresiones racionales que presentan variablespor lo menos en el denominador, tales como:

A)3 5

7 2

x

x

B)4 3 2

4 3 2

3x 7x 5x x 97x 2x 11x 8x 4

+ +

+

La simplificacin de las fracciones algebraicas consistelas ms de las veces en factorizar el denominador y el

numerador para luego cancelar los factores comunes.

Ejemplos:

Ejemplo1

2

2

4

2

( 2 )( 2 )

( 2 )( 1)

2

1

x

x x

x x

x x

x

x

=

+=

+

+

NOTA: estamos en construccin de estasconferencias, por ello la temtica faltante la iremos


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12

+ 2

3 2

2 2 4

X

X X X

+ +

2

2

6 12 1.

4 4 3 2

X Y

XY X X X

colocando ms adelante, por ahora vamos a continuarcon una miscelnea de problemas y en la clasedaremos la ilustracin necesaria.

MISCELNEA

Simplifica completamente cada una de las siguientesfracciones algebraicas:

1-.

3 3

2 2

X Y XY

X Y XY 2-.

+

2 2

2 2

4 3X XY Y Y X

3-.2 1 2

3 3

X X

X X

A A B

A A B

+

+

4-.2 2

2 1 2 22 2

X X

X X X X

+

+ +

5-. ++

2

3 2 21A A A

6-.

7-.

+

29 1.

3 3 6X

X 8-.

9-. /A B B A

A B A B

6X 3Y4Y 8X

+

10-.

+ +2

2 2 1/

2 6A AB B

A A

11-. +

22 5 22 1

3

M M

M 12-.

+

23X Y

XX Y

X

13-.

+

+

+

+1

A B A B

A B A B A B

A B

14-.

+

111

11

X

15-.

43 11

11

A

16-.

+

11

12

2 13

2 1A

A

17-.

+

+

++

1 11 1

1 11 1

F F

F F

F F

18-.

( )( ) ( )( ) ( )( )R T S

S R R T R T T S T S S R+ +

19-. + +

2 2 .X Y X Y X Y X X Y X Y

20-.+

+ + + + + +

1 1 11 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

A

A A A A A A

21-. + +

+ + +

2 3 11 2 3

X X X

X X X

22-. +

+ +

2 2

1 1

3 3 3 3 6 6 2 2

B B

B B B B

23-.

+

+

2 2

3 2

2 2

2 2

2 7 154

3 404 32

X XY Y

X X YX XY Y

X XY Y

24-..

3 2

2 2

3 2

R 8 R 2RR 4R 4 8 2R R

R 2R 4R

R 4

+

+ +

+

+

25-.2

2 5 4 73 2 6

x

x x x x

+

+

26-.1 13

3 6 6 12 12 24p p

p p p

+ +

+ + +

27-.2 2

9 10 243 ( 3 )( 3 ) 9

y x

x y x y x y x y

+

28-.2 23 3

m b

m n a+

+

29-.2

3 1 41 2 2 4 4

m m m

m m m

+ +

+

30-.2

2 2

4a b a b a a b a b a b

+ +

+

31-.

2

2

a 1 a 2 a 2a 6

3a 3 6a 6 9a 9

+

++


13/64



13

32-.2 2 2

1 2 32 24 2 8 8 12a a a a a a

+ + +

33-.

3

3 2

3 1

1 1 1

a a a

a a a a

+

+ + + +

34-.2 2 2

5 4 312 2 15 9 20

k k k

k k k k k k

+ + + +

+ + + +

35-.

2 2 2

3 1 10 12 2 4 4 8 32 8 40 32

a a a

a a a a a a

+ + +

36-.

2 2

3 3 2 2

1 9

4 12 27 3 9

a x a

a x a x a ax x

+

+ +

37-.2 2

2 2

4 1 ( 1) 32 8 4 4 2

x x x

x x x x

+

+ +

38-.2 2

2 1 13 11 6 9 3 2

x x

x x x x

++ +

+ + +

39-. 2 2 27 3 3

2 5 3 2 6 2x x x x x x

++ +

40-.3 2

5 8 71 1 1

x x

x x x x

+ +

+ + +

41-.2 2 2

3 4

5 4 4 14( 1). .

7 7 1 5x y y y

y x x

+

+ +

42-.5 25 7 7

14 10 5x x

Xx

+ +

+

43-.

2 2 2

2 2

2 2

2

xy y x xy y

Xx xy x xy

+ +

+

44-.2 2 2

2 2 2

4 42 4

x xy y x X

x xy x y

+

+

45-.

3 2 2

2 2 3

2 2

2 2

6 92 7 3

8 24

x x y xy dividido

x y xy y

x xy y entre

x y

+ +

+ +

46-. .2 2 2 2

2 2 2

x 3xy 10y x 16yx 2xy 8y x 4xy

+

47-.( ) ( )

.

( )

2 2 2 2

2 2 2

x y R x y R

x R y x xy xR

+

+ +

48-.2 2 3 3

2 2

16 24 9 64 27/

16 12 9x xy y x y

x y x y

+

49-. Simplificar:3 2 2 3

2 2

8 12 66

x x y xy y

x xy y

+ + +

+

50-. Simplificar.

4 3 3

2 2

3 3

2 2

c 27a b9a b ac bc

ac bc

3a 2ab b

+

51-..

2 2

2 2

2 2

2 2

3u 10uv 3v 2u v2u 5uv 3v u 3v

6u 11uv 3v4u 12uv 9v

+ +

+ +

+ +

+ +

52-.sen x senx4 9 7 (2 c o s x 3 s e c x ) 6 + + + + + + + +

PARA QUIEN ESTUDIA ELCONOCIMIENTO PIERDE SU CALIDAD DEINFINITO Y SE PERCIBE TAN CERCANO,COMO UNA CARICIA COMO UN BESO


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14



PRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASETALLER NMERO SIETE: ECUACIONES LINEALES Y

APLICACIONESESTUDIANTE: ___________________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

En los siguientes ejercicios hallar el valor de X quesatisface cada ecuacin, en caso de que exista.

1-. = +17 3 7x X

2-.

[ ] + + = 4 2 ( 13) 2 1 3x X X X

3-. =5 113X

x

4-. + = 3( 2) 4(5 4 ) 83X

x X

5-. = 5 4(1 3 ) 8(5 2 ) 8X X

6-.

[ ]{ }5 4 3(1 2 ) 5(7 2 ) 11 3 3 3X X X X X + + + + =

7-. = +2 23( 4) 8 3(5 )X X X

8-. + = 2 2( 1) ( 4) 2 6X X X

9-.+ + + =

+ +

5( 1) 3(2 ) 4(3 11) 18

3 4( 3) 7(1 ) 5(1 3 ) 1

X X X X

X X X X

10-. + =2 2( 2) ( 4) 0X X

11-.

[ ]2 23( 1) 4(2 3 ) 7 5 ( 4) 2X X X X X + + + =

12-. [ ] = 14 (3 2) 3 (2 7 ) 4 5X X X X

13-.

=4 2 3

75 8

X X

14-.

= +3

72 5X X

X

15-.

+ =

7 11 32

5 4

X X

16-.+ +

+ = 1 2 4

22 3 5

X X X

17-. + +

= +7(3 2 ) 5(4 3) 4(1 2 ) 3(3 4 )

1002 3 5 12

X X X X

18-. + +

+ = +2(3 2 ) 3(4 3) 5(1 2 ) 2(3 4 )

1004 12 15 5

X X X X

19-.8 x 5

1x 1 x 2

++++= += += += +

+ ++ ++ ++ +

20-.5 x 4

13x 4 x 1

++++= += += += +

+ + + +

21-.

+

=

15

2 3

1

X

X

22-. =

51

1 3 3X

X

23-. Las tres que siguen no son lineales, pero,podras resolverlas?

2xxx =

1 1 1 ...x = + + +

11

11

11

11

1 ...

= +

+

+

+

+

x


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15

APLICACIONES1-. Cuestionada una seorita por su edad, amante delas matemticas contest as: Si a cuatro veces laedad que tendr dentro de cuatro aos se le restacuatro veces la edad que tena hace cuatro aos, elresultado es justo mi edad Hallar la edad actual de laseorita.

2-. Lo que ha transcurrido del da de hoy es un terciode lo que falta. Qu hora es?

3-. Una panela pesa libra y media ms media panela.Cunto pesas tres panelas?

4-. El Chapuln y Kilo pueden hacer una obra en 20das. Si el Chapuln solo la puede realizar en 25 das,en cuntos das la realiza solo Kilo?

5-. 12 tabletas de quitaclico cuestan $ 3000. Dichasgrageas se empacan en frascos de 15 decenas y se

vende el frasco a $ 33.000. Si se compra un frasco,cul es el ahorro por docena?

6-. Una vendedora de pispirispis, en la primera ofertavende la mitad de los pispirispis ms dos, en lasegunda oferta venta la mitad del resto ms dos, y enla tercera oferta vende la mitad de los restantes msdos. Si se qued con dos pispirispis, con cuntospispirispis inici la venta?

7-. Cul es la cantidad de litros agua que haba en unbarril, siendo que inicialmente se sac 1/5 del total, yluego se sac del resto, y aun quedan 60 litros?

8-. Un grupo de trabajadores puede realizar una labor

en ocho das. Despus de que ste ha estadotrabajando 3 das, se incorpora un segundo grupo, yjuntos, terminan la obra en tres das ms. Hallar eltiempo que tardara en realizar dicha labor el segundogrupo si trabaja solo.

9-. Un obrero puede hacer un trabajo en tres dasmientras que otro puede hacer el mismo trabajo en eldoble de tiempo. Cunto tardarn los dos si realizanel trabajo conjuntamente?

10-. La velocidad en aguas tranquilas de una lanchaes de 25 km/h. Sabiendo que cuando avanza contra lacorriente recorre 4,2 km y cuando avanza a favor de la

corriente recorre 5,8 kilmetros en el mismo tiempo,halle la velocidad de la aguas del ro.

11-. Una vendedora gana un salario base de $ 360.000al mes, ms una comisin del 10% de las ventas quehaga. Descubre que en promedio, le toma 1,5 horasrealizar ventas por valor de $60.000. Cuntas horasdeber trabajar en promedio cada mes, para que susingresos sean de $ 1.400.000?

12-. Un comerciante ha comprado 1000 reses a $450.000 cada una. Vendi 400 de ellas obteniendo unaganancia del 25%. A qu precio debe vender lasrestantes para que la utilidad promedio del lotecompleto sea del 30%.

13-. La seora Valeria va a invertir 70.000 Euros.Ella quiere un ingreso anual del 5000 Euros. Puedeinvertir sus fondos en bonos del gobierno al 6% o, conmayor riesgo, al 8,5% en una compaa particular.Cmo deber invertir su dinero de tal manera queminimice los riesgos y obtenga el ingreso anual que

desea?14-. Una compaa vincola requiere producir 10.000litros de jerez encabezando vino blanco, que tiene uncontenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual tieneun contenido de alcohol del 35% por volumen. El jerezdebe tener un contenido de alcohol del 15%.Determine las cantidades de vino blanco y de brandyque deben mezclarse para obtener el resultadodeseado.

15-. Un comerciante ofrece un 30% de descuento alprecio marcado de un artculo y aun obtiene unautilidad del 10% Si le cuesta 35 dlares al comerciante,

cul debe ser el precio marcado?16-. Un comerciante vende un reloj por 75000 pesos.Su utilidad porcentual fue igual al precio de costo enpesos. Encuentre el precio de costo del reloj.

17-. Una persona de 1,80 metros de altura, deseacalcular la altura de cierto edificio. Para esto, mide lasombra del edificio y observa que tiene 8,40 metros,mientras que su propia tiene una longitud de 1,05metros. Cul es la altura del edificio?

18-. Un fabricante de refrescos produce uno de naranjaque es anunciado como sabor natural aunque solocontiene 5% de jugo. Una nueva reglamentacin

gubernamental estipula que para que una bebida seanuncie como natural deber contener por lo menosel 10% de jugo de fruta. Cunto jugo de naranja sedebe agregar a 900 galones de refresco de naranja,para cumplir con la nueva reglamentacin?

19-. Un estudiante de administracin de empresas deprimer semestre de la Universidad del Valle SedeNorte del Cauca, ha sacado las siguientes notas en losparciales de matemtica bsica: 2,4; 3,5 y 4,3. Sirequiere un promedio de por lo menos 3,8 para pasarla materia, cul debe ser la nota de su cuarto examenpara lograrlo?

20-. Unos estudiantes de fsica del Liceo Francisco

Jos de Caldas, inventaron su propia escala detemperaturas, la cual llamaron Ardientis, en la culel punto de fusin del hielo es 10oA, y el punto deebullicin del agua es de 160oA. Cuando dichotermmetro marca 61oA, cul es su temperatura engrados Celsius?

21-. Un auto recorre 120 Km de A a B a unavelocidad de 30 Km/h y de regreso recorre lamisma distancia a 40 Km/h. Halle la velocidadpromedio del viaje redondo.


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1622-. Una cuadrilla de segadores est compuesta porsus tres cuartas partes ms tres cuartos de hombre.Cuntos hombres componen la cuadrilla?

23-. Qu es ms, el 25,43% de 75,87 o el 75,87% de25,43?

24-. Un viajante recorri en coche 5000 Km.,permutando regularmente las ruedas (incluida la derepuesto) para que todas sufrieran igual desgaste. Alterminar el viaje, durante cuntos kilmetros ha sidoutilizada cada rueda?

25-. Cierto pequeo granjero no tena dinero parapagar sus impuestos. Como consecuencia, elrecaudador real de impuestos le quit un dcimo desus tierras. Al granjero le quedaron 10 Ha. Cuntatierra tena al principio?

26-. Cuatro amigos se renen en un bar y consumen

entre todos 16 cervezas. Cuando piden la cuentapretenden pagar cada uno lo suyo. Cuntas cervezasdeben pagar cada amigo sabiendo que cada uno deellos tom dos cervezas ms y/o dos cervezas menosque otro?

27-. Una gallina pone dos huevos en tres das.Cuntos das se necesitan para que cuatro gallinaspongan dos docenas de huevos?

28-. Se tienen siete cajas, individuales y separadas deigual tamao. Dentro de cada caja hay otras diez mspequeas y en cada una de stas otras doce an

menores. Cuntas cajas hay en total?

29-. Cuntos aos bisiestos hay entre el ao 1000 yel ao 2000 ambos inclusive?

30-. Hllese el numero que dividido por 10 daresiduo 9, cuando se divide por 9 da residuo 8,cuando se divide por 8 da residuo 7, etc., ycuando se divide por 2 da residuo 1.

31-. Se tienen dos vasos idnticos, el uno con ciertacantidad de agua y el otro con igual cantidad de vino.Se toma una cucharada de agua del vaso

correspondiente y se echa en el vaso con el vino,luego se toma una cucharada de mezcla del vaso quetena el vino, y se echa en el vaso con el agua. Habrms agua en el vino que vino en el agua o ms vino enel agua que agua en el vino?

32-. Un comerciante compr mercancas con undescuento del 20% del precio de lista. Quiereponerles un precio en tal forma que pueda darun descuento del 20% del precio fijado por l ypoder hacer una ganancia del 20% al precio deventa. Halle el porcentaje que debe aumentar alprecio de lista

33-. De un depsito de 100 litros de capacidad, llenode alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol

y se reemplaza por agua. Se saca despus lamisma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua,quedando esta ltima mezcla con un 49% de alcohol.Determinar la cantidad de lquido que se ha sacado

34-. Un grupo de estudiantes celebraron una fiesta a la

cual asistieron 64 personas. Ana bail con 5caballeros, Dora bail con 6, Sandra bail con 7 y ashasta llegar a Pamela que bail con todos ellos.Cuntos caballeros haba en la fiesta?

35-. Dos poblaciones A y B distan 90 Km. De A partensimultneamente en direccin a B un peatn y uncoche con un viajero. En cierto punto intermedio C, seapea el viajero del coche y contina a pie hasta B. Elcoche vuelve en busca del peatn y lo lleva hasta B,llegando al mismo tiempo que el viajero que se baj enC. Si las velocidades del coche y de los peatones sonconstantes y valen 60 Km/h y 5 Km/h., cul es eltiempo total de viaje?

36-. Un lebrel persigue a una liebre que le lleva 30saltos de ventaja. El lebrel da 3 saltos cada vez que laliebre da 4; pero 2 saltos del lebrel equivalen a 3 de laliebre. Cuntos saltos debe dar el lebrel para alcanzara la liebre?

37-. En una reunin hubo cierto nmero de apretonesde mano. Una persona not, que si hubieran asistido 5personas menos el nmero de apretones se habradecrementado en 235. Si todas las personas fueroncorteses, cuntas haba en la reunin?

38-. Un tendero inescrupuloso en la noche, a cadaartculo le sube el 20%, y al da siguiente ofrece losartculos con una rebaja del 20%. Si alguien compra unartculo, obtiene rebaja? Si es as, de cunto?Justifique su respuesta.

39-. En una reunin hubo cierto nmero de apretonesde mano. Una persona not, que si hubieran asistido 6personas ms, el nmero de apretones se habraincrementado en 219. Si todas las personas fueroncorteses, cuntas haba en la reunin?

40-. Un seor cobra un salario S, pero le hacen una

retencin en la fuente del F%, para que su salario, nosalga disminuido, por cunto debe presentar lacuenta de cobro?

UNOS FACILON!OS"

41-. Un grupo de amigos quiere repartirse unacoleccin de discos. Si se llevan de a 3 cada uno,sobran 5, y si toman 4, falta 1. Cuntos amigos son ycuntos discos tiene la coleccin?

42-. En la clase A hay el doble de alumnos que en laclase B .Si nueve alumnos de la clase B pasaran a laclase A ,habra en A cinco veces el nmero de


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17alumnos que en la clase B . Hallar el nmero dealumnos que hay en cada clase.

43-. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos:unos a 45 pts y otros a 36 pts, obteniendo de la venta3105 pts. Cuntos libros vendi de cada clase ?

44-. Un grupo de amigos est jugando a los chinos conmonedas de 25 y 5 pts. Al abrir abrir las manoscuentan 8 monedas con un valor de 140 pts. Cuntasmonedas hay de cada clase ?

45-. Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60aos. Halla la edad de cada uno sabiendo que el hijomayor tiene tres veces la edad del menor, y que lamadre tiene el doble de la suma de las edades de loshijos.

46-. La suma de las edades de tres personas es 100

aos. Halla la edad de cada una sabiendo que lamediana tiene 10 aos ms que la menor y la mayortiene tantos aos como las otras dos juntas.

47-. En una granja hay cerdos, toros y caballos, entotal 64 animales. Sabiendo que el nmero de torosrepresenta los del nmero de cerdos, y el decaballos los 2/3 del de toros, cuntos animales decada clase hay en la granja?48-. Una nave espacial almacena alimentos para 8astronautas y para 15 das. Si en la nave viajan 6astronautas, para cuntos das disponen dealimentos? Razona la respuesta.

49-. El teln de un teatro mide 18 metros de largo por45 metros de alto y pesa 1035 kg. Cunto pesarotro teln de 21 metros de largo y 6 metros de alto siest confeccionado con la misma tela? Razona larespuesta.

50-. Cunto tiempo tardar un capital colocado al 6%en producir 1/5 de su valor? Razona la respuesta.

51-. Un comerciante dispone de dos clases de t: t deCeiln a 600 ptas/kg y t de la India a 800 ptas/kg.Cuntos kg hay que mezclar da cada clase de t paraobtener 300 kg de una mezcla a 750 ptas/kg? Razona

la respuesta.

52-. Un avin vuela a 600 Km/h cuando no hace vientoy puede llevar combustible para 4 horas. Cuando va asalir hace un viento de 60 Km/h que se mantendrsegn los pronsticos durante todo el trayecto.Cuntos Km., puede alejarse de la base de modo quepueda regresar sin repostar?

53-. En una tienda venden un artculo por 8400 pta.despus de hacer una rebaja del 30% sobre el preciomarcado .Si el comerciante fija los precios de ventaaumentando en un 140% el precio de coste de cada

artculo Cunto habr ganado de en dicha venta?

54-. Tres amigos han cobrado 65000 pts. por hacer untrabajo . Si el primero ha dedicado 10 horas y elsegundo el triple de horas que el tercero, sabiendo queeste ultimo ha cobrado 10000 pts Cuntas horas hantrabajado cada uno?, cunto han cobrado por hora

55-.En un tringulo issceles las longitudes de loslados iguales suman 26 cm. y el rea es 60 cm2. Hallala longitud del lado desigual y la altura del tringulo.

56-. Para pagar una multa fuera de plazo un conductorha tenido que abonar un recargo del 25%. Habiendodesembolsado un total de 3125 pts, calcular el importeinicial de la multa y del recargo.

57-. En una clase de 35 alumnos y alumnas, hanaprobado las Matemticas el 80% de las chicas y el60% de los chicos. Cuntas alumnas tiene la clase,

si el nmero de chicas que han aprobado es el mismoque el de chicos? Y cuntos chicos?

58-. Encuentra un nmero positivo tal que dos vecessu cuarta potencia ms nueve veces su cuadrado seaigual a 68.

59-. Dos hermanos, mientras charlan, concluyen queentre ambos tienen 29 aos, y el uno le dice al otro:dentro de ocho aos mi edad ser el doble de la tuya.Cuntos aos tiene cada uno en la actualidad?

60-. El cuadro que figura al margen indica la distanciaa que se encuentra de su casa un ciclista en funcindel tiempo transcurrido

a)Representa grficamente los datos de la tablab) Cul sera la expresin analtica de la funcin quenos indica la distancia a partir del tiempo?

c) A qu distancia se encontrar al cabo de 2,5horas

61-. El depsito de agua potable de un barco disponede agua para 30 tripulantes durante 10 das. Si el viajeque van a realizar estiman que dure 30 das.Cuntos tripulantes puede llevar?

62-. Se quiere repartir una gratificacin de 150000ptas. entre tres obreros de forma proporcional a losdas trabajados, que son 2, 3 y 5 das. Cuntocorresponde a cada uno?

TiempotranscurridoX horas

Distancia a quese encuentraY km.

0 121 282 443 60


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18



PRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASETALLER NMERO OCHO:

ECUACIONES CUADRTICAS, CON RADICALES Y APLICACIONESESTUDIANTE: ___________________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

A) Halle el valor de X que satisface cada una de lassiguientes ecuaciones, si es que existe.

1-. = +222 4 3X X

2-. = +25 3 2X X

3-. =25 7 90 0X X

4-. + = +( 3) 5 3X X X

5-. = + 3(3 2) ( 4)(4 )X X X

6-. = 3 ( 2) ( 6) 23( 3)X X X X

7-. + =3 3( 4) ( 3) 343X X

8-. + = +29 1 3( 5) ( 3)( 2)X X X X

9-. =

2 3

5 2 10

X X

10-. + = 21 2 1

( 4) ( 5) ( 53)4 5 5

X X X

11-.

+ =+ +

8 5 13

3 5 1X X

X X

12-.

= +

5 8 7 41 2

X X

X X

13-. =

+

1 1 1

4 6 1X X

14-. = +

2

5 6 291 1 8X X

15-. =+ +

3 1 12 2 1X X X

16-.+ +

=

1 41

1 2X X

X X

17-.

=+

1 30

1 2X X

X X

18-.

=+

1 3 11 2 2

X X

X X

19-.

2

35

)2)(2(

=

+ xxx

20-. x x4 22 3 0 =

21-.

22-.2 4

11

xx x

= +

23-. 2(x-1) = 3x2 10

24-.2 5

3 1 4x

x x = +

B) Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique lavalidez de sus respuestas:

1-. + + =4 1 5x x

2-. + + =5 1 3 4X X

3-. + =4

5XX

4-. + =2 4 3 3X X

5-.7

424

xx =++

6-. 231 +=+ xx

7-. 2 10x + =- 2x + 3 1

8-. 3 1 2 1 1x x+ =

9-. xx += 115


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19

10-.

11-.

12-. *** + + =2 1 2X X X

13-.

14-. *** + + + + =2 3 1 1 2X X X

15-. x 2x128 128 20+ =

16-. Transformar en suma de radicales simples:

a 2 b(a b)+

17-. Resuelva para X:

2 2

2 2

a 2x a 4x 3xaa 2x a 4x

+ + =

+

18-. Dado 3 3 6x 1 x 1 x 1+ = evaluar

K 8x 1=

C) Hallar las ecuaciones cuyas races son las que seindican:

1-. 1 y 2 2-.4 2

3 5y

3-. +2 2 y 2 2 4-. -3 + 2i y -3 - 2i

5-. i y i 6-. 1- i y 1 + i

D) Hallar el valor de la constante K en cada casopara que se satisfaga la ecuacin dada:

1-. + =22 4 0x Kx (-3 es una raz)

2-. + + + =2( 2) 5 2 0K x x K (El producto de lasraces es 2/3)

3-. + + =22 12 2 0x x K (La diferencia de susraces es 2)

E) En la ecuacin x2+ mx - 16 =0, qu valor debetener m para que las races sean opuestas?

F) Razona qu soluciones tendr la siguienteecuacin segn los valores que tome el parmetrom : x2+ mx + 9 = 0

G) Analiza y resuelve la situacin planteada en cadapunto

1. Para qu valor de m,una de las races de laecuacin x - 20x + m= 0es, triple de la otra?

2. Determina men la ecuacin x - mx +36 = 0paraque las dos races sean iguales.

3. Una ecuacin de segundo grado con una incgnitatiene una raz igual a -3 y el trmino independientees 12. Calcula la otra raz y escribe la ecuacin.

4. Sabiendo que 8/35 es una raz de la ecuacin 35x+ 62x - 16 = 0, halla la otra raz sin resolver laecuacin. Explica cmo lo haces.

5. Halla el valor de sen la ecuacin x +sx - 24 = 0,sabiendo que una de las races es -3.

6. Descompn 30x - 11x + 1 en producto de dosfactores de primer grado.

7. Calcula el valor de mpara que la ecuacin:(m -1)x - 6x = 1 tenga una raz doble. Cuntovale la raz?

8. Determina el valor de m en la ecuacin:x + mx + 21 = 0, sabiendo que la diferencia de susdos races es 4.

9. Te dicen que la suma de dos nmeros es 17/3 ysu producto 10/3. Escribe una ecuacin cuyas racessean esos nmeros.

10. Qu valor debes dar a mpara que una de lasraces de la ecuacinx - mx + 8 = 0, sea 4?. Explcalo por dosprocedimientos.

11. Determina el valor de m para que la ecuacin x- 8mx + m + 1 = 0tenga una raz triple de la otra.Despus resuelve la ecuacin propuesta.

12. Resuelve la ecuacin:

16

24

4

4

4

42

=

+

+

xx

x

x

x

13. dem: 212

1

3

21 =

+

x

x

14. La ecuacin x + bx + 5 = 0, puede tener a 3/4y a 7 por races? Por qu? Si una raz es 3/4,cul ser la otra?.

15. En la ecuacin x - (5 + m)x + 2 = 0 halla mpara que las dos races sean iguales.

16. En la ecuacin x - 6x + 15 + m = 0, halla mpara que una raz sea doble de la otra. Explica el

camino seguido.


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20

APLICACIONES DE LASECUACIONES DE

SEGUNDO GRADO1-. Hallar los valores mximo y/o mnimo de lafuncin

= +2 4 8y x x

2-. Hallar los valores mximo y/o mnimo de lafuncin

= + +24 20 12y x x

3-. Una poblacin de cierto tipo de bacterias crece detal forma que en el tiempo t (en minutos), lapoblacin est dada por la frmula:

= + +2( ) 12 60 1000tP t t . Para cierto instante unexperimentador observa 1600 organismos. Cuntotiempo debe esperar para ver no menos de 7.000bacterias?

4-. Usted es contratado(a) para hacer un aula, con lacondicin de que el aula sea rectangular, y el largoexceda al ancho en 10 metros. Si dispone de 60metros para el contorno, halle las dimensiones delaula y el rea de la misma.

5-. Una sala rectangular cuya longitud excede a su

ancho en tres metros, requiere 42 metros cuadradosde alfombrado de pared a pared. Hallar lasdimensiones de la sala.

6-. La rectora Martha desea construir un aulamltiple en la nueva sede del Liceo pedaggico,aprovechando un muro ya existente. Ella tiene paradicha construccin 120 metros lineales de pared.Qu le recomienda usted respecto a lasdimensiones del aula para que el rea encerrada seamxima?

7-. Hllese las dimensiones del grabado rectangularde mayor rea que puede enmarcarse con 6,48metros de moldura.

8-. Un terreno rectangular se cerc y se dividi endos partes iguales por medio de una cerca paralela auno de sus lados. Si se emplearon 600 metros decerca. Hllese las dimensiones del terreno, si sesabe que se encerr la mayor rea posible.

9-. Don Pancracio ha encontrado aceptable unprecio unitario p = 6 0,001x pesos el pancachoque produce (donde x es el nmero de unidades).Cuntos pancachos debe vender para que elingreso proveniente de su produccin sea de $

5.000?Qu ingreso obtiene cuandocomercializa 1500 unidades? Cul es el mximoingreso?

10-. Una poblacin de organismos crece en forma talque en el tiempo t(en minutos) la poblacin est

dada por la expresin: P(t) = 5t2+ 90t. En ciertoinstante t un experimentador observaaproximadamente 600 organismos. Cunto tiempodebe esperar para la prxima observacin, si quiereencontrar unos 2000 organismos?

11-. Con un trozo de alambre de 100 cm., delongitud, se sacan dos trozos y se construyensendos cuadrados cuyas reas difieren en 125 cm2.Halle el lado de cada cuadrado.

12-. Una poblacin de bacterias crece en forma talque en el tiempo t(en minutos) la poblacin est

dada por la expresin: P(t) = 12t2

+ 60t + 1000.En cierto instante un experimentador observa 1600organismos. Cunto tiempo debe esperar para queen la siguiente observacin vea no menos de 7.000bacterias?

13-. Las ventas mensuales de x artculos, cuando elprecio es p = 180 3x, tienen un costo de C =150 + 6x. Cuntas unidades deben producirse yvenderse para obtener utilidades por $ 4170? Cules el valor mximo de la utilidad?

14-. Las ventas mensuales de x artculos, cuando el

precio es p = 200 5x, tienen un costo de C =650 + 7x. Cuntas unidades deben producirse yvenderse para obtener el mximo ingreso? Paraobtener la mxima utilidad? Cul es el valor de ppara la mxima utilidad? Para el mximo ingreso?

15-. Por los lados de un ngulo recto se muevenuniformemente dos cuerpos A y B en direccin alvrtice del ngulo recto. La velocidad del cuerpo Aes dos veces mayor que la del cuerpo B. despus de10 segundos la distancia entre A y B es de 100metros. Hallar la velocidad de cada cuerpo, si alcomenzar el movimiento A se hallaba a 360 metrosdel vrtice y B a 200 metros.

16-. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arribaen condiciones ideales, y la altura como funcin deltiempo se expresa por: h(t) = -5t

2 + 50t + 10 ( test dado en segundos y h esta dado en metros.Halle:A) Altura a los 3 segundosB) Altura a los 8 segundosC) Tiempo de de ascensoD) Tiempo de vueloE) Altura mxima

17-. Se tiene un edificio con 60 apartamentos y el

alquiler de cada uno es de u$ 150 al mes, y se sabe


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21que por cada u$ 3 que se incremente el alquiler decada apartamento, uno de ellos queda desocupadosin posibilidad de arrendarlo. Qu alquiler deberfijar el administrador para obtener los mismos u$9.000 sin alquilar todos los apartamentos? Si elmantenimiento y otras actividades del edificio tienen

un costo de u$ 5000, ms u$ 50 por cadaapartamento ocupado y u$ 20 por cada apartamentovaco, qu precio deber fijarse para que la utilidadsea de u$ 1225 mensuales? Qu alquiler deja lamxima utilidad?

18-. Si un editor fija el precio de un libro en u$ 20vende 20000 copias, y por cada incremento de u$1en el precio de cada texto, las ventas caern en 500ejemplares. Cul deber ser el precio para generaringresos por u$ 425.000? Si el costo de producircada libro es de u$ 16, qu precio deber fijar eleditor para que la utilidad sea de u$ 200.000? Si,

adems el editor debe pagar el 10% de las ventaspor concepto de regalas al autor del libro, quprecio debe fijar para que las utilidades sean de u$200.000?

19-. En una reunin hubo cierto nmero deapretones de mano, y una persona not que sihubieran asistido 10 personas ms, el numero deapretones de mano se habra incrementado en 445.Halle el total de apretones de mano.

20-. A un agricultor le faltan 21 plantas para formarun cuadrado perfecto en su plantacin, y le sobran

10 plantas para formar una plantacin cuadrada deuna hilera menos. Halle el total de plantas que tieneel agricultor.

21-. Tengo un nmero tal de bolas de cristal quepuedo formar con ellas un tringulo equiltero.Luego, gano otras tantas y puedo formar con ellas uncuadrado, de tal modo que en cada lado haya tantasbolas como tena antes el tringulo y an me sobran20 bolas. Cuntas bolas tena al principio.

22-. En un plano se han dado varios puntosdispuestos de manera que tres cualquiera de ellosno se encuentran en lnea recta. Determinar elnmero de puntos sabiendo que por ellos se puedentrazar en total 28 rectas distintas

23-. Una agencia inmoviliaria puede vender unedificio de 40 apartamentos a $ 14.000.000 cadauno. Su propietario asume que por cada $ 400.000que le aumente a cada apartamento dejar devender uno. Cuntos apartamentos debe vender ya qu precio, para realizar una venta total de $560.000.000, sin vender todos los apartamentos?

24-. Regocijanse los monosDivididos en dos bandos

Su octaba parte al cuadrado

En el bosque se solaza.Con alegres gritos doce

Atronando el campo estn.Sabes cuntos monos hay

en la manada en total?

25-. Un distribuidor de licores compra whisky a u$ 2la botella y la vende a u$ p. El volumen de ventas X(en cientos de miles de botellas a la semana) estdado por X = 24 2p, cuando el precio es p.Qu valor de p genera ingresos totales por u$7.000.000 a la semana? Qu valor de p genera aldistribuidor una utilidad de u$ 4.800.000 a lasemana?

26-. Cul es el precio unitario que producir unautilidad de $ 600 a la semana si el precio del artculoes p, x es el nmero de artculos que puedenvenderse a la semana, y, x = 300(6 p), adems,

cada artculo tiene un costo de fabricacin de u$ 3.

27-. La distancia aproximada d ( en pies) querecorre un conductor despus de darse cuenta deque debe detenerse sbitamente est dada por lafrmula siguiente, donde x es la rapidez delautomvil (en millas por hora):

d =2

20x

x+

Si el automvil recorre 75 pies antes de detenerse,cul es su rapidez antes de la aplicacin de losfrenos?

28-. Dado que x + y = 1 y que x2 + y2 = 4,determine el valor de x3+ y3.

29-. La Institucin Educativa Francisco Jos deCaldas tiene un aula mltiple con una capacidad deasientos de 15000 espectadores. Con el precio delboleto en u$12, la asistencia promedio en eventosacadmico-culturales ha sido de 11.000 personas.Una investigacin hecha por lo estudiantes del gradoundcimo indica que por cada dlar que se reduzcael precio del boleto, la asistencia promedio seincrementar en 1.000. A qu precio debern fijarlos administrativos de la institucin el precio del

boleto para maximizar sus ingresos por la venta delos mismos?

30-. Determine dos nmeros positivos cuya sumasea 100 y la suma de sus cuadrados sea mnima.

31-. La efectividad de un comercial de televisindepende de cuntas veces lo ve el espectador.Despus de algunos experimentos, una agencia depublicidad determin que si la efectividad E se mideen una escala de 0 a 10, entonces:

=

22 1

E n n3 90


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22Donde n es el nmero de veces que un espectadorve un cierto comercial. Para que ste tenga unaefectividad mxima, cuntas veces deber verlo unespectador?

32-. Obtenga dos nmeros cuya diferencia es 100 y

cuyo producto sea lo ms pequeo posible.

33-. Obtenga dos nmeros cuya suma es -24 y cuyoproducto es mximo.

34-. Entre todos los rectngulos que tienen unpermetro de 64 centmetros, hallar aquel que tieneel rea mxima.

35-. Determine el rea del rectngulo ms grandeque puede inscribirse en un tringulo rectngulo decatetos 6 y 8 centmetros, si los lados del rectnguloestn a lo largo de los catetos.

36-. Un granjero con 750 metros de cerca deseaencerrar un rea rectangular y despus dividirla encuatro corarles con cercas paralelas a uno de loslados del rectngulo. Cul es el rea total msgrande posible con los cuatro corrales?

37-. Un estudiante de la universidad del Valle conSede en Santander de Quilichao, fabrica juegosmatemticos para nios en edad escolar y los vendeen las escuelas locales. El material para cada juegocuesta u$ 6 y ha estado vendiendoaproximadamente 20 juegos por da a u$ 10 cada

uno. Ahora se pregunta si debe o no subir el precio,por lo que realiza una encuesta y determina que porcada incremento de un dlar perdera dos ventas porda. Cul es el precio que debe establecer para los

juegos didcticos con el fin de maximizar la utilidad?

38-. La produccin de manzanas de cada rbol en unhuerto es de (500 5x) kilos, en donde x es ladensidad con que se plantan los rboles(es decir, elnmero de rboles por hecttrea). Determine el valorde x que haga que la produccin total por hectareasea mxima.

39-. Si las plantas de arroz se siembran con unadensidad de x plantas por pie cuadrado, laproduccin de arroz en cierta plantacin es de x(10 0,5x) bushel por acre. Qu valor de x maximiza laproduccin por acre?

40-. Demuestre que el vrtice de la parabola cuyaecuacin es y = a(x h)2 + k est en el punto(h,k).

41-. La utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender xunidades de cierto producto est dada por:P(x) = 60x x

2 , dlares. para que cantidad deunidades comercializadas se obtiene la utilidad

mxima?Cul es dicha utilidad?

42-. La suma de los recprocos de dos nmerosenteros pares consecutivos es 9/40. Cules sonestos enteros?

43-. A un corredor veloz le toma 10 segundos msrecorer una distancia de 1500 pies que el tiempo que

us un corredor ms lento para recorrer 1000 pies.Si la velocidad del corredor ms rpido era de 5pies/s mayor que la del ms lento, cules fueron lasvelocidades de ambos?

44-. Un muchacho necesita 15 minutos ms que suhermana para podar el csped, y cuando trabajan

juntos les toma 56 minutos. Cunto tiempo letomara al muchacho podar el csped l solo?

45-. Un parque de forma rectangular tiene 60 metrospor 100 metros. Si contiene un jardn rectangularrodeado por un andador de concreto, qu ancho

tendr el andador si el rea del jardin es la mitad delrea del andador?

46-. Un jugador de ftbol lanza un baln de unpuntapie desde una altura de 80 centmetros, tal quela trayectoria del baln est dada por:

25 30 0 8y t t ,= + += + += + += + + (Y en m y t en s), calcule

A) La altura mxima que alcanza el balnB) El tiempo que emplea el baln en el aireC) Posicin del baln a los 3 segundosD) Tiempo a partir del cual no es aplicable la

operacin

47-. Una empresa produce semanalmente 300bicicletas de montaa que vende ntegramente alprecio de 600 euros cada una. Tras un anlisis demercados observa que si vara el precio, tambinvaran sus ventas (de forma continua) segn lasiguiente proporcin: por cada 7 euros que aumenteo disminuya el precio de sus bicicletas, disminuye oaumenta la venta en 3 unidades.a) Puede aumentar el precio y obtener mayoresingresos?b) A qu precio los ingresos sern mximos?

48-. Los reyes de una dinasta tuvieron nuevenombres diferentes. La tercera parte del nmero dereyes llev el primero de los nombres, la cuarta parteel segundo, la octava parte el tercero, la doceabaparte el cuarto, y cada uno de los nombres restanteslos llev un solo rey. Hallar el nmero de reyes de ladinasta.ENIGMA: a qu es igual

3 2 2 3 2 2 ?+

REENIGMA: a qu es igual

3 3

50 7 50 7 ?+


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T ADMINISTRACIN DE EMPRESAS Y CONTADURA PBLICAMATEMTICA BSICA

PRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASETALLER NMERO NUEVE: NMEROS COMPLEJOS

ESTUDIANTE: ______________________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

MOTIVACIN:

Trabajar en matemticas puede convertirse en unaverdadera aventura cuando se realiza con voluntad yverdadero deseo de aprender o de conocer. En esta

aventura conocers personajes, trucos, sorpresas,ideas interesantes, en fin una innumerable cantidadde situaciones que pondrn a prueba tu pensamientocrtico, tu capacidad de anlisis y hasta suoriginalidad y creatividad. Si verdaderamente haymotivacin por el estudio, la matemtica es el reaespecial para proporcionarte gratos momentos, puescada ejercicio, cada problema resuelto es unapequea victoria en esta aventura, y cadacontratiempo, cada error, se convierte en un acicatepara iniciar con ms ganas, con ms bravura, conms PASIN.

Un tema verdaderamente interesante y de granaplicacin en la ciencia y en la tcnica, es el de losnmeros complejos, tanto as, que en muchascarreras de ingeniera se les llama Matemticasespeciales. Este tema puede resultar bastantesimptico e interesante si se trabaja con dedicacin,puesto que pone a prueba tu capacidad de anlisis yde sntesis a la par que tu creatividad. La temtica esen verdad engomadora, si la asumes conseriedad, dedicacin y empeo. Si as lo haces,logrars desarrollar pensamiento matemtico, yadems adquirirs unos elementos conceptuales quedesbordan los nmeros reales, as que: vulvete unpoceto de la operatividad con los nmeroscomplejos y sonre: ests haciendomatemticas!

ORIENTACIN.

En esta conferencia o gua, encontraras algunasayudas en este tema, pero pronto vers que todo noest hecho, pues t sers el (la) que hagas lascosas, tu sers el (la) constructor de tu propioconocimiento, en otras palabras, la educacincambi, y ahora es el estudiante el que juega elpapel protagnico en el proceso de enseanza y

aprendizaje, y dicho protagonismo tambin va en la

consulta de los temas y la solucin de los problemas,pues solo as, dejaras de solo aprender, yaprenders a prender y a aprender a hacer con elsaber.

OBJETIVOS:


Reconocer las fracciones algebraicasreducibles e irreducibles.

Aplicar de forma excelente los casos defactorizacin para simplificar fraccionesalgebraicas.

Operar las fracciones algebraicas con sumaresta multiplicacin y divisin.

NMEROS COMPLEJOS

Definicin: los nmeros de la forma a + bi, dondea y b son nmeros reales , se llaman complejos. Elnmero a se llama parte real, y bi es la parteimaginaria (raz par de un nmero negativo).

Ejemplos:

Ejemplo1:

A) 3 + 2i: a = 3 ; b = 2

B) 1/2 - 2 i : a = 1/2 ; b = 2

Nota: la raz par de un nmero negativo se puedeexpresar mediante la unidad imaginaria:

-4 = 2i -7 = 7 i

Para sumar nmeros complejos, se suman poraparte la parte real y la parte imaginaria.


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CREACIONES DE APOYO DIDCTICO. DE USO EXCLUSIVO. CONFERENCIAS DE CLASE.

24Ejemplo2: (4 + 7i) + (5 3i) =

= (4 + 5) + (7-3)i == 9 + 4i

Ejemplo3: Efecte la siguiente divisin de complejos:

2

2 3

2

(2 3 )(2 )

(2 )(2 )

4 3 6 2

4 1

7 4

5 5

+=

+

+ =

+

+ =

+

+

i

i

i i

i i

i i i

i

NOTA: estamos en construccin de estasconferencias, por ello la temtica faltante la iremoscolocando ms adelante, p or ahora vamos acontinuar

EJERCICIOS

1-. Determine las siguientes potencias de i:A) i5 B) i9 C) i243 D) i12134

2-. Escribir en forma reducida:A) i + i + i + i + i + iB) (3 4i) + (3 4i) + (3 4i) + (3 4i)C) (5 + 4i) + (-5 +2i) - (3 + 5i)

3-. Efectuar el producto:

A) (3 i) (3 4i)B) (1 + 2i) (3 i)C) (-3 + 7i) (3 + i)

D) ( )( )3 3i i+

E) ( ) ( )2 3 4 2 3 4i i+

F) ( )( )3a bi bi +

4) Descomponer en pares de factores complejos:

A) X2+ Y2 B) a2 + 9b2 C) 4m2 + 9n2

5-. Calculas los siguientes cocientes:

A)105

i

B)2 13 2

i

i

+

6-. Dados los nmeros complejos:

z = 4 + 3 i , w = 12 5 i y v = 7 + i.Comprueba:1 ) w + v = v + w2 ) w + ( z + v ) = ( w + z ) + v3 ) z v = v z4 ) v ( w z ) = ( v w ) z5 ) v ( z + w ) = v z + v w

6 ) zvzv +=+

7 ) zz =

8 ) vzvz =

9 ) wvwv =

10 ) ( ) 11 zz = 11 ) zvzv =

12 ) z = | z | = | z |

13 ) v v = | v | 2

14 ) z 1 = z | z | 215 ) | z w | = | z | | w |16 ) | w 1| = | w | 117 ) | v z | = | v | | z |

7-. Calcula z en las siguientes ecuaciones:1 ) z + 2 + i = 3 iR : 1 2 i

2 ) z 4 + 2 i = 3 + 7 iR : 7 + 5 i3 ) z ( 2 + 5 i ) = 4 6 iR : 6 i4 ) z ( 1 + i ) = 1 + iR : i5 ) ( 1 + i ) z = 2 iR : 1 + i6 ) ( 1 + i ) z = 2

R : 1

i7 ) ( 1 i ) z = 1 + iR : i8 ) z ( 2 + i ) = iR : 1 + 2 i9 ) z 2 + i = 1 iR : 2 4 i10 ) z i + 2 = 3 + iR : 1 + i


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PRIMER SEMESTRECONFERENCIAS DE CLASETALLER NMERO DIEZ: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ESTUDIANTE: _______________________ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

MOTIVACIN:

Trabajar en matemticas puede convertirse en unaverdadera aventura cuando se realiza con voluntad y

verdadero deseo de aprender o de conocer. En estaaventura conocers personajes, trucos, sorpresas,ideas interesantes, en fin una innumerable cantidadde situaciones que pondrn a prueba tu pensamientocrtico, tu capacidad de anlisis y hasta suoriginalidad y creatividad. Si verdaderamente haymotivacin por el estudio, la matemtica es el reaespecial para proporcionarte gratos momentos, puescada ejercicio, cada problema resuelto es unapequea victoria en esta aventura, y cadacontratiempo, cada error, se convierte en un acicatepara iniciar con ms ganas, con ms bravura, conms PASIN.Los sistemas de ecuaciones son un tema de

importancia difcilmente superable, necesario encualquier disciplina, y herramienta utilsima encualquier ciencia, pues es bsico en el modeladomatemtico. En s, este tema es bastante motivantepara el trabajo intelectual entre otras cosas por laclaridad de su utilidad prctica. Trabaja esta gua condedicacin y veras como le encontrars atractivo yengomador, si lo asumes con seriedad,dedicacin y empeo. Si lo haces, lograrsdesarrollar tu pensamiento lgico-matemtico,avanzando hasta el pensamiento ms formal, asque: vulvete un poceto de la solucin desistemas de ecuaciones y sonre: ests

haciendo matemticas!

ORIENTACIN.

En esta conferencia o gua, encontraras algunasayudas en este tema, pero pronto vers que todo noest hecho, pues t sers el (la) que hagas lascosas, tu sers el (la) constructor de tu propioconocimiento, en otras palabras, la educacincambi, y ahora es el estudiante el que juega elpapel protagnico en el proceso de enseanza y

aprendizaje, y dicho protagonismo tambin va en la

consulta de los temas y la solucin de los problemas,pues solo as, dejaras de solo aprender, yaprenders a prender y a aprender a hacer con elsaber.

OBJETIVOS:


Aplicar los diversos mtodos para lasolucin de sistemas de ecuaciones linealesen dos, tres y cuatro variables.

Modelar y resolver problemas matemticosdonde intervengan sistemas de ecuacioneslineales en dos, tres y cuatro variables.

Resolver sistemas de ecuaciones donde secombinan variables lineales y cuadrticas, osistemas donde se combinan ecuaciones

cuadrticas en dos variables.

ECUACIONES LINEALES

Muchos problemas de la vida prctica, en susolucin implican el trabajo con sistemas deecuaciones, los cuales pueden ser de 2x2 , de 3x3 ode 4x4, esto es, de dos ecuaciones con dosincgnitas, etc.

Ejemplos:

Resolver el sistema:

3x + 5y = 11 (1)x 2y = 0 (2)

Solucin por el mtodo de sustitucin:

Despejamos cualquiera (en la prctica no debe sercualquiera sino la que implique menos trabajo, porejemplo buscando aquellas que no generenfracciones) de las variables sea en la ecuacin (1) oen la ecuacin (2). En este caso lo ms simple esdespejar x en (2), as:


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26x 2y 0

x 2y(3)

sustituyendo(3)en(1)

obtenemos :3(2y) 5y 11

6y 5y 11

11y 11

y 11/11

y 1

= = = =

====

+ =+ =+ =+ =

+ =+ =+ =+ =

====

====

====

Ahora reemplazamos el valor hallado de y en laecuacin (3) para obtener el valor de x as:

X = 2 . 1X = 2

Solucin del sistema:21

x

y

=

=

Solucin por el mtodo de igualacin

3x + 5y = 11 (1)x 2y = 0 (2)

Consiste en despejar la misma variable en las dosecuaciones y luego igualar:

De (1) y de (2):11 5

(3)3

2 (4)

(3) (4) :

11 52

311 5 6

11 11

1

(4):

2

yx

x y

igualando y

yy

y y

y

luego

y

reemplazandoen

X

=

=

=

=

=

=

=


x

y

=

=

Solucin por el mtodo de eliminacin

3x + 5y = 11 (1)

x 2y = 0 (2)Consiste en igualar los coeficientes de la mismavariable en las dos ecuaciones, y luego sumar orestar las ecuaciones, con el objetivo de que seelimine dicha variable.

Para este caso el procedimiento consiste enmultiplicar la ecuacin (2) por 3 para igualar loscoeficientes de las x y luego restar, as:

De (2)2 (x 2y) = 0

2x 4y = 0 (3)

Ahora restamos (3) de (1)

3x + 5y = 11 (1)3x 6y = 0 (3) (restamos, ojo con los signos!)

________________

0 + 11y = 11 despejando y:y = 11/11y = 1

Reemplazando este valor de y en (1) o en (2), de(2):

x -2 . 1 = 0x = 2


x

y

=

=

Solucin por el mtodo grfico

Este mtodo consiste en graficar en un mismo planolas ecuaciones, y el punto donde se corten ser lasolucin del sistema, ya que la proyeccin del puntosobre el eje X es el valor de la variableindependiente y la proyeccin del punto sobre el ejeY es el valor de la variable dependiente.

Lo anterior implica que si las ecuaciones no seinterceptan, esto es, si son paralelas, el sistema notiene solucin y recibe el nombre de inconsistente. Silas grficas se confunden, es decir se confundenquedando una sobre la otra, se dice que el sistematiene infinitas soluciones, y si se cortan en un solopunto se dice que el sistema tiene solucin nica.

NOTA: estamos en construccin de estasconferencias, por ello la temtica faltante la iremoscolocando ms adelante.


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EJERCICIOSA) Hallar los valores de las variables quesatisfacen cada sistema:

1) 2x - y = 4x + 2y = -3

2) 2x - y = 4x + y = 5

3) 5x + 2y = 32x + 3y = -1

4) 5y = 3 2x3x = 2y + 1

5)

3 1

23 63 2 1

14 2

x y

x y

+ +

+ =

+ =

6)

1 5 32 4

1 3 32 4

x y

x y

+ =

=

7)

4 6 4

1 3 52 4

x y

x y

+ =

=

8)

4 64

1 3 52 4

x y

x y

+ =

=

9)

a ba b

x y

a b b a a b

x y

= +

++ =

10)1 1

2

a ba b

x y

a ba b

x y

+ =

+ = +

B) Resuelva cada uno de los siguientessistemas de ecuaciones por el mtodo deigualacin:

1) 6x - 5y = -94x + 3y = 13

2) 7x - 15y = 1- x - 6y = 8

3) x - 1 = 2 (y + 6)x + 6 = 3 (1 2y)

4)

3 12

3 63 2 1

14 2

x y

x y

+ ++ =

+ =

C) Resuelva cada uno de los siguientes sistemasde ecuaciones por el mtodo de sustitucin:

1) 5x + 2y = 32x + 3y = -1

2) 7x + 2y = 182x - y = -9

3) 4m + n = 6m + 3n = 7

4) 4q + 3p = -102p - 5q = 1

D) Resuelva cada uno de los siguientes sistemasde ecuaciones por el mtodo de eliminacin:

1) 5x + 2y = 42x + 3y = 6

2) 5m + 2n = 92m - 3n = -4

3) -4r + 3s = 52r + 5s = 17

4)

a ba b

x y

a 1 b 1a b

x y

+ = + = + = + =

+ + + + = + = + = + = +

5)

4 64

1 3 52 4

x y

x y

+ =

=


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E) Resuelva cada uno de los siguientes sistemasde ecuaciones por el mtodo de losdeterminantes:

1) 7x 15y = 1

x + 6y = 4

2) 3m 5n = 137m 6n = 2

3) 12k 15w = 97k 6w = 7

4)

3 12

3 63 2 1

14 2

x y

x y

+ ++ =

+ =

5)

1 5 32 2

1 3 12 10

x y

x y

+ =

=

F) Resuelva por el mtodo grfico:

1) 5y = 3 + 2x3x = 2y + 1

2) 2x + 5y = 143x = 2y + 2

3) 4p 5q = 13p = 2q + 1

4) 7m 5n = 33m = 4n 5

5)

1 53

2

1 3 72 4

x y

x y

+ =

=

G) Resolver por el mtodo de los determinantes:

1) 2X Y + Z = 3X + 3Y 2Z = 11

3X 2Y + 4Z = 1

2) 2X Y + 2Z = 5X + 2Y 3Z = 10

3X Y 4Z = 26

3) X + Y Z = 2X 3Y + 2Z = 1

3X Y + 3Z = 4

4) X + Y + 2Z = 93X 3Y + Z = 02X + 3Y 4Z = 4

5)

X YZ 7

3 2X 3Y Z6

4 2 2X Y Z

16 4 3

+ =

+ =

=

6)

A B C 6

2A 3B C 1

3A B 2C 9

+ + =

=

+ =

7)

X Y Z W 10X Y Z W 2

X 2Y 3Z 4W 14

4X 3Y 2Z W 0

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + = + = + = + = + =

+ = + = + = + =

+ = + = + = + =

8)

3P 2Q K 0

2P 3Q K 5

7P4Q K 2

3

+ = + = + = + =

= = = =

+ =+ =+ =+ =

9-.

1

2 5 10 5

3 2 11 10

x y z

x y z

x y z

= + = + =

10-.

4 6 3 1

6 3 4 0

2 9 2 0

x y z

x y z

x y z

+ =

+ = + =

11-. Si2 2 2

3 3 3

3 3 3

0, hallar el valor de

x

+ + =

+ +

x z y x z y

y z

y z x

G) Halle el conjunto solucin de cada sistema deecuaciones.1) y2 = 4x

x + y = 3

2) x2 + y2 = 253x + 4y = 25

3) 2x2 3y2 = 5

6x2 + y2 = 105


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294) 4x2 + xy + y2 = 6

2x2 xy + y2 = 8

5) x2 + y2 = 162x2 3xy + y2 = 0

H) RESUELVA CADA UNO DE LOS SIGUIENTESPROBLEMAS:

1-. La suma de dos nmeros es S y su diferenciaes D, hallar los dos nmeros.

2-. Hallase dos nmeros tales que su diferencia es 1y la mitad de mayor ms un tercio del menor es 7.

3-. Se tiene 3 libras de chocolate y 8 libras de cafque cuestan en conjunto $ 30.000, y 5 libras dechocolate y 6 libras de caf cuyo precio total es de $

28.000. Cul es el costo de cada libra de chocolatey de cada libra de caf?

4-. El costo de envo de un telegrama se basa enuna tarifa base para las primeras 10 palabras y uncargo adicional por cada palabra que sobrepase de10. Si un telegrama de 15 palabras cuesta U$ 11,65y uno de 19 palabras cuesta U$ 14,57, cul es latarifa base y cual es el cargo adicional?

5-. Las representantes de una escuela para padresdeciden aportar cantidades iguales para contratar losservicios de un conferencista durante una hora. Si

hubiera 10 damas ms, cada una pagara U$ 2menos. Sin embargo, si el nmero fuera 5 menos,cada una pagara U$ 2 ms. Cuntas damasforman el grupo y cuanto se le paga al conferencistapor hora?

6-. Un qumico cuenta con dos soluciones cidas.Una contiene 15% de cido, y la otra, 6%. Cuntoscentmetros cbicos de cada solucin debe usar paraobtener 400 cm cbicos con 9% de cido?

7-. Un bote recorre en 15 minutos una distancia de 5millas corriente abajo, pero necesita 20 minutos parael viaje de regreso. Calcule la velocidad del bote e3naguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

8-. Se tiene una fraccin que si se le suma 4 aldenominador o se le resta 2 al numerador, elquebrado resultante es . Cul es la fraccin?

9-. Si tanto el numerador como el denominador deuna fraccin se incrementan en 5 el valor de lafraccin es 2/3, pero si tanto el numerador como eldenominador se decrementan en 5 el valor de lafraccin es 3/7. Halle la fraccin.

10-. La distancia entre dos automviles que viajan

por la misma carretera recta es de 140 km. Si los

autos corren en direcciones opuestas les tomar48 minutos encontrarse. Sin embargo, si sedesplazan en la misma direccin, se encontrarn en4 horas. Cules son las velocidades de losautomviles?

11-. Un estudiante recorre 100 km en automvilhasta una ciudad para recoger un automvil nuevo yluego regresa en l a su casa. Si la velocidad en elprimer automvil fue de 10 km/h mayor que en elsegundo, y si el recorrido a la ciudad le tom 20minutos menos que el regreso a su casa, hallar lavelocidad media de cada automvil.

12-. Un estudiante de la Universidad del Valle SedeNorte del Cauca, se hallaba a 11 kilmetros dedistancia de la Institucin Educativa Francisco Josde Caldas, donde recibira clase una hora ms tarde.Primeramente camin un kilmetro y luego tom un

bus urbano que por su mal estado, solo daba 12km/h ms que la velocidad media a pie. Halle lavelocidad media con que camin y la velocidadmedia

conferencias matemática básica contaduríauvalle 2016

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