Matemática Básica para Economistas

Función Inversa

IntroducciónIntroducción

Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como:

p = -3q + 8

¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?

Definición previa: función inyectiva Definición previa: función inyectiva o biunívocao biunívoca

• Una función f , con dominio D es una función inyectiva o biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes:

- Si a b en D, entonces f(a) f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D

Es decir a un valor de la imagen le corresponde un único valor del dominio.

Si es inyectiva

Ejemplo 1: ¿Es inyectiva la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1?

f

x

f(x)

No es inyectiva

Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x2-1?

f

x

f(x)

f

x

f(x)

f

x

f(x)

x[0; [x -; 0

¿En qué dominio será biunívoca?

1. Una función f es inyectiva si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto.

2. Una función creciente es inyectiva.3. Una función decreciente es …………biunívoca

Observaciones:Observaciones:

La función inversa de f se denota por f-1

Función Inversa:Función Inversa:

Definición:

Si f-1 es inversa de f:(fof-1)(x) = x

Dom (f-1) = Ran (f)Ran (f-1) = Dom (f)

Para determinar la función inversa (f-1):

Función Inversa:Función Inversa:

1. Verificar que f es inyectiva.2. Despejar x en términos de y.3. Cambiar x por y.

Ejemplo:Ejemplo:

Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5]

34 xy

43 yx

43 xy

Dom f-1 = Ran f52 x2048 x

173411 x

17,11 , 4

31 xxxf

Regla: la función inversa fRegla: la función inversa f-1-1 es simétrica con f, es simétrica con f, respecto a la recta respecto a la recta y = xy = x

x

f(x) y = xf(x)

f-1(x)

Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano:

1. Es biunívoca en x>0

2. x = f -1(x) = , x > -11y 1x

3. Composición:

•f -1(x2 - 1) = , x>0xxx11)(x 22

1x 1x •f ( ) = ( )2 - 1= x , x>-1

Graficando f y f -1 en un mismo plano:

y

x

f(x)

f –1(x)

y

x

¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa?

No sería una función

Ejercicios:Ejercicios:

Hallar y graficar:

0, 66)( :si .1 21 xxxxfxf

2, 212)(

0, 32)( :si .2 1

xxxxg

xxxfxfog