ESTADÍSTICA GUÍA BÁSICA PARA

ECONOMISTAS Y ADMINISTRADORES

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U N I V E R S I D A D N A C I O N A L

JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

FACULTAD DE CIENCIAS

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

TEXTO UNIVERSITARIO

ESTADÍSTICA GUÍA BÁSICA PARA

ECONOMISTAS Y ADMINISTRADORES

AUTORES

Mg. Benigno Walter Moreno Mantilla

Lic. Cristián Iván Escurra Estrada

Lic. Miguel Ángel Aguilar Luna Victoria

HUACHO – PERÚ

2011

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AGRADECIMIENTO

En forma muy especial a cada una de nuestras familias,

quienes reconocen el esfuerzo que le ponemos en cada una

de nuestras hazañas académicas, y hacen de nuestra labor

de investigación el mas insaciable gusto por aportar a la

ciencia. Así como también, a los investigadores y autores

de textos bibliográficos que nos han servido de consulta en

el desarrollo del texto que presentamos.

Los autores

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ÍNDICE DE CONTENIDO

Pág.

PROLOGO

UNIDAD I: Definiciones básicas, comparación y discusión.

Variables 6

UNIDAD II: Cálculo del tamaño muestral. Técnicas y

Métodos para la recolección de datos y diseños

de cuestionarios.

13

UNIDAD III: Tablas de frecuencia, gráficos. Medidas de

tendencia central. Medidas de Dispersión.

Asimetría y Kurtosis.

26

UNIDAD IV: Regresión y correlación lineal simple.

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EPILOGO 44

GLOSARIO DE TÉRMINOS 45

BIBLIOGRAFÍA 46

APENDICE 47

5

PRÓLOGO

En este texto, presentamos las principales técnicas para cálculos estadísticos, con

aplicaciones en la empresa:

a) Definiciones básicas, comparación y discusión. Variables. Ver Unidad I.

b) Cálculo del tamaño muestral. Técnicas y Métodos para la recolección de

datos y diseños de cuestionarios. Ver Unidad II.

c) Tablas de frecuencia, gráficos. Medidas de tendencia central. Medidas de

Dispersión. Asimetría y Kurtosis. Ver Unidad III.

d) Regresión y correlación lineal simple. Ver Unidad IV.

Los autores

5

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UNIDAD I: Definiciones básicas, comparación y discusión. Variables.

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

La estadística, es la ciencia que trata de la recopilación, organización presentación, análisis

e interpretación de datos generalmente numéricos con el fin de realizar una toma de

decisión más efectiva. Así mismo, se puede considerar como el conjunto de indicadores

numéricos que caracterizan diferentes aspectos de la vida social, incluyendo la producción,

las relaciones políticas, culturales de la vida cotidiana; se refiere alas colecciones

sistemáticas de datos relativos a un fenómeno.

La Estadística aplicada a la Economía da una caracterización cuantitativa y cualitativa del

volumen, composición y dinamismo de las fuerzas productivas y además refleja el

comportamiento de las relaciones de producción, estudia las fuerzas productivas de un

país, las condiciones de producción, etc.

TIPOS DE ESTADÍSTICA

Teniendo en cuenta las funciones, cometidos y el ámbito de la Estadística entendida como

método de aplicación de los principios científicos para la resolución de problemas

socioeducativos y la toma de decisiones, podemos identificar dos grandes tipos, según las

tareas a las que debe enfrentarse, la descriptiva y la inferencial:

Estadística Descriptiva: Es la técnica que se va a encargar de la recopilación,

presentación, tratamiento y análisis de los datos, con el objeto de resumir, describir las

características de un conjunto de datos y por lo general toman forma de tablas y gráficas.

En realidad, transforma un conjunto de números u observaciones en índices que sirven para

describir o caracterizar esos datos dentro de los grupos de sujetos. La podemos considerar

como una parte de la Estadística que se ocupa del estudio de los métodos y técnicas

necesarios para la descripción gráfica y numérica de los conjuntos de datos, ello nos ofrece

una visión global del grupo de sujetos que es objeto de estudio. Estos cálculos tienen

limitaciones en la interpretación de los estadísticos, pues en muchas ocasiones nos

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debemos centrar en una comparación entre el valor de la muestra y otros que procedan de

muestras similares, por lo que no aporta suficientes argumentos científicos al investigador

en la toma de decisiones sobre los grupos.

Estadística Inferencial: Técnica mediante la cual se sacan acerca de parámetros de una

población basándose en los estadígrafos de una muestra de población. Se dedica a la

generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en

cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones, bajo un nivel de

confianza definido por el investigador. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer

inferencias acerca de la población bajo estudio

POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los posibles elementos que intervienen en un

experimento o en un estudio.

CENSO: Al estudio completo de la población.

TIPOS DE POBLACIÓN:

POBLACIÓN FINITA: Es aquella que indica que es posible alcanzarse o sobrepasarse al

contar. Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas y observaciones.

POBLACIÓN INFINITA: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y

observaciones que no pueden alcanzarse en el conteo.

Son poblaciones infinitas porque hipotéticamente no existe límite en cuanto al número de

observaciones que cada uno de ellos puede generar.

MUESTRA: Un conjunto de medidas u observaciones tomadas a partir de una población

dada. Es un subconjunto de la población.

MUESTRA REPRESENTATIVA: Un subconjunto representativo seleccionado de una

población de la cual se obtuvo.

MUESTREO: Al estudio de la muestra representativa.

PARÁMETRO: Son las características medibles en una población completa. Se le asigna

un símbolo representado por una letra griega.

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ESTADÍSTICO O ESTADÍGRAFO: Es la medida de una característica relativa a una

muestra. La mayoría de los estadísticos muestrales se encuentran por medio de una fórmula

y suelen asignárseles nombres simbólicos que son letras latinas.

DATOS ESTADÍSTICOS: Los datos son agrupaciones de cualquier número de

observaciones relacionadas.

Para que se considere un dato estadístico debe tener 2 características:

a) Que sean comparables entre sí.

b) Que tengan alguna relación.

VARIABLE: Es una característica de los elementos de la población que pueden ser

medibles.

TIPOS DE VARIABLES: Existen varios tipos de Variables, entre ellos tenemos:

Por su Dependencia en la Investigación. Pueden ser:

Variable Dependiente: Aquellas que su valor a medir depende de otras variables.

Variable Independiente: Aquellas cuyo valor a medir no depende de otras variables y

en algunos casos afecta el resultado de otras variables.

Variable Interviniente: Aquellas que en una investigación intervienen indirectamente

en el efecto de otra variable o que cuyo valor se necesita tomar en cuenta para

interpretar o analizar otras variables principales.

Por su Naturaleza. Pueden ser:

Variable Cuantitativa: cuando la variable a medir asume valores netamente

numéricos, estas a su vez se clasifican en:

Variable Cuantitativa Discreta: Es aquella que puede asumir sólo ciertos

valores, mas conocidos como números enteros. Estos deben ser indivisibles y es

ilógico interpretarlos como decimales.

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Ejemplo: El número de hijos (0, 1, 2, 3, …)

Variable Cuantitativa Continua: Es aquella que teóricamente puede tomar

cualquier valor en una escala de medidas, ya sea entero o fraccionario.se puede

interpretar con cierta lógica en decimales.

Ejemplo: Estatura: (1.90 m.); Ingreso Económico (700.52)

Variables Cualitativas: Cuando no es posible hacer medidas numéricas sino que son

caracteres de los elementos de población y son susceptibles de clasificación.

Ejemplo: Color de autos: rojo, verde, azul.

UNIDAD DE ANÁLISIS: La unidad de análisis corresponde a la entidad mayor o

representativa de lo que va a ser objeto específico de estudio en una medición y se refiere

al qué o quién es objeto de interés en una investigación. Por ejemplo:

Debe estar claramente definida en un protocolo de investigación y el investigador debe

obtener la información a partir de la unidad que haya sido definida como tal, aun cuando,

para acceder a ella, haya debido recorrer pasos intermedios. Las unidades de análisis

pueden corresponder a las siguientes categorías o entidades:

Personas

Grupos humanos

Poblaciones completas

Unidades geográficas determinadas

Eventos o interacciones sociales (enfermedades, accidentes, casos de infecciones

intrahospitalarias, etc)

Entidades intangibles, susceptibles de medir (exámenes, días camas)

El tipo de análisis al que se someterá la información es determinante para elegir la unidad

de análisis.

EXPERIMENTO: Es una actividad planificada, cuyos resultados producen un conjunto

de datos. Es el proceso mediante el cual una observación o medición es registrada. En un

experimento se consideran todas las variables relevantes que intervienen en el fenómeno,

mediante la manipulación de las que presumiblemente son su causa, el control de las

variables extrañas y la aleatorización de las restantes. Estos procedimientos pueden variar

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mucho según las disciplinas (no es igual en Física que en Psicología, por ejemplo), pero

persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas (diferentes a la variable

manipulada) en la explicación de los resultados. Este aspecto se conoce como validez

interna del experimento, la cual aumenta cuando el experimento es replicado por otros

investigadores y se obtienen los mismos resultados. Cada repetición del experimento se

llama prueba o ensayo.

Las distintas formas de realizar un experimento (en cuanto a distribución de unidades

experimentales en condiciones o grupos) son conocidas como diseños experimentales.

Ejemplo: ¿Cuál será la preferencia del consumidor ante dos marcas de refresco con

similares características en un ambiente armónico y sin publicidad?

ESCALAS DE MEDICIÓN

Medir significa “asignar números a objetos y eventos de acuerdo a reglas” (Stevens, 1951),

esta definición es adecuada para el área de ciencias naturales, en el campo de las ciencias

sociales medir es “el proceso de vincular conceptos abstractos con indicadores empíricos”

(Carmines y Zeller, 1979, p. 10).

La medición de las variables puede realizarse por medio de cuatro escalas de medición.

Dos de las escalas miden variables categóricas y las otras dos miden variables numéricas

(Therese L. Baker, 1997). Los niveles de medición son las escalas nominal, ordinal, de

intervalo y de razón. Se utilizan para ayudar en la clasificación de las variables, el diseño

de las preguntas para medir variables, e incluso indican el tipo de análisis estadístico

apropiado para el tratamiento de los datos.

Una característica esencial de la medición es la dependencia que tiene de la posibilidad de

variación. La validez y la confiabilidad de la medición de una variable depende de las

decisiones que se tomen para operacionalizarla y lograr una adecuada comprensión del

concepto evitando imprecisiones y ambigüedad, pero en caso contrario, la variable corre el

riesgo inherente de ser invalidada debido a que no produce información confiable. Se

conocen cuatro escalas de medición:

Escala Nominal: Usa nombres para designarlos, pueden usar números pero solo para

designarlos, sus clasificaciones no tiene un orden jerárquico. Por ejemplo, si la unidad de

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análisis es un grupo de personas, para clasificarlas se puede establecer la categoría sexo

con dos niveles, masculino (M) y femenino (F), los respondientes solo tienen que señalar

su género, no se requiere de un orden real.

Así, si se asignan números a estos niveles solo sirven para identificación y puede ser

indistinto: 1=M, 2=F o bien, se pueden invertir los números sin que afecte la medición:

1=F y 2=M.

Escala Ordinal: son aquellas variables cuyas características de medición pueden ser

ordenadas jerárquicamente Las formas mas comunes de variables ordinales son ítems

(reactivos) actitudinales estableciendo una serie de niveles que expresan una actitud de

acuerdo o desacuerdo con respecto a algún referente. Por ejemplo, ante el ítem: La

economía mexicana debe dolarizarse, el respondiente puede marcar su respuesta de

acuerdo a las siguientes alternativas:

___ Totalmente de acuerdo

___ De acuerdo

___ Indiferente

___ En desacuerdo

___ Totalmente en desacuerdo

las anteriores alternativas de respuesta pueden codificarse con números que van del uno al

cinco que sugieren un orden preestablecido pero no implican una distancia entre un

número y otro. Las escalas de actitudes son ordinales pero son tratadas como variables

continuas (Therese L. Baker, 1997).

Escalas de Intervalo: registra de manera numérica la distancia entre dos puntos, el cero no

indica ausencia de variable y es arbitrario. El ejemplo mas representativo de este tipo de

medición es un termómetro, cuando registra cero grados centígrados de temperatura indica

el nivel de congelación del agua y cuando registra 100 grados centígrados indica el nivel

de ebullición, el punto cero es arbitrario no real, lo que significa que en este punto no hay

ausencia de temperatura.

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Una persona que en un examen de matemáticas que obtiene una puntuación de cero no

significa que carezca de conocimientos, el punto cero es arbitrario por que sigue existiendo

la característica medida. Otros ejemplos son fecha de calendario, horas, etc.

Escala de Razón: Es una escala mas fuerte. Determina la distancia exacta entre los

intervalos de una categoría, el cero es absoluto e implica ausencia y la diferencia de dos

variables es de magnitud conocida. Es decir, en el punto cero no existe la característica o

atributo que se mide. Las variables de ingreso, edad, número de hijos, etc. son ejemplos de

este tipo de escala. El nivel de medición de razón se aplica tanto a variables continuas

como discretas.

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UNIDAD II: Cálculo del tamaño muestral. Técnicas y Métodos para la recolección

de datos y diseños de cuestionarios.

Población

Es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones. Es

decir el conjunto de sujetos o individuos con determinadas características demográficas, de

la que se obtiene la muestra para cualquier estudio a la que se quiere inferir los resultados

de dicho estudio. Las poblaciones pueden ser finitas, si existe un número fijo de estos

valores; e infinitas si la poblaión consiste en una sucesión interminable de valores.

Muestra

También llamada muestra aleatoria o simplemente muestra) es un subconjunto de casos o

individuos de una población estadística. Se obtienen con la intención de inferir propiedades

de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma. Para

cumplir esta característica la inclusión de sujetos en la muestra debe seguir una técnica de

muestreo. En tales casos, puede obtenerse una información similar a la de un estudio

exhaustivo con mayor rapidez y menor costo. El muestreo puede ser más exacto que el

estudio de toda la población porque el manejo de un menor número de datos provoca

también menos errores en su manipulación.

Ventajas de la elección de una muestra

El estudio de muestras es preferible a los censos por las siguientes razones:

1. La población es muy grande (en ocasiones, infinita, como ocurre en determinados

experimentos aleatorios) y, por tanto, imposible de analizar en su totalidad.

2. Las características de la población varían si el estudio se prolonga demasiado tiempo.

3. Reducción de costos: al estudiar una pequeña parte de la población, los gastos de

recogida y tratamiento de los datos serán menores que si los obtenemos del total de la

población.

4. Rapidez: al reducir el tiempo de recogida y tratamiento de los datos, se consigue mayor

rapidez.

5. Viabilidad: la elección de una muestra permite la realización de estudios que serían

imposible hacerlo sobre el total de la población.

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6. La población es suficientemente homogénea respecto a la característica medida, con lo

cual resultaría inútil malgastar recursos en un análisis exhaustivo (por ejemplo, muestras

sanguíneas).

7. El proceso de estudio es destructivo o es necesario consumir un artículo para extraer la

muestra (ejemplos: vida media de una bombilla, carga soportada por una cuerda,

precisión de un proyectil, etc.).

Espacio Muestral

Es el conjunto de todas las posibles muestras que se pueden extraer de una población

mediante una determinada técnica de muestreo.

Concepto e importancia del muestreo

Es la actividad por la cual se toman ciertas muestras de una población de elementos de los

cuales vamos a tomar ciertos criterios de decisión, el muestreo es importante porque a

través de él podemos hacer análisis de situaciones de una empresa o de algún campo de

la sociedad.

Terminología básica para el muestreo

Los nuevos términos, los cuales son frecuentemente usados en inferencia estadística son:

Estadístico:

Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de una muestra, tal

como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una muestra.

Parámetro:

Una parámetro es una medida usada para describir alguna característica de una población,

tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una población.

Cuando los dos nuevos términos de arriba son usados, por ejemplo, el proceso de

estimación en inferencia estadística puede ser descrito como le proceso de estimar un

parámetro a partir del estadístico correspondiente, tal como usar una media muestral ( un

estadístico para estimar la media de la población (un parámetro).

Distribución en el muestreo:

Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño de la población (N), dos

o más muestras pueden ser extraídas de la misma población. Un cierto estadístico puede

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ser calculado para cada una de las muestras posibles extraídas de la población.

Una distribución del estadístico obtenida de las muestras es llamada la distribución en el

muestreo del estadístico.

Por ejemplo, si la muestra es de tamaño 2 y la población de tamaño 3 (elementos A, B, C),

es posible extraer 3 muestras (AB, BC y AC) de la población. Podemos calcular la media

para cada muestra. Por lo tanto, tenemos 3 medias muéstrales para las 3 muestras. Las 3

medias muéstrales forman una distribución. La distribución de las medias es llamada la

distribución de las medias muéstrales, o la distribución en el muestreo de la media. De la

misma manera, la distribución de las proporciones (o porcentajes) obtenida de todas las

muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada la

distribución en el muestreo de la proporción.

Error Estándar:

La desviación estándar de una distribución, en el muestreo de un estadístico, es

frecuentemente llamada el error estándar del estadístico. Por ejemplo, la desviación

estándar de las medias de todas la muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una

población, es llamada el error estándar de la media. De la misma manera, la desviación

estándar de las proporciones de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de

una población, es llamada el error estándar de la proporción. La diferencia entre los

términos "desviación estándar" y "error de estándar" es que la primera se refiere a los

valores originales, mientras que la última está relacionada con valores calculados. Un

estadístico es un valor calculado, obtenido con los elementos incluidos en una muestra.

Error muestral o error de muestreo:

La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra (un estadístico) y el resultado el

cual deberíamos haber obtenido de la población (el parámetro correspondiente) se llama el

error muestral o error de muestreo. Un error de muestreo usualmente ocurre cuando no se

lleva a cabo la encuesta completa de la población, sino que se toma una muestra para

estimar las características de la población. El error muestral es medido por el error

estadístico, en términos de probabilidad, bajo la curva normal. El resultado de la media

indica la precisión de la estimación de la población basada en el estudio de la muestra.

Mientras más pequeño el error muestras, mayor es la precisión de la estimación. Deberá

hacerse notar que los errores cometidos en una encuesta por muestreo, tales como

respuestas inconsistentes, incompletas o no determinadas, no son considerados como

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errores muéstrales. Los errores no muéstrales pueden también ocurrir en una encuesta

completa de la población.

Métodos de selección de muestras.

Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las características de la

población. Los métodos para seleccionar una muestra representativa son numerosos,

dependiendo del tiempo, dinero y habilidad disponibles para tomar una muestra y

la naturaleza de los elementos individuales de la población. Por lo tanto, se requiere un

gran volumen para incluir todos los tipos de métodos de muestreo.

Los métodos de selección de muestras pueden ser clasificados de acuerdo a:

1. El número de muestras tomadas de una población dada para un estudio y

2. La manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la muestra. Los métodos de

muestreo basados en los dos tipos de clasificaciones son expuestos en seguida.

Métodos de muestreo clasificados de acuerdo con el número de muestras tomadas de una

población.

Bajo esta clasificación, hay tres tipos comunes de métodos de muestreo. Estos son,

muestreo simple, doble y múltiple.

Muestreo simple

Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una población dada para el propósito

de inferencia estadística. Puesto que solamente una muestra es tomada, el tamaño de

muestra debe ser lo suficientemente grande para extraer una conclusión. Una muestra

grande muchas veces cuesta demasiado dinero y tiempo.

Muestreo doble

Bajo este tipo de muestreo, cuando el resultado dele estudio de la primera muestra no es

decisivo, una segunda muestra es extraída de la misma población. Las dos muestras son

combinadas para analizar los resultados. Este método permite a una persona principiar con

una muestra relativamente pequeña para ahorrar costos y tiempo. Si la primera muestra

arroja una resultado definitivo, la segunda muestra puede no necesitarse.

Por ejemplo, al probar la calidad de un lote de productos manufacturados, si la primera

muestra arroja una calidad muy alta, el lote es aceptado; si arroja una calidad muy pobre, el

lote es rechazado. Solamente si la primera muestra arroja una calidad intermedia, será

requerirá la segunda muestra. Un plan típico de muestreo doble puede ser obtenido de la

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Military Standard Sampling Procedures and Tables for Inspection by Attributes, publicada

por el Departamento de Defensa y también usado por muchas industrias privadas. Al

probar la calidad de un lote consistente de 3,000 unidades manufacturadas, cuando el

número de defectos encontrados en la primera muestra de 80 unidades es de 5 o menos, el

lote es considerado bueno y es aceptado; si el número de defectos es 9 o más, el lote es

considerado pobre y es rechazado; si el número está entre 5 y 9, no puede llegarse a una

decisión y una segunda muestra de 80 unidades es extraída del lote. Si el número de

defectos en las dos muestras combinadas (incluyendo 80 + 80 = 160 unidades) es 12 o

menos, el lote es aceptado si el número combinado es 13 o más, el lote es rechazado.

Muestreo múltiple

El procedimiento bajo este método es similar al expuesto en el muestreo doble, excepto

que el número de muestras sucesivas requerido para llegar a una decisión es más de dos

muestras.

Métodos de muestreo clasificados de acuerdo con las maneras usadas en seleccionar los

elementos de una muestra.

Los elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras diferentes:

a. Basados en el juicio de una persona.

b. Selección aleatoria (al azar)

Muestreo de juicio

Una muestra es llamada muestra de juicio cuando sus elementos son seleccionados

mediante juicio personal. La persona que selecciona los elementos de la muestra,

usualmente es un experto en la medida dada. Una muestra de juicio es llamada una muestra

probabilística, puesto que este método está basado en los puntos de vista subjetivos de una

persona y la teoría de la probabilidad no puede ser empleada para medir el error de

muestreo, Las principales ventajas de una muestra de juicio son la facilidad de obtenerla y

que el costo usualmente es bajo.

Muestreo Aleatorio

Una muestra se dice que es extraída al azar cuando la manera de selección es tal, que cada

elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado. Una muestra

aleatoria es también llamada una muestra probabilística son generalmente preferidas por

los estadísticos porque la selección de las muestras es objetiva y el error muestral puede ser

medido en términos de probabilidad bajo la curva normal. Los tipos comunes de muestreo

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aleatorio son el muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y

muestreo de conglomerados.

A. Muestreo aleatorio simple

Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del

mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población. Para obtener

una muestra aleatoria simple, cada elemento en la población tenga la misma probabilidad

de ser seleccionado, el plan de muestreo puede no conducir a una muestra aleatoria simple.

Por conveniencia, este método pude ser reemplazado por una tabla de números aleatorios.

Cuando una población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la

población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es

imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son

necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son sistemático,

estratificado y de conglomerados.

B. Muestreo sistemático.

Una muestra sistemática es obtenida cuando los elementos son seleccionados en una

manera ordenada. La manera de la selección depende del número de elementos incluidos

en la población y el tamaño de la muestra. El número de elementos en la población es,

primero, dividido por el número deseado en la muestra. El cociente indicará si cada

décimo, cada onceavo, o cada centésimo elemento en la población va a ser seleccionado.

El primer elemento de la muestra es seleccionado al azar. Por lo tanto, una muestra

sistemática puede dar la misma precisión de estimación acerca de la población, que una

muestra aleatoria simple cuando los elementos en la población están ordenados al azar.

C. Muestreo Estratificado

Para obtener una muestra aleatoria estratificada, primero se divide la población en grupos,

llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un todo. Los elementos

de la muestra son entonces seleccionados al azar o por un método sistemático de cada

estrato. Las estimaciones de la población, basadas en la muestra estratificada, usualmente

tienen mayor precisión (o menor error muestral) que si la población entera muestreada

mediante muestreo aleatorio simple. El número de elementos seleccionado de cada estrato

puede ser proporcional o desproporcional al tamaño del estrato en relación con la

población.

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D. Muestreo de conglomerados.

Para obtener una muestra de conglomerados, primero dividir la población en grupos que

son convenientes para el muestreo. En seguida, seleccionar una porción de los grupos al

azar o por un método sistemático. Finalmente, tomar todos los elementos o parte de ellos al

azar o por un método sistemático de los grupos seleccionados para obtener una muestra.

Bajo este método, aunque no todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual

probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto la muestra es aleatoria.

Una muestra de conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral (por lo tanto,

da menor precisión de las estimaciones acerca de la población) que una muestra aleatoria

simple del mismo tamaño. Los elementos individuales dentro de cada "conglomerado"

tienden usualmente a ser iguales. Por ejemplo la gente rica puede vivir en el mismo barrio,

mientras que la gente pobre puede vivir en otra área. No todas las áreas son muestreadas en

un muestreo de áreas. La variación entre los elementos obtenidos de las áreas

seleccionadas es, por lo tanto, frecuentemente mayor que la obtenida si la población entera

es muestreada mediante muestreo aleatorio simple. Esta debilidad puede reducida cuando

se incrementa el tamaño de la muestra de área.

El incremento del tamaño de la muestra puede fácilmente ser hecho en muestra muestra de

área. Los entrevistadores no tienen que caminar demasiado lejos en una pequeña área para

entrevistar más familias. Por lo tanto, una muestra grande de área puede ser obtenida

dentro de un corto período de tiempo y a bajo costo.

Por otra parte, una muestra de conglomerados puede producir la misma precisión en la

estimación que una muestra aleatoria simple, si la variación de los elementos individuales

dentro de cada conglomerado es tan grande como la de la población.

DISEÑO DE CUESTIONARIOS

Supuestos.

El uso de cuestionarios en investigación supone que:

1. El investigador debe partir de objetivos de estudio perfectamente definidos.

2. Cada pregunta es de utilidad para el objetivo planteado por el trabajo.

3. El investigador debe estructurar las preguntas teniendo en mente siempre los

objetivos del trabajo.

4. El que contesta está dispuesto y es capaz de proporcionar respuestas fidedignas.

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Confiabilidad.

Una pregunta es confiable si significa lo mismo para todos los que la van a responder.

Se puede confiar en una escala cuando produce constantemente los mismos resultados al

aplicarla a sujetos similares. La confiabilidad implica consistencia.

El investigador debe asegurarse que el tipo de persona a quien se le van a hacer las

preguntas tenga la información necesaria para poder responder.

El asegurar la respuesta de los que se les aplique el cuestionario redundará en resultados

confiables.

Para la confiabilidad de los resultados hay que determinar por qué no todos respondieron el

cuestionario. Es necesario investigar con los no respondientes para conocer las razones.

Un cuestionario largo es demasiado cansado y las preguntas finales se responden sin

entusiasmo, lo cual le resta confiabilidad.

Validez.

Una pregunta es válida si estimula información exacta y relevante. La selección y

la redacción influyen en la validez de la pregunta.

Algunas preguntas que son válidas para un grupo de personas, pueden no serlo para otro

grupo.

Entre menos tenga que reflexionar el sujeto, más válida será la respuesta.

La validez implica congruencia en la manera de plantear las preguntas.

La validez puede ser

De contenido

De criterio

De constructo

Para decir que un instrumento tiene validez de contenido el diseñador del cuestionario debe

asegurarse que la medición representa el concepto medido. Por ejemplo, si el instrumento

es para medir actitudes de las personas, debe medir eso y no sus emociones.

En cuanto a la validez de criterio, el diseñador del cuestionario la puede establecer

comparando la medición del instrumento con un criterio externo. Entre más se relacionen

los resultados de la investigación con el criterio, mayor será la validez del instrumento.

La validez del constructo indica cómo una medición se relaciona con otras de acuerdo con

la teoría o hipótesis que concierne a los conceptos que se están midiendo. De ahí que sea

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importante que el investigador tome en cuenta dichos conceptos para correlacionarlos

posteriormente.

Cuatro preguntas clave.

1. ¿De cuánto tiempo disponen quienes responderán para contestar el cuestionario?

2. ¿Cuánto tiempo tiene el investigador para editarlo, presentarlo, aplicarlo,

codificarlo, procesarlo y analizarlo?

3. ¿Qué tan dispuestos están para responder quienes van a contestar?

4. ¿Cuánto costará su aplicación?

Antes de diseñar el cuestionario.

Es necesario determinar si el cuestionario tendrá preguntas abiertas o cerradas. Para el

análisis de las preguntas es mejor que éstas sean cerradas. Para cerrarlas, primero se deben

hacer las preguntas abiertas con una muestra de la población. Con estas respuestas, se

pueden diseñar las preguntas cerradas.

Es necesario estar seguros de que los encuestados respondan. Por eso es importante

conocer las opiniones de los posibles sujetos acerca del tema a investigar, antes de

diseñarlo.

El contacto inicial es fundamental para lograr que los encuestados respondan.

Hay que preparar una explicación para los encuestados sobre la importancia de su

participación y lo que se hará con los resultados de la investigación. En esta explicación se

les debe asegurar el anonimato de su participación y ofrecerles una copia del resumen del

trabajo cuando éste esté terminado (habrá que cumplir esta promesa).

No es conveniente mencionar que se está llevando a cabo este trabajo para cubrir un

requisito de graduación (tesis), sino la importancia real del estudio. Todo cuestionario debe

hacerse con ese propósito en mente.

El investigador tiene que pensar en cómo va a presentar los resultados antes de elaborar el

cuestionario. Hay que involucrar a alguien que sea responsable de capturar la información

de los cuestionarios así como a una persona que haga el procesamiento de los datos en

la computadora. Ellos pueden ayudar a determinar la mejor presentación de cada una de las

preguntas. Eso no lo va a hacer un asesor de tesis; es indispensable la ayuda profesional de

un experto en cómputo y en estadística.

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Diseño del cuestionario.

El título del trabajo debe estar al inicio del cuestionario.

Hay que incluir instrucciones breves, pero incluirlas. Es conveniente usar una tipografía

diferente a la de las preguntas.

Al inicio deben colocarse preguntas interesantes, no amenazantes.

Los puntos importantes deben ir cercanos al inicio del cuestionario, después de las

preguntas interesantes.

Hay que numerar las preguntas.

Es importante agrupar las preguntas en secciones lógicas.

Debe haber una categoría para cada posible respuesta, pues si se omite una opción, se

forzará al que responde a contestar de una manera que no refleje su respuesta. Por eso en

ocasiones se necesita abrir una opción de "otros" con un renglón amplio para dejar esa

parte de la pregunta abierta. También, a veces, es necesario incluir una opción de "no sé",

pues si no existe ésta, el sujeto puede seleccionar cualquier respuesta simplemente para no

dejarla en blanco.

Consejos sobre la presentación.

La apariencia física de un cuestionario es la imagen del investigador con el encuestado. Su

misma forma motiva o impide su lectura. En cuestionarios largos, hay que identificar cada

página con alguna marca por si se separan las hojas. Lo mejor es no hacer cuestionarios

largos. Si hay preguntas por ambos lados de la página, al final de la primera hoja se debe

poner "vuelta". La hoja no debe verse sobrecargada. Los espacios vacíos son agradables.

Hay que dejar suficiente espacio entre cada una de las preguntas.

Consejos sobre el lenguaje.

Una redacción pobre influye en el resultado y también en la calidad de la respuesta

obtenida.

El sujeto no debe tener que adivinar lo que se quiso preguntar. La pregunta debe estar

escrita en lenguaje claro.

La palabra cuestionario asusta o intimida al que va a responder. Encuesta es mejor.

Las preguntas deben estar redactadas para no ofender al sujeto.

23

Hay que utilizar lenguaje común y corriente. No especializado.

No deben usarse palabras vagas ni palabras ambiguas o que tengan varios significados.

Las preguntas no deben estar en negativo.

No se debe abreviar.

Hay que ser sutil para cambiar de una sección a otra.

La formulación correcta de una pregunta es una tarea muy difícil, mucho más de lo que

una persona que nunca ha diseñado un cuestionario puede imaginarse. Hay que hacerlo con

cuidado.

Consejos generales.

El contestar un cuestionario es una imposición para quien lo contesta. Hay que estar

conscientes de ello.

El uso de un cuestionario es únicamente para hacer preguntas que no se pueden obtener de

ninguna otra manera.

Lo que recuerda el sujeto no se debe considerar como un hecho. Puede ser muy diferente el

hecho a lo que recuerda la persona que está respondiendo.

Todas las preguntas en el cuestionario tienen que ser analizadas. Por eso hay que

seleccionar únicamente reactivos indispensables para obtener los objetivos del trabajo.

Es indispensable pilotear el cuestionario.

Se debe establecer el procedimiento de análisis y evaluación de los resultados antes de

llevar a cabo la encuesta. Así se sabrá cómo analizar las respuestas.

Vale la pena consultar a expertos en estadística y en procesamiento de datos antes de

aplicar un cuestionario.

Las posibles respuestas tienen que estar cerca de las preguntas. Esto evita confusiones.

El decidir utilizar un cuestionario obedece a los indicadores que el autor determine en sus

fundamentos teóricos. Analizar los indicadores puede ayudar al investigador a determinar

que el cuestionario no es el instrumento adecuado para el estudio que desea realizar.

En general a la gente en México no le gusta responder a cuestionarios.

24

Análisis de preguntas abiertas.

Para analizar las preguntas abiertas se anotará en una hoja (#1) la respuesta a la primera

pregunta abierta del primer cuestionario. Si la respuesta a la primera pregunta del segundo

cuestionario es similar, se anotará en la misma hoja (#1). Si es diferente se anotará en otra

hoja (#2). Si la respuesta a la primer pregunta del tercer cuestionario es semejante a la del

primer cuestionario se anotará en esa hoja (#1); si es similar a la del segundo cuestionario

se anotará en esa hoja (#2) y si es diferente a ambas respuestas se anotará en una tercera

hoja (#3) y así sucesivamente hasta terminar con la primera pregunta de todos los

cuestionarios. Una vez terminado el análisis de la primera pregunta de todos los

cuestionarios, se seleccionará la mejor redactada o bien se hará un resumen de todas las

respuestas en cada una de las tarjetas y se anotará el número de respuestas a cada tarjeta.

Posteriormente se hará lo mismo con cada una de las preguntas abiertas que se hayan

hecho en el cuestionario.

Análisis de los resultados.

Es necesario una revisión detallada de lo que se introduce a la computadora para asegurar

que la información que entre a ella sea la que está plasmada en el cuestionario. Hay que

revisar la información capturada con cada cuestionario. No se debe esperar hasta el final,

pues pudiera suceder que es necesario hacer todo de nuevo.

Algunos consejos para entrevistas.

Si la entrevista es en una oficina, es necesario asegurarse que el entrevistado estará

disponible y que tiene el tiempo para responder a las preguntas.

El entrevistador tiene que ser muy objetivo en sus presentaciones para que en todas se

utilice el mismo tono de voz, pronunciación de los reactivos, modismos, el lenguaje del

cuerpo y vestimenta. Todo esto influye en las respuestas y se trata de que todos los

entrevistados entiendan lo mismo y estén motivados de la misma manera.

El entrevistar en la casa del sujeto a veces resulta práctico para el entrevistado. Quizá a

través de una llamada por teléfono, se pueda hacer una cita con él.

Hay tres factores importantes en una entrevista:

25

1. La calidad del entrevistador. Hay que aprender a establecer un contacto positivo desde

el primer momento. Hay cosas impredecibles que afectarán sin que el entrevistador

pueda remediarlas: la edad, el sexo, su manera de vestir y su personalidad. Ni modo. Por

eso hay que cuidar todo lo demás.

2. La introducción que hace el entrevistador al entrevistado. Le tiene que indicar el

objetivo del estudio y debe convencerlo de que vale la pena responder a sus preguntas.

3. La manera como está estructurada la entrevista. Hay que iniciar con preguntas

interesantes para "enganchar" al entrevistado.

26

UNIDAD III: Tablas de frecuencia, gráficos. Medidas de Tendencia Central. Medidas

de Posición. Medidas de Dispersión. Asimetría y Kurtosis.

Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla

de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencia

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un

estudio estadístico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa

por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que

se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y

el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

27

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores

inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un

determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Ejemplo para variables cuantitativas discretas.

Si se conoce el número de hijos de 31 trabajadores de una empresa:

0, 7, 4, 4, 6, 4, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 3, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la

segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento fi Fi ni Ni ni% Ni%

0 I 1 1 0.032 0.032 3.2 3.2

1 II 2 3 0.065 0.097 6.5 9.7

2

6 9 0.194 0.290 19.4 29.0

3

7 16 0.226 0.516 22.6 51.6

4

8 24 0.258 0.774 25.8 77.4

5 III 3 27 0.097 0.871 9.7 87.1

6 III 3 30 0.097 0.968 9.7 96.8

7 I 1 31 0.032 1 3.2 100.0

Total 31 - 1 - 100.0 -

28

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las

variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A

cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la clase

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el

intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados.

1º se localizan los valores menor y mayor de la distribución.

R = número máximo – número menor

2º Encontrar el número de clases o intervalos de clases (K). El número de clases debe ser

tal que se evite el detalle innecesario, pero que no conduzca a la perdida de más

información de la que puede ser convenientemente ignorada. Para este cálculo se utiliza la

formula de Sturges:

K = 1 + 3.322log(n)

2º Determinar la amplitud o constante.

C = R /K

Ejemplo para variables cuantitativas continuas

La tienda CABRERA’S Y ASOCIADOS estaba interesada en efectuar un análisis de sus

cuentas por comprar. Uno de los factores que más interesaba a la administración de la

tienda era el de los saldos de las cuentas de crédito. Se escogió al azar una muestra

aleatoria de 30 cuentas y se anotó el saldo de cada cuenta (en unidades monetarias) como

sigue:

29

77.97 13.02 17.97 89.19 12.18 8.15 34.40 43.13 79.61 90.99 43.66 29.75 7.42 93.91 20.64

21.10 17.64 81.59 60.94 43.97 32.67 43.66 51.69 53.40 68.13 11.10 12.98 38.74 70.15

25.68

donde: X1 = valor mínimo = 7.42

Xn= valor máximo = 93.91

1. Efectuar el arreglo ordenado de la población o muestra:

R = valor mayor – valor menor = 93.91 – 7.42 = 86.49

2. Encontrar el número de filas o clases que tendrá la tabla

K=1+3.322(log N)

Nota: en el ejemplo en estudio N=30 por cuanto que son 30 clientes en la muestra:

K = 1 + 3.322 (log 30)

= 1 + 3.322 (1.477) el log fue obtenido según calculadora

= 1+ 4.9069

= 5.9069 ~6 aproximado al siguiente entero

3. Determinar la amplitud de la clase: "C"

Nota: obsérvese que se va a trabajar con una cifra significativa más cómoda, o sea como

los datos están dados en centésimos, se calculo C hasta el milésimo para evitar que algún

dato coincida con el límite de clases

30

Clases Xi fi Fi< Fi> ni Ni ni% Ni%

7.420 – 21.835 14.628 10 10 30 0.33 0.33 33.0 33.0

21.835 – 36.250 29.043 4 14 20 0.13 0.46 13.0 46.0

36.250 – 50.665 43.458 5 19 16 0.17 0.63 17.0 63.0

50.665 – 65.080 57.873 3 22 11 0.10 0.73 10.0 73.0

65.080 – 79.495 72.288 3 25 8 0.10 0.83 10.0 83.0

79.495 – 93.910 86.703 5 30 5 0.17 1.00 17.0 100.0

Total - 30 - - 1.00

100.0 -

Simbología utilizada:

Xi = Punto medio o marca de clases.

fi = frecuencia absoluta simple.

Fi> = frecuencia absoluta acumulada mayor que.

Fi< = frecuencia absoluta acumulada menor que.

ni = frecuencia relativa simple.

Ni = frecuencia relativa acumulada.

ni% = frecuencia relativa simple porcentual.

Ni% = frecuencia relativa acumulada porcentual.

Tipos de curvas de frecuencia

31

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son indicadores estadísticos quemuestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos.

Entre las principales medidas tenemos:

La media aritmética

La moda

La mediana

Media Aritmética

Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable

por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de

datos dividida por el número total de dichos datos. Y se calcula con el fin de representar al

conjunto de datos.

Para datos desagrupados:

X = ∑ Xi / n

Para datos agrupados:

X = ∑( Xi*fi) / n

Mediana

Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor

o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante

corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.

Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente.

Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores

antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.

Para datos desagrupados

Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:

- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de

dicho conjunto de datos.

- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos

valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Para datos agrupados

32

Me = Li + ( C (n/2 - Fi – 1) / (Fi - Fi – 1) )

Donde:

n = muestra

F(i – 1) = frecuencia acumulada “menor que” anterior a la clase seleccioanada.

Fi = frecuencia acumulada seleccionada (inmediatamente superior a n/2)

Moda

Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o

sea, cual se repite más.

Para datos desagrupados: la moda es el dato que se repite con mayor frecuencia. Se tiene 4

tipos:

- Unimodal (una moda)

- Bimodal (dos modas)

- Trimodal (tres modas)

- Multimodal (mas de tres modas)

Para datos agrupados

Mo = Li + C (fi – 1 / (fi – 1 + fi + 1 ) )

Medidas de Posición

Cuartiles

Los cuartiles son medidas estadísticas de posición que tienen la propiedad de dividir la

serie estadística en cuatro grupos de números iguales de términos.

Se emplean generalmente en la determinación de estratos o grupos correspondientes a

fenómenos socio-económicos, monetarios o teóricos. Los tres cuartiles suelen designarse

con los símbolos:

Q1 = primer cuartil

Q2 = segundo cuartil

Q3 = tercer cuartil

33

En lo que se refiere a los cuartiles, el número de orden del primer cuartil es igual al número

de términos de la distribución más uno, sobre cuatro. Para el segundo cuartil el número de

orden se calculará sumando uno al total de términos y dividiéndolo entre dos.

Así mismo el número de orden del tercer cuartil ser igual a tres cuartos del número de

términos de la distribución más uno.

Para datos Desagrupados

a) Si se adopta el símbolo No Q para denotar el número de orden, donde: No es el

número de términos y Q el cuartil a calcular, entonces en el ejemplo cuyos

términos son: 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, que es número de términos impar, el número de

orden se calcula así:

NoQ1 = (N + 1) / 4 = (7+1)/4 = 2, el cual indica que el valor jdel segundo término (4)

es el valor de Q1, luego Q1 =4

NoQ2 = (N + 1) / 2 = (7+1)/2 = 4, el cual indica que el valor del cuarto término (7) es

el valor de Q2 , y Q2=7

NoQ3 = 3(N + 1) / 4 = 3(7+1)/4 = 6, que indica que el valor del sexto término (10) es

el valor de Q3 , y Q3 = 10

b) Cuando el número de términos es par como la distribución constituida por: 3, 4, 5,

7, 9, 10, 11, 14

NoQ1 = (No + 1) / 4 = (8+1)/4 = 2.25, luego Q1 =4.25

NoQ2 = (No + 1) / 2 = (8+1)/2 = 4.5, luego Q2 =8

NoQ3 = 3(No + 1) / 4 = 3(8+1)/4 = 6.75, luego Q3 =10.75

Para datos Agrupados

Qi = Li + [C ( i(N + 1) / 4 - Fi – 1) / (Fi - Fi – 1) ]

Donde: i=1, 2, 3

n = muestra

F(i – 1) = frecuencia acumulada “menor que” anterior a la clase seleccioanada.

Fi = frecuencia acumulada seleccionada inmediatamente superior a (i(N+1)/4)

34

Deciles

Los deciles son medidas estadísticas de posición que tienen la propiedad de dividir la

serie estadística en diez grupos de números iguales de términos. D1, D2,…..D9.

Para el cálculo de estas nueve medidas de posición es necesario arreglar los términos

en forma creciente o decreciente. Así, en el caso de un ordenamiento simple, el

siguiente paso es determinar el "número de orden" de los deciles, el cual indicará el

lugar que ocupen en la distribución.

Para datos desagrupados

NoDi = i (No + 1) / 10 donde i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Para datos Agrupados

Di = Li + [C ( i(N + 1) 10 - Fi – 1) / (Fi - Fi – 1) ]

Donde: i=1, 2, 3

n = muestra

F(i – 1) = frecuencia acumulada “menor que” anterior a la clase seleccioanada.

Fi =frecuencia acumulada seleccionada inmediatamente superior a (i(N+1)/10)

Percentiles

Los Percentiles son medidas estadísticas de posición que tienen la propiedad de dividir

la serie estadística en cien grupos de números iguales de términos. P1, P2,…..P99.

Para el cálculo de estas noventainueve medidas de posición es necesario arreglar los

términos en forma creciente o decreciente. Así, en el caso de un ordenamiento simple,

el siguiente paso es determinar el "número de orden" de los percentiles, el cual indicará

el lugar que ocupen en la distribución.

Para datos desagrupados

NoPi = i (No + 1) / 100 donde i=1, 2, 3, 4, 5,……99

Para datos Agrupados

Pi = Li + [C ( i(N + 1) 100 - Fi – 1) / (Fi - Fi – 1) ]

Donde: i=1, 2, 3, ….99

n = muestra

F(i – 1) = frecuencia acumulada “menor que” anterior a la clase seleccioanada.

Fi =frecuencia acumulada seleccionada inmediatamente superior a (i(N+1)/100).

35

Medidas de Asimetría

1) Las basadas en el grado de alejamiento que tiene los términos con respecto a diversas

medidas centrales a medida que la distribución se hace asimétrica.

2) Las basadas en el sistema de momentos (A3 ).

En lo que se refiere a las primeras, estas medidas nos indican no sólo el grado de asimetría

de la curva sino también la dirección de la misma. Si su valor es negativo, la asimetría es

hacia la izquierda y si es positiva la asimetría será hacia la derecha. De (1) usaremos el

coeficiente Pearson, como se recordará en una distribución simétrica la media, moda y

mediana, se encuentran en el mismo punto. Si la distribución es asimétrica, el valor de cada

uno de ellos se localizan en diferentes puntos de la distribución.

Puesto que en una distribución asimétrica el valor de la moda permanece en lo alto de la

curva y el de la media se mueve hacia los extremos de la distribución, usando el coeficente

Pearson tendremos que:

Asimetría = (X−Mo) / σ

Cuando no se conoce la moda o es difícil localizarla, pero se conoce la mediana, el

coeficiente de Pearson será:

Asimetría = 3(X−Md) / σ

Luego la asimetría o dirección de la curva de la distribución es a la derecha (si asimetría <

0), indicando que la mayor parte de los datos están a la derecha del promedio. Y hacia la

izquierda si la asimetría es > 0.

Medidas de Kurtosis

Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región

central de la distribución. Por medio del Coficiente de Curtosis, podemos identificar si

36

existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal

(Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).

Donde (g2) representa el coeficiente de Curtosis, (Xi) cada uno de los valores, ( ) la

media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta fórmula se

interpretan:

(g2 = 0) la distribución es Mesocúrtica: Al igual que en la asimetría es bastante

difícil encontrar un coeficiente de Curtosis de cero (0), por lo que se suelen aceptar

los valores cercanos (± 0.5 aprox.).

(g2 > 0) la distribución es Leptocúrtica

(g2 < 0) la distribución es Platicúrtica

Medidas de dispersión

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución

estadística.

R = N° máx. - N° mín.

37

Desviación Media

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable

estadística y la media aritmética.

Di = x – x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones

respecto a la media. La desviación media se representa por

Para datos desagrupados:

Para datos agrupados seria:

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la

media de una distribución estadística. La varianza se representa por .

38

Para datos desagrupados:

Una forma mas simple

Para datos agrupados:

Una forma mas simple

Desviación Estándar:

Es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados

de las puntuaciones de desviación. Y mide la distancia promedio entre los datos.

σ = Ѵ σ2

Coeficiente de Variación de Pearson:

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor

representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de

tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de

39

dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la

distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas,

que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán

comparar varias muestras.

El problema de las medidas de dispersión absolutas es que normalmente son un indicador

que nos da problemas a la hora de comparar. Comparar muestras de variables que entre sí

no tienen cantidades en las mismas unidades, de ahí que en ocasiones se recurra a medidas

de dispersión relativas.

Un problema que se plantea, tanto la varianza como la desviación estándar, especialmente

a efectos de comparaciones entre distribuciones, es el de la dependencia respecto a las

unidades de medida de la variable. Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de

dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son

iguales se utiliza el llamado "Coeficiente de Variación de Pearson", del que se demuestra

que nos da un número independiente de las unidades de medidas empleadas, por lo que

entre dos distribuciones dadas diremos que posee menor dispersión aquella cuyo

coeficiente de variación sea menor., y que se define como la relación por cociente entre la

desviación estándar y la media aritmética; o en otras palabras es la desviación estándar

expresada como porcentaje de la media aritmética.

Definición del Coeficiente de Variación

Donde: C.V. representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media

aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la

representatividad de la media.

Propiedades del Coeficiente de Variación:

Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante el coeficiente

de variación queda alterado.

40

UNIDAD III: REGRESIONES Y CORRELACIONES

La regresión como una técnica estadística, una de ellas la regresión lineal simple y la

regresión multifactorial, analiza la relación de dos o mas variables continuas, cuando

analiza las dos variables a esta se le conoce como variable bivariante que puede

corresponder a variables cualitativas, la regresión nos permite el cambio en una de las

variables llamadas respuesta y que corresponde a otra conocida como variable explicativa,

la regresión es una técnica utilizada para inferir datos a partir de otros y hallar una

respuesta de lo que puede suceder.

Siendo así la regresión una técnica estadística, por lo tanto para interpretar situaciones

reales, pero a veces se manipula de mala manera por lo que es necesario realizar una

selección adecuada de las variables que van a construir las formulas matemática, que

representen a la regresión, por eso hay que tomar en cuenta variables que tiene relación, de

lo contraria se estaría matematizando un galimatías.

Se pueden encontrar varios tipos de regresión, por ejemplo:

1. Regresión lineal simple

2. Regresión múltiple ( varias variables)

3. Regresión logística

La regresión lineal técnica que usa variables aleatorias, continuas se diferencia del otro

método analítica que es la correlación, porque esta última no distingue entre las variables

respuesta y la variable explicativa por que las trata en forma simétrica.

La matematización nos da ecuaciones para manipular los datos, como por ejemplo medir el

gasto de acuerdo al ingreso económico promedio anual de una familia, aquí podemos

inferir o predecir que el gasto variará de acuerdo al nivel de ingreso de cada familia, en

este ejercicio el gasto es la respuesta y el ingreso económico la variable explicativa.

En la regresión tenemos ecuaciones que nos representan las diferentes clases de regresión:

Regresión Lineal: y = A + Bx

Regresión Logarítmica: y = A + BLn(x)

Regresión Exponencial: y = Ac(bx)

Regresión Cuadrática: y = A + Bx +Cx2

Para obtener un modelo de regresión es suficiente establecer la regresión para eso se hace

uso del coeficiente de correlación: R.

41

R = Coeficiente de correlación, este método mide el grado de relación existente entre dos

variables, el valor de R varía de -1 a 1, pero en la práctica se traba con un valor absoluto de

R.

El valor del coeficiente de relación se interpreta de modo que a media que R se aproxima a

1, es más grande la relación entre los datos, por lo tanto R (coeficiente de correlación)

mide la aproximación entre las variables.

El coeficiente de correlación se puede clasificar de la siguiente manera:

CORRELACIÒN VALOR O RANGO

1) Perfecta R = 1

2) Excelente R = 0.9 < = R < 1

3) Buena R = 0.8 < = R < 0.9

4) Regular R = 0.5 < = R < 0.8

5) Mala R < 0.5

DISTRIBUCIÒN BIVARIANTE

La distribución bivariante es cuando se estudia en una población dos variables, que forman

pares correspondientes a cada individuo, como por Ejm:

Las notas de 10 alumnos en biología y lenguaje

BIOLOGIA 2 4 5 5 6 6 7 7 8 9

LENGUAJE 2 2 5 5 5 7 5 8 7 10

Los pares de valores son: ( 2, 2) (4,2) (5,5)…….(8,7) (9,10) forman una distribución

bivariante.

La correlación, método por el cual se relacionan dos variables se pude graficar con un

diagrama de dispersión de puntos, a la cual muchos autores le llaman nubes de puntos,

encuadrado dentro de un gráfico de coordenadas X Y en la cual se pude trazar una recta y

cuyos puntos mas cercanos de una recta hablaran de una correlación mas fuerte, ha esta

recta se le denomina recta de regresión, que puede ser positiva o negativa, la primera

contundencia a aumentar y la segunda en descenso o decreciente.

42

También se puede describir un diagrama de dispersión en coordenadas cartesianas valores

como en la distribución bivariante, en donde la nube de puntos representa los pares de

valores.

GRAFICOS DE DISPERSIÓN DE UNA RECTA DE REGRESIÒN

Por último se pueden graficar las líneas de tendencia, herramienta muy útil para el

mercadeo porque es utilizada para evaluar la resistencia que proyectan los precios. Cuando

una línea de tendencia central se rompe ya sea con tendencia al alza o en la baja es porque

ocurre un cambio en los precios, por lo tanto las líneas de tendencia pueden ser alcista

cuando se unen los puntos sucesivos y bajista cuando se unen los puntos máximos.

También existen gráficos que representan la dispersión de datos dentro de las coordenadas

cartesianas, ósea las nubes de puntos y que pueden darse según la relación que representa,

que puede ser lineal, exponencial y sin relación, esta última cuando los puntos están

dispersos en todo el cuadro sin agruparse lo cual sugiere que no hay relación.

43

Los gráficos siguientes nos muestran esta relación:

Matemáticamente las ecuaciones serían:

Ajuste Lineal: Y = Bx + A

Ajuste Logarítmico: Y =BLnX + A

Ajuste Exponencial: Y = AC BX

En el modelo de regresión lineal simple se utiliza la técnica de estimación de los mínimos

cuadrados, este modelo tiene solo una variable de predicción y se supone una ecuación de

regresión lineal.

Es evidente que no todos dibujaríamos exactamente la misma recta para una nube de

puntos, aunque la correlación fuera bastante fuerte.

De todas las rectas posibles los matemáticos han elegido como la mejor aproximación la

llamada de los mínimos cuadráticos, Su cálculo es también algo mecánico que podemos

hacer con calculadora o un ordenador. En el siguiente apartado encontrarás un ejercicio

para estudiar sus propiedades.

La recta de regresión sirve para hacer estimaciones, teniendo en cuenta que:

Los valores obtenidos son aproximaciones en términos de probabilidad: es probable

que el valor correspondiente a x0 sea y0.

La fiabilidad es mayor cuanto más fuerte sea la correlación.

La fiabilidad aumenta al aumentar el número de datos.

La estimación es más fiable para los valores de x próximos a la media.

44

EPILOGO

Mientras elaborábamos este texto, se nos vino a la mente muchas técnicas, ecuaciones

diagramas y conteos que servirán a muchos estudiantes e investigadores de la rama

empresarial para solucionar los problemas económicos y administrativos, utilizando estas

herramientas presentadas de una manera bastante didáctica y sencilla de entender y aplicar,

Otras técnicas que bien existen, pero cuyo desarrollo es un poco complicado para quienes

no tienen mucha familiaridad con las matemáticas se ha reemplazado por otras mas

sencillas de aplicar en este campo.

Finalmente si este texto contribuyó un ápice en dar a algún investigador una visión mas

amplia de la aplicación de la estadística en la rama empresarial, nos damos por satisfechos.

45

GLOSARIO DE TÉRMINOS

SÍMBOLO SIGNIFICA SE DICE

x media aritmética x barra

σ Error estándar poblacional Sigma

σx Error estándar de la media Sigma subíndice x

Dx Desviación media D subíndice x

46

Bibliografía

1 ANDERSON S. Williams. Estadística para administración y economía. Internacional

Thomson editores. Volumen I y II Séptima Edición 2005.

2 DEVORE, Jay. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Y

CIENCIAS. 4º Edición. Internacional Thomson Publishing 2002.

3 LIND MASON MARCHAL. Estadistica para administradores y economia. Mc. Draw

Hill tercera edición 2001.

4 BERESON, Mark./ LEVINE, Dadid. Estadística básica en administración: conceptos y

aplicaciones. Sexta edición. Editorial Prentice Hall México 2000.

4 CORDOVA Zamora Manuel. Estadística Descriptiva e Inferencial. Cuarta Edición.

Editorial Moshera RL. Lima Perú 2000.

5 STEVENSON William. ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA.

ED HARLA – MÉXICO 2000.

6 GUERRERO G. VIERE M. Estadística para estudiantes de economía y otras ciencias

sociales. Primera Edición fondo de cultura económica. México 1989.

7 HOEL Paúl G. Estadística básica para negocios y economía. Tercera edición. Editorial

continental. México 1999.

8 Levin, Richard I.: “Estadística para Administradores”. Sexta Edición. Prentice – Hall

Hispanoamericana S.A. México 1996.

47

APENDICE

EJERCICICOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA

Ejemplo1:

Suponga que un investigador desea determinar cómo varía el peso de un grupo de

estudiantes de primer semestre de una universidad. Selecciona una muestra de 50

estudiantes y registra sus pesos en kilogramos. Los datos obtenidos fueron los

siguientes:

65 63 65 63 69 67 53 58 60 61

64 65 64 72 68 66 55 57 60 62

64 65 64 71 68 66 56 59 61 62

63 65 63 70 67 66 57 59 61 62

64 64 63 69 67 66 58 60 61 62

Para determinar el número de veces que aparece cada dato (frecuencia absoluta), se

utiliza el diagrama de tallo y hojas. Se traza una línea y a la izquierda se escriben las

cifras anteriores a las unidades que tengan los datos, a la derecha de la línea se

escriben la cifra de las unidades para cada uno de los datos. Este diagrama facilita

determinar la cantidad de veces que se repite un dato y los valores de los datos con el

fin de escribirlos de manera ordenada en la tabla.

48

Luego, se organiza la información en la tabla, de la siguiente manera:

Para construir la tabla de datos no agrupados se debe calcular primero lo siguiente:

Al construir la tabla de datos agrupados con la información del ejemplo, se tiene:

Tabla de datos agrupados

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

absoluta

acumulada

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa

acumulada

Pesos (Kg) f i F i h i H i

53 - 55 2 2 4,00% 4,00%

56 - 58 5 7 10,00% 14,00%

59 - 61 9 16 18,00% 32,00%

62 - 64 15 31 30,00% 62,00%

65 - 67 12 43 24,00% 86,00%

68 - 70 5 48 10,00% 96,00%

71 - 73 2 50 4,00% 100,00%

50 100,00%

Para esta tabla también se pueden hacer histogramas o diagramas de barras y circulares.

49

Ejemplo2:

Si los datos están agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de

clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadígrafos.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Consideremos la siguiente distribución de frecuencias que corresponden a los puntajes de

50 alumnos en una prueba.

Intervalos M.C.

(x) fi f·x Fa

[60 – 65) 62,5 5 312.5 5

[65 – 70) 67,5 5 337.5 10

[70 – 75) 72,5 8 580 18

[75 – 80) 77,5 12 930 30 Intervalo mediano

[80 – 85) 82,5 16 1320 46 Intervalo modal

[85 – 90) 87,5 4 350 50

TOTALES 50 3830

La Media Aritmética:

f

xfx

· 6.76

50

3830x ptos. 77 ptos.

Para calcular La Mediana necesitamos la siguiente fórmula:

i

a

f

AFn

LMe

·2

en el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50 : 2 = 25, y la Fa 25 se encuentra en el

intervalo [75 – 80) ya que el 25 esta aquí, en cambio en la anterior (18) no esta. Luego el

intervalo mediano es [75 – 80)

Entonces: L = 75 (límite inferior)

fi = 8

A = 5 (80 – 75 = 5)

Fa = 18 (frecuencia acumulada del intervalo anterior)

Donde: L es el límite inferior del intervalo mediano.

Fa es la frecuencia acumulada hasta antes del

intervalo mediano.

fi es la frecuencia absoluta del intervalo

mediano.

A es la Amplitud del intervalo.

50

375.79375.4758

5·775

8

5·182

50

75

Me 79 ptos.

y finalmente, para calcular la Moda en datos agrupados, utilizamos la siguiente fórmula,

teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y esta es la

Frecuencia Modal.

Add

dLMo ·

21

1

L = 80 (intervalo modal [80 – 85), ya que la frecuencia es 16, que es la mayor)

d1= 16 – 12 = 4 (diferencia con la frecuencia anterior)

d2= 16 – 4 = 12 (diferencia con la frecuencia siguiente)

A = 5

Luego, 25,8116

20 80 5 ·

124

480

Mo puntos. 81 puntos.

Se estima que el valor más repetido de los puntajes de esta prueba fue el 81.

L: Límite real inferior de la clase modal.

d1: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia

anterior.

d2: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia

siguiente.

A: amplitud del intervalo

51

Ejemplo3: Cálculos de estadígrafos (Medidas de posición)

Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de

alumnos (lección 2ª). Los deciles y centiles se calculan de igual manera, aunque haría falta

distribuciones con mayor número de datos.

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas

(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada

X x x x x

1,20 1 1 3,3% 3,3%

1,21 4 5 13,3% 16,6%

1,22 4 9 13,3% 30,0%

1,23 2 11 6,6% 36,6%

1,24 1 12 3,3% 40,0%

1,25 2 14 6,6% 46,6%

1,26 3 17 10,0% 56,6%

1,27 3 20 10,0% 66,6%

1,28 4 24 13,3% 80,0%

1,29 3 27 10,0% 90,0%

1,30 3 30 10,0% 100,0%

1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa el 25% de la

frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa

acumulada).

2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º cuartil se situa

otro 25% de la frecuencia.

3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa

otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25%

de la frecuencia.

Atención: cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido más de una vez (como

ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posición no central sería realmente

una de las repeticiones.

52

Ejemplo 4: Coeficiente de Asimetría de Fisher

g

x x n

ns

m

s

i

i

i

1

3

3

3

3

Sí la distribución es simétrica en el denominador tendremos el mismo número de desviaciones positivas como negativas y por tanto g1 = 0.

Si g1>0 la distribución es asimétrica positiva o asimétrica a derechas. Si g1<0

la distribución es asimétrica negativa o asimétrica a izquierdas.

Elemplo :

xi ni xi-x (xi-x)3 ni(xi-x)

3

0 2 -2.52 -16.003 -32.006

l 4 -1.52 -3.512 -14.047

2 21 -0.52 -0.141 -2.953

3 15 0.48 0.11 1.658

4 6 1.48 3.242 19.451

5 1 2.48 15.253 15.253

6 1 3.48 42.144 42.144

29.5

g

x x n

ns

i

i

i

1

3

3

0.42 >0 luego asimétrica positiva.

Ejemplo 5: Coeficiente de Asimetría de Pearson

Es mucho más fácil de calcular que el anterior pero sólo es aplicable a aquellas distribuciones que tienen una sola moda y cuya distribución tiene forma de campana. Se define:

Ax M

ss

o

Si la distribución es simétrica x=Me y por tanto As=0. Si As>0 la distribución es asimétrica positiva. Si As<0 la distribución es asimétrica negativa. Ejemplo : As = (2.52-2)/1.12=0.46 COEFICIENTE DE APUNTAMIENTO DE FISHER. Se define como:

53

g

x x n

ns

m

s

i

i

i

2

4

4

4

43 3

si g2>0 leptocúrtica.

si g2<0 platicúrtica.

si g2=0 mesocúrtica o normal.

Ejemplo:

xi ni xi-x (xi-x)4 ni(xi-x)

4

0 2 -2.52 40.327 80.655

1 4 -1.52 3.512 14.047

2 21 -0.52 0.141 2.953

3 15 0.48 0.11 1.658

4 6 1.48 3.242 19.451

5 1 2.48 15.253 15.253

6 1 3.48 42.144 42.144

127.512

g

x x n

ns

i

i

i

2

4

43

=1.815>0 leptocúrtica.

Ejemplo 6: Coeficiente de Asimetría y Apuntamiento

Ejemplo: La distribución de las acciones de una empresa entre sus propietarios está

dada por la siguiente tabla, estudiar la simetría y el apuntamiento de esta distribución.

Acciones ix in ii nx ii nx 2 ih Xxi ii nXx 4)(

0-4 2 2 4 8 0,5 -20,7 367207

4- 10 7 5 35 245 0,83 -15,7 303787

10-16 13 8 104 1352 1,33 -9,7 70823

16-20 18 15 270 4860 3,75 -4,7 7320

20-24 22 30 660 14520 7,5 -0,7 7

24-32 28 16 448 12544 2 5,3 12625

32-36 34 7 238 8092 1,75 11,3 114133

36-42 39 6 234 9126 1 16,3 423547

42-60 51 1 51 2601 0,06 28,3 641425

TOTAL 90 2044 53348 1940874

7,2290

2044X

de donde:

54

77,896,76

96,7679,51575,59290

2044

90

53348

4,214·75,32

220

2

2

S

S

M o

Como se trata de una distribución en forma de campana, con una sola moda,

calcularíamos el coeficiente de asimetría de Pearson:

15,077,8

14,217,22

As

Se trata, pues de una distribución que presenta una asimetría por la derecha.

Para averiguar el tipo de apuntamiento vamos a calcular el coeficiente de

aplastamiento de Fisher:

3·

1 1

4

4

N

nXx

SAp

n

i

ii

= 6,0390

1940874·

77,8

14

Se trata de un una distribución de tipo leptocúrtico, esto quiere decir que una

gran cantidad de datos se agrupan alrededor de la media.

Ejemplo 7: Regresión lineal

A partir de las siguientes observaciones para 5 años de las variables X e Y, ajústese el

modelo de regresión de Y en función de X más idóneo.

Donde,

Y: producción nacional de un subsector industrial, en millones de toneladas.

X: tiempo

Año X Y

1995 1 1,25

1996 2 5

1997 3 11,25

1998 4 20

1999 5 30,5

55

1.- Ajuste de una función lineal: Y* = a + b X

X Y X2

XY Y2

Y* e=Y-Y

* e

2

1 1,25 1 1,25 1,56 -1,1 2,35 5,5225

2 5 4 10 25 6,25 -1,25 1,5625

3 11,25 9 33,75 126,56 13,6 -2,35 5,5225

4 20 16 80 400 20,95 -0,95 0,9025

5 30,5 25 152,5 930,25 28,3 2,2 4,84

15 68 55 277,5 1483,3 68 0 18,35

1/5 3 13,6 11 55,5 296,67 13,6 0 3,67

7,352

14,7

311

13,6)(3-55,5

XX1/5

Y X-XY1/5

S

S b

2222

X

XY

8,45- 37,35 -13,6 X b-Ya

Y* = -8,45 + 7,35 X

Bondad del Ajuste:

Coeficiente de determinación: R2 = 2

XYr = 0,9671 111,715

3,67 -1

S

S-1

S

S

2

Y

2

2

Y

2

Y e*

111,715 13,6 - 296,675 YY1/5 S 2222

Y

3,67N

eECM S

2

1

2

e

Ejemplo 8: Diagrama de caja y bigotes

Para la siguiente muestra de 36 datos (ordenados de menor a mayor), construir el diagrama

de caja y bigotes:

128-129-134-137-147-147-148-149-150-150-156-156-157-158-158-159-160-162

167-169-177-177-179-185-186-190-198-203-209-210-220-230-250-255-270-290

Calculados los valores correspondientes:

Media = 179,17 Mediana = 164,50 Desviación típica = 40,324 Rango = 162

Máximo = 128

56

Mínimo = 128 Cuartil 1º = 150 Cuartil 2º = 201,75 Rango intercuartilico = 51,75

Repasemos el cálculo de los valores que vamos a usar en la construcción del

diagrama:

- La caja queda delimitada por 75,201150 31 QyQ . La mediana es 50,164eM

- El rango intercuartilico es 75,5113 QQQ . Así pues 625,775,1 Q

- El bigote de la izquierda llega hasta

128)375,72128()5,1( 1min yMaxQQyXMax

- El bigote de la derecha llega

375,279)375,279290()5,1( 3max yMinQQyXMin

128 150 164,5 201,75 279,35 Outlier

(290)

*

Xmin Q1 Me Q3 Xmax

En este diagrama se puede observar entre otras cosas:

- El valor 290 es un outlier y habría que estudiarlo por separado.

- El bigote de la izquierda es mas corto que el de la derecha. Esto se interpreta diciendo

que la cuarta parte de los niveles mas bajos de la variable en estudio están más

concentrados que la cuarta parte de los niveles mas altos.

- La parte izquierda de la caja (niveles entre 150 y 164,5) es menor que la parte derecha

niveles entre (164,5 y 201,75). Diremos que los niveles de la variable en estudio

comprendidos entre el 25% y el 50% están más concentrados que los comprendidos

entre el 50% y el 75%.

- La distribución tiene una asimetría positiva o a la derecha.

57

Ejemplo 9: Regresión no lineal

Ajuste de una función parabólica: Y* = a + b X + c X

2

X Y X2

X3 X

4 XY X

2Y Y

* e=Y-

Y*

e2

1 1,25 1 1 1 1,25 1,25 1,18 0,07 0,0049

2 5 4 8 16 10 20 5,11 -0,11 0,0121

3 11,25 9 27 81 33,75 101,5 11,32 -0,07 0,0049

4 20 16 64 256 80 320 19,81 0,19 0,0361

5 30,5 25 125 625 152,5 762,5 30,58 -0,08 0,0064

15 68 55 225 979 277,5 1205 68 0 0,0644

1/5 3 13,6 11 55,5 13,6 0 0,0128

Aplicando el método de los mínimos cuadrados se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones:

979c225b55a1205

225c55b15a277,5

55c15b5a 68

X cXb XaYX

X cXb XaXY

Xc X b Na Y

4322

32

2

Resolviendo este sistema se obtiene: a= -0,47 b= 0,51 c= 1,14

Y* = -0,47 + 0,51 X + 1,14 X

2

Bondad del Ajuste:

Coeficiente de determinación: R2 = 0,9998

111,715

0,01288 -1

S

S-1

S

S

2

Y

2

2

Y

2

Y e*

0,01288N

eECM S

2

2

2

e

58

Ejemplo 10: Regresión no lineal

Ajuste de una función potencial: Y* = a X

b

En primer lugar linealizamos: lnY* = lna + b lnX V

* = A + b U

X Y U=lnX V=lnY U2

UV Y* e=Y-Y

* e

2

1 1,25 0 0,2231 0 0 1,2557 -0,0057 0,0000

2 5 0,6931 1,6094 0,4803 1,1156 4,9888 0,0112 0,0001

3 11,25 1,0986 2,4203 1,2069 2,6590 11,18 0,0697 0,0049

4 20 1,3863 2,9957 1,9215 4,1530 19,82 0,1799 0,0324

5 30,5 1,6094 3,4177 2,5901 5,5006 30,901 -0,4012 0,1610

15 68 4,7875 10,666 6,1988 13,428 68,146 -0,1461 0,1984

1/5 3 13,6 0,9575 2,1332 1,2397 2,6856 13,629 -0,0292 0,0397

e0

1,99020,95751,2397

2,13320,9575-2,6856

UU1/5

V U-UV1/5

S

S b

2222

U

UV

0,2277 0,95751,9902 -2,1332 U b-VA

Deshacemos el cambio efectuado: a= antilnA = antiln 0,2277 = 1,2557

Por lo que el ajuste efectuado es: Y* = 1,2557 X

1,9902

Bondad del Ajuste:

0,0397N

eECM

2

3

Nótese que al haber transformado la variable dependiente ya no se minimiza 2e sino

2*lnY-(lnY ) , de ahí que 0e .

59

Ejemplo 11: Regresión no lineal

Ajuste de una función exponencial: Y* = a b

X

En primer lugar linealizamos: lnY* = lna + X lnb V

* = A + B X

X Y V=lnY X2

XV Y* e=Y-Y

* e

2

1 1,25 0,2231 1 0,2231 1,7794 -0,529 0,2798

2 5 1,6094 4 3,2188 3,86 1,138 1,2950

3 11,25 2,4203 9 7,2609 8,37 2,88 8,2944

4 20 2,9957 16 11,983 18,18 1,82 3,3124

5 30,5 3,4177 25 17,088 39,45 -8,95 80,102

15 68 10,666 55 39,774 71,64 -3,641 95,803

1/5 3 13,6 2,1332 11 7,9548 14,328 -0,728 19,16

e0

0,7776311

32,1332-7,9548

XX1/5

V X-XV1/5

S

S B

2222

X

XV

0,1996- 30,7776 -2,1332 X b-VA

Deshacemos los cambios efectuados: a= antilnA = antiln-0,1996 = 0,819

b= antilnB =antiln 0,7776 = 2,176

Por lo que el ajuste efectuado es: Y* = 0,819 . 2,176

X

Bondad del Ajuste:

19,16N

eECM

2

4

La comparación de la bondad de modelos de regresión mediante el coeficiente de

determinación sólo es correcta cuando la variable dependiente no ha sido sometida a

transformaciones no lineales (por ejemplo, una transformación logarítmica). En este

ejercicio, mediante R2 sólo podemos comparar la regresión lineal y la parabólica. Por eso,

para comparar los cuatro ajustes efectuados utilizamos el Error Cuadrático Medio. El

mejor ajuste resulta ser el parabólico puesto que presenta el menor valor para el ECM.