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Matemática Básica para Economistas
Función Inversa
IntroducciónIntroducción
Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como:
p = -3q + 8
¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?
Definición previa: función inyectiva Definición previa: función inyectiva o biunívocao biunívoca
• Una función f , con dominio D es una función inyectiva o biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes:
- Si a b en D, entonces f(a) f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D
Es decir a un valor de la imagen le corresponde un único valor del dominio.
Si es inyectiva
Ejemplo 1: ¿Es inyectiva la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1?
f
x
f(x)
No es inyectiva
Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x2-1?
f
x
f(x)
f
x
f(x)
f
x
f(x)
x[0; [x -; 0
¿En qué dominio será biunívoca?
1. Una función f es inyectiva si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto.
2. Una función creciente es inyectiva.3. Una función decreciente es …………biunívoca
Observaciones:Observaciones:
La función inversa de f se denota por f-1
Función Inversa:Función Inversa:
Definición:
Si f-1 es inversa de f:(fof-1)(x) = x
Dom (f-1) = Ran (f)Ran (f-1) = Dom (f)
Para determinar la función inversa (f-1):
Función Inversa:Función Inversa:
1. Verificar que f es inyectiva.2. Despejar x en términos de y.3. Cambiar x por y.
Ejemplo:Ejemplo:
Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5]
34 xy
43 yx
43 xy
Dom f-1 = Ran f52 x2048 x
173411 x
17,11 , 4
31 xxxf
Regla: la función inversa fRegla: la función inversa f-1-1 es simétrica con f, es simétrica con f, respecto a la recta respecto a la recta y = xy = x
x
f(x) y = xf(x)
f-1(x)
Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano:
1. Es biunívoca en x>0
2. x = f -1(x) = , x > -11y 1x
3. Composición:
•f -1(x2 - 1) = , x>0xxx11)(x 22
1x 1x •f ( ) = ( )2 - 1= x , x>-1
Graficando f y f -1 en un mismo plano:
y
x
f(x)
f –1(x)
y
x
¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa?
No sería una función
Ejercicios:Ejercicios:
Hallar y graficar:
0, 66)( :si .1 21 xxxxfxf
2, 212)(
0, 32)( :si .2 1
xxxxg
xxxfxfog