matemáticas para ciencias de la computación mcc3182 principio de inducción matemática

Matemáticas para Ciencias de la Computación

MCC3182

Principio de Inducción Matemática


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Supóngase que tenemos la sucesión de números naturales con la propiedad de que dichos números son de color rojo.

1,2,3,4,5,6,7...

Supongamos que:

• El primer natural es de color rojo (1).

• Si todos los naturales que preceden al (n+1)-ésimo son de color rojo, entonces el (n+1)-ésimo número es de color rojo (2).

Para demostrar que el número 8 es de color rojo, se observa que todos los que preceden al 7 y, por (2) el número 7 también es de color rojo.

Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción Matemática


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Inducción Matemática

Ejemplo:

Denótese por Sn=1+2+3+4+...+n (1)

Consideremos que se afirma que:

Sn=n(n+1)/2 para n=1,2,... (2)

Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber

S1=1(2)/2=1

S2=2(3)/2=3

S3=3(4)/2=6


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Supóngase que cada ecuación verdadera está marcada con una “X”. Dado que la primera ecuación es verdadera,

S1=1(2)/2 X

S2=2(3)/2 X

S3=3(4)/2 X

Sn-1=(n-1)n/2 X

Sn=n(n+1)/2 X

Sn+1=(n+1)(n+2)/2 ?


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Supóngase ahora que puede demostrarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también lo está.Debe probarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima son verdaderas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también es verdadera.

Sn+1=1+2+3+...+n+(n+1)

=Sn+(n+1)=n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2


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Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que

Paso Básico:

S(1) es verdadera

Paso Inductivo:

si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.


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Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica).

1+a1+a2+...+an=(an+1-1)/(a-1) (1)Paso Básico: Se obtiene cuando n=0,1=(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero.Paso Inductivo:Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora1+a1+a2+...+an+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+an+1

=(an+1-1)/(a-1)+(an+1(a-1))/(a-1)=(an+2-1)/(a-1)

Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...


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Grafo Normal


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Grafo Ciencias de la Computación


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Definición

Un grafo es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E,tal que

Así E, es simplemente una relación binaria en el conjunto V.


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Relaciones y Grafos


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Propiedades de Relación


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Representación de Matriz Booleana


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Operaciones sobre la Matriz Booleana


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Composición Usando Matrices


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DefiniciónUn grafo simple es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E, donde cada arco es una par no ordenado de distintos vértices a y b.

El grado de un vértice es el número de arcos que se conectan a el.

Ejercicio: Dibuje un grafo con 3 vértices de grado 2,2 y 1.


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Un grafo Imposible


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Problema:Localización de galpones para aeronaves.

Horario de Aerolíneas

Dado un conjunto de vuelos que llegan a distintos horarios, ¿Cuántos galpones necesitamos para poder acomodar dichos aviones?


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Solución: Coloreo de Grafo

Se colorea cada vértice de manera que no queden dos vértices adyacentes con el mismo color.


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Asignación de Galpones (o colores)


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Fuente de Problemas• ¿Cómo podemos programar los exámenes finales

con el objetivo de que no se tomen dos al mismo tiempo?.

• ¿cuántos habitad diferente necesito para que algunas especies animales puedan coexitir con otras especies?.


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Número Cromático

• Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema?

• ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?


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Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que

Paso Básico:

S(1) es verdadera

Paso Inductivo:

si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.

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