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ALGEBRA Y GEOMETRIA II – 2012 Trabajo Práctico �º2 Página �º 1

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA

ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

CATEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA II

Licenciatura en Ciencias de la Computación

TRABAJO PRACTICO Nº 2 (primera parte)

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Los símbolos sumatoria y productoria

2.1.- Halle los valores numéricos de las siguientes sumas:

i) kk =∑

1

5

ii) 23

3j

j=∑ iii) ∑

=

−5

2

22n

n iv) ( )3 10

2

ii

−=∑ v) ∑

=

5

2

3n

vi) ∑−=

4

2

2k

h vii) ∑∑−= −=

+1

2

1

1

)2(h k

kh viii) ∑= +

4

1 )!(3

!

k zk

k ix) !)2(

7

2

−∑−=v

v x) ∑=

−2

0

)13(i

j

2.2.- Halle los valores numéricos de las expresiones anteriores cambiando los símbolos sumatoria por

símbolos productoria:

i) ∏=

5

1k

k ii) ∏=

3

3

2j

j iii) etc…

2.3.- Halle los valores numéricos de las siguientes expresiones

i) ∏∏= −=

+4

1

0

2

)(i h

hi ii) ∑∏−= −=

−1

1 3

)1(j

j

i

i iii) ∏∑= −=

−3

1 1

2 )2(h

h

k

kk iv) ∏∑= −=

−3

1 1

2 )2(h

h

k

kh

2.4.- Determine la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes igualdades:

i) n nn n

4

0

1004

1

100

== =∑ ∑ iv) k k k

k kk

3

1

1002

1

100

1

100

== ==∑ ∑∑( ) ( )

ii) 1002100

0∑

==

j

v) i ji j

2

1

1002

0

99

1= += =∑ ∑ ( )

iii) ( )2 20

100

0

100

+ = += =∑ ∑n nn n

vi) n nn n

3

0

1003

0

100

== =∑ ∑( )

2.5.- Ídem ejercicio anterior para el símbolo productoria:

i) ∏∏==

=100

1

4100

0

4

nn

nn ii) etc …


2.6.- Utilizar los símbolos ∑ , ∏ y factorial para expresar:

i) (-3)(-4)(-5)(-6)(-7)(-8) ii) 9313

1

9

1

27

1 −++++ iii) 9.10.11.12.13.14.15

iv) 8

1.

4

1.

2

1.2 v) 100.98.96.95.94.93.91

El principio de la inducción matemática

2.7.- Demuestre que las siguientes proposiciones son verdaderas para todo n ∈ N :

i) 2)12(531 nn =−++++ L ,

ii) )12()1(61321 2222 ++=++++ nnnnL

iii) 223333 )1(4

1...321 +=++++ nnn

2.8.- Qué se puede afirmar sobre la validez de los siguientes enunciados?

i) nn 2!≥

ii) )13(8 2 −n

iii) El número de diagonales de un polígono den lados es 2

32 nn −

iv) n

n

i

i

2

112

1

−=∑=

−

v) nn 22 ≤


i) Suma de una Progresión Aritmética:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]2

)1()1(2

ndnaadnadadaa

−++=−+++++++ K

ii) Suma de una Progresión Geométrica: Si 1≠r

1

112

−−=++++ −

r

raararara

nn

K

Como caso particular, resulta: )...1()1(1 12 −++++−=− nn xxxxx

2.10.- a) Demuestre las siguientes propiedades del símbolo sumatoria:

i) Propiedad de aditividad: ∑∑∑===

+=+n

k

k

n

k

k

n

k

kk baba

111

)(

ii) Propiedad de homogeneidad: ∑∑==

=n

k

k

n

k

k acac

11

iii) Propiedad telescópica: 01

1 )( aaaa n

n

k

kk −=−∑=

−

b) Utilizando, cuando sea posible, las propiedades obtenidas en a) deduzca las siguientes identidades:


i) cncn

k

=∑=1

ii) 2

1

)12( nkn

k

=−∑=

iii) )1(21

1

+=∑=

nnkn

k

iv) 11

1 1

0

≠−

−=+

=∑ x

x

xx

nn

k

k

Sugerencias:

ii) Usar el hecho que 22)1(12 −−=− kkk .

iii) Usar los dos resultados anteriores.

iv) Aplicar la propiedad telescópica a ∑−=

n

k

kxx0

)1( .

2.11.- Demuestre las siguientes propiedades del símbolo productoria:

a) ∏ ∏∏= ==

=n

k

n

k

kk

n

k

kk baba1 11

..

b) ∏∏==

=n

k

k

nn

k

k acac11

..

2.12.- Demuestre que el producto de los n primeros números naturales impares vale:

( )

!2

!2

n

nn


i) xnxx n +≥+⇒−> 1)1(1

ii) nn >2

iii) Si 2≥n , 2223222 )1(...21...21 3/)1( +++++++ <+< nn n

2.14.- ¿Para qué valores naturales de n resulta 1332 23 ++> nnn ? Demostrar que la respuesta es correcta.

2.15.- ¿Para qué números naturales n es cierta la desigualdad 22 nn > ? Demostrarlo por inducción.

2.16.- Dada la proposición:

( )21281...4321:)( +=+++++ nnnP ,

a) Demuestre que si P(k) es verdadera para algún k ∈ N entonces )1( +kP también es verdadera. b) Analice la siguiente proposición

“De a) y del principio de la inducción matemática sigue que P(n) es verdadera para todo n ∈ N” . c) Transforme la proposición P(n) cambiando la igualdad en una desigualdad de manera que sea cierta para todo n ∈ N. 2.17.- Observe que

( ) ( )( ) ( ) ( )

41

411

311

211

31

311

211

21

211

=−⋅−⋅−

=−⋅−

=−


Conjeture una ley general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares y demuéstrela mediante el principio de inducción. 2.18.- Presentamos una demostración, por inducción, de la proposición:

“Todo conjunto de n bolas de billar está formado por bolas del mismo color”. Base de la inducción: Para 1=n la afirmación es trivialmente verdadera. Paso de inducción: Supongamos que tenemos k + 1 bolas de billar que numeramos 1 2 1, , ... , , ( )k k + .

De acuerdo con la hipótesis de inducción, las bolas 1 2, , ..., k son del mismo color; además, por la misma razón, las bolas 2 1,..., , ( )k k + son del mismo color. En consecuencia, las bolas

1 2 1, , ... , , ( )k k + son del mismo color. ¿Dónde está el error en esta demostración?

Trabajo Practico 1 (segunda parte).

El Principio de Induccion Matematica.

Algebra y Geometrıa Analıtica II (LCC) – Ano 2013

Nota: cuando no se especifique otra cosa, Σ sera un alfabeto cualquiera dado.

1. Consideremos el alfabeto Σ = {0, 1, 2} y las siguientes cadenas de Σ+ : p = 01, q = 212 yr = 01212.

a) Completar: ‖r‖ = . . . , ‖p‖+ ‖q‖ = . . .

b) Prueba que, en general, dadas p, q ∈ Σ+ es: ‖pq‖ = ‖p‖+ ‖q‖.c) Justifica que: ‖λp‖ = ‖p‖.d) Prueba el apartado 1b) para cadenas p, q ∈ Σ∗.

2. a) Prueba que para todo n ∈ N,Σn es el conjunto de todas las cadenas sobre Σ delongitud n. (Sugerencia: hacerlo por induccion.)

b) Si con |A| representamos el cardinal del conjunto A, prueba que para todo n ∈ N :|Σn| = |Σ|n (Sugerencia: hacerlo por induccion.)

c) Si Σ es al alfabeto del Ejercicio 1, ¿cuanto valen∣∣Σ2

∣∣ y∣∣Σ4

∣∣?3. Consideremos el alfabeto Σ = {a, b, c, d, e}.

a) ¿Como puedes justificar que que abλad ∈ Σ+ (es decir, que abλad es una cadenadistinta de la cadena vacıa)? ¿Cual es su longitud?

b) Repite el apartado anterior para aλecλλbbadλ.

4. a) Esboza una prueba (informal) de los siguientes hechos:

1) la concatenacion de cadenas de Σ∗ es una operacion cerrada en Σ∗, esto es: sip, q ∈ Σ∗ entonces pq ∈ Σ∗ (propiedad de clausura);

2) para cualesquiera p, q, r ∈ Σ∗ se verifica que p (qr) = (pq) r (prop. asociativa).1

La asociatividad hace que para toda cadena p ∈ Σ∗, tengan sentido los sımbolos pn

para todo n ∈ N0, los cuales definimos inductivamente ası: i) p0 := λ, y ii) supuestodefinido pn definimos pn+1 := ppn.

b) Considera Σ = {0, 1} y sea p = 01. Obtiene:

p0 = . . . , p1 = . . . , p2 = . . . , p3 = . . .

Completa: para todo n ∈ N, pn es una cadena que tiene . . . ceros y . . . unos, dondeel primer caracter es . . .

1En algebra abstracta, la clausura y la asociatividad de la concatenacion de cadenas hacen de esta una operacionbinaria en Σ+ que le da a Σ+ estructura de semigrupo. Asimismo, el hecho adicional de que pλ = λp = p, haceque Σ∗ sea un monoide (o sea, un semigrupo con identidad λ).

1

c) Prueba que para todo n ∈ N0 : ‖pn‖ = n ‖p‖. (Sugerencia: hacerlo por induccion.)

d) Si p ∈ Σ∗ y∥∥p3∥∥ = 36, ¿cual es la longitud de p?

5. a) Sea Σ = {v, w, x} y p ∈ Σ∗ tal que p = vwwxxx. Exhibe todos los prefijos de p ytodos los sufijos propios de p.

b) Exhibe todas las subcadenas de p. Procede ordenadamente: primero considera lasubcadena vacıa λ (muestra que λ es una subcadena de p –la subcadena de longitud0–), luego exhibe todas las subcadenas de longitud 1, luego las de longitud 2, etc.

c) Sea p ∈ Σ+ de la forma p = a1a2 · · · an con ai ∈ Σ (para i = 1, 2, . . . , n). Entonces ptiene (completar):

. . . prefijos, que son las cadenas . . ., de las cuales todas, excepto . . ., son prefijospropios de p.

. . . sufijos, que son las cadenas . . ., de las cuales todas, excepto . . ., son sufijospropios de p.

Completar: la cadena . . . es prefijo y sufijo de p a la vez.

6. Prueba que si p, a, b, c, d ∈ Σ∗ son tales que: p = ab = cd, entonces:

a) a es prefijo de c o c es prefijo de a.

b) b es sufijo de d o d es sufijo de b.

7. Considera el conjunto R de los numeros reales. Da ejemplos de conjuntos A ⊆ R tales quesatisfagan los siguientes conjuntos de claususlas:

a) 1) 0 ∈ A2) si n ∈ A entonces n+ 1 ∈ A

b) 1) 2 ∈ A2) si n ∈ A entonces n+ 2 ∈ A

c) 1) 3 ∈ A2) si n ∈ A entonces n+ 1 ∈ A y n− 1 ∈ A

d) si n+ 1 ∈ A entonces n ∈ A

8. Define inductivamente cada uno de los siguientes conjuntos:

a) El conjunto de los numeros naturales multiplos de 3.

b) El conjunto de los numeros enteros multiplos de 3.

c) El conjunto de los numeros naturales que sean potencias de 2.

9. Define inductivamente el conjunto Σ∗ para Σ = {a, b, c}.

10. Sea Σ = {a, b, c} y π ⊆ Σ∗ definido inductivamente por:

a) λ ∈ πb) si w ∈ π entonces bwbc ∈ π y bwba ∈ π

Da tres palabras de Σ∗ que pertenezcan a π y tres que no pertenezcan.

11. Sea Σ = {a, b, c} y Γ ⊆ Σ∗ definido inductivamente por:

a) λ ∈ Γ, a ∈ Γ

2

b) si w,w′ ∈ Γ entonces bwcw′b ∈ Γ

Enuncia el principio de induccion primitiva para Γ.

Determina cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

bcb ∈ Γ, bacab ∈ Γ, bccb ∈ Γ, bacbcbb ∈ Γ.

12. Define inductivamente cada uno de los siguientes conjuntos:

a) {b}∗

b) {λ, a, aa, aaa, aaaa, . . .}c) {λ, ab, aabb, aaabbb, aaaabbbb, . . .}d) {w ∈ {1, 2, 3}∗ | w es capicua}

13. Considera el conjunto N definido inductivamente por:

a) 0 ∈ Nb) si n ∈ N entonces n+ 1 ∈ N

Enuncia el principio de induccion primitiva para N .

Prueba, utilizando este principio, que para todo n ∈ N,n2 + n es par.

14. Considera el conjunto P definido inductivamente por

a) 0 ∈ Pb) si n ∈ P entonces n+ 2 ∈ P

Prueba que para todo n ∈ P existe un m tal que n = m+m.

15. Considera el conjunto T definido inductivamente por

a) 1 ∈ Tb) si n ∈ T entonces 2n ∈ T

Determina T por comprension.

Enuncia el principio de induccion primitiva para T .

Prueba, utilizando este principio, que para todo n ∈ T , si n > 1 entonces n es par.

16. Sea Σ = {a, b, c} y Γ ⊆ Σ∗ definido inductivamente por:

a) λ ∈ Γ

b) si w ∈ Γ entonces bwbc ∈ Γ y bwba ∈ Γ

Enuncia el principio de induccion primitiva para Γ.

Determina cuales de las siguientes afiramciones son verdaderas:

Si w ∈ Γ entonces ‖w‖ > 0.

Si w ∈ Γ entonces ‖w‖ es par.

Si w ∈ Γ entonces ‖w‖ es multiplo de tres.

3

17. Sea S un conjunto de numeros reales tal que:

i. 3 ∈ S, y

ii. si n ∈ S entonces 2n ∈ S.

a) Exhibe tres conjuntos S, distintos, cuyos elementos verifiquen i. y ii.

b) Sea T = {3 · 2n | n ∈ N0}. Prueba que T ⊆ S.

c) ¿Que condicion adicional habrıa que establecer, sobre S, para que sea T = S?

18. a) Sea S un conjunto de numeros reales tal que:

i. 2 ∈ S, y

ii. si n ∈ S entonces1

2(n+ 6) ∈ S.

b) Exhibir al menos tres conjuntos S, distintos, cuyos elementos verifiquen i. y ii.

c) Sea T =

{6− 1

2n−3| n ∈ N

}. Probar que T ⊆ S.

d) ¿Que condicion adicional habrıa que establecer, sobre S, para que sea T = S?

19. a) Sea f : N0 → N0 una funcion tal que:

i. f (0) = 0, y

ii. para todo n ∈ N0, f (n+ 1) = f (n) + n+ 1.

b) Calcula f (1) , f (2) y f (3).

c) Prueba que para todo n ∈ N0, f (n) =n (n+ 1)

2.

4

Algebra y Geometría Analítica II – Año 2013 Trabajo Práctico Nº 2 Página Nº 1





CARRERAS LIC. EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: OTRAS OPERACIONES EN V3. EL PLANO Y LA RECTA EN EL ESPACIO

I. PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO MIXTO. 3.1 Siendo ( )2,1,3 −−=u y ( )1,2,1 −=v calcular:

a. vu ∧ b. ( ) vuv

∧+ 2 c. ( ) ( )vuuv 242 −∧− . 3.2 Determinar las componentes de un versor que sea simultáneamente perpendicular a los vectores

( )5,1,3 −=a y ( )0,1,2−=b

. ¿Cuántos hay?

3.3 Hallar las componentes de un vector v del que se sabe que 8=v , ( )4,2,7 −=⊥av , ( )∧iv, es agudo y

v es perpendicular al eje z. 3.4 a. Dados kjia

32 +−= y kic 23 −= encontrar un vector

b tal que

a b c∧ = . ¿Cuántas soluciones existen? b. Ídem a. para kic

25 −= 3.5 Sabiendo que 12y,2,10 =×== baba

calcular ba

∧ .

3.6 Calcular ( ) a b c, , en cada uno de los siguientes casos:

a. ( ) ( ) ( )3,1,1;4,2,5;2,0,3 −−==−= cba . b. ( ) ( ) ( )2,1,6;3,3,4;0,2,1 −=−== cba . c. ( ) ( ) ( )3,4,1;2,1,3;1,5,2 −=−== cba . Interpretar gráficamente los resultados. 3.7 Dados los vectores ( )4,1,2 −=u , ( )α,2,1=v y ( )3,2,2 −=w hallar α de manera que el volumen del paralelepípedo que ellos determinan sea igual a 31 unidades. Antes de iniciar el cálculo de α discutir cuán-tas soluciones podría tener un problema como éste (0; 1; 2 o más) y a qué casos geométricos corresponde-rían. Obtener todos los α posibles en este caso. 3.8 Hallar λ ∈ℜ que logre que un vector de la forma ( )11,,1 λ sea coplanar con kjiu

−+= 32 y

kjiv 32 +−= .

3.9 Dados 3y Vwu ∈

, no nulos, probar que existe v V∈ 3 tal que u v w∧ = si y sólo si 0=× wu . ¿Cuántas soluciones v existen? 3.10 Dar una condición necesaria y suficiente para que 4 puntos del espacio ( )321 ,, aaaA , ( )321 ,, bbbB , ( )321 ,, cccC y ( )321 ,, dddD sean coplanares.


II. PLANO 3.11 Hallar las ecuaciones de los planos que satisfacen las siguientes condiciones: a. Es perpendicular al vector ( )2,1,3 −−=u y contiene al punto ( )1,2,5 −A . b. Es perpendicular al vector ( )4,2,4 −=v y dista 9 unidades del origen de coordenadas. c. Es paralelo al plano ) 2273 =+− zyxπ y contiene al punto ( )5,1,2 −B .

d. Es paralelo a los vectores ( )2,2,1 −=u y ( )3,0,1−=v y contiene al punto ( )1,0,0C . e. Contiene a los puntos ( )2,5,1D , ( )3,9,1−E y ( )2,1,7 −F . 3.12 Dada la familia de planos de ecuación ℜ∈=−++ ααα ,02102 zyx , encontrar, si existe, cuál de ellos verifica: a. Es paralelo al plano de ecuación 0782 =−++ zyx . b. Es paralelo al plano de ecuación 013 =+−+− zyx . c. Es perpendicular al plano 0235 =+−+− zyx . d. Forma con el plano 0934 =−+ zy un ángulo cuyo coseno es 15

14 . 3.13 a. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos ( )2,2,11 −P , ( )2,1,32 −−P y es perpendicular al plano de ecuación 062 =+−+ zyx . b. Hallar un punto 3P tal que el problema análogo al a. planteado con P1 y P3 tenga infinitas solucio-nes. 3.14 a. Hallar las ecuaciones de los planos que contienen, cada uno, a una cara distinta del prisma de la figura. b. Hallar el ángulo α entre los planos proyectantes π1 y π2 . c. Determinar si el punto A(1,2,4) es interior al prisma. Justificar. 3.15 Hallar la intersección de los siguientes planos:

) 32421 =++ zyxπ , ) 0332 =−+ zyxπ y ) 85633 =−− zyxπ . 3.16 Dados los planos de ecuaciones ) 014231 =++− zyxπ , ) yzx 252 −=+π y

) xzy 68443 +=+π , hallar dos puntos que pertenezcan a su intersección. En caso de no existir, hallar dos puntos de cada intersección π πi j i j∩ ≠, . En caso de no existir, hallar la distancia entre los correspon-dientes planos. 3.17 Dar ejemplos de cada una de las situaciones posibles en el problema de hallar la intersección de 3 pla-nos (sin resolverlos). 3.18 a. Demostrar que la ecuación del plano que pasa por tres puntos no alienados ( )1111 ,, zyxP , ( )2222 ,, zyxP ,

( )3333 ,, zyxP es:

0

131313

121212

111=

−−−−−−−−−

zzyyxxzzyyxx

zzyyxx.

Analizar cuáles de estos puntos satisfacen esta ecuación si 321 y , PPP están alineados.


b. Usando a. encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos

( )5,2,31 −P , ( )1,1,02 −P y ( )1,5,23 −P . III. LA RECTA EN EL ESPACIO. 3.19 Hallar las ecuaciones de la recta determinada por los puntos ( )2,1,3 −A y ( )5,3,1 −B . 3.20 Describir los lugares geométricos que corresponden a las siguientes ecuaciones: a. ( ) ( ) 01431432 22 =−+++−++ zyxzyx α para cada valor de α ∈ℜ .

b. ( ) ( ) 01431432 22 =−++−−++ zyxzyx α para cada valor de α ∈ℜ . 3.21 Dados los vértices de un triángulo ( )4,2,1 −A , ( )3,1,3 −B y ( )7,1,5 −C hallar las ecuaciones de la recta que contiene la altura trazada desde el vértice B al lado opuesto. 3.22 Hallar la proyección ortogonal del punto ( )2,4,3 −C sobre el plano determinado por las rectas

) 43

135

1 6 −+− =−= zx yr y ) 4

313

122 3 −

+− =−= zx yr .

3.23 Determinar los puntos de la recta

=+−−=−+

032zyx

zyx que se encuentran a 5 unidades del plano

0322 =+− zyx . 3.24 Hallar las ecuaciones de la recta 1r que contiene al punto ( )4,2,3 −−M , es paralela al plano

) 7323 =−− zyxπ y se interseca con la recta ) 21

24

32

2−

−+− == zyxr .

¿Qué ángulo forman 21 y rr ? 3.25 Hallar la ecuación del plano que contiene al punto simétrico de ( )3,2,1A respecto de la recta

) 221

21

1 −== −− zr yx y que además contiene a la recta )

=+−=++.0132

2 zyxzyx

r

3.26 Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto ( )3,2,1A y que además se interseca con las rectas

) 41

33

21−− == zyxr y )

=−+−=+−+

.0430132

2 zyxzyx

r

3.27 a. Hallar el valor de k de modo que las rectas

)

+=ℜ∈−=

+−=

tztkty

txr

4123

1 y ) zyr x =−=−2

12 resulten coplanares.

b. Para dicho valor de k hallar, si es posible, las coordenadas del punto de intersección. c. Hallar la ecuación de un plano paralelo al determinado por las rectas r r1 2 y y cuya distancia al origen de coordenadas es de 3 unidades. ¿Existe única solución? 3.28 a. Determinar si las rectas

)

+=ℜ∈−−=

+=

tztty

txr

331

22

1 y )

+=ℜ∈=

−=

rzrry

rxr

422

31

2 son o no coplanares.

b. Calcular la distancia entre 21 y rr .


3.29 Hallar la ecuación del plano τ que proyecta la recta )

=−+−=−−+

022320123

zyxzyx

r sobre el plano

) 0532 =−++ zyxπ . 3.30 Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles falsas (F):

a. La recta )

−=ℜ∈+=

+=

tztty

txr

412

1 se encuentra a 21 unidades del origen.

b. El punto de la recta 1r que se encuentra más próximo al origen de coordenadas es ( )311

34

37 ,,A .

c. El plano ) 1=− yxπ contiene a la recta r1 .

ALGEBRA y GEOMETRIA I - L.C.C

PRACTICA 3: Combinatoria

Ano 2009

REGLAS DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO. PERMUTACIONES

1. Ejercicios de los parrafos 1.1 y 1.2 del Grimaldi: 4, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 19, 21, 23, 28, 32, 35 y 38.

COMBINACIONES

2. Ejercicios del parrafo 1.3 del Grimaldi: 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22 y 23.

3. Ejercicios del parrafo 1.4 del Grimaldi: 1, 4, 6, 12, 15 y 27.

PRINCIPIO DE LAS CASILLAS

4. Demuestre que si se escogen siete numeros del 1 al 12, dos de estos sumaran 13.

5. Demuestre que si se escogen ocho numeros positivos cualesquiera, dos de ellos tendran el mismoresto al ser divididos por 7.

6. Si se pintan 50 bicicletas usando siete colores, ¿Cuantas bicicletas, al menos, tendran el mismocolor?

7. Seis amigos tienen un total de 21,61 pesos para ir al cine. Demuestre que al menos uno debetener 3,61 pesos.

8. Demuestre que debe haber por lo menos 90 maneras de escoger seis numeros del 1 al 15 demodo que todas las selecciones al sumarse den el mismo resultado.

1

9. ¿Cuantos amigos debe tener usted para garantizar que por lo menos cinco de ellos cumplenlos anos en un mismo mes?

10. Demuestre que si se escogen 14 numeros cualesquiera del 1 al 25, uno de ellos es multiplo delotro.

11. Sobre una mesa se colocan 20 tarjetas numeradas del 1 al 20, con la cara hacia abajo. Lastarjetas son seleccionadas una a la vez y volteadas hasta haber elegido 10 de ellas. Si dostarjetas de las elegidas suman 21, el jugador pierde. ¿Es posible ganar en este juego?. Si secambian las reglas y se deben escoger 12 cartas, ¿se podra ganar?

SUMATORIA. BINOMIO DE NEWTON

12. Ejercicios del parrafo 1.3 del Grimaldi: 18, 19, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 36, 37 y 38.

EJERCICIOS ADICIONALES

13. Ejercicios complementarios del capıtulo 1 del Grimaldi: 6, 8, 13, 15, 18 y 29.

14. De un mazo de 40 cartas se extraen 6. ¿Cuantas extracciones distintas se pueden hacer:

a) que contengan 5 bastos por los menos?

b) que no contengan los 4 ases?

15. ¿Cuantos numeros distintos se pueden escribir con los dıgitos 2, 3, 5, y 7 menores que 5000?

16. De un grupo de 10 personas, se quiere formar una comision de 5 personas de manera que dosde ellas (Carlos y Marıa) no esten juntos en la comision ¿Cuantas comisiones distintas puedenformarse?

17. ¿De cuantas maneras pueden sentarse en una hilera 2 chicos y 4 chicas si:

a) los chicos quieren sentarse juntos y las chicas tambien?

b) entre los chicos debe haber exactamente 3 chicas?

18. Marina cumple anos y va a hacer una reunion en su casa. Tiene dos grupos de conocidos, losde la facultad y los del club. Los de la facu son 12 y los del club, 9, pero en su casa solo entran10 personas, ademas de ella. Responde:

a) ¿De cuantas formas puede hacer la invitacion?

2

b) ¿De cuantas formas puede hacerlo si Ana y Manuel, dos de ellos, estuvieran peleados yno pudieran compartir una reunion?

c) ¿De cuantas formas puede hacer la invitacion, si decide invitar a 5 personas del club y 5de la facu?

19. En la navegacion, las senales de barco a barco se hacen izando 7 mastiles, 7 banderas de lascuales 2 de ellas son azules, 2 rojas y 3 blancas, en algun orden. ¿Cuantos mensajes distintospueden formarse?

20. Dados 5 numeros positivos y 6 negativos:

a) ¿Cuantos productos de tres factores distintos pueden formarse con ellos?

b) ¿Cuantos de estos productos son positivos?

21. Nacho y Emma nunca recuerdan sus numeros de socios del club. Estos constan de 6 numeros.

a) Nacho sabe que el suyo tiene exactamente 2 ’unos’, 3 ’sietes’, y un ’cinco’ ¿Cuantasposibilidades hay para el numero de socio de Nacho?

b) Emma, en cambio recuerda que el suyo tenıa todas las cifras distintas y que no figurabanni el 0 ni el 1 ¿Cuantas posibilidades hay para el suyo?

22. Hernan tiene 5 sobrinos y compra 5 juguetes para regalarle uno a cada uno.

a) ¿De cuantas formas distintas puede hacerlo si todos los juguetes son distintos entre sı?

b) ¿De cuantas maneras puede hacerlo, si compro 2 pelotas iguales entre sı, y 3 autitosiguales entre sı?

23. ¿De cuantas formas distintas puede repartir Hernan 9 pelotas iguales entre sus 5 sobrinos?

24. ¿De cuantas formas distintas se puede responder una evaluacion de 15 preguntas de multiplechoice, donde cada una tiene 3 posibilidades?

25. Alicia, Beto, Ceci, Diego y Eliana van al cine y tienen reservados 5 asientos consecutivos deuna fila. Contesta:

a) ¿De cuantas formas distintas pueden sentarse?

b) ¿De cuantas meneras distintas pueden hacerlo, si las chicas quieren sentarse juntas?

c) Si no hubiese ido Eliana, ¿de cuantas formas hubieran podido sentarse, si tenıan a dis-posicion los 5 asientos reservados?

26. Los codigos de ciertos productos se forman eligiendo 3 letras distintas entre las letras: A, B, C,D, E, y F y dos numeros distintos, distintos de cero. ¿Cuantos productos pueden codificarsede esta forma, como maximo?

27. En una panaderıa, donde hay sacramentos, vigilantes, medialunas, jesuitas y rosquitas, ¿decuantas formas puedo elegir una docena de facturas? (suponemos que de todas las clases haypor lo menos 12).

3

28. Halla todos los valores posibles para n en cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 84.Cn,2 = An,5

n−4

b)(

26n + 6

)=

(26n2

)c) An,3 = 12.Cn+1,3 − P4.n.(n− 1)

d)(

2nn− 1

)=

(2n3

)e)

(103n

)=

(10

n + 2

)f ) 60Cn,n−3 = 1

3An+2,5

g) A′n,2 = n.P 2,36

h)(

143n− 2

)=

(14

−n + 6

)

4





LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: MATRICES Y DETERMINANTES 4.1 Dadas las matrices:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

221501

234201

054123

0100

1000

EDCBA

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=−=

4301

410432351323

2012

010120220120

012 JHGF

indicar cuáles de las siguientes operaciones están bien definidas y realizarlas:

a. C + D f. HJ k. AC b. B – C + 3A g. JH l. CA - AC c. B + C h. FG m. ( )ECB −2 d. BA 2

12 − i. GF n. FGJ

e. ( )ED +23 j. AB – BA o. BEBCDC +− −2

4.2 Calcular BAAB − , siendo ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

12024

14,

321242

2

ii

iB

i

iiiA

4.3

a. Comprobar que las identidades y ( ) 222 2 BABABA ++=+ ( )( )BABABA −+=− 22 no son ciertas para las matrices

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

2101

2011

BA

b. Obtener identidades válidas para todo par de matrices cuadradas. c. ¿Para qué matrices cuadradas son válidas las identidades dadas en a.?

4.4 Hallar todas las matrices ⎟⎟ que conmuten con ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛wzyx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011

4.5 Dada ⎟⎟ hallar, en cada caso, todas las matrices A reales de orden 2 que satisfacen la condición

dada: ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2010

B


a. AB = 0 b. BA = 0 c. A2 = 0

4.6 Si A y B son matrices de orden 3, analizar la validez o falsedad de las siguientes proposiciones, justifi-cando la respuesta: a. Si la 1ª y 3ª columnas de B son iguales, también lo son la 1ª y 3ª columnas de AB. b. Si la 1ª y 3ª filas de B son iguales, también lo son la 1ª y 3ª filas de AB. c. Si la 1ª y 3ª filas de A son iguales, también lo son la 1ª y 3ª filas de AB.

4.7 Hallar todas las matrices de orden 2 tales que IA =2

4.8 Demostrar que si ⎟⎟ entonces ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

αα0

1A

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

n

nnn nA

ααα

0. 1

4.9 Determinar si las siguientes matrices son inversibles y, en caso de serlo, calcular la inversa:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

242 i

B ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

αααα

cossinsincos

C⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

103112001

D⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

010102112

E

4.10 Probar que una matriz de orden n que tiene una fila o columna de ceros no es inversible. 4.11 ¿Cuándo una matriz diagonal es inversible?, y, en ese caso, ¿cuál es su inversa?

4.12 Si ⎟⎟ encontrar una matriz P inversible, tal que ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1221

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−10

031APP

4.13 Dadas las matrices:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2311

B ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=12

10C

resolver las siguientes ecuaciones matriciales: a. d. CBXA =−1 XCAX += b. e. CBAX T 32 −=+ BXCAX += c. f. XCXB += CXBXA −=+ 2

321

4.14 Analizar la validez o falsedad de las siguientes proposiciones, justificando la respuesta:

a. 0 00 ==⇒= BoAABb. YX AYAX =⇒=c. A y B simétricas y AB simétrica BAAB ⇒=d. A y B inversibles BA +⇒ inversible e. ( ) 1111 −−−− +=+ BABBAA

4.15 Calcular los siguientes determinantes:

333

222

zyxzyxzyx

A = fedcba

B00

0= 466

135113

+−−−+

=t

tt

C iiiii

iiD

−−+−+

=22130

12


4104323503032012

−

−−

=E

151211112103

0112

−−−

−−−

=F

32

32

32

32

1111

dddcccbbbaaa

G =

0001020104032351102002012

=H

4340076050002900005200043

=J

4.16 Resolver las siguientes ecuaciones en la variable x:

044

42=

−x a. 0

112110212

=−

−−

xx

x b. 0

000

01111

=

cxcbx

aax c. 0

818414212

3

2 =

−

−

xxxxxxx

d.

4.17 Calcular λ para que la siguiente ecuación tenga raíces reales e iguales: 0212

2113

=− xxλ

4.18 Calcular λ para que la siguiente ecuación tenga raíces reales: 011230

1=

−−

−xxx λ

4.19 Analizar la relación existente entre los siguientes determinantes. Justificar la respuesta.

3542071

1702453

7142035

21

3

21

2

21

1

π

ππ

−=

−=

−= DDD

4.20 Calcular los siguientes determinantes, transformando en ceros la mayor cantidad posible de elementos de una fila o columna:

a.

322143221243

4321

−−

−−−

b.

wz

yx

−−

−−

1111111111111111

4.21 Sea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

504102

412A

a. Verificar que 0333123211311 =++ AaAaAa b. Generalizar para cualquier fila o columna.


4.22 Sin desarrollar el determinante, demostrar que: 0111

=+++

bacacbcba

4.23 Determinar, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:

a. A, B, C, E y F del ejercicio 3.1

b.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

020000103000020100001030000202000010

101532321

1321

321 MMM

4.24 Sean y IA

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

5001011000188001

A B α−= . Hallar los valores de α de modo que B no sea inversible.

4.25 Resolver, si es posible, las siguientes ecuaciones matriciales:

a. XAA =−1 , siendo ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=−

201113021

1A

b. BXA =−1 , siendo ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=4211

y 4132

BA

c. XBAX += , siendo y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−=

202124

124A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

130211402

B

4.26 Sean 4 tales que , MBA ∈ 481 =− TBA y 2

1=A , determine si B es inversible.

4.27 Siendo , , y halle: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

201103

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

012211

TB⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

1

b

aCT

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

200000003

D

a. Una matriz X que verifique XBABAX TT=+ b. Condiciones necesarias y suficientes sobre a y b para que la matriz AC – D resulte inversible c. Una matriz E de orden 3 tal que ( ) ( )ABE detdet = y 5232221 === eee

4.28 Sean 3, tales que , MCBA ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=−== −

3001500411

3,2 1 CyBAT , calcule, cuando sea po-

sible, los determinantes de las siguientes matrices: TT BC , ( )TAB CSBRBAACP −=== − ,,3 41QBC =+ , ABUAAAT +=++= ,3






LICENCIATURA. EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1 Determinar cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales:

i. 52253 ++=−− yxxx v. yzyx +=++ 1 ii. 1332 −+=−+ yxxyx vi. 11 +−−=++ wyzyx

iii. 51 =+ vii. y− − zyx xzxy −=+

iv. 1 viii. 1 =+++ zyx xxx −=+ 121

5.2 Para cada ecuación del ejercicio 6.1 que haya sido lineal:

a. escribir sus coeficientes, su término constante y su ecuación homogénea asociada, b. ordenar sus variables y decir cuál es la variable delantera y cuáles son las variables libres, c. determinar, si es posible, la solución general y dos soluciones particulares.

5.3 Encontrar los valores de α , tales que cada una de las siguientes ecuaciones tenga:

i. exactamente una solución ii. infinitas soluciones iii. ninguna solución a. α α +=− xx 422

b. ( ) 342 =− xα

c. ( ) 042 =− xα

d. αα α 32 =− yx

5.4 Replantear el siguiente sistema lineal en forma canónica: y determinar:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=++−=+−−

=−+=++

4332

2220142

wtzywzx

xwzzx

a. La matriz de coeficientes b. El vector de constantes c. La matriz aumentada d. El sistema homogéneo asociado.

5.5 Aplicar la sustitución hacia atrás para resolver el sistema: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+−

−=+++

024

22

12

54

63

5321

xx

xx

xxxx

5.6 Sea ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−=

002020001100001165111

M

a. Escribir un sistema cuya matriz aumentada se M. b. Encontrar el sistema homogéneo asociado al sistema lineal de la parte a. c. Encontrar la solución general de los sistemas de las partes a. y b.


5.7 Determinar cuáles de los siguientes sistemas son consistentes y calcular sus soluciones generales:

a. d. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++−=−+−

32310321

zyxzyx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++−=++

=−++

2226223303

wzyxzyx

wzyx

b. e. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=+−=+

262738393

zyxyx

zy

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+=+=+

1111

wxwzzyyx

c. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−−−

=++

35

31

21

31

31

31 5

zyx

zyx

5.8 Dado el sistema lineal homogéneo: ⎩⎨⎧

=+=+

00

22

11

ybxaybxa

a. Demostrar que si 0xx = y 0yy = es una solución ese sistema, también lo es 0xkx = , 0yky = , pa-ra cualquier k constante.

b. Comprobar que si 11, yyxx == y 22 , yyxx == son dos soluciones, entonces también lo es

21y21 , yxxx y+= +=

5.9 Demostrar que si 0≠− bc , la forma de escalón reducida de ⎥ es I. ad⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dcba

A

5.10 Considerar el sistema ⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

a. Sea 021 , demostrar que: 21 ≠− abbai. El sistema tiene exactamente una solución. Calcular esta solución. ii. El sistema homogéneo asociado tiene sólo la solución trivial.

b. Sea 021 , demostrar que: 21 =− abba

i. El sistema tiene infinitas soluciones o no las tiene. ii. El sistema homogéneo asociado tiene soluciones no triviales

5.11 Determinar la forma de escalón reducida de las matrices:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

0010010100101010111001110

01000101000111100000

BA

5.12 Resolver los siguientes sistemas lineales con el método de eliminación de Gauss:

a. b.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−=+++−=+−−=++

222315

zxwzyxwzxwzx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++−

−=−−+−=+−

515061622420162

978

54321

4321

421

xxxxxxxxx

xxx


c. d.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+=−−−=+=++−

321

102

yxwzywxwzyx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−=−−=+−−−==−+++

11332

11

ttwtwz

ytwzyx

e.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+++=+++=+++

0444404333043220432

wzyxwzyxwzyxwzyx

5.13 Calcular los valores de α para que los sistemas cuyas matrices aumentadas se indican tengan:

i. exactamente una solución ii. infinitas soluciones iii. ninguna solución

a. b. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡84432

α⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

αα 82141313121

2

5.14 Determinar α para que el sistema homogéneo ( )

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−++−=++−

=−−

02102

021

zyxzyx

zx

ααα

α tenga soluciones no triviales.

5.15 Analizar, en función de α y β , la compatibilidad del sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=++=++

0132

122

zyxzyx

zyx

βα

5.16 Dado el sistema lineal (S) , determinar los siguientes conjuntos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−+

=+−

202

42

zyxzx

zyx μλ

In = { : (S) es inconsistente} ( ) 2, ℜ∈μλ

Cd = { ( ) : (S) es consistente determinado} 2, ℜ∈μλ

Ci = { : (S) es consistente indeterminado} ( ) 2, ℜ∈μλ 5.17 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−−

12

301

7331201213012012

2010

)( 1

zyxt

S

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−−

45301

7331201213012012

2010

)( 2

zyxt

S

5.18 Dados los polinomios 23 y

1) , determinar el conjunto 43

32

21 )(,2)(,)(,13)( xxxpxxpxxpxxxp −=+==++−=

(5 += xxp ( )( ))(.)(.)(.)(.)(,4,3,2,1,:,,, 4433221154321 xpaxpaxpaxpaxpjCaaaaaS j +++==∈=


5.19 Para las matrices:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

212111

,301205

,442155

,102

111,

300012

EDCBA

Determinar el conjunto ( ){ }tCEDBACS =+++∈= δγβαδγβα :,,, 4

5.20 Dado el sistema lineal (S) , analizar su consistencia e inconsistencia en

función de los parámetros ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−+=++

=−++=+

041242

022

wvuwvu

wvuwu

βαβα

α y β .

5.21 Hallar, para el sistema de ecuaciones lineales (S) , los siguientes conjuntos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++−

=−−

42254

12

zyxzyx

zyx

αα

Cd ={α ∈ C: (S) es compatible determinado}

Ci ={α ∈ C: (S) es compatible indeterminado} In ={α ∈ C: (S) es incompatible} Además: a. Si Cd ∩N ≠ ∅ elegir el menor de sus elementos y resolver el sistema que así resulta.

b. Si Ci ∩N ≠ ∅ elegir el mayor de sus elementos y resolver el sistema que así se obtiene.

5.22 Sea el sistema de ecuaciones lineales (Sh) ; entonces:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=−−

=++=−+

07304

02303

zyxzyx

zyxzyxα

a. Hallar los valores de α para que (Sh) admita: i. Sólo la solución trivial ii. Autosoluciones o soluciones no triviales.

b. Reemplazar cada uno de los valores hallados en el apartado a.ii. y determinar, para el sistema corres-pondiente así obtenido, el conjunto solución del mismo.

5.23 Resolver los sistemas lineales A.X = Tj (j=1,2,3) siendo

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

−

=

02

01

,

211

1

,

1523

,,

154315131531

0012

321 TTT

xwvu

XA

5.24 Utilizar la regla de Cramer, cuando ello sea posible, para resolver los sistemas de ecuaciones siguien-

tes:

a. c. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−+=−+

44222125

zyxyzx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=+−

15226734

82

321

321

321

xxxxxx

xxx

b. donde ⎩⎨⎧

+=+−=−

baaybxbabyax 2

θcos=a y θsin=b d. Los del ejercicio 6.23.


trabajo practico nº 2 (primera parte) inducciÓn … · departamento de matematica catedra de...

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