inducción completa

Inducción completaInducción completa

El principio del buen ordenEl principio del buen orden: : todo todo conjunto no vacío de enteros conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo.positivos posee un mínimo.

Principio del buen ordenPrincipio del buen orden

El principio del buen ordenEl principio del buen orden: : todo todo conjunto no vacío de enteros positivos conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo.posee un mínimo.

Ejemplo: A={n: 2Ejemplo: A={n: 2nn-(-1)-(-1)nn no es múltiplo no es múltiplo 3 }3 }

Si no fuera vacío, tendría un mínimo m.Si no fuera vacío, tendría un mínimo m. 1) m>1 pues 21) m>1 pues 211-(-1)-(-1)11= 3= 3 2) como 22) como 2mm-(-1)-(-1)mm no es múltiplo de 3 no es múltiplo de 3 22m-1m-1-(-1)-(-1)m-1 m-1 es múltiplo de 3 (¿porqué?)es múltiplo de 3 (¿porqué?)

Principio del buen ordenPrincipio del buen orden

Pero si 2Pero si 2m-1m-1-(-1)-(-1)m-1 m-1 es múltiplo de 3 es múltiplo de 3 (clase pasada) 2(clase pasada) 2mm-(-1)-(-1)m m es múltiplo de es múltiplo de

33 ¡Contradicción! ¡Contradicción! A es vacío. A es vacío. Equivalencia del principio de buen Equivalencia del principio de buen

orden y el de inducción completa: orden y el de inducción completa: ejercicio o leer Grimaldi Teorema 4.1ejercicio o leer Grimaldi Teorema 4.1

Inducción completa fuerteInducción completa fuerte

Principio de inducción fuertePrincipio de inducción fuerte: Sea A(n) : Sea A(n) una proposición acerca del entero n. una proposición acerca del entero n. Si sabemos que:Si sabemos que: A(nA(n00) , A(n) , A(n00+1), …, A(n+1), …, A(n11) es verdadera y) es verdadera y Si k Si k n n11 ,siempre que A(n ,siempre que A(n00) , A(n) , A(n00+1), …, +1), …,

A(k) sea verdadera se cumple que A(k+1) A(k) sea verdadera se cumple que A(k+1) también lo es,también lo es,

Entonces A(n) vale para todo nEntonces A(n) vale para todo nnn00..


Ejemplo:Ejemplo: Todo natural mayor que 7 se Todo natural mayor que 7 se puede expresar como suma de 3s y 5s puede expresar como suma de 3s y 5s

Principio de inducción fuertePrincipio de inducción fuerte a A(n) = a A(n) = “n es suma de 3s y 5s”. Y n“n es suma de 3s y 5s”. Y n00 = 8. = 8.

Demostraremos que Demostraremos que A(8) , A(9), A(10) son verdaderas yA(8) , A(9), A(10) son verdaderas y Si k Si k 10 , A(8) , A(9), …, A(k) 10 , A(8) , A(9), …, A(k)

verdaderas verdaderas A(k+1) verdadera A(k+1) verdadera


A(8) , A(9), A(10) , A(11) :A(8) , A(9), A(10) , A(11) : 8 = 3+5, 9 = 3+3+3, 10=5+58 = 3+5, 9 = 3+3+3, 10=5+5 k k 10 y A(8) , A(9), …, A(k) verdaderas 10 y A(8) , A(9), …, A(k) verdaderas

A(k+1) verdadera:A(k+1) verdadera: k k 10 10 k > k+1-3 k > k+1-3 8 8 A(k+1-3) A(k+1-3)

verdaderaverdadera k+1-k+1-33 = 3+..+3+5+..+5 = 3+..+3+5+..+5 k+1 = k+1 = 3+3+ 3+..+3+5+..+5 3+..+3+5+..+5 A(k+1) verdadera:A(k+1) verdadera:

Inducción como forma de Inducción como forma de conteoconteo

Esquema: Esquema: 1) cuento a “mano” algunos casos 1) cuento a “mano” algunos casos

para diferentes npara diferentes n 2) Conjeturo una fórmula2) Conjeturo una fórmula 3) La demuestro por inducción3) La demuestro por inducción


Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un conjunto con 10 elementos.conjunto con 10 elementos.

0) Considero el problema general para n 0) Considero el problema general para n elementos y aelementos y ann dicha cantidad dicha cantidad

1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}}1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}} aa11 = 2 = 2

n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}}n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}} aa22 = 4 = 4

n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3} {1,3},{2,3} ,{1,2,3}},{1,2,3}}

aa22 = 8 = 8


Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un conjunto con 10 elementos.conjunto con 10 elementos.

0) Considero el problema general para n 0) Considero el problema general para n elementos y aelementos y ann dicha cantidad dicha cantidad

1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}}1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}} aa11 = 2 = 2 = 2= 211

n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}}n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}} aa22 = 4 = 4 = 2= 222

n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3} {1,3},{2,3} ,{1,2,3}},{1,2,3}}

aa22 = 8 = 8 = 2= 233


2) Conjeturo que 2) Conjeturo que aann = 2 = 2nn

3) Demostración por inducción: 3) Demostración por inducción: Base:Base: n = 1 ya lo cheque n = 1 ya lo cheque Paso inductivoPaso inductivo Si vale para k vale para k+1: Si vale para k vale para k+1: Sea S Sea S A Ak+1k+1 = {1,…,k+1} entonces = {1,…,k+1} entonces o bien k+1 o bien k+1 S o bien k+1 S o bien k+1 S. S. P(AP(Ak+1k+1) = {S sin k+1} ) = {S sin k+1} {S con k+1} {S con k+1} Pero {S sin k+1} = P(APero {S sin k+1} = P(Akk)) Y {S con k+1} = {S Y {S con k+1} = {S {k+1}: S sin k+1} {k+1}: S sin k+1} |{S con k+1}| = |{S sin k+1}| = a|{S con k+1}| = |{S sin k+1}| = akk

aak+1k+1 = a = akk + a + akk = 2 = 2kk + 2 + 2kk = 2 = 2k+1k+1..

Definiciones recursivasDefiniciones recursivas

Ejemplo 1: n! = nEjemplo 1: n! = n (n-1)! Y 0! = 1 (n-1)! Y 0! = 1 Ejemplo 2: CEjemplo 2: Cmm

nn = C = Cm-1m-1nn + C + Cm-1m-1

n-1 n-1 y y CCmm

mm = 1 = 1 Ventajas:Ventajas: CálculoCálculo Demostración por inducciónDemostración por inducción Desventajas: PropiedadesDesventajas: Propiedades

Triángulo de PascalTriángulo de Pascal

Ejemplo de demostración Ejemplo de demostración usando la definición recursivausando la definición recursiva

Considere la sucesión definida por Considere la sucesión definida por

aann = a = an-1n-1 + a + an-2n-2 si n si n 2, 2,

y ay a00 = a = a11 = 1 = 1

Entonces aEntonces a22 = a = a11 + a + a00 = 1 +1 = 2 = 1 +1 = 2

aa33 = a = a22 + a + a11 = 2 +1 = 3 = 2 +1 = 3

EtcEtc

nn 00 11 22 33 44 55 66 77

aann 11 11 22 33 55 88 1313 2121

Ejemplo de demostración Ejemplo de demostración usando la definición recursivausando la definición recursiva

Conjeturamos que aConjeturamos que an n 2 n 2 n n n 6 6 Por inducción fuerte con nPor inducción fuerte con n00 = 6 y n = 6 y n11 = 7. = 7. Paso base: sale de la tabla.Paso base: sale de la tabla. Paso inductivo: suponemos válida la proposición Paso inductivo: suponemos válida la proposición

para n = 6, 7, …, k con k para n = 6, 7, …, k con k 7 y queremos 7 y queremos demostrarla para k+1: ademostrarla para k+1: ak+1k+1 = a = akk +a +ak-1k-1

Para aplicar hipótesis inductiva a aPara aplicar hipótesis inductiva a akk y a y ak-1k-1 debemos debemos chequear que k y k-1 están entre 6 y k. Para k es chequear que k y k-1 están entre 6 y k. Para k es obvio, para k-1, sale de cómo k obvio, para k-1, sale de cómo k 7 7 k-1 k-1

aak k 2k + 2(k-1) = 4k-2 que es mayor o igual que 2k + 2(k-1) = 4k-2 que es mayor o igual que 2(k+1) para todo k 2(k+1) para todo k 2, pero estabamos bajo la 2, pero estabamos bajo la hipótesis de k hipótesis de k 6, así que se cumple. 6, así que se cumple.

Principio de inclusión-Principio de inclusión-exclusiónexclusión

¿Cuantos enteros del 1 al 100 no son ¿Cuantos enteros del 1 al 100 no son múltiplos de 2 ni de 3?múltiplos de 2 ni de 3?

¿Cuántas soluciones enteras hay a la ¿Cuántas soluciones enteras hay a la ecuaciónecuación x+y+z+tx+y+z+t = 18, = 18, con con x, y, z, tx, y, z, t <=7<=7

¿Cuántas funciones sobreyectivas hay?¿Cuántas funciones sobreyectivas hay? ¿Cuantas permutaciones no dejan ¿Cuantas permutaciones no dejan

ninguno símbolo en su lugar original?ninguno símbolo en su lugar original?

Diagramas de VennDiagramas de Venn


Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge, conmemorando la estancia de Venn y su principal descubrimiento

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gonville_and_Caius_College%2C_Cambridge&action=edit









Principio de inclusión-Principio de inclusión-exclusiónexclusión

|(A|(A11cc……AAnn

cc)| = )| = |U| - |(A |U| - |(A11…… A Ann))cc|=|=

|U| - |A|U| - |A11……AAnn| = | = |U| - |A|U| - |A11| - |A| - |A22| -…- |A| -…- |Ann| +| + + |A + |A11AA22| + |A| + |A11AA33|+ …+|A|+ …+|An-1n-1AAnn||+ |A+ |A11AA22AA33|+ … + |A|+ … + |An-2n-2AAn-1n-1AAnn|-…|-… (-1) (-1)nn |A |A11AA22……AAnn||

Números de StirlingNúmeros de Stirling

Sob(m, n) = Sob(m, n) = kk=0=0mm C Cmm

kk (-1) (-1)kk (n-k) (n-k)mm

S(m, n) = Sob(m,n)/n!S(m, n) = Sob(m,n)/n! Sob(m, n) = Cant. de formas de distribuir Sob(m, n) = Cant. de formas de distribuir

m objetos distinguibles en n cajas m objetos distinguibles en n cajas distinguibles sin que queden cajas vacíasdistinguibles sin que queden cajas vacías

S(m, n) = Cant. de formas de distribuir m S(m, n) = Cant. de formas de distribuir m objetos distinguibles en n cajas objetos distinguibles en n cajas indistinguibles sin que queden cajas indistinguibles sin que queden cajas vacíasvacías

Resumen de técnicas de Resumen de técnicas de conteoconteo

Básicas: combinaciones, etcBásicas: combinaciones, etc Inducción completaInducción completa Inclusión-exclusiónInclusión-exclusión Principio del palomarPrincipio del palomar

Relaciones de recurrenciaRelaciones de recurrencia

Ejemplo: ¿de cuántas formas se Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?baldosas de 1x2?

Relaciones de recurrenciaRelaciones de recurrencia

Si fuera chico sería más fácil de Si fuera chico sería más fácil de contar!contar!

Empecemos por los más chicos: 2x1, Empecemos por los más chicos: 2x1, 2x2, 2x3, etc:2x2, 2x3, etc:

Baldosado 2x3Baldosado 2x3

BaldosadoBaldosado

2x2

2x3

2x4

BaldosadoBaldosado

En general si voy a construir cualquier En general si voy a construir cualquier baldosado, tengo exactamente dos formas baldosado, tengo exactamente dos formas de empezar:de empezar:

con con unauna baldosa vertical o baldosa vertical o Con Con dos dos baldosas horizontalesbaldosas horizontales

En el primer caso el resto lo baldosamos En el primer caso el resto lo baldosamos como si el patio fuera largo n-1 mientras como si el patio fuera largo n-1 mientras que en el segundo como si fuera de n-2que en el segundo como si fuera de n-2

Así aAsí an n = a= an-1n-1 + a + an-2n-2 mientras que a mientras que a11 =1 y a =1 y a22 = 2.= 2.

BaldosadoBaldosado

Así aAsí an n = a= an-1n-1 + a + an-2n-2 mientras que a mientras que a11 =1 =1 y ay a22 = 2. = 2.

De aquí la sucesión es: 1De aquí la sucesión es: 1 22 33 5588 1313 2121 3434 5555 8989 144144

233233 377377 610610 987987 15971597 De donde hay 1597 formas de De donde hay 1597 formas de

baldosar un patio de 2x16.baldosar un patio de 2x16.

BaldosadoBaldosado

¿Asintóticas?¿Asintóticas?

inducción completa

Documents