matemáticas para ciencias de la computación mcc3182

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

Profesor: Claudio Gutiérrez SotoPágina Web: http://www.dcc.uchile.cl/~clgutier

e-mail: [email protected]

Fono: 207 122


General

Esencialmente la asignatura está orientada al análisis de algoritmos. Se le dará énfasis en el desarrollo de ejercicios y tareas por parte del

alumno, esto en la resolución de análisis de algoritmos clásicos y avanzados.

Teoría

Clases expositivas orales y escritas. Desarrollo de ejercicios durante y al final de cada unidad, por parte

del profesor y alumnos.


Contenido:Inducción matemática. Relaciones y FuncionesDigrafosTeorema de DilworthRelaciones y GrafosÁrbolesSumatoriasSeries especiales (harmónicas, stirling) Notación AsintóticaRepaso análisis algoritmosEcuaciones de recurrenciaPermutaciones y factorialesProbabilidad DiscretaAlgoritmos sobre grafosAlgoritmos probabilísticos


¿Cuál es la diferencia entre las matemáticas discretas y las matemáticas continuas?

En realidad no existe diferencia, las matemáticas discretas se utilizan para el análisis de colecciones finitas de objetos, en contraste con las matemáticas continuas, que estudian procesos continuos. En las ciencias de la computación los elementos con los cuales se trabajan son elementos finitos, tale como: memoria, los programas, las sentencias que se ejecutan en dichos programas etc.


Valores y Datos

Problemas (Pre-condición /Post-Condición)

Definición de Algoritmo

Definición Intuitiva ( Finitud, definibilidad, generalidad,efectividad)

Observaciones (procesador, problemas)

Métodos de Calculo (MT)

Tesis de Charch

Análisis de Algoritmo (tiempo y espacio)

Estrategias de Análisis (Empírica, teórica e híbrida)

Principio de Invarianza (Mejor,Peor y Medio)

Matemáticas para Ciencias de la Computación

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Propiedades :

1.1.- f ( n ) O ( f ( n ) )

2. 2.- a ) O ( f ( n ) ) O ( g ( n ) ) f ( n ) g ( n )

b ) O ( f ( n ) ) = O ( g ( n ) ) f ( n ) g ( n ) y g ( n ) f ( n )

3.- Si t ( n ) O ( f ( n ) ) y t’ ( n ) O ( g ( n ) )

a ) c * t ( n ) O ( f ( n ) )

b ) t ( n ) + t ‘ ( n ) O ( f ( n ) + g ( n ) ) = O [ max ( f ( n ) , g ( n ) ) ]

si f ( n ) es comparable asintóticamente con g ( n )

c ) t ( n ) * t’ ( n ) O ( f ( n ) g (n ) )

Ej. : t ( n ) = 3n² + 6n = ( 3n² + 6n ) = { 1º prioridad }

= O [ max ( 3n² , 6n ) ] = { 3º } = O ( 3n² ) ;

; 3n² O ( n² ) = { 3º a }

Ej. : t ( n ) = 4 log n + 6n = O ( log n + n ) = O [ max ( log n , n ) ] = O ( n )

4 log n O ( log n )

6n O ( n )


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Operaciones Conjuntísticas :

1. O ( f ( n ) ) + O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) + g ( n ) ) = 0 [ max ( f ( n ) , g ( n ) ) ]

si f y g son comparables

El conjunto suma esta formada por funciones se la forma t ( n ) + t’ ( n ) que pertenece respectivamente al 1º y 2º sumando.

2. O ( f ( n ) ) * O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) g ( n ) )

Producto conjustístico esta formado por funciones del tipo t ( n ) * t‘ ( n ) que pertenecen respectivamente al primer factor y al segundo factor.

Ej. : t ( n ) = ( n² + n ) + log n (1ª) O [ ( n² + n ) log n ] = O [ ( n² + n ) O ( log n )] =

max ( n² , n )

= O ( n² ) O ( log n ) = O ( n² log n )


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1.1. Análisis de Algoritmos Iterativos

1 La complejidad de toda asignación , lectura o escritura de variables simples es constante es decir O ( 1 ).

2 El tiempo de ejecución de una secuencia de proposiciones se determina por la regla de la suma.

3. El tiempo de ejecución de una proposición if, es el costo de las proposiciones que se ejecutan condicionalmente, Proposiciones verdaderas+ proposiciones falsas, más el tiempo para evaluar la condición

4. El tiempo para ejecutar un ciclo, corresponde a la suma de las proposiciones que contiene dicho ciclo.

5. Si existen ciclos anidados, el tiempo de ejecución del ciclo mas externo corresponde a la multiplicación de todos los ciclos.


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Análisis de Algoritmos Iterativos


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Análisis de Algoritmos Recursivos


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Function Factorial :

Begin

if n<= 1 then

fact:=1

else

fact:=n* fact(n-1)

End

T(n)= c+T(n-1) si n>1

d si n<=1


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Ordenación por Mezcla :

MezclaOrd ( L [ 1 .. n ] ) : array [ 1.. n ]

Inicio

Si n = = 1 entonces devolver ( L )

Sino

DividirEnDos ( L , L1 , L2 )

Devolver ( mezcla ( MezclaOrd ( L1 [ 1 .. n/2 ] ) , MezclaOrd ( L2 [ 1 .. n/2 ] )

Finsi

Fin

T(n)= c si n=1

2T(n/2)+c2n si n>1


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Ecuaciones de Recurrencia


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Método de Sustitución

Método de Iteración

Teorema Maestro

Método de la Ecuación Característica


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Árboles de Recursión, visualizando la Iteración


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