Matemáticas y matemáticos en los viajes espacialesLuis Alberto Fernández y Cecilia Pola Dpto. Matemáticas, Estadística y Computación
OPTIMIZACIÓN
Problema de la mochila
•Toma de decisiones financieras.
Problema de la Braquistócrona
"Dados dos puntos en un plano vertical a diferente altura, hallar la curva por la que una partícula móvil, descendiendo sólo por su propio peso, alcanza el punto inferior en el menor tiempo posible”
(Johann Bernoulli, 1696)
Teoría de control óptimo
• Sistema • estado del sistema • control • Objetivo: Conducir el sistema hacia un estado
ideal en un intervalo minimizando costes. • Variantes:
– Tiempo final prefijado o no – Restricciones sobre o no – Restricciones sobre o nox
x u
u T
Áreas de aplicación
• Industria: – Automóvil – Papel
• Medicina: – Cáncer – Diabetes
• Economía • Ingeniería • Biología
Proyectos con empresas
–Nexans Iberia (2003)
–Papelera del Besaya (2007)
Papelera del Besaya
PROBLEMA: Minimizar la cantidad de papel que se desperdicia con el corte de una bobina master (que produce bobinas de diferentes anchuras para satisfacer los pedidos).
Optimización entera
• Variables: nº de veces que se usa cada patrón. • Función a minimizar: suma de los desperdicios. • Restricciones: satisfacer los pedidos, dentro de
unos límites
{ } mjx niDxaxaxadsujeto
N
Dificultad: Cuando el número de variables es grande el problema es computacionalmente
muy complejo.
BSH Electrodomésticos
PROBLEMA: aproximar el valor de la temperatura en todos los puntos de una cocina de gas para predecir posibles deformaciones
BSH Electrodomésticos
7
6
3
4
13
14
1
2
16
11
9
12
15
18
17
0
50
100
150
200
250
300
Problema de optimización Para cada instante de tiempo t, consideramos
donde designa la lectura del termopar y
)( )()( 2
∑ −Φ= i
iiw xxwxS )()(
es la función aproximante a determinar. Añadimos restricciones para modelizar la información conocida del proceso físico.
jx
numérica – Optimización y
control de sistemas
– EDP en Ciencia e Ingeniería
• En el Grado de Matemáticas: – EDO – EDP – Cálculo numérico – Optimización – Taller de
Modelización – Espacios de Hilbert
• “Técnicas matemáticas para el problema de cortado”. Laura Fernández (TD, 2010).
• “Estudio teórico de algunos problemas de control óptimo que surgen de la modelización del tratamiento del cáncer con quimioterapia”. Sara González (TD, 2011).
• “Estudio computacional de algunos problemas de control óptimo que surgen de la modelización del tratamiento del cáncer”. Anuar Khan Alí (TFM, 2011).
• “Modelos matemáticos para la diabetes”. Iván Alonso (TFG, 2014).
• “Modelos de ED para la propagación de enfermedades infecciosas”. Andrea García (TFG, 2015).
Trabajos de alumnos (I)
• “Técnica de optimización para la recuperación de imágenes”. Carlos Laguillo (TFG, 2015).
• “Modelos matemáticos en macroeconomía”. Lucía Méndez (TFG, 2015).
• “Técnicas de control en modelos matemáticos para la diabetes”. Iván Alonso (TFM, 2015).
• “Modelos de crecimiento de poblaciones con EDO“. Zaira Ortiz (TFG, 2016). Co-directora: Delfina Gómez.
• “One dimensional model in crowd dynamics including pushing forces”. Juan Claramunt (TFG, 2016).
Trabajos de alumnos (II)
• “Aproximándose con RBF”. Marina Esgueva (TFG, 2016). • “Recuperación de soluciones sparse usando métodos de
optimización de puntos interiores”. Ana López (TFG, 2016). • “Resolución de la Ec. de Poisson usando RBF”. Marina Esgueva
(TFM, 2017). • “Caos en sistemas dinámicos discretos”. María Fátima
Fomperosa (TFG, 2017). • “Farmacocinética y farmacodinamia: modelización
matemática y control”. Cristina Gutiérrez (TFG, en progreso).
CONSULTAR EN UCREA
• Ramón Escobedo and Luis A. Fernández. “Classical one-phase Stefan problems for describing polymer crystallization processes". SIAM Journal on Applied Mathematics 73, nº 1, págs. 254-280, 2013.
• Ramón Escobedo and Luis A. Fernández. “Free Boundary Problems and Optimal Control of Axisymmetric Polymer Crystallization Processes". Computers and Mathematics with Applications, 68, nº 1-2, págs. 27-43, 2014.
• Luis A. Fernández and Cecilia Pola. “Catalog of the optimal controls in cancer chemotherapy for the Gompertz model depending on PK/PD and the integral constraint". Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, 19, nº 6, págs. 1563- 1588, 2014.
Algunas publicaciones
Número de diapositiva 1
Número de diapositiva 2
Problema de la mochila
Problema de la Braquistócrona
Teoría de control óptimo
Problemas de control óptimo
Diferentes tipos de sistemas