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Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 1Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas

Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas

Dpto de Computación y Sistemas

TEMA III

Universidad de OrienteNúcleo de Anzoátegui

Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas

ESTABILIDAD Y

ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO




ESTABILIDAD Y ERROR DE ESTADOESTACIONARIO

TEMA III – Objetivos

• Objetivo Terminal:

Analizar la estabilidad y el error de estado estable de los sistemas de control.

• Objetivos Específicos:

Identificar los sistemas con estabilidad bibo.

Aplicar los diagramas de polos y ceros para establecer la estabilidad de un sistema de control.

Aplicar el criterio de estabilidad de routh-hurwitz en el chequeo de la estabilidad de sistemas de control.




TEMA III – Contenido

CONTENIDO

Concepto de estabilidad BIBO

Diagramas de polos y ceros.

Estabilidad absoluta.

Estabilidad relativa.

Conjunto de coeficientes

Casos especiales del conjunto de coeficiente.Caso: primer elemento de una fila cero.

Caso: todos los elementos de una fila iguales a cero.

Polinomio auxiliar

Criterio de estabilidad de routh- hurwitz

Análisis de Error de Estado EstacionarioError de Posición

Error de Velocidad

Error de Aceleración




Análisis de Estabilidad

• Estabilidad BIBO (Bounded input bounded output) (Entrada AcotadaSalida Acotada)

Un sistema Entrada Acotada Salida Acotada es estable si para cada entrada

limitada, la salida es limitada. Una condición necesaria y suficiente para

estabilidad BIBO de un sistema lineal, invariante en el tiempo, es que todas las

raíces características (polos) pertenezcan al semiplano izquierdo (SPI).

(Hosteter. 1990)

Salida acotada

Entrada acotada





• Diagramas de Polos y Ceros• Se basa en la gráfica de las raíces de la función de transferencia de

Lazo cerrado.

• Las Raices del Numerador serán los Ceros (zi) y las del Denominadorserán los Polos (pi)

))(())((

))(())((

)(

)(

121

121

nn

mm

pspspsps

zszszszs

sR

sy

X

X

X X

O

O

O

O

Plano Complejo S

jw





• Conceptos de Estabilidad• En general, la estabilidad de un sistema puede definirse de muchas

formas diferentes, dependiendo de los requerimientos de algunaaplicación especial. Las definiciones más comunes de la estabilidad sonlas siguientes:

• Estabilidad Asintótica:• Un sistema es asintóticamente estable si para todas las condiciones

iniciales posibles su respuesta de entrada cero se aproxima a cero conel tiempo. (Hosteter, 1990. p-123)

• Estabilidad en Respuesta de Impulso:• Se dice que un sistema es estable en el sentido de la respuesta a

impulsos si su respuesta a una entrada de impulso se aproxima a cer conel tiempo. (Hosteter, 1990. p-123)

• Estabilidad en el sentido de Liapunov:• Los sistemas físicos, en particular aquellos que son variables en el

tiempo y no lineales, se pueden considerar que son estables si se cumpleen ellos el principio de la conservación de la energía. Para que surespuesta “aumente” se requiere un suministro continuo de energía.





• Estabilidad Absoluta• La estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante en el tiempo se

refiere exclusivamente a la estabilidad o inestabilidad de un sistema decontrol o respuesta del mismo, de acuerdo a la ubicación de los polos delazo cerrado.

• Un sistema es Estable cuando todos sus polos de lazo cerrado seubican en el semiplano izquierdo (SPI) del plano complejo “S”.

• El sistema es Inestable cuando al menos un polo de lazo cerrado seubica en el semiplano derecho (SPD) del plano “S”

Zona

De

Inestabilidad

jwImaginario

Real

Zona

De

Estabilidad





• Estabilidad Relativa• Se emplea para indicar que tan estable es un sistema. En el dominio del

tiempo la estabilidad relativa se mide por parámetros tales como elsobreimpulso máximo y el factor de amortiguamiento relativo. En eldominio de la frecuencia el pico de resonancia se puede emplear paraindicar la estabilidad relativa. (Kuo, 1996. p.p. 605-606)

• Un sistema que tiene todas sus raíces características (polos) en el SPI,pero una o más raíces están próximas al eje imaginario, tendrá unarespuesta natural que decae muy lentamente. Entre mayor sea la distanciadel eje imaginario al polo más cercano de un sistema estable más rápido seextingue la componente de respuesta natural del sistema.

jw

En esta región> 0.4

ts < (4/ )




Prueba de Estabilidad de Routh - Hurwitz

• Prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar la cantidad depolos que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin factorizar, cabedestacar que sólo aplica a los polinomios con cantidad finita de términos.

La prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz se aplica partiendo del polinomio

caracterísctico del sistema que se desea estudiar.

001

4

4

3

3

2

2

1

1aSaSaSaSaSaSa

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

A partir de este se forma el Conjunto de Coeficientes utilizando los coeficientes

de cada uno de los términos de S que posea dicho polinomio.

Esto se debe realizar de manera especial como se indica en la siguiente lámina.




Prueba de Estabilidad de Routh – Hurwitz

b1= an-1* an-2- an* an-3

an-1

b2= an-1* an-4- an* an-5

an-1

.... bj= an-1* a1- an* a0

an-1

c1= b1* an-3- an-1* b2

b1

c2= b1* an-5- an-1* b3

b1

....

d1= c1* b2- b1* c2

c1

d2= c1* b3- b1* c3

c1

....

q1

001

4

4

3

3

2

2

1

1aSaSaSaSaSaSa

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

an an-2 an-4 .... a1

an-1 an-3 an-5 .... a0

Sn

Sn-1

Sn-2

Sn-3

Sn-4

S1

S0

• Conjunto de Coeficientes. Cálculo de Coeficientes.

.

.

.

.

.

.




Sn an an-2 an-4 .... a1

Sn-1 an-1 an-3 an-5 .... a0

Sn-2 b1 b2 .... bj

Sn-3 c1 c2 ....

Sn-4 d1 d2 ....

S1

S0 q1

Pri

me

ra c

olu

mn

a


• Criterio de Estabilidad de Routh-HurwitzEl sistema es estable si todos los elementos de la primera columna son del mismo signo; es decir, si no hay cambios de signos entre ellos.

El sistema es Inestable si existe cambio de signo entre los elementos de la primera columna.

Habrán tantos Polos en el semiplano derecho (SPD) del plano complejo “s” como cambios de signo existan en la primera columna del conj. De coef.

.

.

.




Ejemplos para resolver en casa

1. S5 + 10S4 + S3 + 2S2 + 3S + 1

2. 2S4 + 2S3 + S2 + 3S + 6

3. S6 + 2S5 + 5S4 + 3S3 + S2 + 6S + 4

13

11

13

-15

40

3

13S0

39.22S2

4S4

10.52S1

-77S3

8S58S5 + 3S3 + 11S

4S4 + 40S2 + 13

-77S3 - 15S

39.22S2 + 13

10.52S


• Polinomios en un conjunto de coeficientes




Este caso se presenta cuando el primer elemento de alguna de las filas es cero.

El elemento cero se sustituye por un número ( ) que se considera muy pequeño pero

positivo o mayor que cero. Después se siguen calculando los demás coeficientes delconjunto, donde algunos quedarán en fucnción de .Para evaluar los signos donde esté involucrado , se considera que es un número

bastante pequeño y se evalúa el signo resultante de la función de completa.

S5 2 2 1

S4 4 4 3

S3 4x2 –2x4=0

4

4x1-2x3=-0.5

4

S2

S1

S0

S5 2 2 1 (+)

S4 4 4 3 (+)

S3-0.5

No se toma en cuenta

S2 4x +4x0.5= 4 +2 3 -0=3 - (+)

S1 -3 2-2 -1

4 +2

- (-)

S0 3 - (+)

Ejemplo: 2S5 + 4S4 + 2S3 + 4S2 + S + 3

(1)

Dos

Cambios

(2)

Casos Especiales de la Prueba de Routh-Hurwitz

A) Primer Elemento de un Fila Igual a Cero




Este caso se presenta cuando todos los elementos de alguna de las filas del conjunto de coef.

son cero.

Se debe determinar una nueva fila de coeficientes para sustituir los ceros de esa fila y

continuar los cálculos.

Se forma un polinomio auxiliar en “S” con los coeficientes de la superior a la fila con ceros.

Se deriva el polinomio auxiliar respecto a “S” y los nuevos coeficientes resultantes se sustituyen

por los ceros.

Luego se siguen calculando los demás coeficientes de forma normal.

En la inspección de signos, si se considera la fila con ceros, pero con los nuevos coeficientes.

S5 8 2 1

S4 4 1 0.5

S3

S2 ? ?

S1 ?

S0 ?

Fila Superior a ceros

Ejemplo: 8S5 + 4S4 + 2S3 + S2 + S + 0.5


B) Todos los elementos de una Fila Iguales a Cero

0 0




S5 8 2 1

S4 4 1 0.5

S3 0 0

S2 ? ?

S1 ?

S0 ?

Fila Superior a ceros

Polinomio Auxiliar=

Paux(s) = 4S4 + S2 + 0.5

S5 8 2 1

S4 4 1 0.5

S3

S2

S1

S0

Dos Cambios

Sistema Inestable

Análisis del Caso

El hecho de que exista una fila completa con

ceros es un indicativo de que “es posible” que

existan raíces sobre el eje imaginario.

Esto se inspecciona analizando los cambios de

signos por encima y por debajo de la fila con

ceros; verificando si sobra alguna raiz en la

zona debajo de la fila con ceros que no se

encuentre en cuadratura. Si esto es así,

entonces existirán raíces sobre el eje

imaginario.

dPaux(s)/ds = 16S3 + 2S

16 2


B) Todos los elementos de una Fila Iguales a Cero (cont)

8/16 0.5

-112/8

0.5

(+)

(+)

(+)

(+)

(-)

(+)




S5 8 2 1 (+)

S4 4 1 0.5 (+)

S3 16 2 (+)

S2 8 .

16

0.5 (+)

S1 -112

8

(-)

S0 0.5 (+)

Dos

Cambios

Esta zona es la que dirá si existen o no polossobre el eje imaginario (EI). Es como dividirel problema en dos partes. Se analiza estaparte y se ubican los signos formando lascuadraturas con los cambios de signosexistentes y de acuerdo al N° de raícesdisponibles para formar. En este caso seobserva que la zona empieza desde S4 , por loque se trabajará con 4 raices.

En la zona de interés (verde) se observa que hay dos cambios de signo, lo que implica que existen dosraices en el SPD, con estas dos se forma la cuadratura como se indica abajo, y se completan las 4raíces de la zona; por lo que no sobra ninguna raíz y se deduce que no hay ríces sobre el eje imaginario.

X

X

X

X

Plano S

jwDe la zona azul, se

deduce que no hay

cambios de signos, por lo que la raiz restante

estará en el SPI

X

X

X

X

Plano S

jw

X


• Análisis para Ubicación de Raíces




La prueba de Routh-Hurwitz sirve para inspeccionar los rangos de estabilidad para

alguna constante que intervenga en el sistema de control.

Se construye el conjunto de coeficientes de acuerdo a los casos normales y casos A y B

de la prueba de Routh-Hurwitz. En este conjunto aparecerá la constante involucrada.

Si alguno de los elementos numéricos de la primera columna es negativo, entonces el

sistema no se puede ajustar para estabilidad.

Si todos los elementos de la primera columna que son numéricos nada mas, son

positivos, el sistema se puede ajustar para que alcance la estabilidad. Se procede

entonces a hacer mayor que cero a todos los elementos de la primera columna que

contengan a la ganancia involucrada (K). De estas inecuaciones se determinará un rango

de solución por métodos conocidos.

Sistemas Ajustables. Control Proporcional

-

Planta

Controlador

+R eY

u

Diseño de Control Proporcional por medio de la Prueba de Routh-Hurwitz

Kp




Sistemas Ajustables. Control Proporcional

Diseño de Control Proporcional por medio de la Prueba de Routh-Hurwitz

Ejemplo:

Sea un sistema de control realimentado cuya Ecuación Característica es :

S5 + 4S4 + S3 + 3S2 + 5S + Kp = 0

Determinar Kp para que el sistema sea estable.

S5 1 1 5 (+)

S4 4 3 K (+)

S3 0.25 (20-K)/4 (+)

S2 (4K – 77) K (+)

S1 (K2-24.5K+85)

(4K-77)(+)

S0 K (+)

4K – 77 > 0 {K > 19.25}

(K2-24.5K+85)

(4K-77)

K > 0 {K > 0}Término

K2-24.5K+85 + - - +

4K-77 - + + +

Función - - - +

20.3

1

4.1

8

19

.25

Solución {K>20.31}

Solución Final Sistema Inestable

K>0K>19.25

K>20.31




Error de Estado Estable

ANÁLISIS DE ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO O ESTADO

ESTABLE




)(lim)(lim)(0

sFstFFst

El tipo de sistema de control está definido por el orden de integradores que contenga la función de transferencia de lazo abierto de dicho sistema (G(s)H(s)).

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1()()(

4321sTsTsTsTsT

sTsTsTsTKsHsG

n

mcba

TS

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(

)(

)()()(

43214321

321

sTsTsTsTsTS

sTsTsTsT

ppppp

zzzzksHsG

n

T

mcba

n

m

TS

)())()()((

)())()(()()(

4321

321

n

T

m

pspspspspsS

zszszszsksHsG

TS

Tipos de Sistema:

T=0 Tipo Cero; T=1 Tipo Uno; T=2 Tipo Dos; .... ; T=n Tipo n

Análisis de Error de Estado Estacionario

Introducción

Teorema del Valor final




Error en Lazo Cerrado

+-R(S)

G(s)Y(s)

H(s)

B(s)

E(s) ECUACIONES

E(s) = R(s) – B(s) (1)

B(s) = Y(s)*H(s) (2)

Y(s) = E(s)*G(s) (3)

Con las ecuaciones 1, 2 y 3 se determina la fdt E(s)/R(s); (3) En (2) y el resultado en (1) se tiene:

?)(

)(

sR

sE

)()(1

1

)(

)(

sHsGsR

sE

)()()(1

1)( sR

sHsGsE

)())()(1)((

)()()()()(

sRsHsGsE

sHsGsEsRsE

Es el que existe cuando la respuesta alcanza el estado estacionario

Valor deseadoY(t)

RégimenPermanente

O Estacionariot

Error de estadoEtacionario ess

Análisis de Error de Estado Estacionario

• Error de Estado Estacionario (ess)

Error en función de la entrada




)()()(1

1)( sR

sHsGsE

ssR

1)(

ssHsGsE

1

)()(1

1)(

Aplicando teorema de Valor final a E(s) se obtiene el error de estado estacionario ess

)(lim)(0

sEseEs

ss

ssHsGse

sss

1

)()(1

1lim

0 )()(1

1lim

0 sHsGe

sss

)()(lim1

1

0

sHsGe

s

ss

El término del denominador )()(lim0

sHsGs

Representa la Constante Error de Posición (Kp)

)()(lim0

sHsGKs

p

p

ssK

e1

1

La constante Kp se evalua para los diferentes tipos de sistemas utilizando la ecuación de la diap. 20 y así se cuantifica el error de estado estacionario para cada tipo de sistema.

Error de Posición

• Error de lazo cerrado ante entrada Escalón Unitario (Error de Posición)

Error de posición




Error de Posición para sistema tipo cero (T=0)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1()()(

4321sTsTsTsTsT

sTsTsTsTKsHsG

n

mcba

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

43210 sTsTsTsTsT

sTsTsTsTKK

n

mcba

sp

)()(lim

0

sHsGKs

p

Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:

)10()10)(10)(10)(10(

)10()10)(10)(10(lim

0

KK

sp

KKKs

p)1(lim

0KK

p

El error de posisción es entonces:K

ess

1

1

Error de Posición para sistema tipo Uno o mayor (T 1)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

43210 sTsTsTsTsTs

sTsTsTsTKK

n

T

mcba

sp

)()(lim

0

sHsGKs

p


)10()10)(10)(10)(10(0

)10()10)(10)(10(lim

0

T

sp

KK0

0lim

0

KKs

p pK

El error de posisción es entonces: 01

1

1

1

p

ssK

e0

sse

Error de Posición para Tipos de Sistemas

p

ss

Ke

1

1




)()()(1

1)( sR

sHsGsE

2

1)(

ssR

2

1

)()(1

1)(

ssHsGsE


)(lim)(0

sEseEs

ss

20

1

)()(1

1lim

ssHsGse

sss

)()(

1lim

0 sHssGse

sss

)()(lim

1

0

sHsGse

s

ss


sHssGs

Representa la Constante Error de Velocidad (Kv)

)()(lim0

sHssGKs

v

v

ssK

e1

La constante Kv se evalua para los diferentes tipos de sistemas utilizando la ecuación de la diap. 20 y así se cuantifica el error de estado estacionario para cada tipo de sistema.

Error de Velocidad

• Error de lazo cerrado ante entrada Rampa Unitaria (Error de Velocidad)

Error de Velocidad




Error de Velocidad para sistema tipo cero (T=0)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1()()(

4321sTsTsTsTsT

sTsTsTsTKsHsG

n

mcba

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

43210 sTsTsTsTsT

sTsTsTsTsKK

n

mcba

sv

)()(lim

0

sHssGKs

v


)10()10)(10)(10)(10(

)10()10)(10)(10()0(lim

0

KK

sv

0v

K

El error de velocidad es entonces: sse

Error de Velocidad para sistema tipo Uno

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

43210 sTsTsTsTsTs

sTsTsTsTKsK

n

mcba

sv

)()(lim

0

sHssGKs

v


)10()10)(10)(10)(10(

)10()10)(10)(10(lim

0

KK

sv

KKKs

v1lim

0KK

v

El error de velocidad es entonces:KK

e

v

ss

11

Ke

ss

1

0

11

v

ssK

e

)1)()(0(lim0

KKs

v

Error de Velocidad para Tipos de Sistemas




Error de Velocidad para sistema tipo Dos o Mayor (T 2)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

43210 sTsTsTsTsTs

sTsTsTsTKsK

n

T

mcba

sv

)()(lim

0

sHssGKs

v


)10()10)(10)(10)(10(0

)10()10)(10)(10(lim

)1(0

T

sv

KK0

1lim

0

KKs

v vK

El error de velocidad es entonces: 011

v

ssK

e 0ss

e

Error de Velocidad para Tipos de Sistemas




)()()(1

1)( sR

sHsGsE

3

1)(

ssR

3

1

)()(1

1)(

ssHsGsE


)(lim)(0

sEseEs

ss

30

1

)()(1

1lim

ssHsGse

sss

)()(

1lim

220 sHsGss

es

ss)()(lim

1

2

0

sHsGse

s

ss


0

sHsGss

Representa la Constante Error de Aceleración (Ka)

)()(lim2

0

sHsGsKs

a

a

ssK

e1

La constante Ka se evalua para los diferentes tipos de sistemas utilizando la ecuación de G(s)H(s) de la diap. 33 y así se cuantifica el error de estado estacionario para cada tipo de sistema.

Error de Aceleración

• Error en Lazo Cerrado ante una entrada Parabólica [ r(t)=½ t2 ] (Error de Aceleración)




Error de Aceleración para sistema tipo cero (T=0)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1()()(

4321sTsTsTsTsT

sTsTsTsTKsHsG

n

mcba

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

4321

2

0 sTsTsTsTsT

sTsTsTsTKsK

n

mcba

sa

)()(lim

2

0

sHsGsKs

a


)10()10)(10)(10)(10(

)10()10)(10)(10()0(lim

2

0

KK

sa

0a

K

El error de aceleración es entonces: sse

Error de Velocidad para sistema tipo Uno (T=1)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

4321

2

0 sTsTsTsTsTs

sTsTsTsTKsK

n

mcba

sa

)()(lim

2

0

sHsGsKs

a


)10()10)(10)(10)(10(

)10()10)(10)(10()0(lim

0

KK

sa

01)0(lim0

KKs

a 0a

K

El error de aceleración es entonces:0

11

a

ssK

e 0ss

e

0

11

a

ssK

e

)1)()(0(lim0

KKs

a

Error de Aceleración para Tipos de Sistemas




Error de Velocidad para sistema tipo Dos (T=2)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

4321

2

2

0 sTsTsTsTsTs

sTsTsTsTKsK

n

mcba

sa

)()(lim

2

0

sHsGsKs

a


)10()10)(10)(10)(10(

)10()10)(10)(10(lim

0

KK

sa

KKKs

a1lim

0KK

a

El error de aceleración es entonces:KK

e

a

ss

11

Ke

ss

1

Error de Velocidad para sistema tipo Tres o Mayor (T 3)

)1()1)(1)(1)(1(

)1()1)(1)(1(lim

4321

2

0 sTsTsTsTsTs

sTsTsTsTKsK

n

T

mcba

sa

)()(lim

2

0

sHsGsKs

a

)10()10)(10)(10)(10(0

)10()10)(10)(10(lim

20

T

sa

KK0

1lim

0

KKs

a aK

El error de aceleración es entonces:11

a

ssK

e 0ss

e

Error de Aceleración para Tipos de Sistemas




Error en Lazo Cerrado ante entradas escalón, rampa y parabólica

Tipo de

SistemaEntrada Escalón(Error de Posisción

Entrada Rampa(Error de Velocidad)

Entrada Parabol(Error de Aceleración)

TIPO 0

TIPO 1 0

TIPO 2 0 0

TIPO 3 ó > 0 0 0

Ke

ss1

1

Ke

ss

1

Error dePosición

Error deVelocidad

Error deAceleración

t

Y(t)EntradaRampa

ess

Salida

t

Y(t)

EntradaParábola e

ss

SalidaY(t)

RégimenPermanente

t

ess

Error de Aceleración . Tabla Resumen

Ke

ss

1

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