ASIMOV MATEMTICA PARA EL CBC, Parte 1 Matemtica para el CBC, Parte 1

v. 1, 150 p. ; 20 x 27 cm.1. Matemtica - Enseanza. I. Ttulo CDD 510.07 Fecha de catalogacin: ABRIL 2007 2007 Editorial Asimov Derechos exclusiv os Editorial asociada a Cmara del LibroImpreso y encuadernado por: Grf ica Arie Impresores, Mariano Acha 2415, C.A.B.A. - 2da. edicin. Tirada: 100 ejemplares. Se termin de imprimir enmarzo de 2013

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MATEMATICAPARA EL CBC PARTE 1* MATEMATICA CERO * FUNCIONES * FUNC. LINEALES YCUADRTICAS * FUNCIONES TRIGONOMETRICAS *EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS * FUNCIN INVERSA* CONTINUIDAD - LIMITE Ves algo en este libro que no est bien explicado ? Encontrastealgn error ? La notacin que us y o no es la que usa la ctedra ? Mandame unmail y lo corrijo.www.asimov.com.ar

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te ense a razonar. Este es tu caso ? No desesperis ! Aqu estoy para ay udarte !Ojo con esto: No hice escrib esto para expertos en matemtica. Nobusques ac rigurosidad, demostraciones raras o cosas por el estilo.Este no es un libro para docentes. Este es un libro para alumnos.Ms concretamente, es un libro para el alumno que existe en larealidad-real (o sea, v os).Dejame darte unas recomendaciones para cursar la materia* No hay manera de estudiar matemtica a ltimo momento. Tensque llev ar la materia al da e ir haciendo los ejercicios de la gua.Consult los resultados con otros chicos o v erif icalos con losejercicios resueltos que saqu y o.* Trat de no f altar a las clases. Si en tu aula no explican bien,cambiate a otra. ( No digas que te lo dije y o porque se enojan )* Atento. Leer slo teora no sirv e. Ellos te v an a tomar ejercicios.Tens que saber resolv er ejercicios. Conclusin, antes del examenbusc parciales v iejos y resolv elos. Tens algunos para temas deexmenes bajar de mi pgina:

www.asimov.com.arTambin saqu un apunte con parciales resueltos de ao pasado. (No estn para bajar. Estn impresos en papel ). Por ltimo: si te llega a ir mal o tens que recursar... Bueno, no esterrible, che. Siempre v iene bien saber matemtica. Hacela denuev o y sacate mil. ltima cosa: Por f av or, si v es errores o penss que hay cosas queestn mal en este libro, av isame. Entr a la pgina, mandame unmail y lo corrijo. Suerte en el examen !

NDICEMATEMTICA CEROPag2........Pasar de trmino - Despejar 4 Suma de f racciones 5 .......Distributiv a - Factor comn

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6 Ecuacin de la recta 10.......Ecuacin cuadrtica - Parbolas 13 Solucin de una ecuacincuadrtica 16.......Sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitasFUNCIONES20 ........Funciones 23 Funciones Crecientes y decrecientes. 24...Algunos ejemplos de f unciones 30 Funciones Lineales 34.......Interv alos 36 Funcin mdulo 37.......El caso del mov imiento rectilneo unif orme 38 Distancia entre 2 puntos 40.......Ejercicios de parcialesFUNCIONES CUADRTICAS44 Funciones cuadrticas46 Vrtice de una parbola 47.......Recta tangente. 49 Conjunto de positiv idad 50.......Interseccin entre una recta y una parbola. 54 Ejercicios de parcialesCONTINUIDAD - POLINOMIOS58 Continuidad 60.......Teorema de Bolzano 63 Funciones polinmicas 68.......Div isin de polinomios. Teorema del Resto 74 Ecuaciones bicuadrticasCOMPOSICIN DE FUNCIONES76...Composicin de f unciones 80 Cambio de escala. FUNCIN INVERSA - ASINTOTAS84.......Funcin inv ersa 93 Asntotas - Concepto de Lmite 101..... Ejercicios de Parciales FUNCIONES TRIGONOMTRICAS106 ....... Funciones trigonomtricas

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107 Teorema de Pitgoras 109....... Representacin de las f unciones trigonomtricas 111 Representacin de las f unciones sen x y cos x 115........Funciones arco seno y arco coseno 125 Ejercicios de parcialesFUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS128 .......Funcin exponencial130.......Funcin logaritmo. Propiedades 132 Logaritmo natural o neperiano 134...... Ejercicios de parciales

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OTROS APUNTES ASIMOV* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE MATEMATICA Son losejercicios de la gua resueltos y explicados.* PARCIALES RESUELTOS DE MATEMATICA Son exmenes que f ueron tomados el ao pasado. Todos losejercicios estn explicados. Tambin hay parciales resueltos de aosanteriores.* EJERCICIOS RESUELTOS DE OTRAS MATERIASSon ejercicios resueltos de f sica, qumica, matemtica, Biof sica yotras materias del CBC. De todas estas materias hay parcialesresueltos. Tambin hay parciales resueltos de Biologa Celular.OTROS LIBROS DE ASIMOV:* QUMICA PARA EL CBC * FISICA PARA EL CBC * BIOFISICAPARA EL CBCEstos libros tienen lo que se da en clase pero hablado en castellano.

Temas que estn en el libro 2 : DERIVADAS EINTEGRALES

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absolutamente todo lo que f igura v a a aparecer y v as a tener queusarlo. Pero:Alegra!Vas a v er que no es tan dif cil ! EmpecemosPASAR DE TRMINO - DESPEJAR VEREn f sica todo el tiempo hay que andar despejando y pasando detrmino. Tens que saber esto a la perf eccin. No es dif cil. Slotens que recordar las siguientes reglas:1 - Lo que est sumando pasa restando2 - Lo que est restando pasa sumando3 Lo que est multiplicando pasa div idiendo4 - Lo que est div idiendo pasa multiplicando5 - Lo que est como2pasa como raz6 - Lo que est como raz pasa como2

Reglas para pasar de trminoEstas reglas se usan para despejar una incgnita de una ecuacin.Despejar x signif ica hacer que esta letra incgnita x quede sola a unlado del signo igual. ( Es decir que a la larga me v a a tener quequedar x = tanto ).Veamos: Usando las reglas de pasaje de trminos despejar X de lassiguientes ecuaciones:1) 2 = 5 XX est restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5 El 2 estsumando, lo paso al otro lado restando: X = 5 2Por lo tantox=3 Solucin. 82) 4 =XX est div idiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8 8 Elcuatro est multiplicando, lo paso al otro miembro div idiendo: X 4Es decir: x=2 Solucin.3) x2= 25La x est al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como raz: X=25Por lo tanto x=5 Solucin.( En realidad la solucin sera + 5 o - 5 . Eso lo v amos a v erdespus )Resolv ete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X :1) x + 5 = 8 Rta: x = 3

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Simplif icando por dos:3 +5 = 11 Resultado2 4 4 Comprob este asunto con algunas f racciones a v er si aprendiste elmtodo:1)1 +1 Rta : 12 22)1 +1 Rta :3 2 4 43) 1 +1 Rta :3 2 24)1 +2 Rta :7

2 3 6 5)2 +4 Rta :22 3 5 156)7 +5 Rta :64 3 7 217) 1 + 1 Rta : b + aa b a b8) a + c Rta : a.d + b.cb d b dDISTRIBUTIVASupon que tengo que resolv er esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Sepuede sumar primero lo que est entre parntesis , y en ese casome quedara:

2 ( 8 ) = X 16 = X Solucin.Pero tambin se puede resolv er haciendo distributiv a. ( "Distributiv a"signif ica, distribuir el nmero que multiplica ). Eso sera hacer losiguiente:

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Ac v an otro tipo de ejercicios que tambin son importantes:* DADO EL GRFICO, CALCULAR m, b Y DAR LA ECUACIN DELA RECTAa)1 Rta: m =1 ; b = 0 y =1x + 02 22b) 5 Rta: m =5 ; b = 5 y = 5 x+5 6 66c)2 Rta: m = - 1 ; b = 1 y = - 1 x + 11-12 1 1 x 1d)-1 Rta: m= ; b = -1 y = 2 2-2PARBOLAUna parbola es una curv a as . Desde el punto de v istamatemtico esta curv a est dada por la f uncin:Y= a x2+ b x + c Ecuacin de la parbolaFijate que si tuv iera slo el trmino y = b x + c tendra una recta. Alagregarle el trmino con x2la recta se transf orma en una parbola.Es el trmino cuadrtico el que me dice que es una parbola. Ellosdicen que y = a x2+ b x + c es una funcin cuadrtica porque tieneun trmino con x2. Una parbola podra ser por ejemplo:

Y = 2 x2+ 5 x + 8 En este caso a sera igual a 2, b a 5 y c sera 8. Los trminos de laecuacin tambin pueden ser negativ os como en:Y = - x2+ 2 x -1Ac sera a = - 1, b = 2 y c = -1. A v eces el segundo o tercertrmino pueden f altar. ( El primero nunca puede f altar por que es elcuadrtico ). Un ejemplo en donde f altan trminos sera:

Y= 0,5 x2 3 ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 ) o tambin:Y = x2- 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 )La ecuacin tambin puede estar desordenada, entonces para saberquin es a, quin b, y quin c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo:Y = - 3 x - 1 + 5 x2 Ordeno y me queda :

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ecuacin podra ser la ecuacin de un problema del tipo: " Encontrarun nmero x tal que si le resto 3 me da 5 ". Cmo se resolv erauna ecuacin de este tipo ?Rta: Muy f cil. Se despeja x y chau. Fijate :x 3 = 5 x = 5 + 3 x = 8Qu pasa ahora si me dan una ecuacin as ? : x + y = 6 .Esto es lo que se llama una ecuacin con 2 incgnitas. As comoest, no se puede resolv er. O sea, tendra inf initas soluciones. Porejemplo, algunas podran ser:x = 6 ; y = 0 x = 7 ; y = - 1 x = 8 ; y = - 2Creo que v es a dnde apunto. Si trato de buscar 2 nmeros x e y talque la suma sea 6, v oy a tener millones de soluciones. ( Bueno...millones no... inf initas !!! ) Bueno, ahora distinta es la cosa si y o tedigo: " dame dos nmeros cuy a suma sea 6 y cuy a resta sea 4 "Ah el asunto cambia. Este problema SItiene solucin.Matemticamente se pone as:x + y = 6 x - y = 4 Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dosincgnitas. Cmo se resuelv e esto ? Veamos.SOLUCIN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2INCGNITAS Hay v arios mtodos para resolv er 2 ecuaciones con 2incgnitas. Te recuerdo los dos ms f ciles. Supongamos que tengoel sistema:x + y = 6 x - y = 4 MTODO 1 : DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIN ) Sedespeja una de las incgnitas de la primera ecuacin y se reemplazaen la segunda. Por ejemplo, despejo x de x + y = 6. Me queda: x = 6 y. Reemplazando esta x en la segunda ecuacin. Tengo: ( 6 y ) y = 4 Ahora:6 y - y = 4 6 4 = 2 y2 = 2 y y = 1Ya calcul el v alor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las2 ecuaciones originales saco el v alor de x. Por ejemplo, si pongo y =1 en la 1rade las ecuaciones:x + 1 = 6 x = 6 1 x = 5

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Supongamos que tengo un pas determinado tal que h(t) representa ala cantidadde habitantes de ese pas en el tiempo t (t en aos). La f uncin g(t)representa el consumo por habitante en f uncin del tiempo. Sepregunta:a) Cul es el consumo total de ese pas en el ao t?Igual que antes lo que hago es:CONSUMO POR HABITANTE x CANTIDAD DEHABITANTE = CONSUMO TOTAL Si f (t) es el consumototal:f (t) = h(t)xg(t)FUNCIN QUE DA EL CONSUMO TOTAL Ac v es comouna f uncin puede ser producto de 2 f unciones. Ahora, Cuntov alen las f unciones h y g ? Rta: Bueno, no lo s. Pero su productoda el consumo total.EJEMPLO Che, se callan ? Vamos a hacer un ejercicio. Se quierehacer una caja partiendo de una cartulina de 30 cm x 40 cm. Se pidecalcular el v olumen de la caja. El v olumen de la caja ser: Vol =ancho xalto xlargo. Es decir:V = (40 2x) (30 2x) . xAhora, x no v a a poder tomar v alores may ores que 15 cm. Porquesino no tendra caja. Tampoco xpuede ser negativ o. Entonces digoque la f uncin que me da el v olumen de la caja en f uncin de x es:V(x) = (40 2x) (30 2x) . x con 0 < x < 15 Cmo hago si quiero graf icar esto ? Bueno lo que hago es darlev alores a x (entre 0 y 15 ) y sacar los de V(x).Vamos a otro ejemploSupongamos que los precios de la electricidad son los siguientes:2,38 $ costo f ijo que paga todo el mundo0,0634 $ / kilowatt si uno consume menos de 126 Kwh.0,094 $ / kilowatt si uno consume msde 126 Kwh.Encima de esto, se cobra 17,20 % de impuesto sobre el total

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consumido. De manera que v oy a tener 2 f unciones: una paraconsumo may or que 126 Kwh. y otra p/ consumo menor que 126Kw-h. Si no hubiera que pagar ese 17,20 % de ms, lo que habraque pagar sera:Ahora, para aumentar una cosa un 17,20 % lo que se hace esmultiplicar a todo por 17.20 y sumrselo a lo que uno y a tena. (Estohay que pensarlo un poco)100De manera que la f uncin que me dice lo que tengo que pagar (f (x))en f uncin de los kilowats-hora que consumo (x) v a a ser lo quetena antes multiplicado por 1+172, .a1+17,20 . Esto es porque hacerla cuenta a + 17,20 a es lo mismo100 100 100 que hacer ( Lo que hice es sacar a f actor comn).La f uncin queda: Esta f uncin as def inida es lo que el problemapeda calcular. Teniendo la f uncin sta, puedo calcular por ejemplocunto paga un tipo que consumi 122 Kw. (por ejemplo). Para hacereso, reemplazo xpor 122 en la f uncin para x 126 Kwh.

Quedara as : Plata a pagar = 1.172x[ 0,0634 .122+ 2,38]Si el consumo f uera may or a 126 Kw. (por ejemplo130Kw), la cosaquedara:Plata a pagar = 1.172 x[2,38 + 0,0634x126 + 0,094 (130 126)] FINFUNCIONES

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Represento esta f uncin:Esta f uncin es como la f uncin y = x pero igual de los 2 lados. Eleje Y es el eje de simetra. Es como si el eje Y f uera un espejo.EJEMPLO GRAFICAR LA FUNCION f (x) = x - 2Lo que hago es darle v alores a x y f ormar una tabla:Esta f uncin es igual a la f uncin mdulo de x ( l xl ) pero todacorrida para all en 2 lugares. Vamos a hacerlo ahora en f ormaanaltica, es decir, aplicando la def inicin de mdulo.Fjate. Tengo f (x) = x - 2 . Eso signif ica que aplicando la def inicinme queda: Ahora, x -2 0 signif ica x 2 y x -2 < 0 signif ica x < 2. La f uncinqueda def inida as: Fjense ahora esta otra f uncin: f (x) = x - 2. ser igual que laanterior? RTA: NO. Voy a hacer una tabla con v alores y larepresento:Es decir, lo que pasa es que todo el grf ico se v a para abajo en 2unidades. Si tuv iera f (x) = a.x me queda como la x pero msabierta o ms cerrada. Supongamos que a = 2. Le doy v alores a x yme queda: Cul es la pregunta ? Qu para que sirv e la f uncin mdulo ? Rta: Eeehhhhmmm... Que se y o. Para nada. La matemtica es as.Uno def ine cosas y despus se pone a jugar con ellas. Cmo? Que ? Que estoy chapita ? S, s, los matemticos estamos re-chapitas ! ( Risas )EL CASO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORMEEste es un tema de f sica. Alguien cursa f sica ? En f sica laecuacin de la posicin de un mv il que se muev e con mov imientorectilneo y unif orme es: x(t) = xo + v (t to) Esta es una f uncin lineal. V es la v elocidad delmv il y xo es la posicin inicial. ( Es el lugar de donde sali). to es lahora en el momento de salir. Si tengo el caso de que xo = 0 y to = 0 me queda: x(t)= v.tEsta es una ecuacin del tipo y = m x . Ac a y y o la llam x y a xla llam t. Lo dems es lo mismo.

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22d(P1, P2) = (y -y ) + (x -x )21 2 1No v oy a hacer la deduccin de esta f rmula choclaza. Pero si lopenss un poco, v as a v er que sale de plantear el teorema dePitgoras en el tringulo f ormado entre los puntos P1 y P2.Che, ahora ojo, entiendan lo que estoy diciendo. Cuando digo "calcular la distancia" me estoy ref iriendo ef ectiv amente a ladistancia real que hay de un punto a otro. O sea, la distancia quev os podras ir y medir con una regla sobre el papel. Vamos a unejemplo: CALCULAR LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE LOS PUNTOS P1 ( 1 ,4 ) Y P2 ( 3 , 2 )Solucin: Bueno, hago un dibujito y escribo la f rmula La distancia v a a ser: d(P1, P2) =22 (y -y ) + (x -x )21 2 1Entonces: d(P1, P2) = 22 (2 - 4) + ( 3 - 1)d(P1, P2) = 22 (- 2) + ( 2) = 8Raz de 8 es ms o menos 2,82. Si hicieras el dibujito en escala enun papel, la distancia entre P1 y P2 medida con una regla te dara

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FUNCIONES CUADRTICAS

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OTRO EJEMPLO: Representar y = (x -2)2 + 3 El ( x 2) hace que toda la f uncin se corra para all en dosunidades. El +3 hace que toda la f uncin se corra para arriba en 3unidades. El mnimo de la parbola est en x = 2. El eje de simetra es la rectax = 2. La imagen de la f uncin es Im (f ) = R 3 La f uncin f (x) = (x2)2 + 3 no parece tener la f orma f (x) = ax2+ bx+c. Sin embargo es una cuadrtica. Fijate. Hago el cuadrado delbinomio y v eamos que da: f (x) = ( x 2 )2 + 3 = ( x2 2.2 x + 22) + 3 cuadrado del binomio f (x) = x2 4 x + 4 + 3 f (x) = x2 4 x + 7 Es lo mismo escribir la ecuacin de cualquiera de las dos maneras? Rta: SI, es lo mismo. Lo que pasa es que si quiero graf icar, laprimera manera me permite hacerlo prcticamente sin tener quehacer una tabla.

Por ejemplo quiero que dibujen a ojo esta f uncin: Y = 3 ( x + 1)2 +4. Vay an pensndolo. Listo ? Bueno. a v er que hicieron ? El + 1 me dice que la f uncin est corrida para all en 1 unidad. El+ 4 me dice que la parbola est corrida en 4 unidades para arriba. El- del 3 indica que v a para abajo. De manera que el grf ico tiene quedar algo as: El 3 que signif ica ? Bueno, solamente me dice si la parbola v a aser ms ancha o ms angosta. ( as o as ) Ahora quiero poner todo esto en f orma general. Supongamos quetengo la parbola escrita en la f orma f (x) = a (x - )2 + Eso querr decir que el v rtice est en el punto (,) Ojo, ( , ), NO (- , ). Recuerden esto. Si a es positiv a la cosa ir para arriba (sonriente ). Si a es negativ ala cosa ira as (triste). El eje de simetra ser la recta x = . VRTICE DE UNA PARBOLAHay una cosa que se llama completar cuadrados. La deduccin no lav oy a hacer. Les v oy a dar las f rmulas f inales. Estas f rmulassirv en para escribir la parbola en la f orma y = a (x - )2 + , si a

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Vamos a hacer un ejemplo: HALLAR LA INTERSECCIN ENTRE LA RECTA g(x) = 3x + 2 Y LAPARBOLA f (x) = 2x2 + 8x -1 Bueno, lo que hago es graf icar la recta y la parbola y v er donde secortan.Lo que hice f ue resolv er el ejercicio grf icamente. Ahora quieroresolv erlo analticamente. Qu hago ? A v er, piensen. Claro, tengoque igualar las dos ecuaciones y despejar x. Entonces: Hago f (x) =g(x) :

2x2 + 8x - 1 = 3x + 2 2x2 + 8x - 3x - 1 - 2 = 0 2x2 + 5x - 3 = 0 Aplico la f rmula para las races de la ec.cuadrtica y me da:Estas son las coordenadas de x donde se cortan la recta y laparbola. Para hallar las coordenadas y, lo que hago es reemplazarx1 y x2 en la ecuacin de f (x) o de g(x). Si hice todo bien, tendraque dar lo mismo. Si hago eso me da:

g(-3) = 3(-3) + 2 = -7 g(1/2) = 3(1/2) + 2 = 3.5 Entonces, los puntos de encuentro son:Quiero que v eas ahora otra aplicacin de todo este tema def unciones cuadrticas. Vamos a hacer el problema del rendimientode la naf ta. PROBLEMA:EL RENDIMIENTO DE NAFTA r (EN Km/LITRO) DE UNAUTOMOVIL EST RELACIONADO CON LA VELOCIDAD ( ENKm/h ) POR LA FUNCIN: r(v ) = -1/3 v 2 + 60 v con 0 < v < 180a) HALLAR LOS VALORES DE v PARA LOS CUALES ELRENDIMIENTO DE NAFTA AUMENTA CON v Y LOS VALORES DEv PARA LOS CUALES EL RENDIEMIENTO DE NAFTA DISMINUYE.b) HALLAR LA VELOCIDAD PARA LA CUAL EL RENDIEMITNO ESMXIMO Y CACULAR DICHO RENDIMIENTO.

a) Tengo que graf icar la f uncin r (v) = 1/3 v 2 + 60 v. Esto me v a adar una parbola que v a para abajo. Fijate que el domino est

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restringido (la f uncin solo para v alores de v comprendidos entre0 y 180 Km/h.Para graf icar, hago lo de siempre. Calculo las coordenadas delv rtice. Haciendo las cuentas me da: a) Entonces v eo que el rendimiento de naf ta aumenta en ( 0, 90 ) ydisminuy e en ( 90, 180 ).b) La v elocidad para la cual el rendimiento es mximo es v = 90Km/h. El mximo rendimiento ser r = 2.700 Km/L. PROBLEMA: Se lanza una pelota desde 25 m de altura. Piden hacerel grf ico de la posicin en f uncin del tiempo y preguntan en quemomento la pelota v uelv e a estar a 25 m de altura. Dan como datola ecuacin de la posicin en f uncin del tiempo que es: s(t) = - 16(t-3)2 + 169 Para t 0Hago el grf ico de esto. Las coordenadas del v rtice son ( 3, 169 ).Vamos a v er dnde corta esta f uncin al eje t. En este caso comotengo expresada la f uncin en la f orma y = a (x)2 + . Puedodirectamente despejar directamente ( t - 3)2 sin usar la f rmula parala ecuacin cuadrtica. Igualo a cero:

- 16 (t -3)2 + 169 = 0 - 16 (t -3)2 = -169 (t -3)

2 = 16916Los 2 signos menos se cancelan. Ahora lo que no se tienen queolv idar es que cuando pasan el 2 al otro lado como raz cuadrada,esa raz tiene doble signo.

Miren: (t -3)2 = 169 t 3 = 169 t 1,2 = 3 3,25 16 16Si hubiera hecho esto aplicando la f rmula para la ecuacincuadrtica me hubiera dado lo mismo ? Rta: S, claro. TIENE QUE DAR LO MISMO. (Probalo). El grf icoqueda:

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b b24ac Los ceros son 11/3 y 13/32aEl dominio nos queda div idido en tres interv alos (lo div idimos en losceros). Vemos que es positiv a en (, 13/3) U (11/3 , +)3 2 32. Sea f(x)= .Hallar el valor de c R de manera que 42la imagen de f sea el intervalo [-3;+). Para el valor dec encontrado,hallar el conjunto de positividad de f La f uncin tiene un mnimo en el v rtice. La abscisa del v rtice lacalculamos como xv = b . En este caso, nos da xv = -12aEntonces, el mnimo v alor de la f uncin v a a ser f (-1) = 3/4 (-1)2 + 3/2 (-1) + c = c 3/4Nos piden que la imagen de la f uncin sea [-3 ; +) el mnimo es-3

c 3/4 = -3 c = -3 + 3/4 c = 9/4Entonces, la f uncin nos queda f (x) = 3/4 x2 + 3/2 x 9/4

Calculamos los ceros: b b24ac 1 y - 3 2aEl dominio nos queda div idido en tres interv alos:

( ; -3) f (-4) = 15/4 > 0 (-3; 1) f (0) = 9/4 < 0 (1; +) f (2) = 15/4 > 0

El conjunto de positiv idad es ( ; -3) U (1 ; +) FINFUNCIONES CUADRTICAS* CONTINUIDAD * POLINOMIOS * COMPOSICION DEFUNCIONESCONTINUIDAD - TEOREMA DE BOLZANO - DIVISIN DEPOLINOMIOS - TEOREMA DEL RESTO - INTERVALOS DEPOSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD - COMPOSICION DE FUNCIONES

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la derecha o a la izquierda o arriba o abajo. La f uncin se puedeagrandar, se puede achicar, puede ref lejarse sobre el eje x o sobre eleje y. Eso es lo que quiero que v ean.

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FUNCIN INVERSARecta a 45 ( Espejo ) FUNCIN INVERSAUstedes saben que puedo tener una f uncin F que v a de unconjunto A a otro conjunto B. Ahora busco la f uncin INVERSA, esdecir la f uncin que v a de B a A. Pregunto: Siempre existir esaf uncin ? Fjense en este ejemplo:

A f B A f -1 B

Podra ser F-1 una f uncin ? Respuesta: no. Fjense que no. Haydos cosas que no se cumpliran. Por un lado habra un elemento queno tendra imagen ( ). Por otro lado habra un elemento con dosimgenes ( )Entonces, qu tendra que pasar para que existiera f uncin inv ersa? Y bueno, de cada elemento tendra que salir UNA SOLA f lecha yesa f lecha tendra que llegar a UN SOLO elemento. Es decir, tendrf unciones inv ersas cuando tenga grf icos de este tipo:

ESTA FUNCIN PUEDE TENER INVERSAEsto escrito en f orma matemtica queda as: 1) se debe cumplir que Imagen f = Codominio F 2) dado un elementoY0 que pertenece a la imagen de F, debe existir un nico x0 quepertenezca al dominio de F tal que F(x0) = Y0 A estas dos cosas lev amos a poner nombre. Decimos as (esto antenlo): FUNCIN SURYECTIVA: una f uncin es sury ectiv a si la imagen dela f uncin coincide con el conjunto de llegada (codominio).FUNCIN INYECTIVA: una f uncin ser iny ectiv a si cada Y0 esimagen de un nico elemento del dominio. Ahora, si una f uncin es sury ectiv a e iny ectiv a a la v ez decimosque la f uncin es BIYECTIVA. Siempre que una f uncin seaBIYECTIVA tendr inv ersa. Vamos a v er algunos ejercicios parareconocer cundo una f uncin es biy ectiv a, sury ectiv a y todo eso.EJEMPLO: Dada la funcin f(x)= x + 2 decir si tiene inversa.Bueno, hagamos el grf ico:

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y y = x + 2 xEl Codominio son todos los reales. La imagen de la f uncin tambinson todos los reales. De manera que la f uncin es sury ectiv a. Todala imagen coincide con todo el codominio. 2Para saber si esiny ectiv a tengo que f ijarme si existe algn v alor Y0 que sea imagende dos elementos. Para eso trazo una recta paralela al eje x y mef ijo si corta la f uncin en ms de un punto.Y0Veo que la recta corta en un solo punto, la f uncin dada esiny ectiv a. Conclusin: F es sury ectiv a e iny ectiv a, F esbiy ectiv a y tiene inv ersa. Vamos a este otro caso: Miren esta f uncin: f (x)= x2

Veo que la imagen son 0. El codominio son todos los reales, por lotanto F(x)= x2 no es sury ectiv a. Si trazo una recta horizontal, v eoque corta el grf ico en ms de un punto. la f uncin dada tampocoes iny ectiv a. Entonces... tendr inv ersa ? Rta : No, por que no esbiy ectiv a. Ahora v amos a hacer unos ejemplos ms:EJERCICIO: Dado el siguiente grfico: a) Resolver la ecuacin F(x)=0. b) Para qu valores tiene solucin la ecuacin F(x)= Y0?a) Bueno, cundo la f uncin dada v aldr cero ? Me tengo que f ijarpara Y0 = 0, cunto v ale x. Mirando el grf ico v eo que F(x) es iguala cero en X = 0, por lo tanto la respuesta es X = 0.Si me piden cundo la f uncin dada v ale 1, trazo una recta horizontalen Y0 = 1 y me f ijo dnde corta a la f uncin. El x correspondiente allugar donde la recta corte, ser la solucin.Esta recta trazo x Esta es la solucinb) Ahora, entre qu v alores puedo mov er la recta horizontal tal quecorte a la f uncin?. Bueno, entre 2 y 2. Cualquier recta horizontalque est en el interv alo (-2;2) corta la f uncin en un solo punto.

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Por lo tanto, la ecuacin F(x) = Y0 tiene solucin para todos los Y0(- 2 , 2). La f uncin dada, tendr inv ersa?. Bueno, as como estno, por que la Im f = (-2 , 2) y el codominio son todos los reales, demanera que en principio la f uncin no sera sury ectiv a. Sin embargo,si restrinjo el codominio y digo que el codominio de f = (-2, 2) ,entonces ah s la f uncin sera sury ectiv a.Esto de restringir el dominio o el codominio se puede hacer. Ahora:la f uncin dada es iny ectiv a? S, es iny ectiv a porque rectashorizontales la cortan en un slo punto. Es decir, que si restrinjo elcodominio la f uncin dada es biy ectiv a y tendr inv ersa. Si norestrinjo el codominio, la f uncin no es nada. Fjense entonces queel hecho de que una f uncin tenga inv ersa o no, depende un poco decules sean el dominio y el codominio. Vamos a otro ejemplo.EJERCICIO:

Dada la funcin F(x)= x2+ 3 decidir en qu caso existe por lomenos una solucin de la ecuacin F(x)= Y0. Bueno, supongamosque me dicen que Y0 = 7. Me queda: F(x) = 7 x2 + 3 =7 x2 = 7 3 x = 4 x= 2La f uncin dada ser iny ectiv a?. No. Porque hay dos v alores de x(2 y 2) que v ay an a parar al mismo Y0 (7). Esto se puede v er en elgrf ico y = x2 + 3 7-2 2

Es decir, la ecuacin: x2 + 3 = Y0 tiene solucin para todos los Y03.Ser nica la solucin? No. Siempre tendr dos soluciones. Elnico caso donde tengo una sola solucin es para x=0 (ah la f uncinv ale 3). Ahora piensen: F(x) = x2 + 3 cundo tendr solucin laecuacin f (x)=Y0? Y bueno, hago F(x)=Y0 y me f ijo qu pasa:

X2 + 3= Y0 x2= Y0 3 x = y03Lo que se tiene que cumplir es que Y0 3 sea may or que cero,entonces: Y0 - 3 0 Y0 3

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La ecuacin F(x)=Y0 tendr solucin siempre que Y0 sea may or oigual que tres. La imagen de la f uncin ser [3; +). Lo importantede entender es esto: qu haca la f uncin F(x)? Yo le daba un x yella me daba un Y. Ahora... qu hace la f uncin x = y 3 Exactamente lo contrario. Yole doy un v alor de Y, y ella me da un x. A esto apunta todo este asunto de las f unciones inv ersas. lo v en,chicos?.

EJERCICIO: Dada la funcin F(x)= (x-1)2+ 2 que va de en,decir si:a) es inyectiva? b) es suryectiva? c) Calcular la imagen.

Despejo x de Y= (x-1)2 + 2 . Me queda: y 2 = ( x 1 )2 x 1 = y 2 x= 1 y 2Me queda entonces: x= 1 y 2Cul ser la imagen de la f uncin?. Tenemos que lograr que la razno me de negativ a, entonces: y 0 y -2 0 Y 2Entonces la imagen de la f uncin ser Imf = [2; +). Eso tambin sev e si graf ico la f uncin original que era F(x) = (x-1)2 + 2. Es unaparbola. Ustedes y a saben eso. El v rtice est en dnde ? Rta:En ( 1 ; 2 ).

y = (x-1)2 + 2 2 1Ahora, ser sury ectiv a la f uncin?. No. La imagen son todos losreales may ores o iguales que 2 y el codominio son todos los reales.La imagen no coincide con el codominio y la f uncin no essury ectiv a. Es iny ectiv a?. No, tampoco. Fjense que si trazo una rectahorizontal ella me corta la f uncin en dos puntos no es iny ectiv a. Tiene inv ersa? No. No es biy ectiv a, as que no tiene inv ersa. Ahora quiero que v ean algo. Vamos a hacer que la f uncin tengainv ersa. Fjense: Para hacer eso tendra que cambiar un poco laf uncin. Es decir, elimino la parte que me hace que la f uncin no seainy ectiv a. La cosa queda as:

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Y= (x 1)2 + 2 Lo sacoCon Dom F = 1Es decir, restring el dominio para que la rama izquierda no exista. Laf uncin y a es iny ectiv a. Ahora tengo que hacer que sea sury ectiv a. Cmo hago ? Piensen. Lo que tengo que hacer es restringirtambin el codominio. Digo:Cod f = [ 2, + ) Ahora el codominio coincide con la imagen y la f uncin essury ectiv a. Entonces la f uncin esta: Cod (f ) Y= (x 1)2 + 22 1 Dom (f )Va a ser biy ectiv a. Tendr inv ersa? Y s. Justamente s. Para esohice todo esto de restringir dominio y codominio. Chicos, una cosa.Para hablar de la f uncin inv ersa de F la ponemos as: F-1. Ahora,ojo. Esto no quiere decir hago la cuenta 1/F. Nada que v er. Porf av or, no me hagan horrores en los parciales. Cuando les piden:Hallar F-1 estn queriendo decir que busquen la f uncin inv ersa.Nada ms. El asunto de poner que la inv ersa de F es F-1 es slouna manera de escribirlo. F-1 es slo una notacin para expresar:f uncin inv ersa de F. Es decir, lo que tengo es esto:f A X Y B f-1La f uncin v a del dominio A al codominio B. La inv ersa v a al rev s,del conjunto B al conjunto A.

Volv amos al ejercicio. Me haban dado la f uncin F(x)= (x-1)2 + 2.Llegu a la conclusin que restringiendo el dominio y el codominio,poda encontrar la inv ersa que era: F(y )= 1 + y 2

Ahora v ean esto. F(y ) es F-1 s i? Bien. Cmo hago paragraf icarla ?. Le doy v alores a Y y saco los de X? No. Primero loque tengo que hacer es reemplazar la Y por la X para podergraf icarla. Tena: F(y )= 1 + y 2

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Cambiando la Y por la X me queda: F(x)= 1 + x 2Ahora si, y a la puedo graf icar. Tengo que darle v alores a x y sacolos de F(x). Noten una cosa. La f uncin no me qued 1 x 2 . Mequed 1 + x 2 .Eso es por la restriccin que hice del dominio alprincipio. Entonces, v oy dando v alores y me queda esto: Y Y= (x-1)2 recta y =x2 f -1 (x)= 1 + x 21 XLo que quiero que v ean es que el grf ico de la f uncin inv ersa essimtrico al grf ico de la f uncin dada con respecto a la recta Y=X.Esto siempre es as. Es como si la f uncin F-1 f uera la F peroref lejada en un espejo que sera la recta Y = X. Esto no lo olv iden.Por f av or. Repito: El grf ico de la f uncin inv ersa es siempresimtrico al de la f uncin dada respecto de la bisectriz del primer ytercer cuadrante, es decir la recta Y=X.Por ejemplo, si me dicen que una f uncin cualquiera tiene estaf orma: Yo s que la f uncin inv ersa ser algo as:Funcin Y dada recta y = x f uncin inv ersa xEn los parciales siempre pedimos que calculen f unciones inv ersasy que las graf iquen. Por lo tanto, estudien esto bien. Hay dudas?Entienden? Voy demasiado rpido ?Bueno, v amos a v er otro ejemplo.Hallar la funcin inversa de f(x)=1x 1+ 2 (si es posible). El dominio de f=-{ 1 }. El codominio son todos los reales. Bueno, lo que v oy a hacer es igual que antes. Tengo que despejar x.

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Entonces: 1 1 f (x) = x 1+ 2 Y-2 = x 1 ( x-1).(y-2) = 1 1 1 x - 1 = y 2 X = 1 + y 2Cul es la imagen de f ? Bueno, segn lo que despej, Im f = - {2 }. Ahora, Es sury ectiv a ? Y...no. Porque el codominio eran todoslos reales y la imagen son todos los reales menos el elemento 2. Porun elemento la imagen no coincide con el codominio y la f uncin noes sury ectiv a. Qu tengo que hacer para que si lo sea ? Bien,restringir el codominio. Digo que con el codominio Cod f = -{2} laf uncin F(x) es sury ectiv a. Vamos v er ahora si la f uncin esiny ectiv a. Bueno, hay que hacer el grf ico de F y v er qu pasacuando trazo rectas horizontales. Miren.

El grf ico de y =1 era as: x Y = 1/x Cmo ser ahora el de F(x-1), es decir Y= 1/(x-1) ?. Bueno, tieneque quedar toda la f uncin corrida para all en 1. 1y= x 11 Y cmo ser el grf ico de f (x) = x 1+ 2 ? Y bueno, ahora tengoque correr este ltimo grf ico que hice as: en dos. El grf ico de laf uncin queda as: Y y = [1/(x-1)] +2 2 Recta 1 x horizontalQu pasa si trazo rectas horizontales ? Bueno, stas cortan a laf uncin siempre en un slo punto. Quiere decir que la f uncin dadaes iny ectiv a. Fjense que la recta Y = 2 nunca corta a la f uncin.Bueno, eso no importa. Lo que importa, es que si la recta corta a laf uncin, la corte en un solo punto. No importa que hay a una rectaque no la corte en ningn punto. Conclusin, con la restriccin del codominio, la f uncin dada essury ectiv a. Aparte la f uncin as como est es iny ectiv a. Por lotanto, con la restriccin del codominio la f uncin es biy ectiv a ytendr inv ersa. Ahora v iene la pregunta: Cul es la inv ersa? Ybueno, es la f uncin que a cada Y le hace corresponder un x, esdecir, es lo que tena antes. A v er. qu f ue lo que hice al principio?Haba despejado la x. Bueno, esa es la f uncin inv ersa. Entonces:

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1 X = 1 +y 2 ES LA FUNCIN INVERSA !

Cmo es el grf ico de la f uncin inv ersa ? Y bueno, paragraf icarla puedo aplicar la regla que dice que la f uncin inv ersa tieneque ser simtrica respecto de la recta Y = X. Es decir que el grf icome v a a dar as:Funcin inv ersa Funcin dadaAtencin: puedo graf icarla dando v alores y haciendo una tabla? S,claro. En la f uncin f (y ) = 1 + [ 1 / ( y 2 ) ] reemplazo la y por la x.Esto lo hago slo para poder graf icar. No se olv iden. Me queda:1 Y= 1 + x 2Ahora si me quiero tomar el trabajo de darle v alores a x y sacar losde F(x), lo puedo hacer. Es un poco largo, pero lo puedo hacer. Conesto podra v erif icar si el grf ico de la f uncin inv ersa me dasimtrico respecto de la recta y = x. Otra cosa mas que quiero quev ean es la siguiente: Tengo una f uncin F. Hallo la inv ersa F-1. Laf uncin F era biy ectiv a, s ? Y la F-1 Cmo ser ? Claro,tambin biy ectiv a. Es decir que F-1 tambin tendr inv ersa.Pregunta: Cul ser la f uncin inv ersa de la f uncin inv ersa ?Respuesta: la f uncin dada. FUNCIONES CRECIENTES YDECRECIENTES (MONTONAS)Cuando una f uncin crece todo el tiempo o decrece todo el tiempodigo que es una f uncin MONTONA. Es como si f uera una f uncinaburrida. Todo el tiempo hace lo mismo: o crece o decrece. Mirenestos ejemplos:1 2 3 4 5 sube baja sube baja v erFUNCIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES O DECRECIENTES.Son f unciones que no paran de crecer o no paran de decrecer. En losgrf icos de arriba, todas las f unciones son estrictamente crecienteso decrecientes salv o el nmero 5. E grf ico nmero 5 me muestrauna f uncin que no es estrictamente montona. Eso pasa porquehay un momento en donde la f uncin es constante. No crece nidecrece. Para saber si una f uncin es creciente o decreciente lo quehago es mirar el grf ico. Si sube todo el tiempo es creciente. Si baja

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todo el tiempo es decreciente. Ms adelante v amos a v er la manerarigurosa de demostrar que una f uncin es creciente o decreciente.ASNTOTAS Qu es una asntota ? Bueno, son rectas a las cuales la f uncinse acerca pero nunca toca. Por ejemplo, si tengo la f unciny=1x +2, el grf ico da as: 1Asntota hori- zontal en y = 2 Asntota v ertical x = 1Cules son sus asntotas? Bueno, en el grf ico lo v eo bien. Sonlas que marqu. Ahora, dada una f uncin cmo hago para saber sitiene asntotas ? Bueno, miren, v amos a v er primero las asntotasv erticales. Qu pasa cuando me v oy acercando al v alor x = 1 ?Bueno, si v engo por derecha ( as) la f uncin sube cada v ez msy tiende a ms inf inito (+ ).Si me acerco a x = 1 por la izquierda ( as) la f uncin tiende amenos inf inito. (). Es decir, acercndome a x = 1 la f uncin tiendea tomar v alores muy grandes. Estos v alores tienden a inf inito. Deun lado es + y del otro - . Esta es la condicin para que hay aasntota v ertical. Anoten:ASNTOTA VERTICAL: Una f uncin tiene asntota v ertical en un punto x = a cuandoacercndome al punto a la f uncin tiende a + o a . Para decir esto lo v amos a poner con la siguiente notacin usamosla palabra lmite que signif ica ir acercndose al punto. Por ejemplo,digo que: Limx1+F(x)= + ESTO SE LEE: el lmite de F(x) cuando x tiende a 1 por derecha es +inf inito Y Lim

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x1F(x)= - ESTO SE LEE: el lmite de F(x) cuando -x tiende a 1 por derecha es - inf inito. El poner 1+ o 1- es una notacin para indicar que me v oy acercandopor derecha o por izquierda. Vamos a poner esto en f ormamatemtica. Fjense. Digo que: UNA FUNCIN TIENE ASNTOTA VERTICAL EN x = a S: a+ F(x)= o Limxa F(x)= LimxOjo, el o no es excluy ente. Puede pasar una de las condiciones olas dos a la v ez. Vamos ahora a las asntotas horizontales. Ac pasalo mismo. Cuando me daban y=1x +2, la f uncin tenda a y = 2 cuando x tenda a inf inito o a menosinf inito. 1y1 =+2x1Asntota horizontal en y = 2. Asntota v ertical en x = 1 ASNTOTAHORIZONTALLa f uncin tendr una asntota horizontal cuando tienda a tomar unv alor constante al tomar x v alores tendientes a inf inito o a menosinf inito Puedo escribir esto en f orma matemtica usando el concepto delmite: UNA FUNCIN TENDR ASNTOTA HORIZONTAL EN Y = bCUANDO SE CUMPLA QUE: Limx+ F(x) = b o Limx- F(x) = b Ojo, el nmero b no puede ser inf inito. Tiene que ser un v alorconstante como 1, 2, 500, 1.000,000 o algo por el estilo. Vamos a unejemplo: EJERCICIO:Hallar las asntotas para la funcin f (x) = 3x +1()

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Lo que tengo que hacer primero es f ijarme cul es el dominio. Eldominio sern todos los v alores que NO hagan que se anule eldenominador. Dom F(x)= - { 0 ; 1 }Ahora, siempre los lugares donde se anula el denominador sonposibles candidatos a lugares donde puede haber asntotas. Lo quehago entonces es tomar el lmite de la f uncin para x tendiente acero y para x tendiendo a uno. Si me da inf inito o menos inf inito,tendr una asntota v ertical en esos puntos. Cmo hago para tomar el lmite ? Bueno, v oy dando v alores conla calculadora y v oy v iendo qu pasa. Miren:

X F(x) 3x +1 Me acerco a cero 0,1 - 14 f (x) = x()0,01 - 104 0,00 -1004 1 Qu v eo? Veo que a medida que me acerco a cero por derecha, laf uncin se acerca a . Puedo poner entonces que: Limx0+ F(x) = - Es suf iciente esto para decir que la f uncin tiene una asntotav ertical en x = 0 ? Rta: SI, es suf iciente. Despus v eremos qupasa cuando me acerco a cero por la izquierda. Pero por ahora, laf uncin tiene asntota v ertical en x = 0, Bueno, entoncesinv estiguemos qu pasa con la f uncin cuando me acerco a 0-. Voydando v alores con la calculadora, igual que antes:x F(x) La funcin toma -0,1 6 valores cada vez -0,01 96 ms grandes -0,001 996Veo que la f uncin tiende todo el tiempo a ms inf inito. Quiere decirque del lado izquierdo la f uncin tambin tiene una asntota v ertical. Vamos ahora a X = 1 qu pasa ah ? Bueno, tendamos aacercarnos a 1 por izquierda y por derecha. Veamos qu pasa.Agarro la calculadora y hago miles de cuentas:3x+1f(x)= x()

Por x F(x) x F(x) Por 0,9 - 41 1.1 39 Por izquierda izquierda 0,99 - 401 1.01 399 derecha

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0,999 - 4001 1.001 3999 0,9999 -40001 1.0001 39999 Qu v eo ? Veo que la f uncin tiende a + por derecha y a porizquierda. Puedo poner entonces que: Limx1+ F(x)= + y Limx F(x)= Bien. Con esto demuestro que la f uncin tiene asntotas v erticalesen x = 1. Vamos ahora a las asntotas horizontales. Qu tena quehacer ? Tena que hacer tender a la f uncin a + y a y v er qupasaba s ? Bueno, hago eso. Otra v ez agarro la calculadora yempiezo a darle v alores cada v ez ms grandes.f(x)=3x+1x()x F(x) x F(x) 10 0,3 -10 -0,26 100 0,03 -100 -0,029 1000 3 x 10-3 -1000 -3 x 10-310000 3x 10-4 -10000 -3 x 10-4

Qu v eo? Veo que Limx+ F(x) = 0 y Limx- F(x) = 0 Qucomprob, entonces? Comprob que la f uncin tiene asntotashorizontal en Y = 0. Esto pasa porque la f uncin toma un v alorconstante cuando x . Ese v alor constante es Y = 0.Ahora, quiero que v ean para qu sirv i todo este asunto de buscarlas asntotas de una f uncin. La cosa es as: el tener las asntotasde una f uncin me ayuda a graficarla. Es decir, a ustedes les danuna f uncin... Ahora, Cmo saben qu f orma tiene? Habra quedar v alores y sera todo un lo. Teniendo las asntotas es ms f cil.Fjense. Para la f uncin dada s que tiene asntotas v erticales en x= 0 y x = 1. Tambin s que tiene una asntota horizontal en y = 0.Comprob que los v alores que tomaba la f uncin eran:

Limx F(x)= + ; Limx0+ F(x)= Limx F(x)= ; Limx1+ F(x)= +

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Limx- F(x)= 0 ; Limx+ F(x)= 0Eso quiere decir que la f uncin que me dan v a a tener esta f orma: f(x)=3x +1x() y1 x No s exactamente cul v a a ser el grf ico de la f uncin, peros que v a a tener esta f orma. Eso es lo importante.Vamos a v er otro ejemplo de asntotas: HALLAR LAS ASINTOTAS DE LA FUNCIN f (x)=x22x 3. x 3Vamos. Fijmonos primero cul es el dominio de la f uncin por qubusco el dominio? Bueno, porque justamente estoy buscando lospuntos problemticos. Donde se anule el denominador v oy a tenerposibles asntotas v erticales. El denominador se anula en x = 3 Dom F= - { 3 } Muy bien. Ya tengo el dominio. S que v oy a tener problemas en elpunto x = 3. Voy ahora al numerador. Quiero buscar los ceros de laf uncin. Fjense: Tengo x2 2x 3. Si hago la cuadrtica, me da:X 1=-1 Races de x2 2x 3 X2 = 3Ahora qu pasa? Pasa que en x = 3 el numerador se hace cero,pero atencin, x-3 tambin se hace cero en x = 3. Es decir, que en x= 3 la f uncin v aldra 0/0. O sea, la f uncin no existe en x = 3. (Porf av or piensen bien esto chicos !!) los ceros de F v an a ser: cerosde F= { -1 } ( 3 NO ! )Ahora que tengo las races del numerador, puedo f actorear estepolinomio y ponerlo como: (x + 1) (x 3). La f uncin original que eraf (x) =x2 2x 3 queda: ( )( )x 3f(x)= ()

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Busquemos las asntotas v erticales se acuerdan lo que haba quehacer? Haba que buscar el lmite de la f uncin para x tendiendo aalgn nmero. Si ese lmite daba inf inito o menos inf inito, iba a tenerasntota v ertical. Escrito en f orma matemtica:Limxa F (x) = Condicin para que haya asntota vertical Bueno, empiezo probando con x = 3. A v er. Tomemos primero ellmite por izquierda: LimxF(x) = Limx(x+1)(x-3) = Limx3- = (x + 1) = 4 (x-3)El lmite no me dio inf inito ni menos inf inito. Quiere decir que porahora no tengo asntota v ertical en x = 3. Lo que si quiero que v eanes lo siguiente: Por qu simplif iqu el (x-3) con el (x-3) ? Puedohacer eso? Si Puedo hacerlo x no es igual a 3. Es decir, y o meestoy acercando a x = 3, pero no estoy justo en x = 3. entonces sipuedo tachar los parntesis. Aclaro esto porque si x f uera justo 3,me quedara la cuenta 0/0 y ah la simplif icacin no se podra hacer.Queda claro esto, che? Pregunten si no entienden, chicos. Veocaras que... Bueno, sigo. Pruebo ahora por derecha. Tomo elLimx3+f (x). Veamos:Limx3+ (x+1)(x-3) (x-3) Limx3+ (x + 1) = 4Otra v ez el lmite no me dio inf inito. Quiere decir que la f uncin nov a a tener asntota v ertical en x = 3. Hay algn otro punto endonde se anule el denominador ? Rta: NO. No hay ningn otro.Entonces puedo decir que la f uncin dada NO tiene asntotasv erticales. Voy a buscar ahora las asntotas horizontales se acuerdan lo quehaba que hacer? Haba que buscar los lmites para x tendiendo a y a . Si alguno de esos lmites daba un nmero que no f uera o iba a tener asntota horizontal. Bien, empecemos. Hago tender

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primero x a + :

Lim x+ F(x) = Lim x+ x2 2x +3 = +x 3Cmo hice para saber que el lmite da inf inito? Muy simple. Le f uidando v alores con la calculadora. Si le doy a x v alores muygrandes, la f uncin toma v alores muy grandes. Prueben. Agarren lacalculadora y prueben. Bueno, ahora me f ijo qu pasa para x-

Lim x- F(x) = Limx- x2 2x +3 =+x 3Otra v ez el lmite no me dio un nmero. Signif ica que la f uncin NOv a a tener asntotas horizontales. Una cosa ms quiero que v ean. En la f uncin f (x) =( )( ) puedosimplif icar ()siempre (x 3) con (x 3) salv o justamente para x = 3. de maneraque puedo poner a la f uncin que me dan como: F(x)= x + 1 para cualquier x salv o x = 3Puedo hacer esto? S, claro que puedo. Es decir que la F que medan es en realidad la ecuacin de una recta. Esto v ale para todo x3. Y en 3 qu pasa? Y bueno, en 3 la f uncin NO EXISTE. A qu v oy ? Voy a que traten de darse cuenta de que el grf ico dela f uncin v a a ser el grf ico de la recta y = x + 1 salv o para elpunto x = 3 (ah la f uncin no v a a existir) Es decir que larepresentacin de f es:Y = (x + 1)(x 3) (x 3) 4 Ac la f uncin no existe !! 3 Hago otro ejemplo de esto, quieren? EJERCICIO: Hallar las asntotas verticales y horizontales (siexisten) de la f(x)= x2 +2x+3funcin ()Busco el dominio de la f uncin. Lo de abajo se me anula para x = 0y para x = 3. esos sern posibles puntos de asntotas v erticales.Entonces: Dom F=- { 0 ; 3 } Busco los ceros de F. El polinomio de arriba - x2 + 2x + 3 se anula enx1 = -1 y x2 = 3. (eso lo saco de la cuadrtica). Entonces: Ceros de F= {-1} (3 NO)

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Igual que antes. Aclaro que 3 NO es cero de F porque ah se meanulan numerador y denominador. La f uncin NO EXISTE en x = 3 (la cuenta me dara 0/0 ). Busco ahora asntotas v erticales. Lospuntos posibles sern x = 0 y x = 3. Empiezo con cero por laderecha. Como y a saben, hay que ir dndole v alores con lacalculadora.( x2 + 2x +3)Limx0+ f (x)= Limx0+3x() =

Limx0+ ( )( ) 3x() =

Limx0+ ( ) 3xEl lmite me dio inf inito. Quiere decir que F tiene asntota v erticalen x = 0, Aclaro que de ahora en adelante v oy a trabajar con laf uncin F(x)= -(x + 1)/3x Esta f uncin v ale para todo x 3. Vamos allmite tendiendo a cero por la izquierda.( ) +Limx f (x)= Lim x3x Tambin hay asntota v ertical en x = 0 del lado izquierdo.Probemos ahora con x = 3 por izquierda y por derecha: () ()=4Limx 3x = 33 9() ()=4Limx3+ 3x = 33 9Los lmites NO me dieron . La f uncin NO tiene asntota v erticalen x = 3. Vamos a las asntotas horizontales. Tomo el lmite para x+. Voydando v alores grandes con la calculadora:

Limx+f (x) = Limx+ ( ) 1 HAY ASNTOTA 3x 3Tomo ahora el lmite para x tendiendo a menos inf inito. Probemosdando v alores grandes negativ os.Lim x2 + 2x +3x- () =1 HAY ASNTOTA 3Igual que antes. Tengo dos polinomios de igual grado, de manera queel lmite para x tendiendo a inf inito o a menos inf inito v a a dar unnmero. Hay asntota horizontal? Si, hay. La asntota es Y= -1/3.El grf ico de la f uncin v a a dar as:

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lim f = lim8x 7 x x 4Como el lmite queda indeterminado debido a la div isin, entoncesdiv ido por x tanto en el numerador como en el denominador. 7lim8x78= limx = 2 y = 2 es asntota horizontal. x 4 x 4 4xRta: y = 2 es asntota horizontal x = 1 es una asntota v ertical.Hagamos un dibujito:Y = 2 f (x) = 8 x - 7 4 x - 4 X = 1Calculamos el lmite en el inf inito. Veamos:lim bx 14= lim x(b 14/ x)= b 2x 3 x(23/ x) 2

x+ x+Nos dicen que este lmite v ale 4. Entonces tenemos: b = 4 b = 4 x 2 2b = 8 Para calcular f -1 (x) despejamos la x de la f rmula de la f uncinoriginal:f (x) = y = 8x 14 2x3y (2x - 3) = 8x 14 2xy 8x = 3y 14 x (2y - 8) = 3y 14 x = 3y 14 cambiamos y por x y x por f -1 (x) 2y 8f-1 (x) = 3x 14 2x 8M MATEMATICA PRIMER PARCIAL TEMA 6 APELLIDO:.NOMBRES:

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.D.N.I: INSCRIPTO EN: SEDE:DIAS: HORARIO:AULA:CORRECTOR: .En cada ejercicio escriba losrazonamientos que justifican la respuesta3. Sean f(x)=-x-2 y g(x)=3x2 x2 +4 y h = gf. Hallar las ecuaciones de todas las asntotas de h, mediante el clculo de loslmites correspondientes.

f (x) = - x -2 g (x) = 3x2 x2+4Calculamos la composicin: h = g(f (x)) h(x) = (x2)2+4h (x) = 3x2 +12x +12x2)23( x2 4xlim 3x2 +12x +12= lim x2 (3+12/ x +12/ x2)= 3= -3 A H.: x2 4x x2(14/ x) 1x+ x+A.V. Hay que v er en qu puntos la f uncin tiende a inf inito. Esto v aa pasar en los bordes del dominio. Los puntos que no pertenecen al dominio son los que hacen 0 aldenominador: x = 0 y x = -4. Si calculamos los lmites, nos dan

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inf inito son A.V.

Rta: Las asntotas son y = -3 (A.H.) x = 0 y x = -4 (A.V.) FINASINTOTAS

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FUNCIONES TRIGONOMTRICASFUNCIN Y = SEN X FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Se def inen de la siguiente manera. Supongan que me dan untringulo rectngulo, es decir que tiene 90. opuesto Tringulo rectngulo Hip ngulo de 90 Ady acente Tomo un ngulo . Para ese ngulo: Sen = opuesto Cos = adyacente funcionestrigonomtricas Hip Hip Ahora v amos a v er otra def inicin: supongamos que me dan unacircunf erencia de radio 1. y sentidopositiv o 1 P x -1 1 x El punto P tiene coordenadas x e y. Como el radio de lacircunf erencia es 1, la hipotenusa v ale 1. Entonces el sen y el cos quedan as: Sen = y /1 sen = y Cos = x/1 cos = xEsta segunda def inicin me permite trabajar con ngulos may oresque 90. Por ejemplo, si el ngulo es de 180, las coordenadas de Pson x = - 1 , y = 0 . 180-1 Mirando el dibujo v eo que, como x = cos e y = sen : Sen 180= 0, Cos 180= -1 Vamos a hacerlo ahora, por ejemplo, para 270. Para 270 el punto Pqueda ubicado as: = 270 PLas coordenadas de P v an a ser: x = 0, y = - 1, entonces: Sen 270= -1, Cos 270= 0 Si hago esto para todos los puntos que estn en el primer, segundo,tercer y cuarto cuadrante, tengo:1 cuadrante: sen = +, cos = + 2 cuadrante: sen = +, cos = -3 cuadrante: sen = , cos = - 4 cuadrante: sen = -, cos = +

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Esto lo puedo resumir en este cuadrito: Cos = - Cos = + Sen = + Sen = + Sen = - Sen = - Cos = - Cos = +A la circunf erencia de radio 1 se la llama circunf erenciatrigonomtrica. Otra cosa que tienen que recordar es el teorema dePitgoras que dice que: Teorema de Pitgoras:La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de lahipotenusa. Es decir: Hip y Hip2 = x2 + y 2 x Como en la circunf erencia trigonomtrica la hipotenusa v ale 1, mequeda: X2 + Y2 = 1. Ahora, como x = cos e Y= sen ,reemplazando: (cos )2 + (sen )2= 1A esto se lo llama identidad pitagrica o algo as. Otra cosa: ustedessaben que los ngulos se miden tambin en radianes. Para calcularun ngulo en radianes hacemos lo siguiente: la longitud de lacircunf erencia es 2r. Ac el radio v ale 1 (r = 1), de manera que lalongitud total de la circunf erencia es 2. Entonces: todo este ngulo v ale 2 radianes.La equiv alencia es 2 radianes = 360 Qu pasa si quiero sabercunto v ale un ngulo cualquiera? Bueno, parto de la equiv alencia2 radianes igual a 360 y hago regla de tres simple. Por ejemplo, si = 180:360_____2 rad 180_____x(Rad.) x(Rad.) = 180 2/360 x = Rad. Si hago esto para v arios ngulos, puedo construir esta tablita: en grados en radianes 0 0 30 /6 45 /4 60 /3 90 /2180 270 3/2 360 2Conv endra que recuerden estos v alores. Los v an a tener que usarpara hacer estos ejercicios. Alguna pregunta sobre esto, chicos ? Bueno. Vamos a v er ahora cmo se graf ican las f uncionestrigonomtricas. Es decir, cmo se representan y qu f orma tienen.

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Cmo ? La clase que v iene ? Bueno, est bien. La clase quev iene.FUNCIONES TRIGONOMTRICAS. REPRESENTACIN. Quiero que ahora v ean esto. Qu pasa si tengo un ngulo y lesumo una v uelta ? (2 rad). Bueno, el ngulo v a a ser el mismo.Fjense: + 2 Entonces, Como el ngulo es el mismo, el seno y el coseno v an av aler lo mismo. Es decir: Sen ( + 2) = Sen Cos ( + 2) = Cos Por esto se dice que las f unciones trigonomtricas son peridicas deperodo 2 . Quiere decir, si le sumo 2 (360), v an a v aler lomismo. Algunos v alores del seno y el coseno de que se tienen queacordar son los siguientes:0 (0) /6 (30) /4 (45) /3 60 /2 (90)Sen 0 2/2 3/2 1 Cos 1 3/2 2/2 1/2 0Vamos a graf icar las f unciones trigonomtricas. Tomo las f uncionesF(x) = sen x y G(x) = cos x. Usando la tablita de recin o lacalculadora v oy dando v alores a x y saco los de sen x. Eso da as:1 Sen x 0 /2 3/2 2-1 Fjense que la f uncin se repite a partir de 2. Tambin v ean queel dominio v an a ser todos los reales, pero la imagen v a a sersiempre Im (sen x) = [-1, 1].Vamos ahora a las f uncin Cos x. La v oy graf icando dndolev alores a x: 1 Cos x 0 /2 3/2 2-1 Lo que tienen que v er ac es que la f uncin cos x es la f uncinseno pero corrida para all en /2.

Hagamos un ejercicio. Me dicen: Sabiendo que cos /6=3,calcular el sen /6. 2

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Bueno, uso la identidad: (sen )2 + (cos )2 = 1

en este caso: (sen /6)2 + (cos /6)2 = 1Reemplazando Cos (/6) por 3/2: (sen /6)2 + (3/2 )2 =1 sen2 /6 + 3/4 = 1 sen2/6 = 1 -3/4 sen2/6 = sen /6 = 1/2Ahora, ac hay que tener cuidado Me quedo con la solucin + -?. Bueno, s que /6 es un ngulo que est en el primer cuadrante,de manera que el seno debe dar positiv o. Entonces la solucin v a aser:Sen /6= 1 2Vamos a v olv er ahora a los grf icos del sen x y del cos x.Analicemos Dominio e Imagen:Dom f= Im f= [-1,1] 1 Sen x 0 /2 3/2 2-1 La f uncin se repite a interv alos de 2. Por lo tanto el perodo es2. La amplitud es la altura de la f uncin. En este caso la amplitudes 1. FUNCIN SEN XDnde tendr los ceros la f uncin seno de equis ? Bueno, sen x = 0 para x = 0,, 2, 3 o tambin en x = , - 2,etc. Entonces puedo decir que la f uncin sen x tiene ceros en lospuntos:x= k (k) ceros del sen x. La f uncin seno toma su v alor mximo en x=/2 o x= /2 + 2 o x=/2 + 4, etc. Fjense que el ngulo es el mismo si y o le sumo 360(2 rad). Sen x= sen (x +2) X + 2Vamos a poner en f orma genrica los lugares donde el sen x toma

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su v alor mximo (que es 1). X = /2 + 2 k lugares donde el sen x vale 1.El nmero k pertenece a los nmeros enteros ( ). Eso quiere decirque k podr tambin ser negativ o. Es decir, k = - 2, - 1, 0, 1, 2, etc.. Cundo el sen x v ale 1 ? Bueno. Veamos. Eso pasa en x =3/2, 3/2 , 2, 3/2 , 4, etc.. Tambin pasa lo mismo del ladonegativ o. Sen x ser 1 en:x = 3/2 + 2 k (k) lugares donde el sen x vale 1. Para entender bien esto tienen que hacer el graf iquito de la f uncin.Ah se v e bien. Vamos a hacer el mismo anlisis pero para el cos x. FUNCIN COS X Cmo era el grf ico ?. Era igual al del sen x pero empezando en 1.(o lo que es lo mismo, era la f uncin sen x pero corrida as en/2 ). Dibujemos : a=1 1 f (x) = cos x 0 2-1 T= 2Mirando el grf ico v eo que es una f uncin peridica de perodo 2 y amplitud 1. La f uncin es simtrica respecto del eje v ertical. Busquemos los ceros de la f uncin cos x. Miren el dibujo. La f uncinv ale cero en /2, /2 + , /2 + 2. Lo mismo pasa del ladonegativ o. Tendr ceros en /2, -/2 - , /2 - 2, etc.. Entonces:x= /2 + k (k) ceros del cos x. Cundo v ale uno laf uncin? Miren la grf ica y piensen. Eso pasa en x = 0, x = 2, x=4 o tambin en x = -2, x= - 4, etc.. Escribiendo en f ormacompacta esto: x = 2k lugares donde cos x vale 1. La f uncin v aldr 1 en, 3, 5, , -3, etc. Esto escrito enf orma compacta queda: X= + 2k (k) lugares donde cos x vale 1. Vamos a v er unejercicio. EJERCICIO A partir de los grficos de sen x y cos x, graficar lafuncin sen ( x /2).Fjense. Dibujo primero la f uncin sen x. Eso y a lo sabemos hacer: 1 Sen x 0 /2 3/2 2

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-1 Cmo hago para graf icar sen (x- /2) ?. Bueno, hay queacordarse de que si me dan el grf ico de una f uncin f (x), el grf icode la f uncin f (x a) ser el mismo grf ico pero todo corrido paraall en a. Esto mismo pasa con la f uncin sen (x - /2). Elgrf ico ser el mismo pero corrido para all en /2. Lo dibujo:1 f (x) = sen (x - /2) /2 3/ 2 2-1Graf iquemos ahora cos (x + ). El grf ico ser el de la f uncin cosx pero corrido para all en . Eso da as: F(X) = cos x 2 F(x) = cos (x + )Graf iquemos ahora f (x) = sen (-x). Ahora hay que acordarse de quesi me dan el grf ico de una f uncin f (x), el grf ico de la f uncin f (-x)ser el mismo grf ico pero simtrico respecto del eje v ertical. Esdecir, la f uncin se ref leja en el eje y. La representacin queda as:

f (x) = sen (-x) /2 Graf iquemos f (x)= - sen x. Ahora la f uncin se v e ref lejada sobre eleje x. f (x) = - sen (x) Ac quiero que v ean una cosa. La representacinde las f unciones sen (- x) y sen x result ser la misma. Esto es importante que lo recuerden.Sen (-x )= Sen x.Vamos a hacer lo mismo con la f uncin coseno. Graf iquemos cos (-x) y cos x.

f(x)= -cos x (Reflexin respecto del eje x) F(x) = cos (-x) (reflexin respecto del eje y)Fjense que la f uncin cos (-x) me dio igual que cos x. Eso tambines importante. Aprendanselo: Cos (-x) = Cos x

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Graf iquemos ahora esta otra f uncin: f (x) = 2 sen x. Qudif erencia tengo con sen x? Bueno, lo que pasa ahora es que losv alores mximos que antes eran 1 y 1 ahora sern 2 y 2. Esdecir, qu cambi ? Cambi la amplitud. La f uncin se estir. Sealarg en sentido v ertical. El grf ico queda as:2 f(x)= 2 sen x a = 2 f (X) = sen x -2 EJEMPLO: Graficar f(x)= cos x 3. El 3 lo que hace es bajarme laf uncin en tres para abajo. Entonces me queda el mismo dibujitopero bajado en tres. /2 f (x) = cos x -3 -3 Es decir, cambi la imagen de la f uncin. Im (cos x 3) = [-2, -4].Resumiendo todas estas posibilidades:Sen (x + c) cambia la posicin de los mximos y mnimos. a Senx cambia la amplitud y la imagen en el f actor a. Sen x + b subeo baja la f uncin en b.Esto mismo pasa para la f uncin cos x. Sen x Sen 2xSi me dan ahora la f uncin sen (2x), el grf ico me queda as:

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El ngulo que obtuv e es el v alor x1 ( x1 = - 30 = - /6). Ahora, ojo !.El otro ngulo que marqu con x2 tambin cumple lo pedido. Quieredecir que las soluciones de la ecuacin sen x = 0,5 son: x1= /6 yx2 = 7/6 (210)OTRO EJEMPLO: Calcular x tal que Cos x = 2.Bueno, ac no hay solucin. No existe ngulo tal que su cosenov alga 2. El Coseno de un ngulo y el seno de un ngulo v an siempreentre 1 y 1. Para hacer este tipo de ejercicio siempre tienen quedibujar la circunf erencia trigonomtrica y marcar los ngulos quecorrespondan. Me piden hallar x tal que Cos x = 2/2 hago esto:X1 Para x1 y x2 cos x= 2/2 22 X2Las respuestas v an a ser x1 = 135 (3/4) y x2= -135 ( 5 /4 ).Pregunto: Podra expresar el ngulo de 135 como 225 ? S,claro. Es lo mismo. Qu hace la calculadora ? Ella me da un nicov alor que est en el 1 o 4 cuadrante. Si quiero el otro v alor lotengo que sacar y o con el dibujito. Creo que se entiende no ?.Bueno, v amos a v er esto otro.REPRESENTACIN DEL ARCO SENO Y ARCO COSENOChicos, qu era el arco seno ? Era la f uncin inv ersa del seno si ?Se acuerdan? Bueno, v amos a graf icarla para v er qu f orma tiene.Ahora, una cosa. Esto y a se los dije pero es importante. Cuando sehabla de la inv ersa de una f uncin, no quiere decir que hay a quehacer 1 sobre la f uncin. A v er si me entienden. Si les piden graf icar la f uncin inv ersa delseno, tienen que graf icar el arco seno, NO 1 / sen x estamos ?.Es decir:Si F(x)= sen x F-1(x)= Arco sen x ( y no 1/sen x )Bueno, cmo hago? Claro, tengo que trazarla bisectriz del 1cuadrante (que es la recta y = x) y ahora ? Bien, por simetrarespecto a esta recta, v oy trazando la f uncin inv ersa. Es decir:

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b) Calcular S para t=10 seg y para t=0.4 seg. c) Calcular el perodo. d) cundo la separacin s es mxima?Bueno, el problema ac es que es medio dif cil de entender elenunciado. Tienen que saber algo de f sica. Explico. Lo que pasa eslo siguiente: este es el pndulo que oscila 5 (-) 5 (+) esta es la amplitud de la oscilacin El pndulo v a de un lado al otro. La posicin de la pesa respecto dela v ertical es la distancia S. El problema dice que la posicin S v ienedada por la expresin: S(t) = 5 sen 4 tUstedes no tienen porqu saber de dnde sali esa ecuacin. Ellosdicen que v iene dada por esa f uncin y listo. S(la elongacin)depende del tiempo siguiendo la f uncin:S(t)= 5 sen 4t (t en seg ; S en cm)Eso es todo. Ahora, representamos esta ecuacin. Ustedes nopiensen que es un problema de pndulo. Slo tienen que representarla f uncin S(t) = 5 sen 4t. Veamos. La amplitud de la f uncin serel v alor mximo que tome. Ese v alor es a = 5. Por qu? Bueno,porque el v alor mximo que puede tomar el sen 4t es 1. (el senov a siempre de 1 a 1 ). Habr algn v alor del tiempo que haga queel v alor de sen 4t v alga 1. Busquemos ese v alor: se tiene quecumplir que sen 4t = 1, s ? Entonces:Sen 4t = 1 4t = 90 Lo igual a 90 porque s que el seno de90 es 1. ahora, ojo. Tengo que poner 90 en radianes. Nov entagrados equiv alen a /2 radianes, o sea: 4t = /2 4t =12

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t(S= smax)= 1/8 segConclusin: el pndulo alcanza la mxima separacin de la v erticalpara t = 1/8 seg. Lo v en ? En realidad habr instantes posterioresdonde la f uncin v uelv a a tomar su v alor mximo. Ya saben que elseno es una f uncin peridica.Tambin podra haber calculado la separacin mxima pero para elotro lado. Es decir, para all . Ah el seno tendra que v aler 1, esdecir, el ngulo tendra que ser 270 (3/2) cmo es la pregunta ? Cunto v ale ? Cunto v ale qu ? Ah, laseparacin ! Bueno, en el primer caso la separacin ser de 5 cm yen el 2do es de 5 cm. Esas sern las amplitudes mximas deoscilacin (que ocurrirn a los 1/8 y 3/8 seg., hagan la cuenta). Hasta ac est bien ? Voy rpido ?Bueno, sigamos Cunto v ale S para t= 10 seg. ? Lo nico quetengo que hacer es reemplazar t por 10 seg. y calcular S. Veamos. S(10 seg.)= 5 cm. Sen (4 10 ) t = 10 seg. S(10 seg.)= 5 cm x Sen 40 S(10 seg.)= 5 cm Sen 20 [2] S(10 seg)= 0Signif ica, a los 10 segundos el pndulo estar pasando exactamentepor la v ertical. El resultado es razonable. 20 por 2 signif ica: laposicin del pndulo despus de 20 oscilaciones completas a partirdel momento en que sali. Eso signif ica que debe estar en el mismolugar de donde sali. Y para S = 0,4 seg, qu pasa ? Bueno,probemos:S(0.4 s)= 5 cm sen 4 0.4 t= 0.4 s S(0.4 s) = 5 cm sen 1.6 S(0.4 s) = 5 cm (-0.951) S(0.4 s) = -4,75 cmEsto signif ica que la posicin de la pesa ser de 4.75 cm pero paraall . Bueno, representemos ahora la f uncin. S que tengo unbicho senoidal cuy a amplitud es 5. Tambin s que S es mximapara t = 1/8 y 3/8 de segundo. Entonces el asunto debe dar algo as:S (cm) S(T) = 5 Sen (4T)

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5 1/8 3/8 t(seg) ACAQu era lo ltimo que preguntaba el ejercicio? Ah, el perodo.Bueno, eso se v e en el dibujo. El perodo qu es ? Es el interv aloa partir del cual la f uncin se repite otra v ez con la misma f orma.Cundo pasa eso? Miren el dibujo. Eso pasa despus que la f uncin corta por 2da v ezal eje t. Si piensan un poco, v ern que ese tiempo es t = 4/8 seg =1/2 seg. Por lo tanto:T= 0,5 seg. perodo. No se asusten con problemas como este. Lean el enunciado, eso estodo. Qu si los tomamos? Si, a v eces tomamos cosas por elestilo. Che, se pueden callar ? Gracias. Les v oy a dictar otro tipo deejercicio que a v eces tomamos. Anoten: Hallar todos los x que pertenecen a [0,2] tales que sen x= y cos x= 3 2Fjense. Ac me estn pidiendo 2 cosas. Por un lado los x tales quese cumpla que el seno de x v alga 0.5 y por otro lado los x tales quecos x sea 0.866. Lo que hay que buscar son las soluciones de la 1ecuacin y las de la 2da ecuacin. La solucin comn a ambas v a a ser el resultado pedido. Ahora, es lo mismo pedir soluciones de sen x = 0,5 que solucionesde arc sen 0,5 ? NO, no es lo mismo por lo siguiente. Miren el dibujo:Las soluciones x1 = /6 x2 = 5/6de Sen x= 0,5 son DOSEn cambio la solucin de arc sen 0,5 me da /6. Es decir, una solasolucin . entienden? Esto pasa porque para que la f uncin arcosen x sea biy ectiv a tiene que ir entre 1 y 1 Se acuerdan ?Entonces las 2 soluciones de la ecuacin sen x = 1/2 son x1 = /6 yx2 = 5/6. Para cos x = (3/2) pasa lo mismo. Hago el dibujo ymiro.

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as:

2 2 f (x) = 1 + cos x Qu cambi? A v er. Cambi la amplitud ? No, la amplitud siguesiendo 1. Cambi el perodo ? No, el perodo sigue siendo 2.Cules son los conjuntos de positiv idad y negativ idad?. Bueno,busquemos primero los lugares donde la funcin se hace cero.Miren el dibujo. Eso pasa en , 3 y 5 .

Y los conjuntos C+ y C-? Bueno, C- NO HAY. La f uncin no esnegativ a en ningn momento. Es toda positiv a salv o en los lugaresdonde v ale cero. Entonces queda as:2 1 + cos x + + + 2 Podra haber hallado los ceros analticamente ? S se puede.Tendra que haber planteado la ecuacin 1 + cos x = 0, es decir, cosx = - 1. Qu resultado me da esto ? Me da lo mismo: C0= { , 3,5 }Analicemos este otro ejercicio: Graficar F(x) = 2 sen ( x /3 ) entre [ 0 y 5 ]. Indicar los cerosy los conjuntos de positividad y negatividad.Bueno, ac hay que acordarse lo siguiente: si me dan una f uncinque tiene la f orma y = a sen ( bx + c), entonces:Amplitud = a Perodo = 2/b Corrimiento = cLa amplitud es 2, el perodo es 2 /1 = 2 y el corrimiento es 60(/3) as 2 1 y = sen x-1 -2 Y= 2 sen x Ahora f alta agregarle a este grf ico un corrimiento de /3 para all. Entonces: + /3 + +

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0 + /3 - 2 + /3 Los conjuntos de positiv idad y negativ idad quedan as: C0= ceros de f= { /3; 4 /3; 7 /3} C+= { ( /3, 4 /3) U (7 /3, 10 /3)} C-= {(0, /3) U (4 /3, 7 /3)Bueno, un ltimo ejemplo. Qu pasa si me piden hallar los ceros ylos conjuntos de positiv idad y negativ idad de una f uncin como cos2x cos x ? Supongamos el interv alo [0, 3]. Ac hay algo que no v imos. Ustedes no saben graf icar la f uncincos2 x. Entonces este ejercicio habr que resolv erlo analticamente.Lo que hago es esto:

Tengo f (x) = cos2 x - cos x. Saco cos x f actor comn. Me queda: F(x) = cos x (cos x 1)Si quiero buscar los ceros de esta f uncin lo que tengo que hacer esigualar todo a cero. Entonces: F(x) = 0 cos x (cos x 1) = 0 Ahora tengo 2 posibilidades: Cos x = 0 o (cos x -1) = 0 Los x que cumplan cualquiera de las dos condiciones sern los cerosde la f uncin. Entonces: Cos x = 0 x = /2 o x = 3/2 o x = /2 + 2(cos x 1) = 0 cos x = 1 x = 0 o x = 0+2Puedo hacer la siguiente tablita: (0, /2) - (/2, 3/2) + (3/2, 2) - (2, 5/2) - (5/2, 3) + Hagamos un grf ico aproximado : Cmo es la f orma exacta de la f uncin no lo s, pero el grf icose debe parecer a esto.Antes de pasar al tema siguiente, djenme darles la def inicin detangente que tienen que saberla. Se def ine f uncin tangente de unngulo como: tg = y /x o tambin: tg = sen /cos . Nosotros nov amos a usar la tangente, pero por las dudas tnganlo. Ah ! Ytambin les dejo otras def iniciones que tampoco v amos a usar, pero

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Entonces, las soluciones v lidas son: 11/12 ; 5/12 ; 11/12 ; 7/12Nos dan f (x) = 2 . sen (x + /4) + 1. Tenemos que encontrar losceros de esta f uncin. Eso no es otra cosa que los v alores de xpara los que f (x) = 0. O sea hay que resolv er esta ecuacin:f (x) = 2 . sen(x + /4) + 1 = 0 sen (x + /4) = - Cmo se resuelv e esto ? Bueno, esta ecuacin tiene inf initassoluciones, porque las f unciones trigonomtricas como el seno sonperidicas, o sea que cada tanto se repiten. En este caso el perodoes 2, o sea que si encontramos una solucin y le sumamos 2tambin es solucin. Tal v ez te ests preguntando de donde saqu que el perodo es 2.Bueno, en general el perodo de sen (A.x + B) se calcular como2/A. Como en este caso A = 1 el perodo es 2.Ahora que sabemos cunto es el perodo y podemos encontrar todaslas soluciones sumando 2 a las que y a tenemos. Resolv amos estoen algn perodo que sea f cil, por ejemplo entre 0 y 2 pi ( o seaentre 0 y 360 ).Ahora, El seno de qu ngulo v ale ? Hay dos: sen (7/6) =sen (11 /6) = - .O sea que x + /4 = 7/6 x = 11 / 12 x + /4 = 11/6 x = 19 / 12Y listo, ahora con estas dos soluciones, podemos encontrar todassumando mltiplos de 2. x = { - 13 /12 ; - 5 /12 ; 11 /12 ; 19 /12 ; 35 /12 ; 43 /12 ; } Pero slo nos piden las soluciones tales que x [0,2]. Bueno, sinos f ijamos, las nicas dos que estn en ese interv alo son: x = 11 / 12 ; x = 19 / 12 FIN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

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FUNCIONES EXPONENCIALESY

Y = exX FUNCIONES EXPONENCIALESQuiero que graf iquen la siguiente f uncin: f (x) = 2x. Pregunto: Esf uncin ? Piensen. A v er ?, s, es f uncin. Den v alores y graf iquen.y xf (x) = 2 2-1 1 xGraf iquemos ahora otras parecidas. Por ejemplo (1/2)x y 3x:

f (x)=(1/2)x (es comof(x)= 3x (crece ms x pero al rev s)rpido que 2x)21El dominio de este tipo de f unciones son los reales y la imagen es > 0, es decir Im f = (0, +). Anoten entonces: Llamamos f uncionesexponenciales a las f unciones que tienen la f orma:

F(x)= ax FUNCIN EXPONENCIALAl nmero a se lo llama base y es positiv o. Lo tomamos siemprepositiv o por que si tuv iera que elev ar a la (es decir, sacar razcuadrada) NO podra hacerlo para v alores negativ os de a. (porejemplo, 2 NO EXISTE).

Suponemos tambin que a 1 porque sino siempre me dara 1 ( 13=1; 14= 1; etc).Fjense que cuando la base a es may or que 1, la curv a da asEs decir, ser siempre creciente.Si a < 1, la curv a da al rev s, es decir, todo el tiempo esdecreciente.A su v ez, cuanto ms grande sea a, ms rpido crecer o decrecerla f uncin. A v eces v an a v er que aparece la f uncin ex. El nmeroe es un nmero irracional v ale 2,7182..... etctera.No es importante que se acuerden cunto v ale e con 7 decimales.Es importante que sepan que entre 2 y 3, de manera que el grf icode ex v a a dar as:

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f (x) = ex1Vamos A graf icar algunas f unciones exponenciales, aplicando lascosas que y a v imos. A v er. Hagamos por ejemplo f (x)= 3 + ex.f (x) = ex + 3Asntota y = 3El dominio son todos los reales y la imagen sern los realesmay ores que 3. Es decir que Im f = (3 , +).Piensen: Es biy ectiv a esta f uncin ? Es o no es ? Si, esbiy ectiv a.

Graf iquemos ahoraex-2. Eso queda ex e-2. Qu pasa ? e-2 es unnmero, de manera que es como si tuv iera la f uncin kex. Da as:y f (x)= ex-21e-2 x

No corta en 1 porque el nmero e-2 (e-2 = 1/e2) v ale 0,36... Lasf unciones exponenciales tienen siempre la f orma ax. Todas lasf unciones exponenciales de este tipo cortan al eje v ertical en 1. Esoes por que a0 siempre es 1. A v er esto: Qu les parece ? Sonbiy ectiv as las f unciones exponenciales ? Bueno, as como estn,no. Tengo que redef inir el codominio. Es decir, para poder tener lainv ersa de una f uncin exponencial v oy a tener que tomarla de > 0 FUNCIN LOGARITMO

La f uncin exponencial qu hace ? Supongamos que tengo 2x. Yole doy el exponente y ella me da el resultado. Lo que estoybuscando es una f uncin tal que si y o le doy el resultado, ella me deel exponente. Esta f uncin inv ersa se llamaLOGARITMO.La f uncin logaritmo v a de > 0 . Es decir, para 2x tengo losiguiente:

Si 2 = 2x x = 1Si 4 = 2x x = 2Si 1/8 = 2x x = -3.

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Entonces, mis incgnitas son los exponentes. La f uncin inv ersa de2x ser log2x. (se lee: logaritmo en base dos de x).F(x) = 2x F-1 (x) = log2x Conf-1(x): >0 .Fjense que slo puedo sacar logaritmo de nmeros positiv os. Esopasa porque el dominio de la f uncin logaritmo son slo los realespositiv os. Es decir, no puedo hacer la cuenta log2 (-3). ( Por ejemplo). Eso es razonable. A qu nmero tengo que elev ar el 2 para queme de 3 ? Claro, no existe.Graf iquemos ahora la f uncin logaritmo. Sabemos que es la inv ersade la exponencial. s?. Eso quiere decir que ser simtrica respecto de la recta y = x.Hagmoslo.2x Recta y = x1 log2 x1Quiero que v ean que el eje v ertical es una asntota de la f uncinlogaritmo. Todas las f unciones logaritmo en donde la base a seamay or que 1 v an a dar as: representacin de la f uncin logaxcon base a > 1 Qu pasa ahora si la base a es menor que 1 ? Bueno, v a a dar alrev s. Cmo eran las exponenciales cuy a base a era menor que 1? Graf iquemos una exponencial con a < 1 y graf iquemos la f uncininv ersa.y Log 1/3x(1/3)x 11 xEn el parcial solemos tomar 4 ejercicios. Dos de esos suelen sermuy - muy parecidos a los de la gua. Tambin a v eces tomamosproblemas. Miren los problemas que hay en la gua.PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSAhora quiero que v ean algunas propiedades del logaritmo:Supongamos que me piden calcular el loga ( ax) Cunto me v a adar esto?

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Bueno, pinsenlo. Tengo que elev ar a a la x para obtener ax. Eso esrazonable, por que en realidad estoy componiendo un f uncin con suinv ersa. Al componer f (x) con f -1(x) siempre obtengo x. Es decir:

loga( ax) = x Tambin hay otra propiedad que quiero que v ean:a( logax )= xEsto spanlo. No hace f alta v er ahora la demostracin. Hay algunosejercicios de la gua en los que se aplica esto. Vamos a v er qupasa con el producto y la div isin. Si tengo dos nmeros x e y secumple que:Loga(x.y)= loga(x) + loga(y)Loga(x/y)= loga(x) loga(y)Vamos a la potenciacin: Si me dan x elev ado a la r y tomologaritmo, me queda: Loga( xr) = r.logaxPor ejemplo:Loga(2.3) = Loga(2) + Loga(3) Loga(2/3) = Loga(2) Loga(3)

Loga(23) = 3. Loga(2)LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO ( ln )La calculadora trabaja en base 10 o en base e. Los logaritmos enbase e se llaman logaritmos naturales o neperianos. e era esenmero 2,7182....se acuerdan?. Vamos a v er cmo se cambia de base. Les v oy adar la f rmula:logax=logb x Frmula para el logb a cambio de base

Por ejemplo. Supongamos que queremos calcular el log23 con lacalculadora. Para eso hago la cuenta:log2 3=log10 3 =1.58...log10 2Eso quiere decir que si elev o 2 a la 1,58... v oy a obtener 3. Usando

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la calculadora que trabaja con logaritmos en base 10 puedo conocerel logaritmo en base 2 de 3. Una cosa. Cada v ez que usamoslogaritmo en base 10 no ponemos la base. Es decir, no se pone log102. Se pone log 2. Ya se sobreentiende que es en base 10. Cuandouse logaritmos en base e uso la abrev iatura ln (logaritmo natural).Ahora quiero que v ean algunos ejemplos:EJERCICIO:Calcular los siguientes logaritmos.1 ) log3( log3(1/27)).Hago: log3( log3(1/27)) = log3(log31 log327 )Para hacer esto apliqu logaritmo de un cociente. Me queda:= log3(0 3) = log3(- 3 ) = NO EXISTE !No existe por que no existen los logaritmos de nmeros negativ os.2 ) Log2( log335) Log2(log335) = log2 ( 5 log33 )=log2 5 = log 5/log 2 = 2,32) 4( log 9 )3 24( log 9 )= (22) log 9 = 22 log 9= 2 log ( 81 )2 2 2 2 = 81.Ac apliqu la propiedad que deca quea( logax )= x.Ahora podra haber resuelto esto haciendo cuentas con lacalculadora ? Si, como poder podra. Pero nosotros pref erimos quelo hagan aplicando las propiedades.4) log1 Y este cmo se hace ? Hay que pensar un poco. Bueno, a qunmero tengo que elev ar a para que me de 1 ? Y claro, a la cero.Cualquier nmero elev ado a la cero me da uno. Entonces:log 1 = 0Vamos a hacer algunos ejercicios de f unciones exponenciales ylogartmicas EJEMPLO:El capital depositado en un banco aumenta de acuerdo con lasiguiente funcinA(x)= P. erxP es el capital puesto inicialmente. r es el inters anual, x es eltiempo transcurrido y A(x) es el dinero que uno recibe despusde ese tiempo.

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a) Supongamos que me dice que deposito $ 100 al 4 % anual yquiero saber cunta plata despus de dos aos. Entonces tengo quehacer esta cuenta:A( 2 aos)= 100 . e0 04.2= 108,32 A(2 aos)= $ 108,32 dinero que uno recibe despus de dosaos.b) Me piden qu plata inicial tendra que depositar para tener $ 100despus de 2 aos ( tambin suponiendo r = 4/100). Entonces:

100= P .e0 04.2 100 = P. 1,08 P = 92,31 dinero que hay que depositar inicialmentec) Ahora piensen esto. Supongamos que me piden calcular cuntotiempo tiene que pasar para que el monto inicial se triplique. Ac hayque usar logaritmos. Fjense. Planteo esto: si inicialmente depositoun capital P, despus tantos aos tendr un capital de 3 P.No hace f alta trabajar con cif ras como $ 100 y $ 300. Yo pongo P y3 P. Entonces:3 P = P. erx 3 = e0,04 x

Qu hago ahora? Cmo despejo x?. Y bueno, justamente. Mepiden que calcule el exponente. Cmo se hace eso? Rta.: con laf uncin logaritmo. Fjense. Tomo logaritmo a ambos lados de laigualdad:

Ln 3= ln e0,04 x ln 3 = 0,04 . x. ln e ln 3 = 0,04 . x 1 x = ln3/0,04Tiempo que hay que x = 27,46 aosdepositar la plata para que el capital se tripliqueFUNCIONES EXPONENCIALES - EJERCICIOS DE PARCIALES 4.Sea f(x) = -2 + ex-3. Calcular f-1(x), Dom f-1 e Im f-1f (x) = - 2 + ex-3. Para calcular la inv ersa, despejamos la x

f (x) = y = -2 + ex-3 ex-3 = y + 2 x - 3 = ln (y + 2) x = ln (y + 2) + 3 cambiamos y por x y x por f -1 (x)

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+3> 0x >3.7Luego tenemos:Domh( )=3 ,+

7 Ahora buscamos los ceros de h(x) :

h( ) = ln(7x + 3)= 0 Tomo la exponencial a amboslados porque se tratade una f uncin creciente: eln(7x+3) = e0Entonces tenemos:7x+3=1 x= 2 7 Ahora v emos los interv alos de positiv idad:h( )= ln(7x + 3)> 0 v olv iendo a tomar exponencial a ambos lados,llegamos a7x+3>1x > 2 7 Para el conjunto de negativ idad:h( )=ln(

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7x+3)