Matemáticas Básicas: Funciones

M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

ESDAI, Universidad Panamericana

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Acerca de mí

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¡Bienvenidas al Curso de Matemáticas Básicas!

Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)

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¡Bienvenidas al Curso de Matemáticas Básicas!

Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)

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Educación

1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.

2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.

3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.

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Educación

1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.

2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.

3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.

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Educación

1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.

2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.

3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.

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Publicaciones

2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov

2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.

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Reconocimientos

2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica

2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI

2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca

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Experiencia docente

Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.

2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.

2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.

2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.

2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.

2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.

2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.

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1 Definiciones y ejemplos2 Sistema de coordenadas rectangulares

Desplazamientos horizontales

Desplazamientos verticales

Cambio de coordenadas3 Rectas

Paralelas y perpendiculares4 Escalamiento y reflexión5 Ecuaciones linales6 Ecuaciones de segundo grado

Complemento de cuadrados

Intersecciones con los ejes

Diferencia de cuadrados

Ejemplos

Factorización

Aplicaciones

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Definiciones y ejemplos

11

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relación. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relación.

12

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relación. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relación.

12

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relación. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relación.

12

Ejemplo 2.1.¿Cuál es el dominio y el rango de la relación

{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}?

Solución.

Dominio = {1, 2, 3, 4} , Rango = {3, 6, 9, 12} .

13

Definición 2.1.Una función es una relación tal que cada elemento del dominiotiene su par con un solo elemento del rango.

14

Ejemplo 2.2.¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}

Solución.

SíNo, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3Sí

15

Ejemplo 2.2.¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?

1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}

Solución.

SíNo, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3Sí

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Observación 2.1.

A menudo, las funciones y las relaciones se expresancomo ecuaciones.Cuando no se especifica el domino, éste se determinacomo el subconjunto más grande de números reales paralos que se define el ecuacipón.El rango se define encontrando el valor de la ecuaciónpara cada uno de los valores del dominio.

16

La variable asociada con el dominio se llama independiente,mientras que la variable asociada con el rango se llamadependiente.

17

La variable asociada con el dominio se llama independiente,mientras que la variable asociada con el rango se llamadependiente.

17

Ejemplo 2.3.¿Cuál es el dominio y el rango de y = x2 + 2?

18

Solución.

Figura 2.1: Dominio=(−∞, ∞) := R, Rango=[2, ∞)

19

Ejemplo 2.4.¿Cual es el dominio y el rango de y = 1/(x − 3)?

20

Solución.

Figura 2.2: Dominio=R − {x = 3}, Rango=R − {y = 0}

21

Sistema de coordenadasrectangulares

22

Un sistema de coordenadas rectangulares se utiliza pararepresentar una gráfica de la relación entre dos variables.

1 La recta X ′X, denominada eje x, se sitúa en posiciónhorizontal.

2 La recta Y ′Y, denominada eje y, se sitúa en posiciónhorizontal.

3 El punto O es el origen del sistema.4 Los ejes dividen al plano en 4 cuadrantes.

23

Definición 3.1.La gráfica de una función y = f(x) es el lugar geométrico delos puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

y = f(x).

24

Observación 3.1.¡Graficar una función es muy sencillo! En SageMath Cloud,puede ocupar el siguiente código:

x=var("x") #se define la variable independientef(x)=x^2 #se define la funci\'ongrafica = plot(f, (0,1))show(grafica)

Puede ver ejemplos en SageMath Cloud.

25

Sistema de coordenadasrectangulares

Desplazamientos horizontales

26

La gráfica de la función f(x − c) es la misma que la gráfica dela función f(x) pero desplezada a laderecha c > 0

izquierda c < 0.

27

Ejemplo 3.1.

Figura 3.1: Parábolas desplzadas horizontalmente

28

Figura 3.2: Rectas desplazadas horizontalmente

29

Figura 3.3: Hipérbolas desplazadas horizontalmente

30

Figura 3.4: Raíces desplazadas horizontalmente

31

Sistema de coordenadasrectangulares

Desplazamientos verticales

32

Figura 3.5: Parábolas desplazadas verticalmente

33

Figura 3.6: Rectas desplazadas verticalmente

34

Figura 3.7: Hipérbolas desplazadas verticalmente

35

Figura 3.8: Raíces desplazadas verticalmente

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Sistema de coordenadasrectangulares

Cambio de coordenadas

37

Cambio de coordenadas

La gráfica de la función

y = f(x − h) + k

es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0

la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0

h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

38

Cambio de coordenadas

La gráfica de la función

y = f(x − h) + k

es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0

la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0

h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

38

Cambio de coordenadas

La gráfica de la función

y = f(x − h) + k

es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0

la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0

h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

38

Cambio de coordenadas

La gráfica de la función

y = f(x − h) + k

es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0

la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0

h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).

38

Ejemplo 3.2.Grafique y = (x − 2)2 + 3; determine su dominio y su rango.

39

Figura 3.9: Grafica de la función y = (x − 2)2 + 3

40

Ejemplo 3.3.Grafique y = 5 ∗ (x − 2) + 3; determine su dominio y su rango.

41

Figura 3.10: Grafica de la función y = 5 ∗ (x − 2) + 3

42

Ejemplo 3.4.Grafique y =

√x − 2 + 3; determine su dominio y su rango.

43

Figura 3.11: Grafica de la función y =√

x − 2 + 3

44

Ejemplo 3.5.

Grafique y = 1x − 2 + 3; determine su dominio y su rango.

45

Figura 3.12: Grafica de la función y = 1x − 2 + 3

46

Puede graficar más funciones con cambios de coordenadas coneste script de SageMath.

47

Rectas

48

Diremos que una función f(x) es afín si es de la forma

f(x) = mx + b.

Muchas veces, a estas funciones también se les llama lineales;pero este término no es del todo correcto.

49

Diremos que una función f(x) es afín si es de la forma

f(x) = mx + b.

Muchas veces, a estas funciones también se les llama lineales;pero este término no es del todo correcto.

49

La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,

ordenada al origen.

Figura 4.1: Colección de líneas rectas

50

La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,

ordenada al origen.

Figura 4.1: Colección de líneas rectas

50

La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,

ordenada al origen.

Figura 4.1: Colección de líneas rectas

50

Si la pendiente m es positiva, la recta es creciente.

Figura 4.2: Rectas con pendiente positiva

51

Si la pendiente m es negativa, la recta es decreciente.

Figura 4.3: Rectas con pendiente negativa

52

Si sabemos que la recta pasa por los puntos P0 = (x0, y0) yP1 = (x1, y1), entonces la pendiente de la recta está dada por

m = y1 − y0

x1 − x0.

53

Ejemplo 4.1.Determine la pendiente de la recta que pasa por los punto(−2, 3) y (1, 8).

54

Si sabemos que la recta tiene pendiente m y pasa por el puntoQ = (a, b), entonces la ecuación de la recta está dada por

y = m ∗ (x − a) + b.

55

Ejemplo 4.2.

1 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto(−2, 3) con pendiente m = 5

3 .

2 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto(1, 8) con pendiente m = 5

3 .

56

Ejemplo 4.3.Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos(−2, −5) y (3, 2).

57

Observación 4.1.Si la ecuación de la recta y = mx + b se reescribe como

Ax + By + C = 0,

diremos que la ecuación está en su forma general. Siemprepreferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de serposible.

58

Observación 4.1.Si la ecuación de la recta y = mx + b se reescribe como

Ax + By + C = 0,

diremos que la ecuación está en su forma general. Siemprepreferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de serposible.

58

Ejemplo 4.4.Reescriba la ecuación

y = 32x + 7

5

en su forma normal, con coeficientes enteros.

59

Cuado y = 0, obtenemos la ecuación

Ax + C = 0;

la solución x∗ de ésta se llama raíz, y el punto (x∗, 0) seencuentra sobre el eje “x′′.

60

Cuando x = 0, obtenemos la ecuación

By + C = 0;

la solución y∗ de ésta se llama ordenada al origen, y el punto(0, y∗) se encuentra sobre el eje “y′′.

61

Si (x∗, y∗) 6= (0, 0), entonces podemos graficar la rectauniendo los puntos (x∗, 0) y (0, y∗).

En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos(0, 0) y (q, p), donde

m = p

q;

de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir éste con(a + q, b + p) para graficar la recta.

62

Si (x∗, y∗) 6= (0, 0), entonces podemos graficar la rectauniendo los puntos (x∗, 0) y (0, y∗).

En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos(0, 0) y (q, p), donde

m = p

q;

de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir éste con(a + q, b + p) para graficar la recta.

62

Ejemplo 4.5.Grafique

15x − 10y + 14 = 0.

63

Figura 4.4: 15x − 10y + 14 = 0

64

Rectas

Paralelas y perpendiculares

65

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

m1 = m2.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen laecuación;

m1m2 = −1.

66

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

m1 = m2.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen laecuación;

m1m2 = −1.

66

Ejemplo 4.6.Determine si la recta que pasa por los puntos A y B esparalela, perpendicular o ninguna de las opciones anteriores ala recta que pasa por los puntos C y D :

1 A(2, 4), B(3, 8); C(5, 1), D(4, −3).2 A(2, −3), B(−4, 5); C(0, −1), D(−4, −4).3 A(1, 9), B(4, 0); C(0, 6), D(5, 3).4 A(8, −1), B(2, 3); C(5, 1), D(2, −1).

67

Ejemplo 4.7.Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (−5, 6) yque es paralela a la recta

3x − 4y = 5.

68

Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 6) yque es perpendicular a la recta

2x − y = 8.

69

Escalamiento y reflexión

70

En las sección anteriores, hemos considerado cambios decoordenadas:

y = f(x − h) + k

es la misma gráfica que y = f(x), pero desplazada h unidadeshorizontalmente y k unidades verticalmente.

71

Para finalizar consideraremos las siguientes transformaciones:El escalamiento y la reflexión.

72

La gráfica y = m ∗ f(x) es similar a la gráfica y = f(x) peroexpandida si |m| > 1contraída si |m| < 1;

además si m < 0, la gráfica se refleja verticalmente.

73

Figura 5.1: y = mx2

74

Figura 5.2: y = mx

75

Figura 5.3: y = m

x

76

Figura 5.4: y =√

mx

77

Ecuaciones linales

78

Método de solución

mx + b = c

→ mx = c − b

→ x = c − b

m

79

Ejemplo 6.1.Cecilia recibió $435.00 una semana por trabajar 52 horas. Supatrón paga 1.5 = 150 % cada hora extra, por encima de las40 horas semanales. Con esta información, determine el pagopor hora regular de Cecilia.

80

Definición 6.1.El interés generado por una inversión P, a una tasa de interésr en un tiempo t esta dado por

I = Prt (6.1)

81

Ejemplo 6.2.Una inversionista con $70, 000 decide colocar parte de sudinero en bonos corporativos que pagan 12 % anual, y el restoen un Certificado de Depósito que paga 8 % anual. Si elladesea obtener una ganacia total del 9 % anual, ¿cuánto debecolocar en cada inversión?

82

Definición 6.2.Si un objeto se mueve a una velocidad media v, la distancia s

cubierta en el tiempo t está dada por la fórmula

s = vt. (6.2)

83

Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcancea su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?

84

Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcancea su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?

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Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcancea su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?

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Ejemplo 6.4.Un bote de motor avanza río arriba una distancia de 24 millasen un río cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje deida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantieneuna velovidad constante relativa al agua, ¿cuál es suvelocidad?

85

Ejemplo 6.4.Un bote de motor avanza río arriba una distancia de 24 millasen un río cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje deida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantieneuna velovidad constante relativa al agua, ¿cuál es suvelocidad?

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86

Ecuaciones de segundo grado

87

Una función cuadrática es de la forma

f(x) = ax2 + bx + c;

su gráfica se llama parábola.

88

Figura 7.1: y = x2 − 4x + 7

89

Ecuaciones de segundo grado

Complemento de cuadrados

90

Cualquier función cuadrática se puede reescribir en la forma

f(x) = a(x − h)2 + k,

por el método de complementos de cuadrado.

91

El punto (h, k) se llama vértice, y corresponde al extremo dela parábola

y = a(x − h)2 + k.

92

La fórmula para encontrar el vértice de la parábolay = f(x) = ax2 + bx + c esh = − b

2ak = f(h).

93

Para completar el cuadrado, podemos usar el método dedivisión sintética:

h a b c

↓ +ah . . .

a . . . k

94

Ejemplo 7.1.Complete el cuadrado de

y = x2 − 4x + 7.

95

Ejemplo 7.2.Complete el cuadrádo de

y = 3x2 + 30x + 63.

96

Ecuaciones de segundo grado

Intersecciones con los ejes

97

Las raíces de un polinomio p(x) son aquellos números reales r

tales que p(r) = 0.

98

Para encontrar las raíces de una polinomio cuadrático,necesitamos resolver la ecuación de segundo grado

a(x − h)2 + k = 0.

99

Si r es una raíz de p(x) = a(x − h)2 + k, entonces la parábolay = a(x − h)2 + k cruza al eje x en el punto (r, 0).

100

Observación 7.1.Si k > 0, entonces a(x − h)2 + k > 0 y por tanto no existenraíces. Por lo tanto, la parábola y = a(x − h)2 + k nuncacruza el eje x.

101

Ejemplo 7.3.Determine si existen raíces de

y = x2 − 4x + 7,

102

Ecuaciones de segundo grado

Diferencia de cuadrados

103

Una identidad que es muy útil al momento de resolverecuaciones es la diferencia de cuadrados

(a − b) (a + b) = a2 − b2.

104

Una ecuación de la forma

z2 − c2 = 0

se puede reescribir como

(z − c) (z + c) = 0...

...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son

z = ±c.

105

Una ecuación de la forma

z2 − c2 = 0

se puede reescribir como

(z − c) (z + c) = 0...

...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son

z = ±c.

105

Ejemplo 7.4.Encuentre las raíces de

y = 3x2 + 30x + 63.

106

107

Ecuaciones de segundo grado

Ejemplos

108

Ejemplo 7.5.Resuelva las siguientes ecuaciones

1 x2 − 40 = 92 2x2 − 400 = 03 x2 + 36 = 9 − 2x2

109

Ejemplo 7.6.Resuelva las siguientes ecuaciones

1x

16 = 4x

2y2

3 = y2

6 + 2

110

Ejemplo 7.7.Resuelva la siguiente ecuación

1 − 2x

3 − x= x − 2

3x − 1 .

111

Ejemplo 7.8.Resuelva la siguiente ecuación

12x − 1 − 1

2x + 1 = 14 .

112

Ejemplo 7.9.Resuelva la siguiente ecuación

x − 2x

x + 1 = 5x + 1 − 1.

113

Ejemplo 7.10.

Encuentre las raíces de los siguientes polinomios

1 7x2 − 5x

2 x2 − 5x + 63 3x2 + 2x − 54 x2 − 4x + 4

114

Ejemplo 7.11.

Encuentre las raíces de los siguientes polinomios

1 x2 − 6x − 22 3x2 − 5x + 1 = 03 4x2 − 6x + 3

115

Ecuaciones de segundo grado

Factorización

116

Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene raíces r1, r2

diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera

p(x) = a(x − r1) (x − r2) .

117

Si el polinomio se puede escribir como

p(x) = a(x − h)2 − c2,

podemos utilizar la diferencia de cuadrados y factorizar como

p(x) = a (x − h − c) (x − h + c) .

118

Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene una única raź r1,entonces podemos factorizar de la siguiente manera

p(x) = a (x − r1)2 .

119

Ejemplo 7.12.Factorice los polinomios del ejercicio 7.10.

120

Ejemplo 7.13.Factorice los polinomios del ejercicio 7.11.

121

Ecuaciones de segundo grado

Aplicaciones

122

Ejemplo 7.14.

Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos esigual al triple del otro más 5 y que el producto de ambos esigual a 68.

123

Ejemplo 7.15.

Encuentre un número sabiendo que la suma del triple delmismo con el doble de su recíproco es igual a 5.

124

Ejemplo 7.16.

Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuto perímetro esde 50 pies y área es de 150 pies cuadrados.

125

Ejemplo 7.17.

La hipotenusa de un triángulo es igual a 34 pulgadas.Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno deellos es 14 pulgadas mayor que el otro.

126

Ejemplo 7.18.

Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografía esde 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadascuadradas.

127

Ejemplo 7.19.

Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que siaumenta la velocidad en 40 millas/hora podría recorrer dichadistancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidadpromedio.

128

Ejemplo 7.20.

Un comerciante compra determinado número de camisas por$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 encada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en laventa podría haber comprado 30 camisas más que antes,calcule el precio de cada camisa.

129

Ejemplo 7.21.

Dos operarios A y B juntos, realizan una tarea en 10 días.Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B.Encuentre el número de días que tardarían en hacer la tareatrabajando cada no por sí sólo.

130