matematica recreativa

Matemtica Recreativa Yakov I. Perelman

Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001

Matemtica Recreativa

Yakov I. Perelman



Prlogo

ste es un libro para jugar mientras aprenden a resolver problemas matemticos o, si lo prefieren,para aprender matemticas mientras se juega.Alguien puede pensar que sus conocimientos aritmticos son insuficientes, o que con el tiempo yase han olvidado para disfrutar del contenido de Matemticas recreativas.Se equivoca completamente!El propsito de esta obra reside expresamente en destacar la parte de juego que tiene la resolucinde cualquier acertijo, no en averiguar los conocimientos logartmicos que usted puede tener... Bastacon que sepa las reglas aritmticas y posea ciertas nociones de geometra.No obstante, el contenido de esta obra es variadsimo: en ella se ofrece desde una numerosacoleccin de pasatiempos, rompecabezas e ingeniosos trucos sobre ejercicios matemticos hastaejemplos tiles y prcticos de contabilidad y medicin, todo lo cual forma un cuerpo de ms de uncentenar de acertijos y problemas de gran inters.Pero, cuidado! A veces los problemas aparentemente ms sencillos son los que llevan peorintencin...A fin de evitar que caiga en la tentacin de consultar las soluciones precipitadamente, la obra se hadividido en dos partes: la primera contiene diez captulos en donde se plantean todo tipo deacertijos, y la segunda contiene la solucin correspondiente. Antes de recurrir a ella, piense unpoco y divirtase intentando esquivar la trampa.Y ahora, para terminar, un ejemplo: qu es mayor, el avin o la sombra que ste proyecta sobre laTierra? Piense en ello, y si no est muy convencido de sus conclusiones, busque la respuesta en laparte dedicada a las soluciones.



Captulo 1Desayuno y rompecabezas

1. - La ardilla en el calvero - Hoy por la maana he jugado al escondite con una ardilla - contaba a la hora del desayuno uno delos comensales en el albergue donde pasbamos las vacaciones -. Recuerdan ustedes el calverocircular del bosque con un abedul solitario en el centro'? Para ocultarse de m, una ardilla se habaescondido tras ese rbol. Al salir del bosque al claro, inmediatamente he visto el hociquito de laardilla y sus vivaces ojuelos que me miraban fijamente detrs del tronco. Con precaucin, sinacercarme, he empezado a dar la vuelta por el contorno del calvero, tratando de ver al animalillo.Cuatro vueltas he dado alrededor del rbol, pero la bribona se iba retirando tras del tronco ensentido contrario, sin ensearme ms que el hociquillo. En fin, no me ha sido posible dar la vueltaalrededor de la ardilla. - Sin embargo - objet alguien -, usted mismo ha dicho que dio cuatro veces la vuelta alrededor delrbol. - Alrededor del rbol, s; pero no alrededor de la ardilla. - Pero la ardilla, no estaba en el rbol? -Y qu? - Entonces usted daba tambin vueltas alrededor de la ardilla. - Cmo, si ni siquiera una vez le pude ver el lomo? - Pero qu tiene que ver el lomo? La ardilla se halla en el centro, usted marcha describiendo uncrculo, por lo tanto anda alrededor de la ardilla. - Ni mucho menos. Imagnese que ando junto a usted describiendo un crculo, y que usted vavolvindome continuamente la cara y escondiendo la espalda. Dira usted que doy vueltas a sualrededor? - Claro que s. Qu hace usted si no? - Le rodeo, aunque no me encuentre nunca detrs de usted, y no vea su espalda? - La ha tomado usted con mi espalda! Cierra el crculo usted a mi alrededor; ah es donde est elintrngulis, y no en que me vea o no la espalda. - Perdone! Qu significa dar vueltas alrededor de algo? - A mi entender no quiere decir nada ms que lo siguiente: ocupar sucesivamente distintasposiciones de modo que pueda observarse el objeto desde todos los lados. No es as, profesor? -pregunt uno de los interlocutores a un viejecillo sentado en la mesa. - En realidad, est n ustedes discutiendo sobre palabras - contest el hombre de ciencia -. En estoscasos hay que empezar siempre por lo que acaban de hacer; o sea, hay que ponerse de acuerdo en elsignificado de los trminos. Cmo deben comprenderse las palabras "moverse alrededor de unobjeto"? Pueden tener un doble significado. En primer lugar, pueden interpretarse como unmovimiento por una lnea cerrada en cuyo interior se halla el objeto. Esta es una interpretacin.Otra: moverse respecto a un objeto de modo que se le vea por todos los lados. Si aceptamos laprimera interpretacin, debe reconocer que ha dado usted cuatro vueltas alrededor de la ardilla.Manteniendo la segunda, llegamos a la conclusin de que no ha dado vueltas a su alrededor ni unasola vez.Como ven ustedes, no hay motivo para discutir, si ambas partes hablan en un mismo lenguaje ycomprenden los trminos de la misma manera. - Eso est muy bien; puede admitirse una interpretacin doble. Pero, cul es la justa? - La cuestin no debe plantearse as. Puede convenirse lo que se quiera. Slo hay que preguntarsecul es la interpretacin ms corriente. Yo dira que la primera interpretacin es la ms acorde con



el espritu de la lengua, y he aqu por qu. Es sabido que el Sol da una vuelta completa alrededor desu eje en 26 das... - El Sol da vueltas? - Naturalmente, lo mismo que la Tierra alrededor de su eje. Imaginen ustedes que la rotacin delSol se realizara ms despacio; es decir, que diera una vuelta no en 26 das, sino en 365 das y 1/4; osea, en un ao. Entonces el Sol tendra siempre el mismo lado orientado a la Tierra y nuncaveramos la parte contraria, la espalda del Sol. Pero, podra entonces afirmarse que la Tierra nodaba vueltas alrededor del Sol? - As, pues, est claro que a pesar de todo yo he dado vueltas alrededor de la ardilla. - Seores, no se vayan! - dijo uno de los que haban escuchado la discusin -. Quiero proponer losiguiente. Como nadie va a ir de paseo, lloviendo como est, y por lo visto la lluvia no va a cesarpronto, vamos a quedamos aqu resolviendo rompecabezas. En realidad, ya hemos empezado. Quecada uno discurra o recuerde algn rompecabezas. Usted, profesor, ser nuestro rbitro. - Si los rompecabezas son de lgebra o de geometra, yo no puedo aceptar - declar una joven. - Ni yo tampoco - aadi alguien ms. - No, no; deben participar todos. Rogamos a los presentes que no hagan uso ni del lgebra ni de lageometra; en todo caso, slo de los rudimentos. Hay alguna objecin? - Ninguna - dijeron todos -. Venga, vamos a empezar!

2. - Funcionamiento de los crculos escolares - En nuestro Instituto - comenz un estudiante de bachillerato - funcionan cinco crculos: dedeportes, de literatura, de fotografa, de ajedrez y de canto. El de deportes funciona un da s y otrono; el de literatura, una vez cada tres das, el de fotografa, una cada cuatro; el de ajedrez, una cadacinco, y el de canto, una cada seis. El primero e enero se reunieron en la escuela todos los crculos,y luego siguieron hacindolo en los das designados, sin perder ninguno. Se trata de adivinarcuntas tardes ms, en el primer trimestre, se reunieron los cinco crculos a la vez. - El ao era corriente o bisiesto? - preguntaron al. estudiante. - Corriente. - Es decir, que el primer trimestre, enero, febrero y marzo, fue de 90 das? - Claro que s. - Permteme aadir una pregunta ms a la hecha por ti en el planteamiento del rompecabezas - dijoel profesor -. Es la siguiente: cuntas tardes de ese mismo trimestre no se celebr en el Institutoninguna reunin de crculo? - Ah, ya comprendo! - exclam alguien -. Es un problema con segundas... Me parece que despusdel primero de enero, no habr ni un da en que se renan todos los crculos a la vez, ni tampocohabr uno en que no se rena ninguno de los cinco. Claro! - Por qu? - No puedo explicarlo, pero creo que quieren pescarle a uno. - Seores! - tom la palabra el quehaba propuesto el juego y al que todos consideraban como presidente de la reunin -. No hay quehacer pblicas ahora las soluciones definitivas de los rompecabezas. Que cada uno discurra. Elrbitro, despus de cenar, nos dar a conocer las contestaciones acertadas. Venga el siguiente!

3. - Quin cuenta ms?Dos personas estuvieron contando, durante una hora, todos los transentes que pasaban por laacera. Una estaba parada junto a la puerta, mientras la otra andaba y desandaba la acera. Quincont ms transentes? - Naturalmente, andando se cuentan ms; la cosa est clara - oyse en el otro extremo de la mesa.



- Despus de cenar sabremos la respuesta - declar el presidente -. El siguiente!

4. - Los billetes de autocar - Soy taquillero en una estacin de autocares y despacho billetes - empez a decir el siguienteparticipante en el juego -. A muchos esto les parecer sencillo. No sospechan el nmero tan grandede billetes que debe manejar el taquillero de una estacin, incluso de poca importancia. Esindispensable que los pasajeros puedan adquirir billetes de la indicada estacin a cualquier otra delmismo autocar. Presto mis servicios en una lnea que consta de 25 estaciones. Cuntos billetesdistintos piensan ustedes que ha preparado la empresa para abastecer las cajas de todas lasestaciones? - Ha llegado su turno, seor aviador - proclam el presidente.

5. - El vuelo del dirigible - Imaginemos que despeg de Leningrado un dirigible rumbo al norte. Una vez recorridos 500 kmen esa direccin cambi de rumbo y puso proa al este. Despus de volar en esa direccin 500 km,hizo un viraje de 900 y recorri en direccin sur 500 km. Luego vir hacia el oeste, y despus decubrir una distancia de 500 km, aterriz. Si tomamos como punto de referencia Leningrado, sepregunta cul ser la situacin del lugar de aterrizaje del dirigible: al oeste, al este, al norte o al surde esta ciudad. - Este es un problema para gente ingenua - dijo uno de los presentes -. Siguiendo 500 pasos haciadelante, 500 a la derecha, 500 hacia atrs y 500 hacia la izquierda, adnde vamos a parar?Llegamos naturalmente al mismo lugar de donde habamos partido. - Dnde le parece, pues, que aterriz el dirigible? - En el mismo aerdromo de Leningrado, dedonde haba despegado. No es as? - Claro que no. - Entonces no comprendo nada! - Aqu hay gato encerrado - intervino en la conversacin el vecino -. Acaso el dirigible no aterrizen Leningrado ... ? Puede repetir el problema?El aviador accedi de buena gana. Le escucharon con atencin, mirndose perplejos. - Bueno - declar el presidente -. Hasta la hora de la cena disponemos de tiempo para pensar eneste problema. Ahora vamos a continuar.

6. - La sombra - Permtanme tomar como tema de mi rompecabezas el mismo dirigible - dijo el participante deturno -. Qu es ms largo, el dirigible o la sombra completa que proyecta sobre la Tierra? - Es se todo el rompecabezas? - S. - La sombra, claro est, es ms larga que el dirigible; los rayos del Sol se difunden en forma deabanico - propuso inmediatamente alguien como solucin. - Yo dira que, por el contrario, los rayos del Sol van paralelos - protest alguien -. La sombra y eldirigible tienen la misma longitud. - Qu va! Acaso no ha visto usted los rayos divergentes del Sol oculto por una nube? De ellopuede uno convencerse observando cunto divergen los rayos solares. La sombra del dirigible debeser considerablemente mayor que el dirigible, en la misma forma que la sombra de la nube esmayor que la nube misma. - Por qu se acepta corrientemente que los rayos del Sol son paralelos? Todos lo consideran as...El presidente no permiti que la discusin se prolongara y concedi la palabra al siguiente.



7.- Un problema con cerillasEl jugador de turno vaci sobre la mesa su caja de cerillas, distribuyndolas en tres montones. - Se dispone usted a hacer hogueras? - bromearon los presentes. - El rompecabezas ser a base de cerillas - explic -. Tenemos tres montoncitos diferentes. En elloshay en total 48 cerillas. No le digo cuntas hay en cada uno, pero observen lo siguiente: si deprimer montn paso al segundo tantas cerillas como hay en ste luego del segundo paso al tercerotantas cerillas como hay en es tercero, y, por ltimo, del tercero paso al primero tantas cerillascomo existen ahora en ese primero, resulta que habr el mismo nmero de cerillas en cada montn.Cuntas cerillas haba en cada montn al principio?

8.- El tocn traicionero - Este rompecabezas - empez a decir el penltimo contertulio - me recuerda un problema que meplante en cierta ocasin un matemtico rural. Era un cuento bastante divertido. Un campesino seencontr en el bosque a un anciano desconocido. Pusironse a charlar. El viejo mir al campesinocon atencin y le dijo: - En este bosque s yo de un tocn maravilloso. En caso de necesidad ayuda mucho. - Cmo que ayuda! Acaso cura algo? - Curar no cura, pero duplica el dinero. Pones debajo d e l el portamonedas con dinero, cuentashasta cien, y listo: el dinero que haba en el portamonedas se ha duplicado. Esta es la propiedad quetiene. Magnfico tocn! - Si pudiera probar... - exclam soador el campesino. - Es posible. Cmo no! Pero hay que pagar. - Pagar? A quin? Mucho? - Hay que pagar al que indique el camino. Es decir, a m en este caso. Si va a ser mucho o poco esotra cuestin.Empezaron a regatear. Al saber que el campesino llevaba poco dinero, el viejo se conform conrecibir una peseta y veinte cntimos despus de cada operacin.El viejo condujo al campesino a lo ms profundo del bosque, lo llev de un lado para otro y por finencontr entre unas malezas un viejo tocn de abeto cubierto de musgo. Tomando de manos delcampesino el portamonedas, lo escondi entre las races del tocn.Contaron hasta cien. El viejo empez a escudriar y hurgar al pie del tronco, y al fin sac elportamonedas, entregndoselo al campesino.ste mir el interior del portamonedas y... en efecto, el dinero se haba duplicado. Cont y dio alanciano la peseta y los veinte cntimos prometidos y le rog que metiera por segunda vez elportamonedas bajo el tocn.Contaron de nuevo hasta cien; el viejo se puso otra vez a hurgar en la maleza junto al tocn, yrealizse el milagro: el dinero del portamonedas se haba duplicado. El viejo recibi la peseta y losveinte cntimos convenidos.Escondieron por tercera vez el portamonedas bajo el tocn. El dinero se duplic esta vez tambin.Pero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneracin prometida, no qued en elportamonedas ni un solo cntimo. El pobre haba perdido en la combinacin todo su dinero. Nohaba ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retir del bosque.El secreto de la duplicacin maravillosa del dinero, naturalmente, est claro para ustedes: no enbalde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la maleza junto al tocn. Pero, puedenustedes indicar cunto dinero tena el campesino antes de los desdichados experimentos con eltraicionero tocn?

9.- Un truco aritmtico



- Me toca hablar el ltimo. A fin de que haya mayor variedad, presentar un truco aritmtico, conel ruego de que descubran el secreto que encierra. Que cualquiera de los presentes, usted mismo,presidente, escriba en un papel un nmero de tres cifras, sin que yo lo vea. - El nmero puede tener ceros? - No pongo limitacin alguna. Cualquier nmero de tres cifras, el que deseen. - Ya lo he escrito. Qu ms? - A continuacin de ese mismo nmero, escrbalo otra vez, y obtendr una cantidad de seis cifras. - Ya est.- Dle el papel al compaero ms alejado de m, y que este ltimo divida por 7 la cantidadobtenida. - Qu fcil es decir divdalo por siete! A lo mejor no se divide exactamente. - No se apure; se divide sin dejar resto. - No sabe usted qu nmero es, y asegura que se divide exactamente. - Haga primero la divisin y luego hablaremos. - Ha tenido usted la suerte de que se dividiera.- Entregue el cociente a su vecino, sin que yo me entere de cul es, y que l lo divida por 11. - Piensa usted que va a tener otra vez suerte, y que va a dividirse? - Haga la divisin. No quedar resto. - En efecto! Y ahora, qu ms? - Pase el resultado a otro. Vamos a dividirlo por... 13. - No ha elegido bien. Son pocos los nmeros que se dividen exactamente por trece... Oh, ladivisin es exacta! Qu suerte tiene usted! - Dme el papel con el resultado, pero dblelo de modo que no pueda ver el nmero.Sin desdoblar la hoja de papel, el prestidigitador la entreg al presidente. - Ah tiene el nmero que usted haba pensado. Es se? - El mismo! - contest admirado, mirando el papel - . Precisamente es el que yo haba pensado...Como se ha agotado la lista de jugadores, permtanme terminar nuestra reunin, sobre todoteniendo en cuenta que la lluvia ha cesado. Las soluciones de todos los rompecabezas se harnpblicas hoy mismo, despus de cenar. Las soluciones por escrito pueden entregrmelas a m.Antes de poner fin al captulo de los rompecabezas en el albergue, explicar tres trucos aritmticosms para que puedan ustedes entretener a sus amigos en los ratos libres. Dos de estos trucosconsisten en averiguar nmeros; el tercero en averiguar cules son los propietarios de objetosdeterminados.Son trucos viejos, y hasta es posible que los conozcan, pero no todos seguramente saben en qu sebasan. Para que el truco pueda presentarse en forma segura y racional, se requieren ciertosconocimientos tericos. Los dos primeros exigen una pequea y nada fatigosa incursin por ellgebra elemental.

10.- La cifra tachadaUna persona piensa un nmero de varias cifras, por ejemplo el 847. Propngale que halle la sumade los valores absolutos de las cifras de, este nmero (8 + 4 + 7 = 19) y que la reste del nmeropensado. Le resultar:

847 - 19 = 828



Que tache una cifra cualquiera del resultado obtenido, la que desee, y que le comunique a usted lasrestantes. Le dir usted inmediatamente la cifra tachada, aunque no sepa el nmero pensado y nohaya visto lo que ha hecho con l.

11.- Adivinar un nmero sin preguntar nadaPropone usted a alguien que piense un nmero cualquiera de tres cifras que no termine en cero, y leruega que ponga las cifras en orden contrario. Hecho esto, debe restar del nmero mayor el menor yla diferencia obtenida sumarla con ella misma, pero con las cifras escritas en orden contrario. Sinpreguntar nada, adivina usted el nmero resultante.

12.- Quin ha cogido cada objeto?Para presentar este ingenioso truco, @hay que preparar tres cosas u objetos pequeos que quepanfcilmente en el bolsillo, por ejemplo, un lpiz, una llave y un cortaplumas. Adems, se coloca enla mesa un plato con 24 avellanas; a falta de ellas pueden utilizar fichas del juego de damas, dedomin, cerillas, etctera.A tres de los presentes les propone que mientras est usted fuera de la habitacin, escondan en susbolsillos, a su eleccin, uno cualquiera de los tres objetos: el lpiz, la llave o el cortaplumas, y secompromete usted a adivinar el objeto que ha escondido cada uno.El procedimiento para adivinarlo consiste en lo siguiente: Al regresar a la habitacin una vez quelas tres personas hayan escondido los objetos en los bolsillos, les entrega usted unas avellanas paraque las guarden. Al primero le da una avellana, dos al segundo y tres al tercero. Las restantes lasdeja en el plato. Luego sale usted otra vez dejndoles las siguientes instrucciones: cada uno debecoger del plato ms avellanas; el que tenga el lpiz tomar tantas como le fueron entregadas; el quetenga la llave, el doble de las que recibi; el del cortaplumas, cuatro veces ms que las que usted lehaya dado.Las dems avellanas quedan en el plato.Una vez hecho todo esto y dada la seal de que puede regresar, al entrar en el cuarto echa usted unamirada al plato, e inmediatamente anuncia cul es el objeto que cada uno guarda en el bolsillo.



Captulo 2

Las matemticas en el dominy el croquet

13.- Lnea de 28 fichasPor qu las 28 fichas del domin pueden colocarse, siguiendo las reglas del juego, formando unalnea?

14.- El comienzo y el final de la lneaEstando las 28 fichas casadas, en uno de los extremos hay 5 tantos. Cuntos habr en el otroextremo?

15.- Un truco con el dominUna persona toma una de las fichas y les propone que casen las 27 restantes, afirmando que essiempre posible hacerlo, cualquiera que sea la ficha tomada. Pasa a la habitacin contigua, para nover cmo lo hacen.Empiezan ustedes a colocarlas y llegan a la conclusin de que dicha persona tena razn: las 27fichas quedan casadas. Pero lo ms asombroso es que, desde la otra habitacin y sin ver el domin,tambin puede anunciar cuntos tantos hay en cada extremo de la fila de fichas.Cmo puede saberlo? Por qu est seguro de que 27 fichas cualesquiera pueden colocarse en unasola lnea casndolas correctamente?

16.- El marcoLa figura reproduce un marco cuadrado, formado por las fichas del domin de acuerdo con lasreglas del juego. Los lados del marco tienen la misma longitud, pero no igual nmero de tantos; loslados superior e izquierdo contienen 44 tantos cada uno; de los otros dos lados, uno tiene 59 y elotro 32.

Fig. 2.1



Puede construirse un marco cuadrado cuyos lados contengan el mismo nmero de tantos, es decir,44 cada uno?

17.- Los siete cuadrados

Cuatro fichas de domin, elegidas convenientemente, pueden colocarse formando un cuadrado conidntico nmero de tantos en cada lado. En la figura pueden ustedes ver un modelo donde la sumade los tantos de cada lado del cuadrado equivale siempre a 11.

Fig 2.2

Podran ustedes formar con todas las fichas del domin siete cuadrados de este tipo? No esnecesario que la suma de tantos de cada lado de todos los cuadrados sea la misma. Lo que se exigees que los cuatro lados de cada cuadrado tengan idntico nmero de tantos.

18.- Los cuadrados mgicos del domin

La figura muestra un cuadrado formado por 18 fichas de domin, y que ofrece el inters de que lasuma de los tantos de cualquiera de sus filas - longitudinales, transversales y diagonales - es entodos los casos igual a 13. Desde antiguo, estos cuadrados se llaman mgicos.

Fig. 2.3

Trate de construir algunos cuadrados mgicos compuestos de 18 fichas, pero en los que la suma detantos sea otra diferente. Trece es la suma menor en las filas de un cuadrado mgico formado de 18fichas. La suma mayor es 23.

19.- Progresin con las fichas del dominEn la figura se ven seis fichas de domin casadas segn las reglas del juego, con la particularidadde que la suma total de tantos de cada ficha (en ambas mitades de cada una) aumenta



Fig. 2.4

sucesivamente en una unidad: empezando con la suma 4, la serie consta de los siguientes nmerosde puntos:

4, 5, 6, 7, 8, 9.

La serie de nmeros en que cada trmino consecutivo aumenta (o disminuye) en la misma cantidadrespecto del anterior se llama progresin aritmtica. En la serie que acabamos de exponer, cadatrmino es mayor que el precedente en una unidad, pero la diferencia entre los trminos de unaprogresin puede tener otro valor.Se trata de formar progresiones a base de 6 fichas.

20.- Pasar bajo los aros o golpear la bola del contrario?Los aros del croquet tienen forma rectangular. Su anchura es dos veces mayor que el dimetro delas bolas. En estas condiciones, qu es ms fcil? Pasar el aro sin rozar el alambre, desde laposicin mejor, o a la misma distancia golpear la bola del contrario?

21.- La bola y el posteEl poste de croquet, en su parte inferior, tiene un grosor de 6 centmetros. El dimetro de la bola esde 10 cm. Cuntas veces es ms fcil dar en la bola que, desde la misma distancia, pegar en elposte?

22.- Pasar el aro o chocar con el poste?La bola es dos veces ms estrecha que los aros rectangulares y dos veces ms ancha que el poste.Qu es ms fcil, pasar los aros sin tocarlos desde la posicin mejor, o desde la misma distancia,pegar en el poste?

23.- Pasar la ratonera o dar en la bola del contrario?La anchura de los aros rectangulares es tres veces mayor que el dimetro de la bola. Qu es msfcil, pasar, desde la mejor posicin, la ratonera sin tocarla, o desde la misma distancia, tocar labola del contrario?

24.- La ratonera impracticableQu relacin debe existir entre la anchura de los aros rectangulares y el dimetro de la bola, paraque sea imposible atravesar la ratonera?



Captulo 3Once rompecabezas ms

25.- El bramante-Ms cordel? - pregunt la madre, sacando las manos de la tina en que lavaba. Ayer mismo te diun buen ovillo. Para qu necesitas tanto? Dnde lo has metido?-Dnde lo he metido? - contest el muchacho -. Primero me cogiste la mitad...-Con qu quieres que ate los paquetes de ropa blanca?-La mitad de lo que qued se la llev Tom para pescar.-Debes ser condescendiente con tu hermano mayor.-Lo fui. Qued muy poquito y de ello cogi pap la mitad para arreglarse los tirantes que se tehaban roto de tanto rerse con el accidente de automvil. Luego, Mara necesit dos quintos delresto, para atar no s qu...-Qu has hecho con el resto del cordel?-Con el resto? No quedaron ms que 30 cm!-Qu longitud tena el cordel al principio?

26.- Calcetines y guantesEn una misma caja hay diez pares de calcetines color caf y diez pares negros, y en otra caja haydiez pares de guantes caf y otros tantos pares negros. Cuntos calcetines y guantes es necesariosacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color(cualquiera)?

27.- La longevidad del cabelloCuntos cabellos hay por trmino medio en la cabeza de una persona? Se han contado unos150.000. Se ha determinado tambin que mensualmente a una persona se te caen cerca de 3.000pelos.Cmo calcular cunto tiempo dura en la cabeza cada pelo?

28.- El salarioLa ltima semana he ganado 250 duros, incluyendo el pago por horas extraordinarias. El sueldoasciende a 200 duros ms que lo recibido por horas extraordinarias. Cul es mi salario sin lashoras extraordinarias?

29.- Carrera de esquesUn esquiador calcul que si haca 10 km por hora, llegara al sitio designado una hora despus delmedioda; si la velocidad era de 15 km por hora, llegara una hora antes del medioda.A qu velocidad debe correr para llegar al sitio exactamente al medioda?

30.- Dos obrerosDos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento y trabajan en la mismafbrica. El joven va desde casa a la fbrica en 20 minutos; el viejo, en 30 minutos. ,En cuntosminutos alcanzar el joven al viejo, andando ambos a su paso normal, si ste sale de casa 5 minutosantes que el joven?



31.- Copia de un informeEncargse a dos mecangrafas que copiaran un informe. La que escriba ms rpidamente hubierapodido cumplir el encargo en 2 horas; la otra, en 3 horas.En cunto tiempo copiarn ambas ese informe, si se distribuyen el trabajo para hacerlo en el plazoms breve posible?Problemas de este tipo se resuelven generalmente por el mtodo de los conocidos problemas dedepsitos. 0 sea: en nuestro problema, se averigua qu parte del trabajo realiza en una hora cadamecangrafa; se suman ambos quebrados y se divide la unidad por esta suma. No podra usteddiscurrir un mtodo diferente, nuevo, para resolver problemas semejantes?

32.- Dos ruedas dentadasUn pin de 8 dientes est engranado con una rueda dentada de 24 dientes (vase la figura). Al darvueltas la rueda grande, el pin se mueve por la periferia.

Fig. 3.1

Cuntas veces girar el pin alrededor de su eje, mientras da una vuelta completa alrededor de larueda dentada grande?

33.- Cuntos aos tiene?A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuntos aos tena. La contestacin fuecompleja:-Tomad tres veces los aos que tendr dentro de tres aos, restadles tres veces los aos que tenahace tres aos y resultar exactamente los aos que tengo ahora. Cuntos aos tiene?

34.- Cuntos aos tiene Roberto?-Vamos a calcularlo. Hace 18 aos, recuerdo que Roberto era exactamente tres veces ms viejoque su hijo.-Espere; precisamente ahora, segn mis noticias, es dos veces ms viejo que su hijo.-Y por ello no es difcil establecer cuntos aos tienen Roberto y su hijo.Cuntos?

35.- De comprasAl salir de compras de una tienda de Pars, llevaba en el portamonedas unos 15 francos en piezas deun franco y piezas de 20 cntimos. Al regresar, traa tantos francos como monedas de 20 cntimostena al comienzo, y tantas monedas de 20, cntimos como piezas de franco tena antes. En elportamonedas me quedaba un tercio del dinero que llevaba al salir de compras.Cunto costaron las compras?



Captulo 4Sabe Usted Contar?

36.- Sabe usted contar?La pregunta es un tanto ofensiva para una persona mayor de tres aos. Quin no sabe contar? Nose necesita un arte especial para decir por orden uno, dos, tres ... . A pesar de todo, estoy segurode que no siempre resuelve usted este problema, tan sencillo al parecer. Todo depende de lo quehaya que contar... No es difcil contar los clavos que hay en un cajn. Pero supongamos que elcajn no contiene slo clavos, sino clavos y tuercas revueltos, y que se precisa averiguar cuntoshay de unos y de otras. Qu hacer en ese caso? Va usted a colocar los clavos y las tuercas en dosmontones y luego contarlos?El mismo problema surge cuando un ama de casa ha de contar la ropa antes de darla a lavar.Primero hace montones, separando las camisas en uno, las toallas en otro, las fundas de almohadaen otro, etc. Slo despus de esta labor, bastante fastidiosa, empieza a contar las piezas de cadamontn.Eso se llama no saber contar! Porque ese modo de contar objetos heterogneos es bastanteincmodo, complicado y algunas veces incluso irrealizable. Menos mal si lo que hay que contar sonclavos o ropa blanca, porque pueden distribuirse con facilidad en montones.Pero, pongmonos en el caso de un silvicultor que necesita contar los pinos, abetos, abedules,pobos que hay por hectrea en una parcela determinada. Le es imposible clasificar los rboles yagruparlos previamente por especies. En qu forma podr hacerlo? Contar primero slo lospinos, luego slo abetos, despus los abedules, y a continuacin los pobos? Va a recorrer laparcela cuatro veces?No existe acaso un procedimiento que simplifique esa operacin, y exija que se recorra la parcelauna sola vez? S; existe ese procedimiento, y los silvicultores lo utilizan desde antiguo. Voy aexponer en qu consiste, tomando como ejemplo la operacin de contar clavos y tuercas.Para contar de una vez cuntos clavos y tuercas hay en el cajn, sin agrupar previamente los objetosde cada clase, tome un lpiz y una hoja de papel, rayada como el modelo:

Fig. 4.1

Despus empiece a contar. Tome del cajn lo primero que le venga a la mano. Si es un clavo, traceuna raya en la casilla correspondiente a los clavos; si es una tuerca, indquelo con una raya en lacasilla de las tuercas. Tome el segundo objeto y haga lo mismo. Tome el tercero, etc., hasta quevace el cajn. Al terminar de contar, habr trazado en la primera casilla tantas rayas como clavoshaba en el cajn, y en la segunda, tantas como tuercas haba. Slo falta hacer el recuento de lasrayas inscritas en cada columna.



El recuento de las rayas puede realizarse ms fcil y rpidamente no ponindolas simplemente unatras otra, sino agrupndolas de cinco en cinco, formando, por ejemplo, series como las indicadas enla figura.

Fig. 4.2

Esos cuadrados es mejor agruparlos en parejas, es decir, despus de las 10 primeras rayas, se ponela undcima en una columna nueva; cuando en la segunda columna haya dos cuadrados, se empiezaotro cuadrado en la columna tercera, etc. Las rayas tomarn entonces una forma parecida a laindicada en la figura.

Fig. 4.3

Las rayas, as colocadas, es muy fcil contarlas, ya que se ve inmediatamente que hay tres decenascompletas, un grupo de cinco y tres rayas ms, es decir,

30 + 5 + 3 = 38

Pueden utilizarse tambin otras clases de figuras; por ejemplo, se emplean a menudo figuras en lasque cada cuadrado completo vale 10 (vase la figura).

Fig. 4.4

En una parcela del bosque, para contar rboles de diferentes especies, debe procederse exactamenteen la misma forma; pero en la hoja de papel se precisan cuatro casillas y no dos, como acabamos dever. En este caso es mejor que las casillas tengan forma apaisada y no vertical. Antes de empezar acontar, la hoja presenta, por consiguiente, la forma indicada en la figura.



Fig. 4.5

Al terminar de contar, habr en la hoja aproximadamente lo que muestra la figura.

Fig. 4.6

De este modo resulta facilsimo hacer el balance definitivo:

Pinos 53Abetos 79Abedules 46Pobos 37

Este mismo procedimiento utiliza el mdico para contar en el microscopio el nmero de glbulosrojos y leucocitos que tiene una muestra de sangre.Al hacer la lista de la ropa blanca para lavar, el ama de casa puede proceder de igual modo,ahorrando as tiempo y trabajo.Si tiene que contar, por ejemplo, qu plantas hay en un prado, y cuntas de cada clase, ya sabecmo podr hacerlo con la mayor rapidez. En una hoja de papel, escriba previamente los nombresde las plantas indicadas, destinando una casilla a cada una, y dejando algunas casillas libres dereserva para otras plantas que puedan presentarse. Empiece a contar utilizando un grfico parecidoal que se ve en la figura.Despus, siga contando como hemos hecho en el caso de la parcela forestal.

37.- Para qu deben contarse los rboles del bosque?En efecto, qu necesidad hay de contar los rboles del bosque? Esto, a los habitantes de lasciudades les parece incluso empresa imposible. En Ana Karenina, novela de Len Tolstoi, Levin,entendido en agricultura, pregunta a un pariente suyo, desconocedor de estas cuestiones, que quierevender un bosque:



-Has contado los rboles?-Qu quiere decir eso de contar los rboles? -le responde aqul, asombrado-. Aunque una mentelcida podra contar las arenas y los rayos de los planetas...-Claro, claro, y la mente lcida de Riabinin [comerciante] puede hacerlo. No hay comerciante quelos compre sin contarlos.

Se cuentan los rboles en el bosque para determinar cuntos metros cbicos de madera hay en l.Para ello no se cuentan los rboles del bosque entero, sino de una parcela determinada: de mediahectrea o de un cuarto de hectrea. Se elige una parcela cuyos rboles, por la cantidad, altura,grosor y especie, constituyan el trmino medio de los de dicho bosque. Al contar, no bastadeterminar el nmero de rboles de cada clase, hay que saber adems cuntos troncos hay de cadagrosor: cuntos de 25 cm, cuntos de 30 cm, cuntos de 35 cm, etc. Por ello, el registro donde va ainscribirse tendr muchas casillas y no slo cuatro, como el del ejemplo simplificado anterior. Secomprende ahora el nmero de veces que hubiera sido necesario recorrer el bosque para contar losrboles mediante un procedimiento corriente, en vez del que acabamos de explicar.Como se ve, contar es una cosa sencilla y fcil cuando se trata de objetos homogneos. Para contarobjetos heterogneos es preciso utilizar procedimientos especiales, como los expuestos, de cuyaexistencia mucha gente no tiene la menor idea.



Captulo 5Rompecabezas numricos

38.- Por cinco francos, cienUn artista de variedades, en un circo parisiense, haca al pblico esta seductora proposicin:-Declaro ante testigos que pagar 100 francos al que me d cinco francos en veinte monedas;deber haber, entre estas 20, tres clases de monedas: de 50 cntimos, de 20 cntimos y de 5cntimos. Cien francos por cinco! Quin los desea?Rein el silencio. El pblico qued sumido en reflexiones. Los lpices corran por las hojas de laslibretas de notas; pero nadie aceptaba la propuesta.-Estoy viendo que el pblico considera que 5 francos es un precio demasiado elevado para unbillete de 100 francos. Bien; estoy dispuesto a rebajar dos francos y a establecer un precio menor:3 francos, en monedas, del valor indicado. Pago 100 francos, ,por 3! Que se pongan en cola losque lo deseen!Pero no se form cola. Estaba claro que el pblico vacilaba en aprovecharse de aquel casoextraordinario.-Es que 3 francos les parece tambin mucho? Bien, rebajo un franco ms. Abonen, en lasindicadas monedas, slo 2 francos, y entregar cien francos al que lo haga.Como nadie se mostrara dispuesto a realizar el cambio, el artista continu:-Quiz no tengan ustedes dinero suelto! No se preocupen, pueden entregrmelo ms tarde.Denme slo escrito en un papel cuntas monedas de cada clase se comprometen a traer!Por mi parte, estoy dispuesto a pagar tambin cien francos a todo lector que me enve por escrito lalista correspondiente.

39.- Un millarPuede usted expresar el nmero 1.000 utilizando ocho cifras iguales? (Adems de las cifras sepermite utilizar tambin los signos de las operaciones.)

40.- VeinticuatroEs fcil expresar el nmero 24 por medio de tres ochos: 8 + 8 + 8. Podr hacerse esto mismoutilizando no el ocho, sino otras tres cifras iguales? El problema tiene ms de una solucin.

41.- TreintaEl nmero 30 es fcil expresarle con tres cincos: 5 x 5 + 5. Es ms difcil hacer esto mismo conotras tres cifras iguales. Prubelo. No lograran encontrar varias soluciones?

42.- Las cifras que faltanEn la siguiente multiplicacin, ms de la mitad de las cifras estn sustituidas por asterisco.Podra reponer las cifras que faltan?



Fig. 5.1

43.- Qu nmeros son?He aqu otro problema del mismo tipo. Se pide la reposicin de los nmeros en la multiplicacinsiguiente:

Fig. 5.2

44.- Qu nmero hemos dividido?Repongan las cifras que faltan en la divisin:

Fig. 5.3

45.- Divisin por 11Escriba un nmero de 9 cifras, sin que se repita ninguna de ellas (es decir, que todas las cifras seandiferentes), y que sea divisible por 11.Escriba el mayor de todos los nmeros que satisfaga estas condiciones.Escriba el menor de todos ellos.

46.- Casos singulares de multiplicacinFjese en est multiplicacin de dos nmeros:



48 x 159 = 7.632

En ella participan las 9 cifras significativas.Podra usted encontrar algunos otros ejemplos semejantes? En caso afirmativo, cuntos hay?

47.- Tringulo numricoEn los circulitos de este tringulo (vase la figura) coloque las nueve cifras significativas en formatal que la suma de cada lado sea 20.

Fig. 5.4

48.- Otro tringulo numricoHay que distribuir las cifras significativas en los crculos de mismo tringulo (vase la figura) demodo que la suma en cada lado sea 17.

49.- Estrella mgicaLa estrella numrica de seis puntas dibujada en la figura tiene una propiedad mgica: las seis filasde nmeros dan una misma suma:

4+6+ 7+9=26 11+ 6+ 8+1=264+8+12+2=26 11+ 7+ 5+3=269+5+10+2=26 1 + 12 + 10 + 3 = 26

La suma de los nmeros colocados en las puntas de la estrella,es diferente:

4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30



Fig. 5.5

No podra usted perfeccionar esta estrella, colocando los nmeros en los crculos de modo que noslo las filas tuvieran la misma cantidad (26), sino que esa misma cantidad (26) fuera la suma delos nmeros de las puntas?



Captulo 6Relatos de nmeros gigantes

50.- Un trato ventajosoNo se sabe cundo ni dnde ha sucedido esta historia. Es posible que ni siquiera haya sucedido;esto es seguramente lo ms probable. Pero sea un hecho o una invencin, la historia que vamos arelatar es bastante interesante y vale la pena escuchara. Un millonario regresaba muy contento deun viaje, durante el cual haba tenido un encuentro feliz que le prometa grandes ganancias...A veces ocurren estas felices casualidades -contaba a los suyos-. No en balde se dice que el dinerollama al dinero. He aqu que mi dinero atrae ms dinero. Y de qu modo tan inesperado! Tropecen el camino con un desconocido, de aspecto muy corriente. No hubiera entablado conversacin sil mismo no me hubiera abordado en cuanto supo que yo era hombre adinerado. Y al final denuestra conversacin me propuso un negocio tan ventajoso, que me dej atnito.

Fig. 6.1. Un solo cntimo

-Hagamos el siguiente trato -me dijo-. Cada da, durante todo un mes, le entregar cien mil pesetas.Claro que no voy a hacerlo gratis, pero el pago es una nimiedad.El primer da yo deba pagarle, risa da decirlo, slo un cntimo.No di crdito a lo que oa:-Un cntimo? -le pregunt de nuevo.-Un cntimo -contest-. Por las segundas cien mil pesetas, pagar usted dos cntimos.-Bien -dije impaciente-. Y despus?-Despus, por las terceras cien mil pesetas, 4 cntimos; por las cuartas, 8; por las quintas, 16. Asdurante todo el mes; cada da pagar usted el doble que el anterior.-Y qu ms? -le pregunt.-Eso es todo -dijo-, no le pedir nada ms. Pero debe usted mantener el trato en todos sus puntos;todas las maanas le llevar cien mil pesetas y usted me pagar lo estipulado. No intente romper eltrato antes de finalizar el mes.-Entregar cientos de miles de pesetas por cntimos! A no ser que el dinero sea falso -pens- estehombre est loco! De todos modos, es un negocio lucrativo y no hay que dejarlo escapar.-Est bien -le contest-. Traiga el dinero. Por mi parte, pagar, puntualmente. Y usted no me vengacon engaos. Traiga dinero bueno.



-Puede estar tranquilo -me dijo-; espreme maana por la maana.Slo una cosa me preocupaba: que no viniera, que pudiera darse cuenta de lo ruinoso que era elnegocio que haba emprendido. Bueno, esperar un da, al fin y al cabo, no era mucho!Transcurri aquel da. Por la maana temprano del da siguiente, el desconocido que el rico habaencontrado en el viaje llam a la ventana.-Ha preparado usted el dinero? -dijo-. Yo he trado el mo.Efectivamente, una vez en la habitacin, el extrao personaje empez a sacar el dinero; dinerobueno, nada tena de falso. Cont cien mil pesetas justas y dijo: -Aqu est lo mo, como habamosconvenido. Ahora le toca a usted pagar...El rico puso sobre la mesa un cntimo de cobre y esper receloso a ver si el husped tomara lamoneda o se arrepentira, exigiendo que le devolviera el dinero. El visitante mir el cntimo, losopes y se lo meti en el bolsillo.-Espreme maana a la misma hora. No se olvide de proveerse de dos cntimos -dijo, y se fue.El rico no daba crdito a su suerte: Cien mil pesetas que le haban cado del cielo! Cont de nuevoel dinero y convencise de que no era falso. Lo escondi y psose a esperar la paga del dasiguiente.Por la noche le entraron dudas; no se tratara de un ladrn que se finga tonto para observar dndeesconda el dinero y luego asaltar la casa acompaado de una cuadrilla de bandidos?

Fig. 6.2. El desconocido llama

El rico cerr bien las puertas, estuvo mirando y escuchando atentamente por la ventana desde queanocheci, y tard mucho en quedarse dormido. Por la maana sonaron de nuevo golpes en lapuerta; era el desconocido que traa el dinero. Cont cien mil pesetas, recibi sus dos cntimos, semeti la moneda en el bolsillo y marchse diciendo:-Para maana prepare cuatro cntimos; no se olvideEl rico se puso de nuevo contento; las segundas cien mil pesetas, le haban salido tambin gratis. Yel husped no pareca ser un ladrn: no miraba furtivamente, no observaba, no haca ms que pedirsus cntimos. Un extravagante! Ojal hubiera muchos as en el mundo para que las personasinteligentes vivieran bien ...!El desconocido presentse tambin el tercer da y las terceras cien mil pesetas pasaron a poder delrico a cambio de cuatro cntimos.Un da ms, y de la misma manera llegaron las cuartas cien mil pesetas por ocho cntimos.Aparecieron las quintas cien mil pesetas por 16 cntimos.Luego las sextas, por 32 cntimos.



A los siete das de haber empezado el negocio, nuestro rico haba cobrado ya setecientas milpesetas y pagado la nimiedadde: 1 cntimo + 2 cntimos + 4 cntimos + 8 cntimos + 16 cntimos + 32 cntimos + 64 cntimos= 1 peseta y 27 cntimos.Agrad esto al codicioso millonario, que sinti haber hecho el trato slo para un mes. No podrarecibir ms de tres millones. Si pudiera convencer al extravagante aquel de que prolongara el plazoaunque slo fuera por quince das ms! Pero tema que el otro se diera cuenta de que regalaba eldinero.El desconocido se presentaba puntualmente todas las maanas con sus cien mil pesetas. El 8 darecibi 1 peseta 28 cntimos; el 9, 2 pesetas 56 cntimos; el 10, 5 pesetas 12 cntimos; el 11, 10pesetas 24 cntimos; el 120, 20 pesetas 48 cntimos; el 130, 40 pesetas 96 cntimos; el 14, 81pesetas 92 cntimos.El rico pagaba a gusto estas cantidades; haba cobrado ya un milln cuatrocientas mil pesetas ypagado al desconocido slo unas 150 pesetas.

51.- Propagacin de los rumores en una ciudadEs sorprendente cmo se difunde un rumor entre el vecindario de una ciudad! A veces, no hantranscurrido an dos horas desde que ha ocurrido un suceso, visto por algunas personas, cuando lanovedad ha recorrido ya toda la ciudad; todos lo conocen, todos lo han odo. Esta rapidez parecesorprendente, sencillamente maravillosa.Sin embargo, si hacemos clculos, se ver claro que no hay en ello milagro alguno; todo se explicadebido a ciertas propiedades de los nmeros y no se debe a peculiaridades misteriosas de losrumores mismos.Examinemos, como ejemplo, el siguiente caso:A las ocho de la maana, lleg a la ciudad de 50.000 habitantes un vecino de la capital de la nacin,trayendo una nueva de inters general. En la casa donde se hosped, el viajero comunic la noticiaa slo tres vecinos de la ciudad; convengamos que esto transcurri en un cuarto de hora, porejemplo.As, pues, a las ocho y cuarto de la maana conocan la noticia, en la ciudad, slo cuatro personas;el recin llegado y tres vecinos.Conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos se apresur a comunicarla a tres ms, en lo queemplearon tambin un cuarto de hora. Es decir, que a la media hora de haber llegado la noticia, laconocan en la ciudad 4 + (3 x 3) = 13 personas.

Fig. 6.3. El vecino de la capital traeuna noticia de inters general



Cada uno de los nuevos conocedores la comunicaron en el siguiente cuarto de hora a otros 3ciudadanos; as que a las 8.45 de la maana, conocan la noticia 13 + (3 x 9) = 40 ciudadanos.

52.- Avalancha de bicicletas baratasEn diversos pases y pocas ha habido comerciantes que han recurrido a un mtodo bastanteoriginal para despachar sus mercancas de mediana calidad. Empezaban por publicar en peridicosy revistas de gran difusin el anuncio que reproducimos.

Una bicicleta por diez duros!Cualquiera puede adquirir una bicicleta,

invirtiendo slo 10 duros.Aproveche esta ocasin nica!

10 duros en vez de 50.REMITIMOS GRATUITAMENTE EL PROSPECTO

CON LAS CONDICIONES DE COMPRA.

Haba no pocas personas que, seducidas por el fascinador anuncio, solicitaban las condiciones deesa compra extraordinaria. En contestacin al pedido, cada persona reciba un prospecto extensoque deca lo siguiente:Por el momento, por 10 duros no se le enviaba la bicicleta, sino slo cuatro billetes, que tena quedistribuir, a 10 duros, entre cuatro conocidos suyos. Los 40 duros recogidos deba remitirlos a laempresa y entonces le mandaban la bicicleta; es decir, que al comprador le costaba efectivamente10 duros y los otros 40 no los sacaba de su bolsillo. Cierto que adems de los 10 duros al contado,el comprador de la bicicleta tena que soportar algunas molestias para vender los billetes entre losconocidos, mas este pequeo trabajo no vala la pena de tenerlo en cuenta.Qu billetes eran stos? Qu beneficios alcanzaba el que los compraba por 10 duros? Obtena elderecho de que se los cambiara la empresa por otros cinco billetes iguales; en otras palabras,adquira la posibilidad de reunir 50 duros para comprar una bicicleta, que le costaba a l, porconsiguiente, slo 10 duros, es decir, el precio del billete. Los nuevos tenedores de billetes, a suvez, reciban de la empresa cinco billetes cada uno para difundirlos, y as sucesivamente.A primera vista, daba la sensacin de que en todo esto no haba engao alguno. Las promesas delanuncio quedaban cumplidas; la bicicleta, en efecto, costaba al comprador 10 duros. Y la casa notena prdidas; cobraba por la mercanca el precio completo.

53.- La recompensaSegn una leyenda, tomada de un manuscrito latino antiguo, que pertenece a una bibliotecaparticular inglesa, sucedi en la Roma antigua, hace muchos siglos, lo siguiente.El jefe militar Terencio llev a cabo felizmente, por orden del emperador, una campaa victoriosa,y regres a Roma con gran botn. Llegado a la capital, pidi que le dejaran ver al emperador.ste le acogi cariosamente, alab sus servicios militares al Imperio, y como muestra deagradecimiento, ofrecile como recompensa darle un alto cargo en el Senado.Mas Terencio, al que eso no agradaba, le replic:-He alcanzado muchas victorias para acrecentar tu podero y nimbar de gloria tu nombre, oh,soberano! No he tenido miedo a la muerte, y muchas vidas que tuviera las sacrificara con gusto porti. Pero estoy cansado de luchar; mi juventud ya ha pasado y la sangre corre ms despacio por mis



venas. Ha llegado la hora de descansar; quiero trasladarme a la casa de mis antepasados y gozar dela felicidad de la vida domstica.-Qu quisieras de m, Terencio? -le pregunt el emperador. -yeme con indulgencia, oh,soberano! Durante mis largos aos de campaa, cubriendo cada da de sangre mi espada, no pudeocuparme de crearme una posicin econmica. Soy pobre, soberano...-Contina, valiente Terencio.-Si quieres otorgar una recompensa a tu humilde servidor -continu el guerrero, animndose-, quetu generosidad me ayude a que mi vida termine en la paz y la abundancia, junto al hogar. No buscohonores ni una situacin elevada en el poderoso Senado. Deseara vivir alejado del poder y de lasactividades sociales para descansar tranquilo. Seor, dame dinero con que asegurar el resto de mivida.El emperador -dice la leyenda- no se distingua por su largueza. Le gustaba ahorrar para s ycicateaba el dinero a los dems. El ruego del guerrero le hizo meditar.-Qu cantidad, Terencio, consideraras suficiente? -le pregunt.-Un milln de denarios, Majestad.El emperador qued de nuevo pensativo. El guerrero esperaba, cabizbajo. Por fin el emperadordijo:-Valiente Terencio! Eres un gran guerrero y tus hazaas te han hecho digno de una recompensaesplndida. Te dar riquezas.Maana a medioda te comunicar aqu mismo lo que haya decidido.Terencio se inclin y retirse.Al da siguiente, a la hora convenida, el guerrero se present en el palacio del emperador.-Ave, valiente Terencio! -le dijo el emperador.Terencio baj sumiso la cabeza.-He venido, Majestad, para or tu decisin. Benvolamente me cometiste una recompensa.El emperador contest:-No quiero que un noble guerrero como t reciba, en premio a sus hazaas, una recompensamezquina. Escchame. En mi tesorera hay cinco millones de bras de cobre (moneda que vala laquinta parte de un denario). Escucha mis palabras: ve a la tesorera, coge una moneda, regresa aquy depostala a mis pies. Al da siguiente vas de nuevo a la tesorera, coges una nueva monedaequivalente a dos bras y la pones aqu junto a la primera. El tercer da traers una monedaequivalente a 4 bras; el cuarto da, una equivalente a 8 bras; el quinto, a 16, y as sucesivamente,duplicando cada vez el valor de la moneda del da anterior. Yo dar orden de que cada da preparenla moneda del valor correspondiente. Y mientras tengas fuerzas suficientes para levantar lasmonedas, las traers desde la tesorera. Nadie podr ayudarte; nicamente debes utilizar tus fuerzas.Y cuando notes que ya no puedes levantar la moneda, detente: nuestro convenio se habr cumplido



Fig. 6.4. Tomars una monedade cobre

y todas las monedas que hayas logrado traer, sern de tu propiedad y constituirn tu recompensa.Terencio escuchaba vidamente cada palabra del emperador. Imaginaba el enorme nmero demonedas, a cada una mayor que la anterior, que sacara de la tesorera imperial.-Me satisface tu merced, Majestad -contest con sonrisa feliz-, la recompensa es verdaderamentegenerosa!

54.- Leyenda sobre el tablero de ajedrezEl ajedrez es un juego antiqusimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extraarque estn ligadas a l leyendas cuya veracidad es difcil comprobar debido a su antigedad.Precisamente quiero contar una de stas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez;basta simplemente saber que el tablero donde se juega est dividido en 64 escaques (casillas negrasy blancas, dispuestas alternativamente).El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hind Sheram lo conoci, quedmaravillado de lo ingenioso que, era y de la variedad de posiciones que en l son posibles. Alenterarse de que el inventor era uno de sus sbditos, el rey lo mand llamar con objeto derecompensarle personalmente por su acertado invento.El inventor, llamado Seta, presentse ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, queviva gracias a los medios que le proporcionaban sus discpulos .-Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado -dijo el rey.El sabio contest con una inclinacin.-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo ms elevado -continu diciendo el rey-. Di larecompensa que te satisfaga y la recibirs.Seta continu callado.-No seas tmido -le anim el rey-. Expresa tu deseo. No escatimar nada para satisfacerlo.-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concdeme un corto plazo para meditar la respuesta.Maana, tras maduras reflexiones, te comunicar mi peticin.Cuando al da siguiente Seta se present de nuevo ante el trono, dej maravillado al rey con supeticin, sin precedente por su modestia.-Soberano -dijo Seta-, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablerode ajedrez.-Un simple grano de trigo? -contest admirado el rey.



-S, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta,8; por la quinta, 16; por la sexta, 32...-Basta -interrumpile irritado el rey-. Recibirs el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablerode acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saberque tu peticin es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan msera recompensa, menosprecias,irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberas haber dado mayorprueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retrate. Mis servidores te sacarn un saco con eltrigo que solicitas.Seta sonri, abandon la sala y qued esperando a la puerta del palacio.Durante la comida, el rey acordse del inventor del ajedrez y envi a que se enteraran de si habanya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.-Soberano, estn cumpliendo tu orden -fue la respuesta-. Los matemticos de la corte calculan elnmero de granos que le corresponden.El rey frunci el ceo. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus rdenes.Por la noche, al retirarse a descansar, el rey pregunt de nuevo cunto tiempo haca que Seta habaabandonado el palacio con su saco de trigo.-Soberano -le contestaron-, tus matemticos trabajan sin descanso y esperan terminar los clculos alamanecer.-Por qu va tan despacio este asunto? -grit iracundo el rey-. Que maana, antes de que medespierte, hayan entregado a Seta hasta el ltimo grano de trigo. No acostumbro a dar dos vecesuna misma orden.

Fig. 6.4. Por la segunda casilla ordena que meden dos granos

Por la maana comunicaron al rey que el matemtico mayor de la corte solicitaba audiencia parapresentarle un informe muy importante.El rey mand que le hicieran entrar.-Antes de comenzar tu informe -le dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta lamsera recompensa que ha solicitado.-Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano -contest el anciano-. Hemoscalculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tanenorme...



-Sea cual fuere su magnitud -le interrumpi con altivez el rey, mis graneros no empobrecern. Heprometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregrsela.-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existela cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta losgraneros de] mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida,ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantos, manda desecar los mares yocanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo elespacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campossea entregada a Seta. Slo entonces recibir su recompensa.El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio. -Dime cul es esa cifra tanmonstruosa -dijo reflexionando. -Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seismil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientoscincuenta y un mil seiscientos quince.

55.- Reproduccin rpida de las plantas y de los animalesUna cabeza de amapola, en la fase final de su desarrollo, est repleta de minsculas semillas, cadauna de las cuales puede originar una nueva planta. Cuntas amapolas se obtendran si germinaran,sin excepcin, todas las semillas? Para saberlo es preciso contar las semillas contenidas en unacabeza de amapola. Es una tarea larga y aburrida, pero el resultado obtenido es tan interesante, quemerece la pena armarse de paciencia y hacer el recuento hasta el fin. La cabeza de una amapolatiene (en nmeros redondos) tres mil semillas.Qu se deduce de esto? Que si el terreno que rodea a nuestra planta fuera suficiente y adecuadopara el crecimiento de esta especie, cada semilla dara, al caer al suelo, un nuevo tallo, y al veranosiguiente, creceran en ese sitio, tres mil amapolas. Un campo entero de amapolas de una solacabeza!Veamos lo que ocurrira despus. Cada una de las 3.000 plantas dara, como mnimo, una cabeza(con frecuencia, varias), conteniendo 3.000 semillas cada una. Una vez crecidas, las semillas decada cabeza daran 3.000 nuevas plantas, y por tanto, al segundo ao tendramos ya

3.000 x 3.000 = 9.000.000 de plantas.

Es fcil calcular que al tercer ao, el nmero de nuevas plantas, procedentes de la amapola inicial,alcanzara ya

9.000.000 x 3.000 = 27.000.000.000Al cuarto ao

27.000.000.000 x 3.000 = 81.000.000.000.000

En el quinto ao faltara a las amapolas sitio en la Tierra, pues el nmero de plantas sera igual a

81.000.000.000.000 x 3.000 = 243.000.000.000.000.000

la superficie terrestre, o sea, todos los continentes e islas del globo terrqueo, ocupan un rea totalde 135 millones de kilmetros cuadrados -135.000.000.000.000 de m2- aproximadamente 2.000veces menor que el nmero de amapolas que hubieran debido crecer.



Vemos, por lo tanto, que si todas las semillas de amapola crecieran y se reprodujesen normalmente,la descendencia procedente de una sola planta podra, al cabo de cinco aos, cubrir por completotoda la tierra firme de nuestro planeta de una maleza espesa, a un promedio de dos mil plantas encada metro cuadrado. Esta es la cifra gigante oculta en una diminuta semilla de amapola!

56.- Una comida gratisDiez jvenes decidieron celebrar la terminacin de sus estudios comiendo en el restaurante. Unavez reunidos, se entabl entre ellos una discusin sobre el orden en que haban de sentarse a lamesa. Unos propusieron que la colocacin fuera por orden alfabtico; otros, con arreglo a la edad;otros, por los resultados de los exmenes; otros, por la estatura, etc. La discusin se prolongaba,enfrise la sopa y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcili el hotelero, mediante las siguientespalabras:-Seores, dejen de discutir. Sintense a la mesa en cualquier orden y escchenme.Sentronse todos sin seguir un orden determinado. El hotelero continu:-Que uno cualquiera anote el orden en que estn sentados ahora. Maana vienen a comer y sesientan en otro orden. Pasado maana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y assucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el da enque tengan ustedes que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnementeque en lo sucesivo, les invitar a comer gratis diariamente, sirvindoles los platos ms exquisitos yescogidos.La proposicin agrad a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada da en aquel restaurante yprobar todos los modos distintos posibles de colocacin alrededor de la mesa, con objeto dedisfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

57.- Juego con monedasEn mi infancia, recuerdo que mi hermano mayor me ense un juego muy entretenido a base deunas monedas. Coloc tres platos en fila, uno junto al otro; despus, puso en uno de los platosextremos una pila de cinco monedas: la inferior, de ocho cm de dimetro; sobre ella, una de cuatrocm, la siguiente de dos cm, luego una de un cm y medio y por ltimo, la superior, de un cm. Latarea consista en trasladar todas las monedas al tercer plato, observando las tres reglas siguientes:1) Cada vez debe cambiarse de plato una sola moneda.2) No se permite colocar una moneda mayor sobre otra menor.3) Provisionalmente pueden colocarse monedas en el plato intermedio, observando las dosreglas anteriores, pero al final del juego, todas las monedas deben encontrarse en el tercer plato enel orden inicial.-Como ves -me dijo-, las reglas no son complicadas. Y ahora manos a la obra.Comenc a cambiar de plato las monedas. Coloqu la de 1 cm en el tercer plato, la de 1,5 en elintermedio y... me qued cortado. Dnde colocar la de 2 cm? Esta es mayor que la de 1 y 1,5 cm.-No te apures -dijo mi hermano-. Coloca la de 1 cm en el plato del centro, encima de la de 1,5 cm.Entonces te queda libre el tercer plato para la de 2 cm.Y as lo hice. Pero al continuar surgi otra nueva dificultad. Dnde colocar la de 4 cm? Hay quereconocer que ca enseguida en la cuenta: primero pas la de 1 cm al primer plato, despus, la de1,5 al tercero, y despus, la de 1 tambin al tercero. Ahora ya se poda colocar la de 4 en el platocentral vaco. A continuacin, despus de probar varias veces, consegu trasladar la moneda de 8cm del primer plato al tercero y reunir en este ltimo toda la pila de monedas en el ordenconveniente.



58.- La apuestaEn el comedor de una pensin, se inici durante la comida una conversacin sobre el modo decalcular la probabilidad de los hechos. Un joven matemtico, que se hallaba entre los presentes,sac una moneda y dijo:-Si arrojo la moneda sobre la mesa, qu probabilidades existen de que caiga con el escudo haciaarriba?-Ante todo, haga el favor de explicar lo que quiere usted decir con eso de las probabilidades -dijouna voz-. No est claro para todos.-Muy sencillo! La moneda puede caer sobre la mesa de dos maneras, o bien con el escudo haciaarriba o hacia abajo. El nmero de casos posibles es igual a dos, de los cuales, para el hecho quenos interesa, es favorable slo uno de ellos. De lo dicho se deduce la siguiente relacin:

el nmero de casos favorables / el nmero de casos posibles =1/2

La fraccin 1/2 expresa la probabilidad de que la moneda caiga con el escudo hacia arriba.-Con la moneda es muy sencillo -aadi uno-. Veamos un caso ms complicado, por ejemplo, conlos dados.-Bueno, vamos a examinarlo -acept el matemtico-. Tenemos un dado, o sea, un cubo condistintas cifras en las caras. Qu probabilidades hay de que al echar el dado sobre la mesa, quedecon una cifra determinada hacia arriba, por ejemplo, el seis? Cuntos son aqu los casos posibles?El dado puede quedar acostado sobre una cualquiera de las seis caras, lo que significa que son seiscasos diferentes. De ellos solamente uno es favorable para nuestro propsito, o sea, cuando quedaarriba el seis. Por consiguiente, la probabilidad se obtiene dividiendo uno por seis, es decir, seexpresa con la fraccin 116.-Ser posible que puedan determinarse las probabilidades en todos los casos? -pregunt una de laspersonas presentes-. Tomemos el siguiente ejemplo. Yo digo que el primer transente que va apasar por delante del balcn del comedor, ser un hombre. Qu probabilidades hay de que acierte?-Evidentemente, la probabilidad es igual a 1/2, si convenimos en que en el mundo hay tantoshombres como mujeres y si todos los nios de ms de un ao los consideramos mayores.-Qu probabilidades existen de que los dos primeros transentes sean ambos hombres? -preguntotro de los contertulios.-Este clculo es algo ms complicado. Enumeremos los casos que pueden presentarse. Primero: esposible que los dos transentes sean hombres. Segundo: que primero aparezca un hombre y despusuna mujer. Tercero: que primero aparezca una mujer y despus un hombre. Y finalmente, el cuartocaso: que ambos transentes sean mujeres. Por consiguiente, el nmero de casos posibles es igual a4; de ellos slo uno, el primero, nos es favorable. La probabilidad vendr expresada por la fraccin1/4. He aqu resuelto su problema.-Comprendido. Pero puede hacerse tambin la pregunta respecto de tres hombres. Cules sern lasprobabilidades de que los tres primeros transentes sean todos hombres?-Bien, calculemos tambin este caso. Comencemos por hallar los casos posibles. Para dostransentes, el nmero de casos posibles, como ya sabemos, es igual a cuatro. Al aumentar untercer transente, el nmero de casos posibles se duplica, puesto que a cada grupo de los 4enumerados compuesto de dos transentes, puede aadirse, bien un hombre, bien una mujer. Entotal, el nmero de casos posibles ser 4 x 2 = 8. Evidentemente la probabilidad ser igual a 1/8,porque tenemos slo un caso favorable. De lo dicho dedcese la -regla para efectuar el clculo: enel caso de dos transentes, la probabilidad ser 1/2 * 1/2 = 1/4; cuando se trata de tres 1/2 * 1/2 *1/2 = 1/8; en el caso de cuatro, las probabilidades se obtendrn multiplicando cuatro veces



consecutivas 1/2 y as sucesivamente. Como vemos, la magnitud de la -probabilidad vadisminuyendo.-Cul ser su valor, por ejemplo, para diez transentes?-Seguramente, se refiere usted al caso de que los diez primeros transentes sean todos hombres.Tomando 1/2 como factor diez veces, obtendremos 1/1024 , o sea, menos de una milsima. Estosignifica que si apuesta usted conmigo un duro a que eso ocurrir, yo puedo jugar mil duros a queno suceder as.-Qu apuesta ms ventajosa! -dijo uno-. De buen grado pondra yo un duro para tener laposibilidad de ganar mil.-Pero tenga en cuenta que son mil probabilidades contra una. -Y qu! Arriesgara con gusto unduro contra mil, incluso en el caso de que se exigiera que los cien primeros transentes fueran todoshombres.-Pero se da usted cuenta de qu probabilidad tan nfima existe de que suceda as? -pregunt elmatemtico.-Seguramente una millonsima o algo as por el estilo.-Muchsimo menos! Una millonsima resulta ya cuando se trata de veinte transentes. Para cienser... Permtame que lo calcule aproximadamente. Una billonsima, trillonsima, cuatrillonsima...Oh! Un uno con treinta ceros.-Nada ms?-Le parecen a usted pocos ceros? Las gotas de agua que contiene el ocano no llegan ni a lamilsima parte de dicho nmero. -Qu cifra tan imponente! En ese caso, cunto apostara ustedcontra mi duro?-Ja, ja... ! Todo! Todo lo que tengo.-Eso es demasiado. Juguese su moto. Estoy seguro de que no la apuesta.-Por qu no? Con mucho gusto! Venga, la moto si usted quiere. No arriesgo nada en la apuesta.-Yo s que no expongo nada; al fin y al cabo, un duro no es una gran suma, y sin embargo, tengo laposibilidad de ganar una moto, mientras que usted casi no puede ganar nada.-Pero comprenda usted que es completamente seguro que va a perder. La motocicleta no ser nuncasuya, mientras que el duro, puede decirse que ya lo tengo en el bolsillo.-Qu hace usted? -dijo al matemtico uno de sus amigos, tratando de contenerle. Por un duroarriesga usted su moto. Est usted loco!-Al contrario -contest el joven matemtico-, la locura es apostar aunque sea un solo duro, ensemejantes condiciones. Es seguro que gano. Es lo mismo que tirar el duro.-De todos modos existe una probabilidad.-Una gota de agua en el ocano, mejor dicho, en diez ocanos! Esa es la probabilidad: diezocanos de mi parte contra una gota. Que gano la apuesta es tan seguro como dos y dos son cuatro.No se entusiasme usted tanto, querido joven -son la voz tranquila de un anciano, que durante todoel tiempo haba escuchado en silencio la disputa-. No se entusiasme.-Cmo, profesor, tambin usted razona as ... ?-Ha pensado usted que en este asunto no todos los casos tienen las mismas probabilidades? Elclculo de probabilidades se cumple concretamente slo en los casos de idntica posibilidad, no esverdad? En el ejemplo que examinamos..., sin ir ms lejos -dijo el anciano prestando odo-, lapropia realidad me parece que viene ahora mismo a demostrar su equivocacin. No oyen ustedes?Parece que suena una marcha militar, verdad?-Qu tiene que ver esa msica ... ? -comenz a decir el joven matemtico, quedndose cortado depronto. Su rostro se contrajo de susto. Salt del asiento, corri hacia la ventana y asom la cabeza. -As es! -exclam con desaliento-. He perdido la apuesta. Adis mi moto!



Al cabo de un minuto qued todo claro. Frente a la ventana pas desfilando un batalln desoldados.

59.- Nmeros gigantes que nos rodean y que existen en nuestro organismoNo es preciso buscar casos excepcionales para tropezarse con nmeros gigantes. Se encuentran entodas partes, en torno de nosotros, e incluso en el interior de nosotros mismos; nicamente hay quesaberlos descubrir.El cielo que se extiende sobre nuestras cabezas, la arena, bajo nuestros pies, el aire circulante, lasangre de nuestro cuerpo; todo encierra invisibles gigantes del mundo de los nmeros.Los nmeros gigantes que aparecen cuando se habla de los espacios estelares no sorprenden a lamayora de la gente. Es sabido que cuando surge la conversacin sobre el nmero de estrellas deluniverso, sobre las distancias que las separan de nosotros y que existen entre ellas, sobre susdimensiones, peso y edad, siempre hallamos nmeros que superan, por su enormidad, los lmites denuestra imaginacin. No en vano, la expresin nmero astronmico se ha hecho proverbial.Muchos, sin embargo, no saben que incluso los cuerpos celestes, con frecuencia llamados pequeospor los astrnomos, son verdaderos gigantes, si utilizamos para medirlos las unidades corrientesempleadas en Fsica. Existen en nuestro sistema solar planetas a los que debido a sus dimensionesinsignificantes, los astrnomos han dado la denominacin de pequeos. Incluyen entre ellos los quetienen un dimetro de varios kilmetros. Para el astrnomo, acostumbrado a utilizar escalasgigantescas, estos planetas son tan pequeos, que cuando se refieren a ellos los llamandespectivamente minsculos. Pero slo son cuerpos minsculos al compararlos con otros astrosmucho ms grandes. Para las unidades mtricas empleadas de ordinario por el hombre, claro que nopueden ser considerados diminutos. Tomemos, por ejemplo, un planeta minsculo de tres km dedimetro; un planeta as se ha descubierto recientemente. Aplicando las reglas geomtricas, secalcula con facilidad que su superficie es de 28 km2, 0 sea, 28.000.000 m2. En un metro cuadradocaben siete personas colocadas de pie. Por tanto, en los 28 millones de metros cuadrados puedencolocarse 196 millones de personas.La arena que pisamos nos conduce tambin al mundo de los gigantes numricos. No en balde existedesde tiempo inmemorial la expresin incontables como las arenas del mar. Sin embargo, en laantigedad, los hombres subestimaban el enorme nmero de granos de arena existentes, pues locomparaban con el nmero de estrellas que vean en el cielo. En aquellos tiempos, no existantelescopios, y el nmero de estrellas que se ven a simple vista en el cielo, es aproximadamente de3.500 (en un hemisferio). En la arena de las orillas del mar hay millones de veces ms granos queestrellas visibles a simple vista. Un nmero gigante se oculta asimismo en el aire que respiramos.Cada centmetro cbico, cada dedal de aire, contiene 27 trillones (o sea, el nmero 27 seguido de18 ceros) de molculas.Es casi imposible representarse la inmensidad de esta cifra. Si existiera en el mundo tal nmero depersonas, no habra sitio suficiente para todas ellas en nuestro planeta. En efecto, la superficie delglobo terrestre, contando la tierra firme y los ocanos, es igual a 500 millones de km2, queexpresados en metros Suponen:

500.000.000.000.000 m2.

Dividiendo los 27 trillones por ese nmero, obtendremos 54.000, lo que significa que a cada metrocuadrado de superficie terrestre corresponderan ms de 50.000 personas.Anteriormente dijimos que los nmeros gigantes se ocultan tambin en el interior del cuerpohumano. Vankos a demostrarlo tomando como ejemplo la sangre. Si observamos al microscopio



una gota de sangre, veremos que en ella nada una multitud enorme de corpsculos pequesimos decolor rojo, que son los que dan ese color a la sangre. Esos corpsculos sanguneos, llamadosglbulos rojos, son de forma circular discoidea, o sea, oval aplanada, hundida en toda su partecentral. En todas las personas, los glbulos rojos son de dimensiones aproximadamente iguales, de0,007 milmetros de dimetro y de 0,002 mm de grueso Pero su nmero es fantstico. Una gotitapequesima de sangre, de 1 mm cbico, Contiene 5 millones de estos corpsculos. Cul es sunmero total en nuestro cuerpo? Por trmino medio, hay en el cuerpo humano un nmero de litrosde sangre 14 veces menor que el nmero de kilogramos que pesa la persona. Si pesa usted 40 kg, sucuerpo contiene aproximadamente 3 litros de sangre, 0 lo que es lo mismo, 3.000.000 de mmcbicos. Dado que en cada milmetro cbico hay 5 millones de glbulos rojos, el nmero total delos mismos en su sangre ser:

5.000.000 * 3.000.000 = 15.000.000.000.000

Quince billones de glbulos rojos! Qu longitud se obtendra si este ejrcito de glbulos sedispusiera en lnea recta, uno junto al otro? No es difcil calcular que la longitud de semejante filaalcanzara 105.000 km. El hilo de glbulos rojos, formado con los contenidos en su sangre, seextendera ms de 100.000 km. Con l podra rodearse el globo terrestre por el Ecuador:

100.000: 40.000 = 2,5 veces,

y el hilo de glbulos rojos de una persona adulta lo envolvera tres veces.Expliquemos la importancia que tiene para nuestro organismo la existencia de dichos glbulosrojos tan extremadamente divididos. Estn destinados a transportar el oxgeno por todo el cuerpo.Toman el oxgeno al pasar la sangre por los pulmones, y lo ceden cuando el torrente sanguneo loslleva a los tejidos de nuestro cuerpo, a los rincones ms distantes de los pulmones. El grado enormede desmenuzamiento que representan estos glbulos los capacita para cumplir su misin, puestoque cuanto menor sea su tamao, siendo grandsimo su nmero, tanto mayor ser su superficie, quees lo que interesa, ya que los glbulos rojos pueden absorber y desprender oxgeno nicamente atravs de su superficie. El clculo demuestra que su superficie total es machismo mayor que la delcuerpo humano e igual a 1.200 m2. Esto viene a ser el rea de un huerto grande de 40 m de largo y30 de ancho.Ahora comprendern la importancia que tiene para la vida del organismo el que estos glbulosestn tan desmenuzados y sean tan numerosos, pues en esta forma, pueden absorber y desprender eloxgeno en una superficie mil veces mayor que la superficie de nuestro cuerpo.Con justicia puede llamarse gigante al nmero enorme obtenido al calcular la cantidad de productosde diverso gnero con los que se alimenta una persona, tomando 70 aos como trmino me dio deduracin de la vida. Se necesitara un tren entero para poder transportar las toneladas de agua, pan,carne, aves, pescado, patatas y otras legumbres, miles de huevos, miles de litros de leche, etc., conque el hombre se nutre en toda su vida. A primera vista, parece imposible que pueda ser la personasemejante titn, que literalmente engulle, claro que no de una vez, la carga de un tren de mercancasentero.



Captulo 7Mediciones sin utilizar instrumentos

60.- Medicin de distancias con pasosNo siempre se dispone de regla para medir o de cinta mtrica, por lo tanto, es muy til saber cmo,sin necesidad de ellas, pueden efectuarse mediciones aproximadas.Por ejemplo, durante una excursin, puede medirse fcilmente con pasos una distancia ms omenos larga. Para ello es preciso conocer la longitud de un paso, as como saber contar los pasoscon exactitud. Naturalmente, no todos los pasos son siempre iguales: podernos andar a paso corto, ytambin caminar a paso largo. Sin embargo, cuando se efecta una marcha ordinaria, los pasos sonaproximadamente de la misma longitud. Conocida la longitud media de cada paso, puede, sin granerror, medirse la distancia recorrida.Para determinar la longitud media del paso propio, es necesario medir la longitud total de muchospasos y calcular la magnitud de uno. Para hacer esta operacin, hace falta utilizar una cinta mtricao un cordn.Extienda la cinta en un terreno llano y mida la distancia correspondiente a 20 metros. Marque esalnea en el suelo y retire la cinta.Ande con paso ordinario, siguiendo la lnea, y cuente el nmero de pasos que ha dado. Es posibleque no resulte un nmero exacto de pasos en la distancia que se mida. Entonces, si el resto esmenor que la mitad de un paso, puede simplemente despreciarse; si es mayor que medio paso,puede contarse ese resto como un paso entero. Dividendo la distancia total de 20 metros por elnmero de pasos, obtendremos la longitud media de uno. Este nmero no hay que olvidarlo, para,en caso necesario, hacer uso de l cuando se deseen realizar mediciones de distancia.A fin de no equivocarse al contar los pasos, especialmente cuando se trate de grandes distancias, seaconseja hacerlo en la forma siguiente: se cuentan de diez en diez y cada vez que se alcanza estenmero se dobla uno de los dedos de la mano izquierda. Cuando se hayan doblado todos los dedosde la mano izquierda, lo que supone 50 pasos, se dobla un dedo de la mano derecha. De este modopueden contarse hasta 250 pasos, despus de lo cual se comienza de nuevo. No debe olvidarse elnmero de veces que se hayan doblado los dedos de la mano derecha. Por ejemplo, si despus derecorrer cierta distancia, se han doblado dos veces todos los dedos de la mano. derecha y alterminar de andar estn doblados tres dedos de la mano derecha y cuatro de la izquierda, se habrndado los pasos siguientes:

2 x 250 + 3 x 50 + 4 x 10 = 690

A este nmero hay que aadir los pasos dados despus de doblar por ltima vez un dedo de la manoizquierda (en nuestro ejemplo, el cuarto).Al mismo tiempo recordemos esta antigua regla: la longitud del paso de una persona adulta es iguala la mitad de la distancia de los ojos a la planta del pie.Otra antigua regla prctica que se refiere a la velocidad de marcha, dice: una persona recorre en unahora tantos kilmetros como pasos da en tres segundos. Es fcil demostrar que esta regla es exactacuando el paso tiene una longitud determinada, y desde luego, bastante grande. En efecto,supongamos que la longitud del paso sea de x metros, y que el nmero de pasos dados en tressegundos sea igual a n. En tres segundos, el peatn recorre nx metros, y en una hora (3.600



segundos) 1.200nx metros, o sea, 1,2nx kilmetros. Para que el recorrido, medido en km, sea igualal nmero de pasos correspondiente a tres segundos, deber existir la siguiente igualdad:

1,2nx = n,o sea,

1,2x = 1de donde

x = 0,83 metros.

La primera regla que expresa la dependencia mutua entre la longitud del paso y la estatura de lapersona es siempre exacta, mientras que la segunda regla, que acabamos de examinar, es cierta slopara las personas de estatura media: de unos 175 cm.

61.- Escala animadaPara medir objetos de magnitud media, cuando no se dispone de regla o cinta mtrica, puedehacerse lo siguiente. Se extiende una cuerda o un palo desde el extremo de una mano, estando elbrazo extendido lateralmente, hasta el hombro del lado contrario. Esta magnitud es, en un adulto,alrededor de 1 metro. Otro procedimiento para obtener con aproximacin la longitud del metroconsiste en colocar en lnea recta 6 cuartas, o sea 6 veces la distancia comprendida entre losextremos de los dedos pulgar e ndice, estando la mano con la palma plana extendida lo msposible.Esta ltima indicacin nos ensea a medir sin necesidad de aparatos; para ello es preciso medirpreviamente ciertas longitudes en la mano y mantener en la memoria los resultados de la medicin.Qu distancias son las que deben medirse en la mano? Primero, la anchura de la palma de lamano, tal como se indica en la figura.

Fig. 7.1



En una persona adulta, esta distancia es aproximadamente de 10 cm; es posible que en su mano,dicha distancia sea algo menor; entonces deber usted saber exactamente en cunto es menor. Hade medirse tambin la distancia entre los extremos de los dedos corazn e ndice, separndolos loms posible. Adems, es conveniente conocer la longitud de su dedo ndice, medida a partir de labase del dedo pulgar, en la forma que muestra la figura. Y por ltimo, mida la distancia entre losextremos de los dedos pulgar y meique, cuando ambos estn totalmente extendidos.Utilizando esta escala animada, puede efectuarse la medicin aproximada de objetos pequeos.



Captulo 8Rompecabezas de geometra

Para resolver los rompecabezas incluidos en este captulo no se requiere haber estudiado un cursocompleto de geometra; basta sencillamente conocer las nociones ms elementales de esta rama dela ciencia. Las dos docenas de problemas descritos en este captulo ayudarn al lector a darsecuenta de en qu grado domina los conocimientos de geometra que consideraba asimilados.Conocer bien la geometra quiere decir no slo saber enumerar las propiedades de las figuras, sinotambin poder utilizar hbilmente estas propiedades para resolver problemas reales.

62.- La carretaPor qu el eje delantero de una carreta se desgasta ms y se calienta con mayor frecuencia que eltrasero?

63.- La lente biconvexaCon una lupa, que aumenta cuatro veces, se observa un ngulo de grado y medio. Con qumagnitud se ve?

64.- El nivel de la burbujaConocen ustedes, naturalmente, este tipo de nivel, con su burbuja de aire indicadora que sedesplaza a la izquierda o a la derecha de la marca ndice cuando se inclina la base del nivel respectodel horizonte. Cuanto mayor sea la inclinacin, tanto ms se alejar la burbuja de la marca central.La burbuja se mueve porque es ms ligera que el lquido que la contiene, y por ello asciende,tratando de ocupar el punto ms elevado. Pero si el tubo fuera recto, la burbuja, al sufrir l nivel lamenor inclinacin, se desplazara a la parte extrema del tubo, o sea, a la parte ms alta. Es fcilcomprender que un nivel de este tipo seria incomodsimo para trabajar. -Por tanto, el tubo del nivelse hace en forma curva. Cuando la base del nivel est horizontal, la burbuja, al ocupar el punto msalto del tubo, se encuentra en su parte central. Si el nivel est inclinado, el punto ms elevado nocoincidir con la parte central del tubo, sino que se hallar en otro punto prximo a la marca, y laburbuja se desplazar respecto de la marca ndice, situndose en otro lugar del tubo, que entoncesser el ms alto.Se trata de determinar cuntos milmetros se separa la burbuja de la marca si el nivel tiene unainclinacin de medio grado y el radio de curvatura del tubo es de 1 m.

65.- Nmero de carasHe aqu una pregunta que sin duda alguna parecer muy cndida, o por el contrario, demasiadosutil. Cuntas caras tiene un lpiz de seis aristas?Antes de mirar la respuesta, reflexione atentamente sobre el problema.

66.- El cuarto creciente de la LunaSe trata de dividir la figura de un cuarto creciente de la Luna en seis partes, trazando solamente doslneas rectas.Cmo hacerlo?



Fig. 8.1

67.- Con 12 cerillasCon doce cerillas puede construirse la figura de una cruz (vase la figura), cuya rea equivalga a lasuma de las superficies de cinco cuadrados hechos tambin de cerillas.Cambie usted la disposicin de las cerillas de tal modo que el contorno de la figura obtenidaabarque slo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados.

Fig. 8.2

Para resolver este problema no deben utilizarse instrumentos de medicin de ninguna clase.

68.- Con ocho cerillasCon ocho cerillas pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Algunas pueden verseen la figura; su superficie es, naturalmente, distinta.

Fig. 8.3

Se plantea cmo construir con 8 cerillas la figura de superficie mxima.

69.- Qu camino debe seguir la mosca?



En la pared interior de un vaso cilndrico de cristal hay una gota de miel situada a tres centmetrosdel borde superior del recipiente. En la pared exterior, en el punto diametralmente opuesto, se haparado una mosca.Indquese cul es el camino ms corto que puede seguir la mosca para llegar hasta la gota de miel.

Fig. 8.4

La altura del vaso es de 20 cm y el dimetro de 10 cm.No piensen ustedes que la mosca va a encontrar ella misma el camino ms corto y facilitar as lasolucin del problema; para ello es necesario poseer ciertos conocimientos de geometra,demasiado vastos para el cerebro de una mosca.

70.- Hacer pasar una moneda de cinco pesetasTomen dos monedas: una de cinco pesetas y otra de diez cntimos. Dibujen en una hoja de papel uncrculo exactamente igual a la circunferencia de la moneda de diez cntimos y recrtenlocuidadosamente.Podr pasar la moneda de cinco pesetas por ese orificio?No se trata de un truco, es un verdadero problema geomtrico.

71.- Hallar la altura d una torreEn la ciudad donde usted vive hay, sin duda, algunos monumentos notables, y entre ellos una torrecuya altura seguramente desconoce. Dispone usted de una postal con la fotografa de la torre.En qu forma puede esta foto ayudarle a averiguar la altura de la torre?

72.- Las figuras semejantesEste problema va destinado a los que sepan en qu consiste la semejanza geomtrica. Se trata deresponder a las dos preguntas siguientes:1) En un cartabn de dibujo (vase la figura), son semejantes los tringulos exterior e interior?2) En un marco, son semejantes los rectngulos exterior e interior?



Fig. 8.5

73.- La sombra del cableA qu distancia se extiende en el espacio la sombra total producida por un cable telegrfico de 4mm de dimetro?

74.- El ladrillitoUn ladrillo, de los usados en la construccin, pesa unos cuat

matematica recreativa

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