matematica m.gutierrez modulo n°2-2°medio

5/11/2018 MATEMATICA M.GUTIERREZ MODULO N°2-2°MEDIO - slidepdf.com

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Colegio Alberto Blest Gana“Jóvenes emprendedores para el siglo XXI”Coordinación Académica______________________________________________________________________________________________________________________

CONCEPTO DE RAÍZEn estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces parapresentarse como un número determinado.Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación de extraer la raíz apartir del número determinado y se ejecuta utilizando el símbolo √, que se llama radical. Porello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a operaciones para trabajar conraíces.Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la potenciación, así como la suma es la operación inversa de la resta y viceversa, y la multiplicación es laoperación contraria de la división y viceversa.Para graficarlo de algún modo:

Potencia Raíz

Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática son:

X: Base de la potencia X: Valor de la raíz

n: Exponente de la potencia n: Índice

a: Valor de la potencia a: Cantidad subradical (o radicando)

La raíz consiste en encontrar la base de la potencia conociendo el exponente (que en la raízse llama índice) y la cantidad subradical.

Ejemplo:

Cuando el índice de la raíz es 2 (raíz cuadrada), no se acostumbra por convención acolocarlo, se subentiende que es 2.

Para encontrar el valor de una raíz cuadrada se debe hacer la siguiente pregunta:¿Qué número elevado a 2 (al cuadrado) da como resultado 64?

La respuesta es 8, porque 82 = 64

¿Qué número elevado a 2 da como resultado 100?La respuesta es 10, porque 102 = 100

En general, para encontrar el valor de una raíz se debe hacer la siguiente pregunta:

¿Qué número elevado al índice de la raíz da como resultado la cantidad subradical (oradicando)?

Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplencon todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientespropiedades de raíces:

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: MatemáticaNOMBRE GUIA Y/O MÓDULO DE APRENDIZAJE N°2: Números y RaícesNIVEL: 2º MedioPROFESOR(A)/ES: Marcia GutiérrezOBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE:

Identificar números irracionales dada una lista de números, como aquellos que nopueden ser escritos como un cociente entre dos números enteros.

Ubicar algunas raíces en la recta numérica aplicando el Teorema de Pitágoras. Calcular la raíz enésima de un número real y aplicar sus propiedades. Escribir las raíces enésimas como potencias de exponente racional y calcular

logaritmos simples.




1) Multiplicación de raíces de igual índice: Se multiplican las bases y se conserva elíndice.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Calcular el producto de

Ejemplo 4:

Calcular el producto de

Ejemplo 5:

Calculemos

2) División de raíces de igual índice: Se dividen las bases y se conserva el índice.

Ejemplo1:

En el ejemplo mostramos la división de raíces en distintas formas (todas válidas), pero luegohemos extraído las dos raíces cúbicas y hemos dividido los resultados (los cocientes ocuocientes).

Ejemplo 2:




En este ejemplo, resolvimos primero la división de las cantidades subradicales y del resultadoextraemos la raíz cúbica.

3) Raíz de raíz: Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.




Ejemplo1

Veamos ahora un ejemplo con raíces que poseen factores fuera de ellas:

No podemos extraer raíz de raíz si hay factores fuera de alguna de las raíces. Por esodebemos introducir esos factores dentro de las raíces.

¿Cómo lo hacemos?

El factor externo (2) entra en la raíz (se coloca bajo el radical) en forma de potencia conexponente igual al índice de la raíz que la cobija (23):

4) Raíz de una potencia o potenciación de radicales:

Ya sabemos, o deberíamos saberlo, que todas las raíces pueden convertirse a potencias de

exponente fraccionario. Hacer la conversión es muy sencillo: lo único que debemos hacer espasar el grado (índice) del radical como denominador de una fracción cuyo numerador será elexponente que tenga la base (el radicando).

n

m

n maa =

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

En este caso, el grado del radical es 3, el cual pasó a dividir al exponente 6, convirtiendo aeste en una fracción. El resultado de esta división (la fracción es una división: 6÷3 = 2) seráel nuevo exponente para la cantidad subradical.

De esta manera se ha realizado la potenciación.

Ejemplo 2:

Acá hicimos lo mismo que en el caso anterior (recordemos que cuando no se escribe el índiceo grado de un radical se entiende, por convención, que es 2, raíz cuadrada).

5) Ingreso de un factor dentro de una raíz: Para introducir un factor dentro de una raízse coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice ymultiplicando a los demás factores.

( con la restricción que a>0 si n es par)

Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces

estén definidas en los números reales.




OPERACIONES CON RADICALES

Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condicioneso reglas.

Suma y resta de radicalesSolamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; esdecir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical).

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

Caso 1

Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice ycontengan una misma base (subradical o radicando).

Ejemplo:

Se pide realizar una operación combinada de suma y resta, lo cual podremos hacer ya que

todos los términos tienen

Para recordar:

Cuando hay un radical solo siempre será lo mismo que .

Como los radicales son todos iguales se suman los números que están fuera de ellos(3 + 5 + 1) y la parte radical se deja igual.

Veamos ahora otro ejemplo:

Como todos los términos tienen podemos sumar y/o restar sin problema. Se ha añadido

un "1" delante del radical único .

Caso 2¿Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distintabase?

Ejemplo:

Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma y resta. Sin embargo, noserá posible porque los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus bases (o cantidadessubradicales o radicandos) son diferentes, además de que son números primos y no sepueden factorizar.

Pero, veamos otro ejemplo:

Esta también es una operación combinada de sumas y restas de radicales que tienen elmismo índice (2) pero tienen distinta base. Pero aquí hay una diferencia: las bases se pueden

factorizar, de tal modo que




Para quedar

RAÍZ: OPERACIONES COMBINADAS CON RADICALES

En muchos casos cuando se nos presentan operaciones combinadas de suma y resta conraíces la primera impresión es que no se pueden ejecutar.

Pero en casi todos los casos es posible darle a esas operaciones una presentación distinta quesí se puede manejar, pero depende de nosotros que sepamos hacerlo, para darle la formacorrecta al ejercicio.

Tomemos un ejemplo:

Tal como está, no podemos resolverla, ya que todos los radicales son diferentes, tienendistinto índice y distinta base, pero si utilizamos las propiedades de la multiplicaciónpodríamos darle una configuración que nos permita hacerlo.

Así, podemos expresarla como porque 52 = 25 y 25 x 2 = 50La secuencia completa es:

¿Qué hicimos? Resolvimos la parte que tiene raíz cuadrada exacta:

Aquella parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual:

Lo mismo hacemos para

Ahora, reemplazamos los valores obtenidos y ejecutamos la operación combinada:

El número "1" que pusimos puede estar o no, aquí lo colocamos para mayor comprensión.

LOGARITMO

108

2

542

27393

33

1

273

9333

175

3

255

55

1




El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debeelevar la base para obtener el número.

Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condicióngeneral de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno:

Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresarla potenciación, como en este ejemplo:

Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2

Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puedeexpresar como potencia.

El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de unapotencia al expresarla como logaritmo:

Entonces, podemos preguntar: ¿Que es el logaritmo?

El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener lapotencia.

Ejemplos 1:

El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener lapotencia (4): 22 = 4

Ejemplos 2:

El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener lapotencia (1): 20 = 1

Ejemplos 3:

El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la

potencia (0,25): pero en este caso debemos despejar el exponente y:

Ejemplos 3:




Ejemplos 4:

Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone queésta es 10:

el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:




Ejemplos 5:

NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal siguepara siempre sin repetirse.

E Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga elvalor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),

¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así

19/2 = 9,5

así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números En fracción¿Racional oirracional?

5 5/1 Racional

1,75 7/4 Racional

.001 1/1000 Racional

√2(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso noes todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-racionales.html

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http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-racionales.html




EJERCITACIÓN.

I.- Determina el valor de:a) =4 b) =25 c) =64 d) =

3 64

e) =121 f) =3 8 g) =

49

81h) =

196

169

II.- Simplifica las siguientes expresiones

Ejemplo:

aabbbaaba 3532575 222243=⋅⋅⋅⋅⋅=

a) =29b b) =

216 x c) =22225 cba

d) =2481 ba e) =

3 63125 y x f) =86144 ba

III.- Resuelva las siguientes multiplicaciones de raíces.

a) =5·3

b) =⋅ 5332

c) =⋅ baba2

d) =⋅⋅ 732

e) =ba 5·

f) =−55 27·3

g) =−mm abaa 13·2

h) =−− x x aa 3113 2·3

IV.- Resuelva las siguientes divisiones de raíces.

a) =

2

4

b) =

a

a

32

64 5

c) =

3 2

3 7

23

46

b

b




d) =5 33

5 65

xba

xba

e) =+

5

515

f) =

53

156 5

a

a

g) =⋅

15

53

h) =3

5

a

a

V.- Extraer




VI.- Aplicar propiedades

VII.- Resuelve.

1)

2)

3)

4)

5)

6)




LOGARITMO

I. Comprueba sin utilizar calculadora que :

a) 327log 3 =

b) 17log 7 =

c) 816log2

=

d) 16625log 4

5 =

II. Utilizando la definición de logaritmo, obtén:

a) =8log2

1

b) =01,0log

c) =77 7log

d) =

8

1log 2

e) =100log

f) =27log3

1

g) =2log 4

III. Utilizando la definición de logaritmo, obtén:

a) =8log2

1

b) =01,0log

c) =7

77log

d) =

8

1log 2

e) =100log

f) =27log3

1

g) =2log 4

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