modulo matematica iii-software

UNIVERSIDAD PROVINCIAL DE EZEIZA

Tecnicatura Universitaria en Desarrollo

de Software

MATEMÁTICA III

AÑO 2013

Prof. Marta N. González Chavarría

Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática III

2

Estimados Estudiantes:

Al iniciar la cursada de Matemática III seguimos recorriendo el Ciclo Técnico de la Tecnicatura

Universitaria en Desarrollo de Software, continuando con lo iniciado en Matemática I y

Matemática II, pero agregando un nivel de abstracción mayor, que les permitirá organizar

información utilizando objetos matemáticos de estructura particular y el tratamiento

operacional de los mismos, tanto en situaciones puramente matemáticas como en otras típicas

de la carrera.

En este contexto los materiales que les proponemos para trabajar tienen un

presupuesto de tiempo estimado que “deben” dedicarle. Reforzamos lo dicho en Matemática I

y Matemática II respecto a que “deben dedicar tiempo al trabajo autónomo” mucho más

cuidadosamente de lo que lo hicieron durante la cursada de aquellas, porque de eso depende

en parte el éxito en la cursada y la aprobación de la materia, así como su transferencia a otras

materias de la carrera en la que se encuentra inserta.

Por supuesto que cada profesor indicará, además, cómo se va a administrar el trabajo

en cada clase en torno de este material.

Los contenidos a desarrollar en el módulo de Matemática III son:

Vectores: Definición. Vectores en componentes. Operaciones con vectores: suma,

resta, producto de un escalar por vector, producto escalar y vectorial.

Matrices: Definición. Operaciones: suma, resta, multiplicación. Propiedades de las

operaciones. Matriz traspuesta, cuadrada, ortogonal, inversa. Forma matricial de un

sistema de ecuaciones.

Determinantes: Definición. Propiedades. Rango de una matriz. Aplicaciones: cálculo de

la matriz inversa, resolución de ecuaciones matriciales.

Sistemas de ecuaciones: Cuadrados y no cuadrados, homogéneos y escalonados.

Resolución de sistemas de ecuaciones: método de Gauss, regla de Cramer.

El material presentado está compuesto por una serie de guías de trabajo articuladas entre

sí, lecturas recomendadas que resultan interesantes para “aprender algo más” y las

actividades necesarias para aplicar lo visto, continuando con la metodología de trabajo de

Matemática I y II.

Dado que en Matemática III los contenidos presentan una abstracción mayor, les

recordamos la importancia de la lectura de las guías de trabajo con buena predisposición

tratando de resolver las cuestiones que se les plantean y haciendo un esfuerzo individual para


3

no llegar a la reunión de grupo de trabajo (en clase o en cualquier otro ámbito en el que

decidan reunirse) sin nada para compartir con los demás integrantes del grupo.

Ustedes ya saben de esto, han constatado los beneficios del trabajo grupal y de la

participación activa en el grupo de clase, planteando dudas y alternativas de resolución,

durante la cursada de Matemática I y de Matemática II.

Esperamos que la cursada de Matemática III puedan llevarla a cabo exitosamente,

sabemos de las dificultades, por eso los acompañaremos durante el transcurso de la misma,

pero nuestro acompañamiento será vano sin el compromiso de Ustedes. Juntos obtendremos

resultados provechosos, que se verán reflejados en las diversas aplicaciones que harán de todo

lo visto en otras materias de la carrera, tanto en lo inmediato como a futuro.

Hecha esta somera presentación, les damos la bienvenida a Matemática III y nos ponemos

a trabajar.

Atentamente:

Los profesores de Matemática III.


4

Guía de trabajo nº 1

Vectores

El físico habla de vector velocidad, el epidemiólogo habla de vector transmisor, el programador

habla de vector de datos, el geómetra habla de vectores libres, el algebrista habla de vector

fila (o columna), el matemático habla de vector traslación, entre otros. Todos hablan de

vectores. ¿Todos hablan de lo mismo? Algunos sí, otros no. Aquí encontramos que una misma

palabra se usa para nombrar cosas diferentes, algo común dentro del lenguaje matemático.

Especialmente, en desarrollo de software encontramos que “vector” hace referencia a una

estructura de datos y a su vez a un objeto matemático, que definido en un plano coordenado

permite desplazar objetos en él (por ejemplo cuando se desplazan objetos en una pantalla).

Entonces para tener claro las diferencias entre estos conceptos haremos una breve

descripción de los vectores en coordenadas en un plano cartesiano y las operaciones definidas

entre ellos y sus propiedades. Al trabajar en un plano estaremos trabajando en dos

dimensiones y las coordenadas de cada dimensión (ejes) serán números reales, por lo cual

diremos que trabajaremos en 2 . Si trabajamos con vectores en el espacio, estaremos

trabajando en tres dimensiones y las coordenadas de cada dimensión (ejes) serán también

números reales, por lo cual diremos que trabajamos en 3 . En álgebra podremos trabajar con

vectores n-dimensionales en coordenadas reales, que representaremos como n y si

trabajamos sobre un eje, estaremos trabajando en una dimensión que representaremos como

simplemente.

Desde el punto de vista geométrico un vector v es un segmento orientado que tiene un punto

llamado origen y otro punto llamado extremo, que se encuentra incluido en una recta

(recuerden que todo segmento está incluido en una recta) llamada dirección, que tiene un

sentido (el indicado por el punto extremo) y un módulo (longitud del segmento) que se

representa escribiendo el nombre del vector encerrado entre barras v .

v


5

Vectores en

Si la recta dirección está graduada con una escala numérica a partir de un punto llamado

origen, al que le asignamos el valor 0 de la escala, tenemos un eje de coordenadas de una

dimensión. Sobre este eje definimos un vector cuyo módulo vale 1 y tiene origen en el origen

de coordenadas, que usaremos para graduar el eje, al que llamaremos vector unitario o versor

que simbolizaremos i . Este vector siempre tiene sentido creciente, es decir, apunta a la

derecha del cero.

Entonces todo vector dibujado sobre el eje, puede expresarse como el producto entre un

número real y dicho versor.

v

El vector v con origen en el origen de coordenadas marcado en el gráfico tiene módulo

(longitud) 3. A dicho vector podemos escribirlo en función del versor i como el siguiente

producto:

3.v i

Observemos que ambos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido. A los vectores

que tienen la misma dirección de los llama colineales. A dos vectores que tienen la misma

dirección, el mismo sentido y el mismo módulo se los llama vectores equipolentes.

Sea ahora el vector w , cuyo origen no coincide con el de coordenadas:

w

El módulo de este vector lo calculamos como la diferencia entre los valores extremos:

6 2w (usamos las barras de valor absoluto o módulo porque la longitud siempre es un

número mayor o igual que 0)

4w

0 1

i

3

0 1

i

3 6 2


6

Podemos escribir entonces: 4.w i

De este modo se puede continuar dibujando vectores todos ellos a la derecha del origen. Si

queremos marcar un vector a la izquierda del cero, graduamos el eje en el sentido contrario,

utilizando valores negativos, el versor i siempre estará dibujado con sentido positivo, por

ejemplo:

Calculamos el módulo de m :

4 ( 1)

4 1

3

3

m

m

m

m

El vector m tiene una longitud de 3 unidades y su sentido es el contrario al del versor i , por

lo tanto cuando lo escribimos, marcamos el sentido del vector m del siguiente modo:

m = -3. i

El número -3 indicará que el sentido del vector es el contrario del versor y el valor absoluto de

-3, indicará el módulo del vector.

Si dos vectores tienen la misma dirección, el mismo módulo pero sentidos contrarios se los

llama vectores opuestos.

Operaciones con vectores definidos en

Suma:

Dados dos vectores en se define la suma entre ellos como el vector cuya coordenada

(componente) es la suma de las coordenadas de cada uno de los dados.

Sean:

2.

9.

v i

w i

Se define s como el vector que resulta de sumar las componentes respectivas:

0 1

i

-3 -1 2 -4

m


7

2. 9.

11.

s v w i i

s v w i

El vector s tiene el mismo sentido que los vectores dados.

Actividad 1

Dados los siguientes vectores:

12.

7.

5.

m i

n i

p i

Se pide resolver las sumas indicadas y sacar conclusiones:

)

)

)

a m p

b m n

c n p

Resta:

Dados dos vectores en se define la resta entre ellos como el vector cuya coordenada es la

resta de las coordenadas de cada uno de los dados.

Sean:

2.

9.

v i

w i

Se define r como el vector que resulta de restar las componentes respectivas:

2. 9.

7.

r v w i i

r v w i

El vector obtenido tiene sentido contrario al de los vectores dados.


8

Actividad 2

Para los vectores de la actividad 1, se pide efectuar las siguientes restas:

)

)

)

a m p

b m n

c n p

Multiplicación entre un escalar y un vector

El producto de un escalar k por un vector v es un vector w tal que:

w es colineal con v ,

El módulo de w es: .w k v

El sentido de w es el mismo que el de v si k>0 y opuesto si k<0.

Por ejemplo, sea 4.v i y k=5, hallar el vector w tal que .w k v

.w k v

5.4.w i

20.w i

El vector w se dice que es linealmente dependiente con v pues puede expresarse como el

producto entre un k≠0 y el vector v . Caso contrario se dice que son linealmente

independientes.

Si k=0 entonces w es el vector nulo. Un vector es nulo si su módulo es igual a 0.

Si k= -1 entonces w es el vector opuesto de v .

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores es un número real y se define en función de sus

respectivas componentes.

Existen dos formas de definir el producto escalar:


9

a) el producto escalar entre dos vectores es igual al producto entre sus módulos por el

coseno del ángulo formado por ellos:

. .cosv w v w vw

Al ser los vectores colineales el ángulo que forman puede valer:

0° y por ser cos 0°=1 el producto queda determinado por el producto de sus módulos.

180° y por ser cos 180°=-1 el producto queda determinado por el producto de sus

módulos cambiado de signo.

b) el producto escalar entre dos vectores unidimensionales es igual al producto entre sus

componentes:

.x xv w v w

Las expresiones vx y wx hacen referencia a las coordenadas que se encuentran sobre el eje x

(eje horizontal).

Cualquiera de las dos formas nos da el mismo resultado.

Por ejemplo, sean los vectores:

12.

7.

m i

n i

Calcularemos m n utilizando ambas fórmulas.

Según a)

. .cosm n m n mn

Los vectores tienen sentidos contrarios por lo cual el ángulo que forman mide 180°,

reemplazamos:

12 . 7 .cos180m n

12.7.( 1)m n

84m n

Según b)

.x xm n m n


10

12.( 7)m n

84m n

Actividad 3

Dados los siguientes vectores:

3.

1.

2

3.

4

7.

p i

q i

t i

u i

Se pide calcular:

)

)

)

a p q

b t u

c p t

Actividad 4

Con los vectores de la actividad 3, realizar los siguientes cálculos combinados:

)( ) 3.

) ( )

)( ) ( )

a p q u

b t u p

c p u t q

Hasta aquí hemos trabajado en una dimensión o en . A continuación pasaremos a trabajar

en dos dimensiones o en 2 .


11

Vectores en 2

Ahora trabajaremos en el plano cartesiano, formado por un par de ejes perpendiculares, en

los que la escala en cada uno es un número real.

En cada eje habrá un versor. En el eje horizontal (eje x) se encontrará el versor i y sobre el

eje vertical (eje y) se encontrará el versor j .

Todo punto del plano real representa un vector con origen en el origen de coordenadas y

extremos en dicho punto.

Por ejemplo:

El punto (2,1) representa un vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el

punto (2,1).

Escribimos el vector v en función de sus coordenadas y de los versores correspondientes a

cada eje del siguiente modo:

y

x

j i

(2,1) v


12

2. 1.v i j

Para hallar el módulo de este vector aplicamos la fórmula:

2 2

x yv v v

En nuestro ejemplo:

2 22 1v

4 1v

5v

Actividad 5

Dados los vectores de la figura, se pide escribirlos en coordenadas y hallar su módulo:


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Los vectores anteriores tienen origen en el origen de coordenadas, pero ¿cómo trabajamos

con vectores cuyo punto origen no es el par (0,0)? Veamos.

Sea el vector de la figura, cuyo origen es el punto (2,3) y su extremo es el punto (-1,4)

En este caso debemos buscar un vector equipolente al dado que pase por el origen de

coordenadas, dicho vector tendrá por coordenadas la resta de las coordenadas de los puntos

extremos del vector dado:

m = (-1-2). i + (4-3). j

m = -3. i + 1. j

Por lo tanto las coordenadas cartesianas del vector m están dadas por el punto extremo (-3,1)

y origen en el origen de coordenadas.

m


14

Hemos escrito al vector m en forma canónica. Un vector tiene forma canónica cuando sus

componentes están referidas respecto al origen de coordenadas.

Operaciones en 2

Generalizaremos lo visto para vectores de una dimensión a los vectores definidos en dos

dimensiones.

Suma y resta de vectores

Para sumar o restar dos vectores definidos en forma cartesiana, se deben sumar o restar sus

respectivas componentes cartesianas:

Dados m y n se define:

( ). ( ).x x y ym n m n i m n j

( ). ( ).x x y ym n m n i m n j

Multiplicación de un escalar por un vector

El producto entre un escalar k y un vector definido en forma cartesiana, es otro vector

cuyas coordenadas son el producto entre el escalar k y cada una de las coordenadas del vector

dado.

. ( . ). ( . ).x yk v k v i k v j

El vector v y el vector .k v son paralelos, pues tienen la misma dirección.

Combinación lineal de vectores

Un vector v es combinación lineal de otros vectores 1 2 3, , ,..., nv v v v cuando existen números

reales k1, k2, k3, …, kn tales que:

1 1 2 2 3 3. . . ... .n nv k v k v k v k v


15

Actividad 6

Dados los siguientes vectores definidos en forma cartesiana:

2. 3.

5. 3.

3. 7.

2. 3.

a i j

b i j

c i j

d i j

Se pide:

1

2

3

4

)

)

1)4. .

3

1)( ) .( )

4

a b

c d

a d

c b a d

Producto escalar de vectores

Dados dos vectores definidos en forma cartesiana, el producto escalar entre ellos es el número

real que resulta de efectuar la suma de los productos de sus respectivas componentes

cartesianas:

Dados v y w , se define el producto escalar entre ellos v w como:

. .x x y yv w v w v w

Hemos visto otra fórmula para hallar el producto escalar entre dos vectores, para usarla debe

conocerse el ángulo que forman los vectores dados.

. .cosm n m n mn

Como hemos visto que ambas nos permiten llegar al mismo resultado puede elegirse cuál

utilizar en función de los datos que tengamos.

Si desconocemos el ángulo formado por dos vectores pero podemos calcular sus respectivos

módulos, entonces la fórmula anterior nos permitirá hallar dicho ángulo. Despejando en ella,

nos queda:

cos.

m nmn

m n

, el ángulo mn es tal que: 0 180mn


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Propiedades del producto escalar:

Dados dos vectores v y w , y k , el producto escalar cumple las siguientes propiedades:

1) es conmutativo: . .v w wv

2) es distributivo respecto a la suma de vectores: .( ) . .v w u v w v u

3) .( . ) ( . ).k v w k v w

4) El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo: 2

v v v

5) Si dos vectores son perpendiculares el producto escalar entre ellos vale 0.

Actividad 7

Dados los vectores de la actividad 6, se pide:

a) Hallar un vector que sea combinación lineal de a y d ,

b) Hallar el ángulo comprendido entre los vectores b y c ,

c) Hallar los siguientes productos:

1

2

3

4

)( )

)

) .

)( ) ( )

c a b c

c c d

c a d

c c b a d

Por último, si bien no vamos a exponer el tema para vectores en 3 (o vectores en el espacio,

o vectores en tres dimensiones), sí dejamos asentado que las operaciones vistas en 2 se

generalizan para los vectores en 3 .

Además, al ser tres dimensiones, tenemos tres ejes coordenados, los ya vistos x e y, a los que

se agrega el eje z, por lo tanto en el espacio tenemos tres versores, los ya vistos i y j (que se

encuentran sobre el eje x y sobre el eje y respectivamente) y el versor k sobre el eje z.


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Pero en 3 a las operaciones ya vistas se agrega una nueva operación: el producto vectorial,

tal que, dados dos vectores pertenecientes a 3 , da por resultado otro vector.

Dados v y w pertenecientes a 3 , definidos en forma cartesiana:

1 2 3

1 2 3

. . .

. . .

v v i v j v k

w w i w j w k

Se define el producto vectorial v w , del siguiente modo:

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( . . ). ( . . ). ( . ).v w v w v w i v w v w j v w v w k

El producto vectorial cumple las siguientes propiedades:

v w es un vector perpendicular a v y también a w

( )v w w v

0v v , v

( )w u v w v u v

Si m entonces: ( . ) .( ) ( . )mv w m v w v m w

. .v w v w sen

Hemos hecho una presentación somera del tema, pero lo suficiente como para saber

diferenciar este concepto de vector del que veremos más adelante en las guías siguientes.

i

j

k


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Introducción

a) El siguiente es un extracto de la Tabla de Posiciones del Torneo Clausura 2012, extraída

de http://www.futbolargentino.com/clausura/2012/posiciones/

EQUIPO Pts. PJ G E P Gf Gc Dif.

Arsenal de Sarandí 38 19 11 5 3 30 15 15

Tigre 36 19 10 6 3 29 15 14

Vélez Sarsfield 33 19 9 6 4 26 15 11

Boca Juniors 33 19 9 6 4 30 20 10

All Boys 33 19 9 6 4 21 13 8

Newell's Old Boys 32 19 9 5 5 26 19 7

Colón de Santa Fe 29 19 7 8 4 24 18 6

Argentinos Juniors 27 19 7 6 6 17 15 2

Estudiantes La Plata 27 19 7 6 6 23 24 -1

Lanús 26 19 7 5 7 19 18 1

Unión de Santa Fe 25 19 5 10 4 21 20 1

San Lorenzo 25 19 6 7 6 22 23 -1

Atlético Rafaela 24 19 6 6 7 26 24 2

Belgrano de Córdoba 24 19 6 6 7 17 20 -3

San Martín de San Juan 22 19 6 4 9 21 29 -8

Independiente 20 19 5 5 9 22 28 -6

Racing Club 19 19 5 4 10 19 27 -8

Godoy Cruz de Mendoza 14 19 2 8 9 11 25 -14

Olimpo de Bahía Blanca 13 19 3 4 12 20 34 -14

Banfield 11 19 2 5 12 15 37 -22

b) El siguiente es un extracto de las salidas de vuelos desde Ezeiza, del día 19/01/2013,

extraída de http://www.aa2000.com.ar/partidas.aspx

Línea Vuelo* Destino Hora Estima Partida T** Estado

AIR CANADA AC 093

Toronto >

Santiago de Chile

18/01/2013

18:05 02:00 02:28 A Despegado

andes Líneas

Aéreas AN 630

Punta Cana >

Rosario

18/01/2013

22:30 00:15 00:28 A Despegado

Aerolíneas

Argentinas AR 1302 Miami

18/01/2013

23:15 00:10 00:24 C Despegado

CUBANA CU 1363

La Habana >

Cayo Coco

19/01/2013

00:10 04:30 04:59 A Despegado

Austral AU 2278 Florianópolis 19/01/2013

00:30 00:41 C Despegado

CHARTER AMS MAX Montevideo 19/01/2013

01:00 TCA

Consulte

Cía.

TAM Airlines PZ 720 Asunción 19/01/2013

01:15 01:38 A Despegado

Copa Airlines CM 453 Panamá 19/01/2013

01:17 01:35 A Despegado

CHARTER AMS 7119 Montevideo 19/01/2013

02:00 03:16 TCA

Despegado

http://www.futbolargentino.com/clausura/2012/posiciones/

http://www.aa2000.com.ar/partidas.aspx


19

c) La tabla siguiente muestra la cantidad fabricada de ciertos electrodomésticos de una

empresa en cada una de sus tres plantas, en un mes:

Ushuaia Tres Arroyos

Buenos Aires

Televisores 1000 400 500

Lavarropas 700 250 400

Aire Acond. 800 500 700

Distintas distribuciones que podemos apreciar en distintos ámbitos… ¿Tienen algo en común?

Matrices

Tomando en cuenta la tabla a) nos preguntamos:

i) ¿Cuántos goles a favor tuvo All Boys?

ii) ¿Cuántos partidos perdió Tigre?

iii) ¿Qué equipos empataron 5 partidos?

iv) ¿Qué equipos tienen 33 puntos?

v) ¿Qué equipo tiene la misma cantidad de partidos ganados que perdidos?

Si miramos ahora el extracto b) podríamos averiguar:

i) ¿Qué compañía sale el 19/01/2013 a las 01:17?

ii) ¿Cuál es el destino del vuelo de la compañía Austral?

Para la empresa que fabrica electrodomésticos (c ), queremos saber:

i) ¿Cuántos televisores produce en la planta de Tres Arroyos?

ii) ¿Cuántos lavarropas produce en el mes?

iii) ¿Cuál es la producción de la planta de Ushuaia?

Actividad 8

Respondan a las preguntas anteriores, explicando en cada caso cómo encontraron las

respuestas.

Volvamos a la pregunta final de la introducción, ¿tienen algo en común las distribuciones

mostradas?


20

Y la respuesta es… ¡SÍ!

Todas tienen forma de tablas. Por lo tanto, en todas encontramos filas y columnas, en las

cuales se encuentra la información solicitada.

En el caso a) tenemos una tabla de 21 filas por 9 columnas. Podemos decir que es una tabla

21x9.

En el caso b) tenemos una tabla de 10 filas por 8 columnas. Podemos decir que es una tabla

10x8.

En el caso c) tenemos una tabla de 4 filas por 4 columnas. Podemos decir que es una tabla 4x4.

A las tablas se las denomina por la cantidad de filas y columnas que poseen. Encontramos

tablas 12x10 (12 filas por 10 columnas), 7x5 (7 filas por 5 columnas), etcétera.

En los casos a, b y c hemos contabilizado los encabezados. Esto hace que el contenido de las

tablas sea de distinto tipo, ya que el que se encuentra en el encabezado está dado por

palabras y el resto por números en las tablas a y c, mientras que en la tabla b encontramos

distintas combinaciones de letras y números para mostrar tanto encabezados como

información.

A las tablas que presentan combinaciones de letras y números en su contenido general se las

llama tablas alfanuméricas.

Si ahora descartamos los encabezados en cada ejemplo observamos que:

El ejemplo a) es una tabla de 20 filas por 8 columnas. O una tabla 20x8.

El ejemplo b) es una tabla de 9 filas por 7 columnas. O una tabla 9x7.

El ejemplo c) es una tabla de 3 filas por 3 columnas. O una tabla 3x3.

Miremos otra vez el contenido de cada una:

En la tabla b) su contenido sigue siendo una combinación de letras y números. Decimos que la

tabla b) es alfanumérica.

En las tablas a) y c) sus contenidos son números. A las tablas de este tipo se las llama

numéricas.

En Matemática, a las tablas numéricas se las llama Matrices, y a su dimensión mxn se le

denomina orden.

Una tabla de m filas por n columnas será una tabla de dimensión mxn.


21

Según lo anterior, decimos que la tabla a) es una matriz de orden 20x8 y la tabla c) es una

matriz de orden 3x3.

Para nombrar una matriz suele usarse una letra en mayúscula seguida del orden, del siguiente

modo: Amxn o bien Amxn o bien A(mxn).

Cada número que encontramos en la distribución ocupa un lugar en la matriz. Dicho lugar está

determinado por el cruce entre una fila y una columna.

Llamamos elemento de una matriz y lo representamos simbólicamente aij al número real que

se encuentra en la fila i y columna j.

Por lo anterior, podemos escribir a la matriz como:

Amxn = (aij), siendo: 1≤ i ≤ m y 1≤ j ≤ n

o bien en su forma desarrollada:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

A

21

22221

11211

mxn

En la forma desarrollada el elemento:

a11 es aquel que se encuentra en la fila 1 y columna 1,

a12 es aquel que se encuentra en la fila 1 y columna 2,

etcétera.

Notemos que siempre se escribe primero la fila y a continuación la columna. Es importante el

orden en que se escriben, ya que podemos comprobar que el lugar que corresponde a la fila 1

y columna 2 no es el mismo que el que se encuentra en la fila 2 y columna 1.

En el ejemplo c), la matriz que representa la producción de la empresa en sus tres plantas,

puede ser escrita como:

Definimos matriz de orden mxn a una distribución rectangular de números reales formada

por m filas y n columnas.

m filas

n columnas


22

700500800

400250700

5004001000

33xP

Y sus elementos son:

p11= 1000 p12=400 p13=500

p21=700 p22=250 p23=400

p31=800 p32=500 p33=700

Clasificación de matrices

Hemos visto que las matrices pueden ser de diversos órdenes según la cantidad de filas y

columnas que poseen.

Se llama matriz fila a toda matriz A de orden 1xn. Esta matriz tiene 1 fila y n columnas.

También recibe el nombre de vector fila de dimensión n y sus elementos reciben el nombre

de componentes o coordenadas del vector. En símbolos:

A1xn=(a1j) con 1≤ j ≤n

O bien:

nxn aaaA 112111 ...

Se llama matriz columna a toda matriz A de orden mx1. Esta matriz tiene m filas y 1 columna.

También recibe el nombre de vector columna de dimensión m y sus elementos reciben el

nombre de componentes o coordenadas del vector. En símbolos:

Amx1=(ai1) con 1≤i≤m

O bien:

1

21

11

1...

m

mx

a

a

a

A

Se llama matriz cuadrada a toda matriz A de orden nxn. Esta matriz tiene igual cantidad de

filas que de columnas. En símbolos:


23

Anxn=(aij) con 1≤i≤n y 1≤j≤n

O bien:

nnnn

n

n

nxn

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

La matriz del ejemplo c) es una matriz cuadrada de orden 3x3. También se dice que es

cuadrada de orden 3.

Al ver la forma en que se distribuyen los elementos en una matriz cuadrada, podemos asociar

la forma de la distribución con la figura de un cuadrado (de ahí su nombre).

En todo cuadrado podemos dibujar dos diagonales. Si aplicamos esto a una matriz cuadrada,

nos encontramos con las diagonales marcadas en el gráfico que se encuentra abajo:

nnnn

n

n

nxn

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Se llama diagonal de una matriz cuadrada A o diagonal principal de A, a los elementos de la

matriz que se encuentran en las posiciones en las que coinciden el número de fila y columna,

es decir, todos los elementos aij en los cuales i=j.

En Anxn la diagonal está formada por los elementos a11, a22, a33,…, ann

En nuestro ejemplo c) la diagonal está formada por los elementos:

a11= 1000, a22= 250 y a33= 700.

Las matrices pueden clasificarse también según los valores que adoptan sus elementos.

Se llama matriz nula a toda matriz 0 de orden mxn cuyos elementos son ceros. En símbolos:

0mxn=(oij) y oij= 0 con 1≤i≤m y 1≤j≤n

O también:

Diagonal principal Diagonal secundaria


24

0...00

............

0...00

0...00

0mxn

Se llama matriz diagonal a toda matriz cuadrada en la cual los elementos que no se

encuentran en la diagonal principal son cero. En símbolos:

Anxn=(aij) siendo aij = 0 si i≠j

O también:

ji si , 0a

...00

............

0...0

0...0

ij

22

11

nn

nxn

a

a

a

A

Por ejemplo:

1100

070

002

33

xA

En aquellas posiciones en las que i≠j los elementos valen cero:

a12=0 a13=o a21=0 a23=0 a31=0 a32=0

Y en aquellos que forman la diagonal (i=j) los elementos son distintos de cero:

a11=2 a22= -7 a33= 11

Se llama matriz identidad a toda matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por

elementos iguales a 1. Se representa con la letra I.

Por ejemplo:

100

010

001

33xI

Se llama matriz triangular superior a toda matriz A de orden mxn que verifica que el elemento

aij = 0 si i>j.


25

Por ejemplo:

4600

3240

1973

43xA

Observamos que en aquellas posiciones en las que el valor de la fila i es mayor que el valor de

la columna j los elementos valen cero.

a21=0 pues 2>1 a31=0 pues 3>1 a32=0 pues 3>2

Se llama matriz triangular inferior a toda matriz A de orden mxn que verifica que el elemento

aij= 0 si i<j.

Por ejemplo:

0965

0076

0002

43xA

Dada una matriz A de orden mxn, se define la matriz At llamada matriz traspuesta de A, de

orden nxm, a aquella que se obtiene cambiando las filas de A por columnas en At.

Si Amxn = (aij) entonces Atnxm =(aji)

Sea por ejemplo:

6289

5143

0362

43xA

Tomamos la fila 1 de la matriz A: (2 6 3 0) y la colocamos en el lugar de la columna 1 de la

matriz At

......0

......3

......6

......2

34xtA

El número de columnas de A pasa a ser el número de filas de At y el número de filas de A pasa

a ser el número de columnas de At.


26

Tomamos la fila 2 de A y la colocamos en la columna 2 de At

...50

...13

...46

...32

34xtA

Y por último tomamos la fila 3 de A y la colocamos en la columna 3 de At

650

213

846

932

34xtA


27


En la guía de trabajo anterior hemos visto una serie de definiciones que ejercitaremos en la

presente guía.

Actividad 9

Escribir cada una de las siguientes matrices en forma desarrollada:

a) A2x2= (aij) de orden 2x2 y en la cual a11=2 a22= -4 a21= -8 a12=3

b) B= (bij) de orden 5x6 y tal que bij = i+j

c) C= (cij) cuadrada de orden 4 y con cij = (-1)i+j

Actividad 10

Hallar la matriz traspuesta de cada una de las matrices de la actividad anterior.

Actividad 11

Dadas las siguientes matrices:

32

01

33

22

11

987

654

321

124

261

D

C

B

A

000

000

261

1

6

5

26

1600

0200

0610

4321

H

G

F

E


28

a) Indicar el orden de cada matriz

b) ¿Cuáles son matrices cuadradas?

c) ¿Cuáles son matrices fila?

d) ¿Cuáles son matrices triangulares inferiores? ¿Cuáles triangulares superiores?

e) ¿Cuáles son matrices columnas?

Actividad 12

a) Sea A12x10=(aij) , ¿cuántos elementos tiene A?

b) Para la matriz A del punto anterior, si aij=1 para i=j y aij=0 para i≠j determinar a33, a52,

a10 10 y a12 10

Actividad 13

a) Un corredor de bolsa vendió a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones

de la B, 500 acciones de la C y 300 de la D. Escribir la información de venta como

matriz fila.

b) Si las acciones se venden en $20, $30, $45 y $100 por acción, respectivamente, escribir

la información como una matriz columna.

Actividad 14

Una compañía tiene sus informes mensuales de ventas de sus productos como matrices cuyas

filas, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de superlujo que se

vendieron; y las columnas, también en orden, indican el número de unidades rojas, blancas,

azules y verdes que se vendieron. Las matrices de ventas para enero (E) y febrero (F) son:

6204

2332

4420

F

0672

5310

2162

E

a) ¿Cuántos modelos blancos de superlujo se vendieron en enero?

b) ¿Cuántos modelos azules de lujo se vendieron en febrero?

c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares verdes?


29

d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?

e) ¿En qué mes se vendió mayor cantidad de modelos de lujo?

f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?

g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?


30


Igualdad de matrices

Volvamos al problema de la actividad 14 de la Guía anterior. En él tenemos las matrices de

ventas de los meses de enero y febrero. La Gerencia de ventas solicita las matrices del primer

cuatrimestre del año para ver la evolución de las ventas en el mismo. Las matrices del mes de

enero (E), febrero (F), marzo (M) y abril (A) son las siguientes:

6204

2332

4420

F

0672

5310

2162

E

0672

5310

2162

A

0271

0352

2463

M

¿Qué puede decirse de las ventas de enero y abril?

Las matrices que corresponden a los meses de enero y abril poseen los mismos elementos

ubicados en las mismas posiciones.

e11 = a11 = 2 e12 = a12 = 6 e13 = a13 = 1 e14 = a14 = 2

e21 = a21 = 0 e22 = a22 = 1 e23 = a23 = 3 e24 = a24 = 5

e31 = a31 = 2 e32 = a32 = 7 e33 = a33 = 6 e34 = a34 = 0

Entonces, decimos que las matrices son iguales.

Actividad 15

En cada uno de los siguientes casos, hallar los valores de las letras que verifican la igualdad de

matrices dada:

Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y los valores de los elementos

homólogos (los que se encuentran en la misma fila y columna en cada matriz) son iguales.

Dadas A=(aij) y B=(bij):

A=B si y sólo si A y B tienen el mismo orden y aij = bij para todos los valores de i y de j.


31

y

y

y

xe

wz

yxd

ba

ba

c

ba

bab

babababaa

7

7

27

72)

70

64

3

2)

52

183

01

52

83

02

)

137

982

37

982)

85

5

85

2)

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Una empresa tiene dos plantas industriales distintas para la fabricación de los productos A, B y

C. Para su fabricación necesita tres tipos de materiales M1, M2 y M3. En las tablas siguientes

se muestra la cantidad de cada material para fabricar cada producto en cada planta.

De cada tabla se extrae una matriz para cada planta, en la cual las filas representan los tipos de

materiales y las columnas los tipos de productos. Los elementos de cada matriz representan la

cantidad de cada material para producir un producto de cada tipo.

Llamamos S a la matriz que corresponde a la planta San Luis y L a la planta La Pampa:

642

713

285

S

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

PLANTA LA PAMPA

Producto A B C

Material M1 5 3 7

Material M2 2 3 8

Material M3 2 3 5


32

532

832

735

L

Se quiere obtener una matriz con la cantidad de materiales M1, M2 y M3 necesarios para

fabricar los productos A, B y C en las dos plantas juntas.

Para armar la matriz solicitada, tomamos la cantidad de material M1 en cada una de las

matrices (S y L) y los sumamos. Lo mismo para cada uno de los materiales M2 y M3. Así, la

matriz buscada resulta ser la suma de las matrices dadas.

Entonces, podemos escribir:

532

832

735

642

713

285

LS

563422

873123

723855

LS

1174

1545

91110

LS

Las matrices del ejemplo tienen el mismo orden, ambas son 3x3 y la matriz que se obtiene al

sumarlas tiene el mismo orden que las dadas, es decir, es otra matriz 3x3.

La planta La Pampa decide fabricar el producto D con los mismos materiales M1, M2 y M3, por

lo cual a la matriz anterior L se le agrega una cuarta columna, obteniéndose la matriz L’:

9532

6832

4735

L

Se quiere hallar la matriz S+L’ que permite calcular el total de materiales M1, M2 y M3 en

ambas plantas.

La matriz S es de orden 3x3 y la matriz L’ es de orden 3x4, ¿Qué orden tendrá la matriz suma

S+L’?

Veamos:


33

9532

6832

4735

642

713

285

'LS

Ambas matrices tienen 3 filas, entonces la matriz suma S+L’ también tendrá 3 filas. Pero la

matriz S tiene 3 columnas y la matriz L’ tiene 4 columnas, entonces si sumamos elemento a

elemento, para la misma posición, observamos que las tres primeras columnas de la matriz L’

no presentan problemas para calcular el total pedido, en cambio la cuarta columna no puede

ser totalizada ya que en la matriz S no existe cuarta columna. Entonces no existe la matriz S+L’

solicitada.

De estas dos situaciones concluimos que, para sumar matrices, éstas deben tener el mismo

orden.

En general:

Propiedades de la suma de matrices

Dadas las matrices A=(aij), B=(bij) y C=(cij), todas de orden mxn, la suma de las mismas cumple

con las siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa: A+B=B+A

Escribimos las matrices A y B:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

B

...

............

...

...

21

22221

11211

Hallamos la matriz A+B, que al ser suma de matrices de orden mxn, resulta ser del mismo

orden que aquellas:

Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de orden mxn, definimos la matriz

suma S del mismo orden que las anteriores, del siguiente modo:

S=(sij), siendo sij=aij + bij, para cualquier valor de i y de j


34

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

BA

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

Recordamos que los elementos de cada matriz son números reales, es decir:

ijij ba

Por lo tanto, como estamos trabajando en el conjunto de números reales al sumar los

elementos homólogos, sabemos que la suma de dos números reales cumple con la propiedad

conmutativa, es decir:

ijijijij abba

Sabiendo que la igualdad anterior se cumple podemos escribir la matriz suma anterior de la

siguiente forma:

mnmnmmmm

nn

nn

ababab

ababab

ababab

BA

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

Aplicando la definición de suma de matrices en el segundo término de la igualdad anterior

podemos escribir:

mnmm

n

n

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

bbb

bbb

bbb

BA

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

Y por definición de la matriz A y de la matriz B, escribimos:

ABBA

La igualdad anterior demuestra que la suma de matrices es conmutativa.

2. Propiedad asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)


35

3. La matriz traspuesta de la suma de dos matrices A y B, es igual a la suma de la

traspuesta de A y de la traspuesta de B.

(A+B)t = At + Bt

4. Dada A de orden mxn, la matriz nula 0 de orden mxn, es neutro para la suma, por lo

cual: A+0 = A

Por lo tanto la suma de matrices de orden mxn tiene elemento neutro.

5. Dada la matriz A de orden mxn, existe la matriz opuesta –A de orden mxn, que verifica

que A+(-A)= 0. Esta matriz opuesta es única.

Actividad 16


41

21

31

683

123

30

5,01

32

C

B

A

Se pide realizar las operaciones indicadas cuando sea posible:

a) A+B=

b) A+C=

c) Bt + A + C=

d) At + B=

Actividad 17

Demostrar las propiedades 2, 3, 4 y 5 de la suma de matrices.


36

Resta de matrices

Sean:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

B

...

............

...

...

21

22221

11211

Definimos la matriz R:

BAR

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

R

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

R

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

Podemos definir la resta de dos matrices de otra forma utilizando el concepto de matriz

opuesta. Entonces podemos escribir la resta como la suma de una matriz y la opuesta de la

otra:

A-B = A+ (-B)

De este modo reducimos la operación a una suma de matrices y procedemos como ya hemos

visto.

Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de orden mxn, definimos la matriz resta

R del mismo orden que las anteriores, del siguiente modo:

R=(rij), siendo rij=aij - bij, para cualquier valor de i y de j


37

Actividad 18

Considerando las matrices de la actividad 16 realizar los cálculos indicados cuando sea posible:

a) –A+C=

b) Bt – A – C=

c) C – Bt + A =


38


Multiplicación entre un escalar y una matriz

Si la planta San Luis, de la empresa vista en la página 31, desea triplicar la cantidad de

productos A, B y C que produce, ¿Qué cantidad de materiales M1, M2 y M3 necesitará?

La matriz asociada a esta planta es:

642

713

285

S

Recordemos que cada columna representa a los productos y cada fila a los materiales,

entonces:

Para triplicar la producción del producto A la cantidad de material M1 será igual a 3.5, la

cantidad de material M2 será igual a 3.3, la cantidad de material M3 será igual a 3.2, es decir

debemos triplicar la cantidad de material M1, M2 y M3. Lo mismo sucederá para el producto B y

para el C.

La nueva matriz de la planta San Luis, que llamaremos S’ está formada por los elementos:

s’11= 3.5 s’12= 3.8 s’13= 3.2

s’21= 3.3 s’22= 3.1 s’23= 3.7

s’31= 3.2 s’32= 3.4 s’33= 3.6

Armamos la matriz ubicando cada elemento en el lugar que le corresponde en la distribución:

6.34.32.3

7.31.33.3

2.38.35.3

'S

Escribimos S’ como:

18126

2139

62415

'S

Vemos que para obtener S’ hemos multiplicado por 3 cada elemento de S, decimos entonces

que hemos multiplicado por 3 a la matriz S:

S’ = 3.S


39

Observamos que el orden de la matriz S’ es el mismo de S, es decir, S’ es 3x3.

La matriz resultante es de orden mxn.

Propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz

Sean las matrices A=(aij) y B=(bij) ambas de orden mxn y los números reales k y p, se puede

demostrar que se cumplen las siguientes propiedades:

a) k.(A+B)=k.A+k.B

Demostración:

Escribimos las matrices A y B:

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

B

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

Reemplazamos

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

kBAk

...

............

...

...

...

............

...

...

.).(

21

22221

11211

21

22221

11211

Sumamos las matrices:

En general, dada una matriz A=(aij) de orden mxn, para multiplicarla por un escalar k (k

pertenece al conjunto de números reales), basta con multiplicar cada elemento de ella

por k.

k.A= (k.aij)


40

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

kBAk

...

............

...

...

.).(

2211

2222222121

1112121111

Multiplicamos la matriz obtenida por k:

).(...).().(

............

).(...).().(

).(...).().(

).(

2211

2222222121

1112121111

mnmnmmmm

nn

nn

bakbakbak

bakbakbak

bakbakbak

BAk

Recordemos que cada elemento de la matriz es un número real, y que en el conjunto de

números reales se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma,

entonces, podemos escribir:

mnmnmmmm

nn

nn

bkakbkakbkak

bkakbkakbkak

bkakbkakbkak

BAk

.........

............

.........

.........

).(

2211

2222222121

1112121111

Aplicamos en el segundo miembro de la igualdad la definición de suma y escribimos:

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bkbkbk

bkbkbk

bkbkbk

akakak

akakak

akakak

BAk

......

............

......

......

......

............

......

......

).(

21

22221

11211

21

22221

11211

Observamos que en cada una de las matrices del segundo miembro, cada uno de sus

elementos está multiplicado por k, entonces podemos escribir:

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

k

aaa

aaa

aaa

kBAk

...

............

...

...

.

...

............

...

...

.).(

21

22221

11211

21

22221

11211

Y por definición de A y B escribimos:

BkAkBAk ..).(

Por lo cual queda demostrado.


41

b) (k+p).A = k.A+p.A

c) (k.p).A = k.(p.A)

d) (k.A)t = k.At

e) 1.A = A

f) 0.A = 0 siendo 0 la matriz nula del mismo orden que A

g) k. 0 = 0

Actividad 19

Demostrar las propiedades b, c, d, e, f y g.

Actividad 20

Realizar las operaciones que se indican:

310

215

126

001

321

012

.3

100

010

001

2. )

54

21

62

96

.3

94

63

02

1-1

)

4672.04016.2)123-13.( )

c

b

a

Actividad 21


00

00O

33-

1-2-

3-2

5-6-B

33

12A

C

Realizar los siguientes cálculos:


42

a) –B= e) 2.B-3.A+2.C=

b) –(A-B)= f) 3.C-2.B=

c) A+B-C= g) ½.A-2.(B+2.C)=

d) 2.(A-2.B)= h) 2.A-½.(B-C)=

Actividad 22

Para las matrices A, B y C de la actividad anterior verificar:

a) 3.(A+B)= 3.A+3.B

b) (2+3).A= 2.A+3.A

c) k1.(k2.A)=(k1.k2).A

d) k.(A+B+C)=k.A+k.B+k.C

Actividad 23

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

yx

yd

y

x

yc

z

y

x

b

a

.312.3

4

8

3

2

0

.

6

0

1

.2

3

0

2

x.)

.2

7.4

2

x3. )

14

24

10

.4

.2

6

4

2

)

2

6.4

4

2.3

y

x3. )

Actividad 24

Para los productos A, B y C dados en ese orden, se tiene la matriz de precios:

P= (p1 p2 p3)

Si los precios deben aumentarse en un 20%, ¿por qué escalar debe multiplicarse la matriz P?


43


Multiplicación entre matrices

En la guía de trabajo n°4, ejemplificamos la suma de matrices con una empresa que tiene dos

plantas industriales distintas para la fabricación de los productos A, B y C. Para su fabricación

necesita tres tipos de materiales M1, M2 y M3. En las tablas siguientes se muestra la cantidad

de cada material para fabricar cada producto en la planta San Luis y la cantidad de productos

A, B y C producidos en los meses de abril y mayo.

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

Se quiere saber la cantidad total de cada material utilizado en los meses de abril y mayo para

producir las cantidades de productos indicados y generar una nueva tabla con las mismas, que

llamaremos Totales de materiales, cuyo formato es:

Para calcular la cantidad de material M1 empleado en abril hacemos los productos entre cada

elemento de la fila que corresponde a M1 por cada elemento de la columna que corresponde

al mes de abril. Para calcular el total se suman estos resultados. En las tablas siguientes se

señala con flechas lo explicitado anteriormente:

CANT. DE PROD. FABRICADOS

Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29

TOTALES DE MATERIALES

Abril Mayo

M1

M2

M3


44

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

5.25+8.30+2.15= 125+240+30

5.25+8.30+2.15= 395

Entonces se necesitaron 395 unidades de material M1 para fabricar las cantidades de

productos A, B y C indicadas, en el mes de abril. Ubicamos este valor en el lugar que le

corresponde en la tabla nueva:

Del mismo modo para calcular la cantidad necesaria de material M2:


Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29


Abril Mayo

M1 395

M2

M3


45

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

3.25+1.30+7.15= 75+30+105

3.25+1.30+7.15= 210


productos A, B y C indicadas, en el mes de abril. Ubicamos este resultado en la tabla:

Por último, para el material M3:


Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29


Abril Mayo

M1 395

M2 210

M3

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6


Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29


46

2.25+4.30+6.15= 50+120+90

2.25+4.30+6.15= 260


productos A, B y C indicadas, en el mes de abril. Ubicamos este resultado en la tabla:

Repetimos el procedimiento anterior para calcular los totales del mes de mayo.

Para M1:

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

5.35+8.23+2.29= 175+184+58

5.25+8.30+2.15= 417


productos A, B y C indicadas, en el mes de mayo. Ubicamos este valor en el lugar que le

corresponde en la tabla nueva:


Abril Mayo

M1 395

M2 210

M3 260


Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29


47

Del mismo modo para calcular la cantidad necesaria de material M2:

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

3.35+1.23+7.29= 105+23+203

3.35+1.23+7.29= 331


productos A, B y C indicadas, en el mes de mayo. Ubicamos este resultado en la tabla:

Por último, para el material M3:


Abril Mayo

M1 395 417

M2 210

M3 260


Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29


Abril Mayo

M1 395 417

M2 210 331

M3 260


48

PLANTA SAN LUIS

Producto A B C

Material M1 5 8 2

Material M2 3 1 7

Material M3 2 4 6

2.35+4.23+6.29= 70+92+174

2.35+4.23+6.29= 336


productos A, B y C indicadas, en el mes de mayo. Ubicamos este resultado en la tabla:

Podemos representar las tablas en forma de matrices. Llamamos S a la matriz que representa

la tabla de la planta San Luis, llamamos C a la matriz que representa la tabla de cantidad de

productos fabricados en los meses de abril y mayo, y llamamos T a la matriz que representa la

tabla de totales:

336260

331210

417395

T

2915

2330

3525

C

642

713

285

S

En términos de estas matrices el proceso que hemos realizado para generar la nueva tabla lo

podemos reescribir del siguiente modo:


Abril Mayo

A 25 35

B 30 23

C 15 29


Abril Mayo

M1 395 417

M2 210 331

M3 260 336


49

t11 = 5.25 + 8.30 + 2.15 = 395

s11 c11 s12 c21 s13 c31

t11=

fila 1 de S columna 1 de C

t11

Escribimos entonces de modo general el elemento t11:

t11 = s11.c11 + s12.c21 + s13.c31

Consideramos ahora el elemento t12:

t12 = 5.35 + 8.23 + 2.29 = 417

s11 c12 s12 c22 s13 c32

t12=


t12

t12 = s11.c12 + s12.c22 + s13.c32

Para los restantes elementos de la matriz T escribimos su expresión general:

t21 = s21.c11 + s22.c21 + s23.c31

t22 = s21.c12 + s22.c22 + s23.c32

t31 = s31.c11 + s32.c21 + s33.c31

t32 = s31.c12 + s32.c22 + s33.c32

Repasemos el gráfico que corresponde al elemento t11:

s11 s12 s13

c11

c21

c31

s11 s12 s13

c12

c22

c32


50


t11=

columna 1 de S con fila 1 de C columna 3 de S con fila 3 de C

columna 2 de S con fila 2 de C

Al multiplicar estas matrices estamos relacionando filas de una con columnas de la otra.

Además para una fila determinada de S, tomamos los elementos que se encuentran en cada

una de las columnas que la forman y los multiplicamos con cada uno de los elementos que se

encuentran en las filas que determinan la columna de C. Por eso para poder multiplicar estas

dos matrices, la cantidad de columnas de S debe ser igual a la cantidad de filas de C. La matriz

resultante T, tendrá la cantidad de filas de S y la cantidad de columnas de C. Es decir:

Si S es de orden 3x3 y C es de orden 3x2 entonces T es de orden 3x2.

Generalizando damos la siguiente definición:

Actividad 25

Resolver los siguientes productos, indicando el orden de la matriz producto y la cantidad de

elementos que ésta posee:

s11 s12 s13

c11

c21

c31

Dada la matriz A de orden mxn y la matriz B de orden nxp, se define la matriz producto C

de orden mxp de modo tal que:

A. B = C ; siendo C= (cij) con 1≤i≤m y 1≤j≤p

El elemento general de C es tal que:

ij ik kj

1

c (a .b )k n

k


51

212

315

201

.

4-01

122-

031

c)

61.

3

2

1

b)

6

5

4

.321 a)

Actividad 26

Para cada uno de los siguientes ítems calcular si es posible A.B y B.A, comparar los resultados y

sacar conclusiones:

5

2

5

1-4-2-

1-2

1105

B

3

5

3

24

15

2

352

A e)

03-

12B

43

1-2A d)

62

5-1B

43

1-2A c)

31.4273

50.5624

1-3

15

4

12

B

4532

11-2

A b)

23

51-

41

B

4532

11-2

A a)


52

Conclusiones:

a)

b)

c)

d)

e)

Propiedades de la multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices cumple con las siguientes propiedades, siempre que las

operaciones indicadas sean posibles:

a) Propiedad asociativa:

(A.B).C = A.(B.C)

b) Propiedad distributiva a izquierda respecto a la suma:

A.(B+C) = A.B + A.C

c) Propiedad distributiva a derecha respecto a la suma:

(B+C).A = B.A + C.A


53

Actividad 27


11

20

01

C 211

103B

4532

11-2

A

Se pide verificar la propiedad a de la multiplicación de matrices.

Actividad 28


20

12-C

31

02-B

32

01A

Se pide verificar las propiedades b y c de la multiplicación de matrices.

Otras propiedades

Consideremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de cualquier orden. En este

conjunto se cumplen además de las anteriores las siguientes propiedades:

a) A.At = I entonces la matriz A es ortogonal.

Sea por ejemplo la matriz A cuadrada de orden 2x2:

01

10A

Su matriz traspuesta, también cuadrada y del mismo orden 2x2 es:

01

10A t

Realizamos el producto A.At:


54

10

01 A.A

0100

0010 A.A

0.01.10.11.0

1.00.11.10.0 A.A

01

10.

01

10 A.A

t

t

t

t

Sabemos que la matriz I es la matriz identidad, en el conjunto de matrices cuadradas.

El orden de esta matriz I es el mismo que el de la matriz A, entonces:

10

01I

Podemos escribir entonces que:

A.At = I

Por lo que decimos que la matriz A es ortogonal. También resulta ser ortogonal la

traspuesta.

b) Si A es una matriz cuadrada de orden nxn e I es la matriz identidad de orden nxn

entonces: A.I = I.A = A

c) Si A y B son dos matrices cuadradas de orden nxn entonces: (A.B)t = Bt.At

Actividad 29


76-

2-1B

59

4-3A

10

01I

Verificar las propiedades b y c del párrafo anterior.


55

Matriz inversa de una matriz

Dada la matriz cuadrada de orden nxn A, si existe la matriz B, también cuadrada del mismo

orden que A, que cumpla que A.B = B.A = I entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se

simboliza A-1. En este caso se dice que la matriz A es inversible y la matriz A.1 es única.

Por ejemplo, sea la matriz cuadrada A de orden 2x2 que se muestra a continuación:

34

23A

Hallaremos la matriz B, también cuadrada de orden 2x2, que verifique:

A.B = B.A = I

Consideremos que la matriz B es de la forma:

dc

baB

Entonces debería verificarse que:

10

01 .

34

23 .

dc

baBA

Resolvemos el producto A.B:

10

01

.3.4.3.4

.2.3.2.3

dbca

dbca

Por igualdad de matrices escribimos:

3.a+2.c=1

3.b+2.d=0

4.a+3.c=0

4.b+3.d=1

Hemos obtenido cuatro ecuaciones de dos incógnitas cada una. En ellas observamos que las

incógnitas a y c aparecen en dos de ellas, lo mismo ocurre con las incógnitas b y d, lo que nos

permite agruparlas por incógnitas comunes del siguiente modo:

3.a+2.c=1 3.b+2.d=0

4.a+3.c=0 4.b+3.d=1


56

Resolvemos ambos sistemas para hallar el valor de a, b, c y d.

Recordemos que para resolver un sistema de ecuaciones se pueden usar cualquiera de los

métodos conocidos: igualación, sustitución, determinantes o reducción por sumas o restas. La

solución del sistema no depende del método utilizado.

Usaremos el método de reducción por sumas o restas. Este método consiste en obtener

ecuaciones equivalentes a las dadas, en las que los coeficientes de la incógnita que se quiere

reducir sean iguales. Luego las ecuaciones se sumarán o restarán según los signos de los

mismos a saber: si tienen los mismos signos se restan y si tienen signos opuestos se suman.

Tomemos el primer sistema:

3.a+2.c=1

4.a+3.c=0

Reduciremos la incógnita a. Buscamos el mínimo común múltiplo de los coeficientes de ella, o

sea, el m.c.m entre 3 y 4 que resulta ser 12. Entonces multiplicamos a la primera ecuación por

4 y a la segunda por 3:

4.3.a+4.2.c=4.1

3.4.a+3.3.c=3.0

Y obtenemos el sistema equivalente:

12.a+8.c=4

12.a+9.c=0

Como ambos coeficientes de a poseen el mismo signo procedemos a restar las ecuaciones, y

nos queda:

12.a+8.c=4

12.a+9.c=0

0.a – 1.c=4

- 1.c=4 despejamos c

c= 4 : (-1)

c= -4


57

Ahora reduciremos la incógnita c. Buscamos el mínimo común múltiplo entre los coeficientes

de ella, o sea, entre 2 y 3, que resulta ser 6. Por lo tanto, multiplicamos la primera ecuación

por 3 y la segunda por 2:

3.3.a+3.2.c=3.1

2.4.a+2.3.c=2.0


9.a+6.c=3

8.a+6.c=0


nos queda:

9.a+6.c=3

8.a+6.c=0

1.a + 0.c=3

1.a=3 despejamos a

a=3 : 1

Tomemos el segundo sistema:

3.b+2.d=0

4.b+3.d=1

Reduciremos la incógnita b. Buscamos el mínimo común múltiplo de los coeficientes de ella, o

sea, el m.c.m entre 3 y 4 que resulta ser 12. Entonces multiplicamos a la primera ecuación por

4 y a la segunda por 3:

4.3.b+4.2.d=4.0

3.4.b+3.3.d=3.1


a= 3


58

12.b+8.d=0

12.b+9.d=3

Como ambos coeficientes de b poseen el mismo signo procedemos a restar las ecuaciones, y

nos queda:

12.b+8.d=0

12.b+9.d=3

0.b – 1.d= -3

- 1.d= -3 despejamos d

d= -3 : (-1)

Ahora reduciremos la incógnita d. Buscamos el mínimo común múltiplo entre los coeficientes

de ella, o sea, entre 2 y 3, que resulta ser 6. Por lo tanto, multiplicamos la primera ecuación

por 3 y la segunda por 2:

3.3.b+3.2.d=3.0

2.4.b+2.3.d=2.1


9.b+6.d=0

8.b+6.d=2


nos queda:

9.b+6.d=0

8.b+6.d=2

1.b + 0.d= -2

1.b= -2 despejamos b

b= -2 : 1

d= 3

b= -2


59

Reemplazamos los valores hallados en la matriz B buscada:

34

23B

Actividad 30

Verificar que la matriz B hallada es tal que:

A . B = B . A = I

Observaciones:

Al aplicar el método de reducción por sumas o restas hemos hallado un sistema

equivalente al dado a través de multiplicar cada una de las ecuaciones por números

distintos de cero. Ambos sistemas, el original y el equivalente, tienen el mismo

conjunto solución. Esto nos será de ayuda para comprender la resolución de sistemas

de ecuaciones que veremos más adelante.

La matriz B hallada recibe el nombre de matriz inversa y se simboliza A-1

Actividad 31

Hallar si existe la matriz inversa de cada una de las matrices dadas a continuación:

120

211

342

35

41

50

02

06

03

D

C

B

A


60

Actividad 32


100

010

001

I

3

100

06

10

003

1

H

300

060

003

G

121

110

001

D

42

30

11-

C 14-1

032-B

30

2-1A

Se pide hallar:

a) D2 =

b) 3 . A – 2 . B . C =

c) D . I - ⅓ . G =

d) 2 . I - ½ . G . H=

Actividad 33

Un corredor de bolsa vendió a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la

empresa B, 500 acciones de la empresa C y 250 acciones de la empresa D. Los precios por

acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300 respectivamente. Escribir una matriz fila que

represente el número de acciones que el cliente compró de cada una de las empresas, escriba

una matriz columna que represente el precio por acción de cada una de ellas. Obtener el costo

total de las acciones a través del producto de las matrices obtenidas.

Actividad 34

Un contratista de construcción ha aceptado pedidos para distintos estilos de casas según se

muestra en la tabla siguiente:


61

Ranchero Campero Colonial

5 7 12

Las materias primas y laborales que se utilizan en cada uno de los tipos de edificación son

acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra. Las cantidades de cada uno por tipo de casa

figuran en la tabla siguiente:

Acero Madera Vidrio Pintura Mano de obra

Ranchero 5 20 16 7 17

Campero 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13

Los costos en los que habrá de incurrir al comprar los elementos de la tabla anterior están

volcados en la tabla siguiente:

Acero $1500

Madera $800

Vidrio $500

Pintura $100

Mano de obra $1000

El contratista desea saber:

a) La cantidad de cada una de las materias que necesita para cumplir los contratos.

b) El costo de materiales y obra para cada tipo de casa.

c) El costo total para todas las casas.

Nota: escribir las matrices que se obtienen de cada tabla y efectuar los productos necesarios

para responder cada ítem.

Respuestas:

a) Debe ordenar 146 unidades de acero, 526 de madera, 260 de vidrio, 158 de pintura y

388 de mano de obra.


62

b) El costo para la casa de estilo ranchero es de $49200, para el estilo campero es de

$52800 y para el colonial es de $46500

c) El costo total es de $1173600.

Actividad 35

El contratista de la Actividad 34 va a construir 7 casas de estilo ranchero, 3 de estilo campero y

5 coloniales. Calcular utilizando multiplicación de matrices el costo total de materiales y obra.

Actividad 36

El contratista de la Actividad 34 toma en consideración el costo de transportar los materiales al

lugar de la construcción, por lo que modifica la tabla de costos de materiales agregando la

columna de costo del transporte. La tabla así modificada es:

Precio de

compra

Transporte

Acero 1500 45

Madera 800 20

Vidrio 500 30

Pintura 100 5

Mano de obra 1000 0

El contratista desea saber:

a) Los costos de compra y transporte de los materiales para cada tipo de casa.

b) El precio total de compra y el costo total de transporte.

Nota:

Utilizar multiplicación de matrices para responder a lo pedido.


63


Ecuaciones matriciales

Teniendo en cuenta lo visto hasta ahora podemos plantear la solución de ecuaciones en las

que intervienen matrices.

1) Sea por ejemplo la siguiente ecuación:

A+X= B

Hallar la matriz X sabiendo que:

80

54

71

32

B

A

Sabemos que para hallar X en toda ecuación hay que despejar, entonces:

X= B-A

Además para poder restar dos matrices éstas deben tener el mismo orden. En nuestro ejemplo

ambas son cuadradas de orden 2 (o también decimos que son 2x2) por lo cual podemos

restarlas:

11

82

11

352

7810

)3(524

71

32

80

54

X

X

X

X

Como podemos observar en este ejemplo, para que en ecuaciones con matrices en las cuales

la operación principal sea la suma o la resta (ecuaciones aditivas) la existencia de solución

dependerá de que al despejar la incógnita, la operación resultante pueda realizarse, es decir,

las matrices a sumar o restar deben tener el mismo orden. Caso contrario la ecuación no tiene

solución.


64

Actividad 37


34

00

09

25

30

54

71

31

D

C

B

A

Se pide hallar la matriz X en cada caso:

a) 3.A + 2.X= D

b) 5.X – 3.C = 4.X + B

c) A + X = 4.B – C

d) D – 6.I + X = B – A

2) Sea la siguiente ecuación para las mismas matrices del ejemplo 1:

A . X = B

La operación principal en ésta es la multiplicación. ¿Cómo hacemos para despejar X si no está

definida la división de matrices? Tendremos que utilizar entonces el concepto de matriz

inversa. Nos encontramos con una primera condición para resolver este tipo de ecuaciones, la

matriz que multiplica a la matriz X debe ser cuadrada. Recordemos además que la

multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo tanto debemos fijarnos el modo de

plantear el producto entre A y su inversa. En nuestro ejemplo la matriz A se encuentra a la

izquierda de la matriz X, por lo tanto debemos multiplicar a cada lado del signo igual por la

matriz A-1 a la izquierda:

A-1 . A . X = A.1 . B

I . X = A-1 . B por definición de A.1

X = A.1 . B ya que I es la matriz identidad

Hemos despejado X.


65

Solo queda resolver el producto entre las matrices del segundo miembro de la igualdad. Pero

nos encontramos ahora con una segunda condición para resolver este tipo de ecuaciones, la

matriz A debe ser inversible, es decir, debe existir A-1 . Por último debe estar definida la

multiplicación entre A-1 y B.

Hallemos primero A-1 :

Sea A-1 :

dc

baA 1

Reemplazamos en la expresión A-1 . A = I por cada una de las matrices:

Idc

baAA

71

32 . .1

10

01

71

32 . .1

dc

baAA

12. 3. 7. 1 0

. 2. 3. 7. 0 1

a b a bA A

c d c d

Por igualdad de matrices, escribimos:

2. 1

3. 7. 0

2. 0

3. 7. 1

a b

a b

c d

c d

Podemos armar dos sistemas de ecuaciones, uno de ellos para hallar los valores de a y de b, y

el otro para hallar los valores de c y de d.

Resolviendo ambos hallamos que:

17

2

17

1

17

3

17

7

d

c

b

a

Por lo tanto la matriz A es inversible y existe A-1 cuya expresión desarrollada es:


66

17

2

17

117

3

17

7

1A

La matriz A-1 es de orden 2x2 y en nuestro ejemplo también lo es la matriz B, por lo tanto la

multiplicación entre ellas está definida y podemos resolverla:

17

11

17

417

59

17

28

8.17

25.

17

10.

17

24.

17

1

8.17

35.

17

70.

17

34.

17

7

80

54.

17

2

17

117

3

17

7

.1

X

X

X

BAX

Actividad 38

Resolver los sistemas que se forman en el ejemplo anterior y verificar que los valores

encontrados para a, b, c y d son los dados y que la matriz A-1 cumple con la condición de que:

A-1 . A= A. A-1 = I

Actividad 39


11

11

32

10

03

21

C

B

A

Resolver cuando sea posible las siguientes ecuaciones:

a) B . X = C


67

b) (A+B) . X = C

c) C . X + B = A

d) At . X – C= B . X

En estas últimas guías hemos hallado matrices inversas y hemos notado cuán arduo es el

cálculo de ellas, ya que debemos resolver sistemas de ecuaciones para encontrar los valores de

cada uno de los elementos que la determinan.

Nos preguntamos si existe otra forma de hallar la matriz inversa que facilite su cálculo. En las

guías siguientes veremos que la respuesta es afirmativa…


68


Determinantes

En el conjunto de matrices cuadradas cuyos elementos son números reales, que llamaremos

Rnxn se define una función que a cada una de las matrices pertenecientes a él, le hace

corresponder un único número real. Dicho valor recibe el nombre de determinante de la

matriz.

Dada la matriz Anxn:

nnnn

n

n

nxn

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Definimos la función f del siguiente modo:

AAfRRf nxnnxn )(/:

Siendo:

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

¡Cuidado!

No confundir las barras que encierran a la matriz A con las de valor absoluto.

No confundir el determinante escrito en forma desarrollada con una matriz.

Los paréntesis que se usan para escribir a las matrices en forma desarrollada se reemplazan

por barras cuando se escribe el determinante de la matriz, pero ambos son conceptualmente

diferentes: la matriz es una distribución rectangular de números reales y el determinante es

un número real.

El orden de un determinante es el mismo que el orden de la matriz de la cual es su imagen. Así

por ejemplo, si la matriz es de orden 4x4, su determinante también es de orden 4x4.

Antes de pasar al cálculo de los determinantes veremos algunas definiciones previas.


69

Menor complementario

Dada una matriz cuadrada A de orden nxn, se llama menor complementario de un elemento aij

y se lo representa Mij al determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz A,

la fila i y la columna j.

a11 a12 … a1n

A= a21 a22 … a2n

… …. aij ….

an1 an2 ... ann

El menor complementario del elemento aij se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j, como

se muestra a continuación:

A= Fila i

Columna j

nnnn

n

n

ij

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

Por ejemplo, sea la matriz cuadrada A de orden 3:

195

602

341

A

Hallaremos los menores complementarios de cada uno de sus elementos:

Para el elemento a11 = -1, su menor M11 es:

19

6011

M

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

ai1 ai2 aij ain

an1 an2 anj ann


70

Para el elemento a12 = 4, M12 es:

15

6212

M


95

0213 M


19

3421 M


15

3122

M

Para el elemento a23 = -6, M23 es:

95

4123

M


60

3431

M


62

3132

M


02

4133

M

Adjunto o cofactor

Se llama adjunto o cofactor de un elemento aij de una matriz cuadrada A de orden nxn, al

producto entre el menor complementario Mij y el resultado de la potencia (-1)i+j.


71

En símbolos:

Aij = (-1)i+j . Mij

La expresión (-1)i+j permite determinar el signo del menor complementario.

Siguiendo con nuestro ejemplo anterior, los cofactores o adjuntos de cada elemento de la

matriz A dada, son:

19

60

19

60.)1(.)1( 2

11

11

11

MA

15

62

15

62.)1(.)1( 3

12

21

12

MA

95

02

95

02.)1(.)1( 4

13

31

13 MA

19

34

19

34)1(.)1( 3

21

12

21 MA

15

31

15

31.)1(.)1( 4

22

22

22

MA

95

41

95

41.)1(.)1( 5

23

32

23

MA

60

34

60

34.)1(.)1( 4

31

13

31

MA

62

31

62

31.)1(.)1( 5

32

23

32

MA

02

41

02

41.)1(.)1( 6

33

33

33

MA

Vistas las definiciones de menor complementario y adjunto de un elemento estamos en

condiciones de calcular determinantes de matrices cuadradas. Pero antes damos una

definición más:

Matriz adjunta

Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A y se la representa adj(A), a la matriz cuyos

elementos son los adjuntos de cada uno de los elementos de la matriz At.


72

ji

ji AAadj .)1()(

Cálculo de un determinante

Si la matriz A es de orden 1x1 entonces el determinante de A es el valor del elemento a11.

1111 aAaA

Si A es una matriz cuadrada de orden nxn, el determinante de A es la suma del producto entre

cada elemento de una fila (o columna) de la matriz por sus respectivos adjuntos.

En símbolos:

ni

i

ik

ki

ik

ni

i

ikik MaAaA11

.)1(

Si en cambio queremos calcular el determinante por los adjuntos de los elementos de una fila

determinada, la expresión simbólica es:

nj

j

kj

jk

kj

nj

j

kjkj MaAaA11

.)1(

En el ejemplo que estamos analizando, el cálculo del determinante de A queda expresado por:

a) Desarrollamos por los adjuntos de una fila cualquiera, por ejemplo la fila 2

3

1

2

2

2

3

1

22 .)1(j

j

j

j

j

j

j

jj MaAaA

Los adjuntos de cada a2j son:

19

34

19

34)1(.)1( 3

21

12

21 MA

15

31

15

31.)1(.)1( 4

22

22

22

MA

95

41

95

41.)1(.)1( 5

23

32

23

MA


73

Entonces :

3

1

22

j

j

jj AaA

232322222121 ... AaAaAaA

Reemplazamos por los valores correspondientes:

95

41).1).(6(

15

31.0

19

34).1.(2

A

Como el segundo término de la suma está multiplicado por cero, nos queda:

95

41).1).(6(

19

34).1.(2

A

Ahora debemos calcular cada uno de los determinantes 2x2 que se encuentran en cada

adjunto, para ello utilizaremos los adjuntos de los elementos de una fila, por ejemplo la fila 1,

en cada uno:

]5.)1.(49.)1).(1).[(1).(6(]9.)1.(31.)1.(4).[1.(2 21112111 A

Cada uno de los corchetes es el desarrollo por los adjuntos de los elementos de la fila 1 de

cada uno de los determinantes de orden 2x2 dados. La aplicación sucesiva de este método nos

permite llegar al cálculo de un determinante de orden 1x1.

Resolvemos los cálculos paso a paso:

]5.)1.(49.)1).(1).[(1).(6(]9.)1.(31.)1.(4).[1.(2 3232 A

]5).1.(49.1).1.[(6]9).1.(31.1.4.[2 A

)]5.(4)9.[(6)]9.(34.[2 A

]209.[6]274.[2 A

)29.(6)23.(2 A


74

17446A

128A

Actividad 40

Calcular los siguientes determinantes:

21772

9861

3513

211000

)

900

027

110

)

36

52)

c

b

a

Propiedades de los determinantes

Para toda matriz cuadrada A, se cumple que:

1) Si son ceros todos los elementos de una fila (o columna) de A, entonces:

0A

Actividad 41

Dado el siguiente determinante verificar la propiedad anterior:

330

410

520

A

2) Si dos filas (o columnas) de A son iguales, entonces:

0A


75

Actividad 42


5221

412

5221

A

3) Si A es triangular superior (o inferior) entonces su determinante es igual al producto

de los elementos de la diagonal principal.

Actividad 43


500

480

521

A

4) Si B es la matriz que se obtiene intercambiando dos filas (o columnas) de A entonces:

BA

5) Si B es la matriz que se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de una fila (o

columna) de A por el mismo número k, entonces:

AkB .

6) El determinante del producto de dos matrices de orden nxn es el producto de sus

determinantes. Es decir:

BABA ..

7) Si B es la matriz que se obtiene sumando a una fila (o columna) de A el múltiplo de otra

fila (o columna), entonces sus determinantes son iguales:

AB


76

Otra forma de calcular determinantes

Para calcular un determinante 2x2 se resta el producto de los elementos de la diagonal

principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria, en ese orden.

1175

23

102175

23

5.27.375

23

Para calcular un determinante 3x3, se aplica la llamada Regla de Sarrus, que consiste en

ampliar el determinante dado repitiendo a continuación de la tercera fila, la primera y la

segunda en ese orden. Luego:

se suman los productos de la diagonal principal y las dos diagonales paralelas a ella (1)

se suman los productos de la diagonal secundaria y las dos diagonales paralelas a ella

(2)

se hace la resta entre (1) y (2)

Por ejemplo:

Calcular el siguiente determinante 3x3:

110

202

121

A

Según esta regla, a continuación de la fila 3 agregamos la fila 1 y a continuación la fila 2:

202

121

110

202

121

A


77

A continuación marcamos la diagonal principal y sus paralelas, todas formadas por tres

elementos:

202

121

110

202

121

A

En las diagonales marcadas los productos formados son:

1.0.1

-2.1.(-1)

0.2.2

Cuya suma es:

1.0.1+(-2).1.(-1)+0.2.2 = 0+2+0=2

Ahora marcamos la diagonal secundaria y sus paralelas:

202

121

110

202

121

A

En las diagonales marcadas los productos formados son:

(-1).0.0

2.1.1

1.2.(-2)

Cuya suma es:

(-1).0.0+2.1.1+1.2.(-2)= 0+2-4 = 2-4= -2

El valor del determinante será la resta entre las sumas parciales halladas:

4

22

)2(2

A

A

A


78

Actividad 44

Hallar el valor de x en cada caso:

60

100

990

.23

)

2677

2)

512

31)

012

3)

x

x

xx

d

x

xc

xb

xa

Rango de una matriz

Se llama rango de una matriz al orden mayor del menor complementario distinto de cero.

Si el determinante de una matriz es distinto de cero entonces el rango de la misma coincide

con su orden.

Si una matriz tiene una fila (o una columna) de elementos iguales a cero entonces su rango

será menor que su orden.

Por ejemplo:

a) Sea la matriz A de orden 2x2

13

52A

Formamos todos los menores complementarios de la misma. Recordemos que un menor

complementario es el determinante que se obtiene suprimiendo fila y columna a la que

pertenece el elemento asociado, así tenemos que:

11

12

21

22

1 1

3 3

5 5

2 2

M

M

M

M

17A


79

Observamos que todos los menores de orden 1x1 son distintos de cero y además el

determinante de la matriz A también es distinto de cero, entonces decimos que el rango de la

matriz A es 2 y lo simbolizamos:

r(A)=2

b) Sea la matriz A de orden 3x3:

021

053

021

A

Podemos ver que al tener una columna cuyos elementos son nulos el determinante de la

misma vale cero:

0A

Por lo tanto su rango es menor que tres: r(A)<3

Entonces deberemos hallar menores complementarios de orden 2 y ver si al menos uno es

distinto de cero:

Sea por ejemplo el menor:

1156)5(65).1(2.321

5313

M

013 M

Entonces el rango de la matriz A es 2, pues hemos encontrado un menor complementario

de orden 2x2 distinto de cero.

Actividad 45

Hallar el rango de las siguientes matrices:

112

201

532

500

422

211

B

A


80

Una aplicación del cálculo de determinantes es el que permite hallar la matriz inversa.

Si A es una matriz cuadrada de orden nxn y su determinante es distinto de cero entonces

existe la matriz inversa A-1 que resulta ser:

1 1 . ( )A adj A

A

Si existe A-1 se dice que A es inversible.

O también, una matriz A es inversible si su rango es igual a su orden:

Por ejemplo:

Sea la matriz cuadrada A de orden 2x2:

03

21A

Hallar la matriz A-1

Para ello calcularemos primero su determinante por cualquiera de los métodos vistos:

03

21A

3.20).1( A

6

60

A

A

Como el determinante es distinto de cero, entonces existe A-1.

Para hallarla debemos obtener la matriz traspuesta de A:

02

31tA

A continuación hallamos cada uno de los adjuntos de sus elementos:

Dada A de orden nxn, si r(A)=n entonces A es inversible.


81

At11 =(-1)1+1.0 = 1.0 = 0

At12=(-1)1+2 . 2 = (-1)3.2=(-1).2 = -2

At21=(-1)2+1.3 =(-1)3.3= (-1).3 = -3

At22 = (-1)2+2.(-1)= (-1)4.(-1) = 1.(-1) = -1

Armamos con los adjuntos hallados la matriz adj(A):

0 2( )

3 1adj A

Y aplicamos la definición de A-1 :

1 1( )A adj A

A

13

20

)6(

11A

13

20

6

11A

)6

1.(1)

6

1.(3

)6

1.(2)

6

1.(0

1A

6

1

2

13

10

1A

Actividad 46

Verificar que se cumple que A.A-1 = A-1.A = I

Actividad 47

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

a) A.X=B , siendo:


82

0

1

35

21

B

A

b) X.C=D , siendo:

021

130

421

321

D

C

Una aplicación interesante…

Una aplicación interesante del producto de matrices es la criptografía. La criptografía estudia

las formas de poner en clave un mensaje de modo tal que pueda ser descifrado solo por aquel

que posea la clave para hacerlo.

Por ejemplo, si queremos escribir en clave el siguiente mensaje: ESTUDIEMOS MUCHO PARA

EL PARCIAL, haremos lo siguiente:

Enumeramos las letras del alfabeto y reemplazamos cada letra del mensaje por el

valor que le corresponde:

E S T U D I E M O S M U C H O P A R A E L

5 20 21 22 4 9 5 13 16 20 13 22 3 8 16 17 1 19 1 5 12

P A R C I A L

17 1 19 3 9 1 12

Formamos con los números asociados a cada letra grupos de igual cantidad de letras,

respetando el orden en que aparecen. Tenemos 28 letras entonces podemos agrupar

de a 2, de a 4, de a 7, etc. Agrupemos de a cuatro letras, por ejemplo, entonces

obtenemos los siguientes conjuntos de valores:

(5,20) (21, 22) (4, 9) (5, 13) (16, 20) (13, 22) (3, 8) (16, 17) (1, 19) (1, 5) (12, 17)

(1, 19) (3, 9) (1, 12)

Con los conjuntos formados armamos una matriz que tiene a cada uno de ellos como

columnas, por lo tanto, dicha matriz será de orden 2x14:


83

5 21 4 5 16 13 3 16 1 1 12 1 3 1

20 22 9 13 20 22 8 17 19 5 17 19 9 12

Elegimos una matriz inversible de orden 2x2, cuyos elementos sean todos mayores o

iguales que 0 y cuyo determinante valga 1 o -1, sea por ejemplo la siguiente:

3 5

4 7

Multiplicamos la matriz inversible 2x2 por la matriz de los valores de las letras 2x14 y

hallamos la matriz con la clave: 3 5 5 21 4 5 16 13 3 16 1 1 12 1 3 1 115 173 57 80 148 149 49 133 98 28 121 98 54 63

.4 7 20 22 9 13 20 22 8 17 19 5 17 19 9 12 90 130 44 62 112 114 38 100 78 22 92 78 42 50

La matriz hallada contiene el mensaje en clave. Dicha matriz se lee por columnas, por

lo tanto, el mensaje es:

115, 90, 173, 130, 57, 44, 80, 62, 148, 112, 149, 114, 49, 38, 133, 100, 98, 78, 28, 22,

121, 92, 98, 78, 54, 42, 63, 50

Actividad 48

Se sabe que la siguiente matriz se usó para codificar un mensaje:

1 2 1

2 1 0

0 1 1

A

Se pide:

a) Decodificar el siguiente mensaje: 66, 30, 41, 39, 48, 13, 47, 23, 29, 47, 53, 14, 44, 47,

18, 52, 23, 30, 25, 7, 21.

b) Escribir en clave el siguiente ,mensaje: TODOS SOMOS GENIALES.


84


Sistemas de ecuaciones lineales

En guía anterior hemos trabajado con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y

utilizado un método en particular, el de reducción por sumas o restas, para hallar la matriz

inversa. En esta guía veremos someramente el tratamiento para resolver sistemas de

ecuaciones en general, es decir, con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. Para

ampliar el tema disponen de bibliografía para consultar y de ser necesario no duden en

plantearle al profesor a cargo sus inquietudes sobre lo que han consultado.

Se llama sistema de m ecuaciones con n incógnitas (o simplemente sistema mxn) a todo

sistema de ecuaciones lineales de la forma:

a11.x1+a12.x2+...+a1n.xn=b1 primera ecuación (E1)

(S) a21.x1+a22.x2+...+a2n.xn=b2 segunda ecuación (E2)

........................................

am1.x1+am2.x2+...+amn.xn=bm emésima ecuación (Em)

En el cual:

Los aij son llamados coeficientes y los bi son llamados términos independientes. Todos

ellos son números reales.

Las expresiones x1, x2,..., xn son llamadas incógnitas y los subíndices determinan el

número de ellas.

Cada una de las ecuaciones se simboliza a través de la expresión E1, E2,...., Em.

Por ejemplo:

-x1+7.x2+2.x3 = -9

(S) 2.x1-3.x2+x3 = 1

4.x1+3.x3 = 0

(S) es un sistema 3x3, pues tiene tres ecuaciones de tres incógnitas cada una.


85

Un sistema de ecuaciones mxn se llama homogéneo si todos sus términos independientes son

nulos. En caso contrario se denomina no homogéneo.

Actividad 49

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones determinar cuáles son homogéneos.

-2.x1+x2-3.x3 = 0

a) x1-4.x2+x3 = 1

8.x1-3.x2+9.x3= 4

b) x + y = 0

2.x-3.y= 0

-2.x + 3.y – 8.z = 1

c) 4.x + y – 4.z = 0

x – y + z = 0

3.x + 2.y – z = 0

d) -2.x + y -8.z = 0

x – 4.y – 5.z = 0

x – y + z = 0

Se llama solución general de un sistema de ecuaciones (o simplemente solución) al conjunto

de valores obtenidos para cada una de las incógnitas, que satisface a cada una de las

ecuaciones dadas cuando se reemplazan cada una de las incógnitas por ellos.

Al conjunto de estos valores se lo puede representar como el conjunto ordenado (α1, α2,..., αn)

tal que α1 es el valor que corresponde a x1, α2 es el valor que corresponde a x2 y así

sucesivamente.


86

Ejemplo 1:

a) La terna ordenada 1 1

, ,05 5

es una solución del sistema:

(S1) 2.x+3.y-z=1

-x+y-3.z=0

Pues:

15

5

105

3

5

2

105

1.3

5

1.2

Y también:

005

1

5

1

b) La terna ordenada (-3, 3, 2) es otra solución del sistema S1, pues:

2.(-3)+3.3-2= 1

-6 + 9 – 2 = 1

3 – 2 = 1

Y también:

-(-3)+ 3 -3.2 = 0

3 + 3 – 6 = 0

6 – 6 = 0

c) La terna ordenada (-1, 6, 8) no es solución del sistema S1 , pues:

2.(-1) + 3.6 – 8= 1

-2 + 18 – 8 = 1

8 ≠ 1

Es suficiente que no satisfaga a una de las ecuaciones para afirmar que (-1, 6, 8) no es

solución del sistema.


87

Ejemplo 2:

El par ordenado (0,0) es solución del sistema:

(S2) x + y = 0

-2.x + y = 0

Pues:

0 + 0 = 0

Y también:

-2.0 + 0 = 0

Observemos que el sistema dado es homogéneo y la solución (0,0) es por lo menos una

solución del sistema S2. A esta solución se la llama solución trivial del sistema.

En este ejemplo la solución trivial es la única solución del sistema.

Ejemplo 3:

a) La terna ordenada (0, 0, 0) es solución del sistema:

(S3) x + y – z = 0

3.x + 2.y + z = 0

Pues:

0 + 0 – 0 = 0

Y también:

3.0 + 2.0 – 0 = 0

b) La terna ordenada 9 3

,3,4 4

es otra solución del sistema S3:

Pues:

9 3

3 04 4

Y también:


88

9 33. 2.3 0

4 4

27 36 0

4 4

Por lo tanto estamos en condiciones de afirmar que:

Y hablando de soluciones de un sistema de ecuaciones, podemos clasificarlo según la tenga o

no, y según la cantidad de las mismas que posea.

Entonces decimos que:

Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto

solución.

Sean por ejemplo los sistemas:

(S1) x1 + x2=3 (S2) 2.x1 + 2.x2 = 6

-2.x1 +3.x2=5 x1 + 6.x2 = 14

Un sistema de ecuaciones es compatible si tiene solución. Caso contrario se

dice que es incompatible.

Un sistema será compatible determinado si la solución del mismo es única.

Un sistema será compatible indeterminado si existen infinitas soluciones al

mismo.

Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo admite por lo menos la solución trivial

(0, 0, ..., 0)


89

El par ordenado 4 11

,5 5

es solución de S1 y también de S2, pues:

Reemplazamos en S1:

4 11 153 3

5 5 5

4 11 8 33 252. 3. 5 5 5

5 5 5 5 5

Las igualdades se cumplen.

Reemplazamos en S2:

4 11 8 22 302. 2. 6 6 6

5 5 5 5 5

4 11 4 66 706. 14 14 14

5 5 5 5 5

Las igualdades se cumplen.

Por lo tanto el par 4 11

,5 5

satisface ambos sistemas y decimos que estos son equivalentes.

La equivalencia de sistemas de ecuaciones nos permite resolver sistemas con varias variables a

través de sistemas más sencillos que posean el mismo conjunto solución.

De todos los sistemas equivalentes que podríamos encontrar nos interesan especialmente

aquellos en los cuales a partir de la primera ecuación obtenemos ecuaciones con por lo menos

una incógnita menos que la anterior. Al sistema equivalente así obtenido se lo llama sistema

escalonado.

Por ejemplo:

Los sistemas S1 y S2 dados a continuación son equivalentes:

(S1) 3.x1 + 2.x2 – x3 = -5 (S2) x1 + 2.x2 – 3.x3 = 0

x1 + 2.x2 – 3.x3=0 -4.x2 + 8.x3 = -5

9.x1 – x2 + 2.x3 = -1 -36.x3 = 91


90

Ambos sistemas tienen el mismo conjunto solución. Dicho conjunto es la terna ordenada

1 137 91, ,

36 36 36

.

Además en S2 cada ecuación a partir de la primera tiene una incógnita menos, por lo cual S2 es

un sistema escalonado que resulta más sencillo de resolver que S1.

La solución se obtiene resolviendo el sistema S2 del siguiente modo:

De la tercera ecuación despejamos x3 y obtenemos:

En la segunda ecuación reemplazamos x3 por su valor y obtenemos la siguiente ecuación en la

que la única incógnita es x2 :

-4.x2 + 8. 91

36

= -5

-4.x2 - 728

36= -5

Despejamos x2:

-4.x2 = -5 + 728

36

x2 = 548 1

.36 4

En la primera ecuación reemplazamos a las incógnitas x2 y x3 por sus respectivos valores y

obtenemos una nueva ecuación en la que la única incógnita es x1:

x1 + 2. 137

36

- 3. 91

36

= 0

x1 - 274

36+

273

36= 0

x3 = 91

36

x2 = 137

36


91

x1 - 1

36= 0

Despejamos x1:

¿Cómo puede obtenerse el sistema de ecuaciones S2 a partir del sistema de ecuaciones S1?

Para responder a esta pregunta aceptaremos sin demostrar que:

Las transformaciones detalladas en el cuadro se llaman operaciones elementales entre

ecuaciones de un sistema. A la combinación de las operaciones elementales se le llama

combinación lineal de ecuaciones.

Aplicamos las operaciones para pasar de S1 a S2:

(S1) 3.x1 + 2.x2 – x3 = -5 E1

x1 + 2.x2 – 3.x3=0 E2

9.x1 – x2 + 2.x3 = -1 E3

Para las operaciones que aplicaremos tomaremos como pivote la ecuación que tenga

coeficiente principal igual a 1. Además deberemos observar que en cada ecuación las

incógnitas se encuentren en el mismo orden.

En E2 observamos que el coeficiente de x1 es el número 1. Entonces intercambiamos la

ecuación E1 con la ecuación E2:

x1 = 1

36

Dado un sistema de ecuaciones lineales S se obtiene otro sistema S’, equivalente al

dado, a través de las siguientes transformaciones:

Intercambiar el orden de las ecuaciones.

Cambiar una ecuación por el producto entre ella y un número real distinto

de cero.

Cambiar una ecuación por la suma o resta entre ella y otra de las ecuaciones

del sistema.


92

(S’1) x1 + 2.x2 – 3.x3=0 E’1←E2 (de este modo anotamos la operación elemental hecha)

3.x1 + 2.x2 – x3 = -5 E’2 ←E1

9.x1 – x2 + 2.x3 = -1 (E3)

Tomaremos como pivote la ecuación E’1, por lo tanto esta ecuación no sufrirá cambios a lo

largo del procedimiento:

(S’’1) x1 + 2.x2 – 3.x3 = 0 E’1

-4.x2 + 8. x3 = -5 E’’2 ←E’2 – 3.E’1 (E’’2 resulta ser combinación lineal entre E’2 y E’1)

–19. x2 + 29.x3 = -1 E’3 ← E3 – 9.E’1

Conseguimos reducir en la segunda y tercera ecuación una incógnita (x1). A partir de este

momento quedan fijas las ecuaciones E’1 y E’’2. Para reducir la ecuación E’3 usaremos de pivote

E’’2:

(S’’’1) x1 + 2.x2 – 3.x3 = 0 E’1

-4.x2 + 8. x3 = -5 E’’2

-36.x3 = 91 E’’3 ← 4.E’3 – 19.E’’2

Pero S’’’1 es el sistema S2 dado en el ejemplo. Por lo tanto, a través de las transformaciones

realizadas vemos como se ha pasado del sistema S1 al equivalente S2.

Actividad 50

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando las operaciones elementales

que sean necesarias:

a) 3.x + 2.y – 5.z = 4

2.x – 3.y – 9.z = -5

-2.y + 5.z = 7


93

b) 5.x + 2.y + 3.z + 9.w = -6

x + z – 5.w = 27

5.x + 2.y – 3.z + 2.w = 4

c) x + y – z + w – 5.t = 5

y + z + 9.w – t = 8

-3.x + 2.y – 2.z + w + 2.t = 7


94


Resolución matricial de sistemas de ecuaciones lineales mxn

Recordamos que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas (o simplemente sistema mxn)

es todo sistema de ecuaciones lineales de la forma:

a11.x1+a12.x2+...+a1n.xn=b1 primera ecuación (E1)

(S) a21.x1+a22.x2+...+a2n.xn=b2 segunda ecuación (E2)

........................................

am1.x1+am2.x2+...+amn.xn=bm emésima ecuación (Em)

El sistema puede escribirse como el producto entre una matriz A de orden mxn , formada por

los coeficientes aij, llamada matriz asociada a un sistema de ecuaciones y una matriz X de

orden nx1 formada por las incógnitas, igualado a la matriz B de orden mx1 formada por los

términos independientes, del modo siguiente:

Sean A, X y B las matrices detalladas a continuación:

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

...

...

... ... ... ...

...

...

...

n

n

m m mn

n

m

a a a

a a aA

a a a

x

xX

x

b

bB

b

Escribimos el sistema S:

(S)

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

....

... ... ... ... ... ...

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b


95

Antes de resolver un sistema de ecuaciones matricialmente procederemos a ampliar la matriz

de los coeficientes, agregando como última columna, los elementos de la matriz de los

términos independientes separada por una línea vertical. A la matriz así obtenida la llamamos

matriz ampliada del sistema:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...'

... ... ... ... ...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA

a a a b

El procedimiento para resolver el sistema consiste en obtener una matriz ampliada equivalente

a la original, en la que cada fila contenga un cero más a partir de la primera fila, obteniendo de

este modo una matriz escalonada que permita hallar fácilmente el valor de las incógnitas.

Para obtener matrices equivalentes a partir de una matriz dada, aplicamos las siguientes

operaciones:

Las transformaciones detalladas en el cuadro se llaman operaciones elementales entre filas (o

columnas) de una matriz. A la combinación de las operaciones elementales se le llama

combinación lineal entre filas (o columnas) de la matriz.

Método de Gauss

Este método consiste en obtener una matriz escalonada equivalente a la matriz ampliada

asociada a un sistema de ecuaciones lineales aplicando operaciones elementales sobre una fila

(o columna).

Veamos un ejemplo de aplicación del método de Gauss (no haremos demostración del

mismo):

Sea el sistema:

Intercambiar el orden de las filas (o columnas).

Cambiar una fila (o columna) por el producto entre ella y un número real

distinto de cero.

Cambiar una fila (o columna) por la suma o resta entre ella y otra de las filas

(o columnas) de la matriz.


96

x + y + z = 2

3.x – 2.y – z = 4

-2.x + y + 2.z = 2

Escribimos la matriz asociada al sistema:

1 1 1

3 2 1

2 1 2

La ampliamos con los términos independientes:

1 1 1 2

3 2 1 4

2 1 2 2

Aplicaremos las operaciones elementales sobre filas:

1 1 1 2 F1

3 -2 -1 4 F2

-2 1 2 2 F3

Usaremos como pivote la fila F1 por tener primer elemento igual a 1, esta fila permanecerá igual a través de las transformaciones y buscaremos que el resto de la columna a la cual pertenece este elemento sean ceros:

1 1 1 2 F1

0 -5 -4 -2 F’2←F2-3.F1

0 3 4 6 F’3 ←F3+2.F1

Usaremos de pivote la fila F’2 para obtener un cero más en la columna dos:

1 1 1 2 F1

0 -5 -4 -2 F’2

0 0 8 24 F’’3←5.F’3+3.F’2


97

Hemos obtenido una matriz escalonada cuyo sistema de ecuaciones asociado es:

x + y + z = 2

-5.y – 4.z = -2

8.z = 24

Resolviendo este sistema obtenemos el conjunto solución: (1, -2, 3)

Actividad 51

Resolver el sistema de ecuaciones escalonado anterior y verificar que (1, -2, 3) es solución del

mismo.

Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales expresado matricialmente

Una vez hallada la matriz ampliada escalonada podemos clasificar el sistema teniendo en

cuenta que:

Si en la última fila de la matriz escalonada todos los elementos son ceros excepto el

correspondiente al término independiente, el sistema de ecuaciones es incompatible.

Si en la última fila de la matriz escalonada todos los elementos son ceros incluso el

correspondiente al término independiente, se puede eliminar dicha fila obteniéndose

una matriz con más columnas que filas, por lo cual el sistema tiene más incógnitas que

ecuaciones y resulta ser compatible indeterminado. La solución queda expresada en

función de alguna de las incógnitas dadas.

Si en la última fila de la matriz escalonada los primeros elementos son ceros, menos el

último y el que corresponde al término independiente, el sistema es compatible

determinado.

En el ejemplo desarrollado anteriormente, en la fila 3 obtenemos ceros en la primera y

segunda columna, siendo la tercera y cuarta no nulas, por lo cual el sistema es compatible

determinado.


98

Actividad 52

Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de

Gauss:

x1 + x2 + x3 = 12

a) x1 +3.x2 +5.x3 – x4 = 47

2.x1 + 3.x2 + 4.x3+ x4 = 46

3.x1 + 5.x2 – 7.x3 + x4 = 7

2.x1 - x2 + x3 = -1

b) 2.x1 -2.x2 +2.x3 =-8

3.x1 - 2.x2 + 2.x3= -5

x1 - 2.x2 + 2.x3 = -11

x1 - x2 + x3 – 2.x4= 4

c) 3.x1 +2.x2 +x3 – x4 = 1

4.x1 + x2 + 2.x3- 3. x4 = 5

10.x1 + 5.x2 + 4.x3 – 5. x4 = 7

-4.x1 – 6.x2 – 2.x4 = 5


99


Resolución de sistemas de ecuaciones lineales nxn

En la Guía de trabajo anterior vimos el método de Gauss para resolver cualquier sistema de

ecuaciones mxn. En esta guía veremos que si el sistema de ecuaciones lineales es cuadrado, es

decir tiene tantas ecuaciones como incógnitas, puede resolverse utilizando determinantes

siempre que 0A , siendo A el determinante de la matriz A asociada al sistema.

Regla de Cramer

Dado el sistema de ecuaciones lineales A.X = B, con la matriz asociada A de orden nxn, la

matriz de las incógnitas X de orden nx1 y la matriz de los términos independientes B de orden

mx1, para hallar el valor del elemento xi de la matriz X se procede a calcular el cociente entre

el determinante que surge de reemplazar en la matriz A, la columna que corresponde a dicha

incógnita por la columna de los términos independientes y el determinante de la matriz A.

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m m mn

i

n

n

m m mn

a a b a

a a b a

a a b ax

a a a

a a a

a a a

Este cociente puede escribirse:

ix

i

Ax

A

Para clasificar el sistema de ecuaciones tendremos en cuenta que:

Si el determinante de A es distinto de cero el sistema es compatible.

Si el determinante de A es cero y el determinante de xi es distinto de cero el sistema es

incompatible.


100

Si el determinante de A y el de xi son iguales a cero el sistema es compatible

indeterminado.

Veamos un ejemplo sencillo:

Sea el sistema A . X = B con:

3 2

1 7

3

8

A

xX

y

B

Calculamos en primer lugar cada uno de los determinantes, el de la matriz A y el de cada una

de las incógnitas:

3 23.7 ( 1).2 21 2 23

1 7A

3 23.7 2.8 21 16 37

8 7

3 33.8 ( 3).( 1) 24 3 21

1 8

x

y

A

A

Por ser 0A el sistema es compatible. Armamos entonces el cociente que nos permitirá

hallar el valor para cada una de las incógnitas:

xAx

A

37

23x

yAy

A

21

23y

Entonces la solución del sistema es el par ordenado 37 21

,23 23

.


101

Actividad 53

Resolver utilizando la Regla de Cramer y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales:

a) -3.x + y + z = -6

x – 3.y + 2.z = 7

2.x + y – z = 2

b) -3.x1 + x2 +x3 – x4 = 0

x1 – 3.x3 + 2.x4 = -6

2.x1 + x2 – x3 = 3

x2 – x4 = 3

c) x1 + x2 – 2.x3 = 4

2.x1 – x3 = 2

3.x1 + x2 – 3.x3 = 5

Actividad 54

Resolver los sistemas de ecuaciones de la actividad 48 de la Guía de trabajo n° 9 utilizando el

método de Gauss y la Regla de Cramer y clasificarlos.

Actividad 55

Resolver los siguientes problemas planteando sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver

los sistemas podrán aplicar el método de Gauss o la Regla de Cramer.

1) Un fabricante elabora dos productos, A y B. Por cada una de las unidades de A que se

vendan se obtiene una utilidad de $8, y de $11 por cada unidad vendida de B. Por

experiencias pasadas, se sabe que puede venderse 25% más de A que de B. Para el


102

siguiente año el fabricante desea obtener utilidades totales de $42000. ¿Cuántas

unidades de cada producto deben vender?

2) Un fabricante elabora tres productos, A, B y C. Las utilidades por cada unidad que se

vende de A, B y de C son de $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de

$17000 por año y los costos de fabricación de cada unidad de A, B y C son $4, $5 y $7

respectivamente. Para el siguiente año, deberá fabricarse y venderse un total de

11000 de los tres productos y se debe obtener una utilidad total de $25000. Si los

costos totales deben ser de $80000, ¿cuántas unidades de cada uno de los productos

se tienen que fabricar el año siguiente?

3) Una empresa tiene plantas para fabricar escritorios en la costa este y oeste de un

cierto país. En su planta de la costa oriental, los costos fijos son de $16000 anuales y

los costos de fabricación de cada escritorio son de $90. En la planta de la costa

occidental, los costos fijos son de $20000 anuales, y los costos de fabricación de cada

escritorio, de $80. Para el siguiente año la compañía desea fabricar un total de 800

escritorios. Determinar las órdenes de producción de cada planta para el año

siguiente, de manera que los costos totales de cada fábrica sean iguales.

4) A) una fábrica de automóviles produce dos modelos. El primero requiere una hora de

mano de obra para la pintura y media hora de mano de obra para el pulido; el segundo

requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante

cada una de las horas que trabaja la línea de ensamble, existen 100 horas de mano

disponibles para pintura, y 80horas, para pulido. ¿Qué cantidad de cada modelo se

puede fabricar cada hora si se utilizan todas las horas disponibles de mano de obra?

B) supóngase que cada uno de los automóviles del primer tipo requiere de 10

dispositivos y 14 mecanismos, y que cada automóvil del segundo tipo requiere 7

dispositivos y 16 mecanismos. La fábrica puede obtener 800 dispositivos y 1430

mecanismos por hora. ¿Cuántos automóviles de cada modelo se pueden fabricar

utilizando todas las partes disponibles?

Respuestas a los problemas:

1) A= 2500 B= 2000

2) A= 2000 B= 4000 C= 5000

3) E= 400 O= 400

b) a) A= 40 B= 60 b) A= 45 B= 50

modulo matematica iii-software

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