modulo matematica 1
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representa el contenido de la planificacion de matematica 1TRANSCRIPT
Matemática I
Docente
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS Y MARKETING
Msc. Roberth Patricio Pérez Quiroz
Tulcán – Ecuador
SEPTIEMBRE 2010 – FEBRERO 2011
ÍNDICE
I INTRODUCCIÓN
II OBJETIVO GENERAL
III NODO PROBLEMATIZADOR
III PRODUCTO FINAL
IV COMPETENCIAS
a. General
b. Global
c. Específica
V CONTENIDO
UNIDAD Nº I
NÚMEROS REALES.
Conjunto de números reales, términos y propiedades de las
operaciones.
Fracciones y exponentes.
Operaciones con expresiones algebraicas.
Descomposición de factoriales.
Funciones algebraicas.
Aplicaciones.
UNIDAD Nº II
ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.
Propiedades
Ecuaciones lineales con una variable.
Ecuaciones cuadráticas con una variable.
Aplicaciones.
UNIDAD Nº III
DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRÁTICAS.
Conjunto e intervalos
Desigualdades lineales.
Desigualdades cuadráticas.
Aplicaciones
UNIDAD Nº IV
FUNCIONES Y GRÁFICAS.
Definiciones básicas.
Coordinadas rectangulares
Funciones lineales y cuadráticas.
Dominios y rangos.
Operación y combinación de funciones.
Traslación de gráficas.
Relaciones implícitas y funciones inversas.
Punto de equilibrio de aplicaciones.
UNIDAD Nº V
FUNCIÓN LINEAL Y SISTEMA DE ECUACIONES.
Estudio de la línea recta.
Ecuaciones de la línea recta.
Líneas paralelas y perpendiculares.
Sistema de ecuaciones lineales.
Análisis de aplicación administrativo.
UNIDAD Nº VI
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA.
Función exponencial, aplicaciones.
Función logarítmica, aplicaciones.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Aplicaciones.
VII GUÍA DE APRENDIZAJE
ELEMENTOS DE COMPETENCIA 1
Nivel de logro Teórico Básico (comprensión)
ELEMENTO DE COMPETENCIA 2
Nivel de logro Teórico Superior (Análisis Crítico)
ELEMENTO DE COMPETENCIA 3
Nivel de logro Teórico Práctico Aceptable ( Mínimo acreditable)
ELEMENTO DE COMPETENCIA 4
Nivel de logro Teórico Práctico Avanzado ( Acreditable)
ELEMENTO DE COMPETENCIAS 5
Nivel de logro Teórico Práctico Innovador (Acreditable)
VIII BIBLIOGRAFÍA
I. INTRODUCCIÓN
La matemática es una de aquellas materias básicas que nos permite
generalizar y particularizar fenómenos técnicos, sociales y económicos.
Encaminándonos a ser concretos y facilitándonos la cuantificación de lo que
observamos y hacemos en nuestras actividades diarias; sin la matemática, la
retórica sería la forma de vivir, el denominador común, pero sin oportunidades
de producción y evolución.
En los aspectos tangibles, cuando no se puede sostener con números lo que
aseguramos al decir, es porque el conocimiento de lo que decimos es escaso o
insuficiente. El manejo racional de los números facilita la toma de decisiones al
desarrollar la capacidad de expresión concreta basada en logros medibles,
minimizando el riesgo del fracaso. La matemática le permite actuar con
conocimiento, ética y amor a hacer bien las cosas. Sólo imaginémonos vivir en
un mundo abstracto, sin definiciones, sin rumbo, sin objetivos, sin esfuerzo, sin
disciplina, sin objetivos de excelencia, sería un mundo indiferente y poco
equilibrado.
Todo logro que nos llene de satisfacción interior es porque se ha obtenido con
esfuerzo, porque realmente se ha querido, porque aunque difícil, se ha podido
vencer la impotencia, el cansancio, la distancia y la mediocridad. La
matemática requiere constancia en el propósito, como todo en la vida, pero con
persistencia y aprovechando de nuestras capacidades, lograremos aprenderla
significativamente.
II. OBJETIVO GENERAL
Experimentar, Reflexionar, Conceptualizar y Aplicar las bases del álgebra
mediante el manejo sistemático y razonado de operaciones numéricas, para
asimilar mejor los conocimientos de asignaturas afines en cursos superiores
para facilitar su influencia en las actividades cotidianas y las relacionadas con
la formación profesional para el diseño, gestión y evaluación de los procesos
educativos.
III. NODO PROBLEMATIZADOR
Deficiente aplicación del conocimiento de las Matemáticas como herramienta
para apoyar la toma de decisiones en el manejo de situaciones administrativas
o Financieras.
IV. PRODUCTO FINAL
Lograr que el estudiante conozca y aprenda a utilizar las matemáticas,
reflexionando sobre las ventajas de encontrar soluciones algebraicas
elementales a fin de conceptualizar y profundizar las distintas aplicaciones de
orden administrativas.
V. COMPETENCIAS
a. GÉNERICA
Analizar, resolver problemas e interpretar la información que aparece en el
Lenguaje matemático utilizando correctamente algoritmos matemáticos con
solvencia y seguridad.
b. GLOBAL
Diseñar y desarrollar proyectos empresariales, aplicando métodos de
investigación con soporte científico y tecnológico, para ser aplicados en los
campos administrativos, financieros, económicos y del marketing con eficiencia,
eficacia, legalidad y ética.
c. ESPECÍFICA
Conocer y aplicar las bases algebraicas y aritméticas como herramienta para la
solución de problemas que conllevan su uso dentro de las distintas
aplicaciones en el ámbito financiero y administrativo.
V. CONTENIDOS
COMPETENCIA 1º UNIDAD
Utilización de números reales que nos permitan desarrollar
operaciones algebraicas con exactitud y el manejo de un
buen fundamento teórico.
1era Unidad
Operaciones con números reales
Conjunto de los números reales, términos y
propiedades de las operaciones
Fracciones y exponentes
Operaciones con expresiones algebraicas
Descomposición factorial y fracciones algebraicas
Aplicaciones
COMPETENCIA 2º UNIDAD
Conocimiento y aplicación correcta de ecuaciones lineales
y cuadráticas que nos permitan tener aprendizajes
significativos mediante su resolución.
2da Unidad
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Propiedades
Ecuaciones lineales con una variable
Ecuaciones cuadráticas con una variable
Aplicaciones
COMPETENCIA 3º UNIDAD
Conocimiento y aplicación correcta de desigualdades
lineales y cuadráticas que nos permitan tener aprendizajes
significativos mediante su resolución de problemas
matemáticos.
Desigualdades lineales y cuadráticas
Conjuntos e intervalos
Desigualdades lineales
Desigualdades cuadráticas
Aplicaciones
COMPETENCIA 4º UNIDAD
Conocimiento y aplicación correcta de funciones y graficas
que nos permitan tener aprendizajes significativos mediante
la creación de graficas que nos servirán para realizar tabla
de valores.
Funciones y graficas
Definiciones generales
Coordenadas
Rangos y dominios
Funciones lineales y cuadráticas
Combinaciones de funciones
Traslación de gráficas
Sistema de gráficas
Relaciones implícitas y funciones inversas
NNúúmmeerrooss rreeaalleess ((RR))
Es un conjunto o colección de todos los grupos numéricos conocidos que
tienen por objetivo hacer operaciones y manipular métodos en el manejo de
las matemáticas.
PPrrooppiieeddaaddeess ddee llooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess
11.. PPrrooppiieeddaadd ttrraannssiittiivvaa ddee llaa iigguuaallddaadd
22.. PPrrooppiieeddaadd ccoonnmmuuttaattiivvaa ((ssuummaa yy mmuullttiipplliiccaacciióónn))
33.. PPrrooppiieeddaadd AAssoocciiaattiivvaa.. ((SSuummaa yy MMuullttiipplliiccaacciióónn))
LLaa aassoocciiaacciióónn nnooss ddaa eell mmiissmmoo rreessuullttaaddoo..
((++))
((**)) aa.. ((bb..cc)) == ((aa..bb))..cc == ((aa..bb..cc))
44.. PPrrooppiieeddaadd IInnvveerrssaa
IInnvveerrssoo AAddiittiivvoo == ((--aa)) == 00
IInnvveerrssoo MMuullttiipplliiccaattiivvoo == aa..aa--11
== 11
55.. PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa
aa..((bb++cc++dd)) == aa..bb ++ aa..cc ++ aa..dd
EEjjeemmppllooss::
((yy -- 33zz ++ 22ww)) xx
((--33zz)) ++ xx ((22ww)) PPrrooppiieeddaadd ddiissttrriibbuuttiivvaa
ZZ ZZ ZZ--
PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa
++ 22ww}} PPrrooppiieeddaadd AAllggeebbrraaiiccaa
PPrrooppiieeddaadd CCoonnmmuuttaattiivvaa
1122xx ++ 66yy ++ 2244
33.. ((22yy)) ++ 33.. ((88)) PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa
++ ((33..22)) yy ++ ((33..88)) PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa
PPrrooppiieeddaadd AAllggeebbrraaiiccaa..
zz qq
DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn
DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn
DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn
PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa
DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn
ZZ QQ
-- DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn
PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa
OOppeerraacciióónn AAllggeebbrraaiiccaa
PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa
++ ((55..33))..aa PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa
OOppeerraacciioonneess AAllggeebbrraaiiccaass
VVEERRDDAADDEERROO YY FFAALLSSOO
--33 eess uunn nnuummeerroo nnaattuurraall ((FF)) llooss nnúúmmeerrooss nnaattuurraalleess ssoonn {{11,, 22,,33,,……..αα}}
TTooddoo eenntteerroo eess ppoossiittiivvoo oo nneeggaattiivvoo ((VV))
NUMEROS REALES (R)
NATURALES (N)
1,2,3....α
2-5
ENTEROS (Z)
Z- 0 Z+
RACIONALES (Q)
a/b , b≠0
IRRACIONALES (I)
√ / a/b; b≠0
decimales
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
REALES
PROPIEDAD TRANSITIVA DE LA IGUALDAD
Tiene una igualdad
a=b y b=c
PROPIEDAD CONMUTATIVA
El orden no altera resultados
a+b=b+a a.b=b.a
PROPIEDAD ASOCIATIVA
La asociación nos da un mismo
resultado
a+c+b= (a+b)+c
a.b.c= (a.b).c
PROPIEDAD INVERSA
Cambiar, alterar, opuesto
a.a-1 = 1 a+(-a) = 0
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Dividir , repartir dar una cosa una
colocación
a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d
OOppeerraacciioonneess CCoonn NNúúmmeerrooss RReeaalleess
LLaass pprriinncciippaalleess pprrooppiieeddaaddeess ddee llooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess ppeerrmmiitteenn uunn bbuueenn mmaanneejjoo
ddee llaass ooppeerraacciioonneess eennttrree eellllooss ssuuppoonniieennddoo ssee tteennggaa eenn ccuueennttaa eell ccoonnoocciimmiieennttoo
pprreevviioo ddee ooppeerraacciioonneess bbáássiiccaass ddee ssuummaa yy mmuullttiipplliiccaacciióónn.. AAssoocciiaaddoo aa eessttaass
pprrooppiieeddaaddeess eexxiisstteenn vvaarriiaass lleeyyeess ffuunnddaammeennttaalleess qquuee ppeerrmmiitteenn eenntteennddeerr eell
ccoonncceeppttoo aaddiicciioonnaall ddee uunnaa ppootteenncciiaa yy uunnaa rraaddiiccaacciióónn..
EEnnttrree llaass mmááss pprriinncciippaalleess tteenneemmooss::
11)) ** ,, ++
22)) PPrrooppiieeddaaddeess--lleeyyeess
33)) EExxppoonneennttee
11//nn vveecceess
LLeeyyeess PPootteenncciiaacciióónn..
11))
22))
33))
44))
55))
66))
77))
88))
LLeeyyeess ddee llooss RRaaddiiccaalleess
11))
22))
33))
44))
1
8
7
6
5
4
3
2
1
4
3
2
OOppeerraacciioonneess ccoonn EExxpprreessiioonneess AAllggeebbrraaiiccaass
CCuuaannddoo ssee ccoommbbiinnaann nnúúmmeerrooss rreepprreesseennttaaddooss ppoorr ssíímmbboollooss mmeeddiiaannttee
ooppeerraacciioonneess aarriittmmééttiiccaass aa llaa eexxpprreessiióónn rreessuullttaannttee ssee llaa llllaammaa eexxpprreessiióónn
aallggeebbrraaiiccaa..
PPaarrttee eexxppoonneennttee
SSiiggnnoo ±± PPaarrttee lliitteerraall
PPaarrttee nnuummeerraall
aa)) MMOONNOOMMIIOOSS..-- SSoonn aaqquueellllooss qquuee ssee ffoorrmmaann ppoorr uunnaa ssoollaa eexxpprreessiióónn
aallggeebbrraaiiccaa..
bb)) PPOOLLIINNOOMMIIOOSS..-- ssoonn aaqquueellllooss qquuee ssee ffoorrmmaann ppoorr ddooss oo mmááss eexxpprreessiioonneess
aallggeebbrraaiiccaass..
;;
OOppeerraacciioonneess AAllggeebbrraaiiccaass
aa)) TTéérrmmiinnooss sseemmeejjaanntteess ddee llaass ooppeerraacciioonneess ((++,, **))
bb)) SSíímmbboollooss ddee aaggrruuppaacciióónn {{(())}}
cc)) lleeyyeess ddee ssiiggnnooss
dd)) pprroodduuccttooss eessppeecciiaalleess
SSiimmpplliiffiiqquuee::
++ ((--22++66)) xx ++ ((11--33))
33 }}}}
33
+3
DIVIDIR
- + 6 +6X+4
7 R=
TALLER EN CLASE
11)
( ) ( ) ( ) ( )
-6)
29) √
√
2y + 9
28) (√ ) √
(√ ) √
38) {(2z+1) (2z-1)}( )
{((2.2) (z. z)) } + (2(-1)z+((2-1)z))+((1-(-1))} ( )
}
54) ( )
2x + 4
R= 2X + 4 + 5/ (2X-1)
Operaciones con
Expresiones Algebraicas
MONOMIOS
Son aquellos que se forman por una
sola expresión algebraica.
0,05 x2y3
Son aquellos que se forman por dos o más expresiones
algebraicas.
x5+3x3-5x2+8
POLINOMIOS
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Es un proceso aritmético inverso a operaciones algebraicas y que proviene de
factores o productos especiales dentro del conjunto de números reales.
a) FACTOR COMÚN
z)
b) DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a+ )(a- )
(a+b)(a-b)
EJEMPLOS:
√
(√
) (√
)
c) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
d) TRINOMIO 1ERA FORMA
e) TRINOMIO 2DA FORMA
EJEMPLOS:
(X+3) (X+2)
2
f) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
√
(
) (
)
FRACCIONES ALGEBRAICAS
+27
54x+27
Por medio del principio fundamental de fracciones podríamos realizar
operaciones básicas de suma y multiplicación y luego realizar un proceso de
simplificación, dando origen a una fracción resultante que será equivalente a la
original. Ciertas expresiones podemos encontrar polinomios con raíces; para
ello utilizaremos la racionalización a fin de convertir a una diferencia de
cuadrados y eliminar las raíces del denominador.
Finalmente en la adición de fracciones es necesario encontrar un mínimo
común denominador (m.c.d) con sus exponentes de mayor valor entre las
expresiones resultantes. Ejemplos:
(
)
(
)
((
(
√
√ √√ √
√ √ √
√ √
(3 √ √
3 √ √
3
[ ]
[ ]
75(15+uv)+ (15+uv)
√
√
√
√
√ √
√
√
FRACCIONES Y DESIGUALDADES LINEALES
Ecuaciones lineales: una ecuación es una afirmación de que dos expresiones
son iguales, resolver, una ecuación significa encontrar su solución es decir su
raíz además una ecuación se llama identidad cuando todos los números del
dominio satisfacen a la ecuación propuesta.
Existen diferentes clases de ecuaciones
a) Ecuación lineal / entera
2x +25 = 6x -42
b) Ecuación fraccionaria / racional
c) Ecuación irracional
√ √
d) Ecuación literal
3ª +8x -25c =√
D= vo.6 + ½ a t2; a
e) Ecuación decimal
0.5x + 2.5 = 6.8
f) Ecuación de orden superior
X2 +6x -8 =0
X3 –x = 10
X 3/2 +5x 1/2 -8 =0
ECUACIÓN LINEAL
8x +16 -5x = 2x +3
(8-5) x+16=2x+3
3x+16=2x+3 Prop. Asociativa
3x+16+(2x)=2x+3+(-2x) Operac. Algebraica
X+16 = 3 Prop. Inverso Aditivo
X+16 +(-16)=3+(16) Oper. Algebraica
X=-13// Prop. del Inverso A.
8x +16-8x=2x+3
8x-5x-2x=3-16
8x-7x=3-16
X=-13
PASOS
1. Identificación de la incógnita o variables
2. Separamos la parte literal de la numérica
3. Reducción de términos semejantes
(26-1)2= 462+1 * 4.5x-1.5x = 0.3 (2-x)
462-46+1=462+1 4.5x -1.5x = 0.6 -0.3 x
-46+1=1 30x +3x =6
-16=0 33x =6
6=0 x=
X= 11//
3x+0.3x =0.6 *
-
=
3.3x = 0.6 D.C = (x+5)(x-2)
X=
3(x-2)-1(x+5)=7
X= 0.18 3x-6-x-5=7
X=
X=4//
√ √ √
(√ √ √
4x+13-2 √
4x+10=2√
(2x+5)= √
(2x+5)2= (√ )2
4x2 +20x+25 =4x2+21x+26
-1=x
-1=x
X= -1
S=
[ ]
d
d=
C2 =a2 +b2 R=
C2-a2=b2 R.(R1+R2)=R1.R2
B=√ (R.R1)+(R1.R2)= R1.R2
RR1=R1.R2-R1.R2
RR1=R=(R1-R)
R2
C2 6a(x+3a)-1/2 – (x+3a)1/2 = x1/2
√ – √ √ D.C √
6a –(x+3a)= √
6a –x-3a =√
(3a-x)2 = (√ )2
9a2 -6ax +x2= x2+3ax
9a2= 3ax+6ax
9a2=9ax
X=a//
–
D.C x(3x-1)
X(2-3x+a)= (3x-1)(1-a-x)
2X-3x2+ax=3x-3ax-3x2-1+a+x
2x+ax-4x+3ax=-1+a
1-a=2x-4ax
1-a=x(2-4a)
X=
//
PARA ESTE TIPO DE EJERCICIOS Y POR LA FACILIDAD QUE ELLA NOS
PRESTA, UTILIZAREMOS LA ESTRATEGIA DE LA INVESTIGACION EN EL
AULA.
TEMA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES.
OBJETIVO: RESOLVER DE UNA MANERA ANALITICA UN PROBLEMA DE
ECUACION LINEAL.
ACTIVIDADES A REALIZARSE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Un almacén anuncia que por liquidación el precio de todas sus
mercaderías fueron rebajadas en un 30%, si el precio de un artículo es
de 48$ Cuál es el precio antes de la liquidación
a) Identificación de la incógnita x-0.3x=48
b) Plantear el problema 0.7x=48
c) Resolución del ejercicio x=48/0.7
Precio anterior x x=68,57//
Descuento 30% x
Una Mujer de Empresa planea invertir un total de 24000$ parte de él se
pondrá en un certificado de ahorros que paga el 9% de interés simple y
el resto en un fondo de inversión que produce el 12% de interés simple
cuanto debe invertir en cada una para obtener una ganancia de 10%
sobre su dinero.
9% 12%
8000
Ahorros Fondos de Inversión
24000
X
16000
24000-x
0.09x+0.12(24000-x)= 0.10(24000)
0.09x+2880 -0.12x = 2400
0.09x-0.12x=2400-2880
-0.03x=-480
X=
X= 16000//
Halle cuantos litros de alcohol debe añadirse a 15 litros de solución que
contiene 20% de alcohol para que la mescla resultante sea del 30% de
alcohol.
Alcohol puro = x 15(0.2) +x= 0.3(15+x)
Solución = 15 litros 3+x=4.5+03x
Alcohol= 20% x-0.03x= 4.5-3
30%= de alcohol 0.7x= 1.5
X=
X = 2.14
2 autos de línea salen simultáneamente desde 2 ciudades Ay B que
distar entre sí 600 kl, si el que sale de A lleva una velocidad de 56 Km/h
y el otro de 64Km/h después de cuánto tiempo ya que distancia de A se
encontraron.
1) Distancia 2) Tiempo
61=62
64x=56(600-x)
//
64x= 33.600-56x
64x +56x =33.600
120x=33.600
X=
X=280
Un trabajador realiza una obra en 8 días, un trabajador contratado puede
hacerlo en 12 días con maquinaria pequeña en que tiempo realiza la
obra conjuntamente.
A 8 días 1/8 3x+2x=24
B 12 días 1/12 5x=24
A y B x
x=
DC 24x x= 4,8
Usted tiene 3 inversiones de las que recibe un ingreso anual de 2780$,
una inversión de 7000 aun interés anual del 8%, otra inversión de
10000$ a una tasa del 9% ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe
sobre la tercera inversión de 12000$?
7000 8%
2780 10000 9%
12000 x 0.11(12000)= 1320//
278000.08 (7000) +0.09 (10000) +x(12000)
2780=560 +900 +12000x
2780-560 -900=12000x
1320= 12000x
X =
X = 11%
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación es cuadrática en la variable x y se escribe de la forma a +bx+c
en donde A,B,C pertenecen a los números reales y a va hacer diferente de cero
(a =/= 0 ).
En ecuaciones de orden superior será conveniente reducirlas a expresiones
cuadráticas, en algunas ocasiones con la ayuda de auxiliares (U, V,W ).
Existen ecuaciones:
Ecuaciones cuadráticas enteras
5 +8x-16=0
Ecuaciones fraccionarias
=
Ecuaciones racionales
=
Ecuaciones cuadráticas irracionales
√ +√ = 8
Ecuaciones incompletas
-25=0
6 -2x = 0
Su proceso de resolución se da a través de:
a) Por factorización
b) Por fórmula general
c) Por completación a un trinomio
d) Discriminación mayor que cero o raíz entera
e) Discriminación menor que cero o raíz irracional / imaginaria.
f) Discriminante igual a cero
Ejercicios de aplicación:
1) 2 -x = 3 + x
3 -2 + x+x=0
+2x = 0
X = 0
X+2=0
X= -2
2) – 25 = 0
−5) ( x+5) = 0
−5 = 0
X+5 = 0
X= -5
3)
+
= 0
= 4
−6x+9+x+6x+9 = 4 (x-9)
−6x+9+x+6x+9 = 4x-36
−x+6x-x-6x
2x-54 = 0
x-27 = 0
x = √
4) 2√ - √ = √
(2√ - √ ) = (√
4x+8-4√ + 3x-5 = x-3
4x+8+3x-5-x+3 = 4√
6x+6 = 4√
(3x+3) = (2√
9x+18x+9 = 12x+4x-40
9+40= 12x+4x-9x-18x
49 = 3x-14x
3x-1 4x-49 = 0
(x-7) (3x+7) = 0
X = 0
3x+7 = 0
EJERCICIOS:
+
=
DC: (X+2) (X-2) (X+1)
(X-2) (X+1)+(X+2) (X+1) (X-1) = (X+2) (X-2) (2X+1)
(X-2) (X+2X+1) + (X+2)(X-1) = (X-4)(2X+1)
X+2X+X-2X-4X-2+X-X+2X-2 = 2X+X-8X-4
X+4X = 0
X(X+4) = 0
X = 0
X+4 = 0
X = -4
2) (
+x) (
-
) = 6x+7
(
) (
) = 6x+7
(
) (
) = 6x+7
X(1+a) (
) = 6x+7
= 6x+7
x-6x-7 = 0
(x-7) (x+1) = 0
X = 7
X = -1
TEMA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO.
OBJETIVO: RESOLVER DE UNA MANERA ANALITICA UN PROBLEMA DE
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
ACTIVIDADES A REALIZARSE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se construirá una plataforma rectangular de observación dominara un valle
sus dimensiones serán de 6 x 12m.
Un convertido rectangular de cuarenta metros cuadrados de área estará en el
centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura
uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de este pasillo?
40 = (12-2x) (6-2x)
40 = 72 -36x+4x
4x+36x+32 = 0
x-5x+8 = 0
(x-8) (x-1) = 0
x-8 o x=1
Un cobertizo rectangular de cuarenta metros cuadrados de área estará en el
centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura
uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de este pasillo?
40 = (12-2x) (6-2x)
40 = 72 -36x+4x
4x+36x+32 = 0
x-5x+8 = 0
(x-8) (x-1) = 0
x-8 o x=1
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
Un valor absoluto para cualquier número real está definido por:
/a/ = a; a = 0
/a/ = a SSI SI a = x
Ejemplo:
/5x-3/ = 8
5x-3=8
5x= 11
X = 11/5
NOTA: Cuando un valor absoluto es igual a un elemento definido no existe
solución, puesto que el valor absoluto de un número real es positivo.
EJEMPLO:
/2X+81 = -3 ) = NO TIENE SOLUCIÓN
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DESIGUALDADES: Son expresiones algebraicas que se relacionan con
valores de desigualdad (mayor menor, menor igual, mayor igual) que están
relacionados con los números reales que tienen infinitas raíces.
Una solución de una inecuación es cualquier número que cuando se lo
sustituye por la variable hace que el enunciado sea verdadero.
EJEMPLOS:
Inecuación entera
2x+6 4
Inecuación fraccionaria
+
5y +
Inecuación irracional
√ 6x+4
Inecuación de valor absoluto
/18x+6/ 4
PROCESO ALGEBRAICO
a) 2x+6 4
2x+6+ (-6) 4+ (-6)
2x -2
2x.
-2. (
)
x -1
1) 2x+6=4
2x=4-6
2x= -2
X=
X=-1
b) Proceso gráfico
2(x)+6 4
206 4 (v)
6,4 4 (v)
c) Proceso de intervalos:
S=)-1, (
INTERVALOS
Definición: El conjunto de todos los números comprendidos entre 2 números
dados A Y B se denomina un intervalo y estos valores A YB son los extremos
de un intervalo.
La notación de intervalos se da en la forma:
Abiertas
Cerradas
Semiabiertas
INTERVALOS INFINITOS
Son aquellos que tienen soluciones infinitas y dados de la siguiente manera:
Intervalo
Notación
nombre
gráfico
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Un valor absoluto para cualquier número real está definido por:
| |
| |
| |
Nota: Cuando un valor absoluto es igual a un elemento negativo no existe
solución, puesto que el valor absoluto de un número real es positivo.
| |
|
|
|
|
|
|
| |
| |
a b c a b c
√
√
√
√
DESIGUALDADES CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son expresiones algebraicas que se relacionen con valores de desigualdad (<,
>, =) y que están relacionadas con los números reales y que tienen infinitas
soluciones o raíces.
Una solución de una inecuación es cualquier número que cuando se lo
sustituye por la variable hace que el enunciado sea verdadero.
Ejemplos:
Inecuación entera
Inecuación fraccionaria (Q)
Inecuación irracional √
Inecuación valor absoluto | |
(
)
INTERVALOS
Definición El conjunto de todos los números comprendidas entre dos números
dados ay b se denominan un intervalo y estos valores (a, b) son los extremos
del intervalo.
La notación del intervalo se da (abiertos, cerrados, semiabiertos)
Intervalo Notación Nombre Grafico
[a, b] I. Cerrada a b
]a, b[ I. Abierta a b
[a, b[ I. Semiabierta a b
]a, b] I. Semiabierta
Inecuaciones abiertas > ] [
>
Inecuaciones Cerradas
INTERVALO INFINITO
Aquellos que tienen soluciones infinitas y dados de la siguiente manera:
Intervalo Notación Nombre Grafico
[a, ] I. infinita Cerrada D. a
]a, [ I. infinita Abierta D. a
[ , a [ I. Inf. Semiabierta Izq. a
] ] I. Inf. Semiabierta Izq. a
OPERACIONES CON INTERVALOS
Dados los intervalos son conjuntos de números entre ellos existen operaciones
dentro de la teoría de conjuntos (la unión, la intersección, la diferencia y el
complemento).
a) ] ] [ [
-3 -1 0 1 4
S = ]-3, 1[ ] 0, 5]
b) ] [ ] ]
-3 0 4 5
S = ]-3, 5]
c) ] ] [ [
0 z
S= ] [
d) ] [ ] ]
-4 -2 0 2 3
S=]-2, 2[
e) ] [ ] [ ] [
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
S=]-1, 2]
DESIGUALDADES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Inecuación valor absoluto
Inecuación irracional Inecuación
entera
Inecuación fraccionaria (Q)
Son expresiones algebraicas que se relacionen con valores de desigualdad (<, >, =) y que
están relacionadas con los números reales y que tienen infinitas soluciones o raíces.
Funciones Especiales
Son aquellas que tienen formas y representaciones especiales, entre las más
importantes tenemos:
a) Función compuesta.- aquella que en sus términos tiene un elemento
constante en el elemento de los números reales.
√
b) Función polinómica.- aquella que tiene una clase más amplia con
expresiones algebraicas y cuyo dominio son todos los números reales.
c) Función Racional.- Aquella función donde el numerador y
denominador tienen valores en funciones polinomiales. Toda función
(polinomiales) racional es polinómica.
d) Función Compuesta.- aquellas que están formadas por más de una
expresión polinómica o algebraica, en cuyos términos existen varios
dominios.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Aquella función que puede considerase como una función definida por
parte.
|x|= x; x>=0
-x; <0
f(2) = |x|
=|2|=2
(
) | |
|
|
Dentro de esta función se hace necesario el uso de la notación factorial;
factorial representa al producto de los n primeros enteros positivos.
Factorial (!)
Nota: el elemento cero en factorial es igual a uno (0!=1)
OPERACIONES CON FUNCIONES
Existen diferentes formas de combinar funciones al fin de crear nueva
función, estas funciones están definidas de las siguientes formas.
Combinación de Funciones.- sean f (x) y g (x)
a) (f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
b) (f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x )
c) (f . x ) ( x ) = f ( x ) . g ( x )
d) (
)
Ley de composición interna.
e) ( f o g )( x ) = f(g(x))
f) ( g o f )( x ) = g(f(x))
1)
a)
b)
c)
d) (
)
e)
f) (g o f)(x) = ( )
2)
√
a)
√
2
1 2
1 1
x
x
=2
2
1 ( 1) 2
1
x x
x
b)
2
2
2
1 2
1 1
1 ( 1) 2
1
x
x
x x
x
c)
2
2
1 2*
1 1
2
1
x
x
x
x
d) (
)
2
2
2
1
1
2
1 2*
( 1) 2 2
2
( 1)( 2)
x
x
x
x x x
x
x x
e)
2
( 2)
1
( 2) 1
1
2 1
1
3
f x
x
x
x
f) (g o f)(x) = ( )
2
2
2
2
2
2
1( )
1
1( ) 2
1
1 2 2(
1
2 3(
2
gx
x
x
x
x
x
GRAFICAS DE FUNCIONES
Graficar ecuaciones y funciones es determinar intersecciones determinando
dominios y rangos de una función a partir de una grafica, la misma que se la
realizara en función de un sistema de coordenadas rectangulares, el mismo
que permite especificar y localizar puntos en el plano y representar de manera
geométrica a dos variables ( x , y ).
El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas se denomina plano x o
plano de coordenadas rectangulares, los ejes coordenados dividen al plano en
regiones llamadas cuadrantes en los cuales geométricamente los representa a
un par ordenado.
Principales Graficas de Funciones.
Un enfoque general para graficar se basa en el uso del punto y simetrías que
existen, no necesarios en muchos casos, sin embargo algunas funciones
requieren de graficas base útiles memorísticamente visuales y que cumplen los
propósitos establecidos.
Las principales graficas son:
a) ( )f x x b) 2( )f x x c) 3( )f x x
2 2
2 2 2
d) ( )f x x e) ( ) | |f x x f)1
( )f xx
2 2
2 2
Función Transformar
1) y = f ( x ) + c Desplazar c unidad arriba
2) y = f ( x ) - c Desplazar c unidad abajo
3) y = f ( x + c ) Desplazar c unidad Izquierda
4) y = f ( x - c ) desplazar c unidad derecha
5) y = - f ( x ) Reflejar con respecto eje x
6) y = f - ( x ) reflejar con respecto eje y
7) y = c f ( x )
c ≥ 1 Alargar vertical dejando eje x por el factor c
c ≤ 1 Comprimir vertical hacia eje x para el factor c
3( ) ( 1)f x x 1
( )2
f x x
1( )
2f x
x
2( ) 2f x x 1
( )f xx
1
( )1
f xx
2( ) 2f x x
2( )f x x
| 1| 2y x
( ) | |f x x
| 1| 2y x
21 ( 1)y x
2( )f x x
2( ) 1 ( 1)f x x
2
3y
x
1( )f x
x
2( )
3f x
x
( )f x x
x x
SIMETRÍA DE FUNCIONES
Un análisis fundamental en el grafico es determinar su simetría aspecto
esencial y de gran ayuda en la graficación de funciones.
La simetría se da atreves de prueba para la simetría con respecto al eje x, eje
y. y al origen.
Simetría con respecto al eje x. Una grafica es simétrica con respecto al eje y
Ss ( - xo , Yo ), pertenece a la grafica cuando:
2y x
(-x,y) (x,y)
Simetría con respecto al eje y. Una grafica es simétrica con respecto al eje x
Ss ( x , y ).
2x y
( , )x y
( , )x y
Simetría Origen. Una grafica es simétrica con respecto al origen ss ( - x – y )
Pertenece a la grafica y ( x y) pertenece a la grafica.
2y x
( , )x y
( , )x y
La tabla siguiente resume a las pruebas de simetría al eje x, y , origen
Prueba Simétrica
Simetría eje x Remplazo y por - y la exp. No se modifica
Simetría eje y Remplazo x por - x la expresión no se modifica.
Simetría origen Remplazo x por - x ; y por - y la exp. no se modifica
Determine intersecciones con el eje x , y, determine pruebas de simetría y aga
el bosquejo de la grafica.
Intersectos: son valores definidos punto de corte en los ejes cartesianos
estos son:
2( ) 4f x x
a) 0x 4y
b) 0y 20 4x
4x
2x
a) Simetría eje x 2
2
2
4
4
4
y x
y x
y x
No existe simetría eje x
b) Simetría eje y 2
2
2
4
( ) 4
4
y x
y x
y x
Hay simetría eje y
c) Simetría origen 2
2
2
4
( ) 4
4
y x
y x
y x
No hay simetría origen
Gráfica
2( ) 4f x x
2 24 9 36x y
a) 0x
2
2
36
9
4
2
y
y
y
b) 0y
2
2
36
4
9
3
x
x
x
a) Simetría eje x
2 2
2 2
2 2
4 9 36
4 9( ) 36
4 9 36
x y
x y
x y
Si hay simetría eje x
b) Simetría eje y
2 2
2 2
4( ) 9 36
4 9 36
x y
x y
Si hay simetría eje y
c) Simetría origen
2 2
2 2
4( ) 9( ) 36
4 9 36
x y
x y
Si hay simetría origen
Gráfica
2 24 9 36x y
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5. Solución
MÉTODO DE IGUALACIÓN
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en
las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2. Igualamos ambas expresiones:
3. Resolvemos la ecuación:
4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
5. Solución:
MÉTODO DE REDUCCIÓN
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
MÉTODO DE GAUSS
Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
Ejemplo
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
Resolución y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales
Resolvemos gráficamente el sistema x + y = 6; x - y = 2}
1. o Despejamos y en las dos ecuaciones.
x + y = 6 → y = 6 - x
x - y = 2 → y = x - 2
2. o Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.
y = 6 - x
x 0 1 2 3 4
y 6 5 4 3 2
y = x - 2
x 0 1 2 3 4
y -2 -1 0 2 2
1. o Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.
Uniendo los puntos de cada ecuación, obtenemos dos rectas que representan todas las soluciones de cada una de las ecuaciones
1. Puede ocurrir uno de los siguientes casos:
Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.
Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.
Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.
En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2.
Clasificamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 } b) x + y = 3 2 x + 2 y = 6 } c) x + y = 3 x + y = - 1 }
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación en el margen.
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación en el margen.
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente:
Representación gráfica de los tres sistemas
REGLAS, PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Muchas relaciones entre cantidades pueden representarse de manera
adecuada por medio de rectas, una característica de una recta es su inclinación
a la cual utilizaremos la noción dependiente, es una razón entre el cambio de la
variable y y el cambio de la variable x
2 5 4x
y2
y1
x1 x2 x1 x2
2 1
2 1
y ym
x x
El análisis de una recta permite identificar relaciones como precio y cantidad
como número de elementos precio, oferta y demandas, niveles de producción
entre otros.
En resumen se puede caracterizar la orientación de una recta por su pendiente.
Pendiente
a) Línea horizontal m=0
b) Línea vertical m=
c) Línea que sube de izquierda a derecha m=+
d) Línea que sube de derecha a izquierda m= -
1
2m m
1
2m
0m
ECUACIONES EN LA RECTA
Una recta puede ser determinada a partir de ciertas características o de unas
informaciones disponibles dadas de las siguientes maneras:
a) Punto – pendiente
1 1 2 2
1 1
( , )
( , )( , )
( )
x y
x y x y
y y m x x
y2 n2
x2 n1
x1 y2
b) Forma pendiente orientada al origen
y mx b
y a2
b
x
c) Forma general
0Ax By C
Ejemplo: 3 5 7 0x y
d) Forma horizontal
a l1
e) Recta vertical
a y=a
RECTAS PARALELAS PERPENDICULARES
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente
l1
l2
m1
m2
m1=m2
3=3
Dos rectas son paralelas perpendiculares si las pendientes son inversas
l2 l1
m1 m2
12
1
13
3
mm
EJERCICIOS
Dados los siguientes valores encuentre las ecuaciones de la recta
1 1
(4,2)( 6,3)
( )
0
3 2
6 4
5
10
1
2
y y m x x
y mx b ax by c
ym
x
m
m
12 ( 4)
2
2 4 4
2 0
0
0
y x
y x
x y
x
y
X 2
y -1
2 2 0
2 2
1
y
y
y
(x+2y)=0
m 2
-1
5( ,5)
2
1
3m
1 1( )y y m x x
1 53 15 ( )
3 2y x
353 0
2x y
353 0
2x y 5.8
0
0
x
y
35;5.8
6
35; 17.5
2
y
x
-17.5
- 9 = 5y + a
x - 12 = 5y
5y = x - 12
12y = -
5 5
x
x
120 y=- -2.4
5
y = 0 x = 12
x
1
5m
12
5b
12y = -
5 5
x
12
-2.4
2 5 ; 5 3 0
5 2 5 2
y x x y
y x y x
Aplicación y funciones lineales
Existen muchas situaciones
Utilizando rectas para el respectivos análisis de un tema específico y
representará es el análisis de demanda y oferta.
Por lo general a mayor precio la cantidad demandada es menor; cuando el
precio baja la cantidad demandad aumenta, esta relación representa la idea
de demanda.
Y también en general existe otro fenómeno en el mercado en donde el mayor
precio x unidad mayor es la cantidad que los productos están dispuestos a
proveer cuando el precio disminuye también lo hace el precio a esta
disminución
p
n
m
Para efectos de este tema se analizará entonces el fenómeno de oferta y
demanda a través de funciones lineales
Curva demanda
p
Curva demanda lineal
q
(m,n)
Precio n
m
cantidad
(x,y)
(q,p)
q
p
n
m
Curva
oferta
n
m
Curva demanda
lineal
EJEMPLO:
Su ponga que la demanda por semana de un producto es de 100 u. cuando
el precio es de $ 50 por unidad y de 200 u. de un precio de $51. Determine la
ecuación de demanda suponiendo que es lineal
( ) (
)
P= f (q)
P=
q + 67 m=
=
=
y - y1 = m( x-x1)
y - 58= -
(x-100)
100y – 5800 = -7x +700
1000y= -7x + 6500
P = -
q +65
q = 300
p =
(300) +65
p= -21 +65
p= 44
En pruebas hechas para dieta experimental para gallinas se determinó el precio promedio de un gallina fue según estadísticas una función lineal del
número de días después que se inició la dieta en donde 0 d 50 , suponen que el precio promedio de una gallina al iniciar la dieta fue de 40 gramos y 25 días después de 675 gramos. Determine el peso con una función de los días cuando d= 10
( ) p = f (d)
Unidad precio y x
3
( ) (
)
P =
d +40
P =
(10 ) +40
P = 25.40 (10) +40
P= 254+40 P= 294
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática describe situaciones particulares como la oferta y la
demanda. Y que como función se la representará a fin de determinar ingresos
máximos y valores mínimos de situaciones que se presentarán durante una
experimentación para graficar una ecuación cuadrática será necesario:
Dado a + bx +c = 0
a , b, c R
z 0
a) a > 0 arriba
a < 0 abajo
b) vértice (
)
c) y = c
GRAFICAR LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS
y = f (x) = - 4x +12
a) a < 0 abajo
b) v -2 ;
=
= -2
f (-2) = - -4 (-2) +12
= -4+8 +12
=16
c) y= 12
0 = -4x +12
+4x -12 =0
( x+6 ) ( x-2 ) = 0
X = 6 ; x= 2
El ingreso máximo para un producto es p= 1000-2q donde p es precio y q
unidad, encontrar el nivel de producción que maximicé el ingreso total del
producto, y determine ese ingreso
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Intersección en y
Intersección x
Y=0
Eje simétrico
Vértice
Y= - -4x +12
P = 1000- 2q
I = p.q
I = ( 1000-2q ) q f (250 ) = 1000 (250 ) -2 (250)
I = 1000 q -2 = 250000 – 125000
= 125000
a) a < 0 abajo
b) V (250;
= -
= 250
c) y= 0 0 = 1000q – 2
( -500 q = 0
q( q -500) = 0
q = 0 ; q = 500
0
25000
50000
75000
100000
125000
0 125 250 375 500
-------------------------------------------------- -----------------------------------------------
Vértice
Eje
Corte x
Aplicaciones de sistema de ecuación
Una parte importante en el análisis de sistema de ecuaciones es el encontrar
puntos de equilibrio que linealmente relaciona una cantidad de equilibrio y un
ingreso de equilibrio.
Análisis que permite determinar la relación existente en el mercado de la oferta
y demanda.
Obtener utilidades y pérdidas en este tipo de ejercicios existen nomenclaturas
usadas con frecuencia estas son:
= Ing. Total
= Costo Total
= Costo variable
= Costo fijo
P =
q +50 para el producto de un fabricante y suponga que la ecuación de
demanda sea igual p =
q +65
Se cobra al fabricante un impuesto de 1.50 por unidad como se afectará el
punto de equilibrio original si la demanda permanece igual.
Determinar el ingreso total obteniendo x el fabricante en el punto de equilibrio
antes y después del impuesto.
P =
q + 50 Oferta YTR = YTC
P=
q + 65 Demanda Punto
equilibrio
Ing = Costo
a) Original
P = P
q +50 =
q + 65
Dc = 100
Y T R
Y T C
Y V C
Y V F
8q + 5000 = -7 + 6500 p =
( 100 )
+ 50
15 q = 1500 p = 8 +50
q = 100 p = 58
P =
q + 51.5
P =
q + 65
PE= (90, 57.20) impuesto.
b) Y + R = pq
Antes
YTR = (100) (58)
= 5800
Después
YTR = (90) (57,20)
YTR = 5142
p
q
------------------------------ --------------------
-------------------
--
---------------------------------
100
0
PE
PE2
Por precio se mantiene igual las variables de adquisición bajan y precio se
mantiene igual.
Función exponencial y logarítmica
Función Exponencial.- Es una función muy importante no sólo en
matemáticas si no que también tiene mucha aplicación en temas como interés
compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo, finanzas,
economía y otras áreas de estudio.
La función exponencial está definida por f (x )=
b>0 b 1
y el exponente es cualquier número real.
En funciones exponenciales es necesario aplicar las reglas de los exponentes:
a) = 1 d) . . =
b) =
e)
=
c) ( ) = f) = ) . .
Existen las siguientes propiedades:
El dominio de una función exponencial son todos los números reales y
el rango los números positivos
La intersección de una función exponencial en el eje y es 0.1
Eje y (0.1 )
Eje x no tiene intersección
b > 1 La gráfica asciende de derecha a izquierda
0 < b < 1
La gráfica desciende de derecha a izquierda
b > 1 La gráfica se aproxima al eje x conforme x toma los valores
negativos.
0 < b < 1 La gráfica se aproxima al eje x conforme x toma
valores positivos
EJERCICIOS
F ( x ) =
b > 1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
(0,1) (0,1)
F (x )
F ( x) = (
)
0 < b < 1
( 0,1 )
X Y
2 4
(-2) (0,5)
X y
2 0,05
(-2) 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F (x ) =
x
( f (x ) =
Una aplicación práctica es el interés compuesto de una función exponencial en
donde el interés genera una cantidad de dinero invertido en un lapso de tiempo
y que tiene la siguiente ecuación: M = C S = P
NOTA: Fórmula que es aplicada para efectos de crecimiento poblacional,
decaimiento radioactivo
I = S -P
EJERCICIO
4000 a 15 años al 8.5% compuesto trimestralmente
a) S = 4000
S = 14124, 86
b) I = S - P
14124,86 -4000 = 10124,86
La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón del 3 % anual.
Determine en ecuación que proporción la población después de T años. Halle
la población 5 años después.
P F = PA
P I = 5000
PF= 5796
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
VII. GUÍA DE APRENDI ZAJE
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCI A
Teórico Básico (comprensión)
Analizar los conceptos elementales de matemática básica.
APRENDIZAJE MEDIADO
Actividad 1
1. Revisión de definiciones de números reales
Guía de estudio para la actividad 1:
a) Lectura a las pág. 2 - 3
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 2
1. Revisión de propiedades de los números reales
Guía de estudio para la actividad 2:
a) Lectura de las pág, 3 – 6
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 3
1. Revisión de operaciones con números reales
Guía de estudio para la actividad 3:
a) Lectura de las pág, 6 - 9
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 4
1. Revisión de operaciones con expresiones algebraicas
Guía de estudio para la actividad 4:
a) Lectura de las pág, 11 - 18
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 5
1. Revisión de factorización
Guía de estudio para la actividad 5:
a) Lectura de las pág, 18 - 23
b) Resaltar las definiciones esenciales
APRENDIZAJE AUTÓNOMO
1.-Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de
números reales, presentar en organizadores gráficos.
2. Realice los ejercicios Nro.0.2; Nº. 03; Nº. 04 Nº. 05 del texto Haussler Paul
(elija pares o impares)
3. Realice los ejercicios Nro.0.6; Nº. 0.7; Nº. 0.8 del texto Haussler Paul (elija
impares)
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA
Teórico Superior
(Análisis Crítico)
Analizar los conceptos, crear sus propias definiciones y deducir fórmulas y sus
aplicaciones algebraicas
APRENDIZAJE MEDIADO
Actividad 6
1. Revisión de definiciones de ecuaciones lineales
Guía de estudio para la actividad 6:
a) Lectura de las pág, 34 - 36
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 7
1. Revisión de definiciones de ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales
Guía de estudio para la actividad 7:
a) Lectura de las pág, 37 - 43
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 8
1. Revisión de definiciones de ecuaciones cuadráticas
Guía de estudio para la actividad 8:
a) Lectura de las pág, 43 - 47
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 9
1. Revisión de definiciones y fórmula general de ecuación cuadrática
Guía de estudio para la actividad 9:
a) Lectura de las pág, 47 - 55
b) Resaltar las definiciones esenciales
APRENDIZAJE AUTÓNOMO
1. Establezca la diferencia de los elementos constitutivos de la matemática
básica utilizando ordenadores gráficos.
2. Realice los ejercicios Nro.1.1 Nº. 1.2; Nº. 1.3; Nº. 1.4; del texto de Arya (elija
pares o impares)
3.-Realice los ejercicios Nro. 2.1; Nº. 2.2., Nº. 2.3; Nº. 2.4 del texto de Arya
(elija los impares)
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA
Teórico Práctico Aceptable
( Mínimo acreditable)
Utilizar organizadores gráficos para el proceso de resolución de problemas de
matemática básica
APRENDIZAJE MEDIADO
Actividad 10
1. Revisión de definiciones para la aplicación de ecuaciones
Guía de estudio para la actividad 10:
a) Lectura de las pág, 60 - 62
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 11
1. Revisión de definiciones de desigualdades lineales
Guía de estudio para la actividad 11:
a) Lectura de las pág, 62 - 70
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 12
1. Revisión de definiciones de valor absoluto
Guía de estudio para la actividad 12:
a) Lectura de las pág, 75 - 79
b) Resaltar las definiciones esenciales
APRENDIZAJE AUTÓNOMO
1. Relacione los diferentes modelos de ordenadores gráficos: mentefactos,
mapas conceptuales, etc.
2. Resolver los ejercicios Nro. 3.1.; Nº. 3.2; Nº. 3.3; Nº 3.4; Nº 3.5. ; Nº 3.6. del
texto de Vicente Matamoros.
3. Resolver modelos del modulo Básico entregado por el docente.
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA
Teórico Práctico Avanzado
(acreditable)
Aplicar técnicas de resolución de problemas de matemática básica
APRENDIZAJE MEDIADO
Actividad 13
1. Revisión de definiciones de funciones
Guía de estudio para la actividad 13:
a) Lectura de las pág, 86 - 88
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 14
1. Revisión de definiciones de funciones especiales
Guía de estudio para la actividad 14:
a) Lectura de las pág, 88 - 95
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 15
1. Revisión de definiciones de combinación de funciones
Guía de estudio para la actividad 15:
a) Lectura de las pág, 95 - 99
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 16
1. Revisión de graficas en coordenadas rectangulares
Guía de estudio para la actividad 16:
a) Lectura de las pág, 99 - 104
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 17
1. Revisión de definiciones de simetría
Guía de estudio para la actividad 17:
a) Lectura de las pág, 104 - 115
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 18
1. Revisión de definiciones de traslaciones y reflexiones
Guía de estudio para la actividad 18:
a) Lectura de las pág, 115 - 120
b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 19
1. Revisión de definiciones y formulas de rectas y sistemas lineales y no
lineales
Guía de estudio para la actividad 19:
a) Lectura de las pág, 128 - 166
b) Resaltar las definiciones esenciales
APRENDIZAJE AUTÓNOMO
1. Desarrolle los diversos modelos financieros: Diversidad de ejercicios para su
resolución: ejercicios de aplicación en grupo.
2. Resolver los modelos matemáticos del ejercicio Nro.4.1; Nº 4.2; Nº. 4.3;
Nº 4.4. del texto de Haeussler Paul ( escoja los impares)
3. Resolver los modelos de oferta demanda y depreciación del ejercicio Nro.
4..5 del texto de Haeussler Paul (escoger los pares)
4. Resolver los modelos de punto de equilibrio de mercado del ejercicio Nro.
4.6 del texto de Haeussler Paul (escoger los impares.
5. Resolver los ejercicios Nro. 5.1.; Nº. 5.2; Nº. 5.3; Nº 5.4; del texto de
Haeussler Paul (Números impares)
VIII. REFERENCIAS
a. BIBLIOGRÁFICA
HAEUSSLER PAUL, Matemáticas para administración y economía
ARYA Y LADNER. Matemática Aplicada a la Administración y economía
JEAN WEBER. Matemática Aplicada para la Administración y
Economía.
DEWAR Y ZILL. Algebra y trigonometría.
GARCIA ARDURA. Matemática superior.
MATAMOROS VICENTE. Algebra Básica.
b. LINKOGRÁFICA
www.matemáticabasica.com
www.eneayudas.com
www.elmundodelasmatematicas.com