matematica a.urrea modulo n°2-1°medio

Colegio Alberto Blest Gana Jvenes emprendedores para el siglo XXI Coordinacin Acadmica

_____________________________________________________________________________________ SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemtica NOMBRE DE LA GUIA N2: Algebra NIVEL: 1 Medio PROFESORA: Alejandra Urrea Manns OBJETIVOS GUIA DE APRENDIZAJE: Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes mediante el uso de producto notable y factorizacin. Resolver problemas que involucran ecuaciones de primer grado. Aplicar funcin lineal en la resolucin de problemas y su relacin con la proporcionalidad directa. Estudiar y aplicar la composicin de funciones en las trasformaciones isomtricas.

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje que usamos en operaciones aritmticas en las que slo intervienen nmeros se llama lenguaje numrico. En ocasiones empleamos letras para representar cualquier nmero desconocido, realizamos operaciones aritmticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemticas para poder calcular su valor numrico. El lenguaje que utiliza letras en combinacin con nmeros y signos, y, adems, las trata como nmeros en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemticas que estudia la relacin entre nmeros, letras y signos se llama lgebra. Caractersticas del lenguaje algebraico 1.- El lenguaje algebraico es ms preciso que el lenguaje numrico: podemos expresar enunciados de una forma ms breve. El conjunto de los mltiplos de 5 es 5 = {5, 10, 15, ...}. En lenguaje algebraico se expresa 5 n, con n un nmero entero. 2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numricas de carcter general. La propiedad conmutativa del producto se expresa a b = b a, donde a y b son dos nmeros cualesquiera. 3.- Con el lenguaje algebraico expresamos nmeros desconocidos y realizamos operaciones aritmticas con ellos. El doble de un nmero es seis se expresa 2 x = 6. Expresiones algebraicas Una expresin algebraica es un conjunto de nmeros y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritmticas. Una expresin algebraica se define como aquella que est constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Coeficiente numrico: es la cantidad numrica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.


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Ejemplos: 7x4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 3x2 = x2 x2 x2


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Exponente numrico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto. Ejemplos: 5x3 = 5 (x) (x) (x) 8( x + 5)2 = 8( x + 5) ( x + 5) Valor numrico de una expresin algebraica El valor numrico de una expresin algebraica es el nmero que resulta de sustituir las letras por nmeros y realizar a continuacin las operaciones que se indican. Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemtico traducidas a una expresin algebraica: Frase La suma de 2 y un nmero 3 ms que un nmero La diferencia entre un nmero y 5 4 menos que n Un nmero aumentado en 1 Un nmero disminuido en 10 El producto de dos nmeros Dos veces la suma de dos nmeros Dos veces un nmero sumado a otro Cinco veces un nmero Ene veces (desconocida) un nmero conocido El cociente de dos nmeros La suma de dos nmeros 10 ms que n Un nmero aumentado en 3 Un nmero disminuido en 2 El producto de p y q Uno restado a un nmero El antecesor de un nmero cualquiera El sucesor de un nmero cualquiera 3 veces la diferencia de dos nmeros 10 ms que 3 veces un nmero La diferencia de dos nmeros La suma de 24 y 19 19 ms que 33 Dos veces la diferencia de 9 y 4 El producto de 6 y 16 Expresin algebraica 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida) x+3 a-5 4-n k+1 z - 10 ab 2 ( a + b) 2a + b 5x n multiplicado por el nmero conocido a b x+y n + 10 a+3 a2 pq n1 x1 x+1 3(a b) 10 + 3b ab 24 + 19 = 43 33 + 19 = 52 2(9 4) = 18 8 = 10 6 16 = 96


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3 veces la diferencia de 27 y 21 La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado El cociente de 3 al cubo y 9 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12

3(27 21) = 81 63 = 18 92 42 = 81 16 = 65 33 / 9 = 27 / 9 = 3 122 (8 12) = 144 96 = 1,5


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TRMINO ALGEBRAICO Consta de: a) signo b) coeficiente numrico c) factor literal Ejemplo: -3a4 Factor literal

Coeficiente numricoGRADO DE UN TRMINO Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo: En el trmino 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el trmino 4x2y3 tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes) GRADO DE UNA EXPRESIN Es el grado mayor de sus distintos trminos. Ejemplo: En la expresin 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino) En el trmino 4x2y3 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo termino) EXPRESIN ALGEBRAICA Es toda combinacin de nmeros y letras ligados por los signos de las operaciones aritmticas. De acuerdo al nmero de trminos puede ser: MONOMIO: tiene uno trmino BINOMIO: tiene dos trminos TRINOMIO: tiene tres trminos Ej. 5 x2yz4 ; Ej. 7 xy + y 5 Ej. x2 + 3x - 5x2 y2 a +b ; p+q

POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios trminos Ej. 2x + 3 y +4z+ w+ z TERMINOS SEMEJANTES Los trminos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numricos y conservando el factor literal. Ejemplo: El trmino 3x2y y el trmino 2x2y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y

Ejercitacin: Calcula el permetro de cada rectngulo encontrando su expresin algebraica. Luego clasifica segn su nmero de trminos, antes de reducir trminos semejantes:

4m 3a 2a 4mn

5x + 3y 7y 2x


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Reduce los trminos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:

EVALUACION DE EXPRESIONES A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numrico.

Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresin: 3 a 2b 5a + 4b 6a + 3b = 33 - 22 -53+42-63+32 = 9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14Ahora t: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresin 1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a = 2. 7 - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a = 2 1 Veamos ahora un ejemplo con nmeros racionales: Si a = y b= , 3 2 evaluemos la expresin: 3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b = 2 1 2 1 2 1 3 - 2 - 5 + 4 - 6 + 3 = 3 2 3 2 3 2 3 1 0 17 5 2- 1 + 2 - 4 + = =2 2 3 6 6


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2 1 ; c= encuentra el valor de cada expresin 3 4 2 3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a a +5a= 3 2 1 4. -1 a+5b -3c + 2a -4 c+7b= 3 2 4 1 5. -5 c + 3 b - (-4 a) + 4 c + (-5 b) - 0,6 c = 5 2 b= Productos notables: a) Cuadrado de binomio: ( a b ) 2 = a2 2ab + b2 Ejemplos: (2a+3b )2= (2 a)2 + 2 ( x 2y ) (2

Ahora te toca a ti: 1 Si a= ; 2

= x2 2

2 a 3b + (3 b) = 4 a +12ab +9b x 2y +(2y) = x - 4xy + 4y2 2 2 2 2

2

3 3 3 9 x + y ) 2 = ( x) 2 + 2 x y + y 2 = x 2 + 3 xy + y 2 2 2 2 4

b) suma por su diferencia: ( a + b ) ( a b ) = a2 b2 Ejemplos ( 5a +6b ) ( 5 a 6b) = ( 5 a )2

( 6b )

2

= 25 a2 36 b2

( x 4z ) ( x +4z ) = x2 (4z )2 = x2 16z29 2 3 3 3 2 x + 2 x 2 = x 2 = x 4 4 4 4 4 c) Cubo de binomio: ( a b )3 = a3 3a 2 b + 3ab 2 b 32

Ejemplos ( 2 x -3y )3 = ( 2x)3

-3

(2x) 3y + 3 2x (3y)2

2

(3y)3 = 8x3 36x2y +54xy2 27y3


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EJERCITACION. 1) (m+3)2 2) (5+x)2 3) (6a + b)2 4) (7x + 11)2 5) (1+ 3x2)2 6) (2x + 3y)3 7) (4m5 + 5n6)2 8) (am + an)2 9) (a 3)2 10) (2a 3b)2 11) (x2 1)3 12) (x + y)(x y) 13) (a x)(x + a) 14) (2a 1)(1 + 2a) 15) (2m + 9)(2m 9) 16) (a3 + b2)(a3 b2) 17) (1 8xy)(1 + 8xy) 18) (x + y +z)(x + y z) 19) (2a b c)(2a b + c) 20) (a + 1)(a + 2) FACTORIZACION:

21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32)

(x +5)(x 2) (a 11)(a + 10) (a6 + 7)(a6 9) (ab + 5)(ab 6) (x + 2)(x + 3) (3ab 5x2)2 (a2 + 8)(a2 7) (m2m + n)(n+m+m2) (x+5)(x-5)(x2+1) (a+2)(a-3)(a-2)(a+3) (x2-11)(x2-2) (m2-m+n)(n+m+m2)

ES TRASFORMAR UNA EXPRESION DE SUMA Y RESTA EN UN PRODUCTO, EXISTEN VARIOS CASOS DE FACTORIZACION QUE SON: A) Factor comn: puede ser solo numrico, literal o ambos a la vez, para lo cual debes considerar mximo comn divisor y en la letra el mnimo exponente Ejemplos 4 a +8 = 4 ( a +2 ) X3 + 2 x 3x2= x ( x2 + 2 +3x) 7a +21 a b = 7 a ( 1+ 3b ) B) factor por agrupacin: es agrupar por trmino comn y luego factor comn Ejemplo p + pq a-aq = p ( 1+q) a (1+q) = ( p-a) ( 1+q ) ph+ pq + xh + xq rh rq = p( h+q) +x(h+q) r ( h+q) = (p+x-r) (h+q ) C) diferencia de cuadrados perfectos: equivale a una suma por su diferencia, para lo cual hay que buscar las bases de los cuadrados y luego se escriben los parntesis Ejemplos 25 36x2 = ( 5 + 6x) ( 5 -6x ) 81 a4 169b2 = ( 9 a2 + 13b ) ( 9 a2 13b ) D) trinomio cuadrado perfecto: con el primer y tercer termino se buscan sus bases, el signo que los separa lo genera el segundo termino, luego se escribe el cuadrado de binomio X2 + 2xy + y2 = ( x + y ) 2


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Ejemplos 9 a2 + 30ab + 25 b2 = ( 3 a + 5b )2

E) trinomio imperfecto: se forma un binomio con trmino en comn Se busca nmeros que sumados por el termino comn entrega el segundo trmino y multiplicados generan el tercer termino y el primer trmino es el termino en comn X2 + ( a+b) x + ab = ( x +a ) ( x + b ) X2 +7x +10 = ( x + 2 ) ( x+5 ) A2 + 5b -14 = ( a +7 ) ( a -2 ) E) suma y resta de cubos: se buscan las bases de los cubos y se mantiene el signo luego se multiplica el binomio por el cuadrado de sus bases mas o menos el producto de sus bases a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 ab +b2) a3 b3 = ( a- b ) ( a2 + ab + b2) ejemplos: 8x3 27 = ( 2x 3 ) ( 4x2 + 6x + 9 ) 512 a3 + 64 b3 = ( 8 a + 4 b ) ( 64 a2 32ab + 16b2 )

FACTORIZAR 1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 = 5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am = 3 2 8. ax + bx + cx = 7. 8a - 6a = 4 3 9. b -b = 10. 4a3bx - 4bx = 11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad = 13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 = 15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 2 3 4 17. 2x + 6x + 8x - 12x = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 = 3 2 8 x y xy 2 = 20. 4 9 1 2 3 1 3 4 1 2 5 1 4 2 a b + a b a b + a b = 21. 2 4 8 16 4 2 12 8 2 3 16 3 a b ab + a b a b= 22. 35 5 15 25 23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = 2 2 25. x ( p + q ) + y ( p + q ) = 26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = 27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) = 29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =


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31.

(a( a + b ) - b ( a + b ) =2

32. 34. 36.

(2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 -

33. 39. 41. 43. 44.

35. 37.

45. 46. 47.

48. 49. 50. 52. 54. 56. 58. 60. 62. 64. 66. 68. 70. 72. 74. 76. 78. 80. 82. 84. 86. 88. 90. 92. 94.

a + ab + ax + bx = ab - 2a - 5b + 10 = am - bm + an - bn = 3x2 - 3bx + xy - by = 3a - b2 + 2b2x - 6ax = ac - a - bc + b + c2 - c = 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = ax - ay - bx + by - cx + cy = 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z = 15 2 21 10 143 x xz xy + yz + 5 x 7 z = 4 4 3 3 2 8 4 16 am am bm + bn = 3 3 5 5 x2 + 4x + 3 = 51. 2 b + 8b + 15 = 53. r2 - 12r + 27 = 55. 2 h - 27h + 50 = 57. x2 + 14xy + 24y2 = 59. 2 x + 5x + 4 = 61. 5x2 + 11x + 2 = 63. 4x2 + 7x + 3 = 65. 2 5 + 7b + 2b = 67. 5c2 + 11cd + 2d2 = 69. 2 6x + 7x - 5 = 71. 3m2 - 7m - 20 = 73. 2 2 5x + 3xy - 2y = 75. 62 - 5a - 21 = 77. 2 2 9a - 25b = 79. 4x2 - 1 = 81. 36m2n2 - 25 = 83. 2 2 169m - 196 n = 85. 9 2 49 2 a b = 87. 25 36 3x2 - 12 = 89. 2 8y - 18 = 91. 45m3n - 20mn = 93. 2 b - 12b + 36 = 95.

r) ab + 3a + 2b + 6 = 2ab + 2a - b - 1 = 38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 = 42. a3 + a2 + a + 1 =

a2 + 7a + 10 = x2 - x - 2 = s2 - 14s + 33 = y2 - 3y - 4 = m2 + 19m + 48 = x2 - 12x + 35 = 3a2 + 10ab + 7b2 = 4h2 + 5h + 1 = 7x2 - 15x + 2 = 2x2 + 5x - 12 = 6a2 + 23ab - 4b2 = 8x2 - 14x + 3 = 7p2 + 13p - 2 = 2x2 - 17xy + 15y2 = 16x2 - 100 = 9p2 - 40q2 = 49x2 - 64t2 = 121 x2 - 144 k2 = 1 4 9 4 x y = 25 16 5 - 180f2 = 3x2 - 75y2 = 2a5 - 162 a3 = 25x2 + 70xy + 49y2 =


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36x2 - 84xy + 49y2 = 101. 4a2 + 4a + 1 = 2 1 + 6 + 9a = 103. 25m2 - 70 mn + 49n2 = 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 105. 289a2 + 68abc + 4b2c2 = 2 2 2ab + 4a b - 6ab = 107. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 = 2 b - 3b - 28 = 109. a2 + 6a + 8 = 5a + 25ab = 111. bx - ab + x2 - ax = 2 6x 4ax - 9bx + 6ab = 113. ax + ay + x + y = 8x2 - 128 = 115. 4 - 12y + 9y2 = 4 2 x -y = 117. x2 + 2x + 1 - y2 = 2 2 (a + b ) - ( c + d) = 119. a2 + 12ab + 36b2 = 2 2 36m - 12mn + n = 121. x16 - y16 = 3 64 x = 123. 8a3b3 + 27 = 27m3 + 6n6 = 125. x6 y6 = 1 8 1 126. x 3 + = 127. x 3 = 8 27 64 Problemas de aplicaciones 100. 102. 104. 106. 108. 110. 112. 114. 116. 118. 120. 122. 124. 1. La diferencia entre un nmero y sus 2/5 es igual a los 2/3 del nmero menos 2. Cul es el nmero? 2. Qu nmero hay que agregar a los trminos de la fraccin 12/25 para que valga 3/4? 3. Si los 3/5 de una cantidad se aumentan en la mitad del resto, resulta 20. Cul es la cantidad? 4. Si a un nmero se le suma la quinta parte de l, se obtiene el nmero siguiente. Cul es el nmero? 5. Al repartir una herencia entre tres hermanos: al mayor le corresponden los 3/5, al segundo 1/6 y al menor $35.000. A cunto ascenda la herencia? 6. La diferencia de dos racionales es 5/8. Si uno de ellos es -1/4, cul es el otro? 7. Un nmero excede a otro en 5 y su suma es 29. Cules son? 8. La diferencia entre dos nmeros es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado ser tres veces el menor. Encontrar los nmeros. 9. Cules son los nmeros cuya suma es 58 y su diferencia 28? 10. Encontrar un nmero tal que su exceso sobre 50 sea mayor que su defecto sobre 89. 11. Si a 288 se le suma un cierto nmero el resultado es igual a tres veces el exceso del nmero sobre 12. Encontrar el nmero. 12. Dividir 105 en dos partes una de las cuales disminuida en 20 sea igual a la otra disminuida en 15. 13. Encontrar tres nmeros consecutivos cuya suma sea 84. 14. La suma de dos nmeros es 8 y si a uno de ellos se le suma 22 resulta 5 veces el otro. Cules son los nmeros? 15. Encontrar dos nmeros que difieran en 10 tales que su suma sea igual a dos veces su diferencia. 16. La diferencia entre los cuadrados de dos nmeros consecutivos es 121. Hallar los nmeros.

96. m2 - 2m + 1 = 98. 16m2 - 40mn + 25n2 =

97. x2 + 10x + 25 = 99. 49x2 - 14x + 1 =


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Funcin afn, lineal y constante Funcin lineal y=mx

La frmula de la funcin lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinacin). Estas rectas pasan siempre por el origen de coordenadas punto (0, 0). La ordenada en el origen n es 0. Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x

La pendiente de la recta es 2 (valor de m, coeficiente que hay delante de x ), cuando m es positiva la recta es creciente. Pasa por el punto (0, 0) Tabla de valores x 1 0 y 2 0 Grfica

-1 -2


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Funcin afn

y=mx+n

La frmula de la funcin afn es: y = m x + n donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinacin). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa la recta es decreciente. n: ordenada en el origen. Punto donde la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n) Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x + 3

La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente. La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas ser el (0, 3) Tabla de valores x y 1 5 0 3 -1 1

Grfica

Funcin constante

y=n

La frmula de la funcin constante es: y = n La pendiente de la recta m = 0, no es ni creciente ni decreciente No hace falta hacer tabla de valores la recta vale siempre n


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Estudiar y representar la siguiente recta La pendiente de la recta es 0, n = 3 Grfica

y=3

Isometras Un movimiento o isometra es una transformacin que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamao y la forma. (Nota: iso significa "igual" y metra significa "medida"). La imagen de una figura bajo esta transformacin siempre es congruente con la figura original. Tipos de isometras en el plano

Traslacin: Isometra en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imgenes a lo largo de trayectorias paralelas.

Rotacin: Isometra en que todos los puntos giran un ngulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotacin y la cantidad de giro se denomina ngulo de rotacin.

O centro de rotacin ngulo de rotacin


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Reflexin: Isometra en que todos los puntos son enviados a sus imgenes reflejadas con respecto a una recta de reflexin, que acta como espejo.

Eje y acta como recta de reflexin

EJERCICIOS 1. Cul de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningn eje de simetra? a) C b) M c) A d) R e) X

2. Los tringulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del tringulo 1. Cul de ellos corresponde a la reflexin del tringulo 1? a) tringulo 2 b) tringulo 3 c) tringulo 4 d) tringulo 5 e) Ninguno

3. Cul de las siguientes alternativas no corresponde a una transformacin isomtrica? a) Traslacin b) Simetra c) Rotacin d) Reflexin e) Permutacin

4. El movimiento de un ascensor panormico es un ejemplo de: a) Traslacin b) Simetra c) Rotacin d) Isometra e) Teselacin

5. Cuntos ejes de simetra tiene la figura siguiente?


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a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4


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6. Qu figura muestra todo los ejes de simetras de un rectngulo?: a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores

7. Un carrusel de nios es un ejemplo de: a) Traslacin b) Simetra c) Rotacin d) Isometra e) Teselacin

8. Cul de las alternativas representa la rotacin de la figura dada?

a)

b)

c)

d)

e) Ninguna de las anteriores

9. Al trasladar el tringulo de vrtices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), segn el vector de traslacin (4,1), el vrtice homlogo correspondiente a B es: a) (3,6) b) (2,1) c) (6,0) d) (6,1) e) (7,2)

10. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslacin de este punto es (-5, 1), Cul es el centro de la circunferencia trasladada? a) (-2,6) b) (8,6) c) (-2,4) d) (-15,5) e) (8,4)

matematica a.urrea modulo n°2-1°medio

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