matematica m.gutierrez modulo n°3-2°medio

Colegio Alberto Blest Gana Jvenes emprendedores para el siglo XXI Coordinacin Acadmica

SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemtica NOMBRE GUIA Y/O MDULO DE APRENDIZAJE N3: Expresiones Algebraicas Fraccionarias. NIVEL: 2 Medio PROFESOR(A)/ES: Marcia Gutirrez C. OBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE: Simplificar fracciones algebraicas utilizando factorizacin y productos notables. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fraccin algebraica es una expresin fraccionaria en numerador y denominador son monomios o polinomios. Ejemplos. Son fracciones algebraicas:6a 2 b ; 3ab x 3 ; x +2 1 ; x +2

la

que

x3 2x 2 + x 1 3x 2 + 2

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numricas. El valor de una fraccin no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero. Por ejemplo: Six 1 se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta: x +3= x 2 + 2 x 1x 2 x2 + x 2 = 2 x 2 + 2 x + 3x + 6 x + 3 x + 6

( x 1)( x + 2) ( x + 3)( x + 2)

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentracin ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de parntesis. Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas La simplificacin de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave est en el factor comn. Para simplificar al mximo habr que factorizar los polinomios numerador y denominador. Simplificacin de Monomios En el caso de monomios, la simplificacin se hace en forma directa. Ejemplos 1: Simplifiquemos2a 2 3ab


Aqu tanto el numerador 2a 2 como el denominador 3ab trmino a como factor comn.

contienen el


Simplificamos, por l y obtenemos:2a 2 2a = 3ab 3b

Ejemplos 2: Simplifiquemos6m 2 p 2 q 27 mp 3 q 2

p En este ejemplo, el trmino 3m 2 q est contenido en el numerador y en el denominador. Simplificando, nos queda:

6m 2 p 2 q 2m = 9 pq 27 mp 3 q 2

Simplificacin de Binomios. Si el numerador o el denominador de la fraccin tienen dos o ms trminos, es necesario factorizar primero y luego simplificar. Ejemplos 1: Simplifiquemos2a 2 + 2 4a

En este caso no es posible hacer una simplificacin directa, pues en el numerador hay un binomio (recordemos que no podemos simplificar trminos que se suman o restan). Debemos entonces factorizar primero y despus simplificar:/ 2a 2 + 2 2 a 2 + 1 a 2 + 1 = = / 4a 4a 2a

(

)

Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede factorizar ms. Ejemplos 2: Simplifiquemosa 2 + ab a +b

Usando el mismo razonamiento anterior, factorizamos simplificamos.a 2 + ab a ( a + b ) = =a a +b a +b

primero y luego

Ejemplos 3: Simplifiquemosx 2 + 5x + 6 x 2 + 3x + 2

Factorizando y luego simplificando obtenemos:x 2 + 5 x + 6 ( x + 2 )( x + 3) x + 3 = = x +1 x 2 + 3 x + 2 ( x + 2 )( x + 1)


Ejemplos 4: Simplifiquemosx2 9 x 2 + 6x + 9

Procedemos como antes:x2 9 ( x + 3)( x 3) = x 3 = 2 x + 6 x + 9 ( x + 3)( x + 3) x + 3

Ejemplos 5: Simplifiquemos3 x 3 3 xy 2 x 2 y xy 2

3 x 3 3 xy 2 3 x x 2 y 2 3 x( x y )( x + y ) 3( x + y ) = = = 2 2 xy ( x y ) xy ( x y ) y x y xy

(

)

Ejemplos 6:

Ejemplos 7:

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fraccin algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar slo hasta un cierto nivel). Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de nmeros enteros, reduciendo primero a comn denominador. Igual como ocurre con las fracciones de nmeros enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:


Como el denominador es comn (x + 1), este se ha unificado en una sola fraccin, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Ntese que dichas cantidades se anotan entre parntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos. Ahora sacamos los parntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del parntesis hay un signo menos (), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Ejemplo 1:

Tal como lo hacamos al sumar o restar fracciones de nmeros enteros, utilizando el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador comn. Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mnimo comn denominador (m.c.d.). Para calcular el m.c.m. factorizamos 5a 2 a b 5b a 5b 1 5 5 1 1 1 1 15b2 15b2 15b2 15b 15 3 a a b b 5 3

1 1 1 Multiplicamos los factores y queda a a b b 5 3 = a 2 b2 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mnimo comn denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas. Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador comn: Previamente, dividimos el denominador comn (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos as:


Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero tambin hay otra, como la siguiente: Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fraccin (tanto numerador como denominador) por los trminos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Ntese que los trminos que faltan se obtienen haciendo la misma divisin del caso anterior. Ejemplo 2:

El m.c.m. de los denominadores, o mnimo comn denominador (m.c.d.) es x(x 3) Hacemos

Qu hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador: Ejemplo 3:m +1 m +1 1 2 + 2 2m + 4 m m 4 m 2

Factoricemos los denominadores para encontrar el m.c.mm +1 m +1 1 + 2m( m + 2 ) ( m 2 )( m + 2 ) m 2


El m.c.m. es 2m( m + 2 )( m 2) Es conveniente mantener el m.c.m. factorizado, pues as facilita el proceso de amplificacin de cada fraccin y el de simplificacin, si es posible, al final.m +1 m +1 1 ( m 2 )( m + 1) 2m( m + 1) + 2m( m + 2) = + = 2m( m + 2 ) ( m 2 )( m + 2 ) m 2 2m( m + 2 )( m 2 ) m 2 + m 2 m 2 2m 2 2 m + 2m 2 + 4 m m2 + m 2 = 2m( m + 2 )( m 2 ) 2m( m + 2 )( m 2 )

Factorizamos el numerador y hacemos la simplificacin correspondiente:

( m + 2)( m 1) 2m( m + 2 )( m 2)

=

m 1 m 1 = 2 m( m 2 ) 2 m 2 4 m

Producto (multiplicacin) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos qu significa esto: Seaa c una fraccin algebraica cualquiera que est multiplicada por otra, b d

entonces: Veamos ahora ejemplos de multiplicacin (producto) de fracciones algebraicas Multiplicar

Anotamos la multiplicacin de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados. Ejemplo 1:


Ejemplo

2:

Ejemplo 3:

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorizacin de productos notables. Cociente o divisin de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qu significa esto: Seaa una fraccin algebraica cualquiera que est dividida por otra b c d

entonces:

Veamos ahora algebraicas Dividir

ejemplos

de

divisin

(cociente)

de

fracciones

Dividimos conservando la primera fraccin y multiplicando por la segunda invertida.2 x x 2 2 x ( x 2) = x +1 x2 ( x + 1) x 2

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados Ejemplo 1:

Ejemplo 2:


Ejemplo 3:

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la lnea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio est bien expresado, la lnea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).


Ejemplo 4:

Fracciones algebraicas compuestas En los ltimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fraccin algebraica especial: las fracciones compuestas. Una fraccin algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operacin de reduccin de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen. Ejemplo 1:

Ejemplo

2:


Ejemplo 3:

Gua de Ejercicios I.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 1)15 a 3 b 2 5ab 4

2)

121 a 4 c 5 d 7 11ac 5 d 8

3)

7 mn 4 p 5 21 m 3 np 7

4)

8a 16 b 24

5)

42 18 a + 24 b

6) 50 x +75 y

14 x + 21 y

7)

27 m 36 n 36 m 48 n

8)

x2 x xy y

9)

a 2 + 2ab + b 2 3a + 3b

10)

m2 n2 m 2 + 2mn + n 2

11)

x 2 5x + 6 x 2 2x

12)

a3 b3 a2 b2

m4n m2n3 13) 3 m n + m2n2

x 3 + 3 x 2 10 x 14) 3 x 4x 2 + 4x

15)

(16 p

(8 p q )3 2

2 4

q2

)

3

16)

(12 mn ) (18 m n )2

3 3 4

17)

x 4 1 3x 2 32 3

18)

m3 n3 5m 2 + 5mn + 5n

19) 3ay 6by

2ax 4bx

20)

x 2 ( x 1) ( x 3) 4

x( x 3) ( x 1)

II.- Calcula la adicin o sustraccin de las siguientes fracciones algebraicas y simplifique cuando proceda: 1)9 5 7 + x x x

2)

4 5 9 + 2 2 2 a a a

3)

6x 4 3x 2 3x 2

4)

2x 3 7x + 8 + 2 x + 15 2 x + 15

5) 8)

4m 5m + 6 7 m + 8 + 2m + 5 2m + 5 2m + 5 5m 8n 7 m + 9n 5m 15 n + 3m 2n 2n 3m 2n 3m

6)

7 2a 5 + 2 a 3a 4 a 3a 42

7)

a +3 9 + +1 a 2 a 2

9)

3 p 12 p 2 p + 10 p 2 5p + 9p2 + 20 p 2 + 7 p 6 20 p 2 + 7 p 6 20 p 2 + 7 p 6


10)

a 5 7 1 a +5 a +5

11)

m4 m 2 3m 7 + 2m 2 2 + 2 m 2 + 2m 3 m + 2m 3 m + 2m 3

12)

9 5 3 + 5x 2x x

13)

6 x2

+

7 5 2x 3x

14)

m - 2 3m - 1 + 8m 5m

15)3a a -a -22

x + 6 2x + 5 8x 12x

16) m 2

5 m +1

17)

7 + a +1 2a - 3

18)

2 a -12

+

19)

2xy y x + x - 2y x 2 - 2xy x

20)

6(d +1) d +1 d + 2 d - 3 d +3 d 9

21)

2 x + 10x + 24+2

+

9 18 - 3x - x2

+

4x 5 x + x 122

22)

p +17 p 2 p 12

p +1 p 2 + 5p + 6

6 p 2 2 p 8

23)

3d 2d + d 12

+

7 6d + d 22

+

1 3d + 5d + 22

III.- Calcula el cuociente entre las siguientes fracciones algebraicas: 1)35 a 3 18 b :3

:

14 ab 2 9b3

2)

a 5 b8c 7 a b c4 6 10

:

a 6 b8c9 a b c3 2 5

3)

6 x 2 + 9xy a3

:

a 14 x + 21 x 2 y3

4)

a 3 +a

a 3 a 2

a 2 a a 2 2a +1

5)

m 2 + 8m +16 m 2 2m 3 : m 2 + 2m 8 m 2 3m + 2x4 y42

6)

3p 2 + p 2

4p 2 + 7 p + 3 4p 2 5p 6

:

3p 2 8p + 4

7)

x + 2 xy + y

2

:

x 2 +y2 x + 2 xy + y 22

6)

x 3 y3 x 2 2 xy + y 2

:

x 2 y2 x 2 + 2 xy + y 2

9)

x 3 x x 1 : x +1 x +1

10)

m 2 3m + 2 m 2 + 6m 16 : m 2 5m + 4 m 2 + m 20

IV.- Resuelve las fracciones compuestas.y x2 y

1)

y2 x x

=

5 x = 2) 25 4 2 x 2

3)

1+

1 1 2+ y

=

xy x+y x+y xy = 4) x 2 xy y 2 1 x2 y2


1+

1 1+

5)

1 1+ x 1 = 1 1 1 x +1

6) 1 1+

1 x 1 2 x 4

=

7)

x x2 2 x +1 x 1 = 1 1+ x 1

V.- Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas, simplificando cuando corresponda: a)x 2 3x + 2 + 4 6

=

b)

2 5a2

+

1 = 3ab

c)

a 2b b a + = 15 a 20 b

d)

2a 3 3x + 2 x a + + = 3a 10 x 5ax

e) h)

1 1 + = a +1 a 1

f)

m +3 m + 2 + = m 3 m 2

g)

1 1 = x 4 x 3

m n m +n = m +n m n


i) l)

2a + 3 a 2 = 4a 8a

j) =

4a 2 5b3

6a 15 b 2 = 8b 2a 4

k)

5x +25 7 x +7 = 14 10 x +50

m+n

mn n 2 m 2 n 2

n2

1 x a 2 +a x 2 m) = a +1 x x 2 ax 1 2 x 2 : = 3 6

n)

x2 3y2

:

2x y3

=

)

3a 2 b 5x2

: a 2b3 =

o)

p)

5x 5x = 2x + 6 2x + 6x2

x x

3

2

1

11 = x

:

q)

1+

r) 1

1 1 1+ x

=

VI.- Resuelve las siguientes operaciones algebraicas: 1)2x + 6 x+5 2 = 2 x 3x x 4 x + 3 x +1 2 = 2 x 1 x 1 1 1 x 2 + 2 = x x + 2x x + 1 2( x 3) 3 = x + 2x 3 x + 32

2)

3)

4)

5)

x 1 x2 + 2 = x 1 x x x2 1 1 = x 1 x + 1 x 12

6)

7)

2x + 6 2x 2 + 4x 6 = x x2 xx+2 3 + 2 = x 1 x 1 1 1 t 2 + 2 = t t + 2t t + 2

8)

9)


VII.- GUIA DE MULTIPLICACION DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS 1)x 2 y 10a 3 9m 2a 2 6b 2 2) 5 3b 4a 3m 2 x 3

3)

5 x 2 4 y 2 14m 7 y 3 7m 3 5 x 4

4)

5 2a 3b 2 x 3 3a 2 5 x 2 7a 3m 5n 4 2 5) 6) y 15a 3 7 xy 2 a b 10 6m 2 10n 2 14ax

7)

2x 2 + x 8 6 4x + 2

8)

5 x + 25 7x + 7 14 10 x + 50

9)

m+n n2 2 mn n 2 m n 2

10)

xy 2 y 2 x 2 + 2 xy + y 2 x 2 + xy x 2 2 xy

11)

x 2 4 xy + 4 y 2 x2 2 x 2 + 2 xy x 4y2

12)

2x 2 + 2x x 2 3x 2 2x 2 x 2x 3

13)

a 2 ab + a b 3 2 2 a + 2a + 1 6a 6ab

14)

( x y) 3x3 1

x2 + x + 1

( x y) 2

15)

2a 2 a 2 4a 5 3a + 3 2a 2 50

2 x 2 3x 2 3x + 6 2 16) 6x + 3 x 4

17)

y 2 + 9 y + 18 5 y 25 y 5 5 y + 15

18)

x 3 + 2 x 2 3x 2 x 2 + 3x x 3 27 a 2 + a + 1 2 19) 3 4 x 2 + 8x + 3 x x a 1 x 2 + 3x + 9

a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b 20) 3 ( a + 2b ) 3

21)

1 x a2 + a x2 a + 1 x x2 a

22)

x 2 + 2x x 2 2x 8 x 2 + 4x 2 x 2 16 x3 + x2 x + 4x + 4

23)

( m + n) 2 x 2 ( m n) 2 x 2 ( m + x ) 2 n 2 m 2 + mn mx


24)

2a 3 + 2ab 2 x3 x x a 2 5a + 6 6a a 2 25 2 2 25) 3a 15 2ax 2 2ax a x + b 2 x x + 1 a a 30 2a 4

26)

x 2 3xy 10 y 2 x 2 16 y 2 x 2 6 xy 2 x + 2y x 2 2 xy 8 y 2 x + 4 xy

27)

x 2 + 4ax + 4a 2 2ax 4a 2 6a + 6 x 2 2 ax + a 3ax 6a x + 3ax + 2a 2

28)

a 2 81 a + 11 2a 12 a 3 + 5a 2 2 2a 2 + 10a a 36 2a + 18 2a + 22

29)

a 2 + 7a + 10 a 2 3a 4 a 3 2a 2 3a a 2 6a 7 a 2 + 2a 15 a 2 2a 8

x 4 + 27 x x4 + x 1 x2 4 30) 3 x x 2 + x x 3 x 3 + 9 x 2 x( x + 3) 2 x 3

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