3 medio - matematica - zig zag - estudiante

Nombre:

Curso:

Liceo:

PRIMERAS MATE 3o MED CS3.indd 1 10/8/09 16:57:28

MatemáticaDOCTOR EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE TRIESTE, ITALIA, 1980.

MAGÍSTER EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE CHILE, 1975.

T E X TO PA R A E L E S T U D I A N T E

R O B E RTO H OJ M A N

INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA, UNIVERSIDAD DE CHILE, 1976.JORGE YUTRONIC FERNÁNDEZ

MATEMÁTICA III MEDIOUn proyecto deEmpresa Editora Zig-Zag S.A.

Gerencia GeneralRamón Olaciregui

AutorRoberto HojmanJorge Yutronic

Dirección EditorialMirta Jara

EdiciónMiguel Ángel Viejo

Corrección de estiloJosé Luis Brito

Director de ArteJuan Manuel Neira

Director de ProducciónFranco Giordano

Equipo de diseñoPamela BubenDaniel BrownJosé Luis GrezClaudio SilvaEduardo Álvarez

IlustracionesArchivo editorial

FotografíasArchivo editorial

I.S.B.N.: 978-956-12-1964-9.2ª edición: septiembre de 2009.Número de ejemplares: 215.128

© 2008 por Empresa Editora Zig-Zag, S.A.Inscripción Nº 175.789. Santiago de Chile.

Derechos exclusivos de edición reservados por Empresa Editora Zig-Zag, S.A.

Editado por Empresa Editora Zig-Zag, S.A.Los Conquistadores 1700. Piso 10. Providencia.

Teléfono 8107400. Fax 8107455.E-mail: [email protected]

Santiago de Chile.

El presente libro no puede ser reproducido ni en todoni en parte, ni archivado ni transmitido por ningún medio

mecánico, ni electrónico, de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma de reproducción,

sin la autorización escrita de su editor.

Impreso por RR Donnelley.Antonio Escobar Williams 590. Cerrillos.

Santiago de Chile.


MatemáticaDOCTOR EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE TRIESTE, ITALIA, 1980.

MAGÍSTER EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA, UNIVERSIDAD DE CHILE, 1975.

T E X TO PA R A E L E S T U D I A N T E

R O B E RTO H OJ M A N

INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA, UNIVERSIDAD DE CHILE, 1976.JORGE YUTRONIC FERNÁNDEZ


Estructura gráfica

En estas dos páginas se muestran los principales recursos gráfi cos que iden-tifican los contenidos, las secciones y partes destaca-bles que se reiteran a lo largo del texto.

Número de la Unidad Título de la Unidad

Folio explicativo

Introducción a los temas y objetivos de la Unidad

Imagen de apoyo al contenido

Actividad de aprendizaje

Tabla con información de datos

Contenido

Ejercicios resueltos

Diagramas explicativos

A c t i v i d a d e s

1. Pesando al cursoRealiza el siguiente análisis a partir de información sobre tus compañeros(as) de curso. Pídeles que te informen sus pesos en forma confiable, pero reservada (en un papel sin su nombre). Pon esta información en una tabla o histograma separando en clases diferentes cada 5 kg y cuenta al núme-ro de compañeros(as) que tienen pesos comprendidos en cada una de ellas. Consulta en una enciclopedia, con el(la) profesor(a) de Educación Física o de Biología, o con un(a) médico, cuáles son los pesos normales para sus edades, cuáles pesos significan sobrepeso (tendencia a obesidad) y cuáles significan subpeso. Representa los resultados usando desigualdades.

2. El campeonato de fútbolToma la tabla de posiciones final del campeonato de fútbol profesional de Chile más reciente y analiza los resultados posibles para los clubes en función de su posición. Repre-senta estos resultados (campeón, subcampeón, derecho a participar directamente en Copa Libertadores de América, descenso automático, obligación de definir permanencia en Serie A mediante competencia con representantes de serie B, etc.) a través de desigualdades. Expresa intervalos de puntajes para representar los resultados.

INEC

UA

CIO

NES

86

2a U

NID

AD

Gráfico de las funciones trigonométricas

Ahora estamos en condiciones de tabular y gra-ficar las funciones trigonométricas, dado que las hemos definido para todos los valores reales de x, con la salvedad de las advertencias ya mencio-nadas en el caso de la función tangente.

Notemos que también podemos apreciar aquí que la función sen x está acotada entre –1 y 1, es decir –1 sen x 1, cualquiera que sea el valor de x. Para construir el gráfico en la región x 0 se hizo uso de la propiedad sen (-x) = sen x.

1 sen x 0 1 sen x 0 –1 sen x 0 –1 sen x 0

1º cuadrante

x(°) sen x

0 0,00

10 0,17

20 0,34

30 0,50

40 0,64

50 0,77

60 0,87

70 0,94

80 0,98

90 1,00

2º cuadrante

x(°) sen x

90 1,00

100 0,98

110 0,94

120 0,87

130 0,77

140 0,64

150 0,50

160 0,34

170 0,17

180 0,00

3º cuadrante

x(°) sen x

180 0,00

190 –0,17

200 –0,34

210 –0,50

220 –0,64

230 –0,77

240 –0,87

250 –0,94

260 –0,98

270 –1,00

4º cuadrante

x(°) sen x

270 –1,00

280 –0,98

290 –0,94

300 –0,87

310 –0,77

320 –0,64

330 –0,50

340 –0,34

350 –0,17

360 0,00

En el caso de sen x, con ayuda de una planilla de cálculo MS Excel y sus herramientas gráficas, se ha tabulado y trazado la función en el intervalo 0 x 360°. Por simplicidad en la tabla se ha redon-

deado a las centésimas los valores de sen x.

-225-270-315-360 -135 -45-90 1359045 270225 3150,0

0,5

1,0

-1,0

sen x ángulo x (*)

360180-180

-0,5

169

UN

IDA

D 3

TR

IÁN

GU

LO

S

E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

1. Un vehículo está en un punto P de la carretera que se encuentra a 80 km de la ciudad de Antofagasta. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer a través de la carretera para encontrarse a menos de 10 km de tal ciudad? Observa que esto puede ocurrir ya sea que el vehículo se esté acercando o alejando de la ciudad una vez que haya pasado por ella.

SoluciónSi llamamos x a la distancia que debe recorrer el vehículo, tendremos que el problema planteado se sintetiza en:

I80 – xI < 10Resolviendo:

Ix – 80I < 10 –10 < x – 80 < 10 70 < x < 90

Es decir, el vehículo debe recorrer entre 70 km y 90 km para encontrarse a menos de 10 km de Antofagasta. Observa que si recorre más de 80 km, entonces el vehículo se alejará de la ciudad.Representando:

2. Dos vehículos se aproximan a Talca, uno por el norte y otro por el sur. En un cierto momento, el vehículo del norte está a 18 km de la ciudad y el del sur a 12 km de la ciudad. Considerando que ambos se desplazan a la máxima velocidad permitida, ¿qué distancia deberían recorrer para encontrarse cada uno de ellos a 5 km de Talca o menos?

SoluciónDado que ambos vehículos se desplazan a la misma velocidad, en un cierto tiempo re-correrán la misma distancia x.

Para el vehículo A: Ix – 18I 5 –5 x – 18 < 5 13 x 23

Para el vehículo B: Ix – 12I 5 –5 x – 12 5 7 x 17

Entonces, gráficamente:

Luego, la distancia que han de recorrer para encontrarse ambos vehículos a 5 km de Talca o menos, es entre 13 y 17 kilómetros.

Distancias en la carretera

distancia (km)

Antofagasta

10 –10 –80

Posición original P

Vehículo A Talca Vehículo B18 km

12 km

7

distancia vehículo B

distancia vehículo A

13 17 23

UN

IDA

D 2

INEC

UA

CIO

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Gráfi co

4

Estructura gráfica

En estas dos páginas se muestran los principales recursos gráfi cos que iden-tifican los contenidos, las secciones y partes destaca-bles que se reiteran a lo largo del texto.

Número de la Unidad

Folio explicativo

Introducción a los temas y objetivos de la UnidadActividad de aprendizaje

Tabla con información de datos

Contenido

Ejercicios resueltos

Diagramas explicativos

A c t i v i d a d e sA c t i v i d a d e s

1. Pesando al curso1. Pesando al cursoRealiza el siguiente análisis a partir de información sobre tus compañeros(as) de curso. Pídeles que te informen sus pesos en forma confiable, pero reservada (en un papel sin su nombre). Pon esta información en una tabla o histograma separando en clases diferentes cada 5 kg y cuenta al núme-ro de compañeros(as) que tienen pesos comprendidos en cada una de ellas. Consulta en una enciclopedia, con el(la) profesor(a) de Educación Física o de Biología, o con un(a) médico, cuáles son los pesos normales para sus edades, cuáles pesos significan sobrepeso (tendencia a obesidad) y cuáles significan subpeso. Representa los resultados usando desigualdades.

2. El campeonato de fútbolToma la tabla de posiciones final del campeonato de fútbol profesional de Chile más reciente y analiza los resultados posibles para los clubes en función de su posición. Repre-senta estos resultados (campeón, subcampeón, derecho a participar directamente en Copa Libertadores de América, descenso automático, obligación de definir permanencia en descenso automático, obligación de definir permanencia en Serie A mediante competencia con representantes de serie B, etc.) a través de desigualdades. Expresa intervalos de puntajes para representar los resultados.

NEC

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CIO

NES

INEC

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C

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2aU

NID

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DA

D


Ahora estamos en condiciones de tabular y gra-ficar las funciones trigonométricas, dado que las hemos definido para todos los valores reales de x, con la salvedad de las advertencias ya mencio-nadas en el caso de la función tangente.

Notemos que también podemos apreciar aquí que la función sen x está acotada entre sen x está acotada entre sen x–1 sen x 1, cualquiera que sea el valor de x. Para construir el gráfico en la región x 0 se hizo uso de la propiedad sen (-x) = sen x.

1 sen x 0 1 sen x 0 –1 sen x 0

1º cuadrante

x(°) sen x

0 0,00

10 0,17

20 0,34

30 0,50

40 0,64

50 0,77

60 0,87

70 0,94

80 0,98

90 1,00

2º cuadrante

x(°) sen x

90 1,00

100 0,98

110 0,94

120 0,87

130 0,77

140 0,64

150 0,50

160 0,34

170 0,17

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3º cuadrante

x(°) sen x

180 0,00

190 –0,17

200 –0,34

210 –0,50

220 –0,64

230 –0,77

240 –0,87

250 –0,94

260 –0,98

270 –1,00

En el caso de sen xcálculo MS Excelha tabulado y trazado la función en el intervalo x 360°. Por simplicidad en la tabla se ha redon

deado a las centésimas los valores de

-225-225-270-270-270-315-315-360-360 -135-135 -45-45-90-90 135135909045450,00,00,00,00,0

0,50,50,5

1,01,01,0

-1,0-1,0-1,0

sen xsen xsen x

180180180-180-180-180

-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5

0,64 0,77

3º cuadrante

sen x

0,00

–0,17

–0,34

–0,50

–0,64

ha tabulado y trazado la función en el intervalo . Por simplicidad en la tabla se ha redon

deado a las centésimas los valores de

90 1,00

Gráfi co

4

del texto

Desarrollo de contenido específi co

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s

1. En un triángulo rectángulo dos de sus lados miden 9 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado.

F

E D

C

BA

Tríos pitagóricosEs conocido el hecho de que los números 3, 4 y 5 constituyen lo que se llama un trío pitagórico.Tal denominación se debe a que satisfacen en-tre ellos, la misma relación que satisfacen los catetos (a, b) y la hipotenusa (c) de un triángulo rectángulo, vale decir, la definida por el teorema de Pitágoras:

a2 + b2 = c2

En este caso 32 + 42 = 52 , ya que 9 + 16 = 25, efectivamente.

El trío 3, 4, 5 y la construcciónde ángulos rectos

Recíprocamente, si los lados de un triángulo rec-tángulo miden 3, 4 y 5 (en unidades arbitrarias), entonces el triángulo en cuestión es rectángulo y el ángulo recto es el que forman los lados de longitudes 3 y 4.

Esta propiedad es frecuentemente utilizada por los trabajadores de construcción, de una manera muy simple pero ingeniosa, para definir los ángulos rectos que normalmente deben formar dos muros que se encuentran.

Uno de los procedimientos es el siguiente:En el lugar (A) donde los muros se van a encon-trar clavan una estaca en el suelo y ese punto define el vértice del ángulo recto. A continuación amarran a la estaca una lienza que tiene nudos a intervalos regulares pero arbitrarios (ver figura) y la mantienen tensa en la dirección de uno de los muros que quieren levantar.En la posición del cuarto nudo entierran otra estaca B.

A B

90º

2. Una cuchara está apoyada en un tazón cilíndrico, cuyo diámetro es 8 cm y su altura 12 cm. Si la longitud de la cuchara es 16 cm, calcula la longitud mínima de la parte de la cuchara que puede asomar fuera del tazón.

3. Las dimensiones de la caja cerrada de un camión de carga son 10 m, 3 m y 4 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un tubo rígido de modo que quepa dentro de ella.

4. El polígono ABCDEF es un hexágono regular de lado 4 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC y AD.

143

UN

IDA

D 3

TR

IÁN

GU

LO

S

C o m p u t a c i ó n s i m b ó l i c a

Calcula, haciendo uso de un programa de mani-pulación algebraica, el área del triángulo escaleno de la figura, considerando que las longitudes de los lados se miden en cm.

SoluciónTrabajaremos el ejercicio en Maple®.

Existen varias maneras de definir un triángulo, dependiendo de los datos con los cuales se cuenta. Una de ellas, que conviene en el caso que estamos analizando, es determinar en un sistema de coordenadas las ecuaciones de las rectas que lo describen.

Método 1Si escogemos un sistema de coordenadas como el de la figura, en que el vértice A se ha elegido como origen del sistema y el eje de las abscisas de modo que el lado AB descanse sobre él, entonces el triángulo ABC queda descrito por tres rectas L1, L2 y L3, caracterizadas como se indica:

L1 es el eje de las abscisas cuya ecuación es y = 0.

L2 es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es tan 30°, de modo que su ecuación es y = tan ( 30

180 ) x (se ha tenido cuidado de expresar los 30° en radianes que es la unidad que acepta Maple®, para lo cual basta multiplicar el ángulo en cuestión por y dividirlo por 180°).

L3 es una recta cuya inclinación con respecto al eje de las abscisas es de 110° (= su-plemento de 70°) y que pasa por B cuyas coordenadas son y = 0, x = AB (por determinar en función de los datos). La ecuación de L3 está dada por:

y = –(tan 70°) x + 10 (tan 70°) (cos 30°) + 10 sen 30°

Para efectos de no distraernos de nuestro propósito, el cálculo que conduce al resultado anterior se ha trasladado al final de este ejercicio.

En la pantalla de la página siguiente están definidas las tres rectas que definen el triángulo que nos interesa. La sintaxis es:

L1, en el primer caso.

30ºA

10

B

C

70º

30ºA

10

B

L3 L2

L1

C

70º

UN

IDA

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AutoevaluaciónAutoevaluación

1. Dispones de 120 m2 de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cua-drado más grande que puedes empastar?

5. Para darle mayor estabilidad a una estructura como la que se muestra en el dibujo se le va a sol-dar una diagonal BC como se indica. La condición que debe cumplirse es que la magnitud AB debe ser el doble que la magnitud de CD. a ¿Cuánto debe medir CD para que la barra BC

tenga la menor longitud posible?b. ¿Cuál es esa longitud?

2. Haciendo uso de alguno de los métodos estu-diados, estima 150 y calcula el error porcentual de tu estimación comparada con el resultado que obtienes con una calculadora de bolsillo.

3. Una fábrica produce cajones de madera de 30 lt y 60 lt y tales que sus dimensiones correspondientes son proporcionales. Encuentra la relación que debe existir entre los precios de venta de los dos tipos de cajones para que en ambos casos la razón precio : costo sea la misma. Supón que el costo solo depende de la cantidad de madera utilizada en la fabricación.

4. Con un tubo de 12 m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la figura. ¿Qué altura debe tener el arco para que el área del rectángulo ABCD sea la mayor posible?

120m2

A B

CD

6. Encuentra una ecuación cuadrática cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación

x2 – 2x – 3 =0.

A C

B

D

a

Autoevaluación

de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cua-

5. Para darle mayor estabilidad a una estructura como la que se muestra en el dibujo se le va a sol-dar una diagonal BC como se indica. La condición que debe cumplirse es que la magnitud AB debe ser el doble que la magnitud de CD. aa ¿Cuánto debe medir CD para que la barra ¿Cuánto debe medir CD para que la barra BCBC

tenga la menor longitud posible?b. ¿Cuál es esa longitud? Haciendo uso de alguno de los métodos estu-

y calcula el error porcentual de tu estimación comparada con el resultado que

Una fábrica produce cajones de madera de 30 lt y 60 lt y tales que sus dimensiones correspondientes son proporcionales. Encuentra la relación que debe existir entre los precios de venta de los dos tipos de cajones para que en ambos casos la razón

sea la misma. Supón que el costo solo depende de la cantidad de madera utilizada

Con un tubo de 12 m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la figura. ¿Qué altura debe tener el arco para que el área del rectángulo

A B

CD

6. Encuentra una ecuación cuadrática cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación

x2 – 2x – 3 =0.x – 3 =0.x

A C

B

D

a

UN

IDA

D 1

EVA

LU

AC

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Contenidos destacados

Soluciones a ejercicios escogidos Bibliografías

Ilustración relacionada con el tema

Ejercicios propuestos

Computación simbólica

Autoevaluación

Figura geométrica para apoyar contenidos

del textoEstructura gráfica

Desarrollo de contenido específi co


En un triángulo rectángulo dos de sus lados miden 9 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado.

Tríos pitagóricosEs conocido el hecho de que los números 3, 4 y 5constituyen lo que se llama un trío pitagórico.Tal denominación se debe a que satisfacen en-tre ellos, la misma relación que satisfacen los

) y la hipotenusa (c) de un triángulo rectángulo, vale decir, la definida por el teorema

2

, ya que 9 + 16 = 25,


Recíprocamente, si los lados de un triángulo rec- (en unidades arbitrarias),

entonces el triángulo en cuestión es rectángulo y el ángulo recto es el que forman los lados de

Esta propiedad es frecuentemente utilizada por los trabajadores de construcción, de una manera muy simple pero ingeniosa, para definir los ángulos rectos que normalmente deben formar dos muros que se encuentran.

Uno de los procedimientos es el siguiente:En el lugar (A) donde los muros se van a encon-trar clavan una estaca en el suelo y ese punto define el vértice del ángulo recto. A continuación amarran a la estaca una lienza que tiene nudos a intervalos regulares pero arbitrarios (ver figura) y la mantienen tensa en la dirección de uno de los muros que quieren levantar.En la posición del cuarto nudo entierran otra estaca B.

A B

90º

2. Una cuchara está apoyada en un tazón cilíndrico, cuyo diámetro es 8 cmy su altura 12 cm. Si la longitud de la cuchara es 16 cm, calcula la longitud mínima de la parte de la cuchara que puede asomar fuera del tazón.

3. Las dimensiones de la caja cerrada de un camión de carga son 10 m, 3 my 4 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un tubo rígido de modo que quepa dentro de ella.

es un hexágono regular de lado 4 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC

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UUN

IDA

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GU

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C o m p u t a c i ó n s i m b ó l i c aC o m p u t a c i ó n s i m b ó l i c a

Calcula, haciendo uso de un programa de mani-pulación algebraica, el área del triángulo escaleno de la figura, considerando que las longitudes de los lados se miden en cm.


Existen varias maneras de definir un triángulo, dependiendo de los datos con los cuales se cuenta. Una de ellas, que conviene en el caso que estamos analizando, es determinar en un sistema de coordenadas las ecuaciones de las rectas que lo describen.

Método 1Si escogemos un sistema de coordenadas como el de la figura, en que el vértice A se ha elegido como origen del sistema y el eje de las abscisas de modo que el lado ABdescanse sobre él, entonces el triángulo ABC queda descrito por tres rectas L1, L2 y L3, caracterizadas como se indica:

L1 es el eje de las abscisas cuya ecuación es y = 0.

L2 es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es tan 30°, de modo que su ecuación es y = tan (

es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es (

es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es ( 30

180 ) es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es

) es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es

) x (se ha tenido cuidado de expresar los x (se ha tenido cuidado de expresar los x 30° en radianes que 30° en radianes que 30°es la unidad que acepta Maple®, para lo cual basta multiplicar el ángulo en cuestión por y dividirlo por 180°).180°).180°

L3 es una recta cuya inclinación con respecto al eje de las abscisas es de 110° (= su110° (= su110° -plemento de 70°) y que pasa por 70°) y que pasa por 70° B cuyas coordenadas son y = 0, x = AB (por determinar en función de los datos). La ecuación de L3 está dada por:

y = –(tan 70°) x + 10 (tan 70°) (cos 30°) + 10 sen 30°

Para efectos de no distraernos de nuestro propósito, el cálculo que conduce al resultado anterior se ha trasladado al final de este ejercicio.

En la pantalla de la página siguiente están definidas las tres rectas que definen el triángulo que nos interesa. La sintaxis es:

L1, en el primer caso.

30ºA

10

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C

70º70º

30ºA

10

B

L3 L2

L1

CC

70º70º

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Contenidos destacados

Soluciones a ejercicios escogidos Bibliografías

Ejercicios propuestos

Computación simbólica


Calcula, haciendo uso de un programa de manipulación algebraica, el área del triángulo escaleno

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Índice temáticoUnidad 1

Las funciones raíz cuadrada y cuadrática 10

La raíz cuadrada de un número 12Oscilando entre una y otra alternativa 12La ampliación del campo deportivo 13Extracción de raíz cuadrada 14Cálculo aproximado de la raíz de un número 15Propiedades de la raíz cuadrada 16La raíz cuadrada como potencia fraccionaria 17Comparación de fracciones con denominadores radicales 18Racionalización del denominador de una fracción 18Raíz cúbica 26Sistema de coordenadas cartesianas 30La función raíz cuadrada 32Una igualdad aproximada 34Otra forma de calcular una raíz a mano 36¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado? 40Funciones lineales y cuadráticas 40Situaciones reales y ecuación de segundo grado 41

La función cuadrática 42Forma estándar de la funcióncuadrática 42Representación gráfi ca de la función cuadrática 43

Caso 1: parábolas que pasan por el origen del sistema de coordenadas 43Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola 46Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola 48Caso 4: recapitulación 49Intersección de curvas 49Intersección de dos rectas 50Intersección de una parábola con el eje de las abscisas 51Generalización 52Vértice y eje de simetría de una parábola 53Resolución de ecuaciones cuadráticas 56Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2º grado 65Generalización 65

Síntesis de la Unidad 71Más ejercicios propuestos 74Autoevaluación 79Soluciones Unidad 1 262

Índice temático

Las funciones raíz cuadrada y cuadrática 10Las funciones raíz cuadrada y cuadrática 10

La raíz cuadrada de un número 12Oscilando entre una y otra alternativa 12La ampliación del campo deportivo 13Extracción de raíz cuadrada 14Cálculo aproximado de la raíz de un número 15Propiedades de la raíz cuadrada 16La raíz cuadrada como potencia fraccionaria 17Comparación de fracciones con denominadores radicales 18Racionalización del denominador Racionalización del denominador de una fracción 18Raíz cúbica 26Sistema de coordenadas cartesianas 30La función raíz cuadrada 32Una igualdad aproximada 34Otra forma de calcular una raíz a mano 36¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado? 40Funciones lineales y cuadráticas 40Situaciones reales y ecuación de segundo grado 41

La función cuadrática 42Forma estándar de la funcióncuadrática 42Representación gráfi ca de la función cuadrática 43

Caso 1: parábolas que pasan por el origen del sistema de coordenadas 43Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola 46Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola 48Caso 4: recapitulación 49Intersección de curvas 49Intersección de dos rectas 50Intersección de una parábola con el eje de las abscisas 51con el eje de las abscisas 51Generalización 52Vértice y eje de simetría de una parábola 53Resolución de ecuaciones cuadráticas 56Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2º grado 65Generalización 65


6

UN

IDA

D 1

ÍND

ICE



Inecuaciones l ineales 80

El mundo que percibimosy el que construimos 82Los estados del agua 84Ingresos de las personas 85Juegos de números 87Rentas e impuestos 89Tiempo de transporte 92Un teorema importante 94Rendimientos y plazos 97Califi caciones: resultados y proyecciones 99Cubriendo superfi cies 101Margen comercial 103Geometrías variables 104

Solución de inecuaciones lineales 106Inecuaciones simples 106

Índice temáticoÍndice temáticoUnidad 2Unidad 2Unidad 2Unidad 1

Sistemas de inecuaciones lineales 108Soluciones de inecuaciones lineales con valores absolutos 110Distancias en la carretera 113

Estudio de desigualdades literales 116Geometría dinámica 116Juegos literales 118Intervalos en sucesiones 119Composiciones 120


Índice temáticoÍndice temático

Inecuaciones l ineales 80

y el que construimos 82Los estados del agua 84Ingresos de las personas 85Juegos de números 87Rentas e impuestos 89Tiempo de transporte 92Un teorema importante 94Rendimientos y plazos 97

proyecciones 99Cubriendo superfi cies 101Margen comercial 103Geometrías variables 104

Solución de inecuaciones lineales 106Inecuaciones simples 106

Sistemas de inecuaciones lineales 108Soluciones de inecuaciones lineales con valores absolutos 110Distancias en la carretera 113

Estudio de desigualdades literales 116Geometría dinámica 116Juegos literales 118Intervalos en sucesiones 119Composiciones 120


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Más sobre triángulos rectángulos 132

Medición de ángulos 134Unidades de medida de ángulos 134Triángulos rectángulos 138El teorema de Pitágoras 139El teorema de Fermat 146Semejanza de triángulos 148

Triángulos rectángulos y trigonometría 154La trigonometría como geometría de cálculo 154¿Qué se puede hacer con la trigonometría? 154Razones trigonométricas y funciones trigonométricas 155

Las razones trigonométricas de ciertos ángulos especiales 156Razones trigonométricas inversas 161El círculo unitario y las funciones trigonométricas 162Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo 168

Síntesis de la Unidad 180Más ejercicios propuestos 183Autoevaluación 186Soluciones 271

Índice temático

Más sobre triángulos rectángulos 132Más sobre triángulos rectángulos 132

Medición de ángulos 134Unidades de medida de ángulos 134Triángulos rectángulos 138El teorema de Pitágoras 139El teorema de Fermat 146Semejanza de triángulos 148

Triángulos rectángulos y trigonometría 154La trigonometría como geometría de cálculo 154¿Qué se puede hacer con la trigonometría? 154Razones trigonométricas y funciones trigonométricas 155

Las razones trigonométricas de ciertos ángulos especiales 156Razones trigonométricas inversas 161El círculo unitario y las funciones trigonométricas 162Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo 168

Síntesis de la Unidad 180Más ejercicios propuestos 183Autoevaluación 186Soluciones

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Nociones de probabilidad 190La historia continúa 190La probabilidad en la vida cotidiana 191Azar 191Experimento aleatorio 192Espacio muestral 192Frecuencia absoluta y frecuencia relativa 194Equiprobabilidad 198Sucesos de un experimento aleatorio 200

Probabilidades y probabilidades 203Probabilidad clásica 203Regla de Laplace 203Probabilidad experimental 205Determinación de las probabilidades 208Probabilidad experimental y probabilidad teórica 212Probabilidad subjetiva 217Variable aleatoria 218

Información estadística y probabilidades 219Probabilidad de sucesos compuestos 220Relaciones entre sucesos 222Probabilidad condicionada 234Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo 234Probabilidades de diversos sucesos 238

Combinatoria básica 243Permutaciones 246Variaciones 249Combinaciones 251


El estudio de las probabil idades 190

Índice temáticoÍndice temáticoUnidad 4Unidad 4Unidad 4Unidad 3Índice temáticoÍndice temático

Nociones de probabilidad 190La historia continúa 190La probabilidad en la vida cotidiana 191Azar 191Experimento aleatorio 192Espacio muestral 192

y frecuencia relativa 194Equiprobabilidad 198

aleatorio 200

Probabilidades y probabilidades 203Probabilidad clásica 203Regla de Laplace 203Probabilidad experimental 205Determinación de las probabilidades 208

y probabilidad teórica 212Probabilidad subjetiva 217Variable aleatoria 218

Información estadística y probabilidades 219Probabilidad de sucesos compuestos 220Relaciones entre sucesos 222Probabilidad condicionada 234Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo 234Probabilidades de diversos sucesos 238

Combinatoria básica 243Combinatoria básica 243Permutaciones 246Variaciones 249Combinaciones 251


El estudio de las probabil idades 190

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como la suma, el producto o la extracción de raíz, a� oran de un modo muy natural y espon-táneo, el interés y la necesidad de estudiar el comportamiento general de tales operaciones. Llama la atención, por ejemplo, que el cua-drado de 2 sea mayor que 2, pero que el cua-drado de 0,5 sea menor que 0,5. ¿Cuándo un número es mayor que su cuadrado? ¿Cuándo es menor? Es posible elaborar las respuestas a tales pre-guntas al estudiar la función cuadrática, pero su estudio nos conduce más lejos. Aparecen inte-resantes propiedades que caracterizan a tales funciones que tienen aplicaciones tecnológicas de relevancia. Antenas parabólicas, hornos solares, focos de vehículos y para iluminación teatral, son algunos de los subproductos de la comprensión de la función cuadrática.Vale la pena tener a mano una onza de Álgebra.

El famoso profesor británico John Haldane, genetista, biólogo y divulgador de la cien-cia, uno de los cientí� cos más in� uyentes del siglo XX, realizó (entre otros numerosos aportes) estudios acerca de la relación entre diferentes disciplinas y problemas, incluyendo la aplicación de la Matemática y la Estadísti-ca al estudio de la Biología. Es de su autoría la frase que dice: “Si estás enfrentado a una di� cultad o a una controversia en ciencia, una onza de Álgebra vale más que una tonelada de argumentos verbales”.La metáfora reproduce con mucha � delidad el poder del Álgebra, tanto en su capacidad de síntesis y generalización, como en la potencia de sus procedimientos para abordar y resolver problemas de gran envergadura, en los más variados ámbitos de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y el diseño, por mencionar algunos.Apenas comienzan los primeros balbuceos con las operaciones algebraicas más simples,

como la suma, el producto o la extracción de raíz, a� oran de un modo muy natural y espon-táneo, el interés y la necesidad de estudiar el

Las funcionesraíz cuadrada

y cuadráticatáneo, el interés y la necesidad de estudiar el comportamiento general de tales operaciones. Llama la atención, por ejemplo, que el cua-



cuadrática

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10 Llama la atención, por ejemplo, que el cua-drado de 2 sea mayor que 2, pero que el cua-drado de 0,5 sea menor que 0,5. ¿Cuándo un número es mayor que su cuadrado? ¿Cuándo es menor? Es posible elaborar las respuestas a tales pre-guntas al estudiar la función cuadrática, pero su estudio nos conduce más lejos. Aparecen inte-resantes propiedades que caracterizan a tales funciones que tienen aplicaciones tecnológicas de relevancia. Antenas parabólicas, hornos solares, focos de vehículos y para iluminación teatral, son algunos de los subproductos de la comprensión de la función cuadrática.Vale la pena tener a mano una onza de Álgebra.

aportes) estudios acerca de la relación entre diferentes disciplinas y problemas, incluyendo la aplicación de la Matemática y la Estadísti-ca al estudio de la Biología. Es de su autoría la frase que dice: “Si estás enfrentado a una di� cultad o a una controversia en ciencia, una onza de Álgebra vale más que una tonelada de argumentos verbales”.La metáfora reproduce con mucha � delidad el poder del Álgebra, tanto en su capacidad de síntesis y generalización, como en la potencia de sus procedimientos para abordar y resolver problemas de gran envergadura, en los más variados ámbitos de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y el diseño, por mencionar algunos.Apenas comienzan los primeros balbuceos con las operaciones algebraicas más simples,

táneo, el interés y la necesidad de estudiar el comportamiento general de tales operaciones. Llama la atención, por ejemplo, que el cua-

cia, uno de los cientí� cos más in� uyentes del siglo XX, realizó (entre otros numerosos aportes) estudios acerca de la relación entre


El famoso profesor británico John Haldane, genetista, biólogo y divulgador de la cien-cia, uno de los cientí� cos más in� uyentes


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y cuadrática

C o n t e n i d o s d e l a U n i d a d

La raíz cuadrada de un número• Extracción de raíz cuadrada: la operación inversa

de elevar al cuadrado• Propiedades de la raíz cuadrada• La raíz cuadrada como potencia fraccionaria• Comparación de fracciones con denominadores

radicales• Racionalización del denominador de una fracción• Raíz cúbica• Sistema de coordenadas cartesianas• La función raíz cuadrada• Una igualdad aproximada• ¿Se puede calcular una raíz “a mano”?

La función cuadrática• ¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado?• Funciones lineales y cuadráticas• Situaciones reales y ecuación de segundo grado• La función cuadrática• Forma estándar de la función cuadrática• Representación gráfi ca de la función cuadrática• Caso 1: parábolas que pasan por el origen del

sistema de coordenadas• Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola• Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola• Caso 4: recapitulación• Intersección de curvas• Intersección de dos rectas• Intersección de una parábola con el eje de las

abscisas• Generalización• Vértice y eje de simetría de una parábola• Resolución de ecuaciones cuadráticas• Propiedades de las raíces de las ecuaciones de

segundo grado• Generalización

A p r e n d i z a j e s e s p e r a d o s

• Conocerás y utilizarás procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces cuadradas y cúbicas.

• Plantearás y resolverás problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicarás tus pro-cedimientos de solución y analizarás la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas.

• Analizarás la función cuadrática y la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, con las correspon-dientes restricciones en los valores de la variable;

reconocerás limitaciones de estos modelos y su capacidad de predicción.

• Conocerás la parábola, que es la representación gráfi ca de la función cuadrática; identifi carás algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de la tecnología.

• Reconocerás el potencial de las funciones estu-diadas para refl ejar distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos.


• Extracción de raíz cuadrada: la operación inversa

• Comparación de fracciones con denominadores

• Racionalización del denominador de una fracción

La función cuadrática• ¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado?• Funciones lineales y cuadráticas• Situaciones reales y ecuación de segundo grado• La función cuadrática• Forma estándar de la función cuadrática• Representación gráfi ca de la función cuadrática• Caso 1: parábolas que pasan por el origen del

sistema de coordenadas• Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola• Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola• Caso 4: recapitulación• Intersección de curvas• Intersección de dos rectas• Intersección de una parábola con el eje de las

abscisas• Generalización• Vértice y eje de simetría de una parábola• Resolución de ecuaciones cuadráticas• Propiedades de las raíces de las ecuaciones de

segundo grado• Generalización


• Conocerás y utilizarás procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen

• Plantearás y resolverás problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicarás tus pro-cedimientos de solución y analizarás la existencia

• Analizarás la función cuadrática y la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, con las correspon-dientes restricciones en los valores de la variable;

reconocerás limitaciones de estos modelos y su capacidad de predicción.

• Conocerás la parábola, que es la representación gráfi ca de la función cuadrática; identifi carás algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de la tecnología.

• Reconocerás el potencial de las funciones estu-diadas para refl ejar distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos.

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Para coordinar una complicada y peligrosa pirue-ta con dos trapecios, se requiere que el tiempo que tarda uno de los trapecios en completar una oscilación completa (de ida y vuelta a un mismo punto) sea el doble de lo que tarda el otro.

Mario, el trapecista, a� rmaba que él había visto hacer la acrobacia en un circo extranjero y que las cuerdas de un trapecio doblaban en magnitud a las del otro. Para asegurarse, decidieron pre-guntarle a Raúl, hermano menor de Mario, que estaba terminando el colegio y conocido por su dedicación al estudio, lo que ya le había rendido frutos. Tamaña responsabilidad la de Raúl, que, afortunadamente recordaba que el tiempo que tarda el trapecio en describir una oscilación com-pleta solo puede depender de la longitud L de sus cuerdas y de la aceleración de gravedad g.

Por consideraciones meramente dimensionales, reproduce un resultado que alguna vez había estudiado. Raúl piensa así:

El largo L de la cuerda se expresa en unidades de longitud (por ejemplo: en metros) y la aceleración de gravedad g en unidades de longitud dividida por uni-dades de tiempo al cuadrado (por ejemplo m/s2).

La única manera de combinar L y g, para formar una magnitud que sea un tiempo, es hacer L/g y extraer la raíz cuadrada, porque en ese caso,

Es decir, debe cumplirse que el periodo de osci-lación T debe ser proporcional a L

g, es decir,

T = k Lg

Entonces, para uno de los trapecios debe cumplir-se que T1= k L1

g y para el otro T2= k L2

g .

La razón entre ambos períodos de oscilación será en ese caso T1

T2

= L1

L2

Como se desea que uno de los tiempos sea el doble del otro, se tendrá que

T1 = 2T2 ⇒ T1

T2

= L1

L2

= 2 ⇒ L1

L2

= 4 ∴ L1 = 4L2

Es decir, la longitud de las cuerdas de un trapecio debe ser… ¡cuatro veces la longitud de las cuer-das del otro!, y no dos veces como erróneamente había adelantado Mario.

¿Cómo habrían estado relacionados los tiempos, si se hubieran seguido los recuerdos de Mario?

Como T1

T2

= L1

L2

y L1 = 2L1 ,

se tendrá que

T1

T2

= L1

L2

= 2L2

L2

= 2

¿Cuál es el valor de 2 ? Veremos, más adelante, cómo puede calcularse “a mano”. Por el momento podemos decir que el valor que nos entrega una calculadora de bolsillo es 2 = 1,4142136. Ello quiere decir que 1,41421362 = 2. Vale decir que si se hubieran construido los trapecios de acuerdo a las a� rmaciones de Mario, el tiempo de oscilación del más lento de los trapecios solo hubiera sido un 41% mayor que el más rápido (y no el doble, que era lo que se intentaba lograr).

Raúl termina diciendo: “El resultado que acabamos de obtener es solo aproximado y teórico, es una simpli� cación de la realidad. No hemos considerado el efecto del aire, por ejemplo; y las expresiones que utilicé son solo para oscilaciones no muy amplias. De modo que hay que utilizarlo como un punto de partida, pero será necesario corregir de acuerdo a lo que pase cuando experimenten con ello”.

Para coordinar una complicada y peligrosa pirue-ta con dos trapecios, se requiere que el tiempo que tarda uno de los trapecios en completar una oscilación completa (de ida y vuelta a un mismo punto) sea el doble de lo que tarda el otro.

Mario, el trapecista, a� rmaba que él había visto hacer la acrobacia en un circo extranjero y que las cuerdas de un trapecio doblaban en magnitud a las del otro. Para asegurarse, decidieron pre-guntarle a Raúl, hermano menor de Mario, que estaba terminando el colegio y conocido por su dedicación al estudio, lo que ya le había rendido frutos. Tamaña responsabilidad la de Raúl, que, afortunadamente recordaba que el tiempo que

La razón entre ambos períodos de oscilación será en ese caso

Como se desea que uno de los tiempos sea el doble del otro, se tendrá que

T1T1T = 2

Es decir, la longitud de las cuerdas de un trapecio debe ser… ¡cuatro veces la longitud de las cuer-das del otro!, y no dos veces como erróneamente había adelantado Mario.

¿Cómo habrían estado relacionados los tiempos, si se hubieran seguido los recuerdos de Mario?

La raíz cuadradade un número

Oscilando entre una y otra alternativa

metrosmetros / (segundo)2

= mm / s2

= s2 = s

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La raíz cuadradade un número

En el colegio de Praderas, una localidad del sur del país, tanto los equipos masculinos como los femeninos han tenido un destacado desempeño en las competencias regionales de fútbol.

Lo practican en una cancha pequeña, pero bien montada, de pasto, con arcos profesionales, redes y correctamente demarcada. La cancha es un rectángulo de 30 m de ancho por 50 m de largo.

Dado que los padres quieren estimular el deporte en sus hijos, el centro de padres de Educación Media reúne fondos y decide donar pasto y apor-tar trabajo de manera de duplicar la super� cie de la cancha, manteniendo sus proporciones, para crear de esa manera un espacio polideportivo.

El directorio del centro de padres de Educación Básica decide hacer lo propio y propone que ellos colocan la misma cantidad de pasto (y de trabajo), de manera de triplicar las dimensiones de la cancha.

“Fácil”, dice don Félix, uno de los miembros del directorio. “Hagámoslo por etapas: este verano duplicamos la super� cie, para lo cual basta con duplicar la medida de los lados de la cancha, y el próximo verano la llevamos a su dimensión � nal”.

“Claro”, dice don Hugo, otro de los padres en-tusiastas, “y el verano del próximo año los lados serán el triple de lo que son hoy”.

Alfonso, un alumno de tercero medio, represen-tante de los estudiantes, dice: “En mi opinión, don Félix, ambos están cometiendo un error, porque en la actualidad la cancha tiene una super� cie de30 m • 50 m = 1.500 m2 y de seguir sus instrucciones, la cancha tendría después de la primera etapa 60 m de ancho por 100 m de largo, lo cual signi� ca que tendría una super� cie de 60 m • 100 m = 6.000 m2 que es el cuádruplo de la super� cie actual”.

“Además don Hugo”, agrega Alfonso, “en la segunda etapa tendría 90 m de ancho y 150 m de largo, lo que constituiría una superficie de

90 m • 150 m = 13 500 m2 que es… ¡Nueve veces la super� cie actual! Y no el triple, que es lo que se pretende”.

“¡Tienes toda la razón!”, reconocen al unísono don Félix y don Hugo.

“Efectivamente”, dice Ximena, que, además de ser una gran deportista, había tenido una destacada participación en las olimpiadas de Matemática, “para duplicar su área y mantener la proporción de los lados, debemos multiplicarlos (ambos lados) por un mismo factor k, de manera que si en la actualidad los lados miden a y b, respectivamente, después de la primera ampliación medirán ka y kb, respectivamente”.

“Al día de hoy el área es s = ab”, continúa diciendo Ximena, “y después será S = ka • kb = k2 ab”.

Haciendo gala de sus habilidades matemáticas, Ximena prosiguió su razonamiento, esta vez uti-lizando la pizarra:

“Como queremos que S = 2s, se tendrá quek2 ab = 2ab, o sea, que k2 = 2, lo cual signi� ca que k= 2 . Es decir, después de la primera etapa los lados medirán respectivamente 30 m • 1,41 = 42,3 m y 50 m • 1,41 = 70,5 m aproximadamente. De esa manera, el área de la cancha será en ese momento 42,3 m • 70,5 m = 2 981 m2, que es un valor muy cercano a los 3.000 m2 que se habían propuesto originalmente”.

Razona análogamente para mostrar que las longi-tudes de los lados para la tercera etapa deberían ser las longitudes actuales multiplicadas por 3 . De esa forma los lados medirán aproximadamente 52 m y 86,5 m.

¿Cuál será la super� cie del nuevo campo en ese caso? ¿Cumple con los requisitos planteados por los padres?

La ampliación del campo deportivo

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Extracción de raíz cuadrada:la operación inversa de elevar al cuadrado

Para muchas operaciones matemáticas se puede de� nir, de un modo inequívoco, su operación in-versa. En términos coloquiales, la inversa de una operación matemática es aquella que “deshace” la acción de esta última.Por ejemplo, la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación inversa de la multiplicación. La operación elevar al cuadrado también tiene una operación inversa y es lo que hemos llamado extracción de raíz cuadrada.

Defi niciónLa raíz cuadrada de un número positivo a, es un número positivo b tal que b2 = a.Adoptamos como notación b = a , que leemos “raíz cuadrada de a”.

1 = 1 porque 12 = 1

4 = 2 porque 22 = 4

9 = 3 porque 32 = 9 y así sucesivamente.

16 = 4

25 = 5

36 = 6

49 = 7

64 = 8

81 = 9

100 = 10

Número Cuadrado entero perfecto

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10 100

Cuadrados perfectosConsideremos un número n. Por de� nición, el cuadrado de n (que denotamos por n2 y leemos “ene cuadrado”) es lo que resulta de multiplicar n por sí mismo, es decir, n2 = n • n. Por ejemplo: 32 = 3 • 3.

Se llaman cuadrados perfectos a los cuadra-dos de los números enteros. Presentamos a continuación una tabla con los primeros diez cuadrados perfectos.Observando esa tabla, se puede generar una tabla equivalente, que nos proporciona las raíces cua-dradas de los primeros diez cuadrados perfectos. Cópiala y complétala.

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E j e r c i c i o r e s u e l t o

Encuentra los dos cuadrados perfectos consecutivos entre los que se ubica el número 10. Basándote en el resultado anterior, ¿qué puedes decir de la raíz cuadrada de 10?

SoluciónEn lenguaje algebraico, lo que se nos pide encontrar son dos enteros consecutivos a y a + 1, tales que:

a2 < 10 < (a + 1)2

Observando la tabla construida anteriormente, 32 = 9 y 42 = 16, de donde 32 < 10 < 42.

Por lo expresado anteriormente 10 debe ser un número mayor que 3, pero menor que 4, lo cual también puede escribirse 3 < 10 < 4.

Este resultado nos proporciona una primera aproximación (muy gruesa, por lo demás) para estimar la raíz cuadrada de 10, es decir, podemos afi rmar que 10 está entre 3 y 4.¿Estamos en condiciones de encontrar un resultado más preciso?

Cálculo aproximado de la raíz de un númeroObtendremos aquí una expresión que nos permi-tirá calcular “a mano”, de un modo relativamente simple, una aproximación a la raíz cuadrada de cualquier número natural con bastante preci-sión.

Para aproximarnos a una forma general, examine-mos primero un caso especial, continuando con lo que vimos en el problema resuelto anterior.

Como hemos visto, la raíz cuadrada de 10 es un número que está entre 3 y 4.

Consideremos como una aproximación preliminar que la raíz de 10 está exactamente al medio de esos dos números, y denominémosla R1(10), es decir R1(10)= 3+4

2 = 3,5 .

R2= 10/3,5 10 R1= 3,5

3 R = (R1 + R2) / 2 ∼ 3,18 4

Como veremos, se trata de una aproximación muy burda. Para dimensionar el error que estamos

cometiendo, elevemos al cuadrado esta primera aproximación: 3,52 =¡12,25! Estamos bastante le-jos de 10, ya que el número obtenido es un 22,5% mayor que 10.

Ello quiere decir que en la recta numérica 3,5 está a la derecha de la raíz cuadrada de 10. En ese caso el número 10

3,5 debe estar a la izquierda de 10 (¿te das cuenta por qué debe ser así?).

Llamemos R2(10) a este número. Usando una cal-culadora se obtiene que R2(10)= 10

3,5 ≈2,8571429.

Elevando al cuadrado el número obtenido, resulta R2

2(10) ≈ 8,1632653. ¡Nuevamente estamos lejos de 10! Esta vez el valor obtenido es aproximada-mente un 28% menor que 10.

¿Y qué sucede si, como tercer intento, considera-mos el promedio de R1 y R2 que denotaremos R?Sea

R (10) = R1(10) + R2(10)2 = 1

2 [ 3+42 + 10

3+42

] = [ 3+4

4 + 103+4 ] = [ 7

4 + 107 ]

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Raíz cuadrada de un productoConsideremos los siguientes ejemplos numéricos:a) Como puede veri� carse directamente 36 = 6, ya que 62 = 36.

También podemos ver que 36 = 4 • 9.

Como 4 = 2 y 9 = 3, entonces 4 • 9 = 2 • 3 = 6

Propiedades de la raíz cuadrada

Por lo tanto: 36 = 4 • 9 = 2 • 3 = 6, es decir,

4 • 9 = 4 • 9 .

b) Del mismo modo, 225 = 15Pero 225 puede escribirse como 225 = 9 • 25

Como 9 = 3 y 25 = 5, entonces9 • 25 = 3 • 5 = 15

E j e r c i c i o p r o p u e s t o

Verifi ca que 3,16 > 10 .

R(10) = 49+4028 = 89

28 ≈ 3,1785714

Elevando al cuadrado, R2(10)= 10,103316.

¡Esta vez sí estamos más cerca de 10! El resultado solo di� ere de 10 en algo más de 1%.

Utilizando una calculadora se obtiene que 10 ≈ 3,1622777, de manera que la aproximación R(10) supera solo en un 0,5% al valor que proporciona una calculadora.

Lo que hemos descrito es el cálculo aproximado de la raíz cuadrada de 10 con un proceso que se inicia ubicándola entre dos números naturales, puede ser generalizado para calcular aproxima-damente la raíz de cualquier número natural.

Supongamos que la raíz de cierto número dado N está entre a y b, entonces N puede aproximarse por R(N) dado por la expresión

R(N) = a+b4

+ Na+b

(Reemplaza los valores que usamos para el cálculo aproximado de la raíz cuadrada de 10 para que te

convenzas de que la expresión anterior generaliza ese método).

Calculemos 123 haciendo uso de la expresión obtenida. Se puede ver que 123 está entre 11 y 12 (ya que 112 =121 y 122 = 144). Entonces,

R(123) = 11+124 + 123

11+12

R(123) = 234 + 123

23 ≈ 11,097826

que difiere aproximadamente un 0,066% del valor 11,090537 obtenido con una calculadora de bolsillo.

La aproximación puede ser sucesivamente mejorada. El hecho que se obtenga un valor progresivamente más cercano a la raíz del número está basado en consideraciones de fracciones continuas que esca-pan del propósito del presente texto.

¿Qué sucede si para este cálculo usamos

a = 10 y b = 13?

¿Y si usamos a = 10 y b = 12?

Comenta tus resultados.

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Recordemos que una de las propiedades demos-tradas para potencias enteras de igual base es:

aman = am + n

Analicemos la siguiente pregunta:

La raíz cuadrada como potencia fraccionaria¿Qué valor debe tener m para que se satisfaga la ecuación amam = a?

Como se puede ver, en general m no va a ser un número entero.

Comparando ambos resultados podemos apreciar que:

9 • 25 = 9 • 25

Los resultados numéricos obtenidos en a) y b) parecen sugerir una ley general: que la raíz cuadrada de un producto de números positivos es igual al producto de las raíces cuadradas de dichos números.

La expresión algebraica de la a� rmación anterior es:

a • b = a • b con a, b ≥ 0

Por el momento se trata solo de una conjetura, ya que aún no ha sido demostrada en forma general.

Demostraremos que efectivamente la relación anterior es una propiedad general de la operación extracción de raíz cuadrada.

DemostraciónSupongamos que a y b son números reales posi-tivos, es decir a > 0 y b > 0.

Entonces su producto ab también es un número positivo.

La expresión a • b es, por de� nición un número positivo, al igual que a y b .

Si efectivamente, se cumple que a • b = a • b , entonces al elevar ambos miembros al cuadrado la igualdad debiera mantenerse, es decir

( a • b )2 = ( a • b )2

Respecto al primer miembro de la relación anterior, sabemos que, por de� nición de raíz cuadrada,

( a • b )2 = a • b

En cuanto al segundo miembro, podemos a� r-mar de nuestros conocimientos adquiridos an-teriormente, que el cuadrado de un producto de números es igual al producto de los números al cuadrado, de modo que:

( a • b )2 = ( a )2 ( b )2 = a • b

Comparando los segundos miembros de las dos últimas relaciones, podemos establecer que sus respectivos primeros miembros son iguales entre sí:

( a • b )2 = ( a • b )2

Como habíamos dicho a • b es un número positi-vo y a • b también lo es (porque es el producto de dos números positivos). Si los cuadrados de dos números positivos son iguales entre sí, enton-ces los números son iguales entre sí, vale decir,

a • b = a • b .

Esto demuestra nuestra conjetura.

Raíz cuadrada de un cocienteDe un modo enteramente análogo puede dem-ostrarse que la raíz cuadrada del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces cuadradas de los respectivos números.

En lenguaje algebraico, si a y b son números positivos, entonces:

ab

= a b

, a > 0 , b > 0

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Racionalizar el denominador irracional de una fracción signi� ca transformar la fracción dada en otra equivalente, cuyo denominador no contenga raíces.

Aunque parezca absurdo, para lograr tal propósito se multiplica la fracción dada por 1, pero escrito

Comparación de fracciones con denominadores radicalesDe lo que sabemos, es relativamente fácil ordenar en la recta numérica el conjunto:

2 , 3 , 5 , 2

Dado que 2 = 4 , se tendría que:

2 < 3 < 2 < 5

Igualmente, comparar 1

3 con 1 + 3

3 no es complicado, ya que a igualdad de denominadores, son los numeradores los que prevalecen al mo-mento de establecer comparaciones y en el caso

propuesto 1 3

< 1 + 3 3

, puesto que 1 < 1 + 3

Algo más complicado es, por ejemplo, comparar 1 + 2

2 con 1 + 3

3 .

Una manera de poder establecer la posición relativa en la recta numérica de fracciones como las anteriores es racionalizar sus denominadores antes de proceder a la comparación, es decir, ampli� carlas por un factor apropiado que elimine las cantidades radicales (es decir, que contienen raíces) del denominador.

Racionalización del denominador de una fracciónde una manera adecuada que conduzca a la forma deseada.En otras palabras, hay que ampli� car la fracción dada por un número apropiado que elimine las raíces del denominador. Dicho factor de ampli-� cación se conoce con el nombre de factor de racionalización o factor racionalizador.

Si generalizamos para números cualesquiera la propiedad recientemente enunciada para números enteros, tendremos que:

amam = a2m

Comparando los segundos miembros de las dos últimas ecuaciones se puede apreciar que, dado que deben ser iguales, estamos en presencia de una ecuación entre potencias de igual base:

a2m = a

Debe cumplirse entonces, que los exponentes deben ser iguales entre sí, es decir:

2 m = 1 o m = 12

Por otro lado, dado que:

amam = (am)2

Entonces, la ecuación original toma la forma

(am)2 = a

Pero, por de� nición de raíz cuadrada, si b2 = a, entonces b = a , la ecuación anterior nos indica que:

am = a

Como anteriormente habíamos aventurado que, en la situación que estamos analizando am = a

12 ,

podemos concluir que a12 es una forma alternativa

de escribir a , es decir:

a12 = a

Como veremos posteriormente, en algunos casos resulta más conveniente, desde el punto de vista operacional, utilizar la notación recientemente introducida para el operador raíz cuadrada y generalizar para números cualesquiera las pro-piedades conocidas de la operación potencia con exponentes enteros.

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1. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) 1 2

b) 2 3

c) 32 5

d) 6 3

e) 1 a con a > 0

Solucionesa) En este caso escogemos escribir 1 ≡ 2

2, es decir amplifi camos la fracción por 2 (el

factor de racionalización)Entonces,

1 2

= 1 2

• 1 = 1 2

• 2 2

= 2( 2 ) 2 = 2

2o sea

1 2

= 22

, con lo que hemos logrado el propósito.

b) Aquí escogemos 1 ≡ 3 3 •

••

2 3 =

2 3 •

3 3 =

2 3( 3 )2

•••

2 3 =

2 33 ; el factor racionalizador es 3

c) 3

2 5 = 3

2 5 • 5 5 =

3 52 • 5 =

3 510 •

••

32 5 =

3 510

¿Cuál es el factor racionalizador en este caso?

d) 6 3 = 6

3 • 3 3

= 6 33

••• 6

3 = 2 3

e) 1 a =

1 a • a

a ••• 1

a = aa


a) 23

5 b)

35

3 c)

2 • 1

257

d) c

ab

a • b

c con a, b, c > 0

Soluciones

a) 23

5 = 2

3

5 •

23

23

= 23

5 • 23

= 152 •

2 3

= 152 • 2

3 • 3

3 = 15 • 2 3

2 • 3

5

1

•••

23

5 = 5 62

También podríamos haber procedido así:

23

5 = 5 • 3 2

= 5 • 3 2 • 2

2 •

••

23

5 = 5 62

b) 35

3 = 3 • 5 3

= 3 • 5 3

•••

35

3 = 5

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c) 57

2 • 1

2 = 2 •

1 2

5 7

= 2 2

• 7 5

= 2 2

• 7 5

• 2 5 2 5

= 2 7 2 5 2 • 5

= 705

d) c

ab

a • b

c = a • b c

• a b c

•••

cab

a • b

c =

ab a c


1. Elimina los radicales de los denominadores de las siguientes expresiones:

a) 11

11 b) 6 – 3 3

c) 4 2 8

d) 10 12 e) a a

5a con a > 0


a) 52

8 b)

27

7 c) 72

7 d) 2358

e) ac2ca

con a, c > 0

Denominadores binomialesEn algunos casos el denominador es la suma o la diferencia de dos términos, de los cuales al menos uno es una raíz cuadrada, como los casos siguientes:

1 2 + 1 ,

3 3 5 – 3 ,

2 7 + 2

En estos casos, el factor racionalizador se cons-truye con la suma o la diferencia de los dos términos del denominador, de acuerdo a si el denominador es respectivamente la diferencia o la suma de dichos términos.

Para mayor precisión, en los ejemplos dados los factores racionalizadores son respectivamente:

2 – 1, 5 + 3 , 7 – 2 , de modo que las fracciones se multiplican por:

2 – 1 2 – 1

, 5 + 3 5 + 3

y 7 – 2 7 – 2

respectivamente.

Las razones para que ello sea así provienen de la igualdad conocida como suma por diferencia, que expresa que el producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.

En lenguaje algebraico, si los términos conside-rados son a y b, entonces:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Esto puede demostrarse desarrollando el pro-ducto de los paréntesis del primer miembro y reduciendo términos semejantes.

Más claridad sobre el procedimiento señalado se obtiene al resolver algunos ejercicios.

donde a, b, c son positivos, ya que de otra forma a b = a b / , además de que no hay raíces

negativas en el conjunto de los números reales.

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1. Racionaliza las siguientes fracciones:

a) 1

2 + 1 b) 3 3

5 – 3 c) 2

7 + 2 d) 4

–1 + 5

Solucionesa) En el caso de 1

2 + 1 un factor racionalizador es 2 – 1, de modo que:

1

2 + 1 = 1

2 + 1 • 2 – 1 2 – 1 = 2 – 1

( 2 + 1) ( 2 – 1)

= 2 – 1

( 2 )2 – 12 = 2 – 12 – 1 •

••

1 2 + 1 = 2 – 1

b) 3 3 5 – 3 = 3 3

5 – 3 • 5 + 3 5 + 3 = 3 3 ( 5 + 3)

( 5 )2 – ( 3 )2

= 3 3 ( 5 + 3)5 – 3

•••

3 3 5 – 3

= 3 15 + 92

c) 2 7 + 2 = 2

7 + 2 • 7 – 2 7 – 2

= 2( 7 – 2 )7 – 2

•••

2 7 + 2 =

2( 7 – 2 )5

d) 4

–1 + 5 = 4

5 – 1 = 4 ( 5 + 1)( 5 – 1) ( 5 + 1)

= 4 ( 5 + 1)5 – 1

•••

4–1 + 5

= 5 + 1

2. Racionaliza las siguientes fracciones algebraicas con a, b, x, y, u, v ≥ 0 y b ≠ 0, a ≠ 1, x ≠ y, 3u ≠ 5v

a) a

a + 1 b) b

b + 2b c) y (x – y) x – y , x ≠ y d)

u – v 3u + 5v

Soluciones

a) a a + 1 = a

a + 1 • a – 1 a – 1

= a( a – 1)( a )2 – 12

•••

a a + 1 =

a( a – 1)a – 1

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b) b

b + 2b = b

b + 2b • b – 2b b – 2b

= b b (1 – 2 )( b )2 – ( 2b)2

= b b (1 – 2 )

b – 2b = b b (1 – 2 )

–b �

•••

b b + 2b

= ( 2 – 1) b

c) y (x – y) x – y =

y (x – y) x – y •

x + y x + y =

y (x – y) ( x + y )(x – y)

•••

y (x – y) x – y

= xy + y , x ≠ y

d) u + v 3u + 5v

= u + v

3u + 5v • 3u – 5v

3u – 5v =

= ( u + v ) ( 3u – 5v)

3u – 5v =

= 3 u – 5uv + 3 uv – 5 v

3u – 5v


Racionaliza y reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones donde k, x, p, q, x, z > 0: a)

5 3 – 2 b)

2 3 + 1 c)

6 5 + 2

d) 3

5 3 – 2 5 e) 7 7

3 7 – 7 f ) k

k + 2

g) x 2x + x

, x ≠ 0 h) 2p + 3q 2p – 3q

, p ≠ 3q2 . Aplicar al caso p = 3q

i) (z – y)

–zy

yz

, y ≠ z

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Denominadores trinomialesYa analizamos las situaciones en que el denomina-dor es un monomio o un binomio con radicales.No es complicado idear un procedimiento basado en los anteriores cuando el denominador es un trinomio en el que al menos uno de ellos es un radical, es decir, fracciones de la forma:

2 2 + 3 + 1

o k r + s + t

Resolvamos algunos ejercicios para darnos cuen-ta de cuál es una de las estrategias posibles para abordar estos casos.


1. Racionaliza la fracción: 2 2 + 3 + 1

SoluciónConviene, en este caso, adoptar la misma técnica utilizada en los ejercicios resueltos anteriormente, pero como veremos, será necesario aplicarla dos veces.

2 2 + 3 + 1

= 2( 2 + 3 ) + 1

• ( 2 + 3 ) – 1( 2 + 3 ) – 1

Llamamos la atención acerca de las expresiones que hemos encerrado entre paréntesis para enfatizar el hecho de que aplicamos la igualdad (suma por diferencia) a ellas, es decir que:

[( 2 + 3 ) + 1] [( 2 + 3 ) – 1] = ( 2 + 3 )2 – 1

Entonces, desarrollando el cuadrado del binomio y reduciendo términos semejantes:

[( 2 + 3 ) + 1] [( 2 + 3 ) – 1] = 2 + 2 2 3 + 3 – 1

= 4 + 2 6 = 2 (2 + 6 )

De esa forma la fracción se reduce a:

2 2 + 3 + 1

= 2 [( 2 + 3 ) – 1] 2 [ 2 + 6 ]

= 2 + 3 – 1 6 + 2

Pero seguimos manteniendo un radical en el denominador, por lo cual aplicamos nueva-mente la técnica conocida:

2 2 + 3 + 1

= 2 + 3 – 1 6 + 2

• 6 – 2 6 – 2

= ( 2 + 3 – 1) ( 6 – 2) 6 – 4

= 2 3 – 2 2 + 3 2 – 2 3 – 6 + 2 2

= 2 – 6 + 2 2

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Notemos que podríamos haber agrupado el trinomio del denominador de una forma dife-rente, como lo indicamos con los paréntesis en el siguiente desarrollo:

2 2 + 3 + 1

= 2 2 + ( 3 + 1)

• 2 – ( 3 + 1) 2 – ( 3 + 1)

=

= 2 ( 2 – 3 – 1)2 – ( 3 + 1)2

= 2 ( 2 – 3 – 1)2 – (3 + 2 3 + 1)

= 2 ( 2 – 3 – 1)–2 ( 3 + 1)

= ( 3 – 2 + 1) 3 + 1

• 3 – 1 3 – 1

= ( 3 – 2 + 1) ( 3 – 1)2

= 3 – 3 – 6 + 2 + 3 – 12

= 2 – 6 + 22

Este es el mismo resultado obtenido anteriormente, como era de esperar.

2. Elimina los radicales del denominador de 1 r + s + t

, con r, s, t > 0

SoluciónRealmente, en este caso, a pesar de tratarse de un denominador trinomial, aparece solo un término radical, de modo que la racionalización es más directa.

1 r + s + t

= 1 r + (s + t)

• r – (s + t) r – (s + t)

∴ 1 r + s + t

= ( r – s – t)r – (s + t)2


Racionaliza las fracciones siguientes, siendo p, q > 0:

a) 2 2 + 3 – 1

b) 1 2 + 3 + 5

c) 12 3 + 3 5 + 7

d) 1 p + 2q – p + 2q

Ahora estamos en condiciones de resolver con propiedad las situaciones relativas a comparar fracciones con denominadores radicales plantea-das con anterioridad.

Para familiarizarnos con el procedimiento, resol-vamos algunos ejercicios.

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Compara los números a = 1 + 2 2

y b = 1 + 3 3

.

Solución

Método 1En primer lugar, racionalicemos ambas fracciones.

a = 1 + 2 2

= 1 + 2 2

• 2 2

= 2 + 22

b = 1 + 3 3

= 1 + 3 3

• 3 3

= 3 + 33

Expresemos ahora a y b de modo que tengan un denominador común. Para ello am-plifi camos a por 3 y b por 2 respectivamente, de modo que ambas fracciones tengan denominador 6.

a = 2 + 2 2

= 2 + 2 2

• 33 = 3( 2 + 2)

6 = 3 2 + 6

6

b = 3 + 3 3

= 3 + 3 3

• 22

= 2( 3 + 3)6

= 2 3 + 66

Ahora basta comparar los numeradores de a y b. Más aún, basta con comparar 3 2 con 2 3 . Como se trata de números positivos, la relación de orden es la misma que mantienen sus cuadrados. El cuadrado de 3 2 es (3 2 )2 = 18, mientras que el cuadrado de 2 3 es (2 3 )2 = 12, de manera que 3 2 > 2 3 por lo que el numerador de a es mayor que el numerador de b, lo cual quiere decir que a > b, o sea:

1 + 2 2 > 1 + 3

3

Método 2Formemos el cociente a

b y veamos cómo se compara con 1.

ab

=

1 + 2 2

1 + 3 3

= 1 + 2 2

• 31 + 3

= 3 (1 + 2 ) 2 (1 + 3 )

= 3 + 6 2 + 6

El numerador es mayor que el denominador, lo cual quiere decir que la fracción conside-rada es mayor que 1, entonces,

1 + 2 2

> 1 + 3 3

Es decir, a > b, resultado que coincide con el obtenido haciendo uso del método 1, como era de esperar.

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DefiniciónSean a y b dos números reales. Diremos que b es la raíz cúbica de a si y solo si b3 = a.

Como notación adoptaremos b = a3 y se debe

cumplir, de acuerdo a la de� nición de raíz cúbica, que b • b • b = b3 = a.

Ejemplos

a) 83 = 2, porque 2 • 2 • 2 = 23 = 8

b) 273 = 3, dado que 3 • 3 • 3 = 33 = 27

c) 1.0003 = 10, ya que 10 • 10 • 10 = 1.000

Una diferencia entrela raíz cuadrada y la raíz cúbica

Como habíamos observado, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Para ilus-trar este punto, lo que queremos decir es que no existe número real alguno que sea igual a –4 .

Sin embargo, ese no es el caso para la raíz cúbica.

Ejemplo

–83 = –2 ya que (–2) • (–2) • (–2) = (–2)3 = –8

Raíz cúbicaces las dimensiones de los nuevos cajones serán ancho = profundidad = 40 cm • 1,26 = 50,4 cm; altura = 25 cm • 1,26 = 31,5 cm”.

El señor Pino re� exiona en voz alta: “Los cajones de 60 lt que producimos nosotros son de50 cm • 50 cm • 32 cm”.

“Habría que ver si les sirven”, acota la gerente de ventas. “Si no fuera así, hacemos las modi-� caciones que sean del caso para satisfacer las necesidades de nuestro cliente”.

¿Por qué la raíz cúbica?Una fábrica de envases dispone de cajones de madera con diferentes capacidades medidas en litros (lt): 5 lt, 10 lt, 15 lt, etc.

Las dimensiones de los cajones de 40 lt son: 40 cm de ancho, 40 cm de profundidad y 25 cm de altura.

Recuerda que la capacidad de un envase, cuya forma es un paralelepípedo recto rectangular cuyas dimensiones son a, b, c es C = abc.En este caso C = 0,4 m • 0,4 m • 0,25 m = 0,04 m3. Como 1 m3 = 1.000 lt, entoncesC = 0,04 • 1.000 lt = 40 lt.

Para exportar sus productos, la empresa BerryJui-ce, uno de los clientes que atiende la ingeniero Robles, necesita cajones que mantengan las proporciones de los cajones descritos, pero cuya capacidad sea 80 lt. La señora Robles quiere saber cuáles serían las dimensiones que debe tener el cajón requerido y ver si los tiene en su inventario o si está en condiciones de producirlos.

Para ello conversa con el señor Pino, jefe de pro-ducción, y le dice: “La capacidad que BerryJuice requiere ahora (Cnueva) son cajones del doble de capacidad de los que usaba hasta el momento (Cantigua), es decir…” Y anota en la pizarra:Cnueva = 2 Cantigua

El jefe de producción razona así: “Digamos que las dimensiones de los cajones de ahora son a, b y c y su capacidad Cantigua = abc. Como hay que mantener las proporciones, las dimensiones de los nuevos cajones serán ka, kb y kc y su capacidad sería Cnueva = (ka)(kb)(kc) = k3 abc”.

La señora Robles, gerente de ventas, prosigue: “Como Cnueva = 2 Cantigua, tendremos que k3 abc = 2abc, es decir, k3 = 2, de modo tal que k= 23

”.

“Efectivamente”, dice el señor Pino. “Y como la raíz cúbica de 2 es aproximadamente 1,26 enton-

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La raíz cúbica como una potencia fraccionaria

Queremos mostrar una notación alternativa a 3

para la raíz cúbica de un número.

Al igual como procedimos en el caso de la raíz cuadrada, encontremos el valor que debe tener el exponente m para que se cumpla que:

am • am • am = a

De nuestros conocimientos de potencias de igual base sabemos que:

am • am • am = a3m

Comparando las dos últimas ecuaciones podemos a� rmar que:

a3m = a

De donde se deduce que:

3m = 1 ⇒

m = 13

Es decir, en este caso:

am = a13

Por otro lado, dadas las propiedades de las po-tencias de igual base, podemos escribir,

a3m = (am)3

Se tiene entonces que:

(am)3 = a

Pero, por de� nición la raíz cúbica de a es un nú-mero b tal que b3 = a, de manera que:

am = a3

Como habíamos encontrado formalmente por otra parte que am = a

13 , podemos advertir que es

consistente establecer la convención:

a3 = a

13

Esta forma de escribir las raíces como exponentes fraccionarios es factible de ser directamente ge-neralizada a todos los índices radicales, de modo que, por ejemplo:

a7 = a

17 ,

Y en general:

an = a

1n

De esta forma, todas las propiedades de las po-tencias son transferibles a las raíces. A modo de ilustración:

( a5 )3 = ( a 15 )3 = a

35 = a35

Y en general:

( an )m = ( a 1n )m = a

mn = amn

Igualmente, dado que 1

a53 = 1

a53

, recurriendo

a las propiedades de las potencias enteras pode-

mos a� rmar que:

1

a53

= a– 53 , es decir 1

a53 = a– 53

Operaciones con raícesy notación exponencial

Supongamos que queremos encontrar una ex-presión más compacta para 2 • 23

operando directamente con las raíces. En tal caso debemos buscar un índice común para ambas (que es el mínimo común múltiplo de los índices de las raí-ces) y cambiar consistentemente las cantidades subradicales.

En el caso de la raíz cuadrada y de la raíz cúbica, el índice común es 6.

En tal caso la transformación que corresponde es 2 = 236

, porque si elevamos ambos miembros a la potencia 6, tenemos por un lado que:

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( 2 )6 = ( 2 )2 • ( 2 )2 • ( 2 )2 = 2 • 2 • 2 = 23

Y por otro lado que:

( 236 )6 = 23

Análogamente:

23 = 226

De manera que:

2 • 23 = 236

• 226 = 23 • 226

= 256

Si por el contrario, optamos por trabajar con ex-ponentes fraccionarios, tendremos que:

2 • 23 = 2

12 • 2

13 = 2( 1

2 + 13 ) = 2(3 + 2

3 ) = 256 = 256

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s1. Reduce la expresión

23 • 423 • 32

8 • 93 • 2

13

2. Encuentra una expresión más compacta para 2 • 3 • 53

5 • 23 • 32

3. Expresa 213 • 2

16 • 4

32 como una raíz de una potencia entera de 2.

Racionalización de fraccionescon raíces cúbicas

Para efectos de racionalizar algunas fracciones, cuyo denominador contiene raíces cúbicas, con-viene recordar un par de identidades algebraicas de las que haremos uso. Ellas son:

(a3 – b3) = (a – b) (a2 + ab + b2)

(a3 + b3) = (a + b) (a2 – ab + b2)

que pueden ser fácilmente veri� cadas desarrollan-

do sus segundos miembros y reduciendo términos semejantes.

Veamos, a través de un ejercicio, cuál es su utilidad.

Racionalicemos por ejemplo, la fracción:

153 – 23

¿Cómo se relacionan las identidades anteriores con este ejercicio?En virtud de las identidades aludidas, ( 53 )3 – ( 23 )3

Este es el mismo resultado obtenido anteriormen-te, como era de esperar, pero esta vez se obtuvo en forma más directa.

La e� ciencia de la opción de calcular con expo-nentes fraccionarios se hace aún más evidente cuando las expresiones que se quieren simpli� -car involucran una variedad de índices radicales y exponentes enteros como, por ejemplo, es el caso de:

3 • 33 • 95

27 • 353 = 3

12 • 3

13 • (32)5

(33)12 • 3

53

= 356 • 310

332 • 3

53

=

= 356 • 310

3196

= 3466 = 37 • 3

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puede escribirse como:

( 53 )3 – ( 23 )3

=

( 53 – 23 ) [ ( 53 )2

+ 53 • 23

+ ( 23 )2 ]

Notemos que el primer factor del 2° miembro es exactamente el denominador de la fracción que queremos racionalizar.

Pero, ( 53 )3 – ( 23 )3 = 5 – 2 = 3, es decir, no con-tiene radicales.

Entonces, si ampli� camos la fracción por el factor que está entre paréntesis de corchete obtendre-

mos un denominador sin raíces. La fracción que debemos racionalizar puede escribirse:

153 – 23

=

1

( 53 – 23 ) •

( 53 )2 + 53

• 23+ ( 23 )2

( 53 )2 + 53• 53 + ( 23 )2 =

( 53 )2

+ 53• 23

+ ( 23 )2

5 – 2

∴ 1( 53 – 23 )

= ( 53 )2 + 103

+ ( 23 )2

3

que, como vemos, no contiene raíces en el denominador.


1. Racionaliza las fracciones siguientes:

a) 1 2 b)

2 3 c)

1 5 d) 12 – 8

3 – 2

e) 2 8

f) 5 3

g) 11 – 2 h) 3

5 – 2

i) 8 7 + 3

j) 2 3 5 + 3

k) 8 7 – 3

l) 2 3

5 – 3

m) 26 + 14 13 + 7

n) 12 + 8 3 + 2

o) 26 – 14 13 – 7

p) 12 – 8 3 + 2

2. Ordena:a) de menor a mayor las fracciones de cada fi la del ejercicio anterior;b) de menor a mayor las fracciones de cada columna del ejercicio anterior.

3. Racionaliza:

a) 193 b) 1

73 – 33

c) 1

2 – 23 d) 1

2 – 23

e) 1

103 + –83 f) k3

+ r3

k3 – r3 , k ≠ r

Nota: 2 = 83

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Sistema de coordenadas cartesianasDos coleccionistas de sellos postales que se están conociendo en un congreso internacional, intercambian sus direcciones para enviarse co-rrespondencia de sus respectivos países:– ¿Cuál es tu dirección?– Bolívar 86, Cali, Colombia. ¿Y la tuya?– Las Américas, 2381, departamento 36, Guaya-quil, Ecuador.

Un extranjero solicitando información:– ¿Dónde queda el Palacio de Gobierno?– Siguiendo por esta vereda, en la esquina doble a la izquierda y a mitad de cuadra está la puerta principal que conduce al patio de los naranjos.

Un cartel en la carretera dice así:Posada y restaurante “El Solar del Arlequín”. Kilómetro 328, Ruta 77.

Una muchacha indicando en un planisferio la ubicación de Hanga Roa:– Hanga Roa, la capital de Isla de Pascua, se encuentra ubicada aproximadamente en el paralelo 27° de latitud sur y a 109° de longitud oeste.

En un laboratorio se está perforando una plan-cha para montar un instrumento:– Dr. Salpeter, ¿dónde hay que hacer el agu-jero?– A 32 mm del borde inferior y a 46 mm del borde izquierdo.

Existen diferentes formas de ubicar un lugar en el espacio y las diferencias dependen del contexto en el cual se está desarrollando la acción.Vemos que normalmente basta con saber unos pocos datos: algunos nombres, algunos núme-

ros y alguna referencia. También depende de la precisión que se requiera en cada caso.

– ¿Sabes? Cuando éramos niños solíamos esconder en el patio de la abuela una llave que abría la despensa en la que guardaba las gal-letas. Contábamos 5 pasos hacia la palmera y después 8 pasos a la derecha. Y así, de vez en cuando comíamos más de lo permitido.– Pero, ¿de dónde partían contando?– Partíamos de la primera columna de la galería. Capaz que todavía esté allí. Claro que ahora está un poco complicado saber dónde está con tanta maleza.

Frecuentemente vamos a estar interesados en visualizar funciones a través de sus grá� cos.

Para ello es indispensable introducir algunas de� niciones y adoptar ciertas convenciones, de modo de no incurrir en confusiones por la ausencia de un lenguaje común.

Preocupémonos, entonces, de establecer tales consideraciones para aplicarlas al estudio de la función raíz cuadrada.

Ejes coordenados

Para de� nir un sistema de coordenadas carte-sianas sobre un plano, se elige arbitrariamente un punto de dicho plano que denotaremos por O y al que llamaremos origen del sistema de coordenadas.

Se traza por O una recta cualquiera OX y una recta ortogonal a ella OY y se de� ne en cada una de esas rectas un sentido que señalamos con una � echa.

La recta de� nida por O y X se denomina eje de las abscisas o eje coordenado X. Diremos que el rayo OX es el semieje positivo del eje coordena-do X. La recta de� nida por O e Y se denomina eje de las ordenadas, o eje coordenado Y.

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O 90º

Y

X

Coordenadas cartesianasde un punto

Sea R un punto cualquiera del plano.

Tracemos por R una recta perpendicular al eje coordenado X que lo intersecta en Q. Designe-mos por xR a la distancia OQ (se adopta la con-vención que si Q está sobre el semieje positivo del eje X, entonces xR es positivo; si Q coincide con O, entonces xR = 0; en los demás casos xR es negativo).

Tracemos ahora por R una recta perpendicular al eje Y que lo intersecta en S. Designemos por yR a la distancia OS.

Diremos que xR e yR son las coordenadas carte-sianas del punto R.

Notemos que, en virtud del teorema de Pitágoras,

OQ2 + OS2 = OR2

que también puede escribirse como,

x2R + y2

R = OR2

O Q

R S

Y

X xR

yR

CuadrantesUn sistema de coordenadas cartesianas en un plano genera cuatro regiones conocidas con el nombre de cuadrantes y que se numeran I, II, III y IV.

El cuadrante I es la región delimitada por los semiejes positivos de los ejes coordenados (es decir, es el conjunto de puntos R de� nidos por xR > 0 e yR > 0).

En la � gura siguiente se pueden apreciar los cua-drantes y su denominación.

O

Cuadrante I Cuadrante II

Cuadrante IV Cuadrante III

Y

X

De aquí en adelante, para enfatizar el hecho que los semiejes positivos y negativos de las abscisas y las ordenadas se extienden in� nitamente, lo señalaremos con � echas en ambos sentidos.

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Consideremos la función:

f(x) = x cuando x ≥ 0 Para gra� carla, elaboramos una tabla con los valores que asume f(x) para los enteros positivos

La función raíz cuadrada

de x entre 0 y 10, haciendo uso de una planilla MS Excel® y las facilidades grá� cas del mismo software (en caso de que no dispongamos de él podemos usar una calculadora de bolsillo y papel cuadriculado o milimetrado).

x f(x)

0 0,000

1 1,000

2 1,414

3 1,732

4 2,000

5 2,236

6 2,449

7 2,646

8 2,828

9 3,000

10 3,162

0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

y

5 10

x

Nota: hemos redondeado a las milésimas el valor de f(x).Frecuentemente usaremos aproximaciones.


Compara x con x para todos los valores positivos de x.

SoluciónAntes de intentar hacer un desarrollo analítico, grafi caremos con más detalle la función raíz cuadrada, porque de esa forma tendremos algunas señales para orientar mejor nuestros esfuerzos.De la tabla que ya se elaboró, podemos apreciar que x y x son iguales en x = 0 y en x = 1, y además que 2 > 2 , 3 > 3 y así sucesivamente cuando x > 1.¿Pero qué sucede cuando x está entre 0 y 1?Para averiguarlo, hagamos una tabla y un gráfi co más detallado de x para 0 < x < 1 a intervalos de 0,1.

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0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0,5 1,0

x

x

x f(x) = x

0,00 0,000

0,10 0,316

0,20 0,447

0,30 0,548

0,40 0,632

0,50 0,707

0,60 0,775

0,70 0,837

0,80 0,894

0,90 0,949

1,00 1,000

Examinemos en estos casos cómo se comparan x y x . De la tabla anterior podemos ver que0,2 < 0,2 y que 0,3 < 0,3 y que lo mismo sucede para todos los valores de x en el intervalo que estamos analizando. Ello se puede ver con mayor claridad, si trazamos en la misma fi gura la función que estamos estudiando (que llamaremos y1) y la función y2 = f(x) = x que representa una recta por el origen y que forma un ángulo de 45º con el eje X. Esta última función representa los puntos en los cuales y es igual a x, de modo que los puntos que están sobre ella satisfacen la propiedad y > x, mientras que en los puntos que están bajo ella y < x.

0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

y

x

y2 = x

y1 = x

0,4 0,6 0,8 0,2 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

x y1 = x y

2 = x

0,00 0,000 0,00

0,20 0,447 0,20

0,40 0,632 0,40

0,60 0,775 0,60

0,80 0,894 0,80

1,00 1,000 1,00

1,20 1,095 1,20

1,40 1,183 1,40

1,60 1,265 1,60

1,80 1,342 1,80

2,00 1,414 2,00

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Lo que hemos indagado hasta aquí pareciera indicar que:

x < x si 0 < x < 1 x = x si x = 0 ó x = 1 x > x si x > 1

Hasta ahora solo se trata de una suposición, puesto que lo hemos verifi cado para algunos casos, pero no lo hemos demostrado formalmente para todos los casos posibles.

Una igualdad aproximadaDe igual modo, si vamos a comprar 2 kilogramos de pan y nos venden 30 gramos más o 30 gramos menos no hace gran diferencia (a pesar de que en este caso se trata de un 1,5 % de variación, es decir, 3 veces mayor que en el ejemplo anterior). De hecho, las balanzas de algunas panaderías no son su� cientemente precisas como para estable-cer una diferencia de 30 gramos.

NotaciónCuando queremos expresar que dos números a y b son aproximadamente iguales, adoptaremos la notación:

a ≈ b , que se lee: “a es aproximadamente igual a b”.

Hagamos un análisis más cuantitativo.Para muchos efectos, dos cantidades se consi-deran aproximadamente iguales si, por ejemplo, di� eren en un 1% o en casos más exigentes en un 0,1%, o más aún, en un 0,002%. Es decir, como se vio en los ejemplos anteriores, la igualdad aproxi-mada de dos valores depende de la situación que se esté analizando.

¿Qué es mayor: a o a2?Consideremos un número menor que 1. (Para ser más concretos pensemos en el número 0,7). Si lo elevamos al cuadrado, el resultado también es menor que 1; pero, además, es un número menor que el número inicial. [En el ejemplo que estamos considerando: (0,7)2 = 0,49 < 0,7 < 1)].En lenguaje algebraico, lo que estamos a� rmando es que:

Si ε < 1 entonces ε2 < ε

Este título parece no tener sentido: “¿Cómo algo puede ser aproximadamente igual a otra cosa?” Matemáticamente hablando, dos números, o bien son iguales entre sí, o bien, son distintos. En el lenguaje cotidiano, ser aproximadamente igual es una expresión habitual. Por ejemplo, uno puede repartir en una � esta pedazos de torta aproximada-mente iguales entre sí; o bien, las super� cies de dos terrenos pueden ser aproximadamente iguales.Pero, ¿es posible asignarle un sentido matemático a la expresión “aproximadamente igual”? Por ejemplo, ¿es 2 aproximadamente igual a 100? En general, uno respondería que 2 y 100 NO son aproximadamente iguales.Y, ¿es 2 aproximadamente igual a 2,1? En este caso uno estaría más propenso a decir que sí lo son.O, ¿es 2 aproximadamente igual a 2,001? A este nivel ya pocos tendrían dudas de que ambos nú-meros son aproximadamente iguales.

Depende del contextoPero, en realidad, que haya consenso respecto a decidir si dos números son aproximadamente iguales entre sí depende del contexto.

Ponderar 755 o 753 puntos en el puntaje de in-greso a la universidad (hay aproximadamente un 0,3% de diferencia entre ambos números), puede ser decisivo para entrar a la carrera deseada. Pero si estamos determinando la antigüedad de una vasija indígena no hace gran diferencia si tiene 755 o 753 años (realmente en casos como este quizás nos bastaría con saber que tiene entre 700 y 800 años de antigüedad).

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1. Para tener una percepción más real de la afi rmación anterior:

a) Elabora una tabla para los números 0,9 – 0,8 . . . 0,1 ; 0,09 – 0,08 – . . . 0,01 y sus cuadrados.b) Calcula la diferencia porcentual entre los números dados y sus respectivos cuadrados.c) Comenta los resultados.

Solución

2. Demuestra (ahora en forma general) quesi ε < 1 entonces ε 2 < ε.

SoluciónSi 0 < ε < 1, entonces se puede encontrar un número δ > 0 de modo que: ε + δ = 1

(Por ejemplo, si ε = 0,7 entonces δ = 0,3).

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por ε, se obtiene la siguiente igualdad:

ε 2 + δε = ε Como δ > 0 y ε > 0, entonces δε > 0

Es decir, a ε 2 hay que sumarle un número positivo δε para que iguale a ε, lo cual quiere decir que ε 2 < ε, efectivamente.Por el contrario, si ε > 1 entonces a ε hay que restarle un número positivo δ para que iguale a 1:ε – δ = 1

Multiplicando ambos números de la igualdad por ε se obtiene:

ε 2 – δε = ε ⇒ ε 2 = ε + δεComo δ > 0 y ε > 0, entonces δε > 0, es decir, ε 2 > ε, cuando ε > 1.

¿Cómo se relacionan estos resultados con la conjetura del inicio de la página anterior?

NotaRecuerda que 1

10 = 10 %

x x2 x – x2

x

0.9 0.81000 10,0 %

0,8 0,64000 20,0 %

0,7 0,49000 30,0 %

0,6 0,36000 40,0 %

0,5 0,25000 50,0 %

0,4 0,16000 60,0 %

0,3 0,09000 70,0 %

0,2 0,04000 80,0 %

0,1 0,01000 90,0 %

x x2 x – x2

x

0,09 0,00810 91,0 %

0,08 0,00640 92,0 %

0,07 0,00490 93,0 %

0,06 0,00360 94,0 %

0,05 0,00250 95,0 %

0,04 0,00160 96,0 %

0,03 0,00090 97,0 %

0,02 0,00040 98,0 %

0,01 0,00010 99,0 %

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Otra forma de calcular una raíz a mano

Advertencia

En la columna correspondiente a ε 2

4 se

ha considerado el valor redondeado a las

centésimas.

ε 1 + ε (1+ ε2 )2

ε2

4 error

1,00 2,00 2,25 0,25 12,5 %

0,90 1,90 2,10 0,20 10,7 %

0,80 1,80 1,96 0,16 8,9 %

0,70 1,70 1,82 0,12 7,2 %

0,60 1,60 1,69 0,09 5,6 %

0,50 1,50 1,56 0,06 4,2 %

0,40 1,40 1,44 0,04 2,9 %

0,30 1,30 1,32 0,02 1,7 %

0,20 1,20 1,21 0,01 0,8 %

0,10 1,10 1,10 0,00 0,2 %

0,00 1,00 1,00 0,00 0,0 %

En la actualidad, prácticamente cualquier calculadora de bolsillo tiene una tecla que permite calcular la raíz cuadrada de un número con varias cifras signi� cati-vas. Si hacemos uso de una de ellas, al calcular 6 el resultado que nos entrega será 2,4494897 y en este caso se trata de un resultado aproximado. En algu-nos casos el resultado es exacto como, por ejemplo, cuando se calcula 4 = 2 ó 10,7584 = 3,28.Al inicio de este capítulo mostramos un método para calcular en forma aproximada la raíz de un número.Otra forma de hacerlo utiliza una igualdad aproxi-mada, que vamos a deducir a continuación.Para ello, consideremos la siguiente identidad:

1 + ε = ( 1 + ε2

)2

– ε 2

4

(Esto lo puedes veri� car desarrollando el cuadrado del binomio del segundo miembro y reduciendo en seguida términos semejantes).Haciendo uso de una planilla MS Excel® y con el propósito de comparar sus valores, tabulemos

1 + ε, ( 1 + ε2

) 2, ε 2

4 en el intervalo 0 ≤ ε ≤ 1.

De la identidad se puede despejar:

ε 2

4 = (1 + ε

2 ) 2

– ( 1 + ε)

En otras palabras, (1 + ε2 ) 2

y (1 + ε) di� eren

en ε 2

4. Para apreciar cuán importante es esta

diferencia, es necesario compararla con algo que

tenga sentido, en este caso con el valor 1 + ε.

Precisamente, en la columna “error”, lo que se

ha tabulado es el cociente ε 2

4(1 + ε)

expresado en

porcentaje.

Entonces, cuando ε 2

4 es pequeño en compara-ción con (1 + ε), podemos decir que:

(1 + ε) ≈ (1 + ε2

) 2

El cálculo es semejante al que hacemos cuando queremos calcular el alza de un precio de 1 kg de pan: calculamos la diferencia de precio y la dividimos por el precio original.

Ejemplo:

P1 = $ 480

P2 = $ 520

∆P = P2 – P1 = $ 520 – $ 480 = $ 40

Alza del pan: 40480

= 112

≈ 8,3 %

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Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad aproximada anterior, se obtiene:

1 + ε ≈ 1 + ε2

Una observación a tener en cuenta es que, dado que:

(1 + ε2

) 2

– ( 1 + ε) ≡ ε 2

4

entonces si ε ≠ 0, se tendrá que:

(1 + ε2

) 2

– (1 + ε) > 0

o lo que es equivalente a:

(1 + ε2

) 2

> ( 1 + ε)

1 + ε2

> 1 + ε

En otras palabras, la igualdad aproximada

1 + ε ≈ 1 + ε2

,

nos proporciona un método para calcular (en for-ma aproximada) la raíz cuadrada de un número cualquiera y el valor aproximado que se obtenga siempre será mayor que el valor exacto. Tanto el método como esta última consideración los ilus-traremos en los siguientes ejercicios resueltos.


1. Usando la aproximación recientemente deducida, encuentra un valor aproximado para 5 .

SoluciónDescomponemos el número 5 como 5 = 4 + 1, de modo que:

5 = 4 + 1 = 4 (1 + 14 ) = 4 1 + 1

4Pero, 4 = 2.

De acuerdo a la igualdad aproximada que dedujimos, colocando en este caso ε = 14 :

1 + 14 ≈ 1 + 1

2 • 1

4 = 1 + 1

8 = 9

8De esta manera:

5 ≈ 2 • 98

= 94

= 2,25

Podemos afi rmar entonces que:5 ≈ 2,25

Este resultado difi ere de 5 ≈ 2,236067977 obtenido con una calculadora de bolsillo, en un 0,63% aproximadamente.Si elevamos al cuadrado el resultado obtenido con el método estudiado, obtenemos que difi ere de 5 (el resultado que querríamos haber obtenido) en un 1,25%. Vale la pena comentar que también podríamos haber elegido descomponer el número 5 de otra forma como, por ejemplo: 5 = 3 + 2 y entonces:

5 = 3 + 2 = 3 (1 + 23 ) = 3 1 + 2

3

Pero en este caso nos topamos con la difi cultad de que desconocemos el valor de 3 , lo que nos impide seguir adelante con el procedimiento que hemos aprendido.

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2. Calcula 100 , con el mismo método empleado en el ejercicio anterior.

SoluciónEn este caso es obvio que el resultado exacto es 10, pero queremos ensayar la bondad y posibilidades del método.

En primer lugar, descomponemos 100 como la suma de un cuadrado perfecto más algo (que fue la estrategia utilizada en el ejercicio 1):

100 = 92 + 19 = 81 + 19

Entonces,

100 = 81 + 19 = 81 (1 + 1981

) = 81 1 + 1981

Pero, 81 = 9

De acuerdo a la igualdad aproximada que dedujimos, 1 + ε ≈ 1 + ε2

, esta vez conε = 19

81:

1 + 1981

≈ 1 + 12

• 1981

= 1 + 19162

= 181162

De manera que:

100 ≈ 9 • 181162 = 10,05

El procedimiento de cálculo que estamos utilizando nos permite afi rmar que 100 ≈ 10,05.

¿Cuál es el error cometido en este cálculo aproximado? Como el resultado exacto es 10, se puede afi rmar que el número obtenido con la aproximación es un 0,5 % superior a ese valor.


1. Repite los cálculos anteriores para encontrar 100 , pero esta vez con la descomposición 100 = 121 – 21. Discute si el valor aproximado para 100 obtenido de esta forma es más o menos preciso que el valor encontrado en el anterior ejercicio resuelto.

2. Calcula 150 , usando la aproximación 1 + ε ≈ 1 + ε2

.

Compara tu resultado con el obtenido con una calculadora o una planilla de cálculo.

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Utilizando un software de procesamiento simbólico, racionaliza las siguientes expresiones:

a) 2 + 3 – 5 2 + 3 + 5

b) 3 + 5 + 7 2 + 3 + 7

c) p – q – p + q p + q + p + q

Solución

Para resolver los ejercicios anteriores, haremos uso del programa Maple®.

Escribimos, en primer lugar, la expresión correspondiente a la fracción que se nos pide racionalizar, seguida de un punto y coma (;) en la forma:

(sqrt(2) + sqrt(3) – sqrt(5)) / (sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5));

sqrt es la abreviación de square root, la expresión inglesa para raíz cuadrada, de modo que sqrt(2) signifi ca 2 .

La acción del símbolo “;” permite obtener en notación algebraica, después de pulsar Enter, la ex-presión recientemente escrita.

En seguida, escribimos la ins-trucción de racionalizar, que en el caso de Maple® se escribe:

rationalize(%);

donde el símbolo % se refi ere a que se le está pidiendo al pro-grama que opere sobre la última expresión que ha aparecido en pantalla.

Los otros casos se resolvieron en forma análoga y la observa-ción de las pantallas es sufi ciente para entender el procedimiento detallado.

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La función cuadrática

El estudio de las ecuaciones lineales nos llevó a considerar funciones de la forma f(x) = mx + n, a encontrar su representación grá� ca, a interesarnos por sus intersecciones con los ejes coordenados y a descubrir otras propiedades.

Lo que caracteriza a las funciones de primer grado es que la variable (x) aparece elevada a la potencia 1.

El estudio de una función consiste, entre otras co-sas, en determinar los valores para los cuales está de� nida y los valores que asume, en analizar los puntos en los que puede tener un comportamiento especial, en de� nir su representación grá� ca, en estudiar las propiedades de la curva que la repre-senta, sus extremos (máximos y mínimos), sus intersecciones con los ejes coordenados.

En el caso de la función cuadrática, al estudiar las intersecciones con los ejes coordenados nos veremos enfrentados al problema de las solu-ciones (también llamadas raíces) de lo que se conoce con el nombre de ecuación cuadrática o de segundo grado, que, como mostraremos, son de particular relevancia en diversos ámbitos cientí� cos y tecnológicos.

¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado?No es que las ecuaciones de segundo grado (también llamadas ecuaciones cuadráticas) se nos aparezcan con demasiada frecuencia en nuestra vida cotidiana. Sin embargo, hay algunas oportunidades en que las ecuaciones de segundo grado sí pueden resultar de utilidad, como ya veremos.Pero los motivos para analizarlas, encontrar mé-todos para resolverlas y deducir las propiedades de sus soluciones, trascienden el mero afán utili-tario inmediato que más de alguno podría esperar de la Matemática asociada a ellas.

Hay motivos históricos, metodológicos, formativos e, incluso, lúdicos que justi� can su estudio. Más aún, en algunos casos las ecuaciones cuadráti-cas aparecen ineludiblemente al abordar ciertos problemas de otras disciplinas, como es el caso de la Física, de la Electrónica, de la Informática o de la Ingeniería.Hasta el momento habíamos tenido oportunidad de estudiar ecuaciones de primer grado (conoci-das con el nombre de ecuaciones lineales) con una incógnita y su correlato geométrico, que son las líneas rectas.

Funciones lineales y cuadráticasEs legítimo preguntarse: ¿Cuál es el siguiente grado de complejidad que se puede introducir a las funciones? Y, en la misma actitud, si considera-mos que las rectas son las “curvas” más simples, también uno puede preguntarse: ¿Cuáles son las curvas que les siguen en complejidad?

El estudio de una función consiste, entre otras co-sas, en determinar los valores para los cuales está de� nida y los valores que asume, en analizar los puntos en los que puede tener un comportamiento especial, en de� nir su representación grá� ca, en estudiar las propiedades de la curva que la repre-senta, sus extremos (máximos y mínimos), sus intersecciones con los ejes coordenados.

En el caso de la función cuadrática, al estudiar las intersecciones con los ejes coordenados nos veremos enfrentados al problema de las solu-ciones (también llamadas raíces) de lo que se conoce con el nombre de ecuación cuadrática o de segundo grado, que, como mostraremos, son de particular relevancia en diversos ámbitos cientí� cos y tecnológicos.

¿Para qué sirven las ecuaciones de segundo grado?No es que las ecuaciones de segundo grado (también llamadas ecuaciones cuadráticas) se nos aparezcan con demasiada frecuencia en

Hay motivos históricos, metodológicos, formativos e, incluso, lúdicos que justi� can su estudio. Más aún, en algunos casos las ecuaciones cuadráti-

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La función cuadrática

Una propuesta bastante natural es considerar funciones que incorporen potencias superiores de x, en cuyo caso la elección más sencilla es estudiar funciones de la forma f(x) = Ax2 + Bx + C.

En alguna oportunidad puedes haber visto que una curva “suave” cualquiera podía representar-se, al menos para ciertos propósitos, como una sucesión de segmentos rectilíneos. En otros casos resulta particularmente apropiado representar algunas partes de ciertas curvas como funciones cuadráticas y eso nos proporciona un elemento adicional para entender algunos problemas.

Situación 1Una señora lega a una institución de bene� cencia un terreno de 60 m de frente por 100 m de fondo, estableciendo que debe ser destinado funda-mentalmente a áreas verdes. Agrega que, para levantar una construcción, solo puede utilizarse un terreno cuadrado, cuya super� cie sea a lo sumo la quinta parte de lo que se destinará a parque. ¿Cuál es el área máxima que se puede ocupar para edi� car?

Situación 2Normalmente los terrenos destinados a uso agrí-cola o vivienda tienen formas irregulares. Cuando se quieren subdividir, no siempre es fácil lograr soluciones que satisfagan todos los gustos. En el caso que proponemos, se trata de dividir un terreno con forma de trapecio en dos partes de igual super� cie, mediante una recta paralela a sus bases, como puede apreciarse en las � guras adjuntas.

Pero como mejor se aprecia el aporte de las funciones cuadráticas y de las ecuaciones de segundo grado es estudiando algunas situaciones especí� cas que requieren de su utilización.

Situaciones reales y ecuación de segundo grado

100 m60

m

900

m

180.000 m2

180.000 m2

300 m

500 m

Para resolver las tres situaciones que se presentan a continuación se hace necesario plantear en cada caso una ecuación de segundo grado. Una vez que conozcamos los métodos de resolución de las ecuaciones cuadráticas, hacia el � nal de esta sección, serán abordadas y resueltas. U

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Para efectos interpretativos conviene escribir de un modo diferente la expresión anterior. Como A es distinto de 0, podemos factorizar por A los dos primeros términos del segundo miembro y entonces f(x) deviene en:

f(x) = A [ x2 + BA

x ] + C

A continuación, podemos escribir la expresión entre paréntesis como un cuadrado perfecto, restándole lo que corresponda para no alterar el valor de f(x), de modo que:

f(x) = A [ x + B2A

]2 – B2

4A + C

Situación 3Un remero tarda cierto tiempo en re-correr, contra la corriente de un río, los 3 km que separan a las boyas A y B. Cuando retorna (con la corriente a fa-vor), tarda 15 minutos menos. Sabe que cuando el río está calmo, él se desplaza a una velocidad uniforme de 15 km/h.a) ¿Cuál es la velocidad del torrente del río?b) ¿Cuánto tardó en ir río arriba?¿Qué tienen en común los planteamien-tos anteriores?

La función cuadráticaLa forma general que tiene una función cuadrática es:

f(x) = Ax2 + Bx + C

En esta función x es la variable, A es un coe� ciente real distinto de 0, y B y C son coe� cientes reales arbitrarios.

Forma estándar de la función cuadráticaVamos a de� nir tres constantes a, h y c de acuerdo a las relaciones siguientes,

a ≡ A h ≡ – B2A c ≡ C – B2

4A

de manera que f(x) adopta la siguiente expresión:

f(x) = a(x – h)2 + c

que diremos que es la forma estándar de la función cuadrática.

Realmente, lo que sucede es que todos ellos pueden ser resueltos encontrando y analizando las soluciones de una ecuación de segundo grado.Pero, lo que es aún más poderoso, es que todos ellos pueden ser descritos y analizados genéri-camente mediante funciones cuadráticas, lo cual permite extraer conclusiones generales aplicables a familias de problemas y no solo a casos parti-culares.Ello, entre otras cosas, justi� ca el que abordemos el estudio de la función cuadrática.

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La de� nición de los coe� cientes a, h y c que hemos introducido en la sección anterior, no es una elección caprichosa, sino que responde a la intención de asignar un signi� cado geométrico claro a cada uno de ellos.

Para entender con claridad el papel que juega cada uno de los coe� cientes en la expresión de la función cuadrática, adoptaremos un abordaje inductivo, considerando situaciones muy simples que iremos complejizando progresivamente.

La tabla adjunta resume los casos que estudiare-mos con el propósito de interpretar los coe� cien-tes aludidos y las propiedades geométricas de la función cuadrática.

De acuerdo a la tabla que hemos confeccionado, en este caso corresponde considerar h = 0 y c = 0, es decir, todas las parábolas que estudiaremos en el Caso 1 son de la forma y = ax2.Cualquiera sea el valor de a, cuando x = 0, tendremos que f(x) = 0, es decir, todas las curvas conside-radas pasan por el punto (0,0), es decir, por el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

Representación gráfica de la función cuadrática

Caso 1:parábolas que pasan por el origen del sistema de coordenadas

Caso 1.1Para simpli� car aún más el estudio, nos remitire-mos a considerar a = 1, es decir, estudiaremos en primer lugar la función y = x2.Tabulemos y gra� quemos la función anterior para valores enteros de x entre –4 y +4.Observamos que la grá� ca de la función consi-derada tiene forma de una U. Además, como se puede apreciar, la curva pasa por el punto (0,0),

es decir, por el origen del sistema de coordena-das. También es posible observar una simetría, que llamaremos de re� exión o especular, por el hecho que si imaginamos el eje y como un espejo, la rama derecha de la curva (en rojo) se re� eja en el eje generando la rama izquierda (en verde) o viceversa.

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20y

0–5–10 5x0

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x y

–4 16

–3 9

–2 4

–1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

Item a h c

Caso 1 = 0 = 0

1.1 = 1 = 0 = 0

1.2 > 0 = 0 = 0

1.3 < 0 = 0 = 0

Caso 2 = 0 ≠ 0

2.1 = 1 = 0 ≠ 0

2.2 = –1 = 0 ≠ 0

Caso 3 ≠ 0 = 0

3.1 = 1 ≠ 0 = 0

3.2 = –1 ≠ 0 = 0

Caso 4 arbitrario ≠ 0 ≠ 0

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0–2 –1–3–4 421 30

Caso 1.2Consideremos en conjunto, para efectos de com-paración, los siguientes casos:

y = 0,5x2 y = x2 y = 2x2 y = 3x2 y = 4x2

Podemos apreciar que estos casos son de la forma y = ax2 con a > 0, que es lo que nos había-mos propuesto estudiar. Tabulemos y tracemos en un mismo grá� co las funciones consideradas (las � guras de colores en la tabla están asociadas a las curvas del grá� co.)

x a = 0,5 a = 1 a = 2 a = 3 a = 4

–4 8 16 32 48 64

–3 4,5 9 18 27 36

–2 2 4 8 12 16

–1 0,5 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0,5 1 2 3 4

2 2 4 8 12 16

3 4,5 9 18 27 36

4 8 16 32 48 64

Como queda de mani� esto en los grá� cos exhibi-dos, las curvas presentan algunas características comunes: todas tienen forma de U, son simétricas respecto al eje de las ordenadas y pasan por el origen. Lo que las diferencia es que unas son más “abiertas” que otras. Mientras menor es el coe� ciente que acompaña a x, más “achatada” (es decir, más abierta) es la curva.

Tratemos de buscar una explicación general a los hechos que hemos observado.

El “achatamiento” depende de aPara � jar ideas, consideremos el valor x = 1. En ese caso, mientras mayor sea el valor de a, mayor va a ser el valor de f(x) (ver la � la destacada en la tabla anterior). Lo mismo se repite para cualquier otro valor de x positivo. Ello signi� ca que mientras mayor sea a, mayor es f(x) para un mismo valor de x, lo que explica que hay curvas que crecen más rápido que otras cuando x crece.

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Simetría especular de la parábolaSe puede ver cómo aparece la simetría si consi-deramos la función f evaluada en x y en –x:

f(x) = ax2 ⇒ f(–x) = a(–x)2 = ax2 ,

es decir:f(x) = f(–x).

Esta es justamente la propiedad que de� ne la simetría de re� exión (o especular).

Caso 1.3¿Y qué sucede si el coe� ciente a < 0?

Consideremos nuevamente en conjunto, para efectos de comparación, los siguientes casos de la forma y = ax2, pero en esta ocasión a es negativo:

y = –0,5x2 y = –x2 y = –2x2

y = –3x2 y = –4x2

x a = –0,5 a = –1 a = –2 a = –3 a = –4

–4 –8 –16 –32 –48 –64

–3 –4,5 –9 –18 –27 –36

–2 –2 –4 –8 –12 –16

–1 –0,5 –1 –2 –3 –4

0 0 0 0 0 0

1 –0,5 –1 –2 –3 –4

2 –2 –4 –8 –12 –16

3 –4,5 –9 –18 –27 –36

4 –8 –16 –32 –48 –64

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Como se observa en los grá� cos exhibidos, las curvas presentan algunas características comu-nes: todas tienen forma de U invertida ( ), al igual que en el caso en que a es positivo, son simétricas respecto al eje de las ordenadas y pasan por el origen. Del mismo modo que en el caso anterior, lo que las diferencia es que unas son más “abier-tas” que otras. Mientras menor en valor absoluto (es decir, mientras mayor) es el coe� ciente que acompaña a x, más “achatada” (o sea, más abier-ta) es la curva.

Caso 2.1

Nos corresponde considerar ahora estudiar el caso h = 0, c ≠ 0. Es decir, la forma estándar de la función cuadrática asume la forma:

y = ax2 + c

En este punto vale la pena hacer una analogía con un hecho que conocemos de nuestro estudio de la recta.

La representación grá� ca de una función de la forma f(x) = mx es una recta que pasa por el origen, mientras que la función f(x) = mx + n queda repre-sentada por una recta paralela a la anterior, pero desplazada verticalmente en n; dicho de otra manera, se trata de una recta que ya no pasa por el origen, sino que corta al eje de las ordenadas a una distancia n del origen (estrictamente hablando a una distancia |n| del origen, por sobre o bajo el eje x dependiendo si n > 0 ó n < 0 respectivamente).

¿Sucederá algo similar en este caso? Es decir, si consideramos la función f(x) = ax2 + c, ¿se producirá un desplazamiento paralelo vertical de f(x) = ax?

Caso 2.2

Remitámonos, en primer, lugar al caso en que:

a = 1 , h = 0 , c ≠ 0

Vamos a considerar la función f(x) = x2 + c, simultáneamente para varios valores de c (nulo, positivo y negativo) para realizar un análisis comparativo entre las diferentes representaciones grá� cas que obtengamos.

Con propiedad podemos establecer entonces la si-guiente a� rmación respecto a la función f(x) = ax2:

1. Representa una curva que denominaremos pa-rábola, cuya forma es similar a una letra U cuando a es positivo y a una letra U invertida (

U

) cuando a es negativo.

2. Pasa por el origen O del sistema de coordenadas. 3. Posee simetría especular con respecto al eje y, es decir f(x) = f(–x).

Caso 2: desplazamiento vertical de la parábola

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0–2 –1–3–4–5 4 521 30

-5

Para ello, tabulemos la función para los valores de c consignados en la tabla siguiente:

Efectivamente entonces, el efecto del coe� ciente c es desplazar verticalmente la parábola; y como se puede apreciar en el grá� co se desplaza en |c| unidades hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si c es positivo o negativo, respecti-vamente.

x c = –3 c = 0 c = 2,5 c = 4 c = 8

–4 13 16 18,5 20 24

–3 6 9 11,5 13 17

–2 1 4 6,5 8 12

–1 –2 1 3,5 5 9

0 –3 0 2,5 4 8

1 –2 1 3,5 5 9

2 1 4 6,5 8 12

3 6 9 11,5 13 17

4 13 16 18,5 20 24

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0–5–10 5 100

Para h ≠ 0 , c = 0 la forma estándar de la función cuadrática deviene en este caso en:

y = a(x – h)2

Caso 3.1

Analizaremos, en primer lugar, el caso a = 1 y ve-remos que la generalización a valores arbitrarios de a ≠ 0, es inmediata, una vez estudiados los casos anteriores.

Como ya lo hemos hecho en otras oportunidades semejantes, gra� quemos la función simultánea-mente para varios valores de h (positivos y nega-tivos) de modo de poder visualizar el efecto que la variación de h produce.

Al observar el grá� co podemos notar que el efecto de h en y = (x – h)2 es desplazar la parábola y = x2 hacia la izquierda o hacia la derecha, dependiendo de si h es negativo o positivo respectivamente, de modo que y = (x + 3)2 que representa la parábola del extremo izquierdo en el grá� co, es idéntica a la parábola y = x2, solo que está desplazada 3 unidades hacia la izquierda. De un modo análogo, y = (x – 5,5)2 también es una parábola idéntica a y = x2, pero que está desplazada en 5,5 unidades hacia la derecha.

Caso 3: desplazamiento horizontal de la parábola

x h = –3 h = –2 h = –1 h = 4 h = 5,5

–10 49

–9 36 49

–8 25 36 49

–7 16 25 36

–6 9 16 25

–5 4 9 16

–4 1 4 9

–3 0 1 4 49

–2 1 0 1 36

–1 4 1 0 25 42,25

0 9 4 1 16 30,25

1 16 9 4 9 20,25

2 36 25 16 1 6,25

4 49 36 25 0 2,25

5 49 36 1 0,25

6 49 4 0,25

7 9 2,25

8 16 6,25

9 25 12,25

10 36 20,25

11 49 30,25

12 42,25

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1. ¿Por qué crees que la tabla del análisis anterior se construyó de manera aparentemente antojadiza, con tantos casilleros vacíos?

2. Realiza el análisis anterior para valores de a ≠ 1 (positivos y negativos).

Consideremos dos funciones cualesquiera y1 = f(x) e y2 = g(x) como las que se representan en la � gura siguiente:

Caso 4: recapitulaciónEn virtud del análisis de los diferentes casos, es posible entender con mayor claridad la decisión de escribir la función cuadrática en la forma:

f(x) = a(x – h)2 + c

Como se había adelantado, los coe� cientes a, h y c poseen signi� cado geométrico claro.El signo del coe� ciente a indica si la parábola está abierta hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0), mientras que su magnitud es una medida de su abertura: mientras mayor es IaI, más cerrada es la parábola.Por su parte, h determina el desplazamiento ho-rizontal de la parábola, entendiendo que cuando h = 0, el eje de simetría especular de la parábola es el eje OY. Si h > 0 (h < 0) el eje de simetría se desplaza hacia la izquierda (derecha).Finalmente, el coe� ciente c es el responsable del

desplazamiento vertical de la parábola; cuando c = 0, el vértice de la parábola “roza” al eje OX (es decir, el eje OX es tangente a la parábola en su vértice). El signo de c indica si la parábola se desplaza hacia arriba (c > 0 ) o hacia abajo (c < 0).

Valor absolutoEl valor absoluto de un número real a se denota por IaI y por de� nición: a si a ≥ 0 IaI = –a si a < 0

Por ejemplo, I0,8I = 0,8 mientras que:

I – 23 I = 2

3

Entonces, para todo número real a:

IaI ≥ 0

Intersección de curvasPor de� nición de intersección, P, Q y R son puntos que pertenecen a ambas curvas, es decir, son puntos en los cuales ambas funciones adoptan el mismo valor. Por ejemplo, en el punto P se cumple que y1 = y2 , es decir:

f(xP ) = g(xP )

Relaciones análogas se pueden escribir para los puntos Q y R.En principio, la ecuación anterior nos permitiría determinar xP (la abscisa del punto de intersección P). Una vez calculado xP, su valor se introduce en la ecuación de cualquiera de las curvas para deter-minar la ordenada yP del punto de intersección.El punto de intersección P queda así determinado por sus coordenadas (xP , yP) del modo que se indicó.

P Q

R y1 = f(x)

y2 = g(x)

XO

Y

En el ejemplo escogido, las curvas se intersectan en tres puntos (P, Q, R) del intervalo considerado.

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Cuando buscábamos la intersección de dos rectas de� nidas por y1 = m1x + n1 e y2 = m2x + n2 res-pectivamente, imponíamos la condición y1 = y2 lo que proporcionaba una ecuación para determinar la abscisa x e introduciendo el resultado en la

Intersección de dos rectasecuación de cualquiera de las rectas se determi-naba la ordenada y.Para recordar el procedimiento, resolvamos un ejercicio.


1. Determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas:

y1 = 12 x – 2

y2 = – 13

x + 3

SoluciónLlamemos Q ( xQ , yQ ) al punto de intersección. En tales circunstancias se tendrá que:

y1(xQ ) = y2(xQ ) ⇒ 12

xQ – 2 = – 13 xQ + 3 ⇒ 5

6 xQ = 5 ∴ xQ = 6

Introduciendo el valor hallado para xQ en la expresión para cualquiera de las rectas se encuentra que yQ = 1.

Es decir, las coordenadas del punto de intersección Q son (6,1).

En lo sucesivo, cuando no haya posibilidades de confusión y para no recargar la notación, omitiremos los subíndices asociados a los puntos de intersección.

2. Grafi ca la situación descrita en el ejercicio anterior.

Solución:

12

y2 = – x + 3

345

0–1–1–2–3–4

–2–3–4–5 5 6 7 8

Q

91 2 3 40

13

y1 = x – 212

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030 min

t

B

A

x

Intersección de una parábola con el eje de las abscisas


Considera la parábola y = 4x2 – 1. Encuentra en qué punto(s) la curva dada intersecta al eje OX.

Solución

El eje OX es una recta que está defi nida por la ecuación y = 0.

Lo que estamos buscando entonces es la intersección de las “curvas” y1 = 4x2 – 1 e y2 = 0

f(x) g(x)

1. La recta L1 intersecta al eje y en el punto A de coordenadas (0,3) y a la recta L2 en el punto Q(2,5). A su vez L2 intersecta al semieje positivo OX a una distancia 1 del origen.Determina las ecuaciones de L1 y L2.

2. Encuentra el punto de intersección de las rectas descritas por las ecuaciones y = 6x + 2, 12 y – 3x – 4 = 0.

Interpreta el resultado obtenido.

3. El gráfi co adjunto representa el movimiento uniforme (es decir, con velocidad constante y rectilíneo) de dos vehículos que parten desde un mismo punto, que hemos elegido como el origen de coordenadas, pero en que el más veloz (B) parte 30 minutos más tarde que el más lento (A). Si las velocidades son res-pectivamente 120 km/h y 80 km/h, encuentra:

a) ¿a qué distancia de O el vehículo B alcanza al vehículo A?

b) ¿cuánto tarda B en alcanzar a A?

Nota: en un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v, si x es la distancia recorrida y t es el tiempo que tarda el móvil en recorrerla, entonces x = vt.

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Como vimos recientemente, el(los) punto(s) de intersección se encuentra(n) imponiendo y1 = y2. En este caso la ecuación anterior se traduce en:

4x2 – 1 = 0, de donde 4x2 = 1 ⇒ x2 = 14 ⇒

x1 = 12

x2 = – 12

⇒ y1 = y2 = 0

Hemos encontrado, entonces, dos puntos de intersección P y Q, cuyas coordenadas sonP( 1

2 , 0) y Q( – 12 , 0).

Gráfi camente la situación planteada queda descrita, con lo que hasta aquí hemos descubierto, como sigue:

Q PXO

Y

12

12

Análisis gráfico

Encontremos ahora la intersección de la pa-rábola y1 = a(x – h)2 + c con el eje OX (es decir, con la recta y2 = 0).

Analicemos en forma grá� ca cuáles son las alternativas que pue-den surgir.

DiscusiónDe lo que habíamos aprendido en las seccio-nes anteriores, es posible deducir, sin tabular ni gra� car, algunas características de la parábola estudiada en el ejercicio resuelto anterior.

a) La parábola y = 4x2 – 1 ya está escrita en la forma estándar y = a(x – h)2 + c, con a = 4; h = 0 y c = –1.

b) a = 4 > 0 ⇒ la parábola es abierta hacia arriba (U).

c) Como h = 0, el eje de simetría es OY.

d) Como además c = –1, la parábola intersecta al eje y en el punto (0, –1).

Generalizacióny a > 0

c < 0

x (h,c)

y a < 0 c > 0

x

(h,c)

y a > 0 c = 0

x (h,0)

y a < 0 c = 0

x(h,0)

y a > 0 c > 0

x

(h,c)

y a < 0 c < 0

x(h,c)

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De acuerdo al diagrama anterior, podemos observar que existen tres alternativas, tanto para el caso en que la parábola sea abierta hacia arriba (U) como hacia abajo (

U

). Ellas son:

a) que la parábola intersecte al eje x en dos puntos diferentes.

b) que la parábola intersecte al eje x solo en un punto (en otras palabras, que el eje x sea tangente a la parábola en el vértice de ella).

c) que no exista intersección entre la parábola y el eje x.

Análisis algebraicoVamos a darle una expresión algebraica a los re-sultados grá� cos de la sección anterior. Para ello imponemos y1 = y2, que en este caso, dado que el eje OX está descrito por la ecuación y2 = 0, quiere decir y1 = 0, lo que implica a(x – h)2 + c = 0, de donde se puede deducir que:

(x – h)2 = – ca

⇒

(x – h) = ± ca

– ⇒ x1 = h + –

x2 = h – –

caca

Analicemos las cantidades subradicales que apa-recen en las expresiones para x1 y x2.

a) Si x1 ≠ x2 y además – ca > 0 (lo cual quiere

decir que ca

está de� nida en ), entonces,

la parábola intersecta al eje OX en los puntos de

coordenadas (x1 , 0) y (x2 , 0) con x1 y x2 dados

por las expresiones en el paréntesis de llave.

b) Si c = 0 es fácil comprobar, observando las expresiones para x1 y x2 , que x1 = x2 = h, es decir, existe solo un punto de intersección (el eje OX es tangente a la parábola en el vértice de ella).

c) Si – ca < 0 entonces c

a no está definida

en , lo cual significa que:

x1 y x2 no son números reales y que, en consecuen-cia, la parábola no intersecta al eje x. Tal situación ocurre cuando a y c tienen el mismo signo, es decir, ya sea que (a > 0 y c > 0), o bien, que (a < 0 y c < 0).

Como estudiamos anteriormente, el eje de simetría especular de una parábola descrita en su forma estándar por la ecuación y1 = a(x – h)2 + c, es una recta paralela al eje y de� nida por la ecuación x = h.

El vértice A de la parábola se encuentra sobre dicho eje de simetría y es el valor extremo que adopta cualquier función cuadrática, que en algunos ca-sos se trata de un máximo (cuando a < 0) o de un mínimo (cuando a > 0).

Para encontrar las coordenadas de tal punto va-mos a describir dos métodos alternativos.

Vértice y eje de simetría de una parábola

h

x = heje de simetría especular

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Método 1En este caso vamos a encontrar la intersección de la parábola y1 = a(x – h)2 + c con la recta x = h.Reemplazando x = h en la ecuación de la pará-bola, se encuentra que y1 = a(h – h)2 + c ⇒ y1 = c (compara este resultado con la intersección de parábolas de la forma y1 = ax2 + c con el eje OY), de modo que las coordenadas del punto A que se buscaban son (h,c).

Método 2Consideremos una parábola que intersecta el eje x en dos puntos diferentes: x1 y x2.

Dada la simetría especular de las parábolas y con la información de la � gura adjunta, se observa que:

xA = x1 + x2 – x1

2 =

x1 + x2

2

Pero como: x1 = h + –

x2 = h – –

caca

Entonces: xA = (h + c

a- ) + (h – ca- )

2 = h ⇒

yA = c

Esto coincide con el resultado encontrado ante-riormente, como era de esperar.Esta última alternativa de cálculo es particular-mente útil cuando la parábola no está escrita en la forma estándar, de modo que no contamos con una expresión explícita para h, pero la coordenada da xA del vértice de una parábola y = f(x) se sigue calculando como:

xA = x1 + x2

2

donde x1 y x2 son las soluciones de la ecuación cuadrática f(x) = 0. Las coordenadas del vértice de la parábola pue-den determinarse con cualquiera de los métodos descritos, aun cuando la parábola no intersecta el eje x.

x2 – x1

x1 x2

A

O X

Y


1. Escribe las siguientes funciones cuadráticas en la forma estándar y1 = a(x – h)2 + c. Encuentra a, h y c.

a) y = 5x2 b) y = –6x2 c) y = 4x2 + 2x d) y = –2x2 + x

e) y = x2 + 3 f) y = – 14 x2 + 1 g) y = – 1

2 x2 + 12 x – 1 h) y – 2x2 + 4x – 3 = 0

2. En los ejercicios anteriores:

a) Encuentra las coordenadas:• del punto de intersección de la parábola con el eje y.• del (de los) punto(s) de intersección de la parábola con el eje x.

b) Tabula y grafi ca la función, indicando en cada gráfi co los puntos de intersección en-contrados en la parte a).

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El piloto de un avión deja caer bultos con ayuda humanitaria en una zona de catástrofe de difícil acceso por tierra. Para lograr su objetivo, debe considerar la trayectoria parabólica que sigue el paquete una vez que lo deja caer, y que (despreciando la resistencia del aire) está dada por:

y = H – g

2u2 x2 (ver diagrama)

H es la altura desde la cual se deja caer el paquete, u es la velocidad del avión y g es la aceleración de gravedad, que para efectos de este problema aproximaremos a 10 m/s2. Si H = 100 m y u = 360 km/h, calcula qué distancia horizontal D recorre el paquete antes de llegar a tierra.

SoluciónVamos a convertir todas las unidades al Sistema Internacional:

u = 360 kmh = 360 1 000 m

3 600 s = 100 ms

Introduciendo los datos en la expresión dada y = H – g2u2

x2 para la trayectoria del pa-quete después de ser soltado:

y(m) = 100m – 10 m

s2

2 • (100)2 m2

s2

x2 (m2)

Simplifi cando las unidades (x e y expresados en metros):

y = 100 – 10 2(100)2 x 2

El punto en el cual cae el paquete está defi nido por y = 0, x = D

⇒ 0 = 100 – 10

2(100)2 D 2 ⇒ D 2 = 2 • 105 m2 ⇒ D = 2 • 105 m

∴ D ≈ 447 m

El paquete cae aproximadamente a 450 metros más adelante del lugar desde el cual se dejó caer.

g = 10 m/s2

O X

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100 m

360 km/h

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Resolver una ecuación signi� ca encontrar el valor (o los valores) de la variable que la satisface (o la satisfacen).

En el caso de las ecuaciones de segundo grado (que llamaremos indistintamente ecuaciones cua-dráticas) veremos que hay tres posibilidades:

a) no existen números reales que la satisfagan, como es, por ejemplo, el caso de la ecuación x2 = –1.

b) existe solo un número real que la satisface como, por ejemplo, en el caso de la ecuación x2 – 2x + 1 = 0 cuya única solución es x = 1.

c) existen dos números reales que satisfacen la ecuación, que es el caso que más atención nos demandará.

Si bien es cierto que existe una fórmula general que permite resolver cualquier ecuación de segun-do grado, resulta inconveniente en una primera intención deducirla para aplicarla sin más. Ello es así, porque otros métodos de abordaje más inductivos nos proporcionan un entendimiento más cabal del problema y, por otra parte, exigen el desarrollo de destrezas más elaboradas para su utilización.

Nos remitiremos a desarrollar tres métodos de resolución y los dos últimos nos conducirán natu-ralmente a la obtención de la mencionada fórmula general. Cuándo se aplique cada uno, depende de

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Ciertas ecuaciones cuadráticas, cuyas raíces son números enteros “pequeños”, se prestan para ser resueltas con facilidad mediante el método llamado resolución por factorización.

El método está basado en el hecho que toda ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c = 0 puede reescribirse, como demostraremos más adelante, como un producto de dos binomios en la forma (x – α1 ) (x – α2 ) = 0.

El razonamiento continúa haciendo uso del hecho de que si el producto de dos números es 0, enton-ces al menos uno de ellos debe ser igual a 0.

En el caso que estamos considerando, resulta en-tonces que, o bien, (x – α1 ) = 0, o bien (x – α2 ) = 0, de manera que la ecuación se satisface ya sea que x = α1 o que x = α2. Si logramos factorizar la ecuación de la forma prescrita, entonces α1 y α2 serán las soluciones buscadas.

Algunos ejemplos nos ayudarán a ilustrar las a� r-maciones anteriores, a familiarizarnos con el mé-todo propuesto y a ser más especí� cos respecto a lo que entendemos por “pequeño”.

Método 1: Resolución por factorización

las circunstancias y de las habilidades adquiridas en este proceso de aprendizaje.

136

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, haciendo uso del método recién establecido. Discute los aspectos que te parezcan especiales.

a) x2 – 7x + 10 = 0 b) x2 + x – 12 = 0 c) x2 + 9x + 14 = 0 d) 6x2 – 7x + 2 = 0 e) x2 – x + 1 = 0 f) x2 – 23x + 518 = 0

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Soluciones

a) x2 – 7x + 10 = 0

Estamos buscando factorizar el miembro izquierdo de la ecuación dada, de modo que se pueda reescribir como:

(x – α1 ) (x – α2 ) = 0

Expandiendo el producto y reagrupando los términos semejantes se reencuentra que:

x2 – (α1 + α2 )x + α1 • α2 = 0

Comparando esta última ecuación con la original, observamos que ambas coinciden si:

(α1 + α2 ) = 7 y α1 • α2 = 10

Es decir, estamos buscando dos números cuya suma sea 7 y su producto sea igual a 10.

Los únicos productos de números enteros que dan como resultado 10 son 10 • 1 y 5 • 2. Pero la suma del primer par es 11 ( = 10 + 1), que no satisface la otra condición, que sí la satisface el segundo par cuya suma es efectivamente 7 ( = 5 + 2).

La ecuación factorizada se escribe entonces como:

(x – 5) (x – 2) = 0,

lo cual quiere decir que los valores α1 = 5 y α2 = 2 son las soluciones buscadas.

b) x2 + x – 12 = 0

Como en el caso anterior, buscamos dos números α1 y α2 tales que:

α1 + α2 = – 1 (el coefi ciente de x con el signo opuesto)

α1 • α2 = – 12 (el término libre)

Veamos, ayudándonos con una tabla, cuáles son las alternativas posibles de los números enteros α1 y α2 que satisfacen las condiciones dadas:

α1 α2 α1 • α2 α1 + α2

12 – 1 – 12 11

6 – 2 – 12 4

4 – 3 – 12 1

– 4 3 – 12 – 1

– 6 2 – 12 – 11

– 12 1 – 12 – 11

La opción destacada en la tabla es la única que satisface ambas condiciones. (Este proceso de inspección, una vez que se ha adquirido cierta destreza, es elaborado en forma mental, sin necesidad de recurrir a un proceso sistemático, sino más bien intuitivo.)La ecuación factorizada tomaría en este caso la forma:

(x + 4) (x – 3) = 0

y las soluciones de la ecuación son en-tonces:

α1 = – 4 y α2 = 3

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c) x2 + 9x + 14 = 0

En este caso, los números buscados son –7 y –2, ya que:

(–7) + (–2) = –9 y (–7)(–2) = 14

La ecuación factorizada sería:

(x + 7) (x + 2) = 0

y las soluciones α1 = – 7 y α2 = – 2, como ya se dijo.

d) 6x2 – 7x + 2 = 0

Esta ecuación no está dentro de la categoría que habíamos analizado, dado que el coefi -ciente de x2 es distinto de 1.

No obstante lo anterior, igualmente se puede encontrar la factorización del miembro izquierdo de la ecuación, pero hace falta una dosis de intuición mayor que en los casos anteriores.

Tal factorización se desarrolla a continuación y se ha esbozado el razonamiento que fue conduciendo al resultado fi nal.

Necesitamos producir un término 6x2, que se puede lograr (pensando siempre en coefi -cientes enteros) como 6x por x, pero también como 3x por 2x. Vamos a optar por esta última alternativa y te proponemos que posteriormente hagas la otra elección para que veas adónde te conduce.

Entonces, (6x2 – 7x + 2) = ( 3x + ?) (2x + ??)

En la posición de ? y de ?? deben ir números enteros tales, que su producto sea +2. Los signos de ? y de ?? deben ser iguales entre sí para que su producto sea un número positivo y en este caso ambos signos deben ser negativos para producir el signo nega-tivo que precede a 7x.

La factorización resulta ser 6x2 – 7x + 2 = ( 3x – 2) (2x – 1),

lo cual quiere decir que:

( 3x – 2) (2x – 1) = 0

que a su vez signifi ca que

3x – 2 = 0 ⇒ x = 23

2x – 1 = 0 ⇒ x = 1

2

Las raíces son en este caso, α1 = 23

y α2 = 12

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e) x2 – 136

x + 1 = 0

En este caso, el método nos indicaría que debemos encontrar dos números, cuyo producto sea 1 y cuya suma sea 13

6, lo cual no parece tan directo y demuestra las limitaciones del

método.Una alternativa sería multiplicar la ecuación por 6, obteniendo:

6x2 – 13x + 6 = 0

y buscar una factorización como en el caso anterior, la que resulta ser:

6x2 – 13x + 6 = (3x – 2) (2x – 3)

Se sigue entonces que las soluciones provienen de igualar a 0 cada uno de los paréntesis de la expresión anterior lo que conduce a que α1 = 2

3 y α2 = 3

2 .

Como se puede verifi car,

(α1 + α2 ) = 23

+ 32

= 4 + 96

= 136

y

α1 • α2 = 23

• 32

= 1

Resultados que coinciden con nuestra búsqueda inicial, como era de esperar.

f) x2 – 23x – 518 = 0

En este caso, la factorización, aunque posible, se vuelve francamente complicada: se trata de encontrar dos números enteros que multiplicados den – 518 como resultado y sumados, –23.

Los números requeridos son 37 y –14, pero su búsqueda dista de ser directa y es acon-sejable seguir procedimientos alternativos.

Aun así, podemos afi rmar que la ecuación factorizada se escribe:

(x – 37) (x + 14) = 0

Este ejemplo ilustra que cuando aparecen números “grandes”, como coefi cientes de la ecuación, el método de resolución por factorización se vuelve inefi ciente.

Obviamente “grande” y “pequeño” en este contexto dependen de las habilidades que tenga quien se proponga resolver la ecuación.

Afortunadamente, también hay otros procedimientos de resolución que son más sistemá-ticos y que requieren llevar adelante ciertas operaciones algebraicas de forma más bien mecánica, como veremos en las secciones siguientes.

AdvertenciaBastan pequeñas variaciones en los coefi cientes de la ecuación para que la factorización en términos de números enteros ya no sea posible.

Por ejemplo, si en lugar de la primera ecuación de los ejercicios precedentes, vale decir, x2 – 7x + 10 = 0, consideramos el caso x2 – 8x + 10 = 0, podemos comprobar que no existen números enteros α1 y α2 tales que:

(α1 + α2 ) = 8 y α1 • α2 = 10

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Como por otro lado x = y – 1, entonces quiere decir que

x1 = 2 – 1 x2 = – 2 – 1

son las raíces de la ecuación original.

Verifi caciónVeri� quemos que x1 = 2 – 1 es efectivamente solución de la ecuación en su origen propuesta x2 + 2x – 1 = 0.

Para ello, introduzcamos en el primer miembro de la ecuación el valor encontrado:

( 2 – 1)2

+ 2 • ( 2 – 1) – 1

= (2 – 2 2 + 1) + (2 2 – 2) – 1= 0

efectivamenteTe dejamos la tarea de veri� car que x2 = – 2 – 1 tam-bién es solución de la ecuación que nos interesa.

GeneralizaciónSi consideramos una ecuación de segundo grado de la forma:

x2 + bx + c = 0

Entonces, de acuerdo a la experiencia recién adqui-rida, la podemos reescribir como

x (x + b) + c = 0

o bien, x (x + b) = – c

La variable auxiliar y la elegimos de modo que

x + b2

= y,

razón por la cual:

x = y – b2

y, además,

x + b = y + b2

Método 2: Suma por diferencia

Consideremos la ecuación x2 + 2x – 1 = 0

En este caso, la factorización del miembro izquierdo de la ecuación no es directa, pues no existen dos números enteros tales que su suma sea –2 y su producto –1.

Entonces, exhibiremos a continuación un procedi-miento para resolver la ecuación dada que hace uso de la propiedad conocida como suma por diferencia, que es una forma abreviada de recordar un resultado que establece que el producto de la suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios; en términos alge-braicos, si a y b son dichos monomios, entonces:

(a + b) (a – b) = (a2 – b2)

Para ello, factoricemos x en los dos primeros térmi-nos de la ecuación que nos interesa:

x (x + 2) – 1 = 0,

ecuación que es equivalente a x (x + 2) = 1

De� namos la variable auxiliar y a través de la relación

x + 1 = y

En tal caso, x = y – 1de donde se puede deducir que:

x + 2 = y + 1

En términos de la nueva variable y la ecuación original puede reescribirse en la forma:

( y – 1) ( y + 1) = 1

Es decir, ( y2 – 1) = 1

Lo que a su vez es lo mismo que:

y2 = 2 ⇒ y = ± 2

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En tales condiciones, la ecuación x2 + bx + c = 0 reescrita en términos de la variable auxiliar es:

( y – b2

) ( y + b2 ) = – c

Desarrollando el producto (suma por diferencia)

y2 – ( b2 )2= – c

Lo que nos permite despejar:

y2 = ( b2 )2 – c

y en este punto, para encontrar x basta extraer raíz cuadrada en la última expresión y recuperar la rela-ción entre x e y.

Sin necesidad de seguir adelante, lo que nos en-seña esta generalización es que la elección de la variable auxiliar sigue un patrón perfectamente bien de� nido.

Para adquirir mayor familiaridad, practicaremos este procedimiento en los ejercicios que se desarrollan a continuación.


Defi ne en cada uno de los casos que se plantean en lo que sigue la variable auxiliar que permitiría reescribir la ecuación dada como el producto de una suma por diferencia igual a una constante.

a) x2 – 5x + 2 = 0 b) x2 – 27 x – 3 = 0

c) – x2 + 2x + 8 = 0 d) 3 x2 – 2x – 1 = 0

Soluciones

a) x2 – 5x + 2 = x (x – 5) + 2 ⇒ y = x – 52

b) x2 + 27

x – 3 = x(x + 27 ) – 3 ⇒ y = x + 1

7

c) – x2 + 2x + 8 = –x (x – 2) + 8 ⇒ y = x – 1

d) 3x2 – 2x – 1 = 3x (x – 23 ) – 1 ⇒ y = x – 1

3


Haciendo uso de la variable auxiliar encontrada en cada caso en los anteriores ejercicios resueltos:

1. Resuelve las respectivas ecuaciones.

2. Verifi ca que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones.

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Método 3: Completando el cuadrado

Como veremos, la expresión completando el cuadrado es una forma apocopada para denominar una manipulación algebraica que se realiza a una ecuación de segundo grado con el propósito de obtener su solución. Para aclarar el signi� cado de lo que se acaba de expresar, resolveremos un ejercicio.


Resuelve la ecuación x2 + 8x – 5 = 0

Solución

En este caso no es directo encontrar dos números, cuya suma sea 8 y su producto sea –5.

Expresemos x2 + 8x – 5 como el cuadrado de un binomio (que contenga a la variable x) más un número (que no contenga x).

Dado que (x + 4)2 = x2 + 8x + 16, entonces, x2 + 8x = (x + 4)2 – 16,por lo que x2 + 8x – 5 = (x + 4)2 – 21.

De manera que la ecuación original puede rescribirse como (x + 4)2 – 21 = 0

Lo cual quiere decir que (x + 4) = ± 21, de donde fi nalmente, x1 = –4 + 21, x2 = –4 – 21

¡Difícilmente hubiéramos encontrado las soluciones por factorización!

Verifi ca que efectivamente la suma de las soluciones es –8 y su producto es –5.


Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x2 – 5x + 2 = 0 b) 7x2 – 2x – 21 = 0

c) x2 – 2x – 8 = 0 d) 3x2 – 2x – 1 = 0

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En la introducción de esta sección se plantea-ron algunas situaciones de la vida real, cuya resolución requería de ciertos conocimientos relativos a ecuaciones de segundo grado. Dado que ya los hemos adquirido, estamos en condiciones de resolverlas.

1.Una señora lega a una institución de bene� cen-cia un terreno de 60 m de frente por 100 m de fondo, estableciendo que debe ser destinado fundamentalmente a áreas verdes. Agrega que, para levantar una construcción, solo puede uti-lizarse un paño cuadrado cuya super� cie sea a lo sumo la quinta parte de lo que se destinará a parque. ¿Cuál es el área máxima que se puede ocupar para edi� car?

100 m

60 m

SoluciónLlamemos x al lado del cuadrado, cuya mag-nitud se desea calcular. El área de dicho cua-drado es x2. El área restante S se calcula como el área del total del terreno menos el área del cuadrado y, en consecuencia, está dada por:

S = 60 •100 – x2 (m2)

Como la condición del legado establecía que el área del cuadrado no podía exceder la quinta parte de lo que quedaría como parque, la si-tuación extrema queda de� nida por la ecuación siguiente:

x2= 15 (60 • 100 – x2)

Reordenando los términos de la ecuación se obtiene:

6x2 = 60 • 100 ∴ x2 = 1.000 m2

es el área máxima de edi� cación

2.Normalmente los terrenos destinados a uso agrícola o vivienda tienen formas irregulares. Cuando se quieren subdividir no siempre es fácil lograr soluciones que satisfagan todos los gustos. En el caso que proponemos, se trata de dividir un terreno con forma de trapecio en dos partes de igual super� cie, mediante una recta paralela a sus bases, como puede apreciarse en la � gura adjunta.

Solución

900 m

300 m

DF

A

C

B

500 m

E

180.000 m2

Tracemos una línea auxiliar DG paralela al lado AB que corta a EF en H y adoptemos la siguiente notación:

AB = DG = h; BC = a; AD = EH = BG = b; HF = y; AE = DH = x

D

F

A

C

BE

HG

a-by

De la � gura y dado que GC // HF, aplicando el Teorema de Tales relativo a trazos proporciona-les entre rectas paralelas al ∆ DGC, podemos establecer que:

x

180.000 m2

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a – by

= hx

lo que se traduce en que:

y = (a – b)h

x (*) Por otra parte, la condición de igualdad de áreas de los trapecios AEFD y EBCF, que resulta ser equivalente a a� rmar que la super� cie de cada trapecio es igual a la mitad de la super� cie del trapecio original, puede expresarse como:

12

[(b+y)+b] x = 14 [a+b] h ,

[2b+y] x = 12 [a+b] h ,(**)

Combinando las ecuaciones (*) y (**) se encuen-tra que:

[2b+ (a-b)h

x] x = 12 [a+b] h ,(**)

Ordenando la última ecuación se concluye que la ecuación que de� ne x es:

2(a-b)x2 + 4bhx- (a+b)h2 = 0,

que efectivamente es una ecuación cuadrática para x.

Aplicación numéricaVolvamos al caso especí� co que inspiró este desarrollo.

a = 500 m; b = 300 m; h = 900 m

Reemplacemos los valores consignados en la ecuación cuadrática obtenida:

2•(500 - 300) x2 + 4 • 300 • 900x – (500 + 300) • 9002 = 0,

Efectuando las sumas y restas:

2 • 200x2 + 4 • 300 • 900x - 800 • 900 • 900 = 0,

x2 + 3 • 900 x – 2 • 9002 = 0 Las soluciones de la ecuación cuadrática resul-tante son:

x1 ~ 505,4 mx2 ~ -3.205,4 m

Como se puede observar, existen dos soluciones matemáticamente posibles: una de ellas es po-sitiva y la otra negativa. Sin embargo, debemos elegir aquella que es positiva, que es la única que tiene sentido físico, puesto estamos tratando de encontrar la longitud de un trazo, es decir:

x ~ 505,4 m

3.Un remero tarda cierto tiempo en recorrer, contra la corriente de un río, los 3 km que separan a las boyas A y B. Cuando retorna (con la corriente a favor), tarda 15 minutos menos. Sabe que cuando el río está calmo, él se desplaza a una velocidad uniforme de v = 15km/h.a) ¿Cuál es la velocidad r del torrente del río?b) ¿Cuánto tardó en ir río arriba?

A B 3km r(km/h)

SoluciónSi llamamos s a la distancia que separa a A y B; T al tiempo que tarda en recorrerla contra la corriente, tendremos que:

(v – r) T = s ⇒ T = sv – r

Cuando rema a favor de la corriente, si llamamos ε al ahorro de tiempo, tendremos que:

(v + r)(T – ε) = s

Combinando ambas ecuaciones,

(v + r)( sv – r – ε) = s ⇒ (v + r) [ s-ε(v – r)] = s (v – r)

Desarrollando los productos, reordenando la ecuación y reduciendo términos semejantes,

s [(v + r) – (v – r)] = ε (v2 – r2)

ε (v2 – r2) – 2rs = εr2 + 2sr – εv2= 0

de modo que r satisface una ecuación de se-gundo grado.Reemplacemos ahora la información numérica:

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E j e r c i c i o s p r o p u e s t o sResuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x2 – 10x + 2 = 0 b) x2 + 3x – 2 = 0 c) x2 – 12 x – 2 = 0

d) x2 – 37 x – 1 = 0 e) 5x2 – 8x – 2 = 0

Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2° gradoConsideremos la ecuación x2 – 8x + 15 = 0

El primer miembro de la ecuación analizada puede ser factorizado de un modo simple:

x2 – 8x + 15 = (x – 3) (x – 5)

de modo que

(x – 3) (x – 5) = 0

lo que nos indica, como ya aprendimos, que las soluciones de la ecuación son α1 = 3 y α2 = 5

Procedamos a hacer el proceso inverso y expan-

damos el producto que resulta de la factorización del miembro izquierdo de la ecuación:

(x – 3) (x – 5) = 0 ⇒ x2 – (3 + 5)x + 3 • 5 = 0 ⇒ x2 – 8x + 15 = 0

Notemos en el ejemplo desarrollado que la suma de las raíces (3 + 5) es igual al coe� ciente de x en la ecuación original, salvo que existe una dife-rencia de signo.

Por otro lado, el producto 3 • 5 de las raíces es igual al término libre de la ecuación original.

Llamemos α1 y α2 a las raíces de la ecuación

cuadrática x2 + bx + c = 0, es decir, es posible factorizar el primer miembro de tal ecuación de modo que:

x2 – bx + c = (x – α1 ) (x – α2 ) x2 – bx + c = x2 – (α1 + α2 ) x + α1

• α2

⇒ (α1 + α2 ) = – b α1

• α2 = c

Generalización

ε = 5 min = 112 h v = 15 km

h s=3km

De esta forma, la ecuación que satisfacer es:

112 r 2 + 6r – 1

12152=0

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 12 se obtiene: r 2 + 72r–152=0

Resolviendo la ecuación cuadrática para r

r= –72 ± 722+302

2 km

h = -72 ± 78

2 km

h Debemos elegir la solución positiva de modo que:

r= –72 +782 km

h = 62 km

h = 3 kmh

Es decir, la velocidad del torrente es r= 3 kmh

, de lo cual se puede deducir que

T = 315–3 h = 1

4 h = 15 min

Lo anterior es la generalización del resultado que habíamos percibido en el ejemplo especí� co que estudiamos.

Y, ¿qué sucede cuando la ecuación es de la forma ax2 + bx + c = 0?

Realmente, este caso puede reducirse al ya estu-diado, dividiendo la ecuación anterior por a (que es distinto de 0, puesto que de otro modo la ecuación no sería cuadrática) con lo cual se obtiene:

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Los siguientes pares de números son soluciones de ecuaciones cuadráticas. Encuentra, en cada caso, dichas ecuaciones.a) 1 ; 2 b) 1 ; – 2 c) 5; 5 d) – 2 ; – 3

Soluciones

a) En este caso α1 = 1 y α2 = 2

(x – 1) (x – 2) = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0

o alternativamente, (α1 + α2) = – ba ⇒ 3 = –

α1 • α2 = ca ⇒ 2 =

Como se aprecia en este último procedimiento, no es posible determinar los coefi cientes a, b y c, sino

que los cocientes ba y c

a , de modo que α1 = 1 y α2 = 2 son soluciones de una familia infi nita de

ecuaciones cuadráticas, puesto que la ecuación que obtuvimos puede ser multiplicada por un factor arbitrario distinto de cero, sin alterar sus raíces.

En otras palabras, una ecuación posible, cuyas soluciones son α1 = 1 y α2 = 2 es la que se genera al expandir (x – 1) (x – 2) = 0, pero también son las soluciones de 5(x – 1) (x – 2) = 0, es decir, de 5x2 – 15x + 10 = 0 ó de cualquier otra ecuación proveniente de desarrollar un producto de la forma k(x – 1) (x – 2) = 0, donde k ≠ 0, pero arbitrario.

b) α1 = 1 ; α2 = – 2 ⇒ (α1 + α2) = – 1 ⇒ x2 + x – 2 = 0 α1 • α2 = – 2

c) α1 = α2 = 5 (α1 + α2) = 10 ⇒ x2 –10x + 25 = 0 α1 • α2 = 25

Al factorizar el miembro izquierdo de esta ecuación,

x2 – 10x + 25 = (x – 5 ) (x – 5) = (x – 5)2 = 0

vemos que se trata del cuadrado de un binomio que es igual a 0, lo que indica que realmente la ecuación tiene solo una raíz (que llamamos doble).

d) α1 = – 2 ; α2 = – 3 ⇒ (α1 + α2) = – 5 ⇒ x2 + 5x + 6 = 0 α1 • α2 = 6

x2 + ba x + c

a = 0

Aplicando el mismo procedimiento anterior, en-contraremos que:

(α1 + α2 ) = – ba

α1 • α2 = c

a

Como veremos, estas propiedades pueden resul-tar útiles en algunas situaciones que discutiremos más adelante.

ba

ca

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Para ilustrar el uso de Maple® en este ámbito, resolveremos algunos ejercicios relativos a ecuaciones y funciones cuadráticas.

1. a) Resuelve la ecuación x2 – 5x + 3 = 0 b) Grafi ca la función y = f(x) = x2 – 5x + 3

Solucióna) Llamaremos f(x) al trinomio x2 – 5x + 3 y eso en Maple® se hace escribiendo:

f(x):=x^2–5*x+3;

Observa que, en vez de colocar simplemente un signo = , hemos escrito :=, que signifi ca que a la expresión del miembro izquierdo se le asigna el valor de la expresión que está en el miembro derecho. El signo = está reservado en Maple® para las ecuaciones.

El signo “;” al fi nal de la igualdad indica que después de pulsar Enter, Maple® va a escribir en notación algebraica usual lo que introdujimos en forma más rudi-mentaria, haciendo uso de los símbolos disponibles en el teclado. Aparece en-tonces en pantalla la expresión:

f(x):= x2 – 5x + 3

Como nos interesa resolver (to solve, en inglés) la ecuación x2 – 5x + 3 = 0, lo que hacemos a continuación es escribir:

solve(%) ;

Luego, se pulsa Enter, donde el símbolo % se refi ere a la última expresión aparecida en pantalla, donde el programa subentiende que debe igualar dicha expresión a 0, salvo que se indique lo contrario. Como se aprecia en la pantalla reproducida, las soluciones calculadas por el programa para la ecuación cuadrática estudiada son:

x1 = 52

+ 132 x2 = 5

2 – 13

2

b) Para grafi car (to plot, en inglés) una función en Maple®, debemos especifi car el inter-valo de valores de x en el cual estamos interesados (Maple® exige tal especifi cación). Si, además, queremos acotar el gráfi co dentro de un intervalo de valores que puede adoptar la ordenada y, también podemos hacerlo, pero en este caso se trata de una condición opcional y no obligatoria.Escribimos entonces:

plot(f(x),x = –3..8, y = –4..10) ;

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Lo anterior nos está indicando que el intervalo de valores de x es [–3 , 8] sometido a la condi-ción que y no exceda el valor 10 y no sea menor que –4.El signo ; seguido de Enter, le indica a Maple® que proceda a grafi car lo solicitado y aparece un gráfi co como el reproducido.

2. Resuelve las ecuaciones cuadráticas:

a) 4x2 + 4kx + (k + p)(k – p) = 0

b) (m + n)x2 + mnx – (m3 + n3) = 0

Solucióna) Defi nimos en primer lugar:

y:= 4*x^2+4*k*x+(k+p) * (k–p) ;

Para resolver la ecuación que nos interesa, debemos especifi car que debe igualarse a 0 y en seguida, tenemos que ser cuidadosos y especifi car cuál es la incógnita, puesto que el programa no tiene cómo decidir si la incógnita es x, k ó p.Por las razones aducidas escribimos:

solve (y,x) ;

De esa forma, al pulsar Enter, obtenemos las dos raíces para la ecuación considerada:

x1 = – k2 + p

2 x2 = – k2 – p

2

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3. Para efectos de comparación, grafi ca las funciones cuadráticas:

a) –5x2 b) –3x2 c) x2 d) 3x2 e) 5x2

SoluciónPara efectos de comparar todas las curvas, las trazaremos en el mismo gráfi co y a cada línea le asignaremos un color diferente. Hemos elegido los colores rojo (red), azul (blue), naranja (orange), amarillo (yellow) y verde (green) para las curvas que representan a las funciones a, b, c, d y e, respectivamente. Hemos especifi cado el rango de valores de la variable para los cuales nos interesa grafi car; pero, además, hemos restringido los valores que puede tomar la ordenada. Esta ultima condición prima sobre la primera, de modo que solo en algunos casos x varía en todo el intervalo previsto. En todos los casos hemos elegido el mismo estilo de línea (linestyle).La instrucción para defi nir cada una de las curvas, los intervalos que variaron de x e y, el tipo de línea (llena, segmentada, punteada u otra) y el color es:

([–5*x^2,-3*x^2,x^2,3*x^2,5*x^2],x=–2..2,y=–15..15,linestyle=[1,1,1,1,1],color[red,blue,orange,yellow,green]);

Al pulsar Enter, Maple® vuelve a escribir las expresiones de las funciones cuadráticas en lenguaje algebraico:

[–5x2,–3x2,x2,3x2,5x2], x = –2..2, y = –15..15,linestyle = [1,1,1,1,1], color = [red, blue, orange, yellow, green]

b) En este caso se procede en forma enteramente análoga al caso anterior y se puede ver el poder de manejo simbólico del programa, al obtener en forma rápida las raíces de la ecua-ción que son algebraicamente complejas.

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Para trazar las curvas simple-mente escribimos:

plot(%) ;

Recuerda que el símbolo % hace referencia a la última expresión aparecida en pantalla.

4. Compara gráfi camente las funciones x , x, x2, x3.

Solución

Defi nimos las funciones que nos interesan y elegimos el intervalo de variación de x entre –2 y 2, y el de variación de y entre –3 y 3. Escogemos los colores azul, rojo, verde y naranja para las curvas x , x, x2, x3 respectivamente. Al fi nal escribimos la instrucción plot(%):

En el gráfi co es posible apreciar la forma de las curvas, los puntos de intersección y su relación de orden en los distintos intervalos.

Las cuatro curvas consideradas se intersectan en los puntos (0,0) y (1,1). Además, se puede apreciar que las curvas de orden impar, es decir, x y x3, se intersectan en (–1,–1). Observemos también que x es la única función de las consideradas que no está defi nida para x < 0.

¿Qué otras características puedes descubrir en el gráfi co?

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La raíz cuadrada como PotenciaFraccionaria

a12 = a

Raíces cuadradas de cuadradosperfectos

Síntesis de la Unidad


1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5

36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

f(x) = x , x ≥ 0

Representación gráfi ca

Defi niciónSean a y b dos números reales. Se dice que b es la raíz cuadrada de a si y solo si b2 = a.

Raíz cuadrada de un producto

La raíz cuadrada de un número

Raíz cuadrada de un cociente

ab

= , a > 0 , b > 0ab

a • b = a • b , a > 0, b > 0

La raíz cuadrada como PotenciaFraccionaria

Raíces cuadradas de cuadradosperfectos

de la Unidad


1 = 1

36 = 6

Defi niciónSean a y b dos números reales. Se dice que b es la raíz cuadrada de a si y solo si b2 = a.

Raíz cuadrada de un producto

La raíz cuadrada de un númeroLa raíz cuadrada de un número

Raíz cuadrada de un cociente

ab

= , a > 0 , b > 0 = , a > 0 , b > 0 = , a > 0 , b > 0a = , a > 0 , b > 0a = , a > 0 , b > 0b

= , a > 0 , b > 0b

= , a > 0 , b > 0 = , a > 0 , b > 0 = , a > 0 , b > 0b

= , a > 0 , b > 0

a • b = a • b , a > 0, b > 0 b = a b , a > 0, b > 0

0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

y

5 10

x

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Raíz cúbica

Relación de orden entre x y x

x < x si 0 < x < 1

x = x si x = 0 ó x = 1

x > x si x > 1

Defi niciónSean a y b dos números reales. Se dice que b es la raíz cúbica de a, si y solo si b3 = a.

Notación

b = a3

Una diferencia entre la raíz cuadrada y la raíz cúbica• La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. • La raíz cúbica de un número negativo sí es un número real.

La raíz cúbica como una potenciafraccionaria

a3= a

13

Generalización

an= a

1n

Racionalización de fracciones con raíces cúbicas

(a3 – b3) = (a – b) (a2 + ab + b2)

(a3 + b3) = (a + b) (a2 – ab + b2)

La función cuadráticaRepresentación gráfi caLa representación grá� ca de la función cuadrática f(x) = Ax2 + Bx + C es una parábola.

Forma estándar• La forma estándar de la función cuadrática es:

f(x) = a(x – h)2 + c

• La relación entre A, B y C con a, h y c está dada por:

a ≡ A h ≡ – B2A c ≡ C – B2

4A

Signifi cado geométrico de los coefi cientes

• La parábola f(x) = ax2 pasa por el origen del sistema de coordenadas.

• Si a > 0 la parábola es abierta hacia arriba: U.

• Si a < 0 la parábola es abierta hacia abajo:

U.

Para calcular una raíz “a mano”

1 + ε ≈ 1 + ε2

Simetría especular • La parábola f(x) = a(x – h)2 + c es simétrica res-pecto a la recta paralela al eje Y de� nida por la ecuación x = h.

Vértice (extremo)• El vértice V de la parábola se encuentra sobre el eje de simetría y es el valor extremo (máximo o mínimo) que adopta la función cuadrática.• Si a < 0 es un máximo. • Si a > 0 es un mínimo.• Las coordenadas de V son (h , c).

• c es la ordenada de la intersección de la parábola con el eje Y.

• h es una medida del desplazamiento horizontal de la parábola.UN

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h

x = heje de simetría especular

A

xO

Y

Resolver una ecuación significa encontrar el valor (los valores) de la variable que la satisface (satisfacen).

Método 1: Resolución por FactorizaciónToda ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c = 0 puede reescribirse (x – α1 ) (x – α2 ) = 0. Las solucio-nes de la ecuación son x = α1 y x = α2.

El método es apropiado para algunas ecuaciones cuadráticas, cuyas raíces son números enteros “pequeños”.

Método 2: Suma por diferencia

Para resolver la ecuación x2 + bx + c = 0 escoge-

mos la variable auxiliar y = x + b2 , de modo que

la ecuación se reescribe (y – b2 ) (y + b

2 ) = – c

es decir y2 – ( b2 )2

= c por lo que y2 = ( b2 )2

– c.

Se calcula la variable auxiliar y extrayendo raíz

Las raíces α1 y α2 de la ecuación Ax2 + Bx + C = 0 satisfacen las relaciones:

Propiedades de las raíces de las ecuaciones de 2° grado

cuadrada y en seguida x = y – b2

Método 3: Completando el cuadradoLa ecuación x2 + 5x – 4 = 0 se reescribe como:

[(x + 3)2 – 9] – 4 = 0

(x + 3)2 = 13

x1 = – 3 + 13 (x + 3) = ± 13 ⇒ x2 = – 3 – 13

Método 4: Solución general Las soluciones de la ecuación cuadrática:

Ax2 + Bx + C = 0

están dadas por la expresión

x = – B ± B2 – 4AC

2A

(α1 + α2) = – BA

α1 • α2 = CA

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Más ejercicios propuestos

1. Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:

a) 144 b) 256 c) 289 d) 225 e) 324

f) 169 g) 121 h) 196 i) 400 j) 361

Veri� ca tus resultados elevando al cuadrado los números obtenidos.

2. Determina la raíz cuadrada de:

a) 100 b) 400 c) 900 d) 1.600 e) 2.500

f) 3.600 g) 4.900 h) 6.400 i) 8.100 j) 10.000

¿Qué puedes comentar acerca de los resultados obtenidos?

3. Calcula la raíz cuadrada de:

a) 4 • 49 b) 25 • 64 c) 16 • 81

d) 36 • 9 • 64 e) 25 • 94

f) 225 • 324289

g) 256 • 36 • 49 • 81

h) 324 • 36 • 49 • 81 • 256

i) 100 • 400 • 9001.600 • 2.500 • 3.600


a) 36 + 64 b) 81 + 144 c) 25 + 144 d) 225 + 64

5. Calcula:

a) 36 + 64 b) 81 + 144 c) 25 + 144

d) 225 + 64

Compara los resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior y comenta.

6. Usando la aproximación 1 + ≈ 1 + 12 ε , calcula la raíz cuadrada de:

a) 144 b) 1.000

Estima en cada caso el error porcentual cometido.

7. Determina la raíz cúbica de los siguientes cubos perfectos:

a) 8 b) 27 c) 64 d) 125 e) 216

f) 343 g) 512 h) 729 i) 1.000


Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:

d)

i)


d)

i)


UN

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AC

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d) 36 • 9 • 64 e) 25 • 94

g) 256 • 36 • 49 • 81

h) 324 • 36 • 49 • 81 • 256


a) 36 + 64 b) 81 + 144 c) 25 + 144

5. Calcula:

a) 36 + 64 b) 81 + 144

d) 225 + 64

Compara los resultados con los obtenidos en el ejercicio anterior y comenta.

6. Usando la aproximación 1 + ≈ 1 +

a) 144 b) 1.000

Estima en cada caso el error porcentual cometido.

7. Determina la raíz cúbica de los siguientes cubos perfectos:

a) 8 b) 27 c) 27 c) 27 64 d)

f) 343 g) 512 h) 729 i)

Más ejercicios

1. Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:Determina la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:

a) 144 b) 256 c) 289

f) 169 g) 121 h) 196


2. Determina la raíz cuadrada de:

a) 100 b) 400 c) 900

f) 3.600 g) 4.900 h) 6.400



a) 4 • 49 b) 25 • 64

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8. Reduce a la forma ap (a entero, p racional) las siguientes expresiones:

a) 2 • 22 b) 8 • 2 • 24 c) 312 • 3 • 32 d) 32 • 4

12

e) 523 • 125 • 5 • 53 f) 8 • 2 • 2– 4 g) 3

23 • 27 3 • 33

h) 723 • 7 • 73

714 • ( 7)

–2 • 7

25

9. Reduce a la forma ap y bq (a y b enteros, p y q racionales) las siguientes expresiones: a) 32 • 6 • 23 b) 52 • 10

13 • 2 • 25

c) 2 • 14 • 723 d) 3

12 • 9 • 15 • 25

e) 523 • 35 • ( 53 ) • 52 • 73 f) 2 • 3

45

12 • 6–4

3 • 8–2 • 245

g) 1523 • 33 • 5

23

35 • 5–1

0

10. Haciendo uso de la aproximación 1 + ≈ 1 + 12 ε , calcula la longitud

del diámetro AB de la circunferencia de la fi gura.

11. Salvador no recuerda el área de su terreno rectangular, pero sabe que sus lados están en la razón 2 : 3.

Para resolver su duda mide la diagonal AC del terreno, que resulta ser 140 m.a) ¿Cuál es la longitud de los lados del terreno?b) ¿Cuál es su área?

A

9 cm4 cm

B

A B

D C

racional) las siguientes expresiones:

c) 312 • 3 • 32 d) 32 • 4

12

g) 323 • 27 3 • 33

27 3

h) 723

• 7 • 73 73 7

714 • ( 7)

–2• 7

25

7

( 7)

enteros, p y q racionales) las siguientes

b) 52• 10

13 • 2 • 25

d) 312 • 9 • 15 • 25

f) 2 • 345

12 • 6–4 6–4 6 2 12

3• 8–2 • 245

Haciendo uso de la aproximación 1 + ≈ 1 + 12 ε , calcula la longitud

de la circunferencia de la fi gura.

Salvador no recuerda el área de su terreno rectangular, pero sabe que sus

Para resolver su duda mide la diagonal AC del terreno, que resulta ser 140 m. ¿Cuál es la longitud de los lados del terreno?

4 cm4 cm

B

B

CCU

NID

AD 1

EV

ALU

AC

IÓN

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UNI 1 MATE 3M.indd 75 10/8/09 17:02:34

12.a) ¿Cuál de las siguientes curvas representa con más � delidad la función x ?b) Argumenta en cada uno de los otros casos para descartarlo como representa-ción de x .

A B

C D

E

UN

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D 1

EV

ALU

AC

IÓN

12.a) ¿Cuál de las siguientes curvas representa con más � delidad la función b) Argumenta en cada uno de los otros casos para descartarlo como representa-ción de x .

A

C

E

UN

IDA

D

EV

ALU

AC

IÓN

1E

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UNI 1 MATE 3M.indd 76 10/8/09 17:02:37

13. Grafi ca las siguientes funciones:

a) f(x) = x – 2 b) g(x) = x + 2 c) h(x) = 5x d) k(x) = 4x – 3

De� ne en cada caso el dominio y el recorrido de la función.

14. Encuentra, en cada caso, qué expresiones son iguales entre sí:

a) 2 , 3 2 + 1 2

, 8 – 2 b) 18 , 8 + 2 , 5 2 – 4 2

c) 2 6 , 3 3 + 6 3

, 12 + 3 3 d) 20 , 4 5 + 1 5

, – 4 5 + 3 2 10

15. Sin usar calculadora, encuentra en cada caso la menor de las expresiones:

a) 3 + 2 , 5 – 2 b) 3 + 2 , 21 – 2

c) 3 + 2 , 20 – 2 , 23 – 3 d) 5 + 7 , 56 – 7 , 57 – 7

e) 3 + 8 , 3 6 – 8

16. Una nave abastece de diferentes tipos de productos a varios poblados en ambas orillas de un mismo curso de agua y en las islas entre ellos. El lu-nes va de A a B y enseguida a C, mientras que el martes viaja de C a D para fi nalmente atracar en E.

a) ¿Qué distancia recorrió cada día?b) ¿En cuál de los trayectos recorre una distancia mayor?

17. Grafi ca q(x) = 3 – x y determina el valor de q(– 6).

18. Si g(x) = x2 – 3x, calcula el valor de la expresión g(x + a) – g(x)a

, a ≠ 0

A

B D

5 km

6 km

4 km 3 km

4 km

CE

c) h(x) = 5x d) k(x) = 4x – 3

De� ne en cada caso el dominio y el recorrido de la función.

Encuentra, en cada caso, qué expresiones son iguales entre sí:

b) 18 , 8 + 2 , 5 2 – 4 2 2

d) 20 , 4 5 + 1 5 5

, – 4 5 + 3 2 10

Sin usar calculadora, encuentra en cada caso la menor de las expresiones:

b) 3 + 2 , 21 – 2

3 d) 5 + 7 , 56 – 7 , 57 – 7

Una nave abastece de diferentes tipos de productos a varios poblados en ambas orillas de un mismo curso de agua y en las islas entre ellos. El lu-

, mientras que el martes viaja de C a D para

¿En cuál de los trayectos recorre una distancia mayor?

y determina el valor de q(– 6).

, calcula el valor de la expresión g(x + a) – g(x)a

, a ≠ 0

DD3 3 km

4 4 kmkm

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19. Considera la función cuadrática y = x2 – 2x – 3.

Determina las coordenadas:a) de los ceros de la función;b) del vértice de la parábola que representa;c) de la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas.

20. De la función cuadrática x2 – 3x + 2 se dice que:

I. su vértice está localizado en el punto ( 3 2 , –1

4 )II. sus ceros se encuentran en x = 1 y en x = 0

III. su intersección con el eje Y es el punto (0,2)

De las a� rmaciones anteriores, son válidas:

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I, III e) Todas

21. Considera la parábola f(x) = x2 – 4x – 12 y determina:

a) sus ceros.b) su intersección con el eje Y. c) su eje de simetría.

22. Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) x2 + 6x – 3 = 0 b) x2 – 2x – 5 = 0 c) x2 – 5x + 5 = 0

d) x2 + 23

x – 1 = 0 e) 3x2 + 2x – 1 = 0

23. Haciendo uso de la variable auxiliar indicada en cada caso, que permite reescribir la ecuación dada como el producto de una suma por diferencia igual a una constante:

i. resuelve las respectivas ecuaciones.

ii. veri� ca que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones.

a) x2 – 5x + 2 = 0 y = x – 52

b) x2 + 27

x – 3 = 0 y = x + 17

c) –x2 + 2x + 3 = 0 y = x – 1

d) 3x2 – 2x – 1 = 0 y = x – 13

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19. Considera la función cuadrática y = x

Determina las coordenadas:a) de los ceros de la función;b) del vértice de la parábola que representa;c) de la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas.

20. De la función cuadrática x2x2x – 3x + 22 – 3x + 22 se dice que: – 3x + 2 se dice que: – 3x + 2

I. su vértice está localizado en el punto (II. sus ceros se encuentran en x = 1 y en x = 1 y en x

III. su intersección con el eje Y es el punto (0,2)Y es el punto (0,2)Y

De las a� rmaciones anteriores, son válidas:

a) Solo I b) Solo II c) Solo III

21. Considera la parábola f(x) = x2f(x) = x2f(x) = x – 4x – 122 – 4x – 122

a) sus ceros.b) su intersección con el eje Y. c) su eje de simetría.

22. Resuelve, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) x2 x2 x + 6x – 3 = 0 b) x2 x2 x – 2x – 5 = 0

d) x2 x2 x + 23

x – 1 = 0 x – 1 = 0 e) 3x2 3x2 3x + 2x – 1 = 0

23. Haciendo uso de la variable auxiliar indicada en cada caso, que permite reescribir la ecuación dada como el producto de una suma por diferencia igual a una constante:

i. resuelve las respectivas ecuaciones.

ii. veri� ca que las soluciones efectivamente satisfacen dichas ecuaciones.

a) x2x2x – 5x + 2 = 0 y = x – 52

b) x2x2x + 27

x – 3 = 0 y = x + 17

c) –x2–x2–x + 2x + 3 = 0 y = x – 1

d) 3x23x23x – 2x – 1 = 0 y = x – 13

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1. Dispones de 120 m2 de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cua-drado más grande que puedes empastar?

5. Para darle mayor estabilidad a una estructura como la que se muestra en el dibujo, se le va a soldar una diagonal BC como se indica. La condi-ción que debe cumplirse es que la magnitud AB debe ser el doble que la magnitud de CD. a ¿Cuánto debe medir CD para que la barra BC

tenga la menor longitud posible?b. ¿Cuál es esa longitud?

2. Haciendo uso de alguno de los métodos estu-diados, estima 150 y calcula el error porcentual de tu estimación comparada con el resultado que obtienes con una calculadora de bolsillo.

3. Una fábrica produce cajones de madera de 30 lt y 60 lt y tales, que sus dimensiones correspon-dientes son proporcionales. Encuentra la relación que debe existir entre los precios de venta de los dos tipos de cajones para que en ambos casos la razón precio : costo sea la misma. Supón que el costo solo depende de la cantidad de madera utilizada en la fabricación.

4. Con un tubo de 12 m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la � gura. ¿Qué altura debe tener el arco para que el área del rectángulo ABCD sea la mayor posible?

120m2

A B

CD

6. Encuentra una ecuación cuadrática, cuyas raí-ces sean el triple de las raíces de la ecuación

x2 – 2x – 3 =0.

A C

B

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Autoevaluación

de carpeta de pasto y te han encargado que hagas un campo polideportivo cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cua-

5. Para darle mayor estabilidad a una estructura como la que se muestra en el dibujo, se le va a soldar una diagonal BC como se indica. La condi-ción que debe cumplirse es que la magnitud ABdebe ser el doble que la magnitud de CD. a a ¿Cuánto debe medir CD para que la barra ¿Cuánto debe medir CD para que la barra BCBC

tenga la menor longitud posible?b. ¿Cuál es esa longitud? Haciendo uso de alguno de los métodos estu-

y calcula el error porcentual de tu estimación comparada con el resultado que

Una fábrica produce cajones de madera de 30 lt y 60 lt y tales, que sus dimensiones correspon-dientes son proporcionales. Encuentra la relación que debe existir entre los precios de venta de los dos tipos de cajones para que en ambos casos

sea la misma. Supón que el costo solo depende de la cantidad de madera

Con un tubo de 12 m se quiere fabricar un arco como el que se ilustra en la � gura. ¿Qué altura debe tener el arco para que el área del rectángulo

A B

CD

6. Encuentra una ecuación cuadrática, cuyas raí-ces sean el triple de las raíces de la ecuación

x2 – 2x – 3 =0.x – 3 =0.x

A C

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Por ejemplo, aquella que señala que la suma de dos lados de un triángulo es siempre superior al tercer lado.Las desigualdades dan curso a las inecuacio-nes cuando aparecen involucradas incógnitas, es decir, variables cuyos valores desconoce-mos y queremos determinar.Las inecuaciones, por consiguiente, pueden representar muchos procesos y fenómenos físicos, biológicos y sociales que se originan en las desigualdades.Por ejemplo, en el problema de la dieta ali-mentaria. Queremos que nuestra alimentación tenga al menos una cierta cantidad de nutrien-tes, que no tenga exceso de componentes que consideramos indeseables, que su sabor sea al menos agradable y que su costo sea menor que nuestra capacidad de pagarlo. He aquí varias inecuaciones para de� nir la dieta. Su solución nos plantea las opciones viables que tenemos para alimentarnos.Las inecuaciones y las desigualdades constitu-yen herramientas matemáticas fundamentales para ahondar el conocimiento de lo existente y nuestra capacidad de acción sobre ello.

Con los signi� cativos avances de la Física, a comienzos del siglo XX se produjo una gran expectativa sobre la capacidad del ser humano para conocer y medir los fenómenos a escala más pequeña que la del átomo. ¿Será posible conocer con exactitud y en todo momento la posición, velocidad y otras propiedades de una partícula subatómica? Con el advenimien-to de la Física Cuántica quedó en evidencia que esto no era posible. Existen límites para el conocimiento de la materia. En efecto, si logramos aumentar la exactitud con que se mide la posición de una partícula, entonces menor es la exactitud con que se puede medir su velocidad. Este hecho quedó representado en el conocido principio de incertidumbre de Heisenberg:

variación posición • variación velocidad ≥ constante

En general, ∆x • ∆v ≥ k.Esta es una de las desigualdades más impor-tantes de la ciencia moderna. Pero es una más en la serie de desigualdades que la Humanidad ha ido reconociendo a través del tiempo. Hay muchas otras, algunas de ellas muy antiguas.

Por ejemplo, aquella que señala que la suma de dos lados de un triángulo es siempre superior

Inecuacioneslineales

al tercer lado.Las desigualdades dan curso a las inecuacio-nes cuando aparecen involucradas incógnitas, es decir, variables cuyos valores desconoce-mos y queremos determinar.Las inecuaciones, por consiguiente, pueden representar muchos procesos y fenómenos físicos, biológicos y sociales que se originan en las desigualdades.



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80 en las desigualdades.Por ejemplo, en el problema de la dieta ali-mentaria. Queremos que nuestra alimentación tenga al menos una cierta cantidad de nutrien-tes, que no tenga exceso de componentes que consideramos indeseables, que su sabor sea al menos agradable y que su costo sea menor que nuestra capacidad de pagarlo. He aquí varias inecuaciones para de� nir la dieta. Su solución nos plantea las opciones viables que tenemos para alimentarnos.Las inecuaciones y las desigualdades constitu-yen herramientas matemáticas fundamentales para ahondar el conocimiento de lo existente y nuestra capacidad de acción sobre ello.

el conocimiento de la materia. En efecto, si logramos aumentar la exactitud con que se mide la posición de una partícula, entonces menor es la exactitud con que se puede medir su velocidad. Este hecho quedó representado en el conocido principio de incertidumbre de Heisenberg:

variación posición • variación velocidad ≥ constante

En general, ∆x • ∆v ≥ k.Esta es una de las desigualdades más impor-tantes de la ciencia moderna. Pero es una más en la serie de desigualdades que la Humanidad ha ido reconociendo a través del tiempo. Hay muchas otras, algunas de ellas muy antiguas.

al tercer lado.Las desigualdades dan curso a las inecuacio-nes cuando aparecen involucradas incógnitas, es decir, variables cuyos valores desconoce-mos y queremos determinar.Las inecuaciones, por consiguiente, pueden representar muchos procesos y fenómenos físicos, biológicos y sociales que se originan en las desigualdades.

expectativa sobre la capacidad del ser humano para conocer y medir los fenómenos a escala más pequeña que la del átomo. ¿Será posible conocer con exactitud y en todo momento la posición, velocidad y otras propiedades de una partícula subatómica? Con el advenimien-to de la Física Cuántica quedó en evidencia que esto no era posible. Existen límites para el conocimiento de la materia. En efecto, si


Con los signi� cativos avances de la Física, a comienzos del siglo XX se produjo una gran XX se produjo una gran XX



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El mundo que percibimosy el que construimos

• Los estados del agua• Ingresos de las personas• Juegos de números• Rentas e impuestos• Tiempo de transporte• Un teorema importante• Rendimientos y plazos• Califi caciones: resultados y proyecciones• Cubriendo superfi cies• Margen comercial• Geometrías variables

Solución deinecuaciones lineales

• Inecuacioners simples• Sistemas de inecuaciones lineales• Soluciones de inecuaciones lineales con valores

absolutos• Distancias en la carretera

Estudio dedesigualdades literales

• Geometría dinámica• Juegos literales• Intervalos en sucesiones• Composiciones


• Representarás situaciones de la vida que se pueden abordar mediante desigualdades e inecuaciones lineales.

• Efectuarás planteamientos matemáticos utilizando intervalos de números reales, desigualdades e inecuaciones lineales.

• Conocerás y aplicarás procedimientos para resolver inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

• Plantearás y resolverás problemas que involucran inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

• Analizarás e interpretarás la existencia y carac-terística de las soluciones de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

• Distinguirás las ecuaciones e inecuaciones en relación a los fenómenos y procesos que representan.



• Inecuacioners simples• Sistemas de inecuaciones lineales• Soluciones de inecuaciones lineales con valores

absolutos• Distancias en la carretera


• Geometría dinámica• Juegos literales• Intervalos en sucesiones• Composiciones


• Representarás situaciones de la vida que se pueden abordar mediante desigualdades e

• Efectuarás planteamientos matemáticos utilizando intervalos de números reales, desigualdades e

• Conocerás y aplicarás procedimientos para resolver inecuaciones lineales o sistemas de

• Plantearás y resolverás problemas que involucran inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

• Analizarás e interpretarás la existencia y carac-terística de las soluciones de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

• Distinguirás las ecuaciones e inecuaciones en relación a los fenómenos y procesos que representan.

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¿Qué signi� ca que una persona sea alta? ¿Cuándo decimos que el agua en que nos bañamos está fría? ¿Cuándo a� rmamos que un neumático está desin� ado? ¿Cuándo decimos que una persona es rica?En estos y otros casos, estamos a� rmando que una propiedad o atributo presenta valores supe-riores o inferiores a un cierto valor crítico o umbral. Veamos.

¿Alto o bajo?Si una persona adulta tiene una estatura de 1,80 m, diremos que es alta; también, si mide 1,90 m. Pero, si mide 1,50 m diremos que no es alta. La estatura depende del tipo de población. Por ejemplo, los zulúes (de África) y los � nlandeses (de Europa) son pueblos más altos que el promedio mundial. ¿Qué ocurre con la estatura de la población en Chile? La estatura también varía entre hombres y mujeres. Una mujer alta puede ser de la misma estatura que un hombre que no es considerado alto.En una población como la chilena, podemos decir que un varón es alto si su estatura supera 1,75 m. Es decir, si a > 1,75 m (a: estatura medida en m).

La percepción del fríoLa temperatura del agua del mar (tm ) respecto de la temperatura de nuestro cuerpo nos da la sensación de frialdad cuando nos bañamos. Si la diferencia es pequeña, decimos que el agua no está fría; pero si la diferencia es grande, decimos que el agua está fría o muy fría. Por ejemplo, si la temperatura del agua es 20º C, 12º C, 8º C, dire-mos que el agua está agradable (no fría), fría y muy fría, respectivamente. Es decir, nuestra percepción

de frío depende del valor de la temperatura del agua. En general, a� rmamos que el agua está fría cada vez que tm < 16º C, ya que a 16 º C la mayoría de las personas siente frio.

Presión bajaUn neumático es in� ado mediante la inyección de aire a presión. Mientras mayor es la masa de aire al interior del neumático, mayor es la pre-sión. Cada tipo de neumático tiene una presión característica de uso (PC ). Si la presión es inferior a esta en más de una cierta cantidad perceptible (por ejemplo, 5%), entonces sentiremos y diremos que el neumático está desin� ado. Es decir, cuando P < PC – 5% • PC, o lo que es lo mismo cuando, P < 0,95 • PC.

El umbral de la riquezaQue una persona sea rica o no, depende de lo que en una determinada sociedad se considere rique-za económica. Una persona considerada rica en Asunción no lo es necesariamente en Washington o París. ¿Cómo se mide la riqueza económica? Una forma es el patrimonio total de una persona expresado en valor de dinero. En Chile, podemos decir que una persona que tiene un patrimonio líqui-do de 1.000 millones de pesos es rica; con mayor fundamento, una persona que tiene un patrimonio de 17.000 millones de pesos. ¿A partir de cuánto consideramos que alguien es rico en Chile? Aunque la respuesta es arbitraria, supongamos que el patri-monio líquido (P) a partir del cual se es considerado rico es de 735 millones de pesos.Es decir, cuando P > 735.


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¿Qué signi� ca que una persona sea alta? ¿Cuándo decimos que el agua en que nos bañamos está fría? ¿Cuándo a� rmamos que un neumático está desin� ado? ¿Cuándo decimos que una persona es rica?En estos y otros casos, estamos a� rmando que una propiedad o atributo presenta valores supe-riores o inferiores a un cierto valor crítico o umbral. Veamos.

¿Alto o bajo?Si una persona adulta tiene una estatura de 1,80 m, diremos que es alta; también, si mide 1,90 m. Pero, si mide si mide 1,50 m1,50 m diremos que no es alta. La estatura diremos que no es alta. La estatura depende del tipo de población. Por ejemplo, los zulúes (de África) y los � nlandeses (de Europa) son pueblos más altos que el promedio mundial. ¿Qué ocurre con la estatura de la población en Chile? La estatura también varía entre hombres y mujeres. Una mujer alta puede ser de la misma estatura que un hombre que no es considerado alto.En una población como la chilena, podemos decir que un varón es alto si su estatura supera 1,75 m. Es decir, si a > 1,75 m (a (a ( : estatura medida en m).

La percepción del fríoLa temperatura del agua del mar (tm (tm (t ) respecto de la temperatura de nuestro cuerpo nos da la sensación de frialdad cuando nos bañamos. Si la diferencia es pequeña, decimos que el agua no está fría; pero si la diferencia es grande, decimos que el agua está fría o muy fría. Por ejemplo, si la temperatura del agua es 20º C, 12º C, 8º C, dire-mos que el agua está agradable (no fría), fría y muy fría, respectivamente. Es decir, nuestra percepción

de frío depende del valor de la temperatura del agua. En general, a� rmamos que el agua está fría cada vez que de las personas siente frio.

Un neumático es in� ado mediante la inyección de aire a presión. Mientras mayor es la masa de aire al interior del neumático, mayor es la pre-sión. Cada tipo de neumático tiene una presión característica de uso a esta en más de una cierta cantidad perceptible (por ejemplo, que el neumático está desin� ado. Es decir, cuando que el neumático está desin� ado. Es decir, cuando P < PP < 0,95

Que una persona sea rica o no, depende de lo que en una determinada sociedad se considere rique-za económica. Una persona considerada rica en Asunción no lo es necesariamente en Washington o París. ¿Cómo se mide la riqueza económica? Una forma es el patrimonio total de una persona expresado en valor de dinero. En Chile, podemos decir que una persona que tiene un patrimonio líqui-do de fundamento, una persona que tiene un patrimonio de 17.000consideramos que alguien es rico en Chile? Aunque la respuesta es arbitraria, supongamos que el patri-monio líquido rico es de Es decir, cuando

El mundo que percibimosEl mundo que percibimosy el que construimos

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DesigualdadesEn todos estos ejemplos hemos visto que la realidad que percibimos la representamos por atributos o propiedades (alturas, temperaturas, presiones, patrimonios) cuyos valores nos deter-minan nuestras apreciaciones (alto, frío, desin� a-do, rico).Es decir, el mundo que nos rodea y nuestro propio cuerpo son percibidos por nuestra men-te a través de atributos o propiedades cuyos comportamientos pueden ser representados por desigualdades.Nuestro lenguaje habitual está pleno de represen-taciones que muestran nuestra percepción del mundo en función de desigualdades.Por ejemplo:

Tamaño: muy pequeño < pequeño < normal < grande < muy grande

Números reales

En el conjunto de los números reales, que denotamos por , se defi nen dos operacio-nes, la suma y el producto, que combinan dos números reales de modo que su resultado también es un número real. La suma de a y b se denota por a + b y el producto de a y b se denota por ab. Además, la suma y el producto satisfacen, por defi nición, las siguientes reglas básicas:

Peso: muy liviano < liviano < normal < pesado < muy pesado

Por lo visto, podemos a� rmar que el uso de las desigualdades está arraigado en las conductas humanas y, muy en particular, en el lenguaje oral. De aquí, entonces, la conveniencia de abordar su tratamiento sistemático tanto en el lenguaje oral como escrito. Es lo que haremos a continuación.

Antes de examinar con más profundidad algunos casos de la vida cotidiana y de concentrarnos en el estudio de las desigualdades, conviene consignar a modo de “ayuda memoria”, algunas de� niciones y propiedades de los números reales.

SumaConmutatividad de la suma Para todo a, b en ;

a + b = b + a

Asociatividad de la sumaPara todo a, b, c en :

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro aditivoPara todo a en :

a + 0 = a

Elemento inverso aditivoPara todo a en , existe un número –a también en

(llamado inverso aditivo de a) tal que:

a + (–a) = 0

ProductoConmutatividad del productoPara todo a, b en :

ab = ba

Asociatividad del productoPara todo a, b, c en :

(ab)c = a(bc)

Elemento neutro multiplicativoPara todo a en :

a1 = a

Elemento inverso multiplicativoSi a está en y a no es igual a 0, entonces existe un número b en (llamado inverso multiplicativo de a) tal que:

ba = 1 (Usualmente b se denota como 1/a)

Distributividad del producto respecto de la sumaPara todo a, b, c en :

a(b + c) = ab + ac

DesigualdadesEn todos estos ejemplos hemos visto que la realidad que percibimos la representamos por atributos o propiedades (alturas, temperaturas, presiones, patrimonios) cuyos valores nos deter-minan nuestras apreciaciones (alto, frío, desin� a-do, rico).Es decir, el mundo que nos rodea y nuestro propio cuerpo son percibidos por nuestra men-te a través de atributos o propiedades cuyos


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En tu vida diaria has visto los diferentes estados en que se presenta el agua en la naturaleza: agua líquida, agua sólida (hielo, nieve), agua gaseosa (vapor). Intuitivamente sabes que el agua cambia de un estado a otro en función de su temperatura. Si haces un experimento simple, consistente en tomar agua destilada (sin otros elementos), calen-tarla y luego enfriarla a presión atmosférica normal; medir la temperatura cuando sube, cuando baja y observar el estado que presenta, obtendrás un resultado como el de la tabla adjunta.Así, podemos escribir que el estado del agua depende de su temperatura (Ta ) según las si-guientes desigualdades (las temperaturas están expresadas en ºC)

sólido si Ta < 0

líquido si 0 < Ta < 100

gas si Ta > 100

Los estados del agua

Temperatura (°C) Estado

–20 sólido (hielo)

–10 sólido (hielo)

0 sólido (hielo) – líquido

10 líquido

30 líquido

50 líquido

70 líquido

90 líquido

100 líquido – vapor

110 gas (vapor)

120 gas (vapor)

Hay una serie de propiedades relativas al orden de los números reales. Indicamos algunas a continuación de manera que podamos referirnos a ellas más adelante.

Propiedades delas relaciones de orden

1. Para cualquier número real a, una y solo una de las siguientes a� rmaciones es verdadera:

(i) a > 0 (ii) a = 0 (iii) a < 0

2. Si a, b están en y, si a > 0 y b > 0, entonces, a + b > 0.

3. Si a, b están en y, si a > 0 y b > 0, entonces, ab > 0.

0 1

Relaciones de orden en IREs usual representar los números reales como una recta horizontal en la que arbitrariamente se marca un punto y se de� ne como 0 (elemento neutro de la suma) y un punto a la derecha del 0 que representa al número 1 (elemento neutro del producto).

Esta elección, induce una relación de orden en . Si a y b son dos puntos de la recta numérica, de modo que a está a la derecha de b, decimos que a es mayor que b y denotamos este hecho como a > b.También en este caso podemos escribir b < a, cuando nos resulte más conveniente. Es decir, a > b y b < a son expresiones equivalentes. La expresión b < a la leemos “b es menor que a”.

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Estudios sobre los o� cios, profesiones y trabajos diversos que realizan las personas muestran la gran dependencia que existe entre el nivel de ingresos de ellas y su nivel de educación (medido en años de escolaridad).La siguiente tabla muestra la situación de una cierta población de trabajadores chilenos, según un análisis promedio.

Una forma grá� ca de representar estas desigualdades es:

¿Qué ocurre en los puntos de cambio de estado (0º C y 100º C)? En esos puntos se produce una transición de un estado a otro. Por ello, coexisten el hielo y el agua líquida en torno a 0º C y el vapor con el agua líquida en torno a 100º C. Debido a las condiciones del entorno, a las impurezas del agua y a la precisión de los instrumentos de medida, es difícil asegurar que la transición ocu-rre exactamente en esos puntos. Puede ser en fracciones de ºC más o menos en torno a tales

valores. No obstante, se acostumbra representar matemáticamente como que la transición ocurre en esos valores.El caso de los estados del agua muestra una situa-ción bastante común en los fenómenos naturales: que las transiciones de estado de la materia, de cualquier tipo, se pueden representar mediante desigualdades.Pero esto también ocurre en los fenómenos so-ciales. Analicemos un caso.

0

Hielo Agua líquida VaporTemperatura (ºC)

100

Ingresos de las personas

Años de escolaridad Ingreso promedio

(E) mensual ($)

< 4 E. Básica 130.000

5 - 8 E. Básica 190.000

9 - 12 E. Media 280.000

13 - 15 E. Superior 580.000

16 - 18 E. Superior 930.000

> 18 Posgrado 1.250.000

De aquí se puede deducir que mientras mayor es el nivel de educación de una persona (medida en años de escolaridad), mayor es el ingreso que recibirá en el trabajo que llegue a desempeñar. Esto signi� ca que las oportunidades mejor remu-neradas son más accesibles para personas más educadas.

Naturalmente, estas desigualdades representan solo valores y no determinan necesariamente la condición de cada persona. Todos conocemos personas que con poco han logrado mucho desa-rrollo y otras personas que con muchos ingresos no logran mantenerse bien. No obstante, está claro que mayor educación signi� ca mayores ingresos y mejor calidad de vida.

Las desigualdades nos permiten representar y estudiar este tipo de procesos sociales.

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A c t i v i d a d e s

1. Pesando al cursoRealiza el siguiente análisis a partir de información sobre tus compañeros(as) de curso. Pídeles que te informen sus pesos en forma confi able, pero reservada (en un papel sin su nombre). Pon esta información en una tabla o histograma separando en clases diferentes cada 5 kg y cuenta al núme-ro de compañeros(as) que tienen pesos comprendidos en cada una de ellas. Consulta en una enciclopedia, con el(la) profesor(a) de Educación Física o de Biología, o con un(a) médico, cuáles son los pesos normales para sus edades, cuáles pesos signifi can sobrepeso (tendencia a obesidad) y cuáles signifi can subpeso. Representa los resultados usando desigualdades.

2. El campeonato de fútbolToma la tabla de posiciones fi nal del campeonato de fútbol profesional de Chile más reciente y analiza los resultados posibles para los clubes en función de su posición. Repre-senta estos resultados (campeón, subcampeón, derecho a participar directamente en Copa Libertadores de América, descenso automático, obligación de defi nir permanencia en Serie A mediante competencia con representantes de serie B, etc.) a través de desigualdades. Expresa intervalos de puntajes para representar los resultados.

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Considera el siguiente conjunto de números reales:

A = { 8 , –2,5 , π , 250 , 2 , 0 , 1 , –3 }

entonces podrás apreciar que:∀x ∈ A: –3 ≤ x ≤ 250, lo que se puede escribir como: x ∈ [–3, 250], en que [–3, 250] es el intervalo de la recta numérica comprendido entre –3 y 250.

AdvertenciaLa ilustración no es una representación a escala de la recta numérica; solo cualitativa.

Hay muchos otros intervalos que contienen a A. Por ejemplo: [–4; 257]. También hay muchos intervalos que no contienen a A. Por ejemplo: [–8, –5].Si consideras ahora el intervalo de números reales [–10; 1]. ¿Qué elementos co-munes tiene con A? Veamos.

Puedes observar que en el grá� co lineal coinciden todos los elementos que están en el intervalo [–3, 1].Algebraicamente: –3 ≤ x ≤ 250 ⇒ –3 ≤ x ≤ 1 –10 ≤ x ≤ 1

También es posible concebir intervalos que contengan un solo elemento de A.Por ejemplo: [0 , 0] , [π , 5] , [1,5 ; 4]

Juegos de númerosLas desigualdades en Matemática se originan al comparar números. Esta es una antigua la-bor que se impuso el ser humano: un proceso mental. ¿Cuántas veces, a través del desarrollo de la Humanidad, las personas se habrán hecho las mismas preguntas? ¿Hay más estrellas en el Universo que granos de arena en la faz de la Tierra? ¿Hay más cabellos en la cabeza de un niño que hojas en la copa de un árbol? ¿Qué animales tienen vida más corta o más larga que

–3 –2,5 0 1 2 8 250

–10 –3 1 250

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s1. Considera los siguientes números: 4, –16, 2 + 5 , 14. Determina intervalos que contengan todos estos números, que contengan sólo tres, solo dos, sólo uno y ninguno.

2. Considera los intervalos [3, 5] y (2, 14). Determina los elementos comunes entre cada uno de estos intervalos y el intervalo que comprende todos los números del ejercicio anterior.

la de un ser humano? ¿Cuál es el trayecto más corto entre dos puntos?Todas estas y otras preguntas empezaron a ser respondidas cuando avanzó el conocimiento en cálculo, álgebra y aritmética y, en particular, en la capacidad de comparar números. Por ello, es interesante desarrollar y profundizar esta capaci-dad. Empecemos por lo más simple, comparemos y representemos números.

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Este tipo de análisis que hemos aplicado a la recta numérica lo podemos extender al plano. Consideremos las siguientes ecuaciones de dos variables:

L1 : y = 2x – 5 L2 : y = –x + 1

Estudia qué ocurre con la variable y cuando la variable x está en el intervalo [0, 3], es decir, 0 ≤ x ≤ 3.

Solución:Grafi quemos L1 y L2.

Como se puede apreciar en el gráfi co, en el intervalo de x considerado, y satisface en L1 : –5 ≤ y ≤ 1 y en L2 : –2 ≤ y ≤ 1.

Vemos que el mayor valor que alcanza y es 1, tanto en L1 como en L2, cuando x está en el intervalo [0, 3]. El valor mínimo de y es –5 en L1 (x = 0) y es –2 en L2 (con x = 3). Consi-derando simultáneamente las dos rectas, tenemos que el intervalo [–2, 1] de y es común para ellos. (ver líneas punteadas en el gráfi co)

Hagamos ahora una comparación de distancias. Considera el intervalo de x: [1, 2]. Calcu-lemos las distancias entre los respectivos valores mínimo y máximo de y en L1 y L2.

En L1, el intervalo resultante en el eje y es: [–3, –1]; la distancia es d1 = I–1 – (–3)I = 2

En L2, el intervalo resultante en el eje y es: [–1, 0]; la distancia es d2 = I–1 – 0I = 1

Entonces tenemos que d1 > d2, es decir, en la recta L1 se recorre un mayor tramo que en L2 para el intervalo de x considerado. ¿Ocurre lo mismo para otros intervalos de x?

-1

-1-2-3

L2

L1

1

2

3

-2

-3

-4

-5

1 2 3x

y

1

y

-2 -5

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1. Considera las siguientes rectas:

L1: y = 4x – 6 L2: y = –2x + 3

a) Calcula los intervalos resultantes para y en L1 y L2 cuando x está en el intervalo [–1, 2]. b) Calcula valores mínimos y máximos para y en cada caso.c) Calcula las distancias recorridas en y en cada caso y compáralas.

2. Considera la recta L: y = 2x + 1, grafícala y representa la zona defi nida por los puntos del plano que cumplen –1 ≤ x < 2 , y ≤ 2x + 1 , y ≥ –1.

Nueva estructura impositivaImpuesto único a los trabajadores y global complementario mensual, para no-viembre de 2008.

Rentas e impuestosLas personas trabajan en diferentes o� cios y pro-fesiones, en diferentes ámbitos de la economía y con diferentes grados de calidad y productividad. Así, sus remuneraciones e ingresos son también diferentes. Todas las personas están sujetas al impuesto a la renta que establece el Estado para

� nanciar sus actividades y obras. Estos impuestos son diferentes en magnitud para los diversos valo-res de ingresos de las personas: quien gana más debe pagar más. En el cuadro siguiente puedes apreciar la tabla de impuestos de� nida por el S.I.I. (Servicio de Impuestos Internos de Chile).

Monto de la renta imponible

Desde Hasta Factor Cantidad a rebajar

0,00 503.766,00 0,00 0

503.766,01 1.119.480,00 0,05 25.188,30

1.119.480,01 1.865.800,00 0,10 81.162,30

1.865.800,01 2.612.120,00 0,15 174.452,30

2.612.120,01 3.358.440,00 0,25 435.664,30

3.358.440,01 4.477.920,00 0,32 670.755,10

4.447.920,01 5.597.400,00 0,37 894.651,10

5.597.400,01 y más 0,40 1.062.573,10

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Considera como R la renta o ingreso de la persona e I el impuesto a pagar, entonces puedes representar los valores del cuadro anterior mediante:

Si 0 ≤ R ≤ $ 503.766,00 resulta I = 0

Si $ 503.766,01 < R ≤ $ 1.119.480,00 resulta I = 0,05 • R – 25.188,30

Si $ 1.119.480,01 < R ≤ $ 1.865.800,00 resulta I = 0,10 • R – 81.162,30

Si $ 1.865.800,01 < R ≤ $ 2.612.120,00 resulta I = 0,15 • R – 174.452,30

Si $ 2.612.120,01 < R ≤ $ 3.358.440,00 resulta I = 0,25 • R – 435.664,30

Si $ 3.358.440,01 < R ≤ $ 4.477.920,00 resulta I = 0,32 • R – 670.755,10

Si $ 4.447.920,01 < R ≤ $ 5.597.400,00 resulta I = 0,37 • R – 894.651,10

Si $ 5.597.400,01 < R resulta I = 0,40 • R – 1.062.573,10

Puedes gra� car todas estas ecuaciones lineales asociadas a cada desigualdad (rangos de rentas R), según se muestra en la � gura siguiente. Ob-serva que en los límites de los intervalos de rentas cambia la ecuación del impuesto.

Por ejemplo, cuando R = 503.766, la ecuación cambia desde I = 0 a I = 0,05 • R – 25.188. Si la renta R aumenta algo por sobre ese valor, también aumenta el impuesto, pero en forma diferente.


1

100

200

300

400

500

600

I (miles $)

R (millones $)2 3 4

R I

503.766,01 0

1.119.766,01 30.786

1.865.800,01 105.418

2.612.120,01 217.366

3.358.440,01 403.946

4.447.920,01 762.179

5.597.400,01 1.173.387

Veamos algunos análisis de situaciones que ocurren en la vida cotidiana.

1. Pedro gana $ 850.000 mensuales. ¿Cuánto impuesto debe pagar?

SoluciónDado que esta renta está en el intervalo (503.766, 1.119.480), el impuesto está dado por:

I = 0,05 • R – 25.188 ⇒ I = 0,05 • 850.000 – 25.188

∴ I = 17.312

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2. Si en la situación del problema anterior Pedro recibe un bono adicional por su buen desempeño laboral y este bono es de $ 140.000, ¿cuánto impuesto debe pagar ahora? ¿Cuánto es el aumento de impuestos respecto de la situación anterior?

SoluciónLa nueva renta es R = 850.000 + 140.000 = 990.000Esta renta está en el intervalo (503.766, 1.199.480]

Luego, el impuesto resultante está dado por:

I = 0,05 • R – 25.188 ⇒ I = 0,05 • 990.000 – 25.188 ⇒ I = 24.312

Entonces, el aumento de impuesto es de 24.312 – 17.312 = 7000. Luego, el aumento

de impuesto es 7.00017.312 = 40,4% con respecto al valor inicial. Ahora bien, la renta de ese

mes subió solo en $ 140.000, es decir, 140.000850.000 = 16,5%.

Entonces, ocurre que un cierto aumento porcentual en la renta produce un aumento por-centual mayor en el impuesto. Este es uno de los propósitos que buscan los legisladores y las autoridades para redistribuir los ingresos de las personas.

3. Magdalena pagó un cierto mes la cantidad de $ 143.200 en impuestos. ¿Cuál fue la renta total que ganó ese mes?

SoluciónPuedes observar en el gráfi co que tal valor de impuestos se produce en el intervalo de impuestos (105.468, 217.366] que corresponde al rango de rentas (1.865.800, 2.612.120]. En ese intervalo, la ecuación para el impuesto es:

I = 0,15 • R – 174.452

Luego: 143.200 = 0,15 • R – 174.452 de donde: 0,15 • R = 143.200 + 174.452 = 317.652

resultando: R = 317.6520,15 = 2.117.680

Por lo tanto, Magdalena ganó $ 2.117.680 ese mes.

4. Dos programadores de computadores, Elena y Juan, trabajan para una empresa con remuneraciones brutas de $ 610.000 y $ 480.000, respectivamente. La empresa decide repartir un bono de $ 200.000 entre ambos por su trabajo efi ciente en equipo. Analiza cuáles son los impactos en los impuestos y en las rentas líquidas si el bono se reparte:

a) en partes iguales

b) en proporción a las rentas

SolucionesAplicando las ecuaciones respectivas a las remuneraciones sin bono de ambas personas, tenemos que:

Impuesto de Elena: I = 0,05 • 610.000 – 25.188 = 5.312

Impuesto de Juan: I = 0

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a) Si el bono se reparte en partes iguales ($ 100.000 a cada uno), los nuevos impuestos serán: Impuesto de Elena: I = 0,05 • (610.000 + 100.000) – 25.188 = 10.312

Impuesto de Juan: I = 0,05 • (480.000 + 100 000) – 25.188 = 3.812

Observa que el impuesto total pagado es 10.312 + 3.812 = 14.124

b) Si el bono se reparte proporcional a las rentas, entonces:

Elena recibe 610.000610.000 + 480.000 • 200.000 = $ 111.927

Juan recibe 480.000610.000 + 480.000 • 200.000 = $ 88.073

En este caso, los nuevos impuestos serán:

Impuesto de Elena: I = 0,05 (610.000 + 111.926) – 25.188 = 10.908

Impuesto de Juan: I = 0,05 (480.000 + 88.073) – 25.188 = 3.216

Observa que el impuesto total pagado es 10.908 + 3.216 = 14.124, igual que en el caso anterior. ¿Es siempre así?


1. Una persona tiene ingresos variables mes a mes. En un mes gana $ 780.000, en el segundo mes gana $ 1.250.000 y el tercer mes gana $ 160.000. Calcula los impuestos que debe pagar cada vez. Calcula el promedio de las rentas mensuales y calcula el impuesto que le habría correspondido pagar si hubiera ganado ese valor todos los meses. Compara los impuestos resultantes para el período de tres meses en cada caso. Interpreta los resultados.

2. Una empresa efectúa una reorganización de su personal. En ese contexto, despide a un ingeniero experimentado que gana $ 2.400.000 por mes y contrata dos ingenieros a los cuales paga $ 1.200.000 a cada uno. Calcula los impuestos a pagar en cada caso. Interpreta.

Tiempo de transporteLa distancia medida entre el domicilio de cierta persona y la ubicación de la empresa donde tra-baja es de 6.800 metros medidos por la trayectoria más corta. En condiciones normales de tránsito,

su vehículo desarrolla una velocidad promedio de 48 km/h (incluyendo tiempos de detención). En condiciones de congestión vehicular, su vehículo alcanza velocidades promedio de hasta 20 km/h.

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Analicemos el impacto en los tiempos de transporte.El tiempo mínimo de transporte se logra a mayor velocidad:

tmín = 6,8 km48 km/h = 0,1416 h = 8,50 min.

El tiempo máximo de transporte se logra a menor velocidad:

tmáx = 6,8 km20 km/h = 0,34 h = 20,40 min.

Por consiguiente, el tiempo de transporte (t) está en el intervalo [ tmín , tmáx ] = [8,50 ; 20,40].

Esta persona dispone de una trayectoria alter-nativa, que aunque tiene una mayor distancia casa-trabajo (7.800 m) es menos congestionada. La velocidad promedio que alcanza en períodos de congestión vehicular es de 32 km/h. En este caso, los tiempos límites serán:

Tiempo mínimo:

t mín = 7,8 km48 km/h = 0,1625 h = 9,75 min.

Tiempo máximo:

t máx = 7,8 km32 km/h ≈ 0,2438 h = 14,63 min.

Por consiguiente, el tiempo de transporte está en el intervalo [9,75 ; 14,63].

Gra� cando se tendrá:

2 4 6

Sin congestión

t (min)

d (km)

Alta congestión

Congestión media

Trayectoria regularTrayectoria alternativa

8 10 12 14 16 18 20 22

21

43

56789

En un eje lineal, tendrás que los intervalos de tiempo son:

Observa que el intervalo de tiempo correspondiente a la trayectoria regular contiene completamente al intervalo de la trayectoria alternativa. Los tiempos de tránsito en la trayectoria regular pueden ser menores, iguales o mayores que los de la trayectoria alternativa. Eso signi� ca que su dispersión es mayor.

8,50 9,75 14,63

Trayectoria alternativa

Trayectoria regular

20,40 t (min)


1. Dos vehículos se desplazan por dos trayectorias diferentes (A y B), cubriendo distancias de 12,0 km y 8,4 km, respectivamente. La trayectoria B está congestionada y posibilita velocidades entre 18,0 km/h y 20,0 km/h. La trayectoria A está menos congestionada y posibilita velocidades entre 24,0 km/h y 30 km/h. Analiza los intervalos de tiempo de recorrido y compáralos para ambos vehículos en sus respectivas trayectorias.

2. En el mismo ejercicio anterior, la trayectoria B se descongestiona, debido a la eliminación de la causa que provocaba la congestión. Ahora, posibilita velocidades entre 24,0 km/h y 42,0 km/h. Analiza los intervalos de tiempo de recorrido y compáralos.

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Un teorema importanteDemostraremos a continuación un teorema re-lativamente simple, que –a su vez– nos facilitará probar algunas propiedades de las desigualdades imprescindibles para su mejor comprensión. Pero, sobre todo, nos permitirá contar con algunas he-rramientas operacionales apropiadas para proce-sar la información contenida en las desigualdades, de manera que se ajusten a nuestras necesidades especí� cas, como lo veremos más adelante.

TeoremaConsideremos dos números reales a y b que sa-tisfacen la desigualdad a < b. En tal caso, existe un número ε > 0 tal que a + ε = b.

DemostraciónSea ε = (b – a). Como a a, entonces ε > 0.Por otra parte, a + ε = a + (b – a) = b, efectiva-mente.

Veamos un ejemplo numérico para visualizar lo que a� rma el teorema anterior.

Sea a = 4,8 y b = 5. En este caso se cumple que a < b, puesto que 4,8 < 5. Entonces,

ε = 5 – 4,8 = 0,2

Es directo verificar que a + ε = b, dado que 4,8 + 0,2 = 5, efectivamente.

Propiedades de lasdesigualdades

1. Si a < b entonces a + c < b + c

Si a ambos miembros de una desigualdad le su-mamos la misma cantidad, la relación de orden en-tre los miembros de la desigualdad se mantiene.

DemostraciónEn virtud del teorema demostrado en el título anterior, sabemos que si a 0 tal que:

a + ε = b

Si a ambos miembros de la igualdad le sumamos c, la igualdad se mantiene, de manera que:

a + ε + c = b + c

Reordenando la igualdad anterior y agrupando los términos como se indica:

(a + c) + ε = (b + c)

Lo cual quiere decir (dado que ε > 0) que:

a + c 0.

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, la relación de orden de los miembros de la des-igualdad se mantiene, es decir si a 0 entonces ak < bk.

Demostración Sea a 0 tal que

a + ε = b

Si multiplicamos la igualdad anterior por k > 0, obtenemos:

ak + εk = bk

x a b a + c C

C

b + c

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Como ε > 0 y k > 0 entonces se cumple que:

εk > 0

De donde:ak > bk

que es lo que se quería probar.

3. Multiplicación por –1

Al multiplicar ambos miembros de una des-igualdad por –1, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se revierte, es decir, si a –b.

DemostraciónComo ya sabemos, si a 0 tal que:

a + ε = b

Si multiplicamos la última igualdad por –1 se obtiene:

–a – ε = –b

Sumando ε a ambos miembros de la igualdad:

–a = –b + ε

Lo cual quiere decir que:

–a > –b

Que es lo que se pretendía demostrar.

Del mismo modo es posible demostrar que:

a ≤ b ⇒ –a ≥ –b

a > b ⇒ –a < –b

a ≥ b ⇒ –a ≤ –b

Grá� camente esta propiedad se puede visualizar mediante los siguientes diagramas.

Nota que en ambos diagramas a < b, pero que –b < –a.¿Se te ocurren otras situaciones que sea necesario analizar?


Sean a, b, c y d números reales. Demostrar que:

1. Si a < 0 y b < 0 entonces ab > 0.

Solución

a < 0 ⇒ –a > 0 (dado que al multiplicar una desigualdad por –1 la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se revierte)

b < 0 ⇒ –b > 0 (por la misma razón recién citada)

Como el producto de dos números positivos es positivo:

(–a)(–b) > 0 ∴ ab > 0

x–b –a 0 a b

xa b 0 –b –a

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2. Si a 0

Y dado que: b < c

Ello implica que: c – b > 0

De ese modo: (c – b) + (b – a) > 0

Resolviendo los paréntesis y reduciendo términos semejantes:

c – b + b – a > 0 ⇒

c – a > 0

∴ a < c


Sean a y b números reales. Demostrar que:

1. Si a > 1 entonces a2 > a.

2. Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.

3. Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2.

4. Si 0 ≤ a, 0 ≤ b, y a2 < b2 entonces a < b.

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Imagínate que estás a cargo de pavimentar un camino de 50 km de longitud y tienes un plazo máximo de 150 días corridos para hacerlo. Consi-dera que tienes personal, maquinarias y materiales en calidad y cantidad su� cientes. En particular, dispones de dos máquinas. Una de ellas (A) per-mite pavimentar hasta 0,20 km/día y otra (B) que permite pavimentar hasta 0,16 km/día. ¿Cuántos días deberás trabajar con cada máquina en forma continuada para cumplir la meta?

Este es un problema típico en el esfuerzo huma-no por construir: ¿cómo se deben combinar los medios para lograr los � nes buscados?

Al examinar la información disponible, obtendrás lo siguiente:

Máquina A trabajando 150 días produce:

0,20 km/día • 150 días = 30 km

Máquina B trabajando 150 días produce:

0,16 km/día • 150 días = 24 km

Rendimientos y plazosAmbas máquinas trabajando simultáneamente, en diferentes localizaciones del camino, durante 150 días, producen 30 km + 24 km = 54 km.Esta cifra es mayor que la longitud del camino, por lo que este problema tiene solución. ¿Qué habría ocurrido si el rendimiento máximo de las máquinas es de solo 0,1 km/día? Calcula y verás que, en ese caso, no podrías lograr pavimentar los 50 km en 150 días.

Llamemos x e y al tiempo que las máquinas A y B respectivamente deben trabajar para lograr pavimentar los 50 km.

Entonces, se tendrá:

0,20x + 0,16y = 50 km (1)

Donde se debe cumplir que:

x ≤ 150 días (2)

y ≤ 150 días (3)

Despejando y de la ecuación (1), se obtiene:

y = 50 – 0,20x0,16

A

B

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Reemplazando en (3), se tendrá:

50 – 0,20x0,16

≤ 150

50 – 0,20 x ≤ 24

50 – 24 ≤ 0,20 x

26 ≤ 0,20 x

130 ≤ x

Combinando con (2), resulta:

130 ≤ x ≤ 150

Es decir, la máquina A debe trabajar entre 130 y 150 días.

Desarrollando en forma similar para la máquina B, tendrás que:

125 ≤ y ≤ 150

Naturalmente, mientras más días trabaje una máquina, la otra necesita trabajar menos días. La combinación de cantidad de días que debe tra-bajar cada una está dada por la ecuación (1) que puede ser reescrita como y = 312,5 – 1,25x.

Grá� camente

¿Qué ocurre si la máquina A tiene un desperfecto y su reparación toma 4 días?

En este caso:

x ≤ 150 – 4 ⇒ x ≤ 146

Desarrollando la ecuación (1), calculando y para el máximo valor de x (146 días), tendrás el valor mínimo de y:

y = 50 – 0,20 • 1460,16

= 130

Luego, ahora resulta: 130 ≤ y ≤ 150

Es decir, la máquina B debe ahora trabajar entre 130 y 150 días.

GeneralizaciónSupongamos que los rendimientos de las máqui-nas A y B son a(km/día) y b(km/día), la longitud del camino es d y el plazo de tiempo disponible es t.Entonces, tendrás:

ax + by = d

x ≤ t

y ≤ t

Desarrollando la ecuación de distancia, reempla-zando en la desigualdad de tiempo y desarrollando el tratamiento anterior, resultará:

d – bta

≤ x ≤ t

d – atb

≤ y ≤ t

De las desigualdades anteriores se puede deducir que:

at + bt = (a + b)t ≥ d

para que el problema tenga solución.

El tiempo mínimo de ejecución será da + b .

300,0

350,0

250,0

200,0

150,0125,0100,0

50,0

0,0500 100

130150 200 250 300

y = 312,5 – 1,25x

x (días)

y (días)

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1. Supón que tienes las máquinas de pavimentación A y B de rendimientos 0,20 km/día y 0,16 km/día respectivamente. Después de 10 días de trabajo de ambas máquinas, la B se daña y es reemplazada por una máquina C de rendimiento 0,18 km/día. Determina los tiempos que deben trabajar las máquinas A y C para cumplir la meta de 50 km en menos de 150 días.

2. El plazo para realizar la obra disminuye a 120 días. Observa que no es posible lograr la meta haciendo trabajar solo dos máquinas A y B (o A y C, o B y C). Calcula las máximas longitudes pavimentadas que puedes obtener en cada caso. Para cumplir la meta es nece-sario incorporar otra máquina D con un rendimiento mayor. ¿Cuál es el mínimo rendimiento de la máquina D, si trabaja con la máquina A? ¿Y si trabaja con la máquina B?

Imaginemos que Nicole ha obtenido las siguientes cali� caciones en las tres primeras pruebas de Matemática: 6,0 – 4,4 – 6,2. Todavía debe rendir dos pruebas más. ¿Cuáles son las cali� caciones mínimas que debe obtener para alcanzar un pro-medio simple de al menos 6,0?Este es un problema característico al que se ven enfrentados los(as) estudiantes cuando se � jan determinados propósitos y deben hacer proyec-ciones para lograrlos.Llamemos x e y a las cali� caciones que obtendrá en las próximas dos pruebas. Entonces, el pro-medio resultante N será:

N = 6,0 + 4,4 + 6,2 + x + y5

El objetivo propuesto es N ≥ 6,0 es decir:

6,0 + 4,4 + 6,2 + x + y5

≥ 6,0

De aquí: 16,6 + x + y ≥ 30,0

que equivale a: x + y ≥ 13,4

Dado que la escala de notas va de 1,0 a 7,0

1 ≤ x ≤ 7 , 1 ≤ y ≤ 7, obtendremos que:

x ≥ 13,4 – 7,0 = 6,4

y ≥ 13,4 – 7,0 = 6,4

Calificaciones: resultados y proyeccionesEs decir, 6,4 ≤ x ≤ 7,0

13,4 – x ≤ y ≤ 7,0

Posibles resultados se pueden ver en la siguiente tabla:

GeneralizaciónSupongamos que las cali� caciones ya obtenidas son p1 , p2 ,..., pk y restan por realizar (n – k) pruebas y que se pretende obtener un promedio � nal p.

Entonces, se veri� ca que:

p1 + p2 +…+ pk + xk + 1 +…+ xn

n ≥ p

donde, xk + 1, ... , xn son las cali� caciones de las pruebas por realizar.

El promedio de las cali� caciones ya obtenidas es:

P = p1 +…+ pk

k

x y

6,4 7,0

6,5 6,9

6,6 6,8

6,7 6,7

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El promedio proyectado de las cali� caciones a las pruebas por realizar es:

X = xk + 1 +…+ xn

n – k

Reemplazando estas expresiones en la inecuación anterior, se tendrá:

k • P + (n – k)Xn

≥ p

Desarrollando k • P + (n – k)X ≥ np

(n – k)X ≥ np – kP

de donde

X ≥ n p – k Pn – k

Apliquemos esta desigualdad a algunos casos de interés.

Por ejemplo, veamos el caso en que Renato tiene 10 tareas de las cuales ha realizado tres con ca-li� caciones 2,8 – 5,6 y 6,9. Tiene la intención de obtener un promedio 6,5. ¿Cuáles cali� caciones debe obtener Renato en las tareas restantes?

En este caso:

n = 10, k = 3, p = 6,5 y P = 2,8 + 5,6 + 6,93

= 5,1

Entonces: X ≥ n p – k P

n – k

≥ 10 • 6,5 – 3 • 5,110 – 3

≥ 65,0 – 15,37

≥ 49,77

∴ X ≥ 7,1

Este resultado es imposible de obtener, dado que las cali� caciones no pueden ser mayores a 7,0 en el sistema escolar chileno ( X ≤ 7,0).

Veamos una modi� cación de este caso. Es fre-cuente que los(as) profesores(as) autoricen elimi-nar la menor cali� cación y calculen el promedio con las mejores. Considerando que la menor cali� cación obtenida en las tareas es 2,8 y supo-niendo que en las próximas tareas no obtendrá cali� cación menor a esta, entonces podemos eliminarla.

Entonces, ahora tenemos:

n = 9, k = 2, p = 6,5 y P = 5,6 + 6,92

= 6,25

De donde: X ≥ n p – k P

n – k X ≥ 9 • 6,5 – 2 • 6,25

9 – 2 X ≥ 6,57

Luego, en este caso es posible alcanzar el resulta-do esperado. Si ahora tomamos en consideración que una de las tareas será sobre un tema difícil y complejo, y Renato solo espera obtener en ella una cali� cación 4,0, ¿podrá todavía alcanzar el promedio de cali� cación � nal 6,5?

Veamos: X ≥ 6,57

⇒ X1 +…+ X7

7 ≥ 6,57

Sea x1 = 4,0 , entonces:

4,0 + X2 +…+ X7

7 ≥ 6,57

De donde:

X2 + ...+ X7 ≥ 7 • 6,57 – 4,0

⇒ X2 + ... + X7 ≥ 41,99

Obteniendo el promedio de estas seis cali� caciones:

X2 +…+ X7

6 ≥ 6,99

Por lo tanto, todavía es posible alcanzar el resul-tado deseado.

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1. Has obtenido las siguientes califi caciones en una asignatura: 3,6 – 5,4 – 5,8. Deseas obtener un resultado fi nal de al menos 6,0. Puedes eliminar la califi cación menor y tienes la posibilidad de realizar dos pruebas adicionales.a) ¿Cuáles son las menores califi caciones que has de obtener para lograr tu propósito? b) ¿Cuál es el máximo resultado que puedes obtener?

2. En el mismo ejercicio anterior, considera ahora que la última prueba es un examen fi nal, que no se puede eliminar y que tiene una ponderación equivalente a dos pruebas simples. Calcula cuáles son las califi caciones mínimas que debes obtener para lograr un resultado fi nal de al menos 6,0.

3. Realiza los ejercicios anteriores considerando que el reglamento permite reemplazar la peor califi cación por el promedio de las otras califi caciones.

RendimientoEl concepto de rendimiento aparece en múltiples situaciones de la vida. Por ejemplo, el rendimiento de un auto se mide por el número de kilómetros que logra alcanzar con 1 litro de combustible.Así escuchamos decir que cierto modelo “da” 14 kilómetros por litro, lo que se escribe 14 km/L.Que el rendimiento de una pintura (en cierto tipo de muro) sea de 18 m2/L signi� ca que con 1 litro se pueden cubrir 18 metros cuadrados de muro.Imagina que has decidido pintar las paredes de tu casa, las cuales son de dos tipos: muy porosas (A) y poco porosas (B). Para ello utilizas un cierto tipo de pintura, cuyo rendimiento es de 10 m2/L en pared tipo A y de 20 m2/L en pared tipo B. Las

Cubriendo superficies

En la situación antes descrita supongamos que sólo disponemos de 8 litros de pintura. ¿Cuánta área de tipo A y B puedes cubrir?

paredes tienen una altura de 2,40 m y la suma de todas sus longitudes es de 64 m, siendo 20 m del tipo A y 44 m del tipo B.

¿Cuántos litros de pintura se requieren?El área del muro A es 2,40 m • 20 m de manera que en las paredes de tipo A la cantidad de pintura que se requiere es:

2,40 m • 20 m10 m2/L

= 4,8 L

Análogamente, en las paredes tipo B: 2,4 m • 44 m

20 m2/L = 5,28 L

En total: 4,8 L + 5,28 L = 10,08 L

20,0 m

2,4

m

64,0 m44,0 m

Pared tipo A Pared tipo B

x y

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SoluciónDesignemos por x e y a las longitudes de las paredes A y B que pintas. Entonces, los consumos de pintura son: 2,4 • x

10 en pared tipo A

2,4 • y20

en pared tipo B

El consumo total no podrá superar el volumen de pintura disponible, esto es:

2,4 • x10

+ 2,4 • y20

≤ 8

Con las restricciones de longitudes de las paredes:

0 ≤ x ≤ 20 0 ≤ y ≤ 44

Consumiendo toda la pintura, se tiene que:

2,4 y20 = 8 – 2,4 • x

10

2,4 y = 160 – 4,8 x

y = 66,6 – 2 x

Reemplazando en la desigualdad de y, 0 ≤ 66,6 – 2x ≤ 44, de donde:

0 ≤ 66,6 – 2x y 66,6 – 2x ≤ 44

Entonces: 2x ≤ 66,6 y 2x ≥ 66,6 – 44

x ≤ 33,3 y 2x ≥ 22,6 ⇒ x ≥ 11,3

Es decir: 11,3 ≤ x ≤ 33,3

Pero como x ≤ 20 , resulta 11,3 ≤ x ≤ 20

Siguiendo el mismo razonamiento para la pared tipo B, tendrás:

26,6 ≤ y ≤ 44

Entonces, con esos 8 litros de pintura se podrán pintar entre 11,3 m2 y 20,0 m2 de pared tipo A y entre 26,6 m2 y 44,0 m2 de pared tipo B.

Veamos ahora una consideración específi ca. El guardapolvo de la pared, que mide 0,06 m de altura, no deberá ser pintado con esta pintura. ¿Cómo afecta esto la cantidad de superfi cie de pared a pintarse? Veamos. Ahora, la altura será 2,34 m, con lo que el consumo total de pintura da:

2,34 x10

+ 2,34 y20

= 8

Efectuando el mismo desarrollo anterior, obtendrás:

y = 68,38 – 2x 12,19 ≤ x ≤ 20 28,38 ≤ y ≤ 44

2,34

m

Pared tipo A Pared tipo B

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Desarrolla el mismo ejercicio anterior, considerando que los rendimientos de la pintura en las paredes A y B son de 12 m2/L y 15 m2/L respectivamente y dispones de 10 L de pintura.

Un comerciante compra por grandes cantidades bebidas embotelladas en diversos volú-menes a los productores y luego las vende por unidad a sus clientes locales. En particular, compra cajas de 12 botellas de 2 litros por $ 6.000 y luego vende a $ 750 cada botella.Así tendremos que el precio total de venta (p) es de 12 • $ 750 = $ 9.000. Dado que el costo (c) ha sido $ 6.000, el margen (m) es:

m = p – c ⇒ m = 9.000 – 6.000 = 3.000, es decir,

$ 3.000 por caja o $ 250 por botella, lo cual representa un 33,3% del precio. La utilidad del comercio se obtiene descontando del margen los costos necesarios para hacer la opera-ción comercial: gastos del local, sueldo del personal, impuestos, costos de equipamiento, gastos generales. Supongamos que todos estos costos representen $ 1.200.000 por mes. ¿Cuál es la menor cantidad de botellas que debe vender el comerciante para que no pierda dinero?

SoluciónLa utilidad (u) será entonces relacionada directamente con la cantidad de botellas ven-didas (n) y el costo fi jo total (CF ):

u = n • m – CF , u ≥ 0 implica n • m – CF ≥ 0 es decir,

n ≥ CF

m ⇒ n ≥ 1.200.000250

= 4.800 botellas

Si el comerciante desea obtener una utilidad de al menos el 10% sobre lo vendido, en-tonces tendremos lo siguiente:

u ≥ 0,10 • n • p ⇒ u ≥ 0,10 • n • 750 ⇒ u ≥ 75 • n

y dado que u = n • m – CF = n • 250 – 1.200.000

resulta que n • 250 – 1.200.000 ≥ 75 • n ⇒ 175 n ≥ 1.200.000 ⇒ n ≥ 1.200.000175

∴ n ≥ 6 857,14 botellas

Margen comercialEl comercio es una actividad muy antigua y ha sido determinante en el desarrollo de las civilizaciones. Se sustenta en el afán que tienen las personas de satisfacer sus necesidades con productos gene-rados por otros. El comerciante hace la interme-diación entre productores y clientes, agregando

los valores de la accesibilidad y disponibilidad. Esto causa el margen de comercialización que frecuentemente apreciamos como un mayor valor sobre el costo.Veamos un caso característico.

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Observa que obtener un 10% de utilidad (sobre las ventas) signifi ca vender 42,85% más que en el caso de equilibrio cuando la utilidad es nula (6 857,14 botellas con respecto a 4.800 botellas).


1. Un comerciante vende cuadernos que compra en paquetes de 100 unidades al costo total de $ 30.000 el paquete. Luego, vende los cuadernos unitariamente. Sus costos fi jos son de $ 900.000 por mes. Desea una utilidad de al menos un 15% sobre el precio de lo vendido. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadernos n que debe vender por mes al precio de $ 500 la unidad?

2. Realiza el mismo ejercicio anterior, pero considerando, además, el siguiente hecho: que el 20% de lo que venda lo hará al precio de $ 400 por cuaderno como una forma de neutralizar la liquidación que anunciará un supermercado a fi nes del mes.

Un juego que apasionaba a pensadores en la An-tigüedad era calcular qué área se podía englobar con una cuerda de largo l y cuál era la máxima área posible.

Geometrías variablesConsideremos, por ejemplo, un triángulo equilá-tero, un cuadrado, un rectángulo y una circunfe-rencia, cuyos perímetros, en todos los casos es l y corresponde al largo de la cuerda.

a a

a

a

a

a

b

r

GeneralizaciónGeneralicemos algo el ejercicio recientemente resuelto para representar un problema característico del comercio. ¿Cuánto se debe vender de un producto (n) a un precio p, que tiene un costo unitario c para producir una utilidad de al menos u0 en un negocio que tiene un costo � jo CF?Ya hemos visto que: u = n • (p – c) – CF

Como se desea que u ≥ u0, entonces n • (p – c) – CF ≥ u0

De donde: n ≥ u0+ CF

p – c

Observa que mientras mayor es el precio p, menor es la cantidad necesaria de ventas n. Naturalmente, subir el precio tiene un límite, pues, si es muy alto, los clientes preferirán comprar a otro comerciante que venda más barato.Luego, tenemos otra desigualdad importante a considerar: p ≤ pl

Donde pl es el precio límite a partir del cual los clientes buscarán otro pro-veedor de productos.

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¿Cuáles áreas son mayores que otras?Fácilmente, podrás apreciar que el área mayor es la de la circunferencia y la menor la del triángulo, esto es:

At < Ac < A

El área del rectángulo es siempre menor o, a lo sumo, igual que la del cua-drado. No obstante, puede ser mayor o menor que la del triángulo equilátero. Esto se debe a que el rectángulo no es un polígono regular.Si consideramos solo los polígonos regulares de n lados y llamamos An al área englobada por un perímetro L, entonces tendremos que:

A3 < A4 < A5 < A6 < . . . < A

Así tendremos:

Perímetro Área

Triángulo equilátero l = 3a At = 14 3 a2 = l 2

12 3

Cuadrado l = 4a AC = a2 = l 2

16

Rectángulo l = 2a + 2b Ar = ab = a ( l2 – a)

Circunferencia l = 2 π r A = π r2 = l 2

4 π


1. Comprueba que el área de un pentágono regular es mayor que el de un cuadrado y menor que el de un hexágono regular, considerando que todas las fi guras tienen el mismo perímetro.

2. Considera que el área de un triángulo equilátero, un cuadrado y una circunferencia son iguales (A). Calcula los perímetros respectivos de cada polígono y compáralos.

Abordemos ahora un problema característico. Supongamos que necesitamos que el área del triángulo equilátero sea mayor que la del cuadrado y ambas sean mayores que la de la circunferencia. ¿En cuánto deberán crecer las longitudes de la cuerda para tales � nes?

Llamemos lt , lc , l a las longitudes de las cuerdas que aplicaremos a los polígonos, para que se produzca que:

At ≥ Ac ≥ A

Es decir: lt

2

12 3 ≥ lc

2

16 ≥ l2

4π

Entonces:

lc

2 ≥

4π l 2 , y considerando que lc y l son

positivos, resulta que lc ≥ 2 π l

lt

2 ≥

3 34 lc

2, de donde resulta que lt ≥ 3 32

lc

Luego, a partir de lo anterior obtendrás que:

lt ≥ 3 32 lc ≥ 3 3

π l

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Inecuaciones simplesFormular y resolver inecuaciones lineales es una labor intuitivamente fácil, ya que corresponde a procesos mentales a los cuales estamos cada vez más acostumbrados por las actividades cotidianas. Mientras las ecuaciones lineales tienen una sola solución, las inecuaciones lineales tienen muchas soluciones (intervalos de números).

Resolución de inecuacionesUna forma de resolver una inecuación es manipu-larla algebraicamente de modo de aislar la variable

1. Resolver 2x – 5 < 12

Solución

Sumando 5 a ambos miembros de la desigualdad: (2x – 5) + 5 < 12 + 5. De donde, 2x < 17

Dividiendo ambos miembros de la desigualdad por 2: ( 12 ) 2x < ( 1

2 ) 17

Lo cual es equivalente a: x < 172

El conjunto solución de la desigualdad es:

{x ∈ : x < 172

} que se lee “el conjunto de todos los x tales que x es menor que 172 ”.

2. Resuelve 13 – 3x ≥ 10

Solución

Restando 13 a ambos miembros de la desigualdad: –3x ≥ 10 – 13 ⇒ –3x ≥ –3

Dividiendo la desigualdad por –3 y notando que en tal caso la relación de orden se invierte:

(– 13 )(–3x) ≤ (– 1

3 )(–3)De modo que: x ≤ 1

El conjunto solución es {x ∈ : x ≤ 1}

en uno de los miembros dejando todo el resto en el otro miembro. Por ejemplo, si la variable es x y el resto lo representamos por a, la forma � nal de la inecuación va a ser de una de los siguientes formas:

x > a x ≥ a x < a x ≤ a

Algunas desigualdades pueden contener polino-mios. Para resolverlas, usualmente las manipula-mos de modo que uno de los miembros sea 0.

106 E j e r c i c i o s r e s u e l t o sE j e r c i c i o s r e s u e l t o s

inecuaciones linealesInecuaciones simplesInecuaciones simples

Formular y resolver inecuaciones lineales es una labor intuitivamente fácil, ya que corresponde a procesos mentales a los cuales estamos cada vez más acostumbrados por las actividades cotidianas. Mientras las ecuaciones lineales tienen una sola solución, las inecuaciones lineales tienen muchas soluciones (intervalos de números).

Resolución de inecuacionesUna forma de resolver una inecuación es manipu-larla algebraicamente de modo de aislar la variable

1. Resolver Resolver 2x – 5 < 12

Solución

Sumando 5 a ambos miembros de la desigualdad: (2x – 5) + 5 < 12 + 5.

Dividiendo ambos miembros de la desigualdad por 2: (( 12

Lo cual es equivalente a: x < 172

El conjunto solución de la desigualdad es:

{x ∈ : x < 172

} que se lee “el conjunto de todos los x tales que x es menor que

2. Resuelve 13 – 3x ≥ 10

Solución

Restando 13 a ambos miembros de la desigualdad: –3x ≥ 10 – 13

Dividiendo la desigualdad por –3 y notando que en tal caso la relación de orden se invierte:

(– (– ( 13 )()(–)(–)( 3x)3x)3x ≤ (– (– (

De modo que: x ≤ 1

El conjunto solución es {x ∈ : x ≤ 1}

en uno de los miembros dejando todo el resto en el otro miembro. Por ejemplo, si la variable es el resto lo representamos por la inecuación va a ser de una de los siguientes formas:

Algunas desigualdades pueden contener polino-mios. Para resolverlas, usualmente las manipula-mos de modo que uno de los miembros sea

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–11 x

32

x

b) x – 12 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1 + 1

2 ∴ x ≥ 3

2

c) 12

– x ≤ 1 ⇒ 12

– 1 ≤ x ∴ – 12

≤ x ó x ≥ – 12

d) 3(2x – 3) + 5 ≥ 4x + 15 ⇒ 6x – 9 + 5 ≥ 4x + 15 ⇒ 6x – 4x ≥ 15 + 9 – 5 (aislando y reuniendo la incógnita en un miembro) 2x ≥ 19 ∴ x ≥ 19

2

e) 3 – 12 (x + 2) ≤ 1

4 x – 8 ⇒ 3 – 1

2 x – 2

2 ≤ 1

4 x – 8 ⇒ 3 – 1 + 8 ≤ 1

4 x + 1

2 x ⇒ 10 ≤ 3

4 x ⇒

⇒ 10 • 4

3 ≤ 3

4 • 4

3 x ∴ 40

3 ≤ x ó x ≥ 40

3

x12

x19 2

x40 3

3. Resolver 14(x – 2) ≤ 132 – 281x

SoluciónDesarrollando el paréntesis: 14(x – 2) ≤ 132 – 281x 14x – 28 ≤ 132 – 281x

Sumando 28 a ambos miembros de la desigualdad: 14x ≤ 160 – 281x

Sumando 281x a ambos miembros, 295x ≤ 160

Dividiendo la desigualdad por 295 y enseguida simplifi cando: x ≤ 160295

⇒ x ≤ 3259

El conjunto solución es {x ∈ : x ≤ 3259 }.

4. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales.

a) 2x – 3 ≥ 3x + 8 b) x – 12

≥ 1 c) 12

– x ≤ 1

d) 3(2x – 3) + 5 ≥ 4x + 15 e) 3 – 12 (x + 2) ≤ 1

4 x – 8

Soluciones

a) 2x – 3 ≥ 3x + 8 ⇒ – 3 – 8 ≥ 3x – 2x

∴ (reuniendo y aislando incógnitas en un miembro)

–11 ≥ x ó x ≤ –11

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1. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:

a) 8 – 2x ≥ x – 3 b) 3 (x + 4) > –x + 8 c) 0,5x – 2 (3 – x) ≤ 3 – x

2. Calcula el valor de a en la siguiente inecuación lineal para que sus soluciones sean x ≥ 0.

3x + 3a – 8 > x + 7

1. Encuentra la solución de:

2x – 1 ≥ 3

3x + 4 ≥ 8

SoluciónPara resolver el sistema, es sufi ciente resolver cada inecuación por separado y luego integrar los resul-tados de ambas. Entonces:

Primera inecuación:2x – 1 ≥ 3 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ x ≥ 2

Segunda inecuación:3x + 4 ≥ 8 ⇒ 3x ≥ 4 ⇒ x ≥ 4

3

Integrando ambos resultados:

Representando en la recta:

x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2 x ≥ 4

3

El conjunto solución es entonces {x ∈ R : x ≥ 2}

Sistemas de inecuaciones linealesEs común la existencia simultánea de inecuaciones lineales, como pu-

x 2

4 3

2. Resuelve el sistema: –x + 1 > 16

2x – 3 ≤ 3x

SoluciónPrimera inecuación:–x + 1 > 16 ⇒ –16 + 1 > x ⇒

–15 > x o x < –15

Segunda inecuación:2x – 3 ≤ 3x ⇒ –3 ≤ 3x – 2x

–3 ≤ x o x ≥ –3

Integrando ambos resultados:

Representando en la recta:

x < –15 ⇒ no existe soluciónx ≥ –3

El conjunto solución es el conjunto vacío.

x –3 –15

dimos apreciar en las actividades 1 y 2 de esta Unidad.

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3. Encuentra el intervalo de soluciones de: 6y – 3 ≥ 2y + 5

2y – 4 ≤ 6

Primera inecuación: 6y – 2y ≥ 5 + 3 ⇒ 4y ≥ 8 ⇒ y ≥ 2

Segunda inecuación: 2y – 4 ≤ 6 ⇒ 2y ≤ 10 ⇒ y ≤ 5

Integrando ambos resultados: y ≥ 2 ⇒ 2 ≤ y ≤ 5 y ≤ 5 es el intervalo de soluciones.

Representando:

4. Resuelve la inecuación: –4 ≤ 6 + 2x ≤ 18

(Observa que esto corresponde a una representación diferente de dos inecuaciones lineales.)

Solución –4 – 6 ≤ 2x ≤ 18 – 6 ⇒ –10 ≤ 2x ≤ 12 ⇒

– 102

≤ x < 122

⇒ –5 ≤ x ≤ 6 es el intervalo de soluciones.

Representando:

y

5 2

5. Resuelve el sistema de inecuaciones: 2x – 1 ≥ x + 2 3 – x ≤ 1 3x – 6 ≥ x – 4

Solución

Primera inecuación: 2x – 1 ≥ x + 2 ⇒ 2x – x ≥ 2 + 1 ⇒ x ≥ 3

Segunda inecuación: 3 – x ≤ 1 ⇒ 3 – 1 ≤ x ⇒ 2 ≤ x ó x ≥ 2

Tercera inecuación: 3x – 6 ≥ x – 4 ⇒ 3x – x ≥ 6 – 4 ⇒ 2x ≥ 2 ⇒ x ≥ 1

Integrando los tres resultados: x ≥ 3

x ≥ 2 ⇒ x ≥ 3

x ≥ 1 es el intervalo de soluciones.

Representando gráfi camente:

x 6 –5

x

3 1 2

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1. 6x – 2 (x + 8) ≥ 3

x – (3 – 2x) ≥ 9

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

4. 8 ≤ 3 + 2x ≤ 27 5. –2 ≤ 3 – x ≤ 16

6. 12 < 1

4 – x < 3

2 7. x + 1 ≤ 2x – 1 ≤ 8

En cierto tipo de inecuaciones lineales aparecen valores absolutos como, por ejemplo, cuando se trata de la distancia entre dos puntos.

Cuando las desigualdades contienen valores absolutos, hay que ser muy cui-dadosos con el uso de las palabras “y” y “o”, puesto que producen resultados muy diferentes.

Soluciones de inecuaciones lineales con valores absolutos

|x| < a –a < x < a –a < x y x < a U

|x| ≤ a –a ≤ x ≤ a –a ≤ x y x ≤ a

U

|x| > a (x<–a) v (x > a) x<–a ó x > a U

|x| ≥ a (x ≥–a) v (x ≥ a) x ≥–a ó x ≥ a U

0 –a a

0 –a a

0 –a a

0 –a a

Veamos qué es lo que queremos decir con ello. Cuando tenemos va-lores absolutos la condición “y” se aplica cuando tenemos signos < ó ≤ y la condición “o” se aplica cuando tenemos signos > ó ≥. Analicemos cada caso para entender por qué.

2. 12 –

14 x < 1

x – 12 > 1

3. 2 (x – 3) + 3 (2 – x) ≥ x

x – 2 ≥ 6

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x 5 –5

1. IxI ≤ 5

SoluciónRecuerda que por defi nición de valor absoluto: x si x ≥ 0 IxI = –x si x < 0

De manera que IxI ≤ 5 signifi ca:

x ≤ 5 si x ≥ 0 –x ≤ 5 si x < 0

Multiplicando la segunda desigualdad por –1:

x ≥ – 5 si x < 0

La desigualdad IxI ≤ 5 se cumple cuando x está en el intervalo [–5, 5], es decir:

–5 ≤ x ≤ 5


2. IxI�≥ 2

SoluciónUn análisis análogo al del caso anterior conduce a que esta desigualdad se cumpla si:

x ≥ 2 o x ≤ –2

Representando, resulta la unión de dos interva-los: (–∞ , –2] y [2 , +∞)

3. I2x + 3I < 6

Solución

–6 < 2x + 3 < 6

–9 < 2x < 3

Veamos algunos ejemplos:

– 92

< x < 32

Es decir: x ∈�( – 92

, 32

)


x 2 –2

x 9 2

3 2

x 1 1

3

4. I3x – 1I ≥ 2

Solución

3x – 1 si 3x – 1 ≥ 0 I3x – 1I = –(3x – 1) si 3x – 1 < 0

Entonces, la desigualdad se traduce en:

3x – 1 ≥ 2 si 3x – 1 ≥ 0 y,

–(3x – 1) ≥ 2 si 3x – 1 < 0 o,

3x – 1 ≤ –2 si 3x – 1 < 0

Entonces, esta desigualdad se cumple si:

3x – 1 ≥ 2 o 3x – 1 ≤ –2.

En la primera inecuación:

3x – 1 ≥ 2 ⇒ 3x ≥ 3 ⇒ x ≥ 1

En la segunda inecuación:

3x – 1 ≤ –2 ⇒ 3x ≤ –1 ⇒ x ≤ – 13

Entonces, la solución es la unión de los intervalos (–∞, – 1

3] y [1, ∞).

Representando:

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Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. Ix – 8I < 20 2. I2x – 3I ≤ 4 + x 3. I3 – xI ≥ 6

4. I4xI ≤ Ix + 4I 5. Ix + 2I < 4

2x + 1 < 6

5. Resuelve la desigualdad I2x + 3I ≤ 1. Expresa las soluciones como un conjunto y grafícalo en la recta numérica.

Solución La desigualdad:

I2x + 3I ≤ 1

es equivalente a:

–1 ≤ 2x + 3 < 1

Sumemos –3 a cada miembro de la desigualdad y obtendremos:

–4 ≤ 2x ≤ –2

Multipliquemos la desigualdad por 12

–2 ≤ x ≤ –1

Entonces, el conjunto solución es:

{x ∈ I-R : –2 ≤ x ≤ –1}

En la recta numérica:

6. Resuelve I5 – 4xI > 2. Expresa las soluciones como un conjunto y grafícalo en la recta numérica.

SoluciónLa desigualdad I5 – 4xI > 2 signifi ca que,

5 – 4x < –2 ó 5 –4x > 2

De allí obtenemos:

–4x < –7 ó –4x > –3

Lo cual implica que:

x > 74 ó x < 3

4

El conjunto solución es:

{x ∈ I-R : x > 74 } U {x ∈I-R : x < 3

4 }

En la recta numérica:

0 –2 –1

0 1 7 4

3 4

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1. Un vehículo está en un punto P de la carretera que se encuentra a 80 km de la ciudad de Antofagasta. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer a través de la carretera para encontrarse a menos de 10 km de tal ciudad? Observa que esto puede ocurrir, ya sea que el vehículo se esté acercando o alejando de la ciudad una vez que haya pasado por ella.

SoluciónSi llamamos x a la distancia que debe recorrer el vehículo, tendremos que el problema planteado se sintetiza en:

I80 – xI < 10Resolviendo:

Ix – 80I < 10 ⇒ –10 < x – 80 < 10 ⇒ 70 < x < 90

Es decir, el vehículo debe recorrer entre 70 km y 90 km para encontrarse a menos de 10 km de Antofagasta. Observa que si recorre más de 80 km, entonces el vehículo se alejará de la ciudad.Representando:

2. Dos vehículos se aproximan a Talca, uno por el norte y otro por el sur. En cierto mo-mento, el vehículo del norte está a 18 km de la ciudad y el del sur a 12 km de la ciudad. Considerando que ambos se desplazan a la máxima velocidad permitida, ¿qué distancia deberían recorrer para encontrarse cada uno de ellos a 5 km de Talca o menos?

SoluciónDado que ambos vehículos se desplazan a la misma velocidad, en cierto tiempo recorrerán la misma distancia x.

Para el vehículo A: Ix – 18I ≤ 5 ⇒ –5 ≤ x – 18 < 5 ⇒ 13 ≤ x ≤ 23

Para el vehículo B: Ix – 12I ≤ 5 ⇒ –5 ≤ x – 12 ≤ 5 ⇒ 7 ≤ x ≤ 17

Entonces, gráfi camente:

Luego, la distancia que han de recorrer para encontrarse ambos vehículos a 5 km de Talca o menos, es entre 13 y 17 kilómetros.

Distancias en la carretera

distancia (km)

Antofagasta

10 –10 –80

Posición original P

Vehículo A Talca Vehículo B18 km

12 km

7

distancia vehículo B

distancia vehículo A

13 17 23

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1. Dos vehículos se acercan a La Serena, uno por el norte (A) y otro por el sur (B), en-contrándose a 20 km y 15 km respectivamente de la ciudad. A se desplaza a 90 km/h y B a 80 km/h. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que ambos vehículos se encuentren a menos de 2 km de la ciudad?

2. Cuatro vehículos se aproximan a una intersección semaforizada en una ciudad a través de cuatro ejes longitudinales per-pendiculares respectivamente. En cierto momento se encuentran a 100 m, 90 m, 80 m y 70 m de la intersección. Si todos se desplazan a la misma velocidad, ¿qué distancia s deberán recorrer para encon-trarse todos ellos a menos de 25 m de la intersección?

A C

D

B

E j e r c i c i o s a v a n z a d o s

1. Calcula cuáles son los valores de x que hacen que el siguiente polinomio cuadrático sea positivo:

x2 – 3x + 2 ≥ 0

SoluciónDado que las raíces del polinomio dado son 1 y 2, tenemos que:

(x – 1) (x – 2) ≥ 0

Analizando los términos del miembro izquierdo de la inecuación tendremos que la des-igualdad se cumple si los términos son ambos positivos o ambos negativos. Es decir:

(x – 1) (x – 2) ≥ 0 �⇒ (x – 1) ≥ 0 y (x – 2) ≥ 0 ⇒ � x ≥ 1 y x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2

ó

(x – 1) ≤ 0 y (x – 2) ≤ 0 ⇒ � x ≤ 1 y x ≤ 2 ⇒ x ≤ 1

La primera solución es x ≥ 2 y la segunda solución es x ≤ 1.

Luego, la solución es la unión de ambos intervalos:

( –∞ , 1 ] U [ 2 , ∞ )

Las inecuaciones lineales pueden aplicarse para resolver inecuaciones más com-plejas que las lineales. Veremos algunos ejemplos como extensiones de los casos que hemos estudiado anteriormente.

x 2 1

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x –1

x 2 1 –1 –2 0


Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. x2 ≥ x b. x2 + 1 ≥ 2x c. 3x2 – 2x + 7 ≤ 2x2 – 7x – 1 d. x + 42x – 3 > 0 e. I5 – 2xI ≤ 3x

2. Resuelve la inecuación siguiente en que aparece un polinomio cúbico:

x3 – 2x2 – x + 2 ≤ 0SoluciónLas raíces del polinomio son: 1, –1, 2. Entonces: (x – 1) (x + 1) (x – 2) ≤ 0

Para que el producto de los tres términos sea negativo, es necesario que un número impar de términos sea negativo. Así tendremos que:

(x – 1) ≤ 0 (x + 1) ≤ 0 (x – 2) ≤ 0 : Situación I

(x – 1) (x + 1) (x – 2) ≤ 0

(x – 1) ≤ 0 (x + 1) ≥ 0 (x – 2) ≥ 0 : Situación II (x – 1) ≥ 0 (x + 1) ≥ 0 (x – 2) ≤ 0 : Situación III (x – 1) ≥ 0 (x + 1) ≤ 0 (x – 2) ≤ 0 : Situación IV

La situación I da lugar a:

x – 1 ≤ 0 , x + 1 ≤ 0 , x – 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 1 , x ≤ – 1 , x ≤ 2 ⇒ x ≤ –1 , es decir x ∈ (–∞ , –1]

Gráfi camente:

La situación II da lugar a:

x – 1 ≤ 0 , x + 1 ≥ 0 , x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 , x ≥ –1 , x ≥ 2

Es decir, no hay solución, ya que es vacía la intersección entre los intervalos (–∞ , 1] [–1 , ∞] [2 , ∞] gráfi camente:

De similar forma, desarrolla las situaciones III y IV. El resultado de la inecuación polinómica será, entonces, la unión de las soluciones de las situaciones I, II, III y IV.

3. Abordando el problema en forma similar a los polinomios, resolver la inecuación racional.

2x – 4x + 2

≥ 0

SoluciónPara que sea positiva esta fracción, es necesario que ambos términos, numerador y de-nominador, sean del mismo signo, pero el denominador nunca nulo. Entonces:

2x – 4x + 2

≥ 0 ⇒ 2x – 4 ≥ 0 y x + 2 > 0 ⇒ x ≥ 2 y x > –2 ⇒ x ≥ 2

2x – 4 ≤ 0 y x + 2 < 0 ⇒ x ≤ 2 y x < –2 ⇒ x < –2

Por lo tanto, la solución es: x ≥ 2 o x < –2. En intervalos: ( –∞ , –2 ) U [ 2 , ∞ ).

x 2 1 –1 0

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Ya hemos visto en un ejercicio anterior las rela-ciones entre el perímetro y el área de un polígono. Profundicemos algo más este análisis. Considera un rectángulo de lados a (m) y b (m), de área 1 (m2) y en que queremos analizar los efectos de los valores posibles de los lados en el perímetro l.

El área es A = a • b = 1 de donde b = 1a

El perímetro es l = 2a + 2b = 2 (a + b)

Luego, l = 2 (a + 1a )

Como hemos visto, las desigualdades nos permiten modelar procesos diversos y hacer operaciones con ellos. Algebraicamente hablando, es posible y habitual utilizar términos literales para representar propiedades y atributos especí� cos. Por ello, es interesante y útil trabajar con desigualdades literales. Veamos algunos casos.

Geometría dinámica

a

b

a b = 1a l = 2(a + 1

a ) A

0,5 2 5 1

1 1 4 1

2 0,5 5 1

3 0,—3 6,

—6 1

4 0,25 8,5 1

Se puede observar que, a medida que un lado aumenta, el otro disminuye. También es posible apreciar que el perímetro siempre es mayor o igual a 4.

Es decir, l = 2 (a + 1a

) ≥ 4 , o sea a + 1a

≥ 2

¿Es posible demostrar esto algebraicamente? Efectivamente. Veamos el ejercicio de la próxima página.

Tabulando, tendrás:

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desigualdades literales

Ya hemos visto en un ejercicio anterior las rela-ciones entre el perímetro y el área de un polígono. Profundicemos algo más este análisis. Considera un rectángulo de lados a (m) y b (m), de área 1 (m2) 2) 2

y en que queremos analizar los efectos de los valores posibles de los lados en el perímetro valores posibles de los lados en el perímetro l.

El área es A = a • b = 1 de donde b = 1a

El perímetro es l = l = l 2a + 2b = 2 (a + b)

Luego, l = l = l 2 (a + (a + ( 1a ))

Como hemos visto, las desigualdades nos permiten modelar procesos diversos y hacer operaciones con ellos. Algebraicamente hablando, es posible y habitual utilizar términos literales para representar propiedades y atributos especí� cos. Por ello, es interesante y útil trabajar con desigualdades literales. Veamos algunos casos.

Geometría dinámica

a

b

a b =

0,5 2 5 1

1 1 4 1

2 0,5 5 1

3 0,

4 0,25 8,5 1

Se puede observar que, a medida que un lado aumenta, el otro disminuye. También es posible apreciar que el perímetro siempre es mayor o igual a

Es decir, 2

¿Es posible demostrar esto algebraicamente? Efectivamente. Veamos el ejercicio de la próxima página.

Tabulando, tendrás:

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UNI 2 MATE 3M.indd 116 10/8/09 17:06:28

Demuestra que para cualquier a > 0, a + 1a

≥ 2

SoluciónSiempre una expresión al cuadrado es positiva (o nula). Sea entonces el cuadrado de (a – 1).

(a – 1)2 ≥ 0Desarrollando:

a2 – 2a + 1 ≥ 0

Dividiendo por a (recuerda que a > 0), resulta:

a – 2 + 1a ≥ 0

Despejando: a + 1

a ≥ 2

Con esto, queda demostrado.

Esta desigualdad da lugar a muchas otras del mismo tipo. Por ejemplo, si consideras:

a = c2 entonces c2 + 1c2 ≥ 2

a = c3 entonces c3 + 1c3 ≥ 2

a = c entonces c + 1 c

≥ 2


1. Demuestra que si a > b > 0, entonces a2 > b2.

2. Demuestra que si a > b > 0, entonces 1a

< 1b

.

3. Demuestra que si a > b, entonces –a < –b.

4. Demuestra que si a > b > 0 y n es entero positivo,entonces an > bn.

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1. Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces a + b2

≥ ab .

(El promedio aritmético de dos números es mayor que su promedio geométrico).

SoluciónPara demostrar esto, basta considerar la siguiente desigualdad:

( a – b )2 ≥ 0

Desarrollando:( a )2

– 2 ab + ( b )2 ≥ 0

⇒ a + b ≥ 2 ab

∴ a + b2

≥ ab

2. Demuestra que a2 + b2

2 ≥ ( a + b

2 )2

para todo a, b.

SoluciónComo (a – b)2 ≥ 0, resulta que a2 + b2 ≥ 2ab.

Dividiendo por 4 ambos miembros de la desigualdad: a2 + b2

4 ≥ ab

2

Sumando el término a2 + b2

4 a ambos miembros de la desigualdad se obtiene:

a2 + b2

4 + a2 + b2

4 ≥ ab

2 + a2 + b2

4Reduciendo términos semejantes:

a2 + b2

2 ≥ a2 + 2 ab + b2

4 = (a + b)2

4

De donde resulta:a2 + b2

2 ≥ ( a + b

2)

2

3. Demuestra que para todo a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2) (c2 + d2)

SoluciónPara esto considera que: (ad – bc)2 ≥ 0,

de donde a2d2 + b2c2 ≥ 2 adbc

Sumando a ambos miembros: a2c2 + b2d2,

tendrás: a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2 adbc

Factorizando: a2(c2 + d2)+ b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2,

obtenemos: (a2 + b2) (c2 + d2) ≥ (ac + bd)2

Juegos literalesSiguiendo el tipo de razonamientos expresados en el ejercicio resuelto anterior, es posible obtener muchas desigualdades de frecuente aparición.

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1 –1 –2 –3 –4 –5 n

2 3 4 5

1

2

3

n + 1 n

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s1. Si a < b < c, demuestra que: a < 1

3 (a + b + c) < c

2. Si a ≥ 0 y b ≥ 0, demuestra que: ab (a + b) ≤ a3 + b3

3. Para todo valor de a, b y c, demuestra que se cumple: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

4. Demuestra que ab

+ ba ≥ 2, para cualquier a, b > 0.

Situaciones características de desigualdades se producen al considerar sucesiones de números. Por ejemplo, considera la expresión algebraica n + 1

n , con n entero distinto de cero.A medida que se consideran valores de n más y más grandes y valores de n más y más pequeños, ¿a qué valores tiende? ¿Cuáles son los intervalos en que se desarrolla? Para adquirir una noción de su comportamiento efectuemos primero una tabulación de n + 1

n para n entero.

Grá� camente,

Intervalos en sucesiones

Luego, si n es entero positivo, se tendrá que:

1 < n + 1n

≤ 2

Esto se puede también deducir algebraicamente dado que:

n + 1n = n

n + 1n = 1 + 1

n

Es decir n + 1n

∈ ( 1 , 2 ] , n ≥ 1

n

1 2

2 1,5

3 1,3

4 1,25

5 1,2

6 . . .

n + 1n n

–1 0

–2 0,5

–3 0,6

–4 0,75

–5 0,80

–6 . . .

n + 1n

Cuando n es entero negativo, ocurre que:

0 ≤ n + 1n

< 1

Es decir:

n + 1n

∈ [ 0 , 1 ) , n ≤ –1

En síntesis:

n + 1n

∈ [ 0 , 1 ) U ( 1 , 2 ]

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Representando ambos casos en la recta numérica

para n entero positivo o negativo, en intervalos

posibles para n + 1n :

Aumentemos algo la complejidad de esta sucesión y consideremos:

a n + bn

con n entero distinto de cero.

¿A qué tiende? ¿Cuáles son sus intervalos?

Siguiendo el mismo razonamiento anterior, tendrás:

a n + bn

= a + bn

Los análisis de desigualdades pueden llevar a composiciones cada vez más complejas.Veamos algunos casos.

a) Veri� quemos que an

1 + a2n ≤ 12 para cualquier

valor de a con n entero positivo.

Si consideras que siempre se debe cumplir que:

(an – 1)2 ≥ 0

Tendrás que:

a2n – 2 • an + 1 ≥ 0

De donde:

1 + a2n ≥ 2 an

Dado que 1 + a2n > 0, es posible dividir por este término, resultando que:

1 ≥ 2an

1 + a2n

Dividiendo ambos miembros de la desigualdad por 2 obtendrás � nalmente que:

an

1 + a2n ≤ 12

2 1 0

n + 1 n

Luego:

a < a n + bn

≤ a + b si n ≥ 1

a – b ≤ a n + bn

< a si n ≤ –1

En síntesis an + bn

∈ [ a – b , a ) U ( a , a + b ]

Representando en la recta numérica:

a + b a a – b

an + b n

ComposicionesObserva que otras variantes de esta desigualdad son:

1a–n + an ≤

12

a–n + an ≥ 2 si a > 0

Esto se obtiene simplemente al dividir por an el numerador y denominador de la fracción.

b) Veri� quemos que:

( ab

+ ba

)n

≥ 2n para a, b > 0, n entero positivo.

En efecto, como ya sabes que el cuadrado de cualquier número es siempre positivo, considera entonces:

( ab – b

a )2

≥ 0

De donde:

( ab )2

– 2 ab • b

a + ( ba )2

≥ 0

Resultando:

ab

+ ba

≥ 2

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Y ya que n es entero positivo:

( a b – a

b )n

≥ 2n

c) Veri� quemos que:

a2

b2 + b2

c2 ≥ 2 ac con b, c ≠ 0

Si consideras que:

( ab – b

c )2

≥ 0

Entonces, al desarrollar:

a2

b2 – 2 ab

• bc

+ b2

c2 ≥ 0

Resulta:a2

b2 + b2

c2 ≥ 2 ac

Esta desigualdad se puede extender a potencias mayores, por ejemplo, si la elevas al cuadrado, tendrás:

a4

b4 + 2 a2

b2 • b2

c2 + b4

c4 ≥ 4 a2

c2

a4

b4 + 2 a2

c2 + b4

c4 ≥ 4 a2

c2

a4

b4 + b4

c4 ≥ 2 a2

c2

Si vuelves a elevar al cuadrado, obtendrás:

a8

b8 + 2 a4

b4 • b4

c4 + b8

c8 ≥ 4 a4

c4

De donde:a8

b8 + b8

c8 ≥ 2 a4

c4

Así podrás tener:a16

b16 + b16

c16 ≥ 2 a8

c8

En general:a2n

b2n + b2n

c2n ≥ 2 an

cn , para n positivo.

d) Las planillas de MS Excel® permiten analizar desigualdades literales. Por ejemplo, considere-mos el caso:

a2 + 1a2 ≥ 2

Tabula para diferentes valores de a.

2 1 0 –1 –4 –5 –3 –2 –6 –7 –9 –8 –10 a

a2 +

4 3 5

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

a2 1

1a2 a a2 a2 + 1

a2

–10 100 0,01 100,01 –9 81 0,01 81,01 –8 64 0,02 64,02 –7 49 0,02 49,02 –6 36 0,03 36,03 –5 25 0,04 25,04 –4 16 0,06 16,06 –3 9 0,11 9,11 –2 4 0,25 4,25 –1 1 1,00 2,00 –0,5 0,25 4,00 4,25 –0,4 0,16 6,25 6,41 –0,3 0,09 11,11 11,20 –0,2 0,04 25,00 25,04 –0,1 0,01 100,00 100,01 0,1 0,01 100,00 100,01 0,2 0,04 25,00 25,04 0,3 0,09 11,11 11,20 0,4 0,16 6,25 6,41 0,5 0,25 4,00 4,25 1 1 1,00 2,00 2 4 0,25 4,25 3 9 0,11 9,11 4 16 0,06 16,06 5 25 0,04 25,04

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Puedes observar que para los valores de a tabulados, resulta que:

a2 + 1a2 ≥ 2.

e) También, mediante las planillas MS Excel® se pueden analizar inecuacio-nes. Por ejemplo, considera el caso 2x – 1 ≥ x + 4.

Tabulando ambos miembros para diferentes valores de x tendrás:


1. Si a1, a2,..., an son reales positivos, demuestra que:

a12 + a2

2 + ... + an2 ≥ (a1a2 + a1a3 +...+ an–1an) • 2

n – 1

2. Demuestra que:

1 + 1n2 + 1

n4 ≥ 1n

+ 1n2 + 1

n3

Puedes observar que cuando x = 5 ocurre que ambos miembros se igualan y que, por consiguiente, con x ≥ 5 se cumple la desigualdad señalada en la inecuación (la recta verde “sobrepasa” a la recta azul).

0

5

10

15

y = x+ 4

y = 2x 1

10

5

0

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 2x – 1 x + 4

–2 –5 2

–1 –3 3

0 –1 4

1 1 5

2 3 6

3 5 7

4 7 8

5 9 9

6 11 10

7 13 11

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5x < 4

1 ≤ 2 – x3x + 1

SoluciónEscribimos ambas inecuaciones entre paréntesis de llaves separadas por una coma y agregamos el signo ; al fi nal de la instrucción para generar la versión del sistema de inecuacio-nes en notación algebraica.Resolvemos el sistema con la ins-trucción solve(%), seguido de ; como se aprecia en pantalla.El intervalo que resuelve el sistema de inecuaciones está dado por (– 1

3 , 14 ].

1. Haciendo uso de un software de procesamiento algebraico, resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x + 1I x – 3 I

≤ 5 b) 2x + 5 – I7 – xI > 3 c) I3x – 2II5x – 1I – 7 ≤ 1

SoluciónEscribimos la inecuación con-siderada, tomando en cuenta que |a| (módulo de a o valor absoluto de a) se escribe en Maple® como abs(a), termi-nando la instrucción con “;” de modo que al pulsar Enter se genere la desigualdad en notación algebraica. A continuación resolvemos la inecuación con la instrucción solve(%), señalando con el símbolo % que lo que debe resolverse es la última expre-sión aparecida en pantalla.

Las soluciones obtenidas del modo descrito son respectivamente:

a) (–∞, 73 ) U (4, +∞) b) ( 5

3 , +∞) c) ( 427 , 6

37 ) U ( 1043 , 8

33 )

2. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

Nota que Maple restó 3 en ambos miembros.

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0 1

• Los números reales se pueden representar como una recta horizontal en la que arbitrariamente se marca un punto y se de� ne como 0 (elemento neutro de la suma) y un punto a la derecha del 0 que representa al número 1 (elemento neutro del producto).

• Si a y b son dos puntos de la recta numérica, de modo que a está a la derecha de b, decimos que a es mayor que b y denotamos este hecho como a > b.

a > b y b < a son expresiones equivalentes

Propiedades de las relaciones de orden• Para cualquier número real a, una y solo una de las siguientes a� rmaciones es verdadera:

(i) a > 0

(ii) a = 0

(iii) a < 0

• Si a, b están en y, si a > 0 y b > 0, entonces:

a + b > 0

• Si a, b están en y, si a > 0 y b > 0, entonces:

ab > 0

DesigualdadesPropiedades de las desigualdades• Si a ambos miembros de una desigualdad le sumamos la misma cantidad, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se mantiene. Es decir,

si a 0 entonces ak < bk

• Al multiplicar ambos miembros de una desigual-dad por –1, la relación de orden entre los miem-bros de la desigualdad se revierte, es decir,

si a –b.

Relaciones de orden en IR

de la Unidad• Si ade modo que que acomo

a > b

Propiedades de las relaciones de ordena, b

Relaciones de orden en IRRelaciones de orden en IR

las siguientes a� rmaciones es verdadera:

(i) a > 0

(ii) a = 0

(iii) a < 0

• Si

DesigualdadesPropiedades de las desigualdades• Si a ambos miembros de una desigualdad le sumamos la misma cantidad, la relación de orden entre los miembros de la desigualdad se mantiene. Es decir,

si a 0 entonces ak < bk

• Al multiplicar ambos miembros de una desigual-dad por bros de la desigualdad se revierte, es decir,

de la Unidad

0 1

• Los números reales se pueden representar como una recta horizontal en la que arbitrariamente se marca un punto y se de� ne como 0 (elemento neutro de la suma) y un punto a la derecha del 0que representa al número 1 (elemento neutro del producto).

• Si de modo que que como

a > b

Propiedades de las relaciones de orden• Para cualquier número real a, una y solo una de las siguientes a� rmaciones es verdadera:

• Si

Relaciones de orden en IRRelaciones de orden en IR

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• Cuando se trata inecuaciones con valores absolutos la condición “y” se aplica cuando tenemos signos < ó ≤ y la condición “o” se aplica cuando tenemos signos > ó ≥.

• Gráfi camente,

|x| < a –a < x < a –a < x y x < a

|x| ≤ a –a ≤ x ≤ a –a ≤ x y x ≤ a

|x| > a (x < –a) v (x > a) x < –a ó x > a U

|x| ≥ a (x ≤ –a) v (x ≥ a) x ≤ –a ó x ≥ a U

0 –a a

0 –a a

0 –a a

0 –a a

Resolución de inecuaciones• Para resolver una inecuación, aislar la variable (x) en uno de los miembros dejando todo el resto (a) en el otro miembro.

• La forma fi nal de la inecuación va a ser una de las siguientes:

x > a x ≥ a x < a x ≤ a

• Algunas desigualdades pueden contener polino-mios. Para resolverlas, usualmente las manipula-mos de modo que uno de los miembros sea 0.

Inecuaciones con valores absolutos

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Desigualdades1. Se quiere dividir el cuadrado de lado a de la fi gura mediante una paralela a uno de sus lados (como se indica), de manera que el área de la región A sea al menos, el triple del área de B. ¿Cuál es, en ese caso, la desigualdad que relaciona a con x?

a A B

x

a

a

x

x

Más ejercicios

DesigualdadesDesigualdades de la fi gura mediante una paralela

a uno de sus lados (como se indica), de manera que el área de la región ¿Cuál es, en ese caso, la desigualdad

2. Determina la condición que debe cumplir x para que el terreno cuadrado de la fi gura quede dividido por el trazo rojo, en 2 regiones de manera tal, que la superfi cie de la región triangular sea a lo sumo la mitad del área de la otra región.

a

a

x

x

Más ejercicios

DesigualdadesDesigualdades1. Se quiere dividir el cuadrado de lado a de la fi gura mediante una paralela a uno de sus lados (como se indica), de manera que el área de la región sea al menos, el triple del área de B. ¿Cuál es, en ese caso, la desigualdad que relaciona a con x?

a A B

x

2. Determina la condición que debe cumplir de la fi gura quede dividido por el trazo rojo, en que la superfi cie de la región triangular sea a lo sumo la mitad del área de la otra región.

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a

Q

A

D C

B

3. Considera el cuadrado ABCD de la fi gura y la familia de triángulos ABQ, donde Q se sitúa sobre cualquier punto del lado CD del mismo cuadrado.

a) Demuestra que el perímetro P de dicha familia de triángulos satisface la condición:

(1 + 5 )a ≤ P ≤ (2 + 2 )a

donde a es la longitud del lado del cuadrado.

b) ¿Qué puedes decir del área de dichos triángulos?

4. Para evitar embotellamientos de tránsito, se decide abrir una calle que corta a un parque rectangular como el que se aprecia en la fi gura.

C

B

de la fi gura y la familia de triángulos ABQ, se sitúa sobre cualquier punto del lado CD del mismo cuadrado.

de dicha familia de triángulos satisface la condición:

)a ≤ P ≤ (2 + 2 )a

es la longitud del lado del cuadrado.

¿Qué puedes decir del área de dichos triángulos?

Para evitar embotellamientos de tránsito, se decide abrir una calle que corta a un parque rectangular como el que se aprecia en la fi gura.

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Inecuaciones1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 3 < x – 7 b) 3x > 8

c) –7x + 5 < x + 1 d) 3 + 2(–3x + 1) > –5(x + 2) + 3

e) –2(–1,6 + 5,2x) > – 0,5x f) –2x – 3x5 < –5

g) –5x – 3x + 13

< – 5 h) x + 73

– 2x > –5 – 2 – 8x6

2. Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones, grafi ca la solución en la recta real y expresa la solución en notación de intervalos.

a) 2x – 5 < 3 b) –11 ≤ 3(x – 1) – 2 ≤ 16

c) 1 < 3 – 2x5

≤ 73

d) |3 – 2x| < 9

e) |3x – 1| > 11 f) 2 < |x – 1| < 5

g) (x + 3)(x – 4) ≥ 0 h) 3x2 – 2x – 6 < 2x2 – 6x – 1

¿Cuál es la condición que debe cumplir el ancho x de la nueva calle para que el área ocupada por ella sea a lo sumo un 2% del área total del parque actual? (Para efectos de cálculo, el trazado de la calle puede considerarse como dos arcos de circunferencia con centro en el vértice del cuadrado).

5. Max tiene un teléfono celular con un plan de $ 23.500 mensual que le per-mite hacer llamadas por hasta 300 minutos mensuales. La cuenta la paga a través del sistema PAC (Pago Automático de Cuentas) haciendo uso de su cuenta corriente bancaria. Si se pasa de los 300 minutos pactados, su cuenta sube en proporción al tiempo que se ha excedido del plan, pero como una medida de control ha autorizado a su banco para que pague la cuenta sólo si es inferior a 3 UF.

Si el pago mensual de su cuenta telefónica mediante el PAC es P, expresa la des-igualdad que satiface P.

6. En cierta localidad la “bajada de bandera” de los taxis es $ 500, valor que cubre los primeros 800 metros recorridos. En seguida el taxímetro registra $ 300 cada 200 metros adicionales. Renata no recuerda exactamente cuánto pagó desde el aeropuerto a la empresa que fue a asesorar, pero sí recuerda que pagó con un billete de $ 5.000 y recibió vuelto.

a) Si n es el número de veces que cambió el valor que indicaba el taxímetro durante el trayecto, ¿qué se puede a� rmar de n?

b) Si s es la distancia entre el aeropuerto y la empresa, ¿qué se puede a� rmar de s?

Inecuaciones1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 3 < x – 7 3 < x – 7 3 < x – 7

c) –7x + 5 < x + 1

e) –2(–1,6 + 5,2x) > – 0,5x –2(–1,6 + 5,2x) > – 0,5x –2(–1,6 + 5,2x) > – 0,5x

g) –5x – 3x + 13

< – 5

2. Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones, grafi ca la solución en la recta real y expresa la solución en notación de intervalos.

a) 2x – 5 < 3

c) 1 < 3 – 2x5

≤ 73

e) |3x – 1| > 11

g) (x + 3)(x – 4) ≥ 0

¿Cuál es la condición que debe cumplir el ancho área ocupada por ella sea a lo sumo un 2% del área total del parque actual? (Para efectos de cálculo, el trazado de la calle puede considerarse como dos arcos de circunferencia con centro en el vértice del cuadrado).

5. Max tiene un teléfono celular con un plan de mite hacer llamadas por hasta 300 minutos mensuales. La cuenta la paga a 300 minutos mensuales. La cuenta la paga a 300través del sistema PAC (Pago Automático de Cuentas) haciendo uso de su cuenta corriente bancaria. Si se pasa de los sube en proporción al tiempo que se ha excedido del plan, pero como una medida de control ha autorizado a su banco para que pague la cuenta sólo si es inferior a 3 UF.3 UF.3 UF

Si el pago mensual de su cuenta telefónica mediante el PAC es P, expresa la des-igualdad que satiface P.

6. En cierta localidad la “bajada de bandera” de los taxis es cubre los primeros 800 metros recorridos. En seguida el taxímetro registra $ 300 cada 200 metros adicionales. Renata no recuerda exactamente cuánto 200 metros adicionales. Renata no recuerda exactamente cuánto 200pagó desde el aeropuerto a la empresa que fue a asesorar, pero sí recuerda que pagó con un billete de $ 5.000 y recibió vuelto. $ 5.000 y recibió vuelto. $ 5.000

a) Si n es el número de veces que cambió el valor que indicaba el taxímetro durante el trayecto, ¿qué se puede a� rmar de n?

b) Si s es la distancia entre el aeropuerto y la empresa, ¿qué se puede a� rmar de s?

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i) x – 22x + 5 > 0 j) 2x

x2 + 5 < 0

3. Considera las siguientes inecuaciones y analiza los argumentos que en cada caso se entregan para resolverlas. Para cada inecuación determina cuál(es) argumento(s) es(son) verdadero(s) y cuál(es) falso(s) y encuentra la solución correcta.

a) |x – 6| > 6.

i. La desigualdad dada es equivalente a x – 6 < –6 ó x – 6 > 6. ii. Sumando 6 en todos los miembros de la cadena de desigualdades, x < 0 ó x > 12.

b) |x – 5| < 8.

i. La desigualdad equivale a a� rmar que: –8 < x – 5 < 8. ii. Sumando 5 a ambos lados de la desigualdad, –3 < x < 3.

c) |x – 8| ≤ 4.

i. Esta desigualdad es equivalente a: x – 8 ≥ 4. ii. Sumando 8 a ambos lados de la desigualdad, x ≥ 12.

d) |x – 6| ≥ 3.

i. La desigualdad es equivalente a dos inecuaciones: –3 ≥ x – 6 y x – 6 ≥ 3. ii. Sumando 6 en ambas inecuaciones obtenemos, 3 ≥ x y x ≥ 9, es decir la inecuación no tiene solución.

e) |x – 7| > 2.

i. La desigualdad es equivalente a: –2 > x – 7 y x – 7 > 2. i.i. Sumando 7 en ambos lados de las dos desigualdades obtenemos, 5 > x y x > 9, es decir la inecuación no tiene solución.

Desigualdades literales1. Demuestra que si a > 0:

a) a + 4a

≥ 4

b) a2 + 1a2 ≥ 2(a + 1

a ) – 2

c) a2 + 1a2 ≥ 4(a + 1

a) – 6

d) Si a ≥ 1 entonces a + 3a – 1

a2 ≥ 3

2. Demuestra que para números reales cualesquiera b y c se cumple que b2 + c2 + 2 ≥ 2(b + c).

Indicación: desarrolla (b – 1)2 + (c – 1)2

j) 2xx2x2x + 5 < 0

Considera las siguientes inecuaciones y analiza los argumentos que en cada caso se entregan para resolverlas. Para cada inecuación determina cuál(es) argumento(s) es(son) verdadero(s) y cuál(es) falso(s) y encuentra la

La desigualdad dada es equivalente a x – 6 < –6 ó x – 6 > 6. en todos los miembros de la cadena de desigualdades, x < 0 ó x < 0 ó x < 0 x > 12.

La desigualdad equivale a a� rmar que: –8 < x – 5 < 8. Sumando 5 a ambos lados de la desigualdad, –3 < x < 3.

Esta desigualdad es equivalente a: x – 8 ≥ 4. Sumando 8 a ambos lados de la desigualdad, x ≥ 12.

La desigualdad es equivalente a dos inecuaciones: –3 ≥ x – 6 y x – 6 ≥ 3. Sumando 6 en ambas inecuaciones obtenemos, 3 ≥ x y x ≥ 9, es decir la

–2 > x – 7 y x – 7 > 2. en ambos lados de las dos desigualdades obtenemos, 5 > x y x > 9,

es decir la inecuación no tiene solución.

Desigualdades literales

≥ 3

Demuestra que para números reales cualesquiera b y c se cumple que

+ (c – 1)2

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a

h

y

x

3. Un proyectil sigue una trayectoria parabólica dada por y = 5x – 4x2 y debe superar un obstáculo de altura h ubicado a una distancia a del punto de lanzamiento.

Deduce la relación que deben satisfacer a y h para que se cumpla tal condi-ción.

4. A Lorena le encargaron construir una bodega rectangular de 80 m2 de superfi cie con muros exteriores de ladrillo. La condición que le impusieron es que el costo no podía exceder cierta suma, lo que técnicamente se tradujo en que el perímetro del rectángulo no debía ser mayor que 40 m.

Si a y b son los lados del rectángulo, ¿cuáles son las restricciones a las que están sometidos a y b por las condiciones dadas?

a

y

3. Un proyectil sigue una trayectoria parabólica dada por debe superar un obstáculo de altura h ubicado a una distancia de lanzamiento.

Deduce la relación que deben satisfacer a y hción.

4. A Lorena le encargaron construir una bodega rectangular de superfi cie con muros exteriores de ladrillo. La condición que le impusieron es que el costo no podía exceder cierta suma, lo que técnicamente se tradujo en que el perímetro del rectángulo no debía ser mayor que

Si a y b son los lados del rectángulo, ¿cuáles son las restricciones a las que están sometidos a y b por las condiciones dadas?

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1. La velocidad en metros por segundo (m/s) de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba está dada por v = 80 – 32 t, donde t se mide en segundos. ¿En qué intervalo de tiempo la veloci-dad estará entre 32 m/s y 64 m/s?

2. Quieres invertir $ 3.000.000. Una parte de ello lo invertirás en una cuenta de ahorro estable con 5% de interés anual � jo.

El resto lo pondrás en el negocio familiar que se compromete a entregarte un 7% de interés anual. El monto obtenido anualmente lo vas a destinar a ayu-dar a un hogar de niños. Calcula la menor cantidad de dinero que debes invertir en el negocio familiar para obtener al menos $ 190.000 de interés.

3. En una carrera universitaria, para eximirse en biología es necesario que el promedio simple

N = C1 + C2 + C3

3

de los tres controles (C1,C2,C3) del semestre sea igual o superior a 5,5. Como de costumbre, si 5,45

≤ N ≤ 5,54 entonces N se aproxima a 5,5. Alejandro obtuvo un 5,1 en el primer control y un 6,2 en el segundo. Encuentra el intervalo para la nota que debe obtener en el tercer control, de modo de obtener un 5,5 de promedio.

4. Cierta aleación necesita contener entre un 46% y un 50% de cobre. Encuentra la menor y la mayor cantidad de aleación al 60% de cobre que debe mezclarse con una aleación al 40% de cobre para obtener 30 kg de la aleación que contenga la proporción adecuada de cobre.

5. Resuelve: 3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3)

6. Un DVD cuesta $ 6.500 y un CD $ 4.000. Una persona cuenta con $ 40.000. Escribe una desigual-dad que indique cuántos CD puede comprar si debe comprar un DVD. Encuentra el número máximo de CD que puede comprar dadas esas condiciones.

Autoevaluación

La velocidad en metros por segundo (m/s) de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba

, donde t se mide en segundos. ¿En qué intervalo de tiempo la veloci-

Quieres invertir $ 3.000.000. Una parte de ello lo invertirás en una cuenta de ahorro estable con

El resto lo pondrás en el negocio familiar que se compromete a entregarte un 7% de interés anual. El monto obtenido anualmente lo vas a destinar a ayu-dar a un hogar de niños. Calcula la menor cantidad de dinero que debes invertir en el negocio familiar

En una carrera universitaria, para eximirse en

) del semestre sea igual o superior a 5,5. Como de costumbre, si 5,45

≤ N ≤ 5,54 entonces N se aproxima a 5,5. Alejandro obtuvo un 5,1 en el primer control y un 6,2 en el segundo. Encuentra el intervalo para la nota que debe obtener en el tercer control, de modo de obtener un 5,5 de promedio.

4. Cierta aleación necesita contener entre un 46% y un 50% de cobre. Encuentra la menor y la mayor cantidad de aleación al 60% de cobre que debe mezclarse con una aleación al 40% de cobre para obtener 30 kg de la aleación que contenga la proporción adecuada de cobre.

5. Resuelve: 3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3)

6. Un DVD cuesta $ 6.500 y un CD $ 4.000. Una persona cuenta con $ 40.000. Escribe una desigual-dad que indique cuántos CD puede comprar si debe comprar un DVD. Encuentra el número máximo de CD que puede comprar dadas esas condiciones.

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Si bien es cierto que el teorema era utilizado por los chinos y los babilonios mil años antes, estas culturas solo habían logrado establecer la relación que veri� caban los lados de los triángulos rectángulos en los cuales la ensa-yaban, pero no sabían que se trataba de una propiedad general de todo triángulo rectán-gulo. En este caso, la grandeza de Pitágoras radica en que lo demostró como un hecho de validez universal.Dado que el teorema de Pitágoras nos propor-ciona una relación que es válida para todos los triángulos rectángulos, se constituye por ello en la de� nición del ángulo recto. A su vez, el ángulo recto de� ne la perpendicular y la per-pendicular de� ne las tres dimensiones (largo, ancho y alto) del espacio en el cual vivimos. Prolongando esta línea de razonamiento, pue-de a� rmarse que la Matemática de� ne, a través del triángulo rectángulo, la estructura íntima de nuestro mundo tridimensional.

En una primera percepción, no puede ser sino sorprendente, que el legado intelectual de pen-sadores que vivieron hace decenas de siglos, como Euclides, Pitágoras de Samos y Tales de Mileto, siga aún vigente. Pero si se analizan con algo más de cuidado, las razones para que ello acontezca, son desbordantes.En el caso de Pitágoras, aunque la historia de su vida está plagada de misterio, lo que sí parece ser una certeza es que hace más de 2.500 años fue el responsable de la primera edad de oro de la Matemática. Creó una her-mandad secreta, en la que se estableció un culto por la Matemática, en particular por los números. Tal era la lealtad que le debían a la hermandad, que los miembros de la escuela estaban comprometidos, bajo juramento, a no divulgar al mundo exterior sus descubrimientos matemáticos. Los aportes de Pitágoras a la comprensión del mundo físico y del mundo abstracto fue amplia y profunda, pero es fundamentalmente gracias al teorema que lleva su nombre por lo cual ha alcanzado su fama.

Si bien es cierto que el teorema era utilizado por los chinos y los babilonios mil años antes, estas culturas solo habían logrado establecer

Más sobretriángulos

rectángulosestas culturas solo habían logrado establecer la relación que veri� caban los lados de los triángulos rectángulos en los cuales la ensa-yaban, pero no sabían que se trataba de una



rectángulos

3U n i d a d

132propiedad general de todo triángulo rectán-gulo. En este caso, la grandeza de Pitágoras radica en que lo demostró como un hecho de validez universal.Dado que el teorema de Pitágoras nos propor-ciona una relación que es válida para todos los triángulos rectángulos, se constituye por ello en la de� nición del ángulo recto. A su vez, el ángulo recto de� ne la perpendicular y la per-pendicular de� ne las tres dimensiones (largo, ancho y alto) del espacio en el cual vivimos. Prolongando esta línea de razonamiento, pue-de a� rmarse que la Matemática de� ne, a través del triángulo rectángulo, la estructura íntima de nuestro mundo tridimensional.

ello acontezca, son desbordantes.En el caso de Pitágoras, aunque la historia de su vida está plagada de misterio, lo que sí parece ser una certeza es que hace más de 2.500 años fue el responsable de la primera edad de oro de la Matemática. Creó una her-mandad secreta, en la que se estableció un culto por la Matemática, en particular por los números. Tal era la lealtad que le debían a la hermandad, que los miembros de la escuela estaban comprometidos, bajo juramento, a no divulgar al mundo exterior sus descubrimientos matemáticos. Los aportes de Pitágoras a la comprensión del mundo físico y del mundo abstracto fue amplia y profunda, pero es fundamentalmente gracias al teorema que lleva su nombre por lo cual ha alcanzado su fama.

estas culturas solo habían logrado establecer la relación que veri� caban los lados de los triángulos rectángulos en los cuales la ensa-yaban, pero no sabían que se trataba de una

sadores que vivieron hace decenas de siglos, como Euclides, Pitágoras de Samos y Tales de Mileto, siga aún vigente. Pero si se analizan con algo más de cuidado, las razones para que


En una primera percepción, no puede ser sino sorprendente, que el legado intelectual de pen-sadores que vivieron hace decenas de siglos,


rectángulos


333U n i d a dU n i d a d

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rectángulos


Medición de ángulos• Unidades de medida de ángulos• Triángulos rectángulos• El teorema de Pitágoras• El teorema de Fermat• Semejanza de triángulos

Triángulos rectángulosy trigonometría

• La trigonometría como geometría de cálculo• ¿Qué se puede hacer con la trigonometría?• Razones trigonométricas y funciones trigonométricas• Las funciones trigonométricas de ciertos ángulos

especiales• Funciones trigonométricas inversas• El círculo unitario• Funciones trigonométricas del complemento de

un ángulo


• Reconocerás que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.

• Harás conjeturas sobre propiedades geométri-cas en triángulos rectángulos semejantes y las demostrarás utilizando diversos recursos argu-mentativos.

• Resolverás problemas que involucran propie-dades de triángulos rectángulos; analizarás las soluciones que se obtienen y su pertinencia.

• Reconocerás el sentido y la necesidad de la demostración en Matemática y, en particular, conocerás la historia del teorema de Fermat-Wiles y los tríos pitagóricos.



• La trigonometría como geometría de cálculo• ¿Qué se puede hacer con la trigonometría?• Razones trigonométricas y funciones trigonométricas• Las funciones trigonométricas de ciertos ángulos

especiales• Funciones trigonométricas inversas• El círculo unitario• Funciones trigonométricas del complemento de

un ángulo


• Reconocerás que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos

• Harás conjeturas sobre propiedades geométri-cas en triángulos rectángulos semejantes y las demostrarás utilizando diversos recursos argu-

• Resolverás problemas que involucran propie-dades de triángulos rectángulos; analizarás las soluciones que se obtienen y su pertinencia.

• Reconocerás el sentido y la necesidad de la demostración en Matemática y, en particular, conocerás la historia del teorema de Fermat-Wiles y los tríos pitagóricos.

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Medición de ángulos

El concepto de ángulo es central en Geometría y con frecuencia se utilizan los conceptos de igual-dad, suma y diferencia de ángulos.Trataremos con cierto detalle los dos sistemas de medición de ángulos de uso más frecuente: los grados sexagesimales y los radianes.

Grados sexagesimalesEl sistema de medición más familiar es el de los grados sexagesimales, y por tal razón les llama-mos simplemente grados (aunque también existen los grados centesimales).Su de� nición operacional, en contraste con lo que podría ser una de� nición conceptual, consiste en dividir un círculo mediante sucesivos radios, en 360 partes iguales (a modo de delgados trozos de pizza). Cada uno de esos sectores circulares subtiende, por de� nición, un ángulo de 1 grado sexagesimal, que denotamos como 1°.

Unidades de medida de ángulosPor el momento, solo consideraremos ángulos en-tre 0° y 360°, aunque en las secciones dedicadas a funciones trigonométricas, usaremos ángulos mayores que 360° y también ángulos negativos.

Minutos y segundosLos grados pueden a su vez subdividirse en minu-tos y los minutos en segundos. Cada vez es más inusual esta subdivisión y la tendencia actual es a usar grados y fracciones decimales de ellos.En todo caso, vale la pena tener presente que las equivalencias están dadas por:

1 grado = 60 minutos1 minuto = 60 segundos

En notación simbólica:

1° = 60´1´ = 60´´

Entonces, a modo de ejemplo, un ángulo podría medir 8 grados con 24 minutos y 32 segundos, lo que se acostumbra a escribir simbólicamente como: 8°24´32´´.Sin embargo, como decíamos, es cada vez más universal trabajar con grados y décimas, centésimas, milésimas, etc., de grado, de tal manera que 9°30´ en notación tradicional, hoy se escribiría 9,5°.Como 1° = 60’ y 1’ = 60’’, entonces:

1’ = ( 160

)°

1” = ( 160

)’ = ( 13.600

)°Entonces, lo que llamamos ángulo recto, es decir, el ángulo subtendido por un sector circular de un cuarto del círculo, mide 90° (la cuarta parte de 360º).

1º Tamaño normalAmpliación

90º

134

Medición de ángulos

El concepto de ángulo es central en Geometría y con frecuencia se utilizan los conceptos de igual-dad, suma y diferencia de ángulos.Trataremos con cierto detalle los dos sistemas de medición de ángulos de uso más frecuente: los grados sexagesimales y los radianes.

Grados sexagesimalesEl sistema de medición más familiar es el de los grados sexagesimales, y por tal razón les llama-mos simplemente grados (aunque también existen los grados centesimales).los grados centesimales).Su de� nición operacional, en contraste con lo que podría ser una de� nición conceptual, consiste en dividir un círculo mediante sucesivos radios, en 360 partes iguales (a modo de delgados trozos de pizza). Cada uno de esos sectores circulares subtiende, por de� nición, un ángulo de 1 grado sexagesimal, que denotamos como 1°.

Unidades de medida de ángulosUnidades de medida de ángulosPor el momento, solo consideraremos ángulos en-tre 0°a funciones trigonométricas, usaremos ángulos mayores que

Minutos y segundosLos grados pueden a su vez subdividirse en minu-tos y los minutos en segundos. Cada vez es más inusual esta subdivisión y la tendencia actual es a usar grados y fracciones decimales de ellos.En todo caso, vale la pena tener presente que las equivalencias están dadas por:

En notación simbólica:

Entonces, a modo de ejemplo, un ángulo podría medir lo que se acostumbra a escribir simbólicamente como: Sin embargo, como decíamos, es cada vez más universal trabajar con grados y décimas, centésimas, milésimas, etc., de grado, de tal manera que se escribiría Como

Entonces, lo que llamamos ángulo recto, es decir, el ángulo subtendido por un sector circular de un cuarto del círculo, mide 90° (la cuarta parte de 360º).

1º Tamaño normalAmpliación

90º

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Medición de ángulosE j e r c i c i o s r e s u e l t o s1. Expresa en grados, minutos y segundos:

a) 14,8° b) 45,9° c) 121,28° d) 2,533°

Solucióna) Como 1° = 60’, entonces 0,8° = 0,8 • 60’ = 48’ ⇒ 14,8° = 14°48’

b) 0,9° = 0,9 • 60’ = 54’ ⇒ 45,9° = 45°54’

c) 121,28° = 121° + 0,28 • 60’ = 121° + 16,8’ = 121° + 16’ + 0,8 • 60’’ = 121° + 16’ + 48’’ ⇒ 121,28° = 121°16’48’’d) 2,533° = 2° + 0,533 • 60’ = 2° + 31,98’ = 2° + 31’ + 0,98 • 60’’ = 2° + 31’ + 58,8’’ = 2°31’58,8’’

2. Expresa en grados:

a) 308°20’ b) 142°33’ c) 23°6’42’’ d) 57°14’21,3’’

Solucióna) Como 1° = 60’ ⇒ 1’ = ( 1

60 )° ⇒ 20’ = 20 ( 1

60 )°, entonces 20’ = ( 1

3 )° = 0,3° ∴ 308°20’ = 308,3°

b) Como 1° = 60’ ⇒ 33’ = ( 3360

)° = 0,55° ⇒ 142°33’ = 142,55°.

c) Como 1’ = ( 160 )° ⇒ 6’ = ( 6

60 )°= ( 1

10 )° = 0,1°.

1” = ( 160

)’ = ( 13.600 )° ⇒ 42” = ( 42

3.600 )° = 0,01016° ⇒ 23°6’42” = 23,11016°

d) 57º14’21,3” = 57º + 14’ + 21,3”

14’ = ( 1460 )°= 0,23º 21,3” = ( 21,3

3.600 )°= 0,005916º

Entonces, 57º14’21,3” = 57º + 0,23º + 0,005916º = 57,23925º

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s1. Escribe en grados (con sus respectivas cifras decimales) los siguientes valores de ángulos dados en grados, minutos y segundos:a) 22°22’22” b) 46°39’59” c) 78°23’35,28” d) 3°7’12”

2. Transforma a grados, minutos y segundos los valores de los siguientes ángulos expresados en grados:a) 44,5° b) 44,55°c) 44,5° d) 44,05°

3. Calcula en grados, minutos y segundos el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 12:15 horas. ¡Cuidado!, el resultado no es 90°, porque cuando el minutero ha avanzado 15 minutos, el horario también se ha desplazado algo.

4. ¿A qué hora entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj forman un ángulo de 45°?

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RadianesAsí como arbitrariamente se decidió que un ángulo completo mide 360° sexagesi-males, se de� ne otra unidad de medida de ángulo, el radián, imponiendo que el ángulo completo mide 2π radianes.Esta elección parece aún más caprichosa que la anterior; sin embargo, como veremos, en algún sentido es más natural que los grados sexagesimales.

Proporcionalidad entre el ángulo del centro y el arco subtendidoComo es posible deducir de la � gura adjunta, si un ángulo del centro θ sub-tiende un arco de circunferencia s, en-tonces 2θ (es decir, el doble del ángulo) subtiende un arco 2s. Del mismo modo, un ángulo 4θ subtenderá 4s y un ángulo 3 4 θ subtenderá un arco 3

4 s.

Por otro lado, la longitud del arco subtendido por un ángulo de 0° es nula.

Podemos entonces tabular y gra� car la situación que hemos descrito:

6s

5s

4s

3s

2s

1s

0 112

s

2 3 4 5 6x

y

12

Ángulo del s arco centro subtendido

O O

12 θ 1

2 s

θ s

2θ 2s

3θ 3s

4θ 4s

5θ 5s

6θ 6s

s

s

2s

El razonamiento anterior nos induce a a� rmar que existe una proporcionalidad directa entre un ángulo del centro (θ) y el arco (s) que subtiende, es decir:

θ = ks

Donde k es una constante de proporcionalidad.

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¿Cuál es la longitud del arco que subtiende el ángulo completo? La respuesta es directa: es la longitud de la circunferencia. Si la circunferencia tiene radio R, entonces el arco subtendido por el ángulo completo es 2π R.

Y ¿cuánto mide el ángulo completo? Depende de las unidades que se empleen. Si se trata de radianes, por de� nición el ángulo completo mide 2π rad.

En este caso la relación de proporcionalidad se escribe:

2π = k • 2π • R ⇒ k = 1R

En otras palabras

θ = sR

o bien,

s = R θ

Como puedes ver, si el ángulo del centro se expresa en radianes, la relación entre tal ángulo y el arco subtendido adopta una expresión particularmente simple, que solo contiene al ángulo del centro (θ), el arco (s) subtendido por θ y el radio (R) de la cir-cunferencia considerada.


Considera una circunferencia de radio R. Encuentra la medida en radianes del ángulo del centro θ que subtiende un arco s igual al radio R de la circunferencia.

SoluciónEn general s = Rθ, siempre que θ esté expresado en radianes.

Como debemos imponer en la expresión anterior que s = R, entonces se deduce que θ = 1 rad.

En otras palabras, 1 radián es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia, cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.R

1 rad

R

Equivalencia entre grados y radianesLa conversión de unidades entre grados sexagesi-males y radianes proviene de escribir en ambas unidades el ángulo completo, es decir:

360° = 2π rad ∴ 1 rad = 360º2π

≈ 57,3°

A la derecha elaboramos una tabla de equivalencias para algunos valores de ángulos especiales.

Frecuentemente, si no hay posibilidades de confu-sión, cuando un ángulo se expresa en radianes se omite la unidad, de modo que, por ejemplo, en vez de escribir π

6 rad se escribe simplemente π6 .

Grados Radianes sexagesimales

O O

30

45

60

90

120

180 π 270

360 2π

π6π4π3π2

2π3

3π2

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1. Escribe en radianes los siguientes ángulos:

a) 32º b) 68,3º c) 121º 40’ d) 18º 2’ 40”

2. Escribe en grados los siguientes ángulos expresados en radianes:

a) 0,4 b) 3,28 c) 5,02 d) 0,26

Descripción de untriángulo rectángulo

Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos mide 90° (= π

2 ).

Los lados de un triángulo rectángulo que son perpendiculares entre sí se llaman catetos. El tercer lado (opuesto al ángulo recto) se denomina hipotenusa.

Triángulos rectángulos

• ACB = 90°

• BC y AC son los catetos c1 y c2

respectivamente; c1 ⊥ c2

• AB es la hipotenusa h

C

90º

A B

c2 c1

hipotenusa h

Propiedades de lostriángulos rectángulos

Enunciaremos a continuación algunas propieda-des de los triángulos rectángulos, seleccionadas en virtud de la utilidad que nos prestarán en desarrollos sucesivos. Cuando su validez no es obvia, se consigna su demostración completa o se entregan algunas sugerencias que orientan su demostración.

• Los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo son necesariamente agudos. (La suma de los án-gulos interiores de cualquier triángulo es 180°. En consecuencia, la suma de los ángulos no rectos debe ser 90°).

• El área A de un triángulo rectángulo se puede expresar como el semiproducto de sus catetos c1 y c2, es decir:

A = 12

c1 • c2

• Los lados de un triángulo rectángulo satisfacen la siguiente relación:

c12 + c2

2 = h2

Esta relación es conocida como el teorema de Pitágoras, que analizaremos en la próxima sec-ción.

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En todo triángulo rectángulo, la suma de los cua-drados de las magnitudes de los catetos es igual al cuadrado de la magnitud de la hipotenusa.

Simbólicamente, si a y b son las magnitudes de los catetos y c la magnitud de la hipotenusa, entonces:

a2 + b2 = c2

Se le puede atribuir un signi� cado geométrico a la relación anterior. Observando la � gura adjunta, se puede apreciar que a2, b2 y c2, representan respec-tivamente las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados a, b y c.

• Cualquier ángulo inscrito en una semicircunfe-rencia es recto, de modo que el triángulo de� nido por el ángulo recto y el diámetro que subscribe es un triángulo rectángulo. En la � gura los trián-gulos ABC y ABC’ son rectángulos en C y C’ respectivamente.

• Recíprocamente, al inscribir un triángulo rectán-gulo en una circunferencia, el diámetro subtendido por el ángulo recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras

C

Cʼ

A B

Demostraciones delteorema de Pitágoras

Existen numerosas demostraciones de este teorema, que se ha convertido en un ícono de la geometría euclidiana y hay libros enteros dedica-dos a ellas.

A

C

B

b a

c

Demostración 1Consideremos el ∆ACB rectángulo en C (∆ verde en la � gura) y situemos una copia de él ∆A´C´B´ (∆ amarillo en la � gura) de modo que su cateto menor se alínee con el cateto mayor del ∆ACB y que A’ coincida con B (B ≡ A’) (en otras palabras, coloquemos el cateto b de la réplica de ∆ACB a continuación del cateto a del triángulo original). Tracemos la recta AB’. Queda de� nido así un trapecio ACC’B’ (porque AC // B’C’).

Bʼ

Cʼ CB

A

Aʼb

a cc b

a

Como ABC + B’A’C’ = 90° (¿por qué?), entonces ABB’ = 90°, es decir, el ∆ABB’ es rectángulo.Calculemos el área S del trapecio ACC’B’ de dos maneras diferentes.

S = Área del trapecio ACC’B’ = semisuma de las bases por la altura:

S = (a + b)2

• (a + b)

S = a2 + b2 + 2a • b2

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Por otro lado,S = área ∆ACB + área ∆A’B’C’ + área ∆ABB’ y recordemos que el área de un triángulo rectángulo se puede calcular como la semisuma del producto de sus catetos. Entonces:

S = 12

a • b + 12 a • b + 1

2 c • c

S = a • b + c2

2

Igualando las dos expresiones alternativas para S

a2 + b2 + 2a • b2

= a • b + c2

2

⇒ a2 + b2 + 2a • b = 2a • b + c2

∴ a2 + b2 = c2

Esto es lo que demuestra el teorema.

Demostración 2Sean a, b los catetos y c la hipotenusa del triángulo rectángulo que vamos a considerar.Construyamos un cuadrado ABCD de lado c como el de la � gura.

AB = BC = CD = DA = c

Sobre AB como hipotenusa construyamos el triángulo rectángulo original ABE.

Notemos que α + β = 90°, de modo que EBC = α.

Prolonguemos ahora BE hasta F, de manera que BF sea igual a b y tracemos el segmento FC.

A B

CD

E

El triángulo BFC así construido es congruen-te con el triángulo ABE, ya que tienen dos lados correspondientes iguales (AB = BC = c y AE = BF = b por construcción) y el ángulo com-prendido EAB = FBC = α, lo que demuestra que ∆ABE ≅ ∆BCF y, en consecuencia, el triángulo BCF es rectángulo en F.

En forma análoga se completa la � gura exhibida.

Ahora vamos a hacer un poco de álgebra.

El área del cuadrado ABCD es c2 y, por otro lado, es igual al área de los cuatro triángulos rectángulos congruentes que se han construido de acuerdo al procedimiento indicado, más el área del pequeño cuadrado EFGH que se forma al centro (de color blanco en la � gura).

El área de cada triángulo es a • b2

(semiproducto de sus catetos).

El lado del cuadrado central es (b – a), por lo que su área es (b – a)2.

Entonces,

c2 = 4 a • b2 + (b – a)2

⇒ c2 = 2a • b + b2 – 2a • b + a2

∴ c2 = a2 + b2

Esto es precisamente lo que se quería demostrar.

cA B

CD

H

E

F

G

a

b b – a

b a

c

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Calcula la distancia D a la que se encuentra el horizonte para un observador a una altura h. Obtén resultados numéricos para diferentes valores de h que digan relación con alturas de observación habituales (altura de un niño, de un adulto, de una torre, de un cerro).

SoluciónTracemos la tangente desde V (el ojo del observador) a la circunferencia (que representa un corte diametral de la Tierra). Llamemos H al punto de tangencia; el triángulo OVH es rectángulo (¿por qué?) y su hipotenusa es OV; OP = OH = R es el radio de la Tierra. La magnitud D del cateto VH representa la distancia a la cual se encuentra el horizonte para el observador en V.

En virtud del teorema de Pitágoras:

(VH)2 + (OH)2 = (OV)2

⇒ D2 + R2 = (R + h)2

⇒ D2 + R2 = R2 + 2Rh + h2

⇒ D2 = 2Rh + h2

∴ D = 2Rh + h2

La última expresión para D es exacta, sin embargo, como verifi caremos en seguida, en la cantidad subradical, el aporte de h2 puede ser, al menos para cierto rango de valores de h, despreciado frente al valor de 2Rh, de manera que la expresión que conviene utilizar para fi nes prácticos es:

D ≈ 2 Rh = 2R h

R es el radio de la Tierra y es aproximadamente 6.378 km (en el Ecuador), es decir, 6,378 • 106 (m) de modo que:

D ≈ 2 • 6,378 • 106 • h (m)

D = 12,756 • 103 h (m) ≈ 3,57 • 103 h (m)

En esta última expresión si expresamos h en metros, obtendremos D en metros. Si que-remos expresar D en kilómetros, debemos dividir el resultado por 103, de manera que:

D ≈ 3,57 h (km) ,

¡Siempre que h lo expresemos en metros!

V

D

H

R

O

R

h

P

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Para mostrar la ventaja de usar la expresión aproximada hagamos una tabla para algunos de los valores de h que podemos considerar interesantes desde el punto de vista de las aplicaciones que nos interesan.

Consideremos los distintos valores que asumen los términos involucrados en la expresión de D para h variando entre 1m (la altura de un niño) hasta 100 m (la altura de un edifi cio de 30 pisos, aproximadamente). Hemos incluido el cálculo para h = 1.000 m (la altura de una cumbre montañosa), pues, como se verá, recién para valores como ese pueden detectarse algunas diferencias menores entre los resultados entregados por la fórmula exacta y la otra aproximada.

Como dijimos usaremos R = 6.378 km y expresaremos D hasta las milésimas

Podemos observar, que para todos los fi nes prácticos, es sufi ciente (y conveniente) utilizar, para calcular la distancia al horizonte, la expresión:

D ≈ 3,6 h (km) en la cual h, la altura del observador sobre el nivel de la Tierra debe expresarse en metros.

D (exacto) D (aproximado)

h (m) 2Rh (m2) h2 (m2) (2Rh+h2)1/2 (km) (2Rh)1/2 (km)

1 12.756.000 1 3,572 3.572

2 25.512.000 4 5,051 5.051

5 63.780.000 25 7,986 7.986

10 127.560.000 100 11,294 11.294

20 255.120.000 400 15,972 15.972

30 382.680.000 900 19,562 19.562

40 510.240.000 1.600 22,589 22.588

50 637.800.000 2.500 25,255 25.255

100 1.275.600.000 10.000 35,716 35.716

1.000 12.756.000.000 1.000.000 112,947 112,942UN

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1. En un triángulo rectángulo dos de sus lados miden 9 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado.

F

E D

C

BA

Tríos pitagóricosEs conocido el hecho de que los números 3, 4 y 5 constituyen lo que se llama un trío pitagórico.Tal denominación se debe a que satisfacen en-tre ellos, la misma relación que satisfacen los catetos (a, b) y la hipotenusa (c) de un triángulo rectángulo, vale decir, la de� nida por el teorema de Pitágoras:

a2 + b2 = c2

En este caso 32 + 42 = 52 , ya que 9 + 16 = 25, efectivamente.


Recíprocamente, si los lados de un triángulo rec-tángulo miden 3, 4 y 5 (en unidades arbitrarias), entonces el triángulo en cuestión es rectángulo y el ángulo recto es el que forman los lados de longitudes 3 y 4.

Esta propiedad es frecuentemente utilizada por los trabajadores de construcción, de una manera muy simple pero ingeniosa, para de� nir los ángulos rectos que normalmente deben formar dos muros que se encuentran.

Uno de los procedimientos es el siguiente:En el lugar (A) donde los muros se van a encon-trar clavan una estaca en el suelo y ese punto de� ne el vértice del ángulo recto. A continuación amarran a la estaca una lienza que tiene nudos a intervalos regulares, pero arbitrarios (ver � gura) y la mantienen tensa en la dirección de uno de los muros que quieren levantar.En la posición del cuarto nudo entierran otra estaca B.

A B

90º

2. Una cuchara está apoyada en un tazón cilíndrico, cuyo diámetro es 8 cm y su altura 12 cm. Si la longitud de la cuchara es 16 cm, calcula la longitud mínima de la parte de la cuchara que puede asomar fuera del tazón.

3. Las dimensiones de la caja cerrada de un camión de carga son 10 m, 3 m y 4 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un tubo rígido de modo que quepa dentro de ella.

4. El polígono ABCDEF es un hexágono regular de lado 4 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC y AD.

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Tensan ahora la cuerda entre B y C. Si el quinto nudo coincide con B, entonces el ángulo CAB es recto.

En seguida, tensan la cuerda («a ojo») en una direc-ción aproximadamente perpendicular a la elegida en el paso anterior y colocan una estaca C en el tercer nudo.

A

1

2

3

4

5

6

C

B

A

1

2

90º

3

4

5

6

C

B

Si el quinto nudo no alcanza a llegar a B, el ángulo CAB es mayor que 90° y es necesario corregir la posición de la estaca C (como indica la � echa roja).

Si, por el contrario, el quinto nudo sobrepasa a B, el ángulo CAB es menor que 90° y la estaca C se debe alejar de B (como indica la � echa roja).

Otros tríos pitagóricosEs fácil darse cuenta de que si multiplicamos cada número del trío pitagórico 3, 4, 5 por un mismo número entero k cualquiera, el resultado será otro trío pitagórico. Por ejemplo, si los multiplicamos por 2, obtenemos el trío 6, 8, 10 que podemos veri� car si es pitagórico o no:

62 + 82 = 36 + 64 = 100

102 = 100

De modo que efectivamente 62 + 82 = 102 lo que muestra que el trío 6, 8, 10 es pitagórico.

La propiedad anterior se puede demostrar en gene-ral y es lo que haremos en el ejercicio siguiente.

A

> 90º

1

2

3

45

6

C

B

A

< 90º

1

2

3

4

5

6

C

B

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Demuestra que si multiplicamos por cualquier factor entero k los números del trío pitagórico 3, 4, 5 se obtiene otro trío pitagórico.

SoluciónLos números enteros 3, 4, 5 constituyen un trío pitagórico porque: 32 + 42 = 52

Consideremos entonces el trío 3k, 4k, 5k.Si este trío efectivamente es pitagórico, entonces debe cumplirse que: (3k)2 + (4k)2 = (5k)2

Desarrollemos el primer miembro de la última igualdad: (3k)2 + (4k)2 = 32k2 + 42k2 = (32 + 42)k2

Pero, 32 + 42 = 52

De modo que: (32 + 42)k2 = 52k2

o sea que, (3k)2 + (4k)2 = (5k)2

Lo que demuestra que efectivamente 3k, 4k, 5k es un trío pitagórico.

Familias de tríos pitagóricosDe manera análoga al procedimiento del ejercicio anterior se puede demostrar que si a, b, c son tres enteros que forman un trío pitagórico, es decir si:

a2 + b2 = c2,

entonces ka, kb y kc también constituyen un trío pitagórico, es decir (ka)2 + (kb)2 = (kc)2.

DemostraciónDesarrollemos (ka)2 + (kb)2:

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2 (a2 + b2)

pero, a2 + b2 = c2 ⇒(ka)2 + (kb)2 = k2c2 (ka)2 + (kb)2 = (kc)2

lo que demuestra que ka, kb y kc constituyen un trío pitagórico.Lo que se ha mostrado es que cada trío pitagórico da origen a una familia in� nita de tríos pitagóricos. La familia pitagórica del trío 3, 4, 5 aparece en la tabla que sigue:

k 3k 4k 5k

2 6 8 10

3 9 12 15

4 12 16 20

n 3n 4n 5n

Otras familias de tríos pitagóricosPero, ¿es la de la tabla la única familia de tríos pitagóricos?

No, realmente existen in� nitas familias de tríos pitagóricos.

Por ejemplo, no es difícil demostrar que si x > y > 0 son números naturales, entonces los números a, b y c de� nidos por:

a = x2 – y2

b = 2xy

c = x2 + y2

forman un trío pitagórico.

Analicemos el caso en que x = 4 e y = 1En ese caso:

a = 42 – 12 = 15

b = 2 • 4 • 1 = 8

c = 42 + 12 = 17

152 = 225 ⇒ 152 + 82 = 225 + 64 = 289 82 = 64

172 = 289

Vemos entonces que efectivamente 15, 8, 17 es un trío pitagórico.

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pero era tan brillante, que se le conocía como el “Príncipe de los A� -cionados”, título que realmente subestima su genio, comparable, en todos los aspectos, al de cualquier profesional ta-lentoso de la disciplina.Las publicaciones y el reconocimiento no te-nían importancia para Fermat, quien quedaba satisfecho con crear nuevos teoremas sin ser perturbado. Mientras estudiaba el Libro 2 del clásico Arithmetica de Diofanto, elaboró una serie de observaciones, problemas y soluciones relativas al teorema de Pitágoras y a los tríos pitagóricos. Súbitamente en un momento de genialidad que lo inmortalizaría, creó una ecuación, similar a la de Pitágoras, pero que no tenía soluciones.

Un mensaje enigmático quegenera 350 años de estudio

Al margen de la obra que estaba leyendo escribió en latín, lo que se traduce a continuación:

Problemas de joven En 1963, cuando Andrew Wiles tenía 10 años, ya había desarrollado su fascinación por la Ma-temática y frecuentaba la pequeña biblioteca de su barrio, en busca de libros con numerosos problemas de ingenio y puzzles matemáticos, que (normalmente) traían las soluciones al � nal.En una ocasión, Andrew se interesó por un libro que contenía solo un problema, pero que esta vez no traía su solución, ni siquiera indicaciones para llegar a ella.El libro se llamaba El Último Problema y su autor era Eric Temple Bell. El problema en cuestión databa de la antigüedad griega, pero su formula-ción había alcanzado la madurez solo durante el siglo XVII, cuando el matemático francés Pierre de Fermat lo planteó, inadvertidamente, como un desafío para el mundo matemático.

Fácil de entender, difícil de probarSe trataba, como pocas veces suele acontecer, de un problema aún sin resolver, pero que podía ser planteado en términos muy simples, tan simples como para ser comprendido a cabalidad por un muchacho de diez años.Así como existen los tríos pitagóricos, es decir, tres números enteros a, b, c tales que a2 + b2 = c2, uno puede preguntarse si existen tres números enteros p, q, r tales que p3 + q3 = r3.Y más aún, puede preguntarse qué sucede para ex-ponentes enteros mayores que 3, como 4, 5, 6, etc.O, planteado en términos generales, la pregunta que uno se formula es si existen números enteros x, y, z tales que xn + yn = zn para algún exponente entero n.

¿Juez o matemático?Pierre de Fermat nació el 20 de agosto de 1601 al sudoeste de Francia, y debido principalmente a presiones familiares dedicó su vida al servicio pú-blico, siendo designado en 1631 consejero del Par-lamento de Toulouse, labor que incluía entre otras tareas la de interceder en disputas judiciales.Dedicaba todo su tiempo libre a la Matemática,

El teorema de Fermat

Pierre de Fermat

Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o una potencia cuarta como la suma de dos potencias cuartas, o en general, cualquier potencia superior a la segunda escribirla como la suma de dos potencias del mismo orden.Tengo una demostración realmente maravillosa de esta proposición, pero este margen es demasiado angosto como para contenerla.

Una demostración más del desdén y la indolencia con que Fermat trataba estas materias: no se tomó la molestia de comentar la demostración con otras personas, ni de dejar el manuscrito en el cual supuestamente la desarrolló. Esta conjetura sería posteriormente llamada el “Último Teorema de Fermat” y mantuvo la atención y preocupación, por más de 350 años, de numerosos y destacadí-simos matemáticos.

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Un momento históricoTodo lo anterior condujo a que Andrew Wiles expu-siera el 23 de junio de 1993, en Cambridge, la que ha sido considerada la conferencia de Matemática más importante del siglo XX. Asistían 200 matemá-ticos, pero solo la cuarta parte de ellos entendía a cabalidad la forma y el fondo de la densidad de las expresiones desplegadas en el pizarrón. Después de siete años de intensa labor y de treinta años de soñar con encontrar la solución, Wiles estaba en condiciones de mostrarle al mundo su demostración.Fue una serie de tres conferencias, con un título tan vago, que no permitía sospechar de qué se trataba,

Hacia la demostraciónPara una persona promedio, el hecho de que los más grandes matemáticos contemporáneos ha-yan acometido sin éxito la tarea de demostrar la conjetura de Fermat, sería razón su� ciente para no emprenderla. No era el caso de Wiles, que decidió aprender de los logros y los errores de sus brillan-tes colegas y al mismo tiempo adiestrarse en las técnicas más so� sticadas de la Matemática del siglo XX, para abordar una empresa gigantesca.Wiles armó una elaborada combinación de lo que había aprendido en su trabajo de tesis de graduación sobre ecuaciones elípticas, el estudio de formas modulares y de la crucial conjetura de Taniyama y Shimura, las estrategias elaboradas siglos atrás por Evariste Galois y sus descubri-mientos sobre teoría de grupos, el método de Kovalgyn-Flach, los éxitos y errores cometidos por famosos matemáticos que incursionaron en el tema con distinta intensidad y en diferentes épocas, tales como Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Sophie Germain, Gabriel Lamé, Augustin Cauchy, Ernst Kummer, entre otros.

Matemáticos de izquierda a derecha:Leonhard Euler, Friedrich Gauss y Pierre de Fermat.

aunque los rumores se iban haciendo cada vez más persistentes. En la última de ellas la sala estaba atestada de gente y algunos habían quedado en los pasillos. Estaba la prensa y los colegas de Wiles con cámaras fotográ� cas, esperando lo que podía convertirse en un momento histórico. Cuando finalmente, des-pués de llenar tres grandes pizarras, Andrew Wiles es-tableció la demostración del teorema de Fermat y dijo: «pienso que me voy a detener aquí», se produjo un silencio profundo y ceremonioso y en seguida un estruendoso aplauso. Rápidamente la noticia se esparció por el mundo a través del correo electró-nico y al día siguiente ya fue objeto de la prensa escrita, la radio y la televisión.

El arbitrajeLos resultados de una investigación cientí� ca no son aceptados plenamente, sino hasta que son publica-dos en revistas especializadas, una vez que han sido sometidos al escrutinio de un panel de árbitros. Poste-riormente los trabajos publicados quedan expuestos a la crítica de la comunidad cientí� ca que le adjudica el sello de calidad de� nitivo, cuando corresponde.La demostración de Wiles, extensa y compleja, suscitó una serie de dudas a los árbitros, quienes solicitaron al autor las correspondientes aclaracio-nes, que fueron satisfechas una a una. Pero una de las preguntas que parecía sencilla, se convirtió en un serio obstáculo que parecía insalvable y echaba por tierra la demostración. Tal di� cultad produjo una demora en la publicación, lo que a nivel de la comunidad cientí� ca fue interpretado –justamente– como que se habían detectado errores. Abatido y después de desesperados y reiterados intentos por resolver la falla de la demostración, Wiles retomó una estrategia que había abandonado hacía algu-nos años a favor de otra que le había parecido más con� able. Fue gracias a ella que � nalmente pudo reparar los errores, lo que condujo a que la demos-tración apareciera, ahora sin errores, en mayo de 1995 en la revista Annals of Mathematics.

Andrew Wiles

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Como C = F, entonces las rectas AC y DF son paralelas, lo cual a su vez quiere decir A = D (ángulos correspondientes entre paralelas). Ve-mos entonces que todas las condiciones 1º son satisfechas.

De acuerdo al teorema de Tales relativo a la proporcionalidad de trazos en dos transversales atravesadas por rectas paralelas, los lados de ambos triángulos son proporcionales.En consecuencia, también se cumplen las con-diciones 2º, lo que demuestra que los triángulos son semejantes.

Teorema LLL (Lado Lado Lado)Dos triángulos que tienen los tres lados corres-pondientes proporcionales son semejantes.

Demostración

En este caso tenemos que, llamando k a la razón en que se encuentran los lados correspondientes:

ABDE

= BCEF

= CAFD

= k

Copiemos sobre AB el lado DE del triángulo DEF y tracemos por E una paralela al lado CB que intersecta a AC en G (ver la � gura en página siguiente).

Semejanza de triángulosDefinición

Dos triángulos se dicen semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales.En lenguaje simbólico:

∆ABC ~ ∆ DEF

Se cumplen, entonces, todas las condiciones siguientes:

A = D1º B = E 2º AB

DE = BC

EF = CA

FD C = F

C

A B

D

F

E

Teoremas de semejanzaTeorema AA (Ángulo Ángulo)Dos triángulos que tienen dos de sus ángulos correspondientes iguales son semejantes.

Demostración

Traslademos rígidamente el triángulo DEF de for-ma tal, que coincidan los lados del ángulo B con los lados del ángulo E.

C

A B

D

F

E

C

A B = ED

F

C

A B

ED

F

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En tal caso, E = B y G = C (correspondien-tes entre paralelas), de modo que, en virtud del Teorema AA, ∆AEG ~ ∆ABC.

Entonces los lados correspondientes son propor-cionales y, como por construcción:

ABDE

= k

Entonces,

BCEG

= CAGD

= k

Lo cual indica que EG = EF y que GA = FA.

En otras palabras, ∆DEG ≅ ∆DEF, por lo cual los triángulos ABC y DEF son semejantes.

Teorema LAL (Lado Ángulo Lado)Dos triángulos que tienen un ángulo correspon-diente igual, y los lados del ángulo son correspon-dientemente proporcionales, son semejantes.

DemostraciónEn este caso, A = D

y ABDE

= CAFD

= k

C

A = D BE

G

C

A B

D

F

E

Traslademos rígidamente el ∆DEF de modo que el D coincida con el A, como se indica en la � gura.

Puesto que

ABDE

= CAFD

= k

De acuerdo al teorema de Tales, FE y CB deben ser paralelos, de modo que:

F = C E = B

En consecuencia, en virtud del Teorema AA, los triángulos ABC y DEF son semejantes.

Los teoremas de EuclidesConsideremos el triángulo ABC rectángulo en C y llamemos α y β los ángulos en A y B respectiva-mente. Dado que el triángulo ABC es rectángulo, entonces β = 90° – α.Tracemos la altura h desde el vértice C al lado AB = c determinando sobre AB el punto M.

C

A = D B

F

E

C

A B

bh

M

a

qc

p

Podemos a� rmar que ACM = CBM = β dado que son ángulos de lados respectivamente or-togonales:

• AC ⊥ BC (porque ∆ABC es rectángulo en C)

• CM ⊥ BM (porque CM es altura)

Análogamente CAM = BCM = α

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Los triángulos ABC, AMC y MBC son todos rec-tángulos y en cada caso los otros dos ángulos son α y β. Es decir, los tres triángulos considerados tienen sus ángulos correspondientes iguales.Consecuentemente, los tres triángulos son seme-jantes entre sí:

∆ ABC ~ ∆ AMC ~ ∆ MBC

La correspondencia entre los lados se exhibe en la siguiente tabla:

Lado ∆ ABC ∆ AMC ∆ MBC

Cateto mayor a q h

Cateto menor b h p

Hipotenusa c a b

Observando la tabla, se pueden establecer enton-ces las siguientes proporciones:

ab

= qh

= hp

bc

= ha

= pb

ac

= qa

= hb

Hemos destacado con color las relaciones que corresponden a los teoremas de Euclides rela-tivos a las proporcionalidades en los triángulos rectángulos.

La primera expresión destacada es: qh

= hp

∴ h2 = p • q

La segunda proporción es:

bc

= pb

∴ b2 = p • c

Y la tercera es:

ac

= qa

∴ a2 = q • c

Si combinamos la segunda y tercera expresión destacadas en azul, podemos obtener una demos-tración alternativa del teorema de Pitágoras.En efecto: a2 = q • c

⇒ b2 = p • c

a2 + b2 = q • c + p • c = (q + p) • c

∴ a2 + b2 = c2

El teorema de Euclidesy la construcción de 2

Usando el teorema de Euclides, que establece que h2 = p • q, es posible construir trazos, cuya longitud es 2 veces la longitud de cualquier otro trazo.Consideremos un trazo AM de longitud 1 en uni-dades arbitrarias.

Extendamos el trazo AM hasta Q, de modo que MQ tenga longitud 2 en las mismas unidades.Esto se puede hacer extendiendo el trazo AM más allá de M y con un compás construimos una circunferencia con centro en M y radio 1 que de-termina sobre la extensión un punto Q.

Por construcción AM = MQ = 1.Repetimos el proceso, esta vez con centro en Q, determinando el punto B, es decir MQ = QM = 1, de modo que AB = 3.

Con centro en O (punto medio de AB), tracemos una semicircunferencia de radio OA = 1,5 (es decir, que pasa por A y por B).

Levantemos en M una perpendicular a AB que intersecta a la circunferencia en C y adoptemos la siguiente notación:

AM = qMB = pMC = h

A

1

M

A M Q

A M Q B

1 2

M O

1,5

A B

1 2

M A

C

OB

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GeneralizaciónEn general, si en un triángulo rectángulo q = 1 y p arbitrario, entonces:

h = p a = p2 + p b = 1 + p

Dibujemos el triángulo ABC, que resulta ser rec-tángulo pues el ABC es inscrito en una semicir-cunferencia.

Por construcción, en este caso p = 2 y q = 1.De acuerdo a uno de los teoremas de Euclides h2 = p • q; en este caso h2 = 2 • 1 ⇒ h = 2 , es decir, la magnitud de h es 2 veces la magnitud del trazo inicial AM. ¿Y qué se puede decir de los catetos AC y BC?En virtud de los otros teoremas enunciados:

a2 = q • c ⇒ a2 = 1 • 3 ∴ a = 3

b2 = p • c ⇒ b2 = 2 • 3 ∴ b = 6

1 2 A

C

OB M

1 2

M A

C

OB

3 2 6

1 p A

C

OB

p 1 + p p2 + p

M


q = 1 cm p = 5 cm A

D

O C B

h = 5 cm

1. Construir un trazo de 5 cm de longitud.

SoluciónDibujemos un trazo AB (que denotamos por q) de 1 cm de longitud y a continuación el trazo BC (que denotamos por p) de 5 cm de longitud como indica la fi gura.

Con centro en O, punto medio de AC, tracemos la semicircunferencia de radio AC

2.

Levantemos en B una perpendicular a AC que intersecta a la semicircunferencia en D. El triángulo ACD es rectángulo en D y AC (el diámetro de la circunferencia) es su hipotenusa. BD = h es una altura del triángulo considerado.En virtud del teorema de Euclides que establece que h2 = p • q, podemos afi rmar en este caso que h2 = 5 • 1 cm2, de lo cual se deduce que h = 5 cm, que era lo que se buscaba construir.

2. Un triángulo tiene lados cuyas magnitudes en centímetros son 5, 12 y 13. Encuentra la magnitud de la altura perpendicular al lado mayor.

SoluciónEn primer lugar, observamos que el triángulo dado es rectángulo, ya que 5, 12 y 13 son un trío pitagórico, puesto que:

52 + 122 = 25 + 144 = 169 Es decir, 52 + 122 = 132

Dado que el triángulo considerado es rectángulo, podemos usar los teoremas de Euclides:

a2 = p • c ⇒ p = a2

c b2 = q • c ⇒ q = b2

c

h2 = p • q = a2 • b2

c2 ⇒ h = a • bc

h = 5 • 1213

cm ∴ h ≈ 4,62 cm

q

c = 13 cm

b = 12 cm a = 5 cm

pA

C

B

h

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Diseño de rampas de acceso a edificios

Hace algunos años se implantó en Chile la norma-tiva respecto de que los edi� cios públicos deben disponer en sus accesos de medios apropiados para los discapacitados. Por ello, se tomó la decisión de instalar rampas de acceso, como al-ternativa a las escaleras. Para que estas rampas sean útiles, es necesario que el ángulo respecto del piso sea su� cientemente pequeño para que facilite subir. Un joven emprendedor decidió fa-bricar tales rampas para edi� cios, y procedió a calcular el largo de las rampas para diferentes alturas, considerando que el ángulo que forma la base y el lado de la altura es recto.

Sean:

h: altura del acceso a un cierto edi� cio.

d: espacio de la vereda a ocupar por la rampa.

c: longitud de la rampaEntonces, considerando la razón trigonométrica senα = h

d d = h

senαAplicando Pitágoras: c2 = h2+d2

Considerando un ángulo de 15º característico para estos � nes y usando una calculadora electrónica tendremos:

sen 15º = 0,2588

Usando las formulas señaladas anteriormente tendrás los resultados que se muestran en la tabla siguiente:

Realiza los mismos cálculos ahora para un ángulo de 10º. ¿Cómo se modi� can los valores de longitud de la rampa y el espacio que ocupa en la vereda?¿Qué debe hacerse cuando d es muy grande y obs-taculiza el tránsito de los peatones en la vereda?

Diseño de envases Un tipo de envase usado para líquidos (leche, jugos y otros) es el de una pirámide. Diseñemos un envase piramidal de base triangular que tenga todos sus lados iguales (c) como el que se muestra en la � gura. Esto es un tetraedro.

Si separamos cada lado de la pirámide y lo pro-yectamos en un plano obtendremos la siguiente � gura (por simplicidad, no mostramos las lengüe-tas de unión)

cc

c

c c

c

c

c

c

60o 60o

60o

60o

60o

60o

60o 60o

60o

60o

Tenemos entonces un triángulo equilátero de lado 2c que incluye cuatro triángulos equiláteros equivalentes de lado c. ¿Cuál es la super� cie A de cartón necesaria para producir el envase?

Calculemos el área A: A = 12

(2c) h

2c 2c

2c

h

c c

ch

d α

hsenα

c

c

c

Altura h (cm.) Espacio Longitud acceso d (cm.) rampa c (cm.)

30 115,9 119,7

40 154,5 159,6

50 193,2 199,6

60 231,8 239,5

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La altura h del triángulo equilátero resulta de apli-car Pitágoras a uno de los triángulos rectángulos internos: (2c)2 = c2 + h2

de donde resulta: h = 3 c

Entonces el área es: A = 1

2 (2c) • 3 c

∴ A = 3 c2

El cartón es vendido en láminas de a centímetros de ancho por b centímetros de largo. ¿Cuántas envases piramidales de lado c (tetraedros) se pueden obtener con una lámina?:

Representemos cada base (triángulo de lado 2c) en la lámina ab en la siguiente � gura:

El número de bases triangulares de lado 2c que caben en el ancho a de la lámina es a

2c y en el

largo es b2 3 c

. Sea n el número de bases de área A que caben en la lámina (ocupando las longitudes a’ y b’ res-pectivamente).

Entonces el área ocupada de la lámina de cartón será: Ao = nA Ao = n 3 c2

La super� cie de cartón desaprovechada será: Ap = ab – n 3 c2

¿Qué pasa cuando a y b son múltiplos exactos de 2c y de 2 3 c respectivamente?

Estos envases están concebidos para el consumo personal. Por consiguiente, los volúmenes son pequeños, por ejemplo, 200 cm3. Llamemos V al volumen del líquido contenido en un envase y considerémoslo aproximadamente igual al volu-men de la pirámide.

Entonces, con la lámina de cartón, ¿cuántos litros de líquido se pueden envasar? Para calcularlo, expresemos el volumen de un envase piramidal en función de su lado.

V = 13

(área de la base) (altura) 3 Aplicando Pitágoras a una cara de la pirámide tendrás que el área de la base es:

Ab = 3 4 c

2

Asimismo, aplicando el teorema de Pitágoras ob-tendrás la altura H de la pirámide, lo que será:

H = 2 3

c Entonces, el volumen será: V = 1

3 34 c2 2

3 c

V = 212

c3

Entonces el volumen total posible de envasar en la lámina es de:

Vt = nV = 212 nc3

Observa que el volumen total posible de envasar es mayor en la medida que c es mayor. ¿A que se debe esto? A que los envases más grandes ocupan menos material por volumen envasado. Compruébalo.

Ab

H

c

c

c

c

2c

2c

2c

2 3 c 2 3 c 2 3 c 2 3 c 2 3 c 2 3 c

b

a

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Históricamente, la trigonometría se desarrolló como una herramienta de la Astronomía y de la Geografía, pero durante siglos ha sido usada por cientí� cos e ingenieros para variados propósitos.Dentro de la Matemática, se utiliza con frecuencia en Cálculo, pero también en Álgebra Lineal (el estudio de los vectores) y Estadística. Dado que las disciplinas aludidas tienen aplicaciones tanto en las Ciencias Naturales como en las Ciencias Sociales, puedes darte cuenta que conviene adquirir alguna destreza y familiaridad con la trigonometría.

La trigonometría en laAstronomía y la Geografía

Durante dos mil años, se elaboraron tablas trigo-nométricas cada vez más completas y precisas con el propósito de hacer cálculos en Astronomía. Como antiguamente se pensaba que las estrellas estaban � jas en una esfera de cristal de gran tama-ño (solo los planetas, el Sol y la Luna tenían mo-vimiento) se utilizaba una trigonometría adecuada para entender las posiciones de las estrellas sobre una esfera, que se llamó Trigonometría esférica. A pesar que los conceptos en Astronomía han

La trigonometría como geometría de cálculoLa trigonometría se inició como la herramienta de cálculo de la geometría. A modo de ejemplo, la geometría establece que un triángulo queda de� nido, si se cono-cen un lado y dos ángulos. La trigonometría provee los métodos para calcular los otros dos lados.

¿Qué se puede hacer con la trigonometría?evolucionado, la trigonometría sigue siendo útil en ese campo.Como la Tierra también es prácticamente es-férica, la trigonometría ha tenido aplicaciones en geografía y navegación. Ptolomeo (100-178) utilizó la trigonometría en su obra Geografía y usó tablas trigonométricas en sus trabajos de investigación.El propio Cristóbal Colón, llevaba consigo en sus viajes al Nuevo Mundo una copia de la obra Ephemerides Astronomicae, de Regiomontano para hacer uso de ella.

La trigonometríaen la Ingeniería y la Física

Aunque originalmente la trigonometría se aplicó a las esferas, ha tenido aplicaciones fundamentales en espacios planos. Los agrimensores han hecho uso de ella durante siglos, como también los in-genieros tanto civiles como militares.Los requerimientos de la Física son frecuentes, tanto a nivel de Física clásica, como es el caso de Óptica, Estática y Dinámica, como en investi-gaciones contemporáneas en Relatividad General o Materia Condensada.

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Triángulos rectángulosTriángulos rectángulosy trigonometría



Históricamente, la trigonometría se desarrolló como una herramienta de la Astronomía y de la Geografía, pero durante siglos ha sido usada por cientí� cos e ingenieros para variados propósitos.Dentro de la Matemática, se utiliza con frecuencia Dentro de la Matemática, se utiliza con frecuencia en Cálculo, pero también en Álgebra Lineal (el estudio de los vectores) y Estadística. Dado que las disciplinas aludidas tienen aplicaciones tanto en las Ciencias Naturales como en las Ciencias Sociales, puedes darte cuenta que conviene adquirir alguna destreza y familiaridad con la trigonometría.

La trigonometría en laAstronomía y la Geografía

Durante dos mil años, se elaboraron tablas trigo-nométricas cada vez más completas y precisas con el propósito de hacer cálculos en Astronomía. Como antiguamente se pensaba que las estrellas estaban � jas en una esfera de cristal de gran tama-ño (solo los planetas, el Sol y la Luna tenían mo-vimiento) se utilizaba una trigonometría adecuada para entender las posiciones de las estrellas sobre una esfera, que se llamó Trigonometría esférica. A pesar que los conceptos en Astronomía han

La trigonometría como geometría de cálculoLa trigonometría se inició como la herramienta de cálculo de la geometría. A modo de ejemplo, la geometría establece que un triángulo queda de� nido, si se cono-cen un lado y dos ángulos. La trigonometría provee los métodos para calcular los otros dos lados.

¿Qué se puede hacer con la trigonometría?evolucionado, la trigonometría sigue siendo útil en ese campo.Como la Tierra también es prácticamente es-férica, la trigonometría ha tenido aplicaciones en geografía y navegación. Ptolomeo (100-178) en geografía y navegación. Ptolomeo (100-178) utilizó la trigonometría en su obra Geografía y usó tablas trigonométricas en sus trabajos de investigación.El propio Cristóbal Colón, llevaba consigo en sus viajes al Nuevo Mundo una copia de la obra Ephemerides Astronomicaepara hacer uso de ella.

Aunque originalmente la trigonometría se aplicó a las esferas, ha tenido aplicaciones fundamentales en espacios planos. Los agrimensores han hecho uso de ella durante siglos, como también los in-genieros tanto civiles como militares.Los requerimientos de la Física son frecuentes, tanto a nivel de Física clásica, como es el caso de Óptica, Estática y Dinámica, como en investi-gaciones contemporáneas en Relatividad General o Materia Condensada.

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NotaciónConsideremos el triángulo ABC rectángulo en C y el ángulo α = CAB.AC y CB son los catetos del ∆ABC y AB, su hipotenusa.

Dado que vamos a centrar nuestra atención en el ángulo α, al lado AC lo llamaremos cateto adyacente y al lado CB cateto opuesto y los designaremos por cA y cO respectivamente. La hipotenusa AB la designaremos por h. Las razones trigonométricas corresponden a razones entre los lados de un triangulo rectángulo. Las funciones trigonométricas corresponden a extensiones de las razones trigonométricas para valores de ángulos en un dominio más amplio que los de un triangulo (los valores en el dominio de una función trigonométrica puede ser cualquier número real, medido en radianes).

Seno de un ánguloDe� niremos el seno del ángulo α en el triángulo rectángulo ABC y lo denotaremos por sen α, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:

sen α = cO

h

Coseno de un ánguloEn forma análoga, de� nimos el coseno de α (que denotaremos cos α ) al cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

cos α = cA

h

Tangente de un ánguloFinalmente, de� niremos la tangente de α, para la cual adoptamos la notación tan α (en ocasiones

Razones trigonométricas y Funciones trigonométricas

C

cO

cA

h

A

B Propiedades de las funcionestrigonométricas

1. De las de� niciones anteriores, es directo com-probar que:

tan α = sen α cos α

ya que sen αcos α

=

cO

hcA

h

= cO

cA

= tan α

2. El teorema de Pitágoras establece que:

cO2 + cA

2 = h2

Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por h.

cO2

h2 + cA

2

h2 = 1 ⇒ ( cO

h )2

+ ( cA

h )2

= 1

∴ (sen α )2 + (cos α )2 = 1

Abusando de la notación, suele escribirse sen2α y cos2α en lugar de (sen α)2 y de (cos α)2, respecti-vamente, de forma tal, que la igualdad encontrada se reescribe como:

sen2α + cos2α = 1

Esta última igualdad es válida para todo ángulo α, es decir, no se trata de una ecuación que permite determinar el ángulo α.

Las igualdades entre funciones de una variable que son válidas para cualquier valor de la variable se llaman identidades y para realzar este carácter se suele sustituir el signo = por el signo ≡.

La identidad sen2α + cos2α ≡ 1 es fundamen-tal en el estudio de la trigonometría y, por la forma como se dedujo, puede observarse que se trata de una manifestación del teorema de Pitágoras.

aparece como tg α ), como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

tan α = cO

cA

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Hay ciertos ángulos que aparecen con frecuen-cia en nuestras construcciones geométricas. Para tener alguna vivencia del signi� cado de las funciones trigonométricas, evaluaremos el valor numérico de ellas cuando el ángulo adopta esos valores especiales.Los ángulos con aparición recurrente son 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, además de sumas y múltiplos de ellos.

Razones trigonométricasde 45°

Consideremos un cuadrado ABCD de lado a como el de la � gura y tracemos su diagonal AC. El ∆ABC es rectángulo en B. La diagonal AC es la hipote-nusa del triángulo rectángulo considerado.Además BAC = 45º, ¿puedes explicar por qué?

Las razones trigonométricas de ciertos ángulos especiales

C

A

a

a

a

a

45º

D

B

Apliquemos el teorema de Pitágoras al ∆ABC para calcular la longitud de la diagonal AC.

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 ⇒ (AC)2 = a2 + a2

⇒ (AC)2 = 2a2, de donde AC = 2 a

Siendo AB y BC respectivamente el cateto adya-cente y el cateto opuesto del ángulo de 45° se-ñalado en la � gura, podemos aplicar la de� nición de las funciones trigonométricas:

sen 45° = BCAC = a

2 a

⇒ sen 45° = 1 2

= 1 2

• 2 2

∴ sen 45° = 22

Análogamente:

cos 45° = ABAC = a

2 a

⇒ cos 45° = 1 2

= 1 2

• 2 2

∴ cos 45° = 22

Finalmente:

tan 45° = BCAB = a

a ∴ tan 45° = 1


Verifi ca que sen2 45° + cos2 45° = 1

Solución

sen2 45° + cos2 45° = ( 22

)2 + ( 2

2 )2

= 24 + 2

4 = 12 + 1

2

∴ sen2 45° + cos2 45° = 1

Esto era de esperar, ya que como se demostró, la relación sen2α + cos2α = 1 es válida para cualquier ángulo α.

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Razones trigonométricasde 30° y 60°

Consideremos ahora un triángulo equilá-tero ABC de lado a como el de la � gura y tracemos la altura CM desde el vértice C al lado AB.

Apliquemos ahora el teorema de Pitágoras al triángulo AMC:

( a2 )2

+ h2 = a2 ⇒ h2 = 34 a2 ⇒ h = 3

2 a

De acuerdo a las de� niciones de las razones trigonométricas, podemos escribir:

sen 60° = CMAC =

ha =

32 a

a ∴ sen 60° = 32

En forma similar,cos 60° =

AMAC =

12 a

a ∴ cos 60° = 12

tan 60° = CMAM =

h12 a

= 32 a12 a

∴ tan 60° = 3

Veri� quemos que se satisface la identidad trigonométrica fundamental:

sen2 60° + cos2 60° = ( 32 )2

+ ( 12 )2

= 34 +

14 ∴ sen2 60° + cos2 60° = 1

C

A

a a

a B M

h

60

30 30º

60º

h

M

E j e r c i c i o r e s u e l t oEncuentra las razones trigonométricas de 30°.

SoluciónObservando el triángulo equilátero de la fi gura al inicio de la página vemos que:

sen 30° = AMAC =

12 a

a ∴ sen 30° = 12

cos 30° = CMAC = h

a = 32 a

a ∴ cos 30° = 32

tan 30° = AMCM =

12 a

h =

12 a

32

a = 1

3 ∴ tan 30° = 33


Con los valores encontrados recientemente para las razones trigonométricas de 30°, ve-rifi ca que:

sen2 30° + cos2 30° = 1

Para calcular las razones trigonométricas de otros ángulos haremos uso de una calculadora cientí-� ca de bolsillo, de una planilla de cálculo u otro software apropiado para ello.

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¿Qué longitud tendría una rampa diseñada para conducir hasta una pasarela a 4 m de altura, si el ángulo de inclinación es de 20°? ¿Qué sucede para ángulos menores?

D

= 20º

h = 4 m

Haciendo uso de Maple® grafi camos la longitud de la rampa (long) en términos del ángulo (x), en el intervalo 5° ≤ x ≤ 20° que en radianes se expresa como:

5 • π180

≤ x ≤ 20 • π180

La lectura del gráfi co nos indica que en ese intervalo de inclinaciones la longitud D de la rampa varía en el intervalo 46 m ≥ D ≥ 12 m, aproximadamente.


1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y sen α = 2

5 . Encuentra la medida de los catetos a y b.

2. En un triángulo rectángulo β = 55°30’ y uno de los catetos b = 6,05 cm. Haciendo uso de una calculadora científi ca encuentra el otro cateto y la hipo-tenusa.

3. Considera la construcción de la fi gura. Encuentra α y el ancho de la techumbre AD.

4. Una escalera está dispuesta como en la fi gura. Encuentra su ángulo de inclinación β y la distancia D entre el muro y su peldaño inferior.

A

A

9 m 9 m

D

6 mB

D

12 m 15 m

SoluciónSi llamamos D a la longitud desconocida de la rampa, de la fi gura puede decirse que:

sen20° = hD ⇒ D = h

sen20º

Haciendo uso de una calculadora científi ca: sen20º ≈ 0,342 de donde: D ≈ 40,342

m ≈ 11,7 m

Si el ángulo de inclinación fuera menor que 20°, entonces la rampa sería aún más larga. Por ejemplo, si

el ángulo fuera de 10° entonces, D = hsen10º ∴ D ≈ 4

0,174 m ≈ 23 m

(Se hizo uso de una calculadora científi ca).

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5. Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes están expresadas en cm.

a) b)

c) d)

30º

70º

40º

25º

10 8

7

x

x

x

x

12


Una avioneta inicia su descenso cuando pasa por sobre la torre de control al inicio de la cancha de aterrizaje, formando un ángulo constante de 13° con la horizontal. Se posa sobre la pista cuando ha recorrido 2.000 metros. Calcula la distancia entre la torre de control y el punto de aterrizaje.

Solución

De la fi gura:PD = cos β ⇒ P = D • cos β

Introduciendo en la expresión anterior los datos del problema:

P = 2.000 (m) • cos 13°

Con la ayuda de una calculadora científi ca encontramos que:

cos 13° ≈ 0,974 de donde, P ≈ 2.000 • 0,974 (m)

Finalmente podemos decir que la distancia P entre la torre de control y el punto de aterrizaje es aproximadamente

P ≈ 1.949 (m)

D = 2.000 m

P

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5. Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes están expresadas en cm.

a) b) c) d)

20º

60º

10º

10

6

12

x

x

x

30º 20

x


Solución Si h es la altura del asta y s es la longitud de la sombra que proyecta, entonces:

hs

= tan 56° ⇒ h = s • tan 56° ⇒ h = 6 (m) • tan 56° ≈ 6 (m) • 1,48 ∴ h ≈ 8,89 (m)

La altura del asta es prácticamente de 8,9 metros.

h

6 m

56°

1. Si cos α = 0,15 determina a y c.

2. Si cos β = 13 , determina a y c.

3. Si en un triángulo rectángulo de catetos a y b, b = 6,4 cm y la hipotenusa c = 7,8 cm determina a y cos α.

4. Si en un triángulo rectángulo α = 33,2º y la hipotenusa c = 12,75 cm, determina los catetos a y b.

A

A

2,25 cm

12 cm

C

C

c

a B

B

a

c

A

A

2,25 cm

12 cm

C

C

c

a B

B

a

c

20º

60º

10º

10

6

12

x

x

x

30º 20

x

20º

60º

10º

10

6

12

x

x

x

30º 20

x

20º

60º

10º

10

6

12

x

x

x

30º 20

x

Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 56°con la horizontal, la sombra de un asta vertical mide 6 m, ¿cuál es la altura del asta?

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Calcula en cada caso la longitud x del cateto. Las longitudes están expresadas en cm.

a) b)

c) d)

30º

20º

60º

58º

8

4

6

12

x

x

x

x

ArcosenoLa razón inversa del seno se llama arcoseno y se denota por arcsen.

El valor de arcsen(x) es el ángulo cuyo seno es x.

Por ejemplo, arcsen ( 12 ) = 30°, porque

sen 30° = 12 .

En las calculadoras aparece como una tecla sen–1 o más frecuentemente como la combinación de dos teclas: Inv (por inverso) y sen.

Si, por ejemplo, sabemos que sen α = 0,23 , usan-do una calculadora digitamos 0,23 y en seguida Inv y sen, obtenemos:

α = arcsen (0,23) ≈ 13,297° Es decir, α ≈ 13,3° es el ángulo cuyo seno es 0,23 o sen 13,3° ≈ 0,23.

Razones trigonométricas inversasArcocoseno

La razón inversa del coseno se llama arcocoseno y se denota por arcos.

El valor de arcos(x) es el ángulo cuyo coseno es x.

Por ejemplo arcos ( 22 ) = 45°, puesto que cos

45° = 22 .

Si sabemos que cos β = 0,54 ; entonces:

β = arcos (0,54) ≈ 57,3°

ArcotangenteLa razón inversa de la tangente se llama arcotan-gente y se denota por arctan.

El valor de arctan(x) es el ángulo cuya tangente

es x. Por ejemplo arctan ( 3 ) = 60°, ya que

tan 60° = 3 .

Si sabemos que tan γ = 4,3 ; entonces, haciendo uso de una calculadora obtenemos:

γ = arctan (4,3) ≈ 76,9°

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Nos interesa ahora extender el concepto de razón trigonométrica al de función trigonométrica, que tiene aún más utilización.

Consideremos un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y de radio 1, como en la � gura.

Como veremos, el círculo así de� nido, que llamare-mos círculo unitario, es una herramienta de apoyo que nos va a permitir, por una parte, visualizar las funciones trigonométricas y, por otra, generalizar las de� niciones de las funciones trigonométricas para el ángulo recto, para ángulos mayores que 90° y para ángulos negativos.

Nos preocuparemos de las funciones trigonomé-tricas del ángulo θ = AOB de la � gura. Como el radio del círculo es 1, entonces OA = OB = 1.

Para visualizar en el círculo unitario las funcio-nes trigonométricas, tracemos la perpendicular desde B al eje OA y denotemos por C al punto de intersección de tal perpendicular con el eje de las abscisas.

Para encontrar el seno y el coseno del ángulo θ analicemos el triángulo rectángulo OCB. Por de� nición:

El círculo unitario y las funciones trigonométricas

B

A

1

O

B

A C r

1

O B

AC

1

O

sen θ = BCOB

⇒ sen θ = BC1

∴ sen θ = BC

Es decir, el seno del ángulo θ es simplemente la ordenada del punto B (que es el punto de inter-sección de uno de los lados del ángulo que nos preocupa, con el círculo unitario).

Por otro lado:

cos θ = OCOB

⇒ cos θ = OC1

∴ cos θ = OC

Nuevamente es fácil darse cuenta de que el coseno del ángulo θ corresponde a la abscisa del punto B.

Funciones trigonométricasde ángulos mayores que 90°

Como originalmente la de� nición del seno y del co-seno de un ángulo se basaba en consideraciones hechas sobre un triángulo rectángulo, solamente nos habíamos preocupado de tales funciones para ángulos agudos.

Sin embargo, las identi� caciones que acabamos de hacer:

sen θ ↔ ordenada de B

cos θ ↔ abscisa de B

nos permite inmediatamente generalizar las de� niciones del seno y del coseno para ángulos mayores que 90°(equivalente a π

2 radianes).

Consideremos, por ejemplo, el ángulo θ de la � gura siguiente:

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Generalizando el análisis hecho anteriormente, de� nimos el seno del ángulo θ como la ordenada CB del punto B.Y lo mismo se aplica para los ángulos que se exhiben a continuación:

Observemos que en los dos casos anteriores el seno de los ángulos considerados es negativo.

Seno de 90°y sus múltiplosEl sen 90° (equivalente a (π)

2 radianes) no es más que un caso particular de lo que se ha visto hasta aquí. Como se puede ver en la � gura, la magnitud de la ordenada del punto B es 1, de modo que sen 90° = 1.

En la misma figura es posible apreciar que:

sen 180° = 0,

sen 270° = –1 y,

sen 360° = sen 0° = 0.

B

AC

1

O

B

AC

1

O

B

D

AC O

90º180º

270º


Calcula:

a) sen 120° b) sen 135° c) sen 240° d) sen 100° e) sen (–30°) f) sen (–120°)

Soluciones

a)

De la fi gura 1 y en virtud de la generalización de la defi nición de seno, sen 120° = CB. Dibujemos en la fi gura 2 el radio OD de modo tal que AOD = 60°.

B

A C

1

O

120ºB D

A C O E

120º60º

Figura 1 Figura 2

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En ese caso se tendrá que: ∆OBC ≅ ∆ODA, ya que:

OB = OD = 1 (radios del círculo unitario) COB = EOD = 60° (por construcción) OCB = OED = 90° (por construcción)

En consecuencia, CB = ED, es decir,

sen 120° = sen 60°

Pero, sen 60° = 3

2 ∴ sen 120° = 32

b) La misma argumentación que la usada en la parte a) es válida en este caso (ver la fi gura ad-junta), de modo que se puede afi rmar que:

sen 45° = 22 ∴ sen 135° = 2

2

c) Como se aprecia en la figura, en este caso el seno es negativo; pero, dado que ∆OBC ≅ ∆ODA, en valor absoluto, el seno de 240° es igual al seno de 60°.

Se cumple entonces que:

sen 240° = –sen 60°

∴ sen 240° = – 32

d) Aplicando los mismos argumentos que en los casos anteriores, es posible mostrar que: sen 100° = sen 80°.Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, se encuentra que:

sen 80° ≈ 0,985 ∴ sen 100° ≈ 0,985

Aunque en este caso, si se contemplaba la posibilidad de usar una calculadora, se podría haber calculado directamente sen 100°, obteniendo (como era de esperarse) el mismo resultado.

e) Consideramos que un ángulo es negativo cuando se mide en el sentido de movimiento de las manecillas de un reloj, es decir, en la dirección: De modo que es posible establecer que:

sen (–30°) = sen 330° = –sen 30° ∴ sen (–30°) = – 12

f) En la misma línea de razonamiento de la parte e), se puede deducir que:

sen (–120°) = –sen 60° ∴ sen (–120°) = – 32

B D

AC O E

135º45º

B

D

ACO E

60º240º

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Regla nemotécnicaPara las funciones trigonométricas de ángulos especiales:

Coseno de ángulos mayores que 90°En forma análoga, de� nimos el coseno de un ángulo θ con vértice en O y uno de cuyos lados coincide con el semieje positivo de OX, como la abscisa del punto en el cual el otro lado intersecta al círculo unitario.Así, por ejemplo, en el caso de la � gura adjunta, cos θ = OC < 0.

B

A

1

C O

90º180º

270º

Coseno de 90° y sus múltiplosEl cos 90° (equivalente a π

2 radianes) no es más que un caso particular de lo que se ha visto hasta aquí. Como se puede ver en la � gura, la magnitud de la abscisa del punto B es 0, de modo que cos 90° = 0.

En la misma � gura es posible apreciar que,cos 180° = –1, cos 270° = 0 y, que cos 360° = cos 0° = 1.

B

AC

1

O

0° 30° 45° 60° 90°

seno

coseno

02

12

22

32

42

42

32

22

12

02


Calcula:

a) cos 120° b) cos 135° c) cos 240° d) cos 100° e) cos (–30°) f) cos (–120°)

Soluciones

a)

De la fi gura 1 y en virtud de la defi nición generalizada de la función coseno, cos 120° = OC.

B

A

9

C

1

O

B D

A C O E

120º120º60º

Figura 1 Figura 2

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Dibujemos en la fi gura el radio OD de modo tal que AOD = 60°. En ese caso se tendrá (como ya habíamos visto en los ejercicios resueltos anteriormente) que: ∆OBC ≅ ∆ODE, de modo que OC = OE, es decir, el coseno de 120° es igual en magnitud al coseno E de 60°, solo que hay que tener presente que el coseno de ángulos en el segundo cuadrante es negativo. Por ello:

cos 120° = – cos 60°Pero,

cos 60° = 12 ∴ cos 120° = – 1

2

b) La misma argumentación que la usada en la parte a) es válida en este caso (ver la fi gura ad-junta), de modo que se puede afi rmar que:

cos 45° = 22

∴ cos 135° = – 22

c) Como se aprecia en la fi gura, en este caso el coseno de 240º es negativo; pero, dado que ∆OBC ≅ ∆ODE, en valor absoluto, el coseno de 240° es igual al coseno de 60°.

Se cumple entonces que:

cos 240° = –cos 60° ∴ cos 240° = – 12

d) Aplicando los mismos argumentos que en los casos anteriores, es posible mostrar que: cos 100° = –cos 80°.

Haciendo uso de una calculadora de bolsillo, se encuentra que:

cos 80° ≈ 0,174 ∴ cos 100° ≈ –0,174

En este caso, si se contemplaba la posibilidad de usar una calculadora, se podría haber cal-culado directamente cos 100°, obteniendo (como era de esperarse) el mismo resultado.

e) Como ya vimos anteriormente, consideramos que un ángulo es negativo cuando se mide en el sentido de movimiento de las manecillas de un reloj, es decir, en la dirección . De modo que es posible establecer que:

cos (–30°) = cos (330°) ∴ cos (–30°) = 32

f) En la misma línea de razonamiento de la parte e), se puede deducir que:

cos (–120°) = – cos (60°) ∴ cos (–120°) = – 12

B D

AC O E

135º45º

B

D

ACO E

60º240º

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Generalización de la definiciónde tangente de un ángulo

Para generalizar la de� nición de la tangente para cualquier ángulo, vamos a trazar en el círculo unitario una recta auxiliar, que sea tangente al círculo en el punto A, tal como está indicado en la � gura adjunta.Como sabemos, la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.La prolongación del lado OB del ángulo θ que es-tamos considerando, intersecta a la recta auxiliar en el punto D. Entonces, el triángulo OAD es rectángulo en A.Por de� nición:

tan θ = ADOA ⇒

tan θ = AD1

∴ tan θ = AD

B D

1

AO

De esta forma, podemos generalizar la de� nición de la tangente como la ordenada del punto D, que es el punto de intersección de uno de los lados del ángulo considerado, con la tangente al círculo unitario que es perpendicular al otro lado del ángulo.


Encuentra tan 120°.

Solución

Tracemos el ángulo auxiliar de 60° AOF. El lado OF intersecta a la tangente auxiliar en el punto G.

Es posible demostrar que:

∆OAD ≅ ∆OAG

Dado que:

• OA es lado común

• OAD = OAG = 90° (la recta DG es tangente a la circunferencia en A)

• DOA = GOA = 60° (por construcción)

En consecuencia, la magnitud de AD es igual a la magnitud de AG, pero hay que tener presente que la tangente de un ángulo del segundo cuadrante es negativa. Por lo tanto:

tan 120° = –tan 60° ∴ tan 120° = – 3

F

E C

B G

1

A

D

O

120º

60º

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Contrariamente a lo que sucede con la función seno y con la función coseno, cuyos valores están acotados entre –1 y 1, la tangente puede crecer sin límite.

Dado que la interpretación geométrica de la tangente como la ordenada del punto de in-tersección de uno de los lados del ángulo con la recta tangente al círculo unitario, que es perpendicular al otro lado, cuando se trata de calcular la tangente de 90°, uno de los lados del ángulo se torna paralelo a la recta tangente y, en consecuencia, no se intersectan.

Se dice entonces que tan 90° no está defi nida o que cuando θ → 90° (se lee “θ tiende a 90o”), por “abajo” (es decir, 89,9º; 89,99º…), entonces tan θ → ∞ y que cuando θ → 90º, por “arriba” (es decir, 90,1º; 90,01º; 90,001º…) entonces tan θ → –∞, como se podrá apreciar en el gráfi co de tan θ, más adelante en este capítulo. Algo similar sucede para todos los múltiplos impares de 90° (270°, 450°, etc.).

Advertencia

Si se consideran ángulos que varían entre 0° y 90°, puede verse en el diagrama que la tangente de dichos ángulos aumenta a medida que los ángulos crecen.

A

B

C

D

O

Dos ángulos α y β se dicen complementarios si:

α + β = 90°

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son entonces complementarios, es decir, si uno de ellos es α, el otro es 90 – α.

sen α = ac

; sen (90 – α) = bc

cos α = bc

; cos (90 – α) = ac

∴ sen α = cos (90 – α) cos α = sin (90 – α)

Funciones trigonométricas del complemento de un ángulo

C

90º

90º– A B

b a

c

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Ahora estamos en condiciones de tabular y gra-� car las funciones trigonométricas, dado que las hemos de� nido para todos los valores reales de x, con la salvedad de las advertencias ya mencio-nadas en el caso de la función tangente.

Notemos que también podemos apreciar aquí que la función sen x está acotada entre –1 y 1, es decir, –1 ≤ sen x ≤ 1, cualquiera que sea el valor de x. Para construir el grá� co en la región x 0, se hizo uso de la propiedad sen (–x) = sen x.

1 ≥ sen x ≥ 0 1 ≥ sen x ≥ 0 –1 ≤ sen x ≤ 0 –1 ≤ sen x ≤ 0

1º cuadrante

x(°) sen x

0 0,00

10 0,17

20 0,34

30 0,50

40 0,64

50 0,77

60 0,87

70 0,94

80 0,98

90 1,00

2º cuadrante

x(°) sen x

90 1,00

100 0,98

110 0,94

120 0,87

130 0,77

140 0,64

150 0,50

160 0,34

170 0,17

180 0,00

3º cuadrante

x(°) sen x

180 0,00

190 –0,17

200 –0,34

210 –0,50

220 –0,64

230 –0,77

240 –0,87

250 –0,94

260 –0,98

270 –1,00

4º cuadrante

x(°) sen x

270 –1,00

280 –0,98

290 –0,94

300 –0,87

310 –0,77

320 –0,64

330 –0,50

340 –0,34

350 –0,17

360 0,00

En el caso de sen x, con ayuda de una planilla de cálculo MS Excel y sus herramientas grá� cas, se ha tabulado y trazado la función en el intervalo 0 ≤ x ≤ 360°. Por simplicidad en la tabla se han redon-deado a las centésimas los valores de sen x.

-225-270-315-360 -135 -45-90 1359045 270225 3150,0

0,5

1,0

-1,0

ángulo x o

360180-180

-0,5

sen x

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1. Haciendo uso de una hoja de cálculo o de una calculadora científi ca, tabula y grafi ca cos x para 0 ≤ x ≤ 360°. Compara con el gráfi co de sen x.

2. En la fi gura siguiente se ha trazado el gráfi co de la función tangente. Observa y explica el comportamiento de la función cuando x asume los valores 90° y 270°.

0-270-360 -180 90 180-90 270 360

ángulo x o

–15,00

–10,00

–5,00

0,00

5,00

10,00

15,00tan x


1. Determina la ecuación de la recta del gráfi co siguiente y generaliza el resultado para un ángulo arbitrario.

O

P(x,y)

Y

X 40º

x

R

Q

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d

SoluciónSi consideramos el triángulo OPQ rectángulo en Q, en virtud de la defi nición de la función tangente, podemos decir que:

tan 40° = PQOQ =

yx ⇒ y = (tan 40º) • x

∴ y ≈ 0,84 • x

(La tangente de un ángulo es, en general, un número irracional; en este caso se ha adoptado la aproximación tan 40° ≈ 0,84.)

GeneralizaciónDe acuerdo a lo aprendido en la primera parte de este ejercicio, la ecuación general de una recta que pasa por el origen O del sistema de coordenadas y que forma un ángulo con el semieje positivo de las abscisas estará dada por la expresión:

y = (tan θ) • x

Si se trata de una recta que intersecta al eje OY en el punto (0, n), su ecuación será:

y = (tan θ) • x + n

2. Calcula la altura H de una torre si se conoce la distancia D entre la torre y el punto de observación y el ángulo de elevación β del extremo superior. Aplica al caso D = 50 m y β = 30°.

SoluciónPor defi nición de la función tangente:

tan β = HD ⇒ H = D • tan β

Aplicación

H = D • tan β = 50 • tan 30° (m) = 50 • 33 (m)

∴ H ≈ 28,9 (m)

3. Determina la altura H de una antena de tele-comunicaciones situada al medio de un bosque de difícil acceso, si se conocen los ángulos de elevación β1 y β2 del extremo superior observado desde dos puntos O1 y O2 que distan d entre ellos. (Observa que es complicado medir la distancia D entre el observador y la antena, debido al impedi-mento que representa el bosque.)

HD = tan β1 ⇒ D = H

tan β1

HD + d = tan β2 ⇒ D + d = H

tan β2

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Restando miembro a miembro la primera ecuación de la segunda, se obtiene.

d = Htan β2

– Htan β1

= H [ 1tan β2

– 1tan β1

] = H [ tan β1 – tan β2

tan β1 • tan β2

] ∴ H = [ tan β1 • tan β2

tan β1 – tan β2

] dAplicaciónCaso a

β1 = 60° , β2 = 50° , d = 15 m

H = [ tan β1 • tan β2

tan β1 – tan β2

] • d = [ tan 60º • tan 50ºtan 60º – tan 50º ] • 15 m ⇒

H = [ 1,7 • 1,21,7 – 1,2 ] • 15 m = [ 2,04

0,5 ] • 15 m ≈ 4,08 • 15 m ⇒ H ≈ 61 m

Si usamos, en cambio, dos cifras decimales para el valor de las tangentes:

H = [ 1,73 • 1,191,73 – 1,19 ] • 15 m = [ 2,06

0,54 ] • 15 m ≈ 3,81 • 15 m ∴ H ≈ 57 m

Notemos que al comparar ambos resultados, el más exacto es aproximadamente 7% menor que el que calculamos primero.

Caso b

β1 = 60° , β2 = 58° , d = 15 m

H = [ tan β1 • tan β2

tan β1 – tan β2

] • d = [ tan 60º • tan 58ºtan 60º – tan 58º ] • 15 m ⇒

H = [ 1,7 • 1,61,7 – 1,6 ] • 15 m = [ 2,72

0,1 ] • 15 m ≈ 27,2 • 15 m ⇒ H ≈ 408 m

Si, en cambio, usamos los valores de las tangentes de los ángulos dados con dos cifras decimales:

H = [ 1,73 • 1,601,73 – 1,60 ] • 15 m = [ 2,77

0,13 ] • 15 m ≈ 21,3 • 15 m ∴ H ≈ 319 m

En este caso el resultado, que es más preciso que el anterior, es aproximadamente un 28% menor que aquel.Tal diferencia proviene del hecho que β1 y β2 son bastante cercanos entre sí, por lo que tan β1 es bastante cercana a tan β2 o, puesto de otra manera, el denominador en la expresión es bastante pequeño comparado con el numerador.Notemos que el numerador varía entre el primer y el segundo cálculo desde 2,72 a 2,77 (es decir, aumenta un 1,8%) aproximadamente, mientras que el denominador aumenta desde 0,1 a 0,13, es decir, varía un 30%.Utilicemos ahora los valores de las tangentes de los ángulos considerados con tres cifras decimales:

H = [ 1,732 • 1,6001,732 – 1,600 ] • 15 m = [ 2,7712

0,132 ] • 15 m ≈ 20,994 • 15 m ∴ H ≈ 315 m

Lo que produce un resultado bastante similar al anterior.

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Encuentro en el espacio marítimo

Dos jóvenes que gustan del buceo practican cómo encontrarse en un punto del suelo marino a partir de diferentes posiciones en que se hallan en un determi-nado momento en el mar. ¿Cuáles son las trayectorias que debe seguir cada uno, de modo que la distancia recorrida sea la misma para ambos?

JuanMariela

Base marinaLugar de encuentro

xm

αj

αm

Nivel del agua

Llamemos hj y hm a las alturas que Juan y Mariela es-tán sobre el nivel del piso marino (que en esa zona es plano) y la distancia inicial entre ellos es d. Aplicando Pitágoras, tenemos que la distancia proyectada en el fondo marino es c:

d2 = c2 + (hj – hm)2

de donde:

c = d2 – (hj –hm)2

La distancia a recorrer por Juan está dada por:

x j2 = h j

2 + c j2

Y para Mariela:

xm2 = hm

2 + cm2

Siendo:

c = cj + cm

Si queremos que cada uno de ellos nade la misma longitud, entonces xj = xm

Despejando se tiene:

cj = c2 + hm

2 – hj2

2c

cm = c

2 + hj2 – hm

2

2c

¿En que direcciones deben nadar Juan y Mariela? Calculemos los ángulos respectivos.

El ángulo αm (entre xm y hm) está dado por la razón trigonométrica tangente:

tan αm= cm

hm

∴ αm = arctan ( cm

hm

)

En forma similar para Juan:

tan αj = c1

h1

∴ αj = arctan ( c1

h1

)

Abastecimiento en zona de catástrofe

Ha ocurrido un terremoto que ha devastado una amplia zona del territorio. Los caminos y carreteras de acceso a varios pueblos están destruidos. Por ello, el abastecimiento de víveres, medicinas y otros medios de subsistencia se pueden efectuar solo por vía aérea. Un avión debe abastecer a tres pueblos A, B y C, y tiene sufi ciente autonomía como para hacerlo en un solo vuelo. No obstante, debe hacerlo en el menor tiempo posible para volver al aeropuerto, volver a cargar y reiniciar su proceso de abastecimiento.

¿Cuál es la trayectoria que minimiza el tiempo de vuelo (suponiendo que siempre se desplaza a la misma velocidad)? Para ello bastará comparar las distancias recorridas en diferentes vuelos.

d

cmcj

hj

xj hm

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Entonces, aplicando las razones trigonométricas:

y = dA cosα x = dB – y = dB – dA cosα z = dA senα

Aplicando Pitágoras:

d2AB = z2 + x2 = (dA senα)2 + (dB – dA cosα)2

d2AB = d2

A sen2 α + d2B – 2dAdB cos α + d2

A cos2α

d2AB = d2

A (sen2 α + cos2 α) + d2B – 2 dAdB cos α

Las distancias desde el aeropuerto a los pueblos, A, B y C son dA, dB y dC respectivamente. Las secuencias de trayectos posibles son seis, pero sus distancias son iguales de a pares, por lo que solo resultan tres trayectorias con distancias diferentes.

I: A B C d1 = dA + dAB + dBC + dC

II: A C B d2 = dA + dAC + dBC + dB

III: B A C d3 = dB + dAB + dAC + dC

IV: B C A d4 = dB + dBC + dAC + dA = d2

V: C A B d5 = dC + dAC + dAB + dB = d3

VI: C B A d6 = dC + dBC + dAB + dA = d1

Calculemos la distancia dAB a partir de las distancias dA y dB y del ángulo α entre ellos. Representemos en el triángulo siguiente:

Ya que cos2α + sen2α = 1

se tiene: d2

AB = d2A + d2

B – 2dAdB cos

dAB = d2A + d2

B – 2dBdC cosα

De la misma forma:

dBC = d2B + d2

C – 2dBdC cosβ

dAC = d2A+d2

C–2dAdCcos(α+β)

Las distancias de los pueblos A, B, C al aeropuerto son:

dA= 60 km, dB = 45 km, dC = 90 km, Además,

α = 30º,β = 15º

Entonces las distancias (medidas en km.) entre pueblos son:

dAB = 602 + 452 – 2 • 60 • 45 cos 30º =

5 625 – 5 400 • 0,866 = 948,6 = 30,8

dBC = 452 + 902 – 2 • 45 • 90 cos15º =

10 125 – 8 100 • 0,966 = 2 300,4 = 48,0

dAC = 602 + 902 – 2 • 60 • 90 cos (30º+15º) =

11 700 – 10 800 • 0,707 = 4 064,4 = 63,8

Finalmente, las distancias en km a recorrer en cada trayectoria son:

d1= dA+dAB+dBC+dC = 60+30,8+48,0+90 = 228,8 km

d2= dA+dAC+dBC+dB= 60+63,8+48,0+45 = 216,8 km

d3= dB+dAB+dAC+dC =45+30,8+63,8+90 = 229,6 km

Entonces d3 > d1 > d2

Compara esta estrategia de viaje con otra; por ejem-plo: que el avión abastezca solo a un pueblo a la vez.

dAB = d 2A + d 2

C - 2 d A d C

Pueblo B

Pueblo C

Pueblo A

α β

dA

dC

dB

P B

dAB

α

dA

A

x

z

y

dB

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E j e r c i c i o p r o p u e s t oEn el ejercicio resuelto 3 en la página 171, determi-na la distancia D entre la torre y el observador.

1.a) Calcula el área de un triángulo isósceles, si se conocen la base c y el ángulo del vértice γ.

b) Aplica el resultado encontrado en la parte a) si γ = 45° y c = 4 cm.

SoluciónEl área S del triángulo es: S = 1

2 c • h

Pero h no lo conocemos y debemos determinarlo en términos de los datos c y γ.

Observemos el triángulo AMC.

Por defi nición:

tan γ2

= AMCM

es decir tan γ2

= h

c2 ⇒ h =

c2

tan γ2

= c

2 • tan γ2

De modo queS = 1

2 c • c

2 • tan γ2

∴ S = c2

4 • tan γ2

AplicaciónEn este caso: γ = 45°

c = 4 cm

S = c2

4 • tan γ2

= 42cm2

4 • tan 45º2

≈ 40,4142

cm2

∴ S ≈ 9,7 cm2

Se usó el resultado tan 22,5° ≈ 0,4142 obtenido con una calculadora de bolsillo.

A c

h

MB

C

2

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Calcula, haciendo uso de un programa de mani-pulación algebraica, el área del triángulo escaleno de la fi gura, considerando que las longitudes de los lados se miden en cm.


Existen varias maneras de defi nir un triángulo, dependiendo de los datos con los cuales se cuenta. Una de ellas, que conviene en el caso que estamos analizando, es determinar en un sistema de coordenadas las ecuaciones de las rectas que lo describen.

Método 1Si escogemos un sistema de coordenadas como el de la fi gura, en que el vértice A se ha elegido como origen del sistema y el eje de las abscisas, de modo que el lado AB descanse sobre él, entonces el triángulo ABC queda descrito por tres rectas L1, L2 y L3, caracterizadas como se indica:

• L1 es el eje de las abscisas, cuya ecuación es y = 0.

• L2 es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es tan 30°, de modo que su ecuación es y = tan ( 30π

180 ) x (se ha tenido cuidado de expresar los 30° en radianes que es la unidad que acepta Maple®, para lo cual basta multiplicar el ángulo en cuestión por π y dividirlo por 180°).

• L3 es una recta, cuya inclinación con respecto al eje de las abscisas es de 110° (= su-plemento de 70°) y que pasa por B, cuyas coordenadas son y = 0, x = AB (por determinar en función de los datos). La ecuación de L3 está dada por:

y = –(tan 70°) • x + 10 • (tan 70°) • (cos 30°) + 10 • sen 30°

Para efectos de no distraernos de nuestro propósito, el cálculo que conduce al resultado anterior se ha trasladado al fi nal de este ejercicio.

En la pantalla de la página siguiente están defi nidas las tres rectas que defi nen el triángulo que nos interesa. La sintaxis es:

• line: indica que se trata de una recta.

• Dentro del paréntesis aparece el nombre que se le ha dado a la recta L1, en el primer caso.

30ºA

10

B

C

70º

30ºA

10

B

L3 L2

L1

C

70º

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• Separada por una coma se coloca la ecuación de la recta.

• Finalmente, después de una coma y entre paréntesis de corchete se defi ne el nombre de los ejes coordenados.

• El signo ; seguido de Enter, le indica al programa que escriba la instrucción en lenguaje algebraico.

Una vez que se han defi nido las rectas que determinan al triángulo, se defi ne el triángulo mismo, asignándole un nombre (T5 en este caso) y especifi cando, dentro de paréntesis de corchete, los nombres de las rectas que lo limitan separadas por comas.La instrucción draw(T5); produce el trazado del triángulo que hemos defi nido.

En la pantalla siguiente, hemos dado la instrucción area (T5); que entrega el resultado del área (en este caso en cm2, ya que las longitudes de los lados estaban dadas en cm). Notemos que Maple® entrega un resultado “algebraico”, en el sentido de que es una expresión exacta en la que no se han evaluado las funciones trigonométricas involucra-das. Para obtener un número, escribimos la instrucción evalf (%); que evalúa la última expresión aparecida en pantalla. El área resulta ser aproximadamente 26,2 cm2.

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Método 2Como lo que nos interesa es calcular el área del triángulo dado, no tiene relevancia su orientación en el espacio y, como veremos, existe una elección de los ejes coordenados que facilita la introducción de los datos en el programa.

En este caso hemos defi nido tres rectas K, L y M que defi nen el triángulo T 7 (geométri-camente idéntico al anterior), en donde hemos elegido situar el vértice B en el origen de coordenadas y el lado AB sobre el eje OY. De esa forma, uno de los otros dos lados es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente conocemos, y del tercer lado también conocemos su pendiente y su intersección con el eje OY.

Como era de suponer, el resultado obtenido para el área del triángulo coincide con el obtenido con el primer método.

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Determinación de la ecuación de la recta L3:

AB = AM + MB

AMAC

= cos 30° ∴ AM = AC • cos 30º = 10 • cos 30°

CMMB

= tan 70° ⇒ MB

AC = sen 30º

tan 70º ∴ MB = AC • sen 30º

tan 70º = 10 • sen 30º

tan 70º CM

AC = sen 30°

La ecuación de L3 es de la forma:

y = mx + n

Donde m es la pendiente de L3 y, por lo tanto:

m = tan 110° = –tan 70°

Para calcular n, imponemos que y = 0, de manera que x = AB.

0 = m • AB + n ⇒ n = –m • AB

⇒ y = mx – m • AB = mx – m • (AM + MB)

Reemplazando los valores de m, AM y MB obtenidos anteriormente:

y = –(tan 70°) • x + (tan 70°) • [ 10 • cos 30° + 10 • sen 30ºtan 70º ]

De donde:

y = –(tan 70°) • x + 10 • (tan 70°) • (cos 30°) + 10 • sin 30°

Que es la ecuación de la recta L3 que se había adelantado.

30ºA

y

10

B XM

L3

C

70º 110º

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Síntesisde la Unidad

Unidades de medida de ángulos

Equivalencias

1° = 60´ 1´ = 60´´ 1rad = ≈ 57,3º

Proporcionalidad entre el ángulo del centro y el arco subtendido

s = rθ (θ en radianes)

Las notables propiedades de los triángulos rectángulos

Ángulo completo

Grados sexagesimales 360

Radianes 2π

360º2π

Descripción

• Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos mide 90° (= π

2 ).• Catetos: lados perpendiculares entre sí.

• Hipotenusa: lado opuesto al ángulo recto.

Radianes

0

π6

Grados sexagesimales

0

30

45

60

90

120

180

270

360

Equivalencias entre grados y radianes para algunos valores de ángulos especiales


C Catetos

90º

A B

c2 c1

Hipotenusa h

s

rO

de la UnidadUnidades de medida de ángulos

Equivalencias

1° = 60´ 1´ = 60´´ 1rad = rad = rad ≈ 57,3º

Proporcionalidad entre el ángulo del centro y el arco subtendido

Las notables propiedades de los triángulos rectángulosLas notables propiedades de los triángulos rectángulos

Ángulo completo Ángulo completo

Grados sexagesimales 360 Grados sexagesimales 360

Radianes 2 Radianes 2π

= 360º = 360º = 2π

Grados sexagesimales

0

30

45

60

90

120

180

Equivalencias entre grados y radianes para algunos valores de ángulos especiales

π4π3π2π3

π3 π2

2π

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Propiedades• α+ β = 90º

• Área A: A = 12

c1 • c2

• Teorema de Pitágoras: c12 + c2

2 = h2

• Cualquier ángulo inscrito en una semicircunfe-rencia es recto, de modo que el triángulo de� nido por el ángulo recto y el diámetro que suscribe es un triángulo rectángulo.

Defi niciónDos triángulos ABC y A’B’C’ se dicen semejantes (∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’ ) si tienen sus ángulos corres-pondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

• Recíprocamente, al inscribir un triángulo rectán-gulo en una circunferencia, el diámetro subtendido por el ángulo recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Semejanza de triángulos

Teorema AA (Ángulo-Ángulo)Dos triángulos que tienen dos de sus ángulos correspondientes iguales son semejantes.

Teorema LLL (Lado-Lado-Lado)Dos triángulos que tienen los tres lados corres-pondientes proporcionales son semejantes.

Teoremas de semejanzaTeorema LAL (Lado-Ángulo-Lado)Dos triángulos que tienen un ángulo correspon-diente igual, y los lados del ángulo son correspon-dientemente proporcionales, son semejantes.

C

A B

b a

c

C’

’’

’

A’ B’

b’ a’

c’

1) { α = α’

β = β’γ = γ’

2) = = aa’

bb’

cc’

A

C

C’

B O

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Funciones trigonométricas de un ángulo

Teoremas de EuclidesC

D A B

h

q p

b a= ∴ h2 = p • q qh

hp

= ∴ b2 = p • c bc

pb

= ∴ a2 = q • c ac

qa

Triángulos rectángulos y trigonometría

sen θ =co

h

Seno Coseno Tangente

cos θ =cA

htan θ =

co

cA

Propiedades de las funcionestrigonométricas

B

C A

D

1

O

El Círculo unitario

sen θ = BCcos θ = OCtan θ = AD

C

A B

Funciones trigonométricas delcomplemento de un ángulo

tan θ = sen θcos θ

sen2 θ + cos2 θ = 1

seno coseno

0°

30°

45°

60°

90°

0212223242

4232221202

Funciones trigonométricas de ciertos ángulos especiales

sen (90 – α) = cos α cos (90 – α) = sen α

Si ∆ABC rectángulo en C y h altura desde C, que determina p y q sobre la hipotenusa entonces:

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Medición de ángulos1. Expresa en grados, minutos y segundos:

a) 17,6° b) 35,7° c) 183,52° d) 22,222°

2. Transforma a grados, minutos y segundos los valores de los siguientes ángulos expresados en grados:

a) 22,6° b) 22,66° c) 22,6º d) 22,06º

3. Expresa en grados:

a) 38°42´ b) 192°24´ c) 25°9´26´´ d) 68°15´34,5´´

4. Escribe en radianes (con sus respectivas cifras decimales) los siguientes valores de ángulos dados en grados, minutos y segundos:

a) 33°33´33´´ b) 56°23´57´´ c) 98°55´29,12´´ d) 1°2´3´´

5. Si se defi ne que un ángulo recto tiene 100 grados centesimales, ¿cuál es la equivalencia entre grados centesimales y grados sexagesimales?

6. Calcula en grados, minutos y segundos el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2:30 horas.

7. ¿A qué hora entre la 1 y las 2, las manecillas del reloj forman un ángulo de 70°?

8. Calcula la distancia a la que se encuentra el horizonte para un observador a 15 metros de altura.

9. Verifi ca que los números 7, 24 y 25 constituyen un trío pitagórico y muestra que pertenecen a la misma familia que el trío 48, 14 y 50.

10. En un triángulo rectángulo dos de sus lados miden 5 cm y 12 cm respec-tivamente. Encuentra las medidas posibles del tercer lado.

11. Las dimensiones interiores de un baúl con forma de paralelepípedo recto rectangular son 1 m ; 0,7 m y 0,5 m. Calcula la máxima longitud que puede tener un paraguas, de modo que quepa dentro de él.

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12. El polígono ABCDEFGH es un octágono regular de lado 5 cm. Calcula la longitud de las diagonales AC, AD y AE.

13. Construye trazos de 6 cm y 7 cm de longitud.

14. Un triángulo tiene lados, cuyas magnitudes en centímetros son 20, 21 y 29. Encuentra la magnitud de la altura perpendicular al lado mayor.

Trigonometría1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 cm y sen α = 1

5 . Encuentra la medida de los catetos a y b (α es el ángulo opuesto al cateto a).

2. En un triángulo rectángulo β = 44°20´ y el lado opuesto b = 7,2 cm. Encuen-tra a y c.

3. Uno de los extremos de una escalera de 3 m de longitud está apoyado sobre el piso y el otro a 2 m de altura sobre un muro perpendicular a él. En-cuentra el ángulo de inclinación de la escalera y la distancia entre el muro y el extremo inferior de ella.

4. En un triángulo rectángulo b = 15 cm y cos β = 13 . Determina a y c.

5. En un triángulo rectángulo b = 6,4 cm y c = 7,8 cm. Determina a y cos α.

6. En un triángulo rectángulo α = 33,2º y c = 12,75 cm. Determina a y b.

7. Un automóvil sube por un camino cordillerano que tiene una inclinación de 5°. ¿Cuántos metros debe recorrer por el camino para que la altura del auto haya aumentado 10 m?

8. Si cos α = 0,8 a) Evalúa sen α. b) ¿Cuál es la medida de α?

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9. Si sen α = 0,8 a) Evalúa cos α. b) ¿Cuál es la medida de α?

10. Determina la ecuación de una recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 30º con la horizontal.

11. Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 30° con la horizontal, la sombra de un joven erguido mide 3 m. ¿Cuál es la altura del joven?

12. Calcula la altura de un pino, si la distancia entre la base del árbol y el punto de observación es 40 m y el ángulo de elevación β del extremo superior de la araucaria es 30°.

13. Calcula el área de un triángulo isósceles, si se sabe que la longitud de la base es 10 cm y el ángulo del vértice mide 30º.

14. Traza el gráfi co de f(x) = sen x + cos x para valores de x entre –180° y 180°.a) Estima el valor máximo que asume f(x).b) Estima el valor mínimo que asume f(x).c) ¿Para qué valores de x se alcanzan tales extremos?

Nota:Salvo que explícitamente se señale otra cosa, en esta Unidad se ha adoptado la convención de que en un triángulo rectángulo a, b y c son los catetos y la hipo-tenusa respectivamente, mientras que α y β son los ángulos opuestos a a y b como indica la fi gura.

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1. Un ciclista parte desde su casa y viaja 10 km en dirección hacia el norte. En seguida vira y recorre 7 km hacia el este. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?

2. Una persona se aleja de un poste de luz, cuyo foco está a 6 m de altura. Si la persona mide 2 m, calcula a qué distancia se encuentra del poste cuando su sombra tiene 5 m de longitud.

4. Un asta de bandera se asegura con dos vientos de cable diametralmente opuestos, cada uno de los cuales es 5 m más largo que el asta. La dis-tancia entre los puntos donde los cables están anclados al suelo es igual a la longitud de uno de los cables. Calcula la altura del asta.

Autoevaluación

3. Una varilla de bambú de 3 m de altura se quiebra de modo que su extremo superior queda tocando el suelo a 1 m de la base. Calcula la altura a la que se produjo el quiebre.

1m

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5. Un estanque tiene forma de cono invertido. Su diámetro es 1 m y su altura 1,25 m. El estanque, inicialmente vacío, está siendo llenado con agua. En cierto instante el agua ha alcanzado una altura de 35 cm. Determina en ese momento el radio de la parte superior del agua en el estanque.

6. Un astronauta determina con un altímetro que la montaña sobre la que está en el planeta desconocido sobre el cual se posó su nave tiene una altura de 6.000 m. Con un instrumento de precisión mide el ángulo al horizonte y encuentra que es 87º. ¿Cuál es el radio del planeta?

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87º

Montaña Horizonte

Radio

planeta

Línea de visión

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El estudio de lasProbabilidades

El estudio de lasProbabilidades4U n i d a d

En 1654, De Meré llamó la atención del � lósofo y matemático Blaise Pascal haciéndole notar esta aparente contradicción y otros problemas similares, lo que indujo a Pascal a establecer un intercambio epistolar sobre estos tópicos con su amigo Pierre de Fermat, sentándose de esta forma las bases de la teoría matemática de la probabilidad.

Antoine Gombaud, Caballero De Meré, un miembro de la nobleza francesa, apasionado por los juegos de azar y las apuestas, enfrentó una aparente contradicción relativa a un popu-lar juego de dados.El juego consistía en lanzar 24 veces un par de dados y el problema era decidir si apostar o no a la ocurrencia de un doble 6 en los 24 lanzamientos. Una regla supuestamente bien establecida del juego llevó a pensar a De Meré que era prove-choso apostar al doble 6; pero, sin embargo, sus propios cálculos y su experiencia en el juego indicaban justamente lo opuesto.

Desde los juegos de azar a la teoría matemática

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El estudio de lasProbabilidades4444U n i d a dU n i d a d

En 1654, De Meré llamó la atención del � lósofo En 1654, De Meré llamó la atención del � lósofo y matemático Blaise Pascal haciéndole notar esta aparente contradicción y otros problemas similares, lo que indujo a Pascal a establecer un intercambio epistolar sobre estos tópicos con su amigo Pierre de Fermat, sentándose de esta forma las bases de la teoría matemática de la probabilidad.

Antoine Gombaud, Caballero De Meré, un Antoine Gombaud, Caballero De Meré, un miembro de la nobleza francesa, apasionado por los juegos de azar y las apuestas, enfrentó una aparente contradicción relativa a un popu-lar juego de dados.El juego consistía en lanzar 24 veces un par de dados y el problema era decidir si apostar o no a la ocurrencia de un doble 6 en los 24 lanzamientos. Una regla supuestamente bien establecida del juego llevó a pensar a De Meré que era prove-choso apostar al doble 6; pero, sin embargo, sus propios cálculos y su experiencia en el juego indicaban justamente lo opuesto.

Desde los juegos de azar a la teoría matemática

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Nociones de probabilidad• La historia continúa• La probabilidad en la vida cotidiana• Azar• Experimento aleatorio• Espacio muestral• Frecuencia absoluta y frecuencia relativa• Equiprobabilidad • Sucesos de un experimento aleatorio

Probabilidades y probabilidades• Probabilidad clásica• Regla de Laplace• Probabilidad experimental• Ley de los grandes números• Simulación de experimentos aleatorios• Generación de números aleatorios• Probabilidad experimental y probabilidad teórica


• Reconocerás variables aleatorias y las podrás interpretar de acuerdo a los contextos en que se presentan.

• Conocerás la “Ley de los grandes números” y relacionarás la frecuencia relativa con la proba-bilidad de un suceso.

• Distinguirás entre sucesos equiprobables y no equiprobables.

• Resolverás problemas que requieran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas.

• Probabilidad subjetiva• Variable aleatoria• Información estadística y probabilidades• Probabilidad de sucesos compuestos• Relaciones entre sucesos• Probabilidad condicionada• Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo

Combinatoria básica• Permutaciones• Variaciones• Combinaciones


• Probabilidad experimental y probabilidad teórica


• Reconocerás variables aleatorias y las podrás interpretar de acuerdo a los contextos en que

• Conocerás la “Ley de los grandes números” y relacionarás la frecuencia relativa con la proba-

• Distinguirás entre sucesos equiprobables y no equiprobables.

• Resolverás problemas que requieran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas.

• Probabilidad subjetiva• Variable aleatoria• Información estadística y probabilidades• Probabilidad de sucesos compuestos• Relaciones entre sucesos• Probabilidad condicionada• Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo

Combinatoria básica• Permutaciones• Variaciones• Combinaciones

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Con anterioridad a los descubrimientos de Pas-cal y Fermat aludidos en la Introducción de esta Unidad, algunos problemas puntuales relativos a juegos de fortuna habían sido tratados y resueltos por matemáticos italianos durante los siglos XV y XVI, pero no se había desarrollado teoría general alguna.El cientí� co holandés Christian Huygens, un pro-fesor del célebre matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (quien junto con Sir Isaac Newton fue uno de los creadores del cálculo diferencial), tuvo conocimiento de la correspondencia y en 1657 publicó el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, que era un tratado de problemas asociados a juegos de apuestas.A partir de la formulación de la teoría de proba-bilidad realizada por Pascal y Fermat, muchos matemáticos se dedicaron a su estudio, dado que esta teoría requería de un marco teórico más adecuado para su desarrollo, el que más tarde se alcanza gracias a los avances logrados en otras áreas de la Matemática.Al construir este marco, se logra, entre otras cosas, liberar a la teoría de su mero papel de ins-trumento, convirtiéndola en una rama plenamente reconocida de la Matemática.Los mayores aportes al tema durante ese período fueron de Jakob Bernoulli (que en 1713 publicó la obra El Arte de la Conjetura, donde estudia la distribución binominal y su célebre teoría), y de Abraham De Moivre (en su obra La doctrina de las probabilidades aparecen las primeras indicaciones sobre la distribución normal de probabilidades).

La historia continúaEn 1812 Pierre de Laplace (1749-1827) publica su famosa Theorié Analytique des Probabilités, donde introduce una gran cantidad de nuevas ideas y técnicas matemáticas, y presenta numerosas apli-caciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones cientí� cas y prácticas. Como muchas otras ramas de la Matemática, el desarrollo de la teoría de probabilidades se vio estimulado por la variedad de sus aplicaciones, lo que, a su vez, provocó la extensión de sus cam-pos de aplicación, que recorren la estadística, la genética, la psicología, la economía, la ingeniería, la física subatómica, la mecánica estadística y la predicción del tiempo, por mencionar algunos.Muchos han contribuido al desarrollo de la disci-plina desde la época de Laplace y, entre los más destacados, podemos citar a Chebyshev, Markov, Von Mises y Kolmogorov.Una de las di� cultades para desarrollar una teoría matemática de la probabilidad reside en lograr una de� nición de probabilidad su� cientemente precisa para su uso en Matemática, pero que mantenga un grado de amplitud su� ciente como para ser aplicada a una vasta gama de fenómenos.La búsqueda de tal de� nición tomó alrededor de tres siglos, caracterizados por la controversia, que fue � nalmente resuelta en una monografía del matemático ruso Andrei Nicolaevich Kolmogorov, que en al año 1931 publica Fundamentación Axio-mática de la Teoría de Probabilidades. Desde entonces las ideas han sido re� nadas y la teoría de probabilidades es parte de una disciplina más amplia conocida como Teoría de la Medida.

Nociones deprobabilidad

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Con anterioridad a los descubrimientos de Pas-cal y Fermat aludidos en la Introducción de esta Unidad, algunos problemas puntuales relativos a juegos de fortuna habían sido tratados y resueltos por matemáticos italianos durante los siglos XV y XVI, pero no se había desarrollado teoría general alguna.El cientí� co holandés Christian Huygens, un pro-fesor del célebre matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (quien junto con Sir Isaac Newton fue uno de los creadores del cálculo diferencial), tuvo conocimiento de la correspondencia y en 1657 publicó el primer libro sobre probabilidad: publicó el primer libro sobre probabilidad: De De Ratiociniis in Ludo Aleae, que era un tratado de problemas asociados a juegos de apuestas.A partir de la formulación de la teoría de proba-bilidad realizada por Pascal y Fermat, muchos matemáticos se dedicaron a su estudio, dado que esta teoría requería de un marco teórico más adecuado para su desarrollo, el que más tarde se alcanza gracias a los avances logrados en otras áreas de la Matemática.Al construir este marco, se logra, entre otras cosas, liberar a la teoría de su mero papel de ins-trumento, convirtiéndola en una rama plenamente reconocida de la Matemática.Los mayores aportes al tema durante ese período fueron de Jakob Bernoulli (que en 1713 publicó la obra El Arte de la Conjetura, donde estudia la distribución binominal y su célebre teoría), y de Abraham De Moivre (en su obra La doctrina de las probabilidades aparecen las primeras indicaciones sobre la distribución normal de probabilidades).

La historia continúaEn 1812 Pierre de Laplace (1749-1827) publica su famosa introduce una gran cantidad de nuevas ideas y técnicas matemáticas, y presenta numerosas apli-caciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones cientí� cas y prácticas. Como muchas otras ramas de la Matemática, el desarrollo de la teoría de probabilidades se vio estimulado por la variedad de sus aplicaciones, lo que, a su vez, provocó la extensión de sus cam-pos de aplicación, que recorren la estadística, la genética, la psicología, la economía, la ingeniería, la física subatómica, la mecánica estadística y la la física subatómica, la mecánica estadística y la predicción del tiempo, por mencionar algunos.Muchos han contribuido al desarrollo de la disci-plina desde la época de Laplace y, entre los más destacados, podemos citar a Chebyshev, Markov, Von Mises y Kolmogorov.Una de las di� cultades para desarrollar una teoría matemática de la probabilidad reside en lograr una de� nición de probabilidad su� cientemente precisa para su uso en Matemática, pero que mantenga un grado de amplitud su� ciente como para ser aplicada a una vasta gama de fenómenos.La búsqueda de tal de� nición tomó alrededor de tres siglos, caracterizados por la controversia, que fue � nalmente resuelta en una monografía del matemático ruso Andrei Nicolaevich Kolmogorov, que en al año 1931 publica mática de la Teoría de ProbabilidadesDesde entonces las ideas han sido re� nadas y la teoría de probabilidades es parte de una disciplina más amplia conocida como Teoría de la Medida.


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Pierre Simón de Laplace“La teoría de las probabilidades, en el fondo, no es otra cosa que el buen sentido reducido al cálculo”.Laplace publicó en 1812 un gran tratado, titulado Théorie Analytique des Pro-babilités. Este tratado contiene una exposición completa y sistemática de la teoría matemática de los juegos de azar, además de una gran cantidad de aplicaciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones científi cas y prácticas.Laplace no se limita solo a estudiar problemas de probabilidades discontinuas que corresponden a juegos de azar, sino que también estudia problemas de probabilidades continuas.

Coloquialmente usamos la palabra azar y nos referimos con ello a acontecimientos fortuitos, imprevisibles, casuales; seguramente conoces los juegos de azar y sabes que más que una estra-tegia, lo que se necesita para ganar es “suerte”. La lotería, las ruletas, los juegos con naipes y lanzar los dados son algunos ejemplos de juegos de azar.

La probabilidad en la vida cotidianaUna actividad que los seres humanos realiza-mos cotidianamente es la toma de decisiones; tan frecuente es, que muchas veces ni siquiera nos percatamos de estar haciéndolo. A qué hora programar el reloj despertador; salir con o sin paraguas; qué carrera vamos a cursar; qué libros vamos a leer durante estas vacaciones, son algu-nos ejemplos de ello.Lo que sucede en el terreno personal y familiar también se proyecta, en otras dimensiones y con otra relevancia, al ámbito comunitario, regional, nacional, continental y planetario, donde muchas decisiones dependen de factores difíciles de pre-decir con precisión, y con frecuencia debemos buscar algún criterio para asignarle una probabi-lidad de que se veri� quen.

Contar con métodos y técnicas que permitan calcular la probabilidad de ocurrencia de ciertos fenómenos naturales (tales como la intensidad y duración de las lluvias, inundaciones, sequías, heladas, dirección y velocidad de los vientos, erupciones volcánicas y movimientos telúricos); biológicos (la extinción de ciertas especies o la e� cacia de una vacuna) y sociales (como las epidemias, los resultados de una elección presi-dencial o la tasa de crecimiento de la economía), cobra vital importancia en la toma de decisiones orientadas a salvaguardar la vida humana, pre-servar el medio ambiente o mejorar la calidad de vida de las personas.

AzarAzar viene del vocablo árabe zahr, que en cas-tellano decimos azahar, la aromática flor del naranjo, que se solía pintar en una de las caras de un dado.La palabra aleatorio, deriva del latín alea, juegos de azar, y la usaremos en este texto como sinó-nimo de azar.

Pierre Simón de Laplace“La teoría de las probabilidades, en el fondo, no es otra cosa que el buen sentido reducido al cálculo”.Laplace publicó en 1812 un gran tratado, titulado babilités. Este tratado contiene una exposición completa y sistemática de la teoría matemática de los juegos de azar, además de una gran cantidad de aplicaciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones científi cas


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1er lanzamiento 2do lanzamiento

Se denomina espacio muestral E al conjunto formado por todos los posibles re-sultados de un experimento aleatorio.En el caso del lanzamiento de una moneda el espacio muestral es E = {cara, sello}, mientras que cuando hacemos rodar un dado de seis caras es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Experimento aleatorioUn experimento aleatorio es aquel cuyo resulta-do, al ser repetido tantas veces como se desee en condiciones similares, no puede ser predicho con certeza. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda al aire, los resultados posibles son que la moneda caiga con la cara hacia arriba (resultado que llamamos cara) o con la cara hacia abajo (resultado que llamamos sello), pero no sabemos de antemano cuál de ellos va a salir.O bien, al hacer rodar un dado de seis caras

(identi� cadas por el número de puntos grabados en ellas), el resultado puede ser que cualesquiera de las caras quede apuntando hacia arriba, pero no se tiene certeza sobre cuál de ellas será.Un experimento no aleatorio podría ser el siguien-te: se deja caer una pequeña esfera de acero des-de una altura de 5 m sobre el suelo y con un cro-nómetro se mide el tiempo de caída. Si repetimos el experimento 10 veces en condiciones similares, el tiempo de caída siempre será 1,01 s. Es decir, el resultado del experimento es predecible.

Espacio muestral

1. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres veces una moneda al aire, y registrar cada vez el resultado obtenido. Encuentra el espacio muestral registrando los resultados posibles utilizando un diagrama del árbol.

SoluciónSi llamamos C a obtener cara y S a obtener sello tenemos:

3er lanzamiento

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Al observar el diagrama del árbol que hemos construido se puede deducir que el espacio muestral está defi nido por:

E = {(CCC), (CCS), (CSC), (CSS), (SCC), (SCS), (SSC), (SSS)}

2. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en extraer dos bolitas de una caja que contiene 4 bolitas verdes y 3 rojas. Encuentra el espacio muestral.

SoluciónPara registrar todos los resultados posibles utilizaremos la tabla siguiente:

Si llamamos V a “extraer una bolita verde” y R a “extraer una bolita roja”, el espacio muestral es:

E = {VV, VR, RV, RR}


Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

1. Sacar al azar una fi cha de una caja que contiene 9 fi chas numeradas del 1 al 9.

2. Hacer rodar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

3. Responder al azar dos preguntas, cuyas respuestas posibles son verdadero o falso.

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Registro de resultadosLos resultados de un experimento se pueden registrar y el experimento se puede repetir bajo las mismas condiciones todas las veces que se desee. Cuando el experimento aleatorio se repite muchas veces, el recuento y registro de los resultados suele hacerse en una tabla de frecuencias.La frecuencia absoluta de un resultado es el nú-mero de veces que ocurre ese resultado. La frecuencia relativa de un resultado es el co-ciente entre su frecuencia absoluta y el total de resultados observados.Por ejemplo, si se hace rodar 500 veces un dado y en 37 ocasiones se obtiene 4, entonces la fre-cuencia absoluta de 4 es f = 37 y la frecuencia relativa de 4 es:

fr = 37500

= 0,074

Como la frecuencia absoluta de un resultado solo puede ser menor o, a lo sumo, igual que el número de resultados observados, la frecuencia relativa es un número comprendido entre 0 y 1, es decir:

0 ≤ fr ≤ 1

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Usualmente, la frecuencia relativa también se pue-de expresar como frecuencia relativa porcentual, es decir, como porcentaje, de modo que en el ejemplo anterior

fr = 7,4%

Recuerda que el símbolo % (cuando está a con-

tinuación de un número, se lee por ciento) es una

forma abreviada de escribir 1100 , es decir,

1%= 1100

De manera que:

0,074 = 0,074 • 100100

= 0,074 • 100 • 1100 ⇒

0,074 = 7,4 %


En un curso universitario al que asisten 10 estudiantes, la primera evaluación arrojó las siguientes notas: 5 – 3 – 7 – 2 – 5 – 4 – 4 – 6 – 6 – 6.

a) Confecciona una tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántos estudiantes han obtenido una nota igual a 6?

c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de esa nota?

d) Expresa en porcentaje la frecuencia relativa encontrada en c).

e) Construye un gráfi co de barras, ubicando en el eje x las notas obtenidas por los(as) alumnos(as) y en el eje y los valores de la frecuencia relativa.

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Frecuencia Frecuencia Nota absoluta relativa

1 0

2 1

3 1

4 2

5 2

6 3

7 1

Total 10 1

010

110

110

210

210

310

110

b) Hemos destacado en la tabla la fi la correspondiente a la califi cación 6. En la segunda columna observamos el valor de la frecuencia absoluta, que nos indica que 3 estudiantes obtuvieron dicha nota. c) La tercera columna de la misma fi la nos enseña que la frecuencia relativa de la nota que estamos analizando es 3

10 = 0,3.

d) Para expresar la frecuencia relativa en porcentaje, procedemos como sigue:

0,3 = 0,3 • 100 • 1100 ⇒ 0,3 ∴ 30 %

e)

Soluciones

a)

0,0

0,1

0,2

0,3

Primera evaluación

Frec

uenc

ia re

lativ

a

Notas

y

x1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

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1. Lanza una moneda al aire 50 veces y completa la siguiente tabla de frecuencia:

2. Se reunieron 10 estudiantes y cada uno(a) hizo 50 lanzamientos de una moneda y el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno obtenía “cara”. La tabla resume los resultados obtenidos.

a) ¿Cómo se obtienen los valores de la tercera, cuarta y quinta columna?

b) ¿Cuántos lanzamientos se hicieron en total?

c) Explica a qué corresponde el valor 0,504 en la última línea.

d) Grafi ca la frecuencia relativa acumulada en función del número de lanzamientos acumulados.

e) Comenta la forma de la gráfi ca al unir los puntos obtenidos.

Alumnos(as) Frecuencia Frecuencia Nº de Frecuencia absoluta acumulada lanzamientos relativa de caras de caras acumulados acumulada de caras

A 31 31 50 0,620

B 24 55 100 0,550

C 30 85 150 0,567

D 22 107 200 0,535

E 20 127 250 0,508

F 28 155 300 0,517

G 30 185 350 0,529

H 26 211 400 0,528

I 20 231 450 0,513

J 21 252 500 0,504

Resultados Frecuencia Frecuencia posibles absoluta relativa

cara

sello

total

posibles absoluta relativa posibles absoluta relativa posibles absoluta relativa

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Tipo de Música Situaciones Estudio Descanso Compartir con amigos(as)

Rock 10 9 15Romántica 10 12 7Pop 12 8 4Otras 2 8 12Ninguna 6 3 2Total 40 40 40

A partir de esta tabla, las frecuencias relativas porcentuales resultantes son las siguientes:

Tipo de Música Situaciones

Estudio Descanso Compartir con amigos(as)

Rock 25,0% 22,5% 37,5%

Romántica 25,0% 30,0% 17,5%

Pop 30,0% 20,0% 10,0%

Otras 5,0% 20,0% 30,0%

Ninguna 15,0% 7,5% 5,0%

Total 100,0% 100,0% 100,0%

En la vida cotidiana nos enfrentamos a preguntas frecuentes sobre las prefe-rencias de las personas en todo tipo de actuaciones. La Matemática ayuda a en-tenderlas y a tomar buenas decisiones. Veamos un caso:

Motivados por el impacto de la Matemáti-ca en la vida de las personas, un grupo de

alumnos quiere estudiar las tendencias en los gustos musicales de los(as) jóve-nes. Para probar su método hicieron una encuesta en su curso (40 alumnos(as)). Preguntaron a sus compañeros(as) las preferencias de música para diferentes situaciones (estudio, descanso, compar-tir con amigos(as)). Los resultados que obtuvieron fueron los siguientes:

¿Cuáles son nuestras preferencias?

A partir de esta tabla, se puede concluir que:• La música preferida por los(as) es-tudiantes mientras comparten con los amigos(as) es el rock (37,5%).• Cuando descansan, la música prefe-rida es la romántica (30,0%).• Mientras estudian, los(as) estudiantes prefieren, en primer lugar, escuchar música pop (30,0%).

¿Es conveniente escuchar música mien-tras se estudia? Para que el aprendizaje sea efectivo, es conveniente que no exis-tan distracciones y que la persona se con-centre. Ciertos tipos de música distraen y otros crean condiciones favorables para el estudio. A través de Internet, busca infor-mación para resolver esta interrogante.

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¿Se pueden proyectar directamente estos resul-tados a otros cursos? No necesariamente, pues puede cambiar la composición de los grupos (sexo, edad y otros factores), lo cual in� uye en los gustos musicales.

Preferencias del deporteOrganiza un grupo de tres compañeros(as) para estudiar las tendencias del curso en sus prefe-rencias deportivas. Selecciona los siguientes de-portes: fútbol, básquetbol, ping pong. Considera las siguientes posibilidades de ámbitos donde practicar tales deportes: en el liceo como parte de las actividades deportivas, en los recreos, en los barrios donde viven los(as) estudiantes.

Cuando se realiza un experimento aleatorio es importante distinguir si los resultados son equi-probables o si no lo son. Si al realizar un experimento se veri� ca que las fre-cuencias relativas tienden a estabilizarse en valores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener, se puede concluir con cierto grado de certeza que los resultados son equiprobables.Es el caso de lanzar una moneda, hacer rodar un dado o dejar caer una bolita en una ruleta (dividida en partes iguales) que gira, en la medi-da que los objetos aludidos estén funcionando normalmente.

Equiprobabilidad

Formulen una encuesta con esas preguntas y ta-bulen los resultados para mujeres, para varones y para el total de los(as) estudiantes.

Analicen los siguientes temas:• ¿En qué ámbito los varones tienen más inclinación por el fútbol?• ¿En qué deporte las mujeres tienen más preferen-cias que los hombres y en qué ámbitos?• ¿Cuál es el deporte preferido por los varones en los recreos? ¿Y por las mujeres?• ¿Se pueden proyectar estos resultados a otros cursos? ¿A otras ciudades?

Por el contrario, si las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles tienden a estabi-lizarse en valores notoriamente diferentes entre ellas, se dirá que los resultados son no equipro-bables.Es el caso de un dado trucado (o cargado), una moneda defectuosa o una ruleta dividida en partes de diferentes áreas.

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Decide, en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, si los resultados son equiproba-bles:

1. Se extrae una bolita al azar de una bolsa que contiene 50 bolitas negras, 50 blancas y 50 grises todas del mismo tamaño e indistinguibles al tacto.

Solución

Al haber la misma cantidad de bolitas de cada color, y dada la imposibilidad de distinguirlas por medio del tacto, se puede confi rmar que los resultados son equiprobables, es decir, existe la misma probabilidad de sacar una bolita negra, blanca o gris.

2. En una bolsa hay 50 bolitas negras, 25 blancas y 10 grises de la cual se saca una bolita al azar.

Solución

Dada la distribución de bolitas dentro de la bolsa, existe mayor probabilidad de extraer una bolita del color más abundante. En este caso, es mayor la probabilidad de extraer una bolita negra que una gris, por lo que los resultados son no equiprobables.

3. Se selecciona al azar una carta de una baraja española, y se registra si la carta es numerada o es fi gura (sota, caballo o rey), sin importar la pinta.

SoluciónLa baraja española tiene 40 cartas: 10 de cada pinta (oro, espada, basto y copa) y cada pinta tiene 7 cartas numeradas (del 1 al 7) y 3 fi guras (sota, caballo y rey). En consecuencia, el total de cartas numeradas es 28 y las cartas con fi guras son 12.

De este modo, la probabilidad de seleccionar una carta numerada es mayor que la de obtener una fi gura.

Por lo tanto, los resultados de esta experiencia son no equiprobables.


Decide en qué caso(s) los resultados de cada experimento son equiprobables. Justifi ca tus respuestas.

1. Se elige un(a) estudiante al azar y se anota su sexo, en un colegio donde hay 750 estu-diantes matriculados, de los cuales 500 son del sexo femenino.

2. Se lanzan dos dados (no trucados) y se registra la suma que se obtiene al sumar sus puntos.

3. Se abre la guía telefónica residencial en una página al azar y se registra la letra inicial de los apellidos de las personas que aparecen en la página.

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Suceso elementalComo hemos dicho, el conjunto de todos los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio se denomina espacio muestral. Cada uno de estos resultados recibe el nombre de suceso elemental. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda normal al aire, el espacio muestral es E = {cara, sello}.

En el caso de hacer rodar un dado de seis caras, el espacio muestral es:E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sucesos de un experimento aleatorio

Cada uno de los seis resultados 1, 2, 3, 4, 5, 6 corresponde a un suceso elemental.

Suceso compuestoEn algunas ocasiones, el evento que interesa registrar no corresponde a uno de los resultados individuales, sino que es un conjunto de resultados del espacio muestral.

Por ejemplo, cuando al hacer rodar un dado lo que nos interesa conocer es la probabilidad de obtener un resultado menor que 3 (en otras pa-labras calcular la probabilidad de ocurrencia de 1 ó 2. Diremos que “obtener 1 ó 2” es un suceso compuesto.

Entonces, suceso de un experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Normalmente se designan con letras mayúsculas y sus elementos se encierran entre paréntesis de llaves, separados por comas.Ilustremos este punto con un ejemplo. Lanzamos un dado de seis caras y estamos interesados en el suceso “que salga un número par”.

Como ya sabemos, el espacio muestral en este caso es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el suceso “que salga un número par”, que denotamos por A, queda de� nido por A = {2, 4, 6}

En este ejemplo, el suceso A ocurre cada vez que el resultado del experimento sea 2, 4 ó 6.

Cada uno de los dos resultados cara y sello corresponde a un suceso elemental.

AdvertenciaHemos establecido una diferencia entre suceso y resultado. En el ejemplo anterior A = {2, 4, 6}. Si al lanzar el dado el resultado es 2, signifi ca que el suceso A ocurre, mientras que si al lanzar el dado el resultado es 3, signifi ca que el suceso A no ocurre.


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1. Un estudiante responde al azar a dos preguntas, cuyas alternativas de respuesta son verdadero o falso.a) Encuentra el espacio muestral.b) Escribe el suceso “responder verdadero a la primera pregunta”.

Solucionesa) Para facilitar el cálculo del espacio muestral construimos una tabla:

Entonces, el espacio muestral de este experimento es: E = {(V, V), (V, F), (F, V) (F, F)}

b) El suceso “responder verdadero a la primera pregunta” será el subconjunto B del es-pacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que la primera pregunta se responde como verdadero y en tal caso es: B = {(V,V) , (V, F)}.

2. Un turista recorre una ciudad doblando a la izquierda o doblando a la derecha al azar, cada dos esquinas. Después de completar cuatro virajes, se detiene a sacar fotografías.a) Escribe el espacio muestral de uno de estos episodios.b) Escribe el suceso “doblar a la izquierda solo en una oportunidad”.c) Escribe el suceso “doblar a la derecha al menos en 3 oportunidades”.

Soluciones

a) Llamando I al suceso elemental “doblar a la izquierda” y D al suceso elemental “doblar a la derecha”, el espacio muestral E queda defi nido por:

E = { (I, I, I, I), (I, I, I, D), (I, I, D, I), (I, D. I. I) (D, I, I, I), (I, I, D, D), (I, D, I, D), ( I, D, D, I) (D, I, I, D), (D, I, D, I), (D, D, I, I), ( I, D, D, D) (D, I, D, D), (D, D, I, D), (D, D, D, I), (D, D, D, D) }

b) El suceso C “doblar a la izquierda solo en una oportunidad” está descrito por:

C = { (D, D, D, I), (D, D, I, D), (D, I, D, D), (I, D, D, D) }

c) El suceso K, “doblar a la derecha al menos en 3 oportunidades” está dado por:

K = { (D, D, D, I), (D, D, I, D), (D, I, D, D), (I, D, D, D), (D, D, D, D) }

V F

V (V,V) (V,F)

F (F,V) (F,F)


Defi niciones

Suceso imposible: Es un suceso sin resultados, es decir, un evento con probabilidad de ocurrencia nula. Ejemplo: “Obtener 7” al hacer rodar un dado normal de seis caras. Suceso seguro: Es un suceso con probabilidad 1.Ejemplo: “Obtener cara o sello” al lanzar una moneda al aire. Suceso elemental: Hace referencia a cada uno de los resultados que conforman el espacio muestral.Ejemplo: “Obtener 3” al hacer rodar un dado de seis caras. Suceso compuesto: Es un subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos elementales.Ejemplo: “Obtener un número impar” al hacer girar la manecilla de una ruleta con números del 1 al 30.


1. En un experimento que consiste en hacer rodar dos dados de seis caras y registrar la suma de los puntos obtenidos se han defi nido los sucesos A, B, C, D y E. Escribe el con-junto de resultados que defi ne a cada uno de ellos y anota qué tipo de suceso se trata.

• A: “la suma es igual a 2”

• B: “la suma es igual a 1”

• C: “la suma es número primo”

• D: “la suma es un número entre 2 y 12”

• E: “la suma es menor o igual que 9”

2. Se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas con los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20.

Defi ne en este experimento un suceso:

a) seguro

b) imposible

c) elemental

d) compuesto

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Probabilidades yprobabilidades

Si un experimento aleatorio tiene un número � nito n de resultados y todos ellos son equiprobables, entonces:

• La probabilidad de ocurrencia de uno de tales resultados es: 1

n

• La probabilidad de ocurrencia P(A) de un suceso A que consta de k de dichos resultados es:

P(A) = kn

Dicho de otra forma, la Regla de Laplace de� ne la probabilidad P(A) de un suceso A como:

P(A) = Nº de casos favorablesNº de casos posibles

Probabilidad es un concepto que usamos colo-quialmente a diario en nuestras conversaciones para mostrar nuestra percepción acerca de la ocurrencia o no ocurrencia de algún evento. La predicción del tiempo, la anticipación del resultado de un partido de fútbol o de un juego al azar están asociados al concepto de probabilidad. Por otro lado, el uso formal de este concepto está muy extendido en la ciencia, por ejemplo, en Bio-logía, Ciencias Sociales e Ingeniería. El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.

En este capítulo mostraremos diferentes de� ni-ciones de probabilidad, que sin ser incompatibles entre ellas, sino más bien complementarias, en-cuentran sus espacios de aplicación en contextos también diferentes.Probabilidad teórica, probabilidad experimental y probabilidad subjetiva son tres interpretaciones y modalidades de evaluación de un mismo con-cepto, que debe tener la adaptabilidad su� ciente como para aplicarse en situaciones de muy di-versa índole.

Probabilidad clásicaLa probabilidad clásica se basa en la idea de que, bajo ciertas condiciones, es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado

resultado antes de realizar el experimento (a priori). La forma teórica de obtener una probabilidad se calcula aplicando la Regla de Laplace.

Regla de Laplace Para aplicar la Regla de Laplace, el experimento aleatorio debe cumplir algunas condiciones:

a) El número de resultados posibles (sucesos ele-mentales) tiene que ser � nito y debe ser conocido.

b) Todos los resultados (sucesos elementales) tie-nen que tener la misma probabilidad de ocurrencia (equiprobables).

Analicemos, desde el punto de vista del cálculo de probabilidades, algunos experimentos aleatorios.

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Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras numeradas del 1 al 8, se obtenga:a) el número 6 b) un número par

Solucionesa) Llamemos A al suceso “obtener el número 6”. El número de casos favorables es solo 1, puesto que el dado tiene una sola cara con 6 puntos.El número de casos posibles es 8, ya que se trata de un dado de 8 caras.Luego,

P (A) = Nº de casos favorablesNº de casos posibles

= 18

= 0,125 = 12,5%

b) Llamemos B al suceso “obtener un número par”, entonces se tiene:

N° de casos favorables = 4, porque el dado tiene cuatro números pares: 2, 4, 6 y 8 N° de casos posibles = 8, porque el dado tiene 8 caras

Por lo tanto, P (B) = Nº de casos favorables

Nº de casos posibles = 4

8 = 0,5 = 50%

Lanzamiento de un dadode seis caras

Los dados más tradicionales son cúbicos, por lo que tienen seis caras, y en cada una de ellas tiene puntos grabados que representan los números del 1 al 6.Cuando se lanza un dado, la probabilidad de que la cara “2”, quede apuntando hacia arriba una vez que el dado se detiene es, de acuerdo a la Regla de Laplace:

P = 16

El dado tiene solo una cara que representa al 2El lanzamiento de un dado tiene seis resultados posibles equipro-bables

Entonces, cuando un dado rueda, la probabilidad de obtener 2 es 1

6.

Lanzamiento de una moneda al aire

Una moneda tiene solo dos lados: cara y sello. La probabilidad de obtener una de ellas, digamos

“sello”, es:

→ La moneda tiene solo un lado selloP = 12

→ El lanzamiento de una moneda tiene dos

resultados posibles equiprobables.

Entonces, al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener sello es 1

2.

Jugar a la loteríaSe compra solo un número de la lotería y se sabe que el total de boletos impresos es 90.000, la probabilidad P de ganar el premio mayor, si hay solo uno es:

Se tiene solo un número de loteríaLa lotería tiene 90.000 núme-ros posibles equiprobables

190.000

P =

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1. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número “menor que 5”.

2. Si una bolsa contiene 5 bolitas azules y 3 rojas, indistinguibles al tacto, calcula la pro-babilidad de extraer una bolita roja.

3. Calcula la probabilidad de “sacar un as” al extraer una carta al azar de la baraja espa-ñola (40 cartas).

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado “salga un número primo”?

5. Calcula la probabilidad de comprar el único número ganador de una lotería, si se han impreso 30.000 boletos, cada uno con un número diferente a todo el resto.

6. Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan tres sellos.

¿Es siempre posible de� nir a priori el número de casos favorables en un experimento aleatorio?Consideremos el experimento aleatorio consisten-te en elegir al azar una ampolleta dentro de un lote de 2.000 ampolletas aparentemente idénticas. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “elegir una ampolleta defectuosa”?¿Es posible conocer el número de ampolletas de-fectuosas que hay entre las 2.000 sin probarlas?En este caso la regla de Laplace resulta inaplica-ble. No podemos asignar un valor a la probabilidad de elegir una ampolleta defectuosa sin efectuar el experimento, en contraste con los casos anterio-res en los cuales podíamos predecir la probabili-dad de ocurrencia de un suceso, en virtud de las simetrías del experimento.

Estudio de un dado trucadoComo ya se mencionó, según el enfoque clásico, para calcular la probabilidad de un suceso se necesitan dos requisitos:

a) Exhaustividad y b) Equiprobabilidad

El primero signi� ca que se deben conocer todos los resultados posibles del experimento aleatorio que se va a realizar y el segundo, que se debe es-

¿Cuál es la probabilidad de que salga la cara “5” al lanzar un dado cargado?Cuando el dado está cargado hace que, por ejemplo, el cinco tenga mayores probabilidades de salir que el tres, en cuyo caso no se cumple el requisito de equiprobabilidad y corresponde aplicar la noción de probabilidad experimental.

Probabilidad experimentaltar seguro de que todos esos resultados posibles (sucesos elementales) tienen la misma probabili-dad de ocurrencia. En un experimento aleatorio en el que no se cum-plen estas dos condiciones, resulta inaplicable la de� nición clásica de probabilidad.Un dado trucado de seis caras es uno que ha experimentado la alteración de una o varias de las simetrías propias de un cubo. Ello puede ocurrir al limar una de sus aristas o uno de sus vértices, o al contener en su interior un peso desequilibrante (como un trozo de plomo cercano a alguna de sus caras).

¿Cuál es la probabilidad de que salga la cara “5”

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La probabilidad experimental se evalúa realizando numerosas veces el expe-rimento en cuestión, registrando cada uno de sus resultados. La frecuencia relativa de cada resultado establece una forma de valorar la probabilidad de que ese resultado se veri� que, razón por la cual también se denomina proba-bilidad frecuencial.La probabilidad experimental se de� ne como el cociente entre el número de los casos favorables y el número de casos observados.

P(A) =

Nº de casos deocurrencia de ANº de resultados

observados

Sabemos que al lanzar un dado equilibrado la probabilidad teórica de obtener cualquiera de los seis resul-tados es 1

6 . Al comparar en la tabla el valor de la frecuencia absoluta de “5” con las frecuencias absolutas de las otras caras, es fácil darse cuenta de que el dado utilizado presentaba algún defecto, es decir, se trata de un dado trucado.

De acuerdo a la de� nición de proba-bilidad experimental, la probabilidad de ocurrencia de “obtener 5” está dada por:

P = Nº de veces que salió 5Nº de lanzamientos = 12

20

Vale la pena hacer a este punto tres comentarios:

a) Es imposible, en el caso de un dado trucado, calcular una pro-babilidad teórica, puesto que no contamos con elemento alguno que nos permita hacer alguna suposición

Para ilustrar la de� nición anterior, consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado 20 veces. Los resultados registrados fueron los siguientes:

120

320

220

120

120

Resultados 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta 1 3 2 1 12 1

Frecuencia relativa 1220

respecto de la frecuencia de ocurrencia de sus caras.

b) Si el experimento se hubiera realizado un número diferente de veces (por ejem-plo 10 veces o 55 veces) el valor de la probabilidad experimental seguramente habría sido diferente.

c) Como la suma de las probabilidades de ocurrencia de todos los sucesos posibles debe ser 1, si la probabilidad de un suceso elemental crece nota-blemente respecto a lo que sería si los resultados fueran equiprobables, lo hace en desmedro de las probabilidades de ocurrencia de los demás sucesos elementales. En el ejemplo anterior, la probabilidad de ocurrencia de la cara 5 resultó ser mucho mayor que 1

6 , es decir, mayor que la probabilidad que le correspondería, si el dado no estuviera trucado, mientras que la probabilidad de ocurrencia de las otras caras es menor que 1

6 .

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Se tiene una caja que contiene aproximadamente 8.000 bolitas rojas y azules, indistinguibles al tacto. Se saca una bolita al azar y se devuelve. Al realizar el experimento 100 veces, se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Calcula la probabilidad de:

a) extraer una bolita roja;

b) extraer una bolita azul.

Soluciones

a) N° de casos favorables = 21(porque en el experimento se extrajeron 21 bolitas rojas).

N° de casos observados = 100(porque el experimento se realizó 100 veces).

Si llamamos R al suceso “extraer una bolita roja” y P(R) a su probabilidad de ocurrencia se tendrá que:

P(R) = 21100

= 0,21 = 21%

b) N° de casos favorables = 79(porque se extrajeron 79 bolitas azules).

N° de casos observados = 100(porque el experimento se realizó 100 veces).

Si llamamos A al suceso “extraer una bolita azul” y P(A) a su probabilidad de ocurrencia se tendrá que:

P(A) = 79100 = 0,79 = 79%


1. Observa cada una de las cajas.

Determina en cuál de las cajas:

a) es equiprobable sacar una bolita azul o una roja.b) es más probable sacar una bolita roja que sacar una azul.c) es más probable sacar una bolita azul que sacar una roja.

2. La tabla muestra los resultados obtenidos al lanzar un dado 345 veces:

a) ¿Consideras estos resultados dentro de lo esperado? ¿O piensas que el dado tiene algún defecto?b) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado.c) Calcula la probabilidad de ocurrencia de cada resultado.

Resultados 1 2 3 4 5 6


A B C

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3. Calcula la probabilidad experimental en los siguientes experimentos aleatorios:

a) se lanzó una moneda al aire 100 veces y los resultados que se obtuvieron fueron 70 veces “cara” y 30 veces “sello”. Compara la frecuencia relativa de cada resultado con la probabilidad teórica.

b) al lanzar 240 veces un dado de ocho caras iguales (octaedro) numeradas de 1 al 8, los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Compara la frecuencia relativa con la probabilidad teórica.

Cara 1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuencia absoluta 29 28 31 30 33 32 30 27

Determinación de las probabilidades

Probabilidad de existencia de gustos

En el tema abordado en la página 197, pode-mos establecer las probabilidades de exis-tencia de ciertas preferencias personales. Por ejemplo:

• La probabilidad de que un(a) estudiante de ese curso escuche rock mientras estudia es de 25,0%

Resultados

Sucesos

Espacio muestral

ExperimentosFrecuencia

relativa Probabilidades

Ley de los grandes números

• La probabilidad de que un(a) estudiante es-cuche música romántica mientras descansa es 30,0%

• La probabilidad de que un(a) estudiante escuche música pop mientras comparte con sus amigos(a) es de 10,0%.

• La probabilidad de que un(a) estudiante escuche rock en diferentes situaciones está en el rango de 25,5% a 37,5%

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Probabilidades en la salud humana

En la vida de las personas ocurren muchas situaciones sobre su salud que son afectadas por las probabilidades de éxito de sus deci-siones. Estas decisiones tienen implicaciones vitales, éticas y económicas.

Consideremos el caso siguiente que ocurre con cierta frecuencia, debido al aumento de las enfermedades cardiovasculares.Una persona tiene una enfermedad grave al corazón. Las opciones de tratamiento son:

A. Usar medicamentos, lo que da una expec-tativa estimada de vida de 6 meses más para ese paciente.

B. Realizar un trasplante de corazón, operación que se estima tiene una probabilidad de éxito de 30% para ese paciente con los métodos vi-gentes, y con una expectativa de vida estimada en 10 años, si supera la operación.

Este caso plantea preguntas difíciles para el paciente, sus familiares y los médicos. No to-dos razonan de la misma forma. Por ejemplo, algunos pacientes pre� eren la opción A (trata-mientos con medicamentos), pues se aseguran de compartir con sus seres queridos, aunque sea por poco tiempo más (y no corren el ries-go de morir en la operación). Esta puede ser también la preferencia de algunos familiares. Otros pacientes, en cambio, pre� eren correr

Año Total días Días de producción Días de producción Frecuencia relativa por año normal suspendida porcentual de producción suspendida2001 365 360 5 1,37%2002 365 359 6 1,64%2003 365 361 4 1,10%2004 366* 358 8 2,19%2005 365 356 9 2,47%2006 365 329 6 1,64%2007 365 355 10 2,74%

* Año bisiesto

el riesgo de la operación y buscan superarla con éxito para disponer de una vida más larga y de mejor calidad.

En otra circunstancia, aquéllos que optaron por A pueden cambiar radicalmente su decisión, si la probabilidad de éxito de la operación de trasplante aumenta. Por ejemplo, si un nuevo método de operación se pone en práctica y hace posible subir la probabilidad de éxito al 90%, entonces la mayoría, o quizás todos, preferirán la opción B (el trasplante).

Este caso ilustra como las probabilidades per-cibidas de los sucesos afectan nuestras deci-siones con implicaciones de diversa índole.

Probabilidades en la producción regulada

Una empresa produce acero, el cual es amplia-mente usado en todo tipo de construcciones (casas, edi� cios, carreteras, represas, plantas industriales, etc.). El proceso productivo que utiliza la empresa, la fundición, emite gases al ambiente, algunos de cuyos componentes son contaminantes. Algunos días al año estos superan los umbrales establecidos en las nor-mas ambientales, por lo que la empresa debe suspender la producción cuando ello ocurre.

En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos para 7 años sucesivos.

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Del análisis de esta información se puede ob-tener lo siguiente:• la probabilidad de suspender la producción

se puede representar por la frecuencia re-lativa porcentual.

• la probabilidad de que la empresa no pro-duzca, debido a restricciones ambientales alcanzó su mayor valor en el año 2007

Del análisis de esta información se obtienen las siguientes frecuencias relativas porcentuales:

Estas frecuencias relativas se pueden inter-pretar como probabilidades de ocurrencia de ciertos sucesos. Por ejemplo, la probabi-lidad de ese equipo de ganar como local en el campeonato es de un 64,5%, pero de un 41,2% jugando de visita. ¿Se pueden proyec-

Partidos Total Local Visita

PJ: Jugados 3.417 17PG: Ganados 1.811 7PE: Empatados 95 4PP: Perdidos 71 6

Partidos Total Local Visita

PJ: Jugados 100% 100% 100%PG: Ganados 52,9% 64,7% 41,2%PE: Empatados 26,5% 29,4% 23,5%PP: Perdidos 20,6% 5,9% 35,3%

(2,74%) y su menor valor en el año 2003 (1,10%).

• ¿Qué pasaría si las condiciones empeoraran y el número de días con producción sus-pendida sube a 20 días?

• Analiza el impacto económico de la restric-ción de producción.

Probabilidad de ganar y perder en el deporte

Un equipo de fútbol obtuvo los siguientes resultados en el campeonato del año 2007:

tar estas probabilidades para el campeonato del año 2008? En general, no lo son, pues los equipos suelen cambiar algunos jugadores y, a veces, su director técnico entre un campeo-nato y otro, y ello altera las condiciones de la competencia.

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Simulación del lanzamiento de una moneda utilizando MS Excel ®Si multiplicamos ALEATORIO ( ) por 2, genera-remos un número (real) aleatorio mayor o igual a 0 y menor que 2. Es lo que aparece en la segunda columna de la tabla siguiente.La función ENTERO redondea un número hasta el entero inferior más próximo (por ejemplo, 1,85 lo redondea a 1).

Simulación del lanzamientode un dado de 6 caras

Para simular los resultados del experimento aleatorio de hacer rodar un dado, necesitamos producir al azar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6.La expresión ENTERO(ALEATORIO( )*6) permite generar al azar los seis números 0, 1, 2, 3, 4, 5, que es casi lo que queremos, pero no exactamente lo que nos habíamos propuesto. Introduciendo un pequeño cambio podemos lograr nuestro cometido, utilizando la expresión:

ENTERO(ALEATORIO( )*6 + 1)

Aleatorio() Aleatorio()*2 Entero(Aleatorio()*2)

0,37976602 0,75953204 0

0,64010917 1,28021834 1

0,72349601 1,44699201 1

0,66559645 1,3311929 1

0,03407457 0,06814915 0

0,8577115 1,715423 1

0,79594422 1,59188843 1

0,17947939 0,35895878 0

0,87839943 1,75679886 1

0,97211775 1,9442355 1

A continuación exhibimos una tabla que registra la simulación de 50 lanzamientos de un dado de seis caras realizada en Excel con la instrucción anterior.

3 1 3 6 6

5 5 5 3 1

6 5 6 4 4

4 5 3 4 3

2 1 2 5 2

2 6 5 1 1

4 6 6 2 1

5 2 2 5 2

3 3 5 4 4

2 3 2 5 6

Si tomamos la parte entera de ALEATORIO( )*2 es decir escribimos:

ENTERO (ALEATORIO( )*2)

obtendremos la parte entera de un número que es mayor o igual a 0 y menor que 2, es decir, los únicos resultados posibles son 0 y 1, que es lo que aparece en la tercera columna de la tabla.Simulación de 10 lanzamientos de una moneda:

Si adoptamos la convención que 0 signi� ca cara y 1 signi� ca sello, podemos simular con este mecanismo el lanzamiento de una moneda. Podemos copiar la fórmula tantas veces como estimemos conveniente, de modo de simular la repetición del experimento.

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PR

OB

AB

ILID

AD

ES

211


Probabilidad experimental y probabilidad teóricaGracias a la herramienta computacional que he-mos diseñado, estamos en condiciones de simular experimentos aleatorios para entender más nitida-mente los conceptos que hemos introducido.

A continuación analizaremos un experimento en el que es posible establecer la probabilidad teórica de ocurrencia de los resultados y la comparare-mos con la probabilidad experimental, calculada a partir de los resultados obtenidos al realizar numerosas veces el experimento.

Resultados equiprobablesEl experimento a analizar es el lanzamiento de una moneda, caso en el cual ya sabemos –sin necesi-dad de realizar el experimento– que la probabilidad teórica de obtener “cara” es 0,5, pero justamente lo que queremos ensayar es la bondad de la de� -

48 49 57 46 51 45 48 52 47 51

49 54 49 52 49 54 54 48 53 47

51 47 53 47 54 48 47 45 48 54

44 56 54 49 57 52 53 53 56 50

50 44 48 52 48 49 49 47 49 51

53 48 52 56 49 53 51 47 54 49

46 53 47 45 53 47 47 52 51 47

52 50 54 49 54 56 54 57 48 48

44 48 53 52 49 47 47 54 55 56

52 53 47 54 45 55 49 47 51 53

Notemos que solo tres celdas de la tabla an-terior registran exactamente 50 caras. Como cada celda representa 100 lanzamientos,

entonces solo en 300 de los 10.000 lanzamientos se obtuvo exactamente el valor de la probabilidad teórica (0,5).

nición de probabilidad experimental.¿Qué ocurriría en el caso de obtener “sello” en un experimento que se realiza solo una vez? En este caso, la probabilidad experimental de obtener “cara” es 0, puesto que no salió “cara” en oportunidad al-guna y en este caso la probabilidad experimental dista mucho de la probabilidad teórica.

Se trata de un caso extremo, que ilustra en forma muy burda, que pocos resultados experimenta-les son insu� cientes para tener una estimación con� able de la probabilidad de ocurrencia de un suceso.

La tabla muestra el registro de las veces que re-sultó “cara” en un total de 10.000 lanzamientos de la moneda haciendo uso del simulador. En cada celda se registra el número de veces que resultó “cara” por cada 100 lanzamientos:

UN

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D 4

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OB

AB

ILID

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212


Número de Frecuencia Frec. relativa Número de Frecuencia Frec. relativa Número de Frecuencia Frec. relativa lanzamientos acumulada acumulada lanzamientos acumulada acumulada lanzamientos acumulada acumulada

100 48 0,480 3.400 1.700 0,500 6.700 3.358 0,501

200 97 0,485 3.500 1.757 0,502 6.800 3.410 0,502

300 154 0,513 3.600 1.809 0,503 6.900 3.461 0,502

400 200 0,500 3.700 1.862 0,503 7.000 3.508 0,501

500 251 0,502 3.800 1.915 0,504 7.100 3.560 0,501

600 296 0,493 3.900 1.971 0,505 7.200 3.610 0,501

700 344 0,491 4.000 2.021 0,505 7.300 3.664 0,502

800 396 0,495 4.100 2.071 0,505 7.400 3.713 0,502

900 443 0,492 4.200 2.115 0,504 7.500 3.767 0,502

1.000 494 0,494 4.300 2.163 0,503 7.600 3.823 0,503

1.100 543 0,494 4.400 2.215 0,503 7.700 3.877 0,504

1.200 597 0,498 4.500 2.263 0,503 7.800 3.934 0,504

1.300 646 0,497 4.600 2.312 0,503 7.900 3.982 0,504

1.400 698 0,499 4.700 2.361 0,502 8.000 4.030 0,504

1.500 747 0,498 4.800 2.408 0,502 8.100 4.074 0,503

1.600 801 0,501 4.900 2.457 0,501 8.200 4.122 0,503

1.700 855 0,503 5.000 2.508 0,502 8.300 4.175 0,503

1.800 903 0,502 5.100 2.561 0,502 8.400 4.227 0,503

1.900 956 0,503 5.200 2.609 0,502 8.500 4.276 0,503

2.000 1.003 0,502 5.300 2.661 0,502 8.600 4.323 0,503

2.100 1.054 0,502 5.400 2.717 0,503 8.700 4.370 0,502

2.200 1.101 0,501 5.500 2.766 0,503 8.800 4.424 0,503

2.300 1.154 0,502 5.600 2.819 0,503 8.900 4.479 0,503

2.400 1.201 0,500 5.700 2.870 0,504 9.000 4.535 0,504

2.500 1.255 0,502 5.800 2.917 0,503 9.100 4.587 0,504

2.600 1.303 0,501 5.900 2.971 0,504 9.200 4.640 0,504

2.700 1.350 0,500 6.000 3.020 0,503 9.300 4.687 0,504

2.800 1.395 0,498 6.100 3.066 0,503 9.400 4.741 0,504

2.900 1.443 0,498 6.200 3.119 0,503 9.500 4.786 0,504

3.000 1.497 0,499 6.300 3.166 0,503 9.600 4.841 0,504

3.100 1.541 0,497 6.400 3.211 0,502 9.700 4.890 0,504

3.200 1.597 0,499 6.500 3.264 0,502 9.800 4.937 0,504

3.300 1.651 0,500 6.600 3.311 0,502 9.900 4.988 0,504

10.000 5.041 0,504

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Calculando la probabilidad P(C) de obtener “cara” a partir de los datos registrados tene-mos:

P = Nº de veces que sale caraNº de lanzamiento

= 5.04110.000

= 0,5041 = 50,41 %

El resultado así obtenido di� ere en un 0,82 % (¿cómo se obtiene este número?), es decir, en menos de un 1%, del resultado teórico, lo cual no debe sorprendernos, ya que se trata de la

0,475

0,470

y

x 100

1.10

0

2.10

0

Nº de lanzamientos

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

3.10

0

4.10

0

5.10

0

6.10

0

7.10

0

8.10

0

9.10

0

0,480

0,485

0,490

0,495

0,500

0,505

0,510

0,515

Los valores más alejados de 50 son 44 y 57, lo que indicaría una probabilidad del 44% y del 57% respectivamente de obtener “cara”.

A pesar de que estos valores di� eren de la pro-babilidad teórica (50%), vamos a procesar la información anterior con la ayuda de una planilla Excel, para mostrar cómo, en la medida que se consideran más y más resultados, los valores

de la probabilidad experimental se estabilizan, acercándose a los valores teóricos.

El grá� co obtenido a partir de la tabla anterior ilustra la frecuencia relativa acumulativa desde 100 hasta 9.100 lanzamientos y en él se aprecia la estabilización en un valor apenas por debajo de 0,505. La línea roja indica la probabilidad teórica (0,5).

simulación del lanzamiento de una moneda normal, experimento aleatorio con resultados (sucesos elementales) equiprobables.

Resultados no equiprobables¿Qué sucede cuando los resultados (sucesos elementales) son no equiprobables?

El siguiente ejercicio resuelto simula un ex-perimento aleatorio cuyos resultados no son equiprobables.

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214



Nº del grupo de 1 2 3 4 5 6

Total de 300 lanzamientos lanzamientos

1° 47 48 41 50 78 36 300

2° 37 48 52 44 82 37 300

3° 38 50 47 39 85 41 300

4° 45 44 42 49 78 42 300

5° 44 39 45 42 91 39 300

6° 48 39 49 39 81 44 300

7° 30 49 42 44 83 52 300

8° 42 46 39 44 86 43 300

9° 33 38 53 43 81 52 300

10° 41 46 45 41 81 46 300

11° 44 40 44 46 82 44 300

12° 40 35 37 42 95 51 300

13° 33 41 62 50 80 34 300

14° 31 44 42 39 98 46 300

15° 53 34 41 48 79 45 300

16° 34 38 44 45 94 45 300

17° 35 44 39 40 94 48 300

18° 42 49 48 34 85 42 300

19° 48 42 47 47 66 50 300

20° 42 41 46 39 88 44 300

Total 807 855 905 865 1687 881 6.000

13,45% 14,25% 15,08% 14,42% 28,12% 14,68%

Se ha simulado el experimento aleatorio de hacer rodar 6.000 veces un dado de seis caras y los resultados obtenidos se registran en la siguiente tabla resumen:

a) Interpreta la tabla.b) Determina si los resultados posibles (sucesos elementales) son equiprobables.c) Grafi ca para cada suceso elemental la frecuencia relativa acumulada. Discute tus resultados.

Solucionesa) Puesto que mostrar el resultado de todos los lanzamientos es poco práctico, los resultados se agrup-aron en grupos de 300 lanzamientos. La tabla entonces nos indica que en los primeros 300 lanzamientos (ver la primera fi la de la tabla) se obtuvo:• 47 veces 1 • 48 veces 2 • 41 veces 3 • 50 veces 4 • 78 veces 5 • 36 veces 6

Después de haber completado los 6.000 lanzamientos, se obtuvo (ver fi la total) 807 veces 1, lo que equivale a un 13,45% del total; se obtuvo 855 veces 2, lo que corresponde a un 14,25% de los 6.000 lanzamientos y así sucesivamente.

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Grupo Frecuencia Frecuencia absoluta N° de lanzamientos Frecuencia absoluta acumulada acumulados relativa acumulada

1° 47 47 300 15,67 %

2° 37 84 600 14,00 %

3° 38 122 900 13,56 %

4° 45 167 1.200 13,92 %

5° 44 211 1.500 14,07 %

6° 48 259 1.800 14,39 %

7° 30 289 2.100 13,76 %

8° 42 331 2.400 13,79 %

9° 33 364 2.700 13,48 %

10° 41 405 3.000 13,50 %

11° 44 449 3.300 13,61 %

12° 40 489 3.600 13,58 %

13° 33 522 3.900 13,38 %

14° 31 553 4.200 13,17 %

15° 53 606 4.500 13,47 %

16° 34 640 4.800 13,33 %

17° 35 675 5.100 13,24 %

18° 42 717 5.400 13,28 %

19° 48 765 5.700 13,42 %

20° 42 807 6.000 13,45 %

b) Al analizar la última fi la de la tabla se observa que las caras 1, 2, 3, 4 y 6 tienen un comportamiento bastante similar entre ellas, pero que difi eren de la cara 5, que aparece aproximadamente el doble de veces que cada una de las otras caras, lo que haría pensar que el dado está “cargado al 5”.

c) Elaboremos una tabla especial para la cara 1, de modo de observar cómo varía su frecuencia relativa de aparición a medida que se consideran más y más lanzamientos.

Una tabla análoga se puede elaborar para las demás caras. Para efectos de simplifi car, hemos grafi cado exclusivamente lo que sucede con las caras 1, 2 (comportamiento normal) y la cara 5 (comportamiento anómalo). El comportamiento de la frecuencia relativa acumulada para las caras 3, 4 y 6 es muy similar al de las caras 1 y 2.Vemos en el gráfi co de la página siguiente, que en los dos primeros casos (caras 1 y 2) hay una ten-dencia a estabilizar el valor de la frecuencia relativa en torno al 14 %, mientras que en el caso de la cara de comportamiento diferente (la cara 5), el valor de la frecuencia relativa se estabiliza alrededor del 28 % aproximadamente.

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10,0 %

300

600

900

1.200

1.500

1.800

2.100

2.700

3.300

2.400

3.000

3.600

3.900

4.500

4.800

5.100

5.400

5.700

6.000

4.200

12,0 %

16,0 %

20,0 %

22,0 %

24,0 %

26,0 %

28,0 %

30,0 % Cara 1

18,0 %

14,0 %

Cara 2 Cara 3

Frecuencia relativaacumulada

Número delanzamientos

La noción de probabilidad experimental o frecuen-cial es útil cuando el proceso en el cual estamos interesados puede repetirse muchas veces bajo condiciones similares, como en el caso del lan-zamiento de una moneda.

Pero en ocasiones queremos tratar con la proba-bilidad de ocurrencia de procesos que ocurren una única vez. Por ejemplo, uno podría estar in-teresado en la probabilidad de sacarse un 6 � nal (o más) en Biología.

Pero realmente el curso de Biología de tercero medio sólo lo vamos a cursar una vez. Incluso si por algún traspié se diera la posibilidad de cursarlo por segunda vez, las condiciones ya no serían las mismas que en la actualidad: porque cambió el(as) docente, o porque se va a usar otro texto, o bien porque las condiciones de trabajo pueden haber variado.

Este ejemplo, re� eja en toda su dimensión lo que la ley de los grandes números establece, en térmi-nos de que a medida que aumenta el número de veces que se repite un experimento, las frecuencias relativas de los resultados se irán estabilizando en algún valor.

Probabilidad subjetivaUn análisis similar se podría hacer en el caso de querer predecir el resultado de un partido de básquetbol entre dos equipos que se van a enfrentar sólo una vez durante la temporada que nos interesa.

¿Qué hacemos en estos casos para evaluar las probabilidades de ocurrencia de algún suceso?Normalmente lo que hacemos es asignarle a la ocurrencia del suceso un valor numérico que re� eja nuestra propia percepción, nuestra propia creencia respecto a la factibilidad del mismo. Por ejemplo, si me está yendo muy bien en Biología, probablemente estoy bastante seguro de alcanzar la meta y le asigno el valor 1 a la probabilidad de ocurrencia.

Por otra parte, si mi promedio actual en la disci-plina es muy bajo, consideraré que es imposible lograr alcanzar el 6 � nal, en cuyo caso le asignaré el valor 0 a la probabilidad de ocurrencia.

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Una variable aleatoria es una función que le asocia un valor numérico único a cada uno de los resul-tados del espacio muestral.

Típicamente usamos para designarlas, letras mayúsculas del � nal del alfabeto: X, Y, Z. El valor que asume la variable (que lo designamos gené-ricamente por las letras minúsculas respectivas x, y, z) variará de ensayo en ensayo cuando el experimento se repite.

Por ejemplo, si el experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados y registrar su suma, la variable aleatoria toma todos los valores enteros entre 2 y 12.

El resultado de un experimento aleatorio no es necesariamente un número, como puede ser el caso del lanzamiento de una moneda, cuyos resul-tados posibles son “cara” y “sello”. Sin embargo, en ocasiones estamos interesados en asignarle un valor numérico a dichos resultados. Mostraremos un poco más adelante en este texto cómo es posible diseñar mecanismos que permiten aso-ciar de un modo inequívoco un número real a los elementos no numéricos del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Variables continuas y discretasUna variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado se dice que es una variable continua.

El tiempo que tardo en ir de mi trabajo a mi casa es una variable continua. Puedo demorar 28 minutos, 32,5 minutos, etc.

Si estoy en una situación intermedia, entonces podría decir cosas tales como “tengo un 60% de probabilidades de terminar con un 6 o más en Biología”.

La probabilidad subjetiva, así como la hemos descrito, varía de persona en persona y por eso

acontece que un sujeto puede a� rmar –basada en su opinión– que el candidato A va a sacar un 65% de los votos en la próxima elección parlamenta-ria, mientras que otro puede decir (de acuerdo a su propio análisis) que el mismo candidato A no va a alcanzar ni siquiera el 30% en la misma votación.

Variable aleatoriaAquellas variables que solo pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado y no admiten valores intermedios, se denominan variables discretas.Por ejemplo, el número de estudiantes de un co-legio es una variable discreta. Puede haber 643 estudiantes o 328, pero no puede haber 722,3 estudiantes.

Variable aleatoria asociada a resultados no numéricos

Consideremos el experimento aleatorio que con-siste en lanzar tres monedas al aire. En tal caso el espacio muestral es:

E = {(CCC), (CCS), (CSC), (SCC), (CSS), (SCS), (SSC), (SSS)}

Vamos a de� nir la variable aleatoria X a través de la siguiente prescripción: a cada elemento del espacio muestral E le asignamos un número real tal que corresponde al número de caras, entonces se tiene:

Suceso x P(X = x)

(CCC) → 3

(CCS), (CSC), (SCC) → 2

(CSS), (SCS), (SSC) → 1

(SSS) → 0

18

38

38

18

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1. Indica la variable aleatoria en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) elegir al azar una semana y contabilizar los minutos de espera del microbús durante esa semana.

b) extraer al azar una carta de la baraja inglesa (52 cartas, 4 pintas) y registrar su valor.

c) registrar el color de ojos de las personas que entran a una farmacia durante una ma-ñana.

d) lanzar 100 veces una moneda al aire y registrar las veces que salió sello.

e) registrar en una tabla los milímetros de agua caída en tu ciudad durante los meses de invierno de los últimos 5 años.

2. Describe cuál es el experimento aleatorio que determina el valor de cada una de las siguientes variables aleatorias:

a) la suma de los puntos que muestran las caras de tres dados (de seis caras) que se lanzan al azar.

b) el número de patentes de vehículos terminadas en 5 que pasan por la calle mientras esperas el microbús.

c) el número de compañeros y compañeras que faltaron a clases durante un mes.

d) el número de accidentes de tránsito ocurridos durante los fi nes de semana de un año.

e) el número de veces que un vaso plástico cae boca arriba cuando se deja caer desde una mesa hasta el suelo.

Como se comentó al inicio de la Unidad, recoger información, organizarla e interpretarla es de vital importancia para la toma de decisiones en diver-sos ámbitos.

El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) (www.ine.cl) es una institución chilena, cuya � na-lidad es la recopilación y análisis de información

Información estadística y probabilidadesnacional que constituye la base o� cial de datos para la toma de decisiones en los diferentes ám-bitos del quehacer nacional.

En el ejercicio siguiente analizaremos informa-ción estadística recolectada con propósitos bien de� nidos, para mostrar cómo es posible calcular ciertas probabilidades a partir de ella.

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Como ya hemos establecido, si lanzamos un dado de ocho caras cada resultado o suceso elemental del espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tiene probabilidad de ocurrencia 1

8 .

Pero también podemos preguntarnos por la proba-bilidad de ocurrencia de un suceso no elemental, o mejor dicho, de un suceso compuesto, como por ejemplo: ¿qué probabilidad de ocurrencia tiene el suceso “obtener un número par”?

En otras palabras, si definimos el suceso A = {2, 4, 6, 8}, ¿cuánto vale P(A)?

Probabilidad de sucesos compuestosUna manera de abordar esta pregunta es con-siderar que es igualmente probable obtener un número par (2, 4, 6, 8), que obtener un número impar (1, 3, 5, 7), es decir:

P(A) = P(B)

Hemos llamado B al suceso “obtener un número impar”, es decir, B = {1, 3, 5, 7} y P(B) a su pro-babilidad de ocurrencia.

Como, además, la suma de estas probabilidades debe ser 1, entonces:

P(A) + P(B) = 1


Basándote en la información estadística del cuadro, calcula la probabilidad de que al elegir al azar un habitante de nuestro país, este sea:a) Mapuche b) Mujer aimara c) Hombre rapanui

Basándote en la información estadística del cuadro, calcula la probabilidad de que al elegir al azar un

Pueblo originario Hombre Mujer Total

Mapuche 470.730 457.330 928.060

Aimara 24.898 23.579 48.477

Rapanui 9.358 12.490 21.848

No pertenece apueblos originarios 6.942.709 7.175.341 14.118.050

Total 7.447.695 7.668.740 15.116.435

Solucionesa) Como en este caso la variable de interés es el pueblo originario y no el sexo, entonces consideramos el total de habitantes mapuches.

Defi nimos el suceso A como “ser mapuche”. Sabemos por la tabla que la población total de mapuches es 928.060 y el total de habitantes del país es 15.116.435.Por lo tanto, podemos expresar P(A) como: P(A) = 928.060

15.116.435 = 0,0613 = 6,13 %

b) Para los casos b) y c) se procede en forma análoga y se obtiene que la probabilidad que el habitante escogido sea una mujer aimara es: P(B) =

23.57915.116.435 ≈ 0,00156 ≈ 0,16 %

c) Y la probabilidad que sea un hombre rapanui es: P(C) = 9.358

15.116.435 ≈ 0,00062 = 0,062 %

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Un experimento aleatorio consiste en extraer una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 palos: oro, copa, espada y basto). Defi nimos el suceso A como “sacar oro”.

Calcula:a) P(A) b) La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro”.

Solucionesa) La baraja de naipe español tiene 40 cartas: 10 oros, 10 bastos, 10 espadas y 10 copas, el experimento tiene 40 resultados posibles y el suceso “sacar oro” se puede producir de 10 maneras diferentes.

P(A) = 1040 = 1

4 = 0,25 = 25 %

b) “Sacar una carta que no sea oro” es el suceso complementario de A “sacar una carta que sea oro” es decir, se trata de A.El total de maneras posibles de ocurrencia del suceso A es 30, puesto que la baraja tiene 40 cartas en total y 10 de ellas son oro, por lo tanto, 30 no lo son, así es que:

P(A) = 3040 = 3

4 = 0,75 = 75 % Vemos entonces que P(A) + P(A) = 1

4 + 34 = 1 = 100 %

Combinando las dos últimas ecuaciones:

P(A) = P(B) = 12

De modo que:

P {2, 4, 6, 8} = P {1, 3, 5, 7} = 12

Pero también existe otra forma de razonamiento que nos va a ayudar a establecer una expresión general para el cálculo de probabilidad de sucesos compuestos.

Supongamos que la pregunta que nos formulamos es: ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del suceso C “obtener un número mayor que 3”?

En este caso, C = {4, 5, 6, 7, 8}.

Entonces, puede considerarse que la probabilidad de conseguir el suceso compuesto “obtener un número mayor que 3”, es decir, obtener alguno de los números 4, 5, 6, 7 u 8 será:18 + 1

8 + 1

8 + 1

8 + 1

8 = 5

8 = 0,625 = 62,5 %

Vemos entonces que la probabilidad de un suceso compuesto se calcula sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen, esto es, si A es un suceso compuesto del tipo:

A = {a1, a2, a3, ... an} ⊆ E

donde a1, a2, a3, ... an representan resultados (sucesos elementales), entonces:

P(A) = P(a1 ) + P(a2 ) + ... + P(an )

Complemento de un sucesoPor de� nición, el complemento de un suceso A es el conjunto de todos los elementos del espacio muestral E, que no están incluidos en el suceso A. El complemento del suceso A se representa por A, que leeremos complemento de A o A barra.

A modo de ejemplo, en el caso del dado de 8 caras que estábamos analizando, si consideramos el suceso C = {4, 5, 6, 7, 8}, el complemento de C (que denotamos C) está compuesto por todos los elementos de E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} que no están en C, es decir, C = {1, 2, 3}.

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1. Se extrae una carta al azar de la baraja española y se defi ne el suceso A: “sacar una fi gura” (sota, caballo o rey).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A?

c) ¿Cuál es el signifi cado de tal suceso?

2. Al lanzar tres monedas al aire se defi nen los siguientes sucesos:

• A: “que se obtengan tres caras”

• B: “que se obtengan dos caras y un sello”

Determina la probabilidad de ocurrencia de:

a) A b) el complemento de A c) B d) el complemento de B

Sucesos compatibles y sucesosmutuamente excluyentes

Consideremos el experimento aleatorio que consiste en sacar al azar una carta de la baraja española.

Si la carta extraída es un 6 de oro podríamos de� nir varios sucesos que estarían ocurriendo simultáneamente, entre otros,

• “salir un oro”• “salir un 6”• “salir un número par”• “salir un número menor que 7”• “salir un múltiplo de 3”

Por el contrario, no habrán ocurrido otros muchos sucesos, tales como:

• “salir una espada”

Relaciones entre sucesos

• “salir una copa”• “salir un basto”• “salir un múltiplo de 5”• “salir un número impar”

Algunos sucesos pueden ocurrir simultáneamente (en cuyo caso se habla de sucesos compatibles), mientras que en otros casos, la ocurrencia de un suceso excluye la ocurrencia de otros (en tal caso se habla de sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes).

A través de algunos ejemplos exhibiremos al-gunas de las relaciones que se pueden veri� car entre los sucesos de� nidos para un determinado experimento.

En general, si A es el suceso complemento de A, entonces, P(A) + P(A) = 1O lo que es equivalente:

P(A) = 1 – P(A)

Esta expresión, como veremos, resulta muy útil para simpli� car algunos cálculos de probabili-dad de ocurrencia de sucesos compuestos.

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222



Consideremos el experimento aleatorio de hacer rodar un dado de seis caras. Defi namos los siguientes sucesos:• A: “Obtener 4”• B: “Obtener un múltiplo de 2”• C: “Obtener un número par”• D: “Obtener un número menor que 4”• F: “Obtener 6”

a) Encuentra los conjuntos que defi nen el espacio muestral E y los sucesos A, B, C, D, F.b) Analiza las relaciones de compatibilidad y exclusión entre los diferentes sucesos defi nidos.

Solucióna) El espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}• A = {4}• B = {2, 4, 6} • C = {2, 4, 6}• D = {1, 2, 3}• F = {6}

b) Algunas de las relaciones que es posible establecer entre los sucesos defi nidos son:• B = C• A ⊂ B: es decir, cada vez que ocurra el suceso A ocurrirá el suceso B, pero si ocurre B no necesariamente ocurrirá A. Por ejemplo, si sale 4 se verifi ca tanto el suceso A como el suceso B. Sin embargo, si sale 2, ocurre al suceso B, pero no el suceso A.• Para F ⊂ B son válidos los mismos comentarios del caso anterior.• El suceso D es incompatible con A y con F, puesto que D no tiene elementos comunes con ninguno de ellos y, en consecuencia, D no se puede verifi car al mismo tiempo que A o que F.


1. Se hace rodar un dado y se defi nen los siguientes sucesos:

• A: “obtener el número 5”• B: “obtener un número impar”• C: “obtener un número menor que 6”

Determina:

a) el espacio muestral b) el suceso A c) el suceso B

d) el suceso C e) la relación que existe entre los sucesos A y B

f) el(los) resultado(s) que permite(n) asegurar que ocurran A y B simultáneamente

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2. Se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se defi nen los siguientes sucesos:

• A: “Sacar un rey”• B: “Sacar un oro”• C: “Sacar una copa”

Determina:

a) el número de resultados posibles de cada suceso

b) los sucesos que ocurren si se extrae un rey de copas

c) los sucesos mutuamente excluyentes

3. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se defi nen los siguientes sucesos:

• A: “obtener un número primo mayor que 2”• B: “obtener un número par”

Determina:

a) el espacio muestral

b) el suceso A

c) el suceso B

d) la relación entre los sucesos A y B

4. De una baraja inglesa se extrae al azar una carta. Considera los siguientes sucesos:

• A: “sacar un corazón”• B: “sacar un trébol”• C: “sacar un as”

Determina:

a) el espacio muestral

b) el suceso A

c) el suceso B

d) el(los) suceso(s) que ocurre(n) si se extrae un as de trébol

e) las relaciones que existen entre estos sucesos

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Probabilidad de sucesosmutuamente excluyentes

Consideremos el experimento aleatorio de hacer rodar un dado de 8 caras. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “obtener un número menor o igual que dos o un número mayor que 4”?

De� namos los sucesos A y B de la siguiente forma:

• A: “obtener un número menor o igual que 2” ⇒A = {1, 2}

• B: “obtener un número mayor que 4” ⇒B = {5, 6, 7, 8}

Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, ya que si realizamos el experimento una sola vez, si ocurre el suceso “obtener un número menor o igual que dos”, es imposible que ocurra el suceso “obtener un número mayor que 4”.

De lo que aprendimos de sucesos compuestos,

P(A) = 28 = 1

4 = 25 %

P(B) = 48 = 1

2 = 50 %

De donde:

P(A o B) = P(A) + P(B) = 14 + 1

2 = 34 = 0,75 = 75 %

Si se tratara de dos sucesos compatibles como, por ejemplo, A = {1, 2} y C = {2, 3, 4}, tendríamos que:

P(A) = 28 = 1

4 = 25 %

P(C) = 38 = 37,5 %

Pero, la probabilidad de ocurrencia de A o C es la probabilidad de ocurrencia de {1, 2, 3, 4}, es decir:

P(A o C) = 48 = 1

2 = 0,5 = 50 %

que es distinto que:

P(A) + P(C) = 28 + 3

8 = 58 = 0,625 = 62,5 %

Entonces, solo para el caso de sucesos incom-patibles (mutuamente excluyentes) el cálculo de la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos es:

P(A o B) = P(A) + P(B)


Consideremos esta vez un experimento consistente en sacar una bola de una urna que contiene 1 bola roja, 3 bolas azules y 6 bolas blancas. Se debe calcular la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes sucesos:

a) R: “Que salga una bola roja”.

b) A: “Que salga una bola azul”.

c) B: “Que salga una bola blanca”.

d) “Que salga una bola roja o blanca”.

e) “Que salga una bola azul o blanca”.

f) “Que salga una bola que no sea roja”.

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SolucionesPara calcular la probabilidad de un suceso se cuenta el cociente entre los casos favorables y el total de casos posibles, entonces:

a) P(R) = 110 , porque hay solo una bola roja de un total de 10

b) P(A) = 310

, porque hay 3 bolas azules de un total de 10

c) P(B) = 610 , porque hay 6 bolas blancas de un total de 10

Como se aprecia de su defi nición, R, A y B son sucesos mutuamente excluyentes, con-sideración que utilizaremos en los cálculos siguientes.

d) La probabilidad del suceso “que salga una bola roja o blanca” se calcula como sigue:

P(R o B) = P(R) + P(B) = 110 + 6

10 = 710

e) Análogamente, la probabilidad del suceso “que salga una bola azul o blanca” está dada por:

P(A o B) = P(A) + P(B) = 310 + 6

10 = 910

f) El suceso “que salga una bola que no sea roja” corresponde al suceso complementario R de “que salga una bola roja”, por lo cual podemos decir que:

P(R) = 1 – P(R) = 1 – 110

∴ P(R) = 910

Otra forma de calcular la probabilidad del suceso “que salga una bola que no sea roja” proviene del hecho de que si la bola no puede ser roja, entonces tal condición es necesa-riamente equivalente al suceso “que salga una bola azul o blanca”, en cuyo caso:

P(R) = P(A o B) = P(A) + P(B) = 310 + 6

10

∴ P(R) = 910

Es el mismo resultado ya obtenido, como era de esperar.

Sucesos independientesPor de� nición, dos sucesos A y B son indepen-dientes, si la ocurrencia de A no afecta la proba-bilidad de ocurrencia de B y viceversa.

Consideremos un cajón de un clóset que contiene 5 pares de calcetines de diferentes colores: blan-co, negro, café, rojo y azul. Sacamos sin mirar un par de calcetines y resulta ser el rojo, que no era el que necesitábamos, de modo que lo devolve-mos al cajón y escogemos otro par, nuevamente

sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el par rojo, en las condiciones descritas?

Conviene hacer algunas precisiones respecto del problema planteado. Escoger dos pares de calcetines es un suceso compuesto. Como repu-simos el primer par antes de sacar el segundo, el haber escogido el par rojo en el primer intento no tiene efecto alguno en la probabilidad de elegir el par rojo en el segundo intento. En consecuencia, estos sucesos son independientes.

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Probabilidad de sucesosindependientes

Para encontrar la probabilidad de dos sucesos independientes que ocurren en secuencia, encon-tramos las probabilidades de ocurrencia separada de cada uno de los sucesos y multiplicamos los valores obtenidos.

Simbólicamente lo expresamos así:

P(A y B) = P(A) • P(B)

Retomando el experimento de los calcetines y recordando que había 5 pares de ellos vemos que:

P(rojo) = 15

P(rojo y rojo) = 15 • 1

5 = 125

Después de estas consideraciones, estamos pre-parados para resolver un ejercicio más complejo que va a mostrar la plausibilidad de la expresión que relaciona P(A y B) con P(A) y P(B).


1. Una ruleta está dividida en seis sectores de igual tamaño numerados del 1 al 6, dos verdes (opuestos por el vértice, numerados 2 y 5) y cuatro amarillos. Consideremos el experimen-to aleatorio de hacer girar la ruleta dos veces consecutivas y registrar los colores de los sectores que indica la fl echa al detenerse.

a) Compara el total de resultados posibles de este experimento con el total de resultados posibles cuando hacemos girar la ruleta solo una vez.

b) Calcula las probabilidades de ocurrencia de los siguientes sucesos:

i. caer en verde las dos tiradas. ii. caer en amarillo las dos tiradas. iii. caer en verde en la 1a tirada y en amarillo en la 2a tirada. iv. caer en amarillo en la 1a tirada y en verde en la 2a tirada. v. caer una vez en verde y otra vez en amarillo.

Solucionesa) Al analizar este tipo de experimentos, es recomendable utilizar una tabla para registrar ordenadamente todos los resultados posibles:

segu

nda

tirad

a

primera tirada

1 2 3 4 5 6

1 AA AV AA AA AV AA

2 VA VV VA VA VV VA

3 AA AV AA AA AV AA

4 AA AV AA AA AV AA

5 VA VV VA VA VV VA

6 AA AV AA AA AV AA

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Es claro que al hacer girar la ruleta una vez los resultados posibles son solo 6, mientras que al hacer girar la ruleta dos veces seguidas se pueden obtener 36 resultados posibles, es decir, 62 resultados.

b) Analicemos los resultados registrados en la tabla:De los 36 casos posibles la fl echa indica las dos veces amarillo en 16 de los casos (destaca-dos en amarillo claro) e indica las dos veces verde en 4 casos (destacados en verde claro). Los casos en que la fl echa señaló una vez verde y otra vez amarillo son 16.

i. P(VV) = 436

= 19

Porque existen 4 casos en los cuales la fl echa puede señalar ambas veces verde de un total de 36 casos posibles.

ii. P(AA) = 1636 = 4

9

Porque existen 16 casos en los cuales la fl echa puede señalar ambas veces amarillo de un total de 36 casos posibles.

iii. P(VA) = 836 = 2

9

iv. P(AV) = 836 = 2

9

v. P(una vez en verde y otra vez en amarillo) P(VA) + P(AV) = 836 + 8

36 = 1636

= 49

Las probabilidades fueron calculadas en este ejemplo observando los casos registrados en la tabla.Adoptemos ahora la aproximación más abstracta al problema de la siguiente manera:Las probabilidades de ocurrencia de los colores verde y amarillo al hacer girar la ruleta solo una vez son respectivamente:

P(V) = 26

(porque hay 2 sectores verdes de un total de 6 sectores)

P(A) = 46

(porque hay 4 sectores amarillos de un total de 6 sectores)

Como los sucesos V y A son independientes, entonces podemos aplicar la relación P(A y B) = P(A) • P(B) para sucesos independientes A y B.

i. P(V V) = P(V y V) = P(V) • P(V) ⇒

⇒ P(V V) = 26 • 2

6 ⇒

∴ P(V V) = 436 = 1

9

ii. P(AA) = P(A y A) = P(A) • P(A) ⇒

⇒ P(AA) = 46 • 4

6 ⇒

∴ P(AA) = 1636 = 4

9

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228


iii. P(AV) = P(A y V) = P(A) • P(V)

⇒ P(AV) = 46 • 2

6

∴ P(AV) = 836 = 2

9

iv. P(VA) = P(V y A) = P(V) • P(A) ⇒

P(VA) = 26 • 4

6 ⇒

P(VA) = 836 = 2

9

2. El siguiente cuadro muestra la población de la Región Metropolitana (RM) según el grupo étnico al que pertenece.

Fuente: Censo 1992, INE

Se elige al azar un habitante de la RM. Calcula la probabilidad de que la persona seleccio-nada sea mapuche o aimara.

SoluciónDefi nimos los sucesos A: “Ser mapuche” y B: “Ser aimara”.Del cuadro:

P(A) = 409.0796.061.185

P(B) = 12.3086.061.185

Entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B) = 409.0796.061.185 + 12.308

6.061.185

∴ P(A o B) = 0,069 = 6,9%

3. Un experimento aleatorio consiste en extraer al azar dos bolas consecutivamente de una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 bolas verdes. Compara la situación en la que primero el experimento se hace con sustitución con aquella en la cual se hace sin sustitución.

Perteneciente a Hombre Mujer Total

Mapuche 200.863 208.216 409.079

Aimara 6.451 5.857 12.308

Rapanui 5.003 6.645 11.648

Resto de chilenos 2.724.876 2.903.274 5.628.150

Total 2.937.193 3.123.992 6.061.185

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Al observar el diagrama del árbol se verifi ca que la probabilidad de extraer una bola verde la primera vez es:

P (sacar bola verde en la 1ª extracción) = P1(V) = 37 , porque hay 3 bolas verdes de un

total de 7.La probabilidad de extraer una bola verde la segunda vez es:

P (sacar bola verde en la 2ª extracción) = P2(V) = P1(V) = 37 porque al devolver la 1ª bola

extraída sigue habiendo 3 bolas verdes de un total de 7.

∴ Pc/reposición (V y V) = P1(V) • P2(V) = 37 • 3

7 = 949 ≈ 18,4 %

47

47

37

37

47

37

Solución

Defi namos los sucesos R y V como:

R: “Extraer una bola roja” V: “Extraer una bola verde”

Entonces, por lo que hemos analizado anteriormente,

P(R) = 47

y P(V) = 37

Analicemos ahora el experimento compuesto, es decir, extraer al azar dos bolas, una después de la otra, para lo cual resulta primordial precisar si después de la primera ex-tracción se devolverá o no la bola extraída a la urna; en otras palabras, si el experimento se realizará con o sin reposición (reemplazo de la bola sacada).

Con reposiciónConsideremos en primera instancia el experimento con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas verdes?Utilizaremos el diagrama del árbol para representar este experimento:

UN

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230


Sin reposiciónConsideremos ahora el experimento sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas verdes?

Según nuestro diagrama, la probabilidad de sa-car una bola verde durante la 1ª extracción es:

P (sacar bola verde en la 1ª extracción) = P1(V) = 37 porque hay 3 bolas verdes de un

total de 7.

La probabilidad de extraer nuevamente una bola verde en la 2ª extracción es:

P (sacar bola verde en la 2ª extracción) = P2 (V) = 26 porque quedan solo 2 bolas verdes de

un total de 6.

Entonces, la probabilidad de sacar dos bolas verdes es:

Ps/reposición (V y V) = P1(V) • P2(V) = 37 • 2

6 = 642 = 1

7 ≈ 14,3 % < Pc/reposición (V y V)

4. Observa la tabla estadística que muestra la ocurrencia de incendios forestales, según regiones de nuestro país.

INCENDIOS FORESTALES 1993–1998

Fuente: Corporación Nacional Forestal, CONAF / Carabineros de Chile, 1999.

47

No se repone

36

37

36

No se repone

46

26

Fuente: Corporación Nacional Forestal, CONAF / Carabineros de Chile, 1999.

Regiones de Chile Frecuencia Absoluta

III de Atacama 96

IV de Coquimbo 158

V de Valparaíso 3.851

VI del Libertador General Bernardo O’Higgins 1.388

VII del Maule 1.931

VIII del Bío-Bío 9.131

IX de La Araucanía 4.124

X de Los Lagos 2.420

XI Aisén 168

XII Magallanes y Antártica 111

Región Metropolitana 2.110

TOTAL 25.488

UN

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231

De mantenerse una distribución similar para los incendios forestales que se producían en el país durante este año:a) ¿en cuál de las regiones es mayor la probabilidad de ocurrencia de un incendio forestal?b) ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia durante este año de un incendio forestal en Santiago y en Valparaíso?c) ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia durante este año de un incendio forestal en la VIII o IX Región?

SolucionesLas respuestas a preguntas como las formuladas, más allá de constituir un ejercicio ma-temático, es lo que le confi ere importancia social a la teoría de probabilidades, ayudando a planifi car campañas de prevención y planes de acción frente a una posible catástrofe (disponibilidad de personal y equipamiento especializado, capacitación, etc.).

a) La frecuencia absoluta señala el número de veces que ocurre un suceso y una estimación de la probabilidad de ocurrencia la obtenemos a partir del cálculo de la frecuencia relativa.

Regiones de Chile Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa

III de Atacama 96 0,4

IV de Coquimbo 158 0,6

V de Valparaíso 3.851 15,1

VI del Libertador Gral Bernardo O’Higgins 1.388 5,4

VII del Maule 1.931 7,6

VIII del Bío-Bío 9.131 35,8

IX de La Araucanía 4.124 16,2

X de Los Lagos 2.420 9,5

XI Aisén 168 0,7

XII Magallanes y Antártica 111 0,4

Región Metropolitana 2.110 8,3

TOTAL 25.488 100

Al observar la tercera columna de la tabla anterior, vemos que la región que presenta la mayor frecuencia absoluta de incendios forestales es la VIII y que:

fr (VIII región) = 9.13125.488 ≈ 35,8%

Si defi nimos el suceso VIII: “Incendio forestal en la VIII Región”.

P(VIII) = 9.13125.488 ≈ 35,8%

Es decir, el 35,8% de los incendios del período considerado se produjo en la VIII Región.

b) Adoptando una notación análoga a la de la parte a) y que los incendios forestales en la Región Metropolitana y en la V Región son sucesos independientes, tendremos que:

P(RM y V) = P(RM) • P(V) = 2.11025.488 • 3.851

25.488 ≈ 0,083 • 0,151 = 1,25%

c) P(VIII o IX) = P(VIII) + P(IX) = 9.13125.488 + 4.124

25.488 ≈ 35,8% + 16,2% = 52%

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232


E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s1. Se sabe que el 65% de las mujeres mayores de 30 años están casadas y de ellas un 80% tiene más de un hijo.Calcula la probabilidad de que una mujer mayor de 30 años esté casada y tenga más de un hijo.

2. En un liceo el 65% de los(as) alumnos(as) practica algún deporte y de los(as) alumnos(as) que practican algún deporte un 35% tiene promedio en Matemática sobre 6,0.Calcula la probabilidad de que un(a) alumno(a) sea deportista y tenga promedio en Matemática sobre 6,0.

3. Determina la probabilidad de que:

a) al sacar una carta de una baraja española de 40 naipes, resulte copa o espada.

b) al sacar una carta, reponerla en la baraja española de 40 cartas, y sacar otra, resulte copa y espada.

4. De una urna con 9 bolas numeradas de 1 al 9, se saca una bola, se anota su número y se devuelve a la urna. Defi nimos los sucesos:

• A: “Que salga un número primo” • B: “Que salga un cuadrado perfecto”

Calcula la probabilidad de P(A o B).

Probabilidad y servicios profesionales

Una contadora y su familia desean instalar una solución computacional en casa para prestar servicios contables a través de Internet. La so-lución computacional está compuesta por un computador y la conexión a Internet.

Para prestar esos servicios ella requiere que la solución computacional no falle más de un 10% por año. ¿Cuántas horas en promedio al día, a la semana, al mes y al año signi� ca una proba-bilidad de falla de 10%? Calcula.

El fabricante informa que la probabilidad media de falla del computador (Pc) es de 3%. El pro-veedor de servicios de Internet señala que la probabilidad media de falla de su servicio (Pi) es de un 7%. ¿Cuál es la probabilidad de falla del sistema computacional (P)?

En el siguiente esquema, se presentan los estados en que puede estar el computador e

Internet (funciona o falla) y las combinaciones entre ellos.Así, la probabilidad de falla del sistema es la suma de las probabilidades de los sucesos independientes:

P= PC (1-Pi ) + (1-P

C) Pi + P

CPi

P= PC + Pi – P

CPi

Entonces: P = 3% + 7% – 3% • 7% = 9,79%

Computador Internet

Funciona

Falla

Funciona

FallaU

NID

AD 4

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AD

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233


Supongamos que tienes que adivinar cuál es la pinta de una carta (corazón, diamante, espada o trébol) que se ha sacado al azar de un mazo de 52 cartas inglesas. Puesto que hay 4 pintas posibles, la probabilidad de acertar es 1

4.

Pero supongamos que agregamos información y te decimos que la pinta de la carta es roja. En tal caso la probabilidad de acertar es

12 porque se re-

dujo el número de alternativas para elegir: la carta extraída solo puede ser corazón o diamante.

Vemos en el ejemplo que el uso de información adicional restringe el espacio de resultados po-sibles. Es un hecho interesante: el valor que le asignamos a la probabilidad de ocurrencia de un suceso depende del grado de información que tengamos de tal suceso.

Probabilidad condicionadaSi de� nimos los sucesos:

• A: la pinta de la carta extraída es corazón

• B: la pinta de la carta extraída es roja

Podemos a� rmar que la probabilidad de ocurren-cia de A es: P(A) = 1

4 .

Pero la probabilidad de ocurrencia de A, sabien-do que la pinta es roja, es ahora 1

2 . Esta última probabilidad la denotamos por P(A/B): A es el suceso cuya probabilidad estamos interesados en calcular, mientras que B es la condición bajo la cual queremos calcularla.

La expresión P(A/B) la leemos: probabilidad de ocurrencia A dada la ocurrencia de B y es lo que llamamos la probabilidad de A condicionada a B.

Por lo tanto, resulta que P < 10% y se cumple el requisito establecido por la contadora. En caso que ella necesite una solución más exigente, por ejemplo, con una proba-bilidad de falla menor a 8%, ¿cuáles son las opciones para disminuir la probabilidad de falla del sistema?

• Cambiar los equipos o el servicio Internet por otros de mejor calidad.• Tener un computador de respaldo.

1. Consideremos una urna que contiene 5 bolas: 3 bolas rojas y 2 azules. Se extrae, sin mirar, una bola.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola roja, devolverla y en seguida sacar una bola azul?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola roja, no devolverla y en seguida sacar una bola azul? SolucionesDefi namos los sucesos:

• R: “Extraer una bola roja” • A: “Extraer una bola azul”

La probabilidad de cada uno de los sucesos defi nidos es: P(R) = 35

P(A) = 25

Probabilidad con reemplazo y sin reemplazo

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Con reemplazoSi en la primera extracción se saca una bola roja y la devolvemos a la urna, la probabilidad de ocu-rrencia del suceso R sigue siendo 3

5 y la del suceso A también mantiene su valor 2

5 , para la segunda extracción.

Entonces, la posibilidad de extraer una bola roja, devolverla a la urna y en seguida extraer una bola azul, será:

P(A/R) = P(R) • P(A) = 35 • 2

5 = 625

Sin reemplazoSi realizamos el mismo proceso sin devolver la primera bola extraída (sin reemplazo), sabiendo que en la primera extracción salió una bola roja, la probabilidad de extraer, por ejemplo, una bola azul en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.

La probabilidad de extraer la primera vez una bola roja era P(R) = 35 y de extraer una bola azul

era P(A) = 25 , pero al no devolver la bola extraída, cambia el valor de la probabilidad de cada suceso,

siendo en esta ocasión:

P(R) = 24

y P(A) = 24

dado que en la primera extracción se sacó una bola roja.

Para la segunda extracción, la probabilidad de “obtener bola roja” se redujo y la probabilidad de “obtener bola azul” aumentó.

Entonces, la probabilidad de extraer una bola roja, no devolverla a la urna y en seguida extraer una bola azul, será:

P(A/R) = P(R) • P(A) = 35 • 2

4 = 620

Como se verifi ca en este ejemplo, el hecho de saber si las extracciones se realizan con o sin reemplazo (es decir, con o sin devolución de la bola extraída) cambia la probabilidad del suceso.

Sucesos dependientes y sucesos independientes

Si A y B son dos sucesos y

P(A) = P(A/B)

o bien,

P(B) = P(B/A)

se dice que los sucesos son independientes.

Si por el contrario, P(A) ≠ P(A/B)

o bien,

P(B) ≠ P(B/A)

los sucesos se dicen dependientes.

Defi niciónSean A y B dos sucesos tales que P(A) ≠ 0. Se llama probabilidad de B condicionada a A que denotamos por P(A/B), a la probabilidad de que ocurra el suceso B dado que ha ocurrido el suceso A y se cumple que:

P(A/B) = P(A y B)P(B)

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1. Seleccionamos al azar una carta de la baraja española. Se defi nen los sucesos:

• A: “Sacar una fi gura” • B: “Sacar oro”

¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea fi gura sabiendo que salió un oro?

SoluciónLa baraja española consta de 40 cartas, 10 de cada pinta, de las cuales 3 son fi guras, entonces tene-mos: P(A) = 12

40 = 30%, porque hay 12 fi guras del total de 40 cartas

P(B) = 1040

= 25%, porque hay 10 oros del total de 40 cartas

La probabilidad del suceso A “sacar fi gura”, sin más antecedentes, es 30%, pero si sabemos que la carta extraída fue oro ya no consideramos el total de 40 cartas ni las 12 fi guras de la baraja. Solo consideramos el total de oros de la baraja y los casos favorables serán las 3 cartas con fi gura que tiene esta pinta.

De esta forma tenemos: P(A/B) = 3

10 = 30%

En este caso, P(A/B) = P(A), es decir, el hecho de contar con mayor información (dado que ocurrió B) no cambió el valor de la probabilidad del suceso A, de lo cual se puede concluir que los sucesos A y B son independientes.Análogamente se puede demostrar que P(B/A) = P(B). ¿Cuál es la interpretación de esta igualdad?

2. Hacemos rodar un dado de seis caras y queremos calcular la probabilidad del suceso “obtener 2”, sabiendo que ha salido un número par.

SoluciónDefi nimos los sucesos

• A: “salir número par” • B: “obtener 2”

Lo que nos interesa calcular es P(B/A).

Si no contáramos con información adicional, la probabilidad del suceso B “obtener 2” es:

P(B) = 16

Como sabemos que ha salido un número par, el valor de la probabilidad del suceso B “obtener 2” cambia, puesto que como el dado tiene solo tres números pares (2, 4, 6) el total de resultados posibles ahora es 3.Entonces la probabilidad de ocurrencia del suceso B sabiendo que ocurrió A es:

P(B/A) = 13

Como se observa, P(B) ≠ P(B/A)

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Nuevamente vemos que la probabilidad de ocurrencia del suceso B “obtener 2” cambió al saber que había ocurrido el suceso A “salir número par”, es decir, la probabilidad del suceso B depende de la ocurrencia del suceso A.

3. Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. Calcula la probabilidad que la segunda carta sea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos. Comenta acerca de la relación entre A y B.

SoluciónDefi nimos los sucesos:

• A: “Sacar un rey”• B: “Sacar un rey bastos”

La baraja española tiene 4 cartas con un rey de un total de 40 naipes entonces,

P(A) = 440

= 10%

La probabilidad de sacar un rey en la 2ª extracción sabiendo que en la 1ª extracción salió el rey de bastos cambia el espacio muestral, ya que, en vez de las 40 cartas iniciales, solo quedan 39 cartas posibles de seleccionar.

Pero también cambia el número de casos favorables, ya que de los 4 reyes que había originalmente solo quedan 3.

Entonces: P(A/B) = 3

39 ≈ 7,7%

En esta oportunidad se observa que:

P(A) =/ P(A/B) Es posible concluir, entonces, que los sucesos A y B son dependientes, es decir, la ocu-rrencia del primero afectó la probabilidad de ocurrencia del segundo.

4. Se eligen al azar estudiantes de un liceo, recogiendo información sobre su sexo y el uso de transporte colectivo para llegar de su casa al liceo, elaborando la tabla siguiente.

a) Calcula la probabilidad de que el(la) estudiante elegido(a) sea hombre, dado que usa transporte colectivo.

b) Calcula la probabilidad de que el(la) estudiante elegido(a) sea mujer, dado que usa transporte colectivo.

Hombres (H) Mujeres (M)

Usa transporte 60 20

No usa transporte 40 80

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SoluciónDefi nimos los sucesos:

• H: “Ser hombre”• M: “Ser mujer”• T: “Usar transporte”

Calculemos, en primer lugar, las probabilidades P(H) y P(M) sin que existan condiciones. Elección sin condiciones:

P(H) = 100200 = 50%

P(M) = 100200 = 50%

Elección con condiciones: P(H/T) = 60

80 = 75%, porque 60 hombres usan transporte de un total de 80 estudiantes que lo usan.

P(M/T) = 2080 = 25%, porque 20 mujeres usan transporte de un total de 80 estu-

diantes que lo usan.

Probabilidades de diversos sucesos

Probabilidad Probabilidad deun suceso compuesto

P (A ) = P (a1) + P (a2) + …

Probabilidad deun suceso simple

Probabilidad devarios sucesos

P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A y B)

Probabilidad desucesos

independientesP (A y B) = P (A) • P (B)

Probabilidad deun complementoP ( A—) = 1 – P (A)

Probabilidadcondicionada

P (A / B) = P (A y B)

P (B)

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Para neutralizar el dolor de cabeza (cefalea) se acostumbra utilizar analgésicos. Pero estos pueden producir algunos efectos colaterales negativos en las personas (por ejemplo, dolores estomacales).

Se estudiaron cuatro tipos diferentes de analgésicos, para los cuales se obtuvieron las respec-tivas probabilidades de éxito (para mitigar el dolor) y las respectivas probabilidades de efectos colaterales (que generan otros malestares).

En la siguiente tabla se presentan los resultados obtenidos:

Tipos de analgésicos Probabilidades de éxito Probabilidad de efecto colateral negativo

A 90% 5% B 95% 8% C 96% 5% D 85% 1%

Del análisis de esta información se puede obtener:

• El analgésico con mayor probabilidad de éxito es el C (96%).• El analgésico que tiene la menor probabilidad de efectos colaterales es el D (1%), pero tiene la menor probabilidad de éxito (85%).• El analgésico B es el que tiene mayor probabilidad de efectos colaterales negativos (8%).

Ahora bien, podemos preguntarnos: ¿cuál es la probabilidad de que una persona se recupere del dolor de cabeza y no le duela el estómago? Para el analgésico A, esta probabilidad es del90% • (100% - 5%) = 85,5%

Existen situaciones diferentes para cada analgésico. Si hacemos los cálculos para cada uno de ellos, se obtiene lo siguiente:

Suceso I Suceso II Suceso III Suceso IV

A 85,50% 4,50% 9,50% 0,50%

B 87,40% 7,60% 4,60% 0,40% C 91,20% 4,80% 3,80% 0,20% D 84,15% 0,85% 14,85% 0,15%

¿Cuál es el mejor analgésico para una persona en particular?

Si la persona puede tolerar los eventuales efectos en su estómago, entonces para ello el analgésico C es el mejor (91,20% en suceso I y 4,80% en suceso II). Por el contrario, si el daño estomacal es severo, entonces es mejor que consuma el analgésico D, aunque su probabilidad de éxito analgésico sea menor que todos los otros (84,15% en suceso I y solo 0,85% en suceso II).

Probabilidad y buenas decisiones de salud

Tipo de analgésico

Probabilidad desanarse del dolor de cabeza y no provocar

dolor estomacal

Probabilidad desanarse del dolor de cabeza y provocardolor estomacal

Probabilidad de no sanarse del dolor de cabeza y no provocar

dolor estomacal

Probabilidad de no sanarse del dolor de cabeza y provocar

un dolor estomacalU

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Observa que la probabilidad de continuar con cefalea es relevante (situación III) y que exista una probabilidad mayor que 0% de empeorar (entre 0,15% y 0,50% dependiente del tipo de analgésico).

Probabilidades en los emprendimientos

Unos jóvenes chilenos organizaron una empresa para exportar a China. La probabilidad de éxito de este emprendimiento (P) depende de los fac-tores fundamentales: la probabilidad de éxito de la comercialización en el mercado chino (Pm) y la probabilidad de producir exitosamente los bienes a exportar (Pp).

La probabilidad de éxito de este emprendimiento se puede representar por:

P= Pm • Pp

Considerando diferentes valores para Pm y Pp se obtienen los siguientes resultados:

Observa lo siguiente:• Un 50% de probabilidad de éxito en la pro-

ducción local y un 50% de éxito en la co-mercialización en China solo da un 25% de probabilidad de éxito en el emprendimiento.

• Para aumentar la probabilidad de éxito global del emprendimiento, es conveniente subir en forma balanceada la producción y la comer-cialización.

Fallas en los equiposTodo equipo o sistema creado por el ser humano falla de cuando en cuando. Por ejemplo, si consi-

deramos un PC, este fallará unas cuantas veces en un año y las fallas durarán un cierto tiempo hasta ser reparadas.

Si llamamos:

TMEF: tiempo medio entre cada fallaTDF: tiempo medio que dura la falla antes de ser reparado el equipo.

Entonces, en el eje del tiempo tendremos:

TMEF TDF TMEF TDF TMEF

Por lo tanto, la probabilidad de que un equipo esté fallado en cierto instante es:

P= TDFTDF + TMEF

Asimismo, la probabilidad de que el equipo esté funcionando bien (denominada disponibilidad) es:

D= 1 – P = TMEFTDF + TMEF

En la tabla siguiente, se muestran valores de probabilidades de falla y de disponibilidades para diferentes tiempos medios entre falla y de duración de falla:

TMEF (horas) TDF (horas) P(%) d (%)

1.000 1 0,18% 99,90% 1.000 2 0,28% 99,80% 2.000 1 0,05% 99,95% 2.000 2 0,10% 99,90% 3.000 1 0,03% 99,97% 3.000 2 0,07% 99,93% 4.000 1 0,02% 99,98% 4.000 2 0,05% 99,95%

Observa que:• La probabilidad de que el equipo esté fallado

aumenta cuando el tiempo medido entre fallas es menor. Por consiguiente, es conveniente adquirir equipos con TMEF alto.

• La probabilidad de que el equipo está fallado aumenta cuando el tiempo de duración de falla

Pp Pm P

50% 50% 25% 50% 60% 30% 50% 70% 35%70% 50% 35%70% 60% 42% 70% 70% 49%90% 50% 45%90% 60% 54%90% 70% 63%

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1. Considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar de la baraja inglesa. Se defi nen los sucesos:

• A: “Sacar fi gura”• B: “Sacar diamante”

Calcula:a) la probabilidad de cada evento.

b) la probabilidad de que la carta seleccionada sea diamante, sabiendo que fue fi gura.

2. Los estudiantes de un curso debían elegir un idioma entre inglés y francés, y un deporte entre básquetbol y vóleibol. La elección de los(as) jóvenes fue registrada en la siguiente tabla:

Observa la tabla y responde.

a) ¿cuántos(as) estudiantes eligieron inglés?

b) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido inglés?

c) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido francés?

d) ¿cuántos(as) estudiantes eligieron básquetbol?

e) ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un(a) estudiante al azar, éste(ésta) haya elegido inglés y vóleibol?

f) calcula la probabilidad de “elegir francés, habiendo elegido vóleibol”.

g) calcula la probabilidad de “elegir inglés, habiendo elegido básquetbol”.

3. Se hace rodar un dado de seis caras y se defi nen los sucesos:

• A: “Que salga un número par”• B: “Que salga un número mayor que 2”

Básquetbol Vóleibol

Inglés 28 7

Francés 5 5

aumenta. Por ello, conviene que los equipos sean fáciles de reparar.

• ¿Qué pasaría con la disponibilidad si TDF

fuera 10 horas o 30 horas (por ejemplo, si el repuesto no está disponible)?

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Calcula:a) la probabilidad de cada evento.

b) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número mayor que 2.

c) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número menor que 4.

d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?

4. Considera el experimento de hacer rodar un dado. Calcula la probabilidad de obtener un 3, sabiendo que ha salido un número impar.

5. Se hacen rodar dos dados de seis caras.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?

b) Si la suma de los puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los dos dados haya sido un 4?

6. Un(a) profesor(a) universitario(a) de cálculo toma las dos primeras pruebas del semestre y un 25% de los estudiantes tuvo nota de aprobación (mínimo 4) en ambas, mientras que un 42% igualó o superó el 4 en la primera prueba.

¿Qué porcentaje de los(as) estudiantes que aprobaron la primera prueba (suceso A) también aprobaron la segunda (suceso B)?

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llar algunas habilidades en su aplicación para salvar exitosamente la situación enfrentada.Ilustraremos con un primer ejercicio, cómo una situación razonablemente simple, cuando se trata con un número relativamente pequeño de elementos, puede tornarse compleja por el solo hecho de aumentar el número de elementos involucrados.

Combinatoriabásica

a) Un experimento consiste en seleccionar dos fi chas al azar de una caja que contiene 5 fi chas numeradas de 1 a 5.

Determina la probabilidad de que ambas fi chas extraídas tengan números:

i. pares.

ii. impares

b) Repite el experimento con una caja con 100 fi chas numeradas del 1 al 100.

Solucionesa) En primer lugar, determinaremos el espacio muestral E, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles del experimento, para lo cual recurriremos al uso de una tabla.

Fichas 1 2 3 4 5

1 (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)

2 (2, 3) (2, 4) (2, 5)

3 (3, 4) (3, 5)

4 (4, 5)

5

llar algunas habilidades en su aplicación para salvar exitosamente la situación enfrentada.Ilustraremos con un primer ejercicio, cómo una situación razonablemente simple, cuando se trata con un número relativamente pequeño de elementos, puede tornarse compleja por el solo hecho de aumentar el número de elementos involucrados.

Combinatoria

En algunos experimentos aleatorios pueden surgir ciertas di� cultades al intentar contar todos los resultados posibles, sea porque las alternativas son muy numerosas o porque las condiciones tienen cierto nivel de complejidad.

En tales casos es conveniente adquirir conoci-miento de algunos métodos estándar y desarro-

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Como se puede observar, no se ha registrado el total de combinaciones posibles. La razón para ello es que, por tratarse de solo 5 fi chas, es imposible que, al extraer dos, ambas tengan el mismo número. En otras palabras, las combinaciones (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) y (5, 5), no forman parte del espacio muestral (correspondientes a la diagonal de la tabla anterior, destacada en color).

Por otro lado, las combinaciones (1, 2) y (2, 1) son consideradas como el mismo suceso, razón por la cual las casillas bajo la diagonal se han dejado vacías.

De acuerdo a esas consideraciones, E tiene 10 elementos (sucesos elementales) y está defi nido por:

E = {(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)}

i. Defi nimos el suceso A como «extraer dos fi chas con número par», es decir, revisando la tabla (o el espacio muestral) vemos que existe sólo un suceso con tales condiciones, de modo que:

A = {(2, 4)}

Luego, la probabilidad P(A) de ocurrencia de A es:

P(A) = 110

= 0,1 = 10%

ii. Llamemos B al suceso extraer dos fi chas con número impar, de modo que el conjunto B tiene tres elementos y está descrito por:

B = {(1, 3) (1, 5) (3, 5)}

Entonces:

P(B) = 310 = 0,3 = 30%

b) En la parte A fue relativamente sencillo determinar el espacio muestral y la cantidad de elementos que contenía, dato necesario para conocer el denominador de nuestra expre-sión para el cálculo de las probabilidades requeridas. También, determinar los sucesos A y B fue una tarea menor, dada la experiencia que ya hemos adquirido en este tipo de problemas.

Sin embargo, en este caso no resulta sencillo ni práctico hacer una tabla de 100 columnas • 100 fi las (es decir, de 10.000 celdas) para encontrar todos los resultados posibles.

La situación sería aún más crítica, si, en lugar de extraer pares de fi chas, estuviéramos interesados en extraer tríos: por de pronto el uso de tablas, como a la que se apeló en la resolución del ejercicio anterior, ya no sería tan directamente practicable.

Conviene, entonces, refi nar nuestra forma de pensar, para ser capaces de enfrentar si-tuaciones como las descritas.

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Definición del problemaEn la parte b) del ejercicio anterior nos topamos con algunas complicaciones que di� cultan la apli-cación del método con el que habíamos resuelto la parte a) del mismo ejercicio.

Una de las preguntas que deberíamos responder es cuántos elementos tiene el espacio muestral; o formulado de otra manera, cuántos grupos de dos números pueden formarse con 100 números distintos.

La respuesta no es directa y tenemos que pasar por algunas de� niciones y cálculos previos.

Regla del productoAnalicemos las placas patentes de los automóviles en nuestro país. En la actualidad una patente tiene una combinación de 2 letras y de 4 números (salvo los vehículos más nuevos).

Supongamos que se usan 23 letras del abeceda-rio (se excluyen la I, la Ñ, la O y la W). Entonces la primera letra se puede escoger de 23 maneras y la segunda letra también. Existirían en ese caso 23 • 23 combinaciones de letras, lo que da un total de 529 pares de letras.

La parte numérica tiene cuatro dígitos, pero el pri-mero es siempre distinto de 0, por lo cual el primero se puede elegir de 9 maneras diferentes y los otros tres de 10 maneras cada uno, lo que indica que hay 9 • 10 • 10 • 10 = 9.000 números posibles.

Con tales condiciones, el número total de patentes que se puede confeccionar sería:

529 • 9.000 = 4.761.000.

Analicemos otra situación:

Eduardo ha elegido su ropa de trabajo y de � n de semana, de manera que cualquier elección que haga entre sus 2 pares de zapatos, 3 pantalones, 3 chaquetas, 5 corbatas y 4 camisas le satisface estética y funcionalmente. ¿Cuántas tenidas di-ferentes puede lucir?

El resultado es simplemente el producto de los números consignados:

N° de tenidas diferentes = 2 • 3 • 3 • 5 • 4 = 360

de manera que puede usar una tenida diferente prácticamente todos los días del año.

Entonces, generalizando:

De los ejemplos que analizamos, es directo ob-servar que la regla anterior puede generalizarse a cualquier número de posiciones, de modo si hay n elementos para la primera, m para la segunda y r para la tercera, el total de tríos que se puede formar es n • m • r. Y así sucesivamente.

Si hay que disponer elementos en dos posicio-nes y se dispone de n elementos para la primera posición y de m elementos para la segunda posición, el total de parejas que se puede formar es n • m.


1. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden escribir con los números del 1 al 5?

2. Se quiere pintar la fachada de una casa de 3 colores diferentes, elegidos de una paleta de 7 colores que combinan entre sí. ¿Cuántas alternativas de elección de colores existen?

3. Sabiendo que las actuales patentes de automóviles tienen cuatro letras (excluidas las vocales) y dos dígitos del 1 al 9, calcula el número de combinaciones posibles.

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Permutaciones

¿De cuántas maneras se pueden ordenar en línea tres libros (uno azul, uno rojo y uno verde) en un estante?

SoluciónSe ilustran a continuación las 6 formas posibles de ordenar los tres libros en el estante.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 El azul en 1er lugar El rojo en 1er lugar El verde en 1er lugar

¿Cómo podríamos haber llegado al resultado anterior sin exhibir explícitamente todas las posibilidades?

Cuando vamos a colocar el primero de ellos, tenemos tres alternativas: podemos elegir el azul (caso 1), el rojo (caso 2) o el verde (caso 3). Pero una vez que escogemos el que irá en primer lugar, para colocar el segundo libro solo podemos escoger entre los dos que aún no hemos colocado. Y una vez hecha esta elección, para el tercero solo nos queda la alternativa de colocar el que aún no ha sido ordenado.

Aplicando la regla del producto recientemente introducida, podemos deducir que hay 3 • 2 • 1 = 6 maneras de acomodarlos. Técnicamente se dice que hay 6 permutaciones posibles de los tres libros, que son las indicadas en las fi guras de más arriba.

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La ventaja de razonar de esta manera es que resulta fácilmente generalizable a cualquier nú-mero de objetos (en esta ocasión libros, en otra oportunidad podrían ser números naturales, pero también personas en los cargos de una mesa directiva, por citar algunos ejemplos).

Veamos un ejemplo que ilustre esta ventaja, sim-plemente aumentando el número de libros con-siderados. Si tenemos que acomodar 8 libros en un anaquel, el primero podemos escogerlo entre 8 alternativas, el segundo entre 7, el tercero entre 6 y así sucesivamente, de manera que el total de permutaciones posibles será:

8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320

Es decir, ¡existen 40.320 formas diferentes de distribuir 8 libros en línea en un anaquel!

Hubiera sido impracticable llegar a este resulta-do con el método pictórico que utilizamos en el primer caso.

Factorial de nPara abreviar los productos de la forma:

8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1

Se ha adoptado la notación 8! (el número seguido de un signo de exclamación) y se lee ocho factorial o factorial de ocho, es decir:

8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1

De un modo más general, el factorial de un núme-ro natural cualquiera N (que denotaremos N! ) se de� ne como el producto de todos los naturales desde 1 hasta N, es decir:

N! = N • (N – 1) • (N – 2) … 2 • 1

Las calculadoras científicas tienen una tecla (usualmente etiquetada con el símbolo n!) para calcular el factorial de un número natural. Por razo-nes de capacidad de cálculo, memoria y pantalla, las calculadoras solo admiten calcular el factorial de números menores que algún número especí� co de� nido por cada fabricante, pero su� cientemente grande como para realizar todos los cálculos que nos interesan.

En la planilla de cálculo MS Excel para calcular el factorial de un número se emplea la función FACT( ), de modo que para calcular 10! debemos escribir FACT(10).

Defi niciónConsideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos permutación a una lista ordenada de esos n elementos, en la cual no están permitidas las repeticiones.

En el caso de los tres libros que estudiamos al comienzo de esta sección, n = 3 y cada uno de los ordenamientos es una permutación.

El número de permutaciones posibles de n objetos se denota por Pn. Por ejemplo, en el caso de los 8 libros, el número de permutaciones posibles se denota por P8 y de acuerdo a lo que acabamos de analizar,

P8 = 8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320

En general, cuando se consideran n objetos, el nú-mero de permutaciones posibles está dado por:

Pn = n! = n • (n – 1) • (n – 2) … 2 • 1U

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La manera de razonar para llegar a este resultado es la misma que se usó en los casos particulares que analizamos:

Todas las listas posibles son entonces el producto de todas las maneras en que se pueden elegir cada una de sus posiciones:

Pn = n • (n – 1) • (n – 2) … 2 • 1 = n!

Exhibimos a continuación el factorial de los diez primeros números naturales para adquirir mayor familiaridad con esta nueva simbología:

El 1er lugar en la lista se puede elegir de n maneras

El 2° lugar en la lista se puede elegir de n – 1 maneras

El 3er lugar en la lista se puede elegir de n – 2 maneras

El penúltimo lugar en la lista se puede elegir de 2 maneras

El último (n-ésimo) lugar en la lista se puede elegir de 1 manera

1! = 1

2! = 2 • 1 = 2

3! = 3 • 2 • 1 = 6

4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5.040

8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320

9! = 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362.880

10! = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 3.628.800


1. Se quiere distinguir a 5 estudiantes del liceo en virtud a sus méritos, para lo cual se cuenta con 5 premios distintos. ¿De cuántas maneras diferentes es posible asignarlos?

2. El jefe de una repartición decide enviar a 6 funcionarios a visitar 6 localidades para difundir un progra-ma de ayuda social. Cada uno debe visitar una localidad. ¿De cuántas maneras es posible asignar las destinaciones?

Las permutaciones aparecen cuando hay que ordenar n elementos en n lugares. Pero, en ocasiones, hay más elementos que lugares y en ese caso el total de posibles ordenamientos es diferente que en el caso que acabamos de analizar y aparece el concepto de variaciones.

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Para su cumpleaños, Alejandra invitó a sus amigas a tomar helados. En la helade-ría había 4 sabores frutales: piña, frutilla, mora y damasco. La celebrada ofreció a todas sus invitadas helados de dos sabores (que eran servidos uno sobre el otro), en todos los ordenamientos posibles y no hubo dos combinaciones iguales. ¿Cuántas personas había?

Variaciones

Hemos ordenado los helados en 4 grupos de 3 he-lados cada uno, dependiendo si el copo de abajo es de piña, frutilla, mora o damasco. Para cada una de estas disposiciones había 3 elecciones posibles del copo superior.

Había entonces 12 personas.

El número de alternativas podríamos haberlo cal-culado de un modo más abstracto de la siguiente forma.

Hay 4 maneras de escoger el primer copo y 3 maneras de escoger el segundo, de modo que hay en total 12 alternativas diferentes.

Defi niciónConsideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos variación a una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones.

El método para contar el número de variaciones

Vn,r de n elementos en r lugares es análogo al

utilizado para las permutaciones.

El 1er lugar en la lista se puede elegir de n maneras

El 2° lugar en la lista se puede elegir de n – 1 maneras

El 3er lugar en la lista se puede elegir de n – 2 maneras

El último (r-ésimo) lugar en la lista se puede elegir de n – r + 1 maneras

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Observa que hay r posiciones y que habrá, en consecuencia, r factores en el producto.

Todas las listas posibles son, entonces, el produc-to de todas las maneras en que se puede elegir cada una de sus posiciones:

Vn,r = n • (n – 1) • (n – 2) … (n – r + 1)

La última expresión puede manipularse algebrai-camente para obtener una forma más compacta, multiplicándola y dividiéndola por un mismo nú-mero, en este caso (n – r)!

Vn,r = n • (n – 1) • (n – 2)…(n – r + 1) • (n – r)!(n – r)!

Es decir, Vn,r = n • (n – 1) • (n – 2)…(n – r + 1)(n – r) • (n – r – 1)…1

(n – r)!

Como es posible apreciar, la expresión para Vn,r deviene en:

Vn,r = n!(n – r)!

Defi niciónConsideremos un conjunto cualquiera de n elementos. Llamaremos variación con repe-tición a una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual cada elemento puede repetirse tantas veces como se quiera.

Dado que para la elección de cada lugar hay n posibilidades y hay r lugares, el número de varia-ciones con repetición VRn,r es:

VRn,r = nr

Variación con repetición


1. Calcula cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, de acuerdo a las siguientes condiciones:

a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número.

b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número.

2. En un curso de 25 estudiantes se van rotando los 4 cargos directivos (presidente, vicepresidente, secretario y tesorero), de modo de compartir responsabilidades y experiencias. ¿Cuántas directivas distintas es posible formar?

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Combinaciones

Alex tiene la convicción de que se mantiene en forma gracias a que todos los días su colación consiste en tres frutas diferentes y cada día el surtido cambia respecto al del día anterior. Además, tiene la fortuna de abastecerse de ellas en su propia huerta, de la que recolecta naranjas, manzanas, peras, ciruelas y duraznos. Calcula el número de colaciones distintas que puede formar.

Solución

Como vemos, Alex cuenta con la posibilidad de disponer cada día de 5 frutas distintas y cada día elige tres de ellas para su colación.

Razonemos como lo hicimos en el ejercicio resuelto anteriormente.

La primera fruta la puede elegir de 5 maneras diferentes; la segunda fruta solo de 4 ma-neras diferentes y la tercera de 3 maneras diferentes.

Tiene entonces 5 • 4 • 3 = 60 maneras diferentes de escoger su merienda. Es decir, se trata de las variaciones de 5 objetos en grupos de 3.

Como sabemos, el producto 5 • 4 • 3 también se puede escribir así:

5 • 4 • 3 = 5 • 4 • 3 • 2 • 12 • 1 = 5!

(5 - 3)!

Pero no hemos sido sufi cientemente cuidadosos haciéndolo de esta forma, en el sentido de que estamos considerando que la merienda (naranja-manzana-pera), es diferente de la merienda (naranja-pera-manzana) y de la merienda (pera-naranja-manzana), etc.

En otras palabras, una vez elegidas las tres frutas, las permutaciones entre ellas no cons-tituyen meriendas diferentes, de modo que el resultado que obtuvimos debemos dividirlo por 3! = 6: el número de permutaciones que se pueden construir con tres elementos.De esta forma el número de colaciones diferentes es:

C5,3 = 5!3!(5 - 3)! = 10

Defi niciónConsideremos un conjunto cualquiera de n ele-mentos. Llamaremos combinación a una lista no ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones.

Generalizando el resultado obtenido en el ejemplo, el número de maneras en que se puede elegir un grupo de r elementos dentro de un conjunto de n elementos, sin que importe el orden, es:

Cn,r = n!r!(n – r)!

y se suele escribir Cn,r = ( n r ), sin línea de fracción, y

se lee ene sobre erre.

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Calcula el número de grupos de 5 cartas que se pueden formar con una baraja española de 40 cartas sin que importe el orden en que se elige los componentes.

Solución C40,5 = 40!

5! • (40 – 5)! = 40!5! • 35! = 40 • 39 • 38 • 37 • 36 • 35!

5! • 35! = 40 • 39 • 38 • 37 • 365 • 4 • 3 • 2 • 1 ⇒

C40,5 = 78.960.960120 = 658.008


1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3, 4, 5, y 6?

2. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca. Se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos, entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

3. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar turnos. ¿Cuántas ternas diferentes se podrían formar?

4. Calcula el número de posiciones que pueden adoptar 10 personas alrededor de una mesa, si los puestos son indistinguibles unos de otros.

5. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 7 personas en una fi la?

6. ¿De cuántas maneras puede dividirse un grupo de 10 personas en dos grupos de 7 y 3?

7. ¿Cuántas comisiones de 2 hombres y 3 mujeres pueden formarse, si se cuenta con 6 hombres y 5 mujeres?

8. ¿De cuántas maneras pueden elegirse 6 problemas para una prueba, si se cuenta con un total de 10?

9. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 personas en un sofá, si hay 6 personas dis-puestas a ocuparlo?

10. Se sacan 3 cartas de una baraja inglesa. Calcula la probabilidad de que:

a) dos sean ases y una un rey b) todas sean diamantes

c) todas sean de una sola pinta d) al menos 2 sean fi guras

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El valor de la red

Las redes están jugando un rol relevante en esta época de desarrollo de la Humanidad.Esto lo vemos a diario en casos como Internet, Facebook, redes de amigos que dialogan por medios de comunicación, organización de grupos de interés en música, artes, política, ciencia, nego-cios, asistencia social y muchos otros ámbitos.

¿Por qué se produce esta explosión de las redes? Porque las redes signi� can valor para las perso-

Entonces el valor total de la red es proporcional a n (n – 1)2

= 12

(n2 – n)

Donde n es el número de personas (o de nodos en la red). Es decir, el valor de la red crece con el cuadrado de nodos.

nas. Para explicar esto, nos sirve el concepto de las combinatorias.Veamos, por ejemplo, el caso de las comunica-ciones telefónicas (alámbricas e inalámbricas). Una persona se comunica con otra, porque tiene un valor para ella. Llamemos V a este valor. Cuando hay dos personas hay un enlace, cuando hay tres personas hay tres enlaces, cuando hay cuatro personas hay seis enlaces, y así sucesivamente. El siguiente esquema ilustra esta progresión:

2 personas 3 personas 4 personas n personas 1 enlace 3 enlaces 6 enlaces n(n-1)

2 enlaces

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Sucesos de un experimento aleatorio• Suceso elemental: es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

• Suceso compuesto: es un subconjunto del espa-cio muestral, formado por sucesos elementales.

• Suceso imposible: es un suceso con probabili-dad de ocurrencia nula.

• Suceso seguro: es un suceso con probabilidad 1.

Probabilidad clásicaBajo ciertas condiciones, es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado re-sultado antes de realizar el experimento (a priori). La forma teórica de obtener una probabilidad es aplicando la regla de Laplace.

Regla de Laplace Si un experimento aleatorio tiene un número � nito n de resultados y todos ellos son equipro-bables, entonces:

• la probabilidad de ocurrencia de uno de tales resultados es 1

n .

• la probabilidad de ocurrencia P(A) de un suceso A que consta de k de dichos resultados es P(A) = k

n .

• probabilidad clásica:

P(A) = Nº de casos favorablesNº de casos posibles

• probabilidad experimental:

P(A) = Nº de casos de ocurrencia de ANº de resultados observados

Sucesos de un experimento aleatorio• Suceso elemental: es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

• Suceso compuesto: es un subconjunto del espa-cio muestral, formado por sucesos elementales.

• Suceso imposible: es un suceso con probabili-dad de ocurrencia nula.

• Suceso seguro: es un suceso con probabilidad 1.

Probabilidad clásicaBajo ciertas condiciones, es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado re-


Experimento aleatorioEs aquel cuyos resultados, al ser repetido tantas veces como se desee en condiciones similares, no pueden ser predichos con certeza.

Espacio muestralEs el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa• Cuando un experimento aleatorio se repite mu-chas veces, el recuento y registro de los resultados suele hacerse en una tabla de frecuencias.

• La frecuencia absoluta de un resultado es el número de veces que ocurre ese resultado.

• La frecuencia relativa de un resultado es el cuo-ciente entre su frecuencia absoluta y el total de resultados observados.

Equiprobabilidad• Cuando las frecuencias relativas de los dife-rentes resultados posibles de un experimento aleatorio tienden a estabilizarse en valores pare-cidos entre sí, se dice que dichos resultados son equiprobables.

• Si las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles tienden a estabilizarse en valores notoriamente diferentes entre ellos, los resultados son no equiprobables.

Nociones de probabilidad

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Relaciones entre sucesos• Sucesos compatibles: son sucesos de un experimento aleatorio que pueden ocurrir simultáneamente.

• Sucesos mutuamente excluyentes (o incompa-tibles): dos sucesos se dicen mutuamente exclu-yentes, si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia del otro.

• Sucesos independientes: A y B son independien-tes, si la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B y recíprocamente.

• Probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes:

P(A o B) = P(A) + P(B)

• Probabilidad de sucesos independientes:

P(A y B) = P(A) • P(B)

Probabilidad condicionada• Sean A y B dos sucesos tales que P(A) ≠ 0. Se llama probabilidad de B condicionada a A que denotamos por P(B/A) a la probabilidad de que ocurra el suceso B, dado que ha ocurrido el su-ceso A y se cumple que:

P (A/B) = P (A y B)P (B)

Sucesos dependientes y sucesosindependientes• Si A y B son dos sucesos y P(A) = P(A/B), o bien, P(B) = P(B/A), se dice que los sucesos son independientes.

• Si A y B son dos sucesos y P(A) ≠ P(A/B), o bien, P(B) ≠ P(B/A) los sucesos se dicen dependientes.

Ley de los grandes númerosCuando un experimento aleatorio se realiza muchas veces, la frecuencia relativa de los resultados de dicho experimento tiende a esta-bilizarse en cierto valor, que es precisamente la probabilidad.

Variables• Variable aleatoria: es una función que le asocia un valor numérico único a cada uno de los resul-tados del espacio muestral.

• Variable cuantitativa: son las que toman valores numéricos.

• Variable cualitativa: son variables que no tienen una representación numérica. Se expresan por una cualidad.

• Variables continuas: pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

• Variables discretas: solo pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado y no admiten valores intermedios.

Probabilidad de un suceso compuestoSi A es un suceso compuesto: A = {a1, a2, a3,..,an} donde a1, a2, a3,..,an representan resultados (su-cesos elementales), entonces:

P(A) = P(a1 ) + P(a2 ) + P(a3 ) + ... + P(an )

Complemento de un suceso A Es el conjunto de todos los elementos del espacio muestral que no están incluidos en el suceso A. Se denota por A.

Probabilidad del complemento de un sucesoSi A es el suceso complemento de A, entonces:

P(A) + P( A ) = 1 P( A ) = 1 – P(A)

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Combinatoria básica

Nº de objetos Nº de permutaciones posibles

1 1! = 1

2 2! = 2 • 1 = 2

3 3! = 3 • 2 • 1 = 6

4 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

5 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

6 6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

7 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5.040

8 8! = 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40.320

9 9! = 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362.880

10 10! = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 3.628.800

VariacionesSea un conjunto cualquiera de n elementos. Variación es una lista ordenada de r ele-mentos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones. El número de va-riaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es Vn,r =

n!(n – r)! .

Variaciones con repeticiónSea un conjunto cualquiera de n elementos. Variación con repetición es una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual cada elemento puede repetirse tantas veces como se quiera. El número de variaciones de r elementos con repe-tición elegidos de un conjunto de n elementos es VRn,r = nr.

CombinacionesSea un conjunto cualquiera de n elementos. Combinación es una lista no ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones. El nú-mero de combinaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es Cn,r = n!

r! (n – r)!

Regla del producto Para disponer elementos en dos posiciones, y se cuenta con n elementos para la primera posición y con m elementos para la segunda posición, el total de parejas que se puede formar es n • m.

Factorial de N: N! = N • (N – 1) • (N – 2) … 2 • 1

Permutación de n objetosSea un conjunto cualquiera de n elementos. Permutación es una lista ordenada de esos n elementos, en la cual no están permitidas las repeticiones. El número de permutaciones de n elementos es Pn = n! = n • (n – 1) • (n – 2) … 2 • 1.

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Más ejercicios propuestosMás ejercicios

Nociones de probabilidad1. Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

a) sacar al azar una bola de una caja que contiene 15 bolas numeradas del 1 al 15.b) hacer rodar dos dados de ocho caras (1 al 8) y anotar la suma de los puntos obtenidos.c) responder al azar dos preguntas de una encuesta, cuyas respuestas posibles son: siempre, frecuentemente, nunca.

2. Se reunieron 5 estudiantes y cada uno(a) hizo 100 lanzamientos de una moneda y el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno(a) obtenía “cara”. La tabla resume resultados obtenidos.

a) ¿cuántos lanzamientos se hicieron en total?b) completa la tabla siguiente:

Estudiante Frecuencia Frecuencia Nº de Frecuencia absoluta acumulada lanzamientos relativa acumulados acumulada

A 55

B 52

C 48

D 56

E 41

c) gra� ca la frecuencia relativa acumulada en función del número de lanzamientos acumulados. Comenta la forma de la grá� ca al unir los puntos obtenidos.

3. Un experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados: uno de 8 caras y otro de 6 caras y se registra la suma de los puntos obtenidos. Se defi nen los sucesos A, B, C, D y F:

• A: “La suma es igual a 2”• B: “La suma es igual a 15”• C: “La suma es número primo”• D: “La suma es un número entre 2 y 14” • F: “La suma es menor o igual que 10”

Escribe el conjunto de resultados que de� ne a cada uno de ellos y anota de qué tipo de suceso se trata.

Más ejercicios

Nociones de probabilidad Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

sacar al azar una bola de una caja que contiene 15 bolas numeradas del 1 al 15. sacar al azar una bola de una caja que contiene 15 bolas numeradas del 1 al 15. hacer rodar dos dados de ocho caras (1 al 8) y anotar la suma de los puntos obtenidos. responder al azar dos preguntas de una encuesta, cuyas respuestas posibles son: siempre,

estudiantes y cada uno(a) hizo 100 lanzamientos de una moneda y el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno(a) obtenía “cara”. La tabla resume resultados obtenidos.

¿cuántos lanzamientos se hicieron en total?

Estudiante Frecuencia Frecuencia Nº de Frecuencia absoluta acumulada lanzamientos relativa acumulados acumulada

gra� ca la frecuencia relativa acumulada en función del número de lanzamientos acumulados. Comenta la forma de la grá� ca al unir los puntos obtenidos.

Un experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados: uno de 8 caras y otro de 6 caras y se registra la suma de los puntos obtenidos. Se defi nen los sucesos A, B, C, D

Escribe el conjunto de resultados que de� ne a cada uno de ellos y anota de qué tipo de suceso

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4. Se extrae una bola de una urna que contiene diez fi chas numeradas con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 y 19. Encuentra en este experimento un ejemplo para cada uno de estos sucesos:

a) seguro b) imposiblec) elemental d) compuesto

5. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras salga un nú-mero “menor que 5”.

6. Si una bolsa contiene 6 bolitas azules, 4 rojas y 2 verdes, indistinguibles al tacto, calcula la probabilidad de extraer una bolita roja.

7. Calcula la probabilidad de que al extraer una fi cha al azar de un juego de dominó salga un “chancho” (el 0 – 0, el 1 – 1, el 2 – 2, hasta el 6 – 6).

8. Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan 2 caras y un sello.

Probabilidades y probabilidades1. Observa cada una de las cajas de la fi gura adjunta.

Cara 1 2 3 4 5 6


A. B. C.


a) es equiprobable sacar una bolita azul.b) es más probable sacar una bolita roja.c) es más probable sacar una bolita verde.


a) se lanzó una moneda al aire 1.000 veces y los resultados que se obtuvieron fueron 682 veces “cara” y 318 veces “sello”. Compara la frecuencia relativa de cada resultado con la probabilidad teórica.

b) al lanzar 240 veces un dado de seis caras numeradas del 1 al 6, los resultados obtenidos fueron los siguientes:


4. Se extrae una bola de una urna que contiene diez fi chas numeradas con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 y 19. Encuentra en este experimento un ejemplo para cada uno de estos sucesos:

a) seguro b) imposiblec) elemental d) compuesto

5. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras salga un nú-mero “menor que 5”.

6. Si una bolsa contiene 6 bolitas azules, 4 rojas y 2 verdes, indistinguibles al 6 bolitas azules, 4 rojas y 2 verdes, indistinguibles al 6tacto, calcula la probabilidad de extraer una bolita roja.

7. Calcula la probabilidad de que al extraer una fi cha al azar de un juego de dominó salga un “chancho” (el 0 – 0, el 1 – 1, el 2 – 2, hasta el 6 – 6).

8. Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan 2 caras y un sello.

Probabilidades y probabilidades1. Observa cada una de las cajas de la fi gura adjunta.

Cara 1 2 3 4 5 6 Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia absoluta 38 39 43 41 35 44 Frecuencia absoluta 38 39 43 41 35 44

A. B.


a) es equiprobable sacar una bolita azul.b) es más probable sacar una bolita roja.c) es más probable sacar una bolita verde.


a) se lanzó una moneda al aire 1.000 veces y los resultados que se obtuvieron fueron 682 veces “cara” y 318 veces “sello”. Compara la frecuencia relativa de cada resultado con la probabilidad teórica.

b) al lanzar 240 veces un dado de seis caras numeradas del 1 al 6, los resultados obtenidos fueron los siguientes:


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3. Se extrae una carta al azar de la baraja española y se defi ne el suceso A: “Sacar una carta menor o igual a 4”.

a) ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A?b) ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A? c) ¿cuál es el signi� cado de tal suceso?

4. Al lanzar tres monedas al aire se defi nen los siguientes sucesos:• A: “Que se obtengan tres caras o tres sellos”• B: “Que se obtengan dos caras y un sello o una cara y dos sellos”

Determina la probabilidad de ocurrencia de:a) Ab) el complemento de A. c) Bd) el complemento de B.

5. Se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se defi nen los siguientes sucesos:• A: “Sacar una carta par”• B: “Sacar un oro o una copa”• C: “Sacar una copa o un basto o una espada”

Determina:a) el número de resultados posibles de cada suceso.b) los sucesos que ocurren si se extrae un 6 de copas.c) los sucesos mutuamente excluyentes.

6. Se extrae una fi cha de una bolsa que contiene 8 fi chas numeradas: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Se defi nen los siguientes sucesos:

• A: “Obtener un número primo”• B: “Obtener un número par”• C: “Obtener un número impar”

Determinaa) el espacio muestral.b) el suceso A.c) el suceso B.d) la relación entre los sucesos A y B.

7. En un liceo el 55% de los estudiantes vive a más de 20 cuadras del esta-blecimiento y de entre ellos(as) el 24% ha llegado atrasado(a) alguna vez.Calcula la probabilidad de que un(a) estudiante viva a más de 20 cuadras y haya llegado atrasado(a) alguna vez.

8. De una caja con 16 bolas numeradas de 2 al 17, se saca una bola, se anota su número y se devuelve a la caja. Defi nimos los sucesos:• A: “Que salga un número par” • B: “Que salga un cuadrado perfecto”

Calcula la probabilidad de P(A o B).

Se extrae una carta al azar de la baraja española y se defi ne el suceso A: “Sacar una carta menor o igual a 4”.

¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A? ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A? ¿cuál es el signi� cado de tal suceso?

Al lanzar tres monedas al aire se defi nen los siguientes sucesos:: “Que se obtengan tres caras o tres sellos”: “Que se obtengan dos caras y un sello o una cara y dos sellos”

Determina la probabilidad de ocurrencia de:

Se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se defi nen

: “Sacar una copa o un basto o una espada”

el número de resultados posibles de cada suceso. los sucesos que ocurren si se extrae un 6 de copas. los sucesos mutuamente excluyentes.

Se extrae una fi cha de una bolsa que contiene 8 fi chas numeradas: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Se defi nen los siguientes sucesos:

B.

En un liceo el 55% de los estudiantes vive a más de 20 cuadras del esta-blecimiento y de entre ellos(as) el 24% ha llegado atrasado(a) alguna vez.Calcula la probabilidad de que un(a) estudiante viva a más de 20 cuadras y haya

De una caja con 16 bolas numeradas de 2 al 17, se saca una bola, se anota su número y se devuelve a la caja. Defi nimos los sucesos:

: “Que salga un cuadrado perfecto”

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9. Considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar de la baraja inglesa. Se defi nen los sucesos:• A: “No sacar fi gura” • B: “No sacar corazón”Calcula:a) la probabilidad de cada evento.b) la probabilidad de que la carta seleccionada no sea corazón, sabiendo que no fue � gura.

10. Se hace rodar un dado de seis caras y se defi nen los sucesos:• A: Que salga un número impar • B: Que salga un número menor que 4Calcula:a) la probabilidad de cada evento.b) la probabilidad de obtener un número impar, sabiendo que salió un número menor que 4.c) la probabilidad de obtener un número impar, sabiendo que salió un número mayor que 2.d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?

11. Se hacen rodar dos dados, uno de ocho y el otro de seis caras.a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 9?b) Si la suma de los puntos ha sido 9, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los dos dados haya sido un 5?

12. Se quieren forrar los 6 cojines de un dormitorio con géneros diferentes entre sí elegidos de un muestrario de 10 géneros distintos.¿Cuántas alternativas de elección existen?

13. Calcula cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5:a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número.b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número.

14. En un grupo de 18 jóvenes ocupados de ayuda comunitaria se van rotando las 6 tareas básicas (dirección general, fi nanzas, recepción de solicitudes, relaciones públicas, adquisiciones e informática) de modo de compartir res-ponsabilidades y experiencias.¿Cuántas con� guraciones distintas es posible formar?

15. Hay que ubicar 8 archivadores en un estante en el cual hay sólo 4 espa-cios disponibles.¿De cuántas maneras se pueden seleccionar y ubicar 4 de los 8 archivadores, suponiendo que no existan razones para preferir alguno?

16. Una empresa cuenta con 12 guardias con los cuales hay que formar pa-rejas para realizar recorridos de vigilancia.¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar?

17. Calcula el número de posiciones que pueden adoptar 8 personas alrededor de una mesa, si los puestos son indistinguibles unos de otros.

18. Hay 6 personas en una fi la.¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 6 personas en una � la?

9. Considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar de la baraja inglesa. Se defi nen los sucesos:• A: “No sacar fi gura” • B: “No sacar corazón”Calcula:a) la probabilidad de cada evento.b) la probabilidad de que la carta seleccionada no sea corazón, sabiendo que no fue � gura.

10. Se hace rodar un dado de seis caras y se defi nen los sucesos:• A: Que salga un número impar • B: Que salga un número menor que 4Calcula:a) la probabilidad de cada evento.b) la probabilidad de obtener un número impar, sabiendo que salió un número menor que 4.c) la probabilidad de obtener un número impar, sabiendo que salió un número mayor que 2.d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?

11. Se hacen rodar dos dados, uno de ocho y el otro de seis caras.a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 9?b) Si la suma de los puntos ha sido 9, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los dos dados haya sido un 5?

12. Se quieren forrar los 6 cojines de un dormitorio con géneros diferentes entre sí elegidos de un muestrario de 10 géneros distintos.¿Cuántas alternativas de elección existen?

13. Calcula cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5:a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número.b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número.

14. En un grupo de 18 jóvenes ocupados de ayuda comunitaria se van rotando las 6 tareas básicas (dirección general, fi nanzas, recepción de solicitudes, 6 tareas básicas (dirección general, fi nanzas, recepción de solicitudes, 6relaciones públicas, adquisiciones e informática) de modo de compartir res-ponsabilidades y experiencias.¿Cuántas con� guraciones distintas es posible formar?

15. Hay que ubicar 8 archivadores en un estante en el cual hay sólo cios disponibles.¿De cuántas maneras se pueden seleccionar y ubicar 4 de los 8 archivadores, suponiendo que no existan razones para preferir alguno?

16. Una empresa cuenta con 12 guardias con los cuales hay que formar pa-rejas para realizar recorridos de vigilancia.¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar?

17. Calcula el número de posiciones que pueden adoptar de una mesa, si los puestos son indistinguibles unos de otros.

18. Hay 6 personas en una fi la.¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 6 personas en una � la?

UN

IDA

D 4

EVA

LU

AC

IÓN

260


Autoevaluación

1. Un ramo de fl ores tiene tres rosas blancas, dos rojas y cuatro amarillas. Se toma una rosa al azar del ramo, por su tallo. Encuentra la probabilidad de que:a) sea roja o blancab) sea roja o amarillac) sea blanca o amarilla

2. Una investigación establece que en cierta localidad, en promedio llueve 3/5 de los días de julio. Se seleccionan arbitrariamente tres días. Calcula la probabilidad de que:a) llueva los tres díasb) llueva exactamente en dos de ellosc) al menos en dos de ellos no llueva

3. La tabla muestra las califi caciones de 0% a 100% de una asignatura de Matemática de 200 jóvenes universitarios.

Encuentra cuántos estudiantes obtuvieron:a) más de 60%b) menos de 41%c) entre 31% y 70%

Califi caciones Nº de estudiantes

1 – 10 2 11 – 20 3 21 – 30 14 31 – 40 25 41 – 50 59 51 – 60 45 61 – 70 21 71 – 80 15 81 – 90 12 91 – 100 4

a) Encuentra la frecuencia relativa de los trozos, cuya masa está entre 5,0 kg y 5,9 kg.b) La frecuencia porcentual de los trozos, cuya, masa está entre 6,0 kg y 8,0 kg.

5. Dos de los diez mejores deportistas del co-legio representarán al establecimiento en las olimpiadas regionales.

¿Cuántas elecciones posibles existen?

6. De la siguiente tabla de calificaciones, determina:

a) el promediob) la medianac) la moda

4. Al clasifi car la masa de una muestra de 100 trozos de roca provenientes de una explosión en una mina, se encuentra que:

2 3 6 4 1 1 6 2 7 7 2 5 4 7 6 6 4 7 6 5 7 3 2 2 6 6 4 1 6 2 3 4 2 7 6 7 1 6 5 6 1 5 4 4 2 7 3 7 3 3

Masa (kg) Nº de trozos

1,0 – 1,9 3

2,0 – 2,9 4

3,0 – 3,9 10

4,0 – 4,9 15

5,0 – 5,9 19

6,0 – 6,9 21

7,0 – 7,9 13

8,0 – 8,9 10

9,0 – 9,9 5

Autoevaluación

Un ramo de fl ores tiene tres rosas blancas, dos rojas y cuatro amarillas. Se toma una rosa al azar del ramo, por su tallo. Encuentra la

Una investigación establece que en cierta localidad, en promedio llueve 3/5 de los días de julio. Se seleccionan arbitrariamente tres

La tabla muestra las califi caciones de 0% a La tabla muestra las califi caciones de 0% a 100% de una asignatura de Matemática de 200

Encuentra cuántos estudiantes obtuvieron:

a) Encuentra la frecuencia relativa de los trozos, cuya masa está entre 5,0 kg y 5,9 kg.b) La frecuencia porcentual de los trozos, cuya, masa está entre 6,0 kg y 8,0 kg.

5. Dos de los diez mejores deportistas del co-legio representarán al establecimiento en las olimpiadas regionales.

¿Cuántas elecciones posibles existen?

6. De la siguiente tabla de calificaciones, determina:

a) el promediob) la medianac) la moda

4. Al clasifi car la masa de una muestra de 100 trozos de roca provenientes de una explosión en una mina, se encuentra que:

2 3 6 4 1 2 3 6 4 1 2 3 6 4 1 1 6 2 7 7 1 6 2 7 7 1 6 2 7 7 2 5 4 7 6 2 5 4 7 6 2 5 4 7 6 6 4 7 6 5 6 4 7 6 5 6 4 7 6 5 7 3 2 2 6 7 3 2 2 6 7 3 2 2 6 6 4 1 6 2 6 4 1 6 2 6 4 1 6 2 3 4 2 7 6 3 4 2 7 6 3 4 2 7 6 7 1 6 5 6 7 1 6 5 6 7 1 6 5 6 1 5 4 4 2 1 5 4 4 2 1 5 4 4 2 7 3 7 3 3 7 3 7 3 3 7 3 7 3 3

2 3 6 4 1 1 6 2 7 7 2 5 4 7 6 6 4 7 6 5 7 3 2 2 6 6 4 1 6 2 3 4 2 7 6 7 1 6 5 6 1 5 4 4 2 7 3 7 3 3

2 3 6 4 1 1 6 2 7 7 2 5 4 7 6 6 4 7 6 5 7 3 2 2 6 6 4 1 6 2 3 4 2 7 6 7 1 6 5 6 1 5 4 4 2 7 3 7 3 3

2 3 6 4 1 1 6 2 7 7 2 5 4 7 6 6 4 7 6 5 7 3 2 2 6 6 4 1 6 2 3 4 2 7 6 7 1 6 5 6 1 5 4 4 2 7 3 7 3 3

2 3 6 4 1 1 6 2 7 7 2 5 4 7 6 6 4 7 6 5 7 3 2 2 6 6 4 1 6 2 3 4 2 7 6 7 1 6 5 6 1 5 4 4 2 7 3 7 3 3

Masa (kg) Nº de trozosMasa (kg) Nº de trozos

1,0 – 1,9 31,0 – 1,9 3

2,0 – 2,9 42,0 – 2,9 4

3,0 – 3,9 103,0 – 3,9 10

4,0 – 4,9 154,0 – 4,9 15

5,0 – 5,9 195,0 – 5,9 19

6,0 – 6,9 216,0 – 6,9 21

7,0 – 7,9 137,0 – 7,9 13

8,0 – 8,9 108,0 – 8,9 10

9,0 – 9,9 59,0 – 9,9 5

UN

IDA

D 4

EVA

LU

AC

IÓN

261


SolucionesUnidad 1

página 16 (3, 16)2 = ( 57

18 )2 = 3.249

324 > 10

∴ 3, 16 > 10

página 201. a) 11 b) 2 3 – 1

c) 2 d) 5 33

e) 5 a5

2. a) 8 105

b) 7 22

c) 2 d) 4 1515

e) 22

• ac

página 22 a) 5 ( 3 + 2 ) b) 3 – 1

c) 2 ( 5 – 2 ) d) 15 3 + 6 555

e) 7(3 + 7 )2

f) k( k – 2)k – 4

con k ≠ 4 ó 1 si k = 4

g) 2x – x2 – x

si x ≠ 2 ó 12

si x = 2

h) 2p + 3q + 2 6pq2p – 3q

si p = 3q, se reduce a 3 + 2 2

i) zy

página 24 a) 2 + 6 – 2

2

b) 12 + 18 – 3012

c) 39 5 – 40 3 – 25 7 + 6 105170

d) ( p + 2q + p + 2q ) 2pq4 pq

página 281. 3

43 • 2

16

2. 2– 7

6 • 3– 2

3 • 5– 1

6

3. 27

página 29

1. a) 22

b) 2 33

c) 55

d) 2

e) 12

f) 153

g) – (1 + 2 ) h) 6 + 3 5

i) 2 ( 7 – 3 ) j) 15 – 3

k) 2 ( 7 + 3 ) l) 15 + 3

m) 2 n) 2

o) 2 p) 10 – 4 6

2. a) c < a < b < d g < e < f < h

j < i < l < k p < o = m < n

b) e < a < m < i j < b < f < n

g < c < o < k p < d < l < h

3. a) 813

9

b) ( 73 )2+ 73• 33

+ ( 33 )24

c) 4 + 2 • 23+ ( 23 )2

6

d) ( 8 + 2) • [ 2 + 2 • 23+ 43 ]

4

e) 4 + 2 • 103 + ( 103 )2

2

f) k + r + 2 • ( k3 )2 • r3+ 2 • k3

• ( r3 )2k – r

, k ≠ r

262

SolucionesUnidad 1

página 16página 16 (3, 1 (3, 1 ( 6)2 = (( 57

18 ))2 = 3.249

324> 10

∴ 3, 16 > 10

página 201. a) 11 b) 2 3 – 1

c) 2 d) 5 33

e) 5 a5

2. a) 8 105

b) 77 22

c) 2 d) 4 1515

e) 22

•ac

página 22a) 5 (a) 5 ( 3 + 2 ) b) 3 – 1

c) 2 ( c) 2 ( 5 – 2 ) d) 15 3 + 6 555

e) 7((3 + (3 + ( 7 ))2

f) k((( k – 2))k – 4

con k ≠ 4 ó 1 si k = 4

g) 2x – x2 – x

si x ≠ 2 ó 12

si x = 2

h) 2p + 3q + 22p + 3q + 2 6pq2p – 3q

si p = 3q, se reduce a 3 + 2 2

i) zy

página 24a) 2 + 6 – 2

2

b) 12 + 18 – 3012

c) c)

d) d)

1.1.

2.

3.

1. a)

c)

e)

g) – (

i)

k) 2 (

m)

2. a)

j < i < l < k p < o = m < n

b)

g < c < o < k p < d < l < h

3. a)

b)

c)

d)

e)

f)

262

SOLUCIONES_3medio CS3.indd 262 10/8/09 17:13:47

100 ≈ 10,045. Es una mejor aproximación que la obtenida con 100 = 81 + 19.

2. 150 = 144 + 6 ≈ 12,25.

página 491. Para que todos los valores quedaran dentro del mismo rango.

2. Las parábolas se abren (cierran) cuando IaI > 1 (IaI < 1).

página 511. L1: y = x + 3 L2: y = 5x – 5

2. Las rectas son paralelas, por lo tanto, no se intersectan.

3. a) 120 km b) 1,5 h

página 541.

a) a)

a c h

5 0 0

–6 0 0

4 – 14 – 1

4

–2 14 1

8

1 0 3

– 14 0 1

– 12 1

2 – 7

8

2 1 1

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. a) Para la parábola y = Ax2 + Bx + C las coordenadas del punto de intersección con el eje Y son (0,C). En el ejercicio anterior:

a) b) c) d) e) f) g) h)

C 0 0 0 0 3 1 –1 3

Los puntos de intersección con el eje X son:

( –B ± B2 – 4AC2A ,0). En el ejercicio anterior:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

b)

página 611. a) 5

2 ± 17

2 b) 1

7 ± 2 37

7

c) 4 y –2 d) 1 y – 13

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(– 3 ,0) y ( 3 ,0)

(–2,0) y (2,0)

No existe intersección


0,5 –0,5 –1,0 –1,5 –2,0 1,0 1,5 2,0

y

x

5

–5 –10 –15 –20 –25 –6x2

–2x2 + x

4x2 + 2x

5x2

0,0

10 15 20 20

0,0 1 -1

-5

5

10

15

20

25

-2 2

y

x

2x2 – 4x + 3

x2 – 3

– x2 + x – 1 1 2

1 2

– x2 + 1 1 4

Es una mejor aproximación que la obtenida

Las parábolas se abren (cierran) cuando

las coordenadas del punto de intersección con el eje

Los puntos de intersección con el eje X son:

(( –B ± B2 – 4AC2A ,0). En el ejercicio anterior:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

b)

página 611. a) 5

2± 17

2 b) 1

7± 2 37

7

c) 4 y –2 d) 1 y – 13

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(– 3 ,0) y ( 3 ,0)

(–2,0) y (2,0)


No existe intersección No existe intersección

0,5 0,5 0,5 0,5 –0,5 –0,5 –0,5 –0,5 –1,0 –1,0 –1,0 –1,0 –1,5 –1,5 –2,0 –2,0 1,0 1,0 1,5 1,5 1,5 1,5 2,0 2,0

y y

x

5 5

–5 –5 –10 –10 –10 –10 –10 –15 –15 –15 –15 –15 –20 –20 –20 –20 –20 –25 –25 –25 –25 –25 –6x–6x–6x2 2

–2x–2x2 + x + x

4x4x2 + 2x + 2x

5x5x2

0,0 0,0 0,0 0,0

10 10 15 15 20 20 20 20

0,0 0,0 0,0 1 1 1 1 -1 -1

-5 -5

5 5

10 10

15 15

20 20

25 25

-2 -2 2 2

y

x

2x2 – 4x + 3 – 4x + 3 – 4x + 3 – 4x + 3

x222 – 3 – 3

– x– x– x– x– x2 + x – 1 + x – 1 + x – 1 + x – 1 + x – 1 + x – 1 + x – 1 + x – 1 + x – 1 1 1 – x1 – x– x1 – x2 2 – x2 – x– x2 – x 1 1 + x – 1 1 + x – 1 + x – 1 1 + x – 1 2 2 + x – 1 2 + x – 1 + x – 1 2 + x – 1

– x– x2 + 1 + 1 1 1 4 4 4 4 4 – x4 – x– x4 – x

UN

IDA

D 1

SO

LU

CIO

NES

263

10. 81 + 16 cm = 97 cm =

100 – 3 cm ≈ 9,85 cm

11. a) AB ≈ 116,5 m; BC ≈ 77,7 m; b) S ≈ 9052 m2

página 7612. a) Curva B

b) x no está de� nido para x < 0, lo que elimina las curvas C, D y E. La curva A representa un crecimiento cuadrático.

página 7713.

14. a) 2 = 8 – 2

b) 18 = 8 + 2 = 5 2 – 4 2

c) 3 3 – 6 3

= 12 + 3 3

d) 20 = –4 5 + 3 2 10

15. a) 5 – 2 b) 3 + 2

c) 20 – 2 d) 56 – 7

e) 3 6 – 8

16. a) Lunes: AB + BC ≈ 13,3 km; Martes: CD + DE ≈ 12,8 km

b) AB + BC > CD + DE

0,0 2 -2

1

2

3

4

5

6

7

-4 4 6 8 10

y

x

x – 2

x + 2

4x – 3

5x

página 65 a) 5 ± 23 b) – 3

2 ± 17

2

c) 14

± 334

d) 314

± 20514

e) 45

± 10410

Más ejercicios propuestospágina 74

1. a) 12 b) 16 c) 17 d) 15 e) 18

f) 13 g) 11 h) 14 i) 20 j) 19

2. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

f) 60 g) 70 h) 80 i) 90 j) 100

3. a) 2 • 7 = 14 b) 40 c) 36

d) 144 e) 152

f) 27017

g) 649

h) 12

i) 120

4. a) 36 + 64 = 100 = 10 b) 15

c) 13 d) 17

5. a) 36 + 64 = 6 + 8= 14 b) 21

c) 17 d) 23

6. a) 144 = 121 + 23 ∴ 144 ≈ 12,136

b) 1000 = 900 + 100 ≈ 31,6

7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

f) 7 g) 8 h) 9 i) 10

página 758. a) 2

52 b) 2

152 c) 33 d) 2

72

e) 5173 f) 2

– 12 g) 3

– 43 h) 7

27160

9. a) 272

• 352 b) 2

356

• 573 c) 2 • 7

76

d) 33 • 552 e) 72 • 5

143 f) 2

– 3115• 3

11930

264

10.

11.

12.

b) que elimina las curvas curva cuadrático.

13.

14.

b)

c) 3

d)

15.

16.

página 65a) 5 ± 23 b) – 3

2± 17

2

c) 14

± 334

d) 314

± 20514

e) 45

± 10410


1. a) 12 b) 16 c) 17 d) 15 e) 18

f) 13 g) 11 h) 14 i) 20 j) 19

2. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

f) 60 g) 70 h) 80 i) 90 j) 100

3. a) 2 • 7 = 14 b) 40 c) 36

d) 144 e) 152

f) 27017

g) 649

h) 12

i) 120

4. a) 36 + 64 = 100 = 10 b) 15

c) 13 d) 17

5. a) 36 + 64 = 6 + 8= 14 b) 21

c) 17 d) 17 d) 17 23

6. a) 144 = 121 + 23 ∴ 144 ≈ 12,136

b) 1000 = 900 + 100 ≈ 31,6

7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

f) 7 g) 7 g) 7 8 h) 9 i) 10

página 758. a) 2

52 b) 2

152 c) 33 d) 2

72

e) 5173 f) 2

– 12 g) 3

– 43 h) 7

27160

9. a) 272

• 352 b) 2

356

• 573 c) 2 • 7

76

d) 33 • 552 e) 72727 • 5

143 f) 2

– 2

– 2

3115• 3

11930

264

UN

IDA

D 1

SO

LU

CIO

NES

17.

0,0 1 -1

0,5

1

1,5

2

2,5

-2 -3 -4 2 3 4

y

x

3 – x

q(–6) = 3

18. 2x + a – 3

página 7819. a) (–1,0) y (3,0) b) (1, –4)

c) (0,–3)

20. Alternativa d)

21. a) x1 = –2 y x2 = 6 b) (0,–12)

c) x = 2

22. a) –3 ± 2 3 b) 1 ± 6

c) 5 ± 52

d) –1 ± 103

e) –1 y 13

23. a) 5 ± 172

b) –1 ± 1487

c) –1 y 3 d) 1 y – 13

Autoevaluaciónpágina 79

1. El área S de un cuadrado de lado a está dada por la expresión S = a2, de manera que en este caso a = 120. Como 120 está entre a = 10 y b = 11, utilizando la aproximación encontrada al inicio de la Unidad.

N ≈ Na+b + a+b

4

podemos escribir que: 120 = 120

10+11 + 10+11

4 = 120

21 + 21

4 = 5,71 + 5,25 = 10,96

A modo de veri� cación elevamos al cuadrado el número obtenido: (10,96)2 ≈ 120,12 El resultado entregado por una calculadora de bolsillo para 120es 10,954451, de modo que la aproximación di� ere alrededor de un 0,05% de 120

2.

150 = 144 + 6 = 144(1+ 6144) = 12 (1+ 6

144)

= 12+ 14

= 12,25

El valor obtenido con la aproximación di� ere en alrededor de 0,02% de 12,247449 obtenido con una calculadora de bolsillo.

3. Supongamos que las dimensiones de los ca-jones de 30 lt son a, b, y c. Su capacidad será entonces C60 = abc. Si los cajones de 60 lt tienen sus dimensiones correspondientes proporciona-les, sus lados medirán ka, kb y kc respectivamente, y su capacidad será C60 = k3abc. Como C60 = 2C30, se tendrá que k3 = 2, de manera que k = 23 .

La cantidad de madera utilizada en los cajones es proporcional a su super� cie. En el caso de los cajones más pequeños su super� cie es 2(ab + bc + ca) y en el caso de los cajones más grandes será 2k2(ab + bc + ca), de modo que la razón en-tre el material usado en los cajones de 60 lt será k2 veces el material usado en los cajones de 30 lt. Por lo tanto, para mantener la relación precio-costo, el precio de los cajones grandes será k2 veces el precio de los cajones chicos, es decir, Precio cajones grandes / Precio cajones chicos = ( 23 )2 ≈ 1,59.

4. Llamemos L a la longitud del tubo y x a la altura del arco. En tal caso la longitud del travesaño DC es L – 2x y el área S del rectángulo ABCD será S(x) = (L – 2x) x, es decir S(x) = – 2x2 – xL, que

x x

de un cuadrado de lado a está dada , de manera que en este

= 10 y = 11, utilizando la aproximación encontrada al

N ≈ Na+b + a+b

4podemos escribir que:

120120 = 12010+11

+ + 10+11

+ 10+11

10+114

= = 120 21

+ + 214

= 5,71 + 5,25 = 10,96 = 5,71 + 5,25 = 10,96

A modo de veri� cación elevamos al cuadrado el número obtenido: (10,96)2 ≈ 120,12

El resultado entregado por una calculadora de bolsillo para 120es 10,954451, de modo que la aproximación di� ere alrededor de un 0,05% de 120

2.

150 = 150 = 150 144 + 6 = 144(1+ 6144))= 12 (1+ 6

144))(

= 12+ 14

= 12,25

El valor obtenido con la aproximación di� ere en alrededor de 0,02% de 12,247449 obtenido con una calculadora de bolsillo.

3. Supongamos que las dimensiones de los ca-jones de 30 lt son lt son lt a, b, y c. Su capacidad será entonces C60 = abc. Si los cajones de 60 lt tienen lt tienen ltsus dimensiones correspondientes proporciona-les, sus lados medirán ka, kb y kc respectivamente, y su capacidad será C60 = k3 k3 k abc. Como C60 = 2C30, se tendrá que k3k3k = 2, de manera que k = 23 .

La cantidad de madera utilizada en los cajones es proporcional a su super� cie. En el caso de los cajones más pequeños su super� cie es 2(ab + bc + ca) y en el caso de los cajones más grandes será 2k2k2k (ab + bc + ca), de modo que la razón en-tre el material usado en los cajones de 60 lt será k2k2k veces el material usado en los cajones de 30 lt. Por lo tanto, para mantener la relación precio-costo, el precio de los cajones grandes será k2k2kveces el precio de los cajones chicos, es decir, Precio cajones grandes / Precio cajones chicos= ( 23 )2 ≈ 1,59.

4. Llamemos L a la longitud del tubo y x a la altura del arco. En tal caso la longitud del travesaño DCes L – 2x2x2 y el área x y el área x S del rectángulo ABCD será S(x) = (L – 2x) x2x) x2 , es decir S(x) = – 2x2x2 2x2x – xL, que

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265


SolucionesUnidad 2

página 871. Números: 4 , –16 , 2 + 5 , 14

Intervalos que los contienen a todos:[–16,14] , [–200,14], etc.

Intervalos que contienen solo tres números:[–16,4] , [ 2 + 5 ,14] , etc.

Intervalos que contienen solo dos números:[–16, 2 + 5 ] , [4,14], etc.

Intervalos que contienen solo un número:[–16,–16] , [4,4] , etc.

Intervalos que no contienen ninguno de tales números:[–18,16] , [15,25] , etc.

2. Los elementos comunes entre [3,5] y [–16,14] son los de [3,5].Los elementos comunes entre ]2,14[ y [–16,14] son los elementos ]2,14[.

página 891. L1: y ∈ [–10,2] ⇒ el valor mínimo de y es –10

L2: y ∈ [–1,5] ⇒ el valor mínimo de y es –1

Las distancias recorridas son:

en L1: d1 = I2 – (–10)I = 12

en L2: d2 = I5 – (–1)I = 6

Luego, en L1, y recorre mayor distancia que en L2

2. A: –1 ≤ x < 2 B: y ≤ 2x + 1 C: y ≥ –1

Gra� cando:

y = 2x + 1

AC

B

representa una parábola abierta hacia abajo y que pasa por el origen. La función S(x), es decir, el área del rectángulo, alcanza su máximo en el punto medio entre las raíces de la ecuación S(x) = 0. Como S(x) = 0 en x = 0 y en x = L/2, entonces el máximo se encuentra en x = L/4. En tal caso, dado que L = 12m, la altura del arco será 3m y al ancho del arco 6m.

5. Llamemos x a la longitud del segmento CD y a a la longitud de AD, entonces –de acuerdo a las condiciones del problema– la longitud de AB será 2x.

En consecuencia, la longitud de BC será: BC= (AB)2 + (AC)2 = (2x)2 +(a-x)2 = 5x2 -2ax+a2

BC será un mínimo cuando la cantidad subradical f(x) = 5x2 – 2ax + a2 lo sea.

Como el coe� ciente de x2 es positivo, entonces f(x) representa una parábola abierta hacia arriba; si calculamos el discriminante, podemos ver que no corta al eje de las abscisas. La coordenada x del mínimo se encuentra como la semisuma de las raíces. Por las propiedades de las raíces de una ecuación de 2° grado sabemos que la suma de las raíces es el coe� ciente de x dividido por el coe� ciente de x2 con signo menos, lo que en este caso es a/5 lo cual implica que f(a/5) = 4a2/5 por lo cual BC =2 5

5a

6. Por simple inspección, las raíces de la ecuación x2 – 2x – 3 = 0 son 3 y –1 (para factorizarla hay que encontrar dos números, cuya suma sea 2 y cuyo producto sea –3). En consecuencia, las raíces de la ecuación que estamos buscando son 9 y –3. La ecuación será entonces (x – 9)(x + 3) = 0, ó bien, x2 – 6x – 27 = 0

266

1.

Intervalos que los contienen a todos:[–16,14]

Intervalos que contienen solo tres números:[–16,4]

Intervalos que contienen solo dos números:[–16,

Intervalos que contienen solo un número:[–16,–16] , [4,4]

Intervalos que no contienen ninguno de tales números:[–18,16] , [15,25]

2.son los de Los elementos comunes entre son los elementos

1.

L

Las distancias recorridas son:

en

en

Luego, en L

2.

Gra� cando:

representa una parábola abierta hacia abajo y que pasa por el origen. La función S(x), es decir, el área del rectángulo, alcanza su máximo en el punto medio entre las raíces de la ecuación S(x) = 0. Como S(x) = 0 en x = 0 y en x = 0 y en x x = x = x L/2, entonces el máximo se encuentra en x = x = x L/4. En tal caso, dado que L = 12m, la altura del arco será 3m y al ancho del arco 6m.

5. Llamemos x a la longitud del segmento x a la longitud del segmento x CD y a a la longitud de AD, entonces –de acuerdo a las condiciones del problema– la longitud de AB será 2xserá 2xserá 2 .

En consecuencia, la longitud de BC será:

BC= (AB)2 + (AC)2(AB) = (2(2( x)2x)2 2 +(a-x)2( = 5x5x5 2 x2 x -2ax+a25

BC será un mínimo cuando la cantidad subradical f(x) = 5x5x5 2x2x – 2ax + a2 lo sea.

Como el coe� ciente de x2x2x es positivo, entonces f(x) representa una parábola abierta hacia arriba; si calculamos el discriminante, podemos ver que no corta al eje de las abscisas. La coordenada xdel mínimo se encuentra como la semisuma de las raíces. Por las propiedades de las raíces de una ecuación de 2° grado sabemos que la suma de las raíces es el coe� ciente de x dividido por el x dividido por el xcoe� ciente de x2x2x con signo menos, lo que en este caso es a/5 lo cual implica que f(a/5) = 4a2/5 por lo cual BC =2 5

/5 lo cual implica que

5a

6. Por simple inspección, las raíces de la ecuación x2x2x – 2x – 2x – 2 3 = 0 son 3 y –1 (para factorizarla hay que encontrar dos números, cuya suma sea 2 y cuyo producto sea –3). En consecuencia, las raíces de la ecuación que estamos buscando son 9 y –3. La ecuación será entonces (xecuación será entonces (xecuación será entonces ( – 9)(x – 9)(x x – 9)(x – 9)( + 3) = 0, ó bien, x + 3) = 0, ó bien, xx2x2x – 6x – 6x – 6 27 = 0

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SolucionesUnidad 2

Luego, la zona de intersección de las zonas A, B y C es el resultado (en que los tres achurados se superponen).

página 921. Los impuestos son: mes 1: I = 19.182 mes 2: I = 61.142 mes 3: I = 0

El total de impuestos pagados en los tres meses es de $ 80.324.El promedio de las rentas mensuales es:

780.000 + 1.250.000 + 160.0003

= $ 730.000

El impuesto correspondiente a este valor es de:

I = 0,05 • 730.000 – 19.818 = 16.682

Si la persona hubiera ganado el promedio mensual de $ 730.000 durante tres meses, el impuesto total pagado en el periodo sería de 3 • 16.682 = $ 50.076Este valor es menor al obtenido, según las ren-tas variables ($ 80.324).

2. El impuesto que corresponde al sueldo del ingeniero experimentado es $ 257.222.El impuesto a pagar por cada ingeniero contratado es $ 56.142. Por ambos ingenieros, el impuesto es $ 112.284.Por lo tanto, el impuesto pagado a los dos nue-vos ingenieros es menor al caso del ingeniero experimentado.

página 931. El tiempo mínimo de recorrido para A es 24,0 min. El tiempo máximo de recorrido para A es 30,0 min. Intervalo de tiempo en trayectoria A: [24,0 min, 30,0 min]

El tiempo mínimo de recorrido para B es de 25,2 min.

El tiempo máximo de recorrido para B es de 28,0 min.

Intervalo de tiempo en trayectoria B: [25,2 min, 28,0 min]


2. El tiempo mínimo de recorrido para B es de 12,0 min. El tiempo máximo de recorrido para B es de 21,0 min. Intervalo de tiempo para B: [12,0 min, 21,0 min] Representando en la recta numérica:

página 991. La máquina C debe trabajar al menos 102,2 días y la máquina A, al menos 106 días.

2. A con B pavimentan 43,2 km A con C pavimentan 45,6 km B con C pavimentan 40,8 km

El rendimiento mínimo de la máquina D para que trabaje con la máquina A debe ser de 0,22 km/día.Sí la máquina D trabaja conjuntamente con la máquina B, el rendimiento debe ser mayor que 0,26 km/día.

página 1011. a) Las notas posibles son x1 y x2.

b) El máximo resultado que puedes obtener es 6,3.

x1 x2

7,0 5,8

6,9 5,9

6,8 6,0

6,7 6,1

6,6 6,2

6,5 6,3

6,4 6,4

Trayectoria BTrayectoria B descongestionada

Trayectoria A

24,021,012,0 28,025,2 30,0

Trayectoria B

Trayectoria A

24,0 28,025,2 30,0

A, B es el resultado (en que los tres achurados se

El total de impuestos pagados en los tres meses

El impuesto correspondiente a este valor es de:

Si la persona hubiera ganado el promedio mensual durante tres meses, el impuesto total

16.682 = $ 50.076Este valor es menor al obtenido, según las ren-

El impuesto que corresponde al sueldo del

El impuesto a pagar por cada ingeniero contratado es $ 56.142. Por ambos ingenieros, el impuesto

Por lo tanto, el impuesto pagado a los dos nue-vos ingenieros es menor al caso del ingeniero


2. El tiempo mínimo de recorrido para B es de 12,0 min. El tiempo máximo de recorrido para B es de 21,0 min.

Intervalo de tiempo para B: [12,0 min, 21,0 min]


página 991. La máquina C debe trabajar al menos 102,2días y la máquina A, al menos 106 días.

2. A con B pavimentan 43,2 kmA con C pavimentan 45,6 kmB con C pavimentan 40,8 km

El rendimiento mínimo de la máquina D para que trabaje con la máquina A debe ser de 0,22 km/día.Sí la máquina D trabaja conjuntamente con la máquina B, el rendimiento debe ser mayor que 0,26 km/día.

página 1011. a) Las notas posibles son x1 y x2x2x .

b) El máximo resultado que puedes obtener es 6,3.

1 2

b) El máximo resultado que puedes

x x1 x2

7,0 5,8 7,0 5,8 7,0 5,8

6,9 5,9 6,9 5,9 6,9 5,9

6,8 6,0 6,8 6,0 6,8 6,0

6,7 6,1 6,7 6,1 6,7 6,1

6,6 6,2 6,6 6,2 6,6 6,2

6,5 6,3 6,5 6,3 6,5 6,3

6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4

Trayectoria BTrayectoria B descongestionada

Trayectoria A

24,021,012,0 28,025,2 30,0

Trayectoria B

Trayectoria A

24,0 28,025,2 30,0

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2. Los valores mínimos para obtener al menos un 6,0 son:

3. Valores mínimos:

página 103 14,8 x ≤ 20

página 1041. n ≥ 5.294 cuadernos por mes.

2. n ≥ 5.882 cuadernos por mes.

página 1051. Áreas de los polígonos:

Pentágono Hexágono Cuadrado

A5= 5a2

4 1 + 2

5 A6= 3b2 3

2 A4 = C2

x1 x2

4,9 7,00

5,0 6,95

5,1 6,90

6,3 6,30

7,0 5,95

x1 x2

7,0 5,8

6,9 5,9

6,4 6,4

5,8 7,0

El perímetro en los tres polígonos es L, entonces:

A5= L2

1 + 2 5

20 A6= L2 A4L

2 = C2 116

A6 > A5 > A4

2.

A3= 34

a2 A4= b2 A0 = π r2

L3 = 3a L4 = 4b L0 = 2π r

página 1081. a) x ≤ 11

3 b) x > –1

c) x ≤ 2,571…

2. a ≤ 5

página 1101. x ≥ 19

4 2. x > 3

2

3. x ≤ 0 y x ≥ 8 ⇒ no hay solución

4. 52

≤ x ≤ 12 5. –13 ≤ x ≤ 5

6. – 54 < x < – 1

4

7. 2 ≤ x ≤ 92

página 1121. –12 < x < 28

2. 13 ≤ x ≤ 7

3. x ∈ (–∞,–3) U (9,–∞)

4. – 45

≤ x ≤ 43

5. – 6 < x < 2

página 1141. 12 min < t < 12,75 min

2. 75 m < s < 95 m

2. Los valores mínimos para obtener al menos un 6,0 son:

3. Valores mínimos:

página 10314,8 x ≤ 20

página 1041. n ≥ 5.294 cuadernos por mes.

2. n ≥ 5.882 cuadernos por mes.

página 1051. Áreas de los polígonos:

Pentágono Hexágono Cuadrado

A5= 5a2

4 1 + 2 5 5

A6= 3b2 32

A4 = C2

x x1 x2

4,9 7,00 4,9 7,00

5,0 6,95 5,0 6,95

5,1 6,90 5,1 6,90

6,3 6,30 6,3 6,30 6,3 6,30

7,0 5,95 7,0 5,95 7,0 5,95

x x1 x2

7,0 5,8 7,0 5,8 7,0 5,8

6,9 5,9 6,9 5,9 6,9 5,9

6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4

5,8 7,0 5,8 7,0 5,8 7,0

El perímetro en los tres polígonos es L, entonces:

A5=

2.

A3

L

1.

c)

2. a ≤ 5

1.

3.

4.

6. –

7. 2

1.

2.

3. x

4. –

5. – 6

1. 12 min

2. 75 m

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a) x ∈ (–∞ ; 0] U [1 ; ∞)

b) x ∈ (–∞ ; ∞)

c) ∅

d) x ∈ (–∞ ; –4) U ( 32

; ∞)e) x ∈ [1 ; ∞)

página 1191. a < b ⇒ a + a < a + b a < c ⇒ a + a + a < a + b + c 3a < a + b + c

De igual modo: a + b + c < 3c

Luego: 3a < a + b + c < 3c

Dividiendo por 3:

a < 13

(a + b + c) < c


1. x ≤ a4

2. x ≤ 23 a

3. a) Cuando Q ≡ D : P∆ = (2 + 2 ) a. Cuando Q ≡ M, punto medio de DC: P∆ = (1 + 5 ) a.

b) Área ∆ABQ = a2

2,∀ Q en DC.

páginas 127-1284. x

a – x2

a2 ≤ 425π

5. $ 23.500 ≤ P ≤ 63.000

6. a) n < 15 b) s < 3,8 km

páginas 128-1291. a) x > 10 b) x > 8

3 c) x > 1

2

d) x < 12 e) x < 3299

f) x > 2513

g) x > 79

h) x < 239

2. a) x ∈ (–∞ ; 4) b) x ∈ [–2 ; 7]

c) x ∈ [– 133

; –1] d) x ∈ [–3 ; 6]

e) x ∈ (–∞ ; 103 ) U (4 ; ∞)

f) x ∈ (–4 ; –1) U (3 ; 6)

g) x ∈ (–∞ ; 3) U (4 ; ∞)

h) x ∈ (–1 ; 5)

i) x ∈ (–∞ ; 52 ) U (2 ; ∞)

j) x ∈ (–∞ ; 0)

3.

páginas 129-1301. Desarrolla:

a) (a – 2)2 ≥ 0

b) (a – 1)2 (a2 + 1) ≥ 0

c) (a – 1)4 ≥ 0

d) (a – 1)3 ≥ 0, para a ≥ 1

3. 5a – 4a2 ≥ h

4. 20a – a2 ≥ 80 20b – b2 ≥ 80


1. La condición para la velocidad es32 < 80 – 32t < 64

Restando 80 a todos los miembros de la inecuación32 – 80 < 80 – 80 – 32t < 64 – 80

i) ii) Solución correcta

a) V V x > 12 ó x < 0

b) V F –3 < x < 13

c) F F 4 ≤ x ≤ 12

d) V F x ∈ (–∞ ; 3) U [9 ; ∞)

e) V F x ∈ (–∞ ; 5) U [9 ; ∞)

12

2513

2. a) x ∈ (–(–( ∞ ; 4) b) x ∈ [–2 ; 7]

c) x ∈ [–[–[ 133

; –1] d) x ∈ [–3 ; 6]

e) x ∈ (–(–( ∞ ; 103 )) U (4 ; ∞)

f) x ∈ (–4 ; –1) U (3 ; 6)

g) x ∈ (–(–( ∞ ; 3) U (4 ; ∞)

h) x ∈ (–1 ; (–1 ; ( 5)

i) x ∈ (–(–( ∞ ; 52 )) U (2 ; ∞)

j) x ∈ (–(–( ∞ ; 0)

3.

páginas 129-1301. Desarrolla:

a) (a – 2(a – 2( )2 ≥ 0

b) (a – 1(a – 1( )2 (a(a( 2 + 1) ≥ 0

c) (a – 1(a – 1( )4 ≥ 0

d) (a – 1(a – 1( )3 ≥ 0, para a ≥ 1

3. 5a – 4a2 ≥ h

4. 20a – a2 ≥ 8020b – b2 ≥ 80


1. La condición para la velocidad es32 < 80 – 32t < 64

Restando 80 a todos los miembros de la inecuación32 – 80 < 80 – 80 – 32t < 64 – 80

i) ii) Solución correcta

a) V V x > 12 ó x < 0 a) V V x > 12 ó x < 0

b) V F –3 < x < 13 b) V F –3 < x < 13 b) V F –3 < x < 13

c) F F 4 ≤ x ≤ 12 c) F F 4 ≤ x ≤ 12 c) F F 4 ≤ x ≤ 12

d) V F d) V F d) V F x ∈ (–∞ (–∞ (– ; 3) U [9 [9 [ ; ∞)

e) V F e) V F e) V F x ∈ (–∞ (–∞ (– ; 5) U [9 [9 [ ; ∞)

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Es decir,–48 < –32t < –16

Dividiendo por –32 (lo cual invierte el orden de las desigualdades)

–48/(–32) > –32t/(–32) > –16/(–32) Lo que conduce a

1,5 > t > 0,5

que se puede reescribir como,

0,5 < t < 1,5

La respuesta sería entonces que la velocidad ten-drá un valor comprendido entre 32m/s y 64m/s en el intervalo de tiempo comprendido entre 0,5s después del lanzamiento y 1,5s después del lan-zamiento.

2. La fórmula para el interés simple es G = K i T , donde G es el interés, K es al capital inicial, i es la tasa de interés y T es el tiempo en años.

Llamemos x a la cantidad que invertirás en el ne-gocio familiar. Entonces te quedarán (3.000.000 – x) para colocar en la cuenta de ahorro.

El interés que te proporciona el negocio familiar después de un año, suponiendo que les va bien, será:

x • 0,07×1 = 0,07x

El interés en la cuenta de ahorro será:

(3.000.000 – x) • 0,05×1 = 150.000 – 0,05x

Entonces el interés total que obtendrás con ambas inversiones será:

0,07x + (150.000 – 0,05x) = 0,02x + 150.000

Como al menos necesitas $190.000, tendremos que:0,02x + 150.000 > 190.000 ⇒ 0,02x > 40.000∴ x > 2.000.000Es decir, necesitarás invertir al menos $2.000.000

en el negocio familiar para obtener un ingreso de $190.000 anuales en intereses. Como en el ne-gocio con mayor riesgo quieres invertir el mínimo posible, deberás poner 2.000.000 en el negocio familiar al 7%.

página 1313. Llamemos x a la nota del tercer control. El promedio N de los tres controles será entonces, N =

C1 + C2 + C3

3 = 5,1 + 6,2 + x

3 = 11,3 + x

3 y debe

cumplirse que 5,45 ≤ N ≤ 5,54, lo que en este

caso se traduce en 5,45 ≤ 11,3+x3

≤ 5,45⇒16,35

≤ 11,3 + x ≤ 16,62⇒ 4,65 ≤ x ≤ 4,92, de manera que, aproximando a las décimas, se tendrá que Alejandro debe sacarse una nota x tal que 4,7≤x≤ 4,9. Por supuesto, con cualquier nota superior a 4,7 se eximirá, pero en el intervalo encontrado, su nota de eximición será exactamente la mínima necesaria.

4. El razonamiento, que está esquematizado en la tabla siguiente es así:a. Para preparar los 30kg de la aleación con las

especi� caciones dadas, utilizaremos x kg de la aleación al 60% de cobre.

b. Con ello, la mezcla � nal tendrá 0,6xkg de cobre proveniente de esa aleación.

c. Para completar 30kg necesitamos entonces (30 – x)kg que provendrán de la otra aleación.

d. De ese modo la aleación � nal tendrá 0,4(30 – x)kg de cobre provenientes de esta segunda ale-ación.

e. Los 30kg de la aleación resultante deben tener un mínimo de 0,46 • 30kg = 13,8kg de cobre y un máximo de 0,5 • 30kg = 15kg de cobre.

Aleación kg % Cu kg de CuAl 60% de Cu x 0,6 0,6x

Al 40% de Cu 30 – x 0,4 0,4(30 – x) = 12

– 0,4xMezcla

(46–50% de Cu) 30

Entre 0,46

y 0,5 Entre 13,8 y 15

Por otro lado, la cantidad de cobre que tiene la aleación � nal es la suma del cobre aportado por las aleaciones disponibles inicialmente

Es decir,–48 < –32t < –16

Dividiendo por –32 (lo cual invierte el orden de las desigualdades)

–48/(–32) > –32t/(–32) > –16/(–32) Lo que conduce a

1,5 > t > 0,5

que se puede reescribir como,

0,5 < t < 1,5

La respuesta sería entonces que la velocidad ten-drá un valor comprendido entre 32m/s y 64m/s en el intervalo de tiempo comprendido entre 0,5s después del lanzamiento y 1,5s después del lan-zamiento.

2. La fórmula para el interés simple es G = K i T , G = K i T , G = K i Tdonde G es el interés, K es al capital inicial, K es al capital inicial, K i es la i es la itasa de interés y T es el tiempo en años.T es el tiempo en años.T

Llamemos x a la cantidad que invertirás en el ne-gocio familiar. Entonces te quedarán (3.000.000 – x) x) xpara colocar en la cuenta de ahorro.

El interés que te proporciona el negocio familiar después de un año, suponiendo que les va bien, será:

x • 0,07×1 = 0,07x0,07×1 = 0,07x0,07×1 = 0,07

El interés en la cuenta de ahorro será:

(3.000.000 – x) x) x • 0,05×1 = 150.000 – 0,05x0,05×1 = 150.000 – 0,05x0,05×1 = 150.000 – 0,05

Entonces el interés total que obtendrás con ambas inversiones será:

0,07x0,07x0,07 + (150.000 – 0,05x + (150.000 – 0,05x x + (150.000 – 0,05x + (150.000 – 0,05 ) = 0,02x) = 0,02x x) = 0,02x) = 0,02 + 150.000x + 150.000x

Como al menos necesitas $190.000, tendremos que:0,02x + 150.000 > 190.000 ⇒ 0,02x 0,02x 0,02 > 40.000x > 40.000x∴ x > 2.000.000x > 2.000.000xEs decir, necesitarás invertir al menos $2.000.000

en el negocio familiar para obtener un ingreso de $190.000 anuales en intereses. Como en el ne-gocio con mayor riesgo quieres invertir el mínimo posible, deberás poner 2.000.000 en el negocio familiar al 7%.

3. Llamemos x a la nota del tercer control. El promedio N de los tres controles será entonces, N =N =N

cumplirse que

caso se traduce en 5,45

≤ 11,3 + x que, aproximando a las décimas, se tendrá que Alejandro debe sacarse una nota x tal que 4,74,9. Por supuesto, con cualquier nota superior a 4,7 se eximirá, pero en el intervalo encontrado, su nota de eximición será exactamente la mínima necesaria.

4. El razonamiento, que está esquematizado en la tabla siguiente es así:a. Para preparar los 30

especi� caciones dadas, utilizaremos la aleación al 60% de cobre.

b. Con ello, la mezcla � nal tendrá 0,6proveniente de esa aleación.

c. Para completar 30(30 –

d. De ese modo la aleación � nal tendrá 0,4(30 – kgación.

e. Los 30un mínimo de 0,46 un máximo de 0,5

Al 60% de Cu

Al 40% de Cu

Mezcla

(46–50% de Cu)

Por otro lado, la cantidad de cobre que tiene la aleación � nal es la suma del cobre aportado por las aleaciones disponibles inicialmente

UN

IDA

D 2

SO

LU

CIO

NES

270

0,6x + (12 – 0,4x), por lo que

13,8 < 0,6x + (12 – 0,4x) < 15

Reduciendo términos semejantes,

13,8 < 0,2x + 12 < 15

Restando 12 a todos los miembros de la inecua-ción,

1,8 < 0,2x < 3

Multiplicando por 5 la inecuación,

9 < x < 15

Se necesita usar entre 9kg y 15kg de aleación al 60% de Cu.

5. 3(x – 2) + 4 > 2(2x – 3) ⇒ 3x – 6 + 4 > 4x – 6 ∴ 4 > x, ó bien, x < 4

6. Si llamamos x al número de CD que puede comprar, la desigualdad que restringe los valores de x es:

6.500 + 4.000x < 40.000

Para encontrar el valor máximo que puede adoptar x, restamos 6.500 a ambos miembros de la inec-uación

4.000x < 33.500

Dividiendo ambos miembros por 4.000,

x < 33.500/4.000

Es decir,

x < 8,375

Por lo que, a lo sumo, puede comprar el DVD y 8 CD

SolucionesUnidad 3

página 1351. a) 22,37° b) 46,67°

c) 78,39° d) 3,12°

2. a) 44°30’ b) 44°33’

c) 44°33’20” d) 44°3’20”

3. 82,5° (En 15 min. el horario avanza 7,5°)

4. A las 6 h 24 min 32,7 seg y a las 6 h 40 min 54,54 seg

página 1381. a) ≈ 0,559 rad b) ≈ 1,192 rad

c) ≈ 2,123 rad d) ≈ 0,315 rad

2. a) ≈ 22,9° b) ≈ 187,9°

c) ≈ 287,6° d) ≈ 14,9°

página 1431. Hipotenusa: 15 cm Cateto: 7,94 cm (aprox)

2. 1,58 cm (aprox)

3. 11,18 m (aprox)

4. AD = 8 cm AC = 6,93 cm

página 1581. a = 6 , b ≈ 13,75

2. a ≈ 4,16 , c ≈ 7,34

3. α ≈ 41,81° , ancho ≈ 13,42 m

4. β ≈ 53,13° , D = 9 m

Restando 12 a todos los miembros de la inecua-

Se necesita usar entre 9kg y 15kg de aleación al

– 6

al número de CD que puede comprar, la desigualdad que restringe los valores

Para encontrar el valor máximo que puede adoptar , restamos 6.500 a ambos miembros de la inec-

DVD y

SolucionesUnidad 3

página 135página 1351. a) 22,37° b) 46,67°

c) 78,39° d) 3,12°

2. a) 44°30’ b) 44°33’

c) 44°33’20” d) 44°33’20” d) 44°33’20” 44°3’20”

3. 82,5° (En 15 min. el horario avanza 7,5°)

4. A las 6 h 24 min 32,7 seg y a las 6 h 40 min 54,54 seg

página 1381. a) ≈ 0,559 rad b) 0,559 rad b) 0,559 rad ≈ 1,192 rad

c) ≈ 2,123 rad d) 2,123 rad d) 2,123 rad ≈ 0,315 rad

2. a) ≈ 22,9° b) ≈ 187,9°

c) ≈ 287,6° d) ≈ 14,9°

página 1431. Hipotenusa: 15 cm Cateto: 7,94 cm (aprox)

2. 1,58 cm (aprox)

3. 11,18 m (aprox)

4. AD = 8 cm AC = 6,93 cm

página 1581. a = 6 , b ≈ 13,75

2. a ≈ 4,16 , c ≈ 7,34

3. α ≈ 41,81° , ancho ≈ 13,42 m

4. β ≈ 53,13° , D = 9 m

UN

IDA

D 3

SO

LU

CIO

NES

271

a) 5 cm b) ≈ 5,14 cm c) ≈ 11,28 cm d) ≈ 2,96 cm

página 1601. a ≈ 14,8 cm; c = 15 cm

2. a ≈ 4,24 cm; c ≈ 12,73 cm

3. a ≈ 4,46 cm; cos α ≈ 0,82 cm

4. a ≈ 6,98 cm b ≈ 10,67 cm

5. a) ≈ 9,39 cm b) ≈ 17,32 cm c) 3 cm d) ≈ 11,82 cm

página 161 a) ≈ 4,62 cm b) ≈ 10,39 cm c) ≈ 1,46 cm d) ≈ 7,5 cm

página 175Caso a: D ≈ 33 m; Caso b: D ≈ 33 m


1. a) 17º36’ b) 35º42’ c) 183º31’12” d) 22º13’19,2”

2. a) 22º36’ b) 22º39’36” c) 22º40’ d) 22º4’

3. a) 38,7º b) 192,4º c) 25,157º d) 68,259583º

5. 1© = 0,9º

6. 105º

7. 1h18’10,9”

8. D ≈ 13,8 km

9. 48, 14 y 50 se generan multiplicando 24, 7 y 25 por 2.

10. Si el tercer lado es hipotenusa mide 13 cm. Si es cateto mide 10,9 aproximadamente.

11. 1,32 m aproximadamente

0,0 90

0,50

–0,50

–1,00

–1,50

cos x

sen x

sen x + cos x

1,00

1,50

2,00

45 –45 –90 –135 –180 135 180

y

x

1

76

6M

página 18412. AC ≈ 13,07; AD ≈ 12,07; AE ≈ 9,24

13.

14. h ≈ 14,48 cm

Trigonometría1. a = 5 cm; b ≈ 24,5 cm

2. a ≈ 7,37 cm; c ≈ 10,30 cm

3. d ≈ 2,24 cm; θ ≈ 41,8º

4. a ≈ 5,66 cm; c ≈ 16,97 cm

5. a ≈ 4,46 cm; cos α ≈ 0,82 cm

6. a ≈ 6,98 cm; b ≈ 10,67 cm

7. d ≈ 114,7 cm

8. α ≈ 37º

página 185 9. α ≈ 53º

10. y = 33

x

11. h ≈ 1,73 m

12. h = 40 • 33

m ≈ 23,1 m

13. s ≈ 93,3 cm2

14. a) Máximo f(x) = 2 en x = 45º

b) Mínimo f(x) = – 2 en x = –135º

c)

página 1595. a) 5 cm b) ≈ 5,14 cm c) ≈ 11,28 cm d) ≈ 2,96 cm

página 1601. a ≈ 14,8 cm; c = 15 cm

2. a ≈ 4,24 cm; c ≈ 12,73 cm

3. a ≈ 4,46 cm; cos α ≈ 0,82 cm

4. a ≈ 6,98 cm b ≈ 10,67 cm

5. a) ≈ 9,39 cm b) ≈ 17,32 cm c) 3 cm d) ≈ 11,82 cm

página 161a) ≈ 4,62 cm b) ≈ 10,39 cmc) ≈ 1,46 cm d) ≈ 7,5 cm

página 175Caso a: D ≈ 33 m; Caso b: D ≈ 33 m


1. a) 17º36’ b) 35º42’ c) 183º31’12” d) 22º13’19,2”

2. a) 22º36’ b) 22º39’36” c) 22º40’ d) 22º4’

3. a) 38,7º b) 192,4º c) 25,157º d) 68,259583º

5. 1© = 0,9º

6. 105º

7. 1h18’10,9”

8. D ≈ 13,8 km

9. 48, 14 y 50 se generan multiplicando 24, 7 y 25 por 2.

10. Si el tercer lado es hipotenusa mide 13 cm. Si es cateto mide 10,9 aproximadamente.

11. 1,32 m aproximadamente

–180 –180

12.

13.

14.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. a) Máximo

b) Mínimo

c)

UN

IDA

D 3

SO

LU

CIO

NES

272


AUTOEVALUACIÓNUnidad I Funciones Raíz cuadradas y cuadrática

página 1861. Un ciclista parte desde su casa y viaja 10 km en dirección hacia el Norte. En seguida vira y recorre 7 km hacia el Este. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?Solución: 149 km ≈ 12,21 km

2. Una persona se aleja de un poste de luz cuyo foco está a 6 m de altura. Si la persona mide 2 m, calcula a qué distancia se encuentra del poste cuando su sombra tiene 5 m de longitud.Solución: 15 m

(di� ere en alrededor de 0,02% de 12,247449).

3. Una varilla de bambú de 3 m de altura se quiebra de modo que su extremo superior queda tocando el suelo a 1 m de la base. Calcula la altura a la que se produjo el quiebre.Solución: 4

3 m 1,33 m

4. Un asta de bandera se asegura con dos vien-tos de cable diametralmente opuestos, cada uno de los cuales es 5 m más largo que el asta. La distancia entre los puntos donde los cables están anclados al suelo es igual a la longitud de uno de los cables. Calcula la altura del asta.Solución: 32,3 m

página 1875. Un estanque tiene forma de cono invertido. Su diámetro es 1 m y su altura 1,25 m. El estanque, inicialmente vacío, está siendo llenado con agua. En un cierto instante el agua ha alcanzado una al-tura de 35 cm. Determine en ese momento el radio de la parte superior del agua en el estanque.Solución: 0,28 m

6. Un astronauta determina con un altímetro que la montaña sobre la que está en el planeta desconocido sobre el cual se posó su nave, tiene una altura de 6.000 m. Con un instrumento de precisión mide el ángulo al horizonte y encuentra que es 87º. ¿Cuál es el radio del planeta?Solución: R 4.372 km

87º

Montaña Horizonte

Radio planeta

Línea de visión

1m

Unidad I Funciones Raíz cuadradas y cuadrática

Un ciclista parte desde su casa y viaja 10 km en dirección hacia el Norte. En seguida vira y recorre 7 km hacia el Este. ¿A qué distancia en línea recta

Una persona se aleja de un poste de luz cuyo foco está a 6 m de altura. Si la persona mide 2 m, calcula a qué distancia se encuentra del poste

(di� ere en alrededor de 0,02% de 12,247449).

Una varilla de bambú de 3 m de altura se quiebra de modo que su extremo superior queda tocando el suelo a 1 m de la base. Calcula la altura

Un asta de bandera se asegura con dos vien-tos de cable diametralmente opuestos, cada uno de los cuales es 5 m más largo que el asta. La distancia entre los puntos donde los cables están anclados al suelo es igual a la longitud de uno de

página 1875. Un estanque tiene forma de cono invertido. Su diámetro es 1 m y su altura 1,25 m. El estanque, inicialmente vacío, está siendo llenado con agua. En un cierto instante el agua ha alcanzado una al-tura de 35 cm. Determine en ese momento el radio de la parte superior del agua en el estanque.Solución: 0,28 m

6. Un astronauta determina con un altímetro que la montaña sobre la que está en el planeta desconocido sobre el cual se posó su nave, tiene una altura de 6.000 m. Con un instrumento de precisión mide el ángulo al horizonte y encuentra que es 87º. ¿Cuál es el radio del planeta?Solución: R 4.372 km

87º

Montaña Horizonte

Radio planeta

Línea de visiónU

NID

AD 3

SO

LU

CIO

NES

273


1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

página 1991. No equiprobables: es más probable encontrar un estudiante de sexo femenino.

2. No equiprobables.

Espacio muestral

3. No equiprobables: es muy probable que en una página de la guía telefónica residencial todos los apellidos comiencen con la misma letra.

página 2021. A = {2} suceso elemental

B = ∅ suceso imposible

C = {2, 3, 5, 7, 11} suceso compuesto

D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Suceso seguro (es igual al espacio muestral)

E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} suceso compuesto

2. a) Suceso seguro: “obtener una bola con un número par entre 2 y 20”.

b) Suceso imposible: “obtener una bola con un número impar”.

c) Suceso elemental: “obtener una bola con número 4”.

d) Suceso compuesto: “obtener una bola con un número par entre 2 y 6”.

página 2051. 4

6 2. 3

8 3. 1

10

4. 12

5. 130.000

6. 18

0,0

0,6

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

0,7

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

10050 150 200 250Número de lanzamientos

300 350 400 450

y

x

SolucionesUnidad 4

página 1931. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3. E = {V V, VF, FV, FF}

página 1962.a)Tercera ColumnaCasilla 1: Casilla 1 de 2ª columnaCasilla 2: Casilla 1 de 3ª columna + Casilla 2 de 2ª columnaCasilla 3: Casilla 2 de 3ª columna + Casilla 3 de 2ª columna, etc.

Cuarta ColumnaCasilla 1: Nº de lanzamientos de ACasilla 2: Casilla 1 de 4ª columna + Nº de lanzamientos de BCasilla 3: Casilla 2 de 4ª columna + Nº de lanzamientos de C, etc.

Quinta ColumnaFrecuenciarelativa acumulada

=

frecuencia acumuladaNº lanzamientos acumulados

b) 50 lanzamientosestudiante

• 10 estudiantes = 500 lanzamientos

c) 0,504 = 252 caras500 lanzamientos

= fr (caras)

d)

1. No equiprobables: es más probable encontrar un estudiante de sexo femenino.

2. No equiprobables.

3. No equiprobables: es muy probable que en una página de la guía telefónica residencial todos los apellidos comiencen con la misma letra.

1.

2. a) Suceso seguro: “obtener una bola con un número par entre

un número impar”.

número

con un número par entre

1.

4. 0,00,00,00,00,00,00,0

0,60,60,60,60,6

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

Frec

uenc

ia re

lativ

a ac

umul

ada

de c

aras

0,70,70,70,70,7

0,50,50,50,50,5

0,40,40,40,40,4

0,30,30,30,30,3

0,20,20,20,20,2

0,10,10,10,10,1

1001005050 150150 200200 250250Número de lanzamientosNúmero de lanzamientosNúmero de lanzamientosNúmero de lanzamientosNúmero de lanzamientosNúmero de lanzamientosNúmero de lanzamientosNúmero de lanzamientos

300300 350350 400400 450450

yy

xx

1.un estudiante de sexo femenino.

2.

SolucionesUnidad 4

página 193página 1931. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3. E = {VV, VF, FV, FF}

página 1962.a)Tercera ColumnaCasilla 1: Casilla 1 de 2ª columnaCasilla 2: Casilla 1 de 3ª columna + Casilla 2 de 2ª columnaCasilla 3: Casilla 2 de 3ª columna + Casilla 3 de 2ª columna, etc.

Cuarta ColumnaCasilla 1: Nº de lanzamientos de ACasilla 2: Casilla 1 de 4ª columna + Nº de lanzamientos de BCasilla 3: Casilla 2 de 4ª columna + Nº de lanzamientos de C, etc.

Quinta ColumnaFrecuenciarelativa acumulada

= frecuencia acumuladaNº lanzamientos acumulados

b) 50 lanzamientosestudiante

• 10 estudiantes = 10 estudiantes = 10 500 lanzamientos500 lanzamientos500

c) 0,504 = 252 caras500 lanzamientos

= fr (caras)r (caras)r

d)

UN

IDA

D 4

SO

LU

CIO

NES

274


a) caja B b) caja C c) caja A

2. a) La frecuencia absoluta del 4 es mucho mayor que la de las otras caras: probablemente se trata de un dado trucado.

b)

c) La probabilidad experimental de ocurrencia es la frecuencia relativa.

página 2083. a) P(cara) = 0,7 > 0,5 P(sello) = 0,3 > 0,5

b)

Probabilidad teórica = 18

= 0,125

La probabilidad experimental (frecuencia relativa), en todos los casos está en el intervalo (1 ± 0,1).

(1 ± 0,1) • Probabilidad teórica

b)

1

Resultados Frecuencia Frecuencia absoluta relativa

1 29 0,121

2 28 0,117

3 31 0,129

4 30 0,125

5 33 0,138

6 32 0,133

7 30 0,125

8 27 0,113

Resultados Frecuencia Frecuencia absoluta relativa

1 52 0,16

2 47 0,14

3 53 0,16

4 79 0,24

5 49 0,15

6 55 0,16

página 2221. a) P(A) = 30 % b) P(A) = 70 % c) No sacar una � gura.

2. a) P(A) = 12,5 % c) P(B) = 37,5 % b) P(A) = 87,5 % d) P(B) = 62,5 %

página 2231. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) C = {1, 2, 3, 4, 5} b) A = {5} e) A ⊂ B c) B = {1, 3, 5} f) 5

página 2242. a) #A = 4 #B = 10 #C = 10 b) A y C c) B y C

3. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) B = {2, 4, 6, 8} b) A = {3, 5, 7} d) A y B son mutuamente excluyentes

4. a) E = {cada una de las 52 cartas de la baraja inglesa de 4 pintas con 13 cartas por pinta}

b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de corazones}

c) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de trébol}

d) B y C

e) A y B son mutuamente excluyentes

página 2331. 52 % 3. a) 50 % b) 6,25 %2. 22,75 % 4. 66,6 %

página 2411. a) P(A) = 3

13 , P(B) = 1

4

b) P(B/A) = 14

= P(B)

2. a) NI = 35 e) P(I y V) = 745

b) P(I) = 79 f) P(F/V) = 5

12

c) P(F) = 29 g) P(I/B) = 28

33

d) N(B) = 33

Frecuencia Frecuencia

Resultados Frecuencia Frecuencia

página 2221. a) P(A) = 30 % b) P(AP(AP( ) = 70 %A) = 70 %A c) No sacar una � gura.

2. a) P(A) = 12,5 % c) P(B) = 37,5 % b) P(AP(AP( ) = 87,5 % A) = 87,5 % A d) P(BP(BP( ) = 62,5 %B) = 62,5 %B

página 2231. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) C = {1, 2, 3, 4, 5}

b) A = {5} e) A ⊂ B c) B = {1, 3, 5} f) 5

página 2242. a) #A = 4 #B = 10 #C = 10

b) A y C c) B y C

3. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) B = {2, 4, 6, 8}b) A = {3, 5, 7} d)3, 5, 7} d)3, 5, 7 A y B y B y son

mutuamente excluyentes

4. a) E = {cada una de las 52 cartas de la baraja inglesa de 4 pintas con 13 cartas por pinta}

b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de corazones}

c) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de trébol}

d) B y C

e) A y B son mutuamente excluyentes

página 2331. 52 % 3. a) 50 % b) 6,25 %2. 22,75 % 4. 66,6 %

página 2411. a) P(A) = 3

13 , P(B) = 1

4

b) P(B/A) = 14

= P(B)

2. a) NININ = 35 e) P(I (I ( y V) V) V = 745

b) P(I(I( )I)I = 79 f) P(F/V)V)V = 5

12

c) P(F) = 29 g) P(I/B(I/B( ) = 28

33

d) N(B(B( ) = 33

UN

IDA

D 4

SO

LU

CIO

NES

275


páginas 241-242 3. a) P(A) = 1

2 P(B) = 23 c) C = {1, 2, 3} P(A/C) = 1

3 b) P(A/B) = 1

2 d) Son independientes.

4. a) C = {3}, B = {1, 3, 5}, P(A/B) = 13

d) Son independientes.

5. a) P(7) = 16 b) P(4/7) = 1

3

6. P(B/A) ≈ 59,5 %

página 2451. 125

2. Si el orden importa, V7,3 = 210 alternativas.

Si el orden no importa, C7,3 = 35 alternativas

página 2481. 5! = 120 2. 6! = 720

página 2501. a) 120 números b) 216 números

2. V25,4 = 303.600

página 2521. 43 = 64

2. ( 73 ) = 7!

3! • 4! = 35

3. (213 ) = 21!

3! • 18! = 1.330

4. 9! = 362.880

5. 7! = 5.040

6. (107 ) = (10

3 ) = 10!7! • 3! = 120

7. ( 62 ) • ( 5

3 ) = 150

8. (106 ) = 10!

6! • 2! = 2.250

9. ( 63 ) • 3! = 120

10. Existen (523 ) = 22.100

maneras posibles de sacar 3 cartas de una baraja inglesa de 52 cartas.

a) P(2 ases y 1 rey) = ( 4

2 )• 4

22.100 = 24

22.100 ≈ 0,11%

b) P(3 diamantes) = (13

3 )22.100

= 28622.100 ≈ 0,29%

c) P(una pinta) = (13

3 )22.100

• 4 = 1.14422.100 ≈ 5,18%

d) P(2 o 3 � guras)

= (12

2 )+(123 )

22.100 = 66 + 220

22.100 = 28622.100 ≈ 1,29%

páginas 241-242 3. a) P(A(A( ) = 1

2 P P(B(B( ) = 23 c) C = {C = {C 1, 2, 3} P(A/C(A/C(A/ )C)C = 1

3 b) P(A/B(A/B(A/ ) = 1

2 d) Son independientes.

4. a) C = {3}, B = {1, 3, 5}, P(A/B(A/B(A/ ) = 13

d) Son independientes.

5. a) P(7)7)7 = 16 b) P(4/7)7)7 = 1

3

6. P(B/A(B/A(B/ ) ≈ 59,5 %

página 2451. 125

2. Si el orden importa, V7,3V7,3V = 210 alternativas.

Si el orden no importa, C7,3 = 35 alternativas = 35 alternativas = 35

página 2481. 5! = 120 2. 6! = 720

página 2501. a) 120 números b) 216 números

2. V25,4V25,4V = 303.600

página 2521. 43 = 64

2. ( 73 ) = 7!

3! • 4! = 35

3. (213 ) = 21!

3! • 18! = 1.330

4. 9! = 362.880

5. 7! = 5.040

6. (107 ) = (10

3 ) = 10!7! • 3! = 120

7. ( 62 ) • ( 5

3 ) = 150

8. (

9. (

10.

a) P(2 ases y 1 rey) =

b) P(3 diamantes) =

c) P(una pinta) =

d) P(2 o 3 � guras)

=

UN

IDA

D 4

SO

LU

CIO

NES

276


1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14


1. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15}

b)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

A medida que crece el número de lanzamientos, la frecuencia relativa acumulada (probabilidad experi-mental) se acerca a la frecuencia relativa teórica.

0,550

0,540

0,530

0,520

0,510

0,500200 250 300 350 400 450150

y

x

3. A = {(1, 1)} es un suceso simple

B = ∅ es un suceso imposible

C = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (2, 3), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (2, 5), (1, 6)}

D = E: espacio muestral

Estudiantes

Frecuencia Frecuencia Nº de Frecuencia

absoluta acumulada lanzamientos relativa acumulados acumulada

A 55 55 100 0,550

B 52 107 200 0,535

C 48 155 300 0,517

D 56 211 400 0,528

E 41 252 500 0,504

F está formado por los elementos coloreados de la tabla siguiente:

página 2584. a) Extraer una bola con número impar b) Extraer una bola con un número mayor que 19 c) Extraer una bola con un cuadrado perfecto > 1 d) Extraer una bola con un número de dos dígitos

5. 12

6. 13

7. 728

8. 38

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

c) E = {(S, S), (S,F), (S, N), (F, S), (F, F), (F, N), (N, S), ((N, F), (N, N)}

2. a) 500 b)

c)

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12,

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 11 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15 16

A medida que crece el número de lanzamientos, la frecuencia relativa acumulada (probabilidad experi-mental) se acerca a la frecuencia relativa teórica.

3. A = {(1, 1)} es un suceso simple

B = ∅ es un suceso imposible

C = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (2, 3), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (4, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (2, 5), (1, 6)} (2, 5), (1, 6)}

D = E: espacio muestral

Nº de Frecuencia

acumulados acumulada

F está formado por los elementos coloreados de la tabla siguiente:

página 2584. a) Extraer una bola con número impar b) Extraer una bola con un número mayor que 19 c) Extraer una bola con un cuadrado perfecto > 1 d) Extraer una bola con un número de dos dígitos

5. 12

6. 13

7. 728

8. 38

página 258

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14

UN

IDA

D 4

SO

LU

CIO

NES

277


a) 40 % b) 60 %

c) Que salga una carta mayor que 4.

4. a) P(A) = 14

b) P(A) = 34

c) P(B) = 34

d) P(B) = 14

5. a) # A = 20 # B = 20 # C = 30

b) A, B y C

c) Entre A, B y C no hay sucesos mutuamente excluyentes.

6. a) E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} b) A = E

c) B = { 2 } d) B ⊂ A

7. 13,2 %

página 2608. 9

16

9. a) P(A) = 1013

, P(B) = 34

b) P(B/A) = 34

10. a) P(A) = 12

, P(B) = 12

b) P(A/B) = 23

c) P(A/>2) = 12

d) A y B son independientes

11. a) 12,5 % b) 13

12. 210 alternativas

13. a) 120 números b) 625 números

14. 13.366.080 con� guraciones distintas

15. 1.680 maneras 16. 66 parejas

17. 7! = 5.040 18. 6! = 720 maneras diferentes


1. Sol.: a) P (roja o blanca) = 5

9b) P (roja o amarilla) = 2

3c) P (blanca o amarilla) = 7

9

2. Sol.:

a) P (que llueva los 3 días) = 27125

b) P (que llueva exactamente dos de los 3 días) = 27125

c) P (en que al menos en dos de ellos no llueva) = 44125

3. Sol.:

a) 52 b) 44 c) 150

4. Sol.:

a) Frecuencia relativa = 0,34

b) Frecuencia porcentual = 34%

5. Sol.:

( 13 ) = 45

6. Sol.:

a) N—

= 21650

= 4,32 ≈ 4,3 b) Me = 4 + 42

= 4

c) Mo = 6

Probabilidades y probabilidades

1. a) B b) A c) C 2. a) Probabilidad experimental de ocurrencia de cara = fr (cara) = 0,682 > 0,5 (probabilidad teórica) Probabilidad experimental de ocurrencia de sello = fr (sello) = 0,318 < 0,5 (probabilidad teórica)

b)

La frecuencia relativa experimental de ocurrencia de cada una de las 6 caras di� ere a lo sumo en un 13 % de la frecuencia relativa teórica.

Cara 1 2 3 4 5 6


Frecuencia relativa 0,158 0,163 0,179 0,171 0,146 0,183

página 2593. a) 40 % b) 60 %

c) Que salga una carta mayor que 4.

4. a) P(A) = 14

b) P(AP(AP( ) = A) = A 34

c) P(B) = 34

d) P(BP(BP( ) = B) = B 14

5. a) # A = 20 # B = 20 # C = 30

b) A, B y C

c) Entre A, B y C no hay sucesos mutuamente excluyentes.

6. a) E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} b) A = E

c) B = { 2 } d) B ⊂ A

7. 13,2 %

página 2608. 9

16

9. a) P(A) = 1013

, P(B) = 34

b) b) P(B/A) = 34

10.

c) independientes

11.

12.

13.

14.

15.

17.

1. Sol.:a) P (roja o blanca) = P (roja o blanca) = P

b) P

c) P (blanca o amarilla) = P (blanca o amarilla) = P

2. Sol.:

a) P (que llueva los 3 días) = P (que llueva los 3 días) = P

b) P

c) P (en que al menos en dos de ellos no llueva) = P (en que al menos en dos de ellos no llueva) = P

3. Sol.:

a) 52 b) 44 c) 150

4. Sol.:

a) Frecuencia relativa = 0,34

b) Frecuencia porcentual = 34%

5. Sol.:

(( 13

6. Sol.:

a) N—

c) Mo

Probabilidades y probabilidades

1. a) B b) A c) C

2. a) Probabilidad experimental de ocurrencia de cara = frfrf (cara) = r (cara) = r 0,682 > 0,5 (probabilidad teórica) Probabilidad experimental de ocurrencia de sello = frfrf (sello) = r (sello) = r 0,318 < 0,5 (probabilidad teórica)

b)

ocurrencia de cada una de las 6 caras di� ere a lo sumo en un 13 % de la frecuencia

relativa teórica.

15.

17.

b)

La frecuencia relativa experimental de ocurrencia de cada una de las 6 caras

Cara 1 2 3 4 5 6 Cara 1 2 3 4 5 6


Frecuencia relativa 0,158 0,163 0,179 0,171 0,146 0,183

UN

IDA

D 4

SO

LU

CIO

NES

278

BibliografíaÁlgebra

Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, Peter H. Selby y Steve Slavin, John Wiley & Sons, Inc., 2a Edición (1991).

Precalculus, Ron Larson y Robert P. Hostetler, Houghton Mif� in College, 5ta edición (2000).

Algebra 2, Ron Larson, Robert P. Hostetler, Houghton Mif� in College (2001).

Algebra Unplugged, Kenn Amdahl, Jim Loats, Clearwater Publishing Co (1996).

Elementary Algebra, Harold R. Jacobs, W H Freeman & Co (1979).

Integrated Arithmetic and Basic Algebra, Bill E. Jordan, William P. Palow, Addison-Wesley Publis-hing, 2a edición (2000).

Elementary and Intermediate Algebra: Con-cepts and Applications Combined Approach, Marvin L. Bittinger, David J. Ellenbogen, Barbara L. Johnson, Addison-Wesley Publishing, 3a edi-ción (2001).

Beginning and Intermediate Algebra, K. Elayn Martin-Gay Prentice Hall College Div., 2ª edición (2001).

Elementary Statistics in Social Research (9th Edition), Jack Levin, James Alan Fox, Allyn & Bacon, 9ª edición (2002).

Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate, Ajit C. Tamhane, Dorothy Dunlop, Prentice Hall, 1ª edición (1999).

Geometría College Geometry: A Problem Solving Approach with Applications, Gary L. Musser, Lynn Trimpe, Prentice Hall, 1a edición (1994).

Geometry: Plane and Practical (Harcourt Bra-ce Jovanovich College Outline Series), Bruce Stephan, International Thomson Publishing (1991).

College Geometry, Frank C. Denney, Prentice Hall College Div, 2ª edición (1991).

Algebra and Trigonometry, Judith A. Beecher, Judith A. Penna, Marvin L. Bittinger, Addison-Wesley Publishing (2001).

College Algebra and Trigonometry, Richard N. Aufmann, Houghton Mif� n Company (2002).

Geometry and Trigonometry for Calculus, Peter Selby, John Wiley and Sons (1975).

Probabilidad Introduction to Probability, Harold J. Larson, Addison Wesley (1995).

Probability Solver: A Complete Solution Guide to Any Textbook, Vance Berger et al, Research Education Association (1996).

Planillas de Cálculoy Computación Simbólica

Microsoft Excel 2000: Step by Step, Inc. Ca-tapult, Microsoft Press, 1ª edición (1999).

MOUS Essentials: Excel 2000, Marianne B. Fox, Lawrence C. Metzelaar, Prentice Hall, Bk&Cd-Rom edición (2000).

Maple: Solving Problems in Scientifi c Compu-ting Using Maple and Matlab, Walter Gander, J. Hrebicek, Springer Verlag, 3ª edición (1997).

Computing with Maple, Francis Wright, CRC Press (2001).

Sitios en la Redhttp://www.math.com/ http://www.mathgoodies.com/http://mathworld.wolfram.com/http://mathforum.org/http://library.thinkquest.org/2647/index.html

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Librosrecomendados

Álgebra

Álgebra Elemental, Angel, Allen R., Prentice Hall, 3a Edición (1994).

Álgebra Elemental, Alfonse Gobran, Grupo Editorial Iberoamericana (1990).

Álgebra Superior, Spiegel, M., Colección Schaum’s (1990).

Álgebra, Smith, Charles y otros, Addison-Wesley Iberoamericana (1992).

Preálgebra, O’daffer, Clemens, Charles, Addi-son-Wesley Iberoamericana (1992).

Antecedentes de Álgebra Elemental, Andra-de, A. ET AL, Trillas, México (1990).

Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Budnick, Frank S, McGraw-Hill, México, (3a ed.) (1996).

Cálculo y Geometría Analítica, Larson, Ronald E. y Hostetler, Robert P., McGraw-Hill, México, 5ª edición (1995).

Geometría

Álgebra y Geometría, Eugenio Hernández, Addison Wesley (2000).

Matemáticas Básicas – Álgebra, Trigonome-tría y Geometría, John Peterson, Compañía Editora Continental (1999).

Probabilidad

Estadística y Probabilidad – Secundaria, Da-vid Rayner, Oxford Educación (2000).

Introducción a la Teoría de Probabilidades, William Feller, Limusa (1992).

Introducción al Cálculo de Probabilidades, BV. Gnedenko, Eudeba (1998).

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