matematica cuarto grado
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MATEMTICA
MATERIAL PARA docEnTEscuARTo gRAdo
EducAcIn PRIMARIA
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MATEMTICA
MATERIAL PARA DOCENTEsCuARTO gRADO
EDuCACIN PRIMARIA
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Estos materiales han sido producidos por los especialistas del rea de Matemtica del IIPE-UNESCO Buenos Aires:
Equipo del rea de Matemtica
Autores Silvana Seoane | Betina Seoane Referentes Mara Mnica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mnica Urquiza | Alejandro Rossetti |Hctor Ponce | Ins Sancha | Horacio Itzcovich
Agradecemos el aporte de Ana La Crippa.
Equipo de desarrollo editorial
Coordinacin general y edicinRuth Schaposchnik | Nora Legorburu
CorreccinPilar Flaster | Gladys Berisso
Diseo grfico y diagramacinEvelyn Muoz y Matas Moauro - Imagodg
Material de distribucin gratuita. Prohibida su venta
IIPE - UNESCO Buenos Aires Agero 2071 (C1425EHS), Buenos Aires, Argentina Hecho el depsito que establece la Ley 11.723 Libro de edicin argentina. 2011 Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, segn Ley 11.723, artculo 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin al Editor.
Seoane, SilvanaMatemtica material para docentes cuarto grado educacin primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. - 1a ed. - Ciudad Au-tnoma de Buenos Aires: Instituto Internacional de Planeamiento de la educacin IIPE-Unesco, 2012.Internet.
ISBN 978-987-1836-85-7
1. Gua para Docentes. 2. Matemtica. I. Seoane, Betina II. Ttulo
CDD 371.1
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NDICE
NDICE
Introduccin general
Marco general de la propuesta de Matemtica
Matemtica en el Segundo Ciclo
Ejemplo de mapa curricular de Segundo Ciclo
Cuarto grado
Ejemplo de distribucin anual de contenidos I
Ejemplo de distribucin anual de contenidos II
Ejemplo de planificacin mensual
Ejemplo de planificacin semanal
Ejemplo de evaluacin al finalizar una unidad
Ejemplo de problemas para evaluacin de fin de ao
Bibliografa y links recomendados
Cuadernillo de actividades
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NDICE
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La produccin de este material ha sido posible gracias a los intercambios desarrollados entre los referentes locales, los capacitadores y los docentes, a lo largo de toda esta experiencia. Esperamos resulte un aporte a la compleja tarea de ensear y aprender matemtica que permita ofrecer mayor cantidad de oportunidades a los nios para aventurarse en el desafo intelectual que se propicia.
Equipo de Matemtica
Tucumn: Cecilia Catuara, Nora Fagre, Mara Irene Flores, Marta Lopez de Arancibia, Alicia Viviana Moreno, Luciana Neme, Patricio Smitsaart santa Cruz: Gabriela Rodrguez, Viviana Mata, Marta Sanduay, La Vazquez, Valentina Gonzlez, Norma Gmez, Alfredo Salvatierra, Sandra Manzanal Corrientes: Mnica Mio, Zunilda Del Valle, Ana Benchoff Chaco: Laura Ochoa, Irma Bastiani, Viviana Benegas, Patricia Dellamea Virasoro: Elena Ayala, Andrea Paula Drews, Jos Pereyra, Irma Neves Bentez, Mnica Magdalena Rodrguez Carlos Casares: Daniela Zermoglio, Mario Martin, Anala Cortona, Nilda Martin, Laura Delgado, Daniela Pere Campana-Pilar-san Nicols: Teresita Chelle, Ana Barone, Gloria RobaloAna Felisa Espil, Miriam Cabral, Mirta Ricagno, Mnica Rinke, Graciela Borda Crdoba: Felisa Aguirre, Laura Sbolci, Ana Garca Ensenada: Cecilia Wall, Vernica Grimaldi, Mnica Escobar.
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5MATEMTICA
Este material ha sido pensado con la intencin de colaborar con la prctica cotidiana de los docentes.
Es reconocida la complejidad que adquiere dicha prctica al momento de pensar la enseanza: armado de planificaciones, carpetas didcticas, seleccin de libros de texto, elaboracin de actividades, diseo de evaluaciones, etctera. Y estos desafos generalmen-te son poco considerados a la hora de valorar la labor de los docentes.
Por este motivo, y buscando acompaar las decisiones que toman los docentes, este material ofrece diferentes tipos de recursos para que estn disponibles y puedan ser un insumo que colabore en la planificacin, desarrollo y evaluacin de la enseanza.
Los distintos tipos de recursos que constituyen este material se sustentan en un pro-yecto de enseanza que considera la Matemtica desde una perspectiva determinada. Es decir, se parte de la idea de que los alumnos tengan la oportunidad de reconstruir los conceptos matemticos a partir de diferentes actividades intelectuales que se ponen en juego frente a un problema para cuya resolucin resultan insuficientes los conocimientos de los que se dispone hasta el momento Hay dos cuestiones centrales que tambin ha-cen al enfoque adoptado. En primer lugar, ayudar a los alumnos a concebir la Matemtica como una disciplina que permite conocer el resultado de algunas experiencias sin necesi-dad de realizarlas efectivamente. Y por otro lado, para que la actividad matemtica sea realmente anticipatoria de la experiencia, es necesario estar seguro de que esa anticipacin fue realizada correctamente, en otras palabras, es necesario validar la anticipacin. Es de-cir, se trata de generar condiciones que permitan a los alumnos producir recursos que les permitan obtener resultados frente a una amplia variedad de problemas, sin necesidad de recurrir a la experiencia emprica y producir argumentos que les permitan responsabilizar-se matemticamente por la validez de esos resultados.
Estos lineamientos generales son los que fundamentan las selecciones desarrolladas en los materiales, los recortes establecidos, los ejemplos elaborados, los problemas selec-cionados.
Este material contiene entonces diferentes recursos que se detallan a continuacin, organizados por grado, desde 1. hasta 6.. Para cada grado, se podr encontrar:
INTroDuCCIN gENErAl
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61. MApAs CurrICulArEs orIENTATIvos
Estos mapas curriculares son ejemplos que explicitan los contenidos de enseanza a lo largo de toda la escolaridad. Se construyeron considerando los aspectos comunes que se esbozan en los Diseos Curriculares de cada Jurisdiccin y los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios. Por lo tanto, requieren ser completados con aquellas sugerencias esbozadas en las orientaciones curriculares jurisdiccionales.
Para facilitar su identificacin, los mapas curriculares se presentan en formato de pla-nillas, desplegados para cada grado y organizados por ciclos, de tal manera que cada escuela pueda analizar y establecer los contenidos en relacin con el ao de escolaridad y en correlacin con aos anteriores y posteriores, es decir que tenga presente la horizon-talidad del trabajo.
Asimismo, podr orientar la labor de directivos para preservar la coherencia en la dis-tribucin de contenidos en los grados y en los ciclos.
2. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs ANuAlEs
Se trata de propuestas de distribucin de los contenidos de enseanza a lo largo del ao. Son ejemplos y, como tales, se podrn transformar en herramientas para que cada do-cente pueda pensar su propio recorrido anual, con el grado asignado y en funcin de sus alumnos.
3. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs MENsuAlEs
Se trata de una primera lupa sobre la planificacin de un mes determinado. Se ofrece en este caso una mirada ampliada al interior de uno de los meses y se detalla el asunto que ser prioritario en ese mes, ejemplos de problemas, adecuaciones semanales, que podrn orientar la perspectiva adoptada.
4. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs sEMANAlEs
Se trata de un ejemplo del desarrollo del trabajo a lo largo de una semana de clases. En este ejemplo, se explicitan las actividades propuestas para cada clase, las discusiones que se propiciarn con los alumnos, la organizacin del trabajo en el aula, los tiempos que deman-darn, las conclusiones a las que se pretende arribar y los aprendizajes esperables.
5. EjEMplos DE EvAluACIoNEs ANuAlEs, bIMEsTrAlEs o por CoNTENIDos DE TrAbAjo
Se trata en este caso de ofrecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones. Al ser ejemplos, brindan la posibilidad de tomar decisiones: alterar el orden de las actividades, modificar algunos datos de los problemas, considerar diferentes criterios para su correc-cin, incorporar otros problemas, quitar alguno, etctera.
Lo que se busca con estos ejemplos es preservar el espritu del trabajo elaborado en las planificaciones y en los cuadernillos de manera de forjar el mayor grado de coherencia entre lo que se planifica, lo que se ensea y lo que se evala, asumiendo que estos recursos no son los nicos modos de identificar los avances de los alumnos y repensar la enseanza.
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76. EjEMplos DE CrITErIos DE CorrECCIN
Se proponen tambin, a la luz de los ejemplos de evaluaciones y a raz de un problema, di-ferentes maneras de pensar la correccin de las pruebas o problemas que se les presentan a los alumnos. Se parte de la idea de que la correccin debe ser un aporte a la enseanza y al aprendizaje. Por eso, es insuficiente entregar los resultados de las pruebas y que all termine la tarea: Qu se les dice a los alumnos? Cmo se recuperan los resultados de las evaluaciones para que los alumnos sepan qu les pas y por qu les pas lo que les pas?
Cmo se reorienta la enseanza para que los alumnos avancen? Qu aspectos o qu resultados se consideran para la promocin?
Estas cuestiones se plantean en un modo general, pero demandan debates particulares para cada alumno y para cada etapa del ao.
7. bIblIogrAfA y lINks rECoMENDADos
Se presenta tambin una bibliografa que aborda diferentes aspectos relacionados con la enseanza y el aprendizaje de la Matemtica, organizados segn los temas.
Se recomiendan estas herramientas a los docentes para que puedan profundizar sus conocimientos sobre la enseanza y el aprendizaje de la Matemtica.
A su vez, para cada material recomendado, se indica el link del cual puede ser ba-jado para su estudio, ser impreso o disponer de l de la manera en que a cada docente y a cada escuela le resulte ms conveniente. En dichos links, hay otros materiales que tambin podrn resultar de inters, aunque no aparezcan en la lista confeccionada.
8. CuADErNIllos DE ACTIvIDADEs pArA los AluMNos
En funcin de la planificacin anual, se presentan cuadernillos con problemas para trabajar con los alumnos, que recorren y acompaan esa planificacin. Al tratarse de cuadernillos o carpe-tas independientes, el orden de uso ser determinado por el docente, aunque cabe aclarar que ciertos contenidos son necesarios para abordar otros y que algunos cuadernillos recuperan conocimientos tratados en otros. En este sentido, el docente deber cuidar que la propuesta conserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la profundidad del estudio.
Los cuadernillos estn pensados para ser entregados a los alumnos para el estudio y trabajo en torno a cada tipo de problema. Son actividades y no presentan aspectos tericos que quedan en manos del docente. La intencin es que, a medida que los alumnos resuelvan los problemas, el docente pueda gestionar debates sobre los procedimientos de resolucin, buscar explicaciones que permitan interpretar errores, decidir si algo es correcto, analizar si un recurso puede ser vuelto a utilizar en otro problema, establecer generalidades, etctera.
Es nuestro deseo que este material se transforme en un insumo de consulta y uso que permita a los docentes sentirse acompaados. Todo lo publicado es susceptible de ser fotocopiado e impreso, solo basta citar la fuente.
Equipo de Matemtica
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9Los conocimientos matemticos que pueblan las aulas responden habitualmente a t- tulos reconocidos por los docentes: los nmeros naturales y sus operaciones, los nmeros racionales y sus operaciones, el estudio de las figuras y de los cuerpos geomtricos, de sus propiedades; y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las medidas y las proporciones.
Ahora bien, con estos mismos ttulos, podran desarrollarse en cada escuela pro-yectos de enseanza con caractersticas muy diferentes y, por ende, el aprendizaje de los alumnos tambin sera distintos.
Por qu afirmamos esto?
Desde la perspectiva que adoptamos, hay muchas maneras de conocer un concep-to matemtico. Estas dependen de cunto una persona (en este caso, cada uno de sus alumnos) haya tenido la oportunidad de realizar con relacin a ese concepto. O sea, el conjunto de prcticas que despliega un alumno a propsito de un concepto matemtico constituir el sentido de ese concepto para ese alumno. Y si los proyectos de enseanza propician prcticas diferentes, las aproximaciones a los conocimientos matemticos que tendrn los alumnos sern muy diferentes.
Cmo se determinan estas prcticas? Algunos de los elementos que configuran estas prcticas son: Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas, su secuenciacin,
los modos de presentacin que se propongan a los alumnos. Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les pro-
pongan. Las modalidades de intervencin docente a lo largo del proceso de enseanza.
De all que en este Proyecto, los contenidos de enseanza esbozados para cada grado estn formados tanto por esos ttulos fcilmente reconocibles (los nmeros, las opera-ciones, etc.), como por las formas en que son producidos y las prcticas por medio de las cuales se elaboran. La intencin es acercar a los alumnos a una porcin de la cultura mate-mtica identificada no solo por las relaciones establecidas (propiedades, definiciones, for-mas de representacin, etc.), sino tambin por las caractersticas del trabajo matemtico. Por eso, las prcticas tambin forman parte de los contenidos a ensear y se encuentran estrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos.
Cules son algunas de las marcas que se pueden identificar como parte de las prc-ticas matemticas?
MATEMTICA
MArCo gENErAl DE lA propuEsTA DE MATEMTICA
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El avance de la Matemtica est marcado por problemas externos e internos a esta disciplina que han demandado la construccin de nuevos conocimientos. Una caracte-rstica central entonces del trabajo matemtico es la resolucin de diferentes tipos de problemas.
Para que los alumnos tambin puedan involucrarse en la produccin de conocimientos matemticos, ser necesario aunque no suficiente enfrentarlos a diversos tipos de proble-mas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el de-safo de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la produccin de ciertas relaciones en la direccin de una solucin posible, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta.
Otra caracterstica de la actividad matemtica es el despliegue de un trabajo de tipo exploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar para imaginar o entender, tomar decisiones, conjeturar, etctera. Algunas exploraciones han demandado aos de trabajo a los matemticos e, incluso, muchas de las preguntas y de los problemas elaborados hace mucho tiempo siguen en esta etapa de exploracin porque an no han sido resueltos.
Por lo tanto, en la escuela se deber ofrecer a los alumnos frente a la resolucin de problemas un espacio y un tiempo que posibilite el ensayo y error, habilite aproximaciones a la resolucin que muchas veces sern correctas y otras tantas incorrectas, propicie la bs-queda de ejemplos que ayuden a seguir ensayando, les permita probar con otros recursos, etctera. Explorar, probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la bsque-da es parte del trabajo matemtico que este Proyecto propone desplegar en el aula.
Otro aspecto del trabajo matemtico posible de identificar es la produccin de un modo de representacin pertinente para la situacin que se pretende resolver. A lo largo de la historia, las maneras de representar tambin han sido una preocupacin para los matemticos. Los diferentes modos de representacin matemtica forman parte del co-nocimiento en cuestin.
Ser necesario entonces favorecer en la escuela tanto la produccin de representacio-nes propias por parte de los alumnos durante la exploracin de ciertos problemas, como el anlisis, el estudio y el uso de diversas formas de representacin de la Matemtica. El establecimiento de puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y las que son reconocidas en la Matemtica ser tambin objeto de estudio.
Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la historia de la Mate-mtica han admitido respuestas que no podan ser probadas inmediatamente, y otras an no tienen demostracin. Estas respuestas, hasta que adquieren carcter de verdad, son reconocidas con el nombre de conjeturas.
En las interacciones que se propicien en el aula, a raz de la resolucin y anlisis de diferentes problemas, se promover que los alumnos expliciten las ideas que van elabo-rando (las respuestas que encuentren, las relaciones que establezcan, etc.), aun cuando no sea claro para ellos, desde el principio, si son del todo ciertas. Estas ideas y las respues-tas provisorias que producen los nios son conjeturas o hiptesis que demandarn ms conocimientos para que dejen de serlo.
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El quehacer matemtico involucra tambin determinar la validez de los resultados ob-tenidos y de las conjeturas producidas, es decir, recurrir a los conocimientos matemticos para decidir si una afirmacin, una relacin o un resultado son vlidos o no y bajo qu condiciones.
Es necesario entonces que los alumnos puedan progresivamente hacerse cargo y, usando diferentes tipos de conocimientos matemticos, dar cuenta de la verdad o false-dad de los resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen.
Determinar bajo qu condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aque-llo que se estableci como vlido para algn caso particular funciona para cualquier otro caso o no. A veces, la validez de una conjetura podr aplicarse a todos los casos y podr elaborarse entonces una generalizacin. Otras veces la conjetura ser vlida solo para un conjunto de casos. Generalizar o determinar el dominio de validez es tambin parte del trabajo matemtico.
Una ltima caracterstica a destacar del trabajo matemtico es la reorganizacin y el establecimiento de relaciones entre diferentes conceptos ya reconocidos. Reordenar y sis-tematizar genera nuevas relaciones, nuevos problemas y permite producir otros modelos matemticos.
Se comunican los modos de produccin o las prcticas matemticas asociados a los ttulos a los que se haca referencia inicialmente con la intencin de promover prcticas de enseanza que favorezcan que los conocimientos de los alumnos se carguen de un cier-to sentido. No se trata de ensear en la escuela primaria algunos rudimentos y tcnicas para que luego, ms adelante, solo algunos alumnos accedan a las maneras de pensar y producir en Matemtica; sino de intentar que desde los primeros contactos con esta dis-ciplina, el estudio de la Matemtica sea una forma de acercarse a sus distintas maneras de producir. En este Proyecto, se adopta la idea de que ensear Matemtica es tambin introducir a los alumnos en las prcticas y en el quehacer propio de esta disciplina.
Una cuestin que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de la enseanza de la Matemtica se refiere al lugar que ocupa sobre todo en los primeros gra-dos la utilizacin de material concreto para producir resultados o para comprobarlos. Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales. Supongamos por ejem-plo que, en primer grado, se les propone a los alumnos la siguiente situacin: un nio pasa al frente y pone, a la vista de todos, 7 chapitas en una caja; despus pasa otro nio y pone, tambin a la vista de todos, 8 chapitas. Se les pide a los nios que encuentren una manera de saber cuntas chapitas hay en la caja. Utilizando diversas estrategias, los nios arriba-rn a un resultado. Si para constatarlo los nios cuentan las chapitas de la caja, estarn haciendo una comprobacin emprica. Si, en cambio, se excluye la posibilidad de accin efectiva sobre los objetos y se les pide a los chicos que muestren mediante argumentos que su resultado es correcto, sin corroborarlo empricamente, estarn haciendo una validacin de tipo argumentativo.
Es necesario sealar que, cuando las comprobaciones son de tipo emprico, es impres-cindible proponer la anticipacin de los resultados que luego se leern en la comprobacin (en la situacin de la caja los nios primero anticipan y luego corroboran). De esta mane-ra, en este juego de anticipacin-validacin argumentativa-corroboracin emprica, los
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nios irn descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia nece-saria de haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas del aparato matemtico. Sin esta anticipacin, los nios manipulan material, y los resultados que obtienen son pro-ducto de una contingencia (se obtuvieron estos, pero podran haberse obtenido otros). En otras palabras, si no hay articulacin entre anticipacin y comprobacin emprica, esta ltima se plantea solo con relacin a ella misma, y sus resultados no se integran a ninguna organizacin de conocimiento especfica.
Es necesario sealar que, cuando la comprobacin es emprica, esa relacin de nece-sariedad entre las acciones realizadas para anticipar, y los resultados ledos en la corrobo-racin, no puede independizarse del contexto particular en el que se desarroll. Resulta esta afirmacin un argumento para descartar las comprobaciones empricas? De ninguna manera hacemos esa aseveracin. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible una interaccin entre los modelos matemticos que los nios van elaborando y los aspec-tos de la realidad que son modelizables a travs de las herramientas matemticas. Sin esta interaccin, ellos no tendran posibilidad de hacer funcionar esos modelos, de ponerlos a prueba. Concluimos entonces que, cuando las constataciones empricas se plantean como una verificacin de aquello que se ha anticipado, se empieza a hacer observable la potencia de la Matemtica como herramienta que permite anticipar los resultados de experiencias no realizadas.
Circula en algunos medios una concepcin instrumentalista de la enseanza de la Matemtica que sostiene dos principios fundamentales: 1) Su enseanza se justifica por la utilidad que tienen los saberes matemticos para resolver problemas cotidianos y 2) los problemas cotidianos son la nica va para que los nios encuentren el senti-do de la Matemtica. Esta concepcin es, desde nuestra perspectiva, objeto de varios cuestionamientos.
Nos interesa que el nio comprenda que la Matemtica es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad. Pero centrarse exclusiva-mente en la utilidad hace perder de vista a la Matemtica como producto cultural, como prctica, como forma de pensamiento, como modo de argumentacin. Pensamos con Bkouche que:
Hay una motivacin tanto o ms fundamental que la utilidad: el desafo que plantea al alumno un problema en tanto tal. Lo que es importante para el alumno no es conocer la solucin, es ser capaz de encontrarla l mis-mo y de construirse as, a travs de su actividad matemtica, una imagen de s positiva, valorizante, frente a la Matemtica. La recompensa del pro-blema resuelto no es la solucin del problema, es el xito de aquel que lo ha resuelto por sus propios medios, es la imagen que puede tener de s mismo como alguien capaz de resolver problemas, de hacer matemtica, de aprender. (...).
Por otra parte, pensar en las aplicaciones como nica fuente de sentido es renunciar a que el nio comprenda que el conocimiento matemtico tambin se produce para dar respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina y esta renuncia minimiza las posibilidades de comprender la lgica interna de la Matemtica.
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Hay una tercera cuestin que es necesario sealar: el hecho de que el problema se plantee en un contexto extra matemtico no siempre aporta a la comprensin o a la reso-lucin del problema. Tomamos la opcin de privilegiar los contextos de aplicacin extra matemtica cuando estos ofrecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o validar los problemas que estn enfrentando. Volvemos a citar a Bkouche:
Ahora bien, lo que da profundamente sentido en la actividad matemtica, no es que es curiosa, til, entretenida, sino que se enraza en la historia personal y social del sujeto. Toda situacin de aprendizaje, ms all de aspectos espe-cficamente didcticos, plantea dos preguntas ineludibles. Cul es el sentido de esta situacin para aquel que aprende? Cul es la imagen de s mismo, de sus capacidades, de sus oportunidades de xito en esta situacin? En trmi-nos ms triviales: qu hago ac?, soy capaz?, vale la pena? Esta relacin con el saber pone en juego los deseos, el inconsciente, las normas sociales, los modelos de referencia, las identificaciones, las expectativas, los pareceres sobre el porvenir, los desafos personales. (...) Es muy reductor invocar sim-plemente aqu palabras tan vagas como curiosidad o incluso motivacin. El problema no es suscitar la curiosidad, sino proponer a los jvenes las ac-tividades, las prcticas, los itinerarios de formacin que toman sentido en una red compleja de deseos, de expectativas, de normas interiorizadas y que contribuyen a reestructurar esa red.
Los aspectos destacados en estos prrafos estn considerados implcita o explci- tamente en la organizacin y distribucin de contenidos que ofrecemos como ejemplo. En dicha seleccin, se han considerado, de alguna manera, no solo los ttulos que constituyen los objetos de enseanza, sino las marcas de las prcticas matemticas que asociadas a ellos, se propicia desplegar en las aulas.
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sEguNDo CIClo
El recorrido de los alumnos a lo largo del Segundo Ciclo de la escolaridad involucra al-gunas cuestiones fundamentales. Por un lado, es el tiempo de afianzar y profundizar los conocimientos elaborados en el Primer Ciclo. En este sentido, aparecern desafos ms complejos con relacin al tamao y comportamiento de los nmeros naturales. El docente podr propiciar la resolucin de problemas que inviten a elaborar nuevos sentidos de las cuatro operaciones bsicas, as como se podr avanzar en el estudio de las figuras. Es de-cir, los objetos matemticos seguirn siendo herramientas para enfrentar variadas clases de problemas y a la vez sern visitados tambin para estudiar, con ms profundidad, su funcionamiento interno.
Por el otro, este Segundo Ciclo es un tiempo propicio para acompaar a los alum-nos en un reconocimiento ms fecundo de los modos de hacer y de producir que tiene la Matemtica. En este sentido, profundizar en las propiedades de las cuatro operacio-nes y enfrentarse a los desafos que ofrece el terreno de la divisibilidad abren un nuevo universo: poder saber un resultado sin hacer la cuenta, poder anticipar si ser cierto o no una igualdad sin usar algoritmos son nuevas marcas de la actividad matemtica. Es un momento en el cual se puede avanzar en el trabajo en torno a la posibilidad de decidir autnomamente la verdad o falsedad de una afirmacin, la validez o no de un resultado, de una propiedad a partir de la elaboracin de argumentos y relaciones ba-sados en los conocimientos matemticos. La entrada en un tipo de racionalidad pro-pia de esta disciplina es central en este ciclo. Y se jugar en cada uno de los grandes ejes de contenidos.
Pero el ingreso de los alumnos en el Segundo Ciclo les depara tambin algunas rup-turas con lo aprendido en el Primer Ciclo. Ser parte de la tarea docente enfrentar a los alumnos a un nuevo campo de nmeros: los nmeros racionales, tanto en su expresin fraccionaria como en su expresin decimal. Por un lado, debern explorar diversos tipos de problemas para los cuales las fracciones son un medio de solucin; por ejemplo, problemas de reparto y particin, problemas de medida, etctera. Pero tambin del mismo modo que para los nmeros naturales debern enfrentarse a desentraar algunas cuestiones de su funcionamiento, tales como la comparacin, el orden, el clculo, las diferentes mane-ras de representar una misma cantidad, etctera. Respecto de las expresiones decimales, tambin se propondr una entrada a travs de su uso social el dinero y la medida para luego adentrarse en cuestiones internas ligadas al valor posicional, al orden, al clculo, a la bsqueda de un nmero entre dos dados, a la equivalencia con infinitas expresiones fraccionarias, etctera.
MATEMTICA EN El sEguNDo CIClo
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Y el estudio de este nuevo campo de nmeros provocar en los alumnos ciertas con-tradicciones en relacin con el trabajo en el campo de los nmeros naturales. Por ejemplo, algunas relaciones que eran vlidas para los nmeros naturales (un nmero, si es ms largo que otro, seguro es mayor, entre 2 y 3 no hay ningn nmero, si se multiplica, el nmero se agranda) dejan de ser ciertas cuando aparecen los nmeros racionales (ya que un nmero puede ser ms largo que otro y ser menor 1,9999 y 2, entre 2 y 3 habr infinitos nmeros y si se multiplica por 0,5 el nmero se achicar). Acompaar a los alumnos en identificar estos cortes los ayudar a posicionarse de mejor manera a la hora de ofrecerles una propuesta de trabajo que ponga en escena estas rupturas.
los EjEs CENTrAlEs DEl TrAbAjo MATEMTICo EN El sEguNDo CIClo
Respecto de los nmeros naturales, los alumnos han estudiado en el Primer Ciclo cmo leer, escribir, ordenar nmeros hasta aproximadamente 10.000 o 15.000. En el Segundo Ciclo, la comprensin de las reglas que subyacen a nuestro sistema de numeracin y la informacin sobre nmeros redondos permitir que los alumnos puedan leer o escri-bir cualquier nmero natural. Del mismo modo, el incipiente anlisis del valor posicional que han abordado en el Primer Ciclo, descomponiendo y componiendo con 10, 100 y 1.000 les permitir, en este ciclo, comprender la naturaleza ms profunda de nuestro sistema: el agrupamiento en base 10 y la posicionalidad de tal manera de aprender a ver en la escritura del nmero la informacin que porta y la potencia para clculos de suma, resta, multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros. Paralelamente, el estudio de diversos sistemas de numeracin antiguos tiene el propsito de favorecer la comparacin entre sistemas para enriquecer y complejizar la mirada respecto del que se usa actualmente.
En el terreno de las operaciones con nmeros naturales, al mismo tiempo que se propo-ne recuperar la diversidad de clculos y problemas abordados en el Primer Ciclo, el docente podr ofrecer diferentes actividades que permitan a los alumnos construir nuevos sentidos, especialmente para la multiplicacin y la divisin. Harn su aparicin nuevos problemas de divisin, tales como los que involucran la relacin entre dividendo, divisor, cociente y resto, o los problemas en los que se repite una cantidad y es necesario determinar cuntas veces. Adems de una ampliacin de la clase de problemas, el estudio de estas operaciones podr abarcar tambin aspectos ms internos a su funcionamiento, como por ejemplo, la exploracin y formulacin de las propiedades. Un nuevo aspecto que podr aparecer en las aulas (asociado a la multiplicacin y a la divisin), sern las ideas de mltiplos, divisores y divisibilidad. Estas cuestiones se podrn tratar a partir de una diversidad de problemas: algunos con enunciados verbales y otros estrictamente numricos que permitirn avanzar sobre ciertas prcticas de argumentacin y demostracin.
El trabajo geomtrico en el Segundo Ciclo podr permitir a los alumnos profundizar en el estudio de las figuras y de los cuerpos geomtricos. A travs de problemas de construccin y de determinacin de medidas sin medir y usando las propiedades estudiadas, es posible favo-recer la idea de que los conocimientos son un medio para poder establecer afirmaciones sobre los objetos con los que tratan sin necesidad de apelar a la constatacin emprica. En el Primer Ciclo, los nios validan sus producciones recurriendo a ejemplos, a constataciones empricas y a argumentos muy ligados al contexto en que produjeron sus resultados. En el Segundo Ciclo,
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resulta fundamental ofrecer oportunidades para que los alumnos comiencen a elaborar ar-gumentos que validen sus afirmaciones, apoyados en propiedades de las figuras. La validacin emprica ser entonces insuficiente, por ejemplo, no es posible demostrar que la suma de los ngulos interiores del tringulo mide 180 por medir y sumar sus ngulos, ya que si se miden, no dar justo 180. Ser necesario elaborar otras formas de justificacin.
Aparecen tambin nuevos objetos que, si bien ya han sido visitados de manera ms in-tuitiva, en el Segundo Ciclo se estudiarn en forma ms sistemtica. Un ejemplo de ello es la proporcionalidad. El punto de partida para su estudio nuevamente ser el uso que los nios ya conocen de esta relacin: resolver problemas en los que se requiere multiplicar o dividir en tor-no a series proporcionales y poner en juego las ideas de dobles, mitades, triples, etctera. Pero en este ciclo, su estudio implicar un anlisis ms profundo de las propiedades de la propor-cionalidad, de la constante, del porcentaje y tambin de los lmites de esta nocin para resolver problemas. Este contenido articula cuestiones ligadas a los nmeros naturales y racionales, sus operaciones y conocimientos ligados al campo de la medida.
Del mismo modo que para otros objetos, el estudio de la medida se podr iniciar a partir del uso social, de la exploracin de algunas unidades de medida y de instrumentos usados fuera de la escuela que han circulado en el Primer Ciclo. En este ciclo, se podr avanzar hacia un anlisis ms riguroso de los mltiplos y submltiplos de las unidades de medida de longitud, capacidad y peso. Por otro lado, el estudio del permetro y el rea pue-de abordarse desde dos perspectivas. Una de ellas dirigida a la diferenciacin de ambas nociones y a sus aspectos ms cualitativos, y la otra a fines del Segundo Ciclo asociada a la determinacin y al clculo de reas y permetros y al establecimiento de las unidades convencionales. El tratamiento del sistema de medidas ser analizado a la luz de sus vincu-laciones con el sistema de numeracin decimal, la multiplicacin y la divisin por la unidad seguida de ceros, y las relaciones de proporcionalidad.
Una cuestin central en el Segundo Ciclo es la necesidad de involucrar a los alumnos en el proceso de estudio de esta disciplina. Se espera poder generar ms espacios que permitan a los alumnos reorganizar su trabajo, volver sobre lo realizado, clasificar y reordenar los problemas, establecer relaciones entre lo viejo y lo nuevo, entre diferentes conocimientos puestos en juego. Los alumnos tambin tienen que aprender, en la escuela, a estudiar autnomamente. Esto implicar que resuelvan problemas similares a los realizados en el aula, que tengan guas de estudio, problemas para resolver y entregar en un tiempo determinado, que puedan registrar avances y dudas, que puedan identificar los problemas que ms les han costado y aquellos en los que ms han avanzado. El estudio requiere de un trabajo comprometido y sistemtico de los alumnos que deber ser enseado, sostenido y propiciado por parte de los docentes. Ense-ar a estudiar Matemtica es parte de la responsabilidad de la escuela.
Qu sE EspErA logrAr CoN lA ENsEANzA EN EsTos Aos?
Si la escuela ha generado ciertas condiciones para la produccin, difusin y reorganizacin de los conocimientos matemticos, los alumnos al finalizar el Segundo Ciclo deberan poder:
Hacerse responsables de sus producciones y de su proceso de estudio.Elaborar estrategias personales para resolver problemas y modos de comunicar pro-
cedimientos y resultados.
Matemtica / Material para docentes / EP Cuarto Grado
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Asumir progresivamente la responsabilidad de validar sus producciones e ideas.Valorar el intercambio de ideas, el debate y la confrontacin de posiciones respecto
de una supuesta verdad.Leer, escribir y comparar nmeros naturales sin lmite.Resolver problemas que exigen descomponer aditiva y multiplicativamente los nme-
ros a partir de considerar el valor posicional.Comparar caractersticas de diversos sistemas de numeracin. Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las operaciones de suma,
resta, multiplicacin y divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estra- tegias y clculos posibles.
Seleccionar y usar variadas estrategias de clculo (mental, algortmico, aproximado y con calculadora) para sumar, restar, multiplicar y dividir de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra.
Recurrir a las ideas de mltiplos, divisores y a los criterios de divisibilidad para resolver diferentes clases de problemas, analizar relaciones entre clculos y anticipar resultados.
Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones utilizando, comunicando y comparando estrategias posibles.
Resolver problemas que involucran considerar caractersticas del funcionamiento de las fracciones y de las expresiones decimales y las relaciones entre ambas.
Construir variados recursos de clculo mental exacto y aproximado que permitan sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre s y con nmeros naturales y sumar, restar y multiplicar expresiones fraccionarias entre s y con nme- ros naturales.
Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad con nmeros na- turales y racionales.
Comparar y calcular porcentajes apelando a las relaciones con los nmeros racionales y las proporciones.
Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades del crculo y la circunfe- rencia, de los tringulos y de los cuadrilteros para copiarlos, construirlos, describir- los o anticipar medidas, elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados.
Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades de cubos, prismas y pi- rmides y permitan elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferen- tes tipos de enunciados.
Resolver problemas que involucran el uso del Sistema Mtrico Legal (SIMELA) para longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones, expresiones de- cimales, unidades de medida y nociones de proporcionalidad.
Resolver problemas que implican estimar medidas y determinar la unidad de medida ms conveniente.
Resolver problemas que involucran el anlisis de las variaciones en permetros y reas y el estudio de algunas unidades y frmulas convencionales para medir reas de trin- gulos y cuadrilteros.
Matemtica / Material para docentes / EP Cuarto Grado
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inv
olu
cran
rel
acio
nes
de p
ropo
rcio
nalid
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a co
n fr
acci
ones
y d
ecim
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s de
uso
soc
ial.
R
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luci
n
de
pro
ble
mas
que
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ione
s d
e p
rop
orc
iona
lidad
dir
ec-
ta c
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mer
os n
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y ra
cion
ales
.
An
lisis
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nenc
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e us
ar l
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elac
ione
s d
e p
rop
orc
iona
lidad
dir
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pa
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ver
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acio
nes
que
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que
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opor
cion
alid
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resu
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s pa
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rela
cion
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R
eso
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n
de
pro
ble
mas
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ades
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y c
rcul
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com
o po
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ras,
com
unic
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atos
de
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jos,
etc
ter
a.
R
eso
luci
n
de
pro
ble
mas
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jan
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pro
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xplo
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o y
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zan-
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s re
laci
ones
ent
re s
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dos.
R
eso
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n
de
pro
ble
mas
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exi
jan
po
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n y
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a de
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ulos
.
Uso
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s no
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cio
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s-po
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repr
oduc
ir y
com
para
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bujo
s qu
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cluy
en
ngul
os.
R
eso
luci
n
de
pro
ble
mas
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en ju
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ades
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cuad
rado
s y
rect
ngu
los
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s-tr
ucci
n y
rep
rodu
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n de
figu
ras
utili
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o re
gla,
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mp
s, tr
ansp
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dor
y es
cuad
ra).
R
eso
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n
de
pro
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mas
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jan
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pro
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es c
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os g
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tric
os
iden
tifica
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rmul
ando
alg
unas
car
acte
rstic
as y
el
emen
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de lo
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s ge
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ricos
.
Res
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jan
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jueg
o pr
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ncia
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Uso
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de la
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pied
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terio
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s, p
ara
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deci
dir
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dad
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in,
en
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in
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los
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s di
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ible
s.
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edad
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gulo
s, c
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s en
pr
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mas
que
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n co
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, co
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os y
co
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e re
gla,
com
ps,
es-
cuad
ra y
tran
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r.
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ien
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e lo
s el
emen
tos
de la
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cidi
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ilida
d o
no d
e co
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ucci
n.
Exp
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cin
y u
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pro
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ad d
e la
sum
a de
los
n-
gulo
s in
terio
res
de lo
s cu
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ter
os.
Res
oluc
in
de p
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emas
que
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jan
pone
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jueg
o pr
o-pi
edad
es d
e cu
bos,
pris
mas
y p
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ides
.
R
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n
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pro
ble
mas
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jan
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n ju
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pro
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dad
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e cu
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s,
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ngul
os, r
ect
ngul
os, r
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s y
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unfe
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Res
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os
Res
olu
ci
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e p
rob
lem
as q
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go p
rop
ied
ades
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os,
pr
ism
as, p
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ides
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y e
sfer
as.
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s p
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los
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s p
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alid
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no
de d
ifere
ntes
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s de
enu
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dos.
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R
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n
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ble
mas
que
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itud,
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de
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n y
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y e
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Res
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veni
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.
R
eso
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n
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mas
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Sis
tem
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y p
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dire
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l sis
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y al
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om
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al c
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R
eso
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n
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gulo
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o un
idad
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e m
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cion
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ques
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grad
o5.
gr
ado
6.
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o
Nm
eros
na
tura
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y op
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s
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olu
ci
n d
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rob
lem
as q
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raci
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l sis
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ma
de n
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n po
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imal
. R
eso
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n
de
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ble
mas
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dis
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tegi
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idir
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y co
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los
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invo
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n un
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dos
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otra
.
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com
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R
eso
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n
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mas
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des
com
po
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te lo
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, dec
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n, s
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n y
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as e
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las
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te lo
s n
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pro
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