manual matematica ii

8/10/2019 Manual Matematica II

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INTRODUCCION

La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica II para el estudiante

representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica y el Area

de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su elaboracin est

decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseanza-aprendizaje de la

Asignatura de Matemtica II, en la Unidad Acadmica de Estudios Generales.

Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de cada una

de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre acadmico 2010 - II,

por lo que est dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades

son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Lmite y Continuidad de una

Funcin Real de Variable Real y, Derivadas e integrales.

Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento bsico de

trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografa

recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formacin profesional y acadmica decada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemtica II,

as como tambin el de mejorar los procesos de enseanza aprendizaje.

La Coordinacin del rea de Matemtica


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SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementosij

a dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las

letras maysculas , ,A B C, etc.

Representacin General:

11 12 1

21 22 2

1 2

.......

.......

.

.

.......

n

n

mnm m mxn

A

a a a

a a a

a a a

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el nmero de filas y columnas que tenga lamatriz.

Si, [ ]ij m n

A a

es una matriz , entonces i= 1 ; 2 ; 3 ; ; m, y j= 1 ; 2 ; 3 ; ; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subndices indican la posicin del

elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por

ejemplo el elemento12

a est en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIN DE MATRICES

Ejercicios:

Construir las siguientes matrices:

1)2 3

2 ,

[ ] /,

2ij ijx

i j i j

A a a i ji j

2)

3 2

( 1 ) ,[ ] /

( 2 ) ,

i

jij ijx

i jA a a

i j


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4. Calcule:1

2E xzz

, si2 2

[ ]ij x

A a / a ij =,

2 ,

i j i j

i i j

y

3

2 2

x

x yB

x y z

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota TA . El orden original es mxny el orden de TA es nxm.

Propiedades

( )T TA A

( )T T TA B A B

( )T Tk A k A

MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.

Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas y sedenota

nA . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la

diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera

de la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal

principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Simtrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .


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10. Sea Mla matriz antisimtrica dada por:

( )

3 1

aa m n m n

M p b m n

c

,

Calcule: E ma nb p c

OPERACIONES CON MATRICES

ADICIN DE MATRICES

SiijA a y ijB b son matrices de orden m xn,entonces la suma A B es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si A es una matriz de orden mxny kes un nmero real (escalar), entonces la matriz k A ,

tiene el mismo orden mxn y se obtiene al multiplicar cada entrada por k.

Propiedades

Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k,1

k ,2

k son

nmeros reales:

1. A B B A 5.1 2 1 2

( )A Ak k k k A

2. ( ) ( )A B C A B C 6. 1 2 1 2( ) ( )Ak k k k A

3. O OA A A 7. O OA

4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok

SUSTRACCIN DE MATRICES:

Dado que ( 1)B B , se define: ( )A B A B

MULTIPLICACIN DE MATRICES

Sea A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp, entonces el producto AB

es la matriz Cde orden m xp cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila i de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna j de la

matriz B .


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Propiedades

1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC

2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T TAB B A

EJERCICIOS

1. Un fabricante de zapatos para nios, damas y caballeros los produce en color negro, blanco

y gris. La capacidad de produccin (en miles de pares) en la Planta de Santa Anita est

dada por la siguiente matriz:

30 24 20

40 20 18

14 24 22

A

La produccin en la Planta de la Victoria est dada por:

36 32 20

56 28 16

24 48 8

B

a) Halle la representacin matricial de la produccin total de cada tipo de zapatos en

ambas plantas.

b) Si la produccin en Santa Anita se incrementa en un 50% y de la Victoria en un 25%,

hallar la matriz que represente la nueva produccin total de cada tipo de calzado.

2. Un fabricante de polos para nios, damas y caballeros los produce en color negro, rojo y

verde. La produccin (en miles de polos) en la fbrica de Ate est dada por la siguiente

matriz:

18 36 12

32 40 44

28 34 14

A

La produccin en la fbrica de la Villa el Salvador est dada por:

20 10 40

30 10 20

40 50 30

B

a) Determine la representacin matricial de la produccin total del fabricante.

Negro

Gris

Blanco

Negro

Gris

Blanco

Negro

Rojo

Verde

Nios Damas Caballeros

Negro

Rojo

Verde





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b) Halle la produccin total de polos color rojo para nios.

c) Halle la produccin total de polos color Negro para damas.

d) Si la produccin en la fbrica de Ate disminuye en un 50% y en la fbrica de Villa el

Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva produccin

total.

3. La empresa distribuidora de autos Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas, del

mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz A

siguiente:

30 40 50

25 20 30A

Mientras que las ventas en la Av. La Marina est representada por la matriz B

siguiente:

25 50 40

30 20 35B

a) Indique el modelo y color de auto ms vendido en cada local.

b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el

modelo y color de auto que menos se vendi en el mes de Diciembre.

4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,

fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y

nogal. La produccin mensual de la fabrica administrada por Manuel se representa mediante

la matriz M siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

15 20 27

10 18 28

12 16 30

M

Mientras que la produccin mensual de la fbrica administrada por Juan est dado por la

matriz N siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

14 22 26

11 15 30

12 13 31

N

Yaris

Corolla

Color Negro Color rojo Color Plata

Color Negro Color rojo Color Plata

Yaris

Corolla

Blanco

Cedro

Nogal

Blanco

Cedro

Nogal


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a) Indicar el modelo y color de cama, que es ms fabricada, por cada uno de los

hermanos.

b) Halle la matriz que representa la produccin total mensual.

c) Halle la produccin total de camas de dos plazas en color cedro.

d) Halle la produccin total de camas de una plaza en color blanco.

5. Una fabrica ensambladora de automviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos

plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dlares en

el mes de diciembre es representado por la siguiente matriz:

M1 M2 M3

10000 12000 13000

9000 11000 14000

Mientras que los costos de produccin mensuales en dlares del mes de diciembre escomo se muestra en la siguiente matriz:

M1 M2 M3

9000 9000 10000

7000 8000 11000

a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.

b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B.

c) Halle la matriz utilidad.

6. Dadas las matrices5 7

2 4A

, 2 22 xB I A y BAC .

Calcule:

a) ( )C B A b) ( ) ( 2 )T TC B C

7. Si22

3x

IA ,4 1

0 3B

, 2 TBC y

5 0

1 2D

,

Halle: ( ) 2 TA B C DB A

8. Si,2 1

0 5

A

,

1 3

4 0B

y

2 23

x BC I . Calcular: 2 ( ) TP B A B C B

9. Si3 1

4 2A

y2 1

3 5

TB

, determine la matriz Xsi se cumple:

2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T T A A B X A B


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10. Si4 3

2 1

TA

,

2 23

xB I y

5 0

2 1C

, determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 3 3T T TBC A C X B A

11. Dadas las matrices:2 1

1 0

A

;35 50

1 7

B

;2 2

0 4

C

, halle la matriz Xsi

se cumple: ( ) 4 2 ( )T T T T A B AC X B A C

12. Halle la matriz Xen: CABAXBA TTTT )(3)3( . Si

3 7 33

3497

A

,

1 3

2 5

B

y IABC

TT

3 22x

13. Un agente de bolsa vendi a un cliente 2000 acciones del tipo A, 180 del tipo B, 140 del tipo

C y 280 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 12; $24, $ 45 y $ 60 por accin

respectivamente, determine el valor total de la transaccin comercial en forma matricial.

14. Un comerciante de TV a colores tiene 12 TV de 26, 15 de 20, 7 de 18 y 14 de 12. Los TV

de 26 tienen un precio de S/. 920, los de 18a un precio de S/. 640, los de 12 a S/. 380

y los de 20a S/. 650. Exprese el inventario en forma matricial y diga el precio total.

15. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo

A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 350, S/. 400 y S/. 300

respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudacin total por la venta de 30, 45 y 60

buzos de cada modelo respectivamente.

16. En una eleccin regional un grupo contrato los servicios de una empresa de relaciones

pblicas para promover a su candidato mediante tres formas: por telfono, llevando volantes

a la casa y mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtiene mediante la

matriz:

Costo por contacto

$ 0,40

$ 0,75

$ 0,25

El nmero de contactos establecidos en dos ciudades adyacentes, se calcula mediante la

matriz:

Telfono volante carta

Telfono

Volante

Carta


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200 150 100

140 300 120

a) Halle la cantidad total que se gasto en la ciudad A

b) Halle la cantidad total que se gasto en la ciudad B

17. Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B, las unidades

vendidas en el mes de Febrero se muestran en la siguiente matriz:

Billeteras Carteras Maletines

250 120 110

130 350 150

Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestra en la matriz :

Planta A Planta B

$3 $4

$8 $9

$10 $12

Mediante el producto de matrices, calcule:

a) La utilidad obtenida en la planta A

b) La utilidad obtenida en la planta B.

Planta A

Planta B

Billeteras

Carteras

Maletines

Ciudad A

Ciudad B


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SEMANA 2

MTODO DE REDUCCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA COMPATIBLE - INCOMPATIBLE

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

x

y

z

=

11

21

31

b

b

b

11 13 11

21 22 21

31 32 33 31

12

23

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

Donde:

La Matriz A es la matriz de Coeficientes.

La Matriz Xes la matriz de Incgnitas.

La Matriz B es la matriz de las constantes o trminos independientes.

MATRIZ AUMENTADA

A B

11 12 13 11

21 22 23 21

3131 32 33

a a a b

a a a b

ba a a

EJERCICIOS

Expresar en su forma matricial los siguientes sistemas:

a)

015217

4216

zyxxzy

zyx

c)

zyx

zyx

468

324

AX B


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b)

5 9 2

3

7

7 0

y z x

z xy

x y z

d)

1

4 2 3 0

2 34

s r

r s t

ts

REDUCCIN DE MATRICES

Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos que caractersticas tiene una matriz

reducida.

Una matriz se dice que esmatriz reducida,si satisface lo siguiente:

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en

la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las dems entradas de sucolumna, son ceros.

En cada fila, la primera entrada diferente de cero est a la derecha de la primera entrada

diferente de cero de cada fila arriba de l.

Todas las filas que consistan nicamente de ceros estn en la parte inferior de la matriz.

Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales

sobre filas de la matriz, estas son:

1 x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .

2 xk F : Multiplicacin de un escalar por una fila. El nmero real k diferente de cero,

multiplica a la fila xF .

3 x yF Fk : Suma de k veces una fila a otra fila. K vecesla fila xF se suma a la fila yF .

( La fila xF no se altera).

OBSERVACIN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o ms

operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices sonequivalentes.

EJERCICIOS

1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuacin es reducida o no (justifique su

respuesta):

a.1 0

0 2

b.

3 01

3 0 3

c.

1 0

0 0

d.

1 0 0

0 0 1


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e.1 0 0 4

0 1 1 0

f.

1 0 0

0 1 6

g.

1 0 0 3

0 1 0 1

h.

410

001

i.

1 0 2

0 1 0

0 0 0

j.

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

k.

0 1 0 2

0 0 1 5

0 0 0 0

l.

0 0 1 0

0 1 0 2

0 0 0 0

Ejemplo:

Reducir la matriz

Solucin:

1098

795

442

1

(1/ 2)F

1098

795

221

1 2

( 5)F F

1098

310

221

1 3( 8)F F

670

310

221

2

( 1)F

670

310

221

2 1( 2)F F

1 0 4

0 1 3

0 7 6

2 3

(7)F F

1500

310

401

3(1/15)F

100

310

401

3 1

(4)F F

100

310

001

3 2

( 3)F F

100

010

001

Porlotanto,lamatriz reducida de

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A

es

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

.

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A


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a.

4 0

105

b)

0 3

7 0

c)

4 2

2 4

4 1

d) 0 0 80 6 10

e)

4 8 6

2 4 3

1 2 3

f)

0 0 6

1 1 0

3 0 1

g)

2 / 3 1 4 / 3

3 / 2 1 1

2 8 12

h)

4 3 1

3 2 4

10 2 6

i)

4 0 6 2

1 4 2 2

3 3 3 12

Para resolver un sistema lineal, reduciremos la matriz aumentada A B .

CLASIFICACIN:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

1. Sistema Compatible: es aquel sistema que tiene solucin y puede ser:

a) Determinado. cuando tiene solucin nica.

b) Indeterminado. cuando tiene Infinitas soluciones (solucin paramtrica).

2. Sistema Incompatible. es aquel que no tiene solucin.

Atendiendo a sus trminos independientes:

a) Homogneos. cuando todos los trminos independientes son nulos.

b) No Homogneos. No todos sus trminos independientes son nulos.

Ejemplos:

Por el mtodo de reduccin resolver:

a)

72

1953

yx

yx

Solucin:

Debemos reducir a la matriz aumentada:3 5 19

1 2 7

3 5 19

1 2 7

1 2

F F 1 2 7

3 5 19

1 2

( 3)F F 1 2 7

0 1 2

2( 1)F 1 2 7

0 1 2

2 1( 2)F F 1 0 3

0 1 2


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La ltima matriz es reducida y corresponde a3

2

x

y

, entonces es un

Sistema Compatible Determinado (solucin nica)

b)

163

642

yx

yx

Solucin:

Debemos reducir a la matriz aumentada2 4 6

3 6 1

2 4 6

3 6 1

11/2 F1 2 3

3 6 1

1 2

( 3)F F 1 2 3

0 0 8

2

( 1/8 )F1 2 3

0 0 1

2 1( 3)F F

1 2 0

0 0 1

La ltima matriz es reducida y corresponde a2 3

0 1

x y

, entonces observamos un absurdo

( 0 1 ), por lo que el sistema es incompatible (no tiene solucin).

EJERCICIOS

Por el mtodo de reduccin resuelva los siguientes sistemas indicando el tipo de sistema y de

solucin:

a)2 12

3 8

x y

y x

b)

6 2 10

4 2 1 0

x y

y x

c)2 5 10

6 15 3

x y

x y

d)

3 4 7

2 9

x y

y x

e)2 2 4

5 5 1

x y

x y

f)

2 5 10

6 15 3

x y

x y


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g)0,2 0,5 1

0,3 0,2 2

x y

y x

h)

0,3 0,4 1

0,3 0,5 2

x y

x y

i)

3 5

5 1

2

y x

yx

j)

1

3 2

23

yx

yx

k)

17 14

22

5 5

yx

yx

l)

2 4

3 2

5 3

x y z

x z

x y z

m)

6 4 10

2 3 3

0

x y z

x y z

x y z

n)

2 0

2 3 5

4 3

x y z

x y z

x y z

o)

1

2 5

2 4 6

x y

x z

y z

p)

2 4 6 0

2 3 0

2 1 0

x y z

z y

x y z

q)2 2 0

3 4 0

x y

x y

r)4 7 0

2 3 0

x y

x y

s)

2 0

5 4 0

5 0

x y

x y

x y

t)

0

0

2 5 0

x y z

x z

x y z


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SEMANA 3

SISTEMA COMPATIBLE (SOLUCIN PARAMTRICA)

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES

Ejemplo

Por el mtodo de reduccin resolver:

a)

42

3

12

zyx

yx

zyx

Solucin:

Debemos reducir a la matriz aumentada

1 1 2 1

1 1 0 32 1 1 4

1 1 2 1

1 1 0 3

2 1 1 4

1 2

( 1)F F

1 1 2 1

0 2 2 4

2 1 1 4

1 3

( 2 )F F

1 1 2 1

0 2 2 4

0 3 3 6


20/106

2)2

1( F

1 1 2 1

0 1 1 2

0 3 3 6

2 1

( 1)F F

1 0 1 1

0 1 1 2

0 3 3 6

2 3

( 3 )F F

1 0 1 1

0 1 1 2

0 0 0 0

La ltima matriz es reducida y corresponde a

2

1

zy

zx, entonces, hacemos

ry

rx

rz

2

1 , Rr

por lo que elsistema es compatible indeterminado(solucin paramtrica).

EJERCICIOS

Por el mtodo de reduccin resuelva los siguientes sistemas indicando el tipo de sistema y desolucin:

a)2 3

5 10 15

x y

y x

b)

33

2

3 2

xy

y x

c)

3 4

822

3 3

x y

x y

d)

33

5 5

21

14 14

y x

yx

e)

6

6 12

5 2 6

x y z

x y z

y z

f)

3 1

3 3 9

3 2 9 7

x z

x z

x y z

g)

5 1

2 17

2 16 4

x y z

y x z

x y z

h)

2 4 6 2

2 3

3 4

x y z

y z

x y z

i)

2 3 12 0

3 2 5 0

4 14 0

x z y

x z y

x z y

j)

2 2 0

3 2 0

3 0

x y z

x y z

x y z


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APLICACIONES

Resuelva los siguientes problemas, utilizando el mtodo de reduccin de matrices.

1. Un empresario compr acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente.

Cada accin del tipo A la adquiri a S/.10 y cada accin del tipo B la adquiri a S/.15. Si sesabe que compr 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirti S/.11, 000

en la compra. Cuntas acciones del tipo A y del tipo B adquiri el empresario?

2. Una compaa vende telfonos celulares de los modelos C1 y C2 , el precio de venta

unitario del modelo C1 es de S/.150 y el del modelo C2 es de S/.200. En el mes de Febrero

la compaa vendi 200 celulares entre lo dos modelos y su ingreso total en ese mes fue de

S/.34 000. Cuntos celulares de cada tipo se vendieron durante el mes de febrero?

3. En una empresa textil se fabrican chompas y camisas cuyos precios de venta unitario se

fijan en $ 25 y $ 20 respectivamente. Los costos totales ascienden a $ 12000 y se desea

fabricar 700 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y camisas que se debe fabricar

para obtener una utilidad de $ 4000.

4. Una fbrica de automviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A

requiere 10 partes del tipo I y 14 del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8 partes

del tipo I y 6 del tipo II. Si La fbrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930 del tipo II,

cuntos automviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes

disponibles?

5. Una sastrera tarda 1 hora en cortar y 3 horas en coser un traje tejido. Para confeccionar

un traje de lana peinada, tarda 1 hora en el corte y 2 horas en el cosido. En un da de

trabajo, la sastrera dispone de 8 horas para corte y 20 horas para cosido. Determine la

cantidad de trajes de cada tipo que deber producirse en un da para que funcione a plena

capacidad

6. En un taller de carpintera se fabrican escritorios y vitrinas. Para la fabricacin de un

escritorio se necesitan emplear 2 horas en el Departamento de Corte y 3 horas en el

Departamento de Ensamblaje y para la fabricacin de una vitrina se necesitan emplear 3

horas en el Departamento de Corte y 4 horas en el Departamento de Ensamblaje. El taller

dispone en total de 234 horas para el Departamento de Corte y 330 horas en elDepartamento de Ensamblaje. Halle el nmero de escritorios y vitrinas que se pueden

fabricar si se utilizan la totalidad de horas disponibles en cada Departamento.

7. Una fbrica de pantalones y camisas tiene un costo fijo mensual de $800, el costo de

produccin unitario (mano de obra y material) es de $30 y $20 respectivamente. Si el costo

total mensual es de $3600 y se fabricaron 120 prendas entre pantalones y camisas, calcule

la cantidad de pantalones y camisas producidas en un mes.

8. Una fbrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $1000, el costo de

produccin por par (mano de obra y material) es de $40 y $20 respectivamente. Si el costototal mensual es de $3000 y se fabricaron 70 pares entre zapatos y zapatillas, calcule la


22/106

cantidad de pares de zapatos y zapatillas producidas en un mes.

9. La empresa Dulces SAC fabrica, envasa y vende mermelada y pur de manzana. Por cada

unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de

pur la ganancia es de $ 9. La empresa determin que por cada 3 frascos de mermelada

vende 2 frascos de pur. As que para el prximo ao la empresa desea obtener una utilidad

de $72,000. Cuntas unidades de pur deber vender?.

10. Una fbrica de muebles tiene un costo fijo mensual de $500, produce mesas y roperos; el

costo de produccin unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400 respectivamente.

Si el costo total es de $10500 y se fabricaron 30 muebles entre mesas y roperos, calcule la

cantidad de mesas y roperos producidos en un mes.

11. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1y B2, el precio de

venta del modelo B1es de $30 y del modelo B2es de $40. Si en el mes de Enero la tienda

vendi 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total en ese mes fue de

$15000, determine el nmero de memorias USB de cada tipo que se vendieron durante el

mes de Enero.

12. Una fbrica de muebles tiene un costo fijo mensual de $13000, produce camas y modulares;

el costo de produccin unitario (mano de obra y material) es de $800 y $700

respectivamente. Si el costo total mensual es de $50000 y se fabricaron 50 muebles entre

camas y modulares, calcule la cantidad de camas y modulares producidos en un mes.

13. Una fbrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es

de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha

encontrado que puede venderse 25% ms de A que de B. Para el ao siguiente el fabricante

desea una ganancia total de $42000. Cuntas unidades de cada producto debe vender?

14. Una compaa tiene ingresos gravables por $ 312000. El impuesto a la Sunat es el 25% de

la parte que queda despus que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al

Municipio es el 10% de la parte que queda despus que el impuesto a la Sunat ha sido

pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.

15. Un fabricante produce 3 artculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de$1, $2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por ao y los costos de

produccin por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El ao siguiente se

producirn y vendern un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendr una

utilidad total de $ 25000. Si el costo total ser de $80000, cuntas unidades de cada

producto debern producirse el ao siguiente?.


23/106

SEMANA 4

MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ INVERSADefinicin. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una

matriz denotada por1

A

tal que:1 1

A A A A I . A la matriz 1A se le llama matriz

inversa de A .

Clculo de la matriz inversa de orden n (Mtodo de Gauss - Jordan)

Sea A , una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por1

A

, se sigue los siguientes pasos:

1. Se construye una matriz de la forma: A I donde I es la matriz identidad. A esta matrizse le llama matriz aumentada.

2 Utilizando las operaciones elementales sobre filas se transforma (si es posible) la matriz A ,

en la matriz identidad: 1I A . La matriz que resulta en el lado derecho, ser la matriz

inversa de A .

Ejemplo 1.


24/106

Calcular la matriz inversa de3 7

1 2A

Solucin:

Formando la matriz aumentada de A: 3 7 1 01 2 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila:1 2 0 1

3 7 1 0

1 2 0 1

0 1 1 3

1 0 2 7

0 1 1 3

1I A

Por tanto: 12 7

1 3A

es la matriz inversa de A .

Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 1 4

3 2 2

A

Solucin:

Formando la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0

2 1 4 0 1 0

3 2 2 0 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila:1 1 3 1 0 00 1 2 2 1 0

0 5 11 3 0 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

3F1+F2

F1F2

2F2+F1

2F1+F2

3F1+ F3

F2+F1

5F2+F3

F3


25/106

1 0 0 6 4 1

0 1 0 16 11 2

0 0 1 7 5 1

1I A

Por tanto: 1

6 4 1

16 11 2

7 5 1

A

es la matriz inversa de A .

Propiedades

a) 1A A I b) 1 1 1( )A B B A

c) 1 1( )A A d) 1( )I I

e) 1 1( ) ( )T TA A f) 1 1 1( )A Ak k ; 0k , k

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Resolucin por el Mtodo de la Matriz Inversa

El sistema12 1

21 22 2

11

a x a y b

a x a y b

, se puede expresar como:

1

21 22 2

11 12 bx

y b

a a

a a

A X B

Simblicamente AX B , donde:

A es la matriz de los coeficientes.

X es la matriz columna de variables.

B es la matriz columna de las constantes

Multiplicando a ambos miembros por 1A (por la izquierda), se tiene: 1 1A AX A B

de donde: 1IX A B , por lo tanto: 1X A B

Este procedimiento es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n

incgnitas, siempre y cuando exista 1A .

Ejemplo

F3+F1

2F3+F2


26/106

Resolver el sistema5 23

2 11 49

x y

x y

Solucin:

Formando la matriz de coeficientes:1 5

2 11A

.

Hallando su matriz inversa:1 5 1 0

2 11 0 1

1 5 1 0

0 1 2 1

1 0 11 5

0 1 2 1

entonces: 1

11 5

2 1A

Como: 1X A B 11 5 23 8

2 1 49 3

x

y

por tanto: 8x ; 3y

EJERCICIOS

1. Calcular la inversa de las siguientes matrices:

3 1

5 2A

,

2 3

3 5B

,

3 7

2 5C

,

3 5

2 4D

,

1 4

2 3E

2. En cada caso, halla una matriz X, tal que AX B .

a)3 4

2 3A

,

2 3

1 4B

b)

2 5

1 3A

,

6 2

4 1B

3. En cada caso, halla una matriz X, tal que XA B .

a)5 7

2 3A

,

1 5

2 3B

b)

2 5

3 8A

,

4 3

2 1B

4. Resuelve la ecuacin matricial 2A AX B , si:3 5

4 7A

y

1 2

3 4B

5. Resuelve la ecuacin matricial 3 TA BX B , si:2 3

1 4

B

y1 4

2 7

B

2F1+F2

5F2+F1


27/106

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el mtodo de la matrizinversa.

a)2 3 13

5 7 11

x y

x y

b)

4 3 15

3 5 14

x y

x y

c)

6 5 20

9 23

x y

x y

d)2 11

7 2 13

x y

x y

e)

3 5 10

3 8 23

x y

x y

f)

5

6 7 30

x y

x y

g)4 1

11 3 5

x y

x y

h)

3 2 6

4 3 25

x y

x y

i)

5 7 9

3 4 11

x y

x y

7. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el mtodo de la inversa.

a)

3 10

2 4 20

3 2 2 28

x y z

x y z

x y z

b)

3 2 2 15

2 10

2 16

x y z

x y z

x y z

c)

4 5 6

3 2 9

2 3 2 4

x y z

x y z

x y z

d)

2 3 4

3 2 7

4 3

x y z

x y z

x y z

, e)

4 2 12

2 3 5

3 2 5

x y z

x y z

x y z

,

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de uan matriz es un nmero real asociado a una matriz cuadrada A, que se

denota por: A .

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a b

A c d

a b

A ad bcc d , ejemplo:

2 3

( 2)(5) (3)( 4)4 5 2A

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c

A d e f

g h i

a b c a b

A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi

g h i g h


28/106

Ejemplo:2 1 3

0 4 5

3 2 0

A

Propiedades

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

0A

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A

3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las

entradas de la diagonal principal.

4. Si k es una constante y A una matriz de orden n, entonces: nA Ak k

5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

A B A B

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuestaTA A

7. Si A es una matriz invertible:1

1A

A

MTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

,

Denotamos:11 12

21 22

a aA

a a

1 12

2 22

x

b aA

b a

11 1

21 2

y

a bA

a b

luego:xA

x A yA

y A siempre que 0A

Este mtodo es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas,

siempre que 0A

Ejemplo 1

Resolver por el mtodo de Cramer:2 5 11

3 4 6

x y

x y

Solucin:

36 20 0

2 1 3 2 1

0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41

3 2 0 3 2 0 15 0

A


29/106

2 58 15 7

3 4A

,

11 544 30 14

6 4xA

, luego

14

7

x

2x

2 1112 33 21

3 6yA

, luego

21

7y

3y

Ejemplo 3

Resolver el sistema:

2 3

3 2 2 203 5 29

x y z

x y zx y z

utilizando el mtodo de Cramer.

Solucin:

2 1 1 2 1

3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14

1 3 5 1 3

A

3 1 1 3 1

20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28

29 3 5 29 3

xA

2 3 1 2 3

3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56

1 29 5 1 29

yA

2 1 3 2 1

3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 421 3 29 1 3

zA

luego:28

214

xx

A

A

;

564

14

yy

A

A

;

423

14

zz

A

A

EJERCICIOS

1. Calcule los siguientes determinantes:


30/106

a)

2 1 5

3 4 1

0 6 1

b)

4 2 3

1 4 5

3 1 7

c)

5 0 2

3 2 4

0 1 6

d)

3 2 1

0 5 2

2 3 7

e)4 2 51 3 6

3 1 2

f)7 1 35 3 4

2 6 5

g)2 1 34 4 1

2 6 5

h)6 1 22 3 5

2 8 3

2. En cada caso halle el valor de x si cumple que:

a)2 3 4 1

103 2 5

x x

x x

b)

42

7

x x

x

c)

4 0 0

8 9 0 220

9 7 5

x

d) 0a x b

b c x

e).

1 0 0

3 0 3

5 6 4

x

x

f. )

1 6 2

0 2 7 108

0 0 1

x

x

g)

1 2 3

1 3 0

1

x

x x

h)

2 6 5

1 2 3 12

1x x

i)

2 1

3 2 5 53

2 4

x

x

3. Utilizando el mtodo de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

a)3 8

2 5

x y

x y

b)

3 2 4

5 3 25

x y

x y

c)

11 3 7

2 5 21

x y

x y

d)2 5 25

4 7 1

x y

x y

e)

7 8 26

6 11 43

x y

x y

f)

9 5 7

7 4 37

x y

x y

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de zen:

g) .

2 3 1

3 2 12

3 2 5

x y z

x y z

x y z

h)

4 3 2 14

3 5 2 23

2 5 6

x y z

x y z

x y z

Calcular el valor de y en: Calcular el valor de x en:


31/106

i) .

5 6 7 31

3 5 3 4

4 3 2 5

x y z

x y z

x y z

j).

6 5 4 28

5 3 3 17

2 2 5 13

x y z

x y z

x y z

Calcular el valor de z en: Calcular el valor de y en:

k) .

3 2 1

3 2 43

4 28

x y

x z y

x z

l)

3 2 1

4 28

3 2 43

x y

z x

x z y

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de zen:

m) . 0,2 0,3 0,4 2,7

0 ,3 0,1 0,5 3,1

0,7 0,2 0,4 4

x y z

x y z

x y z

n)

7 7 7 0

13 13 2 13 3 13

5 3 5 2 5 3 5

x y z

x y z

x y z

APLICACIONES

Resuelve, utilizando el mtodo de Cramer o de la matriz inversa, segn se indique.

1. La empresa Textiles del Per produce pantalones y faldas, con un costo de produccin

unitario de s/. 90 y s/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de s/. 6000.

Sabiendo que el costo total mensual es de s/. 16 800 y que cada pantaln se vende a s/.

200 y cada falda a s/. 180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26 800. Determine

la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes.

2. Oscar y Alfredo trabajan en la misma empresa, sus ingresos diarios se diferencian en 20

soles. Oscar es quien tiene mayor ingreso pero trabaja durante 15 das mientras que Alfredo

trabaja 26 das. Si Alfredo ha ganado 580 soles ms que Oscar, calcule el ingreso diario de

cada uno.


32/106

3. La empresa Lanificios del Per tiene costos fijos de s/. 5000, produce pantalones y

camisas siendo los costos unitarios de produccin de s/. 40 y s/. 30 respectivamente. Si los

costos totales son de s/. 30 000 y se desean producir 700 prendas entre pantalones y

camisas. Calcule el nmero de pantalones y camisas a producir.

4. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y pur de manzana. Por cada unidad

de mermelada que vende la ganancia es de s/. 6 y por cada unidad de pur que vende la

ganancia es de s/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y pur siendo la

ganancia total de s/. 3900. Cuntas unidades de cada producto se vendieron?

5. Una empresa que fabrica artculos de cuero tiene un costo fijo mensual de S/.10000.

Adems produce carteras y correas, sabiendo que el costo de produccin (mano de obra y

material) es de S/. 40 y S/. 30 respectivamente. Si el costo total mensual fue de S/. 20000 y

se fabricaron 300 artculos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras y

correas producidas en el mes.

6. Una empresa exportadora de artculos de lana de vicua tiene un costo fijo mensual de

S/. 5000. Sabiendo que produce chompas y faldas donde el costo de produccin es de S/.

80 y S/. 70 respectivamente. Adems el costo total mensual es de S/. 15.600. Cada chompa

se vende S/. 200 y cada falda a S/. 180 y la venta total del mes es de S/. 26.800. Calcule la

cantidad de chompas y faldas producidas en el mes.

7. Una fbrica de automviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de

mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la lnea

de ensamblado est funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para

pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. Cuntos automviles de cada modelo

pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?

8. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de

fundicin dispone de un mximo de 136 horas de trabajo por semana y el

departamento de acabado tiene un mximo de 124 horas de trabajo por semana. La

escultura A necesita 12 horas para fundicin y 8 horas para acabado; y la escultura Bnecesita 8 horas para fundicin y 12 horas para acabado. Si la planta debe funcionar a

su mxima capacidad, cuntas esculturas de cada tipo debe producir cada semana?

9. Escritorios Nacionales tiene plantas para la produccin de escritorios en Surco y en La

Molina. En la planta de Surco, los costos fijos son de $ 16,000 por ao y el costo de

produccin de cada escritorio es de $ 90. En la planta de La Molina, los costos fijos son de

$ 20,000 por ao y el costo de produccin de cada escritorio es de $ 80. El ao siguiente la

compaa quiere producir en total de 800 escritorios. Determine la produccin de la planta

de La Molina para el ao prximo si el costo total de cada una debe ser el mismo.


33/106

10. Una fbrica tiene plantas para la produccin de puertas en dos distritos diferentes de Lima:

Los Olivos y San Juan de Miraflores. En la planta de los Olivos los costos fijos son de S/.20

000 y el costo de produccin es de S/ 150 soles por cada puerta. En la planta de San Juan

de Miraflores los costos fijos son de S/ 25 400 y el costo de produccin es de S/180 por

cada puerta. El ao siguiente la compaa quiere producir 520 puertas. Determine laproduccin de cada planta para el prximo ao, si el costo total de cada una debe ser el

mismo.

11. Una empresa tiene dos plantas para la fabricacin de mochilas. Una esta ubicada en La

Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales

ascienden a $ 5900 y el costo unitario de produccin a $ 25. En la planta de los Olivos, los

costos fijos son de $ 9000 y el costo unitario de produccin es de $ 30. Si se desea fabricar

1400 mochilas mensuales, halle la produccin de cada planta, sabiendo que los costos

totales mensuales en cada planta deben ser iguales.

SEMANA 5

LMITES

NOCIN INTUITIVA DE LMITE

Es importante conocer el comportamiento de una funcin ( )f x , cuando los valores de la

variable independiente x , estn muy cerca de un nmero especificado que llamaremos

0x . Haremos esto tabulando los valores de la funcin para valores de x cada vez ms

cercanos al nmero 0x .

Ejemplo Si 3 1

1

xf x

x


34/106


35/106

1.

0 0

( ) ( )lim limx x x x

Lf x f xk k k

2. 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M

3. 0 0 0


f x g x f x g x L M

4. 0 0 0


f x g x f x g x L M

5.0

0

0

( )( )

( ) ( )

lim

limlim

x x

x xx x

f xf x L

g x Mg x , siempre que 0M .

6. 0 0

( ) ( )lim lim

n

n n

x x x xf x f x L

7. 00

lim limnn

nx x x x

f x f x L

FORMA INDETERMINADA: 00

Cuando en una funcin ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado x0 y nos da la

forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el0

( )limx x

f x

; previamente se debe factorizar o

racionalizar ( )f x con la finalidad de eliminar la indeterminacin.

Ejemplo 1 Calcular2

21

2

2 3limx

x x

x x

Solucin: 2

21 1

( 1)( 2)2( 1)( 3)2 3

lim limx x

x xx x

x xx x


36/106

1

( 2)( 3)

limx

x

x

4

3

Por tanto: 2

21

2 342 3

limx

x x

x x

Ejemplo 2 Calcular7

2 37

limx

x

x

Solucin:7 7

2 3 2 3 2 3

7 7 2 3

lim limx x

x x x

x x x

2

2

7

2 3lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

( 7)lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

1lim

( 2 3)x x

6

1

Por tanto:7

2 3 1lim7 6x

x

x

EJERCICIOS

Calcular los siguientes lmites

1.5(10)lim

x 2. 4

2lim

xx

3. 2

22 3lim

xx x

4. 100

3 5 6limx

x x

5.2

2

3 1

2 1lim

y

y

y

6.

2

6

3lim

x

x

x

7.2

2

3 10

11limx

x x

x

8.2

23

5 24

12lim

x

x x

x

9.

1

8

3lim

x

x

x


37/106

4

6

2

y

x

Forma indeterminada 00

10.4

1

1

1lim

x

x

x

11.2

4

4

12lim

x

x

x x

12.

22

2

4lim

x

x

x

13.2

223

3 2

3 4 4lim

x

x x

x x

14.

2

2

4 4

2lim

x

x x

x

15.2

2 4

9 20

3 4lim

x

x x

x x

16.2

2 2

2lim

x

x

x

17.23

3

7 4lim

x

x

x

18.

2

0

1 1limx

x

x

19.0

9 3

16 4lim

x

x

x

20.

2 2

lim

x a

b x b a

x a

21.2

0

3

3 1 1limx

x x

x

22.2

22

3 2

4 3lim

x

x x

x x

23.2

1

2

1limx

x x

x

24.2

3

3

2 3lim

x

x

x x

25.0

2

4 2

9 3limx

x

x x

26.

4

2 2

1 3limx

x

x

27.

4

2 1 3

2 2limx

x

x

En los siguientes ejercicios, calcule la constante cde modo que el lmite exista. Para ese valorde cdeterminar el lmite.

a)2

21

21

limx

x x c

x

b)2

22

3 74

limx

x x c

x

c)2

22

56

limx

x x c

x x

d)2

24

2 8

limx

x x c

x x

e)2

23

42 15

limx

x x c

x x

f)2

22

54 12

limx

x x c

x x

LMITES LATERALES

Consideremos una funcin por tramos:

2 ; 2

( )

34 ; 2

x si xf x

x si x

Podemos observar que cuando x se aproxima al nmero 2 por la izquierda ( 2)x , la funcinse aproxima al nmero 4; esto se simboliza:


38/106

2( ) 4lim

xf x

Asimismo, cuando x se aproxima al nmero 2 por la derecha ( 2)x , la funcin se aproximaal nmero 6, esto se simboliza:

2( ) 6lim

xf x

DEFINICIN. Una funcin ( )f x tiene lmite en a si los lmites laterales en a son iguales;esto es:

Lxfax

)(lim Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Verifique si existen los existen los siguientes lmites:

1.2 2 1; 1

( ) 4 1 ; 1

x si xf x

x si x

a)

1

limx

f (x)

b)1

limx

f (x)

c)1

( )limx

f x

2.

2 4 , 2

( ) 2

5 2, 2

xsi x

f x x

x si x

a)2

limx

f (x)

b)2

limx

f (x)

c)2

limx

f (x)

3.

2

2 , 1

1

( ) 3 , 1

8

x xsi x

x

f x xsi x

a) 1( )

limxf x

b) 1( )

limxf x

c) 1( )

limxf x

4.

3

2

8 , 24

( )3 3 3

, 22

xsi x

xf x

xsi x

x

a)2

( )limx

f x

b)2

( )limx

f x

c)2

( )limx

f x

5. Dado:

3

2

1; 2( )

3 ; 2

Ax si xf x

x x si x

, calcule el valor de A ,si existe2

( )limx

f x

.

6. Dado:

3 2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

Bx x si x

f x xsi x

x

, calcule el valor de ,B si existe1

( )limx

f x

.

7. Halle el valor de a y b si existen1

( )limx

f x

y3

( )limx

f x

;


39/106

2 1 ; 1

( ) ; 1 3

5 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

8. Halle el valor de c y ksi existen2

( )limx

f x

y1

( )limx

f x

;

1,32

12,5

2,32

)(

xsix

xsikcx

xsicx

xf

9. Dada la grfica de la funcin ( )f x , calcule si existen los siguientes lmites;

10. Dada la grfica de la funcin ( )f x , calcule si existen los siguientes lmites;

SEMANA 6

CONTINUIDAD

Continuidad de funciones

Una funcin ( )f x es continua en a si y slo si, se cumplen las siguientes trescondiciones:

a) limf(x) b) limf(x) c)limf(x)x3

+ x3 x3

d) limf(x) e) limf(x) f) limf(x)x2

x2+ x2

g) limf(x) h) limf(x) i) limf(x)x2

x2+ x2

a). lim f(x) b). limf(x) c) limf(x)x2

+ x2 x2

d). lim f(x) e) limf(x) f) limf(x)x1

x1+ x1

g). lim f(x) h) limf(x) i) limf(x)x3

x3+ x3

x

y

y

12

9

5

- 2

2- 3 x-2

12

7

3

2

3

1 3


40/106

1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .

2. Existe el ( )limx a

f x

, es decir los limites laterales existen y son iguales

( ) ( ) ( )lim lim limx a

x a x a

f x f x f x

3. ( ) ( )limx a

f x f a

OBSERVACIONES

Una funcin polinomial es continua en todo su dominio.

Ejemplo 1 3( ) 2 3 1,f x x x x R

3

3 3

3

Sea :

) ( ) 2 3 1, existe.

) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.

) ( ) ( ) 2 3 1

lim lim

lim

x ax a

x a

a R

i f a a a

ii f x x x a a

iii f a f x a a

fes continua en a R

Una funcin racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y escontinua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo

Analizar la continuidad de la funcin:2

2 1( )

9

xf x

x

2

2

Si 3:

2(3) 1 7) (3) , es discontinua en 3

03 9

Si 3:

2( 3) 1 5) ( 3) , es discontinua en 3

0( 3) 9

x

i f f x

x

i f f x

EJEMPLOS


41/106

1. Analizar la continuidad de la funcin: 2

3 1, 0

( ) , 0 1

2 1, 1

x x

f x x x

x x

Solucin:

2

2 2

0 0

0 0 0

2

2 2

1 1

1

Si 0:

) ( ) 0 0

) 0 0 ; 3 1 3( 0 ) 1 1

( ) ( ) ( )

es discontinua en 0

Si 1:

) (1) 1 1

) 2 1 2 (1) 1 1; 1 1

lim lim

lim lim lim

lim lim

lim

x x

x x x

x x

x

x

i f x

ii x x

f x f x f x

f x

x

i f

ii x x

1

( ) 1

) (1) ( ) 1

es continua en 1

limx

f x

iii f f x

f x

2. Hallar los valores de a y b , si:

3 , 1

( ) 3 1, 1 2

2 1, 2

x a x

f x a x

bx x

es continua en todo su dominio.

Solucin:

Nos basta analizar la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que seformen ecuaciones que nos permitir hallar el valor de a y b .

Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que:

1 1(1) ( ) ( )lim lim

x xf f x f x

Luego: (1) 3 1f a ;1

(3 1) 3 1limx

a a

;1

(3 ) 3limx

x a a


42/106

3 1a = 3 a 1a

Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:

2 2

(2) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego:

(2) 2 (2) 1f b ;2

(2 1) 2 (2) 1limx

bx b

;2

(3 1) 3 1limx

a a

;

4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1 = 2 1 4b

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1. Discontinuidad removible o evitable: Una funcin tiene discontinuidad removible o

evitable en un punto a cuando existe ( )limx a

f x

pero es diferente de ( )f a

( )a Df x .

Ejemplo:

OBSERVACIN

a) En el primer grfico, (3) 5f pero3

( ) 4limx

f x

,

luego fdiscontinua removible en 3x

b) En el segundo grfico, (3)f no existe, sin embargo,

3

( ) 4limx

f x

5

4

3

( )f x

3

4( )f x


43/106

( )f x discontinua removible en 3x

2. Discontinuidad no removible o inevitable: Una funcin tiene discontinuidad en un

punto a cuando no existe ( )limx a

f x

, o al menos uno de los lmites laterales en a

es .

Ejemplo

OBSERVACIN

a) En el primer grfico, 2 ( ) 5limx f x y 2 ( ) 9limx f x

2

( )limx

f x

fes discontinua no removible en 2x

b) En el segundo grfico,4

( ) 3limx

f x

y3

( )limx

f x

4

( )limx

f x

f es discontinua no removible en 4x

EJERCICIOS

I. En los siguientes problemas, utilice la definicin de continuidad para mostrar que la funcindada es continua en el punto indicado.

a. 3 8 , 2f x x x x b. 23

, 02

xf x x

x

c.

3, 3

9

xf x x

x

d.

3 , 1f x x x e.

2 3 , 0f x x x f.

3 8

, 22

x

f x xx

2

5

9

4

3


44/106

II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qu tipo setratan:

a.4

( )2

xf x

x

b.

2

3( )

9

xf x

x

c.

2

2

4( )

1

xf x

x

d.2

2

1( )

4

x xf x

x

e.

2

2

4( )

16

x xf x

x

f.

3

7( )

xf x

x x

III. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

a.

2 1 , si 1

( ) 1

2 , si 1

xx

f x x

x

b.

2

2

3 2 , si 2

2 4( )

2 4 , si 2

4

x xx

xf x

xx

x

c.

4 1, 1

( ) 5 , 1

2 3 , 1

x si x

f x si x

x si x

d.

3 8 , 2

2

( ) 3 , 2

2 -1 , 2

xsi x

x

f x si x

x si x

e.

2 1 3 , 1

1( )

2 1 , 13

x xsi x

xf x

x si x

f. 2

4 -2 , 1

( ) 3 - , 1 4

6 , 4

x si x

f x x x si x

x si x

g.

2 1, 2

( ) 6 , 2 8

4 3 , 8

x si x

f x si x

x si x

h.

22 1, 7

( ) 1, 7 9

2 , 9

x x x

f x x x

x x

i)

2

2, 2

4( ) , 2 32

5, 3

x x

xf x x

x

x

j)

3

1 , 0

3

2 1( ) , 0 23

8, 2

xx

x

xf x x

x x

IV. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo sudominio.

1.

3 , 1( )

3 , 1

ax xf x

ax x 2.

2 , 1( )3 , 1

x a xf xx


45/106

3.

22 4 , 2

( ) 6 , 2 4

3 2 , 4

ax b si x

f x si x

ax b si x

4.

2 2 5 ; 1

( ) 8 2 ; 1 3

2 ; 3

ax b si x

f x x si x

ax b si x

5.

2 , 2

( ) 3 , 2 1

6 2 , 1

x a si x

f x ax b si x

x b si x

6.

3 -1, 1

( ) , 1 3

4- , 3

x si x

f x ax b si x

x si x

7.

1 , 1

( ) 4 , 1 2

2 8 , 2

x si x

f x si x

bx si x

8.

2

2

3 1, 1

( ) 1, 1

3 1 2

ax x si x

f x xsi x

x

9.

2 2 1, 2

( ) 2 1 , 2

3 3 , 2

mx n si x

f x x si x

n mx si x

10. 3

2

2 , 3

( ) 27, 3

3

m x si x

f x xsi x

x x

SEMANA 7

LA DERIVADA DE UNA FUNCIN. REGLAS DE DERIVACIN

DERIVADA DE UNA FUNCIN:

Sea )(xf una funcin definida en cada punto del intervaloI , entonces se dice que )(xf es derivable en el punto x I , si existe el lmite siguiente:

0

( ) ( )lim

h

f x h f x

h


46/106


47/106

1) Si ( )xf k , es una funcin constante, entonces: ( ) 0'xf

2) Si ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx

3) ( )( ) xx fk f k , donde kes constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA.

Sea ( )y f x una funcin definida en I , I , cuya grfica sea la siguiente:

Si: )()()( 0000 xfxxfxf Entonces, en el tringulo rectngulo MPN,

)( 0xf representa la longitud del cateto PN,

de igual manera que 0x representa la del

MP.

De aqu se tiene que : )()(

0

0tg

x

xf

Pero si hacemos ,00 x

Entonces:

0

0

0

0 0

( )( )lim

x

f xf x

x

.

Esto quiere decir que, geomtricamente, la derivada de una funcin en un punto debe

interpretarse como: la pendiente de la tangente geomtrica a la curva de la funcin f, en

el punto considerado 0 0, ( )x f x

RECTA TANGENTE Y NORMAL

La ecuacin de la recta tangente TL a la grfica de ( )y f x en el punto 0 0, ( )x f x ,estdada por :

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x

Se llama recta normal NL a la grfica de ( )y f x en el punto 0 0, ( )x f x , a la recta que

es perpendicular a TL . La ecuacin de la recta normal esta dada por:

0 0

0

1( ) ( )( )

y f x x xf x

0x 0 0x x

P

N

M

0( )f x

0 0( )f x x

( )f x

x

y

0


48/106

Ejemplo 1

Halle la ecuacin de la recta tangente y de la normal a la parbola 22 8 5y x x en el punto

(1, 1)P .

Solucin:

Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .

Evaluando la derivada en 1: 4)1(' f , luego:

Recta tangente: )1(41: xyLT .

Recta normal : )1(4

11: xyLN .

EJERCICIOS

I. Utilizando la definicin encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. 34)( xxf 5. ( ) 1f x x

2. 1)( 2 xxf 6. ( ) 3 6f x x

3.6 1

( )3 2

xf x

x

7. ( ) 4 1f x x

4.3 5

( )4 2

xf x

x

8.

5 2( )

3

xf x

II. Determine la ecuacin de la recta tangente y normal a la grfica de las funciones siguientes:

1.- 2( ) 4 5 2f x x x . en (2, 8)P 2. 2( ) 5 3 1f x x x , en (2, 37)P

3. 654)( 2 xxxf , en 1x 4.3

1 23xxy en 0x

5. 2( )

1

f x x

x

, en 2x . 6. 2( ) 3 2f x x x ; en 0x

III. Utilizando las diferentes reglas de diferenciacin halle la derivada de las siguientes

funciones y evale en el punto dado:

1. )(xf = 5 31 2

64 3x x x ; 2x 2. )(zf = 1/2 2/3 1/4

12z 3z

5z ; 1z

3. )(qf = 3 / 5q

22 3 3q q ; 1q 4. )(xf = 24x (3 38 2x x ); 1x


49/106

5.1

( )x

f xx

; 4x 6. 525)( 2 bxxxxf ; 1x

7.2 / 3 3

1/ 3

2 3 2( )

4

x zx xf x

x

; 8x 8. 3 2

1( ) 2 2 3f x x x x

x

; 8x

9. 1 2 4 / 3

4

5 2 3( )

x x xf x

x

; 1x 10. )(xf =

2

3

(3 4 3)x x

x

; 64x

11. )(tf =2

63 725

t

ttt ; 64t 12. )(xf = 32 7)(3( xxxx ) ; 1x

13. 42 3( ) 2 1f x x x ; 1x .

SEMANA 8

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO, COCIENTE Y POTENCIA

DERIVADA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

REGLAS DE DERIVACIN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

1) Deriva de un producto.


50/106

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

2) Derivada de un cociente.

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

, si ( ) 0xg

3) Derivada de una potencia.

1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x

4) Derivada de funciones exponenciales.

( ) ( )( ) ln

f x f xf x aa a

, donde a .

( ) ( )( )

f x f xf xe e

, donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e

5) Derivada de funciones logartmicas.

( )ln ( )

( )

f xf x

f x

, caso particular:1

lnxx

ln

( )( )

( )bf x

Log f xf x b

, caso particular:ln

1( )

b bLog x

x

NOTA

Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logartmicas, aplicar algunas propiedades

de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:

1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lnab a b

3) ln( ) ln lna

a bb

4)ln

loglnb

aa

b (cambio de base)

EJERCICIOS

I. Derive las siguientes funciones:


51/106

1.( 3)( 1)

( )( 2)

x xf x

x

2.

107( )4

xf xx

3. 2( ) 2 3f x x x 4. 2 23( ) (4 3 2)f x x x

5. 3 24 2 5( ) x xf x e 6. 33 6 2( ) x xf x e

7.3

5( ) ( 3) 2

xf x x 8.

24 3 6( ) (7 8) xf x x e

9. 11( ) ln x

xf x

10. 2 3 3 2lny x x

11. 2 21 2lny x x x 12. 2 1lny x

13.ln

2

xy

x

14. 34 2 1lny x x

15. 32

1 2lny x x 16.1 ln

1 ln

xy

x

17. 2 ln(2 1)y x x 18. 3 2ln( 2 5 ) 4 2y x x x x

19. 3 25

log 1y x x 20.x x

x xy

e e

e e

21.

2

22

1

x xy log

x

22.

22

32

1 1

1

lnx x

y

x

23.

3

2 4

6 5 ( 4 5)

(7 8) 8 1ln

x xy

x x

24.

45

7

4 3 ( 2 7)

(2 7) 3 2ln

x xy

x x

25. 1

ln 1 x

y x

26. ln( ) (1 )x xf x e

27. lnxe

y x 28 2 1( ) xf x x

IV. APLICACIONES

1. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva2 1

( )2

xy f x

x

que

pasa por el punto (1,0) .

2. Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en 2x .

3. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva2( 2 )

( )x - x

y f xx

, en el punto ( 4 ) ( ), k f x .


52/106

4. Sea1

( )3

xy f x

x

. Hallar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la

recta normal, en el punto de abscisa 1.

5. Encontrar la ecuacin de la recta tangente y normal a la grfica de la funcin:

1( )

1

xy f x

x

que pasa por el punto (2 ) ( ), k f x .

6. Halle la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva2

( )1

f x xx

, en el punto

donde 2x .

7. Sea :2

23

3 6( )

xy g x

x

, halle la ecuacin de la recta tangente y normal a la

grfica de ( )y g x que pasa por el punto (1, ) ( )g xk .

8. Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva:

2

3

5 2

1( )

x

xf x

e

e

en 0x .

9. Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva ( ) 4 3lnxy f x que pasa

por el punto (1 ,2 ) .

10. Halle la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva 2 2( ) ( 1) xy f x x e

en el punto ( 2 , 5 ) .

11. Halle la ecuacin de la recta normal a la curva: 3ln ( 2 3)

( ) ( 2) x

f x x e , en el

punto donde 2x .

12. Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva ( ) ( 3) (3 1) 3lnf x x x

en el punto ( 0 , 3 ) .

SEMANA 10

INCREMENTO Y RAZN DE CAMBIO.

RAZONES DE CAMBIO RELATIVAS Y PORCENTUALES.

APLICACIONES A LA ECONOMA.

Sea ( )y f x una funcin definida en el intervalo1 2,x x

entonces calculamos:


53/106

2 1

2 2 1( ) ( )

1

x x x

y y y f x f x

donde x es un smbolo que representa el cambio de la variable x , es decir el incremento

de la variable 1x a la posicin 2x . Lo mismo denotamos para la variable y .

Ejemplo 1.

Para la funcin 24 2y x x , calcular el incremento de x y el incremento de y para

11x ,

22x

Solucin

2 1 2 ( 1) 3x x x

1

2 1

2

2

2

4 2( 1) ( 1) 4 2 1 74 7 3

4 2(2) (2) 4 4 4 4

yy y y

y

Concluimos que el incremento de y negativo significa una disminucin de la funcin, lo cual

quiere decir que al aumentar x en tres unidades, la funcin y disminuye en tres unidades.

Ejemplo 2.

El volumen de ventas de gasolina (nmero de litros vendidos por da) es 1000 200q p , en

donde p es el precio por litro en nuevos soles. Calcular el incremento en el volumen de ventas

de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de 3,50 nuevos soles a 3,70nuevos soles. Cul es el incremento en el precio?

Solucin

2 1 3, 70 3,50 0, 20 p p p nuevos soles /litro.

1

2 1

2

1000(200 3,50) 196500 litros/dia

196300 196500 2001000(200 3,70) 196300 litros/dia

q

q q qq

l/da.

Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 20 cntimos, el volumen de ventas

disminuye en 200 litros diarios.

INCREMENTO DE UNA FUNCIN EN FORMA GENERAL

2 1 2 1x x x x x x , como se puede ver en la grfica.

2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x . por lo tanto, sustituyendo 2x se tiene que:

( ) ( )1 1

f x x f xy

Para cualquier incremento de x , a partir de un valor conocido de x .

En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x se tiene que:


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( ) ( ) y f x x f x

Ejemplo 3.

Sea 2( ) 4f x x . Se pide:

a) Calcular el incremento de y si 3, 0,8 x x

b) Calcular el incremento de y si 3x , para cualquier incremento de x .

c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x .

Solucin:

a) ( ) ( ) (3 0,8) (3) (3,8) (3) y f x x f x f f f f

22(3,8) 4 (3) 4 10,44 5 5,44 y

b) 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4y f x x f x f x f x

29 6 ( ) 4 9 4y x x

2 25 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x .

c) 2 2

( ) ( ) ( ) 4 4y f x x f x x x x

2 2 2 22 ( ) 4 4 2 ( )y x x x x x x x x

RAZN (TASA) DE CAMBIO PROMEDIO

Para la funcin ( )y f x , la razn de cambio promedio de la funcin de x a x x (es decir

de 1x a 2x ) se define como:

2 1

2 1

( ) ( ) y yy f x x f x

x x x x

=

var

var

cambio en la iable y

cambio en la iable x

2( )f x

y

( )y f x

Q

P

x

1x 2x

1( )f x


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Ejemplo 1.

Sea ( ) 2 5 f x x . Encontrar la tasa de cambio promedio cuando 3 y 4x x

Solucin:

(7) (3) 2(7) 5 2(3) 5 9 1 3 1 2 10.5

4 4 4 4 4 2

y f f

x

Ejemplo 2.

Para cierto fabricante, el costo de produccin de q toneladas por semana de un producto

qumico, expresado en dlares est dado por: ( ) 50000 60C q q y el ingreso correspondiente

por la venta de q toneladas semanales de producto qumico, expresado tambin en dlares,

est dado por 2( ) 300 0,03r q q q . La compaa actualmente produce 4 000 toneladas por

semana, pero desea incrementar la produccin a 4 200 toneladas de producto qumico

semanales, calcular:

a) El incremento semanal en los costos de produccin.

b) El incremento semanal en los ingresos.

c) El incremento semanal en las utilidades.

d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

Solucin:

a) (4200) (4000) 50000 60(4200) 50000 60(4000) 302000 290000 C C C

$12000 C

b) 2 2(4200) (4000) 300(4200) 0,03(4200) 300(4000) 0,03(4000) r r r

730800 720000 $10800 r

c) 2 2300 0,03 50000 60 300 0,03 50000 60U r C q q q q q q

20,03 240 50000 4200 (4000)U q q U U U

2 20, 03(4200) 240(4200) 50000 0, 03(4000) 240(4000) 50000U

428 800 430 000 $ 1 200.00U

Otra forma:

10800 12000 $ 1 200 U r C

d)1,200

6200

U

q. Lo que significa que, en promedio, por la tonelada adicional producida y

vendida por semana, la utilidad disminuye en $6.


56/106

RAZONES DE CAMBIO RELATIVAS Y PORCENTUALES

La razn de cambio relativa esta definida como:( )

( )

'f xRCR

f x

La razn de cambio porcentual esta definida como: ( ) 100( )'f xRCP

f x

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Funcin de costo total.

La funcin de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total c de producir y

comerciar q unidades de un producto. La razn de cambio de c con respecto a q se llamacosto marginal. As,

costo marginal 'dC

Cdq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicionalproducida.

Funcin de costo promedio.

Si Ces el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio

por unidad Ces:

CC

q

Adems, la funcin costo total se puede hallar utilizando: C q C .

Funcin de ingreso total.

La funcin de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuacin ( )r f q pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio

por unidad es p .

Funcin de ingreso marginal.

El ingreso marginal se define como la razn de cambio del valor total recibido, con

respecto al nmero total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es

solamente la derivada de r con respecto a q:

Ingreso marginal 'dr

r

dq


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El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades

vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad

adicional de produccin.

Ejemplo 1.

El costo total en dlares de produccin de q libras de cierta sustancia qumica est dado por245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

Solucin:

Derivamos la funcin costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si la

produccin se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30

dlares.

Ejemplo 2.

El costo medio unitario en la produccin de q unidades es

2100000

0.002 0.4 50C q qq

.

Determine la frmula para el costo marginal y, en base a esta frmula, calcule el costo marginal

luego de producir 40 unidades.

Solucin:

Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra

multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q

El costo marginal se logra al derivar el costo total, es decir:

2' 0.006 0.8 50 C q q (costo marginal)

Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional producida;

es decir por la unidad 41.

Ejemplo 3.

Un fabricante vende un producto a 3 50q dlares/unidad. Determine la ecuacin del ingreso

marginal y el ingreso marginal para 100q .

Solucin:

El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50 r pq q q q q


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Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50 r q . Para 100q , el ingreso marginal ser:

'(100) $650 por una unidad adicional vendidar .

Interpretacin: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en

el ingreso de aproximadamente $ 650.

Funcin Utilidad

La funcin utilidad total por la produccin y venta de q unidades, es la ecuacin:

Ingresos U Costos r C

donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q unidades.

Funcin de utilidad marginal

Es la razn de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al nmero de

unidades producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la

fabricacin y venta de una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es

solamente la derivada de U con respecto a q :

' ' ' U r C

Ejemplo 4.

La ecuacin de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700 p q q y

la funcin de costo es 21000 0,01 C q . Calcular la funcin utilidad marginal y tambin

evaluar la utilidad marginal para 100q unidades.

Solucin:

Sabemos que la utilidad est dada por ( ) ( ) ( ) U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por lo

tanto despejamos p de la ecuacin de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la

funcin ingreso:

2 210 700 0,01 70 0,1 0,001 p q q p q q 2 3 ( ) 70 0,1 0,001 r q pq q q q

2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0.11 70 1000U q q q q q q q q 2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .

Esta es la funcin utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este

valor de q en dicha funcin. Es decir:


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2(100) 0.003(100) 0.22(100) 70 30 22 70U = $94, que es la ganancia

aproximada, por la unidad adicional producida y vendida.

EJERCICIOS

1 La aceptacin de cierto pisco depender del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo

a la siguiente funcin50 150

( )1

A t

tt

, donde A es la aceptacin expresada en puntos

y tes el tiempo en meses. Hallar la razn de cambio de la aceptacin con respecto al

tiempo dentro de 3 meses.

2 Debido a la depreciacin, el valor de cierta maquinaria despus de taos, est dada por800000 60000 , donde 0 10V t t . Determinar quetanrpido cambia elvalor de la

maquinaria con respecto al tiempo a los 2 aos. Interprete el resultado.

3 Sea 10( ) 296qf q qe la funcin de demanda del producto de un fabricante.Halle la razn de cambio de dicha funcin con respecto a la cantidad ""q cuando se

demandan 10 unidades.

4 Sea 2500 2 p q la ecuacin de demanda del producto de un fabricante, dondex es el

nmero de artculos demandados y p es su precio unitario en dlares. Halle la razn decambio del precio con respecto a los artculos demandados, cuando stos son 5.

Interprete el resultado.

5 Sea: (100 )(50 )p q q la funcin de demanda del producto A de un fabricante.Encuentre la razn de cambio del precio p (en dlares), con respecto a la cantidad q

(unidades). Qu tan rpido cambia el precio con respecto a q cuando 30q ?

6 La ecuacin de la demanda para el producto de un fabricante es0.0031,000 qp e .

Evale la razn de cambio del precio unitario con respecto al nmero de unidades, cuando

stas son 500. (Suponga que p est dado en dlares)

7 El numero estimado de nios recin nacidos infectados de VIH a travs del contacto con la

madre, a nivel mundial, est dado por:3 2( ) 0,2083 3,0357 44,0476 200,2857f t t t t ; 0 12t , donde ( )f t se mide en

miles y ten aos, con 0t al inicio del ao 1990.con qu rapidez aument el numero

estimado de nios infectados de VIH de esta manera al inicio del ao 2000?

8 Sea 2100 p q la funcin de demanda del producto de un fabricante. Encuentre larazn de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q . Qu tan

rpido est cambiando el precio con respecto a q cuando 5q ? (Suponga que p estdado en dlares)


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9 Para la funcin de costo 20, 4 4 5C q q encuentre la razn de cambio de C conrespecto a q cuando 2q

10 El costo total por producir q unidades es 24 40 50C q q . Determinar la razn de

cambio de C

con respecto a q cuando se producen 20 unidades. Interprete elresultado.

11 Un socilogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educacin de nios de

edad preescolar en cierta ciudad. El socilogo cree que x aos despus de iniciado un

programa particular, ( )f x miles de nios estarn matriculados, donde

210( ) (12 )

9f x x x , 0 12x

a) A qu razn cambiar la matrcula despus de 3 aos de iniciado el programa?

b) A qu razn cambiar la matrcula despus de 9 aos de iniciado el programa?

12 Los socilogos han estudiado la relacin entre el ingreso y el nmero de aos de

educacin en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una

persona con x aos de educacin, antes de buscar empleo regular puede esperar

recibir un ingreso anual medio de y dlares anuales, donde 5/ 25 5900 y x ,

4 16 x

Encuentre la razn de cambio del ingreso con respecto al nmero de aos de educacin

y evalela cuando 9x .

13 La funcin de demanda para cierto producto es100

20p

q

, donde p es el

precio en dlares para q unidades. Encuentra el ingreso marginal para 30q .

Interprete el resultado.

14 Supongamos que cuesta qqqC 156 23 dlares producir q radiadores

cuando la produccin es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se

producen 10 radiadores al da. Aproximadamente cunto ms costar producir un

radiador adicional cada da?

15 La funcin de costo C, de fabricacin de una jabonera en soles est en funcin delnmero de jaboneras q a ser producidas mediante la frmula )5ln(400 qC .

Encuentre el costo marginal cuando el nmero de jaboneras producidas es de 35

unidades.

16 La funcin de costos de una unidad productora de helados ha sido estimada como:

260114,0 2 qqC donde Ces el costo total de electricidad por hora en soles y

q la cantidad de helado producido en tanquetas. Determine el costo marginal para

20q tanquetas. Interprete el resultado


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17 La funcin de costo total de una fbrica de medias est dada por2000328,0750,669,48410 qqC donde q es la produccin en docenas de

pares y C el costo total. Encuentre la funcin de costo marginal y evalela cuando

5000q .

18 La funcin de costo promedio de una fbrica que produce ventiladores de mano, est

dada por: 210000

0,002 0,4 50C q qq

, donde C est en dlares. Determine el

costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado.

19 Si la ecuacin del costo promedio de un fabricante es:q

qqC7700

5,46,003,02 ,

encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo marginal cuando se producen

100 unidades? Cul es el costo total?

20 Si la ecuacin del costo promedio de un fabricante es 25000

0,0001 0,02 5 C q qq

,

encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo marginal cuando se producen

50 unidades?

21 El costo promedio de produccin de q unidades es

3 10 / 500600 3,000

qe

Cq

. Calcule

la razn de cambio del costo con respecto al nmero de unidades, cuando se producen

200 unidades.

22 Suponga que el costo, en dlares, de producir q lavadoras es21,01002000 qqC

a) Encuentre el costo promedio por lavadora en la produccin de las primeras 100

unidades.

b) Encuentre el costo marginal cuando se producen 100 unidades.

c) Muestre que el costo marginal cuando se producen 100 lavadoras es

aproximadamente igual al costo de producir una lavadora ms despus de haber

producido las 100 primeras, calculando este costo directamente.

23 La funcin de ingreso total de la Empresa San Martn S.A. dedicada a la produccin de

piensos (alimento especial) para aves viene dada por2330 qqI , donde q es la

cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un ao. Determine elingreso marginal para 3q toneladas. Interprete el resultado.

24 La ecuacin de la demanda del producto de un fabricante est dada por5000

25

p

q, en

donde q son los artculos demandados y p es el precio de cada artculo. Determinar la

funcin del ingreso marginal y evaluarla cuando 100q .


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25 Supongamos que 3 23 12r q q q nos da el ingreso en dlares que se genera alvender q radiadores cuando la produccin es de 8 a 30 unidades. En un taller de tu

propiedad usualmente se producen 10 radiadores al da. En cunto se incrementa

el ingreso al vender 11 radiadores al da?

26 Suponga que el ingreso obtenido al vender q lavadoras es1

20000 1

rq

dlares.

a) Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.

b) Use la funcin 'r para estimar el incremento en el ingreso como resultado del

aumento en la produccin, de 100 a 101 lavadoras a la semana.

27 Si la ecuacin de la demanda del producto de un fabricante es :500

150

pq

(donde

p est en dlares) encuentre la funcin de ingreso marginal. Adems calcule la raznde cambio relativa del ingreso total r respecto a q cuando 50q .

28 La funcin de demanda para el producto de un fabricante es250 0,2 0,003p q q y

la funcin de costo es2( ) 500 0,3C q q . Halle la utilidad marginal de producir y

vender 80 unidades, sabiendo que p y Cestn en dlares. Interprete el resultado.

29 La funcin de utilidad de una empresa, en miles de dlares, est dada por( ) 50ln( 1) 90 U x x , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcule

la razn de cambio de la utilidad con respecto al nmero de unidades, cuando se fabrican

y venden 10unidades.

30 La asociacin de consumidores de Lima ha realizado una medicin para valorar el nivel de

satisfaccin por el servicio de restaurantes de comida criolla en la ciudad en un periodo

determinado, lo que arroj la siguiente funcin de utilidad: 2200 2 150U q q . Se pide:

a) Calcule la expresin de la utilidad marginal para la comida criolla.

b) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el periodo

analizado, cmo se comportar la satisfaccin obtenida de l por parte de los

consumidores? Interprete su resultado.

31 Suponga que la ecuacin de demanda para el producto de un monopolista es:

400 2p q y que la funcin de costo promedio es400

0,2 4C qq

, donde q es el

nmero de unidades y, p y C se expresan en dlares por unidad. Halle la utilidad

marginal e interprete el resultado.

32 Un fabricante de lpices estima que el precio al que puede vender un lpiz es

4 0,001p q y el costo por producir q lpices al da es de ( ) 2 1,2 10C q q q

Se pide encontrar las funciones costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.


63/106

33 Determine las razones de cambio relativo y porcentual de 2( ) 3 5 25 y f x x x

cuando 5x

34 Sea 2( ) 14 15 y f x x x . Calcule la razn de cambio relativa y la razn de cambio

porcentual cuando 6x .

35 Supngase que un fabricante vende un producto a : 30 0,3 p q ( p en dlares q

es cantidad en unidades). Adems r es el ingreso total en dlares.

a) Encuentre la razn de cambio relativo de rcon respecto a q

b) Cuando 10q encuentre la razn de cambio relativo de r.

c) Encuentre la razn de cambio porcentual de rcuando 20q

36 Sea la funcin de demanda para el producto de un fabricante 2200 2 21 p q q

a) Encuentre la razn de cambio relativa de p respecto a q cuando 3q .

b) Encuentre la razn de cambio porcentual p respecto a q cuando 3q .

37 Para la funcin de costo 42,12,0 2 qqC , qu tan rpido cambia C con respectoa q cuando 5q ?. Determine la razn de cambio porcentual de C con respecto a q

c

manual matematica ii

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