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INSTITUTO SANTA ANA Y SAN JOAQUÍNMATEMÁTICA IPROF: STELLA MARIS MENÉNDEZ

POLÍGONOS Parte I – TRIÁNGULOS

Si un triángulo tiene un ángulo recto se llama rectángulo. Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa.Si un triángulo tiene sus tres ángulos agudos, se llama triángulo acutángulo. Si un triángulo tiene un ángulo obtuso se llama obtusángulo.

Si un triángulo tiene tres lados de distinta medida se llama escaleno. Si tiene dos lados de la misma longitud se llama isósceles y si tiene los tres de la misma medida se llama equilátero.

Dos figuras son congruentes si, al superponerlas coinciden todos sus puntos, es decir tienen igual forma y medida

ANALIZANDO LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE LOS TRIANGULOS1

Para abordar este tema proponemos una serie de problemas que apuntan a que pueda demostrarse que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. El tipo de práctica para el trabajo en geometría que planteamos, intenta alejarse del trabajo empírico para insertar lo geométrico en el terreno de la deducción. Por esta razón, desalentamos cualquier intento de “demostrar” este concepto a través del recorte de los ángulos del triángulo, del calcado de los tres ángulos de manera consecutiva o de la medición de los tres ángulos y la posterior suma de los mismos. Sabemos que en toda medición siempre hay error; cabe preguntarse entonces, ¿cuál es la relación entre las constataciones y la propiedad en cuestión? ¿Por qué si han obtenido valores cercanos a los 180º, el enunciado dice 180º? ¿Quién salda la diferencia entre lo realmente hallado y la formulación teórica? Solo la autoridad del discurso del docente hace posible que los niños “crean” en la propiedad, que por otra parte, contradice una concepción usual de los alumnos según la cual “el tamaño” de un ángulo depende de la longitud de los lados.

Problema 1: Dibujen un triángulo que tenga un ángulo de 60º y otro de 30º. ¿Cuántos se pueden construir?Problema 2: Dibujen un triángulo que tenga un ángulo de 120º y otro de 100º. ¿Cuántos se pueden construir?Problema 3: Dibujen un triángulo que tenga dos ángulos de 90º. ¿Cuántos se pueden construir?Problema 4: Dibujen un triángulo que tenga un ángulo de 120º y otro de 60º. ¿Cuántos se pueden construir?Cuestión: Teniendo en cuenta los problemas anteriores, analicen la siguiente afirmación: “Para que pueda construirse un triángulo, la suma de dos de sus ángulos debe ser siempre menor que 180º”.

Hasta aquí no queda demostrada la propiedad que pretende enseñarse. Es importante que el maestro no “fuerce” esta situación y que coloque la discusión en el punto en que hay ciertos triángulos que sí pueden construirse porque con dos de sus ángulos sumados se tiene una medida menor que 180º. En otras palabras, es posible anticipar si algunos triángulos van a poder ser construidos, aquellos que, al sumar dos de sus ángulos, dan un resultado menor que 180º. El problema que sigue apunta que los niños puedan atrapar la idea de que, en un triángulo, al conocer dos ángulos, el tercero queda delimitado por los otros dos, es decir depende de la amplitud de los otros.

Problema 5: En la ilustración que puede verse más abajo hay un triángulo al que se le ha borrado uno de sus ángulos. Lo que ustedes tienen que hacer es encontrar cuál o cuáles de los ángulos que se ofrecen permiten reconstruir el triángulo. Para ello pueden utilizar la estrategia que crean más conveniente, la única condición es que primero deben ponerse de acuerdo y elegir uno de los ángulos y recién después calcarlo para comprobar si coincide con el resto del triángulo.

1 Adaptación de: Ponce H. , Quaranta, M.E. Coordinación Patricia Sadovsky. “Grado de aceleración 6º y 7º” Proyecto Conformación de Grados de Aceleración. Dirección General de Planeamiento. GCBA.(2004)

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(Nota: Verificar que coincida uno de los ángulos)

Cuestión: ¿Es verdad que si conozco dos ángulos de un triángulo, el tercer ángulo ya queda determinado por esos dos?Problema 6: Dibujen un triángulo en el que la suma de los ángulos interiores de un valor lejano a 180º.

Nuevamente hasta aquí, tampoco queda demostrada por el momento la propiedad de la suma de los ángulos interiores, no es ese tampoco el objetivo del problema. Esta situación apunta –y eso es lo que deberá remarcarse- a que los alumnos puedan establecer la hipótesis de que no es posible dibujar un triángulo en el que la suma de los ángulos interiores dé un valor lejano a 180º, aunque no estén en condiciones de argumentar por qué. En otras palabras, el objetivo del problema anterior es que la conjetura pueda emerger, no que sea validada.Esa validación será motivo de reflexión a partir de la actividad que sigue

Problema 7:Recuerden que un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, como por ejemplo el que muestra la siguiente figura:

A

B C

El ángulo que tiene vértice en B es recto.• Analicen si es posible armar un rectángulo a partir de dos triángulos rectángulos congruentes. ¿Esto

será posible siempre?

• Analicen en el siguiente rectángulo construido a partir de dos triángulos rectángulos congruentes, la relación de igualdad de sus ángulos.

• Nombrando a los ángulos con números como indica la figura, ¿es cierto que 2+ 4=90º? ¿Y que 1+3 = 90º? ¿Cómo se puede demostrar?

• Como los dos triángulos son iguales, el ángulo 1 es igual al ángulo 4, y el ángulo 2 es igual al 3, ¿Cuál es el resultado de 1+ 2? ¿Y de 3+4?

• ¿Cuánto da la suma de todos los ángulos interiores de cada triángulo rectángulo? ¿Existe un caso de un triángulo rectángulo en que esta propiedad no se cumpla?

• ¿Qué sucede con esta propiedad si el triángulo no es rectángulo? ¿Se podría afirmar la validez de la propiedad: “la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es de 180º”? Para resolver lo anterior, analicen la siguiente afirmación: “cualquier triángulo puede “descomponerse” en dos triángulos rectángulos” Por ejemplo.

2

2

1

4

3

B C

DA


• Demuestren que la suma de los ángulos interiores de los triángulos ABD y BDC es de 180º.A partir de este análisis se puede afirmar que: La suma de los ángulos interiores de todos los triángulos es de 180º.

ACTIVIDADES

1) ¿Es verdad que” en todo triángulo isósceles si se conoce la medida de uno de sus ángulos y se informa si es uno de los ángulos congruentes o no, se puede calcular la medida de todos los ángulos”? Justifica tu respuesta

2) ¿Es verdad que “en todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él”? Justifica tu respuesta.

3) Se sabe que los tres ángulos de un triángulo equilátero tienen la misma medida, ¿cuál será? ¿Todos los ángulos de los triángulos equiláteros miden lo mismo?

4) Se sabe que el siguiente es uno de los lados de un triángulo isósceles rectángulo. Construí el triángulo utilizando regla no graduada y compás. ¿Cuántas soluciones tiene este problema?

A B

5) Se sabe que el siguiente es uno de los lados no congruentes de un triángulo isósceles acutángulo. Construí el triángulo utilizando regla no graduada y compás. ¿Cuántas soluciones tiene este problema?

A B

6) Analiza y explica tus respuestasa. ¿Puede haber un triángulo isósceles que tenga un solo ángulo de 60º?b. ¿Existe un triángulo equilátero que tenga ángulos de 45º?c. Se sabe que un triángulo rectángulo es isósceles ¿Cuánto miden sus ángulos?d. ¿Un triángulo puede tener más de un ángulo obtuso?e. ¿En un triángulo rectángulo las alturas coinciden con los lados?f. Las medianas de un triángulo, ¿pueden coincidir con las alturas?g. Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 60º ¿Es posible asegurar que ese triángulo es equilátero?h. Si un triángulo es rectángulo y uno de sus ángulos interiores mide 40º, ¿puede dicho triángulo ser isósceles?

7) En una competencia intercolegial participarán 6 equipos. Los organizadores decidieron diferenciar, mediante banderines a cada institución participante. Con la intención de que todos los alumnos de un mismo equipo tuvieran el mismo distintivo, les enviaron las siguientes consignas

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A CD

B


Los alumnos de cada escuela llevaron las consignas para confeccionar los banderines. Llegó el día de la competencia. A pesar de que todos habían respetado las consignas había escuelas con banderines que no se veían todos iguales. ¿Qué consignas no eran las suficientes para determinar triángulos congruentes?

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSEn Matemática llamamos criterios de congruencia de triángulos al menor número de datos necesarios y suficientes para que los triángulos resulten congruentes.Enuncien criterios de congruencia de triángulos.

8) Explica por quéa. La altura de un triángulo equilátero determina dos triángulos congruentesb. El triángulo ABC es congruente con el triángulo ADC, sabiendo que el segmento AC es diagonal del paralelogramo ABCDc. El triángulo rectángulo que se puede construir conociendo las medidas de los catetos es único.

MAS ACTIVIDADES

9) Es posible construir un triángulo en cada uno de los siguientes casos. ¿Por qué?a. Sus lados miden 6cm, 8cm y 3cm.b. Dos de sus ángulos miden 31º y 83º y el lado adyacente a ambos mide 9cm.c. Dos de sus ángulos miden 87º y 93º el lado adyacente a ambos mide 9cm.d. Sus lados miden 18cm, 20cm y 1cm.e. Dos de sus ángulos miden 1cm y 82cm y forman un ángulo de 163º.f. Es rectángulo y tiene un ángulo de 111º.

10) Construir, si es posible, un triángulo isósceles con una base de 4cm y una altura de 6cm. ¿Es posible construir más de uno?

11) Usando solo regla no graduada y compás construí un triángulo con un lado congruente con a, otro congruente con b y un ángulo de 45º.

12) Calcular la amplitud de los ángulos interiores de un triángulo ABC sabiendo que el lado AB es congruente con el lado BC, al ángulo exterior adyacente al ángulo B mide 3x+20º y el ángulo A mide 2x-10º

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Parte II POLÍGONOS

Respondera. ¿Qué característica tienen los polígonos regulares?¿Qué nombre recibe el polígono regular de tres lados? ¿Y el de cuatro lados?b. ¿Qué relación existe entre un ángulo interior y un ángulo exterior en el mismo vértice?c. ¿Cuántos ángulos exteriores le corresponden a todo ángulo interior en un polígono?¿Por qué?d. ¿Todos los polígonos tienen diagonales? Explica tu respuesta.

13)a. Completa el siguiente cuadro

Polígono Cantidad de lados Cantidad de diagonales por vérticeTriánguloCuadriláteroPentágonoHexágonoDecágono

b. ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar desde un vértice de un polígono de 20 lados?¿y de n lados?

c. ¿Cuál es el número total de diagonales de un Cuadrilátero…………Pentágono………….Heptágono………….Polígono de 20 lados (icoságono)………….Polígono de n lados……………. d. Fundamenta la relación entre las fórmulas encontradas en b. y c.

14) Suma de ángulos interiores de un polígonoLa profesora les pidió a Lucas y a Matías que investigaran la regularidad que cumplen las sumas de los ángulos interiores de los polígonos. En sus carpetas quedaron los registros que vemos a continuación.a. Explica el procedimiento utilizado por cada uno de ellosb. ¿Cómo se puede calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados en cada caso? Piensa una fórmulac. ¿Son correctos ambos procedimientos?

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15) Suma de ángulos exteriores de un polígono

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Parte III - CUADRILÁTEROS

16) A continuación se muestran tres clasificaciones de cuadriláteros extraídas de textos escolares.- Analiza la coherencia de cada clasificación- Compara las clasificaciones ¿Son correctas? Fundamente.-¿Qué entiendes por “definición” y qué por “propiedad”? ¿Puede una figura tener distintas definiciones?

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MÄS ACTIVIDADES 17) El segmento AD es la diagonal de un cuadrilátero:

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Completa el dibujo si:i) ABCD es un cuadrado. ii) ABCD es un rectángulo. iii) ABCD es un paralelogramo.¿Cuántas soluciones hay en cada caso?

18) Construye un paralelogramo para el cual AB sea una diagonal y C un vértice.

19) Construye, si es posible, un paralelogramo que tenga una diagonal de 8cm y otra de 5cm. ¿Cuántas soluciones hay? ¿Cuántos de ellos son rectángulos? ¿Cuántos son rombos? ¿Y cuadrados?

20) Usando sólo lápiz, regla no graduada y compás, ¿es posible construir un paralelogramo que no sea rectángulo a partir de las instrucciones I a IV?

a. Realicen la construcción en una hoja y expliquen sus conclusiones.I. Dibujen un segmento AB de 5cm de longitud.II. Marquen el punto medio del segmento AB, llámenlo P.III. Dibujen otro segmento, CD, de 3cm de longitud de tal forma que su

punto medio también sea P.IV. Unan A con C, C con B, B con D y D con A.

b. Escriban en una hoja las instrucciones modificadas para construir un cuadrado.

21) Construye una figura sobre la cual se sabe que: “Es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos de 9 cm y los otros dos lados opuestos de 7 cm”. ¿Qué clase de figura obtienes? ¿Es única la respuesta?

22) Construye un rectángulo que tenga un lado de 4cm y la diagonal de 5 cm. ¿Puedes obtener diferentes rectángulos con esos datos?

23) Traza un segmento cualquiera. Construye un rectángulo que tenga a ese segmento como diagonal. ¿Es única la figura?

24) Indica V o F. Fundamenta tu respuesta.a. Todos los cuadrados son rectángulosb. Todos los rombos son cuadradosc. Algunos romboides son cuadriláterosd. Los lados consecutivos de un romboide son congruentes.e. Existen cuadrados que no son rombos.f. Un rombo puede ser paralelogramo.g. Existen rectángulos que son rombos.

25) Si es posible dibújalo, de lo contrario justifica.a. Un rombo que no sea cuadrado.b. Un trapecio que no sea isósceles.c. Un cuadrado que no sea rectángulo.d. Un rombo que sea romboide.

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INSTITUTO SANTA ANA Y SAN JOAQUÍNMATEMÁTICA IPROF: STELLA MARIS MENÉNDEZe. Un rectángulo que tenga lados congruentes.f. Un paralelogramo que tenga cuatro ejes de simetría.

26) Si se dibuja un cuadrilátero a. En el que todos sus lados midan 5cm, ¿es necesariamente un cuadrado?b. En el que sus lados midan 4cm y uno de sus ángulos mida 90º, ¿es necesariamente un cuadrado?c. Que tenga un par de lados consecutivos congruentes, ¿es necesariamente un romboide?d. Que tenga dos ángulos rectos, ¿es necesariamente un rectángulo?

27) Construye, si es posible, un paralelogramo que tenga una diagonal de 8cm y otra de 5cm. ¿Cuántas soluciones hay? ¿Cuántos de ellos son rectángulos? ¿Cuántos son rombos? ¿Y cuadrados?

28) Construye, si es posible, un paralelogramo cuyos lados midan 5cm y 8cm y una de las diagonales de 11 cm. ¿Cuántas soluciones hay?

29) Dibuja un cuadrilátero que tenga una diagonal que lo divida en dos triángulos iguales pero que no sea un paralelogramo.

30 ) El siguiente dibujo representa parte de un cuadrilátero

Usando solamente compás y regla no graduada, ¿cómo lo completarías si: a. Es un rombo? b. Es un paralelogramo?

31) ABCD es un cuadrado de lado 10 cm. EB = FC = DG = AH = 2 cm.¿Es cierto que EFGH es un cuadrado?

32) a. Las medidas de los lados no consecutivos de un paralelogramo son dos números naturales consecutivos. El perímetro es 22cm. ¿Cuánto mide cada lado?

b. Calcula la amplitud de los ángulos interiores del paralelogramo MNST sabiendo queM=2x14 ºN=3x−24 º

c. En un paralelogramo uno de los ángulos interiores es 32

de otro.¿Cuál es la amplitud de cada

ángulo interior?

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d. Calcula la amplitud de los ángulos interiores del trapecio ABCD escaleno sabiendo que

α=3x−5ºD=x15 ºB=3x12 º

C=43

B

Parte IV33) SECUENCIA DE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO2

Problema 1a) ¿Cómo marcarías una pista circular en el patio, con tiza y sogas?. b) ¿Cuál es la máxima distancia que puede recorrerse desde un borde de la pista a otro borde de la pista, en línea recta?c) ¿Qué relación hay entre el procedimiento usado en el patio y la utilización del compás para trazar una circunferencia?

Problema 2Se tiene una circunferencia pero su centro no está marcado. ¿Cómo harían para determinarlo? ¿Cómo pueden verificar si han encontrado verdaderamente el centro de la circunferencia?

Problema 3Este es un juego para dos participantes.Reglas del juego:Cada jugador tiene un círculo como el que muestra el dibujo. (Lo pueden calcar de este original)

2 Tomada del material de Aceleración, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

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αA B

D C

Cualquier segmento que tiene sus extremos en puntos de una circunferencia se llama cuerda. Cualquier cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se llama diámetro

Cuestiones:a) ¿Qué relación hay entre la longitud del radio y la longitud del diámetro?b) Comparen la longitud de una cuerda que no pasa por el centro con la longitud del diámetro.

RecordáEl conjunto de puntos que se encuentra a la misma distancia de un punto dado, es la circunferencia. El punto dado se llama centro de la circunferencia y la distancia del centro a un punto de la circunferencia (la “abertura” del compás) se denomina radio.

RecordáEl círculo está formado por la circunferencia y todos sus puntos interiores.


Un jugador coloca un punto en cualquier parte del círculo sin mostrárselo a su compañero y debe enviarle un mensaje indicando dónde está ubicado ese punto.El mensaje no puede tener dibujos.El jugador que recibe el mensaje tiene que seguir las instrucciones que ha recibido y colocar un punto en su propio círculo.Si en el mensaje hay algo que no se entiende, el jugador que lo recibió puede enviar a su compañero una pregunta o pedir aclaraciones, siempre por escrito que serán respondidas del mismo modo.Cuando ambos jugadores creen estar listos, se reúnen y colocan un círculo encima de otro para ver si los puntos coinciden. Si fuera necesario, está permitido dejar un círculo quieto y girar el otro para que los puntos coincidan.Si se logra que los puntos coincidan, ambos jugadores ganan. a) Cuando terminen el juego, comparen sus mensajes con los de sus compañeros. Analicen qué

informaciones deben contener para que se pueda estar seguro de que van a ganar.b) Ahora vuelvan a jugar pero intercambien los lugares. El que recibió el mensaje debe ser

quien lo envíe en esta partida.

Problema 4Este problema es para resolver de a dos.Martín y Andrés jugaron al mismo juego. El siguiente es el círculo que tenía Martín:

Dibujar otro punto en cualquier lugar del círculo, pero exactamente a 1,5 cm del centroY este es el que tenía Andrés:

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Dibujar otro punto en cualquier lugar del círculo, pero exactamente a 1,5 cm del centro. Sin calcar los círculos, ¿es posible saber si los puntos van a coincidir? Discutan entre ustedes cómo hacer para averiguarlo y después comprueben calcando si lo que habían previsto era cierto. Escriban un instructivo para poder comprobar siempre y estar seguros si van a coincidir o no los puntos.

34) Dibujen un punto que cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes: que esté a 4 cm de distancia del punto A, y que esté a 4 cm del punto B. ¿Cuántos puntos cumplen esta condición?

A B

Cuestión ¿A qué distancia deben estar A y B para que haya un único punto que se encuentre a 4cm de cada uno de ellos? ¿Y para que no haya ninguno?

35)a) Dos puntos M y N están a 6cm uno de otro. 1. ¿Es posible encontrar puntos que estén simultáneamente a 4cm de M y de N? ¿Cuántos

son?2. ¿Y que estén a 3cm de M y de N? ¿Cuántos hay?3. ¿Y que estén a 9cm de M y N? ¿Cuántos hay?4. ¿Y que estén a 1cm de M y N? ¿Cuántos hay?b) En el problema anterior encontraste que:

- a veces, hay 2 puntos que cumplen las condiciones solicitadas;- a veces, hay uno solo; y- a veces, no hay ninguno.

¿Habrá alguna otra posibilidad? Explica en qué casos se dan cada una de las posibilidades que encontraste.

36) Se sabe que los puntos A y B están a 5cm de distancia. Decidí, antes de construir, cuántos puntos vas a encontrar que cumplen las condiciones solicitadas. Luego, si es necesario, comprueba realizando la construcción.

A B

¿Cuántos puntos es posible encontrar que estén simultáneamente a 7cm de A y de B?¿Cuántos puntos es posible encontrar que estén simultáneamente a 3cm de A y de B?¿Cuántos puntos es posible encontrar que estén simultáneamente a 2,5cm de A y de B?

37)Dibuja un triángulo cuyos lados tengan la misma longitud que los siguientes segmentos. Utiliza regla no graduada y compás.

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A partir de las conclusiones del problema anterior, discutan si es posible que exista un triángulo cuyos lados tengan las siguientes medidas: 9 cm; 5 cm y 4 cm. ¿Y uno de 10 cm; 3 cm y 6 cm?


38) a) Dibuja dos puntos A y B, que estén a 6cm de distancia. Dibuja un punto C que esté a 7cm de A y de B. Dibuja el punto medio de AB y llamalo M. ¿Cómo podrías explicar por qué los triángulos AMC y BMC que se forman “quedan” rectángulos? b) Busquen un punto D que esté a 4cm de A y de B. Los triángulos AMD y BMD también son rectángulos. ¿Pueden explicarlo de la misma manera que propusieron para el problema anterior?

c) ¿Existen puntos que estén a 40cm de A y de B? ¿Y puntos que estén a 1m de A y de B? ¿Y puntos que estén a 1cm de A y de B? ¿Y a 1,5cm? ¿Y a 2m?

39) Cómo dividir un segmento en dos partes de la misma longitud usando sólo regla y compás:Si se quiere dividir un segmento AB en dos partes de la misma longitud se puede pinchar con el compás en uno de sus extremos (A) y marcar una circunferencia de radio mayor que la mitad de ese segmento.Luego se hace lo mismo pinchando en el otro extremo (B).Quedan determinados dos puntos donde se cortan ambas circunferencias (En nuestro ejemplo los llamaremos C y D)

La línea que pasa por C y D divide al segmento AB en dos partes de la misma longitud y es perpendicular al segmento AB, es decir forma con él dos ángulos rectos.Para comprobarlo se puede pensar de la siguiente manera:El triángulo ABC es isósceles y ya hemos visto en el problema 13, que si unimos C con el punto medio de AB, llamémosle M se forma un ángulo recto. De la misma manera si unimos D con M se forma un ángulo recto entre este segmento y AB. De modo que CM forma ángulo recto con AB y DM también. Por lo tanto CD es perpendicular a AB y pasa por su punto medio.

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En la figura anterior, el triángulo ABC tiene dos lados de la misma longitud (así lo construiste). Un triángulo que tiene dos lados de la misma longitud se llama isósceles.

¿Cómo harían para demostrar que el segmento CD también queda dividido en dos partes congruentes por la recta que pasa por los puntos A y B?


Dado un segmento, se denomina mediatriz de ese segmento a la recta perpendicular que pasa por el punto medio de ese segmento.

40) La maestra de Manuel y de Juan ha propuesto lo siguiente: “Dibujen un triángulo isósceles sabiendo que éste es uno de los lados que tienen la misma longitud.” Manuel dice que es posible dibujar un solo triángulo y Juan dice que Manuel está equivocado, que hay muchas construcciones posibles. ¿Quién tiene razón?

41) Se sabe que el siguiente es el lado no congruente de un triángulo isósceles. Construí el triángulo utilizando regla no graduada y compás. ¿Cuántas soluciones tiene este problema?

42) Utilizando regla no graduada y compás, construyan un triángulo equilátero cuyos lados tengan la misma longitud que este segmento. ¿Cuántas respuestas tiene este problema?

A B

En la siguiente figura se han tomado dos puntos de una circunferencia. Como ya dijimos, el segmento que une esos dos puntos se llama cuerda, la parte de la circunferencia comprendida entre esos dos puntos se llama arco de circunferencia.

43) Determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas: a) Los extremos de cualquier cuerda que corta una circunferencia siempre equidistan del centro.b) La mediatriz de cualquier cuerda siempre pasa por el centro de la circunferencia

44) DESAFÍODe un antiguo templo indígena se conserva sólo una parte. Este es un croquis de lo que se conserva:

Se sabe que el templo era circular y que los indígenas habían guardado un tesoro en el centro del templo. Marquen en el croquis la ubicación del tesoro.

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En algunos libros es posible leer la siguiente definición de mediatriz: La mediatriz de un segmento AB es el conjunto de puntos que equidistan de A y de B.Comparen las dos definiciones. ¿Es correcta esta última definición?

P


Parte VMEDIDAS45) a. Determinen una superficie cuyo plegado le permita construir un cuerpo con forma de cubo. Represente en una hoja dicha superficie.b. Comparen la forma de la superficie por ustedes dibujada con las que determinaron los otros grupos. ¿Cuántos hexaminós diferentes obtuvieron?c. ¿Cuáles de los siguientes hexaminós sirven para determinar un cubo?

d. Adornen la superficie y pliéguela para formar el cuerpo.e. ¿Qué objetos pueden ser medidos en 1 dimensión?, ¿y en 2 dimensiones?, ¿y en 3?f. Completen el siguiente cuadro la palabra pertinente a cada casillero.

Número de dimensiones Objeto que se mide Cualidad que se mide (magnitud)

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PARA MEDIR LÍNEASLas líneas tienen una cualidad que puede ser medida y recibe el nombre de longitud.

Medir la longitud de un objeto es comparar dicha longitud con la longitud de otro objeto llamado unidad de medidaPor ejemplo: El ancho de una puerta podemos indicarlo como:4 manos : 1 mano es la unidad de medida y 4 es la medida70 cm: 1 cm es la unidad de medida y 70 es la medida.

Una misma longitud puede expresarse con diferentes unidades de medida:1 metro = 100 centímetros (cm)1 centímetro = 10 milímetros (mm)1 kilómetro (km) = 1000 metros (m)

46) Completa el siguiente cuadro:

Objeto a medir Unidad de medida de longitud más convenienteEl largo de una alfilerEl largo de una pileta de nataciónLa distancia entre dos ciudadesEl espesor de un vidrio El contorno de tu cintura

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47) a) ¿Cuántos milímetros hay en un metro?b) ¿Cuántos metros hay en un centímetro?

48) Completa los siguientes cuadrosCentímetros 100 25Metros 100 1/2 3/4 1,75

Kilómetros 1 5 0,5 0,75Metros 1 125

49) José tiene una regla rota que comienza en 1,5 a) Si mide un segmento de 2,3 cm ubicando un extremo en el 1,5. ¿Qué número de la regla

se marcaría en el otro extremo?b) La lectura que hace al medir su dedo índice es de 7,7 cm.¿Cuál es la longitud de su

dedo?

50) Natalia fue a la mercería para comprar tanza elástica y mostacillas para hacer pulseras. El vendedor midió la tanza enrollándola en un carretel. Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de metros de tanza con la cantidad de vueltas que se pueden dar en el carretel.

Cantidad de tanza (en metros)

12 24 4

Cantidad de vueltas al carretel

60 30

51) Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

52) a) Calcula el perímetro de un cuadrado de 8 cm de ladob) Si se duplica la medida del lado, ¿se duplica el perímetro? Explica tu respuesta. 53) Sin medir indica en cada caso qué figura tiene mayor perímetro. Explica cómo lo pensastea)

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El perímetro de una figura es la longitud de su contorno.

INSTITUTO SANTA ANA Y SAN JOAQUÍNMATEMÁTICA IPROF: STELLA MARIS MENÉNDEZb)

Si quieres puedes medir para verificar tus respuestas anteriores.

PARA MEDIR SUPERFICIESTe mostramos el diagrama del piso de dos de los cuartos de la casa de Lucía.

¿Cuál de las dos superficies es más grande?¿Por qué?

El piso 1 tiene 77 de área.

El piso 2 tiene 90 de área. - Calcula el área de las siguientes superficies.

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La cualidad que se refiere a la medida de una superficie se llama área.

PISO 2

PISO 1


- Dibuja dos superficies diferentes que tengan 12 de área.

- Copia las figuras que componen la superficie dada. Arma otras dos superficies diferentes que tengan igual área que ella.

54) Completa con >, < o = según corresponda. Explica cómo lo pensaste.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Área de Figura 1 ......... Área de Figura 3 Área de Figura 3 ......... Área de Figura 2 Área de Figura 1 ......... Área de Figura 2

55) Calcula el área de la siguiente figura...

... si consideras como unidad de medida:a)

b)

56) Considerando la siguiente figura como unidad de medida, arma dos superficies diferentes que tengan 7 unidades de área.

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57) El área de las siguientes figuras es de 4 unidades. Dibuja la unidad considerada en cada caso.

58) a) Calca y copia las siguientes figuras

Figura 1 Figura 2 Figura 3

b) ¿Cuántas veces entra la figura 2 en la figura 1?c) Si consideras a la figura 2 como unidad, ¿cuál es el área de la figura 1?d) ¿Cuántas veces entra la figura 3 en la figura 2?e) Si consideras a la figura 3 como unidad, ¿cuál es el área de la figura 2?f) Si consideras a la figura 3 como unidad, ¿cuál es el área de la figura 1?

59) Con un trozo de soga unido por los extremos se pueden formar distintas figuras. ¿Qué sucede con el perímetro y con el área de las mismas?

60) Con 16 cuadrados iguales y utilizando la totalidad de los mismos, en cada caso se pueden formar distintas figuras (sin superponer y sin realizar cortes ni dobleces). Tienen todas la misma área y el mismo perímetro? Entre todas las figuras ¿se puede obtener alguna que tenga el menor perímetro? ¿Y el mayor?

61) Comparen la figura I con las restantes. ¿Qué cambia su área, su perímetro o ambos? ¿Aumenta o disminuye?

62) Sabemos que todos los triángulos que tienen la misma base y la misma altura tienen la misma área. ¿Tienen también el mismo perímetro? Saca tus conclusiones.

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63) En una hoja construyan un triángulo con un lado AB de 5cm, el ángulo A de 30º y el ángulo B de 50º. Luego respondan a las preguntas que siguen.

a. Si se modifica la figura de modo que B mida menos de 50º ¿se modifica el perímetro del triángulo? Si es así ¿aumenta o disminuye? ¿por qué?

b. ¿Cómo se modifica el perímetro del triángulo si B mide más de 50º?

c. ¿Cuánto debe medir el ángulo B para que el perímetro del triángulo sea el mínimo posible?

64) a. Construyan en un ahoja lisa dos triángulos con los siguientes datos

Triángulo ABC: rectángulo en B , lado AB de11,5cm y lado BC de 7cm

Triángulo MNR: lado MN de 8,5cm, lado NR de 7,4cm y lado MR de 13,8cm

b. Tracen las alturas de los triángulos y para cada uno calculen, el área tomando las medidas de un lado y de la correspondiente altura.

c.¿Piensan que obtienen el mismo valor si se toma otro par de mediciones como dato?d. ¿Consideran que los errores de medición que cometieron para resolver el problema son “aceptables”? ¿por qué?e. Registren en una hoja los valores obtenidos por diez compañeros, estimen cual de ser el valor aceptado. Realicen los promedios y constaten si su estimación fue acertada.

65) ¿Cómo se modifica el perímetro y el área de cada figura cuando cada lado aumenta al doble?

66) Utilizando las medidas de las lados que están expresadas con letras, indiquen cómo calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras.

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INSTITUTO SANTA ANA Y SAN JOAQUÍNMATEMÁTICA IPROF: STELLA MARIS MENÉNDEZ67) En un terreno se ha construido una pileta de natación rectangular de las siguientes medida: largo 6 metros y ancho 4,50 metros.Se quiere colocar alrededor un cerco de alambre distante 1 metro del borde de la pileta. ¿Cuánto alambre se necesita?

68) El rectángulo AEFG tiene 72cm de perímetro y el ABCD tiene 48cm de perímetro.El lado AB mide 15 cm y el segmento BE es el doble del segmento DG.¿Cuál es la longitud del lado AG?

G F D C

A B E

69) Un terreno de 10 m. de frente y 30 m.. de fondo cuesta $60.000. ¿Cuánto debería costar otro terreno de 12 m. de frente y 35 m. de fondo en las mismas condiciones que el terreno anterior?.

70) Los chicos estaban de vacaciones en el campo y al ver un poste y una torre se pusieron a estimar sobre la medida de ambos, pero ¿ Cómo hacer?. A uno de ellos se le ocurrió medir la sombra que proyectaban en el mismo momento.Sombra del poste: 0, 80 mSombra de la torre 40,20De pronto llega un peón a pintar el poste y le preguntan si sabe ¿Cuánto mide? Éste les dice que mide 1,80 m a partir de allí comenzaron a calcular. ¿Qué habrán hecho para saber la altura de la torre?

71) Se ha dibujado un rectángulo y se marcó el centro de su diagonal con la letra o y se trazó el segmento OP paralelo a al lado QB. Se sabe que el área del triángulo rectángulo OPQ vale 7 cm2 . Calcular el área de la figura de contorno rosa.

B

o Q P

72) Esta figura está formada por 3 rombos. Cada lado del rombo mide la mitad del lado de su consecutivo. Si el perímetro del rombo más pequeño mide 2 cm., ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de toda la figura?

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Punto medio de un lado del rombo azul

Punto medio de un lado del rombo verde


PARA MEDIR CUERPOSA -

- Busca dos envases que tengan diferente peso y que:a) el más pesado sea más grande.b) el más pesado sea más chico.

- Busca dos envases que tengan diferente capacidad y que:c) el más alto tenga más capacidad.d) el más alto tenga menos capacidad.

73) Camila quiere preparar flan. Compra en el supermercado tres cajas de 60 g cada una. En el envase de una de las cajas lee que para prepararlo necesita 1 litro de leche. ¿Cuántos mililitros de leche necesita para preparar todo el flan que compró?

74) Sabrina fue a una casa naturista a comprar harina de soja suelta. En la cuchara medidora que utilizan en el negocio, entran 150 g de harina. Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de harina de soja que se compra con la cantidad de cucharas medidoras que se llenan.

Cantidad de harina (en gramos)

450 75

Cantidad de cucharas

2 1/2 5

75) Sergio prepara jugo en polvo. 36 g rinden para preparar un litro de jugo. Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de polvo para preparar jugo con la cantidad de agua necesaria.

Cantidad de polvo (en gramos)

360 720

Cantidad de agua (en litros)

1/2 2 1/2

76) En una caja de alimentos para perros se lee:

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Medidas de peso

Para medir el peso de los cuerpos las unidades de medida que más se usan son las siguientes:

gramo (g)kilogramo (kg)miligramo (mg)

1 kg = 1000 g1g = 1000 mg

Medidas de capacidad

Para medir la capacidad de los recipientes las medidas que más se usan son las siguientes:

litro (l)mililitro (ml)

1 l = 1000 ml


INFORMACION ALIMENTARIAPor cada 100g. de alimentoProteínas 30.7 g.Hidratos de carbono 1120 mgCalcio 10.5 dgFósforo 0.25 dg.Materia grasa 1.20 g

Calcular la cantidad de proteínas que aporta una caja de 2 kg. de alimentos. Indicar la cantidad de calcio y materia grasa que come el perro si ingiere ½ kg.Las dimensiones de una lata de gaseosa son las siguientes: el diámetro de la base es de aproximadamente 6,5 cm y la altura es de 12 cm. ¿Qué cantidad de aluminio se necesita para su fabricación?. Con esa cantidad de aluminio, ¿se podrá construir una lata que contenga más gaseosa?

77) Este es un cubo que tiene círculos negros en todas sus caras. Averigua la superficie de los mismos. ¿Qué porcentaje de la superficie total del cubo cubren los círculos?

78) Joaquín está engripado y el médico le indicó un jarabe . Toma 1 medida cada 8 horas,

durante 10 días. 1 medida equivalen a 10 ml. El frasco contiene 18

de litro..

¿Le alcanza un frasco? ¿Necesitará otros? De ser así ¿cuántos?

79) Dibujen las caras no visibles de esos prismas.

80) Piensen tres moldes diferentes para armar la siguiente caja

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81) Colorea:a) Un par de caras paralelas

b) un par de caras perpendiculares

c) un par de aristas paralelas

d) un par de aristas perpendiculares

82) ¿Cuántas aristas tienen como extremo el vértice P?

83) Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explica tu respuesta.a) Un cuerpo siempre tiene el mismo número de caras que de vértices.b) Algunos cuerpos no tienen aristas.c) Sólo hay un cuerpo con seis caras.d) Si un cuerpo tiene una cara cuadrada entonces es un prisma.e) No existen cuerpos con todas sus caras iguales.f) Todos los cuerpos tienen caras.

84)a) Recorta en cartón doce triángulos equiláteros de 5 cm de lado. Arma con ellos dos cuerpos, uno de 4 caras y otro de 8 caras. b) Apoya los cuerpos en tu mesa. Dibújalos en tu carpeta.

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5 cm

7 cm3 cm

P


c) Indica si es posible armar un cuerpo como los anteriores, plegando las siguientes figuras.

85) ¿Cuáles de los siguientes desarrollos sirven para armar un prisma?

86) La siguientes estructuras metálicas, ¿a que cuerpos corresponden?

87) Construye dos moldes diferentes para armar los siguientes cuerpos.

88) Investiga otras unidades que se utilizan para medir cuerpos. ¿Cuál es la relación entre ellas?

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matematica ii geo

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