actividades matematica ii 2010

8/18/2019 Actividades Matematica II 2010.

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MINISTERIO DE EDUCACIÓNDIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO

PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓNMEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE

MATEMÁTICA


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Ministerio de EducaciónDirección Nacional de Educación

Actividades de Refuerzo para Matemática Página 2

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

Presentación

El proyecto de refuerzo académico como acción estratégica del Programa SocialEducativo 2009-2014 “Vamos a la Escuela”, se prevé como una de las estrategias paraevitar la repetición y la deserción.

En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de éste se promoverá elapoyo a los estudiantes de segundo año de bachillerato que presenten dificultades paradesarrollar las competencias, conocimientos y habilidades, que se espera tengan los

jóvenes y señoritas que egresan de bachillerato.

Para poder hacer efectivo el refuerzo académico se hace necesario contar coninformación que permita tener un diagnóstico de las fortalezas y las limitaciones de losestudiantes que integran cada sección de segundo año de bachillerato; por ello, el

proyecto inicia con una evaluación diagnóstica, cuyo fin no es asignar una nota a losestudiantes, tal como se describe a continuación.

1. Finalidad de la evaluación diagnóstica

La administración de las pruebas de diagnóstico tiene como finalidad poner adisposición de los docentes de educación media un instrumento de evaluación, que lespermita identificar en los resultados los puntos fuertes y /o débiles de los estudiantes,con el propósito de realizar acciones pedagógicas que respondan a las necesidadesindividuales y de grupo, las cuales deberán estar encaminadas a la mejora yaprovechamiento de los aprendizajes.

Ésta es una evaluación analítica y orientadora que pretende apoyar a los estudiantesque presentan más dificultades en el aprendizaje; por lo tanto, no se debe tomar comouna evaluación para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura.

2. Documentos que se proporcionan a los docentes Pruebas por asignatura.

Se han elaborado pruebas de diagnóstico de las 4 asignaturas básicas: Matemática,Lenguaje y Literatura, Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Cada una de ellas sepresenta en cuadernillo separado; los ítems son de opción múltiple con 4 opciones de

respuesta de las cuales sólo una es la correcta.Los insumos considerados para definir qué evaluar en cada asignatura fueron: losindicadores de logro que resultaron más difíciles para los estudiantes evaluados en laPAES 2008 y 2009; así como los indicadores de logro de los programas de estudio deprimer año de bachillerato que son prerrequisito para el dominio de otros indicadores desegundo año, y que a la vez se consideran difíciles para los estudiantes o difíciles deimpartir por el docente.


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Actividades de Refuerzo Académico

Es un documento por asignatura dirigido a los docentes, en el que se sugierenactividades de refuerzo orientadas a reducir las dificultades mostradas por los

estudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los ítems.En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada ítem de la prueba,así como el indicador de logro del programa de estudio .Para cada ítem se dan aconocer las causas posibles por las que los estudiantes lo respondieronincorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con los que se puededesarrollar, la descripción de la misma y en algunos casos se brinda información paraenriquecer el desarrollo del contenido.

Las actividades de refuerzo por asignatura deberán trabajarse, prioritariamente, con elgrupo de estudiantes que obtuvieron menos aciertos en la prueba; aun cuando lasactividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo.

Plantilla para registrar las respuestas correctas

Después de aplicada cada prueba, el docente responsable de la asignatura y de lasección, deberá revisar las respuestas dadas por los estudiantes a cada ítem; para elregistro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura, en la quese identifica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrarsólo las respuestas correctas; de esta manera tendrá un diagnóstico del desempeño decada estudiante y del grupo. En la sección podrá identificar cuáles ítems fueronrespondidos correctamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes.

3. Desarrollo de la Evaluación

Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezasde los estudiantes, se sugiere desarrollar una asignatura cada día, y que éstase realice simultáneamente en todas las secciones de segundo año debachillerato de la institución; el tiempo máximo estimado para cada prueba esde 90 minutos.

La evaluación deberá realizarse en la segunda semana del mes de febrero. Se deben administrar las pruebas dando indicaciones claras y de forma

imparcial en un ambiente que genere confianza; es decir, evitar acciones que

causen tensión en los estudiantes, ya que ello podría influenciar negativamentesobre el trabajo de éstos en la prueba.

Los estudiantes deberán marcar sus respuestas en cada cuadernillo; para locual se debe encerrar en un círculo la letra de la opción que contiene larespuesta correcta.

El docente debe explicar a los estudiantes que la prueba no es para asignarlesuna nota y deberán motivarlos para que realicen su mayor esfuerzo alresponder todos los ítems.


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Las indicaciones para la aplicación de la prueba deben ser respetadas, Si unestudiante pide información adicional, no se le deben dar elementos derespuesta, ni información susceptible de orientar su respuesta. Si la indicaciónno es comprendida, será suficiente solicitar que relea la indicación o la

pregunta. La prueba debe ser realizada individualmente, para que el propósito dediagnóstico de ésta, realmente sea alcanzado.

4. Proceso de registro de las respuestas dadas por los estudiantes en cadaprueba

Después de la aplicación de las pruebas, los docentes proceden al registro de lasrespuestas correctas de los estudiantes. Esta fase es parte integral de laevaluación porque permite el análisis de las respuestas y conduce a la reflexión yvaloración de decisiones pedagógicas que respondan a cada contexto.

El docente responsable de la asignatura deberá realizar el registro de lasrespuestas correctas, para ello utilizará la plantilla propuesta en la que se indicael número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta de cada ítemde la asignatura.

Cuando existan errores o ausencias de respuesta muy frecuentes en unamisma sección, es importante verificar si los elementos referidos fueronestudiados y como se procedió. El docente podrá así establecer un diagnósticoy juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunosestudiantes.

Revisar en los resultados de cada estudiante, cuáles ítems no respondió

correctamente para determinar cuáles contenidos son los que requieren derefuerzo académico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultadesen común para poder atenderlos con las actividades sugeridas. Asimismo, esimportante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propósito de podertomarlos como apoyo en procesos de tutoría con otros estudiantes que tengandificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puestoque lo que se debe destacar no es cuántos respondió, si no cuáles no fueronrespondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzoacadémico.

Estos resultados conciernen a grupos de alumnos y pueden constituirreferencias, pero la dimensión diagnóstica de las evaluaciones toma toda su

pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad Revisar las propuestas de actividades de refuerzo académico que se sugierenpara los ítems, si están de acuerdo con éstas, desarrollarlas con los estudiantesque lo requieran; si usted tiene experiencia con otro tipo de actividades que lehan resultado exitosas para el dominio de ciertos contenidos, puede aplicarla ensu clase y compartirla con otros docentes en círculos de estudio.


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PLANTI LLA PARA EL REGISTRO DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS

1

2

3

4

5

6

7

8 9

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3

2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0

C

D

B

B

B

A

B

D B

A

B

D

C

C

D

C

C

A

A

A

B

C A

C

D

D

C

C

A

A

D

C

B

C

C

C D

C

D

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

2 7

2 8

2 9

3 0

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

T o t a l d e e s t u d

i a n t e s q u e

R e s p o n d i e r o n c o r r e c

t a m e n t e a l í t e m

N o m

b r e

N o .

M A T E M Á T I C A

í t e m s

o t a


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Actividades de refuerzo académico sugeridas para que losestudiantes superen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los

ítems de la prueba.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 Y 2

Bloque de contenido:Números yoperaciones

Contenido:Númerosenteros

Indicadores de logro:1.6 (7º grado) Resuelve ordenadamente ejercicios de

suma y/o resta de números enteros (aplicando la leyde los signos)

1.7 (8º grado) Resuelve problemas con seguridad,utilizando operaciones combinadas de númerosreales y signos de agrupación.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:1) Desconoce las leyes de los signos2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupación.

3) Aplica la ley de los signos para la multiplicación cuando suma.4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamentelos signos de agrupación.

5) Interpreta incorrectamente el problema.6) Se enfoca solo en una parte del problema.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 1. Iniciar la actividad reflexionando sobre la importante de aplicar correctamente las

operaciones matemáticas en situaciones de la vida diaria, como las medidas de latemperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc.

2. Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem,como los siguientes:

Ley de los signos para la suma y la resta:Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación ydivisión, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.

Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos:Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultadose le escribe el signo común.

Ejemplos:

5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe)- 8 – 35 = - 43

Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será lacantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad.

Ejemplo:

5 – 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos.

18 – 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo más.


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Ley de los signos para la multiplicación y divisiónHacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la leyde los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que almultiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valorpositivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una

cantidad con signo negativo.Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.

Jerarquía de las operacionesCuando se presentan operaciones combinadas, primero se efectúan potencias, luegoproductos y/o divisiones, por último sumas y restas.

1. Completar la siguiente tabla:

2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes:

a) 4 – 2- ( 8 – 12 )

b) ( -36) + ( +15) – ( -13 ) + ( +25 )

c) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 )

d) (-5 + 4 – 10 + 25) – (4 – 15) + (8 – 15 -19)

e) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8 + (15 – 20)- (13 – 40)f) -20 – [ (13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3)

g) 19 – 3 - [6 – (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3)

h) 15 - [- (3 + 4 – 7) + (2 – 20 + 18)] + (3 – 5 – 10 – 7)

3. Resolver los siguientes problemas:

a. Si la construcción de una pirámide duró 200 años y fue iniciada en el año 152 a.C.¿en qué año finalizó su construcción?

b. A las 10 de la mañana el termómetro marcó 13

o

C, a las 2 de la tarde latemperatura aumentó 10 o C y luego disminuyó continuamente hasta alcanzar unadisminución total de 15 o C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en gradoscentígrados a las 8 de la noche.

c. Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas yse escoge como unidad de tiempo la hora, ¿cuál es la fecha y la hora quecorresponden a los siguientes números enteros?

1) 25 2) -73 3) 105

a +5 -7 +31 -52 -17 +19 -41 +13 -5 -8b -13 -12 -11 0 -10 -9 +20 +21 0 -23a + b

a - b


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d. Completar con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de susfilas, columnas y diagonales es -10.

Actividad 2: Reduzco expresiones aritméticas con números reales

Descripción:

Reforzar las operaciones básicas con fracciones, luego proporcionar una serie deejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador.

a) Cuando multiplicamos fracciones se debe multiplicar numerador con numerador ydenominador con denominador. Hacer énfasis en que un número entero puedeexpresarse como una fracción, agregándole uno en el denominador.

Ejemplos:

218

)7)(3(

)4)(2(

47

32 ))(( 7

2730

76

15

76 4))((5

b) Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas se operan los numeradoresy al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador.

Ejemplo:Realizar la siguiente operación:

31

310

3541

35

34

31 3

c) Cuando sumamos o restamos fracciones heterogéneas (de distinto denominado) sebusca que el denominador sea el mismo para operarlas como fraccioneshomogéneas.

Ejemplo:

47

53

21 El denominador común debe ser 20 (mcm)

2013

2033

20351210

20

20202014

753

21

Multiplicamos cada fracción

por el mcm

5 -9 2

0 -3

-2 -4

-7 -10

35

34

31


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3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres.

4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad

1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo2. Solicitar que elaboren la gráfica del volumen en función del tiempo, con los valorespresentados en la tabla que aparece en la guía.

3. Escribir las características de las gráficas de magnitudes que son directamenteproporcionales.

Reflexionar ante la situación: Un recipiente se está llenando con un líquido, de talmanera que cada segundo aumenta 3 litros.En la situación se pueden distinguir dos magnitudes (volumen y tiempo) y se quiereconocer la relación entre ellas.Observa la tabla:

¿Cómo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relación?Completa la razón del volumen y el tiempo ( V/T)

Cuáles son los volúmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente.

En generalSi la magnitud A toma valore x1, x2, x3, …y la magnitud B toma valores y1, y2,y3,…decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que:

= = = … = constante, es decir = y = k. x

Magnitudes inversamente proporcionalesCompleta la tabla de la velocidad que necesita un vehículo para que en determinadotiempo recorra cierta distancia.

Magnitudes

Puedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicando k = v t

Tiempo (T)en segundos 1 2 3 4 … 10 15Volumen (V) en litros 3 6 9 12 … ? ?

( V/T) 3/1 6/2 …

K 3 3 … ? ?

Velocidad (V)en km/h

100 50 25 10

Tiempo (t)en horas (h)

1 2 4 10

Distancia (d)d = v t

100 ? ? ?

3

2

2

2

1

1

x

y

x

y

x

yK

x

y


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Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa.a) El precio de un artículo y el número de artículob) El tiempo empleado y la distancia recorridac) El volumen y la presión de un gasd) La base y la altura de un rectángulo (si el área es la misma)

Actividad 2: Cálculo en la solución de problemaDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad

Observa los siguientes ejemplos y escribe el resultado del cálculo.

Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa

La rueda de un automóvil recorre 15 mcada 10 vueltas, ¿cuántas vueltas dará alrecorrer 75 m?Solución

Se puede observar que si la distanciaaumenta el número de vuelta aumenta enla misma proporción, entonces la lasmagnitudes son directamenteproporcionales

Entonces x =15

)10)(75( =

R/ La rueda dará ____vueltas

En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en15 horas. ¿Cuánto tiempo demoran 5 obreros enefectuar ese trabajo, en las mismas condiciones?Solución

Si al disminuir el número de obreros, el tiempoaumenta en la misma proporción las magnitudesson inversamente proporcionales

Entonces x = =

R/ los 5 obreros realizan la obra en ____ días

Nota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida.

Resuelve los problemas siguientes:

a) Ana vio un rayo que quema un árbol a una distancia de 2,380 m y escucho eltrueno pasado 7 segundos. ¿Cuántos metros recorre el sonido en 1 segundo?

b) Para un viaje en alta mar un barco con una tripulación de 8 personas dispone dealimentos para 15 días. ¿Para cuántos días alcanzará la ración de alimentos sien el barco viajarán 10 personas?

c) Si un grifo vierte 1.2 litros de agua por segundo y tarda 18 horas en llenar unestanque. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo?

d) Un estanque de 2.5 m de profundidad contiene 85,000 litros de agua cuandoestá lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?

Fuente de informacióna. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/´Proporcionalidad c. http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530 d. Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.

Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

Magnitudes

Distancia N de vueltas

15 1075 x

Magnitudes

N de obreros Tiempo12 155 x

5

)12)(15(

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_treshttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_treshttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_treshttp://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/%C2%B4Proporcionalidadhttp://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/%C2%B4Proporcionalidadhttp://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/%C2%B4Proporcionalidadhttp://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/%C2%B4Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 4

Bloque decontenido:Geometría

Contenido:Conversión deángulos de gradosa radianes

Indicador de logro:

4.6 (1er. año de bachillerato) Muestraconfianza al convertir ángulos expresadosen grados a radianes y viceversa,utilizando los factores de conversión.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:1. Le falta dominio de la regla de tres simple y su respectiva interiorización, la cual

debe ser una pauta para aplicar los factores de conversión de forma significativa yno mecánica.

2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Recursos: Representaciones gráficas para visualizar las agujas del reloj.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad A partir del siguiente problema se debe orientar a los estudiantes a que enumeren loque necesitan y con lo que cuentan para resolver este tipo de problemas (asociaciónentre los 360o de una vuelta entera y las particiones que corresponde a cada hora,equivalencias entre grados y radianes, métodos de conversión de una a otra unidad,etc.), esto les permitirá integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar losrecursos que ya poseen.

El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ángulo con las dosmanecillas. ¿De cuántos grados es el ángulo que forman? Representa ese mismoángulo en radianes.

Para resolver:a) Recuerda la equivalencia de 1 radián en grados, de la relación 360º entre 2

b) Realizar una tabla de los valores de y su equivalencia en grados; para hacer unacomparación del sistema sexagesimal y el sistema circular.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulode 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemosque el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principalesángulos se muestran en las siguientes tres figuras:


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Actividad 2: Realicemos conversiones


Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180 o equivalen a πradianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

a) Convertir 38o

a radianes.

Primero planteamos la regla de tres.Nótese que la x va arriba, en laposición de los radianes.

38180 x

Despejamos x , también simplificamos.

9019

18038 x

Por último obtenemos el equivalentedecimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

b) Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres.Nótese que la x va abajo , en la

posición de los grados.

x24

180

Despejamos x.

24180 x

Por último obtenemos el equivalentedecimal con calculadora:

x = 137.5099 o

Convertir de Grados a Radianes Convertir de Radianes a Grados

Fuente de informaciónMc graw Hill, México 1996www. didactika.comwww.descartes.com

Radianes Grados0.79483 Rad

3.54209 Rad

1.1680 Rad

4.5836 Rad

2.22106 Rad

0.8670 Rad

1.8536 Rad

3.1558 Rad

6.5438 Rad

Grados Radianes38 o

147 o 15’

250 o 30’ 45”

72 o

201 o 50’

322 o 14’ 10”

30 o

150 o 40’

189 o 30’ 58”


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Bloque decontenido: Geometría

Contenido: Sectorcircular

Indicador de logro:5.10 (8’ grado): Determina, explica y usa con

seguridad la fórmula para el cálculo delárea de un sector circular.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:1. Desconoce la fórmula del área del círculo

2. Desconoce la fórmula para encontrar el sector circular

3. Dificultad al aplicar la fórmula del sector circular

4. No hay conocimiento de los elementos necesarios para encontrar el área de unsector circular.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos

Recursos: Compás, regla, colores, tijeras, pegamento y círculos en papel bond.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad ¿Cómo encontrar el área de un círculo deduciendo la fórmula?

1. Presentar círculos en papel bond divididos inicialmente en cuatro partes iguales,trazando diámetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortarcada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso conlos otros círculos dividiéndolos en ocho, dieciséis y treinta y dos partes.

2. Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como:

¿A qué figura geométrica se parece?

¿Qué relación puedes hacer de las dimensiones del rectángulo con las del círculo?

3. Recordar como se deduce la fórmula para encontrar el área de un círculoConstruye un círculo de papel y piensa en la forma para encontrar el área.

Solicitar que observen como se transforma un círculo en la medida que se dividensectores de 8, 16, 32 y 64.


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Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la fórmula


Aplica la fórmula para encontrar el área de círculos y sectores circulares.1- Encuentra el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las

siguientes medidas:

a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.1

2- Observa las figuras y calcula el área de las partes sombreadas

3- Encuentra el área de los siguientes sectores.

4- Encuentra el área de un semicírculo cuyo radio mide 4cm.5- Encuentra el área de un sector circular con ángulo central de 60º y radio de 5cm

Fuente de información:Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 6, 7 y 8

Bloque deconten ido:Geometría

Contenidoconceptual:Triángulos.Clasificación yteoremas

Indicadores de logros:

3.1 (8º grado) Construye con precisión yaseo triángulos; los clasifica, describe yexplica según sus lados y ángulos.

3.3 (8º grado) Resuelve con precisiónproblemas aplicando el teorema; “la suma

de los ángulos exteriores de un triánguloes igual a 360 o”

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:1. Desconoce la clasificación de los triángulos en relación a sus ángulos.2. No examina cuidadosamente todos los ángulos.3. Desconoce las características claves para identificar cuando un triángulo es

acutángulo o rectángulo.

b)


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4. No encuentra coherencia entre la representación del triángulo y los datos queéste contiene.

5. No tiene dominio de las características de un triángulo isósceles.

6. Desconoce los teoremas de los triángulos.

7. Confunde los distintos teoremas.

8. Tiene dificultad para plantear y resolver una ecuación lineal.

9. Muestra dificultad en la comprensión del problema (lectura comprensiva).

Actividad 1: Clasificando triángulos


Presentar el siguiente esquema, y que se discuta la información que contiene.

En la clasificación “por sus ángulos”, que compartan las razones por las queconsideran que el triángulo acutángulo es presentado de esa manera y que a partir deello, dibujen el triángulo obtusángulo, y discutan los resultados.

Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema.

Clasificando los triángulos

Actividad 2: Apliquemos la clasificación


1. En parejas o tríos, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan de

acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas. a) Define qué es un triángulo isósceles.

b) ¿Cuándo un triángulo es obtusángulo?

c) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo? Escribe las razones de turespuesta.

d) ¿Cuántos grados suman los tres ángulos interiores de un triángulo? Ejemplifica turespuesta.


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e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ángulos que conoces;utilizando dibujos para cada ángulo, marcando la hora del reloj que forme dichoángulo.

f) Si el reloj marca las 12:00 hrs, ¿cómo se llama el ángulo que forman las agujas?g) Si las 3 manecillas del reloj, se encuentran en diferente posición. ¿Qué nombre

reciben los ángulos que forman?h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman las manecillas en esa hora?

¿Qué nombre recibe ese ángulo?

2. Escribir la clasificación del triángulo de acuerdo a lo que se solicita.

Actividad 3: Apliquemos teoremas Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 1. Resolver ecuaciones lineales, considerando los errores más comunes en los y las

estudiantes.

d) 7x + 13 – 9x = 8x – 3x – 8

e) 11x + 5x – 1 = 65x – 36

f) 2y – 99 – 5y + 9y = 128 – 5y – 7

2. Orientar la resolución de los ejercicios pero dejar que sean los estudiantes quienesresuelvan.

a) Pedir a los y las estudiantes que investiguen los distintos teoremas con quecumplen los triángulos y las definiciones de ángulos complementarios ysuplementarios.

b) Además se recomienda efectuar en clase lectura y planteamiento de diversosproblemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.), para mejorar en la lecturacomprensiva.

Según sus lados Según sus ángulos

d) x + 3(x-2) = 2x – 4

e) 36 – 9

4 x = 8


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3. Hallar el valor de los ángulos aplicando los diferentes teoremas.

C65o 30o

A 50o 35o B y x 40o

R Z

30o 58o

P 60o Qq’ X 65o y

x’ Y

C T

5x

t

3x 4x R r s S

A B 140o 70o

Actividad 4: Resolvamos problemas


Resolver los siguientes problemas:

1. Si uno de los ángulos de un triángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercerángulo es tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulointerior y su correspondiente ángulo exterior.

2. Un ángulo externo a la base de un triángulo isósceles mide 155o. ¿Cuánto mide el

ángulo vértice?3. En un triángulo ABC,


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c) Los ángulos son suplementarios

d) Los ángulos pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es la suma de los dosángulos dados.

5. Encontrar la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de losotros dos son:

a) 67 y 47b) 22 y 135

c) a y 2a

Fuente de información:Matemática 3 Geometria y TrigonometriaOrtiz Campos. Publicaciones Culturales

Algebra. Luis María OrmaecheaUCA Editores 1989.


Bloque decontenido:Geometría

Contenido:Teorema dePitágoras

Indicador de logro:

3.25 (8º grado) Resuelve problemasaplicando el Teorema de Pitágoras, encooperación con sus compañeros.

Causas posible por las que el estudiante no contestó bien el ítem1. No identifica el triángulo rectángulo.

2. No asocia el problema con el Teorema de Pitágoras.

3. Aplica incorrectamente el Teorema de Pitágoras.

4. Dificultad para encontrar el perímetro de la figura.

Actividad 1: Juguemos con Triángulos


En el cuadro siguiente se te presenta la clasificación de los triángulos según sus lados ysus ángulos.

Clasificación de los Triángulos

Según lamedida desus lados

Triángulo rectángulo

Uno de sus ánguloses recto

Triángulo acutángulo

Todos sus ángulosson agudos

Triángulo obtusángulo

Uno de sus ánguloses obtuso


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Según lamedida desus lados

Triángulo equilátero

Todos sus lados son

iguales

Triángulo isósceles

Dos de sus lados son

iguales

Triángulo escaleno

No tiene lados de

igual tamaño

Usando la clasificación anterior , marca con una “X” la columna de verdadero o falso deacuerdo a la proposición presentada. Justifica tu respuesta.

Proposición V F Justificación

Todo triángulo equilátero es isósceles

Algunos triángulos equiláteros sonobtusángulos

Algunos triángulos rectángulos sonisósceles

Todo triángulo isósceles es acutángulo

Algunos triángulos rectángulos sonescálenos

Todo triángulo obtusángulo es escaleno

Actividad 2: Construyamos el cuadrado de la hipotenusa

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Formar equipos de trabajo y entregar a cada uno, la copia de una de las siguientesfiguras para que los estudiantes las recorten y comprueben el Teorema de Pitágoras.


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Actividad 3: Apliquemos el Teorema de Pitágoras


Encuentra el valor de la incógnita aplicando el Teorema de Pitágoras.

a) b)

Actividad 4: Encontremos el perímetro

Esta actividad se sugiere para aquellos casos en que los estudiantes aplican elTeorema de Pitágoras pero no recuerdan como encontrar el perímetro de la figura.

Ejercicio:Un topógrafo mide un terreno con forma de triángulo rectángulo. Los dos lados queforman el ángulo recto miden 21m y 28m respectivamente. ¿Cuántos metros mide elperímetro del terreno?

Fuente de información www.roble.pntic.mec.es/jarran2/.../teoremapitagoras.htm

s

13

8

15

12

p


23/81




Bloque decontenidos: Números yOperaciones

Contenido: Fraccionescomplejas

Indicador de logro:3.7 (7º grado): Resuelve con seguridad

problemas aplicando las operacionesfundamentales de los númerosfraccionarios.

Causas posibles por que los estudiantes no contestaron bien el ítem.

1. Dificultad en la interpretación del problema.

2. Dificultad para establecer el orden de prioridad en el problema.

3. No recuerda el algoritmo de las operaciones con números fraccionarios.

4. Dificultad para convertir números mixtos a fracción impropia.



1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo2. Entregar información sobre la clasificación de los números fraccionarios.

3. Pedir que elaboren un mapa conceptual de acuerdo a la clasificación de losnúmeros fraccionarios

4. Solicitar que realicen una descripción de los procesos que se realizan para convertirfracciones mixtas a fracciones impropias, sumar fracciones con igual y distintodenominador y aplicar dichos procedimientos en la solución de la actividad 1.

Se presenta la siguiente situaciónCarmen preparó jugo de naranja y midió la cantidad

¿Cuántos litros de jugo hay en el recipiente de la derecha? R ¾ l ¿Cómo podemos representar la cantidad total de jugo

R: Hay 2 l y ¾ de jugo la cantidad total se escribe432 l y se lee “dos tres cuartos de

litro”.

Se llama fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador.

Ejemplo:3

7

3

1 2

1 11


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Actividad 2: Juguemos con fracciones


Completa los espacio que faltan, observa que en los extremos de la figura estánescritos los recíprocos de los números naturales. En los otros espacios se coloca lasuma de las dos fracciones sobre las que se apoya.

Ver ejemplo.

Une la figura que contiene la operación indicada con la del resultado.

3

1

4

3

8

2

6

11

4

21

2

12

2

1 .

5

3

4

1

3

2

3

2

652

40

11

5

1

2

1 2

1

2

1 2

1

1

1

3

1

6

1

3

1

4

1 4

1

?3

1

Para escribir el número que corresponde, buscamos la

fracción que al sumarla con3

1 el resultado es2

1

La fracción que hace falta en este caso es6

1

6

1+3

1=2

1

5

1

6

1

6

1

1

1

3

1


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Observa la figura y calcula el área que se te indica

Área de una pierna =________________ Área del tronco = ______________

Área de las dos piernas = Área de un brazo =

Compruebe los resultados de las operaciones siguientes

a) R/

15

812 b) R/

16

3

Resuelve

a) En una caja hay 90 tornillos,15

5 del total son grandes,

3

1 del total son medianos y

18

6 del total son pequeños. ¿Cuántos tornillos hay de cada clase?

b) En una clase de 40 alumnos,5

2 son de la zona oriental

4

1 de la zona occidental y el

resto de la zona central. ¿Cuántos alumnos hay de cada región

Fuente de información:http://www.vitutor.net/2/3/4.html http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nMatemática 5, Colección Cipotas y Cipotes; MINED, 2007, Pág. 66 - 81

2

1 x

8

3

4

7

5

3

43

312

4

1

3

1

2

1

http://www.vitutor.net/2/3/4.htmlhttp://www.vitutor.net/2/3/4.htmlhttp://www.vitutor.net/2/3/4.html


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Bloque decontenido:Geometría ymedidas

Contenido:Semejanza detriángulos

Indicador de logro:3.19 (8° grado) Determina, explica y aplica

con seguridad la semejanza detriángulos, mostrando confianza.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:1. Tiene problemas para despejar la variable en una ecuación fraccionaria

(proporción).2. Plantea la proporcionalidad sin considerar que el producto de los extremos (o de

los medios) debe incluir la sombra de uno de los objetos y la altura del otro.3. Desconocimiento de la relación entre los ángulos que se forman al cortar dos

paralelas.4. No lo relaciona con semejanza de triángulos por tratarse de figuras separadas.

Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad

Es importante asegurar que los estudiantes tengan dominio de los saberes previos, porlas siguientes causas:

a) El dominio de ángulos entre paralelas es la base para establecer la semejanza.

b) Para resolver el problema deben encontrar el valor de x en una igualdad, ya seaque se encuentre como numerador o denominador y en cualquiera de los ladosde la igualdad.

c) La congruencia tiene como base el planteamiento de proporciones.El dominio de estos saberes puede observarse en ejemplos como los siguientes:

Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza unmapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:500,000; es decir, uncentímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir conuna regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cualrepresenta 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representaciónsemejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una mismaproporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo máscercanas a su valor real.

La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros)requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza yproporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible alobjeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras,el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objetotiene en la realidad.

Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego esampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción,


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ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con unamisma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igualvalor.

Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la mismaproporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área,diámetro).

Actividad 2: Encontremos congruencias en un triángulo trazandoparalelasRecursos: Cartulina y estuche de geometría para trazar triángulos.


Es más fácil que los estudiantes observen la congruencia de los ángulos cuando setraza una paralela a cualquiera de los lados ya sea adentro o afuera del triángulo.

Debe aprovecharse este momento para insistir en los casos de semejanza y quecompruebe la congruencia de los ángulos (de ser necesario recortándolos).Ejemplos:

Actividad 3: Encontremos congruencias comparando dos triángulos


Es difícil para los estudiantes ver la proporcionalidad cuando los triángulos estánseparados (como en el ítem) o unidos solo por un vértice.

b) Hallar la longitud de x silas rectas a, b y c sonparalelas.

a) Hallar las medidas de lossegmentos a y b.


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Estos ejercicios deben razonarse, ayuda mucho calcar los triángulos y colocarlos de laforma que ellos mejor comprenden.

Ejemplos:

a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán loscatetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

b) ¿Son semejantes los siguientes triángulos?

Fuente de información: es.wikipedia.org/wiki/Triángulos_semejantes

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 12 y 13 Bloque decontenido:Estadística

Contenido:Presentación yorganización dedatos

Indicador de logro:

2.26 (1er. año): Resuelve problemasinterpretando la información extraída ypresentada, mostrando interés y respetopor las estrategias y soluciones aproblemas estadísticos distintos a lospropios.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Interpretan erróneamente los datos al no tomar en cuenta que los ingresosinician en -1.

2. Interpretan incorrectamente los datos proporcionados al no relacionar el graficoy el titulo del grafico.

3. Tiene dificultad al aplicar la regla de tres.

A

AB

B


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Recordar la proporcionalidad directa e inversa y presentar ejercicios donde sepractique las proporciones y la regla de tres.

En el planteamiento de la regla de tres asegura que los datos que tienen las mismasunidades estén en la misma columna.

¿Cómo encuentras el porcentaje de una cantidad y cómo encuentras la cantidad quecorresponde a un porcentaje?

Ejemplos:

1. Si de 100 estudiantes el 40% son niños y el 60% son niñas.¿Cuántas son niñas y cuántos son niños?

Esto significa que habría 40 niños y 60 niñas.

2. En la votación para elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de losvotos, Carmen el 46% y Ana el 22%.

¿Cuántos votos han obtenido cada uno, si el total del alumnado es de 200?

Recuerda, que para calcular el tanto por ciento de una determinada cantidadmultiplicamos dicha cantidad por la fracción que representa el tanto por ciento.

Ejemplo:

En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en canastas de dos puntos de miequipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado canastas de dos puntos en 30 ocasiones,¿cuántas canastas hemos hecho? ¿Y cuántas veces hemos fallado?Para saber las canastas de dos puntos que hemos acertado, tenemos que hallar el 40%de 30, el cual se obtiene de la siguiente manera:

1230 100120

100

4030

100

40

Para calcular las que hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras:

1) La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que síhemos acertado:

30 – 12 = 18 fallos

Cuando la proporcionalidad es

directa se multiplica en diagonal


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2) También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre eltotal de lanzamientos:

Si el 40% son aciertos → el 100% - 40% = 60% será de fallos.

El 60% de 30 es: 18 R: 18 fallos

Actividad 2: Leamos e interpretemos gráficos


El docente encargado de la clase proporcionará una serie de gráficos de los cualespedirá a los estudiantes dar cualquier interpretación con respecto a una barra ocualquier otro elemento de un gráfico.

Se debe recalcar que todo gráfico debe contener los siguientes aspectos: Título Leyendas en los ejes Nombrar las clases o los datos representados en el gráfico.

Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas

Observa el gráfico circular

a) ¿Cuánto incremento el ingreso entreel 2001 y el 2002?

b) ¿Cuánto es la diferencia entre losingresos de 1999 y el 2003?

c) ¿Cuánto incrementaron los ingresosde 1999 y al 2002?

d) ¿Entre qué años los ingresosdisminuyeron $ 40 millones?


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Para los sectores del gráfico anterior, menciona dos comparaciones que consideresrelevantes.Calcula:

a) El total de personas que deciden ir al parqueb) Las personas que deciden ver la televisiónc) El total de personas que se quedan a dormir y los que hacen deporte.

Observa el gráfico

Contesta:a) ¿Cuál es el ganado que se encuentra en menor cantidad, en la región?

b) ¿Qué ganado es un poco más del doble del ganado ovino?

c) Si el total de ganado de dicha región fuera de 250,600 cabezas ¿Cuántascabezas serían del ganado porcino?

Fuentes de información:http://www.cdc-cap.org/http://www.bves.com.sv/estados/index.phphttp://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532 http://www.bcr.gob.sv

http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 14 y 17

Bloque decontenido:Estadística

Contenidos:Medidas detendencia centraly coeficiente devariabilidad

Indicadores de logro:

8.20 (8° grado) Resuelve cooperando con suscompañeros problemas aplicando la mediaaritmética.

5.5 (1er año) Resuelve problemas, conperseverancia y autonomía, aplicando lamedia aritmética ponderada.

8.12 (1er año) Resuelve problemas con orden,aplicando el coeficiente de variabilidad asituaciones reales.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:1. Comprende la media aritmética en una serie simple pero no en una ponderada.2. No establece diferencia entre los datos y su frecuencia.3. No interpreta el valor resumen, como aquel que sustituido por cada uno de los

datos produce una suma igual que cada uno de los datos originales4. Desconocimiento del cálculo del coeficiente de variabilidad.5. Interpretación errónea del coeficiente de variabilidad.

Actividad 1: Encontremos medidas de tendencia central


Debemos procurar un dominio manipulativo de la fórmula, pero además realizar unanálisis interpretativo de las variables que involucra dicha fórmula. Por ejemplo, al ver la

fórmula de la media aritmética simplen

x X

i y la fórmula de la media aritmética para

distribuciones de frecuencia y su interpretación como una media ponderada

ii

i

i

i

i

iiw x

f

f x

f

f x X

, observamos que la segunda no es más que la

multiplicación de cada variable por su peso relativo.

Las expresiones i x X n y iii f x f x dimensionalmente deben ser iguales, paraque esto se cumpla debe ocurrir que n , debe ser adimensional y X e i x deben tenerlas mismas dimensiones (años, valor de una calificación, estatura, etc.). Además indicaque el valor de la media multiplicado por la cantidad de datos

Por ejemplo: Si hay tres personas con edades de 7, 10 y 31 años, su edad promedio es

16 años. Dicho valor multiplicado por tres proporciona tantos años como la suma de lasedades de cada una de las tres personas.

Aunque el concepto de la media es relativamente sencillo debe analizarse hasta dondesea posible en cuanto a las dimensiones o tipo de variable que involucra.


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Ejemplo:En un taller de carpintería, se producen tres tipos de sillas a diferentes precios y encantidades distintas. Determine el costo promedio de una silla vendida.

Ese costo promedio debe ser tal que si se multiplica por la cantidad de sillas, generatanto dinero como el que genera cada grupo de sillas a su respectivo precio.

3150$)$(

2040$8020$5015$)$(

sillaslasdetotal precioelCalculemos

total

total

Si se compran 150 sillas a $21 cada una, se obtienen $3150, que es la misma cantidadde dinero que se pagó comprando tres tipos de sillas a precios distintos.

Ejercicio:Se compran tres sillas de distinto tipo, los precios fueron $15, $20 y $40,

a) ¿Cuánto se pagó por las tres sillas?

b) ¿Cuál fue el valor promedio de las tres sillas?

c) Si se hubieran comprado tres sillas de un precio igual al del valor promedio,¿cuánto se hubiera pagado por las tres?

d) ¿Qué conclusión obtienes?

Actividad 2: Practiquemos la obtención del coeficiente de variabilidad


Proporcionar situaciones del contexto donde aplique contenidos que ayuden a lograr elindicador propuesto. El coeficiente de variación, nos permite comparar la variabilidad entre dos distribucionesdistintas, con el fin de determinar cuál de ellas tiene una menor o mayor variabilidadrelativa. Representa la proporción geométrica entre la media aritmética y la desviacióntípica o estándar.

Donde s es la desviación típica o estándar y la media aritmética o promedio.

Entre mayor es el coeficiente de variabilidad, mayor será la variabilidad o dispersión de

los datos.1) Obtener el coeficiente de variabilidad en los casos siguientes

s CV

1.15 24.80.45 6.153.15 75.154.48 204

Cantidad Precio ($)50 1580 2020 40


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2) Completar la siguiente tabla

s CV

24.8 0.240.45 0.17

0.94 5.151.46 10.44

3) Resolver los siguientes problemas

a) En una fábrica de tela el promedio mensual de los salarios es de $225.95 conuna desviación típica de $56.85. Si una fábrica de confección de ropa tiene elmismo promedio, pero su desviación típica es de $28.95. ¿En cuál fábrica espreferible trabajar?

b) A continuación se presentan los promedios de notas y desviaciones típicas dedos centros escolares.

Centro Escolar “A”: promedio 7.3 y desviación típica 1.8 Centro Escolar “B”: promedio 8.1 y desviación típica 2.8 ¿En cuál de las dos instituciones la media aritmética es más representativa?

Fuente de información:Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl


Bloque decontenido:Estadística

Contenido:Medidas deposición

Indicador de logro:6.6 (1er. año) Resuelve con seguridadproblemas que requieran de cuartiles,deciles y percentiles

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:1. Dificultad en la interpretación de las medidas.

2. Confusión entre las diferentes medidas.

3. Errores en procedimientos y cálculos.


Recursos: Texto de consulta.


En muchas ocasiones necesitamos conocer el valor del dato ubicado en unadeterminada posición en la serie ordenada de datos. En estos casos se realiza elcálculo de las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles.

Los cuartiles son valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Entrecada dos de ellos estará el 25% de los datos.


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Los deciles son valores que dividen la serie en diez partes iguales. El porcentaje dedatos entre ellos es del 10%.

Los percentiles son valores que dividen la serie en cien partes iguales. Cada unoseparado del otro por un 1% de los datos.El cálculo de estos parámetros, tanto para variables discretas como para variablescontinuas, se hace de forma similar al cálculo de la mediana.

Ejercicio: Investiga 3 situaciones del contexto en que se apliquen estas medidas.

Actividad 2. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datossimples y ponderados.

Recursos: Texto de consulta.


Al resolver los ejercicios haga énfasis no solo en el cálculo, sino también en lo que cadaresultado representa.

1) Las edades de veinte jóvenes son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11,13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula:a) El cuartil 1 b) Los deciles 1 y 6 c) Los percentiles 35 y 80

2) El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es:12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38,40, 43, 41, 45, 50, 53, 58.

Calcular:a) los cuartiles 2 y 3b) los deciles 2 y 7c) los percentiles 35, 60 y 95

3) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de30 personas en un curso de estadística:

x 1 2 3 4 5 6 7f 3 6 7 7 5 0 4

Calcular:a) Los cuartiles 1, 2 y 3b) ¿Qué calificación limita el 40% inferior?

Actividad 3. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datosagrupados.


Antes de iniciar con el cálculo, debe establecer la diferencia entre las series ponderadasy agrupadas.


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Ejercicio: Con los datos de la siguiente tabla:

Puntaje de 50 alumnos en una prueba

Puntajes frecuencia60 - 65 565 - 70 5

70 - 75 875 - 80 1280 - 85 1685 - 90 4totales 50

Calcular:

a) Q1, D4, P65 y P80

b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados.

c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará unadisminución de su cuota escolar.

d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para noasistir a un taller de refuerzo.

e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50%superior).

Fuentes de información:www.sectormatemática.cl/educmedia. Htm

Matemática primer año de bachillerato.

Aguilera Liborio, Raúl


Bloque decontenido: Álgebra

Contenidos:Propiedades de losexponentes.

Indicador de logro:

7.12 (7° grado) Simplifica cantidadesnuméricas y algebraicas que requierande la aplicación de dos o máspropiedades de los exponentes.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem1. Confunde la regla de la multiplicación de potencias de la misma base y la de la

potencia de una potencia.

2. Confunde la regla de la división de potencias de la misma base y la de la raíz deuna potencia.


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Construir cuadrados 2, 3 y 4 centímetros de lado y luego dividirlos en centímetroscuadrados.

a) Preguntar a los estudiantes cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura. Relaciona la cantidad decentímetros cuadrados con el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula del área.

b) Solicitar a los estudiantes que escriban el área de cada cuadrado como una potencia.

422 , 932 , 1642

c) Usar cubos para comprobar que en un cubo de 2 cm de arista hay ocho cubos de un 1cm3.

an = a×a×.×a.….×a (a se multiplica por sí mismo n veces)

d) Realizar ejercicios en los que se obtenga una potencia de base negativa.

Base Exponente Potencia

NegativaPar Positiva

Impar Negativa

e) Repasar las reglas de los exponentes.

Regla 1: an · am = a n+m Ejemplo:

Regla 2: (an)m = anm 84242 x x x

Regla 3: nnn baab Ejemplo: 222 y x xy

Regla 4:nm

n

m

aa

a , a tiene que ser diferente de 0, Ejemplo 2242

4

x x x

x

Regla 5: a 0 = 1; si a es diferente de 0. Ejemplo 120

Regla 6: a -n na

1 , si a es diferente de 0. Ejemplo

9

1

3

13

2

2

V = (2)(2)(2) = 823

Ejemplos: (-3) = 81 (-5) = -125


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Actividad 2: Apliquemos las propiedades de las potencias


Esta actividad trata sobre la aplicación de las propiedades de las potencias y para ellose ha dividido en dos partes, la de desarrollo y la de simplificación.

1. Desarrollar cada una de las siguientes situaciones:

a) 32a b) 32ab c) 23 aa d) 26 aa

e) 33a f) 323b g)2

5

a

a h) 0b

2. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las diversas propiedades de losexponentes

a) 3

429

a

aa b)

3

02

2

23 c)

2

4

02

2

3

5

8

d)1035

104

)2(3

2)3(

e

e)10

6

x

x f)

85

74

12

6

y x

y x g) (6x10) (3x4)2 h)

4

12

106

104

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 19, 20, 21 y 22

Bloque decontenido: Algebra

Contenido:

División y factorización depolinomios

Indicadores de logro:4.13 (8º Grado) Resuelve problemas, conperseverancia, aplicando ladescomposición de expresionesalgebraicas por diferencia de cuadrados.

2.29 (8º Grado) Resuelve problemas deaplicación usando la división depolinomios, en colaboración de suscompañeros.

4.9: (8º Grado) Resuelve con perseveranciaproblemas aplicando la descomposiciónde trinomios factorizables que no sontrinomios cuadrados perfectos

4.5 (8º Grado) Explica y aplica conseguridad las reglas a un trinomiocualquiera, para determinar si estrinomio cuadrado perfecto.


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(3x) (2x) = (3) (2) x1+1 = 6x2

2x 2x (2x + 3y + 6) = 4x2 + 6xy + 12x

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:1. Confunde el algoritmo de la división con el de la multiplicación.

2. Desconoce el algoritmo de la división de polinomios.

3. Dificultad al aplicar la regla de diferencia de cuadrados.

4. Tiene problemas para identificar las dimensiones de un cuadrado o unrectángulo.

5. No identifica la diferencia de cuadrados y no puede factorarla.

6. No identifica cuando un trinomio es cuadrado perfecto.

7. Desconoce las reglas de un trinomio cuadrado perfecto.

8. Confunde las reglas de los diferentes trinomios factorizables.

Actividad 1 Reforcemos saberes previos


Para abordar la multiplicación de expresiones algebraicas se necesita un dominio en los

aspectos siguientes: Ley de los signos Ley de los exponentes. Productos:

1) Monomio por monomio2) Monomio por trinomio3) Binomio por binomio4) Trinomio por binomio

1) Monomio por monomioEncontremos el área del rectángulo siguiente:

Multipliquemos los monomios:

a) a3 x a5 d) (3a3)( 4a2) g) (a2b3)(ab)

b) b4 x b2 e) (5c2)(8c7) h) (4x5y3)(2x4y5)

c) -p7 x p3 f) (2x4)(-3x3) i) (-3m2n3)(8m4n4)

2) Monomio por trinomioEncontremos el área de los rectángulos siguientes:

2x 3y 6

2x

3x


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(a + b) (a + b) = a + ab + ab + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

3x + 2

3x + 29x2 + 6x

+ 6x + 49x2 + 12x + 4

Cuando multipliquemos un monomio por un polinomio usamos la propiedad distributiva.En la forma siguiente

3m ( 5m2 + 4m + 8 ) = 15m3 + 12m2 + 24m

Encontremos el resultado de los productos siguientes

a) 3a3 (2a + b - 4) c) 4m3 (3m2 - mn - 8)

b) 7x5 (6x2 –xy – 3) d) xy5 (6x5 –xy – 7)

3) Binomio por binomio

Para multiplicar dos polinomios también aplicamos la propiedad distributiva, perofacilitar podemos colocar los polinomios de la manera siguiente.Multiplicar (3x + 2) (3x + 2)

Encontremos el producto de los binomios siguientes

a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n)

b) (5p – 3) (5p – 3) e) (2x – 3) (2x + 3)

c) (2y + 3)2 f) (5x + 6) (5x - 6)


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x + 3

x + 3x2 + 3x

3x + 9x2 + 6x + 9

4) Trinomio por binomio

Se efectúa en forma similar al binomio por binomio. Recuerda que debes colocar lostérminos semejantes en una sola columna, para sumar o restar con facilidad.

Como observarás, es más complicado multiplicar dos trimonomios, sin embargo, en eltrascurso de la historia, los matemáticos han dedicado mucho tiempo para buscar lamanera de resolver más fácilmente y con mayor rapidez un mismo problema, asídespués de efectuar muchos ejercicios similares llegaron a la conclusión que enalgunas ocasiones no es necesario hacer la multiplicación sino solo aplicar una reglaque permite encontrar el resultado rápidamente.

Las multiplicaciones que se pueden efectuar mediante el uso de reglas se llamanproductos notables.

Actividad 2: Encontremos el cuadrado de un binomio


Recordemos que para calcular el área de un cuadrado multiplicamos lados por lado. Así

para encontrar el área de un cuadrado cuyas medidas desconocemos, tendríamos:x

A = x. x

x A = x2

Si a dicho cuadrado le aumentamos 3 unidades por lado, y deseamos calcular el áreade la figura obtenida tendremos:

x 3 x 3

x x

3 3

Efectuando la multiplicación para obtener el resultado tenemos:

El área del cuadrado que mide (x + 3) de lado es x2 + 6x + 9


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Se puede comprobar gráficamente que la respuesta obtenida es correcta. Obtenemosel siguiente cuadrado dividido en 4 regiones, obtenemos el área de cada una de ellas yluego sumamos para encontrar el área del cuadrado.

x 3x 3 3

3

x x + x + x + 3

3 x2 + 3x + 3x + 9

6x

Si analizamos nuestra respuesta observamos que al elevar al cuadrado un binomio(x + 3)2 obtuvimos un trinomio, x2 + 6x + 9, como resultado.

El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio al que llamaremostrinomio cuadrado perfecto.

Veamos ahora la relación que existe entre los términos del binomio y los del trinomio

Aplica la regla para elevar al cuadrado los siguientes binomios,

a) (2x + 5)2 = c) (7m + 1)2 = e) (3p2 + 4)2 =

b) (4y + 2)2 = d) (2x + m2)2 = f) (2a3 + 4b4)2 =

El cuadrado del primero

más

el doble producto del primero por el segundo

más

el cuadrado del segundo

es igual

El primero más el segundo

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9


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Ya conocemos la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades,apliquémosla para elevar el cuadrado la diferencia de dos cantidades.

a) (x + y)2 = d) (x - y)2 =

b) (a + 4)2 = e) (a - 4)2

c) (5m - 2)2 = f) (4a3 - 2b5)2 =

Actividad 3: Encontremos binomios conjugados


El producto de la suma y diferencia de dos términos, no constituye un binomio elevadoal cuadrado debido a que los factores no son iguales, puesto que aparece un términocomún pero el otro difiere en el signo (término opuesto). Cuando dos binomios tienen

esta característica se llaman binomios conjugados.Ejemplo:a) (x + y) (x - y)

b) (2x +8 ) (2x - 8)

c) (3 – y) (3 + y)

Observemos el resultado que obtenemos al multiplicar estos binomios conjugados

x + y 2x + 8 3 – y

x - y 2x - 8 3 + y

x2 + xy 4x2 + 32x 9 - 3y- xy - y2 - 32x - 64 + 3y - y2

x2 - y2 4x2 - 64 9 - y2

En todos los casos obtuvimos como respuesta un binomio con las característicassiguientes:

a) Es una diferencia.b) El primero de sus términos es el cuadrado del término común de los binomios

conjugados.c) El segundo de los términos, es el cuadrado de los términos que difieren en el

signo.

Para poder comprobar esta respuesta en forma geométrica. Observa los segmentossiguientes:

x y

Si los sumamos:x + y

Si los restamos:x - y


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Formemos un rectángulo, con la suma como base y la resta como altura.

x - y

x + y

Si colocamos el segundo rectángulo, sobre el primero, tendríamosx - y

y2

x - y x x2

x y

A = (x + y) ( x – y) = x2 – y2

De lo anterior podemos concluir que si multiplicamos dos binomios conjugadosobtenemos una diferencia de cuadrados.

(x + y) ( x – y) = x2 – y2

Binomios DiferenciaConjugados de cuadrados

(2x +8 ) (2x - 8) = 4x2 - 64

El área de este rectángulo es elproducto de la base por la altura.

A = (x + y) ( x – y)


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Aplicando la regla para realizar la multiplicación de los binomios conjugadoEjemplos:

Término común

a) (a – 3) (a + 3) = ( a)

2

- (3)

2

= a

2

- 9

Términos opuestos

Término común

b) (-5 + y) (5 + y) = y2 - 25

Términos opuestos

Ejercicio:Escribe cada binomio su conjugado y escribe el producto.

a) ( y + 2) d) (-p + 6) g) (-2p2 + 8)

b) (3b + 5) e) (3a2 – 4) h) (-3f 4 + 2p3)

c) (2m – n) f) (4a2 + 5b3)

Actividad 4: Dividamos polinomios


Para dividir un polinomio entre otro polinomio se realiza lo siguiente:

a) Tanto el dividendo como el divisor se escribe en orden descendente en funciónde una de las variables que aparece en ambos polinomios.

b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y seobtiene el primer término del cociente.

c) Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenidose le resta del dividendo.

d) El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y serepite con él los pasos b y c.

e) Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cero o menor que el divisor.

Ejemplo:

Dividir (x2 + 15 –8x) ÷ (3 – x)

Cuadrado deltérmino común

Cuadrado del términoque difiere en el signo

Cuadrado deltérmino común

Cuadrado del términoue difiere en el si no


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Ordenamos en forma descendente, el dividendo y el divisor de acuerdo a losexponentes de la variable. Si el coeficiente de uno de los términos es cero, se deja elespacio.

(x2 – 8x + 15) ÷ ( –x + 3)

Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene

así el primer término del cociente.x2 – 8x + 15 -x + 3

-x

Se multiplica el cociente por el divisor. El producto se resta del dividendo (cambiandolos signos de cada uno de los términos).

x2 – 8x + 15 -x + 3-x2 + 3x -x -x(-x +3) = x2 - 3x

Luego, se reducen términos semejantes para obtener el primer residuo.

x2 – 8x + 15 -x + 3-x2 + 3x -x

- 5x + 15

Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cuyo mayor exponente sea menorque el mayor exponente del divisor.

x2 – 8x+15 -x + 3

-x2 + 3x -x + 5- 5x + 15

5x - 15 R/ –x + 50

Ejercicio:Dividir los polinomios

a) (5x + x2 + 6) ÷ (2 + x) c) (w2 – 11wx – 102x2) ÷ ( w – 17x)

d) (m2 +2m + 1) entre ( m3 – 7) d) (-7x2 +12 –16x + 10x3) ÷(5x –6)

Actividad 5: Factoremos diferencias de cuadrados


Recordemos que al multiplicar binomios conjugados, obtenemos como resultado unadiferencia de cuadrados

(x + y) ( x – y) = x2 – y2

x x

x

2


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Ejemplo:Factorar: 9x2 – 144

a) Calculamos la raíz cuadrada de cada término9x2 – 144

b) Escribimos el resultado formando dos binomios, uno corresponde a la suma de lasraíces y el otro, a la resta.

(3x + 12) (3x – 12)

El resultado de la factorización es:9x2 – 144 = (3x + 12) (3x – 12)

Ejercicio:Factorar las expresiones siguientes:

a) 16 – x6 d) 4m8 – 121n4 g) 25x2 – (5 + x)2

b) b8 – 49 e) 25x2 – 36y2 h) (x – y)2 – (x – 1)

c) 1 – a4 f) 4 – (x – 2)2 i) (a + 1)2 - 4

Actividad 6: Factoremos trinomios cuadrados perfectos


Hemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre detrinomio cuadrado perfecto.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un productode dos binomios iguales. Antes de averiguar como encontrar dicho binomio debemosidentificar si es un trinomio cuadrado perfecto o no.

Para comprobar si el trinomio 36x2 + 100y2 - 120xy es cuadrado perfecto, se procedede la forma siguiente:

x x 39 2

12144 x x 39 2

12144

Trinomio cuadrado perfecto


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a) Ordenamos el trinomio en forma decreciente respecto a una de las variables

36x2 + 100y2 - 120xy 36x2 - 120xy + 100y2

b) Extraemos la raíz cuadrada al primero y al tercero de sus términos

36x

2

- 120xy + 100y

2

6x 10y

c) Verificamos si el segundo término es el doble producto de las raíces obtenidas.

36x2 - 120xy + 100y2

2 (6x)(10y) = 120xy

Concluimos que el trinomio 36x2 - 120xy + 100y2 es cuadrado perfecto

Ejemplos:

Factorar:

a) 9 + x2 - 6x b) p2 + 4p + 16

Ordenamos los trinomios

x2 - 6x + 9 p2 + 4p + 16

2(x)(3) = 6x (son iguales) 2 (p)(4) = 8p (no son iguales)

Es trinomio cuadrado perfecto No es trinomio cuadrado perfecto

Cuando se comprueba que el trinomio es cuadrado perfecto, se forma un binomio conlas raíces obtenidas y el signo del segundo término. El binomio se eleva al cuadrado.

x2 - 6x + 9 = ( x - 3 ) 2

x 3


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Entonces: x2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)

Ejercicios:Factorar los siguientes trinomios.

a) x2 + 12x + 36

b) 1 + 20n + 100n2

c) 25p2 + 90p + 81

d) 4 – 16x2 + 64x2

e) -14x + 49 + x2

f) y2 – 2y – 15

g) X4 + 5x2 + 4

h) m2 – 9m + 20

i) -2 + 3x + x2

Fuente de información: Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M.Dewar Editorial Mc Graw Hill.

Algebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert LernerPrentice Hall Hispanoamericana, S.A.


Bloque decontenido: Álgebra

Contenidos:Ecuacioneslineales

Indicador de logro:

9.6 (8ª grado) Resuelve problemas utilizandoecuaciones enteras de primer grado conuna incógnita, en colaboración de suscompañeros

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem1. Se equivoca en la reducción de términos semejantes aplicando inadecuadamentela ley de signos.

2. Efectúa mal la multiplicación de un monomio por un polinomio.

3. No interpreta adecuadamente los axiomas de la igualdad.

4. Desconoce el algoritmo de resolución de ecuaciones de primer grado con unaincógnita.

5. Dificultad para traducir el problema a un leguaje matemático.

Actividad 1: Resolvamos problemas y ejercicios que involucran el

planteamiento y solución de una ecuaciónDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad

Para resolver problemas que involucran el planteamiento y solución de ecuaciones, serecomienda:

Presentar situaciones que motiven al estudiante a encontrar ciertos valoresdesconocidos que cumplan una condición determinada y plantear el algoritmo desolución de ecuaciones.


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Ejemplos:

1) Hacer los siguientes cálculos:

a) ¿Qué número debe sumarse a 7 para que el resultado sea 20?

b) ¿Cuál es el número, si el triplo es 120?

c) ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo disminuido en 10, es 100?

2) Expresar en leguaje matemático:a) el número aumentado en tres (la edad dentro de tres años) x + 3

b) el número disminuido en siete ( la edad hace 7 años) x - 7

c) el triple del número (el triple de la edad) 3x

d) la mitad del número (la mitad de la edad)2

x ó x

2

1

e) el cuadrado del número (cuadrado de la edad) 2 x

f) la quinta parte del número disminuido en dos es 25

x

g) un quinto del número disminuido en dos es )2(51 x

3) Efectuar operaciones aplicando los axiomas de igualdad para los números reales:

Dado 38 x , multiplicar ambos miembros por tres

3833 x

83 x , sume x a cada miembro

83 x x x

4) Resolver ecuaciones aplicando los axiomas de igualdad:

12

32 x

x

1

2

32 x

x , multiplicando por 2 cada uno de los términos

)1(22)32(22 x x ,

264 x x , restando x a cada miembro

664 x x x x , reduciendo términos semejantes

263 x , sumando 6 a cada miembro

6263 x , reduciendo términos semejantes

, reste 6 a cada miembro

, divida entre 2 cada término de la ecuación


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83 x , multiplicando ambos miembros por un tercio

),8(3

1)3(

3

1 x

Luego:

Al aplicar los axiomas en ambos miembros de la igualdad y despejar la variable, sepuede inducir al estudiante a que realice procesos de transposición de términos de unmiembro a otro de la igualdad.

Ejercicios:Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 173 x x

b) 2134 x x x

c) 371532 x x x

d) 1433

72

2

75

x

x x

Actividad 2: Resolvamos problemas


Analiza las condiciones de cada problema y observa la forma de resolver.

1) La edad actual de una madre es 5 veces la del hijo, dentro de 5 años será tres vecesla del hijo. Hallar la edad actual del hijo.

Solución: ¿Qué busco? La edad actual del hijo.

Identifiquemos las variables

La edad actual del hijo es: x

La edad actual de la madre (5 veces la del hijo) es: 5x

Transcurridos 5 años

La edad del hijo será: x+5

La edad de la madre será: 5x+5

Tres veces la edad del hijo: 3(x+5)

Si la edad de la madre después de 5 años es 3 veces la edad del hijo, la condición de

igualdad es: 5x + 5 = 3(x + 5)

Otra forma de plantear el problema

Edades iniciales Edades después de 5 años Condición deigualdad

x, edad del hijo x + 5, edad del hijo

5x + 5 = 3(x + 5) 5x, edad de la madre 5x + 5, edad de la madre

3

8 x


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Resolvemos la ecuación:

5x + 5 = 3(x + 5)

5x + 5 = 3x + 15

5x - 3x = 15 – 5 Transponiendo los términos

2x = 10 Reduciendo términos semejantes

x = 5 Dividiendo entre 2

R: La edad actual

actividades matematica ii 2010

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