INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

“MODELADO DE UN RADAR DOPPLER DE PULSOS (PDR).”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS P R E S E N T A:

ING. MARCIAL ARRAMBÍ DÍAZ

BAJO LA DIRECCIÓN DE:

DR. MIGUEL A. ÁLVAREZ CABANILLAS

JUNIO 2005 TIJUANA, B.C., MÉXICO

A mi mamá, Elizabeth,

mujer de fortaleza inigualable.

A mi papá, Marcial,

ejemplo de lucha cotidiana.

AGRADECIMIENTOS

A mis padres, Marcial y Elizabeth, y mis hermanas, por su apoyo incondicional, sus consejos, su constante preocupación, sus palabras de aliento y esencialmente por su cariño.

A mi amor, Myrna, por su amor principalmente, su comprensión y su apoyo en todo momento.

A toda mi familia, en especial a mis tíos, Pay y Rocío, por abrirme las puertas de su casa y apoyarme siempre que los necesite.

Al Dr. Miguel A. Álvarez Cabanillas, por sus enseñanzas, su dedicación, su pasión y su constante preocupación e interés en el desarrollo de mi formación.

A la comisión revisora, García, Tapia, Calvillo y Hernández, por sus consejos y sus criticas que fortalecieron en la realización de este trabajo.

Al Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnología Digital, al Instituto Politécnico Nacional y a sus trabajadores, por abrirme las puertas y recibir el apoyo necesario para

desarrollar este trabajo.

A COFFA, por haberte otorgado un apoyo económico indispensable para llevar a cabo esta travesía.

A Blanca Becerra, por su apoyo en la revisión de la redacción de este trabajo.

A mis amigos, Nick, Omar y Jesús, principalmente por brindarme su amistad.

A mis buenos compañeros del CITEDI.

Í N D I C E Página

Lista de Figuras i Lista de Tablas iii Símbolos y Acrónimos iv Resumen v Abstract vi Objetivo vii Introducción 1 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE RADAR 1.1 Operación del radar 3 1.2 Diagrama a bloques del radar de pulsos 4 1.3 Aplicaciones de radar 6 1.4. Frecuencias de radar 7 1.5. Modulaciones empleadas en radar 7 CAPÍTULO II PARÁMETROS DE ANTENAS

2.1 Fundamentos de radiación 13 2.2 Dipolo corto eléctrico 14 2.3 Dipolo de media longitud de onda 19 2.4 Arreglos de antenas 24 2.5 Antenas parabólicas 29

CAPÍTULO III PROPAGACIÓN EN LA ATMÓSFERA

3.1 Pérdidas por espacio libre 35 3.2 Atenuación por absorción de gases atmosféricos 36 3.3 Atenuación por lluvia. 38 3.4 Otras pérdidas 39

CAPÍTULO IV INTERACCIÓN Y RECEPCIÓN DE LA SEÑAL

4.1 Sección Transversal de Radar (RCS) 41 4.1.1 Definición de la RCS 42 4.1.2 Métodos de predicción de la RCS 43 4.1.3 RCS de objetos simples 43

4.2 Relación señal a ruido 47 4.3 Detección del blanco en presencia de ruido 52

4.3.1 Probabilidad de falsa alarma 56 4.3.2 Probabilidad de detección 56

CAPITULO V DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA, VELOCIDAD Y POSICIÓN

5.1 Determinación de la distancia de un blanco 58 5.1.1 Códigos Barker 59 5.1.2 Análisis del radar de pulsos para determinar la distancia 61 5.1.3 Ambigüedad en la distancia 62 5.1.4 Resolución en distancia 63

5.2 Determinación de la velocidad de un blanco 67 5.2.1 Determinación de la velocidad mediante el radar MTI 71 5.2.2 Determinación de la velocidad mediante la correlación 73

5.3 Determinación de la posición 76 CAPÍTULO VI ESTIMACIÓN DE LA POSICIÓN MEDIANTE EL FILTRO KALMAN

6.1 Filtro Kalman en tiempo discreto 81 6.1.1 Representación matricial del modelo del sistema 81 6.1.2 Representación matricial del modelo de la medición 82 6.1.3 Ecuaciones del filtro Kalman 83

6.2 Aplicación del filtro en la estimación de trayectorias 84 6.2.1 Modelo dinámico del blanco con velocidad constante 84 6.2.2 Modelo de la medición de la posición 85

6.3 Algoritmo de la estimación de la posición y la velocidad mediante el filtro Kalman 86

6.3.1 Trayectoria lineal 87 6.3.2 Trayectoria curva 91

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS 94 APÉNDICE A Descripción de los rangos de frecuencias en las bandas UHF, L, S, C, X, KU, K, Ka. 97 APÉNDICE B Introducción al filtro acoplado 98 APÉNDICE C Análisis del radar MTI para la identificación de objetos en movimiento 101 APÉNDICE D Determinación de la distancia de un blanco con un radar de pulsos. 107 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA 113

i

Pag.LISTA DE FIGURAS Fig. 1.1 Principio básico del radar. 3 Fig. 1.2 Diagrama de bloques de un radar de pulsos convencional con un receptor

superheterodino. 4

Fig. 1.3 Generación de AM: (a) Ejemplificación de un modulador de AM. (b) Produciendo la señal modulada en el dominio del tiempo.

8

Fig. 1.4 Ejemplo de un circuito modulador de AM denominado modulador de emisor de onda de salida.

9

Fig. 1.5 Espectro de frecuencia de una señal modulada en amplitud. 9 Fig. 1.6 Modulador de FM. Oscilador controlado por voltaje (VCO). 10 Fig. 1.7 Representación de las señales en FM en el dominio del tiempo. 11 Fig. 1.8 Relación de la fase de salida contra el tiempo para un modulador BPSK. 12 Fig. 1.9 Modulador de cambio de fase binaria. 12 Fig. 2.1 Representación del dipolo corto en sistemas de coordenadas esféricas. 14 Fig. 2.2 (a) Gráfica polar del patrón de radiación del dipolo corto. (b) Grafica en 3D. 19 Fig. 2.3 Antena de Media Longitud de onda. 20 Fig. 2.4 (a) Gráfica polar del patrón de radiación de una antena Dipolar de media longitud

de onda. (b) Gráfica en 3D. 22

Fig. 2.5 (a) Grafica polar y 3D del patrón de radiación para un dipolo de 3 2L λ= . (b) dipolo de 5L λ= .

24

Fig. 2.6 (a) Arreglo de dos dipolos cortos. (b) Arreglo de N dipolos cortos. 25 Fig. 2.7 Patrones de radiación para arreglos de dos antenas (dipolos cortos) separadas a

una distancia d con fase cero. 28

Fig. 2.8 Patrones de radiación para arreglos de 3 dipolos cortos separadas a una distancia d λ= variando la fase.

28

Fig. 2.9 Patrones de radiación para arreglos de diferente número de antenas (dipolos cortos) separadas a una distancia d λ= y con fase cero.

29

Fig.2.10 Análisis de los campos en una antena parabólica con fuente. 29 Fig.2.11 (a) Patrón de radiación de una antena parabólica con campo constante con un

radio a=0.5 y una frecuencia de 2Ghz. (b) gráfica en 3D. 33

Fig.2.12 Angulo sólido y ancho del lóbulo de una antena directiva. 34 Fig. 3.1 Atenuación específica del oxígeno y el vapor de agua. 37 Fig. 3.2 Atenuación por lluvia a los 10,30 y 100 GHz en función de la intensidad de lluvia. 39 Fig. 4.1 Geometría de un cilindro circular. 44 Fig. 4.2 Gráfica del comportamiento del RCS con respecto al ángulo de reflexión para un

cilindro de dimensiones 1 ; 3r mts H mts= = . 45

Fig. 4.3 (a) Cono truncado. (b) Definición del ángulo medio del cono. 45 Fig. 4.4 RCS para un cono truncado de dimensiones H = 10mts, r1 = 0.5mts, r2 = 5mts en

función del ángulo de incidencia. 47

Fig. 4.5 Representación de la introducción de los parámetros en el programa y despliegue de resultados.

51

Fig. 4.6 (a) SNR vs distancia para 2 blancos diferentes. (b) Ancho de pulso vs SNR requerida para tres diferentes valores de detección.

52

Fig. 4.7 Diagrama simplificado del detector de envolvente y del bloque de decisión umbral. 52 Fig. 4.8 Funciones de densidad de probabilidad de Rayleigh y Gaussianas para diferentes

valores de desviaciones estándar. 55

Fig. 5.1. Autocorrelación del código Barker. 60

ii

Pag.

Fig. 5.2 (Sistema de radar de pulsos utilizando códigos Barker que ejemplifica la determinación de la distancia a la que se encuentra el blanco.

61

Fig. 5.3 Representación de la señal transmitida y la señal recibida. 62 Fig. 5.4 Tren de pulsos transmitidos y recibidos. 62 Fig. 5.5. Blancos que no pueden ser identificados. 63 Fig. 5.6 Blancos perfectamente identificables. 63 Fig. 5.7 Código Barker N =11. 64 Fig. 5.8 Portadora Modulada en BPSK por el código Barker de longitud 11. 64 Fig. 5.9 Función de correlación del pulso con código Barker. 65 Fig. 5.10 Código Barker recuperado con un error de un bit. 65 Fig. 5.11 Función de correlación para el pulso de la figura 5.10. 66 Fig. 5.12 Algoritmo para determinar la distancia de un blanco. 66 Fig. 5.13 Efectos del movimiento del blanco sobre los frentes de onda. 67 Fig. 5.14 Ilustrando el impacto de la velocidad del blanco en un solo pulso. 68 Fig. 5.15 Ilustrando el impacto de dos pulsos sobre un blanco. 69 Fig. 5.16 Análisis del Diagrama a bloques del radar MTI. 71 Fig. 5.17 (a) señal FM transmitida en el tiempo y su espectro en frecuencias. (b) señal

reflejada en el tiempo y su espectro en frecuencias. 75

Fig. 5.18 Correlación normalizada entre el pulso transmitido y el reflejado. 75 Fig. 5.19 Esquema del diagrama de radiación. 76 Fig. 5.20 Área del lóbulo de radiación donde se encuentra el blanco. 76 Fig. 5.21 Muestra la localización del blanco cuando ocurre el error máximo. 77 Fig. 5.22 Área del lóbulo de radiación donde se encuentra el blanco. 78 Fig. 5.23 Algoritmo para determinar la posición de objetos. 79 Fig. 5.24 Error en los ángulos de azimut y elevación de la posición de un blanco. 80 Fig. 5.25 Error de la posición en metros para diferentes anchos del lóbulo. 80 Fig. 6.1 Algoritmo del filtro Kalman. 86 Fig. 6.2 (a) Trayectoria real del blanco. (b)Trayectoria mediada. 87 Fig. 6.3 Respuesta del filtro (Posición estimada, predicha, medida y real). 88 Fig. 6.4 (a) Residual y error de la posición estimada con respecto la real.(b)velocidad

(verdadera y estimada). 88

Fig. 6.5 Error de la velocidad estimada 89 Fig. 6.6 (a) Trayectoria real del blanco. (b)Trayectoria mediada. 89 Fig. 6.7 (a) Respuesta del filtro (Posición estimada, predicha, medida y real). (b)

Respuesta del filtro después de las 80 iteraciones. 90

Fig. 6.8 (a) Residual y error de la posición estimada con respecto la real.(b) velocidad(verdadera y estimada).

91

Fig. 6.9 Posición verdadera y medida del blanco. 91 Fig. 6.10 (a) Respuesta del filtro (posición estimada, predicha, medida y real). (b)

Respuesta del filtro en los primeros 80 t∆ segundos. 92

Fig. 6.11 (a) Residual y error de la posición estimada con respecto la real.(b) velocidad (verdadera y estimada).

93

Fig. B.1. Representación genérica de un filtro acoplado. 98 Fig. B.2. (a) Señal de entrada al filtro. (b) Respuesta al impulso. 100

iii

Pag.

LISTA DE TABLAS

Tabla 1.1. Bandas de frecuencias del radar.

7

Tabla 4.1. Valores típicos de RCS para distintos blancos.

41

Tabla 5.1 Códigos Barker.

60

iv

SÍMBOLOS Y ACRÓNIMOS τ Pulse Width Ancho de Pulso

λ Wavelength Longitud de Onda µ Magnetic permeability Permeabilidad magnética

ε Electric permittivity Permitividad eléctrica

AM Amplitude Modulation Amplitud Modulada

BPSK Binary Phase Shift Keying Modulacion Binaria de Cambio de Fase

BW Bandwidth Ancho de banda

COHO Coherent oscillator Oscilador coherente

dB Decibel Decibel

FM Frequency Modulation Frecuencia Modulada

GHz Gigahertz [ 910 Haertz] Gigahertz [ 910 Hertz] IF Intermediate Frequency Frecuencia Intermedia KW Kilowatts [ 310 Watts] Kilowatts [ 310 Watts] LSB Lower Side Band Banda Lateral Inferior MHz Megahertz Megahertz MTI Moving Target Indication Indicación de blancos en movimiento MW Megawatts [ 610 Watts] Megawatts [ 610 Watts] PAA Phase Arrays Antennas Arreglos de Antenas en Fase PDR Pulse Doppler Radar Radar Doppler de pulsos PRF Pulse Repetition Frequency Frecuencia de repetición del pulso RADAR Ratio Detection and Ranging Radio detección y medición de la distancia RCS Radar Cross Section Sección Transversal de Radar RF Radio frequency Radio Frecuencia SNR Signal Noise Relation Relación Señal a Ruido STALO Stable local oscillator Oscilador local estable UHF Ultra high Frequency Ultra alta frecuencia USB Upper Side Band Banda Lateral Superior VCO Voltage Controller Oscillator Oscilación Controlada por Voltaje W Watts Watts

v

RESUMEN En este trabajo, se desarrollaron algoritmos para determinar la distancia, posición y velocidad de blancos por medio de técnicas utilizadas en un sistema de radar. Para ello, primeramente se describe el funcionamiento y las características que conforman a un sistema de radar. Además se proporcionan las bandas de frecuencias de operación y algunas de las aplicaciones de este tipo de sistemas. Aunado a esto, se describen técnicas de modulación empleadas en el diseño del radar. Así mismo, se determinan los campos eléctricos y magnéticos radiados por las antenas dipolares, arreglos y los reflectores parabólicos. Mediante los cuales, se calculan los parámetros de antenas. En este contexto, se enfatiza en la obtención de los patrones de radiación de las antenas, ya que la posición relativa de un blanco es obtenida por medio del lóbulo principal de la antena. Por lo cual, el ángulo de media potencia del lóbulo principal de la antena debe ser muy estrecho para obtener el mínimo error en la posición del blanco. Conjuntamente, debido a que el objeto es detectado mediante el nivel de la señal reflejada del blanco, se calcularon las principales atenuaciones ocasionadas por la propagación de la señal en la atmósfera. Presentando resultados de la atenuación por lluvia y por absorción de gases para diferentes bandas de frecuencia. Para determinar la distancia, se obtiene el tiempo de retraso del pulso electromagnético, al viajar de ida y de vuelta en la atmósfera. Este retraso se obtiene mediante la correlación entre la señal transmitida y la reflejada. Ahora bien, la velocidad del blanco es encontrada mediante el cambio de frecuencia que sufre la señal al incidir sobre un blanco en movimiento. Dicho cambio de frecuencia es conocido como Frecuencia Doppler. Esta frecuencia es determinada mediante el efecto Doppler y el sistema de identificación de blancos en movimiento (MTI- Moving Target Indication). Además es utilizada la técnica del Filtro Kalman con el fin de obtener un estimador óptimo de la posición de un blanco, basado en un modelo de mediciones con ruido y el modelo de la dinámica de un blanco con velocidad constante.

vi

ABSTRACT

In this work, algorithms to compute the range, position and velocity of targets were developed by means of different techniques used in radar systems. For this propose radar system operation and characteristics are described. In order, there are provided the operating frequency bands and some applications of the system. Modulation techniques usually used in radar systems design are described. Also, electric and magnetic fields of dipoles, arrays and parabolic reflectors are obtained. Besides that, antennas parameters are calculated. In this context, emphasis was put to obtain radiation patterns of these antennas, since the relative position of target is obtained by means of main beam of the antenna. This means, that narrow directive beams are necessary to obtain the minimal error in target position. Furthermore, since the target detection is made through received signal level of the target, the main atmospheric attenuation was computed. The target’s range is computed by measuring the time delay; it takes a pulse to travel the two-way path between the radar and the target. The time delay is obtained by means of the correlation between transmitted and received signal. Moreover, the target velocity is extracted through of shift in the center frequency of incident signal due to the target motion with respect to the source of radiation. The frequency’s shift is known as Doppler Frequency. This frequency is determined bye means of the Doppler phenomenon and Moving Target Indication System. In addition, Discrete-Time Kalman Filtering algorithm is used for estimating position and velocity of a target. The position of the target is assumed to be measured by a radar at uniform intervals of time T seconds and all measurements are noisy. A dynamic model for constant-velocity target was employed.

vii

OBJETIVO

Modelar y diseñar algoritmos para la obtención de la posición y la velocidad de objetos empleando un radar de pulsos y el efecto Doppler.

1

INTRODUCCIÓN El principio del radar fue expuesto por el escritor norteamericano H. Gernsback en su novela de ciencia ficción a fines de 1911. En 1922, Marconi expuso el principio de reflexión de las ondas electromagnéticas al incidir sobre un obstáculo [28,29] . Appleton en el año de 1924, estudió la reflexión de impulsos electromagnéticos en la ionosfera y un tiempo después, Pierre David localizó mediante este procedimiento un avión en vuelo [28,29] . La invención de los amplificadores de potencia, primero del magnetrón y más adelante del Klystron, abrieron auténticas posibilidades en el desarrollo del sistema de radar. En los años de 1934 y 1935, las investigaciones llevaron a resultados prometedores gracias al alemán R. Kuhnhold y por otra parte al británico Watson Watt, quienes ensayaban dispositivos para la localización de aeronaves en vuelo. Sin embargo, no fue hasta después de la segunda guerra mundial que el uso del radar se generalizó en el campo naval, aéreo y terrestre, tanto militar como civil [28,29] . El término radar es una contracción de las palabras en inglés Radio Detection And Ranging (radio detección y medición de la distancia) [24,28,29] . El nombre refleja la importancia dada por los primeros investigadores en este campo sobre la necesidad de un dispositivo para detectar la presencia de un blanco y la medición de su distancia. Aunque el radar moderno puede extraer más información de la señal reflejada del blanco que su distancia, la medida de ésta es todavía una de sus funciones más importantes. No existe alguna técnica competitiva que pueda medir con exactitud grandes distancias tanto en un clima bueno o adverso tan bien como el radar [28,29] . En el capítulo 1, se introducen muchos de los conceptos básicos del sistema de radar, así como la descripción de su funcionamiento. Además, se proporcionan las bandas de frecuencias de operación y las aplicaciones más importantes de estos sistemas. También se describen algunas modulaciones que son empleadas en los mismos. Enseguida, en el capítulo 2, se obtienen algunos de los parámetros de antena para el dipolo corto y el dipolo de media longitud de onda, los arreglos de antenas y la antena parabólica. Para ello, primeramente se obtuvieron los campos eléctricos y magnéticos radiados por cada una de estas antenas partiendo de la descripción de las ecuaciones de Maxwell. Estos parámetros describen el comportamiento de la energía que radían las antenas en puntos distantes a ellas en un campo lejano. Por lo tanto, se determinaron los patrones de radiación emitidos por las antenas mencionadas. Mas adelante, en el capítulo 3, se calculan las pérdidas que en mayor medida atenúan la señal, cuando se propaga en la atmósfera, y que por consecuencia son capaces de restringir la operación del radar. Las pérdidas consideradas principalmente son las pérdidas por trayectoria, la atenuación por lluvia y la atenuación por la absorción de gases en la atmósfera. Dichas pérdidas son calculadas mediante modelos recomendados por la ITU (International Telecommunications Union).

2

En el capítulo 4, se presenta la descripción de la Sección Transversal de Radar (RCS- Radar Cross Section), la cual proporciona una medida de campo electromagnético dispersado por un blanco hacia el radar, cuando la onda electromagnética incide sobre él. Se determina el nivel de la señal recibida mediante la relación Señal a Ruido (SNR-Signal to Noise Ratio). También se analiza la detección del radar en presencia de ruido, obteniéndose la probabilidad de falsa alarma y la probabilidad de detección de blancos. En el capítulo 5 se determina la distancia, velocidad y posición angular de un blanco mediante un radar de pulsos. La distancia es calculada mediante el tiempo de retraso que le toma a un pulso viajar hacia el blanco y regresar al radar. El tiempo de retraso es obtenido mediante la correlación de la señal transmitida y el eco reflejado. Además, la velocidad del blanco es extraída del cambio en la frecuencia central en la señal reflejada. Dicho cambio es determinado mediante el efecto Doppler y el sistema de identificación de blancos en movimiento. La posición angular de un blanco, específicamente el ángulo de azimut y de elevación, es determinada mediante el lóbulo principal de una antena parabólica. En el capítulo 6, se emplean las técnicas del filtro Kalman en tiempo discreto con el objetivo de encontrar una estimación óptima de la posición y la velocidad de blancos. Primeramente, se describe el modelo del sistema, el modelo de la medición y las ecuaciones del filtro Kalman. Los resultados se obtienen utilizando un modelo dinámico de un blanco con velocidad constante para modelar el sistema.

3

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE RADAR

1.1 Operación del radar

El radar es un sistema electromagnético que sirve para detectar y localizar blancos tales como aviones, barcos, naves espaciales, vehículos, gente y medio ambiente. Su operación consiste en radiar ondas electromagnéticas al espacio y detectar el eco de la señal reflejada del blanco (objetivo) [28,29] . La energía reflejada que regresa al radar no solo indica la presencia de un objeto, puesto que comparando la señal recibida con la señal que fue transmitida, se puede determinar su posición. El radar puede realizar su función a grandes o cortas distancias y puede operar en la oscuridad, neblina, niebla, lluvia y nieve. Su habilidad de medir distancia y velocidad con una alta exactitud y además de proporcionar la imagen del blanco, son unos de sus principales atributos. El principio básico de radar es ilustrado en la figura (1.1). Un transmisor genera una señal electromagnética (como por ejemplo un pulso corto de onda senoidal) que es radiado al espacio por medio de una antena. Una porción de la energía transmitida es interceptada por el blanco y reflejada en muchas direcciones. La energía reflejada del blanco que regresa hacia el radar es capturada por la antena del radar. Enseguida es entregada al receptor, donde es procesada para detectar la presencia de un blanco y determinar su posición. Por lo general, una sola antena es utilizada en sistemas que utilizan como señal una serie de pulsos repetitivos, ya que éstos comparten el tiempo del periodo de repetición de pulsos tanto para transmisión como para recepción. La distancia del blanco se encuentra midiendo el tiempo que se toma en viajar la señal transmitida hacia el blanco hasta que regrese hacia el radar.

TRANSMISOR

RECEPTOR

Señal transmitida

Señal recibida (Eco)

Blanco

Antena

Distancia del Blanco

Detección del Blanco y extracción de la informacion

Fig. 1.1 Principio básico del radar [28]

4

El ángulo de la posición del blanco puede ser encontrado mediante el ancho de lóbulo principal de la antena de radar, cuando la señal recibida tiene máxima amplitud [28,2,10] . Si el blanco está en movimiento, ocurre un cambio de frecuencia en la señal debido al efecto Doppler. Este cambio de frecuencia es proporcional a la velocidad del blanco en relación con el radar (también llamado velocidad radial). El cambio de frecuencia Doppler es muy utilizado en radares para diferenciar blancos en movimiento que se desean localizar, de los objetos estáticos no deseados denominados "clutters", los cuales son reflejados del ambiente natural tales como la tierra, el mar o la lluvia. 1.2 Diagrama a bloques del radar de pulsos La operación de un radar de pulsos será descrita con la ayuda del diagrama a bloques de la figura (1.2). El sistema de radar está compuesto básicamente por dos etapas, la etapa de transmisión y la etapa de recepción. La etapa de transmisión en un radar de pulsos, en general, está compuesta por el amplificador de potencia, antena transmisora (utilizada también para recibir), modulador, oscilador, el duplexor y en ocasiones, dependiendo de la aplicación del radar, de un generador de secuencias [8,24,28] . La etapa de recepción se compone de filtros, amplificador de bajo ruido, mezclador, amplificador de IF, filtro acoplado, demodulador y un amplificador de video. Fig.1.2 Diagrama de bloques de un radar de pulsos convencional con un receptor superheterodino [28] Existen tres tipos de amplificadores de potencia utilizados en estos sistemas, siendo estos: el amplificador Klystron, el oscilador Magnetrón y el amplificador de estado sólido. El Klystron es un amplificador de alta potencia. Una aplicación de este tipo de amplificador es en radares que se utilizan en los aeropuertos, como el Klystron VA-87. Éste trabaja en frecuencias de 2.7 a 2.9 GHz, que es la banda reservada para el control de tráfico aéreo. Este tipo de amplificador puede entregar una potencia pico de 0.5 a 2 MW, una ganancia de 50dB y una eficiencia del 45 % [28] . El Magnetrón es un oscilador de potencia. El oscilador magnetrón ha sido ampliamente utilizado por radares de pulsos que requieren mediana potencia. Por ejemplo, el magnetrón MG5241 construido por EEV de Chelmsford, Inglaterra, se utiliza en radares marítimos. Produce una potencia pico de

DUPLEXOR

Amplificador de Potencia

Generador de formas de Onda

Pulso modulador

Antena

Amplificador de RF de bajo Ruido

Mezclador

Amplific. Filtro De IF Acoplado

demodulador Amplificador de video

Sa

lida Decision

de Umbral

5

12.5 KW con una eficiencia del 43%. Tiene un tiempo de vida útil de hasta 10000 hrs. Su peso es de 625 gr., tiene un volumen aproximado de 315 3cm y opera en una banda de 9.38 a 9.44 GHz [28] . Sin embargo, el amplificador Klystron es preferido cuando es necesaria una alta potencia promedio, así como buena estabilidad para detectar blancos en movimiento. Los amplificadores de estado sólido se caracterizan por operar con bajos voltajes, poseer una alta confiabilidad, tener bajo peso y un volumen pequeño. Esto hace a este tipo de amplificadores ideales para radares móviles. Por ejemplo como los radares que miden la velocidad que utiliza la policía ( Radar Doppler), el altímetro de radar FM-CW, y en radares de vigilancia aérea. Los radares utilizan básicamente tres tipos de modulación: la Modulación en Amplitud (AM), la Modulación en Frecuencia (FM) y la modulación Binaria de Cambio de Fase (BPSK- Binary Phase Shift Keying). En el caso de la modulación AM es poco utilizada ya que es fácilmente contaminada por el ruido. Sin embargo la FM se emplea en radares Doppler y la BPSK se emplea en el radar de pulsos cuando utiliza señales digitales. La antena es la encargada de radiar el campo electromagnético. Los radares pueden utilizar una sola antena o un arreglo de antenas. Cuando se emplea una sola antena se busca que su directividad y ganancia sean altas. Haciendo rotar la antena mecánicamente sobre su eje se puede tener un rastreo de 360o . En el caso de arreglos de antenas, la alta ganancia se logra por la selección de cada antena y por la separación espacial entre ellas y/o la variación de la fase de alimentación. Para este tipo de antenas el movimiento del haz es controlado mecánicamente. Para el caso de arreglos de antenas en fase (PAA-Phase Arrays Antennas), el haz radiado es controlado electrónicamente. Teniendo la ventaja de que los haces pueden cambiar a muy altas velocidades, imposible de lograr mecánicamente, además de poder controlar la ganancia y el ancho de haz. El duplexor es utilizado en el radar de pulsos, ya que éste permite que se use una sola antena en tiempos compartidos tanto para transmisión como recepción. El duplexor es un dispositivo gaseoso que produce un corto circuito a la entrada del receptor cuando el transmisor esta operando, de modo que la alta potencia fluye a la antena. En recepción, el duplexor dirige la señal reflejada hacia el receptor. La función del amplificador de bajo ruido es amplificar la señal de entrada del receptor. Este amplificador debe de introducir el menor ruido posible y proporcionar suficiente linealidad. Cabe señalar, que la señal no llega directamente de la antena. Primero la señal entra a un filtro pasa banda, el cual solo deja pasar la frecuencia de interés. El mezclador convierte la señal RF a una frecuencia intermedia (IF). El amplificador IF es seguido por un diodo de cristal, el cual es llamado segundo detector o demodulador. Su propósito es asistir en la extracción de la modulación de la señal de la portadora. La combinación del amplificador IF, segundo detector y el amplificador de video actúan como un detector de envolvente. La combinación del amplificador de fase y el amplificador de video esta diseñada para proveer suficiente amplificación, o ganancia, para levantar el nivel de la señal de entrada a una magnitud donde ésta pueda ser desplegada en pantalla, como por ejemplo en un tubo de rayos catódicos.

6

A la salida del receptor, el radar decide si un blanco es detectado. La decisión esta basada en la magnitud de la salida del receptor. Si la salida es suficientemente grande para exceder el nivel de umbral predeterminado, la decisión es que un blanco esta presente. Si no cruza el umbral, se asume que solo ruido es el que esta presente. El nivel de umbral se selecciona considerando la probabilidad de ocurrencia de falsas alarmas, las cuales se deben al ruido que es mayor al voltaje umbral. 1. 3 Aplicaciones de radar Existe una variedad extensa de aplicaciones del radar, las cuales día con día van incrementándose. En general, los radares son utilizados en aplicaciones militares, de navegación, seguridad marítima, metereológicas y detección de la velocidad de vehículos. Los campos de aplicación más importantes son los que se indican a continuación [10] . Vigilancia aérea Alarma temprana a larga distancia; intercepción controlada desde tierra; adquisición para sistemas de alarmas; determinación de altitud en radares tridimensionales; vigilancia de aeropuertos y rutas aéreas. Vigilancia espacial y proyectiles dirigidos Alarma de proyectiles dirigidos; adquisición de proyectiles dirigidos; vigilancia de satélites artificiales. Búsqueda de superficie y vigilancia de operaciones militares Búsqueda marina y navegación; topografía; localización de artillería y de morteros; control de movimiento en las pistas de los aeropuertos Radar metereológico Observación y predicción de fenómenos naturales. Seguimiento y guía Control de tiro antiaéreo; control de tiro de superficie; guía de proyectiles; instrumentación a distancia; instrumentación de satélites; aproximación y aterrizaje de precisión. Pueden mencionarse un gran número de aplicaciones no pertenecientes a categorías definidas: alarmas contra intrusos, monitorización de migraciones de aves, control de vehículos terrestres, etc. En todos estos sistemas se aplican los principios básicos de radar, con la apropiada definición de los parámetros de los blancos y de los requerimientos de resolución medida.

7

1.4 Frecuencias de radar Los sistemas de radar trabajan en diferentes porciones de las bandas de frecuencia UHF, L, S, C, X, KU, K , Ka y hasta milimétricas como se muestra en la figura (1.3). En principio estas bandas fueron designadas de esta forma en la segunda guerra mundial como secreto militar, donde el código original de letras era P, L, S, X, y K posteriormente se le añadieron mas bandas [2,28] . Una vez que ya no fue necesario el secreto militar se divulgaron y en la actualidad permanecen estas designaciones. En general los radares trabajan en longitudes de onda entre 100 cm o mayores, hasta 10 –7mts o menores, lo cual en frecuencia sería aproximadamente de menos de 1 GHz, hasta mayores de los 100 GHz [10,28] . Sin embargo no existen límites fundamentales para las frecuencias de radar. Cualquier dispositivo que detecte y localice blancos por medio de la radiación electromagnética y utilice el eco devuelto por el blanco puede ser clasificado como un radar, cualquiera que sea la frecuencia utilizada. En el apéndice A se encuentra una descripción mas detallada de los rangos de frecuencia utilizadas en cada banda.

Tabla 1.1 Bandas de frecuencia del radar 28 1.5 Modulaciones empleadas en radar Los sistemas de radar utilizan básicamente tres tipos de modulación: la modulación en amplitud, la modulación en frecuencia y la modulación Binaria de Cambio de Fase (BPSK- Binary Phase Shift Keying). Una breve explicación de éstas será descrita a continuación.

DESIGNACION DE BANDA

RANGO DE FRECUENCIA (GHz)

LONGITUD DE ONDA (cm)

UHF 0.3 - 1.0 30 -100

L 1.0 - 2.0 15 -30

S 2.0 - 4.0 7.5 - 15

C 4.0 - 8.0 3.75 - 7.5

X 8.0 - 12.0 2.5 - 3.75

Ku 12.0 - 18.0 1.67 - 2.5

K 18.0 - 27.0 1.11 - 1.67

Ka 27.0 - 40.0 0.75 - 1.11

milimétrica 40.0 - 300.0 0.1 - 0.75

8

1.5.1 Modulación en Amplitud (AM) La modulación en amplitud se basa en hacer variar la amplitud de una portadora de frecuencia alta en forma lineal de acuerdo a la variación de amplitud de la señal modulante. La notación de la señal modulada en AM se puede escribir de la siguiente manera [16,32]

[ ] ( )( ) cos(2 ) cos 2am c m m cV t A A f t f tπ π= + , (1.1) donde [ ]cos(2 )c m mA A f tπ+ es la amplitud de la señal modulada, cA es la amplitud de la portadora, mA es la amplitud de la señal modulante, cf es la frecuencia de la portadora y mf es la frecuencia de la modulante. Cabe mencionar que varias formas o variaciones de modulación de amplitud son posibles de generar. Sin embargo, el propósito de este texto es describir la base de la modulación en amplitud. Para ejemplificar la modulación AM en la figura (1.3-a) se muestra la representación de las señales que intervienen en un modulador de AM, así como también, en la figura (1.3-b) se muestra cómo se produce una onda AM a partir de una señal modulante y una portadora. (a) (b)

Fig.1.3 Generación de AM: (a) Ejemplificación de un modulador de AM. (b) Produciendo la señal modulada en el dominio del tiempo [16,32] .

En la figura (1.3.b), se observa que la señal de salida, producida por la portadora y la señal modulante, es la misma portadora sólo que variada en amplitud. Dicha variación es de acuerdo a la señal modulante. La onda modulada de salida contiene todas las frecuencias que componen la señal AM y es utilizada para llevar la información a través del sistema. Por lo tanto, a la forma de la onda de salida se le llama envolvente.

XAM(t)

)2( tfsenA mm π Modulador

de AM

)2( tfsenA CC π

OndaModulada

Portadora

SeñalModulante

e (t)

e c(t)

e m(t)

OndaModulada

Portadora

SeñalModulante

e (t)

e c(t)

e m(t)

9

La figura (1.4) muestra un tipo de circuito modulador de AM. En este tipo de modulador AM, la portadora se le aplica a la base del transistor y la señal modulante al emisor. Por lo tanto, este método de modulación se llama modulación de emisor.

Fig. 1.4 Ejemplo de un circuito modulador de AM denominado modulador de emisor de onda de salida [16,32] . En general un modulador de AM es un dispositivo no lineal, lo que indica que ocurre una mezcla no lineal con las señales y la envolvente de salida es una onda compuesta de un voltaje CD, la frecuencia de la portadora y las frecuencias de suma ( )c mf f+ y de diferencia ( )c mf f− . Por lo tanto, el espectro de la señal AM (ver figura 1.5), contiene frecuencias que van desde ( )maxcf f− hasta ( )maxcf f+ , con la frecuencia de la portadora fc como frecuencia central. Como se puede ver la figura (1.5), la banda de frecuencias entre ( )maxcf f− y fc se le denomina banda lateral inferior (LSB- Lower Side Band) y a la banda de frecuencias comprendida entre fc y fc + fmax se le llama banda lateral superior (USB- Upper Side Band).

Vcc

Señal portadora

Señal modulante

Fig. 1.5 Espectro de frecuencia de una señal modulada en amplitud

Am

plitu

d

fc fc - fm fc + fm frecuencia

LSB USB

Portadora

10

Por otro lado, con la finalidad de que no se pierda la información modulante, se establece lo que se denomina índice de modulación (m, señal arbitraria), que restringe a la amplitud |x (t)| ≤ 1. Dicho índice o factor se denota por

mínmáx

mínmáxmáx)t(x)t(x)t(x)t(x

Ac)t(x

m+−

== . (1.2)

1.5.2 Modulación de Frecuencia Modular en frecuencia una señal significa variar su frecuencia de acuerdo a la variación de amplitud de una señal modulante. La notación de una señal modulada en FM [16,32] es

)2sin2cos()( tfmtfAtS mfcFM ππ += , (1.3) donde Ac es la amplitud de la portadora, fc es la frecuencia de la portadora, mcf ffm ∆= es el índice de modulación y tvkf mc ωcos0=∆ se le llama desviación de frecuencia. Desarrollo de la señal FM. El circuito que genera una señal modulada en FM es el oscilador controlado por voltaje (VCO-Voltage Controller Oscillator), el cual se muestra en la figura (1.6). Este oscilador varía la frecuencia de la señal de salida de acuerdo al voltaje de la señal de entrada.

Fig. 1.6 Modulador de FM. Oscilador controlado por voltaje (VCO) En este caso se muestra que a la salida del VCO se tendrá una señal )(cos tVS CFM θ= , la cual está variando su fase con respecto al tiempo. Por lo tanto, como la frecuencia angular de salida está dada por

ωωω ∆+= Csalida , (1.4) donde cc fπω 2= y que la desviación de frecuencia angular esta dada por

tvk mm ωπω cos2 0=∆ . Entonces

)(cos tVS CFM θ=salida

K0 (Hz/V)

Vco (Oscilador

controlado por voltaje)

tVtS CCC ωcos)( =

)(0 tVKff mc +=

tVtS mmm ωcos)( =

VCO

11

fm = 1/Tm Tm

Porta

dora

Se

ñal

Mod

ulan

te

Frec

uenc

ia M

odul

ada

tvkf mmCC ωππωωω cos22 0+=∆+= . (1.5) Como la frecuencia angular no varía linealmente con respecto al tiempo, tenemos que la frecuencia angular se puede expresar como

dtdθω = . (1.6)

Igualando estas ecuaciones obtenemos,

tVkfdtd

mmoC ωππθ cos22 += ,

tdtvkdtfd mmC ωππθ cos22 0+= , tdtvkdtft

mmc∫ ∫+= ωππθ cos22)( 0 . (1.7) Desarrollando la integral queda,

tffVskKtft mm

C ππθ 2sin2)( 0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= . (1.8)

Por lo tanto sustituyendo ( )tθ en la señal de salida del VCO obtenemos la forma de la señal modula en FM [16,32] denotada por

)2sin2cos()( tfmtfAtS mfcFM ππ += . (1.9) La figura (1.7) muestra cómo se produce la señal de FM a partir de la portadora y la señal modulante. Se observa que la frecuencia de la señal FM incrementa cuando el voltaje de la señal modulante aumenta y viceversa.

Fig. 1.7 Representación de las señales en FM en el dominio del tiempo [16,32] .

12

BPSK

Oscilador contralado por cristal

1 0 0 1 1 0 0 1

BPSK

Oscilador contralado por cristal

1 0 0 1 1 0 0 1

Fig. 1.9 Modulador de cambio de fase binaria

1.5.3 Modulación BPSK La modulación de cambio de fase binaria (BPSK- Binary Phase Shift Keying), como su nombre lo indica, se basa en cambiar la fase de la portadora de salida entre dos ángulos, (0o y 180o), conforme una señal digital cambia de estado [16,32] . Es decir, en este tipo de modulación son posibles dos fases de salida para una sola portadora. Una fase de salida representa un 1 lógico y la otra un 0 lógico. Entonces, la representación de la señal de acuerdo a la entrada binaria es la siguiente

( ) ( )cos 1t cS t A w t Binarioπ= + , (1.10) ( ) ( )cos 0 0t cS t A w t Binario= + . (1.11)

Como se muestra en la figura (1.8), cuando la entrada binaria es un 1 lógico, la fase de la portadora no cambia, sin embargo, cuando la entrada binaria es un 0 lógico, la portadora de salida está desfasada 180o.

Fig. 1.8 Relación de la fase de salida contra el tiempo para un modulador BPSK. El circuito modulador de BPSK [16,32] se muestra en la figura (1.9). Este circuito se basa principalmente en un arreglo de diodos que, dependiendo del voltaje de la señal de entrada estos diodos serán polarizados inversa y directamente, logrando que la señal de salida se desplace entre dos ángulos.

EntradaBinaria

1 1 1 1 10 0

Portadora

SalidaBPSK

EntradaBinaria

1 1 1 1 10 01 1 1 1 10 01 1 1 1 10 0

Portadora

SalidaBPSK

13

CAPÍTULO II

PARÁMETROS DE ANTENAS La antena es la encargada de radiar el campo electromagnético en un sistema de radar. Los radares pueden utilizar una sola antena o un arreglo de antenas. Cuando se emplea una sola antena se busca que tengan directividad y ganancia altas. En este capítulo se analizan el dipolo corto, el dipolo magnético, los arreglos de antenas y la antena parabólica, mediante la obtención de algunos de sus parámetros como la directividad, potencia radiada, patrón de radiación y ganancia. 2.1 Fundamentos de radiación Los fenómenos de radiación de una antena y de propagación de ondas son fenómenos electromagnéticos, y como tales, se rigen por las ecuaciones de Maxwell que relacionan campos eléctricos y magnéticos con las fuentes (corrientes y cargas). Las ecuaciones de Maxwell asumen la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz, las cuales transportan información. Por lo tanto, los fenómenos electromagnéticos se pueden describir a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell [27]

Ley de Ampere DH Jt

∂∇× = +

∂, (2.1)

Ley de Faraday BEt

∂∇× = −

∂, (2.2)

Ley de Gauss D ρ∇ • = , (2.3) Ley de Gauss para 0B∇ • = , (2.4) campo magnético donde E es el campo eléctrico, H es la intensidad del campo magnético, D es el desplazamiento del campo eléctrico, B es la inducción magnética, J es la densidad de corriente, ρ es la densidad de carga. En el espacio libre el desplazamiento del campo eléctrico y la inducción magnética se definen como

oD Eε= , (2.5)

oB Hµ= , (2.6) definiendo a o oyε µ como la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética.

14

aø

aθ

ar

r

ø

θ

Idl y

z

x

De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuación de continuidad. Para ello se deduce la divergencia de la ley de Ampere. Teniendo en cuenta que la divergencia del rotacional es cero, se obtiene la relación entre las cargas y las corrientes.

0DJt

∂∇ •∇ • + =

∂ (2.7)

0Jtρ∂

∇ • + =∂

(2.8)

Las ecuaciones de Maxwell se escriben en forma integral [27] como

S v

D dS dvρ• =∫ ∫ , (2.9)

0S

B dS• =∫ , (2.10)

.s

E dl B dst

∂• = −

∂∫ ∫ , (2.11)

.s s

H dl J dS D dst

∂• = • +

∂∫ ∫ ∫ . (2.12) 2.2 Antena Dipolo Corto Un dipolo corto es un elemento de corriente de longitud L, recorrido por una corriente uniforme, cuyas dimensiones son pequeñas comparadas con la longitud de onda. El tamaño de esta antena se define típicamente por / 50L λ> hasta /10L λ≤ [1,7,6] . Debido a esto, la corriente se considera constante. La mayor parte de las antenas a frecuencias inferiores a 1 MHz se comportan como dipolos cortos, dado que a esa frecuencia la longitud de onda es de 300 mts. Esta antena es el caso más simple de radiación de ondas electromagnéticas, sin embargo, no corresponde a ningún caso real, pero se trata de un caso límite que se puede usar para el análisis de antenas reales mediante superposición. Fig. 2.1 Representación del dipolo corto en sistemas de coordenadas esféricas Para encontrar el campo eléctrico y campo magnético que radia el dipolo corto, suponemos que por él circula una corriente armónica uniforme definida en notación

15

fasorial como ( ) jwtoI t I e= (ver figura 2.1). De acuerdo a esto el potencial vectorial magnético creado por el dipolo [1,6,15] será

( ) ' '( , ) ( ') ˆ,4 4

o o

V C

j r t I tA r t dV zdzR r

µ µπ π

= =∫ ∫ , (2.13) donde hemos pasado de una integral de volumen a una integral de línea. Considerando que para la fuente de un dipolo corto el potencial vectorial tiene solo componentes en z, y como r’ = 0 y la corriente no depende de r’ queda

0 0 ˆ4

ojk rz z

I LA e ar

µπ

= . (2.14)

El potencial vectorial zA es una onda esférica propagándose hacia fuera con su amplitud decreciendo inversamente con la distancia. Debido a que la dependencia funcional del potencial vectorial zA es con respecto a la distancia, es conveniente pasarlo a coordenadas esféricas, por lo tanto

( )0 0 ˆ ˆcos sin4

ojk rz r

I LA e a ar θ

µ θ θπ

−= − . (2.15)

El potencial vectorial puede ser definido a través de la ecuación de Gauss para la inducción magnética B , la cual muestra que la divergencia de B es igual a cero: 0B∇ • = .Por lo tanto B puede ser expresado como

B A= ∇× . (2.16) Porque 0A∇ •∇× ≡ , donde A es llamado potencial vectorial. La ecuación (2.16) expresa que la inducción magnética es igual al rotacional del potencial vectorial. Como en el espacio libre la inducción magnética es el producto de la permeabilidad magnética por el campo magnético oB Hµ= , entonces tenemos que

1

o

H Aµ

= ∇× . (2.17)

Entonces sustituyendo la ec. (2.15) en la ec. (2.17) obtenemos

( )0 01 ˆ ˆcos s n4

ojk rr

o

I LH e a a er θ

µ θ θµ π

−⎛ ⎞= ∇× −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (2.18)

16

donde el rotacional del potencial vectorial [6,15] esta definido por

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0

0

r r

rr

a ra rsen a a ra rsen a

Ar sen r r

A rAA rA rsen A

θ φ θ φ

θθ φ

θ θ

θ θ φ θθ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇× = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂. (2.19)

Por lo tanto, la ecuación general del campo magnético de un dipolo corto será

2

1 ˆ4

ojk rojkILH sen e ar r φ

θπ

−⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦. (2.20)

Ahora para calcular el campo eléctrico E utilizamos la ecuación de Maxwell para el espacio libre que relaciona el campo magnético con el desplazamiento eléctrico definido por

1

o

DH E Ht jwε

∂∇× = → = ∇×

∂. (2.21)

Resolviendo la ec. (2.21) obtenemos que la ecuación general del campo eléctrico para un dipolo corto es:

2 3 2 3

1 1 1 1 1ˆ ˆcos2 4

jkr jkro or

I L j I LE e a sen e ar jkr r r jkr θ

η ηθ θπ π

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.22)

Debido a que en campo lejano la distancia r es relativamente grande con respecto a la longitud de onda, or λ>> , los términos

21 r y 31 r son demasiado pequeños y por lo tanto, despreciables de la ecuación del campo eléctrico y magnético. Es por ello que las ecuaciones del Campo Eléctrico y Campo Magnético de una antena dipolo corto en campo lejano [6,11,12] son

ˆ4

jkroj I LE sen e arθ θ

η θπ

−= , (2.23)

ˆ4

ojk rjkILH sen arφ φ

θπ

−= . (2.24)

Para completar el análisis de la antena, es necesario calcular la densidad de potencia media que transportan las ondas electromagnéticas generadas por el dipolo corto. Para esto necesitamos el valor medio del vector de Poyting. El vector de Poynting instantáneo representa la potencia radiada por una antena, el cual está definido por el producto cruz del campo eléctrico y del campo magnético,

W E H= × , (2.25)

17

donde W es el Vector de Poynting instantáneo ( )2W m , E es la intensidad del campo eléctrico instantáneo ( )V m , y H es la Intensidad del Campo Magnético instantáneo ( )A m . Por lo tanto el vector de Poynting promedio emitido por una antena es

( )1 Re2W E H= × (2.26) Este vector representa la densidad de flujo promedio de potencia radiada. El vector de Poynting complejo obtenido para el dipolo corto es

22 2 2

2 2

ˆ32

ro

Sen aW I L kr

θηπ

= . (2.27)

Ángulo Sólido. El Ángulo Sólido se mide en steroradianes, donde su vértice está en el centro de una esfera de radio r que es sostenida por una superficie esférica con área igual al cuadrado de r.

22

dAd r sen d dr

θ θ φΩ = = . (2.28)

Intensidad de radiación La intensidad de radiación es la potencia radiada por unidad de ángulo sólido, y esta es obtenida multiplicando la densidad de flujo del vector de Poynting por 2r . Para el dipolo se obtuvo que la potencia radiada por ángulo sólido es

( )2

2 2 2 22

1 ˆRe2 32

rr o

dP Senr E H a I L kd

θηπ

= × ⋅ =Ω

. (2.29)

Potencia Radiada. La potencia media radiada por la antena se calcula mediante el flujo del vector de Poynting a través de una superficie cerrada que contiene a la antena. Es decir, que la potencia transmitida se puede obtener al medir la contribución de cada elemento diferencial sobre una superficie esférica. La potencia radiada está dada por

( )1 1. Re .2 2r s sP W ds E H ds= = ×∫ ∫ , (2.30)

18

donde 2ds r d= Ω es el diferencial de superficie y 22dAd r sen d dr

θ θ φΩ = = es el ángulo

sólido. Por lo tanto, la potencia radiada es determinada por la integral de superficie esférica dada por

( )2

2

0 0

1 ˆRe2r r

P E H r sen d d aπ π

θ θ φ= × ⋅∫ ∫ . (2.31) Para el dipolo corto se obtiene la potencia total radiada integrando la intensidad por ángulo sólido de la esfera,

22 2 22

20 032

or

I L kP Sen Sen d dπ πη θ θ θ φ

π= ∫ ∫ . (2.32)

La integración fue elaborada remplazando 2 2sin 1 cosθ θ= − y se obtuvo que la potencia radiada por el dipolo corto es

2 2 2

212o

rI L kP η

π= . (2.33)

Directividad. La Directividad o Ganancia Directiva de una antena hacia una dirección dada ( ),θ φ , es la intensidad de radiación normalizada entre la intensidad isotrópica [15,30] . En otras palabras, la directividad representa la razón de energía radiada por una antena en una dirección, con respecto a la energía promediada en todas direcciones. La definición de directividad está dada por la ecuación

( ), Potencia radiada por unidad de ángulo sólidoDPotencia radiada promedio por unidad de ángulo sólido

θ φ = ,

( ) ( )( ),

,4 ,

r

r AV

WdP dDP W

θ φθ φ

π θ φΩ

= = , (2.34)

donde ( ) ( )2

0 0

1, ,4AV

W W dπ π

θ φ θ φπ

= Ω∫ ∫ es el promedio y representa una antena con radiación uniforme. La directividad de un dipolo corto es

232

D sen θ= . (2.35)

Ganancia. Por otra parte la Ganancia se define de forma similar a la directividad, excepto que se considera la potencia total de entrada en vez de la potencia total radiada [6,12,30] . La diferencia entre ellas, es la

19

medida de la eficiencia de la antena. Por lo tanto, la ganancia es el factor de eficiencia que define el máximo de la capacidad real de una antena por la directividad de la antena.

( )( )

,,cd cd

AV

WG e D e

Wθ φ

θ φ= = (2.36)

La ganancia para un dipolo corto está dada por

232cd cd

G e D e sen θ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦. (2.37)

Patrón de Radiación. Un parámetro importante de una antena es la distribución espacial de la radiación que emite. La representación gráfica de las propiedades de radiación de la antena en función de las coordenadas del espacio es llamado patrón de radiación [6,12,30] . En la mayoría de los casos, el patrón de radiación es determinado en la región de campo lejano. Éste está definido por la ecuación,

( )( )max

,,at

WP

Wθ φ

θ φ= . (2.38)

El patrón de radiación para un dipolo corto es 2atP sen θ= . La figura (2.2) representa el patrón de radiación del dipolo corto.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

-0.2

0

0.2

(a) (b)

Fig.2.2. (a) Gráfica polar del patrón de radiación del dipolo corto. (b) Gráfica en 3D 2.3 Antena Dipolo de Media Onda Es una antena dipolar de longitud 2L λ= , por lo que cada brazo de la antena mide una cuarta parte de la longitud de onda [6,7] , como se muestra figura (2.3). Es una de las antenas prácticas más simples y generalmente es alimentada mediante una línea de transmisión de dos alambres. Como se vio anteriormente, el dipolo corto es una antena ideal, ya que la corriente no puede ser constante sobre toda su longitud y debe anularse en

20

los extremos. En la antena de media onda la corriente en los extremos abiertos es cero y es por ello que se sabe que la corriente varía a lo largo de la antena.

Fig. 2.3. Antena de Media Longitud de onda La distribución de corriente de una antena de media longitud de onda es aproximadamente sinusoidal de la forma [6,15] ,

0 0

4 4o oI I Cosk z zλ λ= − ≤ ≤ . (2.39)

Para calcular los campos eléctricos y magnéticos suponemos que el dipolo de 2λ esta formado por una sucesión de dipolos cortos de longitud dl , cada uno de los cuales emitirá un campo de radiación

( , ) ' '4

jkrj I z t LdE e sen dlrθ

η θπ

−= , (2.40)

Con 0 0

4 4zλ λ− ≤ ≤ para el caso del dipolo de 2λ .

Como la relación de fases entre las corrientes que alimentan a los distintos dipolos elementales es fija, la antena emite con coherencia de fase. Por lo tanto sumando todos los campos de los dipolos cortos, es decir, integrando de 0 04 4aλ λ−

4 '

4

'2

jkRjwto o

oj eE Cosk z sen dz

R

λ

θλ

η θλ

−

−

Ι= ∫ , (2.41)

donde de la figura (2.3) se puede deducir que ' rR r r a≈ − ⋅ . Resolviendo la integral obtenemos que el campo eléctrico para un dipolo de media onda es

( ) ˆcos cos2 2

j wt kro oj IE e arsen θη π θ

π θ− ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

. (2.42)

r

y

x

dl

coso oI k z←

θ

θ'z

( ),

zI dz2λ

R

r

'r

r

y

x

dl

coso oI k z←

θ

θ'z

( ),

zI dz2λ r

y

x

dl

coso oI k z←

θ

θ'z

( ),

zI dz

r

y

x

dl

coso oI k z←

r

y

x

dl

coso oI k z←

θ

θ'z

( ),

zI dz

θ

θ'z

( ),

zI dz2λ

R

r

'r

21

Con la relación EH θφ η= , se obtiene la expresión del campo magnético para un dipolo de

media onda en un campo lejano, es decir,

( ) cos cos2 2

j wt krojIH ersenφ

π θπ θ

− ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (2.43)

El vector de Poynting calculado para esta antena de acuerdo a sus campos radiados es

2

22 2 2

ˆcos cos8 2

o or

IW ar sen

η π θπ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (2.44)

La potencia radiada se obtiene integrando la ec. (2.44) sobre la superficie de una esfera de radio r para una impedancia intrínseca de 120oη π= , por lo tanto

( )0

22 2

2 20 0

cos cos216

or

IP sen d d

sen

π π π θηθ θ φ

π θ= ∫ ∫ , (2.45)

2 2 215( ) (2 ) 15( )(2.43) 36.56r o o oP I Ci I Iπ= = = , (2.46)

donde

2 4 6

( ) ... 2 ; (2 ) 2.432!2 4!4 6!6x x xCi x conx Ciπ π= − + − = ≈ .

La Directividad de un dipolo de media longitud de onda es obtenida utilizando la siguiente ecuación,

22

20 0

( , )( , )1 ( , )

4

WDW r d

r

π π

θ φθ φθ φ

π

=⋅ Ω∫ ∫

. (2.47)

Sustituyendo la ec. (2.44) en la ec. (2.47), desarrollando la integral y reduciendo la expresión se obtiene

2

2

cos ( cos )2( , ) 1.64Dsen

π θθ φ

θ= . (2.48)

La Ganancia para esta antena será el producto de la eficiencia del conductor y del dieléctrico de la línea de transmisión cde por la directividad de la antena. El factor cde para este tipo de antena se considera unitario. Por lo tanto, la ganancia y la directividad son iguales,

2 2

2 2

cos ( cos ) cos ( cos )2 2( , ) ( , ) 1.64 1.64cd cdG e D e sen sen

π πθ θθ φ θ φ

θ θ= = = . (2.49)

22

Para determinar el patrón de radiación es necesario determinar el vector de Poynting máximo, el cual ocurre en 2θ π= . La gráfica del patrón de radiación para la antena de media onda se muestra en la figura (2.4). Entonces el patrón de radiación para el dipolo será

max

( , )( , )at

WPW

θ φθ φ

= , (2.50)

donde ( , )W Wθ φ = y 2

max 2 2( 2, ) 8IWr

ηπ φπ

= . Por lo tanto,

2

2

cos cos2

atP sen

π θ

θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= . (2.51)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

-0.2

0

0.2

(a) (b) Fig. 2.4. (a) Gráfica polar del patrón de radiación de una antena dipolar de media longitud de onda. (b) Gráfica en 3D. Estos cálculos se extendieron para una antena dipolo de longitud L , donde la corriente para un dipolo de L longitud esta definida por [1,6,12]

02( , )

2jwtLI z t I sen z e

π⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

, (2.52)

donde

2 2L Lz− ≤ ≤ .

23

En este caso se suman todos los campos de los dipolos cortos integrando de 2 2L a L− , es decir,

2 '

2

2 ' '2 2

L jkRjwto o

L

j L eE e sen z sen dzRθ

η π θλ λ

−

−

Ι ⎡ ⎤⎛ ⎞= −∫ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (2.53)

Resolviendo la integral obtenemos la ecuación general del campo eléctrico para una antena dipolar de longitud L como,

cos cos cos2 2 2

jkro oj I kL kLE ersenθη θ

π θ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. (2.54)

Reacomodando términos tenemos

2 cos cos cos2 2 2jkro oj I L kL kLE sen e

r Lsenθη λθ θ

λ π θ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

, (2.55)

donde el primer factor 2

d jkro oj I LE sen erθ

η θλ

= es el campo que generaría un único dipolo

corto de longitud L y ( ) 2, cos cos cos2 2kL kLF L

Lsenλθ θ

π θ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

es un factor de

interferencia que depende del ángulo θ y de la longitud del dipolo L . El vector de Poynting para la antena dipolar de longitud L es

2

2 2

cos cos cos2 2

8o o

kL kLIW

sen

θη

π θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦= . (2.56)

El patrón de radiación normalizado para las antenas dipolares de longitud L es

2

cos cos cosP ( )radnorm

L L

sen

π πθλ λθ

θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦= . (2.57)

En las figuras (2.5.a) y (2.5.b) se presentan el diagrama de radiación polar normalizado5 lineal para diferentes dipolos de longitud L . Se puede observar que conforme la longitud del dipolo es mayor que la longitud de onda, aparecen más lóbulos laterales.

24

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

-1

0

1

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

(a)

5

10

15

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

-50

5

-5

0

5

-5

0

5

(b)

Fig. 2.5. (a) Gráfica polar y 3D del patrón de radiación para un dipolo de 32

L λ= . (b) dipolo de

5L λ= . 2.4. Arreglos de Antenas Un arreglo es una agrupación de antenas alimentadas mediante una terminal común, las cuales radían o reciben de forma simultánea la misma señal [1,7,28] . En la mayoría de los casos, los arreglos de antenas están limitados o restringidos a que el grupo de antenas individuales sean todas iguales y que posean la misma orientación. Por medio de un arreglo es posible obtener un haz más directivo que el que se logra con una sola antena, además de controlar la posición del haz mediante las fases de las antenas. Para ejemplificar los campos radiados por un arreglo de antenas, se analizó la radiación

25

emitida por un par de dipolos cortos separados a una distancia d . Como se puede ver en la figura (2.6 a), se toma un eje de referencia centrado entre las dos antenas sobre el eje z. (a) (b) Fig.2.6. (a) Arreglo de dos dipolos cortos. (b) Arreglo de N dipolos cortos Anteriormente encontramos que la radiación de campo eléctrico de un dipolo corto es

ˆ4

jkroj I LE sen e arθ θ

η θπ

−= . (2.58)

Suponiendo que las corrientes alimentadoras de las antenas son de la misma amplitud pero con un desfase ϕ entre ellas, el campo eléctrico para cada dipolo esta dado por

1ˆ

4rjkroj I LE sen e a

rθ θη θπ

−= , (2.59)

( )

22

ˆ4r

j kroj I LE sen e ar

ϕθ θ

η θπ

− += . (2.60)

Mediante el análisis de la figura (2.6.a) es posible encontrar que para puntos lejanos r d>> obtenemos

1

2cos ˆ4r

jkr jk doj I LE sen e e ar

θθ θ

η θπ

−= , (2.61)

2

2cos ˆ4r

jkr jk d joj I LE sen e e e ar

θ ϕθ θ

η θπ

− −= . (2.62)

El campo eléctrico total

TEθ generado por el arreglo del par de dipolos esta dado por la

suma del campo eléctrico radiado por cada antena [7,30] , como lo indica la siguiente ecuación,

2d

2d

θ

0

1r

2r

r2

d

2d

θ

0

1r

2r

r

θ0

nr

r

d

z

'nr

θ0

nr

r

d

z

'nr

26

1 2T r rE E Eθ θ θ= + . (2.63)

Por lo tanto, después de ciertas manipulaciones matemáticas, el campo total radiado por 2 dipolos cortos separados a una distancia d en el eje z será

22 cos cos4 2

j kroj I L dE e senr

ϕ

θη ϕθ π θπ λ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (2.64)

Por lo que el vector de Poynting es dado por

2 22 22

2 2

2cos cos

16 2o

j krI L dW e senr

ϕη ϕθ π θπ λ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.65)

Arreglos de antenas para N dipolos cortos Ahora bien, para derivar una expresión general para un arreglo de N dipolos cortos situados en línea recta, colocamos el sistema de coordenadas de manera que la posición del n-ésimo radiador de la fila sea: ( )' 1 'jr d n z= − como se observa en la figura (2.6.b). Por lo tanto, la ecuación general del campo creado por un conjunto de dipolos cortos [7,30] es

01

nn

jkRNj

n n nn n

eE E e Sen con R r rR

ϕθ θ

=

= = −∑ , (2.66) donde se supone que cada radiador genera una amplitud 0nE y fase ϕ . Se puede deducir de la figura (2.6.b) que en campo lejano ( 1) cosnR r n d θ≅ − − y por lo tanto la ecuación (2.66) para campo lejano queda

[ ]( 1) cos

1

nN

jk n djkron

n

senE e E er

θ ϕθ

θ − +=

= ∑ , (2.67)

ó [ ]

1cos

000

1; 0nN

jk ndjkron

n

senE e E e con Er

θ ϕθ

θ ϕ−

+

=

= = =∑ . (2.68) Si decimos que estos campos son de igual magnitud y de igual fase, es decir que,

on oE E cte= = y 0cteϕ = = , de la ec. (2.68) obtenemos

1cos0

0

Njkr jnkd

n

EE e sen er

θθ θ

−−

=

≅ ∑ . (2.69)

27

Se puede observar en la ec. (2.69) que la suma se convierte en una serie geométrica, ya que cada término es igual al precedente multiplicado por el factor constante cosjkde θ entonces la sumatoria se puede expresar como

cos1cos 0 cos 2 cos cos

cos0

1...1

NkdNjnkd jkd j kd jnkd

jkdn

ee e e e ee

θθ θ θ θ

θ

−

=

−= + + + + =

−∑ . (2.70) Sustituyendo la ec. (2.70) en la ec. (2.69), es posible encontrar la ecuación general del campo eléctrico para un arreglo de N dipolos en línea recta, cuando los campos de cada antena se asumen de igual magnitud y de fase cero

1 ( 1) cos0 2

cos2

cos2

j N kdjkr

NkdSenEE e sen e

Kdr Sen

θ

θ

θθ

θ

−−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (2.71)

donde el vector de Poynting y patrón de radiación, respectivamente, están dados por

22

22

2

cos

2 cos

o

o

dsen NEW sen

dr sen

π θλθ

η π θλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (2.72)

2

2

cos

cosrad

dsen NP

dNsen

π θλ

π θλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.73)

En la figura (2.7) se muestran los diagramas polares de radiación para un arreglo de dos dipolos con fase igual a cero. Se observa que el ancho del lóbulo principal disminuye a medida que aumenta d λ cuando d λ< , y que aparecen otros lóbulos para d λ> Consecuentemente, se asume que el campo continúa constante pero que la fase varía. Esto se logra desfasando las corrientes alimentadoras de cada radiador. Si la fase crece de forma lineal con la posición de los dipolos, entonces el campo E estará dado por

1 ( 1)( cos )0 2

cos2 2

cos2 2

j N kdjkr

NkdSenEE e sen e

Kdr Sen

θ δ

θ

δθθ

δθ

− +−

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟≅⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, (2.74)

donde δ es la fase variable y el vector de Poynting está dado por

28

22

22

2

cos2

2 cos2

o

o

dsen NEW sen

dr sen

δπ θλθ

δη π θλ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.75)

La presencia del desfase varía la posición de los máximos principales del diagrama de radiación, el cual está dado por

2

2 2

cos2

cos2

dsen NW

dN sen

δπ θλ

δπ θλ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.76)

En la figura (2.8) se obtuvo el patrón de radiación para un arreglo de 3 dipolos, se observa que variando la fase de las corrientes alimentadoras, varía la posición de los lóbulos. En la figura (2.9), se varió el número de antenas del arreglo fijadas a una distancia d λ= y con fase cero, y se vio que los lóbulos eran cada vez más angostos mientras el número de antenas aumentaba.

5d λ=

2d λ= d λ=

Fig.2.7. Patrones de radiación para arreglos de dos antenas (dipolos cortos) separadas a distancias d con fase cero. 0fase = 2fase π= fase π= Fig.2.8. Patrones de radiación para arreglos de 3 dipolos cortos separadas a una distancias d λ= variando la fase.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

30

210

60

240

120

300

150

330

180 0

29

3 antenas 5 antenas 12 antenas Fig.2.9. Patrones de radiación para arreglos de diferente número de antenas (dipolos cortos) separadas a una distancia d λ= y con fase cero. 2.5 Antenas Parabólicas Las antenas parabólicas se caracterizan por utilizar un reflector metálico para concentrar la radiación poco directiva de un pequeño alimentador en un lóbulo de alta directividad [6,7,15] . De este modo se consiguen directividades mucho mayores. El análisis de la radiación de estas antenas fue realizada con la técnica de Óptica Geométrica (GO). Ésta permite calcular los campos en la apertura basándose en la ley de Snell, y a partir de ellos los campos lejanos. Constituye una buena y sencilla aproximación para calcular el lóbulo principal (incluida la ganancia) y los primeros lóbulos secundarios.

Fig. 2.10 Análisis de los campos en una antena parabólica con fuente

incE

refE aE

'rρ

'θ

AntenaFuente

Plano de apertura

rE

aE campo apertura=

rE campolejano radiado=

refE campo reflejado=

incE campoincidente=d

f

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

30

2.5.1 Análisis de la antena parabólica. Un paraboloide transforma un frente de ondas esférico, radiado desde su foco ( f ), en un frente de ondas plano, ya que la normal al paraboloide en cada punto da lugar a que los rayos reflejados salgan todos paralelos al eje de revolución del sistema [6,7,15] . Si decimos que 'r es el rayo incidente al reflector parabólico radiado por la antena fuente con un ángulo 'θ , por lo tanto d será el rayo reflejado paralelo al eje z . La suma 'r d+ representa la longitud de trayecto óptico total desde el foco hasta el plano de apertura. Es decir que

' 2r d f+ = , (2.77) donde f es la longitud focal. Como se puede ver en la figura (2.10), 'cosd r θ= entonces la ec. (2.77) puede ser escrita como

2' 'cos 2 '

1 cosfr r f rθ

θ+ = → =

+, (2.78)

( )22'

1 cos cos 2f fr

θ θ= =

+. (2.79)

La ecuación (2.79) es la representación polar de la superficie de la parabólica [6,7,15] . El desplazamiento radial ρ del rayo reflejado sobre el plano de apertura está dado por

'sinrρ θ= . Sustituyendo r’ en la ec. (2.79) tenemos

s n2 2 tan1 cos 2

ef fθ θρθ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠. (2.80)

Campo Incidente incE : El campo incidente va estar dado según el tipo de antena que alimente el reflector parabólico. El alimentador o antena fuente más comúnmente usada es la antena tipo corneta, ya que hace a la antena parabólica mas directiva. Sin embargo, para analizar las características de la antena parabólica recurrimos a un modelo aproximado del alimentador, el cual será el campo incidente a la parabólica [6,7,15]

( )'

ˆ ˆ( , ) ( )s n cos'

jkr

inc E HVeE F e F

rθ φ θ θ φ φ θ φ

−

⎡ ⎤= +⎣ ⎦ , (2.81)

donde ( ) ( )E HF y Fθ θ son los diagramas de radiación.

31

Campo reflejado refE : El campo reflejado de la parábola es encontrado a través de la ley de Snell. Asumiendo que el campo incidente es reflejado como una onda plana de una superficie conductora perfecta, entonces el campo reflejado refE debe satisfacer la siguiente ecuación

[6,7,15]

( )ˆ ˆ2ref inc incE E n n E= − + i . (2.82) Sustituyendo la ec. (2.81) en la ec. (2.82) obtenemos

( ) ( )( )'

ˆ ˆˆ( ) cos cos 2 s n cos'

jkr

ref H E EVeE F F r F e

rθ φφ θ φ θ φ θθ

−

= − + + , (2.83)

'

'

jkr

refVeE F

r

−

= − . (2.84)

Campo de apertura aE : El campo de apertura se obtiene al propagarse refE como una onda plana a lo largo de la dirección z en una distancia d hacia el plano de apertura, es decir

( ' )

'

jk r djkd

a refeE E e F

r

− +−= = . (2.85)

De la ecuación de superficie de la parábola y dejando la ec. (2.85) en función del foco, obtenemos

( )2

2cos 2jkf

aeE F

fθ

−

= . (2.86)

Campo radiado rE : El campo radiado por una antena parabólica puede ser obtenido de la transformada de Fourier del campo en la apertura. Entonces, el campo eléctrico radiado en campo lejano en la dirección definida por ,θ φ esta dado por [6,7,15]

1 cos cos s n

2 2

jkr

x yeE jk f f e

rθθ φ φ

π

− + ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ , (2.87)

32

1 cos cos s n

2 2

jkr

y xeE jk f f e

rφθ φ φ

π

− + ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , (2.88)

donde el vector ˆ ˆx yf xf yf= + es la transformada de Fourier sobre la apertura, dada por

( ) ( )2

'

0 0

ˆ,a

jk raf E e d d

π

θ φ ρ ρ ρ φ= ∫ ∫ i . (2.89) Ahora si asumimos que el campo de apertura es constante en toda el área de apertura, entonces tendremos una apertura uniforme circular. Por lo tanto, el aE tendrá componentes en x y en y constantes. Como aE es constante, su transformada de Fourier ( ),f θ φ será

( )2 2

' '

0 0 0 0

ˆ,a a

jk r jk ra af E e dS E e d d

π π

θ φ ρ ρ φ= =∫ ∫ ∫ ∫i i . (2.90) Si la apertura circular es de radio a , la integral de radiación ( ),f θ φ puede ser obtenida convenientemente usando coordenadas cilíndricas. La simetría cilíndrica implica que

( ),f θ φ será independiente de φ . Por lo tanto, para propósitos de calcular la integral ( ),f θ φ , se puede hacer 0φ = . Sabemos que ' cosk r k senρ θ φ=i y si decimos que 0a xE E a= , entonces la integral queda

( )2

ˆcos

0 0

ˆa

jk seno xf E a e d d

πρ θ φθ ρ ρ φ= ∫ ∫ . (2.91)

La integración en ˆ yφ ρ pueden ser resueltas utilizando la representación de las integrales para las funciones de Bessel ( ) ( )1oJ x y J x ,

( ) ( ) ( )2 1

ˆ 1cos0

0 0

1 ˆ2

jxo

J xJ x e d y J xr rdr

x

πφ φ

π= =∫ ∫ . (2.92)

Entonces la ec. (2.91) queda como

( ) ( )12 02 xJ kasen

f a E akasen

θθ π

θ= , (2.93)

33

donde 2k π λ= . La ec. (2.93) representa el patrón de radiación de una apertura circular con campo uniforme. La figura (2.11) muestra la gráfica del patrón de radiación de una antena parabólica con campo constante.

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

kr*sen(angulo)

patro

n de

radi

acio

n no

rmal

izad

o

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 2.11 (a) Patrón de radiación de una antena parabólica con campo constante con un radio a=0.5 y una frecuencia de 2Ghz. (b) Gráfica en 3D. 2.5.2 Directividad, ganancia y ancho del lóbulo para una antena parabólica. Partiendo de que el área efectiva para una antena con reflector tipo disco esta dada por [6,7,15]

214a

A dη π= , (2.94)

donde aη es la eficiencia de apertura, que en la práctica para antenas parabólicas es de

0.55 0.65aη = − . Además en la práctica, el área efectiva A para cualquier antena es el valor correspondiente a la dirección de máxima ganancia maxG definida por

(a)

(b)

34

max 2

4 AG πλ

= , (2.95)

maxG es conocida como la Directividad de la antena. Como ya se mencionó anteriormente

la directividad representa la razón de energía radiada por una antena en una dirección, con respecto a la energía promediada en todas direcciones. Por otra parte la Ganancia es el factor de eficiencia que define el máximo de la capacidad real de una antena por la directividad de la antena. Expresando el área física en términos del diámetro D y combinando la ec. (2.94) y la (2.95) se obtiene que la ganancia de la antena parabólica esta dada por [6,7,15]

2

; 0.55 0.65a aDG πη η

λ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.96)

Otro concepto importante para antenas directivas es al ángulo sólido, debido a que las antenas mas directivas concentran toda su potencia radiada radP en un pequeño ángulo sólido ∆Ω . Donde 3dBθ es el ancho del lóbulo a los 3dB donde se concentra esa potencia. Fig. 2.12. Angulo sólido y ancho del lóbulo de una antena directiva. Para una antena parabólica, el ancho del lóbulo a los 3dB con un diámetro D puede ser estimado por [6,7]

03 70dB D

λθ = . (2.97)

En la práctica, la ec. (2.97) es ampliamente utilizada por los diseñadores de antenas parabólicas para estimar el valor de este parámetro, ya que proporciona una buena aproximación.

∆Ω

3dB ancho del lobuloθ =

Angulo Solido

maxDireccion de

ima ganancia

∆Ω

3dB ancho del lobuloθ =

Angulo Solido

maxDireccion de

ima ganancia

35

CAPÍTULO III

PROPAGACIÓN EN LA ATMÓSFERA El radar emite señales electromagnéticas a la atmósfera, las cuales al propagarse por el espacio libre se van atenuando. Es decir, debido a los gases y el vapor de agua en la atmósfera, la energía de la señal del radar sufre pérdidas. Esta pérdida es conocida como atenuación atmosférica. La atenuación atmosférica incrementa significativamente en la presencia de lluvia, neblina, polvo y nubes. La mayoría de la energía de radar que se pierde se absorbe normalmente por gases y vapor de agua y es transformada en calor, mientras que una pequeña porción de esta pérdida de energía es usada en transformación molecular por las partículas de la atmósfera. En esta sección el enfoque será analizar las pérdidas que en mayor medida atenúan la señal. 3.1 Pérdidas por espacio libre (Lp): Cuando la señal del radar viaja en el espacio libre, sufre pérdidas que están en función de la distancia que viaja la señal en el espacio libre, la frecuencia de operación del radar, así como de la ganancia de las antenas. Las pérdidas por espacio libre (también llamadas pérdidas por trayectoria) es una relación entre la cantidad de potencia de transmisión que es emitida entre la cantidad de potencia recibida después de viajar cierta distancia. Las pérdidas por espacio libre en decibeles serán [22]

( ) 10 log Tpr

PL dBP

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. (3.1)

De la fórmula de Friis [22] ,

2

2 2 2(4 )T r t

rP G G cP

d fπ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (3.2)

Obtenemos, 2 2 2

2

(4 )( ) 10 log 10logTpr r t

P d fL dBP G G c

π⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦, (3.3)

8

4( ) 20log 20log 20log 20log3 10p

L dB G f d π⎛ ⎞= − + + + ⎜ ⎟×⎝ ⎠, (3.4)

( ) 20log 20log 20log 147.56pL dB G f d= − + + − . (3.5)

36

3.2 Atenuación por absorción de gases atmosféricos La atenuación por absorción de gases representa las pérdidas que sufre la señal al propagarse en el espacio libre debido al oxígeno y al vapor de agua presente en