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Gobierno del Estado de MéxicoSecretaría de Educación Cultura y Bienestar SocialSubsecretaría de Educación Media Superior y SuperiorDirección General de Educación Media Superior

Escuelas Preparatorias Oficiales del Estado de México

Escuelas PreparatoriasOficiales del Estado de México

Geometría AnalíticaSBG

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Directorio

Lic. Arturo Montiel RojasGobernador Constitucional del Estado de

México

Ing. Alberto Curi NaimeSecretario de Educación, Cultura y

Bienestar Social

Ing. Agustín Gasca PliegoSubsecretario de Educación Media Superior

y Superior

Profra. Martha Martínez DíazDirectora General de Educación Media

Superior

Mtro. Marco Antonio Trujillo MartínezSubdirector de Bachillerato General

Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

Art. 148 de la Ley Federal de Derechos de Autor.



PRESENTACIÓN

¡Joven estudiante!

La Subdirección de Bachillerato General tiene a bien dirigirse a tÍ, para hacerte saber que una de sus mayores preocupaciones estriba en ofrecerte con calidad el servicio educativo que recibes en las Escuelas Preparatorias Oficiales, con fundamento en las políticas emanadas del Gobierno del Estado de México.

Por ello, el documento que tienes en tus manos representa el cumplimiento a uno de los grandes compromisos establecidos a través del Plan Maestro al inicio del período de mi gestión y que a la letra dice: “Renovar los enfoques pedagógicos en el diseño de los métodos de enseñanza y los contenidos propios del nivel”.

Así, la “Antología” o “Cuaderno de Trabajo” que tienes en tus manos es producto de la colaboración de los catedráticos del nivel y de asesores expertos que, sumando esfuerzos, hoy consolidan para tÍ este trabajo.

¡La tarea no fue fácil!, sobre todo si se toma en cuenta el dinamismo de la ciencia y la tecnología y el pronto desfase de los conocimientos; pero el propósito no es sustituir la bibliografía especializada, las fuentes de consulta de primera mano, ni las contribuciones que los mismos profesores, compañeros tuyos o especialistas día a día incorporan en las sesiones de clase, en los eventos académicos y en la vida misma.

Esta aportación es un apoyo sistemático de información de acuerdo a los temas del programa de estudio de la materia de Geometría Analítica; por lo cual, puedes considerarlo un pilar en el desempeño diario de tu formación.

Esperando que aproveches el contenido al máximo, te deseo éxito en tu vida de estudiante.

Cordialmente

Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez

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Integración de materiales y elaboración.

Zona Escolar No. 12 deBachillerato General

Compiladores

Profr. Martín López Márquez(Coordinador General)

Colaboradores

Profra. Ma. Del Socorro Margarita Olivares Vargas

Profra. Leticia García Rodríguez

Profra. Eva Morales Hurtado

La Antología de Geometría Analítica se edita por la Subdirección de Bachillerato General perteneciente a la Dirección General de Educación Media Superior de la SECyBS, en el mes de junio de 2003 en las oficinas centrales de la misma dependencia.

El desarrollo de esta actividad estuvo a cargo del Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez.



I N D I C E

Página

UNIDAD I CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Conceptos básicos……………………………………………………………….El plano cartesiano……………………………………………………………….Los problemas de la Geometría Analítica……………………………………..Condición necesaria y suficiente……………………………………………….Distancia entre dos puntos……………………………………………………...División de un segmento en una razón dada………………………………….Pendiente………………………………………………………………………….Ángulo entre rectas………………………………………………………………Paralelismo y perpendicularidad………………………………………………..Problemas de aplicación………………………………………………………...La pendiente de la tangente como característica de una curva…………….

UNIDAD II LA RECTA

La recta……………………………………………………………………………Ecuación punto pendiente………………………………………………………Ecuación de la recta en forma simétrica………………………………………Forma General de la ecuación de la recta…………………………………….Forma normal de la ecuación de la recta……………………………………...Familia de rectas…………………………………………………………………Solución de problemas de aplicación…………………………………………..

UNIDAD III LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia y el círculo……………………………………………………Ecuación ordinaria de la circunferencia……………………………………….Ecuación general de la circunferencia…………………………………………Ecuación de la circunferencia dados tres puntos……………………………..Familias de circunferencias……………………………………………………..Tangentes y secantes en la circunferencia……………………………………Problemas de aplicación………………………………………………………...

UNIDAD IV LA PARÁBOLA

Definición de la parábola………………………………………………………...Elementos…………………………………………………………………………Ecuación de la parábola…………………………………………………………

49121315222628313131

33334244485555

60687171717173

7778

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Ecuación general de la parábola……………………………………………….Ecuación de la parábola dados tres puntos…………………………………...Tangentes y secantes de la parábola………………………………………….Familias de parábolas……………………………………………………………Problemas de aplicación………………………………………………………...

UNIDAD V LA ELIPSE

Definición de la elipse……………………………………………………………Elementos de la elipse…………………………………………………………..Ecuación ordinaria de la elipse…………………………………………………Ecuación general de la elipse…………………………………………………..Ecuación de la elipse dados tres puntos………………………………………Tangentes y secantes a la elipse………………………………………………Problemas de aplicación………………………………………………………..

UNIDAD VI LA HIPÉRBOLA

Definición de hipérbola…………………………………………………………..Elementos…………………………………………………………………………Ecuación de la hipérbola………………………………………………………...Forma general de la hipérbola………………………………………………….Ecuación de la hipérbola dados tres puntos…………………………………..Tangente y secante a la hipérbola……………………………………………..Familias de hipérbolas…………………………………………………………..Solución de problemas de aplicación………………………………………….

Bibliografía

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INTRODUCCIÓN

El estudio de la geometría esta presente a lo largo de nuestra vida, en las formas y figuras que la naturaleza nos otorga, basta con mirar alrededor para observar la gran diversidad de ellas. En la construcción existen diversas formas de obras arquitectónicas de épocas antiguas y modernas, las cuales guardan un equilibrio geométrico perfecto. Como las imponentes pirámides de Egipto, Teotihuacan, la Muralla China, la Torre Eiffel, que son iconos representativos de cada país.

Los primeros conocimientos geométricos que el hombre utilizo eran un conjunto de reglas practicas, la cual proporciono los elementos básicos para la comprensión de otras disciplinas, de ahí que su significado se derive de dos vocablos griegos: GEOS (tierra) y METRON (medida), es decir, “medida de la tierra” , por lo que su aplicación inicial fue en la agricultura, la astronomía y la navegación, por los babilonios, egipcios, romanos, y chinos.

A lo largo de la historia la Geometría ha sido desarrollada y enriquecida por diversos personajes de diferentes culturas como:

Los Babilonios: inventores de la rueda, cultivaron la astronomía y conociendo que el año tiene aproximadamente 360 días dividen la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo el grado sexagesimal.

Los Egipcios: la base de su civilización fue la agricultura, en donde los reyes de Egipto dividían las tierras en parcelas, mismas que eran medidas, cuando el Nilo en sus crecidas periódicas se llevaba parte de las tierras, en donde los agrimensores tenían que rehacer las divisiones y calcular cuanto debían pagar al dueño de la parcela por concepto de impuesto, ya que este era proporcional a la superficie cultivada. Como también en la construcción de la Gran Pirámide se muestra precisión en sus dimensiones y en su perfecta orientación, aplicando la geometría y la astronomía.

Los Griegos: con los matemáticos griegos la geometría inicia como ciencia deductiva, dando sus aportaciones:

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Tales de Mileto.- Siglo VII a. C., uno de los siete sabios y fundador de la escuela Jonica, sus estudios lo encauzaron a resolver ciertas cuestiones como:

la determinación de distancias inaccesibles la igualdad de los ángulos de la base en triángulo isósceles el valor del ángulo inscrito la demostración de los teoremas que llevan su nombre, relativos a la

proporcionalidad de segmentos determinado en 2 rectas cortadas por un sistema de paralelas.

Euclides: Siglo IV a. C., en su obra “Elementos” que contiene 13 capítulos llamados libros, aporta la base de los conocimientos matemáticos, en donde construye la Geometría partiendo de definiciones, postulados y axiomas, con los cuales demuestra teoremas.

Libro I: Relación de igualdad de triángulos Teorema sobre rectas paralelas Suma de los ángulos de un polígono

Igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual base y altura.

Teorema de Pitágoras

Libro II: Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de triángulos rectángulos que conducen a la relación geométrica de ecuaciones de segundo grado.

Libro III: Circunferencia y Angulo inscrito

Libro IV: Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia

Libro V: Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma geométrica, hasta los números irracionales.

Libro VI: Proporciones y Triángulos semejantes

Libro VII, VIII, IX : Aritmética, proporciones, máximo común divisor y números primos

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Libro X : Números inconmensurables bajo la forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos.

Libro XI, XII : Geometría del espacio, relación entre volúmenes de prismas y pirámides, cilindro y cono, proporcionalidad del volumen de una esfera al cubo del diámetro

Libro XIII: Construcción de cinco poliedros regulares

Platón: Siglo IV a. C. divide a la geometría en elemental y superior, en donde la primera comprendía todos los problemas que se podían resolver con regla y compás, y la segunda estudiaba tres problemas no resolubles con regla y compás, tal es el caso de:

La cuadratura del círculo La trisección del ángulo La duplicación del cubo

Pitágoras de Samos: siglo VI a. C., fundo en Crotona, Italia la escuela pitagórica, y quien desarrollo la demostración del teorema de Pitágoras y el descubrimiento de los números irracionales. La insignia de los pitagóricos era el pentáculo también llamado triple triangulo se consideraba un símbolo universal de salud, belleza y amor.

Arquímedes de Siracusa: 287 – 212 a. C., calculo el valor aproximado de π, el área de la elipse, el volumen del cono, de la esfera, estudio la espiral de Arquímedes que sirve para la trisección del ángulo.

René Descartes: filosofo francés, (1596 –1650), introduce el concepto de geometría analítica.

El campo de estudio de la geometría se clasifica en:

Geometría Euclidiana: estudia las figuras que se pueden trazar en un plano.

Geometría Analítica: estudia las figuras con recursos algebraicos, utilizando la posición de los cuerpos en un espacio llamado plano cartesiano.

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Geometría Diferencial: estudia los espacios con ayuda del calculo infinitesimal.

Geometría no Euclidiana: estudia figuras que se pueden trazar en un plano sin considerar válidos los postulados de Euclides, geometría hiperbólica y elíptica.

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Unidad I

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CONCEPTOS BÁSICOS.

Para el estudio de la geometría es necesario tener presente los siguientes conceptos:

Punto: es la marca más pequeña que podemos dibujar o la huella que deja un lápiz en el papel, el cual tiene posición, pero no tiene longitud ni anchura. Se denota con letras del abecedario mayúsculas.

Ejemplo:

A B Punto

Línea: es una sucesión infinita de puntos, la cual tiene longitud, extensión, dimensión pero no tiene anchura. Se denota con letras del abecedario minúsculas. Las líneas pueden ser, rectas, curvas, quebradas o mixtas.

Ejemplo:

Línea recta: es una sucesión de puntos en un plano, la cual se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos y en la misma dirección.

Ejemplo:

A B

Semirrectas: es la porción de una recta limitada por un punto fijo llamado origen, se denota con una letra mayúscula para el punto de origen y otra letra mayúscula para cualquier punto localizado sobre la semirrecta.

Ejemplo:

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D E

Segmento: es la porción de una recta limitada por dos puntos fijos llamados origen y extremo, se denota AB

Ejemplo:

A

Plano cartesiano

Recta Numérica

Consideramos sobre un segmento dirigido hacia dos polos opuestos (derecha e izquierda), señalando un punto situado arbitrariamente denotado con el “0” al que se llama origen; los puntos a la derecha del origen están asociados a números positivos ( 1,2,3,...... ) y los situados a la izquierda a números negativos ( -1, -2, -3, ......).

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B



Al interceptarse dos rectas en un punto en forma perpendicular, se tendría una recta XX’ y otra YY’, recibiendo el nombre de ejes. De tal manera que la recta XX’ se denomina ejes de las abscisas y la recta YY’ se denomina eje de las ordenas; el punto de intercepción de ambos ejes es el origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se numeran en el orden indicado en la siguiente figura:

Coordenadas

Cada punto P del plano tiene asociado un par de números e inversamente a cada par ordenado de números le corresponde un punto denotado P (x , y).

En donde “x” representa la distancia del punto P al eje vertical de la abscisa y “y” representa la distancia del eje horizontal de la ordenada denominado plano cartesiano.

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Y

Y’

X’ X0

ICuadrante

( + , + )

IICuadrante

( - , + )

IIICuadrante

( - , - )

IVCuadrante

( + , - )



Localización de un punto en el plano

Ejercicios:

1. Localiza los siguientes puntos en un plano cartesiano, indicando en que cuadrante se encuentra.

A (3,2)

B(-1,-1)

C(1/3, -2)

D(2,7)

E(0,-1)

F(-5 ¾ , 4)

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G(-9/2 , -7/3)

H(O, )

I( - , 0)

2. Unir los puntos M (4, 7), N(-1, 3), P(-6, -1) demostrando que se encuentran en línea recta.

3. Los puntos A(-9, -2), B(2, -2), C(5, 5), D(-6, 5) son vértices de un paralelogramo.

4. Qué el punto 0’ (-2, -3) es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos a(-6, 1), D(2, 1), C(-6, -7).

5. Localiza en un plano cartesiano tres puntos arbitrarios que formen los vértices de un triángulo isósceles.

Los problemas de la geometría analítica.

La geometría analítica se ocupa de los problemas en cierto sentido complementarios:

Primer problema: consiste en encontrar la ecuación de una curva definida por una propiedad geométrica, es decir hay un número infinito de pares de valores de “x”, “y” que satisfacen una ecuación. Cada uno de tales pares de valores reales se toma como las coordenadas (x, y) de un punto en el plano.

Ejemplo: y = x2 - 4

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Del ejemplo anterior se observa que los valores de “x” satisfacen la ecuación dada. Es decir el conjunto de los puntos y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación se llama gráfica de una ecuación o lugar geométrico

Segundo problema: es representar geométricamente las ecuaciones en dos o tres variables, ilustrando así sus propiedades. Es decir a partir de una figura geométrica o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.

Al considerar una curva plana (la circunferencia), posee la propiedad única de que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado centro en su plano, la condición que deben cumplir sus puntos es satisfacer la Ley particular de la curva.

Ejemplo: Hallar la ecuación del lugar geométrico cuyo centro C (-3, -5) y radio r = 7

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Las coordenadas fueron introducidas por Descartes y Fermat en el siglo XVII. El uso de coordenadas permitió resolver múltiples problemas geométricos por medio del álgebra, convirtiéndose desde entonces en un instrumento indispensable de la matemática en general.

Condición necesaria y suficiente.

La frase “condición necesaria suficiente” se utiliza en la aplicación de algunos teoremas, los cuales, pueden presentar una condición necesaria pero no suficiente y viceversa, o ambas.

Por ejemplo, si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales; en este teorema, si un triángulo es isósceles necesariamente se verifica que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por lo tanto la existencia de dos ángulos iguales es una condición necesaria para que el triángulo sea isósceles.

También se establece en este teorema que la existencia de dos ángulos iguales es una condición suficiente para que un triángulo sea isósceles.

Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea isósceles es que dos de sus ángulos sean iguales.

¿Cuál es la condición necesaria suficiente para que un triángulo sea equilátero? Es que sea equiángulo o que las tres alturas sean iguales.

Distancia entre dos puntos.

Si se desea calcular la longitud que hay entre 1 y 6 en la siguiente recta horizontal:

Lo hacemos con una simple resta 6 – 1 = 5 unidades

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Si la recta es vertical y se desea calcular la longitud entre 1 y 7 como se ve en la figura:

La distancia entre estos dos puntos también se calcula con una diferencia 7 – 1= 6.

Pero sino conocemos los valores de los puntos, es decir si deseamos calcular la longitud x entre los puntos x1 y x2, y encontrar una expresión que generalice todos los casos.

Como se ve en la recta numérica.

Tenemos que x = x2 - x1

Por lo que se deduce que para el eje vertical es lo mismo la longitud y entre los puntos y1 y y2 se obtiene con la siguiente expresión:

y = y2 - y1

Pero ahora si tenemos en el plano cartesiano dos puntos cualesquiera, como se ve en la figura:

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Para obtener una expresión que de manera general proporcione la distancia entre los puntos P1( x1 , y1 ) y P2( x2 , y2 ), formamos un triángulo rectángulo

Sustituyendo los valores de a = x2 - x1, b = y2 - y1 y c = d׀p1p2׀, en Pitágoras tenemos:

Pasando el cuadrado como radical:

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Por el teorema de Pitágoras tenemos que:

c2 = a2 + b2

Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano



Ejemplo: Calcular la longitud del punto A ( -3 ,-5) y B (2, 6), sustituyendo en la formula de distancia entre dos puntos tenemos:

Realizando operaciones:

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Gráfica en el plano cartesiano para comprobar midiendo con una regla.



Ejemplo: Calcula el perímetro del triángulo con vértices A(-2,-3),B(6,1), C(-2,5).

Solución: Por trigonometría tenemos que el perímetro de cualquier triángulo es P = L+L+L

Sustituyendo tenemos que P = 8.94 cm. +8.94+8 = 25.88 cm., las longitudes de los lados indican también que es un triángulo Isósceles.

Ejercicios:

1. Localice los puntos A(-2,-3), B(-2,0), C(-2,4), y verifique las siguientes igualdades mediante situaciones numéricas.

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2. En los siguientes ejercicios localice los pares de puntos y calcular la distancia entre ellos.

a) (5,3),(1,4) b) (3,4),(-3,5)c) (-3,5),(5,-4) d) (-1,-1),(0,9)e) (0,0),(-5,-7) f) (-3,-5),(6,-1)g) (-6,5),(-2,-3) h) (-5,-1),(-1,-6)

3. En los siguientes ejercicios trazar el triángulo con los vértices dados y encuentre las longitudes de los lados.

a) A(3,5), B(5,2), C(1,1) b) A(-3,5), B(-5,-2), C(1,2)c) A(-4,1), B(-5,-2), C(0,1) d) A(0,0), B(-8,-2), C(-5,-6)

4. En los siguientes ejercicios dibuje el triángulo con vértices dados y muestre que:

a) A(6,2), B(2,-3), C(-2,2) es un triángulo Isósceles.b) A(1,3), B(10,5), C(2,1) es un triángulo rectángulo.c) A(-2,0), B(2,0), C(0,2√3) Es un triángulo equilátero

5. Muestre que los puntos A(1,-1), B(5,2), C(2,6) y D(-2,3), son los vértices de un cuadrado y calcular también la longitud de sus diagonales para demostrar que son iguales.

6. Determine si los puntos (-5,6), B(2,5), y (1,-2) tienen la misma distancia con respecto (-2,2).

7. Si (x,4) de (5,-2) y (3,4), encuentre x.

8. Si (-3,y) de (2,6) y (7,-2), encuentre y.

9. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (-4,-2) y (3,1)

Áreas de polígonos

En geometría analítica se puede calcular el área de cualquier polígono si conocemos sus vértices con el siguiente determinante.

Donde:A = área del polígono.

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(x n, y n ) = son los vértices del polígono.

Para resolver el determinante se repiten los dos primeros renglones abajo del último, y se multiplica el diagonal. Hay que recordar que cuando se multiplica en diagonal de arriba abajo hacia arriba se le cambia el signo a los resultados

El ejemplo anterior es para un polígono de tres vértices, pero si el

polígono tiene 4 a la formula se le incrementa un renglón (x4, y4,1), si tiene 5 se incrementa otro renglón y así sucesivamente, pero para resolver el determinante únicamente se repiten los dos primeros.

También debemos de tener en cuanta que si los vértices se toman en el sentido de las manecillas del reloj el resultado del área será negativo y en el sentido contrario a las manecillas del reloj será positivo. Así que primero hay que ubicar los puntos en el plano cartesiano para tomarlos en orden al sustituirlos en la formula.Ejemplo: Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A(-2,2), B(-2,6), C(3,2).

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Sustituimos los datos en la formula del determinante.

Otra forma de comprobar el resultado es obtener A = bh/2, como se analizo en trigonometría A = (5)(4) / 2 = 10 U2.

Ejercicios:

1. En los siguientes ejercicios dibuje el polígono y calcule su área.

a) A(4,5), B(3,2), C(2,1) b) A(-2,6), B(-,-2), C(1,3)c) A(-4,3), B(-5,-2), C(0,0), D(3,7) d) A(0,0), B(-8,-2), C(-5,-6), D(7,1)e) A(1,8), B(-5,6), C(-5,-7), D(-2,-5), E(7,0)

2. En el cuadrilátero cuyos vértices son A(1,1), B(-5,-2), C(-5,-6), D(7,-2),

calcular el área. Dividir el cuadrilátero en los triángulos ABC y ACD, calcular el área de cada uno y demostrar que la suma es equivalente al área total.

3. En el polígono de vértices A(2,2), B(0,6), C(-5,-4), D(-2,-3), E(1,-5), F(4,1), calcular el perímetro y el área.

División de un segmento de recta

Para calcular el punto medio de un segmento de recta utilizamos la siguiente formula.

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Si se desea dividir el segmento en tres o más partes iguales utilizamos la siguiente formula.

Donde r es la razón, si 0< r < 1, el punto buscado se halla dentro del segmento de recta, si r > 1, el punto buscado se halla fuera del segmento de recta, es decir después del segundo punto, y si r es negativo el punto buscado se encuentra antes del primer punto.

Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento de recta A(-3,-4), B(4,2).

Ejemplo: Calcular las coordenadas que dividen en segmento de recta M(-4,5), N(2,1). En r = 1/3, r = 2/3

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Gráfica en el plano cartesiano para comprobar.

Para comprobar analíticamente que la recta esta dividida en tres partes iguales, hay que calcular la distancia entre cada uno de los puntos para verificar que son iguales. Si la recta se tiene que dividir en cuatro partes iguales r = 1/4, r = 1/2, r = ¾ y así sucesivamente.

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Ejercicios:

1. Encuentre las coordenadas del punto medio de cada par de puntos.

a) (2,1), (-4,3) b) ( 3,2), (2,7)c) (-7,-11), (5,12) d) (4,6), (-3,-2)

2. Encuentre las coordenadas de los puntos medios de los lados de cada triángulo cuyos vértices son.

a) (1,2), (2,4), (5,2) b) (8,3), (2,-3), (6,-5)c) (3,3), (2,5), (-1,-2) d) (-1,-6), (-3,-5), (-2,-2)

3. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices (2,2), (6,3), (5,7), y muestre que el punto medio equidista de los tres vértices.

Unidad II

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Pendiente de la recta.

La inclinación que tiene una recta con el eje “x” se conoce con el nombre de pendiente de la recta, es decir, la pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que una recta forma con la dirección positiva del eje de las x; y se representa por m. y puede ser únicamente de cuatro formas:

Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula Pendiente indefinida

Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy importante ya que la utilizamos en nuestra vida cotidiana o tenemos relación con ella por ejemplo:

En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el agua corra y no estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en la bolsa de valores también es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja, en la venta del petróleo, entre otros.

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Ejemplo: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (-1,5) y (7,-3)

m = y2 – y1 = -3 –5 = -8 = -1 Tangente –1 = 135º x2 – x1 7–(-1) 8

Ejercicios:

Utilizando las pendientes probar que AB y C están sobre una recta.

1. A(3,-5) B(0,-2) C(-3,1)

2. A(0,5) B(4,0) C(8,-51)

3. A(-6,-6) B(1,5) C(8,16)

4. A(3,3) B(-1,4) C(3,3)

5. A(-2,-3) B(2,-1) C(10,3)

Ángulos que forman dos rectas.

Dos rectas que se cortan r1 y r2 forman ángulos suplementarios, cada uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman dichas rectas.

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Definimos el ángulo que forman r1 y r2 como aquél que se mide por la amplitud de la rotación de r1 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre r2.

Ejemplo:

Obtener los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A (6,3), B (-4,5) y C (-7,-2)

Primero

determinamos las pendientes de cada lado:

Para calcular el ángulo A, tenemos que y

Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.

Para calcular el ángulo B, tenemos que y


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Para calcular el ángulo C, tenemos que y


Para verificar que los resultados son correctos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

Paralelismo y perpendicularidad.

Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman es de 0, o cumplen la condición:

m1 = m2

Dos rectas son perpendiculares entre si, el ángulo que forman al cruzarse es de 90, o si cumplen la condición:

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m1 m2 = -1

Estos conceptos son utilizados en el tendido de vías del tranvía, en la instalación de cables que conducen electricidad, en la construcción de las casas habitación para cuadrar las ventanas, puertas, closets, entre otros.

Ejercicio: resuelve correctamente los siguientes problemas.

1. Con las condiciones anteriores demuestra que los vértices A(3,3), B(3,-1), C(1,-1), (1,3), son los vértices de un cuadrado.

2. Muestre que los siguientes puntos, A(3,0), B(7,0), C(5,3), (1,3), son los vértices del paralelogramo ABCD.

3. Verifique que el triángulo formado por los puntos A(4,-4), B(4,4), C(0,0), es rectángulo.

4. Una sección transversal de una cabaña de 6 m de ancho es un triángulo isósceles. Si la pendiente del lado es de 1.75 y hay un segundo piso a 2.4 m sobre la planta baja, ¿Cuál es el ancho del segundo piso?

Ecuación punto pendiente de la recta.

Pendientes de una línea recta es una medida de su declive, es decir, de su desvío con respecto a la horizontal.

Ecuación de una recta:

Ecuación que se satisface por las coordenadas de todos los puntos de la recta. Es decir, que si un punto es de la recta sus coordenadas satisfacen la ecuación y recíprocamente, si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación el punto pertenece a la recta.

Ecuación de la recta que pasa por un punto:

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La expresión corresponde a la ecuación de la recta que pasa por un punto, cuando es condicionada su pendiente. Llamamos m a una pendiente cualquiera.

y - y1= m (x-x1)

Ejemplo: Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,6) y cuya pendiente es 3. 2

y - y1 = m (x-x1)

y – 6 = 3 (x-2)

2

2(y – 6)= 3 (x -2)

2y - 12 = 3x - 6

3x - 2y + 6 = 0

Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por el punto A (-3,4) y tiene una pendiente 3 es:

4y - y1 = m (x-x1)

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y - 4 = 3 (x-(-3)); 4 (y - 4) = 3 (x + 3) 4

4y -16 = 3x +9; 3x - 4y 9+16 = 0

3x - 4y +25 = 0

Ejercicios: Conocido un punto de una recta y la pendiente, obtener la ecuación correspondiente:

1. ( 3, 4), m = 2 2. (-3, -8), m = -43. ( 6, 2), m = -3

8 4. (5, -2), m = 2 3

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Estas expresiones corresponden a la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

y - y1 = y1 - y2 (x - x1) x1 - x2

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta apoyada en los puntos (-3,3) y (2,1).

y - y1= y1-y2 (x - x1) x1-x2

y - 3= 3-1 (x - (-3))-3-2

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y - 3= 2 (x + 3) -5

- 5 (y - 3) =2 (x + 3)

-5y + 15 = 2x + 6

2x + 5y + 6 –15 = 0

2x + 5y – 9 = 0

Hallaremos la pendiente:

m = y2 - y1 = 1 - 3 = -2 = -2 = -2 x2 - x1 2-(-3) 2+3 5 5

y – 3 = 2 ( x - (-3)) 5

y 3 = -2 ( x + 3 ) 5

5 ( y – 3 ) = - 2 ( x + 3 )

5y – 15 = - 2x - 6

2x + 5y – 15 + 6 = 0

2x + 5y – 9 = 0

39



Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3, 4) y B (-2, 1).

y- y1 = y1 - y2 ( x - x1 )x1 - x2

y - 4 = 4 - 1 ( x – 3 ) - 3 (-2)

y - 4 = 3 ( x – 3 ) 3 + 2

y - 4 = 3 ( x – 3 ) 5

5 ( y – 4 ) = 3 ( x – 3 )

5y – 20 = 3x - 9

3X - 5Y – 9 + 20 = 0

3x + 5y + 11 = 0

Hallar la pendiente:

m = y2 - y1 ( x - x1 ) = 1 - 4 = - 3 = 3 x2 - x1 - 2 - 3 - 5 5

Ejercicios: Obtener la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.

1. ( 3 , 4 ), ( 1 , 6 )

40



2. (-1 , 2 ), ( 3 , -2 )

3. ( 4 , 0 ), ( 2 , 3 )

4. ( 0 , 2 ), (-3 , 0 )

5. (2, 1), (1, 1) 3 2 2 3

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si una recta AB corta el eje de las Y en el punto P1 (0, b), se tiene:

y - b = m ( x – 0 )

Simplificando

y = mx + b

Esta expresión corresponde a la forma simplificada de la ecuación de la recta. La ecuación de una recta puede expresarse en la forma simplificada transformándola en otra equivalente donde la variable Y se encuentra despejada.

Ejemplo: Expresar en forma simplificada la ecuación 3x – 4y = 12 y obtener los valores de las constantes.

3x - 4y = 12

3x – 12 = 4y

4y = 3x - 12

y = 3x - 12

41



4

y = 3x - 34

m = 3 4

b = - 3

Es importante hacer notar que b es la distancia que hay entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje de las yy’ y se llama ordenada al origen.

La distancia entre el origen y la intersección es la recta con el eje xx’ se denomina abscisa al origen y se representa por a. Dada la ecuación de una recta haciendo x = 0 se obtiene el valor de a, y haciendo y = 0 se obtiene el valor de b.

La determinación de la abscisa y la ordenada al origen permite

construir la recta con mayor facilidad.

42



Ejemplo: Dada la ecuación 4x + 5y + 20 = 0 obtener las coordenadas al origen y construir la recta.

4x + 5y + 20 = 0

4x = - 5y - 20

x = - 5y - 20 4

x = -5 y - 5 4

a = - 5

4x + 5y + 20 = 0

5y = - 4x - 20

y = 4x - 20 5

y = - 4 x - 45

b = - 4

43



Ejercicios: Obtener los valores de la abscisa y ordenada al origen, trazar la recta correspondiente y expresar la ecuación en la forma general, simplificada y simétrica.

1. 2x - 5y + 20 = 0

2. 3x + 6x + 12 = 0

3. 2x + 8y + 3 = 0

4. -4x + 3y + 24 = 0

5. 2x + 7y = 22

Ecuación de la recta en forma simétrica:

Es aquella que viene dada en función de los segmentos a y b (en magnitud y signo) que determina sobre los ejes de coordenadas.

Esta ecuación, que se aplica solamente, a las rectas que cortan al los dos ejes coordenados, es de la forma:

x + y = 1 a b

Ejemplo: Expresar en su forma simétrica la ecuación de la recta 6x – 3y = 18.

6x - 3y = 18

6x - 3y = 18 18 18 18

x + y = 1

44



18 18 6 - 3

x + y =1 3 - 6

Ejemplo: Escribir en su forma simétrica la ecuación de la recta 3x + 2y – 6 = 0

3x + 2y – 6 = 0

3x + 2y = 6

3x + 2y = 6 6 6 6

x + y = 1 6 6 3 2

x + y = 1 2 3

45



Ejercicios: Escribir en la forma simétrica las ecuaciones de las rectas:

1. 4x + 3y – 12 = 0

2. 2x - 3y + 6 = 0

3. 4x + 3y + 18 = 0

4. 2x + 8y +3 = 0

Forma General de la ecuación de la recta:

La ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables. Recíprocamente toda ecuación de primer grado, con dos variables, representa una recta.

La ecuación general de primer grado es de la forma:

Ax +By +C = 0

A, B, C son constantes, donde A y B son diferentes de 0.

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre B y despejando y, resulta:

y = - A x - C B B

46



M = - A si B ≠ O B

B = - C si C ≠ O y B ≠ O B

Ejemplo: Expresar en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto (O, 2) y es paralela a la recta de la ecuación 3x = 4y – 24 = 0

3x - 4y - 24 = 0

- 4y = - 3x + 24 - 4 - 4 - 4

y = 3x - 6 4

m = - A = 3 B 4

Luego, la ecuación será:

y - 2 = 3 ( x – 0 )4

y - 2 = 3 x - 0 4

4 ( 3x - y + 2 = 0) 4

12x - 4y + 8 = 0 4

3x - 4y - 8 = 0

Despejando a “x” y “y” en ambas ecuaciones, obtendremos:

3x - 4y – 24 = 0

-4y = - 3x + 24

47



y = 3 x - 6 -4

A (0, 6)

3x = 4y + 24

x = 4 y + 8 3

x = 8 y = 0

B = (8, 0)

3x - 4y + 8 = 0

-4y = - 3x - 8

y = - 3 x + 24

x = 0 y = 2

C (0,2)

3x = 4y - 8

x = 4 y - 8 3 3

x = - 8 y = 0 3

D ( -8, 0)3

3x - 4y – 24 = 0

-4y = - 3x + 24

y = 3 x – 6 4

48



Ejercicios:

1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4, -5), y es paralela a la recta de la ecuación 5x - 2y -10 = 0

2. Encuentra la ecuación de los lados del triangulo A (3, 4), B (-2, 2), C (1, -4) y represéntalas en la forma general y su trazo correspondiente.

3. Dada la ecuación 6x + 12y + 24 = 0 encuentra la recta paralela que pasa por el punto (0, 6 )

49



Dadas las ecuaciones

(1) Ax + By +C = 0 (2) x cos x + y sen x – p = 0

forma general forma normal

Dividiendo la ecuación (1) entre una constante K, se tiene:

(3) A x + B y + C = 0 K K K

Comparando (2) y (3), observamos que:

cos x = A , sen x = B , -p = C K’ K’ K

Pero:

A 2 + B 2 = cos2 x + sen2 x = 1 K2 K2

Luego:

A2 + B2 = K2

Por tanto:

(4) k = + A2 + B2

Sustituyendo (4) en (3), resulta:

(5) Ax + By +C = 0

+ A2 +B2

50



Que permite transformar una ecuación de la forma general a la forma normal.

Como -p = C K

Debe tomarse para el radical + A2 +B2 signo contrario al de C.

Ejemplo: Expresar en la forma normal la ecuación 3x + 4y -12 = 0

3x + 4y -12 = 0

k = + 32 +42

= + 9 +16

= + 25

= + 25

51



(Se tenia para K signo contrario al de C)

Dividiendo la ecuación entre 5 resulta:

3x + 4y – 12 = 0 5

3 x + 4 y –12 = 0 5 5 5

Sustituyendo (4) en (3), resulta:

(6) Ax + By +C = 0

+ A2 +B2

Que permite transformar una ecuación de la forma general a la forma normal.

Como -p = C K

Debe tomarse para el radical + A2 +B2 signo contrario al de C.

Ejemplo: Expresar en la forma normal la ecuación 3x + 4y -12 = 0

3x + 4y -12 = 0

k = + 32 +42

= + 9 +16

= + 25

= + 25

52



(Se tenia para K signo contrario al de C)

Dividiendo la ecuación entre 5 resulta:

3x + 4y – 12 = 0 5

3 x + 4 y –12 = 0 5 5 5 Luego:

cos = 3 , sen = 4 , p = 12 5 5 5

Mide entre 00 y 900, por que seno y coseno son positivos.

X = 53º 8’

Ejercicios: Transformar la ecuación de la recta 3x +4y –15= 0 de la forma general a la forma normal.

1. Dada la ecuación 6x + 8y +25 = 0 en la forma general trasforma la ecuación a la forma normal

2. Dada la ecuación 2x +6y +8 = 0 en la forma general transformar la ecuación a la forma normal.

53



Distancia de un punto a una recta:

Dado un punto de coordenadas conocidas, es posible encontrar su distancia a una recta de ecuación dadas, utilizando la forma normal de la ecuación de la recta.

Sea P1 (x1, y1) el punto de coordenadas conocidas y de la distancia a la recta AB.

La ecuación de la recta AB en su forma normal es

(1) x cos + y sen – p = 0

Considerando que:

P1M OX

MR ON

Luego:

(2) p + d= OR + RS

Pero como:

(3) OR = OM cos = X1 cos X

(4) RS = P1M cos (90o – ) = y1 sen

Sumando (3) y (4) miembro a miembro, resulta:

54



OR + RS = X1 cos +Y1 sen

Por igualdad (2) se tiene:

p + d = X1 cos + Y1 sen

Despejando d se obtiene:

d = X1 cos + Y1 sen - p

d = Ax1 +By1 + C _ A2 +B2

Ejemplo: obtener la distancia del punto (4, 6) a la recta 3X + 4Y –12 = 0

Soluciónd = 3(4) +4(6) - 12

9 +16

d = 12 +24 - 12 5

d = 24 = 4.8 5

55



Ejercicios:

1. Obtener la distancia del punto P (5,7) a la recta 3X – 5Y + 4 = 0

2. Obtener la distancia del punto P (-1, 3) a la recta X + Y – 4 = 0

3. Obtener la distancia del punto P (2,-4) a la recta 2X +3Y +- 6 = 0

4. Obtener la distancia del punto P (-5,8) a la recta x + 2y +5 = 0

5. Obtener la distancia del punto P (0,0) a la recta 3x +2y – 12 = 0

56



Solución de problemas de aplicación:

1. Trazar la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones:

2. y = 3x

3. y = 3x + 4

4. x + y =2 1 3

5. y + x = 0

6. y = 1 x - 2 2

7. x + y =1 2 4

8. 3x + y = 1

9. x –3y + 4 = 0

10.Ecuaciones de los ejes y de las rectas paralelas a los ejes, determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es – 4Y y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2X + Y – 8 = 0 y 3X – 2Y + 9 = 0 trazar la gráfica.

11.Determinar la ecuación de la recta de pendiente m = 1 ordenada al origen b = 2 determinar la ecuación de otra recta que tiene por coordenadas al origen b = 6 y a = -2 trazar otras dos rectas y determinar el punto donde se cortan.

12.Trazar la recta que pasa por el punto (-1,2) de pendiente m = 1 2

13.Una recta pasa por el punto (3, - 6) y es perpendicular a la recta definida por los puntos (4,1) y (2,5) encontrar las ecuaciones de estas dos rectas el punto donde se cortan y sus intersecciones con los ejes de coordenadas.

57



14.La pendiente de una recta que pasa por el punto P (3, 2) es igual a ¾. Situar dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de P. Comprobarlo con la gráfica.

15.Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyo extremos son A (-2, -3) y B (0, -1). Usar esta ecuación para probar que los puntos (- 4,1) Y (1,- 4) y pertenecen a dicha mediatriz.

16.Determinar la distancia de punto (6, - 1) a la recta 3x+1= Y así como la distancia del punto (5,2) a la recta. 3x – 4y + 6 = 0.

17.Determinar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta x + 3y = 0, que pasan a la distancia 10 del punto (- 1, 2)

18.Trazar el triangulo de vértices A (4, 0), B (2, 4) y C (8, - 4).

a) Determinar las ecuaciones de sus lados

b) Determinar las ecuaciones de sus medianas

c) Determinar el punto donde se cortan las medianas o baricentro

Familia de líneas rectas:

La totalidad de las rectas que satisfacen como única condición geométrica se llama familias o haz de rectas.

Para comprender mejor este concepto consideramos todas las rectas que tienen pendientes 5, la totalidad de estas rectas forman una familia de rectas paralelas, teniendo toda la propiedad teniendo toda la propiedad común de que su pendiente es igual a 5.

Analíticamente esta familia de rectas puede representarse por la ecuación:

y = 5x + k

58



En donde k es una constante arbitraria que puede tomar todos los valores reales. Para cada recta existe una ecuación que cumple la condición de la pendiente 5.

y = 5x + k

(1) y =5x + 0

(2) y =5x +2

(3) y =5x + 5

Como otro ejemplo consideraremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3). Según la ecuación de la recta esta familia de rectas puede representarse analíticamente por la ecuación:

y – 3 = k (x -2)

En donde k es una pendiente arbitraria a la que puede asignar cualquier valor real. Podamos alterar la fórmula de rectas alternando un valor

59



particular a la constante arbitraria a k. Teniendo en cuenta su importancia, se le da k un nombre especial; se le llama “parámetro de la fórmula”.

Ejercicio:

y – 3 = k (x -2)k = -1

k = 1

k = 0

k = -2

k = 2

Ejercicios:

1. Escribir la ecuación de la fórmula de rectas que son paralelas a la recta 2x – 7y + 2 = 0. Dibuje 3 rectas paralelas, especificando en cada caso el valor del parámetro aplicado.

2. Escribe la ecuación de la fórmula de rectas que son perpendiculares a la recta 3x + 2y – 7 = 0. Dibuje 3 elementos de la familia, especificando en cada caso el valor del parámetro aplicado.

60



Unidad III

61



Definición de circunferencia.

La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio.

Un círculo es el espacio interior delimitado por la circunferencia.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r.

Sea la circunferencia de centro O(0,0) y radio r. Aplicando el método de los lugares geométricos, tendremos:

1. Sea el punto P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia .

2. La condición que establece que P es de la circunferencia .

3. Traduciendo analíticamente (fórmula de la distancia entre dos puntos) ó , que es la ecuación cartesiana de la

circunferencia de centro el origen y radio r.

62



Ejemplo: La ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 4.

Aplicando la fórmula anteriormente obtenida y sustituyendo.

Ejercicios: Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias.

a) , b) c)

Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es

Cuando la ecuación solo tiene indica que el centro es el origen y , entonces .

63



Ejercicios: Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.

1. 3.

2. 4.

Ecuación una circunferencia de centro en uno de los ejes coordenados y radio.

Primer caso. El centro se localiza sobre el eje “x”.

Si llamamos h a la abscisa del centro, sus coordenadas serán ó .

Si es un punto cualquiera de la circunferencia. Donde

64



Ejemplos: La ecuación de la circunferencia de centro y

La ecuación de la circunferencia de centro y

65



Ejercicios:

Determina la ecuación de cada circunferencia con su respectiva gráfica.

1. 2. 3.

4. Determina las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

5. Aplicando la fórmula , el resultado es y .

66



6. Determina las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

7. Aplicando la fórmula , el resultado es y .

Ejercicios:

Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.

1. 2. 3.

67



d) e) f)

Segundo caso. El centro se localiza sobre el eje “y”.

Si llamamos k a la ordenada del centro, sus coordenadas serán ó .

Si es un punto cualquiera de la circunferencia. Donde

Resuelve los siguientes ejercicios y gráfica.

1. 2. 3.

4. 5.

Ejemplo: Hallar el centro y el radio de la siguientes circunferencias cuyas ecuaciones se indican.

68



Ejercicios. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.

a) b) c) d) e)

Segundo caso.

El centro se localiza en el eje “y”.

Si llamamos K a la ordenada del centro, sus coordenadas son de la forma , resultando la ecuación siguiente:

Ejemplos:

La ecuación de la circunferencia de centro es:

La ecuación , representa una circunferencia, entonces obtenemos como centro y .

Ejercicios:

1. 2. 3.

4. 5.

Ecuación de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano cartesiano.

Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.

Sea el centro el radio y un punto cualquiera de la circunferencia.

69



Ecuación ordinaria de una circunferencia de radio y de centro un punto cualquiera del plano.

Ejemplo: Hallar el centro y el radio de las siguientes ecuaciones.

Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio se indican.

70



Ejemplo: Hallar el centro y el radio de la siguiente circunferencia.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro , o sea y pasa por el punto .

Para conocer el radio obtenemos la distancia entre el centro y el punto por donde pasa la circunferencia.

Aplicando la ecuación ordinaria de la circunferencia y sustituyendo se obtiene.

71



Ejercicios:

Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias.

1. 2. 3.

4. 5.


6. 7. 8.

9. e)

Dada la ecuación de una circunferencia en su forma general hallar las coordenadas del centro y el radio.

Convirtiendo la ecuación general a la forma ordinaria

Completando los trinomios cuadrados perfectos.

Ejemplos: Hallar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias.

72



Otro procedimiento es usar las siguientes fórmulas partiendo de la ecuación general de la circunferencia.

donde: D = 4, E = 6 y F = 9

, y

, y

De tal forma que las coordenadas del centro son y .

Hallar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias.

73




donde: D = -4, E = -2 y F = -4

, y

, y


Nota: Si el coeficiente de los términos cuadráticos ( y ) no es la unidad, antes de completar los trinomios cuadrados perfectos se dividen toda la ecuación por dicho coeficiente.

Ejemplo: Hallar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias.

74




donde: , y

, y

, y

75




Para comprobar si una ecuación pertenece a una circunferencia real, imaginario o sólo son las coordenadas de un punto se toma en cuenta lo siguiente:

Si circunferencia real

Si circunferencia imaginaria

Si circunferencia nula o círculo punto

Ejemplo: Comprobar si la ecuación representa una circunferencia.

, y , sustituyendo los valores en tenemos:

La circunferencia es real.

Comprobar si la ecuación representa una circunferencia.

, y , sustituyendo los valores en tenemos:

76



La circunferencia se reduce a un solo punto.

Ejercicios.

Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias.

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.8.

9.

10.11.12.13.14.15.16.17.

77



Unidad IV

Introducción.

78



Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse de la intersección de un plano con un cono circular recto. La intersección del cono con un plano perpendicular a su eje se conoce como circunferencia. Si el plano se inclina ligeramente, la curva resultante es una elipse. Si el plano interseca ambas mitades, o ramas del cono, la curva es una hipérbola. Finalmente cuando el plano es paralelo a una recta sobre el cono, la curva de la intersección es una parábola.

La geometría analítica en ocasiones se considera el estudio particularizado de las tres grandes curvas: Parábola, Elipse e Hipérbola. Esto se debe a Menecmo (Siglo lV A. C.) a quien se le atribuye la invención de dichas curvas. Menecmo descubrió la parábola intento por encontrar la arista de un cubo cuyo volumen sea el doble del cubo dado (duplicación del cubo) solo con regla y compás, que después se comprobó que es imposible resolver.

Posterior a Menecmo, Arquímedes amplió el campo de estudio de estas tres curvas. Apolonio de Perga por su parte, concibió las secciones cónicas como resultado de la intersección de un plano con un cono circular ya sea rectangular o no. Si el plano es paralelo a un elemento y a la intersección se extiende indefinidamente a lo largo de una parte del cono sin cortar a la otra, entonces se forma una parábola. No se conoce como pudo haber llevado las secciones cónicas a un plano.

Kepler, siglos después ( 1609 ) señaló detalles de la teoría abstracta que Apolonio había pasado por alto, como la existencia de un foco para la parábola.

Fue Fermat, años después ( 1601 – 1666 ), contemporáneo de Descartes, quien utilizando la notación de Viete, demuestra en su breve tratado titulado “Ad Locos Planos et Sólidos Isagoge” ( Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos ), que la parábola como lugar geométrico se puede expresar por la ecuación a2 ± x 2 = b y y que y = xn si n es positivo representa una parábola y si es negativo representa una hipérbola en su tratado titulado “ Método para hallar máximos y mínimos ”

Isaac Newton (1642 – 1727), hizo estudios y descubrimientos de gran trascendencia; cabe mencionar que describió el tiro parabólico, llamado así porque en este movimiento se describe una parábola.

79



La parábola tiene diversas aplicaciones, pues tiene propiedades notables: si se dispone de un manantial de luz en su foco, con un espejo parabólico los rayos son reflejados en forma de un haz de luz o bien, si el espejo recibe hondas electromagnéticas las refleja concentradas en el foco. Estas propiedades se emplean en la construcción de faros de automóviles y en las antenas parabólicas.

Definición

Es el conjunto de los puntos que están a la misma distancia de una recta fija, llamada directriz, y de un punto fijo del plano que no pertenece a la recta y se llama foco

Geométricamente se describe como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.

Elementos fundamentales de la parábola.

Eje de la parábola: Es la recta que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice. La posición del eje determina la posición de la parábola; hay parábolas horizontales, verticales o inclinadas, según que el eje sea horizontal, vertical o inclinado. La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje. ( EE´)

Directriz: Recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco. ( DD´)

Lado recto: Recta que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. ( LR )

Radio focal: Distancia que hay entre el foco de una parábola y cualquier punto de la misma.

Vértice: Punto medio del segmento AF

Cuerda: Segmento de dos puntos cualesquiera de la parábola ( CC´)

80



Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco ( BB´)

Ecuación de una parábola.

Ahora deducimos la ecuación de una parábola con foco F ( 0, p) y la directriz y = - p, donde p > 0. Entonces vemos que el eje de la parábola está a lo largo del eje y, como lo muestra la figura. El origen es necesariamente el vértice, puesto que está situado en al eje a p unidades tanto del foco como de la directriz. Si el punto P( x, y ) es un punto sobre la parábola, entonces la distancia de P a la directriz es:

d1 = y - ( - p ) = y + p ecuación 1

Usando la fórmula de distancia, encontramos la fórmula de P al foco:

d1 = d ( P, F ) = ecuación 2

Igualando la ecuación 1 y la ecuación 2, tenemos que:

Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando, obtenemos:

81



Esta ecuación se refiere a la ecuación en forma estándar de la parábola con foco (0, p) y directriz y = - p para p > 0

Ecuación de la parábola

Formas estándar para parábolas con vértice en el origen .

Ecuacióncartesiana

Vértice Eje Foco Lado Recto

Directriz La parábola se abre hacia

X2 = 4 py ( 0 , 0 ) X = 0 (0 , p )

4p

Y = - p

Hacia arriba si p>0

82



X2 = - 4 pyHacia abajo si p<0

Y 2 = 4 px ( 0 , 0 ) Y = 0 ( p , 0 )

4p

X = - p

Hacia la derecha si p>0

Y2 = - 4 pxHacia la izquierda si p<0

Ejemplo

Encuentre la ecuación en forma estándar de la parábola con directriz y = 2 y foco ( 0 , -2). Grafique la parábola.

En la figura se ha trazado la gráfica con directriz y = 2 y foco en el punto ( 0, -2).

Vemos que la ecuación es de la forma: x2 = 4py

Puesto que p = - 2, y comparando con la tabla anterior la parábola abre hacia abajo y la ecuación debe ser : x2 = 4 ( -2) y o x2 = -8 y

83



Para hacer la gráfica de la parábola, primero marcamos el vértice en ( 0, 0), el foco y luego la directriz que está a la misma distancia que del vértice al foco; es decir y = 2, entonces:

X2 = - 8 ( -2) = 16 o x = ± 4

Así obtenemos el valor de x que es ± 4. Ubicamos los puntos sobre el eje de las “x” y a la altura del foco, marcamos los puntos ( 4, -2 ) y ( -4 , -2 ) que están situados sobre la parábola.

Ejemplo: Encuentre el foco, el vértice, la directriz y el eje de la parábola y2 = - 6 x. Haga la gráfica e indique el foco y la directriz.

La ecuación tiene la forma y2 = 4 p x. Así el vértice está en el origen, el eje focal es x, y el dato de p lo obtenemos de la siguiente manera: 4p = - 6, o p = - 3 / 2

Observa en la tabla anterior que p<0, por la tanto, la parábola se abre hacia la izquierda, el foco es ( -3 / 2 , 0), y la directriz es x = 3 / 2.

Para hacer la gráfica de la parábola, consideramos a x = - 3 / 2. Entonces: y2 = - 6 ( - 3/2) = 9 o Y = ± 3

Así, los puntos ( -3 / 2 , ± 3 ) están colocados sobre la parábola, como se muestra en la figura.

Ecuación de la parábola

84



Ejemplo: Escribir la ecuación de la parábola con foco en ( 0, 5) y directriz y = - 5. Hacer su grafica. Como el foco está sobre el eje Y en ( 0, 5 ), entonces es una parábola vertical con las ramas hacia arriba y vértice en ( 0, 0 ) por lo que su ecuación es de la forma x2 = 4py. Por definición, p es la distancia del vértice a l foco, entonces p = 5, sustituyendo este valor en x2 = 4py tenemos lo siguiente:

X2 = 4 py

X2 = 4( 5 ) y

X2 = 20 y

Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco en ( 0 , 5 ) y directriz y = - 5 es x2 = 20 y. Para hacer la gráfica, tabulamos algunos puntos; en este caso conviene darle valores a la y y encontrar los correspondientes valores de la x. Es decir; si y = 5, entonces x2 = 20 ( 5) = 100 o x = ± 10

85



Ejemplo: Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “x” pasa por el punto (3,6), determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto; trazar la gráfica correspondiente. De acuerdo a las condiciones dadas en el problema, tenemos que la ecuación de la parábola es de la forma ; como la curva pasa por el punto (3,6), sus coordenadas deben satisfacer dicha ecuación de la parábola, es decir:

Si p = 3, la ecuación de la parábola es:

86



La gráfica es la siguiente:

Ejercicios:

Para cada una de las siguientes parábolas con vértice en el origen, hallar las coordenadas del foco, directriz, lado recto y la gráfica.

87



1. V ( 0, 0 ) directriz y = - 5 / 2 2. V ( 0, 0 ) pasa por el punto P ( 3, - 2)

3. V ( 0, 0 ) lado recto 7 unidades y abre hacia la izquierda.

4. V ( 0, 0) Foco en ( 4, 0 )

5. V ( 0, 0 ) Foco en ( 0, - 5 )

6. V ( 0, 0 ) Directriz x = - 5

Parábola con vértice en (h, k )

Suponga que la parábola se traslada tanto horizontal como verticalmente, de modo que su vértice está en el punto ( h, k ) y su eje es la recta vertical x = h. La forma estándar de la ecuación de está parábola es:

88



De igual manera, la ecuación estándar de una parábola con vértice (h, k) y eje de la recta horizontal y = k es:

89



En la figura anterior ilustramos los cuatro tipos de parábolas que pueden resultar de tomar p positivo o negativo, y el eje ya sea horizontal o vertical.

Formas estándar para parábolas con vértice en el punto (h, k)

Ecuación Ordinaria

Vértice

Eje

Foco Lado

recto

Directriz La parábola se

abre

(x-h)2 = 4p(y – k) (h, k )

X = h (h,k+p) 4p

Y = k - p Hacia arriba si

p>0

Hacia abajo si p<0

(y – k) = 4p ( x – k )( h, K)

Y = k (h+p,k)

4p

X = h - p Hacia la

derecha si p>0Hacia la izquierda si p<0

Ejemplo: Hallar vértice, lado recto, foco, ecuación de la directriz y trazar la parábola cuya ecuación es:

90



Dejamos del lado izquierdo de la igualdad los términos en x , como se muestra a continuación:

Sumamos 4 en ambos miembros de la igualdad, para que del lado izquierdo quede un trinomio cuadrado perfecto, como se muestra a continuación:

Para obtener el vértice de esta parábola, primero se despeja x del primer término y y, así nuestros valores son V(2, -2). Ahora como 4p= 4, tenemos que p=1. Si observamos la tabla que se presentó anteriormente la ecuación de la directriz es y = k – p, por lo tanto, y tiene un valor de: y = -2 -1 = -3 y las coordenadas del foco son (2, -1). Concentrando los datos en la tabla anterior, obtenemos:

Ecuaciónordinaria

Vértice Eje Foco Lado recto

directriz la parábola se abre hacia arriba ya que p > 0

(x - 2) 2 = (y + 2 ) (2, -2 )

X = 2 (2, -1) 1

Y = -3


91



Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (2,3), eje paralelo al eje de las coordenadas y que pasa por el punto (4,5).

La parábola tiene su eje paralelo al eje de las ordenadas, por lo tanto, su ecuación es de la forma siguiente:

Las coordenadas del vértice y del punto por el que pasa la parábola deben satisfacer la ecuación, es decir:

92



Entonces la ecuación de la parábola es:

O bien:

Despejando “x” y “y” de ambos términos, el valor del vértice es ( 2 , 3 ). El foco tiene un valor de (2, 3 +0.5), es decir (2, 3.5). La directriz y es igual a: y = 3 – 0.5 = 2.5

Concentramos los resultados en la tabla:

Ecuaciónordinaria

Vértice Eje Foco Lado recto Directriz La parábola se

abre hacia arriba, ya que

p > 0(x-2)2 = 2 (y – 3) ( 2, 3 )

X = 2 (2,3.5 ) 1/2

Y = 2.5


Ejemplo: Hallar el vértice, lado recto, foco ecuación de la directriz y trazar la parábola cuya ecuación es:

93



Dejamos de lado izquierdo de la igualdad los términos en X; haciendo esto nos queda:

El vértice está en el punto (2, -2 ), el lado recto es igual a 4. Como 4p = 4, tenemos que p = 1, por lo tanto, la ecuación de la directriz es y = -3 y las coordenadas del foco son (2, -1).

EcuaciónOrdinaria

Vértice Eje Foco Lado recto Directriz La parábola se

abre hacia arriba si p>0

(x - 2)2 = 4 (y +2) (2, -2 )

X = 2 (2, -1) 4

Y = - 3


Ejemplo: Hallar el vértice, lado recto, foco, ecuación de la directriz y trazar la parábola cuya ecuación es:

94



Como el término del eje x es negativo, las ramas de la parábola se extienden hacia la izquierda.

De la ecuación 4p = - 8, entonces p = -2.

EcuaciónOrdinaria Vértice Eje Foco Lado

recto Directriz La parábola se abre hacia la

izquierda(y+3)2 = -8 (x - 2) ( 2, -3 ) Y = -3 (2-2, -3)( 0 , -3 )

8 X = 2 – (-2)X =2 +2 = 4


Ejemplo: Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en ( 2, - 3 ), eje paralelo al eje x, y pasando a través del punto (3,1).

Si usamos la información de la tabla: Formas estándar para parábolas con vértice en el punto (h, k), la ecuación debe ser la siguiente:

95



Puesto que el vértice es (2, -3 ), concluimos que h = 2 y k = -3. Si el punto ( 3, 1 ) está en la gráfica, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, sustituimos tales valores y obtenemos el valor de p.

Y por lo tanto, la ecuación de la parábola es:

Ecuaciónordinaria Vértice Eje Foco Lado

recto Directriz La parábola se abre hacia la derecha si p>0

(y +3) = 16 ( x – 2 ) ( 2, 3) y =- 3 (2+4,3)

(6,-3 )

16

X = 2 – 4 X= -2

La gráfica se presenta a continuación:

96



Ejercicios.

Para cada parábola encuentre los elementos faltantes. Haga la gráfica de las ecuaciones.

97



Encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas.

Ecuación de la parábola dados tres puntos

Las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la parábola,

contienen tres constantes arbitrarias independientes, que son: h, k y p; de la misma manera, las ecuaciones de la parábola en forma general,

98



Contienen también tres constantes arbitrarias e independientes, que son:

Para la primera ecuación y

Para la segunda ecuación.

Dadas las ecuaciones anteriores, la ecuación de la parábola en cualquiera de sus formas (segunda ordinaria y general) se obtiene al determinar los valores de las tres constantes respectivas.

Dadas tres condiciones independientes que den lugar a tres ecuaciones independientes, las cuales están en función de las tres constantes arbitrarias y que al resolver el sistema anterior, se demuestra que geométrica y analíticamente la ecuación de la parábola queda perfectamente determinada.

Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje “y” y que pasa por los tres puntos L (-2, 9 ), M ( 0, 1) y N ( 3, 4 ).

Con base a las condiciones del problema, emplearemos la ecuación de la parábola en su forma general.

de donde se reduce a:

se igualan los siguientes términos:

99



Por lo tanto, la ecuación se puede expresar en la forma en donde las tres condiciones por determinar son: D’, E’ y

F’.

Como los tres puntos dados pertenecen a la parábola, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación

Al aplicar la conclusión anterior, obtenemos las tres ecuaciones siguientes correspondientes a los puntos dados:

Para L (-2, 9)

Para M (0, 1)

Para N ( 3, 4 )

Si resolvemos por suma o resta las ecuaciones 1 y 3, obtenemos:

100



Si la ecuación 1 se multiplica por 3 y la ecuación 3 se multiplica por 2 resulta:

3 (-2 D’ + 9 E’+ F’ = - 4 )

2 ( 3 D’ + 4 E’+ F’ = - 9 ) ________________________

- 6D’ + 27E’ +3F’ = -12 6D + 8E’ +2F’ = -18

De las ecuaciones anteriores obtenemos la cuarta ecuación:

35 E’ + 5F’ = - 30 Ecuación 4

Si se aplica el mismo método a la ecuaciones 2 y 4, obtenemos:

Si la ecuación 2 se multiplica por –35, resulta:

- 35 ( E’ + F’ = 0 ) - 35 E’ - 35 F’ = 0 35 E’ + 5F´ = - 30 ___________________ - 30 F’ = - 30

Al sustituir el valor de F’ en la ecuación 2, resulta:

E’ + F’ = 0 E’ + 1 = 0

101



al sustituir los valores de E’ y F’ en la ecuación 3, resulta:

3D’ +4E’ +F’ = -9 3D’ +4(-1) + 1 = -9 3D’ – 4 + 1 = -9 3D’ - 3 = -9 3D’ = -9 +3

Si se sustituyen los valores de las constantes D’, E’ y F’, en la ecuación de la parábola en su forma general, resulta: x2 + D’x + Ey + F’ = 0 x2 + ( -2)x + (- 1 )y + 1 = 0

x2 - 2x -y + 1 = 0 Esta es la ecuación de la parábola en su forma general.

Al transformar la ecuación general de la parábola en su segunda fórmula ordinaria, tenemos:

Al ordenar los términos, tenemos:

Al completar cuadrados en x, tenemos:

Al factorizar, tenemos:

102



( x – 1)2 = y Segunda forma ordinaria de la parábola.

De la ecuación anterior, tenemos que las coordenadas del vértice son:

V ( 1, 0 )

De la misma ecuación, tenemos que 4p = 1

Por lo tanto,

Como p > 0, la parábola se abre hacia arriba.

Las coordenadas del foco son F ( h, k + p ).

La ecuación de la directriz es:

y = k - p

Como el vértice V(1,0) y el foco F están sobre el eje de

simetría de la parábola, al ser éste paralelo al eje y, tenemos que la ecuación es: x = h o x = 1.

La longitud del lado recto es: L.R.=

L.R.= = 1

103



La gráfica se muestra a continuación.

Ejercicios:

1. Encontrar las ecuaciones de las parábolas horizontales que pasan por los puntos: (-2, 4), (-3, 2) y ( 2,-4).

(-1, 1), (-1, -1) y ( -5, 0 )

(1, 0 ), (-19, -2) y (-14, 3 )

Encontrar el vértice, lado recto, foco, la ecuación de la directriz y la gráfica.

2. Encontrar las ecuaciones de la parábola vertical que pasa por los puntos: (1, 0), (-3, 28), (2, 3)

(-1, 0), (- 2, -5), (3, 0)

Así como el vértice, lado recto, foco, la ecuación de la directriz y la gráfica.

104



Aplicaciones de la parábola.

La parábola tiene muchas propiedades interesantes que la hacen apropiada para ciertas aplicaciones. El diseño de espejos para telescopios y ciertos sistemas de alumbrado se basan en un propiedad de reflexión importante de las parábolas. En la siguiente figura se observa como un rayo de luz de un punto fuente localizado en el foco de una parábola será reflejado a lo largo de una recta paralela al eje.

105



Así, la forma de la superficie reflejarte en la mayoría de los reflectores, los faros delanteros del automóvil y las luces intermitentes se obtienen rotando la parábola alrededor de su eje. La fuente de luz se coloca en el foco. Entonces, teóricamente, el resultado de este diseño es un rayo de luz paralelo al eje.

Por supuesto, en realidad ocurrirá alguna dispersión de luz, puesto que no hay un punto de fuente de luz.

Por el contrario, si un rayo de luz que entra es paralelo al eje de una parábola, será reflejado a lo largo de una recta que pase a través del foco. Telescopios reflexivos, platos de satélite y antenas de radar utilizan esta propiedad colocando la lente del telescopio y el equipo receptor para la antena en el foco de un reflector parabólico.

Ejemplos: Una antena parabólica tiene un diámetro de un metro. Si tiene una profundidad de 20 cm., ¿a qué altura debemos colocar el receptor?, es decir, ¿a qué distancia está el foco del vértice?

106



Colocamos los ejes cartesianos de manera que el vértice de la parábola esté en el origen y su eje coincida con el eje y. Entonces, la ecuación es:

X2 = 4py

Debemos determinar el valor de p, que es la distancia del foco al vértice.

Como el diámetro de la antena es un metro y ésta tiene una profundidad de 20 cm., entonces, los puntos ( 0.5, 0.2) Y ( -0.5, 0.2) están en la parábola, Sustituimos ( 0.5, 0.2) en la ecuación de la parábola y despejamos p.

(0.5) 2 = 4p (0.2)

0.25 = 0.8 p

p = 0.3125

Por lo que las coordenadas del foco son F( 0, 0.3125 ), así que debemos colocar el receptor a una altura de 31.25 cm sobre el vértice.

La aplicación de las parábolas también se puede realizar en los puentes colgantes, por ejemplo, si un cable carga peso homogéneo mucho mayor que el peso del propio cable, éste toma la forma de una parábola. Esta propiedad se utiliza en los puentes colgantes, como el Golden Gate, en la bahía de San Francisco, en Estados Unidos. Tal como se muestra en la figura.

107



Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400 metros y los cables están atados a ellas a 200 metros arriba del piso del puente, ¿ qué longitud debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre?. Supongamos que el cable toca el piso en el punto medio V del puente.

Escogiendo el sistema de coordenadas como la sugiere la figura anterior, tenemos que la ecuación de la parábola es x 2 = 4py. Debemos encontrar p. Como el punto (200, 200) está en la parábola, resolvemos:

2002 = 4p (200)

Obteniendo p = 50. Así, la ecuación de la parábola es:

x2 = 200 y

Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya primera coordenada es x = - 150.

Resolvemos (- 150)2 = 200 y

108



Obteniendo

Así, la altura del puntal que está a 50 metros de la torre es de 112.5 metros.

Ejercicios:

Un puente tienen una longitud de 160 metros. El cable que lo soporta tiene la forma de una parábola. Si el puntal en cada uno de los extremos tiene una altura de 25 metros, ¿cuál es la ecuación de la parábola?

109



En un puente colgante la distancia entre sus torres es de 300 metros y la altura de las torres es de 100 metros. Describe la ecuación del cable que soporta el puente.

Utilizando los datos del problema anterior, encuentra la altura del puntal que se encuentra a 50 metros del centro del puente.

Un diseñador de automóviles desea construir un faro que tenga 16 centímetros de diámetro. La bombilla que va a utilizar en él tiene el filamento de 2 centímetros del cuello. ¿Qué profundidad debe tener el faro para que el filamento quede en el foco del faro si el cuello de la bombilla se coloca a la altura del vértice del faro.

La antena de un radiotelescopio en forma de paraboloide tiene un diámetro de 8 metros. Si la profundidad de la antena es de 0.5 metros, ¿a qué distancia del vértice debe colocarse el receptor.

110



Unidad V

Definición.

111



Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos (F1 y F2) llamados focos, es constante.

En la figura AA’ Y BB’ son los ejes de simetría de la elipse y O su centro de

simetría

Si M es un punto móvil de la curva, F y F’ los focos, se cumple la condición:

MF + MF’ = constante

Es decir, que si el punto M se mueve a lo largo de toda la curva la suma de estos segmentos de rectas es el mismo.

AA’ es el eje mayor, diámetro mayor o eje focal y se representa por 2a.

BB’ es el eje menor, diámetro menor o eje no focal y se representa por 2b.

FF’ es la distancia focal y se representa por 2c.

MF y MF’ se llaman radios vectores o simplemente vectores.112



Construcción geométrica de la elipse.

Existen dos métodos sencillos para el trazo de una elipse, los cuales

son:

Método del jardinero

1. Trazar un plano cartesiano.

2. Identificar eje “x” (abscisa) y “y” (ordenada).

3. En el eje de las ordenadas se marcará dos puntos cualesquiera (considerando la misma distancia para los positivos (+) y negativos (-).

4. Utilizando el cordón mayor a 10 cm, el cual tendrá sujetado en uno de sus extremos un lápiz y en el otro servirá de apoyo en el punto asignado en el eje Y (primero los positivos y después los negativos).

5. Se trazará el arco del eje de las abscisas positivas (X) al eje de las ordenadas positivas (Y) y de aquí al eje de las abscisas negativas (X).

6. De la misma manera se traza para el lado opuesto, obteniendo el lugar geométrico (elipse).

Método del escantillón

1. Trazar un plano cartesiano en donde el eje de las abscisas (X) será el eje mayor (A, B).

2. En el eje de las ordenadas (Y) será el eje menor (C, D) y el punto de intersección de ambos ejes será el centro de la elipse (O).

3. Cortar una tira de papel de 20 cm de largo por 4 cm de ancho.

113



4. Marcar en la tira de papel el eje mayor y el eje menor, partiendo del centro. Colocando el #3 para el eje menor y el #2 para el eje mayor. El #1 se marcará colocando el #2 en el centro del eje menor al punto C.

5. Para trazar la elipse se colocará la tira de papel de tal forma que el punto dos coincida con el eje de las abscisas positivas y el punto tres coincida con el eje de las ordenadas negativas.

6. Marcando en el punto 1 la distancia obtenida, girando la tira de papel del centro C al punto B.

7. Repetir el mismo procedimiento para los puntos C a A.

8. Invirtiendo la tira de papel para los puntos A, D y D, B.

114



Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje coordenado xx’.

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje coordenado yy’.

Donde:

a: representa el valor numérico del eje mayor (abscisas) positivas y negativas.b: representa la mitad de la longitud del eje menor (ordenadas).x y y: ejes coordenados del plano cartesiano.

Ecuación de la elipse con centro no coincidente con el origen y eje focal paralelo al eje xx’.

115



Como se observa en la figura cuando el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano cartesiano sus coordenadas son (h,k).

Ecuación de la elipse con centro NO coincidente con el origen y eje focal paralelo al eje xx’.

Elipse cuyo centro tiene por coordenadas (h, k) y eje focal paralelo al eje coordenado yy’.

Ejemplo: Obtener la ecuación ordinaria de la elipse con C(3,2), eje mayor paralelo al eje “x” , 2a=4 y 2b=3.

Solución.

Como el eje mayor de la elipse es paralelo al eje “x” la ecuación ordinaria es:

116



Para obtener el valor de a y b únicamente despejamos.

Sustituyendo:


Gráfica de la ecuación

Ejemplo: Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con A (6,0), A’(-6,0), 2b= 10.

Despejando “y” tenemos:

Tabulando y dando valores a “x” para obtener “y”.

117



Solución. Si gráficas los puntos AA’ en el plano cartesiano observa que el eje mayor se encuentra en el eje “x” por los que su valor es 2a =12 y centro en el origen C (0,0), por lo que se deduce que la ecuación buscada es de la forma:

Obtenemos el valor de a y b.

Sustituyendo tenemos:


Gráfica de la ecuación:

Despejando “y” para graficar tenemos:

Tabulando y dando valores a “x” para obtener “y”.

118



Ejemplo. Obtener la ecuación de la elipse con los datos siguientes: A(0,8), A’(0,8), F(0,6).

Solución. Si graficamos los datos en el plano cartesiano observamos que el eje mayor AA’ se encuentra en el eje “y” y el centro de la elipse en el origen del plano cartesiano, por lo que se deduce que la ecuación buscada es de la forma:

Obtenemos el valor de a. Obtenemos el valor de b con Pitágoras.

Sustituyendo el valor de a y b:

Ecuación general de la elipse.

Para obtener la ecuación general de la elipse desarrollamos la ecuación ordinaria, por ejemplo si la ecuación de la elipse es:

Ecuación ordinaria de la elipse.

119



o sea:

28 y2 + 64 x2 = (64)(28)

64x2 + 28 y2 = 1792

16 x2 + 7 y2 = 448

16 x2 + 7 y2 – 448 = 0

Representación gráfica de la ecuación.

64x2 + 28 y2 = 1792 y = 1792 – 64 x 2 28

120



Verifica en la figura anterior si los elementos son los correctos e

identifica con colores cada uno de ellos.

Familia de Elipses

Una familia de elipses es un conjunto de ellas que satisfacen cierta condición.

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la familia de elipses cuyo eje no focal es la recta con ecuación x = 8, diámetro mayor = 6 y diámetro menor = 2

Solución:

Todas las elipses de la familia son horizontales, ya que el eje no focal es vertical. El centro de cualquier elipse de la familia es: C(8,k) para algún valor de k. Puesto que el diámetro mayor es 6, tenemos que a = 3 y , como el diámetro menor es 2, entonces b = 1

La ecuación de la elipse correspondiente es:

Para representar la familia de elipses, se asignan valores a k = -2, 1, 4, 7

121



Tangentes y Secantes a la elipse

Dado P, un punto en la elipse, la bisectriz del ángulo formado por

la recta FP y la recta F’ P que, con excepción de P, contiene solo puntos fuera de la elipse, es la recta tangente a la elipse en el punto P

Ejemplo:

122



Ejercicios:

1. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos focos son F(6,0), F’ (-6,0) y tal que la suma de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 16.

2. Encuentra la familia de elipses cuyos vértices son V(-2,6) y V’ (-2,-4)

3. Encuentra la ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos dados: P(5,2), Q(4,5), R(-2,5), S(-2,-1)

4. Dibuja las figuras de los ejercicios anteriores.

123



Unidad VI

124



Definición

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen una característica en común y esta es, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

S i M es un punto cualquiera de la curva y F y F’ los focos, la siguiente condición se cumple.

Es el eje focal, eje transverso o eje real y se representa por 2a. Es el eje no focal, ejeImaginario o eje conjugado y se representa por 2b.

Es la distancia focal y se representa por 2c.B y B’ están situados de modo que .A y A’ son los vértices de la hipérbola.

125



Lado recto de la hipérbola

126



Construcción por puntos.

La hipérbola se puede construir por puntos, utilizando la regla y el compás, mediante el siguiente procedimiento.

Para iniciar el trazo, se sitúan sobre una recta los puntos A y A’. En seguida se localizan O, punto medio de la y se traza en dicho punto la perpendicular que corresponde al eje BB’. Sobre la recta AA’ se sitúan F y F’, de modo que

Después se toma un punto cualquiera por ejemplo C, en el eje focal, de manera que Con radios , haciendo centro en F y F’ se determinan los puntos M y M’, con radios , haciendo centro en F y F’, se determinan también los puntos N y N’. En forma análoga se toman otros puntos, y repitiendo el trazo anterior se obtendrán nuevos puntos de la hipérbola.

Para un punto móvil M situado en cualquiera de las ramas de la hipérbola se cumple siempre la condición:

2a ó Distancia focal

Relación entre los ejes y la distancia focal.

En una hipérbola cualquiera como la que se muestra en la siguiente gráfica se tiene por construcción

c

127



Entonces en el ∆ OAB, que es un rectángulo en O se tiene:

Fórmula que permite calcular la longitud de una de los ejes o la distancia focal, cuando se conocen los otros dos elementos.

Ejemplo. Trazar la hipérbola según los datos: si a = 6, b = 8

Sustituyendo el valor de a y b en :

Tenemos:

c = 10

Construyendo la gráfica tenemos:

Ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.

128



Ecuación ordinaria de la hipérbola cuyo eje real coincide con XX’ y eje imaginario coincide con YY’

Cuando el centro de la hipérbola coincide con el origen del plano cartesiano y el eje real de la hipérbola con el eje XX’ como se ve en la figura.

Ecuación ordinaria de la hipérbola cuyo eje real coincide con yy’ y eje imaginario coincide con xx’

Ejemplo. Hallar la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos:

La ecuación de la hipérbola es:

Cuando el centro de la hipérbola

coincide con el origen del plano

cartesiano y el eje real de la

hipérbola con el eje YY’ como se

129



F’ (-3, 0), F (3, 0), 2a = 4

Por los datos se observa que se trata de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje XX’. Como se ve en la figura:

FF’ = 2 c = 6 c = 3, a = 2

Sustituyendo el valor c y a en:

Sustituyendo en la ecuación ordinaria de hipérbola tenemos:

Ejemplo: determinar la ecuación de la hipérbola con los datos siguientes:

130



A( 0 , 7), A’( 0, -7); B( 5, 0), B’( -5, 0)

Por los datos que tenemos al graficarlos en el plano cartesiano se observa que se trata de una hipérbola en la que AA’ coincide con BB’ con YY’

Sustituyendo el valor de a y b, en la ecuación ordinaria de la hipérbola tenemos:

Ecuación de la hipérbola cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados.

Ecuación ordinaria de la hipérbola

131



Eje focal paralelo al eje xx’ del plano cartesiano.

Si M(x,y) es un punto cualquiera de la hipérbola y C(h,k) el centro de simetría, como se ve en la figura.

Eje focal paralelo al eje YY’ del plano cartesiano.

Si el centro de la hipérbola coincide con el eje XX’, como k=0 la ecuación ordinaria se reduce a:

La ecuación ordinaria de la parábola es:

La ecuación ordinaria de la hipérbola es:

132



Si el centro de la hipérbola coincide con el eje YY’, como h=0 la ecuación ordinaria de la hipérbola se reduce a:

Ejemplo. 0btener la ecuación ordinaria de la hipérbola con los siguientes datos:

C(3,5) ,

Por los datos que se proporcionan se observa que la ecuación de la hipérbola es de la forma

Como a = 4/2 = 2 y b = 6/2 = 3, sustituyendo en la ecuación anterior se tiene

Para poder graficar en el plano cartesiano despejamos a “y”, y tabulamos, es decir damos valores a “x” para obtener “y”,


133



Gráfica

Ejemplo. Encontrar la ecuación ordinaria de la hipérbola si:

F(-4,5), F’( -4,-3) y A(-4,-1)

134



Por los datos que se proporcionan se observa que los focos y el punto A están situados sobre una paralela al eje YY’, por lo tanto la ecuación es de la forma:

Las coordenadas del centro las podemos obtener con el punto medio de

Por la resta de las coordenadas de los puntos C y A

Para obtener el valor de b por Pitágoras tenemos que a = 2 y c = 4, despejando b

Sustituyendo los datos en la ecuación ordinaria tenemos

Para poder graficar en el plano cartesiano despejamos a “y”, y tabulamos, es decir damos valores a “x” para obtener “y”,


135



Gráfica

Ecuación general de la hipérbola.

Para obtener la ecuación general de una hipérbola desarrollamos la ecuación ordinaria, por ejemplo si la ecuación de una hipérbola es de la forma:

Realizando la fracción del miembro izquierdo de la igualdad, e igualando a cero tenemos:

136



Si la ecuación ordinaria de la hipérbola es de la forma:

Realizando la fracción del miembro izquierdo de la igualdad, resolviendo los productos notables, e igualando a cero tenemos:

Ecuación general de la hipérbola

Recta tangente a la hipérbola: es aquella recta que toca en un solo punto a la hipérbola y se obtiene determinando la bisectriz de como se ve en la figura:

Ecuación general de la hipérbola

137



En el caso de las hipérbolas la bisectriz de los radios vectores es la recta tangente a la hipérbola en un punto cualquiera M.

Ejemplo: F’(0,2), F(6,0), son los focos de una hipérbola en la que 2a =2√2, sobre la curva se toma el punto T(2,4), calcular, la ecuación de la curva, la ecuación de los radio vectores y la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto T.

Solución: si T(2,4) es un punto cualquiera de la hipérbola, por definición se tiene que:

Sustituyendo los datos en la igualdad anterior llegamos a la ecuación general de la hipérbola:

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Sustituyendo los datos en la igualdad (1)

Pasando un radical al miembro derecho de la igualdad y elevando al cuadrado para eliminar radicales

Dejando el radical en el miembro izquierdo de la igualdad y reduciendo términos semejantes.

Elevando nuevamente al cuadrado para eliminar el radical y resolviendo e igualando a cero.

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Reduciendo términos semejantes y simplificando, obtenemos la ecuación general de la hipérbola.

Para obtener la ecuación de los radios vectores utilizamos la fórmula punto – punto.

Para: F’(0,2) y T(2,4) Para: F(6,0) y T(2,4)

Como en una hipérbola la ecuación de la tangente en cualquier punto es la bisectriz de los radio vectores, con la fórmula de distancia de un punto a una recta.

Realizando operaciones e igualando a cero obtenemos la ecuación de la tangente en el punto T(2,4).

140



Por la tanto la ecuación de la recta tangente en el punto T es x = 2, graficando en el plano cartesiano:

Ejercicios: Hallar la ecuación ordinaria y general de la hipérbola y representar gráficamente en cada caso.

1. F(4,0), F’(-4,0), 2 a = 42. F(0,3), F’(0.-3), 2 b = 2 3. A(5,0), A’(-5.0); B(0,3), B’(0,-3)4. F(5,0), F’(-5,0); A(4,0), A’(-4,0)

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5. A(0,3), A’(0,-3); distancia focal = 106. F(6,0), F’(-6,0); lado recto = 10

En cada uno de los ejercicios reducir la ecuación general a la ecuación ordinaria de la hipérbola y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los dos ejes y las ecuaciones de las asíntotas.

1. x2 - 9 y2 - 4 x + 36 y - 41 = 02. 4x2 - 9 y2 + 32 x + 36 y + 64 = 03. x2 - 9 y2 - 4 x + 36 y - 41 = 0En cada uno de los siguientes ejercicios obtener la ecuación de la tangente trazada desde el punto P, a las siguientes hipérbolas:

1. 3 x2 – 4 y2 = 12; P ( 6, 5 )2. 4 x2 – 5 y2 = 64; P ( 1, -2 )3. 3 x2 – 2 y2 = 30; P ( 1, -3 )

Ejercicios de Hipérbola.

Identifica sin graficar cuáles de las siguientes ecuaciones podrían representar una hipérbola.

1.2.3.4.5.6.7.

Obtener la ecuación de la hipérbola con los siguientes datos:

1. V(0,3) y V’(0,-3) y los focos F(0,4) y F’(0,-4).

142



2. Vértices V(2,0) y V’(-2,0) y los focos F(3,0) y F’(-3,0).

3. Vértices V(3,0) y V’(-3,0) y excentricidad e = .

4. Focos F(3,0) y F’(-3,0) y excentricidad e =

5. Vértices V(0,2) y V’(0,-2) y longitud de los lados rectos r = 9.

Determina las coordenadas del centro, los vértices y los focos, la longitud de cada lado recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de cada una de las siguientes hipérbolas.

1.2.3.4.5.

En cada una de las siguientes hipérbolas determina las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos, la longitud de cada lado recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.

1.2.3.4.5.

Las ecuaciones dadas a continuación representan hipérbolas con centro en el origen y focos en el eje “y”, determine en cada caso: vértices, focos, longitud de los ejes, longitud del lado recto, excentricidad, ecuaciones de las asíntotas y grafique.

1.

2.

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Las ecuaciones dadas a continuación corresponden a hipérbolas con centro en el origen, determine si sus focos están en el eje “x” ó en el eje “y”.

1.2.3.Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos (-6,-4) y (2,-4) es igual a 6.

Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (3,-1) y tiene por asíntotas a los ejes de coordenadas.

Hallar las coordenadas de los vértices y focos, así como la excentricidad de la hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación .

Obtener la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto M(-1,2) y cuyas asíntotas tienen por ecuaciones y .

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